1

A EQUAÇÃO DO CALOR: DEDUÇÃO

A primeira etapa é definir um sistema (elemento) diferencial, dx · 1 · 1, com largura dx e área unitária entreseções perpendicular à direção x como mostrado na Fig. 16.3. Se preferirmos formular a primeira lei emum instante de tempo, a próxima etapa será identificar os processos de energia que são relevantes para osistema.Fluxos térmicos por condução para dentro e fora do sistema

A taxa de transferência de calor por condução na superfície de controle (x � dx) pode ser expressa pormeio de uma expansão em série de Taylor desconsiderando-se os termos de maior ordem

onde o fluxo térmico qn� é dado pela lei de Fourier, Eq. 16.1, mas o gradiente é descrito por uma derivadaparcial já que a temperatura depende da coordenada x e do tempo.Taxa de geração de energia no interior do sistema

Taxa de variação de energia no interior do sistema

A etapa final consiste em formular o requisito de conservação de energia com base na taxa, Eq. 15.11a.Substituindo as expressões anteriores dos processos de energia e redefinindo, o balanço de energia dife-rencial tem-se a forma

A Eq. 16.2 é a equação do calor. Resumindo em palavras, a equação de calor estabelece que em qual-quer ponto do meio físico unidimensional, a taxa de transferência de energia por condução dentro deum volume unitário mais a taxa volumétrica de geração de energia deve ser igual à taxa de variação daenergia armazenada dentro do volume.

equação de calor

Figura 16.3 Sistema diferencial, dx · 1 · 1,para análise da condução em um sistemacartesiano de coordenadas unidimensional.

A PAREDE COMPOSTA

As paredes compostas também podem ser caracterizadas como configurações do tipo série-paralelo, comoas mostradas na Fig. 16.6. Em muitas aplicações desse tipo, geralmente é recomendável presumir condi-ções unidimensionais. Se considerarmos essa hipótese, dois circuitos térmicos diferentes poderão ser usa-dos. No caso (a) supõe-se que as superfícies perpendiculares à direção x sejam isotérmicas, enquanto nocaso (b) supõe-se que as superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas. Resultados diferentes são ob-tidos para Rtot, e os valores correspondentes de q incluem a taxa de transferência de calor real. Essas dife-renças aumentam com a elevação de �kF � kG�, à medida que os efeitos multidimensionais se tornam maissignificativos.

2

16.3.2 SISTEMAS RADIAIS COM GERAÇÃO DE ENERGIA

A geração de energia pode ocorrer em várias formas geométricas radiais. Considere o cilindro sólido longoda Fig. 16.12, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica ou um elemento combustível deum reator nuclear. Em condições de regime permanente a taxa de geração de energia no interior do cilindrodeve ser igual à taxa de transferência de calor por convecção da superfície do cilindro para o fluido emmovimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja mantida com um valor fixo Ts.

Para determinar a distribuição radial de temperatura no cilindro, começaremos com a forma apropriada daequação do calor. Se seguirmos a mesma metodologia usada na Seção 16.1.2 para a parede plana, o balançode energia de um sistema diferencial será descrito no sistema unidimensional de coordenadas radiais (cilín-dricas). Com uma condutividade térmica constante, a equação do calor para um cilindro tem a forma

Separando as variáveis e supondo geração uniforme, essa expressão pode ser integrada para obtermos

Repetindo o procedimento, a solução geral para a distribuição de temperatura passará a ser

Figura 16.6 Configurações do tipo série-paralelo de parede composta com convecção nas duas superfícies e circui-tos térmicos equivalentes: (a) as superfícies perpendiculares à direção x são isotérmicas e (b) as superfícies paralelasà direção x são adiabáticas.

TABELA 16.2 Resistência de Contato Térmico de Interfaces Sólido/Sólido Representativas

Rt c� �, 104 Rt c� �, 104

Interface (m2 · K/W) Interface (m2 · K/W)

Chip de silício/alumínio sobreposto em ar 0,3–0,6 Alumínio/alumínio com 0,01–0,1(27-500 kN/m2)a revestimento metálico (Pb)

Chip de silício/alumínio com 0,02 mm 0,2–0,9 Alumínio/alumínio com lubrificante �0,07de cola epóxi Dow Corning 340 (�100 kN/m2)

Alumínio/alumínio com enchimento de �0,07 Aço inoxidável/aço inoxidável com �0,04lâmina de índio (�3500 kN/m2) lubrificante Dow Corning 340

(�3500 kN/m2)Aço inoxidável/aço inoxidável com �0,04 Bronze/bronze com 15-µm de solda 0,025–0,14

enchimento de lâmina de índio de estanho(�3500 kN/m2)

aRepresenta a pressão aplicada para unir as superfícies.

equação de calor:cilindro

3

Para obter as constantes de integração C1 e C2, aplicaremos as condições de contorno

A primeira condição resulta da simetria. Isto é, no cilindro sólido a linha central (eixo) é uma linha de si-metria para a distribuição da temperatura e o gradiente de temperatura deve ser zero. Lembre-se de quecondições semelhantes existiam no plano central de uma parede com condições de contorno simétricas (Fig.16.11b). De acordo com a condição de simetria em r � 0 e a Eq. 16.53, fica evidente que C1 � 0. Usandoa condição de contorno da superfície em r � ro com a Eq. 16.54, obteremos

Portanto, a distribuição de temperatura é

Avaliando a Eq. 16.55 na linha central e dividindo o resultado, obteremos a distribuição de temperatura naforma adimensional

onde To é a temperatura na linha central. É claro que a taxa de calor para qualquer valor de raio do cilindropode ser calculada com o uso da Eq. 16.55 com a lei de Fourier.

Para relacionar a temperatura na superfície, Ts, à temperatura do fluido frio, T�, podem ser usados obalanço de energia de uma superfície ou o balanço de energia global. Escolhendo a segunda opção,

� � �˙ ˙ ,E Eout g 0 obteremos

ou, arrumando os termos, encontraremos

Para determinar a temperatura radial da esfera, usaríamos a mesma abordagem do cilindro. No sistemade coordenadas radiais (esféricas), a fórmula apropriada da equação do calor para uma esfera é

que apresenta a solução geral

Figura 16.12 Condução em um cilindrosólido com geração de calor uniforme.

Fluido frio

Cilindro

equação do calor:esfera(16.58)

4

Devido à condição de simetria no centro e com uma temperatura especificada para a superfície, as condi-ções de contorno são

Portanto, a distribuição de temperatura é

Aplicando o balanço de energia global à esfera, obteremos a expressão relacionando a temperatura dasuperfície à temperatura do fluido frio

Esfera

Figura E16.5

Refrigerante

Tubo de aço inoxidável

Resíduo radioativo Circuito térmico equivalenterepresentando a condução no tubo e aconvecção em sua superfície externa

PERDAS POR RADIAÇÃO LOCALIZADAS

Perdas por radiação (krw � 20 W/m · K) ocorrem em um tubo de aço inoxidável (kss � 15 W/m · K) com raios interno eexterno iguais, respectivamente, a r1 � 200 mm e r2 � 250 mm. A perda produz uma taxa de geração uniforme de 1 � 105 W/m3, enquanto a superfície externa do tubo é exposta a escoamento de refrigerante no qual h � 500 W/m2 · K e T� � 25°C.Determine a temperatura máxima do sistema.

SoluçãoDados: Tubo resfriado na superfície externa apresenta perda por radiação com geração de energia uniforme.Determinar: A temperatura máxima no sistema.

Esquemas e dados fornecidos:

EXEMPLO 16.5

Hipóteses:1. Condições de regime permanente.2. Condução radial unidimensional.3. Perdas com geração volumétrica de energia uniforme.4. Propriedades constantes.

Análise: A temperatura máxima no sistema devido às perdas por radiação ocorrerá na linha central, T(0) � To. Pela Eq.16.55, para a distribuição de temperatura na perda onde r � 0, encontraremos

onde Ts,1 � T(r1). Se usarmos o circuito térmico mostrado na Figura E16.5, a taxa de calor por comprimento unitário do tubopode ser expressa como

5

onde R Rcond conv� �e representam as resistências de condução e convecção na parede do tubo, Eqs. 16.32 e 16.41, respectivamente

Do balanço de energia global devido às perdas, resulta

Rearrumando a Eq. 2 e substituindo os valores numéricos, a temperatura na superfície devido às perdas é

Portanto, a temperatura na linha central, Eq. 1, é

Figura 16.16 Aletas retas de seção transversal uniforme. (a) Aleta retangular. (b) Aleta piniforme. (c) Balanço deenergia em um sistema (elemento) diferencial ao longo da aleta reta.

16.4.1 ANÁLISE DE CONDUÇÃO-CONVECÇÃO

Estamos interessados principalmente em saber até que ponto superfícies estendidas específicas ou configura-ções particulares de aletas poderiam melhorar a transferência de calor de uma superfície para o fluido adja-cente. Para determinar a taxa de transferência de calor associada a uma aleta, primeiro precisamos obter adistribuição de temperatura ao longo dela. Como fizemos em análises de condução anteriores, definiremosum sistema (elemento) diferencial apropriado, identificaremos os processos relevantes e aplicaremos umbalanço de energia para obter uma equação diferencial, cuja solução fornecerá a distribuição de temperatura.

Considere as aletas retangulares reta e piniforme da Fig. 16.16a e b. A análise ficará mais simples secertas hipóteses forem admitidas. Optamos por presumir condições unidimensionais na direção longitudi-nal (x), ainda que na verdade a condução no interior da aleta seja bidimensional. No entanto, na prática asaletas são finas e as variações de temperatura na direção longitudinal são muito maiores do que as que ocorremna direção transversal. Logo, podemos presumir condução unidimensional na direção x. Vamos supor con-dições de regime permanente e também condutividade térmica constante. A troca de calor por radiaçãoproveniente da superfície será desconsiderada, e presumimos efeitos de geração ausentes e coeficiente detransferência de calor por convecção, h, uniforme sobre a superfície.

Aplicando o princípio da conservação de energia, Eq. 15.11a, ao elemento diferencial da Fig. 16.16c,obtemos

6

Pela lei de Fourier, a taxa de transferência de calor por condução em x é

onde Ac é a área da seção transversal. Se usarmos uma série de Taylor truncada, a taxa de calor por con-dução em x � dx pode ser expressa como

e substituindo-se na lei de Fourier para o cálculo de qx, deduz-se que

A taxa de transferência de calor por convecção pode ser expressa como

onde dAs é a área da superfície do elemento diferencial de extensão dx na direção x e P é o perímetro. Subs-tituindo as equações de taxa anteriores no balanço de energia, Eq. 16.61, obteremos

Para simplificar a forma dessa equação, transformaremos a variável dependente definindo um excesso detemperatura como

Como T� é uma constante, d/dx � dT/dx. Substituindo a Eq. 16.63 na Eq. 16.62, obteremos

onde o parâmetro de aleta, m, é definido como

A Equação 16.64 é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes cons-tantes. Sua solução geral é da forma

Por substituição pode ser verificado que na verdade a Eq. 16.66 é uma solução da Eq. 16.62.

excesso detemperatura

parâmetro de aleta, m

EXEMPLO 16.9HISTÓRICO DA TEMPERATURA EM FUNÇÃO DO TEMPO EM UMA PEÇA DE TRABALHO: OPERAÇÃO DE CURA

4. Em vez de tratar hrad como uma constante durante o processo de aquecimento, podemos gerar o balanço de energia, Eq.16.81, para incluir a equação da taxa de radiação, Eq. 15.7

Essa equação diferencial é difícil de resolver e calcular analiticamente. O Interactive Heat Transfer (IHT) inclui uma funçãointegral, DER(T, t), que pode ser usada para representar a derivada da temperatura em relação ao tempo fornecendo o recurso

7

de integrar numericamente equações diferenciais de primeira ordem. O balanço de energia teria a seguinte forma na Área detrabalho

Depois de pressionado o botão Solve (Calcular), a janela Diff/Integral Equations (Equações Dif/Integrais) aparecerá, iden-tificando a variável independente t e fornecendo caixas Start, Stop e Step (Início, Fim e Incremento) para a inserção dos limi-tes de integração e do incremento de tempo, t, respectivamente, assim como a Condição Inicial (IC, Initial Condition). Usandoesse método de solução para o exemplo, encontraremos tc � 124 s, que sugere que o valor do coeficiente de radiação linearfoi estimado apropriadamente. Lembrete: Use unidades de temperatura absoluta nos cálculos de balanço de energia. Consul-te o arquivo de seu CD-ROM chamado Coisas que você deve saber sobre o IT e o IHT para ver dicas especiais sobre o uso doIHT nessa situação.

A EQUAÇÃO DO CALOR: DEDUÇÃO

Na Seção 16.1.2 deduzimos a equação do calor em regime não-estacionário para condições unidimensionais(direção x), Eq. 16.2. Se tivermos propriedades constantes sem geração de calor, a equação do calor sereduzirá a

para a qual a difusividade térmica foi definida na Eq. 16.5 como

Para resolver essa equação diferencial e achar a distribuição de temperatura, T(x, t), é necessário especifi-car uma condição inicial e duas condições de contorno. Para a parede plana da Fig. 16.25, essas condiçõessão

A Equação 16.95 presume uma distribuição de temperatura uniforme no instante t � 0; a Eq. 16.96 refleteo requisito de simetria para o plano central da parede; e a Eq. 16.97 descreve a condição de superfície noinstante t � 0.

É claro que além de dependerem de x e t, as temperaturas da parede também dependem de vários parâ-metros físicos. Em particular

É vantajoso resolver o problema em forma adimensional. Isso pode ser feito reunindo as variáveis rele-vantes das equações principais em grupos adequados. Considere a variável dependente T. Se a diferença detemperatura � T � T� for dividida pela diferença máxima de temperatura possível, i � Ti � T�, a tem-peratura adimensional pode ser definida como

Portanto, * deve estar no intervalo 0 � * � 1. Uma coordenada espacial adimensional pode ser definidacomo

onde L é a metade da espessura da parede plana. O tempo adimensional

8

é definido de acordo com o número de Fourier, Eq. 16.92. Pela manipulação da condição de contorno emx � L, Eq. 16.97, o grupo adimensional que representa o número de Biot seria identificado por

Lembre-se que segundo a Eq. 16.88 o número de Biot é a razão entre a resistência térmica da conduçãodentro do sólido e a resistência à transferência de calor por convecção ao longo da camada-limite do fluido.

Na forma adimensional, agora a dependência funcional pode ser expressa como

Lembre-se que uma dependência funcional semelhante, sem a variação x*, foi obtida no método da capa-cidade concentrada, como mostrado na Eq. 16.93.

Comparando as Eqs. 16.98 e 16.103, torna-se evidente a vantagem considerável associada à resoluçãodo problema na forma adimensional. A Equação 16.103 sugere que para uma forma geométrica específi-ca, a temperatura transiente * é uma função universal de x*, Fo e Bi. Isto é, a solução adimensional as-sumirá uma forma prescrita que não dependa dos valores específicos de Ti, T�, L, k, ou h. Já que essageneralização simplifica bastante a apresentação e a utilização de soluções transientes, as variáveisadimensionais serão muito usadas em seções subseqüentes.

Figura 16.26 Cilindroou esfera infinitos comuma temperatura inicialuniforme sujeita a con-dições de convecção re-pentina.

EXEMPLO 16.10PAREDE PLANA SUBMETIDA A UM PROCESSO DE AQUECIMENTO REPENTINO POR CONVECÇÃO

3. Os resultados anteriores também poderiam ser obtidos se aplicássemos os gráficos de Heisler e Gröber do Apêndice TC-7. Por exemplo, se usarmos a Fig. TC-7.1 com Bi�1 � 0,40 e Fo � 0,516, o valor correspondente da temperatura no planocentral será de 85°C. Para x* � 1 e Bi�1 � 0,40, a Fig. TC-7.2 gera (L, 10min)/o(10 min) � 0,4. Deduz-se que a tempera-tura na superfície é

e o fluxo de calor na superfície é qL� � �3600 W/m2. Com Bi � 2,50 e Bi2Fo � 3,23, a Fig. HT-7.3 gera Q/Qo � 0,48.Substituindo na Eq. 16.108, deduz-se que a transferência de energia por área unitária é

Os resultados anteriores estão de acordo com os obtidos na estimativa de um único termo que é mais precisa.

16.5.3 SISTEMAS RADIAIS COM CONVECÇÃO

Para um cilindro ou esfera infinitos de raio ro (Fig. 16.26), que estejam em uma temperatura inicial unifor-me e sejam submetidos a condições repentinas de convecção, podem ser desenvolvidos resultados seme-lhantes aos da Seção 16.5.2. Isto é, uma solução exata através de série infinita pode ser obtida para a distri-buição de temperatura radial em função do tempo, mas uma estimativa de um único termo pode ser usadana maioria das condições. O cilindro infinito é uma idealização que permite a suposição de uma conduçãounidimensional na direção radial. É uma aproximação aceitável para cilindros com L/ro � 10.

DISTRIBUIÇÕES DE TEMPERATURA

Para o cilindro e a esfera infinitos, as soluções por série da equação do calor podem, mais uma vez, seraproximadas pelo termo de primeira ordem para Fo � 0,2. Portanto, como no caso da parede plana, a de-pendência da temperatura com relação ao tempo em qualquer local no interior do sistema radial é a mesmaencontrada na linha ou ponto centrais.

Cilindro Infinito A estimativa de primeira ordem para a distribuição adimensional da temperatura é

onde Fo � t/ro2 e rearrumando os termos

9

onde *o representa a temperatura adimensional na linha central e tem a forma

Os valores dos coeficientes C e � foram determinados e estão listados na Tabela 16.6 para um dado inter-valo de números de Biot. J0 é a função de Bessel de primeira espécie, de ordem zero, e pode ser calculadaem função de seu argumento na Tabela TC-6 ou com o uso da função intrínseca J0(x) do IHT.

Esfera A estimativa de primeira ordem para a distribuição adimensional da temperatura é

ou

onde *o representa a temperatura adimensional central e tem a forma

Os valores dos coeficientes C e � foram determinados e estão listados na Tabela 16.6 para um dado inter-valo de números de Biot.

TABELA 16.6 Coeficientes Usados na Estimativa de Primeira Ordem da Solução por Séries Referente à ConduçãoUnidimensional Transiente em Esfera e Cilindro Infinitos

Cilindro infinito Esfera

Bia � C � C

0,01 0,1412 1,0025 0,1730 1,00300,02 0,1995 1,0050 0,2445 1,00600,03 0,2439 1,0075 0,2989 1,00900,04 0,2814 1,0099 0,3450 1,01200,05 0,3142 1,0124 0,3852 1,01490,06 0,3438 1,0148 0,4217 1,01790,07 0,3708 1,0173 0,4550 1,02090,08 0,3960 1,0197 0,4860 1,02390,09 0,4195 1,0222 0,5150 1,02680,10 0,4417 1,0246 0,5423 1,02980,15 0,5376 1,0365 0,6608 1,04450,20 0,6170 1,0483 0,7593 1,05920,25 0,6856 1,0598 0,8448 1,07370,30 0,7465 1,0712 0,9208 1,08800,4 0,8516 1,0932 1,0528 1,11640,5 0,9408 1,1143 1,1656 1,14410,6 1,0185 1,1346 1,2644 1,17130,7 1,0873 1,1539 1,3525 1,19780,8 1,1490 1,1725 1,4320 1,22360,9 1,2048 1,1902 1,5044 1,24881,0 1,2558 1,2071 1,5708 1,27322,0 1,5995 1,3384 2,0288 1,47933,0 1,7887 1,4191 2,2889 1,62274,0 1,9081 1,4698 2,4556 1,72015,0 1,9898 1,5029 2,5704 1,78706,0 2,0490 1,5253 2,6537 1,83387,0 2,0937 1,5411 2,7165 1,86748,0 2,1286 1,5526 1,7654 1,89219,0 2,1566 1,5611 2,8044 1,9106

10,0 2,1795 1,5677 2,8363 1,924920,0 2,2881 1,5919 2,9857 1,978130,0 2,3261 1,5973 3,0372 1,989840,0 2,3455 1,5993 3,0632 1,994250,0 2,3572 1,6002 3,0788 1,9962

100,0 2,3809 1,6015 3,1102 1,9990� 2,4050 1,6018 3,1415 2,0000

aBi � hro/k para o cilindro e a esfera infinitos. Consulte a Fig. 16.26.

10

TRANSFERÊNCIA TOTAL DE ENERGIA

Como na parede plana da Seção 16.5.2, a conservação de energia pode ser usada para determinar a trans-ferência total de energia proveniente do cilindro ou esfera infinitos durante o intervalo de tempo de 0 a t.Substituindo nas soluções, que são as Eqs. 16.111b e 16.112b, e introduzindo Qo, que foi obtido na Eq.16.108, os resultados serão os seguintes.

Cilindro Infinito

Esfera

Os valores da temperatura central o* são determinados na Eq. 16.111c ou 16.112c, com o uso dos coefi-cientes do sistema apropriado encontrados na Tabela 16.6. J1 é a função de Bessel da primeira espécie, deordem um, e pode ser calculada em função de seu argumento na tabela TC-6 ou com o uso da função intrín-seca J1(x) do IHT.

CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS

Como na parede plana, os resultados anteriores podem ser usados para prever a resposta transiente de cilin-dros e esferas longos sujeitos a uma variação repentina na temperatura da superfície. Isto é, um número deBiot infinito é determinado e a temperatura do fluido T é substituída pela temperatura constante na super-fície Ts.

Representações gráficas das estimativas de primeira ordem são apresentadas no Apêndice TC-7.

EXEMPLO 16.11 TÊMPERA DE UMA PEÇA ESFÉRICA EM UM BANHO DE ÓLEO

Uma esfera de 10 mm de diâmetro, inicialmente em equilíbrio a 400°C em um forno, é repentinamente mergulhada em umbanho de óleo bem homogêneo operando a 20°C com coeficiente de transferência de calor por convecção de 6000 W/m2. Aspropriedades termofísicas do material são � � 3000 kg/m3, c � 1000 J/kg · K, � 6,66 � 10�6 m2/s e k � 20 W/m · K.Calcule o tempo tc necessário para que o centro da esfera resfrie até alcançar 50°C.

SoluçãoDados: Requisitos de temperatura para o resfriamento de uma esfera.Determinar: O tempo tc necessário para atender o requisito de resfriamento.

Esquema e Dados Fornecidos:

Hipóteses:1. Condução unidimensional na direção r.2. Propriedades constantes.

Análise: Para determinar se o método de capacitância concentrada pode ser empregado, o número de Biot será calculadocom o uso da Eq. 16.89, com Lc � ro/3

Banhode óleo

Esfera, ro � 5 mm

Figura E16.11

11

Portanto, o método de capacitância concentrada não é apropriado já que Bilcm � 0,1. Os efeitos espaciais são significativos ea estimativa de primeira ordem deve ser usada no cálculo. O instante tc em que a temperatura central atingirá 50°C, isto é,T(0, tc) � 50°C, pode ser obtido rearrumando a Eq. 16.112c

onde tc � Fo ro2/ . Na estimativa de primeira ordem o número de Biot é definido como

A Tabela 16.6 gera C � 1,376 e � � 1,800. Deduz-se que o número de Fourier seja

e o tempo necessário para a temperatura central atingir 50°C é

Observe que, com Fo � 0,88, o uso da estimativa de primeira ordem é apropriado.

Comentários: A temperatura na superfície da esfera quando tc � 3,3 s pode ser obtida a partir da Eq. 16.112c. Com o* �0,079 e r* � 1, obtemos

e

Observe que a diferença entre as temperaturas na superfície e no centro da esfera é de 14°C, portanto, os efeitos espaciais sãorealmente relevantes durante o processo de têmpera.

16.5.4 SÓLIDO SEMI-INFINITO

Outra forma geométrica simples para a qual podem ser obtidas soluções analíticas é o sólido semi-infinito.Já que, em princípio, esse tipo de sólido se estende ao infinito em todas as direções exceto uma, ele é carac-terizado por uma única superfície identificável (Fig. 16.27). Se uma mudança repentina nas condições forimposta a essa superfície, ocorrerá condução unidimensional transiente no interior do sólido. O sólido semi-infinito fornece uma idealização útil para muitos problemas práticos. Pode ser usado para determinar atransferência de calor transiente perto da superfície da Terra ou aproximar a resposta transiente de um só-lido finito, como uma chapa muito espessa.

A equação do calor para a condução transiente em um sólido semi-infinito é fornecida pela Eq. 16.2sem geração de energia ( ˙ ).q � 0 A condição inicial é T(x, 0) � Ti, e a condição do contorno interna é daforma

Isto é, a uma grande distância da superfície, a temperatura permanece com o valor inicial Ti durante o pro-cesso transiente.

Soluções de fórmula fechada foram obtidas para três condições de superfície importantes, instantanea-mente aplicadas em t � 0. Essas condições são mostradas na Fig. 16.27. Elas incluem (A) aplicação deuma temperatura constante na superfície Ts � Ti, (B) aplicação de um fluxo de calor constante na superfí-cie qo� e (C) exposição da superfície a um fluido caracterizado por T�� Ti e o coeficiente de convecção h.As distribuições de temperatura nesses três casos são mostradas na Fig. 16.27 e as soluções analíticas serãoresumidas a seguir.

12

Caso A Temperatura Constante na Superfície: T(0, t) � Ts

Caso B Fluxo de Calor Constante na Superfície: q qs o� � �

Caso C Convecção na Superfície:

Figura 16.27 Distribuições de temperatura transiente em um sólido semi-infinito com três condições de superfície:temperatura constante na superfície, fluxo térmico constante na superfície e convecção na superfície.

Caso (A) Caso (B) Caso (C)

Figura 16.28 Históricos da temperatura de um sóli-do semi-infinito com convecção na superfície.

13

A função de erro gaussiano, erf w, é definida no Apêndice TC-6, que também fornece valores tabuladospara o argumento w. A função de erro complementar, erfc w, é definida como erfc w � 1 � erf w. Essasfunções também podem ser calculadas com o uso das funções intrínsecas ERF(x) e ERFC(x) do IHT.

Os históricos de temperatura dos três casos são mostrados na Fig. 16.27 e características distintas de-vem ser observadas. Com uma variação em degrau na temperatura da superfície (caso A), as temperaturasdentro do meio físico se aproximarão uniformemente da temperatura de superfície Ts com t crescente, en-quanto a magnitude do gradiente de temperatura na superfície e, portanto, o fluxo de calor na superfíciediminui proporcionalmente com t�1/2. Ao contrário, para um fluxo de calor fixo na superfície (caso B), aEq. 16.117 revela que T(0, t) � Ts(t) aumenta uniformemente proporcionalmente a t1/2. Na convecção desuperfície (caso C), a temperatura da superfície e as temperaturas no interior do meio físico se aproximamda temperatura do fluido T� quando o tempo cresce. É claro que quando Ts tende a T�, há uma redução nofluxo de calor na superfície, q ts� ( ) � h[T� � Ts(t)]. Os históricos de temperatura específicos calculadosatravés da Eq. 16.118 foram representados na Fig. 16.28. O resultado correspondente a h � � é equivalen-te ao associado a uma mudança repentina na temperatura da superfície, caso A. Isto é, quando h � �, asuperfície atinge instantaneamente a temperatura imposta pelo fluido (Ts � T�) e, com o segundo termo dolado direito da Eq. 16.118 reduzido a zero, o resultado é equivalente ao da Eq. 16.115.

EXEMPLO 16.12TUBULAÇÃO HIDRÁULICA SUBMETIDA A UMA MUDANÇA REPENTINA NA TEMPERATURA DA SUPERFÍCIE

Na implantação de redes de distribuição de água em locais de clima frio, as instalações devem levar em conta a possibilidadede congelamento em épocas frias. Embora o problema de determinar a temperatura do solo em função do tempo seja compli-cada pela alteração das condições da superfície, estimativas razoáveis podem ser baseadas na suposição de uma temperaturaconstante na superfície por um período prolongado de tempo frio. Que profundidade mínima xm você recomendaria para evi-tar o congelamento sob condições em que o solo, inicialmente a uma temperatura uniforme de 20°C, ficasse sujeito a umatemperatura constante na superfície de �15°C por 60 dias?

SoluçãoDados: Temperatura imposta na superfície do solo inicialmente a 20°C.Determinar: Profundidade mínima da tubulação para evitar congelamento, xm.

Esquema e Dados Fornecidos:

Hipóteses:1. Condução unidimensional em x.2. O solo é um meio físico semi-infinito.3. Propriedades constantes.

Propriedades: Tabela TC-3, solo (300 K): � � 2050 kg/m3, k � 0,52 W/m · K, c � 1840 J/kg · K, � (k/�c) � 0,138 � 10�6 m2/s.

Análise: As condições prescritas correspondem às do caso A da Figura 16.27 e a resposta da temperatura transiente do soloé determinada pela Eq. 16.115. Portanto, no momento t � 60 dias após a mudança na temperatura da superfície,

Usando a tabela da função de erro do Apêndice TC-6, acharemos

e a profundidade mínima para evitar o congelamento da água no interior da tubulação será

Atmosfera

Solo

Tubulação de água

Figura E16.12

14

PROBLEMAS16.2 No sistema mostrado ocorre condução unidimensional em

regime permanente sem geração de energia. A condutividadetérmica é de 25 W/m · K e a espessura L é de 0,5 m.

16.13 A roupa protetora dos bombeiros, conhecida como ca-saco de revestimento, normalmente é construída como umconjunto de três camadas separadas por lacunas de ar, comomostrado na Fig. P16.13.

As dimensões representativas e as condutividades térmi-cas das camadas são as seguintes:

Figura P16.2

Determine os valores desconhecidos para cada caso da tabelafornecida e represente graficamente a distribuição de tempe-ratura, indicando a direção do fluxo térmico.

dT/dx q x�

Caso T1 T2 (K/m) (W/m2)

1 400 K 300 K2 100°C �2503 80°C �2004 �5°C 40005 30°C �3000

16.5 A distribuição de temperatura em uma parede de 0,3 m deespessura em um certo instante é T(x) � a � bx � cx2, onde Testá em graus Celsius e x em metros, a � 200°C, b � �200°C/m e c � 30°C/m2. A parede tem uma condutividade térmicade 1 W/m · K.(a) Baseando-se em uma superfície de área unitária, deter-

mine a taxa de transferência de calor para dentro e parafora da parede e a taxa de variação de energia térmica ar-mazenada por ela.

(b) Se a superfície fria for exposta a um fluido a 100°C, qualserá o coeficiente de transmissão de calor por convecção?

16.12 Considere uma parede composta que inclua um lado ex-terno de madeira dura de 8 mm de espessura, suportes de ma-deira dura de 400 por 130 mm em uma parte interna de 0,65 mcom isolamento de fibra de vidro (forrada de papel, 28 kg/m3),e revestimento com camada de gesso (vermiculita) de 12 mm.

Camada Espessura (mm) k(W/m · K)

Revestimento (s) 0,8 0,047Barreira úmida (mb) 0,55 0,012Forro térmico (tl) 3,5 0,038

Lado de madeira

Suporte

Isolamento térmico

Revestimento daparede

Figura P16.12

Qual é a resistência térmica associada a uma parede que tenha2,5 m de altura por 6,5 m de largura (tendo 10 suportes, cadaum com 2,5 m de altura)?

As lacunas de ar entre as camadas têm 1 mm de espessura, e ocalor é transferido por condução e troca de radiação através doar parado. O coeficiente de transmissão de calor por radiaçãolinear de uma lacuna pode ser estimado como hrad � �(T1 �T2) ( )T T1

222� � 4�T3

méd, onde Tméd representa a temperaturamédia das superfícies que compõem a lacuna e o fluxo de ra-diação que passa por ela pode ser expresso como q�rad � hrad

(T1 – T2).(a) Represente o casaco de revestimento como um circuito

térmico, nomeando todas as resistências térmicas. Cal-cule e tabule as resistências térmicas por área unitária (m2 ·K/W) para cada uma das camadas, assim como para osprocessos de condução e radiação nas lacunas. Conside-re o uso de um valor de Tméd � 470 K no cálculo aproxi-mado da resistência à transmissão por radiação das duaslacunas. Comente as magnitudes relativas das resistên-cias.

(b) No ambiente com perigo iminente de incêndio em queos bombeiros costumam trabalhar, normalmente o fluxoirradiante de calor no lado externo do casaco de revesti-mento é de 0,25 W/cm2. Qual será a temperatura na su-perfície externa do casaco se a temperatura na superfícieinterna for de 66°C, uma condição que resultaria em quei-madura?

Figura P16.13

Lado dofogo

Revestimento(s)

Lacunade ar

Lacunade ar

Barreiraúmida (mb)

Forrotérmico(tl)

Bombeiro

16.16 O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pormeio de um elemento de aquecimento transparente em formade película fina e transparente fixada à sua superfície interna.

15

Quando esse elemento é aquecido eletricamente, um fluxo tér-mico uniforme é gerado na superfície interna. A temperaturado ar e o coeficiente de transferência de calor por convecçãointernos são, repectivamente, Tx,i � 25°C e hi � 10 W/m2 · K,enquanto a temperatura externa e o coeficiente de transferên-cia de calor por convecção externo (ambiente) são, respecti-vamente, T�,o � �10°C e ho � 65 W/m2 · K. Em vidro traseirocom 4 mm de espessura, determine a energia elétrica necessá-ria por área unitária para manter a temperatura na superfícieinterna igual a 15°C.

16.21 Considere um transistor de potência encapsulado em umrevestimento de alumínio acoplado em sua base a uma placaquadrada de alumínio de condutividade térmica k � 240 W/m · K, espessura L � 6 mm e largura W � 20 mm (Fig. P16.21).O revestimento foi fixado à placa com parafusos que mantêmuma pressão de contato de 1 bar, e a superfície traseira da pla-ca dissipa calor por convecção natural e por radiação para o arambiente e para a vizinhança de grandes dimensões a T� �Tsur � 25°C. A superfície tem uma emissividade de ε � 0,9 eo coeficiente de transferência de calor por convecção é h � 4W/m2 · K. O revestimento está completamente fechado de talforma que se pode presumir a transferência de calor ocorren-do exclusivamente através da placa da base. Se a lacuna de arentre as superfícies de alumínio for caracterizada por uma áreade Ac � 2 � 10�4 m2 e uma resistência de contato térmico de

Rt,c� � 2,75 � 10�4 m2 · K/W, qual será a dissipação de ener-gia máxima permitida se a temperatura na superfície do reves-timento, Ts,c, não puder exceder 85°C? Dica: Considere, e de-pois justifique, hrad� 7,25 W/m2 · K.

16.26 Considere o tubo de raio r, mantido a Ti, revestido comisolamento de espessura t � r � ri e condutividade térmica kexperimentando convecção na superfície exposta (T�, h). O ob-jetivo deste problema é demonstrar que existe um raio de iso-lamento crítico rcr � k/h, abaixo do qual q� aumenta com r cres-cente e acima do qual q� diminui com r crescente.

Figura P16.21

InvólucrodotransistorTs,c, Pelét

Proteção

Placa da base, (k, ε)

Interface, Ac

16.25 Um condutor elétrico de 2 mm de diâmetro é isolado porum revestimento de borracha de 2 mm de espessura (k � 0,13W/m · K), e a superfície entre o fio e o revestimento é caracte-rizada por uma resistência de contato térmico de R t,c� � 3 �10�4 m2 · K/W. O coeficiente de transferência de calor por con-vecção na superfície externa do revestimento é igual a 10 W/m2 · K, e a temperatura do ar ambiente é de 20°C. Se a tempe-ratura do isolamento não puder exceder 50°C, qual será a ener-gia elétrica máxima aceitável que poderá ser dissipada por com-primento unitário do condutor?

Figura P16.26

Fluido

Isolamento térmico, k

Circuito térmico representando osprocessos de condução no isolamentoe convecção na superfície

(a) Desenvolva expressões para as resistências térmicas as-sociadas ao circuito térmico acima, assim como para aresistência térmica total por comprimento unitário, R�tot.

(b) Considere o caso em que ri � 5 mm, k � 0,055 W/m · Ke h � 5 W/m2 · K. Calcule e represente graficamente

R�cond, R�conv e R�tot em função da espessura do isolamen-to t � r � ri no intervalo 0 � t � 50 mm.

(c) Baseado em seu gráfico da parte (b) determine o raio emque a resistência total é mínima. Em que esse valor é com-parável à definição do raio de isolamento crítico rcr � k/h?

(d) Baseado em sua análise, explique em palavras por que oaumento na espessura do isolamento de um tubo poderiaaumentar a taxa de transferência de calor.

16.30 Um recipiente esférico usado como reator na produçãode medicamentos tem parede de aço inoxidável de 10 mm deespessura (k � 17 W/m · K) e diâmetro interno de 1 m. A su-perfície externa do recipiente está exposta ao ar ambiente(T� � 25°C) no qual um coeficiente de transferência de calorpor convecção de 6 W/m2 · K pode ser presumido.(a) Durante operação em regime permanente, uma tempera-

tura de 50°C na superfície interna é mantida pela ener-gia gerada dentro do reator. Qual é a perda térmica pro-veniente do recipiente?

(b) Se uma camada de 20 mm de espessura de isolamentoem fibra de vidro (k � 0,040 W/m · K) for aplicada à su-perfície externa do recipiente e a taxa de geração de ener-gia não se alterar, qual será a temperatura na superfícieinterna do recipiente?

16.31 Uma casca esférica composta com raio interno r1 � 0,25m é construída em chumbo (k � 35 W/m · K e MP � 601 K)de raio externo r2 � 0,30 m e aço inoxidável (k � 15 W/m · K)

Ar

16

de raio externo r3 � 0,31 m. A cavidade é preenchida comresíduos radioativos que geram energia a uma taxa de q̇ �5 � 105 W/m3. Propôs-se que o contêiner seja submerso no oce-ano a uma temperatura de T � 10°C e com um coeficiente deconvecção uniforme de h � 500 W/m2 · K na superfície exter-na. Há algum problema com relação a essa proposta?

16.39 Uma parede plana de espessura 2L e condutividade tér-mica k tem taxa volumétrica de geração de energia uniforme˙.q Como mostrado no esboço do caso 1, a superfície em x �

�L está totalmente isolada, enquanto a outra superfície é man-tida a uma temperatura uniforme constante To. No caso 2, umafaixa dielétrica muito fina é inserida no ponto central da pare-de (x � 0) para isolar eletricamente as duas seções, A e B. Aresistência térmica da faixa é Rt

n � 0,0005 m2 · K/W. Os pa-râmetros associados à parede são k � 50 W/m · K, L � 20 mm,q̇ � 5 � 106 W/m3 e To � 50°C.

(a) Calcule a temperatura na interface entre o fio e a capa ena superfície externa.

(b) Qual é a temperatura no centro do condutor?

16.42 A seção transversal de um elemento combustível cilín-drico longo em um reator nuclear é mostrada a seguir. A gera-ção de energia ocorre uniformemente na haste combustível detório, que tem diâmetro D � 25 mm e está envolvido por umrevestimento fino de alumínio.

Figura P16.30

Caso 1 Caso 2Faixa dielétrica fina, Rt�

(a) Represente graficamente, em coordenadas T � x a dis-tribuição de temperatura no caso 1 . Descreva as princi-pais características dessa distribuição. Identifique o lo-cal da temperatura máxima na parede e calcule-a.

(b) Represente graficamente a distribuição de temperatura nocaso 2 nas mesmas coordenadas T � x. Descreva as prin-cipais características dessa distribuição.

(c) Qual é a diferença de temperatura entre as duas paredesem x � 0 no caso 2?

(d) Qual é o local da temperatura máxima na parede com-posta do caso 2? Calcule essa temperatura.

CONDUÇÃO COM GERAÇÃO DE ENERGIA:SISTEMAS RADIAIS

16.40 Uma haste de aço inoxidável de 25 mm de diâmetro atra-vés do qual passa uma corrente elétrica experimenta geraçãode energia uniforme. A haste tem uma condutividade térmicade 15 W/m · K e resistividade elétrica de 0,7 � 10�6 � · m.Que corrente será necessária para manter a linha central dahaste a uma temperatura de 100°C acima da temperatura am-biente quando o coeficiente de convecção for de 25 W/m2 · K?

16.41 Um condutor cilíndrico longo de 200 mm de diâmetrocom condutividade térmica de 0,5 W/m · K experimenta gera-ção volumétrica de energia uniforme de 24.000 W/m3. O con-dutor está revestido por uma capa circular com diâmetro ex-terno de 400 mm e condutividade térmica de 4 W/m · K. Asuperfície externa da capa está exposta a escoamento direto dear a 27°C com coeficiente de convecção de 25 W/m2 · K.

Refrigerante

Hastecombustível

de tório

Revestimentofino de

alumínio

Figura P16.42

Foi proposto que, sob condições de regime permanente, o sis-tema opere com uma taxa de geração de q̇ � 7 � 108 W/m3 ecom T� � 95°C e h � 7000 W/m2 · K como características dosistema de arrefecimento. Essa proposta é satisfatória?

16.43 Características exclusivas de materiais biologicamenteativos como frutas, vegetais e outros produtos requerem cui-dado especial na manipulação. Após a colheita e a separaçãodas plantas produtoras, a glicose é catabolizada para produzirdióxido de carbono e vapor d’água com geração concomitan-te de energia. Considere uma caixa de maçãs, cada uma com80 mm de diâmetro, que é ventilada com ar a 5°C fornecendoum coeficiente de convecção de 7,5 W/m2 · K. Dentro de cadamaçã, energia é gerada uniformemente a uma taxa total de4000J/kg · dia. A massa específica e a condutividade térmicada maçã são 840 kg/m3 e 0,5 W/m · K, respectivamente.

Determine as temperaturas no centro e na superfície da maçã.

16.44 Resíduos radioativos (krw � 20 W/m · K) são armazena-dos em um contêiner esférico de aço inoxidável (kss � 15 W/m · K) de raios interno e externo iguais, respectivamente, ari � 0,5m e ro � 0,6 m. Energia é gerada volumetricamentenos resíduos a uma taxa uniforme de q̇ � 105 W/m3 e a super-fície externa do contêiner está exposta a um escoamento deágua para o qual h � 1000 W/m2 · K e T8 � 25°C.

Ar

Maçã, 80 mmde diâmetro

Figura P16.43

17

Figura P16.58

(a) Calcule as temperaturas externa e interna, respectivamen-te Ts,o e Ts,i.

(b) Qual é a temperatura máxima do sistema e onde está lo-calizada?

16.50 Considere o uso de aletas retangulares retas de aço ino-xidável (k � 15 W/m · K) em uma parede plana cuja tempera-tura é de 100°C. O fluido adjacente está a 20°C, e o coeficien-te de convecção associado é de 75 W/m2 · K. A aleta tem 6 mmde espessura e 20 mm de comprimento.(a) Calcule a eficiência, a efetividade e o fluxo térmico por

comprimento unitário da aleta.(b) Compare os resultados anteriores com os de uma aleta

fabricada em cobre puro (k � 400 W/m · K).

16.54 Uma haste muito longa de 5 mm de diâmetro econdutividade térmica k � 25 W/m · K é submetida a um pro-cesso de tratamento térmico. A parte central de 30 mm de com-primento é inserida na bobina de aquecimento por indução eexperimenta geração volumétrica de energia uniforme de7,5 � 106 W/m3.

coeficiente de convecção sobre a superfície da extremidade dabarra e as aletas piniformes é de 10 W/m2 · K.

Figura P16.44

Água

Resíduos radioativos,krw, q

Aço inoxidável,kss

Figura P16.54

Bobina de aquecimentopor indução

Região submetido aHaste muito longa,5 mm de diâmetro

As partes não aquecidas da haste, cujas extremidades saem dabobina de indução, experimentam convecção com o ar ambi-ente a T� � 20°C e h � 10 W/m2 · K. Admita que não hajaconvecção proveniente da superfície da haste no interior dabobina.(a) Calcule a temperatura To da haste em regime permanen-

te no ponto central da parte aquecida pela bobina.(b) Calcule a temperatura Tb da haste na extremidade da parte

aquecida.

16.57 A extremidade de uma barra retangular revestida de iso-lamento é mantida a 100°C e está exposta ao ar ambiente comomostrado na figura. Um conjunto linear de aletas piniformes(N � 10) é afixada à superfície da extremidade para aumentara taxa de transferência de calor proveniente da barra. As aletaspiniformes (k � 65 W/m · K) têm 3 mm de diâmetro e 12 mmde comprimento. A temperatura do ar ambiente é de 25°C, e o

Extremidade da barra, Tb

Aleta piniforme, N � 10

Ar

Figura P16.57

Determine o aumento percentual na taxa de transferência decalor associada à fixação das aletas piniformes na extremida-de da barra.

16.58 À medida que mais e mais componentes são inseridos emum mesmo circuito integrado (chip), o nível de dissipação deenergia tende a aumentar. Contudo, esse aumento está limita-do pela temperatura de operação máxima permitida ao chip,que é de aproximadamente 75°C. Para maximizar a transferên-cia de calor, foi proposto incluir uma série 4 � 4 de aletaspiniformes de cobre ligadas metalurgicamente à superfícieexterna de um chip quadrado que tem 12,7 mm de lado.

Vista superior

Chip

Resistênciado contato,

Vista lateral

Ar

Placa, kb

(a) Represente graficamente o circuito térmico equivalentedo conjunto pino-chip-placa, supondo condições unidi-mensionais em regime permanente e resistência de con-tato desprezível entre os pinos e o chip. Nomeie as resis-tências, temperaturas e taxas de calor apropriadas.

(b) Para as condições prescritas no Problema 16.20, qual éa dissipação máxima de energia Pe no chip quando ospinos estiverem instalados? Isto é, qual é o valor de Pe

para Tc � 75°C? O diâmetro e o comprimento do pinosão Dp � 1,5 mm e Lp � 15 mm.

16.59 Uma aleta anular de liga de alumínio (k � 180 W/m · K)e perfil retangular é acoplada à superfície externa de um tubocircular com diâmetro externo de 25 mm e temperatura nasuperfície de 250°C. A aleta tem 1 mm de espessura e 10 mm

Aletaspiniformes,

Dp

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de comprimento, e a temperatura e o coeficiente de convecçãoassociados ao fluido adjacente são de 25°C e 25 W/m2 · K, res-pectivamente.(a) Qual é o fluxo térmico por aleta?(b) Se 200 dessas aletas forem inseridas espaçadas de 5 mm

ao longo do tubo, qual será o fluxo térmico por metro detubo?

16.62 Uma esfera sólida de aço (AISI 1010), com 300 mm dediâmetro, é revestida com uma camada de material dielétricode 2 mm de espessura e condutividade térmica de 0,04 W/m ·K. A esfera revestida está inicialmente a uma temperatura uni-forme de 500°C sendo mergulhada repentinamente em umagrande banheira com óleo para o qual T� � 100°C e h � 3300W/m2 · K. Estime o tempo necessário para a temperatura daesfera revestida alcançar 140°C. Dica: Desconsidere o efeitoda energia armazenada no material dielétrico, já que suacapacitância térmica (�cV) é pequena comparada à da esferametálica.

16.65 Sistemas de armazenamento de energia normalmenteenvolvem um leito cheio de esferas sólidas, através das quaisescoa um gás quente quando o sistema estiver sendo carrega-do ou um gás frio quando ele estiver sendo descarregado (Fig.P16.65). Em um processo de carga, a transferência de calor pro-veniente do gás quente aumenta a energia térmica armazena-da dentro das esferas mais frias; durante a descarga, a energiaarmazenada diminui enquanto a transferência de calor ocorredas esferas mais quentes para o gás mais frio.

regime permanente? As propriedades do fio são � � 8000 kg/m3, c � 500 J/kg e k � 20 W/m · K.

16.72 O objetivo deste problema é desenvolver modelos térmi-cos para estimar a temperatura em regime permanente e o his-tórico da temperatura transiente do transformador elétricomostrado na Figura P16.72.

Figura P16.65

Gás

Leito comenchimento

Esfera

Considere um leito cheio de esferas de alumínio de 75 mm dediâmetro (� � 2700 kg/m3, c � 950 J/kg · K, k � 240 W/m ·K) e um processo de carga em que o gás entra na unidade dearmazenamento a uma temperatura Tg,i � 300°C. Se a tempe-ratura inicial das esferas for Ti � 25°C e o coeficiente deconvecção for h � 75 W/m2 · K, quanto tempo demorará parauma esfera próxima à entrada do sistema acumular 90% daenergia máxima possível? Qual será a temperatura correspon-dente no centro da esfera? Há alguma vantagem em usar co-bre em vez de alumínio?

16.71 Um fio longo de diâmetro D � 1 mm é submerso em umbanho de óleo à temperatura T�� 25°C. O fio tem uma resis-tência elétrica por comprimento unitário de Re�� 0,01 �/m.Se uma corrente de I � 100 A escoar através do fio e o coefi-ciente de convecção for h � 500 W/m2 · K, qual será a tempe-ratura do fio em regime permanente? Durante o tempo em quea corrente for aplicada, quanto demorará para o fio alcançaruma temperatura que corresponda a 1°C abaixo do valor de

A forma geométrica externa do transformador é aproximada-mente cúbica, com 32 mm de aresta. A massa composta de ferroe cobre do transformador é de 0,28 kg, e o calor específicomédio de 400 J/kg · K. O transformador dissipa 4,0 W e estáoperando em ar ambiente a uma temperatura de T� � 20°C ecoeficiente de convecção de 10 W/m2 · K. Dica: Consulte oProblema 16.69 para saber a resposta da temperatura nessesistema quando ele apresenta geração interna de energia e re-sistência de convecção externa.(a) Estime o tempo necessário para o transformador chegar

à temperatura de 5°C abaixo do valor de regime perma-nente.

(b) O método da capacitância concentrada é válido nessaaplicação? Sua estimativa do tempo necessário é otimis-ta?

16.75 A parede de 150 mm de espessura de um forno a gás foiconstruída com tijolos de barro refratário (k � 1,5 W/m · K,� � 2600 kg/m3 e c � 1000 J/kg · K) e isolada termicamenteem sua superfície externa. A parede se encontra a uma tempe-ratura inicial uniforme de 20°C, quando os queimadores sãoacionados e a superfície interna é exposta a produtos de com-bustão para os quais T� � 950°C e h � 100 W/m2 · K. Quantotempo demorará para a superfície externa da parede atingir umatemperatura de 750°C?

16.78 A resistência e a estabilidade dos pneus podem ser au-mentadas pelo aquecimento dos dois lados da borracha (k �0,14 W/m · K, � 6,35 � 10�8 m2/s) em uma câmara de va-por na qual T� � 200°C. No processo de aquecimento, umaparede de borracha de 20 mm de espessura (supondo-se queainda não tenha sido usada) é levada de uma temperatura ini-cial de 25°C até uma temperatura de 150°C no plano central.Se escoamento de vapor sobre as superfícies do pneu manti-ver um coeficiente de convecção h � 200 W/m2 · K, quantotempo demorará para que seja atingida a temperatura deseja-da no plano central?

16.80 Placas de circuito impresso de fibra de vidro com epóxie revestidas de cobre são tratadas termicamente quando umapilha delas é aquecida sob alta pressão como mostrado na Fig.P16.80. A finalidade da operação de compressão-aquecimen-

Figura P16.72

19

to é curar a cola que liga as lâminas de fibra de vidro, forne-cendo rigidez às placas. A pilha, conhecida como bloco, é com-posta de placas e lâminas de compressão, que impedem a colade escoar entre as placas e fornecem um acabamento unifor-me das placas curadas. As prensas nas partes superior e inferi-or da pilha são mantidas a uma temperatura uniforme por meiode um fluido circulante. A cura é atingida após a cola ser man-tida em 170°C ou acima por pelo menos 5 min. As proprieda-des termofísicas efetivas da pilha ou bloco são k � 0,613 W/m · K e �c � 2,73 � 106 J/m3 · K.

1600 W/m2 · K. Após 35 s, a barra é revestida com um isolantetérmico e não experimenta perdas de calor. Qual será a tempe-ratura da barra depois de um longo intervalo de tempo?

16.85 No tratamento térmico para endurecer superficialmenterolamentos de esferas de aço (c � 500 J/kg · K, � � 7800 kg/m3, k � 50 W/m · K), é recomendável aumentar a temperaturana superfície por um período curto sem aquecer significativa-mente o interior da esfera. Esse tipo de aquecimento pode serobtido pela imersão brusca da esfera em um banho de sal der-retido a uma temperatura de T� � 1300 K e h � 5000 W/m2 ·K. Suponha que nenhum local dentro da esfera cuja tempera-tura exceda 1000 K será endurecido. Estime o tempo necessá-rio para endurecer a superfície externa com espessura milimé-trica de uma esfera de 20 mm diâmetro, se sua temperatura ini-cial for de 300 K.

16.86 Em um processo de fabricação de pequenas esferas devidro (k � 1,4 W/m · K, � � 2200 kg/m3, c � 800 J/kg · K) de3 mm de diâmetro, as esferas são suspensas em um fluxo de ardirecionado para cima que se encontra a T�� 15°C e mantémum coeficiente de convecção h � 400 W/m2 · K. Se as esferasestiverem a uma temperatura inicial Ti � 477°C, quanto tem-po elas devem ficar suspensas para atingir uma temperaturacentral de 80°C? Qual será a temperatura correspondente nasuperfície?

16.87 Foi proposto o mergulho de rolamentos de esferas de açode diâmetro D � 0,2 e temperatura inicial Ti � 400°C em umacâmara de ar frio. O ar na câmara é mantido a �15°C por umsistema de refrigeração, e as esferas de aço passam por ela emuma esteira transportadora. Um nível ótimo de produção deesferas requer que 70% do conteúdo inicial de energia internaacima de �15°C na esfera seja removido. Os efeitos da trans-ferência de calor por radiação podem ser desconsiderados, e ocoeficiente de transferência de calor por convecção dentro dacâmara é de 1000 W/m2 · K. Estime o tempo de permanênciadas esferas dentro da câmara e recomende a velocidade da es-teira transportadora. As propriedades a seguir podem ser usa-das para o aço: k � 50 W/m · K, � 2 � 10�5 m2/s e c � 450J/kg · K.

Se o bloco estiver inicialmente a 15°C e, após a aplicação depressão, as prensas forem repentinamente trazidas para umatemperatura uniforme de 190°C, calcule o intervalo de tempote necessário para o plano central do bloco alcançar a tempera-tura de secagem de 170°C.

16.81 Considere a unidade de armazenamento de energia doProblema 16.64, mas com um material de alvenaria com � �1900 kg/m3, c � 800 J/kg · K e k � 0,70 W/m · K usado nolugar do alumínio. Quanto tempo demorará para que ela atinja75% do armazenamento de energia máximo possível? Quaisserão as temperaturas máxima e mínima da alvenaria nesse ins-tante?

CONDUÇÃO TRANSIENTE: SISTEMAS RADIAIS

16.82 Barras cilíndricas de aço (AISI 1010), com 50 mm dediâmetro, são tratadas termicamente ao serem inseridas em umforno de 5 m de comprimento em que o ar é mantido a 750°C.As barras entram a 50°C e atingem uma temperatura de 600°Cna linha central antes de sair. Para um coeficiente de convecçãode 125 W/m2 · K, estime a velocidade com que as barras de-vem ser inseridas no forno.

16.83 Um cilindro longo de 30 mm de diâmetro, inicialmentea uma temperatura uniforme de 1000 K, é instantaneamentemergulhado em um grande banho de óleo com temperaturaconstante de 350 K. As propriedades do cilindro são k � 1,7W/m · K, c � 1600 J/kg e � � 400 kg/m3, enquanto o coefici-ente de convecção é de 50 W/m2 · K. Calcule o tempo neces-sário para a superfície do cilindro alcançar 500 K.

16.84 Uma barra longa de 40 mm de diâmetro, fabricada a par-tir da safira (óxido de alumínio) e inicialmente a uma tempe-ratura uniforme de 800 K, é resfriada bruscamente por um flui-do a 300 K com um coeficiente de transferência de calor de

CONDUÇÃO TRANSIENTE: O SÓLIDO SEMI-INFINITO

16.88 Uma placa espessa de aço (�� 7800 kg/m3, c � 480 J/kg · K e k � 50 W/m · K) se encontra inicialmente a 300°C eé resfriada por jatos de água que colidem em uma de suas su-perfícies. A temperatura da água é de 25°C, e os jatos mantêmum coeficiente de convecção aproximadamente uniforme e ex-tremamente alto na superfície. Supondo que a superfície sejamantida à temperatura da água em todo o processo de resfria-

Figura P16.80

Força aplicada

Prensa

Prensas comfluido circulante

Placa de compressãode metal

Placa docircuito impresso

Rolamentode esferas Ar frio

Esteira transportadora

Compartimentoda câmara

Figura P16.87

20

mento, quanto tempo demorará para a temperatura alcançar50°C a uma distância de 25 mm da superfície?

16. 89 Pavimento asfaltado pode atingir temperaturas tão altasquanto 50°C em um dia quente de verão. Suponhamos que essamédia de temperatura estivesse presente em todo o pavimen-to, quando repentinamente uma tempestade reduz a tempera-tura na superfície para 20°C. Calcule a quantidade total de ener-gia (J/m2) que será transferida do asfalto em um período de 30min no qual a superfície será mantida a 20°C.

16.90 Um ladrilho metálico para pisos é composto de uma pla-ca aquecedora maciça mantida a 150°C por um aquecedor elé-trico interno. O aquecedor é colocado em contato com o ladri-lho para amolecer a cola adesiva, permitindo que este seja fa-cilmente erguido separando-se da base. A cola ficará suficien-temente mole se aquecida acima de 50°C por pelo menos 2 min,mas sua temperatura não deve exceder 120°C para evitar adeterioração. Suponha que o ladrilho e a base tenham uma tem-peratura inicial de 25°C e propriedades termofísicas equiva-lentes k � 0,15 W/m · K e �cp � 1,5 � 106 J/m3 · K.

Se o fio estiver inicialmente a 25°C e um escoamento de gásem que h � 200 W/m2 · K e T� � 300C for iniciado, qual seráa temperatura do ponto de fusão do revestimento se observar-mos a fusão ocorrer em t � 400 s?

16.93 Padrões para paredes à prova de fogo podem ser basea-dos em sua resposta térmica a um determinado fluxo irradiantede calor. Considere uma parede de concreto de 0,25 m de es-pessura (� � 2300 kg/m3, c � 880 J/kg · K e k � 1,4 W/m ·K), que se encontra a uma temperatura inicial de Ti � 25°C. Aparede é exposta a energia térmica radiante em uma das su-perfícies por meio de lâmpadas que fornecem um fluxo térmi-co uniforme q s� � 104 W/m2. A absortividade da superfície àirradiação é de s � 1,0. Se requisitos das normas de constru-ção definirem que as temperaturas das superfícies iluminada etraseira não devem exceder 325°C e 25°C, respectivamente,após 30 min de aquecimento esses requisitos terão sido aten-didos?

Quanto tempo será necessário para que a cola fique suficien-temente mole e o ladrilho possa ser erguido? A temperaturada cola excederá 120°C?

16.91 Uma parede espessa de carvalho, inicialmente a 25°C, érepentinamente exposta a produtos de combustão para os quaisTi � 800°C e h � 20 W/m2 · K. Determine o tempo de exposi-ção necessário para a superfície atingir a temperatura de com-bustão de 400°C.

16.92 Um procedimento simples para a medição de coeficien-tes de transferência de calor por convecção em uma superfícieenvolve revestir a superfície com uma fina camada de materi-al que tenha uma temperatura exata de ponto de fusão. Em

seguida, a superfície deve ser aquecida e, pela determinaçãodo tempo necessário para que a fusão ocorra, o coeficiente deconvecção será determinado. A montagem experimentalesboçada na Figura P16.92 usa o procedimento para determi-nar o coeficiente de convecção de um escoamento de gás per-pendicular a uma superfície. Especificamente, uma haste lon-ga de cobre é encapsulada em um superisolador decondutividade térmica muito baixa, e um revestimento muitofino é aplicado à sua superfície exposta.

Figura P16.90

Ladrilho, 4 mm de espessura

Base

Figura P16.92

Escoamentode gás

Revestimento da superfície

Superisolador

Haste de cobre,k � 400 W/m · K, � 10�4 m2/s