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Universidade do Sul de Santa CatarinaUnidade Acadêmica Tecnológica- UNITECDisciplina de Fenômenos de Transporte I

FENÔMENOS DE TRANSPORTE I

Introdução

Fenômenos de Transporte I ou Mecânica dos Fluidos é uma disciplina que estuda o movimento dos fluidos e as forças responsáveis pelo movimento. Pode-se definir fluído como uma substância que se deforma continuamente sob a ação de uma tensão de cisalhamento.

A disciplina de Mecânica dos Fluídos é importante para o entendimento de muitos processos de Engenharia, sendo ela uma disciplina base do currículo das Engenharias.

1 Sistema de Unidades

Unidades Fundamentais: são medidas independentes umas das outras, e são suficientes para descrever quantidades físicas essenciais.

Unidades Derivadas: são desenvolvidas a partir das unidades fundamentais.Durante os estudos serão vistas unidades em quatro sistemas : SI (Sistema

Internacional de Unidades), SAE ( Sistema Americano de Unidades de Engenharia), USCSL (Sistema convencional dos EUA) e o Sistema Inglês de Unidades.

Tabela I – Unidades do SIQuantidade Física Nome da Unidade Símbolo Definição

Unidade Fundamental

Comprimento Metro mMassa Quilograma KgTempo Segundo sTemperatura Kelvin KQuantidade Molar Quilograma mol Kgmol

Unidades Derivadas

Energia Joule J Kg.m2.s-2 Pa.m3

Força Newton N Kg.m.s-2 Joule/mPotência Watts W Kg.m2.s-3Joule/s

(Watts)Densidade Quilograma por

metro cúbicoKg/m3 Kg/m3

Velocidade Metro por segundo m/s m/sPressão Newton por metro

quadrado ou Pascal

N/m2 ou Pa N/m2 Pascal

Volume Litro L Ldm3

1Profª Maria Lúcia Soares Cochlar Elaborada por Daniela De Nez em 2010


1.1 Conversões de Unidades

Unidade de Comprimento: 1” -------- 2,54cm1’ --------30,48cm1m ------100cm1m -----1000mm

Unidades de Massa: 1Kg -----1000g1lbm ----0,45359Kg1slug ---14,5939Kg1slug ---32,2lbm

Unidade de Força: F=m.a

• No sistema Internacional F=Kg.m.s-2 = N• No sistema Inglês F=lbm.ft.s-2 = poundal (pdl)• No sistema SAE F=lbm.ft.s-2 /gc= lbf• No sistema USCSL F= slug.ft.s-2 = lbf

1 lbf --------4,4482N1poundal ---0,13825N1Kgf ---------9,81N onde Kgf=UTM.m.s-2=F

Unidade de Pressão: N.m-2 =Pa (SI)Lbf.ft-2 =PSF (USCSL)Lbf.pol-2 =psi (SAE)pdl.ft-2 (Sistema Inglês)kgf.m-2 ou kgf.cm-2

760mmHg----1atm---101.325Pa---1,01325bar---1,033Kgf.cm-2---10328Kgf.m-

2---14,7psi---10,34m.c.a---68039,6pdl.ft-2---2.116,8 psf

Unidade de Potência: watts=J/s=N.m.s-1 (SI)lbf.ft.h-1 (SAE)

1hp---746watts---736cv1hp---550lbf.ft/s

Aceleração da Gravidade: 9,81m/s --- 32,185ft/s

Massa Específica da Água:



1g/cm-3---1000Kg/m3---62,4lbm/ft3---1,937slug/ft3

Temperatura: °C + 273= K (ºF – 32) 5/9 = ºC

2 Propriedades no Ponto

2.1 Densidade do Ponto (Massa específica)

Ex: Calcular a densidade da água: d=(1000kg.m-3)/ (1000kg.m-3) =1

Ex: Massa específica de um óleo : óleo = d. água

óleo = 0,8.1000kg/m-3=800kg/m-3

A natureza de um fluído é representada pelo contínuo.O contínuo é uma quantidade para qual uma média estatística comprove a

sua representatividade da população ou, em outras palavras, o contínuo deve representar a natureza do fluído.

As propriedades dos fluídos mais comum são: , μ,k,cp.

2.2 Pressão no Ponto em um Fluido Estático

A soma das forças que atuam em um fluído estático são as da gravidade e de pressão e deve ser igual a zero através do fluido. Considere um fluído elementar de tamanho diferencial colocado em um sistema de coordenadas inercial, conforme figura abaixo:



ΣF=0Peso=m.gPeso= .volume.gDesignando P1=P|x P3=P|z+Δz P5=P|y

P2=P|x+Δx P4=P|z P6=P|y+Δy

.g.(Δx.Δy.Δz)+(P|x-P|x+Δx) Δy. Δz+( P|y- P|y+Δy) Δx. Δz+( P|z- P|z+Δz). Δx. Δy=0. Dividindo todos os termos por Δx. Δy. Δz e levando ao limite:

Levando a equação ao limite:

PS: Quando adotamos diâmetros menores para o vaso, dx e dz=0

Portanto: ΔP= .g.h

2.2.1 Pressão Manométrica e Pressão Absoluta

A pressão manométrica ou pressão efetiva é informada pelo manômetro de um determinado equipamento ou sistema, sendo que ele informa a pressão interna do sistema sem levar em conta a pressão externa.

A pressão absoluta é a soma da pressão manométrica, mais a pressão externa (atmosfera local).

Pmanométrica=Pgage=psigPsia=Pabsoluta=PMan+Patm.

Pa=PM+Patm

2.2.2 Experimento de Torricelli

No experimento de Torricelli, foi colocado mercúrio em um tubo com uma extremidade aberta (a) e outra fechada (b), em seguida foi fechado o tubo que tinha mercúrio e foi emborcado o tubo verticalmente em uma cuba contendo mercúrio. Quando foi retirada a tampa do tubo o mercúrio desceu até o ponto E ficando a uma altura de 760mm (ao nível do oceano e gravidade 9,81m/s2) (c). Acima do ponto E da coluna de mercúrio existe um espaço vazio que é chamado de vácuo parcial, ou



seja, com pressão praticamente nula pois, a pressão de vapor do mercúrio é desprezível nestas condições.

Como os pontos B’ e B estão no mesmo nível, eles possuem a mesma pressão ou seja, como a altura piezométrica no ponto B é 760mm, a pressão em B’ também é de 760mm de coluna de mercúrio. Veja ilustração:

Designando:Po=PB’=PB=PE+ Hg.g.hOnde PE=0 (Vácuo parcial)

Hg= 13,6 vezes a da água= 13.600kg/m3

PB= 0+13600kg/m3.9,81m/s.0,76m PB=101.321,604Pascal=PB’=Po, pois estão todos no mesmo nível.

PS: A medida que descemos na coluna de fluido (um ponto mais profundo em relação à superfície), tendo como referência a pressão da superfície, o valor da nova pressão aumenta, por isso, soma-se a pressão inicial + .g.h.

A medida que subimos na coluna de fluido (um ponto mais próximo à superfície), tendo como referência um ponto mais profundo, devemos diminuir da pressão inicial o termo - .g.h.

2.3 Exercícios Resolvidos

1-Calcule a Pressão absoluta e manométrica no ponto 1 da figura apresentada.



Resolução:

P1= Patm+ .g.h (Pressão Absoluta)P1=101.300Pa+1000Kg/m3.9,81m/s2.10mP1= 199.400Pa

P1= Patm+ .g.h Pressão manométricaP1= 0+1000Kg/m3.9,81m/s2.10mP1= 98.100Pa

2- Calcule qual a altura h da figura, sabendo que a pressão manométrica no ponto A é de 1,5kgf/cm2, que a densidade do óleo é de 0,8 e a do mercúrio é de 13,6.

Resolução:

1,033kgf/cm2 101300Pa1,5kgf/cm2 X=147095,84Pa

óleo = d. água

óleo = 0,8. (1000kg/m-3)=800kg/m-3

Hg = d. água

Hg = 13,6. (1000kg/m-3)=13600kg/m-3

PA+ oleo.g.h - Hg.g.h=PATM

147095,84Pa+800Kg/m3.9,81m/s2.(0,8+h) - 13600Kg/m3.9,81m/s2.(h)=0147095,84Pa+6278,4Pa+7848.h-133416h=0h=1,22m



Exercícios Propostos

1 – Para uma pressão manométrica de -1000kgf/m2, qual a densidade do fluído B? (Resposta=1)

2 – Um aumento de pressão no reservatório R da figura abaixo ocasiona um rebaixamento do nível D para a posição B. Com isso, a água sobe na tubulação inclinada T do micromanômetro, desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e do tubo T tem áreas AR=3200mm2 e AT =80mm2, respectivamente, calcule a diferença de pressão entre B e C.

(Resposta= 4738,23Pa)

3 – Dada a figura abaixo. Calcule as pressões em m.c.a nos pontos B, C e D.. A densidade da água é 1 e a do óleo é 0,895.

(Resposta: PB=2,7m.c.a; PC=1,6m.c.a; PD= 0,526m.c.a)



4 – O sistema ar-óleo-água da figura abaixo está a 70ºF. O manômetro A indica 16,1 psig ou lbf/in2 e o manômetro B indica 2 psig a menos do que o manômetro C. Calcule : - A massa específica do óleo em lbm/ft3 e em Kg/m3.- A leitura dos manômetros C e B em psig.(Resposta: óleo=804,666Kg/m3 ou 50,2438lb/ft3 ; PB=16,7983psig ; PC=18,7983psig)

5 - Os reservatórios A e B contém água e estão submetidos a pressões de 30psi e 15 psi respectivamente. Qual o valor da deflexão de Hg (começa em C e termina em D) em ft?

(Resposta: h=3,3793ft)



6 – Conforme figura abaixo, o manômetro M fornece uma pressão de -0,122kgf/cm2. Obtenha os valores de y e z (coluna A); da coluna B calcule o valor da altura entre G e H e o valor de z, na coluna C. Calcule a altura de J até I e z, na coluna K; calcule o valor de Hm. (Resposta: Coluna A (y=1,355m;z=908,645m); Coluna B(y=1,48m;z=908,48m); Coluna C (y=2,90m;z=907,9m); Coluna K (Hm=0,62356m);

7 - Determinar a pressão efetiva do gás nos 2 reservatórios da figura;(Resposta: Gás A (PA= -20012,4Pa); Gás C (Pc= -6278,4Pa) )



8 – Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A e B em um tubo horizontal, no qual escoa H2O. A deflexão do Hg no manômetro é de 576mm, o nível mais próximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferença de pressão entre as seções A e B em kgf/m2.

(Resposta: ΔP=7258,8667kgf/m2)

9 - A perda através do dispositivo X deve ser medida por um manômetro diferencial usando um óleo de densidade 0,75 como fluido indicador. O líquido que escoa tem uma densidade de 1,50. Determine a diferença de pressão entre A e B para a deflexão do óleo indicado.

(Resposta: ΔP=33108,75Pa)

10 – Dada a figura abaixo, calcule a pressão do ar interno do tanque, sabendo que o manômetro está indicando 5psig.

(Resposta: 32960,7383Pa)



3 Descrição de um fluído em movimento

Existem três leis físicas fundamentais que podem ser aplicadas a um fluxo de um fluido de qualquer natureza. Elas são:

• Lei da conservação de massa.• Segunda Lei de Newton do Movimento.• Primeira lei da termodinâmica (Lei da conservação de Energia).

Existem duas formas de representação de um campo de fluxo de um fluído. A forma de Lagrange e a forma de Euler.

Campo: Quantidade definida em função da posição e do tempo através de uma dada região.

Exemplo da representação do campo da forma de La Grange: v=v(a,b,c,t);Exemplo da representação do campo da forma de Euler: v=v(x,y,z,t) Adotar-

se-á a forma de Euler pois nela todas as variáveis são independentes.Um fluxo de um fluido é dito estacionário quando, em qualquer ponto do

fluido, as propriedades não variam com o tempo.Já em um fluxo transiente, em algum ponto do fluxo, uma das propriedades

varia com o tempo. Ex: , temperatura, μ, etc.É possível transformar um fluxo transiente em um fluxo estacionário pela

escolha de um novo sistema de coordenadas. Vejamos a ilustração abaixo, onde, dependendo da coordenada, o fluxo se torna transiente ou estacionário.



3.1 Linha de Fluxo

É a linha tangente ao vetor velocidade desenhada em cada ponto do fluxo de um fluido.

(a)Linha de fluxo de uma elipse

(b) Linha de fluxo de uma semi-elipse

Na figura (b), no ponto 1 temos uma zona de baixa pressão e velocidade maior, pois as flechas do fluxo tem que chegar juntas com as flechas do fluxo 2 que possui um zona de alta pressão e velocidade menor.



(c) Linha de fluxo de um barco trafegando na água

Na figura (c) no ponto 1, temos uma maior turbulência e uma força que puxa o barco para trás.

Um sistema é definido como uma quantidade de matéria de identidade fixa. Já um volume de controle é uma região no espaço através da qual um fluido flui. Dentro de um volume de controle a massa ou a matéria pode mudar, a natureza energética também, mas a forma é fixa. O volume de controle pode ser finito ou infinitesimal. Ex:

3.2 A Lei de Conservação de Massa

Aplicando a lei da conservação de massa a um volume de controle (V.C) no campo de fluxo de um fluido, podemos afirmar que:

(Taxa de massa que sai do V.C) – (Taxa de massa que entra no V.C) + (Taxa acumulada no V.C) =0

Sai - Entra=AcúmuloSai - Entra=0 ( estado estacionário)



A expressão abaixo representa a Lei da Conservação de massa aplicada ao fluido em movimento, também é chamada de equação da continuidade.

3.2.1 Formas especiais da equação da continuidade

Caso 1: Se o fluxo do fluido ocorrer no Estado Estacionário a equação fica:

Caso 2: Se o fluxo ocorrer no estado estacionário e incompreensível ( = constante).

Caso 3: Integrando para um V.C. com áreas A1 e A2 de entrada e saída do fluido: no caso de 1A1v1 na entrada do volume de controle e 1A2v2 na saída do volume de controle.

1A1v1= 2A2v2= 3A3v3= nAnvn e se for constante:

A1v1= A2v2=A3v3=constante v.A=m/s.m2=Q(m3/s)=constante em todos os pontos do fluxo.

3.3 Segunda Lei de Newton do Movimento

“A taxa de mudança do movimento de um sistema é igual à força líquida que atua no sistema e toma lugar na direção da força”.

Substituiu-se a equação da continuidade no valor (dm/dt) e acrescentou-se a velocidade nas integrais.



3.4 Lei da Conservação de Energia

A primeira lei da termodinâmica afirma que “Se um sistema é conduzido através de um ciclo, o calor total adicionado no sistema a partir de seus arredores é proporcional ao trabalho feito pelo sistema nos seus arredores”. Aplicando a lei da conservação de energia para um volume de controle localizado no campo de fluxo de um fluido e designando uma quantidade “e” como a energia específica do sistema ou a energia por unidade de massa de fluido, podemos escrever:

(A) – (B) = (C) – (D) + (E)

(A)= Taxa de adição de calor no volume de controle;(B)= taxa de trabalho feito pelo V.C;(C)= Taxa de energia que sai do V.C;(D)=Taxa de energia que entra no V.C;(E)= Taxa de acumulação de energia dentro do V.C;

Descrevendo a 1ª Lei da Termodinâmica tem-se a seguinte equação:

Onde: Ws=Wshaft=Weixo ; P/ = Pressão Dinâmica do sistemaWμ=Wviscosidade ; e=energia do sistema

3.4.1 Casos Especiais

Caso 1: Encontre a expressão da lei da conservação de energia aplicada a um volume de controle (figura abaixo), sabendo que o fluxo do fluído ocorre em estado estacionário e não há perdas por fricção.



Sendo que: v2/2 = energia cinética ;u= energia interna do sistema;g.h= energia potencial;

Como 1A1v1= 2A2v2=m (taxa) (segundo a conservação de massa.

Caso 2: Equação de Bernoulli

A expressão da primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle da figura abaixo onde o fluxo é estacionário, incompreensível, sem viscosidade, sem trabalho de eixo, sem adição de calor e sem variação da energia interna do sistema, pode ser escrita da seguinte forma:



Aplicação da Equação de Bernoulli

Encontre a expressão da equação da primeira lei da conservação de energia no caso do esvaziamento de um tanque com nível constante.

Fazendo o balanço de energia entre os pontos 1 e 2 do V.C.:


1 – Água flui em condições estacionárias e uma bomba libera 3hp para o fluido, conforme dados da figura abaixo. Qual a taxa líquida de massa em lbm/s se desprezarmos as perdas por fricção?



ResoluçãoCOLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle e as

superfícies de controle, identificando-as como ponto 1 ( entrada do fluido) e ponto 2 ( saída do fluido).

3hp= 1.650 lbf.ft/s

Sabemos que a taxa é massa por unidade de tempo, e como esta é constante temos:



Calculando a diferença de Pressão entre P2 e P1:

Substituindo na equação da energia:

A taxa líquida será de:

2 – Um tanque pressurizado de seção circular com 6ft de diâmetro tem uma pressão constante acima da superfície líquida de 4” de Hg. O tanque tem óleo de densidade 0,75, nível constante, 5 ft de altura de óleo que é drenado por uma tubulação lateral com 2” de diâmetro. Quanto tempo leva para baixar o nível de óleo em 2ft?

Dados: d(óleo)=0,75 d(Hg)=13,6



ResoluçãoCOLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.



Portanto:

3 – O tanque abaixo, aberto à pressão atmosférica, contém óleo e salmoura, conforme ilustração. Calcule o tempo que a salmoura leva para escoar, sabendo que a densidade do óleo é de 0,8 e da salmoura é de 1,2.

ResoluçãoCOLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.



Para determinar o valor de h, em uma mistura heterogênea, temos que converter as alturas dos dois fluidos com propriedades diferentes, para uma única altura de um mesmo fluido.

Portanto a altura equivalente do tanque em óleo será de 2,5+1,05=3,55m.Voltando a equação:

4 – Água flui em estado estacionário através de um tubo colocado na vertical. Se a pressão manométrica onde está instalado o manômetro mede 0, determine:



a) A vazão;b) A pressão na entrada da tubulação;

Resoluçãoa) COLOCAR OS PONTOS, ou seja, definir o volume de controle.



b) Realizando um novo balanço




1 – Determine h se a pressão de estrangulamento é de -10psig e o nível do tanque é constante.

(Resposta:0,161m)

2 – Determine a perda de energia em m.c.a quando a água flui do lago superior para o lago inferior a uma vazão de 0,178ft/s. Calcule a potência da bomba em Hp para elevar água do lago inferior ao superior nessas condições. Considere os níveis dos lagos constantes.

(Resposta:15,24m.c.a; 2,02hp)

3 - Assumindo que o nível da água no reservatório da figura abaixo é constante e que não há perdas por fricção na tubulação, determine:

a) A vazão na saída da tubulação;b) A velocidade nos pontos A,B,C e D;c) A pressão nos pontos A, B,C e D;

Resposta: (a)=2,2166x10-2 m3/s (b) =2,734m/s

(c) PA=65024,797Pa PB=PD=56064,16Pa

PD=-3737,378Pa



4 – Um exaustor retira ar da atmosfera através de um duto cilíndrico que tem uma entrada sem turbulência. Um manômetro diferencial é conectado na parede do duto indicando uma pressão de 1”H2O. A densidade do ar é de 1,22x10-3. Determine a vazão de ar no duto em ft3/s e a potência do exaustor em hp.

(Resposta:Q=1,4869m3/s; W=0,504889hp)

5 – Calcule a potência da bomba em watts para uma instalação de bombeamento de água entre dois reservatórios, conforme figura.

(Resposta:4034,82Watts)



6 – Um tanque de grande diâmetro contém ar comprimido, gasolina de densidade 0,68, óleo de densidade 0,8 e água, conforme figura abaixo. A pressão do ar indicada pelo manômetro é 120KPa. Negligenciando perdas por atrito, qual a taxa de massa em Kg/s que sai do jato (J) com 20mm de diâmetro?

(Resposta: 4,011Kg/s)

7 – Um sistema de aspersão de H2O em jardins consiste de uma tubulação vertical com 2m de comprimento e 20cm de diâmetro, composto por dois discos circulares sobrepostos a uma distância mínima de 15mm, ambos com 0,5m de raio, por entre os quais a água de espalha. Estime a vazão de H2O em m³/s deste sistema. A pressão na base do duto vertical e no centro da tubulação é estimada em 70KPa.

(Resposta: Q=0,4232m³/s)



8 – Em um sistema de tubulação para teste de esforços, a seção de teste, parte de um duto cilíndrico, tem vários pequenos furos com 5mm de diâmetro por onde flui ar a uma velocidade de 12m/s. O número total de furos é de 850 espalhados uniformemente na seção da tubulação que mede 90cm de diâmetro e 4m de comprimento. A velocidade do ar na entrada desta seção é de 40m/s. Considerando ar à temperatura média de 25ºC a 1 atm. Estime:

a) Velocidade no início da tubulação com 2,5cm de diâmetro;b) A vazão total de sucção de ar em m³/s;c) A velocidade de saída do ar no duto com 2,3m de diâmetro.

(Resposta: a)5,18m/s; b)25,24m³/s; c)6,06m/s)

9 – Ar a 20ºC circula através de um duto conforme figura. A pressão a montante do estrangulamento é de 6x10³Pa, o fluido no reservatório é H2O e os manômetros antes e no estrangulamento são respectivamente 25mm e 10mm. Calcule a menos vazão de ar em L/s capaz de provocar a pulverização de H2O no duto de escoamento do ar.

(Resposta: Q=274,54L/s)



10 – Bombeia-se óleo através de uma linha com 75Km de extensão. A saída está em um nível 60m abaixo do nível da estrutura e a pressão na descarga deve ter no mínimo 24psig. O óleo tem d=0,81. Há uma perda de carga no trajeto equivalente a 50KPa. Qual a vazão de fluido?

(Resposta: 8,58m³/s)

11 – Um duto (tubulação) com 0,25m de diâmetro e 60m de comprimento interliga dois tanques de armazenamento de água. Os tanques estão no mesmo nível (mesma base horizontal), mas possuem capacidades e alturas diferentes. Um tem 80m e outro 30m. O duto de ligação está situado 3m abaixo da superfície líquida do maior tanque e 6m abaixo da superfície líquida do menor tanque. Qual a vazão entre os dois tanques em L/s se considerarmos uma perda de carga de fricção de 7m.c.a.?

(Resposta: 1430L/s aproximadamente)



12 – Determine a vazão em m³/s de óleo (densidade=0,82) que é retirado de um reservatório por sifonagem e a pressão (em Pascal) no ponto mais alto do sifão. Sabe-se que a mangueira do sifão tem 40mm de diâmetro e que a perda de energia entre os pontos A e B é de 2m.c.a. e entre os pontos A e C é de 3m.c.a.

(Resposta: Q=6,458x10-3 m³/s; P=-46512,56Pa)

13 – Calcule a potência de uma bomba centrífuga em Hp e em Watts, considerando um rendimento de 70% capaz de bombear 0,4L/s de um fluido com densidade 0,7, por uma tubulação com 1,4cm de diâmetro interno e 1,5cm de diâmetro externo ligando dois tanques A e B. Os dois tanques têm um desnível entre as duas superfícies líquidas de 3m, e no percurso a queda de pressão é equivalente a 0,6m.c.a.. O nível é constante nos dois tanques.

(Resposta: 2,028x10-2 HP ou 15,1309Watts)

14 – Se 140L/s de água flui através do sistema da figura abaixo. Calcule a altura H do tanque entre os pontos 1 e 2 se a perda por fricção entre os pontos 2 e 3 é de 11,80m.c.a.

(Resposta: 29,9832m)



15 – A bomba da figura abaixo libera água a uma vazão de 1,2ft3/s. A tubulação de sucção tem um diâmetro interno de 6” e 20’ de comprimento. Se dos 20’, 12’ estão submersos, qual a pressão em Pa e em m.c.a na tubulação após a bomba se:

• O manômetro colocado na entrada da sucção indica - 2 psig;• O diâmetro da tubulação de recalque é de 5”.

(Resposta: 25854,5271Pa ou 2,6391m.c.a)

16 – A água a uma temperatura de 20°C tem uma vazão de 5L/s. Uma tubulação com 3” de diâmetro interno, liga o reservatório inferior até a bomba e outra com 2” de diâmetro interno, liga a bomba ao reservatório superior. Os níveis dos tanques são constantes. A pressão absoluta após a bomba é de 50 psig. Determine a potencia da bomba centrífuga em HP considerando um rendimento de 80%.

(Resposta: 4,2 hp)



4 Fluxo viscoso

Todos os fluidos são viscosos, mas, em certas situações um fluído pode ser considerado ideal ou sem viscosidade.

4.1 Experimento de Reynolds

A existência de dois tipos de fluxos viscosos é universalmente aceita, seja observando a fumaça de um cigarro, seja observando a água que sai de uma torneira.

O fluxo bem ordenado de moléculas em lâminas ou camadas que deslizam suavemente umas sobre as outras é conhecido como fluxo laminar. Neste caso a mistura de fluido entre as camadas ocorre a nível molecular.

O fluxo nos quais pequenos pacotes de partículas de fluidos são transportados entre camadas, dando uma natureza flutuante ao fluxo, denomina-se regime de fluxo turbulento e ocorre a nível macroscópico.

O experimento de Reynolds em 1883 comprovou a existência de dois tipos de fluxos de um fluido em movimento:

• O fluxo laminar, as moléculas do corante não se misturam.• O fluxo turbulento, as moléculas do corante se misturam.

O experimento consistiu de:• Uma tubulação transparente.• Um reservatório de água.• Um corante introduzido na água na direção do fluxo



Osborne Reynolds acreditou que o tipo de fluxo era função apenas da velocidade, mas, hoje em sua homenagem a combinação das quatros variáveis que influenciam no tipo de fluxo, criando uma razão adimensional, leva seu nome:

Onde neste caso, v seria a velocidade, a massa específica do fluido, e µ a

viscosidade do fluido e L o raio hidráulico (será visto adiante mais detalhadamente), que é designado por:

Para tubulações cilíndricas L é próprio diâmetro interno da tubulação representado por D ou Di. Para geometrias planas L é a medida na direção do fluxo.

O numero de Re também pode ser escrito por:

Onde ν seria a viscosidade cinemática do fluido, sendo ν=µ/ .

Valores do Número de Reynolds até 2300, para fluxo em condutos circulares, correspondem a fluxos laminares, entre 2300 a 2800 fluxos de transição e acima deste valor os fluxos podem ser considerados turbulentos.

4.2 Força do Arrasto

Reynolds demonstrou que existem dois tipos de fluxo mas, outra maneira de demonstrar a dependência do número de Re e do tipo de fluxo é através do arrasto.

As tensões de cisalhamento na superfície de um corpo movendo-se em um fluido viscoso causa uma força de arrasto devido à fricção e esta força pode ser avaliada por:



O arrasto total sobre um objeto pode ser devido aos efeitos de fricção e de pressão e neste caso, a força é avaliada por:

A quantidade ( v2/2) é freqüentemente chamada de pressão dinâmica do sistema.

Ap é a área projetada da superfície.CD é o coeficiente de arrasto (drag).A pressão de arrasto se deve a duas fontes: o arrasto induzido ou arrasto

devido ao lift (elevação) e à esteira do arrasto, que desvia as linhas de fluxo causando diferenças de pressão no corpo.

Em um fluxo incompressível o coeficiente de arrasto depende do número de Reynolds e da geometria do corpo.

4.3 Conceito de Camada Limite

A observação de uma região de influencia decrescente da tensão de cisalhamento é descrita por Ludwig Prandt em 1904.

Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos podem ser analisados considerando duas regiões: uma próxima das fronteiras sólidas e outra cobrindo o restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira sólida (camada limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não-viscoso. Em muitas situações reais, a camada limite desenvolve-se sobre uma superfície sólida plana. Exemplo disso é escoamento sobre cascos de navios e de submarinos, asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano. Estes casos podem ser ilustrados pelo caso mais simples analisando uma placa plana.

De acordo com ele (Prandtl), os efeitos da fricção do fluido em altos valores de Re estão limitados a uma fina camada perto da superfície do corpo, chamada de camada limite. Não há ao longo desta região uma variação brusca de pressão, portanto a pressão no meio do fluxo do fluido pouco viscoso é similar a camada limite e o tratamento analítico pode ser simplificado. Somente as velocidades são variáveis desconhecidas.

A espessura da camada limite de um fluido escoando sobre uma superfície plana pode ser tomada arbitrariamente como uma distância a partir da superfície onde a velocidade alcança 99% da velocidade do fluxo livre.



Figura da camada limite de espessura exagerada sobre uma placa plana

Existem algumas fórmulas para calcular a espessura da camada limite e a força de arrasto, para fluxo laminar e para fluxo turbulento. Para superfícies abertas temos os seguintes limites para o número de Reynolds (Re). Se Re for menor de 300.000 o fluxo é laminar e se Re for maior do que 300.000 o fluxo é considerado turbulento, ou: Re ≤ 3X105 (fluxo laminar) ; Re≥ 3X105 (fluxo turbulento).

Quando temos um fluxo laminar os cálculos para a espessura da camada limite seguem a solução de Blasius:

A equação acima é utilizada para calcular a espessura (σ) da camada limite laminar para uma distância “x” a partir da borda de ataque.

A equação acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção local.

Já a fórmula escrita acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção total.

Para a camada limite no fluxo turbulento, utilizamos a soluções de von Kármán.

A expressão acima é utilizada para calcular a espessura da camada limite turbulenta.



Já a expressão acima é utilizada para calcular o coeficiente de fricção local.

E por fim, esta ultima expressão é utilizada para calcular o coeficiente de fricção total.

4.4 Fluxo em Condutos fechados

4.4.1 Análise Dimensional de Fluxo em Tubulações

Como abordagem inicial, utilizar-se-á a análise dimensional para se obter os parâmetros significativos do fluxo de um fluido incompressível em uma tubulação reta, horizontal, de área transversal circular constante.

As variáveis significativas e suas dimensões fundamentais são representadas na tabela abaixo:

Variável Símbolo DimensãoQueda de pressão ∆P M/Lt2

Velocidade v L/tDiâmetro do tubo D L

Comprimento do tubo L LRugosidade da

Tubulaçãoe L

Viscosidade do Fluido µ M/LtMassa específica do

FluidoM/L3

Cada uma das variáveis é familiar, com exceção da rugosidade da tubulação, simbolizada por “e”. A rugosidade representa as condições da superfície interna da tubulação e pode ser pensada como a altura das projeções a partir da parede da tubulação, tendo, portanto, uma dimensão de comprimento.

De acordo com o Teorema de Buckingham, o número de agrupamentos adimensionais formados será de quatro, valor obtido na expressão i= n-r. Onde i é o número de agrupamentos adimensionais, n o número de variáveis envolvidas e r o número de dimensões necessárias para expressar as variáveis. Os grupos de variáveis a serem formados são obtidos a partir das relações:



Aplicando a análise dimensional encontramos:

O primeiro grupo é o Número de Euler, (Eu), e como a queda de pressão se deve a fricção, este parâmetro é geralmente escrito como ∆P/ e substituido por hL, a perda de carga ou “head loss”. O terceiro grupo é a razão da rugosidade da tubulação pelo diâmetro da tubulação, chamada de rugosidade relativa. O quarto grupo é o conhecido Número de Reynolds.

Para superfícies fechadas (condutos ou tubulações) o Numero de Reynolds fica limitado em: Re≤ 2000 à 2300 (fluxo laminar), e Re≥2300 (fluxo turbulento). Lembrando que para tubulações podemos calcular o numero de Reynolds utilizando a seguinte expressão:

Dados experimentais provam que a perda de carga em fluxo completamente desenvolvido é diretamente proporcional a razão L/D onde L e o comprimento da tubulação e D o diâmetro interno.

Pode-se expressar a perda de carga em função de um fator de fricção “f” da seguinte forma:

O fator ff é o fator de fricção de Fanning mas, se utilizarmos o fator de fricção de Darcy, “fD” , a relação fica:

Obviamente que fD=4ff. O fator de fricção de Fanning é similar ao fator de fricção de superfícies abertas Cf, descrito anteriormente mas, e válido para superfícies fechadas.



4.4.2 Fatores de fricção para fluxos laminares, turbulentos e de transição, completamente desenvolvidos, em condutos circulares

A) Fluxo Laminar

Como os comportamentos dos fluidos podem ser muito bem descritos neste regime, de acordo com a Lei de Newton da viscosidade, não se espera dificuldades para obter uma relação para o fator de fricção ff no caso de fluxo laminar. O fluxo como já dito é considerado laminar para números de Re menores que 2300.

Da análise de um elemento de fluido diferencial, a equação de Hagen-Poiseulle foi derivada para fluxo incompressível, laminar e em condutos fechados circular, obtendo-se:

Para condutos fechados não circulares utilizamos a equação de Darcy-Weiscbach:

Este resultado simples indica que o fator de fricção é inversamente proporcional ao Número de Reynolds no fluxo laminar, e não é função da rugosidade da tubulação para valores de Re<2300.

B) Fluxo Turbulento

No caso de fluxo turbulento em condutos fechados ou tubulações, a relação para o fator de atrito ff não é tão simples de ser obtida.

Caso 1: Tubos lisos (sem rugosidade):

As equações obtidas foram as de von Kármán e Nikuradse:

Caso 2: Tubos Rugosos:

Estas equações mostram que o fator de fricção para fluxo turbulento em tubos rugosos, é função da rugosidade “e” da superfície e do diâmetro.

Caso 3: Região de Transição:38

Profª Maria Lúcia Soares Cochlar Elaborada por Daniela De Nez em 2010


Existe uma região em que o fator de fricção é em função do Re e da rugosidade, é a região de transição. Uma equação empírica foi obtida por Colebrook para a região de transição:

4.4.3 Determinação do fator de fricção e da perda de carga para fluxo

em tubulações

A) Gráfico do fator de fricção

Moody apresentou um gráfico baseado nas equações anteriormente apresentadas para o fator de fricção. O gráfico representa no eixo das abscissas os valores do Numero de Reynolds e no eixo das ordenadas os valores do coeficiente de atrit. As diferentes curvas equivalem a uma faixa de valores da rugosidade relativa e/D.

Existem vários gráficos semelhantes ao de Moody, mas, basicamente um em função do fator de atrito de Fanning e outro em função do fator de atrito de Darcy.

A rugosidade relativa necessária para se obter o fator de fricção pode ser difícil de avaliar após certo tempo de uso da tubulação e por isso, foram feitas tabelas para se determinar o valor de e/D para um determinado diâmetro de tubo e tipo de material de construção do tubo, para tubos novos e para tubos com alguns anos de uso.

A perda de carga friccional para um determinado comprimento L de tubulação, com diâmetro interno D, pode ser obtida , usando ff ou fD, da relação:

Na página seguinte, temos a ilustração do gráfico de Moody, e abaixo, segue uma tabela dos valores da rugosidade “e”, para determinados tipos de materiais.

Tipo e(mm)Tubo estirado 0,0015Latão, chumbo, vidro 0,0076Aço comercial ou Aço carbono ou Ferro Usinado

0,0457

Ferro fundido (recoberto com asfalto) 0,1219Ferro galvanizado 0,1524Tubos de aduelas de madeira 0,1829 a 0,914Ferro fundido (não revestido) 0,2591Concreto 0,305 a 3,05Aço rebitado 0,914 a 9,14



B) Perda de carga nos acessórios

A perda de carga calculada anteriormente é apenas parte da perda de carga total que deve ser considerada em linhas de fluxo de tubulações e outros circuitos.

Outras perdas de carga ocorrem devido à passagem do fluido por válvulas, joelhos, curvas e outros acessórios e que envolvem uma mudança na direção do fluxo ou no tamanho da passagem de fluxo.

Estas perdas de carga em acessórios são função da geometria do acessório, do número de Re e da rugosidade.

Para uma primeira aproximação, a perda de carga pode ser calculada, nestes casos, por:

Onde K é uma constante que depende do tipo do acessório.Outro método equivalente de determinação da perda de carga em acessórios pode ser através do comprimento equivalente.

Onde Le é o comprimento equivalente da tubulação que produz uma perda de carga similar no acessório em particular.

A equação anterior é similar a do calculo da perda de carga e significa que a perda de carga total pode ser obtida pela adição de comprimentos equivalentes dos acessórios ao comprimento real da tubulação

A comparação das duas equações anteriores nos mostra que o valor de “K” pode ser determinado por :

k=(4ff Le)/D

O coeficiente de fricção para um acessório depende somente da rugosidade do acessório, apesar de aparecer o fator de fricção na relação da determinação de K. Valores de K e de Le/D são dados na tabela abaixo:



Acessório K Le/DVálvula globo, aberta 7,5 350Válvula de ângulo, aberta 3,8 170Válvula gaveta, aberta 0,15 7Válvula gaveta ¾ aberta 0,85 40Válvula gaveta ½ aberta 4,4 200Válvula gaveta ¼ aberta 20 900Joelho padrão 90º 0,7 32Joelho raio curto 90º 0,9 41Joelho raio longo 90º 0,4 20Joelho padrão 45º 0,35 15T,com saída lateral 1,5 67T, com saída reta 0,4 20Curva 180º 1,6 75Ampliação Gradual - 12Cotovelo de 90º, raio longo

- 22

Cotovelo de 45º 0,4 16Curva de 90º(R/D=1) 0,9 21Curva de 45º 0,2 15Entrada normal 0,5 17Entrada de borda - 35Junção - 30Redução - 6Registro de globo aberto 100 350Saída de canalização 1,00 32T, saída bilateral 1,8 65Válvula de pé e crivo - 250Válvula de retenção - 100Registro de gaveta aberto 0,2 -

Também podemos encontrar o comprimento equivalente (Le ou Leq) em um gráfico tipo Ábaco, que fornece os comprimentos equivalentes para perdas por atrito em diversos acessórios, para diferentes diâmetros.



C) Diâmetro Equivalente ou Diâmetro Hidráulico

As equações anteriores valem para fluxo de fluidos em tubulações de área transversal circular. Estas equações podem ser usadas para determinar a perda de carga em outras configurações não circulares, utilizando o “diâmetro equivalente”, ou o raio hidráulico, calculados de acordo com:

Deq=4(Área transversal ao fluxo / perímetro molhado)

Ou ainda:

Deq = (4A)/P

A razão da área transversal de fluxo pelo perímetro molhado é chamado de “Raio hidráulico”. Pode-se verificar facilmente que Deq=Di para um conduto de área transversal circular.

Para outras configurações como a área anular (forma de anel) entre dois tubos concêntricos, o diâmetro equivalente será: Deq= D0 + Di

Neste caso: A = π/4(D02 –Di

2) e P= π(D0 + Di)

4.4.4 Fator de Fricção para fluxo na entrada de um conduto circular

O desenvolvimento feito para a avaliação do fator de fricção em tubulações, considerou que as condições de fluxo não mudavam ao longo da tubulação. Em alguns casos isto não acontece e, em determinados lugares, a altura da camada limite cresce da mesma forma descrita para uma superfície plana.

Quando o valor de “x” ( distancia da entrada da tubulação e...) for tal que a camada limite preencher toda a área de fluxo, o fluxo é dito ser “completamente desenvolvido”.

A distância a jusante da entrada da tubulação onde o fluxo é completamente desenvolvido e chamada de “comprimento de entrada” e simbolizado por Le.

O comprimento de entrada para um fluxo completamente desenvolvido, em regime laminar, foi descrito por Langhaar, de acordo com a expressão:

Leq/D=0,0575Re

Onde D representa o diâmetro interno da tubulação e Re o Numero de Reynolds.

Não há uma relação estabelecida para prever o comprimento de entrada para fluxos em regime turbulento. Deissler e outros mostraram que há uma relação do valor do comprimento de entrada com o formato (design) da entrada do fluido na tubulação. Ele concluiu que o fluxo passa a ser completamente desenvolvido depois de uma certa distância da entrada da tubulação, ou seja.



Le= 50 DA figura abaixo nos mostra a influencia da camada limite em condutos

fechados (tubulações) no comportamento do perfil de velocidade. Depois de um comprimento de entrada, o perfil de velocidade torna-se completamente desenvolvido e a forma dele e do tipo parabólica.


1) Ar a 65ºC com viscosidade cinemática de 1,86x10-5 m²/s escoa ao longo de uma placa plana lisa a 12m/s. Para escoamento laminar qual a distância a partir da borda de ataque onde a espessura da camada limite é de 0,5cm?

Resolução:

Em superfície aberta Re<300x105 para fluxo laminar.Analisando os dados do problema e utilizando a solução de Blasius

=0,5cm (espessura)=0,5x10-2m ar =1,86x10-5m²/s

v=12m/s L=x=?



2) Um tubo de Pitot, localizado no trem de pouso de uma aeronave a 10cm da sua borda de ataque, deve ser usado para monitorar a velocidade aérea que varia de 9 até 36 m/s. O trem de pouso é aproximadamente plano e o gradiente de pressão pode ser desprezado. A pressão do ar é de 4ºC, a pressão é de 63 cm Hg e a viscosidade do fluído é de 1,8x10-5N-s/m². A que distância do trem de pouso deve ser localizado o tubo de Pitot para que esteja fora da camada limite.Resolução:

O tubo de Pitot deve ser localizado fora da camada limite para indicar a velocidade real do fluido. Como a massa específica do ar varia com a temperatura, calcula-se pelos dados fornecidos no enunciado do problema.

Calcula-se a espessura utilizando o menor numero de Re, pois queremos a máxima espessura da camada limite.



O tubo de Pitot deve estar localizado pouco acima do valor encontrado como segurança.

3) Avaliar a força de arrasto devido ao atrito superficial em um cilindro de 60cm de diâmetro e 90cm de comprimento, localizado axialmente em um túnel de vento, quando a velocidade do ar é de 4,5m/s. Dados: =1,86x10-5m²/s e =1,06 kg/m³.

Resolução:

4) Qual a perda de pressão, expressa em Pascal, em 18m de um tubo liso de 1cm de diâmetro por onde escoa benzeno a 30ºC com uma velocidade média de 0,1m/s?

Dados: =6,5x10-7m²/s e d=0,8.

Resolução:



5) Ar a 20°C e 1 atm escoa paralelamente a uma placa plana com velocidade de 3,5m/s. Comparar a espessura da camada limite e o coeficiente de atrito superficial local para x=1m usando a solução exata de Blasius e o método de Von Kármán, supondo perfil cúbico de velocidade.

Dados da Tabela 2 – Propriedades de líquidos no estado saturado =1,5x10-5m²/s.

Pela solução de Blasius:

Pela solução de Von Kármán:

6) Qual a perda de carga em 30m de um duto retangular de 1,2cm por 2,5cm quando água a 50°C escoa no seu interior com velocidade de 0,06m/s. Considere que a água molha totalmente as paredes do duto. Considere: =5,57x10-7m²/s.

7) Á água está a uma temperatura de 20ºC e tem uma vazão de 5L/s. Uma tubulação de aço carbono comercial com 3” de diâmetro interno, liga o reservatório inferior até a bomba e outra tubulação com 2” de diâmetro interno, liga a bomba ao reservatório superior.

Determine a potencia da bomba centrifuga em Hp considerando as perdas de carga no trajeto e uma eficiência do conjunto moto-bomba de 80%.



Resolução:

Primeiro temos que definir o volume de controle e suas superfícies de controle.



Para a sucção :

Acessórios:

Para Recalque:



Acessórios:


1) 4,7x10-4m3/s de água a 20ºC escoam no interior de um tubo de cobre liso de 2,5cm de diâmetro e 60m de comprimento. Determine: a) o coeficiente de atrito. b) a perda de carga.

(Resposta: a)0,0245; b)2,71x104 Pa)

2) Qual a força total de arrasto exercida por um vento, a 13m/s soprando normalmente, a uma placa de sinalização tendo o formato de um disco de 1,5m de



diâmetro, montada num poste de 15cm de diâmetro e 3m de altura? A temperatura do ar é de 26°C e a viscosidade cinemática é de 1,57x10-5m²/s.

(Resposta: Aproximadamente 252N)

3) Qual a perda de carga num tubo de ferro galvanizado de 15cm de diâmetro interno, a 600m de comprimento, que conduz água a 40ºC numa velocidade de 0,17m/s?

(Resposta: 1,44x103Pa)

4) Água a 59°F flui através de uma seção de uma tubulação de 6” de diâmetro interno com uma velocidade média de 4ft/s. A tubulação tem 120ft de comprimento e há um aumento de elevação de 2ft na saída da água. Qual a potencia da bomba para manter este fluxo nestas condições?

(Resposta: Aproximadamente 0,306HP)

5) Óleo com viscosidade cinemática de 0,08x10-3ft²/s e uma massa especifica de 57lbm/ft³ flui através de um tubo horizontal de 0,24” de diâmetro a uma taxa de 10gal/h. Determine a queda de pressão em 50ft de comprimento, fornecendo o valor em psi.

(Resposta: Aproximadamente 4,63Psi)

6) Qual a perda de carga em psi, Pa, m.c.a de um condutor cilíndrico de um tubo de ferro galvanizado com 15cm de diâmetro interno e 600m de comprimento que conduz a água a 40ºC com uma velocidade de 0,17m/s.

(Resposta:1,437x10³Pa;0,208 psi; 0,146mc.a)

7) Determine a vazão da água em L/s que passa em uma válvula gaveta que é colocada em uma tubulação com 20cm de diâmetro interno. Sabe-se que a pressão antes da válvula é de 236kPa e que a válvula descarrega água a pressão atmosférica. Calcule para:

a) Válvula gaveta ¾ aberta;b) Válvula gaveta ½ aberta;

(Resposta: a) 559,29L/s ; b) 245,82L/s)

8) Uma rede de tubulação, com 10560ft de comprimento, construída em ferro fundido, deve transportar água a uma vazão de 4,64ft³/s. A tubulação de saída tem um nível 175ft mais elevado que a entrada. Um engenheiro precisa decidir qual o diâmetro da tubulação a ser utilizada na construção desta rede de modo a otimizar os custos da obra. Os dados comerciais do tubo escolhido, ferro fundido, são:

- Cano de 10” de diâmetro, ferro fundido – U$ 7,60/ft;- Cano de 14” de diâmetro, de ferro fundido - U$ 11,20/ft;Adote a rugosidade do ferro fundido como 0,00085ft.



Os custos da energia elétrica consumida no bombeamento, são estimados em U$ 0,024/KWh para os 20 anos de vida útil da rede. Sabendo-se que a bomba tem uma eficiência de 80% e que a temperatura media da água é de 50°F, determine: Qual a tubulação (diâmetro) que ele deve utilizar para que os custos totais do projeto (de bombeamento e instalação da rede) sejam os menores?

(Resposta: bitola de 14”)

9) Um fluido com densidade 50% maior que a da água, escoa por uma tubulação, com 8” de diâmetro, movido por uma bomba. A tubulação de recalque tem um diâmetro de 4” e uma pressão de 200kPa. A vazão é de 0,2m³/s e a pressão na tubulação de sucção é de -0,2m.c.a. Se o nível de saída da tubulação está em um nível 2,5m abaixo do nível da entrada , qual deve ser a potência da bomba em HP e em Watts, para manter este escoamento? Despreze as perdas por atrito, considere uma potencia real da bomba de 85% e uma válvula globo totalmente aberta no recalque.

(Resposta: 945064W; 1266,84HP)

10) Determine a perda de carga entre dois pontos, distantes 600m, dentro de uma tubulação de ferro fundido em que a vazão (água) é de 2,3m³/s e a bomba tem 2HP. O desnível da saída é de 4m acima da entrada, o diâmetro da tubulação é de ½” e a diferença de pressão entre os pontos equivale a 20cmHg. Expresse os resultados em m.c.a e em psi.

(Resposta:2,717m.c.a; 3,8632psi)

11) Determine a diferença de nível entre as superfícies líquidas de dois tanques abertos à pressão atmosférica, unidos por uma tubulação de ferro galvanizado DN10”Sch40, com 1050m de cumprimento. A tubulação sai pela base do tanque superior e entra pela base do tanque inferior. A vazão de água a 30ºC e de 75L/s. Na tubulação estão instalados 2 cotovelos padrão, duas válvulas ou registros tipo gaveta, uma aberta e outra ¾ aberta e um bordo de entrada (usar ábaco).

(Resposta:11,05m)

5 PROJETO DE BOMBAS CENTRIFUGAS

Este exemplo de projeto-dimensionamento aplica os conteúdos vistos ao longo da disciplina.

O reservatório superior é alimentado com água a 25ºC, com uma vazão de 18 m3/h. Sabendo que o nível dos tanques são mantidos constantes com um LC-Level Controller, solicita-se:



-Especificar o diâmetro nominal comercial das tubulações de recalque e sucção para aço comercial tipo IPS, usando o método da velocidade econômica de Remi e Telles;-Calcular as perdas de carga por dois métodos: a equação universal e a de Hazen Williams;-Calcular a altura manométrica total em m.c.a;-Calcular a potência da bomba centrifuga em Hp, pelo método tradicional, utilizando a equação do balanço de energia;-Selecionar a melhor bomba utilizando o catálogo dos fabricantes e as curvas características das bombas (usar CD da Indústria Schneider);-Comparar os resultados da escolha das bombas pelos dois métodos.Nota: usar C=100 (dado do fabricante), 60 Hz e 3500 rpm para bombas do tipo monoestágio.

OBS: ver desenho em anexo.

Resolução:

a) diâmetro da tubulação de recalque

Q = 18 m 3 x 1h = 0.005 m3/s



h 3600s

V = (1,5 + 3,0) / 2 = 2,25 m/s Velocidade econômica por Remi e Telles - (Tabela 1 – Valores de

velocidades econômica (Remi, Telles) ) - Água / Descarga da bomba( 1,5 a 3,0 m/s )

Q = V.A

0,005 m3 = 2,25m.( π .D 2) s s 4

D = 0,0531m x 1in = 2,09in 0,0254m

Especificando:

- Material: aço comercial

- Schedule: 40Sch

- Diâmetro interno mais próximo de 2,09in (40sch) encontrado na tabela de

propriedades de tubulações de aço é:

Diâmetro interno: 2,067in = 0,0525m

Diâmetro nominal: 2in

Calculando a nova velocidade:

VR = Q AVR = 0,005m 3 /s = 2,31m/s ( π .(0,0525m) 2 ) 4A velocidade 2,31m/s será a velocidade adotada na tubulação de recalque,

uma vez que está entre 1,5 e 3,0m/s.

Diâmetro de Sucção:



Especifica-se uma bitola comercial acima do diâmetro de recalque conforme

método da velocidade econômica.

Diâmetro nominal de sucção: 2,5in = 0,0635m

Diâmetro interno de sucção: 2,469 = 0,0627m

Q = Vs. ( π .D 2 ) 40,005 m 3 = Vs . ( π .(0,0627m) 2 ) s 4

Vs = 1,62m/s

A velocidade encontrada está dentro da faixa estabelecida por Remi (1 a

2,5m/s) e por Telles (1,0 a 1,5) para tubos de sucção - Tabela 1.

b) Perda de carga total por Hazen-Willians e pela Fórmula Universal

Fórmula Universal

hL = fD . L .V 2 D 2

Sucção (Dinterno : 2,469in = 0,0627m = 62,7mm; L = 6,6m; Q = 0,005m3/s )

Q = Vs. ( π .D 2 ) 40,005 m 3 = Vs . ( 3,14.(0,0627m)2 ) s 4Vs = 1,62m/s

Re = D.V = 0,0627m . 1,62m/s = 110526 ou 1,1x105

ν 0,919x10-6m2/s

ν = encontrado na Tabela 2 (em anexo) – Propriedades de líquidos no estado saturado com a temperatura de 25oC. Foi efetuada uma interpolação entre os valores de temperatura 20oC e 40 oC.

Tabela 7 (em anexo) – Comprimento equivalente expresso em número e diâmetro e valores de K( em anexo).



Acessórios

Entrada de borda: L = 35 ⇒ L = 35 L = 2,1945 m D 0,0627

Curva de 90o: L = 21 ⇒ L = 21 L = 1,3167m D 0,0627

Redução gradual: L = 6 ⇒ L = 6 L = 0,3762m D 0, 0627

Leq = Ltubulação + Lacessórios

Leq = 6,6m + (2,1945+1,3167+0,3762)mLeq = 10,4874m

e = encontrado na Tabela 3 (em anexo) – Rugosidade de Materiais

e = 0,0457mm = 0,00073D 62,7mm

fD = 0,0209 ⇒ valor encontrado a partir dos resultados de Reynolds e rugosidade relativa de Moody (grafico em anexo).

hL = fD . L .V 2 D 2hL = 0,0209 . 10,487m . (1,62m/s)2

0,0627m 2hL = 4,458m2/s2 que dividindo por 9,81m/s2 = 0,467m.c.a

Recalque (Dinterno = 2,067in=0,0525m=52,5mm; L = 26,7m; Q = 0,005m3/s)

Q = VR. ( π .D 2 ) 4

0,005 m 3 = VR . ( 3,14.(0,0525m)2 ) s 4VR = 2,31m/s

Re = D.V = 0,0525m . 2,31m/s = 131964 ou 1,31x105

δ 0,919x10-6m2/se = 0,0457mm = 0,00087D 52,5mm

fD = 0,021 ⇒ valor encontrado a partir dos resultados de Reynolds e rugosidade relativa de Moody.



Curva de 90o : L = 21 ⇒ L = 21 L = 1,1025mx2= 2,205m D 0,0525

Registro gaveta ¼ fechado: L = 40 ⇒ L = 40 L = 2,1m D 0,0525

Válvula de Segurança aberta: 14,9ft = 4,54m (Ábaco)

Leq = Ltubulação + Lacessórios

Leq = 26,7m + (2,205+2,1+4,54)mLeq = 35,545m

hL = fD . L .V 2 D 2hL = 0,021 . 35,545m . (2,31m/s)2

0,0525m 2

hL = 37,934m2/s2 que dividindo por 9,81m/s2 = 3,867m.c.a

Hazen Willians

lw = hL= L . 10,643 . Q 1,85 C1,85 D4,87

Sucção (Dinterno = 0,0627m; Leq = 10,4874m; Q = 0,005m3/s)

lw= L . 10,643 . Q 1,85 C1,85 D4,87

lw = 10,4874 . 10,643 . (0,005)1,85

1001,85 (0,0627)4,87

lw = 0,887m que multiplicando por 9,81m/s2 = 8,701m2/s2

Recalque (Dinterno=0,0525m ; Leq= 31,383m; Q=0,005m3/s)

lw= L . 10,643 . Q 1,85 C1,85 D4,87

lw = 35,545 . 10,643 . (0,005) 1,85 1001,85 (0,0525)4,87

lw = 7,14m que multiplicando por 9,81m/s2 = 70,05m2/s2



c) Altura manométrica total em m.c.a

H = g. (y2 – y1) + hperda de carga + P2 – P1

ρ

Patm = 10,2067m.c.a à altitude de 100m - Tabela 4 (em anexo) – Pressão atmosférica em função da altitude.

Temperatura: 25 oC ⇒ massa específica = 997kg/m3 - Tabela 5 (em anexo) – Alguns valores de Pressão de Vapor e Densidade da Água

Obs: Para achar a Patm , foi feita uma interpolação entre 0 e 300m de altitude.

Patm = 10,2067m.c.a ou 99994,07Pa

Pman1 = 5 m.c.aPman2 = 2,0 m.c.a

Pman1 + Patm = 5 m.c.a + 10,2067 m.c.a = 15,2067 m.c.a ou 148978,59PaPman2 + Patm = 2,0 m.c.a + 10,2067 m.ca = 12,2067 m.c.a ou 119587,88Pa

H = g. (y2 – y1) + hperda de carga + P2 – P1 ρH = 9,81m/s2(19,8)m + (37,934+4,58)m2/s2 + (119587,88 – 148978,59)Pa 997Kg/m3

H = 207,15m2/s2 transformando para m.c.a basta dividir por 9,81m/s2.

H ≅ 21,12m.c.a este valor é relativo a perda de carga calculada pela fórmula universal.

Agora calculamos a altura manométrica utilizando a perda de carga calculada pela fórmula de Hazen – Willians.

H = g. (y2 – y1) + h2 + P2 – P1

ρH = 9,81m/s2(19,8)m + (70,05+8,701)m2/s2 + (119587,88 – 148978,59)Pa 997Kg/m3

H = 243,51m2/s2 transformando para m.c.a basta dividir por 9,81m/s2.H= 24,82m.c.a



d) Calcular a potência da bomba centrifuga em HP, pelo método tradicional, utilizando a equação do balanço de energia.

• Potência segundo perda de carga pela fórmula universal;

|Pot| = (g. (y2 – y1) + hrecalque + hsuccção + (P2 –P1)/ ρ ). ρ.Q

|Pot| = (9,81m/s2.(19,8m) + (37,934+4,58)m/s2 + (119587,88 - 148978,59)Pa/997Kg/m3). 0,005m3/s.997Kg/m3

|Pot|= 1032,52Watts/746 = 1,38HP acrescentando 50% (Observação 1) para bombas de até 2HP temos = 2,076HP = 2,10cv

• Potência segundo perda de carga de Hazen – Willians

|Pot| = (g. (y2 – y1) + hrecalque + hsuccção + (P2 –P1)/ ρ ). ρ.Q

|Pot| = (9,81m/s2.(19,8m) + (70,05+8,701)m/s2 + (119587,88 - 148978,59)Pa/997Kg/m3).0,005m3/s.997Kg/m3

|Pot|= 1213,89Watts/746 = 1,62HP acrescentando 50% para bombas de até 2HP temos 2,44HP2,47cv

e) Selecionar a melhor bomba utilizando o catálogo dos fabricantes e as curvas características das mesmas (usar CD da Indústria Schneider).

Como se percebe no cálculo das potências, utilizando os dois métodos de perda de carga (forma universal e Hazen Willians), os dois valores de perda de carga são bem diferentes mas, pelo método de Hazen Willians a potencia e um pouco maior. Quando vamos procurar a bomba percebemos que se levarmos em consideração a altura manometria calculada usando a perda de carga de Hazen Willians temos que utilizar uma bomba com uma potência maior devido a altura manométrica, pois se utilizamos uma bomba de 3cv a altura manométrica apresentada no gráfico é inferior aquela calculada, mas se utilizarmos uma bomba de 4cv a altura manométrica apresentada no gráfico é bem maior do que aquela calculada. Vejamos a seguir os gráficos:



As característica da primeira bomba (com altura manométrica calculada utilizando as perdas de carga da formula universal):

Fabricante: Indústrias Schneider;Tipo: centrifuga monoestágio;Modelo: BC-21 R 1/2;Rendimento: 57,05%NPSHr: 2,87Potência: 3 cvRotação: 3500 rpm Aplicações: * Irrigação* Cabines de pintura* Sistemas de refrigeração* Fontes e cascatas* Abastecimento predial* Sistemas de prevenção e combate contra incêndio* Indústrias



As características da segunda bomba (altura manométrica calculada utilizando as perdas de carga segundo Hazen Willians):

Fabricante: Indústrias Schneider;Tipo: centrifugas monoestágio;Modelo: BC-21 R 1/2;Rendimento: 54,68%NPSHr: 2,87Potência:4 cvRotação: 3500 rpm

Aplicações: * Irrigação* Cabines de pintura* Sistemas de refrigeração* Fontes e cascatas* Abastecimento predial* Sistemas de prevenção e combate contra incêndio* Indústrias



Como podemos perceber, foram encontradas duas bombas, a primeira (método universal) nos oferece um rendimento maior e uma potência requerida menor, ou seja, a potencia é bem próxima do valor calculado, tornando-se mais atraente economicamente. A segunda nos oferece uma potência maior porém, um rendimento pouco atrativo, mas, como se percebe, se formos pelo método de Hazen-Willians teremos que utilizar uma bomba deste perfil, pois não foi encontrado no catálogo da Industria Schneider outra bomba com um rendimento maior do que este. Para o método universal foi selecionado esta bomba BC- 21 R 1 ½ com potência de 3cv, pois foi a bomba com o maior rendimento disponível encontrada.

e) Calculo se haverá ou não cavitação

Cavitação segundo perda de carga da forma universal

NPSHa = P1 – Z1 – hLs – Pv

ρ ρ

P1 = 15,2067 m.c.aZ1 = -4m (o nível do tanque 1 esta acima da bomba)lw = 0,452m

Pv = 0,0322Kg/cm2 (T=25ºC , Tabela 5 – Alguns valores de Pressão de Vapor e Densidade da Água.

ρ = 997Kg/m3

0,0322 Kg/cm2.(100cm)2/1m2 = 322kg/m2 = (322kg/m2)/(997kg/m3)= 0,3229m

NPSHa = 15,2067 m.c.a + 4m – 0,452 m – 0,3229 mNPSHa = 18,4318 m

Se não houver problemas mecânicos e de má instalação, a bomba não cavitará, uma vez que o NPSHa (18,4318 m) é bem maior que o NPSHr (2,87m).

Cavitação segundo perda de carga de Hazen – Willians

NPSHa = P1 – Z1 – hLs – Pv

ρ ρ

P1 = 15,2067 m.c.aZ1 = -4m (o nível do tanque 1 esta acima da bomba)lw = 0,887m



Pv = 0,0322Kg/cm2 Tabela 5 – Alguns valores de Pressão de Vapor e Densidade da Água.

ρ = 997Kg/m3

0,0322 Kg/cm2.(100cm)2/1m2 = 322kg/m2 = (322kg/m2)/(997kg/m3)= 0,3229m

NPSHa = 15,2067 m.c.a + 4m – 0,887 m – 0,3229 mNPSHa = 17,9968 m

Se não houver problemas mecânicos e de má instalação, a bomba não cavitará, uma vez que o NPSHa (17,9968 m) é bem maior que o NPSHr (2,87m).

Tabelas em anexo

Tabela 1 – Valores de velocidade econômica (Remi, Telles)Fluido/Aplicação Velocidade EconômicaÁgua/sucção de bomba 1,0 a 2,5 (1,0 a 1,5 – segundo Telles)Água/descarga de bomba 1,5 a 3,0Água/ Redes de cidade 1,0 a 2,0Água/Redes em instalações Industriais

2,0 a 3,0

Água/Alimentação de caldeira 2,5 a 3,0 (4 a 8, segundo Telles)Vapor/até 2kg/cm – saturado 20 a 40Vapor/ 2 a 10Kgf/cm² 40 a 80Vapor/ mais de 10kgf/cm² 80 a 200Ar comprimido/longas distâncias 5 a 7Ar comprimido/ dentro da fabrica 10Ar comprimido/ linhas flexíveis 15 a 20Fluido frigorifico/ condensador ao receptor

Até 0,61



Fluido frig./receptor a válvula de exp 0,5 a 1,25Fluido frig/ Linha de sucção 5,0 a 10,0Fluido frig/ linha de descarga 5,0 a 25Ar condicionado 5,0 a 10,0HC líq/ linha de sucção 1 a 2HC liq/outras linhas 1,5 a 2,5HC gasoso 25,0 a 30,0

Tabela 2 – Propriedades de líquidos no estado saturado

T, ºC, Kg/m

cp, KJ/Kg-k

, m²/s k , W/m-K

x, m²/s Pr B, 1/k

Água (H2O)

0 1002,28 4,215 1,788 x10-6

0,552 1,308x10-

713,6 -

20 1000,51 4,179 1,006 0,597 1,43 7,02 0,18x10-3

40 994,59 4,176 0,658 0,628 1,512 4,34 -60 985,46 4,181 0,478 0,65 1,554 3,02 -80 974,08 4,194 0,364 0,668 1,636 2,22 -100 960,63 4,213 0,294 0,68 1,68 1,74 -120 945,25 4,247 0,247 0,685 1,708 1,446 -140 928,27 4,28 0,214 0,683 1,724 1,241 -160 909,69 4,339 0,19 0,68 1,729 1,099 -180 889,02 4,414 0,173 0,675 1,724 1,004 -200 866,76 4,502 0,16 0,664 1,706 0,937 -220 842,41 4,606 0,15 0,652 1,68 0,891 -240 815,66 4,753 0,143 0,635 1,639 0,871 -260 785,87 4,954 0,137 0,611 1,577 0,874 -280 752,55 5,205 0,135 0,579 1,481 0,910 -



300 714,26 5,724 0,135 0,54 1,324 1,010 -Amônia, NH3

-50 703,69 4,463 0,435x10-6

0,547 1,742x10-7

2,6 -

-40 691,68 4,467 0,406 0,547 1,775 2,28 -

-30 679,34 4,476 0,387 0,549 1,801 2,15 -

-20 666,69 4,509 0,381 0,547 1,819 2,09 -

-10 653,55 4,564 0,378 0,543 1,825 2,07 -

0 640,1 4,635 0,373 0,54 1,819 2,05 -

10 626,16 4,714 0,368 0,531 1,801 2,04 -

20 611,75 4,798 0,359 0,521 1,775 2,02 2,45x10-3

30 596,37 4,890 0,349 0,507 1,742 2,01 -

40 580,99 4,999 0,340 0,493 1,701 2,00 -

50 564,33 5,116 0,330 0,476 1,654 1,99 -

Dióxido de Carbono CO2

-50 1156,34 1,84 0,119x10-6

0,0855 0,4021x10-7

2,96 -

-40 1117,77 1,88 0,118 0,1011 0,4810 2,46 --30 1076,76 1,97 0,117 0,1116 0,5272 2,22 --20 1032,39 2,05 0,115 0,1151 0,5445 2,12 --10 983,38 2,18 0,113 0,1099 0,5133 2,20 -0 926,99 2,47 0,108 0,1045 0,4578 2,38 -10 860,03 3,14 0,101 0,0971 0,3608 2,80 -20 772,57 5,0 0,091 0,0872 0,2219 4,10 14,00x

10-3

30 597,81 36,4 0,080 0,0703 0,0279 28,7

Tabela 3 – Rugosidade de Materiais

Tipo e(mm)Tubo estirado 0,0015Latão, chumbo, vidro 0,0076Aço comercial ou Aço carbono ou Ferro Usinado

0,0457

Ferro fundido (recoberto com asfalto) 0,1219Ferro galvanizado 0,1524Tubos de aduelas de madeira 0,1829 a 0,914Ferro fundido (não revestido) 0,2591Concreto 0,305 a 3,05Aço rebitado 0,914 a 9,14



Tabela 4 – Pressão atmosférica em função da altitude

Altitude (m) Pressão m.c.a 0 10,33300 9,96600 9,59900 9,221200 8,881500 8,541800 8,202100 7,892400 7,582700 7,313000 7,03

Tabela 5 – Alguns valores de Pressão de Vapor e Densidade da Água

Temperatura (ºC) Pressão de Vapor Densidade (g/cm³)mmHg (Kg/cm²)

15 12,7 0,0174 0,99920 17,4 0,0238 0,99825 23,6 0,0322 0,99730 31,5 0,0429 0,99635 41,8 0,0572 0,99440 54,9 0,0750 0,99245 71,4 0,0974 0,99050 92,0 0,1255 0,98855 117,5 0,1602 0,98660 148,8 0,2028 0,98365 186,9 0,2547 0,98170 233,1 0,3175 0,97875 288,5 0,3929 0,97580 354,6 0,4828 0,97285 433,0 0,5894 0,96990 525,4 0,7149 0,96595 633,7 0,8620 0,962100 760,0 1,033 0,958105 906,0 1,2320 0,955110 1070,0 1,4609 0,951115 1269,0 1,7260 0,947120 1491,0 2,027 0,943



Tabela 6 – Dimensões dos tubos de aço (IPS)

Tamanho do tubo nominal, IPS, in

DE, in Escala Nº

DI, in Área de escoamento por tubo, in²

Área por ft, linear, ft²/ft

Peso por ft linear, lb de aço

Externa Interna

1/8 0,405 40* 0,269 0,058 0,106 0,070 0,2580# 0,215 0,036 0,056 0,32

¼ 0,540 40* 0,364 0,104 0,141 0,095 0,4380# 0,302 0,072 0,079 0,54

3/8 0,675 40* 0,493 0,192 0,177 0,129 0,5780# 0,423 0,141 0,111 0,74

½ 0,840 40* 0,622 0,304 0,22 0,163 0,8580# 0,546 0,235 0,143 1,09

¾ 1,05 40* 0,824 0,534 0,275 0,216 1,1380# 0,742 0,432 0,194 1,48

1 1,32 40* 1,049 0,864 0,344 0,274 1,6880# 0,957 0,718 0,250 2,17

11/4 1,66 40* 1,380 1,50 0,435 0,362 2,2880# 1,278 1,28 0,335 3,00

11/2 1,90 40* 1,610 2,04 0,498 0,422 2,7280# 1,500 1,76 0,393 3,64



2 2,38 40* 2,067 3,35 0,622 0,542 3,6680# 1,939 2,95 0,508 5,03

21/2 2,88 40* 2,469 4,79 0,753 0,647 5,8080# 2,323 4,23 0,609 7,67

3 3,50 40* 3,068 7,38 0,917 0,804 7,5880# 2,9 6,61 0,760 10,3

4 4,50 40* 4,026 12,7 1,178 1,055 10,880# 3,826 11,5 1,002 15,00

6 6,625 40* 6,065 28,9 1,734 1,590 19,080# 5,761 26,1 1,510 28,6

8 8,625 40* 7,981 50,0 2,258 2,090 28,680# 7,625 45,7 2,000 43,4

10 10,75 40* 10,02 78,8 2,814 2,62 40,560 9,75 74,6 2,55 54,8

12 12,75 30 12,09 115 3,338 3,17 43,814 14,0 30 13,25 138 3,665 3,47 54,616 16,0 30 15,25 183 4,189 4,00 62,618 18,0 ~20 19,25 291 5,236 5,05 78,620 20,0 20 19,25 291 5,236 5,05 78,622 22,0 ~20 21,25 355 5,747 5,56 84,024 24,0 20 23,25 425 6,283 6,09 94,7* (Conhecido como padrão)# (Conhecido como extrapesado)~(Aproximadamente)

Observação 1: Os motores elétricos nacionais são geralmente fabricados com as seguintes potências em HP: ¼, 1/3, ¾, 1, 11/4, 11/2, 2, 3, 5, 6, 71/2, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 35, 40,45, 50, 60, 80, 100, 120, 150, 200 e 250. O motor adotado deve ser o de potência disponível no mercado, logo acima do valor calculado acrescido de um dos seguintes valores: 50% para as bombas de até 2HP, 30% para as bombas 2 a 5HP,



20% para as bombas de 5 a 10HP, 15% para as bombas de 10 a 20HP e 10% para as bombas de 20HP.

Tabela 7 – Comprimento equivalente expressos em número e diâmetro e valores de K.

Acessório K Le/DVálvula globo, aberta 7,5 350Válvula de ângulo, aberta 3,8 170Válvula gaveta, aberta 0,15 7Válvula gaveta ¾ aberta 0,85 40Válvula gaveta ½ aberta 4,4 200Válvula gaveta ¼ aberta 20 900Joelho padrão 90º 0,7 32Joelho raio curto 90º 0,9 41Joelho raio longo 90º 0,4 20Joelho padrão 45º 0,35 15T,com saída lateral 1,5 67T, com saída reta 0,4 20Curva 180º 1,6 75Ampliação Gradual - 12Cotovelo de 90º, raio longo - 22Cotovelo de 45º 0,4 16Curva de 90º(R/D=1) 0,9 21Curva de 45º 0,2 15Entrada normal 0,5 17Entrada de borda - 35Junção - 30Redução - 6Registro de globo aberto 100 350Saída de canalização 1,00 32T, saída bilateral 1,8 65Válvula de pé e crivo - 250Válvula de retenção - 100Registro de gaveta aberto 0,2 -



Ábaco – Comprimentos equivalentes para perdas por atrito.



Tabela 8 - Coeficiente de arrasto.

Configuração L/D ReD = V D/ CD

Cilindro circular, eixo perpendicular ao escoamento.

1520

5

105

>5x1050,630,740,901,20

0,350,33

Cilindro circular, eixo paralelo ao escoamento .

01247

>103 1,120,910,850,870,99

Cilindro elíptico 4X104

105

2,5X104 a 105

2,5x104

2x105

0,60,460,320,290,20

Aerofólio (1:3)# 4x10 0,07

Placa retangular ao escoamento.L=comprimentoD=largura

1520

>103 1,161,201,501,90

Cilindro quadrado 3,5x104

104 a 1052,01,6

Cilindro triangular

>104

>105

2,01,722,201,391,801,0

Casca hemisférica >103

103 a 1051,330,4



Disco circular, normal ao escoamento

>10 1,12

Discos compostos 0123

>103 1,120,931,041,54

*Razão entre o eixo maior e o menor.#Razão entre a corda e a envergadura para ângulo de ataque zero.


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