9ano matematica - professor 1bim2015

educacionalMaterial do professor - 2ª Edição

Caderno

matemáticaMaterial de apoio - 1º bimestre

Marconi Ferreira Perillo JúniorGovernador do Estado de Goiás

Raquel Figueiredo Alessandri TeixeiraSecretária de Estado da Educação, Cultura e Esporte

Rui Rocha de MacedoSuperintendente Executivo

Marcos das NevesSuperintendente Executivo de Educação

Expediente

Gerência de Formação CentralElaboradores

Abadia de Lourdes da Cunha

Alexsander Costa Sampaio

Aline Márcia dos Santos

Carlos Roberto Brandão

Deusite Pereira dos Santos

Inácio de Araújo Machado

Júnior Marques Carneiro

Lidiane Rodrigues da Mata

Márcio Dias de Lima

Marlene Aparecida Faria

Mônica Martins Pires

Regina Alves Costa Fernandes

Silma Pereira do Nascimento Vieira

Caro Professor:

Queremos, hoje, entregar a você a nova versão do Caderno Educacional.Assim como a primeira edição desse material, esta foi pensada e formuladapela Secretaria de Estado da Educação, com o objetivo principal de subsidiara sua prática pedagógica.

Nesse sentido, a sua experiência e conhecimento são, de fato, extremamenteimportantes à medida que consideramos a produção do saber o resultado deuma soma. E o orgulho da SEDUC centra-se nessa adição, afinal, a sua voz,professor, emerge, dentre tantas outras, em cada proposta que aparece nessematerial de apoio.

A nossa intenção não é a de lhe entregar um material pronto eacabado, e sim a de permitir que, com o acréscimo de suas contribuições, estecaderno se torne mais um recurso, auxiliando-o, diariamente na sublime tarefade ensinar.

Ao perceber que o professor é alguém que concebe este Cadernocomo um eixo orientador de sua prática, o aluno aprende que o material emsuas mãos também funciona como um norte para conhecer o desconhecido.A ordem do século XXI é encorajar o aluno a se inteirar da multiplicidade dosaber que compõe as várias áreas do conhecimento, como a LínguaPortuguesa, a Matemática, a Física, a Biologia [...] e, assim, estabelecer, a partirde cada esfera do conhecimento múltiplas relações com o contexto atual evindouro. Essa tarefa, professor, é sua e é nossa também! Por isso, o Governode Goiás traçou as diretrizes para a reforma educacional, a fim de promoverum grande salto de qualidade na Educação do nosso Estado. A produção doCaderno Educacional é uma das ações que acreditamos impactar e estimulara busca pelo saber.

O nosso muito obrigado pelo trabalho diário com os 600 mil alunosda Rede Estadual de Educação!

Apresentação

Apresentação.............................................................................................................................................................5

Aula 01 .........Conjunto dos números naturais (N) .........................................................................................11

Aula 02 .........Conjunto dos números inteiros (Z) – Operações ..................................................................14

Aula 03 .........Conjunto dos números racionais (Q) – Frações ....................................................................17

Aula 04 .........Conjunto dos números racionais (Q) – Números

Decimais: (Operações) .................................................................................................................22

Aula 05 .........Conjunto dos números racionais (Q) – Equivalência de frações.......................................26

Aula 06 .........Conjunto dos números racionais (Q) – Conversão ...............................................................30

Aula 07 .........Conjunto dos números irracionais............................................................................................33

Aula 08 .........Conjunto dos números reais (R).................................................................................................35

Aula 09 .........Os números racionais na reta numérica..................................................................................38

Aula 10 .........Potenciação: Definição.................................................................................................................40

Aula 11 .........Potenciação: Propriedades .........................................................................................................43

Aula 12 .........Potência com expoente negativo.............................................................................................46

Aula 13 .........Potenciação: expressões numéricas.........................................................................................48

Aula 14 .........Decomposição em fatores primos............................................................................................50

Aula 15 .........Radiciação: Definição / Extração de raiz..................................................................................52

Aula 16 .........Radiciação (propriedades)...........................................................................................................57

Aula 17 .........Radiciação inexata.........................................................................................................................60

Aula 18 .........Relacionando potências e radicais............................................................................................62

Aula 19 .........Resolução de situações problema envolvendo números R...............................................64

Aula 20 .........Exercícios – números reais...........................................................................................................66

Aula 21 .........Rotação de polígonos – Propriedades.....................................................................................68

Aula 22 .........Reflexão de polígonos – Propriedades ....................................................................................72

Aula 23 .........Translação de polígonos – Propriedades ................................................................................77

Aula 24 .........Plano cartesiano ortogonal.........................................................................................................81

Aula 25 .........Construção de polígonos no plano cartesiano .....................................................................85

Aula 26 .........Exercícios envolvendo polígonos..............................................................................................90

Aula 27 .........Circunferência e círculo: Definição e diferenças....................................................................92

Aula 28 .........Razão I ...............................................................................................................................................96

Sumário

Aula 29 .........Proporção ..........................................................................................................................102

Aula 30 .........Proporção – Propriedade ...............................................................................................108

Aula 31 .........Exercícios envolvendo razão e proporção.................................................................114

Aula 32 .........Perímetro de polígonos diversos.................................................................................115

Aula 33 .........Área de polígonos: quadrados e retângulos............................................................120

Aula 34 .........Área de polígonos: triângulos ......................................................................................123

Aula 35 .........Área de polígonos: paralelogramo .............................................................................128

Aula 36 .........Área de polígonos: trapézio..........................................................................................132

Aula 37 .........Área de superfícies do cubo, cilindro e paralelepípedo........................................135

Aula 38 .........Exercícios: área de superfície de figuras não planas (cubo, cilindro

e paralelepípedo)..............................................................................................................139

Aula 39 .........Leitura de gráficos e tabelas..........................................................................................142

Aula 40 .........Construir gráficos de frequência de dados estatísticos: Coluna .........................148

Aula 41 .........Construir gráficos de frequência de dados estatísticos: Barra.............................151

Aula 42 .........Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos: Setores ..............157

Aula 43 .........Conclusões com base na leitura de gráficos.............................................................161

Aula 44 .........Relacionar gráficos com tabelas...................................................................................164

Aula 45 .........Relacionar tabelas com gráficos...................................................................................171

Aula 46 .........Conclusões com base na leitura de tabelas..............................................................177

MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

7

AULA 01

Conjunto dos Números Naturais (N)Objetivo geral

Relembrar as quatro operações (adição, subtração, multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais.

Conceito básico

Os números naturais surgiram da necessidade de fazer

pelos números que utilizamos para contar. Representa-se o conjunto dos números naturais por N:

0,1,2,3, ...N = " ,

A seguir faremos uma pequena revisão acerca das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão trabalhadas no conjunto N.

Adição: É a operação matemática que permite juntar e/ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama-das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588 indica uma adição.

Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais

uma subtração.

Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O . 46 = 552 indica uma

multiplicação.

Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A operação 1554 37 42=' indica uma divisão.

Propriedades importantes da adição e da multiplicação

Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:

Comutativa:

Adição: a b b a+ = +

Exemplo

O que devo aprender nesta aula

Reconhecer a aplicação dos números naturais e suas diferentes formas de utilização no cotidiano.

Reconhecer e aplicar as propriedades das operações com números naturais e percebê-las como facilitadoras na compreensão das técnicas operatórias.

Analisar, interpretar, formular e resolver situações problema em diferentes contextos sociais e culturais.

Expectativas deAprendizagem

u Reconhecer a aplicação os númerosnaturais e suas diferentes formas deutilização no cotidiano.

u Reconhecer e aplicar aspropriedades das operações comnúmeros naturais e percebê-las comofacilitadoras na compreensão dastécnicas operatórias.

u Analisar, interpretar, formular eresolver situações problema emdiferentes contextos sociais e culturais.

Conjunto dos números naturais

MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

8

Multiplicação: a . b = b . aExemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.

Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.

Adição: (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)Exemplo: (3 . 4) . . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)

Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei-ramente as operações contidas em seu interior.

Expressão Numérica

Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as

Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:

( I )8 + 5 . 3 =

23

( II )

. :

25

Atividades 01 Efetue cada uma das operações a seguir:a) 487 + 965b) 1238 – 649

Efetue cada uma das operações a seguir:a) 487 + 965b) 1238 – 649c) 35 · 126d) 9114 ÷ 62

Solução:a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.

�

Atividades

( I ) 8 + 5 . 3 =8 + 15 =23

( II )15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =15 + [(16) - (7) + 1]=15 + [16 - 7 + 1] =15 + [9 + 1] =15 + 10 =25

Observe que, como não apareceram sinais de associação énecessário resolvermos o produto antes da adição.

MATEMÁTICA

�3

Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:

a) 50 – {15 + [16 ÷ (10 – 2) + 5 · 2]} = b) 70 – [5 · (4 ÷ 4) + 9] =

c) 25 + {27 ÷ 9 + [9 · 5 – 3 · (8 – 5)]} = d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =

�

Solução:a) 23 b) 56 c) 64 d) 3

Resolva os problemas a seguir:

a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3 216 selos de diversos países. Supondo uma divisãoequilibrada, quantos selos caberão a cada filho?(Desenvolva o algoritmo da divisão).

b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?

c) Maria levou R$ 20,00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$9,00com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?

d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas,quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?

3

Solução:a) 1 072 selos b) R$ 630,00 c) R$ 6,00 d) 21 caixas.

DESAFIOSabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantasfigurinhas terá cada um?b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?

Solução:a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

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AulA 0�

Objetivo Geral

Revisar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números inteiros.

Conceitos Básicos

O conjunto dos números inteiros (Z) encontra-se presenteem diversas situações do dia-a-dia, ele é formado pela união doconjunto dos números naturais com os seus simétricos emrelação ao zero. Portanto, é formado por números positivos enegativos:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Conjunto dos números inteiros (Z)– Operações

Dois números são ditos simétricos quando a somados mesmos for igual a zero. Portanto, dizemos queos números negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricosdos númerosnaturais, uma vez que:

1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0

Operações com Números InteirosAs operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas. Observe:

Adição de números inteirosÉ importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a sequenciação

de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou divisão. Para isso éimportante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou diferentes. Assim:

• Se as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e será obtidoa partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe:

a) -20 - 25 =- 45b) 32 + 17 = + 32 + 17 = + 49 = 49• Se as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que possuir o maior

valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:a) -25 + 45 = +(45 - 25) = + 20b) 38 - 51 = - (51 - 38) = - 13

Expectativas de Aprendizagem

u Reconhecer a importância das operações queenvolvem números reais, inclusive potenciação eradiciação, para a resolução de problemas dosmais variados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operações comnúmeros reais como facilitadoras da resolução desituações problema.

u Criar e resolver situações problema queenvolvem números reais ampliando econsolidando os significados das operaçõesadição, subtração, multiplicação, divisão,potenciação e radiciação.

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Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.

Analisando os dados do gráfico responda:a) Em quais meses a microempresa teve lucro?b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a

empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?Sugestão de solução: a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.b) Nos meses de julho, setembro e novembro.c) No mês de novembro.d) Lucro. 12 milhões.e) 2 milhões.

Analisando os dados do gráfico responda:a) Em quais meses a microempresa teve lucro?b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?d) Qual foi o lucro médio nesse semestre?e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a empresa terminoucom saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?Solução:a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro. b) Nos meses de julho, setembro e novembro.c) No mês de novembro. d) 2 milhões.e) 12 milhões

Multiplicação e/ou divisão de números inteirosPara operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de números

inteiros inicialmente é necessário percebemos o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:

• O produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número positivo.a) (- 6) · (- 18) = + 108 = 108 b) (5) · (9) = (+ 5) · (+ 9) = +45 = 45c) (-90) ÷ (- 15) = + 6 = 6 d) (170) ÷ (17) = (+ 170) ÷ (+ 17) = + 10 = 10

• O produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.a) (- 8) · (+ 9) = - 72 b) (+ 7) · (- 13) = - 91c) (- 45) ÷ (+ 5) = - 9 d) (+ 100) ÷ (- 10) = - 10

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Se as parcelas possuírem sinais iguaisserá obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe:

a) 20 25 45- - =-

b) 32 17 32 17 49 49+ =+ + =+ =

Se as parcelas possuírem sinais diferentes possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:

a) 25 45 45 25 20- + =+ - =+

b) 38 51 (51 38) 13- =- - =-

Multiplicação e ou divisão de números inteiros

Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de

positivo.

a) ( 6) ( 18) 108 108- - =+ =$

b) 5) (9) ( 5) ( 9) 4 5( = + + =+ =$ $

c) ( 90) ( 15)- - =+ ='

d) (170) (17) ( 170) ( 17) 10 10= + + =+ =' '

a) ( 8) ( 9) 72- + =-$

b) ( 7) ( 13 1+ - =-$

c) ( 45) ( 5- + =-'

d) ( 100) ( 10 0+ - =-'

Atividades 01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.

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13

02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.Mês Saldo Março + R$ 800,00Abril + R$ 250,00Maio - R$ 150,00Junho - R$ 950,00

Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?Sugestão de solução:

- 50 reais

03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por

menos quatro (-4).Sugestão de solução:

a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.

04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?Sugestão de solução:

9

DESAFIOEm um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:

Vitória + 5 pontosEmpate + 3 pontosDerrota - 2 pontos

Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1 empate e 2 derrotas. Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu 1 vitória, 2 empates e 3 derrota.

Solução:

Solução:

Solução:-9

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Responda:a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo-

nato?b) Quem foi o ganhador?

Sugestão de solução: a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.b) Paulo.

AULA 03

Conjunto dos Números Racionais (Q)FraçõesObjetivo Geral

Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e divisão;

Efetuar cálculos e resolver situações problema que envolvam as operações com números racionais na forma fracionária.

Conceito básico

Os números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração

b

a , em que a e b são números inteiros e b ! zero.

O conjunto dos números racionais (representado por Q

e; 0b

aa b bQ Z Z !! != $ .

números inteiros a e b, em que b

103

10 )


Compreender as frações e utilizá-las em situações diversas.

Formular e resolver situações problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.


u Compreender as frações e utilizá-lasem situações diversas.

u Formular e resolver situaçõesproblema que envolva a ideia de fração(parte-todo) e também de razão edivisão.

Solução:

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15

54

13- )

2013 (lê-se: treze vinte avos)

58-

58- )

Fração

Significado

Numerador

Número colocado acima do traço que indica quantas partes da unidade foram tomadas.

Denominador

Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida.

Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.

por 81 .

Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos

repre sentá-los pela fração 82 .

Exemplo 2:

22 paginas.

Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?

total de páginas do livro, ou seja, 34.

3422 .

(lê-se: menos oito quintos)

MATEMÁTICA

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Operações com frações

Adição e subtração

Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa, outras 3

partes, conforme figura abaixo.

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Operações com frações

Adiçao e subtração

Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,

Nesta condição podemos dizer que 62 do hexágono está pintado de vermelho e

63 está pintado

de rosa.

Logo podemos dizer que no total, 65 do hexágono está pintado.

Concluímos que: 62

63

65+ =

Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador e operar os numeradores (somar ou subtrair).

Exemplos:

a) 113

118

1111 (ou seja, 1 inteiro)+ = b)

172

177

179+ =

c) 62

63

61- + = d)

95

93

92- =

e) 53

54

51- =-

Multiplicação e divisão

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�0

MATEMÁTICA

17

Assim, a parte pintada corresponde a 86 do retângulo. Logo, 3 8

286=$ .

Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 13= .

Logo, 13

82

86=$ , pois,

1 83 2

86=

$

$ .

Para dividir duas frações, temos que:

da segunda fração.

Exemplos:

23

45

23

54

1012=&' '

52

31

52

13

56=&' '

Atividades 01 Observe as figuras abaixo

Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.

Sugestão de soluçao:

´

── · ── = ── = ──

── · ── = ──

3 4 12 62 5 10 5

2 3 65 1 5

Solução:

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��

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02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?Sugestão de solução12 – 4 = 8 A fração que representa os ovos que sobraram é:

128 .

O denominador é 12, e o numerador é 8.

03 Calcule

a) 51

42

$ = b) 32

53

$ = c) 23

65

' =

Sugestão de solução:

a) 51

42

202

$ = b) 32

53

156

$ = c) 23

56

1018

$ =

04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é 52 de sua idade.

Quantos anos tem a prima de Amanda?


52 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.

A prima de Amanda tem 6 anos.

05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu 53 da revista. Quantas páginas tem a revis-

ta de Maurício?

Sugestão de solução: A revista tem 25 páginas.

06 Efetue a seguinte operação:

a) 32

21

76

72

73

' $ - + =` j8 B$ .


32

21

76

75

' $ - =8 B$ .

32

21

71

' $ =$ .

32

141

32

114

328

' $= =

Solução:

Solução:

Solução:

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

DESAFIOMarina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou ─ comprandochocolates. Do que sobrou, ela gastou ─com pirulitos.

Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

12

310

25

Solução: ─

MATEMÁTICA

19

DESAFIOMarina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou

52 comprando chocola-

tes. Do que sobrou, ela gastou 21 com pirulitos.

Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

Sugestão de solução: 103

AULA 04

Conjunto dos números racionais (Q)Números Decimais – OperaçõesObjetivo Geral

Operar com números decimais e resolver situações problema do cotidiano envolvendo as operações com números decimais.

Conceito básico

vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 . Para ler o número escrito na forma decimal

primeiramente faz-se a leitura do número como se

quarenta e dois.

isso basta seguir as seguintes orientações:

Se houver apenas um número após a vírgula será usada a expressão décimos.

Se houverem dois números após a vírgula será usada a expressão centésimos.


Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.

Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema.

Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.


u Reconhecer a importância dasoperações que envolvem números reais,inclusive potenciação e radiciação, para aresolução de problemas dos mais variadoscontextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operaçõescom números reais como facilitadoras daresolução de situações problema.

u Criar e resolver situações problema queenvolvem números reais ampliando econsolidando os significados dasoperações adição, subtração,multiplicação, divisão, potenciação eradiciação.

Conjunto dos números racionais (Q)- Números Decimais: (Operações)

MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA

20

Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos.

É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal. Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:

103 0,3= 9

11 1,22222.......- =-

54 0,8= 100

71 0,71=

2013 0,65= 5

8 1,6=

Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo

tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado. Exemplos:

1,22 100122= 0,013 1000

13= 0,3 103=

duas casas dois zeros

Comparando dois números decimais

dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.

Exemplos:

(igual).

0, 0987 0, 1970S S 4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número

Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:

"

´

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

21

Operações com números decimais

Adição e subtração

zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:

2,7 3,0456+

2,7 3,0456 2,7 3,0 2,7 3,0456456 000

3 casas a mais 3 casas completadas com o 0

+ + +" "S SMesma quantidade de casas decimais

2, 7000 3, 0456+6 7 8444 444? ?

respectivas vírgulas uma embaixo da outra.

Vírgula debaixo de vírgula

2,7000

3,0456+

.

com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.

Vírgula debaixo de vírgula

2,7000

3,04565,7456

+

.

Multiplicação

Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a vírgula do processo.

3,21

2,41284

6427704

+

#

No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma das casas decimais das parcelas da multiplicação.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

22

3,21

2,41284

6427 704

+

#

3,21

2,41284

642

7,704

+

#

Divisão

O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição

Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.

Portanto,

4,7 2,35 4, 7 2, 35 4, 70 2, 35 4,70 2,35"" "? ? ? ?

A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e desenvolver o algoritmo da divisão.

4,70 2,35 470 235"

Atividades 01 Efetue as operações a seguir:

a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4b) 3 – 1,276 f ) 13,31 – 2,3c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5

Sugestão de solução:a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f ) 11,01; g) 11,96; h) 3.

Uma casa decimal

Duas casas decimais

Mesma quantidadede casas decimais

""

Duas casas após a vírgula

Uma casa após a vírgulaTotal de três casas decimais

Solução:a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f ) 11,01; g) 11,96; h) 3.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

23

02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.

a) Quanto ela gastou no supermercado?b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro

desse tecido?Sugestão de solução:

a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?Sugestão de solução:

22 garrafas

DESAFIO(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:a) 1,28 b) 1,40c) 1,75d) 1,90Sugestão de solução:Letra a

AULA 05

Conjunto dos números racionais (Q): Equivalência de fraçõesObjetivo geral

Relembrar o conceito de frações equivalentes.

Solução:a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

Solução:22 garrafas

Solução:Letra A

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

24

Conceito básico

Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.

Daí, conclui-se que as frações 42 e

21 representam a

mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem

ser indicadas como: 42

21= , ou,

42

21

+ .

mesma quantidade.

Exemplo:Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes

iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu mais pizza?






u Reconhecer a importância dasoperações que envolvem números reais,inclusive potenciação e radiciação, para aresolução de problemas dos maisvariados contextos sociais e culturais.


u Criar e resolver situações problemaque envolvem números reais ampliandoe consolidando os significados dasoperações adição, subtração,multiplicação, divisão, potenciação eradiciação.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

25

42 e

84 representam a mesma quantidade, logo,

as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade de pizza.

multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.

Exemplos:

a) 42 e 8

4 .

42

84

2 8 4 4 16 16= ="$ $

Logo, 42

84

+ .

b) 129 e 8

6 .

129

86

9 8 6 12 72 72= ="$ $

Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.

Logo, 129

86

+ .

c) 21 e 6

4 .

21

64

1 6 2 8 6 8= ="$ $

Como os resultados foram diferentes (6 8! ) temos que as frações não são equivalentes.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

26

Simplificação de frações

mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração

2418 onde tanto numerador como o

denominador são múltiplos de 2, 3 e 6.

tempo.

Exemplos:

a) 90 260 2

45 330 3

15 510 5

32= = =

'

'

'

'

'

'

b) 126 284 2

63 342 3

21 714 7

32= = =

'

'

'

'

'

'

Atividades 01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.

a) 8154

b)

180150

c) 600512

d)

175125


a) a)32

; b)65

; c)7564

; d)75.

02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:

a) 2436

e 2436

b)

6036

e 7050

c) 125100

e 500400

d)

57

e 6084

Sugestão de solução:a) não; b) não; c) sim; d) sim.

03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.

a) ( ) A fração 3530 encontra-se em sua forma irredutível.

Solução:

Solução:a) sim; b) não; c) sim; d) sim.

MATEMÁTICA

30

MATEMÁTICA

27

b) ( ) As frações 9386

e 6356 são equivalentes.

c) ( ) Se simplificar a fração 10884 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a

1814 .

d) ( ) A forma irredutível da fração 140136 é igual a

3534 .

Sugestão de solução:a) F; b) F; c) V; d) V.

DESAFIO

Determine três frações equivalentes à forma irredutível 97 .


;2721

;4535

AULA 06

Conjunto dos números racionais (Q) – ConversãoObjetivo geral

Compreender e transformar fração em números decimais e vice-versa.

Conceito básico

Em nosso dia a dia nos deparamos com números escritos na forma de fração e precisamos transformá-los em números decimais para facilitar a resolução de diversas situações problema.

dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?




Solução:a) F; b) F; c) V; d) V.

Solução:──; ──; ──14 21 3518 27 45




MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

28


100 20

100 0,5

0

Exemplo 2:Efetue a divisão e escreva na forma decimal

a) 1032 3,2= b) 100

125 1,25=

c) 10005 0,005= d) 1000

28 0,028=

e) 10005 0,005=

Atividades 01 Represente a fração decimal

100121 na forma decimal.

Sugestão de solução:1,21

02 Represente cada uma das frações na forma decimal.

a) 102 b)

1035 c)

10518

d) 10

3 148 e) 10068 f )

100448

g) 1002 634 h)

1000538 i)

10005 114

j) 10008 356 l)

10 0004 761 m)

10 00015 832

Sugestão de solução:a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f ) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

Solução:

Solução:1,21

Solução:a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f ) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

Represente a fração ── na forma decimal.121100

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

29

03 Represente os números decimais em frações:a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 = d) 0,654 = e) 4,336 =


a) 103 b)

1053 c)

100699

d) 1000654 e)

10004 336

DESAFIOObserve as frações e suas respectivas representações decimais.I. 10003

0,003=

II. 1002 367

23,67=

III. 10 000129

0,0129=

IV. 10267

2,67=

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.a) I e IIb) I e IVc) I, II e IIId) I, II, III e IVSugestão de soluçãoLetra c.

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.a) I e IVb) II e IVc) I, II e IIId) I, II, III e IV

Solução: Letra c.

MATEMÁTICA

33

AulA 0�

Objetivo Geral

Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números irracionaisbem como suas operações.

Conceito Básico

Os números irracionais são os números que não podem serrepresentados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são números reais,mas não são racionais. O conjunto dos números irracionais é representadopor alguns autores pelo símbolo I .

Sendo assim, representando a ideia expressa anteriormente em formade diagrama temos:

Conjunto dos Números Irracionais Expectativas deAprendizagem

u Reconhecer que a união dosnúmeros racionais e irracionaisconstitui o conjunto dos númerosreais.

u Reconhecer um número irracional.

u Criar e resolver situações problemaque envolve números irracionais.

MATEMÁTICA

30


Reconhecer que a união dos números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos números Reais.

Reconhecer um número irracional.

Criar e resolver situações problema que envolve números irracionais.

AULA 07

Conjunto dos Números IrracionaisObjetivo Geral

Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números irracionais bem como suas operações.

Conceito Básico

Os números irracionais são os números que não podem ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são números reais, mas não são racionais. O conjunto dos

pelo símbolo I .

Sendo assim, representando a ideia expressa ante rior-mente em forma de diagrama temos:

Exemplos de números irracionais. r , { , p , onde p

Atividades 01 Observe os números escritos no quadro a seguir

II →Conjunto dos números irracionais

IR→ Conjunto dos números reais

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

31

4 3600

3

36 17

Quais desses números são racionais e quais são irracionais?Sugestão de solução

Racionais: 4 2= ; 36 6= ; 3600 60= ; Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos.

02 O número irracional r está compreendido entre os números:a) 0 e 1 b) 1 e 2c) 2 e 3 d) 3 e 4

Sugestão de solução: d.

03 Considere a expressão: 3 2 4 2 2 3 3- + - Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?a) 0b) 4 4 4 2 3 3- -

c) 3 3-

d) não tem como simplificar esta expressãoSugestão de solução:

Letra c.

DESAFIOEscreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10Sugestão de soluçãoExistem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso:

3,14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8 .,r

Solução:

Solução:

Solução

Solução::

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

32



Identificar cada número real com um ponto da reta e vice-versa.



AULA 08

Conjunto dos Números Reais (R) Objetivo Geral

Conceito Básico

O conjunto dos números reais Rpela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Como já estudamos nas aulas anteriores:

N " simboliza o conjunto dos Números Naturais

, , , , , ...0 1 2 3 4 5N = " ,

Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros

... , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3...Z = - - -" ,

Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais

... , 3, 25 , 2, 1,0, 5

3 ,1, 2, 3...Q = - - - -' 1

Observação: usaremos o símbolo I para representar o conjunto dos Números Irracionais

Assim, Inão podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão

e não periódicos.

Exemplos:2, 3 , e .r

R " simboliza o conjunto dos Números Reais

R Q I,=

Representando os conjuntos na forma de diagrama temos:

AulA 0�

Conjunto dos números reais (IR )

simboliza o conjunto dos números naturais

simboliza o conjunto dos números inteiros

simboliza o conjunto dos números racionais

conjunto dos números irracionais


u Reconhecer que a união dos números

Racionais e Irracionais constitui o conjunto

dos números Reais.

u Identificar cada número real com um

ponto da reta e viceversa.

u Utilizar as propriedades das operações

com números reais como facilitadoras da

resolução de situações problema.

u Criar e resolver situações problema que

envolvem números reais ampliando e

consolidando os significados das operações

adição, subtração, multiplicação, divisão,

potenciação e radiciação.

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

33

Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações revisadas anteriormente no conjunto e, , ,N Z I Q R .

Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:

Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:

a) 3 3 2 3+ = b) 0 1+ =

c) 3 3 =$ d) 2

18 =

Sugestão de solução

a) 5 3 9 3= d) 218

9 3= =

Atividades 01 Seja o conjunto B 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 .= " ,

a) Quais desses números são naturais?b) Quais desses números são racionais?c) Quais desses números são irracionais?d) Quais desses números são reais?

Sugestão de soluçãoa) 16 , 25 , 64 , pois são raízes quadradas exatas.b) 16 , 25 , 64 , pois todo número natural também é um número racional.c) 3 , 13 , 30 , são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata.d) 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números reais.

02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita. Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.

Sugestão de soluçãoSubstituindo os valores de x e y na expressão temos:

Solução:

Solução:

Solução: Substituindo os valores de x e y na expressão temos:x² – 3x + y + 9 = 62 – 3 · 6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

34

x2 – 3x + y + 9 = 62 – 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:

3 r -3,4 51- 2

3-

Sugestão de soluçãoDistribuindo esses números na reta numérica temos:

04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos númerosa) naturais b) inteiros c) racionais d) reais

Sugestão de soluçãoComo já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d.

DESAFIODetermine o que se pede na tabela a seguir:01 Escreva cinco números naturais (N )02 Escreva cinco números inteiros positivos (Z+)03 Escreva cinco números inteiros negativos (Z- )04 Escreva cinco números Racionais (Q ) 05 Escreva cinco números irracionais (I )06 Escreva cinco números Reais (R )

Solução: professor, existem infinitos exemplos para esse desafio. Fique atento à resposta dos estudantes.

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

35

AULA 09

Os números racionais na reta numéricaObjetivo geral

Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-

Conceito básico

for ma fracionária ba , sendo a (numerador) e b (denominador)

números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de

denominado número racional. Portanto,

Todo número natural (N nna forma

1n .

Ex: 3 13 e 15 1

15 .= =

Todo número inteiro (Z nna forma

1n .

Ex: 7 17

17 e 26 1

26126- = - =- - = - =- .

número decimal pode ser escrito na forma , com e , com .ba

a b b 0Z !!` j

Ex: 1,8 1018 e 0, 6 3

2= = .

Q ), por ser a letra inicial da palavra quociente.


Identificar cada número real com um ponto da reta e vice-versa.


u Identificar cada número real com um

ponto da reta e vice-versa.

MATEMÁTICA

3�

MATEMÁTICA

36

Atividades 01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:a) inteiros? b) escritos na forma decimal? c) escritos na forma fracionária?

Sugestão de soluçãoa) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c)

51

e53- +

02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:

a) – 6 b) + 8 c) 53+ d) – 5,9 e) 32

Sugestão de soluçãoa) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q

03 Observe a reta numérica a seguir e indique:

a) O ponto que corresponde ao número 43+ .

b) O número racional que corresponde ao ponto N.c) O número racional que corresponde ao ponto X.d) O ponto que corresponde ao número 1

42- .

e) O ponto que corresponde ao número – 3.

Sugestão de soluçãoa) Z b)

47

ou 143 c)

411

ou 243- - d) T e) X

Solução:

Solução:

Solução:

X

A professora Raquel escreveu os seguintes números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

MATEMÁTICA

�0

MATEMÁTICA

37

DESAFIOSe necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras.


AULA 10

Potenciação: DefiniçãoObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real diferente de zero.

Conceito básico

e... ,a a a a a a n

n vezes

R Zn

-

$ $ $ $ ! !=1 2 3444 444

produto de fatores iguais. Denominaremos por

an) potência a ) base n )

expoente.

Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.





AulA �0

Objetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteironão negativo e base real diferente de zero.

Potenciação: DefiniçãoExpectativas de Aprendizagem

u Reconhecer a importância das operações que

envolvem números reais, inclusive potenciação e

radiciação, para a resolução de problemas dos

mais variados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operações com

números reais como facilitadoras da resolução de

situações problema.






A potenciação é a operação matemática que envolve oproduto de fatores iguais. Denominaremos por

an ↔ potência a ↔ base n ↔ expoente.

Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a baseserá multiplicada.

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

38

Note que o expoente n positivos para n.

Exemplo: Calcular o valor de 54.

5 5 5 5 5 6254 = =$ $ $

Expoente maior que 1.

Vejamos o exemplo:

a) Calcular 25.

2 ) base 5 ) expoente 25) potência 2 2 2 2 2 )$ $ $ $ fatores

2 2 2 2 2 2 325 = =$ $ $ $

Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.

b) Calcular 5 3-^ h

5- )^ h base 3 ) expoente 5 3- )^ h potência 5 5 5- - - )$ $^ ^ ^h h h fatores

5 5 5 125$ $- - - =-^ ^ ^h h h

Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as operações com sinais.

Expoente igual a 1.

Vejamos os exemplos:

7 71 =

7 ) base 1 ) expoente 71) potência

12 121- =-^ h

12- )^ h base 1 ) expoente 12 1- )^ h potência

Expoente igual a 0

Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a 1 é igual ao próprio número.

Expoente igual a 0

Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

39

Exemplo: 2

Vejamos como isso acontece:

26 = 64 36 = 729 56

25 = 32 35 = 243 55

24 34 54 = 625

23 = 8 33 = 27 53

22 = 4 32 = 9 52 = 25

2 = 2 3 = 3 5 = 5

gera uma indeterminação.

2 3 5

Atividades 01 Calcule as seguintes potências:

a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1

d) 70 e) (-12)3 f ) 43 2` j

g) 52 4

-` j h) 103 5

-` j i) 1,24

j) -(-0,2)2

Sugestão de solução:a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f )

169 ; g)

62516 ; h)

100 000243- ; i) 1,44 j) -0,04

02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2, onde l indica a medida do seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede

a) 3 cm. b) 2,5 m.c) 3 km. d) 7 m.e) 9,3 m.

2'

2'

2'

2'

i) 1,2²

Solução:

MATEMÁTICA

�3

Solução:a) A = 9 cm². b) A = 6,25 m². c) A = 9 km².d) A = 49 m². e) A = 86,49 m².

MATEMÁTICA

40

Sugestão de solução:a) A = 9 cm2. b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2.d) A = 49 m2. e) A = 86,49 m2.

03 Responda:a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?

Sugestão de soluçãoBase Expoente Potência

+ Par ++ Ímpar +– Par +– Ímpar –

DESAFIOMárcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá recebido mais dinheiro? Quanto?


Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio1o mês 2o mês 3o mês 4o mês 5o mês 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês

R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.

Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo1o mês 2o mês 3o mês 4o mês 5o mês 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês

R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio.Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.

Solução:

Solução: a) -100 b) -150

Determine o valor de E, sabendo que:

a) E = (-5)² + (-5)³ b) E = -5² + -5³�

AulA ��

Objetivo geral

Recordar as propriedades de potenciação comexpoente inteiro não negativo e base realdiferente de zero.

Conceito básico

Como podemos resolver 53 52 54 e apresentar oresultado em forma de potência?

Potenciação: PropriedadesExpectativas de Aprendizagem

u Reconhecer a importância das operações que envolvem

números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução

de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.

uUtilizar as propriedades das operações com números reais como

facilitadoras da resolução de situações problema.

u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais

ampliando e consolidando os significados das operações adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

MATEMÁTICA

��

Vamos lá.

5³ = 5 · 5 · 55² = 5 · 554 = 5 · 5 · 5 · 5

Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então

5³ · 5² · 54 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Portanto teremos o valor 5 se repetindo 9 vezes, assim 5³ · 5² · 54 = 59.

1ª propriedade:Em um produto de potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes.

Observe agora o seguinte quociente: 54 ÷ 52

54 ÷ 52 = ─────Simplificando os fatores comuns,

54 ÷ 52 = ─────

Assim,54 ÷ 52 = 54-2 = 52

5 · 5 · 5 · 55 · 5

5 · 5 · 5 · 55 · 5

MATEMÁTICA

42

2ª propriedade:

Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , então ou .a a aaa

an m n mm

nn m= =' + -

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ hSSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12$^ h

3ª propriedade:

expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , então n m = -^ h .

Exercícios 01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.

a) 35 $ b) 4 4 4$ $- - -^ ^ ^h h h c) 0,5 0,5 0,5 d)

53

53

53

533 2

$ $ $

Sugestão de solução:a) 98 b) 4

6- c) 0,56 d)

53 11

-

02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.

a) 99

2

5 b) 33

2

3

--^^

hh

c) 5252

4

7

-

-

`

`

j

j d) 1010

5

6

Sugestão de solução:a) 93 b) -3 c)

52 3

- d) 10

MATEMÁTICA

42

2ª propriedade:



an m n mm

n

'

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ hSSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12$^ h

3ª propriedade:

expoentes.



a) 35 $ b) 4 4 4$ $- - -^ ^ ^h h h c) 0,5 0,5 0,5 d)

53

53

53

533 2

$ $ $


6- c) 0,56 d)

53 11

-


a) 99

2

5 b) 33

2

3

--^^

hh

c) 5252

4

7

-

-

`

`

j

j d) 1010

5

6


52 3

- d) 10

MATEMÁTICA

42

2ª propriedade:



an m n mm

n

'

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ hSSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12$^ h

3ª propriedade:

expoentes.

Dado a R*! e ,n m N! , então a an m n m= -^ h .


a) 35 $ b) 4 4 4$ $- - -^ ^ ^h h h c) 0,5 0,5 0,5 d)

53

53

53

533 2

$ $ $


6- c) 0,56 d)

53 11

-


a) 99

2

5 b) 33

2

3

--^^

hh

c) 5252

4

7

-

-

`

`

j

j d) 1010

5

6


52 3

- d) 10

Desta propriedade decorre que “todo número elevado a zero será sempre igual a 1”. Observe:

16 24

── = 1 → ── = 1 → 24-4 = 1 → 20 = 116 24

Daí, concluímos que:

a─ = 1 → a1 · a-1

→ a1-1→ a0 = 1

a

(sendo, ZZ +)

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

42

2ª propriedade:



an m n mm

n

'

Calcule (23)4

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 4 3 3 3 2= = =$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $^ hSSSS

Assim, 2 2 23 4 3 4 12$^ h

3ª propriedade:

expoentes.



a) 9 935 $ b) 4 4 42 3$ $- - -^ ^ ^h h h

c) 0,5 0,5 0,52 3$ $ d) 53

53

53

533 2 5 1

$ $ $- - - -` ` ` `j j j j


6-^ h c) 0,56 d)

53 11

-` j


a) 99

2

5 b) 33

2

3

--^^

hh

c) 5252

4

7

-

-

`

`

j

j d) 1010

5

6


52 3

-` j d) 10

Atividades

Solução:

Solução:MATEMÁTICA

43

03 Resolva as seguintes expressões:a) 35 2^ h b) 42 6^ h c) 53 3^ h d)

32 6 3`` j j

Sugestão de solução:a) 310 b) 412 c) 59 d)

32 18` j

DESAFIOSimplificando a expressão

100 0,10,0001 10 0,012

3 6

4 57

$

$ $^

^ ^h

h h; EObtemos como resultado:a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2

d) 10 e) 103

Sugestão de solução:Alternativa d.

AULA 12

Potência com expoente negativoObjetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero.

Conceito básico

A professora Marina pediu para que seus alunos resolvessem o seguinte quociente: ' .

Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a professora qual era a maneira correta.

Vejamos suas respostas.

5 5 55

5 5 5 55 5 5

513 4

4

3

= = ='$ $ $

$ $

2ª maneira:

5 5 55 53 4

4

31' -





Solução:

obtemos como resultado:

Solução:

MATEMÁTICA

��

AulA ��

Objetivo geral

Recordar os conceitos de potenciação comexpoente inteiro e base real diferente de zero.

Conceito básico

A professora Marina pediu a seus alunos queresolvessem o seguinte quociente: 53 ÷ 54 .Julieth resolveu de duas maneiras e perguntoua professora qual era a maneira correta.

Vejamos suas respostas.

1º maneira: 2ª maneira

53 ÷ 54 = ─ = ───── = ─ 53 ÷ 54 = ─ = 5-1

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.No estudo de potências, nos deparamos com situações que envolvem expoentes negativos. Vejamos

como proceder nesse caso:

Potência com expoente negativoExpectativas de Aprendizagem

u Reconhecer a importância das operações que envolvem

números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução

de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais.

uUtilizar as propriedades das operações com números reais como

facilitadoras da resolução de situações problema.

u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais

ampliando e consolidando os significados das operações adição,

subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

53

5453

5415

5 · 5 · 55 · 5 · 5 · 5

MATEMÁTICA

44

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.

No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder nesse caso:

23 = 8 33 = 27 53

22 = 4 32 = 9 52 = 25

2 = 2 3 = 3 5 = 5

2 3 5

2 21 21 1= =- - 3 3

11 = 5 511 =-

2 21 22

22= =-

--

33122=- 5 5

122=-

2 21 23

33= =-

-- 3 3

133=- 5 5

133=-

1 1a

a an

n

n

= =- ` j

Exemplo:

a) 3 3- b) 32 4-

c) 4 2- - - d) 1210 2

--


a) 3 31

2713

3= =- ; b) 32

23

16814 4-

c `m j ; c) 4 41

1612

2

- - = - =--^ ch m ; d) 1210

1012

100144- = - =

-

` `

Atividades 01 Calcule as potências a seguir:

a) 4 2- - b) 25 2

-- c) 7 3-

d) 101 5- e) 0,3 5- -

Sugestão de solução:a)

161- b)

254 c)

3431

2'

2'

2'

2'

2'

2'

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

44

A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.

No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder nesse caso:

23 = 8 33 = 27 53

22 = 4 32 = 9 52 = 25

2 = 2 3 = 3 5 = 5

2 3 5

2 21 2= = 3 3

11 = 5 511 =-

2 21 22

22-

--

33122=- 5 5

122=-

2 21 23

33-

-- 3 3

133=- 5 5

133=-

aa a

nn

n

= =-

Exemplo:

a) 3 3- b) 32 4-

c m

c) 4 2- - -^ h d) 1210 2

--

` j


a) 3 31

2713

3= =- ; b) 32

23

16814 4

= =-

c `m j ; c) 4 41

1612

2

- - = - =--^ ch m ; d) 1210

1012

1001442 2

- = - =-

` `j j

Atividades 01 Calcule as potências a seguir:

a) 4 2- - b) 25 2

--

` j c) 7 3-

d) 101 5-` j e) 0,3 5- -^ h

Sugestão de solução:a)

161- b)

254 c)

3431

2'

2'

2'

2'

2'

2'

MATEMÁTICA

45

d) 1000 000 e) 103

310

243100 0005 5

- =- =--

` `j j

02 Determine o valor da expressão:

2523 3

- - -- -

^ `h j


8124

03 Calcule o valor de 5 31 2 2+- - -^ h


1962 025

DESAFIOOs círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .


d) 100 000

= -

DESAFIODetermine a solução da expressão a seguir

1600- 149

Solução:

��

MATEMÁTICA

46

AULA 13

Potenciação: expressões numéricasObjetivo geral

Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente

Conceito básico

Em muitos casos as operações matemáticas se misturam. Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim, primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo, devemos respeitar a seguinte ordem:

o resolvemos as potenciações e/ou radiciações;

2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões;

3o resolvemos as adições e/ou subtrações.

5 3 3 10 42 5 4 3 2 2+ - - + -'^ ^ ^h h h6 @" ,

Sugestão de solução:25 3 10 165 4 3 2+ - + --^ ^h h6 @" ,

25 3 61 3 2+ - + -^ ^h h6 @" ,

25 3 363+ - +^ h" ,

25 27 36- +" ,

2 36- +" ,

34

Atividades 01 Resolva as expressões numéricas a seguir:

a) 3 2 22 5 3'- b) 2 2 5 38 3 3 2$ $- c) 10 10 53 5 2'$-^ h





Solução


u Reconhecer a importância das

operações que envolvem números reais,

inclusive potenciação e radiciação, para a

resolução de problemas dos mais variados

contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operações

com números reais como facilitadoras da

resolução de situações problema.



consolidando os significados das

operações adição, subtração, multiplicação,

divisão, potenciação e radiciação.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

47

Sugestão de solução:a) 5b) 923 c) 4

02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir

2 352

2 1 2

-

- -

c m; EQual foi o resultado encontrado por ele?a) 1 b) 25 c) 625 d)

251

e) 6251


Alternativa C.

03 Simplifique a expressão x x x xa a a a2 3 1 2 5$ $ $- - + + -

Sugestão de solução: x a3 3-

DESAFIO

Qual é o resultado da expressão 235 5

E 2

3 4 3'=+-

.


7241

E = .

Solução:

Solução:

Solução:

Solução:

�0

MATEMÁTICA

48

AULA 14

Decomposição em fatores primosObjetivo Geral

Relembrar como decompor um número natural em fatores primos.

Conceito Básico

escrito como o produto 2 x 5 x 5. Assim, para se determinar os fatores primos de um

seguinte forma:

primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser decomposto.






u Reconhecer a importância dasoperações que envolvem números reais,inclusive potenciação e radiciação, paraa resolução de problemas dos maisvariados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades dasoperações com números reais comofacilitadoras da resolução de situaçõesproblema.


MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

49

III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número

. 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52

Atividades 01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?

a) 116 b) 30 c) 111d) 60 e) 210 f ) 405

Sugestão de solução:116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).

02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:a) 150 b) 93c) 62 d) 768

Sugestão de solução: a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3

03 Qual é o número cuja fatoração é:a) 2 . 33 . 5 . 7b) 11 . 13c) 23 . 5 . 7 . 31d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11

Sugestão de solução:a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.

Solução:

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

50

DESAFIONo 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os es-tudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que não se misturem (estudantes de anos diferentes). A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?Sugestão de solução:A) 7B) 5 e 6 respectivamente

AULA 15

Radiciação: Definição / Extração de raizObjetivo Geral

Extrair a raiz de números reais apresentados na forma de radical.

Conceito Básico

-radix ( ).

Ele possui a seguinte estrutura:

É válido ressaltar que o radical que possui índice igual a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja:

a) " lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2);

b) 3 " lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);

c) 4 " lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).





512 29 =

radical"

512 radicando"

9 " índice

2 raiz"

Solução:





MATEMÁTICA

�3

MATEMÁTICA

51

Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos.

Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes passos:

1º passo

2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada:

3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,

Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de dois em dois.

Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados de três em três

E assim sucessivamente.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

52

4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do

do resultado obtido será a raiz procurada.

I) 144 2 2 3 2 2 3 2 2 3 122 2 2 2 2 2= = = =$ $ $ $ $ $

II) 125 5 53 33= =

III) 81 3 34 44= =

IV) 1024 2 2 2 2 2 2 45 5 55 55 55= = = =$ $ $

V) 64 2 26 66= =

Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de

ao produto das raízes.

Veja a seguinte situação:

Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área.

terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um quadrado), determine as dimensões do terreno dele.

Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos.

x 36 de comprimento) implica em uma área de medida igual a 576 m2.

Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2, temos que:

576x x m2=$ , onde x

576 576x x2 = ="

576 2 2 2 3 2 2 2 3 242 2 2 2= = =$ $ $ $ $ $

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

53

Atividades 01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da decomposição de fatores primos:

a) 723 b) 6254 c) 12587 d) 3433


a) 327 33 33= = b) 625 5 54 44= = c) 128 2 27 77= = d) 343 7 73 33= =

02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas:a) 169 2163- = b) 2 3 10 54 2 2 23+ - + = c) 36 729 646 3+ - =


a) 169 216 13 6 73- = - = b) 2 3 10 5 16 9 100 25 25 125 5 5 04 2 2 23 3 3+ - + = + - + = - = - = c) 36 729 64 6 3 4 56 3+ - = + - =

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

54

03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume igual a 729 dm3?

Sugestão de soluçãoTemos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões:V = altura x comprimento x larguraComo o paralelepípedo em questão em um cubo, suas três dimensões serão todas iguais. Portanto,V a a a a3$ $= =

O enunciado do problema diz que o volume desta caixa corresponde a 729 dm3, então,729V a a a a dm3 3$ $= = =

729a3 =

729a 3=

9a dm3=

DESAFIOObtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas direcionais.

Sugestão de solução:A = 484; B = 31; C = 8; D = 4; E = 10; F = 4 096.

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

55

AULA 16

Radiciação (propriedades)Objetivo geral

Compreender e aplicar as propriedades da radiciação.

Conceito básico

Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação que são muito importantes não só para o estudo dos

Lembrando,

utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:

1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r nradicando.

r rnn = , onde r R! + , n N! e 1n 2

Exemplo:

32 2 25 55= =

2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como r

expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical.

r rmn nm= , onde r R! + , ,n m N! e 1n 2

Exemplo:

2 2 2 16205 520 4= = =





u Reconhecer a importância dasoperações que envolvem númerosreais, inclusive potenciação eradiciação, para a resolução deproblemas dos mais variados contextossociais e culturais.


Radiciação: (propriedades)

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

56

3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice

r r.mn n m= , onde r R! + , ,n m N! e 1 e 1n m2 2

Exemplo:

5 5 53 2.3 6= =

4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos radicais de cada radicando.

r s r sn n n=$ $ , onde ,r s R! + , e 1n nN 2!

Exemplo:

4 25 4 25 2 5 10= = =$ $ $

5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente dos radicais de cada radicando.

sr

s

rn

n

n

= , onde e 1, ,r s n nR R N* 2! ! !+ +

Exemplo:

925

925

35= =

Importante:

0 0n =

1 1n =

r rn =

Atividades 01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical:

a) 164 b) 83 c) 31255 d) 49

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

57

Sugestão de solução: a) 16 2, sendo que 2 164 4= =

b) 8 2, sendo que 823 3= =

c) 3125 5, sendo que 312555 5= =

d) 49 7=

02 Encontre o valor de cada uma das expressões:a) 100 64 163 4+ -

b) 5 256 3 243 6258 5+ -

c) 4 125 8 64 4003 - +

Sugestão de solução:a) 12; b) -6; c) -24

03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir: a) 2 7$ b) a b5 $

c) 1636

d) 4 y4 $

e) 378

Sugestão de solução:a) 2 7 2 7$ $=

b) a b a b5 5 5$ $=

c) 1636

16

3646= =

d) 4 4y y4 8$ = e) 38

7

DESAFIOOs números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais a36 e b612 , calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.

Sugestão de solução:ab

Solução:

Solução:

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

�0

MATEMÁTICA

58

AULA 17

Radiciação inexata Objetivo geral

Compreender e extrair a raiz de números reais.

Conceito básico

determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na decomposição de acordo com o índice indicado no radical, temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .

agrupamento, resultando em 3 2

1353

Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 33 3= =$

2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?

Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2+ = + = + =$ $

Atividades 01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.

a) 12

b) 20

c) 45

d) 543

e) 288


Criar e resolver situações problema que envolve números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radicaldeterminará o agrupamento dos fatores obtidos nadecomposição do radicando para a extração da raiz. Quandonão for possível agrupar todos os termos iguais obtidos nadecomposição de acordo com o índice indicado no radical,temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a

MATEMÁTICA

58

AULA 17

Radiciação inexata Objetivo geral

Compreender e extrair a raiz de números reais.

Conceito básico

determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na decomposição de acordo com o índice indicado no radical, temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .

agrupamento, resultando em

1353

Sugestão de solução: 135 3 5 3 53 3 $

2. Qual o resultado da expressão 48 27+ ?

Sugestão de solução: 48 27 2 3 3 3 4 3 3 3 12 34 2+ = + = + =$ $

Atividades 01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.

a) 12

b) 20

c) 45

d) 543

e) 288


Criar e resolver situações problema que envolve números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Perceba que na fatoração acima obtivemos o produto 2 · 3² ; assim, o numero 2 ficou fora do agrupamento, resultando em . Portanto, o número 18 possui raiz inexata. Sendo assim, é um número radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.

Solução:

Solução:


u Criar e resolver situações problemaque envolvem números reaisampliando e consolidando ossignificados das operações adição,subtração, multiplicação, divisão,potenciação e radiciação.

um radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.

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��

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59


a) 12 2 2 3 2 3 2 32$ $ $= = =

b) 20 2 5 2 52 $= =

c) 45 3 5 3 52 $= =

d) 54 2 3 3 23 33 3$ ==

e) 288 2 2 3 2 4 3 2 12 22 2 2$ $ $= = =

02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir.a) 24 813 3+

b) 80 20+

Sugestão de solução:a) 24 81 2 3 3 3 2 3 3 3 5 33 3 33 33 3 3 3$ $+ = + = + =

b) 80 20 2 2 5 2 5 4 5 2 5 6 52 2 2 $$ $+ = + = =+

03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir.a) 30

b) 36

c) 273

Sugestão de solução:a) 30 irracionalb) 36 racionalc) 273 racional

DESAFIODetermine a solução da expressão

128

54 2503

3 3+ .

Sugestão de solução: 4 2

3 2 5 2

4 2

8 22

+= =

Solução:

Solução:

Solução:

Solução:3 3 3

33

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

60

AULA 18

Relacionando potências e radicais.Objetivo geral

inversa, a radiciação.

Conceito básico

são operações inversas. Assim:

Se 9 812 = , então, 81 9= ;

Se 3 273 = , então, 27 33 = .

Analisemos, agora, os casos que se seguem:

3 9 9 3 32 2= = ="

5 25 25 5 52 2= = ="

7 49 49 7 72 2= = ="

10 1000 1000 10 103 3 33= = ="

6 216 216 2 3 2 3 63 3 3 33= = = =" $ $

2 1024 1024 2 210 10 1010= = ="

raiz sem o uso do radical? Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente

fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do radical em denominador.









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�3

MATEMÁTICA

61

É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais

4- não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não chegaremos ao valor do radicando (-4).

814 -

Exemplo:Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes: 5 , 3 , 2 e 73 34 53

a) 5 5 5 21= .

b) 33 3 33 23=

c) 234 2 234 43=

d) 753 7 753 35=

Atividades 01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir:

a) 335 b) 547 c) x710 Sugestão de solução:

a) 353 b) 5 7

4 c) x107

02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário:

a) 271 b) 3 9

2 c) 5 47

Sugestão de solução:a) 27 b) 329 c) 574

03 O valor da expressão 225

125 932

23

$ é

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Sugestão de solução:Alternativa C

75

Solução:

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

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62

DESAFIODetermine o valor da expressão

9

4 8

729

2725

63

32

23

124

$ '


AULA 19

Resolução de situações problema envolvendo números RObjetivo geral

Resolver situações problema diversas envolven-do números reais, particularmente a potenciação e a radiciação.

dos líderes. A proliferação de uma notícia nesse site se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha

Atividades 01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para surpreender seu amigo secreto?Sugestão de solução:

53 = 125






Solução:216


u Reconhecer que a união dos números

Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos

números Reais.

u Reconhecer a importância das operações que

envolvem números reais, inclusive potenciação e

radiciação, para a resolução de problemas dos

mais variados contextos sociais e culturais.

u Utilizar as propriedades das operações com

números reais como facilitadoras da resolução de

situações problema.






Resolver situações problema diversas envolvendonúmeros reais, particularmente a potenciação e aradiciação.

A maioria da população tem acesso à internet edentre os muitos sites visitados o facebook é um doslíderes. A proliferação de uma notícia nesse site sealastra facilmente. Imagine que Mateus tenha 100amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver outros100 amigos, uma notícia publicada por Mateuspoderá ser vista por 10 000 pessoas facilmente.

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

63

02 Observe as figuras a seguir

Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantida-de de triângulos em casa estágio, veja o quadro.

ESTÁGIO QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS

1 40 = 1

2 41 = 4

3 42 = 16

Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5?a) 32 b) 64 c) 128d) 256 e) 512

Sugestão de solução:Alternativa d.

03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir

A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3. Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da área do cubo é A = a3, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.

Sugestão de solução:a = 6 cm

Solução:

Solução:

Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantidadede triângulos em cada estágio, veja o quadro.

A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3. Determine a medida de seu lado, sabendo que a fórmula dovolume do cubo é V = a3, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.

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��

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64

DESAFIOO colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes em forma de quadrado de mesma medida de área.

Sabendo que A1 = 36 m2, determine as dimensões da quadra.Sugestão de solução:

AULA 20

Exercícios – números ReaisObjetivo geral

Atividades 01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.

a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83. b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458. d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.

Sugestão de solução: Letra d.

02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números: 103; 32 ; 2,5;

23; 3; 256 .5 4

Solução:

35─10

Exercícios - números reais

MATEMÁTICA

��

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65


03 A solução da expressão 72

50 32 18+ - é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4Sugestão de solução: Letra a.

04 O número decimal correspondente a fração 57 é o:

a) 7,5 b) 1,4 c) 5,7 d) 0,75Sugestão de solução: Letra b.

05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:

Produto Valor

Arroz (5kg) R$ 8,90

Feijão (1kg) R$ 3,35

1 lata de óleo R$ 2,00

O valor total que Carlos pagou foi de:a) 14,25 b) 14,35 c) 14,45 d) 14,55

Sugestão de solução: Letra a.

06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional.a) 8 b) 90 c) 121 d) 200

Sugestão de solução: Letra c.

07 O resultado correto da expressão 35

32

3+ é:

a) 955 b) 1

c) 115 d)

511


Solução:

Solução: Letra a

Solução: Letra b

Solução: Letra a

O valor total que Carlos pagou foi, em reais, de

Solução: Letra c

Solução: Letra d

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AULA 21

Rotação de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

Reconhecer a simetria de rotação de um polígono e perceber quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

objeto ao redor de um ponto chamado centro de ângulo de

rotação.

Exemplos:


Identificar as simetrias de rotação, de reflexão e de translação e perceber que em cada uma delas se preservam medidas e propriedades.


u Identificar as simetrias de rotação, de reflexão

e de translação e perceber que em cada uma delas

se preservam medidas e propriedades.

Posição inicial Posição final

a

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67

Atividades 01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências.

a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotação de uma das semicircunferência para obter uma circunferência?b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário?c) De quantos graus deve ser esta rotação?

Sugestão de solução: a) B.b) Em qualquer sentido.c) 180º

02 Observe a figura a seguir e responda os itens

a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades? b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a?c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)?

Solução:a) B.b) Em qualquer sentidoc) 180º

a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotação de uma das semicircunferência para obtermos uma circunferência?

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68

Sugestão de solução: a) No quadrado de lado 5.b) No ponto C.c) Anti-horário.

03 Observe a figura a seguir:

Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura?

Sugestão de solução: Letra b.

Solução:a) No quadrado de lado 5.b) No ponto C.c) Anti-horário.

Solução:Letra b.

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��

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69

DESAFIODeseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir

Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É possível determinar o ângulo de rotação? Qual?

Sugestão de solução: Deve-se realizar uma rotação no ponto A no sentido anti-horário. Quanto ao ângulo observe o desenho a seguir

Este ângulo mede 45o, pois se trata da diagonal de um quadrado.

Observe o quadrado:

DESAFIO

Solução:

MATEMÁTICA

��

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70

AULA 22

Reflexão de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

Como exemplo pode-se citar que qualquer

Exemplos:







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71

Atividades 01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:Assinale o item que representa uma reflexão:

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��

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Sugestão de solução: Letra C

02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?

Solução:Letra C

MATEMÁTICA

��

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Sugestão de solução:As alternativas que não representam uma reflexão são:Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais; Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:

Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado.Sugestão de solução:

Solução:

As alternativas que não representam uma reflexão são:Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais; Um pontoe a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixode reflexão.Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão apartir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

Solução:

MATEMÁTICA

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74

DESAFIORepresente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.

Sugestão de solução: Solução:

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��

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75

AULA 23

Translação de polígonos – PropriedadesObjetivo Geral

quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico

a direção (que pode ser medida em graus) e o deslocamento (que pode ser medida em alguma unidade de comprimento: cm, m, km, ...).

Exemplos:

o

2o







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��

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76

3o

Atividades 01 Observe a figura a seguir.

Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no retângulo EFHG?

Sugestão de solução: Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.

Solução:Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.

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02 Observe as translações 1, 2 e 3.

a) Existe translação na vertical? Qual? b) Existe translação na horizontal? Qual?c) Existe translação na diagonal? Qual?

Sugestão de solução: Letra a) Sim, a 3Letra b) Sim, a 1Letra c) Sim, a 2

03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação.

Solução:Letra a) Sim, a 3Letra b) Sim, a 1Letra c) Sim, a 2

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a) Qual é a medida da translação AA”?b) Qual é a medida da translação CC’?c) Quantas translações foram feitas? Quais?d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)

Sugestão de solução: Letra a) 4 m + 3 m = 7 mLetra b) 4 mLetra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.

DESAFIOObserve a figura a seguir

Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.


Solução:Letra a) 4 m + 3 m = 7 mLetra b) 4 mLetra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.

Solução:

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Ficando assim:

As dimensões são: Largura 12cm; Comprimento: 12cm.

AULA 24

Plano Cartesiano OrtogonalObjetivo Geral

Conceito Básico

-quema semelhante a uma rede quadriculada (reticu-

-

duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizon-tal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas

do sistema.


Construir figuras no plano com base em informações relevantes, como: construir pontos dadas suas coordenadas, construir polígonos dadas as coordenadas de seus vértices e circunferência dadas as coordenadas do centro e a medida de seu raio etc.


u Construir figuras no plano com baseem informações relevantes, como:construir pontos dadas suascoordenadas, construir polígonos dadasas coordenadas de seus vértices ecircunferência dadas as coordenadas docentro e a medida de seu raio etc.

Plano cartesiano ortogonal

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80

para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano

Atividades 01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas.Sugestão de solução:

Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na planta baixa; entre outros.

02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir.

Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas que indicam a posição das poltronas A, B e C.

Solução:Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na plantabaixa; entre outros.

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81

Sugestão de solução:A(4,3); B(1,2) e C(3,5).

03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.

Encontre as coordenadas em que eles se localizam.Sugestão de solução:

Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).

04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos pontos: A, B, C, D, E e F:

Sugestão de solução: A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

Solução:A(4,3); B(1,2) e C(3,5).

Solução:Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).

Solução:A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

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82

DESAFIOMarque no plano cartesiano os pontos a seguir:A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).


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AULA 25

Construção de polígonos no plano cartesianoObjetivo Geral

cartesiano polígono e circunferência.

Conceito Básico

(ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus

retas seguidos.

O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele.

À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.

a seguir:

Números de lados ou ângulos

Nome do PolígonoEm função do número de ângulos Em função do número de lados

3 Triângulo Trilátero4 Quadrângulo Quadrilátero5 Pentágono Pentalátero6 Hexágono hexalátero7 Heptágono Heptalátero8 Octógono Octolátero9 Eneágono Enealátero

Decágono DecaláteroUndecágono UndecaláteroDodecágono DodecaláteroPentadecágono PentadecaláteroIcoságono Icosalátero





Inicialmente é necessário relembrarmos que um polígonoé uma superfície plana limitada por segmentos de reta (oulinhas poligonais) fechadas onde cada um de seus vértices éformado pela sucessão de dois segmentos de retas seguidos.

O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior a ele.A região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela a

seguir:

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84

Atividades 01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir.

Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos.

02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e ADE. Desenhe os triângulos.

Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadriculada a seguir.

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85


Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)

03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD?

Sugestão de solução: A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).

Solução:

Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)

Solução:A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).

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04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono. A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).


Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , 1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).

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04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono. A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).


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DESAFIORepresente no plano cartesiano:a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2.b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4).


MATEMÁTICA

�0

MATEMÁTICA

88

AULA 26

Exercícios envolvendo polígonosObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos.

Atividades 01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade de lados deste polígono. A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a:

a) 6b) 7c) 8d) 9


02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula 23

Dn n$=-^ h , onde

D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono.A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a:

a) 340b) 170c) 34d) 17

Sugestão de solução: Letra b.

03 Observe o polígono a seguir.

Para determinarmos a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar

Para determinarmos a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula

Solução: Letra a

Solução: Letra b

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

89

Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?a) 5 b) 20c) 36 d) 40

Sugestão de solução: c.

04 Observe o polígono:

A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a:a) 17,11 cm b) 17,9 cmc) 18 cm d) 18,1 cm


05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de seus vértices.

06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm.

Solução: Letra d

Solução: 2,9 cm

Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?a) 5 b) 16 c) 20 d) 40

Solução: Letra b

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

90

AULA 27

Circunferência e círculo: Definição e diferençasObjetivo geral

Compreender os conceitos e os elementos de circunferência e círculo.

Conceito básico

Uma das principais características que podemos notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a

localizados a uma mesma distância r, denominado O, denominado o centro da

circunferência.





circunferência

O

círculo

circu

nferên

cia

região internaO

MATEMÁTICA

�3

Observe a circunferência a seguir

Vamos identificar seus elementos:

OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.

INFORMAÇÕES IMPORTANTES1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência;2) o diâmetro é igual a duas vezes a medida do o raio (d = 2r);3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula C = 2pr .

Exemplo:Observe a circunferência a seguir, onde O é o seu centro:

a) Quais dos segmentos indicados são cordas?R: O segmento AB e AC.b) Quais dos segmentos indicados são raios?R: O segmento A0, B0 e C0.c) Quais dos segmentos indicados são diâmetros da circunferência?R: O segmento AB.

A

H

OG

F

EDC

B

AO

C

B

Centro Raios Cordas Diâmetro

O AO, BO, EO e GO AE, BG, CH e DF AE e BG── ── ── ── ── ── ── ── ── ──

── ──

── ── ──

──

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

92

Atividades 01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda:

a) Qual a medida do seu diâmetro?b) Qual a medida do seu comprimento?

Sugestão de solução:a) 2 2 8 16d r cm$= = = b) 2 2 8 16C r cm$ $= = =r r r

02 Observe a figura a seguir

Responda:a) Qual a medida do seu diâmetro?b) Qual a medida do seu comprimento?

Sugestão de solução:a) d r cm2 2 4 8$= = = .b) C r cm2 2 4 8$ $r r r= = = .

03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio

Solução:

Solução:

Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm responda:

Observe a circunferência a seguir de centro no ponto O.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

93

Determine:a) Perímetro do triângulo ABC.b) Soma das medidas do comprimento das circunferências.

Sugestão de solução:a) perímetro = 24 cm.b) Soma dos comprimentos = 24 cmr .

DESAFIOSabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio de C1.

Determine a medida do comprimento da circunferência C1.

Sugestão de solução:2 2 2,5 5C r $ $= = =r r r

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

94

AULA 28

Razão IObjetivo geral

Compreender e aplicar as relações lógicas das razões matemáticas em situações problema.

Conceito básico

Em matemática a comparação entre dois números razão.

Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente entre dois números racionais a e b, representada por a:b ou a/b ou , com 0

ba

b ! .

Lê-se a para b, ou a está para b.

Exemplo:

3:5 3/5 53

ou ou , lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.

a antecedente e o número b consequente.

Exemplo:

antecedenteconsequente5

3 "

"

Razões inversas

e vice-versa.Exemplo:

i) 53 e 3

5 são razões inversas, pois: 53

35 1=$

ii) 47 e 7

4 são razões inversas, pois: 47

74 1=$


Formular e resolver situações-problema que envolva a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.

Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número representado por a é denominadoantecedente e o número representado por b é denominado consequente.

Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto produto de uma pela outra igual a 1.


u Formular e resolver situaçõesproblemaque envolvam a ideia de fração (parte-todo) e também de razão e divisão.

u Compreender o conceito de razão eproporção.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

95

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).

Obs.: o símbolo +

Exemplos:

i) 65

1210

+ são razões equivalentes, pois: 65

1210

22 =$$ ou 6

51210=

ii) 915

35

+ são razões equivalentes, pois: 915

35

33 =

'' ou 9

1535=

Exercícios resolvidos

poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da avaliação?


a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão,

18015

907

4539

15136 8= = =

1513 .

medidas:

x 2

x 2

:3

:3

:2

número de acertosnúmero de questões

=

:2 :2 :3

:2 :3

02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras, com as medidas:

01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão representa acomparação entre o número de acertos e o total de questões da avaliação?

20cm

20cm

30cm

30cm

12

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

96

quadrado e a medida do lado do quadrado .


quadrado Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do

lado do quadrado o máximo possível:

32 .


disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:

23 + 9 + 6 = 38

Então, basta escrevermos a seguinte razão:

3823=

3823 .

Atividades 01 Marcos Vinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática.

a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da atividade?b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de ques-tões da atividade?

lado do quadrado

lado do quadrado =

:

3020

32=

número de vitórias

número total de partidas disputadas

Do suporte temos as seguintes medidas:

03) O time de futebol do Gustavo obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas.Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Do enunciado temos que o time de futebol do Gustavo obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas noano de 2012.

Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas,primeiro somaremos a quantidade de vitórias, empates e derrotas:

Marcos Vinícius acertou 16 das 20 questões propostas por sua professora em uma atividade na aula de matemática.a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões da atividade?b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de questões da atividade?

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

97

c) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de erros da atividade?

Sugestão de solução:Do enunciado temos que Marcos Vinícius acertou 16 questões, como a avaliação tinha 20 questões, ele errou 4 questões.

a)

Portanto, a razão é 54 .

b)


c)


02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?Sugestão de solução:

Do enunciado temos que o time de futebol do Flamengo obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no ano de 2012.Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:12 + 14 + 12 = 38

Então, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:

3812

196= =


:2

:2

:4

:4

número de acertosnúmero total de questões 20

1654= =

:4

:4

número de errosnúmero total de questões 20

451= =

:4

:4

número de errosnúmero de acertos 16

441= =

número de vitóriasnúmero total de partidas disputadas

Solução:

Solução:

O time de futebol do Pedrinho obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas.

Do enunciado temos que o time de futebol de Pedrinho obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no anode 2012.

MATEMÁTICA

�00

MATEMÁTICA

98

03 Vanessa desenhou as seguintes figuras:

De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre:a) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .b) a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipotenusa do triângulo .

Sugestão de solução:Do enunciado temos que Vanessa desenhou dois triângulos onde a medida da hipotenusa do triângulo é de 5cm e a medida da hipotenusa do triângulo é de 25cm.

a) Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:


b) Como queremos determinar a razão entre a medida da hipotenusa do triângulo e a medida da hipote-nusa do triângulo , basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:

Portanto, a razão é 5.

:5

:5

hipotenusa do triângulo hipotenusa do triângulo 25

551= =

:5

:5

hipotenusa do triângulo

hipotenusa do triângulo 525

15

5= = =

Solução:

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

99

DESAFIO(Olimpíada Brasileira de Matemática - OBMEP 2007)Em uma certa cidade, a razão entre o número de homens e mulheres é

32 e entre o número de mulhe-

res e crianças é 18 . A razão entre o número de adultos e crianças é:

(A) 15

(B) 116

(C) 112

(D) 340

(E) 113

Sugestão de solução:Do enunciado temos:A razão entre o número de homens e mulheres é

32

32

mh

" = .

Ou seja, em cada 2 homens teremos 3 mulheres, 4 homens para 6 mulheres ou mesmo, 16 homens para 24 mulheres.A razão entre o número de mulheres e crianças é

18

18

cm

" = .Ou seja, em cada 8 mulheres teremos 1 criança, 16 mulheres para 2 crianças ou mesmo, 24 mulheres para cada 3 crianças .

Se para cada 16 homens temos 24 mulheres e para cada 24 mulheres temos 3 crianças, teremos 16 ho-mens para cada 3 crianças, ou, como pede o desafio, 24 + 16 = 40 adultos para cada 3 crianças

Portanto, a razão entre o número de adultos e crianças é de 340 .

Solução:

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

104

De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproxima-damente:(A) 14%.(B) 48%.(C) 54%.(D) 60%.(E) 68%.

Sugestão de solução:Pelo gráfico de colunas, podemos ver que os jogadores que concluíram o Ensino Médio são aqueles que estão indicados nas duas últimas colunas (é importante observar que para ingressar no Ensino Superior é necessário concluir o Ensino Médio). Logo, temos 54 + 14 = 68 jogadores que concluíram o ensino médio.Utilizando uma regra de três simples e lembrando que foram 112 jogadores pesquisados, temos:

112

68

100%

x

"

", onde x representa o percentual de jogadores que concluíram o ensino médio.

18112 100

112 68 1001126800

60,71%.x

x x" " "$ $=

Portanto, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente 60%.

AULA 30

Proporção Objetivo geral

Relembrar os conceitos de proporção.

Conceito básico

sentença que expressa uma igualdade entre duas razões.

Assim, dizemos que quatro números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, tomados nessa ordem, expressam uma proporção quando:

ou: :a b c dba

dc= =

Lê-se a está para b, assim como c está para d.

Exemplo:

6 : 9 12:18 ou 1812 ,=


Resolver, analisar e formular situações problema envolvendo porcentagem e proporcionalidade.

Construir estratégias para resolver situações que envolvem proporcionalidade.

Conceito básico

Matematicamente, uma proporção é uma sentençaque expressa uma igualdade entre duas razões.

AulA ��


u Resolver, analisar e formular situaçõesproblema envolvendo porcentagem eproporcionalidade.

u Construir estratégias para resolversituações que envolvem proporcionalidade.

u Compreender o conceito de razão eproporção.

6 12=

9 18MATEMÁTICA

105

Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção, onde a e d são denominados extremos e b e c são denominados meios.

Exemplo:

6 : 9 12:18 ou 196

1812= =

Propriedade fundamental das proporções

meios e vice-versa.

ba

dc

a d b c= =) $ $

Exemplo:

Use a propriedade fundamental da proporção.

Sugestão de solução: Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:

3 7 12 8,a b= =

Então podemos escrever a seguinte proporção, aplicando a propriedade fundamental:

73

2812 3 28 7 12

ba

dc

a d b c= =+ "$ $

produto dos extremos 3 2 4produto dos meios 7 12 84

:

: =$

$)

Exemplos

podem ser feitos com 25 kg de farinha?

Sugestão de solução: Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:

60 0025x

-

-

extremos

meios

extremo

meio extremo

meio

produto dos meios

produto dos extremos

MATEMÁTICA

�03

MATEMÁTICA

105

Os números a, b, c e d são denominados termos da proporção, onde a e d são denominados extremos e b e c são denominados meios.

Exemplo:

6 : 9 12:18 ou 196

1812

Propriedade fundamental das proporções

meios e vice-versa.

ba

dc

a d)

Exemplo:

Use a propriedade fundamental da proporção.

Sugestão de solução: Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:

3 7 12 e 28,a b c d= = = =

Então podemos escrever a seguinte proporção, aplicando a propriedade fundamental:

73

2812 3 28 7 12

ba

dc

a d b c= = = =+ " + "$ $ $ $

produto dos extremos 3 28 84produto dos meios 7 12 84

:

:

==$

$)

Exemplos

podem ser feitos com 25 kg de farinha?


600 10025x

-

-

extremos

meios

extremo

meio extremo

meio

produto dos meios

produto dos extremos

Solução:

Solução:

MATEMÁTICA

106

Daí, temos a seguinte proporção:

60025

100x

=

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:

600 25 100x=$ $

100 15 000x =

10015 000

x =

150x =

litros de suco aproximadamente ainda poderão serão feitos?


Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:

4025

26x

-

-, onde x


2540 26

x=


40 26 25x =

40 650x

40650

x =

16,25x =


480x-

-

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

106


60025

100x

=


600 2 00x=

15 000x =

10015 000

x =

150x =

litros de suco aproximadamente ainda poderão serão feitos?


Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:

4025

26x

-

-, onde x


2540 26

x=


40 26 25x =$ $

40 650x =

40650

x =

16,25x =


45 580

x-

-

Solução:

Solução:

6 129 18

MATEMÁTICA

107


54

580x=


4 580 5 x=$ $

5 2320x =

52320

x =

464x =

de moças e o de rapazes. Assim, temos:

464 580 1044+ =

Atividades 01 Sabendo que os números 6, 24, 5e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-mental determine o valor de x.Sugestão de solução:

Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:,6 24 5 ea b x= =

Então podemos escrever a seguinte proporção, onde aplicando a propriedade fundamental, temos:

246 5

6 24 5 6 1206

12020

ba

dc

a d b cx

x x+ " " "$ $ $ $= = = = = = =

Portanto, o valor de x é igual a 20.

02 Em uma determinada empresa uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela cons-truiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?Sugestão de solução:Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:200 16

42x

-

-, onde x é o valor em dinheiro que a secretária recebeu.

4 5=

x 580

03) Em um colégio, para cada 4 moças há 5 rapazes estudando. Como no colégio há 580 rapazesmatriculados, quantos estudantes existem no colégio?

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

107


54

580x=


4 580 5 x=

5 2320x

52320

x =

464x =

de moças e o de rapazes. Assim, temos:

464 580 1044+ =

Atividades 01 Sabendo que os números 6, 24, 5e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-mental determine o valor de x.Sugestão de solução:

Do enunciado temos que os números estão em ordem, assim:,6 24 5 ea b c d x= = = =

Então podemos escrever a seguinte proporção, onde aplicando a propriedade fundamental, temos:

246 5

6 24 5 6 1206

12020

ba

dc

a d b cx

x x x x+ " " " " "$ $ $ $= = = = = = =

Portanto, o valor de x é igual a 20.

02 Em uma determinada empresa uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela cons-truiu no fim do mês 42 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?Sugestão de solução:Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:200 16

42x

-

-, onde x é o valor em dinheiro que a secretária recebeu.

Solução:

Sabendo que os números 6, 24, 5 e o x formam, nessa ordem, uma proporção, aplicando a propriedade funda-

Solução:

MATEMÁTICA

108

Daí, temos a seguinte proporção:200

4216

x=


200 42 16x$ $=

16 8400x =

168400

x =

525x =

Portanto, a secretária recebeu R$ 525,00.

03 Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários para 2 kg de farinha?Sugestão de solução:

Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:, 5

2x

-

-, onde x é a quantidade de ovos a serem gastos.


220,5

x=

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:2 2 0,5x= (Transformando 0,5 em fração temos

21 )

21

4x =

x $=

8x =

Portanto, serão necessários 8 ovos.

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

108

Daí, temos a seguinte proporção:200

4216

x=


200 42 16x=

16 8400x =

168400

x =

525x =

Portanto, a secretária recebeu R$ 525,00.

03 Em uma receita de bolo, são necessários 2 ovos para cada 0,5 kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários para 2 kg de farinha?Sugestão de solução:

Do enunciado, podemos escrever a seguinte relação:2 0,5

2x

-

-, onde x é a quantidade de ovos a serem gastos.


220,5

x=

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:2 2 0,5x$ $= (Transformando 0,5 em fração temos

21 )

21

4x =

4 2x $=

8x =

Portanto, serão necessários 8 ovos.

Solução:

MATEMÁTICA

109

DESAFIO(Enem 2011)Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, (A) 0,23 e 0,16. (B) 2,3 e 1,6.(C) 23 e 16. (D) 230 e 160. (E) 2 300 e 1 600.Sugestão de solução:Do enunciado, temos a gravura onde a distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2300 mm e que altura b entre o solo e o encosto do piloto é de 160 cm. Como queremos o valor das medidas a e b em metros, respectivamente, primeiro vamos transformar mm e cm em m. Assim, usando a tabela básica das unidades de medidas, temos que:

1 0

m dcm cm m

Logo, temos que 1 m corresponde a 100 cm e a 1000 mm.

Agora, vamos calcular os valores de a e b em metros.Então, podemos escrever as seguintes relações:

)1000

2300

1mm

mm

m

ai

-

-


23001000 1

a=

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,(A) 0,23 e 0,16. (B) 2,3 e 1,6. (C) 23 e 16.(D) 230 e 160. (E) 2 300 e 1 600.

MATEMÁTICA

�0�

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109

DESAFIO(Enem 2011)Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, (A) 0,23 e 0,16. (B) 2,3 e 1,6.(C) 23 e 16. (D) 230 e 160. (E) 2 300 e 1 600.Sugestão de solução:Do enunciado, temos a gravura onde a distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2300 mm e que altura b entre o solo e o encosto do piloto é de 160 cm. Como queremos o valor das medidas a e b em metros, respectivamente, primeiro vamos transformar mm e cm em m. Assim, usando a tabela básica das unidades de medidas, temos que:

1 0 0 0

m dcm cm m

Logo, temos que 1 m corresponde a 100 cm e a 1000 mm.

Agora, vamos calcular os valores de a e b em metros.Então, podemos escrever as seguintes relações:

)1000

2300

1mm

mm

m

ai

-

-


23001000 1

a=

MATEMÁTICA

110

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:1000 2300 1a$ $=

1000 2300a =

10002300

a =

2,3a =

Logo, distância a entre os eixos dianteiro e traseiro é de 2,3 m.

)100

160

1cm

cm

m

bii

-

-


160100

b1=

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:100 160 1b$ $=

100 160b =

100160

b =

1,6b =

Logo, a altura b, entre o solo e o encosto do piloto, é de 1,6 m.Portanto, as medidas a e b são, respectivamente, 2,3 m e 1,6 m.

Solução:

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

111

AULA 31

Proporção – PropriedadeObjetivo geral

Aplicar as propriedades das proporções matemáti-cas na resolução de situações problema.

Conceito básico

Na aula anterior estudamos a propriedade fundamental das proporções. É uma propriedade extremamente importante no estudo de proporções,

de outros propriedades das proporções. A seguir vamos analisar duas delas:

1ª propriedade:

Dizemos que em toda proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).

Matematicamente, temos:

Soma

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= = ="

+ + + +

Demonstração

Prove que:

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= = ="

+ + + +

Considere as proporções:

eba

dc

ab

cd= =

1 1 e 1 1ba

dc

ab

cd+ = + + = +

ba

bb

dc

dd

ab

aa

cd

cc+ = + + = +


Resolver, analisar e formular situações problema envolvendo porcentagem e proporcionalidade.

Construir estratégias para resolver situações que envolvem proporcionalidade.

Conceito básico

Na aula anterior estudamos a propriedadefundamental das proporções. É uma propriedadeextremamente importante no estudo de proporções,porém, não é a única. Existem, na matemática, umasérie de situações as quais são necessárias a aplicaçãode outras propriedades das proporções. A seguiranalisaremos duas delas:

AulA 30


u Resolver, analisar e formular situaçõesproblema envolvendo porcentagem eproporcionalidade.

u Construir estratégias para resolversituações que envolvem proporcionalidade.

MATEMÁTICA

�0�

MATEMÁTICA

112

b

a bd

c da

b ac

d ca

a bc

c d+ = + + = + + = +"

c.q.d

2ª propriedade:

Dizemos que em toda proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a diferença dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto).

Matematicamente, temos:

Subtração

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= - = - - = -

"

Demonstração

Prove que:

eba

dc

aa b

cc d

ba b

dc d= - = - - = -

"

Considere as proporções:

eba

dc

ab

cd= =

1 1 e 1 1ba

dc

ab

cd- = - - = -

ba

bb

dc

dd

ab

aa

cd

cc- = - - = -

ba b

dc d

ab a

cd c- = - - = -

aa b

cc d- = -

c.q.d

Exemplos

Sugestão de solução: Do enunciado temos:

Solução:

MATEMÁTICA

��0

MATEMÁTICA

113

Assim, fazendo x = o número de moças e y = o número de rapazes, temos o sistema:

20x y

yx

57

- =

=* 4

Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

57

77 5 (como 20) 20

72 2 140 70

yx

xx y

x yx

x x=-

= - - = = = =" " " "

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:

20 70 20 20 70 50 ( 1) 50x y y y y y- = - = - =- - - =- - =" " " "

tinta azul, na razão de 5 para 3. Sabendo que ele vai utilizar 24 l dessa mistura, quantos litros de cada cor de tinta serão necessários?

Sugestão de solução: Do enunciado temos:

ii) vai ser utilizado 24 l da mistura das tintas 24tinta azul tinta branca l=+"

Assim, fazendo x = tinta branca e y = tinta azul, temos o sistema:

35

24yx

x y

=

+ =* 4

Como temos uma soma x + yequação temos:

35

55 3 (como 24) 24

58 8 120 15

yx

xx y

x yx

x x=+

= + + = = = =" " " "

Logo, substituindo o valor de x na segunda equação temos:

24 15 24 24 15 9x y y y y+ = + = = - =" " "

l de tinta branca e 9 l de tinta azul.

Solução:

02) Para pintar uma parede da sala de cor diferente, Ricardo deve misturar tinta branca com tinta azul,na razão de 5 para 3. Sabendo que ele irá utilizar 24 l dessa mistura, quantos litros de cada cor de tintaserão necessários?

ii) serão utilizados 24 l da mistura das tintas → tinta azul + tinta branca = 24 l

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

114


Do enunciado temos:

Assim, fazendo x = idade do pai e y

45

27

x y

yx

+ =

=* 4

Como temos uma subtração x + yequação temos:

27

77 2 (como 45) 45

79 9 315 35

yx

xx y

x yx

x x=+

= + + = = = =" " " "

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:

45 35 45 45 35 10x y y y y+ = + = = - =" " "

Atividades 01 Jéssica foi fazer uma laranjada e para isso misturou caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9. Quantos litros de caldo de laranja e de água serão necessários para fazer 5,5 l de laranjada?Sugestão de solução:

Do enunciado temos:i) mistura de caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9 ii) a laranjada vai ter 5,5 lAssim, fazendo x = caldo de laranja e y = água, temos o sistema:

92

5,5yx

x y

=

+ =* 4

Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

92

22 9

(como 5,5)5,5

211

11 11 1yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =

Solução:

Solução:

03) A soma das idades de Rogério e de seu filho é 45. Sabendo que a idade do pai está para a idade dofilho, assim como 7 está para 2, qual será a idade do pai e a do filho?

Jéssica fez uma laranjada e para isso misturou caldo de laranja com água, na proporção de 2 para 9.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

115

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:5,5 1 5,5 5,5 1 4,5x y y y y" " "+ = + = = - =

Portanto, serão necessários 1 l de caldo de laranja e 4,5 l de água.

02 A diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anos. Sabendo que a idade do mais velho está para a idade do mais novo, assim como 5 está para 3. Qual é a idade dos dois irmãos?Sugestão de solução:

Do enunciado temos:i) a diferença entre a idade de dois irmãos é de 12 anosii) a razão entre a idade do mais velho e a idade do mais novo é de 5 para 3Assim, fazendo x = idade do irmão mais velho e y = idade do irmão mais novo, temos o sistema:

12

35

x y

yx

- =

=* 4

Como temos uma subtração x - y, então aplicando a 2ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

35

55 3

(como 12)12

52

2 60 30yx

x

x yx y

xx x" " " "=

-=

-- = = = =

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:12 30 12 30 12 18 ( 1) 18x y y y y y" " " "- = - = - = - - - - ==

Portanto, o irmão mais velho tem 30 anos e o mais novo tem 18 anos.

03 Em um grupo de 300 pessoas. Sabe-se que a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2, quantos homens e quantas mulheres fazem parte desse grupo?Sugestão de solução:

Do enunciado temos:iii) um grupo de 300 pessoas (homens + mulheres = 300) iv) a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2Assim, fazendo x = homens e , temos o sistema:

300

23

x y

yx

+ =

=* 4

Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equação temos:

23

33 2

(como 300)300

35

5 900 180yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =

Solução:

Solução:

A diferença entre as idades de dois irmãos é igual a 12. Sabendo que a idade do mais velho está para a idadedo mais novo, assim como 5 está para 3, qual será a idade dos dois irmãos?

Em um grupo de 300 pessoas, sabe-se que a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para 2. Quantos homens e quantas mulheres fazem parte desse grupo?

i) a diferença entre as idades de dois irmãos é de 12 anos

MATEMÁTICA

��3

MATEMÁTICA

116

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:300 180 300 300 180 120x y y y y" "+ = + = = - =

Portanto, fazem parte desse grupo 180 homens e 120 mulheres.

DESAFIOEm um determinado colégio o professor de Matemática desafiou seus alunos a descobrirem as idades de seus dois filhos, em anos. Para isso, ele deu as seguintes informações:i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.ii) A razão entre a idade do mais velho e do mais novo é de 5 para 3.iii) A soma das idades era 16 anos.Qual a idade de cada filho do professor?Sugestão de solução:Do enunciado temos:i) O mais velho tinha x anos e o mais novo tinha y anos.ii) A razão entre a idade do filho mais velho e do filho mais novo é de 5 para 3.iii) a soma das idades é 16 anos.

Assim, x = idade do filho mais velho e y = idade do filho mais novo.Logo, podemos escrever o sistema:

35

16yx

x y

=

+ =* 4

Como temos uma subtração x + y, então aplicando a 1ª propriedade das proporções, na segunda equa-ção temos:

35

35 3

(como 16)16

58

8 80 10yx

x

x yx y

xx x" " " "=

+=

++ = = = =

Logo, substituindo o valor de x na primeira equação temos:16 10 16 16 10 6x y y y y" " "+ = + = = - =

Portanto, o filho mais velho do professor tem 10 anos e o mais novo tem 6 anos.

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

117

AULA 32

Exercícios envolvendo razão e proporçãoObjetivo geral

Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a razão e proporção.

Itens e questões 01 Determine dentre as frações a seguir a única que é uma proporção da fração

342156 .

a) 5778

b) 171156

c) 156171

d) 5726


02 A forma irredutível da fração 864576 é:

a) 72

b) 43

c) 32

d) 73


03 Identifique o par de frações que encontra-se em proporção.

a) 1016

e2060

b) 189

e8060

AulA 3�

Solução: d.

Solução: c.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

118

c) 12072

e2012

d) 2018

e7054


04 Determine a forma irredutível da fração 12096 .

05 Encontre uma fração que esteja em proporção com 53 e que seja uma fração composta por múltiplos de 6.

06 Determine o valor de x de forma que as frações 2812 e 36

x estejam em proporção.

AULA 33

Perímetro de polígonos diversosObjetivo geral

Calcular perímetro de polígonos diversos, desper-tando no aluno o interesse por geometria.

Conceitos Básicos

segmentos de retas e caracterizam-se pelos seguintes


Determinar o perímetro de polígonos diversos, como quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio e hexágono.

Solução: c.

4Solução: ─5

18Solução: ─30

Solução: x = 84

AulA 3�


u Determinar o perímetro depolígonos diversos, como quadrado,retângulo, losango, paralelogramo,trapézio e hexágono.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

119

Seguem alguns polígonos

Quadrado Retângulo Losango

Paralelogramo Trapézio Hexágono

Existem diversos outros polígonos que não serão citados no momento mas que são bastante utilizados na

a pesquisa sobre eles.

Perímetro (2P): É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.

Observando os dados responda:

Existem outros polígonos que não serão citados no momento mas que são bastante utilizados namatemática, em outras áreas do conhecimento, no dia-a-dia e na natureza. Portanto, fica como atividadeextra a pesquisa sobre eles.

Quando estudamos os polígono é extremamente importante entendermos como se obter o perímetrodos mesmos.

Perímetro (2P): É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.

Veja o exemplo: A figura a seguir apresenta um retângulo (dimensões 30m e 40 m) e umquadrado (lado 20 m).

MATEMÁTICA

��

a) Qual perímetro de retângulo e do quadrado?b) Qual perímetro total da figura?

Solução:a) Retângulo: 2P = 40 + 40 + 30 + 30 = 140 m e Quadrado: 2P = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 mb) 2P total = 2P (retângulo) + 2P (quadrado) = 140 + 80 = 220 m.

Solução: Letra b.

Atividades0�

I II III IV

O lado de cada quadradinho da malha abaixo mede 1 cm.

De acordo com a figura analise as afirmações:I – O perímetro da figura I é 12 cm.II – O perímetro da figura II é 12 cm.III – O perímetro da figura III é 16 cm.IV – O perímetro da figura IV é 14 cm.Quais das afirmações acima são verdadeiras?a) I, II e III.b) I, III e IVc) II, III e IVd) Todas estão corretas.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

121

02 Observe a figura a seguir:

Determine:a) O perímetro do retângulo maior considerando os pontilhados.b) O perímetro da região em destaque, formada pela união dos pontos.

Sugestão de soluçãoa) Basta calcular o perímetro do retângulo de dimensões 9 cm e 5cm.P = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 cmb) Perímetro da região em destaque.P = 22 cm

03 Apresentamos a seguir dois polígonos:

Figura 01 Figura 02

De acordo com as figuras é correto afirmar quea) O perímetro da figura 01 é 12,2cm e o perímetro da figura 02 é 17,3cm.b) O perímetro da figura 02 em relação à figura 01 teve um acréscimo de 60%. c) A diferença do perímetro da figura 02 para figura 01 é de 6,1cm.

Sugestão de soluçãoAlternativa correta = c

Solução:a) Basta calcular o perímetro do retângulo de dimensões 9 cm e 5cm.P = 9 + 9 + 5 + 5 = 28 cmb) Perímetro da região em destaque.P = 22 cm

Solução: Letra C

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

122

Justificando as demais alternativasa) Perímetro da figura 01 = 12,2cm Perímetro da figura 02 = 18,3cm b) Figura 02 teve acréscimo de 50%.

DESAFIOUm milionário construiu sua casa em um condomínio de luxo. Ele deseja cercar o lote em que construiu sua mansão.

Fonte: Disponível em: <http://www.escolakids.com/perimetro-de-um-poligono.htm/>. Acesso em: 12 de dez. 2012.

Observando a vista panorâmica do lote calcule:a) Quantos metros de cerca ele deverá fazer considerando as dimensões da figura?b) Quantos metros de cerca ele deverá fazer se aumentar em cada dimensão da casa 2 metros?Sugestão de soluçãoa) P = 13 + 10 + 97 + 50 + 100 + 30 + 10 + 10 = 320mb) P = (13 + 2) + (10 + 2) + (97 + 2) + (50 + 2) + (100 + 2) + (30 + 2) + (10 +2) + (10 +2) = 336m

Soluçãoa) P = 13 + 10 + 97 + 50 + 100 + 30 + 10 + 10 = 320mb) P = (13 + 2) + (10 + 2) + (97 + 2) + (50 + 2) + (100 + 2) + (30 + 2) + (10 +2) + (10 +2) = 336m

b) Quantos metros de cerca ele deverá fazer se aumentar em cada dimensão do lote 2 metros?

MATEMÁTICA

��0

MATEMÁTICA

123

AULA 34

Área de polígonos: quadrados e retângulosObjetivo geral

Reconhecer e calcular áreas de quadrados e retângulos.

Conceitos básicos

Retângulos são quadriláteros que possuem somente ângulos retos. Desta forma, o quadrado

possui todos os seus ângulos retos. A diferença entre o quadrado e retângulo, portanto, se dá por conta do quadrado possuir todos os seus lados iguais.

Para calcular a área de um retângulo basta multiplicar a sua base (b) por sua altura:

A = b . h

a base e a altura tem o mesmo tamanho, podemos usar lado x lado, ou ainda, lado ao quadrado.

A = l2

Exemplo:


Compreender e utilizar as fórmulas de área de figuras planas como triângulo, losango, paralelogramo, trapézio, retângulo, hexágono etc. e de área de superfície de figuras não planas como o cubo, o cilindro, e o paralelepípedo.

Objetivo geral

Reconhecer e calcular áreas de quadrados e retângulos.

Conceitos básicos

Retângulos são quadriláteros que possuem somente ângulos

retos. Desta forma, o quadrado também é considerado um

retângulo pois, possui todos os seus ângulos retos. A diferença

entre o quadrado e retângulo, portanto, se dá por conta do

quadrado possuir todos os seus lados iguais.

Daí podemos afirmar que todo quadrado é um retângulo mas

nem todo retângulo é um quadrado.

AulA 33


u Compreender e utilizar as fórmulasde área de figuras planas comotriângulo, losango, paralelogramo,trapézio, retângulo, hexágono etc. e deárea de superfície de figuras nãoplanas como o cubo, o cilindro, e oparalelepípedo.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

124

a área de ambos separadamente e, em seguida, somá-las.

Área do quadrado: A = l2

A = 52 = 25 cm2

Área do retângulo: A = b . h cm2

Então ATotal = AQuadrado +ARetângulo cm2

Atividades 01 Determine a área da região azul na figura a seguir.

O lado do quadrado vermelho mede 4cm.Sugestão de solução:

A área do quadrado maior é 2 8 2 8 4 8 32A cm2$ $= = = A área do quadrado menor (vermelho) é 4 4 16A cm2$= = Logo, a área azul será 32 16 16 cm2- =

A = 5² = 25 cm²

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

125

02 Observe a figura a seguir

Sabendo que os retângulos B e C possuem as mesmas dimensões, qual a área da região A? Sugestão de solução:

Aregião_A = 15 . 7 – 2 . 5 . 5 = 105 - 50 = 55 m2

03 O lado de um quadrado mede 10 cm. Se aumentarmos em 50% a medida dos seus lados, qual a medida da área do novo quadrado?Sugestão de solução:

A = 15 . 15 = 225 cm2

DESAFIOAs flores de Geometrix têm formatos muito interessantes. Algumas delas possuem a forma mostrada na figura abaixo na qual há seis quadrados e doze triângulos equiláteros.

Uma abelha pousou no ponto destacado e andou sobre a borda da flor no sentido horário até voltar ao ponto inicial. Sabendo que a região cinza tem 24 cm² de área, qual é a distância percorrida pela abelha?Sugestão de solução:A área destacada corresponde à soma das áreas de seis quadrados. Portanto, cada quadrado possui 4 cm² de área e lado 2 cm.Os lados dos quadrados e dos triângulos equiláteros são todos iguais. Uma volta completa da abelha em torno da flor corresponde a 24 vezes o lado do quadrado, ou seja, 48 cm.

Solução:65 m²

Solução: 15 · 15 = 225 cm²

Solução:

MATEMÁTICA

��3

MATEMÁTICA

126

AULA 35

Área de polígonos – TriângulosObjetivo geral

Compreender a ideia e calcular a área de triângulos.

Conceito básico

O foco desta aula será o cálculo da área de um

sociedade por conta de suas diversas aplicabilidades do dia-a-dia. Discuta com o professor sobre as aplicabilidades do triângulo.

A ideia do cálculo da área de uma região triangular surge do retângulo, uma vez que, a diagonal de um retângulo sempre divide o mesmo em dois triângulos.

Observe:

retângulo



Note que em qualquer uma das figuras a área do triângulo ABC é igual a metade da área do retângulo.

Área do retângulo = b x h

AulA 3�



MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

127

Assim, de modo geral, temos que:

2b h$

Onde: b = medida da base do segmento AB; h = medida da altura relativa ao lado do segmento AB.

Por exemplo: Observe os triângulos a seguir:

Para determinarmos a área do triângulo ( I ) devemos fazer:

2 213 9 58,5A

b hcmI

2= = =$ $

Já a área do triângulo ( II) será calculada da seguinte maneira:

2 212 9 54A

b hcmII

2= = =$ $

Uma outra maneira de se calcular a área de um triângulo qualquer desde que sejam conhecidas as medidas de seus lados a, b e c

A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h

sendo 3pa b c= + + o semiperímetro do triângulo

a, b, c " as medidas dos lados do triângulo

2

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

128

Assim sendo, observe o triângulo abaixo:

Temos que a medida do perímetro (2P) deste triângulo será:

Portanto, o semiperímetro (P) terá a medida igual a

22

244 22 22P

Pcm P cm= = = ="

Pela fórmula de Heron A p p a p b p c= - - -$ $ $^ ^ ^h h h , então

22 22 13 22 14 22 15 22 9 8 7 11088A p p a p b p c cm2= - - - = - - - =$ $ $ $ $ $ $ $ $ =^ ^ ^ ^ ^ ^h h h h h h

Atividades 01 Observe os triângulos a seguir e descubra o valor de suas respectivas áreas.

Sugestão de soluçãoa) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 26 6

236

18Ab h

A"$ $= = = = .

Logo, a área do triângulo é 18 cm2.

b) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 212 10,5

2126

63Ab h

A cm2"

$ $= = = =

Observe os triângulos a seguir e descubra o valor de suas respectivas áreas.

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

129

c) Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 28,8 6,6

258,08

29,04Ab h

A cm2"

$ $= = = =

Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2.

02 Um pequeno pedaço de madeira tem a forma e as medidas indicadas na figura. Qual é a área desse pedaço de madeira?

Sugestão de solução:Aplicando a fórmula da área de triângulo, temos:

2 214 5,5

277

38,5Ab h

A cm2"

$ $= = = =

Logo, a área do pedaço de madeira é 38,5 cm2.

03 Aplicando a fórmula de Heron descubra o valor da área do triângulo cujos lados medem: 30 cm, 20 cm e 14 cm.

Sugestão de soluçãoAplicando a fórmula de Heron temos:

2 230 20 14

264

32pa b c

cm2=

+ +=

+ += =

A p p a p b p c$ $ $= - - -^ ^ ^h h h

30 32 30 32 20 32 14A $ $ $= - - -^ ^ ^h h h

30 2 12 18A $ $ $= ^ ^ ^h h h

12 960A =

113,84A cm2, de área

Solução:

Um pequeno pedaço de madeira tem a forma e as medidas indicadas na figura. Qual é a área da superfície indicadana margem desse pedaço de madeira?

Aplicando a fórmula de Heron descubra o valor da área do triângulo cujos lados medem: 30 cm, 20 cm e 14 cm.Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

130

DESAFIOUm quadrilátero de papel foi recortado de acordo com a figura e as medidas nela indicadas. Sabendo que as medidas estão em centímetros, determine a área da região A1+ A2.

Sugestão de soluçãoAplicando a fórmula da área de triângulo,vamos calcular o valor da área da metade da figura que exata-mente igual a A1 + A2:

2 2100 60

26000

3 000Ab h

cm2$ $= = = =

214 5,5

277

38,5 cm2$ = =

Logo, A1 + A2 = 3 000 cm2 de área.

Logo, A1 + A2 = 3 000 cm2 de área.

SoluçãoAplicando a fórmula da área de triângulo,vamos calcular o valor da área da metade da figura que é exatamenteigual a A1 + A2:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

131

AULA 36

Área de polígonos: paralelogramoObjetivo geral

Reconhecer e calcular a área do paralelogramo.

Conceitos básicos

opostos são iguais e paralelos.

O paralelogramo possui as seguintes propriedades:

Ângulos opostos iguais.

Possui simetria rotacional.

A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

Os lados opostos e seus ângulos opostos são iguais.

Os ângulos de mesmo lado são suplementares.

As diagonais são suas próprias bissetrizes.



AulA 3�



MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

132

Área de um paralelogramo

A área de um paralelogramo será determinada pelo produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

Exemplo:

A = b . h

Atividades 01 Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por 15 cm e 5 cm. Se construirmos outro paralelogramo que tenha o dobro das medidas da base e altura do outro paralelogramo, qual será a diferença entre as áreas dos mesmos?Sugestão de solução:

O primeiro paralelogramoA = 15.5 = 75 cm²O novo paralelogramo terá 30 cm de base e 10 de altura.Então A = 30. 10 = 300cm²A diferença será 300 – 75 = 225 cm²

02 Na figura abaixo PS mede 33 cm, PQ mede 5 cm, a área do triângulo 1 mede 25 cm² e a área do triângulo 3 mede 7,5 cm². Calcule a área do paralelogramo 4.

Sugestão de solução: O triângulo 1 temos A = 25c m² e altura = 5cm

Solução:

Solução:No triângulo 1 temos A = 25 cm² e altura = 5 cm

MATEMÁTICA

�30

MATEMÁTICA

133

Como área do triângulo é 2

base altura#

Temos: 25

25

5 50

10

b

b

b cm

$

$

=

=

=

No triângulo 3 temos A = 7,5 cm2 e altura = 5 cm

Então, 25

7,5

5 15

3

b

b

b cm

$

$

=

=

=

Como PS = 33 cm, a base do paralelogramo 4 será:33 – 3 – 10 =2 0 cm

Área do paralelogramo A = b . a = 20 . 5 = 100 cm2

03 No plano coordenado, os vértices de um paralelogramo são os pontos A = (-3, -2), B = (6, -2), C = (10, 3) e D = (1, 3). Determinar a área do paralelogramo ABCD.


Seja AB a base do paralelogramo e h sua altura, então, AB = 6 - (-3) = 9h = 3 - (-2) = 5 A Área do Paralelogramo é a base vezes a altura, então,A = 9 . 5 = 45 unidades de área.

No triângulo 3 temos A = 7,5 cm² e altura = 5 cm

33 – 3 – 10 = 20 cm

MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

134

DESAFIO(UERJ- 2010) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos PA e CQ em três partes, como mostra a figura.

Admita que os segmentos de reta PA e CQ estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. Determine o maior valor, em m2, que S pode assumir.Sugestão de solução:

y será a base e x a altura do paralelogramo.Através da figura vamos montar um sistema para encontra o valor de x e y.

4 2 800

2 400

400 2

400 2 400 2

x y

x y

y x

S xy x x x xPAQC2

+ =

+ =

= -

= = - = -^ h

Logo, S máxima é o ponto máximo da parábola, que é o y do vértice

4 44

8160000

20.000a a

b acm

2

2--

=-

=-

-=D ^ h

Solução:

MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

135

AULA 37

Área de polígonos: trapézioObjetivo geral

Conceitos básicos

paralelos, chamados de base maior e base menor. Para calcular sua área temos que somar as duas bases, dividir por dois e multiplicar o resultado pela altura.

Exemplos:

2ABase menor Base maior Altura= + $^ h

2AB b h= + $^ h

250 20 30

270 30

1050

A

A

A m2

= +

=

=

$

$

^ h



AulA 3�



MATEMÁTICA

�33

MATEMÁTICA

136

Atividades 01 No banheiro do colégio BOA NOTA será colocado um espelho com a forma e dimensões da figura abaixo. Precisa calcular a área do espelho para saber quanto ele custará. Então, qual é a área deste espelho?

Sugestão de solução: Base menor = 2,8 dmBase maior = 1,4 + 1,4 + 2,8 = 5,6 dmAltura = 2,8 dm

22,8 5,6 2,8

28,4 2,8

11,76

A

A

A dm2

$

$

=+

=

=

^ h

02 A piscina de um clube em caldas novas tem um formato de um trapézio. A professora Ana levou seus alunos para um passeio neste clube e chegando lá pediu a eles que calculassem a área desta piscina. A administração do clube informou a eles as medidas necessárias. Observe o desenho a seguir e calcule sua área.

ne a área deste espelho.

Solução:

No banheiro do colégio BOA NOTA será colocado um espelho com a forma e dimensões da figura abaixo. Determi-

clube e chegando lá pediu a eles que calculassem a área desta piscina. A administração do clube informou a eles asdimensões da piscina. Observe o desenho a seguir e calcule sua área.

A piscina de um clube tem o formato de um trapézio. A professora Ana levou seus alunos para um passeio neste

MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

137


216 6 8

88A m2$=+

=^ h

03 Com o excesso de chuvas na estrada entre Goiânia e Nerópolis surgiu um buraco que precisa ser pavimentado. A área deste buraco é igual a 384 cm2. Para chegar a este cálculo foi necessário saber as dimensões do buraco. Observe o desenho abaixo e calcule a base maior, a base menor e a altura.


22 2

23 2

3Ax x x

Ax x

x2

"$ $=

+= =

^ h

Então:3 384

128

8 2

x

x

x cm

2

2

=

=

=

8 2

2 8 2 16 2

16 2

Base menor cm

Base maior cm cm

Altura cm

$

=

= =

=

DESAFIOA área cinza do gráfico a seguir, representa a distância percorrida por uma pessoa em uma pista de corrida. Qual foi a distância que essa pessoa percorreu, no intervalo entre 0 e 10 segundos?

Sugestão de solução: Base menor = 2; Base maior = 4; Altura = 10.

24 2 10

260

30A m$=

+= =

^ h

Solução:

384 cm².

Determine a área especificada na região cinza delimitada no gráfico a seguir.

Observe o trapézio a seguir e determine as dimensões de suas bases (menor e maior) sabendo que sua área é de

MATEMÁTICA

�3�

AulA 3�

Áreas das superfícies do cubo, cilindro eparalelepípedo

MATEMÁTICA

142

AULA 39

Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedoObjetivo geral

Reconhecer o cubo, o cilindro e o paralelepípedo

respectivas áreas, podendo essas encontrarem-se em situações contextualizadas.

Conceitos básicos

não planas ou espaciais chamadas de poliedros e corpos redondos (cilindros). Estes possuem três dimensões: altura, largura e comprimento.

O Cubo

Para calcularmos sua área, basta calcular a área de um dos quadrados que compõem sua

Acubo = 6 . Áquadrado = 6.a²

Por exemplo, se um cubo tem aresta a = 3cm, logo A = 6. 3² = 54 cm²



Objetivo geral

Reconhecer o cubo, o cilindro e o paralelepípedo entre asfiguras geométricas não planas e calcular suas respectivasáreas, podendo essas encontrarem-se em situaçõescontextualizadas.

Conceitos básicos

Neste aula veremos como obter a área da superfície docubo, do paralelepípedo e do cilindro.

Para calcular a área da superfície do cubo vamos planificá-lo:

À esquerda temos a imagem do cubo. Ele é formado por seis quadrados iguais. À direita temo sua

planificação.

Para calcularmos sua área, basta calcular a área de um dos quadrados que compõem sua planificação e

depois multiplicá-la por seis. Assim,

Acubo = 6 · Aquadrado = 6 · a²

Por exemplo, se um cubo tem aresta a = 3cm teremos que sua área será, A = 6 · 3² = 54 cm²

a

a

aa

a



MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

143

O Paralelepípedo

todos os retângulos são iguais. Isto faz com que encontremos formas diferentes de paralelepípedos.

A = b . h. Para calcular a área da superfície de um paralelepípedo, temos que calcular as áreas de todos os seis retângulos que o compõem e depois adicionar os resultados.

Exemplo:

Dois retângulos de AE dois retângulos de A = 7.5 = 35 cm²

Sendo assim, a área do paralelepípedo será 2 .

O cilindro

Para calcular a área da superfície do cilindro temos que calcular a área dos dois círculos e da

O ParalelepípedoPara entedermos o procedimento para se calcular a área da superfície de um paralelepípedo, primeiramente,

iremos planificá-lo:

À esquerda temos a imagem de um paralelepípedo, e a direita temos sua planificação que deixa claro a

composição de 6 retângulos. Observe que nem todos os retângulos são iguais. Isto faz com que

encontremos formas diferentes de paralelepípedos.

A área do retângulo é A = b · h. Para calcular a área da superfície de um paralelepípedo, temos que

calcular as áreas de todos os seis retângulos que o compõem e depois adicionar os resultados.

Exemplo:

O cilindroSe planificarmos o cilindro verificaremos que sua superfície é composta por, dois círculos iguais e um

retângulo. Observe:

Para calcular a área da superfície do cilindro devemos obter a área dos dois círculos e a área da superfícielateral (que é um retângulo), como mostra a figura anterior.

MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

144

Assim teremos:Acilindro = 2 . Ácírculo + Álateral 2 2 2r r h r h r2= + =$ $ $ $ $ $ $r r r +^ h

h r = 5.2 5 10 510 15150

A

A

A m2

= +==

$ $

$

r

r

r

^ h

Atividades 01 A área total da superfície de um cubo é igual a 54 cm². Calcule a medida da aresta deste cubo.Sugestão de solução

A = 6.a²54 = 6.a²a² = 9a = 3 cm

02 Maria tem uma caixinha de sapatos e quer decorá-la cobrindo-a com papel de presente. Esta é a caixinha de Maria:

Quantos cm² ela vai gastar de papel para cobrir a caixinha?Sugestão de solução

Área dos retângulos = 27 . 18 = 486 cm²27 . 9 = 243 cm²9 . 18 = 162 cm²A = 2 . (486 + 243 + 162) = 2 . 891 = 1 782 cm²Maria vai gastar 1 782 cm² de papel.

03 Uma indústria fabrica latas para embalagem em formato cilíndrico cujo raio da base mede 20 cm de compri-mento e sua altura mede 80 cm. Para fabricação dessas latas, a indústria utiliza chapas metálicas. Quantos centíme-tros quadrados de chapa são necessários para fabricar uma lata? (use r = 3,14).Sugestão de solução

r = 20 cmh = 80 cmA = 2 . π . r(h + r)

Solução:

Por exemplo, se neste cilindro a altura for 10 m e o raio da base 5 m, então: h = 10 e r = 5.

Solução:

Quantos cm² de papel serão utilizados para cobrir a caixinha?

Serão utlizados 1 782 cm² de papel.

Uma indústria fabrica latas para embalagem em formato cilíndrico cujo raio da base mede 20 cm de comprimentoe sua altura mede 80 cm. Para a fabricação dessas latas, a indústria utiliza chapas metálicas. Quantos centíme-

Solução:

MATEMÁTICA

�3�

MATEMÁTICA

145

A = 2 . 3,14 . 20 ( 80 + 20)A = 125,6 . 100A = 12 560 cm²Serão necessários 12 560 cm² de chapa metálica.

DESAFIOEm uma caixa de vidro com tampa, foi colocado um cilindro de cartolina como mostra a figura:

A caixa tem forma de um cubo de aresta 14 cm. Encontre cada uma das suas áreas e descubra qual das duas figuras tem a maior superfície. Sugestão de soluçãoA área do cubo será:A = 6 . a² = 6 . 14² = 1 176 cm²

Como a aresta do cubo mede 14 cm o raio do cilindro será a metade, isto é, 7 cm, e a altura será 14 cm.2

2 7 14 7

14 21 294

A r h r

A

A cm2

$ $

$ $

$

= +

= +

= =

r

r

r r

^

^

h

h

A área da superfície do cilindro é igual a 294 . 3,14 cm², que é, aproximadamente, 923,16 cm²Logo, o cubo terá a maior superfície

Solução:

A caixa tem a forma de um cubo de aresta 14 cm. Determine a diferença entre as áreas do cubo e do cilindro.

A = 14p · 21 = 294p cm² = 294 · 3,14 = 923,16 cm²Acubo - Acilindro = 1 176 - 923,16 = 252,84 cm²

~ ~

MATEMÁTICA

�3�

AulA 3�

Exercícios: área de superfície defiguras não plana (cubo, cilindro eparalelepípedo)Objetivo geral

Compreender e calcular a medida da área de superfície defiguras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicadosem avaliações externas.

MATEMÁTICA

146

AULA 40

Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externasObjetivo geral

Compreender e calcular a medida da área de

paralelepípedo, aplicados em avaliações externas.

Itens e questões 01 Observe o cubo a seguir.

A área dessa figura planificada é(A) 8 cm2. (B) 24 cm2.(C) 64 cm2.(D) 512 cm2.

Sugestão de soluçãoSabemos que o cubo tem 6 faces iguais, para obter a medida da área total dessa figura planificada devemos calcular o valor da área de uma face e em seguida multiplicar esse resultado por seis. Assim temos:Área de uma face = 8 x 8 = 64 cm2. Área total da figura planificada 64 x 6 = 512 cm2. Portanto, a área da figura planifica será 512 cm2.



(D) 384 cm².

Área total da figura planificada 64 x 6 = 384 cm².Portanto, a área da figura planifica será 384 cm².



��0

MATEMÁTICA

147

02 A superfície total de um cilindro planificado como mostra a figura abaixo, é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases.

A área total da superfície desse cilindro é (A) 28 cm2

r (B) 24 cm2

r (C) 20 cm2

r (D) 8 cm2

r Sugestão de solução:

Primeiramente, vamos calcular a área de um dos círculos e multiplicar o resultado por 2:2 4A r cm2 2 2$ $= = =r r r

Assim, a área dos dois círculos é igual a 2 4 8 cm2$ =r r .Em seguida, vamos calcular a área da superfície lateral (retângulo):

2 4 5 20A r h cm2$ $ $= = =r r r

Logo, a área total da superfície desse cilindro será a soma da área dos dois círculos e do retângulo é: 8 20 28cm cm cm2 2 2+ +r r r

Portanto, a área total da superfície desse cilindro é 28 cm2r

03 Dado um paralelepípedo de dimensões como mostra a figura a seguir

Solução:

Observe o paralelepípedo com as dimensões a seguir

2 cm

MATEMÁTICA

��

A medida da área total da superfície desse paralelepípedo é(A) 8 cm².(B) 24 cm².(C) 48 cm².(D) 56 cm².

MATEMÁTICA

148

A medida da área total da superfície desse paralelepípedo é(A) 8 cm2. (B) 24 cm2. (C) 48 cm2. (D) 56 cm2.

Sugestão de solução:Primeiramente, vamos calcular a medida da área de um dos quadrados e multiplicar o resultado por 2. Como no quadrado temos l = 2 cm, basta fazer o seguinte calculo.A = l x l = 2 x 2 = 4 cm2

Assim, a medida da área dos dois quadrados é A = 2 x 4 = 8 cm2. Em seguida, vamos calcular a medida da área de um dos retângulos e multiplicar o resultado por 4. Como no retângulo temos b = 2 cm e h = 6 cm, basta fazer o seguinte calculo.A = b x h = 2 x 6 = 12 cm2

Assim, a medida da área dos quatro retângulos é A = 2 x 12 = 48 cm2.Logo, a área total da superfície desse paralelepípedo será a soma da área dos dois quadrados e dos quatro retângulos é: 8 cm2 + 48 cm2 = 56 cm2

Portanto, a medida da área total da superfície desse paralelepípedo é 56 cm2.

04 Em cada sólido representado a seguir, calcule a medida de sua área total a)

Cilindro circular reto com 6 cm de raio da base e 12 cm de altura

b)

Medidas das arestas:2 cm, 4 cm e 6 cm MATEMÁTICA

149

c)

Medida da aresta:12 cm

Sugestão de ssolução:a) 216 cm2

r b) 88 cm2

r c) 864 cm2

05 A aresta de um cubo cuja a medida da área de sua superfície corresponde à 294 cm2 é igual a:a) 6 cmb) 7 cmc) 8 cmd) 9 cm

Sugestão de solução: b.

06 Determine a área lateral total de um paralelepípedo cujas dimensões são: 8 cm x 10 cm x 12 cm.Sugestão de solução:

592 cm2

Solução: a) 216p cm² b) 88p cm² c) 864p cm²

Solução: Letra D

MATEMÁTICA

��

A aresta de um cubo cuja a medida da área de sua superfície corresponde à 294 cm2 é igual a:a) 6 cmb) 7 cmc) 8 cmd) 9 cm

0�

Determine a área da superfície total de um paralelepípedo cujas dimensões são: 8 cm x 10 cm x 12 cm.0�

Solução: Letra b

Solução: 592 cm²

AulA 3�

Leitura de gráficos e tabelasObjetivo geral

Apresentar conceitos básicos de estatística. Organizar

os dados coletados em uma pesquisa, através de tabela, para

facilitar a análise.

Conceitos básicos

Estatística: É uma ciência que atua na coleta de dados

(planejamento e obtenção dos dados), na sua organização,

descrição (resumo e apresentação dos dados) e análise dos

dados (extrair conclusões para tomada de decisões).

População: Conjunto de todas as pessoas (objetos) que

têm em comum a característica que está sendo analisada.

Exemplo: Alunos da turma A

Amostra: É uma parte (parcela ou subconjunto) da população. Exemplo: alunos do sexo masculino da

turma A

Variável (Estatística): É o item a ser avaliado na pesquisa.

A variável pode ser definida como qualitativa ou quantitativa.

Variável quantitativa: quando seus resultados forem numéricos, tais como: peso, altura, idade, salário,

etc.

Variável qualitativa: quando forem resultados de classificações em categorias que não são números,

tais como, cor, sexo, estado civil, religião, times de futebol, etc.


u Construir tabelas e gráficos defrequências de dados estatísticos;

u Elaborar, oralmente ou por escrito,conclusões com base em leitura,interpretação e análise de informaçõesapresentadas em tabelas e gráficos.

u Traduzir informações contidas emtabelas e gráficos diversos.

MATEMÁTICA

��3

Tabela

É a forma de apresentar através de colunas e linhas, um conjunto de dados.A tabela deve ser construída de forma simples e conter informações claras e suficientes para o entendimento

do leitor. As informações são disponibilizadas no título (o quê,onde e quando se deu a pesquisa), na fonte (indicaonde foram coletados os dados) e nas colunas (variáveis e frequências).

Construção de tabela: A primeira coluna da tabela apresenta a variável e a segunda coluna consiste nasfrequências absolutas, ou seja, o número absoluto de ocorrências encontradas. Outras colunas serão inseridasposteriormente, com a inclusão de novos conteúdos.

Elementos essenciais em uma tabela:

1. Título (aparece no topo da tabela) – É o local da tabela onde aparece o assunto (variável) que estásendo apresentado, quando e onde ocorreu a pesquisa.

2. Corpo – São as colunas e as linhas da tabela onde aparecem informações sobre o assunto (variável) emestudo.

3. Fonte – Aparece no rodapé da tabela, é o local onde aparece o órgão ou instituição responsável pelainformação.

Exemplo: Colégio Estadual “Coronel Adamastor”, pesquisa realizada para obter a estaturaaproximada, em cm, dos alunos do turno noturno do ensino médio, no ano de 2011.

Para cada estatura contamos o número de ocorrências. Esse número obtido é chamado de frequência absoluta(fa) que será representado na tabela abaixo:

153 (4) 155 (2) 156 (4) 159 (3) 161 (7) 163 (10) 164 (4) 165 (3) 166 (3)172 (4) 175 (9) 177 (2) 178 (3) 179 (1) 180 (1)

MATEMÁTICA

151

3. Fonte –pela informação.

frequência absoluta (fa) que será representado na tabela abaixo:

Tabela 1

Estatura dos alunos do Ensino Médio/Noturno do Colégio Estadual Coronel Adamastor – 2011

Estatura (cm) Frequência absoluta (fa)153 4155 2156 4159 3161 7163 10164 4165 3166 3172 4175 9177 2178 3179 1180 1

Total 60Fonte: Secretaria do Colégio Estadual Coronel Adamastor

Título

Cabeçalho e colunas indicadoras

Corpo da tabela

Fonte

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

151

3. Fonte –pela informação.

frequência absoluta (fa) que será representado na tabela abaixo:

Tabela 1

Estatura dos alunos do Ensino Médio/Noturno do Colégio Estadual Coronel Adamastor – 2011

Estatura (cm) Frequência absoluta (fa)153 4155 2156 4159 3161 7163 10164 4165 3166 3172 4175 9177 2178 3179 1180 1

Total 60Fonte: Secretaria do Colégio Estadual Coronel Adamastor

Título

Cabeçalho e colunas indicadoras

Corpo da tabela

FonteMATEMÁTICA

152

Atividades 01 As salas de cinema de um shopping realizou em fevereiro de 2012, uma pesquisa com 30 pessoas, para saber as preferências de seus frequentadores e obteve os seguintes resultados:

Modalidade de Pipoca durante Pipoca e refrigerante dublado legendado

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Não Não

Terror Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Ação Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Terror Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Terror Não Não

A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa a preferência das pessoas pesquisadas que assistem alguma modalidade de filme, esse deve ser legendado e a pessoa pode estar comendo pipoca.B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa o gosto das pessoas por modalidade de filme e assistem filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

O cinema Filme Bom realizou uma pesquisa com 30 pessoas, para saber suas preferências e obteve os seguintesresultados:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

152

Atividades 01 As salas de cinema de um shopping realizou em fevereiro de 2012, uma pesquisa com 30 pessoas, para saber as preferências de seus frequentadores e obteve os seguintes resultados:

Modalidade de Pipoca durante Pipoca e refrigerante dublado legendado

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Não Não

Terror Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Ação Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Não Não

Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Não Não

Ação Não Não

Não Não

Terror Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Ação Não Não

Não Não

Suspense Não Não

Terror Não Não

A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa a preferência das pessoas pesquisadas que assistem alguma modalidade de filme, esse deve ser legendado e a pessoa pode estar comendo pipoca.B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que representa o gosto das pessoas por modalidade de filme e assistem filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

A. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente a preferência das pessoas pesquisadas que assistemalguma modalidade de filme, legendado onde a pessoa deve estar comendo pipoca sem refrigerante.B. Construa uma tabela de distribuição de frequência que represente o gosto das pessoas que assistem a filmes comendopipoca e tomando refrigerante.

MATEMÁTICA

153

Sugestão de soluçãoA. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.

Tabela II – Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendados que as pessoas prefe-rem, com a possibilidade de comer pipocas durante a seção – fevereiro de 2012.

fa

3

2

Ação 2

1

Terror 1

Suspense 1

Total 10

Fonte: Gerência de markting das salas do cinema

B. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

Tabela III – Anápolis, salas de cinema de um shopping, tipos de filme que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas e tomar refrigerante durante a seção – fevereiro de 2012.

fa

Ação 2

Suspense 4

1

3

2

Terror 2

Total 14


02 Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo quiseram saber as notas de todos os colegas da sala, o professor sem falar o nome dos alunos foi ditando as notas conforme apresentadas abaixo:

10 20 30 10 50 60 70 30 80 90 10 30

80 60 70 20 10 80 90 100 20 30 10 50

80 90 100 00 80 90 50 50 30 10 100 50

30 60 70 20 20 30 10 50 90 30 10 20

Organize as notas em ordem crescente ou decrescente (rol):

Solução:

A. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levando emconsideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.Tabela II – Tipos de filme legendados que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas sem refrigerantedurante a seção.

Fonte: Gerência Filme Bom (fictício)

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

153

Sugestão de soluçãoA. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (três), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme legendado e comendo pipoca.

Tabela II – Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendados que as pessoas prefe-rem, com a possibilidade de comer pipocas durante a seção – fevereiro de 2012.

fa

3

2

Ação 2

1

Terror 1

Suspense 1

Total 10


B. Para resolver a questão o aluno deve fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levan-do em consideração a modalidade do filme, assistir filme comendo pipoca e tomando refrigerante.

Tabela III – Anápolis, salas de cinema de um shopping, tipos de filme que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipocas e tomar refrigerante durante a seção – fevereiro de 2012.

fa

Ação 2

Suspense 4

1

3

2

Terror 2

Total 14


02 Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldo quiseram saber as notas de todos os colegas da sala, o professor sem falar o nome dos alunos foi ditando as notas conforme apresentadas abaixo:

10 20 30 10 50 60 70 30 80 90 10 30

80 60 70 20 10 80 90 100 20 30 10 50

80 90 100 00 80 90 50 50 30 10 100 50

30 60 70 20 20 30 10 50 90 30 10 20

Organize as notas em ordem crescente ou decrescente (rol):

B. Para resolver a questão o aluno deverá fazer a contagem do número de ocorrências das variáveis (duas), levandoem consideração a opção por assistir a filmes comendo pipoca e tomando refrigerante.

Tabela III – Tipos de filmes que as pessoas preferem, com a possibilidade de comer pipoca e tomar refrigerantedurante a seção.

Fonte: Gerência Filme Bom (fictício)

Após a aplicação do teste de matemática (valor de zero a cem pontos) os alunos da turma do professor Aroldoquiseram saber suas notas. O professor sem falar o nome dos alunos ditou-as conforme apresentado abaixo:

MATEMÁTICA

154

Sugestão de soluçãoPara a solução desse exercício os alunos fazem a opção de colocar as notas em ordem crescente ou decrescente.

00 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 2020 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 5050 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 8080 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100

03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda: O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos; O número de alunos que foram oprovadas no teste sabendo que a nota mínima é 60 pontos.

Sugestão de soluçãoTabela III – Colégio Estadual Anísio Teixeira, notas dos alunos de matemática da 3ª série do ensino médio, dezembro de 2011.

Notas fa00 110 820 630 850 660 370 380 590 5100 3

Total 48 23 alunos obtiveram notas inferiores a 50 pontos. 19 alunos foram aprovados no teste.

DESAFIONo inicio do ano de 2012, a bibliotecária da Escola Municipal “José Antônio da Fonseca” precisava identificar os 200 (duzentos) livros de matemática, os 150 (cento e cinquenta) livros de física, os 280 (duzentos e oitenta) livros de língua portuguesa, que estavam nas estantes da biblioteca. Deve organizar os livros de forma a ficarem juntos em cada estante, os livros separados por disciplina e por editora. A bibliotecária precisa saber também o número de livros de cada editora. A professora de Matemática ficou encarregada de organizar os livros, para isso ela contou com a participação de seus alunos que foram dividos em três grupos. Os dados foram organizados em uma tabela de distribuição de frequência.

Solução:

Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda:• O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos;• O número de alunos que foram aprovados no teste sabendo que a nota mínima deve ser de 60 pontos.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

154

Sugestão de soluçãoPara a solução desse exercício os alunos fazem a opção de colocar as notas em ordem crescente ou decrescente.

00 10 10 10 10 10 10 10 10 20 20 2020 20 20 30 30 30 30 30 30 30 30 5050 50 50 50 50 60 60 60 70 70 70 8080 80 80 80 90 90 90 90 90 100 100 100

03 Aproveitando os dados do exercício anterior, represente as notas obtidas em uma tabela e em seguida responda: O número de alunos que obtiveram notas inferiores a 50 pontos; O número de alunos que foram oprovadas no teste sabendo que a nota mínima é 60 pontos.

Sugestão de soluçãoTabela III – Colégio Estadual Anísio Teixeira, notas dos alunos de matemática da 3ª série do ensino médio, dezembro de 2011.

Notas fa00 110 820 630 850 660 370 380 590 5100 3

Total 48 23 alunos obtiveram notas inferiores a 50 pontos. 19 alunos foram aprovados no teste.

DESAFIONo inicio do ano de 2012, a bibliotecária da Escola Municipal “José Antônio da Fonseca” precisava identificar os 200 (duzentos) livros de matemática, os 150 (cento e cinquenta) livros de física, os 280 (duzentos e oitenta) livros de língua portuguesa, que estavam nas estantes da biblioteca. Deve organizar os livros de forma a ficarem juntos em cada estante, os livros separados por disciplina e por editora. A bibliotecária precisa saber também o número de livros de cada editora. A professora de Matemática ficou encarregada de organizar os livros, para isso ela contou com a participação de seus alunos que foram dividos em três grupos. Os dados foram organizados em uma tabela de distribuição de frequência.

Solução:Tabela III – Notas dos alunos de matemática

DESAFIOEm uma pesquisa realizada com os estudantes do 9º ano, procurou-se saber qual o tipo de pizzapreferida por eles.Vejamos como Rui registrou os dados desta pesquisa:

Tipos de pizza:C: calabresaB: baconQ: quatro queijosF: frangoD: outros tipos de pizza

I) Construa uma tabela e represente a frequência absoluta da pesquisa.II) Qual o total de estudantes pesquisados.III) Qual o tipo pizza preferida pelos estudantes.IV) Qual o percentual, aproximado, de pesquisados que preferem a pizza de bacon?

Solução:I) II) 42 estudantes

III) baconIV) 28,57%

Calabresa 9 Bacon 12 Quatro queijo 5Frango 9Outros tipos 7

Q D B C C BF F Q C D BB Q B C B BC D D F C BF F F F F BD B C B C DB Q Q D F C

MATEMÁTICA

��

AulA �0

Construir gráficos de frequência dedados estatísticos – colunaObjetivo geral

Apresentar dados de uma pesquisa de forma simples,através do gráfico em colunas, despertando no aluno ointeresse pela leitura e interpretação de dados.

Conceito básicoGráfico – Representação dos dados da tabela de forma

simples e clara.Os gráficos de colunas, barras, linhas, dentre outros são

construídos utilizando o sistema de coordenadascartesianas.

Todo gráfico deve apresentar o título, a fonte e demaisinformações que sejam necessárias ao entendimento dosdados.

MATEMÁTICA

162

Gráfico em colunas

para ilustrar comparações entre itens.

Observação:

Largura: devem ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.

2. Altura: (fa).

Exemplo:Vamos considerar a tabela construída nas atividades da aula anterior

Tabela I

fa

3

2

Ação 2

1

Terror 1

Suspense 1

Total 10





Gráfico em colunasGráficos de colunas são úteis para mostrar as alterações de dados em um período de tempo ou para

ilustrar comparações entre itens.Observação:1. Largura: definida no eixo horizontal (eixo x). As bases das colunas, bem como os espaços que devem

ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.2. Altura: definida no eixo vertical (eixo y), a altura deve corresponder à frequência absoluta (fa).


Tabela I - Salas de cinema de um shopping, tipos de filme legendado que as pessoas preferem, com apossibilidade de comer pipocas durante a seção.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

162

Gráfico em colunas

para ilustrar comparações entre itens.

Observação:

Largura: devem ser colocados entre cada coluna, devem possuir dimensões padronizadas.

2. Altura: (fa).


Tabela I

fa

3

2

Ação 2

1

Terror 1

Suspense 1

Total 10

MATEMÁTICA

163

Atividades 01 Às pessoas presentes a um evento automobilismo foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Na tabela a seguir está representada a preferência dos entrevistados.

Tabela II – Preferência por marcas de carro das pessoas presentes em even-to automobilístico.

Marcas faFord 8Fiat 6GM 12

Nissan 2Peugeot 3

Volks 10Total 48

Fonte: Organizadores do evento.

Os organizadores do evento, com o objetivo de divulgar o resultado nas mídias, solicitou que esses dados fossem representados em gráfico de colunas. Então, essa é a sua tarefa, represente os dados da tabela em um gráfico de colunas.



MATEMÁTICA

163




Nissan 2Peugeot 3

Volks 10Total 48





Em uma pesquisa foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Na tabela a seguir estãorepresentadas a preferências dos entrevistados.

TABELA II - Preferência por marcas de carro

Represente os dados desta pesquisa em um gráfico de colunas.Solução:

MATEMÁTICA

163




Nissan 2Peugeot 3

Volks 10Total 48





Gráfico 01 - Sala de cinema do shopping, preferência em assistir filme legendadocomendo pipoca.

��0

O professor de matemática solicitou uma pesquisa sobre estudantes de outros estados braisleiros que estudam naescola. Que estudam na escola. Veja o resultado:

MaranhãoMato GrossoMinas GeraisPará São PauloTocantins

Meninas2361-3

Meninos-38422

0�

Construa o gráfico de colunas, com dupla entrada, que represente o resultado da pesquisa.

8

7

6

5

4

3

2

1

0MA MT MG PA SP GO

Solução:

MATEMÁTICA

165

DESAFIOOs professores de Educação Física, Biologia, Química e Matemática organizaram um momento de estudo/integração entre os alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégio. Um dos aspectos observados foi o lanche oferecido pela escola.

Tabela III – Preferência pelos lanches oferecidos aos alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégioCardápio faGalinhada 68Bolacha com suco 22Farrofa 35Arroz doce 12Feijão tropeiro 58Pão com carne moída 45Cachorro quente 50Total 290

Após pesquisa de opinião, os professores observaram que a preferência dos alunos foi pela galinhada. Aos professores de Educação Fisica, Biologia e Quimica cabe a tarefa de juntamente com os alunos, realizarem um estudo sobre os benefícios de cada alimento e os cuidados que devem ser adotados para uma ali-mentação balanceada. Ao professor de matématica em parceria com os alunos fica a responsabilidade de representar o gráfico em colunas que retrate a tabela acima. Ajude o professor de matemática construindo o gráfico.Sugestão de solução

��

MATEMÁTICA

165

DESAFIOOs professores de Educação Física, Biologia, Química e Matemática organizaram um momento de estudo/integração entre os alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégio. Um dos aspectos observados foi o lanche oferecido pela escola.

Tabela III – Preferência pelos lanches oferecidos aos alunos do 9° ano do ensino fundamental de um colégioCardápio faGalinhada 68Bolacha com suco 22Farrofa 35Arroz doce 12Feijão tropeiro 58Pão com carne moída 45Cachorro quente 50Total 290

Após pesquisa de opinião, os professores observaram que a preferência dos alunos foi pela galinhada. Aos professores de Educação Fisica, Biologia e Quimica cabe a tarefa de juntamente com os alunos, realizarem um estudo sobre os benefícios de cada alimento e os cuidados que devem ser adotados para uma ali-mentação balanceada. Ao professor de matématica em parceria com os alunos fica a responsabilidade de representar o gráfico em colunas que retrate a tabela acima. Ajude o professor de matemática construindo o gráfico.Sugestão de solução

AulA ��

Construir gráficos de frequência dedados estatísticos – barra Objetivo geral

Construir e interpretar tabelas e gráficos em barras.

Conceito básicoA representação gráfica xonstitui uma ferramenta

importante na síntese de dados numéricos. A disposiçãodestas informações em gráficos facilita a visualização e auxiliaa leitura, interpretação, compreensão e a análise do quedesejamos comunicar. Existem vários tipos de gráficos, nestemomento estudaremos o gráfico em barras.





MATEMÁTICA

��

Gráfico em barras

O gráfico em barras é muito usado para comparar quantidades. Anteriormente estudamos o gráficoem colunas apresentado na vertica, agora as barras serão apresentadas na horizontal.

Dicas para interpretar o gráfico em barras:• O eixo horizontal apresenta quais valores ou grandezas (porcentagem, valores numéricos,

temperaturas, peso etc.) serão expressas.• O eixo vertical apresenta qual categoria (tempo, países, produção, sexo, períodos etc.) deverá ser

apresentada.

ExemploA tabela e o gráfico a seguir foram construídos a partir de uma pesquisa na escola BOA NOTA, sobre

as frutas preferidas dos estudantes.

MATEMÁTICA

166

AULA 44

Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barraObjetivo geral

barras.

Conceito básico

ter uma visualização fácil ele auxilia a compreensão das informações que desejamos comunicar. Existem

Gráfico em barras

quantidades. As barras podem aparecer na vertical ou

temperaturas, peso etc.) serão expressas. O eixo horizontal apresenta qual categoria (tempo, países, produção, sexo, períodos etc.)

deverá ser apresentada.

Exemplo

sobre as frutas preferidas dos estudantes.

Frutas Preferidas Quantidade de Alunos

BananaPeraUvas 25Maçãs


Construir tabelas e gráficos de frequências de dados estatísticos;

Elaborar, oralmente ou por escrito, conclusões com base em leitura, interpretação e análise de informações apresentadas em tabelas e gráficos.

Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos diversos.

Bananas

Peras

Uvas

Maçãs

5 10 15 20 25

Frutas preferidas

MATEMÁTICA

��3

MATEMÁTICA

167

Atividades 01 O Brasil é formado por 5 (cinco) regiões, 26 (vinte e seis) Estados, o Distrito Federal e por 5564 (cinco mil, qui-nhentos e sessenta e quatro) municípios.

Na tabela abaixo apresentamos os 10 (dez) Estados com maior número de municípios.

Tabela 02 - Estados brasileiros com maior número de municípios - 2012Estados MunicípiosBahia 417Goiás 246Maranhão 217Minas Gerais 853Paraíba 223Paraná 399Piauí 224Rio Grande do Sul 496Santa Catarina 293São Paulo 645

Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.Dados atualizados até 29.11.2012

Com os dados apresentados na tabela acima, construa o gráfico em barras:MATEMÁTICA

168


ou

02 Considerando os mesmos Estados do exercício 01, com a variável em análise sendo a população em cada Estado, observe o gráfico em barras a seguir:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

169

Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.

Analise o gráfico e responda:a) Os Estados brasileiros citados no gráfico, representam mais de 60% (sessenta por cento) da população brasi-

leira? Por que?b) Coloque os Estados representados no gráfico em ordem crescente de acordo com a população em cada

Estado.c) O Estado de São Paulo representa mais que1/4 da população brasileira?d) Sendo a população brasileira composta de 190.732.694 habitantes, então Goiás possui mais de 7.000.000 de

habitantes?Sugestão de solução:

a) Sim, pois: 21,6 + 3,3 + 5,6 + 1,6 + 5,5 + 2,0 + 10,3 + 3,4 + 3,1 + 7,3 = 63,7Justificando as demais alternativas:b) A sequência correta dos Estados em ordem crescente segundo a população é Piauí, Paraíba, Goiás, Santa

Catarina, Maranhão, Paraná, Rio Grande do Sul, Bahia, Minas Gerais e São Paulo.c) São Paulo representa menos que 1/4 ou 25% da população brasileira;d) Goiás possui aproximadamente 6.000.000 de habitantes = 190.732.694 x 3,1%.

03 Densidade demográfica ou densidade populacional é o quociente entre a população total de uma região e a sua superfície. Geralmente é expressa em quilômetros quadrados. O Brasil tem uma densidade populacional de 22,4 hab./km2.

Solução:

Gráfico II - População dos Estados brasileiros com maior número de municípios - 2010

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

170

Observe o gráfico:

Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 08 de dez. 2012.

Com os dados apresentados acima, podemos afirmar que:a) A densidade populacional na Bahia indica que o Estado possui o maior número de habitantes por quilometro

quadrado;b) São Paulo é o Estado que possui o menor número de habitantes por quilometro quadrado;c) Piauí é dos Estados apresentados no gráfico, o 9° em maior número de habitantes por quilometro quadrado;d) Goiás possui maior número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande do

Sul.Sugestão de solução

Alternativa correta = item “c”Justificando as demais alternativas:a) Bahia possui menor número de habitantes por quilometro quadrado;b) São Paulo possui maior número de habitantes por quilometro quadrado;d) Goiás possui menor número de habitantes por quilometro quadrado em relação ao Estado de Rio Grande

do Sul.

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

171

DESAFIOObserve os gráficos III (atividade 02) e IV (atividade 03)

Analise criticamente os dois itens a seguir:a) São Paulo representa um Estado brasileiro com maior número de habitantes e com maior densidade demográfica.b) Goiás possui uma população que representa 3,1% (três vírgula um por cento) da população brasileira e uma densidade demográfica menor que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.

Sugestão de soluçãoa) Alternativa correta. São Paulo representa o Estado brasileiro com maior número de habitantes (21,6%, da população brasileira) e possui uma densidade demográfica de 166,24 habitantes por quilometro quadrado, que é a maior dos Estados brasileiros.b) Alternativa correta no item população, onde Goiás representa 3,1% (três vírgula um por cen-to) da população brasileira. E errada no item densidade demográfica, pois Goiás possui densi-dade demográfica de 17,65, maior que 10 (dez) habitantes por quilometro quadrado.

Solução:

MATEMÁTICA

��

AulA ��

MATEMÁTICA

172

AULA 45

Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setoresObjetivo geral

Conceito básico

circulares. Por exemplo:

valores

e a coluna dos graus.

Exemplo

Tabela 01

Idade fa %38

Total 45 100 360









Idade dos alunos do 3° ano do ensino médio de uma Escola.

Idade fa % Grau

15 15 25 90°

16 30 50 180°

17 15 25 90°

Total 60 100 360°

MATEMÁTICA

��

SoluçãoEtapas:• Para calcular os graus de cada setor, devemos primeiramente calcular a porcentagem de cada ocorrência (calculada dividindocada fa pelo total de ocorrências). Em seguida devemos calcular a nova coluna (graus), calculada por regra de três, conformeabaixo:

360º ─ 100% x ─ 25ºx = 90°

• Desenhe um círculo de tamanho adequado e represente o gráfico.(interessante o aluno ter compasso e transferidor)

Gráfico 01 - Idade de alunos do 3° anodo ensino médio de uma escola

25% 25%15 anos 17 anos

50%16 anos

MATEMÁTICA

173

Sugestão de soluçãoEtapas:

Para calcular os graus de cada setor, devemos primeiro calcular a porcentagem de cada ocorrência (calculada dividindo cada fa pelo total de ocorrências). Em seguida devemos calcular a nova coluna (graus), calculada por regra de três, conforme abaixo:

(interessante o aluno ter compasso e transferidor)

Atividades 01 Represente os dados abaixo em gráfico de setores:

Tabela 04 - Estados brasileiros, habitantes por km2 (dados arredondados) – 2012.Estados faBahia 3Goiás 18Maranhão 20Minas Gerais 33Paraíba 67Paraná 52Piauí 12Rio Grande do Sul 40Santa Catarina 65São Paulo 166

Fonte: Disponível em: http://www.portalbrasil.net/brasil.htm. Acesso em: 06 de dez. 2012.Dados atualizados até 29.11.2012

Tabela 02 - Estados brasileiros, habitantes por km² (dados arredondados) - 2012

MATEMÁTICA

��

Construa o gráfico de setores, referente a tabela a seguir que representa o resultado da pesquisa feita com osmoradores de certa cidade sobre sua preferências em relação à lazer:

Assistir a filmes 25Assistir a novelas 38Ir ao clube 40Ir a praça 12Jogar damas 11Jogar futebol 40Ler livros 18Outros 16

0�

0,63% 3,78% 4,20%

6,93%

14,07%

10,92%

2,52% 8,40%

13,65%

34,87%

Bahia

Goiás

Maranhão

Minas Gerais

Paraíba

Paraná

Piauí

Rio Grande do Sul

Santa Catarina

São Paulo

Construa o gráfico de setores, referente ao saldo de gols referente ao campeonato de futebol da escola de Edson:

TIME Quantidade de Gols9º ano A 99º ano B 151ª série A 121ª série B 162ª série A 142ª série B 83ª série A 133ª série B 15

03

Solução: Gráfico 02 - Estados brasileiros habitantes por km² (dados arredondados) - 2012

MATEMÁTICA

��0

MATEMÁTICA

176

DESAFIOAinda sobre o campeonato brasileiro série “A”, o gráfico e a tabela a seguir apresentam os números de Gols feitos com o pé direito, pé esquerdo e cabeça.

Considerando os primeiros colocados em cada item: - São Paulo, com 39 (trinta e nove) gols de pé direito; - Atlético-MG, com 18 (dezoito) gols de cabeça e Grêmio, 19(dezenove) gols com pé esquerdo, complete a tabela abaixo.

Time Porcentagem na categoria São PauloAtlético-MGGrêmio

Sugestão de soluçãoBasta calcular as porcentagens a que pertence cada time conforme abaixo:São Paulo – categoria gols com pé direito492 gols – 100% x = 7,9%39 gols – xAtlético – MG – categoria gols de cabeça210 gols – 100% x = 8,6%18 gols – xGrêmio – categoria gols com pé esquerdo229 gols – 100% x = 8,3%19 gols – x

Time Porcentagem na categoria São Paulo 7,9%Atlético-MG 8,6%Grêmio 8,3%

Forma faCabeça 210Pé direito 492Pé esquerdo 229Total 931

Sobre o campeonato brasileiro série “A”, o gráfico e a tabela a seguir apresentam os números de Gols feitoscom o pé direito, pé esquerdo e cabeça.

Solução:Basta calcular as porcentagens referente cada time conforme abaixo:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

177

AULA 46

Conclusões com base na leitura de gráficosObjetivo geral

Conceito básico – Uma conversa.

A matemática deve proporcionar e estimular o estudante a entrar em contato com o mundo das

As atividades envolvendo tabulação de dados e -

das pelo professor.

Atividades 01 A maioria dos brasileiros ainda não tem acesso à rede de esgoto. A maior parte dos domicílios brasileiros não tinha, em 2008, acesso à rede geral de esgoto e, nesse quesito, havia uma enorme discrepância entre as regiões bra-sileiras. Essas conclusões foram apontadas na última Pesquisa Nacional de Saneamento Básico, divulgada pelo IBGE.O gráfico mostra o percentual de municípios por Estado que fazem tratamento do esgoto.

Fonte: Disponível em: <http://noticias.uol.com.br/cotidiano/ultimas-noticias/2010/08/20/maioria-dos-brasileiros-ainda-nao-tem-acesso-a-rede-de-esgoto-diz-ibge.htm>. Acesso em: 09 de dez. 2012.





AulA �3

A maioria dos brasileiros ainda não tem acesso à rede de esgoto. A maior parte dos domicílios brasileiros nãotinham, em 2008, acesso à rede geral de esgoto e, nesse quesito, havia uma enorme discrepância entre as regiões brasileiras.Essas conclusões foram apontadas na última Pesquisa Nacional de Saneamento Básico, divulgada pelo IBGE.O gráfico mostra o percentual de municípios por Estado que fazem o tratamento do esgoto.

0�





MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

178

De acordo com o gráfico analise as informações:a) Os Estados de Goiás, Acre e Amapá, juntos totalizam o mesmo número percentual no tratamento de esgoto

em relação ao Estado de Ceará. b) O Estado de Pernambuco oferece tratamento de esgoto 3(três) vezes a mais que o Estado de Sergipe. c) De São Paulo para a direita, as cidades aparecem em ordem decrescente dos Estados que oferecem trata-

mento de esgoto.d) Da direita para esquerda os Estados apresentam uma queda na oferta do tratamento de esgoto.

Sugestão de soluçãoAlternativa correta = item “c”

Justificando as demais alternativasa) Goiás, Acre e Amapá = 55,1 e Ceará = 48,9b) Pernambuco = 27,6 Sergipe = 9,3. Portanto. Três vezes = 27,9.d) Da direita para esquerda há um crescimento na oferta de tratamento de esgoto.

02 Votos obtidos na eleição 2010 (1° turno), para Presidente da República no município de Goiânia.

Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Sobre o resultado da eleição, de acordo com os dados oferecidos no gráfico, é correto afirmar quea) A candidata Dilma Rousseff obteve o maior número de votos.b) Considerando que 703.159 (setecentos e três mil, cento e cinquenta e nove) eleitores votaram em um dos

candidatos, Marina da Silva obteve mais de um quarto dos votos.c) Os votos de Marina da Silva, José Serra e Dilma Rousseff totalizam mais de setecentos mil votos.d) José Serra ficou classificado em primeiro lugar no resultado das eleições.

De acordo com o gráfico analise cada uma das informações e identifique a alternativa correta.a) Os Estados de Goiás, Acre e Amapá, juntos totalizam o mesmo número percentual no tratamento de esgoto emrelação ao Estado de Ceará.b) O Estado de Pernambuco oferece tratamento de esgoto 3(três) vezes a mais que o Estado de Sergipe.c) De São Paulo para a direita, os Estados que oferecem tratamento de esgoto estão em ordem crescente.d) Da direita para esquerda os Estados apresentam uma queda na oferta do tratamento de esgoto.

SoluçãoAlternativa correta = item “c”

SoluçãoAlternativa correta = item “d”

b) Considerando que 703 159 (setecentos e três mil, cento e cinquenta e nove) eleitores votaram em um doscandidatos, Marina da Silva obteve mais de um quarto dos votos.

173 398

287 891

230 3099 428

MATEMÁTICA

��3

MATEMÁTICA

179

Sugestão de soluçãoAlternativa correta = item “d”

Justificando as demais alternativasa) Dilma ficou em segundo lugar no resultado final.b) .

,4

703 15917= Marina da Silva = 173.398.

c) Totalizam 691.598 votos.

03 Eleições 2010 (2° turno), para Presidente da República no município no Goiânia.

Fonte: Disponível em: <http://www.tse.jus.br/eleicoes/eleicoes-anteriores/eleicoes-2010/estatisticas>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Com base nestas informações, analise criticamente as afirmativas:a) Considerando os votos em um dos dois candidatos, pode-se dizer que José Serra obteve mais de 60% (ses-

senta por cento) dos votos.b) Dilma Rousseff obteve aproximadamente 42% (quarenta e dois por cento) dos votos.

Sugestão de soluçãoAlternativa correta = item “b”Justificando a outra alternativaa) José Serra obteve aproximadamente 57,57% (cinquenta e sete vírgula cinquenta e sete por cento) dos votos.

Com base nestas informações, analise criticamente as afirmativas e identifique a alternativa correta.a) Considerando os votos obtidos pelos dois candidatos, pode-se dizer que José Serra obteve mais de 60% (sessentapor cento) dos votos.b) Dilma Rousseff obteve aproximadamente 42% (quarenta e dois por cento) dos votos.

MATEMÁTICA

180

DESAFIOA dengue é uma doença infecciosa febril aguda causada por um vírus da família Flaviridae e é transmitida, no Brasil, através do mosquito Aedes Aegypti, também infectado pelo vírus.Atualmente, a dengue é considerada um dos principais problemas de saúde pública de todo o mundo.

Fonte: Disponível em:<Leia mais: http://www.combateadengue.com.br/o-que-e-dengue/#ixzz2EhlLmQQZ>.

De acordo com o gráfico, responda:a) Em quais períodos acontece crescimento dos casos de dengue no Brasil?b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800.000(oitocentos mil) casos de notificações de dengue e que, no ano de 2003 ocorreram 350.000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda nos índices de notificações?Sugestão de soluçãoa) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.b) Percentual aproximado de 43,75%.

SoluçãoAlternativa correta = item “b”

279 578379 262

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

180

DESAFIOA dengue é uma doença infecciosa febril aguda causada por um vírus da família Flaviridae e é transmitida, no Brasil, através do mosquito Aedes Aegypti, também infectado pelo vírus.Atualmente, a dengue é considerada um dos principais problemas de saúde pública de todo o mundo.

Fonte: Disponível em:<Leia mais: http://www.combateadengue.com.br/o-que-e-dengue/#ixzz2EhlLmQQZ>.

De acordo com o gráfico, responda:a) Em quais períodos acontece crescimento dos casos de dengue no Brasil?b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800.000(oitocentos mil) casos de notificações de dengue e que, no ano de 2003 ocorreram 350.000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de queda nos índices de notificações?Sugestão de soluçãoa) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.b) Percentual aproximado de 43,75%.

AulA ��

MATEMÁTICA

181

AULA 47

Relacionar gráficos com tabelasObjetivo geral:

Conceito básico

Gráficos

confrontados instantaneamente.

Tabela

É a organização dos dados de uma determinada

em linhas e colunas, o que possibilita uma visão geral dos resultados.

Orientação para análise dos gráficos e tabelas

Exemplo de atividade:








De acordo com o gráfico, responda:a) Em quais períodos acontece crescimento dos casos de dengue no Brasil?b) Considerando que no ano de 2002 ocorreram 800 000 (oitocentos mil) casos de notificações de denguee que, no ano de 2003 ocorreram 350 000 (trezentos e cinquenta mil) casos, qual o percentual de quedanos índices de notificações?

Solução:a) Teve crescimento nos períodos de = 1990 a 1991; 1993 a 1998; 1999 a 2002 e 2004 a 2007.b) Percentual aproximado de 56,25%.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

181

AULA 47

Relacionar gráficos com tabelasObjetivo geral:

Conceito básico

Gráficos

confrontados instantaneamente.

Tabela

É a organização dos dados de uma determinada

em linhas e colunas, o que possibilita uma visão geral dos resultados.


Exemplo de atividade:




MATEMÁTICA

182

a)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$

Beto’sLimaMasadPains

b)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


c)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


d)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


Sugestão solução:Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à tabela.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

182

a)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


b)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


c)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


d)

Pesquisa de Preço

Lojas Valor em R$


Sugestão solução:Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à tabela.

Solução: Conforme a orientação dada, o aluno poderá relacionar os dados apresentados no gráfico e relacioná-los à tabela.MATEMÁTICA

183

Solução:Alternativa “b”

Atividades 01 O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos em uma avaliação de matemática.

Das alternativas a seguir, qual representa a leitura dos dados do gráfico do desempenho na disciplina de ma-temática?

Pesquisa de Preço

lojas Valor em R$

Beto’sPainsMasadLima

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

183

Solução:Alternativa “b”

Atividades 01 O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos em uma avaliação de matemática.

Das alternativas a seguir, qual representa a leitura dos dados do gráfico do desempenho na disciplina de ma-temática?

Pesquisa de Preço

lojas Valor em R$

Beto’sPainsMasadLima

O gráfico a seguir apresenta o desempenho dos alunos da 3ª série em uma avaliação de matemática.

MATEMÁTICA

184

a) Desempenho faÓtimo 35%Bom 35%Regular 25%Ruim 15%

b) Desempenho faÓtimo 25%Bom 15%Regular 25%Ruim 15%


c) Desempenho faÓtimo 25%Bom 35%Regular 25%Ruim 15%

RespostaAlternativa “d”

02 O gráfico a seguir representa a preferência por modalidades esportivas.

A forma correta de representar esses dados em tabela é:

a) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 5Natação 10Outros 15

b) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 15Natação 10Outros 5

Solução:

c) d)

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

184

a) Desempenho faÓtimo 35%Bom 35%Regular 25%Ruim 15%



c) Desempenho faÓtimo 25%Bom 35%Regular 25%Ruim 15%

RespostaAlternativa “d”

02 O gráfico a seguir representa a preferência por modalidades esportivas.

A forma correta de representar esses dados em tabela é:

a) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 5Natação 10Outros 15

b) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 15Natação 10Outros 5

O gráfico a seguir representa o resultado de uma perquisa sobre a preferência por modalidades esportivas dosestudantes da sala de Pedro.

A forma correta de representar esses dados em uma tabela é:

MATEMÁTICA

185

c) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 20Basquete 15Natação 10Outros 5

d) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 15Natação 20Outros 5

RespostaAlternativa “b”

03 Observe o gráfico a seguir resultante de uma pesquisa sobre os meios de transporte mais utilizado pela população.

Construa uma tabela que represente este gráfico.Sugestão de solução

Meio de transporte mais utilizadoMeio de transporte Número de pessoas

Automóvel 750Metrô 1200Ônibus 1500Moto 580

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

185

c) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 20Basquete 15Natação 10Outros 5

d) Modalidade fa (%)Futebol 40Vôlei 30Basquete 15Natação 20Outros 5

RespostaAlternativa “b”

03 Observe o gráfico a seguir resultante de uma pesquisa sobre os meios de transporte mais utilizado pela população.

Construa uma tabela que represente este gráfico.Sugestão de solução

Meio de transporte mais utilizadoMeio de transporte Número de pessoas

Automóvel 750Metrô 1200Ônibus 1500Moto 580

Solução:

Construa uma tabela que represente os dados apresentados neste gráfico.

MATEMÁTICA

��0

MATEMÁTICA

186

DESAFIOO gráfico a seguir representa a evolução de uma população ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos.

a) Qual o valor aproximado da população no ano de 1992? b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população foi igual a 100 milhões? c) A partir de que ano a população passa a ser mais de 10 milhões?d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos? e) Construa uma tabela que se relacione com os dados apresentados no gráfico.

Respostasa) 99 milhões.b) 1983, 1984,1985, 1986 e 1987.c) 1994.d) De crescimento

OBS: Sugerimos ao professor que, após os alunos realizarem as atividades, realize juntamente com eles as interpretações do gráfico e tabelas, discutindo cada item.

a) Qual o valor aproximado da população no ano de 1992?b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população é igual a 100 mil?c) A partir de que ano a população passa ter mais de 100 000 habitantes?d) Construa uma tabela que relacione os dados apresentados no gráfico.

Solução:a) 100 000.b) 1983, 1984 e 1985.c) 1992.

OBS: Sugerimos ao professor que, após os alunos realizarem as atividades, realize juntamente com elesas interpretações do gráfico e tabela, discutindo-os.

Aumento da população

Popu

lação

(milh

ares)

O gráfico a seguir representa o aumento de uma população ao longo dos anos, segundo os dadosestatísticos.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

187

AULA 48

Relacionar tabelas com gráficosObjetivo geral

Fazer a relação e a interpretação entre os dados da


problema, confronte os questionamentos com os

Atividades 01 O Ranking Mundial de Clubes é um ranking divulgado mensalmente pela Federação Internacional de His-tória e Estatísticas do Futebol - IFFHS. Não tem qualquer vínculo com a FIFA. Esse ranking, criado em 1991, leva em consideração os resultados de todos os clubes nos últimos 365 dias. A tabela a seguir apresenta a pontuação dos 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no ranking.

Posição Clube Pontos8 Corinthians 240,015 Santos 211,016 Fluminense 210,036 São Paulo 184,047 Grêmio 172,052 Vasco da Gama 166,056 Internacional 162,095 Flamengo 125,099 Palmeiras 124,0125 Curitiba 112,0

Fonte: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012. Última atualização: 6 de dezembro de 2012


Construir tabelas e gráficos de frequências de dados estatísticos.


AulA ��




A tabela a seguir apresenta a pontuação dos 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no ranking em 2012.

Relacionar e interpretar os dados da tabela com os dadosdos gráficos.

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

188

Qual é o gráfico que representa o ranking dos clubes brasileiros nessa data?a)

b)

c)

MATEMÁTICA

��3

MATEMÁTICA

189

d)

Resposta Alternativa “d”

02 Ainda sobre o Ranking Mundial de Clubes, com dados retirados no mesmo emdereço eletrônico, a tabela a seguir apresenta os 10 maiores times de todos os tempos.

Posição Clube1 Barcelona2 Manchester United

3 Real MadridJuventus

5 Milan6 Internazionale7 Bayern de Munique8 Arsenal9 River Plate10 Chelsea

A alternativa que representa os dados conforme colocados na tabela é:a)

endereço

Posição

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

190

b)

c)

d)

Resposta Alternativa “b”

03 Jogos Olímpicos - A cada quatro anos, atletas de centenas de países se reúnem num país sede para disputa-rem um conjunto de modalidades esportivas. A própria bandeira olímpica representa essa união de povos e raças, pois

Posição

Posição

Posição

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

193

DESAFIOParaolimpíadas - As pessoas com deficiências tradicionalmente discriminadas pela sociedade, e desmo-tivados pela sua própria condição existencial, têm nas paraolimpíadas uma oportunidade para elevar sua autoestima, direta ou indiretamente, além de provar para todos o seu valor como atleta e cidadão. Desde a XVI Olimpíada, realizada em Roma, em 1960 , imediatamente após as Olimpíadas, e nas mesmas ins-talações são realizados as Paraolimpíadas ou os Jogos Paraolímpicos. (http://www.coladaweb.com/educacao-fisica/paraolimpiadas)

Veja aqui o quadro de medalhas das Paraolimpíadas 2012. O Brasil terminou em sétimo lugar!

País TotalChina 231Rússia 102Grã Bretanha 120Ucrânia 84Austrália 85E.U.A 98Brasil 43Alemanha 66Polônia 36Holanda 39

Fonte: Disponível em: <http://www.esportesemanal.com.br/quadro-de-medalhas-paraolimpiadas.aspx>. Acesso em: 09 de dez. 2012.

O gráfico que representa os dados da tabela é:a)

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

194

b)

c)

d)

Sugestão de solução:Alternativa “d”

Solução:

MATEMÁTICA

��

AulA ��

MATEMÁTICA

195

AULA 49

Conclusões com base na leitura de tabelasObjetivo geral

Ler, interpretar e realizar conclusões a partir da observação dos dados encontrados em tabelas.

Atividades 01 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais concorridos oferecidos pela Universidade Estadual de Goiás - UEG, no Processo Seletivo 2013/1.

Cursos Cidade Concorrência*Agronomia Ipameri 12,71Arquitetura e Urbanismo Anápolis 30,29Educação Física Goiânia 21,88Enfermagem Ceres 11,96Engenharia Agrícola Anápolis 12,17Engenharia Civil Anápolis 85,79Farmácia Anápolis 21,67Fisioterapia Goiânia 39,92Química Industrial Anápolis 18,50Zootecnia São Luís de Montes Belos 11,17

* número de candidatos por vagaFonte: Disponível em: <http://www.vestibular.ueg.br/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Considerando os dados é correto afirmar:a) O curso de Engenharia civil foi o mais procurado pelos alunos.b) Enfermagem, oferecido na cidade de Ceres foi o segundo curso mais procurado.c) Os cursos oferecidos na cidade de Goiânia estão colocados na segunda e na quinta posição dos mais procu-

rados nesse processo seletivo.d) Dos cursos oferecidos na cidade de Anápolis, Química Industrial foi o menos concorrido.

Sugestão de soluçãoAlternativa “a”.









Considerando os dados é correto afirmar que:

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

196

Justificando as demais alternativasb) Enfermagem foi o nono curso mais procurado.c) Educação Física = quarta posição; Fisioterapia = segunda posição.d) Engenharia Agrícola o menos concorrido na cidade de Anápolis.

02 A tabela a seguir apresenta os 10 (dez) cursos mais concorridos oferecidos pela Universidade Federal de Goiás - UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de Goiânia.

Cursos ConcorrênciaArquitetura e Urbanismo 24,60Direito* 29,25Direito** 24,33Engenharia Civil 41,81Engenharia Mecânica 16,53Engenharia Química 16,75Medicina 64,48Psicologia 22,75Odontologia 22,56Relações Internacionais 13,59

* Conforme documento.Fonte: Disponível em: < http://www.vestibular.ufg.br/2013/ps2013_1/site/sistema/resul-tado/candidato_vaga_PS2013_1.pdf/>. Acesso em: 10 de dez. 2012.

Observando a tabela responda:a) Qual o Curso, dentre os apresentados, mais procurado e o menos procurado pelos candidatos nesse vestibu-

lar da UFG?b) Os cursos que ocupam a quarta e quinta posição dos mais procurados são:

Sugestão de soluçãoa) Mais procurado = Medicina Menos procurado = Relações internacionais.b) Quarto = Arquitetura e Urbanismo Quinto = Direito**

Solução:

MATEMÁTICA

��

MATEMÁTICA

197

03 Observe a tabela a seguir. Ela apresenta os 10 (dez) primeiros Clubes brasileiros no Ranking Mundial de Clubes.

Posição Clube Pontos8 Corinthians 240,015 Santos 211,016 Fluminense 210,036 São Paulo 184,047 Grêmio 172,052 Vasco da Gama 166,056 Internacional 162,095 Flamengo 125,099 Palmeiras 124,0125 Curitiba 112,0

Última atualização: 6 de dezembro de 2012Fonte: Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Ranking_Mundial_de_Clubes_da_IFFHS#Os_30_primeiros_no_ranking>. Acesso em: 09 de dez. 2012.

De acordo com os dados é correto afirmar quea) São Paulo ocupa a quinta posição no Ranking Mundial de Clubes.b) Considerando que o Brasil só classifica para próxima fase os dois clubes mais bem pontuados, esses clubes

são o do Corinthians e o do Santos.c) Curitiba esta na décima posição com 112 (cento e doze) pontos.

Sugestão de soluçãoAlternativa correta = item “b”

Justificando as demais alternativasa) São Paulo ocupa a trigésima sexta posição.c) Curitiba = 125ª posição com com 112 (cento e doze) pontos.

Solução:

MATEMÁTICA

��0

MATEMÁTICA

198

DESAFIOConsidere as tabelas das atividades 01 e 02.

Cursos mais concorridos oferecidos pela UEG, no Processo Seletivo 2013/1.Cursos Cidade ConcorrênciaAgronomia Ipameri 12,71Arquitetura e Urbanismo Anápolis 30,29

Educação Física Goiânia 21,88Enfermagem Ceres 11,96Engenharia Agrícola Anápolis 12,17Engenharia Civil Anápolis 85,79Farmácia Anápolis 21,67Fisioterapia Goiânia 39,92Química Industrial Anápolis 18,50

Zootecnia São Luís de Montes Belos 11,17

Cursos mais concorridos oferecidos pela UFG, no Vestibular 2013/1, para a cidade de Goiânia.Cursos ConcorrênciaArquitetura e Urbanismo 24,60Direito* 29,25Direito* 24,33Engenharia Civil 41,81Engenharia Mecânica 16,53Engenharia Química 16,75Medicina 64,48Psicologia 22,75Odontologia 22,56Relações Internacionais 13,59

Com base nos dados das duas tabelas, responda:a) Qual o curso mais concorrido nas duas Universidades.b) A concorrência do curso de Arquitetura e Urbanismo das duas Universidades.c) Cursos, dentre os apresentados oferecidos nas duas Universidades.d) O curso mais concorrido na UEG e o menos concorrido na UFG.

Sugestão de solução:a) UEG – Engenharia Civil e UFG – Medicinab) Arquitetura e Urbanismo na UEG – 30,29 Arquitetura e Urbanismo na UFG – 24,60c) Arquitetura e Urbanismo e Engenharia Civild) Mais concorrido UEG - Engenharia Civil Menos concorrido UFG - Relações internacionais.

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