A Pesquisa Operacional

8/8/2019 A Pesquisa Operacional

1/22

1

FATEC-SB- FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SO BERNARDODO CAMPO

PESQUISA OPERACIONAL

PROFa LGIA CONCEIO PEREIRA

CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM INFORMTICA PARA GESTODE NEGCIOS


2/22

2

A Pesquisa Operacional (PO) uma cincia que objetiva fornecer ferramentasquantitativas ao processo de tomada de decises. constituda por um conjunto dedisciplinas isoladas, tais como Programao Linear, Teoria das Filas, Simulao,Programao Dinmica, Teoria dos Jogos, etc.O termo Pesquisa Operacional (em ingls: Operations Research) foi empregado pela

primeira vez em 1939 como uma tentativa de englobar, sob uma nica denominao, todasas tcnicas existentes ou que viriam a ser desenvolvidas e que tinham o mesmo objetivocitado.

De uma maneira geral, todas as disciplinas que constituem a PO se apiam em quatrocincias fundamentais: Economia, Matemtica, Estatstica e Informtica.As reas de aplicao abrangem fbricas,escritrios, hospitais, fazendas, estradas, etc.Dentre as diversas disciplinas que compe a PO, o INDG atua em Programao Linear eSimulao.Denominamos Management Sciences (MS) a rea de estudos que utiliza computadores,estatstica e matemtica para resolver problemas de negcios. Esta rea considerada umasub-rea da Pesquisa Operacional (PO), por tratar-se de modelagem atemtica aplicada rea de negcios. H poucos anos nos EUA, as duas sociedades que estudavamseparadamente MS e PO se fundiram em uma sociedade denominada INFORMS. No Brasila contraparte desta instituio a SOBRAPO-Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional(www.sobrapo.org.br) - que mantm anualmente simpsios cientficos.Entre os tipos de problemas em que MS-PO pode ser utilizada para ajudar no processo dedeciso, encontra-se:

y Problemas de otimizao de recursos.y Problemas de Localizaoy Problemas de Roteirizaoy Problemas de Carteiras de Investimento

y Problemas de Alocao de Pessoasy Problemas de Previso e Planejamento

Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memria doscomputadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso devido tambm larga utilizao de microcomputadores, que se tornaram unidadesisoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rpidos e versteis, alm de seremtambm interativos, possibilitando a participao do usurio ao longo do processo declculo.

A definio de Pesquisa Operacional nos leva a trs objetivos inter-relacionados:

a- converter dados em informaes significativas- transformar dados brutos (nmeros efatos) em dados, atravs de seu armazenamento de forma organizada., para que sejamtransformados em Informaes Gerenciais que podem ser utilizadas no processo de tomadade deciso.


3/22

3

b- Apoiar o Processo de Tomada de deciso de formas transferveis e independentes, dar osuporte s decises para que estas sejam independentes do decisor e assegurar que oprocesso de deciso seja claro e transparente.c- Criar sistemas computacionais teis para os usurios no-tcnicos, facilitar , atravs de4sistemas de fcil utilizao, os processos de tomada de deciso operacional, gerencial e

estratgico.ModelagemUm modelo uma representao de um sistema real, que pode j existir ou ser um projetoaguardando execuo. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento dosistema, de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo utilizadopara definir a estrutura ideal do sistema.A confiabilidade da soluo obtida atravs do modelo depende da validao do modelo narepresentao do sistema real. A validao do modelo a confirmao de que ele realmenterepresenta o sistema real. A diferena entre a soluo real e a soluo proposta pelo modelodepende diretamente da preciso do modelo em descrever o comportamento original dosistema. Um problema simples pode ser representado por modelos tambm simples e defcil soluo. J problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cujasoluo pode vir a ser bastante complicada.

A Tomada de Deciso

Podemos entender a tomada de deciso como o processo de identificar um problema ouuma oportunidade e selecionar uma linha de ao para resolv-lo. Um problema ocorrequando o estado atual de uma situao diferente do estado desejado.Vrios fatores afetam a tomada de deciso e entre eles podemos destacar;

y Tempo disponvel para a Tomada de Decisoy A importncia da decisoy O Ambientey Certeza/incerteza e riscoy Agentes decisoresy Conflito de interesse.

Os modelos podem ser utilizados como ferramentas consistentes para a avaliao e adivulga de diferentes polticas empresariais.

Estrutura de Modelos MatemticosEm um modelo matemtico, so includos trs conjuntos principais de elementos:(1) variveis de deciso e parmetros: variveis de deciso so as incgnitas a seremdeterminadas pela soluo do modelo. Parmetros so valores fixos no problema;

(2) restries: de modo a levar em conta as limitaes fsicas do sistema, o modelo deveincluir restries que limitam as variveis de deciso a seus valores possveis (ou viveis);(3) funo objetivo: uma funo matemtica que define a qualidade da soluo em funodas variveis de deciso.Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o seguinte exemplo:"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de raes: Tobi e Rex. Para amanufatura dasraes so utilizados cereais e carne. Sabe-se que:


4/22

4

a rao Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a rao Rex utiliza 4 kg de carnee 2 kg de cereais;o pacote de rao Tobi custa $ 20 e o pacote de rao Rex custa $ 30;o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;esto disponveis por ms 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais.

Deseja-se saber qual a quantidade de cada rao a produzir de modo a maximizar o lucro."Neste problema as variveis de deciso so as quantidades de rao de cada tipo a seremproduzidas. Os parmetros fornecidos so os preos unitrios de compra e venda, alm dasquantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de rao. As restries so os limitesde carne e cereais e a funo objetivo uma funo matemtica que determine o lucro emfuno das variveis de deciso e que deve ser maximizada.

Tcnicas Matemticas em Pesquisa Operacional

A formulao do modelo depende diretamente do sistema a ser representado. A funoobjetivo e as funes de restries podem ser lineares ou no- lineares. As variveis dedeciso podem ser contnuas ou discretas (por exemplo, inteiras) e os parmetros podem serdeterminsticos ou probabilsticos.O resultado dessa diversidade de representaes de sistemas o desenvolvimento dediversas tcnicas de otimizao, de modo a resolver cada tipo de modelo existente. Estastcnicas incluem, principalmente: programao linear, programao inteira, programaodinmica, programao estocstica e programao no- linear. Programao linearutilizada para analisar modelos onde as restries e a funo objetivo so lineares; programao inteira se aplica a modelos que possuem variveis inteiras (ou discretas); programao dinmica utilizada em modelos onde o problema completo pode serdecomposto em subproblemas menores;programao estocstica aplicada a umaclasse especial de modelos onde os parmetros so descritos por funes de probabilidade;

finalmente, programao no-linear utilizada em modelos contendo funes no-lineares.Uma caracterstica presente em quase todas as tcnicas de programao matemtica que asoluo tima do problema no pode ser obtida em um nico passo, devendo ser obtidaiterativamente. escolhida uma soluo inicial (que geralmente no a soluo tima).Um algoritmo especificado para determinar, a partir desta, uma nova soluo, quegeralmente superior anterior. Este passo repetido at que a soluo tima sejaalcanada (supondo que ela existe).

Fases do Estudo de Pesquisa OperacionalUm estudo de pesquisa operacional geralmente envolve as seguintes fases:

(1) definio do problema;(2) construo do modelo;(3) soluo do modelo;(4) validao do modelo;(5) implementao da soluo.

Apesar da seqncia acima no ser rgida, ela indica as principais etapas a serem vencidas.A seguir, apresentado um resumo da cada uma das fases.


5/22

5

Definio do problema

A definio do problema baseia-se em trs aspectos principais:descrio exata dos objetivos do estudo;identificao das alternativas de deciso existentes;

reconhecimento das limitaes, restries e exigncias do sistema.A descrio dos objetivos uma das atividades mais importantes em todo o processo doestudo, pois a partir dela que o modelo concebido. Da mesma forma, essencial que asalternativas de deciso e as limitaes existentes sejam todas explicitadas, para que assolues obtidas ao final do processo sejam vlidas e aceitveis.

Construo do modelo

A escolha apropriada do modelo fundamental para a qualidade da soluo fornecida. Se omodelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a soluo pode ser obtida atravsde mtodos matemticos convencionais. Por outro lado, se as relaes matemticas somuito complexas, talvez se faa necessria a utilizao de combinaes de metodologias.

Soluo do modelo

O objetivo desta fase encontrar uma soluo para o modelo proposto. Ao contrrio dasoutras fases, que no possuem regras fixas, a soluo do modelo baseada geralmente emtcnicas matemticas existentes.No caso de um modelo matemtico, a soluo obtida pelo algoritmo mais adequado, emtermos de rapidez de processamento e preciso da resposta. Isto exige um conhecimentoprofundo das principais tcnicas existentes. A soluo obtido, neste caso, dita "tima".

Validao do modelo

Nessa altura do processo de soluo do problema, necessrio verificar a validade domodelo. Um modelo vlido se, levando-se em conta sua inexatido em representar osistema, ele for capaz de fornecer uma previso aceitvel do comportamento do sistema.Um mtodo comum para testar a validade do sistema analisar seu desempenho com dadospassados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistemaapresentou. importante observar que este processo de validao no se aplica a sistemas inexistentes,ou seja, em projeto. Nesse caso, a validao feita pela verificao da correspondnciaentre os resultados obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema

.MODELAGEM MATEMTICA

PROBLEMA DE PRODUO

Uma empresa produz trs tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendoque diariamente a empresa dispe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho,determinarum plano ptimo de produo que corresponda ao maior lucro. A tabela


6/22

6

seguinte indica a quantidade de material e horas de trabalho necessrias para a produode uma porta de cada tipo, assim como o lucro unitrio de cada uma delas

Recursos Porta 1 Porta 2 Porta 3

Quantidade de material 8 kg 4kg 3 kg

Horas de Trabalho 7 horas 6 horas 8 horas

Lucro Unitrio 50reais 40reais 55 reais

Exerccios

Fazer a modelagem matemtica dos seguintes problemas:

1. Uma fabrica quer saber quantas canetas de cada tipo ( standard, luxo e esferogrfica) devero ser produzidas, para que o lucro seja mximo, tendo as seguintesinformaes:

a) Departamento de ProduoProduo mximas mensais possveis paracada tipo ( se produzir um nico tipo)Standard 15.000

Luxo 10.000Esferogrfica 20.000

b) Departamento de VendasMximas Vendas mensais possveis paracada tipoStandard 12.000Luxo 8.000Esferogrfica 30.000

c) Departamento Contbil

Lucro unitrio para cada tipo)Standard 15.000Luxo 10.000Esferogrfica 20.000

2. Uma pequena indstria usa 3 tipos de matrias primas, P,Q,R para a fabricao de 2produtos A e b. as matrias primas em disponibilidade na fbrica so:

20 unidades de p


7/22

7

12 unidades de Q16 unidades de RPor razes tecnolgicas, uma unidade do produto A necessita

respectivamente de 2,2,4 unidades de matrias primas P, Q,R. Para o produto Besses coeficientes tcnicos so 4,2 e 0, respectivamente. O fabricante, sabe que o

lucro na produo de A de $0,50 e de B $1,00. qual o lucro mximo e quais asQuantidades a serem produzidas das mercadorias A e B para obter o lucro mximo.

3. Suponha que se queira distribuir uma certa quantidade de material e mo de obradisponveis na construo de armas anti-areas de defesa: canhes, avies de caa efoguetes teleguiados. As quantidades de material e mo de obra requerida por 1000unidades de cada um destes tipos de armas esto indicadas no quadro abaixo.Naltima coluna desse quadro, encontra-se as probabilidades de xito da cada tipo:As quantidades disponveis de material e mo de obra so iguais a 25 e 50 unidadesrespectivamente.

ARMAS UNIDADESMATERIAL

UNIDADES DEMO DE OBRA

PROBABILIDADEDE EXITO

CANHES 3 1 40%CAAS 1 1 30%

TELEGUIADOS 1 3 40%

Quantas unidades se devem produzir de cada arma, a fim de que a probabilidade dexito seja mxima?

4 Um revendedor de chapas e perfis metlicos recebe da usina siderrgicadeterminado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m delargura.Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as

chapas conforme o pedido.5 Para a prxima semana, recebeu trs pedidos com as seguintes especificaes:

PEDIDO LARGURA (M) COMPRIMENTO (M)1 0,40 102 0,60 303 0,70 20

O problema do revendedor e programar o corte das chapas originais de modo a atenderaos trs pedidos, com o mnimo desperdcio de aparas e sobras na largura das chapas.

As dimenses do comprimento no criam grandes inconvenientes, porque as chapaspodem ser emendadas para outras aplicaes.

6 O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econmica deaumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.As alternativas so:a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmoramo. Esse programa requer um investimento mnimo de $ 3.000,00, e deve


8/22

8

proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00investidos.b) Investir diretamente na divulgao dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidosem P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que P2 o retorno de 10%.A empresa dispe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto dever destinar a

cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.

PROGRAMAO LINEAR OU MODELOS DE OTIMIZAO LINEAR

um subitem de programao matemtica um dos elementos utilizados empesquisa operacional. um modelo de otimizao.

Objetivo:

"Alocar recursos escassos (ou limitados) a atividades em concorrncia (emcompetio)" .

Dificuldades:

"Modelar corretamente".A arte de modelar adquirida com experincia e aptido a parte mais difcil da anlise.

EXEMPLO INICIAL

Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricao do produto 1 aempresa gasta nove horas-homem e trs horas-mquina (a tecnologia utilizada intensivaem mo-de-obra). Na fabricao do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e umahora-mquina (a tecnologia intensiva em capital). Sendo x1 e x2 as quantidades fabricadasdos produtos 1 e 2 e sabendo-se que a empresa dispe de 18 horas-homem e12 horas-mquina e ainda que os lucros dos produtos so $4 e $1 respectivamente, quanto deve aempresa fabricar de cada produto para obter o maior lucro possvel (ou o lucro mximo ouainda maximizar o lucro) ?

TRANSFORMANDO OS DADOS EM EXPRESSES MATEMTICAS

A FUNO LUCRO

Admitindo que no h economia de escala mas quantidades fabricadas quanto aolucro, a funo lucro uma funo linear de x1 e x2 ou seja:

L = 4 x1 +x2


9/22

9

esse lucro deve ser maximizado por uma escolha de x1 e x2

Max L = 4 x1 +x2x1, x2

Se o problema parasse aqui o lucro seria ilimitado. Porm, existem recursos limitados.As Restries:

O que limita as quantidades fabricadas aqui so as horas-homem e horas-mquinadisponveis. Assim, as quantidades fabricadas e as horas utilizadas de cada recursos nopodem ultrapassar as quantidades de recursos disponveis ou seja:

H-H 9x1 + x2 e 18 eH-M 3 x1 +x2 e 12

Assim, o lucro s poder crescer at esses limites.O PROBLEMA

O problema ento:

Max L = 4 x1 +x2x1, x2sujeito a

horas-homem 9x1 + x2 e 18horas-mquina 3 x1 +x2 e 12

x1 u 0 e x2 u 0Como o problema de Segunda dimenso e as funes e inequaes so lineares,podemos obter uma soluo fcil graficamente.

SOLUO GRFICA

Primeiro precisamos saber, dado as restries, quais as possveis combinaes dos produtos que se pode fabricar. Isso , precisamos verificar qual ou quais as reas quesatisfazem as restries, pois a empresa s pode dispor dos recursos "disponveis".

H-H9x1 + x2 e 18


10/22

10

H-M3x1 + x2 e 12

Como a empresa no pode violar nenhuma das restries precisamos saber a reaonde as duas restries so vlidas, isso , a interseo das duas regies de restrio,chamada de conjunto de possibilidades ou conjunto vivel.

Conjunto Vivel

- 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

- 1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0


11/22

11

Resta agora maximizar o Lucro.

L = 4 x1 + x2

Ora, o lucro uma constante para cada uma das combinaes da x1 e x2. Assim,lucros diferentes geram retas paralelas onde o lucro constante em cada reta ou seja, asretas so iso-lucros.

Ento s traar iso-lucros no grfico do conjunto vivel e obter a iso-lucro de maior lucroque seja possvel de se fabricar das restries.Assim,

- 1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

- 1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0


12/22

12

Logo, o lucro mximo 13 e deve-se fabricar x1 = 1 e x2 = 9 para obt-lo. Essesvalores so fixados diretamente do grfico. Veja o que acontece com as restries nesses

valores, no h sobras.Como poderamos conseguir essa soluo analiticamente?

O MTODO SIMPLEX

O mtodo simplex um algoritmo criado para se obter a soluo algebricamente.Um algoritmo um conjunto de regras que devem ser seguidas passo a passo para se obter,no final, o resultado desejado.

Nessa parte do curso daremos uma pequena noo do mtodo simplex e suasoluo, depois formalizaremos os conceitos envolvidos e generalizaremos para n-variveise m-restries.

A idia a seguinte:

Dado o problema na forma matemtica

Max L = 4 x1 +x2

Forma x1 x2Padro

s. a 9x1 + x2 e 183 x1 +x2 e 12

Precisamos arranj-lo de tal forma que possamos resolv-lo.Bem, se as desigualdades fossem igualdades, as restries seriam um conjunto de

equaes lineares e essa ns sabemos resolver.

-1 0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

1 8

2 0

L=13


13/22

13

Consegue-se isso acrescentando a cada restrio uma varivel a mais, essas novasvariveis so chamadas de variveis de folga, para restries do tipo e. (Existem tambm aschamadas variveis de excesso, para restries do tipo u, mais isso outra histria).

Assim podemos escrever :

(1) 9x1 + x2 + x3 = 18 pois, caso 9x1 + x2 no seja igual a 18, x3 est l para garantira igualdade.

(2) 3x1 + x2 + x4 = 12 pois, caso 3x1 + x2 no seja igual a 12, x4 est l para garantira igualdade.

Essas novas variveis, tambm devem ser maiores ou igual a zero para garantir aexigncia das restries.

OBS: Caso a restrio fosse por exemplo 9x1 + x2 u 18 a introduo seria 9x1 + x2 -x3 = 18,com x3u 0. Ou multiplicaria-se a restrio por menos 1 transformando-a numa restrio de

desigualdade e.

S nos resta o lucro. O lucro uma equao e no uma inequao, logo noprecisamos introduzir variveis.

O sistema linear fica assim:

(l0) L - 4x1 - x2 = 0

(l1) 9x1 + x2 + x3 = 18

(l2) 3x1 + x2 + x4 = 12

Feito isso podemos proceder com o algoritmo simplex.

As etapas so:

1. Ache uma soluo vivel para o sistema linear. (A soluo vivel mais fcil no caso x1= 0, x2= 0, x3 = 18, x4 = 12; chamada de soluo trivial). Definir as variveis usadasna soluo como VB e as no usadas como VNB. VB = Varivel Bsica e VNB =Variveis no Bsicas.

2. Identifique a varivel que tem o maior impacto na funo objetivo. Isso , a que tem o

coeficiente mais negativo (devido nova arrumao feita na funo objetivo) naequao correspondente a funo objetiva. (No exemplo x1, com o coeficiente - 4 )3. Aumentar o valor da varivel (de maior impacto) identificada no item 2 em todas as

restries at que esse aumento seja limitado por algum recurso. ( No exemplo podemosaumentar x1 at 2 em l1 e at 4 em l2. Assim, x1 deve ser igual a 2 pois um valor maiordo que 2 viola l2).

4. Identificar em que linha esse valor limite ocorre. (No caso em l1)


14/22

14

5. Identificar a varivel bsica com a qual a varivel identificada no item 2 pode trocarquantidades. ( No exemplo x3 )

6. Fazer a varivel bsica igual a zero.7. Definir a varivel identificada no item 2 como varivel bsica entrando (VBE) e definir

a varivel bsica no item 5 como varivel bsica saindo (VBS). ( x1 e VBE e x3 e VBS )

8. Fazer o coeficiente de VBE igual a 1 na linha da VBS.(No exemplo 9x1 + x2 + x3 =18torna-se: x1 +1/9x2 + 1/9x3 = 2.9. Zerar os coeficientes de VBE nas demais equaes do sistema atravs de operaes

elementares e apresentar o novo sistema.10. Redefinir como varivel bsica todas as variveis bsicas anteriores menos a VBS

mais a VBE e as no-bsicas como as VNB Anteriores mais a VBS menos a VBE eidentificar o lucro e os valores das variveis ( x1 = 2 ; x4 = 6 ; x2 = 0 ; x3=0 ; L=8).

11.Existe algum coeficiente negativo na equao da funo objetivo(l0) ? Se sim, v para opasso 2, se no, pare, essa a soluo vivel tima.

Dado o algoritmo vamos aplic-lo ao exemplo.

Passo 1:

(l0) L - 4x1 - x2 = 0

(l1) 9x1 + x2 + x3 = 18

(l2) 3x1 + x2 + x4 = 12

A soluo vivel trivial (mais fcil ) : x1= x2 = 0 ; x3 = 18 ; x4 = 12; L = 0. Asvariveis x1 e x2 no bsicas e as variveis x3 e x4 so bsicas.

Passo 2: x1 com o coeficiente -4.

Passo 3: x1pode ir at 2.Passo 4: ocorre em l1.

Passo 5: x3.

Passo 6: x3 = 0.

Passo 7: x1 => VBEx3 => VBS

Passo 8:

(l0) L - 4x1 - x2 = 0

(l'1) x1 + 1/9x2 + 1/9x3 = 2


15/22

15

(l2) 3x1 + x2 + x4 = 12

Passo 9: Multiplicando l'1 por 4 e somando a l0 obtemos l'0Multiplicando l'1 por -3 e somando a l2 obtemos l'2

(l'0) L -5/9x2 + 4/9x3 = 8

(l'1) x1 + 1/9x2 + 1/9x3 = 2

(l'2) 2/3x2 - 1/3x3 + x4 = 6

Passo 10: x1 e x4 so bsicasx2 e x3 so no bsicas

Passo 11: Existe

Passo 2: x2 nica.

Passo 3: em l'1 x2pode ir at 18Em l'2 x2 pode ir at 9 ; x2 = 9

Passo 4: ocorre em l'2.

Passo 5: x4.

Passo 6: x4 = 0.

Passo 7: x2 => VBEx4 => VBS

Passo 8:

(l'0) L - 5/9x2 +4/9x3 = 8

(l'1) x1 + 1/9x2 + 1/9x3 = 2

(l2) x2 - 1/2x3 + 3/2x4 = 9

Passo 9: -1/9l''2 + l'1 = l''1-1/5l''2 + l'0 = l''0

L + 3/18x3 + 15/18x4 = 13


16/22

16

x1 + 3/18x3 - 1/6x4 = 1

x2 - 1/3 x3 + 3/2x4 = 9

Passo 10: x1 e x2 so bsicas

x3 e x4 so no bsicasPasso 11: No. A soluo tima .

L = 13 ; x1 = 1 ; x2 = 9 ; x3 = x4 = 0

QUADRO FINAL DA SOLUO

x1 x2 x3 x4 b iL 0 0 1/6 5/6 13

R1 1 0 1/6 -1/6 1R2 0 1 -1/2 3/2 9

Existem 3 Teoremas fundamentais que tornam o mtodo simplex vlido. Essesteoremas sero apresentados sem demonstrao. Para detalhes ver PUCINNI, 1942Introduo Programao Linear.

TEOREMA I:

"O conjunto de todas as solues compatveis do modelo de programao linear

um conjunto convexo C."TEOREMA II:

"Toda soluo compatvel bsica do sistema Ax = b um ponto extremo doconjunto das solues compatveis, isto , do conjunto convexo C do teorema I .


17/22

17

TEOREMA III:

a) "Se a funo objetiva possui um mximo (mnimo) finito, ento pelo menos umasoluo tima um ponto extremo do conjunto convexo C do teorema I"

b) "Se a funo objetiva assume o mximo (mnimo) em mais de um ponto

extremo, ento ela forma o mesmo valor para qualquer combinao convexadesses pontos extremos."

LIMITAES DA PROGRAMAO LINEAR:

1) Coeficientes Constantes

Quando o grau de incerteza dos parmetros muito grande necessrio trat-los comovariveis aleatrias. a ij, bi e cj so consideradas como constantes conhecidas. Narealidade podem ser variveis. Incerteza envolvidas ou variveis aleatrias. Os modelosde Programao Linear usualmente so formulados no sentido de selecionar algumcurso de ao futura . Por isso os parmetros usados seriam baseados em numa prediode condies futuras, os quais introduzem inevitavelmente algum grau de incerteza.

2) Divisibilidade

Valores fracionrios as vezes no fazem sentido. Assim, quando no for possvelestabelecer essa divisibilidade parte-se para programao inteira.

3) Proporcionalidade

Assumi-se que o lucro proporcional a x, sendo c; o coeficiente de proporcionalidade.Assim, no h economia de escala. Para vencer isso considera-se intervalos de produoonde no existem tais economias de escala. Proporcionalidade uma suposio sobreatividades individuais consideradas independentes umas das outras.

4) Aditividade

Considera as atividades do modelo como entidades totalmente independentes, nohavendo interdependncia entre elas. o caso da manteiga e margarina.

A proporcionalidade e a Aditividade garantem a linearidade da funo-objetiva e dasrestries.

DUALIDADE:

"A cada modelo de programao linear, contendo coeficiente aij , bi e cj correspondeum outro modelo, denominado Dual, formado por esses mesmos coeficientes, pormdispostos de maneira diferente." (PUCCINI, 1942)


18/22

18

Na forma padro um modelo de P.L escrito da seguinte forma:

Max Z = c1 x1 + c2 x2 + .................+ cn xms. a (y1) a11x1 + a12x2 + ........ + a1nxm e b1

(y2) a21x1 + a22x2 + ........ + a2nxm e b2. . . . .. . . . .

(ym) am1x1 + am2x2 + ........ + amnxm e bm

xj u 0 ( j = 1,....., n )

Se for associado a cada restrio uma varivel yi, o problema dual pode ser escritocomo:

Min D = b1 y1 + b2 y2 + ...............+ bm ym

s. a (y1) a11y1 + a21y2 + ........ + am1ym u c1(y2) a12y1 + a22y2 + ........ + am2ym u c2. . . . .. . . . .

(ym) a1ny1 + a2ny2 + ........ + amnym u cn

yi u 0 ( i = 1,....., n )

Exemplo: 1) PRIMAL Max L = 4 x1 +x2s. a 9x1 + x2 e 18 y1

3x1 +x2 e 12 y2x1 e x2 u 0

DUAL Min D = 18y1 +12y2s. a 9y1 + 3y2 u 4 x1

y1 +y2 u 1 x2y1 e y2 u 0

2) PRIMAL Max P = 5 x1 +2x2 ( PUCCINI, pag.136)s. a x1 e 3 y1

x2 e 4 y2x1 + 2x2 e 9 y3

DUAL Min D = 3y1 +4y2 + 9y3s. a y1 + y3 u 5 x1

y2 +2y3 u 2 x2


19/22

19

Com a dualidade surgem vrios novos conceitos e construtos na programao linear.Resolver o Primal atravs do Mtodo Simplex faz com que o dual seja resolvidoautomaticamente.

O quadro final do Mtodo Simplex traz a soluo dos dois problemas, o Primal e oDual. No exemplo visto anteriormente, tens-se, como ltimo quadro (ou ltimo modelo

equivalente) o seguinte:

x1 x2 x3 x4 b iL 0 0 1/6 5/6 13R1 1 0 1/6 -1/6 1R2 0 1 -1/2 3/2 9

Ou seja, L = 13 ; x1 = 1 e x2 = 9.

Se resolvemos o Dual, graficamente acharamos no nosso 1) exemplo:

Agora s necessrio trocar as curvas de nvel de D = 18y1 + 12y2 e traar paralelas at seatingir o mnimo:

L=13

Conjunto Vivel

Conjunto Vivel


20/22

20

INTERPRETAO DO PROBLEMA DUAL

PRIMAL

j0

m)1,...,(iba

czMax

ijij

m

1jjj

as.

u

!e

!

!

x

x

x

DUAL

i0

m)1,...,(jca

bDMin

i

jiij

m

1iii

as.

u

!u

!

!

y

y

y

Sexj a quantidade de um determinado produto jz o lucrobi a quantidade de um determinado recurso i

ento:

irecursodounidade

$

jprodutodounidade

irecursodounidadea

jprodutodounidade

$c

i

ij

j

!

!

!

y


21/22

21

logo yi um preo (no necessariamente de mercado) No ponto timo yi* representa a taxa pela qual a funo lucro ser aumentada oudiminuda, se a quantidade disponvel do recurso i (bi) for aumentada ou diminuda dentrode um certo limite. O limite determinado pelos valores de bi para os quais a base desoluo tima permanece a mesma.

Observe o ltimo quadro do exemplo dado:

L 0 0 1/6 5/6 | 131 0 1/6 -1/6 | 10 1 -1/2 3/2 | 9

Observe o quadro inicial

L -4 -1 0 0 | 09 1 1 0 | 183 1 0 1 | 12

Se bi = 18 for aumentado para 19 qual a nova soluo ? ( lembre-se que as operaes so asmesmas pois a matriz tecnolgica no mudou).

L -4 -1 0 0 | 09 1 1 0 | 18 + 13 1 0 1 | 12

L 0 -5/9 4/9 0 | 8 + 4/91 1/9 1/9 0 | 2 + 1/90 2/3 -1/3 1 | 6 - 1/3

L 0 0 1/6 5/6 | 13 +1/61 0 1/6 -1/6 | 1 + 1/60 1 -1/2 3/2 | 9 - 1/2

E se aumentssemos b2 de 12 para 13:

L -4 -1 0 0 | 09 1 1 0 | 183 1 0 1 | 12 + 1

L 0 -5/9 4/9 0 | 81 1/9 1/9 0 | 20 2/3 -1/3 1 | 6 + 1

L 0 0 1/6 5/6 | 13 +5/61 0 1/6 -1/6 | 1 - 1/6


22/22

22

0 1 -1/2 3/2 | 9 + 3/2Dessa forma os limites que b1 e b2podem variar sem mudar a base so:

b1 at 18 unidades a maisb2 at 6 unidades a mais

O que acontece quando se ultrapassa esses limites?

A base muda, existir excessos.

Como yi um preo e representa o quanto se ganharia se existisse mais do recurso i entoyi um custo de oportunidade por no se ter mais do recurso i. Na literatura y i designadopor vrios nomes os mais comuns so:

Preo sombra ( shadon price )Valor implcitoPreo interno ( internal price )Efficiency priceIntrisic valueIncremental value

Pode-se usar agora os conhecimentos econmicos para se interpretar os diversos resultadosmatemticos que podem ocorrer na soluo de um problema de programao linear.

Por exemplo:Se um yi = 0 significa que o recurso i, se for acrescido de uma unidade no

afetar em nada o lucro, assim, seu preo zero logo existe recursos i em excesso(matematicamente a varivel de folga no nula ).

Se um yi" 0 significa que o recurso i tem um certo valor para a empresa, aempresa pagaria at yi para ter mais do recurso e incrementar seu lucro de yi. Como o preo positivo o recurso escasso, no existe desperdcio, todo recurso est sendo utilizadologo, matematicamente, a varivel de folga nula.

Essas interpretao so conseqncias do teorema de folga complementar. Existemuito mais interligaes entre os problemas Primal e Dual que podem ser vistas com maisdetalhes em PUCCINI, 1972.

A Pesquisa Operacional

Documents

Transcript of A Pesquisa Operacional