A Reta

A RETA

Dado um ponto 0 0 0( , , )A x y z e um vetor não-nulo ( , , )v a b c . `

Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v .

Qualquer ponto ( , , )P x y z pertence a r se, e somente se, / /AP v .

0 0 0

/ / ,

( , , ) ( , , ) ( , , ) Equação Vetorial

AP tv t

P A tv P A tv

r x y z x y z t a b c

Resolvendo, teremos:

0 0 0

0

0

0

( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y z t a b c

x x at

y y bt

z z ct

Estas são equações paramétricas da reta, onde:

vetor diretor

equação vetorial

parâmetro

v

r

t

1) a) Determine equações da reta r que passa por (1, 1,4)A e

é paralela a (2,3, 2)v .

b) Para t = 1, t = 2, t = 3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r.

2) Dado o ponto (2,3, 4)A e o vetor (1, 2,3)v , pede-se:

a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v .

b) Encontrar os dois pontos B e C de r de parâmetro t = 1 e t = 4, respectivamente.

c) Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4.

d) Verificar se os pontos (4, 1,2) e (5, 4,3)D E pertencem a r.

e) Determinar para que valores de m e n o ponto ( ,5, )F m n pertence a r.

Posição relativa entre duas retas No espaço, duas retas podem ser:

1- paralelas, se seus vetores diretores forem proporcionais. Neste caso, as retas terão, em comum, todos os seus pontos. Assim, nós as chamamos de coincidentes. Caso elas não tenham qualquer ponto em comum, são ditas, paralelas e distintas.

2- concorrentes, se elas possuírem um único ponto em comum (ponto de interseção).

3- reversas, se não possuírem nenhum ponto comum e os seus vetores diretores não forem proporcionais, significa que as retas não estão em um mesmo plano.

Verifique se as retas 1 2 e L L são paralelas, em cada caso.

a) 1

2

1: 1 3 ; 2 2 ; 3

2

3: 2 9 ; 1 6 ; 1

2

L x t y t z t

L x t y t z t

b) 1

2

: 3 2 ; 1 3 ; 2 4

: 1 ; 4 ; 8 3

L x t y t z t

L x t y t z t

Reta definida por dois pontos

EXEMPLO

4) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por

(3, 1, 2) e (1,2,4)A B .

A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B)

e tem a direção do vetor v AB .

Equações Simétricas

Das equações paramétricas 0x x at , 0y y bt , 0z z ct

e supondo 0abc , temos:

0 0 0

0 0 0

; ;x x y y z z

t t ta b c

x x y y z z

a b c

Dadas as equações simétricas 3 5

2 2 1

x y z

.

Determine o ponto inicial,

o vetor diretor da reta

e equações paramétricas da reta.

Equações reduzidas da reta As equações reduzidas de uma reta podem ser:

1 - reduzidas na variável x

Para obtê-las, basta isolarmos y e z em função de x nas equações simétricas.

2 - reduzidas na variável y

Para obtê-las, basta isolarmos x e z em função de y nas equações simétricas.

3 - reduzidas na variável z

Para obtê-las, basta isolarmos x e y em função de z nas equações simétricas.

7) Seja 2 4 3

:1 2 3

x y zr

,

determine as equações reduzidas em função de x.

Ângulo formado por duas retas

As retas têm a direção dos seus vetores diretores.

Portanto, o ângulo formado por 2 retas é o mesmo formado pelos seus vetores diretores.

Então:

| |cos

| | . | |

r s

r s

v v

v v

,

em que rv é o vetor diretor da reta “r”,

sv é o vetor diretor da reta s

e o é o ângulo formado por “r” e “s”.

8) Determine o ângulo entre as retas:

r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s: 3

3

2

13

zyx

Retas Ortogonais Se duas retas “r” e “s”, por exemplo, são ortogonais,

então, o ângulo entre elas é 90 .

Logo:

    0r sv v (condição de ortogonalidade)

9) Determine o valor de “m”, para que as retas

r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e

2

1 3:

2 3

x y zs

m

sejam ortogonais.

Interseção entre duas retas

• O ponto de interseção entre duas retas é o ponto que satisfaz, simultaneamente, às duas equações.

10) Sejam 1 2 e L L as retas cujas equações paramétricas são:

1

2

: 1 2 ; 2 ; 4 2

: 9 ; 5 3 ; 4

L x t y t z t

L x t y t z t

a) Mostre que 1 2 e L L intersectam no ponto 7, 1, 2 .

b) Determine o ângulo agudo formado entre 1 2 e L L em seu ponto de interseção.

c) Obtenha as equações paramétricas para a reta que é perpendicular a 1 2 e L L

e que passa no seu ponto de interseção.

Capítulo 5:

• Vetores e Geometria Analítica

- Págs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28)