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PROF.:THIAGO PACFICOPROF.:THIAGO PACFICOPROF.:THIAGO PACFICOPROF.:THIAGO PACFICO

http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar e voc?

Professor Thiago Pacfico Matemtica aula 03

RAZO E PROPORO

H somente dois tipos de homens: os justos, que se imaginam pecadores; e ospecadores, que se consideram justos.

PASCAL

Posso no concordar com nenhuma das palavras que voc diz, mas defenderei at o fimo direito de voc diz-las.

VOLTAIRE

CONCEITO DE RAZO

A razo entre duas grandezas o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, o resultado dadiviso entre as grandezas.

Assim, dados dois nmeros reais a e b, com b 0, calcula-se a razo entre a e b atravs doquociente da diviso de a por b.

Para indicarmos a razo entre ae busamos:

ba

ou a : b (a est para b).

Na razo de a por b, o nmero a chamado de antecedente e o nmero b chamado deconseqente.

Razo entre ae b=ba

RAZES INVERSAS

Duas razes so inversas quando o antecedente de uma igual ao conseqente da outra e vice-

versa

ab

eba

. Note que, o produto de duas razes inversas sempre igual a 1.

1ab

.ba

=

RAZES ESPECIAIS

CONCORRNCIA DE UM CONCURSO a razo entre o nmero de candidatos inscritos no concurso e o nmero de vagas oferecidas por

ele.

Concorrncia =oferecidasvagasdeninscritos.candden

VELOCIDADE MDIA

a razo entre a distncia percorrida por um mvel e o tempo gasto para percorr-la.

Velocidade mdia =t

SV

gastotempo

apercorriaddistnciam

=


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DENSIDADE DE UM CORPO

a razo entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado.

Densidade =V

md

volume

massa=

DENSIDADE DEMOGRFICA DE UMA REGIO

a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.

regiodessarea

regioumadehabitantesden

ademogrfic

Densidade=

ESCALA NUMRICA

a razo entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanhoreal, medidos na mesma unidade.

realocompriment

desenhonoocomprimentEscala =

Dd

E =

Tamanhos de Escala

Escala Grande

aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, aquela destinada a pequenos

comprimentos reais (reas urbanas). rica em detalhes. usada em cartas ou plantas.

Escala Pequena

aquela que possui um grande denominador, ou seja, aquela destinada a grandescomprimentos reais (reas continentais). pobre em detalhes grficos. usada em mapas e globos.

Observao

H ainda um outro tipo de escala, chamada escala grfica, que se apresenta sob a forma de umsegmento de reta graduado. Nele, cada graduao representa 1 cm de comprimento no desenho.

Exemplo:

Escala = ou 1: 20.000.000.

cm000.000.20cm1

km200cm1

=

0km 200km 400km 600km 800km


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EXERCCIOS RESOLVIDOS

01. Numa prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens seguir

a) Qual a razo entre o n de questes certas e erradas?b) Qual a razo entre o n de questes erradas sobre o total de questes da prova?c) Qual a razo entre o n de questes em branco sobre o n de questes certas?

Soluo:

O importante dividir seguindo a ordem dada, logo:

a)27

1035

==ERRADAS

CERTAS= 7 : 2

(proporo de 7 certas para cada 2 questes erradas)

b)51

5010

==TOTAL

ERRADAS= 1 : 5

(proporo de 1 errada para cada 5 questes da prova)

c)71

355==

CERTAS

BRANCO= 1 : 7

(proporo de 1 em branco para cada 5 questes certas)

CONCEITO DE PROPORO

Proporo uma igualdade de duas razesDados quatro nmeros reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta

ordem, uma proporo, quando a razo entre o primeiro e o segundo (a:b) igual razo entre o terceiroe o quarto (c:d). Representamos isto por:

dc

ba= ou a : b = c : d

E lemos: a est para b assim como c est para d.Na proporo

dc

ba= , destacamos que os termos a e d so chamados extremos e os termos b e c

so chamados meios.

a : b = c : dd

c

b

a=

MEIOS

EXTREMOS

MEIOS

EXTREMOS


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PROPRIEDADES DE UMA PROPORO

Propriedade Fundamental

Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

c.bd.adc

ba

==

Soma dos Termos

Em toda proporo, temos:

+=

+

+=

+

=

d

dc

b

ba

ou

c

dc

a

ba

dc

ba

Diferena dos Termos

Em toda proporo, temos:

=

=

=

d

dc

b

ba

ouc

dc

a

ba

d

c

b

a

Soma dos Antecedentes e Conseqentes

Em toda proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim comoqualquer antecedente est para seu conseqente.

db

ca

d

c

b

a

+

+==

QUARTA PROPORCIONAL

Dados trs nmeros reais, a, b e c, no-nulos, chama-se de quarta proporcional desses nmerosdados o nmero x tal que:

x

c

b

a=

Note que, a quarta proporcional forma uma proporo com os nmeros a, be c, nessa ordem.


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TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois nmeros reais a e b, no-nulos, chama-se de terceira proporcional desses nmeros onmero x tal que:

xb

ba =

SRIE DE RAZES IGUAIS

Uma srie de razes iguais uma igualdade de duas ou mais razes. Tambm, pode serchamada de proporo mltipla. Em smbolos, temos:

kb

a...

b

a

b

a

b

a

n

n

3

3

2

2

1

1=====

A principal propriedade a ser utilizada :

kb...bbb

a...aaa

b

a...

b

a

b

a

b

a

n321

n321

n

n

3

3

2

2

1

1=

++++

++++=====

NMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Os nmeros de uma sucesso numrica A = (a1, a2, a3, ..., an) so ditos diretamente proporcionaisaos nmeros da sucesso numrica B = (b1, b2, b3, ..., bn), quando as razes de cada termo de A peloseu correspondente em B forem iguais , isto :

kb

a...

b

a

b

a

b

a

n

n

3

3

2

2

1

1=====

Este valor k chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.


01. Verificar se os nmeros da sucesso (20, 16, 12) so ou no diretamente proporcionais aosnmeros da sucesso (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidadek.

Soluo:

Note que:

.43

124

416

;4520

=== e

Ento as sucesses so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4.


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02. Encontrar x e y sabendo que os nmeros da sucesso (20, x, y) so diretamente proporcionais aosnmeros da sucesso (4, 2, 1).

Soluo:

Pela definio de nmeros diretamente proporcionais, temos:

=

=====

5

10

125

12420

y

xyxyx

NMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Os nmeros de uma sucesso numrica A = (a1, a2, a3, ..., an) so inversamente proporcionais aosnmeros da sucesso numrica B = (b1, b2, b3, ... bn), quando os produtos de cada termo da sucesso Apelo seu correspondente em B forem iguais, isto :

a1. b1= a2. b2= a3. b3= ... = an. bn= k

Este valor k tambm chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade.Na situao exposta, podemos dizer tambm que os elementos da sucesso A so diretamente

proporcionais aos inversos dos elementos da sucesso B.

k

b1

a...

b1

a

b1

a

b1a

n

n

3

3

2

2

1

1====


01. Verificar se os nmeros da sucesso (3, 6, 8) so ou no inversamente proporcionais aos nmeros dasucesso (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k.

Soluo:

Note que:3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72.

Ento as sucesses so inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 72.

02. Encontrar x, y e z, sabendo que os nmeros das sucesses (x, 3, z) e (9, y, 36) so inversamenteproporcionais e tm coeficiente de proporcionalidade k = 36.

Soluo:

Pela definio, temos:

==

==

==

.1z3636.z

.12y36y.3

.4x369.x


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03. Repartir o nmero 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4.

Soluo:

Sejam x e yas partes procuradas:

=

====

+

+==

=+

8y

10x2

918

4y

5x

45yx

4y

5x

18yx

04. (FCC) No quadro abaixo, tm-se as idades e os tempos de servio de dois tcnicos judicirios doTRF de uma certa circunscrio judiciria.

Esses funcionrios foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total delaudas entre si, na razo direta de suas idades e inversa de seus tempos de servio no Tribunal. SeJoo digitou 27 laudas, determine o total de laudas do processo.

Soluo:

Sejam Laudas de Joo: x Laudas de Maria: y

Ento:

836x =

1230y =

1230

836

+

+yx

Como x = 27, temos:

83627

=1230

836

+

+yx

Ou seja:

368

.27 =

25

29+

+yx

6 =7yx+

Ento:x+y = 42

IDADE

TEMPO DE

SERVIOJOO

36ANOS

8 ANOS

MARIA30

ANOS12 ANOS


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QUESTES DE CONCURSOS

01. Pensei em dois nmeros naturais. A razo do maior para o menor 2. A soma deles menordo que 20 e a diferena entre eles maior do que 5. Qual o produto desses nmeros?a) 72b) 60c) 48d) 36

02. Beatriz tem 12 anos e sua irm, 18. Daqui a quantos anos a razo entre a idade de Beatriz ea de sua irm ser de 3 para 4?a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

03. Desejo ler um livro de 400 pginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 25 pginas.Continuando neste ritmo, terminarei de ler o restante do livro em:a) 24 horasb) 32 horasc) 48 horasd) 36 horase) 30 horas

04. Um supermercado fazia em um determinado dia a seguinte promoo na venda de um kitcom cinco sabonetes: pague 3 e leve 5, alm disso eram vendidos unidades avulsas.Aproveitando a promoo, levei 32 sabonetes. Quantos sabonetes paguei?a) 14b) 16c) 18d) 20

05. A planta de um apartamento est confeccionada na escala 1:50. Ento a rea real, em m2,de uma sala retangular cujas medidas na planta so 12cm e 14cm :a) 24

b) 26c) 28d) 42e) 54

06. Um veculo vai da cidade A cidade B e outro vai de B para A numa mesma estrada.Ambos partem num mesmo instante, mantm velocidades constantes e se cruzam no ponto C,localizado a 3/5 da distncia de A para B. Nessas condies, se a velocidade do primeiro 75km/h, a velocidade do segundo :a) 62 km/hb) 50 km/h..c) 48 km/h

d) 45 km/he) 42 km/h


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07. A planta do prdio de uma empresa foi feita na escala de 1:250. Determine a rea real queest representada na planta por 4cm2.a) 20m2b) 25m2c) 10m2

d) 100m2

e) 16m2

08. Em um concurso vestibular, a razo entre o nmero de candidatos inscritos na rea deCincias Humanas e na de Cincias Exatas , nessa ordem, 9/7. A porcentagem de candidatosinscritos na rea de cincias humanas :a) 55,5%b) 56,25%c) 56,5%d) 56,75%e) 57,5%

09. Na planta de um edifcio em construo, cuja escala 1:30, as dimenses de uma salaretangular so 30cm e 16cm. A rea real desta sala retangular :a) 480 m2b) 48 m2c) 14,4 m2

d) 43,2 m2

10. Das pessoas presentes em uma festa, sabe-se que a razo entre o nmero de mulheres e ode homens, nessa ordem, 7/13. Nessas condies, o nmero de mulheres igual a queporcentagem do total de pessoas presentes?a) 35%b) 25%c) 20%d) 13%e) 7%

11. Trs semi-retas partem de um mesmo ponto Q, formando 3 ngulos que cobrem todo oplano e so proporcionais aos nmeros 11, 12 e 13. O suplemento do maior dos 3 ngulos, emgraus, mede:

a) 50b) 60c) 70d) 80

12. Um tringulo tem seus ngulos internos proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. Determine omaior deles.a) 20b) 40c) 60d) 80

e) 100


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13. Considere a, b, c e d nmeros reais no-nulos, tais quedc

ba==== . Considere tambm

xca

ba ++++==== ,

onde x uma incgnita. Pela proporo dada, x igual a:a) b + db) a + b

c) c + dd) b + c

14. Na srie de razes4

Z

3

Y

2

X== , calcule o valor de X + Y + Z, sabendo que X + 3Y + 2Z = 76.

a) 34b) 35c) 36d) 37e) 38

15. Se x, y e z so reais no-nulos exz

zy

yx

== , ento a expresso:)zyx(xzyzxy

++

++ igual a:

a) 1b) 2/3c) 1/3d) 2/9e) 1/9

16. Dois nmeros tm produto igual a 1125 e esto entre si assim como 5 est para 9. A somadesses dois nmeros :

a) 90b) 82c) 75d) 70e) 60

17. Em um bar, suco de tangerina uma mistura de xarope com gua na razo de 1 parte dexarope para 2 de gua, e refresco de tangerina uma mistura de xarope com gua na razo de1 para 5. Juntando dois copos de suco com um de refresco, obtemos uma mistura de xaropecom gua na razo de:a) 1 para 3.b) 2 para 5.c) 3 para 5.d) 5para13.e) 6 para 17.

18. Sejam X e Y duas grandezas inversamente proporcionais. Se X sofre um acrscimo de 25%,o decrscimo percentual sofrido por Y :a) 20%b) 22%c) 24%

d) 25%


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19. Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, se uma aumentar 60% a outradiminuir:a) 37,5%b) 40%c) 60%

d) 62,5%e) 10,5%

20. O dono de uma empresa resolveu distribuir uma gratificao de R$1.400,00 entre seus doisgerentes, de forma inversamente proporcional s faltas de cada um num determinado ms.Quanto caber ao mais assduo, se os gerentes faltaram 5 e 2 vezes respectivamente?a) 400b) 600c) 800d) 1000

21. Em um determinado Banco ser dividido um prmio de R$2.400,00 entre os trsfuncionrios que mais se destacaram no ltimo ano. A parte que caber a cada funcionrio diretamente proporcional ao tempo de servio prestado a empresa. Sabendo que ThiagoPacfico tem 3 anos de empresa, Ricardo 4 anos e Daniel 5 anos, determine a quantia quecoube ao funcionrio que ficou com a maior quantia.a) 1200b) 1000c) 800

d) 600

22. O presidente de um clube de futebol resolveu dividir uma gratificao de R$ 1.400,00 entreos dois melhores jogadores de uma certa partida, de forma inversamente proporcional aonmero de faltas que eles cometeram no jogo. Se um jogador A fez 5 faltas e um jogador B fez2 faltas, ento a diferena entre o que coube aos jogadores :a) 400b) 600c) 800d) 900e) 1000

23. Uma empresa ir dividir R$ 24.000,00 entre quatro funcionrios de forma diretamenteproporcional ao tempo de empresa e inversamente proporcional ao nmero de faltas mais um.Quanto coube ao funcionrio mais antigo, sabendo que Thiago Pacfico trabalha a 6 anos efaltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e nunca faltou, Clber trabalha a 12 anos e faltou 3vezes e Daniel trabalha a 10 anos e faltou apenas uma vez. a) R$ 2.000,00b) R$ 4.000,00c) R$ 6.000,00d) R$ 8.000,00e) R$ 10.000,00


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24. Uma microempresa teve um lucro de R$ 8.000,00 que ser repartido entre os trs scios,em partes diretamente proporcionais aos respectivos tempos de trabalho dirio de cada um naempresa. O scio A trabalha 3 horas dirias, B trabalha 5 e C trabalha 8. A partecorrespondente ao scio B :a) R$ 2.250,00

b) R$ 2.500,00c) R$ 2.750,00d) R$ 3.000,00e) R$ 3.250,00

25. O orgulho de um colecionador de carros seu velho fusca que apresenta desempenho de10km rodados por cada litro de gasolina, embora j tenha sofrido alguns reparos no tanquede combustvel. Como esse colecionador ir participar de uma feira de carros em outra cidadecom seu fusca, vai at um posto de combustvel e abastece o carro com exatamente 30,6 litrosde gasolina. Mas, no momento em que o colecionador inicia a viagem, aparece um vazamentono tanque por onde escoa 0,1 litro de gasolina por hora. Sabendo-se que o colecionador

pretende desenvolver uma velocidade constante de 50km/h durante a viagem, a distnciamxima que o fusca ir percorrer, at esgotar toda a gasolina do tanque, ser dea) 300kmb) 240 kmc) 306kmd) 280km

26. As medidas agrrias mais utilizadas em Gois so o alqueire, que corresponde a,aproximadamente, 4,8 hectares, a quarta, que equivalente a um quarto de alqueire, e o litro,que a vigsima parte de uma quarta. Se um agricultor plantar arroz em uma rea de umalqueire e 60 litros, com uma produtividade esperada de 65 sacas por hectare, ele devercolher, em sacas,a) 780b) 546c) 499d) 312e) 234

27. Uma herana foi repartida entre trs filhos, por ordem de idade: ao mais velho coubemetade da herana, ao segundo, um tero dela, e o resto ao terceiro. O primeiro filho dividiusua parte igualmente entre seus quatro filhos, o segundo fez o mesmo para com seus trsfilhos e o terceiro tambm deu tudo para seu filho nico. Ento:

a) os filhos do primeiro filho ganharam mais do que seus primos.b) os filhos do primeiro filho ganharam tanto quanto os filhos do segundo filho.c) os filhos do primeiro filho ganharam tanto quanto o filho do terceiro filho.d) o filho do terceiro filho ganhou mais do que seus primos.e) todos os netos ganharam a mesma coisa.

28. Num estdio de futebol, 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo. Por cada umadas seis sadas disponveis podem passar 1000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mnimonecessrio para que todos os torcedores saiam do estdio (em minutos).a) 10b) 20

c) 30d) 40


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29. Leia com ateno:

Voc deve concordar que, em casos como este, justo que cada um pague proporcionalmenteao que consumiu. A conta foi de 28 (vinte e oito) reais. Considere que Hagar tenha consumidoo triplo do que consumiu o seu acompanhante; assim, proporcionalmente, Hagar deve pagar:a) R$ 18,00b) R$ 19,00c) R$ 20,00d) R$ 21,00e) R$ 24,00

30. Aps ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percursoum atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.

a) Qual o comprimento total do percurso?

b) Quantos metros o atleta havia corrido?

c) Quantos metros o atleta havia caminhado?

31. Um torneira enche um tanque em 5 horas. O ralo do tanque pode esvazi-lo em 3 horas.Estando o tanque cheio, abrimos simultaneamente a torneira e o ralo. Logo, podemos afirmar

que:a) o tanque esvazia em 7h 30 mim;b) o tanque esvazia em 8h;c) o tanque esvazia em 15h;d) o tanque transborda;e) o tanque esvazia em 8h 30 mim.

32. Leia atentamente os quadrinhos.

O Globo 04/09/99O personagem conduzido, em linha reta, num mesmo sentido, por uma distncia de 30 m ecada passo mede 50 cm.Se um dos carregadores cobrar conforme o padro indicado, ele receber, em reais, a quantiade:a) 400b) 500

c) 600d) 700


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33. Temos duas plantas de um mesmo terreno retangular, uma na escala 1:20 e outra na escala1:25. Qual a razo entre as reas dos retngulos da primeira e da segunda planta?a)

25

16

b)5

4

c) 2524

d)4

5

e)16

25

34. Num concurso vestibular, para um determinado curso, havia 40 vagas. O nmero decandidatos por vaga foi de 25 para 1. O nmero de candidatos que no conseguiram ocuparessas vagas est na alternativa:a) 960b) 1000c) 500d) 460e) 920

35. Paulo, Ana e Lus formaram uma sociedade e investiram, respectivamente , R$ 2.500,00;R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Aps um ano, a aplicao estava comum saldo de R$ 12.500,00. Se os trs investidores regatarem somente o rendimento edividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferena entre osvalores recebidos por Ana e Paulo ser igual a:a) R$ 125,00

b) R$ 1.000,00c) R$ 250,00d) R$ 500,00

36. Um construtor entrega ao mestre de obras a reproduo reduzida da planta de uma casadesenhada em um papel ofcio de 30 cm de comprimento. Se a casa a ser construda tem 27metros de comprimento, a escala utilizada no desenho do papel ofcio foi igual a:a) Esc: 1:150b) Esc: 1:30c) Esc: 1:100d) Esc: 1:60

e) Esc: 1:90

37. Joo tem dois filhos cujas idades somam 28 anos e esto entre si na razo de 3 para 4. Seele pretende dividir R$ 175,00 entre os dois, em partes inversamente proporcionais s suasrespectivas idades, ento o mais jovem dever receber:a) R$ 55,00b) R$ 60,00c) R$ 75,00d) R$ 85,00e) R$ 100,00


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38. Uma varivel y inversamente proporcional ao quadrado de outra varivel x. Para x = 3, yvale 15. Ento, se x = 4, y dever valer:

a)16

1

b)16

15

c)16

45

d)16

135

e)16

625

39. Dois nmeros naturais, cujos produto 432, esto entre si assim como 3 est para 4. Asoma desses nmeros igual aa) 42b) 43c) 48d) 57e) 62

40. Quando meu irmo tinha a idade que tenho hoje, eu tinha4

1 da idade que ele tem hoje.

Quando eu tiver a idade que meu irmo tem hoje, as nossas idades somaro 95 anos. Hoje, asoma de nossas idades, em anos, a) 53b) 58c) 60d) 65e) 75

GABARITO01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20A D E D D B B B D A A D A C C D D A A D21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B B C B A B D B D - A C E A C E E D A D

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