A Transformada de Laplace

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

Motivos para utilizara a transformada de Laplace

• Com esta técnica de análise é possível analisar o comportamento transitório de circuitos descritos por mais de uma única equação diferencial.

• Com esta ferramenta é possível determinar a resposta de circuitos com fontes de excitação mais complexas.

• A transformada de Laplace permite transformar do domínio do tempo para o da frequência e vice versa, conjuntamente com o conceito de função de transferência, ampliando o entendimento dos circuitos elétricos.

A transformada de Laplace

A Transformada de Laplace unilateral de um sinal f(t) do domínio do tempo para o domínio da frequência é definida por:

A função degrau unitário

• Em situações que é necessário definir a função degrau em t=0, define-se u(t=0)=0,5.

A função impulso unitário

• A função impulso possui amplitude infinita e duração igual a zero. A área sob a função impulso é unitária.

Transformadas Funcionais• A transformada funcional é simplesmente a

transformada de uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência.

Transformadas Operacionais• A transformada operacional indica como operações

matemáticas realizadas em f(t) ou F(s) são convertidas para o domínio oposto.

Transformadas Operacionais• Diferenciação

• Integral por partes:

• Fazendo...

Transformadas Operacionais• Diferenciação

Transformadas Operacionais• Integração

• Integral por partes:

Transformadas Operacionais• Integração

Tabela abreviada de transformadas operacionais

Exemplo de aplicação• Admitindo que não existe nenhuma energia armazenada no circuito em t=0-, o

problema é determinar v(t).

Exemplo de aplicação

A Transformada inversa• A transformada inversa de Laplace de uma função cuja

forma é:

• A função F(s) é denominada uma função racional própria se m>n. Caso contrário, m≤n, a função é racional imprópria.

• Somente uma função racional própria pode ser expandida como uma soma de frações parciais.

Expansão em frações parciais• As raízes do denominador são reais e distintas

Expansão em frações parciais• As raízes do denominador são complexas e

distintas

• O procedimento é o mesmo

Expansão em frações parciais• As raízes do denominador são reais e repetidas

• Obs: Para determinar K3 multiplica-se ambos os lados por (s+5)3 ;depois diferencia-se ambos os lados da equação.

Expansão em frações parciais• As raízes do denominador são complexas e

repetidas

Expansão em frações parciais• É necessário avaliar apenas os valores de K1 e K2,

pois os outros dois são valores conjugados.

Expansão em frações parciais – Funções racionais impróprias

Quando o numerador possuir grau igual ou superior ao denominador é necessário dividir o numerador pelo denominador.

Pólos e ZerosConsidere uma função no domínio da frequência complexa s expressa através da razão entre dois polinômios fatorados.

Z1 , Z2 , ..., ZN São os zeros de H(s)

λ1 , λ2 , ..., λN São os polos de H(s)

Teorema do valor inicial e final

Prova do teorema do valor inicial

Essa integral Se anula no limite

Prova do teorema do valor inicial

Prova do teorema do valor final

Prova do teorema do valor final

A transformada de Laplace em análise de circuitos

• A transformada de Laplace transforma um conjunto de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes em um conjunto de equações algébricas lineares que são mais fáceis de manipular.

• A transformada de Laplace incorpora os valores iniciais de tensão e de corrente automaticamente nas equações algébricas.

Elementos de circuito no domínio da frequência

• O Resistor

Elementos de circuito no domínio da frequência

• O Indutor

Elementos de circuito no domínio da frequência

• O Indutor

Elementos de circuito no domínio da frequência

• O Capacitor

Elementos de circuito no domínio da frequência

• O Capacitor

Análise de circuito no domínio da frequência

Função de Transferência

Função de transferência considerando a corrente como saída.

Função de transferência considerando a tensão como saída.

Localização dos pólos e zeros da Função de Transferência

• Para circuitos lineares a função de transferência é sempre uma função racional de s. Ou seja, uma relação entre dois polinômios da variável s.

• Os pólos de H(s) devem estar na metade esquerda do plano s. Esta imposição deve-se ao fato de que uma entrada limitada tenha como resposta uma saída também limitada.

• Os zeros de H(s) podem estar na metade esquerda ou na metade direita do plano s.

Função de Transferência em expansões por frações parciais

• Expandindo o lado direito da equação acima, tem-se que os termos gerados devido aos pólos de H(s) dão origem ao componente transitório da resposta total. Já os termos gerados devido aos pólos de X(s) dão origem aos componentes de regime permanente da resposta.

Resposta ao impulso

Resposta ao impulso

Integral de convolução

• A integral de convolução ( o termo convolução significa “dobramento") permite que se trabalhe no domínio do tempo, útil quando x(t) e h(t) são conhecidas por meio de dados experimentais.

• A integral de convolução proporciona um procedimento formal para determinar a transformada inversa de produtos de transformadas de Laplace.

Integral de convolução

• A ordem na qual as duas funções sofrem a convolução é irrelevante, representando dentre algumas propriedades, a propriedade comutativa.

• A convolução de dois sinais consiste em inverter no tempo um dos sinais, deslocá-lo e multiplicá-lo ponto a ponto com o segundo sinal, integrando o produto.

Integral de convolução e a transformada de Laplace

• A convolução no domínio do tempo equivale à multiplicação no domínio da frequência.

Convolução – Procedimento gráfico• 1. Realize o espelhamento de h(λ) para obter h(-λ).

Convolução – Procedimento gráfico• 2. Desloque a função invertida ao longo do eixo λ para obter h(t-λ)

Convolução – Procedimento gráfico• 3. A área debaixo do produto de x(λ) com h(t-λ) é o valor para a convolução para um

determinado instante de tempo t=t0.

Convolução – Procedimento gráfico• 4. Repita este último procedimento para obter a convolução para todos os valores de

t.