Lista 2 - Transformada de Laplace
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace ___________________________________________________________________________ __________ 1
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
_____________________________________________________________________________________
QUESTÃO 1.a:
a)
Resposta:
Aplicando Laplace:
Substituindo :
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e , podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[2 2];>> ny=[2 2];>> dy=[1 0 -1 0];>> dy=[1 0 -1 0];>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
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Ou ainda sem o Matlab:
Assim, temos: , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de cada termo separadamente:
QUESTÃO 1.b:
b)
Resposta:
Aplicando Laplace:
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
_____________________________________________________________________________________
Substituindo :
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[3 0 4];>> ny=[3 0 4];>> dy=[1 1 1 1];>> dy=[1 1 1 1];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira
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Assim: , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de cada termo separadamente:
Como:
Substituindo:
`
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QUESTÃO 1.c:
c)
Resposta:
Aplicando Laplace:
Substituindo :
Expansão em frações parciais:
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Os coeficientes e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[20 540];>> ny=[20 540];>> dy=[1 7 10];>> dy=[1 7 10];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
Assim: e . Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa
de cada termo separadamente:
QUESTÃO 1.d:
d)
Resposta:
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Aplicando Laplace:
Substituindo e :
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[2 8 5];>> ny=[2 8 5];>> dy=[1 2 3 0];>> dy=[1 2 3 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
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Ou ainda sem o Matlab:
Assim: , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de cada termo separadamente:
Como:
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QUESTÃO 1.e:
d)
Resposta:
Aplicando Laplace:
Substituindo e :
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Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[1 2 5];>> ny=[1 2 5];>> dy=[1 -4 4 0];>> dy=[1 -4 4 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
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Assim: , , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de cada termo separadamente:
QUESTÃO 1.f:
d)
Resposta:
Aplicando Laplace:
Substituindo e :
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% Matlab% Matlab>> ny=[4 57 266 633];>> ny=[4 57 266 633];>> dy=[1 14 77 226 312];>> dy=[1 14 77 226 312];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
A partir das raízes encontradas no Matlab, podemos expandir Y(s) em frações
parciais.
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Assim: , , e . Dessa
forma pode-se calcular a transformada inversa de cada termo separadamente:
Como:
Substituindo temos:
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QUESTÃO 2.a:
a)
Resposta:
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[1];>> ny=[1];>> dy=[1 6 5 0];>> dy=[1 6 5 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
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Assim: , e . Dessa forma pode-se calcular a transformada
inversa de cada termo separadamente:
QUESTÃO 2.b:
b)
Resposta:
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[10];>> ny=[10];>> dy=[1 15 11 5];>> dy=[1 15 11 5];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
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Disciplina: IM 144 Prof. Dr. Janito Vaqueiro Ferreira
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
_____________________________________________________________________________________
Assim: , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente:
QUESTÃO 2.c:
c)
Resposta:
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados utilizando-se o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[2 2];>> ny=[2 2];>> dy=[1 1 2 0];>> dy=[1 1 2 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Ou ainda sem o Matlab:
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Assim: , e . Dessa forma pode-se
calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente:
Como:
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
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QUESTÃO 2.d:
d)
Resposta:
Obtemos as raízes e os coeficientes , e utilizando o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[2 2];>> ny=[2 2];>> dy=[1 1 2 0];>> dy=[1 1 2 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Assim: , , e . Dessa forma pode-se
calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo separadamente:
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2ª Lista de Exercícios – Transformada de Laplace
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QUESTÃO 2.e:
e)
Resposta:
Expansão em frações parciais:
Obtemos as raízes e os coeficientes , e utilizando o Matlab:
% Matlab% Matlab>> ny=[400 1200];>> ny=[400 1200];>> dy=[1 2 26 0];>> dy=[1 2 26 0];>> roots(dy)>> roots(dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)>> [c p k]=residue(ny,dy)
Assim: , e . Dessa
forma pode-se calcular a transformada inversa de Laplace de cada termo
separadamente:
Como:
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QUESTÃO 3: Determine a resposta a um degrau de força com magnitude F para o
sistema da figura ao lado usando a função de transferência. Idem para uma força
com rampa de 60º.
Resposta:
Fazendo o DCL (Diagrama de Corpo Livre), o sistema pode ser expresso pela
seguinte equação de primeira ordem:
Aplicando Laplace:
Substituindo :
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a) Para um degrau unitário com magnitude F, no domínio de Laplace, temos:
Substituindo:
Expansão em frações parciais:
Os coeficientes e podem ser calculados, sendo:
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Assim: e . Dessa forma pode-se calcular a transformada inversa de
cada termo separadamente:
b) Para uma rampa de 60°, temos que:
Substituindo:
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Expansão em frações parciais:
Os coeficientes , e podem ser calculados, sendo:
Assim: , e . Dessa forma pode-se calcular a
transformada inversa de cada termo separadamente:
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QUESTÃO 4: Um sistema massa-mola é excitado por uma série de 4 pulsos. Se o
sistema estava inicialmente em repouso, determine o deslocamento da massa m.
Considere m = 1, K1 = 1, K2 = 2, C = 0.85. Suponha que os pulsos são impulsos de
área A.
Resposta:
Fazendo o DCL (Diagrama de Corpo Livre), o sistema pode ser expresso pela
seguinte equação de primeira ordem:
Aplicando Laplace:
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A força F(s) é construída com impulsos de área A deslocados, utilizando as
propriedades de linearidade e translação no tempo:
Para m= 1, K1= 1, K2 = 2, C = 0.85, teremos:
1ª SOLUÇÂO:
As raízes do polinômio são e . Expandindo
em frações parciais:
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Os coeficientes e podem ser calculados, sendo:
Assim: e . Dessa forma pode-se calcular a transformada
inversa de cada termo separadamente:
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Como:
A resposta final é a soma de y1(t) deslocado no tempo de a, para cada impulso aplicado:
Sendo u(t) um degrau unitário.
2ª SOLUÇÂO:
Pode ser escrito da forma:
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Como:
Substituindo:
Assim:
Como:
Calculando a transformada inversa de Laplace:
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QUESTÃO 5: Calcular a transformada de Laplace da forma de onda ao lado
que representa a saída de um retificador de ponte completa (meia-senóides).
Um período do sinal pode ser representado por:
Substituindo:
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Finalmente, utilizando-se da propriedade de funções periódicas para Transformada
de Laplace, temos:
Portanto:
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