12-Transformada de Laplace

8/18/2019 12-Transformada de Laplace

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Universidad Tecnológica NacionalFacultad Regional Delta

Teórico deCÁLCULO AVANZADO

2016

Tema: Transformada de Laplace


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Objetivos de aprendizaje

Germán BRESCIANO


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12 TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................ ........................12-1

12.1 I NTRODUCCIÓN ........................................................................................................................12-1

12.1.1 Antecedentes ............................................................ ........................................................12-1 12.1.2 Transformadas ......................................................... ........................................................12-1 12.1.3 Características de la transformada de Laplace...............................................................12-1

12.2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.............................................................................................12-2

12.2.1 Definición ..................................................... ................................................................. ..12-2 12.2.2 Continuidad seccional. ....................................................................................................12-3 12.2.3 Orden exponencial. ............................................................. .............................................12-3 12.2.4 Abscisa de convergencia..................................................................................... .............12-3 12.2.5 Existencia de la transformada de Laplace ......................................................................12-3 12.2.6 Unicidad de la transformada de Laplace ........................................................................12-4 12.2.7 Teorema ...........................................................................................................................12-4 12.2.8 Propiedades ............................................................. ........................................................12-5 12.2.9 Tabla de transformadas ................................................................ ...................................12-7

12.3 A NTITRANSFORMADA DE LAPLACE ....................................................... ...................................12-8

12.3.1 Definición ..................................................... ................................................................. ..12-8 12.3.2 Evaluación de la antitransformada ......................................................... ........................12-9

12.4 R ESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ............................................................ .............12-9

12.4.1 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes ...........................................12-9 12.4.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantes ............................................ 12-10 12.4.3 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes variables ........................................... 12-10 12.4.4 Aplicaciones ................................................................................. ................................. 12-11

12.5 FUNCIÓNES ESCALÓN E IMPULSO ............................................................................................ 12-13

12.5.1 Escalón unitario de Heaviside ................................................................. ...................... 12-13 12.5.2 Función impulso ................................................................ ............................................ 12-15

12.6 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ....................................................................... ...................... 12-19

12.6.1 Álgebra del diagrama de bloque ................................................................................... 12-19 12.6.2 Ceros y polos de la función de transferencia...................................................... ........... 12-20 12.6.3 Estabilidad ............................................................... ...................................................... 12-21 12.6.4 Definición de sistema estable ....................................................... ................................. 12-22

12.7 TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y FINAL ................................................................................. 12-24

12.7.1 Teorema del valor inicial.............................................................. ................................. 12-24 12.7.2 Teorema del valor final ..................................................... ............................................ 12-24

12.8 APLICACIONES ................................ ................................................................. ...................... 12-24

12.8.1 Respuesta a perturbaciones .......................................................... ................................. 12-24 12.8.2 Control automático ............................................................. ........................................... 12-27


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Transformada de Laplace 12-1

12 Transformada de Laplace

12.1 Introd uc ción

12.1.1 AntecedentesLa transformada de Laplace es muy importante en el análisis de sistemas en ingeniería.El ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850 –1925), desarrolló un método para resolverecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes que es el antecesor del métodode la transformada de Laplace. A Heaviside le interesaba la resolución de problemas y su métodoera intuitivo y con poco rigor matemático, no le interesaban las demostraciones. Con su métodopudo resolver problemas que no podían resolverse por métodos clásicos.Debido a su practicidad, el método fue aceptado rápidamente por los ingenieros y atrajo laatención de matemáticos que trataron de darle rigurosidad. Luego de muchos años se vio que latransformación integral que había planteado el matemático francés Pierre Simon de Laplace(1749 –1827) casi un siglo antes era el sustento teórico para el trabajo de Heaviside y unaalternativa más sistemática para resolver ecuaciones diferenciales que el método original deHeaviside.

12.1.2 TransformadasEn algunos métodos matemáticos se usa una transformación para simplificar la resolución de unproblema.Por ejemplo, los logaritmos se usan para simplificar problemas de multiplicación y división. Paramultiplicar o dividir dos números, los transformamos en sus logaritmos, sumamos o restamosestos y luego realizamos la transformación inversa, el antilogaritmo, para obtener el producto ocociente de los números originales. El propósito de usar esta transformación es plantear elproblema en un nuevo dominio en el cual sea más fácil de resolver. Una vez resuelto en el nuevodominio, la solución se puede transformar inversamente para obtener los resultados deseadosen el dominio original. Algo similar ocurre cuando para hallar una primitiva realizamos un cambio de variable para

obtener un nuevo problema más sencillo que el original y, una vez resuelto el problema en lanueva variable, volvemos a la variable original.

12.1.3 Características de la transformada de Laplace

La transformada de Laplace es una transformación integral, que toma una función f(t) de unavariable real t (que llamaremos tiempo) y la transforma (mediante el cálculo de una integral) en

una función F(s) de otra variable s (que llamaremos frecuencia compleja).La principal ventaja de la transformada de Laplace es que convierte ecuaciones diferenciales enel dominio de t (tiempo) en ecuaciones algebraicas en el dominio de s (frecuencia). Por tanto, laresolución de ecuaciones diferenciales en el dominio de t se reduce a resolver ecuacionesalgebraicas en el dominio de s y luego aplicar la antitransformada para volver al dominio de t. Además, como las condiciones iniciales intervienen en el proceso de transformación, la solución

que se obtiene las incorpora automáticamente, obteniéndose directamente la solución particulardeseada, por lo que resulta ideal para problemas de valor inicial como los que suelen presentarseen circuitos eléctricos y vibraciones mecánicas.La Transformada de Laplace es muy útil en el análisis de sistemas lineales. Si a un sistema leaplicamos una excitación dependiente del tiempo (entrada), produce una respuesta tambiéndependiente del tiempo (salida). El problema es determinar la salida x(t) cuando el sistema sesomete a una determinada entrada u(t), aplicada en un instante de tiempo que suele definirsecomo t=0 .

Figura 12-1 Diagrama de bloque se un sistema


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La relación entre la salida y la entrada depende de las leyes que gobiernan el comportamientodel sistema. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo, entonces la salida está dada poruna ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, que es un problema de valor inicialfácil de resolver usando la transformada de Laplace.La entrada puede ser una función discontinua, incluso un pulso, y en esos casos el método de latransformada de Laplace tiene grandes ventajas en comparación con la resolución tradicional de

la ecuación diferencial.Otra aplicación importante es el estudio de estabilidad de un sistema. Para ello se define lafunción de transferencia como el cociente entra la transformada de salida y la transformada deentrada. Un sistema estable es aquel que, frente a una entrada determinada, nos da una salidaacotada. Además, cuando a un sistema estable se le suprime la entrada, su salida tiende a cero.Para determinar la estabilidad de un sistema se analizan los polos de la función transferencia enel dominio de las frecuencias complejas.

12.2 La transform ada de Laplace

Vamos a generalizar las series de potencias.

∑

=

Vamos a hacer algo parecido, pero sumaremos no sólo sobre los naturales sino sobre los reales,reemplazaremos n por t y an por f(t). En vez de sumar vamos a integrar. Queda: + Donde pondremos z=e-s (1)

12.2.1 DefiniciónDada una función f :R→R, definimos transformada de Laplace de F como una función f tal que

−

+

Y se anota ℒ →

Figura 12-2 Transformada de Laplace entre dominios t y s

L es el operador transformada de Laplace y decimos que transforma a la función f en el dominio de t en la función F en el dominio de s.

Más adelante veremos en qué condiciones podemos asegurar que la integral converge.

Como el límite inferior de integración es cero, al aplicar la transformada de Laplace nose toma en cuenta el comportamiento de f para valores de t negativos. Generalmenteen ingenia esto no es un inconveniente ya que generalmente la variable t es el tiempoy los sistemas que estudiamos son no anticipantes, es decir que no hay una respuestahasta que no se aplica una excitación. Consideraremos que la excitación es nula

1 Si bien la variable s en el caso general es compleja, haremos las demostraciones para s real. Las demostraciones paras compleja son básicamente iguales, teniendo en cuenta que el módulo de la exponencial no cambia si se sustituye s porsu parte real.


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para t0. Estas funciones que son nulaspara t

12.2.2 Continuidad seccional.Una función f :R→R es seccionalmente continua en un intervalo I R si tiene en ese intervalo a losumo una cantidad finita de discontinuidades y son de salto finito.

12.2.3 Orden exponencial.

Se dice que una función f :R →R es de orden exponencial ebt (t→+∞ ) si existe M y t 0 tales que| | ≤ ∀ ≥ (2) 12.2.4 Abscisa de convergenciaLa abscisa de convergencia de una función es el menor b para el cual la función es de orden

exponencial ebt (t→+∞ ).

12.2.5 Existencia de la transformada de Laplace

Sea f:R→R de orden exponencial ebt (t→+∞ ) y seccionalmente continua en [0,h] ∀ h>0 entonces

i) ∫ −+ converge absolutamente ∀ s>b ii) ∫ −+ converge uniformemente en [s0 , +∞ ) ∀ s0>bDemostración

i) | −| ≤ − −− ∀ ≥ y si s>b entonces s-b>0 por tanto ∫ −−+ converge y, por comparación,∫ −+ converge absolutamente

ii)

∫ −

+

converge uniformemente en [s0 , +∞) si y solo si ∀ >0 ∃ H( ) tal que

2 b no es único, si una función es de orden exponencial para un b0, también lo será para todo b> b0


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−" < ∀ℎ, ℎ" > ∀ ∈ , ∞ ⟺ s u p∈,+

−"

< ∀ℎ, ℎ" > pero

sup∈,+ −" ≤ sup∈,+ | −|" s u p∈,+ | |−" ≤ sup∈,+ −" ≤ (basta con tomar > ) ≤ −" ≤ −−" Pero como

∫ −

−+

> entonces ∀ >0 ∃ H( ) tal que

−−" < ∀ℎ, ℎ" > 12.2.6 Unicidad de la transformada de LaplaceLa transformada de La place es única pues se define como −+ lim→+ − y un límite si existe es único.

12.2.7 Teorema

f seccionalmente continua en [0,h] ∀ h>0 y de orden exponencial ebt ( t→+∞ ) Entonces si F(s) es su transformada:i) lim→+ 0 ii) sF(s) acotada cuando t→+∞

iii) si F no es nula no puede ser periódica

Demostracióni)

0 ≤ || −+

≤ | −|+

| |−+

| |− | |−+ ≤

Como f es seccionalmente continua, entonces | f(t)| acotada en [0, t 0 ]

≤ − | |−+ ≤ −

−−+ 1 −| 1 −−+ − 1 0 −− 1 − −− →+ 0

Entonces lim→+ 0


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ii)

0 y por tanto sF(s) acotada cuando s →+∞ iii) Si F(s) fuera periódica, no podría ser lim→+ 0 a menos que fuera nula.

12.2.8 Propiedades

12.2.8.1 Linealidad

→ Demostración f 1 y f 2 seccionalmente continuas y de orden exponencial → ( )−+ −+ −+ Para los s para los cuales las transformadas existen (las integrales correspondientes convergen).

12.2.8.2 Convolución

∗ ≡ → Demostración

f 1 y f 2 seccionalmente continuas y de orden exponencial ∗ → ∗ −+ −+ ∬ −

El dominio de esta integral doble, S, es como semuestra en la figura.Hacemos el cambio de variable

, Cuya jacobiana es , 1 01 1 ⟹ , 1

− , ⁄ ≥ 0 ≥ 0

Pues 0 ≤ ≤ ⇔ 0 ≤ ≤


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Entonces

∗ → ∬ −+

−++ + − −+ + −+ −+

12.2.8.3 Cambio de escala (a>0) → 1 Demostración

f seccionalmente continua y de orden exponencial y a>0

ℒ −+

1 −

+

1 −

+

1

la última integral converge cuando s/a>b o sea cuando s>ab, por tanto

si () ,∞ ⟹ ,∞ 12.2.8.4 Traslación de la función 0 < ≥ → − Demostración

f seccionalmente continua y de orden exponencial

ℒ

−

+

−

a

−

+

a

0 −+a −−−+a − −−+a − −+ − 12.2.8.5 Traslación de la transformada → Demostraciónℒ −+a −−+a 12.2.8.6 Derivación de la función → 0 " → 0 ′0 ⋮ → − 0 − ⋯ −0 −0 Demostración

f derivable en [0, +∞ ) y de orden exponencial ebt (t→+∞ ). Si s>b ℒ ′ ′−+ −|+ −+

0 −+

0

Si f no es continua en 0 daría


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ℒ ′ lim→ Aplicando sucesivamente se obtienen las transformadas de las derivadas superiores.

12.2.8.7 Derivación de la transformada

→ ′

→ " ⋮ 1 → Demostración

f seccionalmente continua y de orden exponencial. ∂∂s −+ ∂∂s −+ ()−+ ℒ Aplicando sucesivamente se obtienen las derivadas superiores de la transformadas

12.2.8.8 Integración de la función

→

Demostración

f seccionalmente continua y de orden exponencial Aplicando la propiedad de convoluciónℒ ℒ ∙1 ℒ ∗ 1 ℒ ℒ1 12.2.8.9 Integración de la transformada → + Demostración

f seccionalmente continua y de orden exponencial

ℒ ℒ ℒ ⟹ + ℒ + ℒ

+ 0 ℒ ℒ 12.2.9 Tabla de transformadas A partir de la definición de transformada de Laplace y usando las propiedades anteriores sepueden calcular las transformadas de funciones usuales (3).

3 Las funciones δ(t) y u(t) se llaman función impulso y función escalón. Más adelante las definiremos.


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12.3 Ant i t ransfo rmada de Laplace

Existe en ciertas condiciones, pero no es única.Por ejemplo, si consideramos las funciones 1 ∀ ≥ 0 1 ∀ ≥ 0 ≠ 20 2 Vemos que como ambas funciones difieren sólo en un punto. −+ −+ ⇒ Sin embargo, una función no puede tener dos antitransformadas causales continuas distintas, osea que existe la transformación inversa cuando sólo consideramos el espacio de las

funciones causales continuas.

12.3.1 DefiniciónLa antitransformada de Laplace de una función F es una función causal f cuya transformadade Laplace es F

Figura 12-4 Transformada y antitransformada

Con frecuencia veremos expresiones del tipo ℒ− donde f(t) no es nula para t ⇒ ℒ − 1

∀ ≥ 0

Pero muchas veces simplemente se pone

ℒ 1 ⇒ ℒ− 1


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12.3.2 Evaluación de la antitransformadaSi bien existe una fórmula para calcular la antitransformada de una función, su evaluación implicael cálculo de integrales complicadas, por lo que usualmente lo que se hace es usar laspropiedades para relacionar la antitransformada buscada con antitransformdas conocidas.

12.4 Resolución de ecuaciones diferenciales

El método de resolución de ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones diferenciales queveremos a continuación es ideal para resolver directamente problemas con valor inicial en t=0 (4), pero es menos directo para problemas de valores de frontera. Sin embargo, se puede utilizarindirectamente si se asigna parámetros a una o más de las condiciones iniciales y después sedetermina sus valores usando las condiciones de frontera dadas.

12.4.1 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantesEste tipo de ecuación diferencial se transforma en una ecuación algebraica de la que se despejala transformada de la función incógnita.Para resolver una EDO igualamos las transformadas de ambos lados de la ecuación.Consideremos el siguiente problema de valor inicial:

" 0 1′0 2 Para resolverlo buscamos las transformadas (5)ℒ ℒ" 0 0 2 ℒ 1 Por tanto, la EDO se transforma en la ecuación algebraica 2 1

Despejando

1 1 2 ⇒ 1 ⁄ 21 De donde 11 1 21 El primer término lo podemos descomponer en fracciones simples como

+ + Por tanto 1 1 3 1 1 Todos estos términos están en la tabla de transformadas

ℒ 1 ℒ 1 1 ℒ 1

Entonces ℒ ℒ 3ℒ ℒ 3 Por tanto 3 Estrictamente esta igualdad vale para t 0 pero es fácil verificar que esta función es solución delproblema para todo t .Nótese que la solución verifica los valores iniciales del problema, que fueron incorporados en latransformada de la derivada segunda.

4 Si las condiciones iniciales fueran en otro valor de t , se puede hacer un cambio de variable para que los valores inicialescorrespondan al cero en la nueva variable5 Nótese cómo las condiciones iniciales en t=0 se incorporan a la transformada de la derivada.


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12.4.2 Sistemas de ecuaciones lineales a coeficientes constantesEste tipo de sistema de ecuaciones diferenciales se transforma en un sistema de ecuacionesalgebraicas del que se despejan las transformadas de las funciones incógnitas.Se procede en forma similar, pero habrá varias funciones incógnitas.Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

2 3 2 0 8 0 3 Las transformadas de las funciones incógnitas serían ℒ y ℒ Por la propiedad de derivada de la funciónℒ′ 0 8 ℒ′ 0 3 El sistema transformado queda 8 2 3 3 2 ⇒ 2 3 82 1 3 Resolviendo este sistema de ecuaciones

8 17 4 1 3 22 4 1

Debemos descomponer ambas expresiones en fracciones simples 3 4 5 1 2 4 5 1 Todos estos términos son de la forma ℒ − Entonces 3 5− 2 5− Nuevamente, aunque esta solución vale para t 0 es fácil verificar que es solución del problemapara todo t y que verifica los valores iniciales del problema, que fueron incorporados en lastransformadas de las derivadas.

12.4.3 Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes variablesEn estos casos, al haber coeficientes variables, la ecuación diferencial suele transformarse en

otra ecuación diferencial, pues habrá derivadas de la transformada involucradas.Consideremos el problema

" 1 2′ 2 00 1′0 2 Por propiedad de derivada de la funciónℒ" 0 0 2 ℒ′ s 0 s 1 Y por propiedad de derivada de la transformadaℒ′ ℒ s 1 s′

ℒ" ℒ"

2

2 1

Entonces

ℒ1 2 ℒ 2ℒ s 1 2(s ) 2´ s 2 1 La ecuación transformada queda 2 1 2 s 2 1 2 0 2 0 ⇒ s 2 0 ⇒ 2 Que es una ecuación diferencial a variables separables cuya solución es de la forma 2 ⇒ k Y como

0 1 ⇒ 1 ⇒


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12.4.4 AplicacionesLos sistemas mecánicos de traslación se usan para modelar situaciones que involucran treselementos básicos,

masas (con masa M, medida en Kg),resortes (con rigidez del resorte K, medida en Nm-1) yamortiguadores (con coeficiente de amortiguamiento B, medido en Nsm-1).

Las variables asociadas son el desplazamiento x(t) (medido en m) y la fuerza F(t) (medida en N).Los elementos básicos se representan como en la figura

Figura 12-5 Elementos de sistema de traslación

Suponiendo que los resortes y amortiguadores son ideales (se comportan linealmente), lasrelaciones entre las fuerzas y los desplazamientos sonMasa: " (Ley de Newton)Resorte: (Ley de Hooke) Amortiguador: ′ ′

Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, que se pueden resolvermediante las técnicas de transformada de Laplace.

12.4.4.1 Sistema oscilatorio de una masaLa masa del sistema de la Figura 12-6 (a) está sometida a una fuerza periódica externaF(t)=4sen( t) aplicada a partir del tiempo t=0,

Figura 12-6 Ejemplo de sistema de traslación

Determine el desplazamiento resultante x(t) de la masa en el tiempo t , suponiendo que x(0)=x’(0)=0, para los casos = 2 y = 5.En el caso = 5 , ¿qué pasaría con la respuesta si no estuviera el amortiguado?Solución

Como se ve en la Figura 12-6 (b), las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza aplicadaF(t) y las fuerzas de restauración F 1 y F 2 debidas al resorte y al amortiguador respectivamente.Haciendo un balance de fuerzas y aplicado la ley de Newton, se llega a" 6′ 25 4 Aplicando la transformada de Laplace se obtiene

6 25 0 0 60 4 donde X(s) es la transformada de x(t).


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Incorporando las condiciones iniciales llegamos a 4 6 25 En el caso = 2 descomponiendo en fracciones simples

8 2 6 25 4195 414 2 2195 8 20 6 25

4195 7 2 2 4 2 2195 8 3 3 4 4 3 4 Y antitransformando se obtiene 4195 (72 42) 2195 −(84 4) En el caso = 5 queda 20 2 6 25 215 5 115 2 3 3 4 32 4 3 4 Y antitransformando se obtiene

215 5

115

−

24 32 4

Si no hubiera amortiguación habría dado 20 5 1025 50 5 1025 5 5 5 1025 5 5 1025 5 5 225 5 5 25 5 5 Antitransformando 225 5 25 ∙ 5 Que es no acotada debido a que el sistema está en resonancia y no es amortiguado.

12.4.4.2 Sistema oscilatorio de dos masasConsidere el sistema mecánico de la Figura 12-7 (a), que consiste en dos masas M 1=1 y M 2=2 cada una conectada a una base fija por un resorte, con constantes K 1=1 y K 3=2 respectivamente,y conectadas entre sí por un tercer resorte con constante K 2=2 El sistema es soltado desde el reposo en el tiempo t=0 en una posición en la cual M 1 estádesplazada una unidad a la izquierda de su posición de equilibrio y M 2 está desplazada 2unidades a la derecha de su posición de equilibrio. Despreciando todos los efectos de fricción,determine las posiciones de las masas en función del tiempo.

Figura 12-7 Sistema oscilatorio de dos masas

Sean x 1(t) y x 2(t) los desplazamientos de las masas M 1 y M 2 respectivamente desde susposiciones de equilibrio. Como todos los efectos de fricción son despreciados, las únicas fuerzasque actúan sobre las masas son las fuerzas de restauración debidas a los resortes, como semuestra en la Figura 12-7 (b). Aplicando la ley de Newton se obtiene el sistema de ecuacionesdiferenciales que representa el movimiento del sistema

" 3 2 0 2" 4 2 0


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Aplicando la transformada de Laplace se obtiene 3 2 0 0 2 0 0 Dadas las condiciones iniciales x 1(0)=-1, x 2(0)=2, x 1’(0)= x 2’(0)=0

3 2 2 2 O sea 3 21 2 2 Cuya solución es 2 4 1 2 5 4 1 Descomponiendo en fracciones simples

1 2 4 1 4

Antitransformando 22 2 12.5 Funciónes escalón e impu lso

12.5.1 Escalón unitario de HeavisideEn muchas aplicaciones de la ingeniería las funciones de fuerza son diferentes en distintosperíodos de tiempo, es decir que están definidas a trozos e inclusive pueden tenerdiscontinuidades de salto entre los trozos. Para manipular estas funciones discontinuas usamosla función de Heaviside (6) H(t), también llamada escalón unitario, definida como

0 < 01 ≥ 0

Figura 12-8 Función escalón

La función escalón permite describir con una sola fórmula estas funciones definidas a trozos.Por ejemplo, la función

0 ≤ < ≤ < ≤

6 También suele encontrarse como u(t)


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Figura 12-9 Función definida a trozos

Puede formularse como

12.5.1.1 Transformada de la función escalónEs fácil demostrar que la transformada de la función de Heaviside esℒ 1 ∀ > 0 Y por la propiedad de traslación de la funciónℒ − ∀ > 0, ≥ 0 12.5.1.2 Traslación de la funciónLa función escalón nos permite expresar la traslación de una función (como se definió en12.2.8.6) en una sola fórmula

0 < ≥ Por lo tanto la propiedad de traslación de la función puede expresarse comoℒ −ℒ 12.5.1.3 AplicacionesResolver la ecuación diferencial

" 5′ 6 0 0′0 2 Siendo f la función pulso

3 0 ≤ < 60 ≥ 6SoluciónEn lugar del enfoque tradicional que sería resolver primero para el intervalo [0,6] y luego de 6 enadelante, lo que haremos es expresar la ecuación como" 5′ 6 3 6 Y transformarla 5 6 0 50 ℒ 2 3 1 1 − Entonces 2 3 2 3 − 3 2 3 Descomponiendo en fracciones simples

1/2 1/2 2 1 3 − 1/2 3/2 2 1 3 Antitransformando


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12 12 − − 12 32 −− −− 6 O bien

12

12

− − 0 ≤ < 612 − − 32 −− −− 6 ≤

Figura 12-10 Función pulso y solución de la EDO

12.5.2 Función impulsoCuando un martillo golpea un clavo, el martillo está en contacto con el clavo un período muycorto de tiempo, el contacto es casi instantáneamente. La fuerza aplicada, durante este cortotiempo, crece rápidamente hasta un valor grande y luego disminuye rápidamente a cero.Tales fuerzas bruscas se llaman fuerzas impulsivas y son importantes en muchas aplicaciones

de ingeniería. En la práctica no importa la duración del contacto sino el impulso transmitido, quees la integral la fuerza durante tiempo deaplicación. Matemáticamente estasfunciones de fuerza se representan por lafunción impulso unitario o delta de Dirac .Para formular matemáticamente la funciónimpulso y comprender su interpretaciónfísica, consideremos la función de pulsodefinida por

ℎ

0 0 < < 2

1/ 2 ≤ ≤

20 2 <

Es evidente que el área bajo el pulso es 1para cualquier >0 ℎ+− 1 Cuando consideramos el límite de la funciónpulso cuando su duración tiende a ceroobtenemos la función delta de Dirac, quetiene la propiedad

0 ∀ ≠ 0

Figura 12-11 Pulso rectangular unitario

Figura 12-12 Impulso instantáneo unitario


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+− 1 Un impulso de magnitud A aplicado en t=a se

representa por .La magnitud de la función de pulso está dada porel área bajo el pulso. La forma real del pulso no esimportante, mientrasel área sea constante cuando su duración tiende acero.

O sea que bien hubiésemos podido usar pulsoscomo el de esta figura para definir la funciónimpulso.

12.5.2.1 Propiedad de filtradoUna propiedad importante de la función impulso unitario es la propiedad de filtrado, que dice quesi f es continua en t=a entonces +− 12.5.2.2 Transformada de la función impulsoUsando la definición y las propiedades de la función impulso:ℒ −+ − 1 Ejemplo

Encontrar

ℒ− 4 ℒ− 4 ℒ− 4 4 4 ℒ− 1 4 4 22 12.5.2.3 Relación entre las funciones escalón e impulsoDe las definiciones de ambas funciones puede deducirse que − ′ 12.5.2.4 Aplicaciones

Consideremos una viga uniforme de longitud l y sea y(x) el desplazamiento vertical.

Figura 12-13 Pulso triangular unitario


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Figura 12-14 Viga cargada

Si la viga es sometida a una carga W(x) entonces

Siendo E el módulo de Young del material e I el momento de inercia de la viga.Transformando esta EDO obtenemos[ 0-s2y'0 "0 "′0] Despejando 0 y'0s2 "0 "′0 Se necesitan cuatro condiciones iniciales para determinar la solución, que idealmente serían"′0 el esfuerzo cortante en x=0 "0 el momento de torsión cortante en x=0 ′0 la pendiente de la viga en x=0

0 el desplazamiento de la viga en x=0

Pero usualmente no se dispone de todas pues, dependiendo del tipo de soporte que se tenga encada extremo, algunas condiciones están especificadas en el otro extremo de la viga.Supongamos que se desea conocer el desplazamiento de la viga soportada libremente en ambosextremos, sometida a su propio peso W N distribuido uniformemente y una carga concentrada P N en x=l/3.

Figura 12-15 Diagrama de fuerzas

R 1 y R 2 se pueden determinar por las condiciones de equilibrio de la viga, resultando 2 23 2 3 Por tanto, la distribución de carga será

3 2 23 2 3


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Transformando − − 2 23 2 3 − De donde

−

−

2 23 2 3 −

0 y'0s2 "0 "′0 1 − −

2 23

2 3 − 0 y'0s2 "0 "′0

Como la viga está soportada libremente0 0 "0 " 0Entonces

1 − − 2 23 2 3 − y'0s2 "′0 Y antitransformando 1 124 124 16 3 3 16 2 23 16 2 3 y '0 16 "′0 Derivando dos veces" 1 12 12 3 3 2 23 2 3 "′0 Para determinar la solución usamos las condiciones en el extremo derecho0 1 124 16 23 16 2 23 y '0 16 "′0 0 " 1

1

2

2

3

2 2

3 "′0

Despejando

y'0 16 "′0 1 124 481 112 19 y"'0 1EI

12 W 23 P - W 2 2P 3 0 ⇒ y"'0 0 Por tanto y'0 124 581 entonces 1 124 12 16 3 3 16 2 23

16 2 3

124 581

Simplificando


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1 24 12 24 581 9 16 3 3 16 2 3 12 O bien

1 24 12 24 581 9 0 ≤


23/33


Figura 12-16 Reglas de álgebra de diagramas de bloque

12.6.2 Ceros y polos de la función de transferenciaSi en Ec. 12-1 anotamos

⋯

−− ⋯ Entonces donde, para que el sistema sea físicamente realizable, los grados m y n de los polinomios P(s) yQ(s) deben ser tales que n≥m, pues de lo contrario la salida del sistema ante una entrada acotadapodría incluir funciones impulso, cosa que no sucede normalmente.La ecuación Q(s)=0 es llamada la ecuación característica del sistema, y su orden determina elorden del sistema y sus raíces se conocen como polos de la función de transferencia.De la misma manera, las raíces de P(s)=0 son los ceros de la función de transferencia. A pesar de que una función de transferencia caracteriza la dinámica del sistema, no proporcionainformación acerca de la estructura física del sistema, y de hecho sistemas que son físicamente

distintos puede tener la misma función de transferencia; por ejemplo, un sistema masa-resorte-amortiguador y un circuito RLC tienen ambos la función de transferencia de la forma 1 Para sistemas lineales invariantes en el tiempo G(s) puede escribirse como ⋯ ⋯ Siendo z i y pi los ceros y los polos de la función de transferencia respectivamente.Si se conocen los polos y los ceros entonces G(s) es conocida, excepto por un factor constante.Por eso con frecuencia se usa un dibujo de los polos y los ceros de G(s) como ayuda en análisisgráfico de la función de transferencia (una convención común es marcar la posición de un cero

mediante un círculo y la de un polo mediante una cruz).Como los coeficientes de los polinomios P(s) y Q(s) son reales, todas las raíces complejas sonpares complejos conjugados y el diagrama polo-cero es simétrico con respecto del eje real.EjemploLa respuesta x(t) de un sistema a una función de fuerza u(t) está dada por la ecuación diferencial9 12 13 2 3

a) Determine la función de transferencia que caracteriza al sistema.

b) Proporcione la ecuación característica del sistema. ¿Cuál es el orden del sistema?

c) Determine los polos y los ceros de la función de transferencia y haga un diagramapolo-cero en el plano s.

Solución


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a) Supongamos que todas las condiciones iniciales son cero, aplicando la transformada deLaplace a toda la ecuación diferencial obtenemos9 12 13 2 3

La función de transferencia del sistema es entonces

≡ 2 39 12 13

b) La ecuación característica es 9 12 13 0 y el sistema es de orden 2.c) Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica, y el cero de la función de transferencia es la raíz del polinomio delnumerador, Colocando los polos y ceros en el plano s obtenemos el diagrama

Figura 12-17 Diagrama Polo-Cero

12.6.3 EstabilidadLa estabilidad de un sistema es una propiedad muy importante.Un sistema estable es uno que permanece en reposo a menos que sea excitado por una fuerzaexterna y vuelve al estado de reposo si se quita la fuerza externa. Así un sistema estable es unocuya respuesta cuando se anula la entrada tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Estogarantiza que cualquier entrada acotada producirá una salida acotada; esta propiedad se tomacon frecuencia como la definición de un sistema lineal estable.Es claro que la estabilidad es una propiedad del propio sistema y no depende de la entrada delsistema ni de la función de fuerza. Corno un sistema puede ser caracterizado en el dominio s porsu función de transferencia G(s), será posible usar la función de transferencia para especificarcondiciones para que el sistema sea estable.La respuesta en el tiempo, x(t), de un sistema ante una entrada u(t) está dada por

Donde ya hemos visto que el grado de P debe ser menor que el de Q.La descomposición en fracciones simples de G(s) depende de cómo son las raíces de Q(s), esdecir los polos, que pueden ser de varios tipos.

12.6.3.1 Polo real simpleUn polo simple en s=- α en la expansión fracciones simples de G(s) aparece como un término dela forma c/(sα cuya respuesta correspondiente en el dominio de t es ce - αt H(t) .

Si α> 0 el polo está en el lado izquierdo del plano s y la respuesta en el tiempo crecerásin cota cuando t→+∞.

Si α


25/33


marginalmente estable; pues no asegura que una entrada acotada dará lugar a unasalida acotada (7).

De ello se deduce que un sistema estable debe tener los polos reales simples en la mitadizquierda del plano .

12.6.3.2 Polos reales múltiplesUn polo múltiple en s=- α y en la expansión en las fracciones simples de G(s) aparece comotérminos de la forma c/(s+ α) n cuya respuesta en el dominio de tiempo es−− 1! La respuesta decaerá a cero cuando t→ + ∞ sólo si α >0 , lo que indica que un sistema establedebe tener todos los polos reales múltiples en la mitad izquierda del plano .

12.6.3.3 Polos complejo conjugadosCorresponde a un par de polos complejos conjugados en s=- α+iβ, s= - α - iβ , y en la expansiónfracciones simples de G(s) aparece como un término de la forma

Cuya respuesta en el dominio de tiempo es−( ∙ ∙ ) ∙ Nuevamente los polos en la mitad izquierda del plano s (correspondiente a α>0 ) tienenrespuestas de tiempo decaen a cero cuando t→+∞. en la forma de sinusoide amortiguadaexponencialmente.Por tanto, un sistema estable debe tener polos complejos conjugados en la mitad izquierdadel plano (deben tener parte real negativa).Si α=0 , la respuesta de tiempo será una sinusoide periódica, que no decaerá cuando t→+∞ .Esto corresponde a un sistema marginalmente estable y dará lugar, por ejemplo, a una respuestano acotada cuando t→+∞ cuando la entrada es una sinusoide de la misma frecuencia β(resonancia).

12.6.4 Definición de sistema estableUn sistema lineal físicamente realizable, causal e invariante en el tiempo con función detransferencia G(s) es estable siempre que todos los polos de G(s) estén en la mitadizquierda del plano s. El requisito de que el sistema sea físicamente realizable, es que n>m en la función detransferencia G(s) para evitar términos polinómicos en el cociente P(s)/Q(s) que permitiríanrespuestas no acotadas con entradas acotadas.

7 Por ejemplo, si un sistema de este tipo tiene una entrada que es un escalón d aplicado en el tiempo t=0 , entonces la

respuesta será una rampa cdtH(t) , que es no acotada cuando t→+∞ .


26/33


Figura 12-18 Respuestas al impulso según tipos de polos


27/33


12.7 Teoremas del valor inic ial y f inal

Estos teoremas nos permiten conocer el comportamiento del sistema cuando t→0 y t→+∞ sinnecesidad de antitransformar a F(s).

12.7.1 Teorema del valor inicial

Si f(t) y f’(t) son ambas transformables y existe lim→ entonceslim→ lim→+ Demostración

Como vimos en la propiedad de derivada de la función ℒ ′ lim→ Pero si f’(t ) es transformable,lim→+ ℒ ′ 0 ⇒ 0 lim→+ lim→ lim→+ lim→ ⇒⇒ lim→ lim→+ 12.7.2 Teorema del valor finalSi f(t) y f’(t) son ambas transformables y existe

lim→+ (8) entonces

lim→+ lim→

Demostración

Como vimos en la propiedad de derivada de la función ℒ ′ lim→ Entonceslim→ lim→ lim→ ℒ } lim→ −+ + |+ lim→+ lim→ ⇒ lim→+ lim→ 12.8 Ap l icaciones

12.8.1 Respuesta a perturbacionesSe tiene un intercambiador de calor 1-1, de carcasa y tubos. En condiciones estables, esteintercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos con vaporsaturado a 150 psia en la carcasa.

La ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor es 2 12 8 La existencia de lim→ no garantiza que lim→+ exista, lo cual es necesario para la validez de esteteorema.

Flujo de agua entrada

Salida de Agua °T

Temp de Vapor entrada

Salida de condensado


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Donde Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor (267.4897 BTU/h°Fft2)

ATC0: Área de transferencia de calor (197.92034 ft2)

Cp: Capacidad calorífica (1 BTU/lb°F)

tv: Temperatura del vapor (°F) te: Temperatura del agua a la entrada (80 °F)

ts: Temperatura del agua a la salida (°F)

w: Flujo de agua (lb/h)

m: Cantidad de agua dentro de tubos (1219321.75 lb)

a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del aguacon respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua,suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantieneconstante en 80°F.

b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo

escalón de +20°F en la temperatura del vapor y un cambio de +10 gal/min en el flujo deagua.

c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.

Solucióna) Función de transferencia

En estado estacionario ̅ 2̅ ̅ ̅ 0 Donde

̅: Temperatura del vapor (358 °F)

̅ : Temperatura del agua a la salida (185 °F) ̅ : Flujo de agua (112162.3 lb/h)

Restando esta ecuación de la anterior ̅ 12 ̅ ̅ ̅ ̅ 12 ̅ 12 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 1

2

Utilizando variables de desviación

12 ̅ ̅ 12 Aplicando la transformada con Laplace 12 ̅ ̅ 12 Reordenando 12 12 ̅ ̅ 0 12 12 ̅ ̅ 0 Despejando T s (s)

̅ 12 12 ̅


29/33


Separando 12 12 ̅ ̅ 12 12 ̅

Y reordenando

12 ̅ 12 12 ̅ 1 ̅ 12 ̅ 12 12 ̅ 1

O sea + + con 12 ̅ 0.381883131 ̅

12 ̅ 7.573947∙10− ℉

ℎ⁄

12 12 ̅ 1.712995 Por tanto

0.3818831311.712995 ∙ 1 7.573947∙10− ℉ ℎ⁄1.712995 ∙ 1

Nótese que la función de transferencia tiene dos componentes (uno para la temperatura de vapory otro para el flujo de agua).

b) Respuesta a las perturbaciones

Las perturbaciones introducidas en el instante t=0 son 20 ℉ 10 5007.2455 ℎ⁄ Cuyas transformadas son ℉ y . ⁄ , por tanto 0.3818831311.712995 ∙ 1 20 ℉ 7.573947∙10

− ℉ ℎ⁄1.712995 ∙ 1 5007.2455 ℎ⁄ 3.845201 ℉

1.712995 ∙ 1

Sin necesidad de antitransformar, por el teorema el valor final

lim→+ lim→ lim→ 3.8452 ℉1.712995 ∙ 1 3.8452 ℉ c) Para graficar cómo varía la temperatura en el tiempo debemos antitransformar, para los

cual primero expendimos en fracciones simples

3.845201 ℉1.712995 ∙ 1 2.246078 ℉ − 0.583772 − 3.845201 ℉ 3.845201 ℉ 0.583772 − 3.845201 ℉1 1 0.583772 − Antitransformando

3.845201(1 −.

) ℉Por tanto [185 3.845201(1 −. )] ℉


30/33


Figura 12-19 Respuesta a entrada escalón

12.8.2 Control automáticoConsideremos que en el sistema anterior queremos controlar la temperatura de salida anteperturbaciones en la temperatura del vapor mediante un sistema con un controlador PID en lazocerrado que actuará sobre el flujo de agua.

Figura 12-20 Diagrama de bloques de control PID

Señal Nombre Función

r(t) Referencia estado que se desea alcanzar en el sistema.

e(t) Error diferencia entre el estado deseado y real del sistema a controlar.

c(t) Control señal que genera el controlador.

u(t) Accionamiento acción que se ejerce sobre el sistema para controlarle.

p(t) Perturbación perturbación en la entrada del sistema

y(t) Salida estado real que ha alcanzado el sistema a controlar.h(t) Realimentación medida del estado del sistema.

350

352

354

356

358

360

362

364

366

368

370

185

186

187

188

189

190

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T v

( ° F )

T s

( ° F )

Tiempo (seg)

ts tv


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Sean Gc (s) la función de transferencia del controlador

Ga(s) =1 la función de transferencia del accionador (el control es directo sobre w)

Gs(s) la función de transferencia del sistema

H(s)=1 la función de transferencia del sensor (la medida es directa)

La ecuación diferencial de un controlador PID es ∫ Donde K c es la constante de proporcionalidad (9) en

⁄℉ y y son los tiempos (10) deintegración y derivación en segundos (11). Transformando sabiendo que e(0)=0 1 1 1 Entonces a función de transferencia del controlador es 1 Como el error es la desviación de la temperatura de salida y se actúa directamente sobre el flujo

de agua, entonces 1 1 Pero 0.3818831311.712995 1 7.573947∙10− 1.712995 1 Entonces 0.3818831311.712995 1 7.573947∙10− 1.712995 1 1 1 Y despejando

0.3818831311.712995 11 7.573947∙10− 1.712995 1 1 1 Entonces la función de transferencia global es 0.3818831311 7.573947∙10− 1.712995 1 1 1 1.712995 1 0.3818831311.712995 1 7.573947∙10− 1 1

504.2062261.69 1320.32 1 ⇒

504.2062261.69 1320.32 Los polos de la función de transferencia son las raíces de 2261.69 1320.32 0 2261.69 1 1320.32 1 0 9 Debe ser positiva en este caso pues un error positivo debe provocar un aumento de w para bajar T s 10 Deben ser positivos para que ambos efectos tengan el mismo sentido que el proporcional.11 De aquí en más omitiremos las unidades para simplificar las ecuaciones.


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Para que el sistema sea estable ambas raíces deben tener parte real negativa, por lo tanto, suproducto debe ser positivo. 1 ⁄ 2261.69 ⁄ > 0 Lo cual se cumple y además la suma es negativa pues

11320.32 ⁄ 2261.69 ⁄ < 0Pero dados y , cuanto más negativas sean las partes reales de las raíces, más estable seráel sistema. Para ello conviene elegir grande y pequeño y además trataremos que eldiscriminante no sea positivo para que no haya dos raíces reales, pues la mayor será mayor quela semisuma, por tanto,11320.32 ⁄ 4 2261.69 ⁄ 1 ≤ 0 ≤ 4 2261.69 ⁄11320.32 ⁄ En estas condiciones la parte real de las raíces será

12 11320.32 ⁄ 2261.69 ⁄ < 0 Si elegimos, por ejemplo 3000 , 0.2, debe ser < 1.8398 Si elegimos 0.1 los polos serán 0.7548 ± 3.1486 La descomposición en fracciones simples de la función de transferencia es

504.2062861.69 4320.323000 0.1762 1.5097 10.483 0.1762 0.7548 3.1486 Si se aplica una perturbación

20 ℉ entonces

y la respuesta será

1.119∙3.1486 7.548 3.1486 Antitransformando 1.119−.3.1486 Por tanto 1851.119−.3.1486 ℉

Figura 12-21 Respuesta a entrada escalón con control PID

350

352

354

356

358

360

362

364

366

368

370

184,5

185

185,5

186

186,5

187

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T v

( °

F )

T s

( ° F )

Tiempo (seg)

ts tv


33/33


Si queremos evitar las oscilaciones debemos elegir 1.8398 con lo cual habrá un polo doble 0.7548 No hay oscilaciones, pero la estabilización es más lenta. 3.5238

7.548

Antitransformando

3.5238−. Por tanto 1853.5238−. ℉

Figura 12-22 Respuesta a entrada escalón con control PID sin oscilación

350

352

354

356

358360

362

364

366

368

370

184,5

185

185,5

186

186,5

187

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

T v (

° F )

T s (

° F )

Tiempo (seg)

ts tv

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