UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

SILVIA VILELA DE OLIVEIRA RODRIGUES

A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA: ÂNGULOS, RETAS E PARÁBOLA.

Material Didático apresentado no Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE do Estado do Paraná.

Orientadora: Márcia Maioli

CIANORTE

2008

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Sumário

INTRODUÇÃO: Os computadores chegaram! Como usá-los nas aulas de matemática? ................... 3

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................................................... 3

UM POUCO SOBRE GEOGEBRA .................................................................................................... 7

ÂNGULOS, RETAS E PARÁBOLA ................................................................................................ 16

ÂNGULO RETO E RETAS PERPENDICULARES .................................................................... 16

RETAS PARALELAS................................................................................................................... 18

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO .................................................................................................... 20

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO ............................................................................................. 22

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA ............................................................................................... 24

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................ 27

REFERÊNCIAS ................................................................................................................................ 28

3

A UTILIZAÇÃO DE RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO ALTERNATIVA PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO: Os computadores chegaram! Como usá-los nas aulas de matemática?

Uma nova realidade é encontrada nas escolas paranaenses com o advento de

equipamentos de informática, essa nova fase pode ser encarada como um momento de

evolução tecnológica, que pode trazer vários benefícios para a inclusão digital, socialização

de programas educacionais e enriquecimento das estratégias de ensino em todas as

disciplinas, mas o que transparece, é que a entrada dos computadores na educação tem

provocado inquietação aos professores, pois estes provocam insegurança na maioria dos

docentes. Isso implica numa mudança de postura dos membros do sistema educacional e na

formação dos administradores e professores.

O presente material apresenta orientações básicas quanto ao uso do software Geogebra

e propostas de atividades de alguns conteúdos matemáticos, dando condições necessárias para

que diminua a distância do professor com o computador de modo que se sinta à vontade no

manuseio e não ameaçado por esta tecnologia, abordando possibilidades e limitações do uso

de softwares no ensino da Matemática, estimulando a utilização dos computadores na prática

docente para enriquecer ambientes de aprendizagem e auxiliar o aprendiz no processo de

construção do seu conhecimento.

A primeira parte do material composta pela Introdução; Fundamentação Teórica e o

item intitulado Um pouco sobre o Geogebra, foram preparados em conjunto pelo grupo das

cinco professoras PDE orientadas pela professora Marcia Maioli. A partir daí, cada professora

PDE ficou responsável pela elaboração de um conjunto de atividades de acordo com o

conteúdo de seu interesse. Cada um destes conjuntos de atividades é apresentado no item 4,

com a identificação das respectivas autoras.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

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As escolas públicas da Rede Estadual do Paraná estão recebendo computadores

através do programa “Paraná Digital” e junto com eles está surgindo a necessidade de se ter

conhecimentos e metodologias para sua utilização de forma pedagógica. Diante desta

situação, percebemos que é necessário que o professor busque conhecimentos e se atualize

para utilizar esse importante recurso (computador) como uma ferramenta pedagógica que o

auxilie no ensino de sua disciplina.

No ensino da Matemática, o uso do computador poderá proporcionar avanços no

processo ensino aprendizagem, contribuindo e desafiando professores e alunos a torná-lo um

aliado importante na construção do conhecimento.

Segundo VALENTE (1999), a utilização dos computadores na educação é tão remota

quanto o advento comercial dos mesmos. O autor afirma que, já em meados da década de 50,

apareceram as primeiras experiências do seu uso na educação. No entanto, a ênfase dada

nessa época era praticamente a de armazenar informação em uma determinada seqüência e

transmiti-la ao aprendiz.

Hoje, a proposta para o uso dos computadores na educação é mais diversificada e

desafiadora do que simplesmente a de transmitir informação ao aluno. O computador pode ser

um auxiliar do processo de construção do conhecimento e utilizado para enriquecer os

ambientes de aprendizagem. A simples presença das novas tecnologias não é por si só

garantia de maior qualidade na educação, pois a aparente modernidade pode mascarar um

ensino tradicional, baseado na recepção e memorização de informações.

O uso inteligente do computador na Educação está vinculado à maneira como nós

concebemos a tarefa na qual ele será utilizado. Se o utilizarmos como máquina de ensinar,

estaremos apenas informatizando os métodos de ensino tradicionais. Contudo, se o

computador for utilizado como ferramenta pedagógica, onde ele não é simplesmente o

instrumento que ensina o aprendiz, mas a ferramenta com a qual este desenvolve, descreve,

busca novas estratégias e soluciona situações–problema, estaremos abordando a perspectiva

Construcionista.

“Na abordagem Construcionista o computador não é o detentor do conhecimento, mas uma ferramenta tutorada pelo aluno e que lhe permite buscar informações em redes de comunicação à distância, navegar entre nós e ligações, de forma não-linear, segundo seu estilo cognitivo e seu interesse momentâneo.” (ALMEIDA, 2000)

A autora ainda afirma que nessa perspectiva, é o aluno que coloca o conhecimento no

computador e indica as operações que devem ser executadas para produzir as respostas

desejadas.

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Borba e Penteado (2005) afirmam que a relação entre a informática e a Educação

Matemática deve ser pensada como transformação da própria prática educativa.

De acordo com o Documento das Diretrizes Curriculares de Matemática para a

Educação Básica do Estado do Paraná,

“O ensino da Matemática trata a construção do conhecimento matemático sob uma visão histórica, de modo que os conceitos devem ser apresentados, discutidos, construídos e reconstruídos e também influenciar na formação do pensamento humano e na produção de conhecimentos por meio das idéias e das tecnologias.”

Segundo Borba (1999), no contexto da Educação Matemática, os ambientes de

aprendizagem gerados por aplicativos informáticos podem dinamizar os conteúdos

curriculares e potencializar o processo de ensino e da aprendizagem voltados à

“Experimentação Matemática” com possibilidades do surgimento de novos conceitos e novas

teorias matemáticas.

As Diretrizes Curriculares de Matemática ressaltam ainda que os recursos tecnológicos

sejam eles o software, a televisão, as calculadoras, os aplicativos da Internet, entre outros, têm

favorecido as experimentações matemáticas e potencializado formas de resolução de

problemas.

Borba e Penteado (2005) consideram as ferramentas tecnológicas interfaces

importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática. Destacam que abordar

atividades matemáticas com os recursos tecnológicos enfatiza um aspecto fundamental da

disciplina, que é a experimentação.

De posse dos recursos tecnológicos, os estudantes desenvolvem argumentos e

conjecturas relacionadas às atividades com as quais se envolvem e que são resultados dessa

experimentação.

Torna-se necessário, portanto, buscar meios como softwares matemáticos, e avaliar o

potencial de cada um deles para o trabalho pedagógico. Por meio dos softwares educacionais

de modelagens ou simulação, os alunos podem ser estimulados a explorar idéias e conceitos

matemáticos, antes difíceis de construir com lápis e papel, proporcionando assim, condições

para descobrir e estabelecer relações matemáticas.

Conforme Gravina e Santarosa (1998), “as novas tecnologias oferecem instâncias

físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, e isto tem reflexos nos processos

cognitivos, particularmente no que diz respeito às concretizações mentais.”

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Como vimos, os pesquisadores apontam a necessidade de o computador ser utilizado

nas escolas como ferramenta pedagógica. No entanto, nos sentimos despreparados para essa

nova realidade escolar.

Existem diversos softwares matemáticos que podem ser utilizados pelo professor para

enriquecer a aprendizagem. Dentre eles, citamos Cabri-Géomètre, GeoGebra, Winplot, Régua

e Compasso, entre outros.

Por ser um software gratuito, com versão em português e funcionar na plataforma

Linux, optamos por apresentar neste trabalho atividades matemáticas utilizando o software

Geogebra (disponível em www.geogebra.org).

Criado pelo prof. Dr. Markus Hohenwarter da Flórida Atlantic University, em 2001, o

Geogebra é um software de matemática dinâmica para ser utilizado em Educação Matemática

nas escolas de Ensino Fundamental, Médio e Superior que reúne geometria, álgebra e cálculo.

O Geogebra é um software disponível na rede para Download e escrito em linguagem Java.

Foi traduzido para o português por J. Geraldes e é objeto de estudos de um ex-aluno da

Universidade Estadual de Maringá, Humberto José Bortollossi.

Segundo Hohenwarter (2007), idealizador do software, “a característica mais

destacável do Geogebra é a percepção dupla dos objetos: cada expressão na janela de Álgebra

corresponde a um objeto na Zona de Gráficos e vice-versa”.

Por um lado o Geogebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de

geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e

coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o Geogebra tem a vantagem didática de

apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que

interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.

É mais uma ferramenta que pode oferecer a oportunidade de dinamizar e consolidar o

trabalho pedagógico em matemática.

7

UM POUCO SOBRE GEOGEBRA

Figura 1 Fonte: www.augusta-neves.net

A proposta deste trabalho é apresentar uma breve introdução às ferramentas do

software Geogebra versão 3.0, auxiliando o leitor que não tem familiaridade no manuseio

destas ferramentas e propor algumas atividades para serem realizadas com a ajuda do

software. Outras informações poderão ser obtidas no menu Ajuda do programa (em inglês) ou

no endereço eletrônico www.geogebra.org, onde também é possível fazer o download do

programa. No site estão todas as informações sobre instalação e ajuda.

Esta primeira parte do material foi inspirada na apostila que esta disponível em:

http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf

A tela do Geogebra

A figura abaixo representa a tela do Geogebra:

FERRAMENTAS

JANELA DE GRÁFICOS

JANELA DE ÁLGEBRA

LINHA/ENTRADA DE COMANDOS

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A barra de ferramenta do Geogebra está dividida nas janelas apresentadas abaixo:

Cada janela contém várias ferramentas, para selecionar uma função, devemos clicar

sobre uma das janelas, lado direito inferior sobre a setinha, e arrastar o cursor para baixo,

quando a função desejada estiver selecionada é só dar um clique.

Algumas dicas • O item Desfazer no menu Editar é uma ferramenta muito usada para anular as últimas

operações, pode-se usar também no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y (refazer), esta

opção também é encontrada no canto superior da tela .

• Cada vez que selecionamos uma ferramenta, o Geogebra dá informações de como

proceder para utilizá-la.

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• O menu “Exibir – Protocolo de Construção“ fornece uma tabela listando todos os

passos que você tomou fazendo sua construção. Ele serve para revisar a construção

passo a passo utilizando as teclas de seta.

Apresentaremos algumas atividades básicas para a familiarização com as principais funções

do Geogebra.

Atividade 1

1- Nesta atividade serão utilizados a Janela de Álgebra, o Eixo e a Malha. No menu

Exibir aparece essas três funções, sempre que precisar, você poderá ativá-las ou

desativá-las.

2- Para criar um ponto selecione a ferramenta novo ponto , e dê um clique na área

de trabalho. Marque no plano cartesiano cada um dos seguintes pontos: A (2, 1); B (8,

1); C (8, -2) e D (2, -2). Outra forma de marcar os ponto e digitá-los na Caixa de

Entrada da seguinte forma: A=(2,1) e teclar Enter.

3- Mude a cor dos pontos. Para mudar a cor do ponto, clique sobre ele com o lado direito

do mouse, selecione a opção Propriedades e em seguida a opção Cor. No lado

esquerdo dessa janela aparecem os pontos. Clique neles, um a um, e na cor desejada.

Para a operação ser concluída, clique em Fechar.

4- Utilizando a ferramenta polígono , clique sobre os pontos e forme o Polígono

ABCD. Lembre-se de fechar o polígono no ponto A.

5- Para mudar a cor do polígono, repita o procedimento utilizado para mudar a cor dos

pontos, clicando dentro do polígono com o lado direito do mouse.

6- Observe a janela de álgebra. Os dados do polígono também mudaram de cor. O objeto

Poly1 traz a medida da área do Polígono P. Os objetos a, b, c, d, são as medidas dos

lados deste polígono.

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7- A intensidade da cor do preenchimento do polígono pode ser alterada, clique dentro

dele com o lado direito do mouse, a seguir, clique em Propriedades escolha a opção

Estilo, movimente com o mouse a seta de Preenchimento que pode intensificar ou

diminuir sua cor.

8- Para mover ou arrastar um objeto, selecione a ferramenta mover , clique no

polígono e arraste para o local desejado. Agora clique sobre um dos pontos e mova.

Clique sobre um dos lados e mova.

9- Caso queira salvar a atividade realizada, abra o menu Arquivo clique na opção Gravar.

Atividade 2

1- Abra um arquivo novo clicando em Arquivo, na janela que surge selecione Novo.

2- Nesta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra, Malha e nem o Eixo. A Janela

de Álgebra também pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu canto superior

direito.

3- Construa uma reta utilizando a ferramenta Reta definida por dois pontos ,

selecione a ferramenta e depois clique em dois lugares quaisquer no plano.

4- Renomeie os pontos A e B para C e D. Para isso, clique sobre o ponto com o lado

direito do mouse, abrirá uma janela, selecione a opção Renomear. Digite a letra que

você identificará o ponto e clique em Aplicar.

5- Nomine a reta como r. Se a letra não aparecer, clique com o lado direito do mouse

sobre a reta e selecione Exibir rótulo.

6- Mude a cor da reta. (Use o mesmo procedimento utilizado para mudar a cor dos pontos

e do polígono).

7- Modifique a espessura da reta. Clique sobre ela com o lado direito do mouse, selecione

Propriedades e na função Estilo podemos aumentar ou diminuir a espessura da reta

movendo a seta correspondente. Também nesta janela pode-se mudar o estilo da reta

para pontilhado.

8- Construa um novo ponto fora da reta e represente-o pela letra P.

9- Construa uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Clique na ferramenta Reta

paralela , a seguir clique na reta r e no ponto P (ou vice-versa).

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10- Movimente a reta r clicando em um de seus pontos e observe o que acontece com a

reta paralela.

Atividade 3

1- Abra um arquivo novo.

2- Para esta atividade, não utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.

3- Selecione a opção Segmento definido por dois pontos e construa o segmento

AB, nomine como a.

4- Marque o ponto médio deste segmento. Selecione a opção Ponto médio ou centro

e clique nos pontos A e B.

5- Trace uma reta perpendicular ao segmento AB, passando pelo ponto médio C.

Selecione a ferramenta Reta perpendicular ,clique no segmento e no ponto C.

6- Desenhe um triângulo ao lado da reta criada. Selecione a opção Polígono .

7- Para Construir um triângulo congruente a este. Selecione a opção Reflexão com

relação a uma reta . Clique sobre o triângulo construído e depois sobre a reta.

Aparecerá um triângulo congruente ao primeiro.

8- Mude sua cor.

9- Observe na Janela de Álgebra e compare as medidas dos lados dos dois triângulos.

10- Movimente a reta e os triângulos.

Atividade 4

1- Abra um arquivo novo.

2- Nesta atividade, não utilizaremos as opções Janela de Álgebra e Eixo.

3- Construa duas semi-retas de mesma origem. Selecione a opção Semi-reta definida por

dois pontos . Clique em dois pontos distintos na área de trabalho. Usando o

mesmo procedimento, construa a semi-reta AC.

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4- Marque o ângulo formado pelas duas semi-retas. Selecione a ferramenta Ângulo

e clique sobre os pontos no sentido horário.

5- É importante destacar que duas semi-retas, determinam dois ângulos, e que para

marcar o ângulo interno você deve selecionar a ferramenta Ângulo e clicar nos pontos

no sentido horário, BÂC (como ilustra a figura abaixo), o segundo ponto sempre será

o vértice. Caso queira marcar o ângulo externo você deverá clicar nos pontos CÂB,

nesta ordem.

6- Movimente os pontos para aumentar ou diminuir o ângulo.

Atividade 5

1- Abra um arquivo novo

2- Nesta atividade, utilizaremos a Janela de Álgebra. Desative a opção Eixo.

3- Construa um triângulo qualquer.

4- Marque os ângulos internos desse triângulo.

5- Clique com o cursor na caixa de comando Entrada que fica no canto inferior esquerdo

da Janela. Digite a soma α+β+γ e pressione a tecla Enter. Essas letras encontram-se à

direita desta entrada. Dê um clique na letra correspondente a um dos ângulos e esta

aparecerá na caixa de entrada.

6- Observe que na janela de álgebra aparecerá a soma δ que é o valor de α+β+γ .

7- Mova os vértices e observe os ângulos na janela algébrica.

Atividade 6

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1- Abra um arquivo novo.

2- Nesta atividade utilizaremos a Janela de Álgebra e o Eixo.

3- Digite na caixa de entrada a função F(x)=-2x-1 e pressione a tecla Enter. Surgirá o

gráfico na área de trabalho e sua função na janela algébrica.

4- Mude a cor da reta.

5- Digite na caixa de entrada G(x)=x^2+6x+1e pressione a tecla Enter. Sempre que for

digitar um expoente digite o acento (^) antes.

6- Para ajustar a posição do gráfico, selecione a opção , Deslocar eixo. Com essa

ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho que você moverá toda a área de

trabalho e não apenas a figura.

7- Com a ferramenta Interseção de dois objetos ativada, clique sobre a parábola e

depois na reta.

8- Aparecerão na Janela algébrica as coordenadas destes pontos.

Atividade 7

1- Construa um hexágono, selecione a ferramenta , polígono regular, e clique em

dois pontos no plano, na janela que abrirá digite 6 que é o número de lados do

polígono.

2- Trace a mediatriz do lado AB do hexágono. Utilize a ferramenta Mediatriz e

clique sobre os pontos A e B. Com o mesmo procedimento construa a mediatriz do

lado BC.

3- Marque a interseção dessas duas mediatrizes. Renomeie esse ponto de interseção para

O (centro do polígono)

4- Selecione a ferramenta Circulo definido pelo centro e um de seus pontos . Clique

no ponto O e sobre um dos vértices do polígono.

5- Para esconder as mediatrizes, clique com o lado direito do mouse sobre a mediatriz e

selecione Exibir objeto.

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6- Para construir uma circunferência com um raio determinado, utilize a ferramenta

Segmento definido por dois pontos e clique em dois pontos quaisquer na área

de trabalho. Esta medida corresponde a abertura de um compasso (raio).

7- A medida deste segmento pode ser apresentada também com seu valor, para isso

clique com o lado direito do mouse selecione Propriedades e na função Exibir rótulo

selecione Nome & Valor. Aparecerá o rótulo i seguido de sua medida.

8- Construa uma circunferência usando a ferramenta circulo dados centro e raio ,

clique sobre um ponto qualquer fora do polígono e digite i na janela que abrirá

pedindo a medida do raio.

9- Com a ferramenta Mover clique em um dos pontos do segmento i e ajuste a medida

que desejar. Observe o que acontece com o circulo.

10- Vamos transportar o polígono para um documento qualquer (Word).

11- Você pode ajustar o polígono na posição e tamanho que quiser antes de transportá-lo,

basta clicar em Mover, e clicar nos pontos em azul, que são objetos livres da

construção. Com este botão selecionado também é possível mover os rótulos dos

objetos.

12- Você também pode ampliar ou reduzir as figuras com os botões e

respectivamente, após selecionar os botões é só clicar na área de trabalho, você estará

alterando toda a área de trabalho e não só a figura.

13- Para ajustar a posição, você ainda tem a opção , Deslocar eixo, com essa

ferramenta selecionada é só clicar na área de trabalho e arrastar que moverá toda a

área de e não apenas a figura.

14- Selecione a figura que será transportada (polígono). Para isso clique na ferramenta

, clique em um ponto próximo a figura e arraste o cursor formando um retângulo

onde a figura ficará inscrita.

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15- Com o polígono selecionado abra o menu Arquivo, selecione a opção Exportar e

depois clique em Copiar para a área de transferência.

16- Feito isso é só abrir o documento para onde a figura será transportada, e pressionar as

teclas Ctrl+V ou a opção Colar.

REFERÊNCIAS

ALMEIDA, M.E. – Proinfo: Informática e formação de professores / Secretaria de Educação a Distância. vol. 1 e 2, Brasília: Ministério da Educação, SEED, 2000.

BORBA, M.C.- Tecnologias informáticas na educação matemática e reorganização do pensamento. In: BICUDO, M.A.V. (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. p.285 – 295.

BORBA, M.C. & PENTEADO, M.G.– Informática e Educação Matemática, Belo Horizonte: autêntica, 2005.

CEFET- Centro Federal de Educação Tecnológicas de Campos. Software GeoGebra, disponível em: http://www.es.cefetcampos.br/softmat/atividades1/geogebra.pdf.

GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. M.- A aprendizagem da Matemática em Ambientes Informatizados. IV Congresso RIBIE. Brasília. 1998. Disponível em: <http://euler.mat.ufrgs.br/~edumatec/artigos/a1.pdf >. Acesso em: 04/05/2007

HOHENWARTER, Markus - GeoGebra Quickstart: Guia rápido de referência sobre o GeoGebra, disponível em: <http://www.mtm.ufsc.br/~jonatan/PET/geogegraquickstart_pt.pdf>. Acesso em: 20/06/2007.

PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2006.

VALENTE, J.A. – O computador na sociedade do conhecimento, Campinas, SP:

UNICAMP/NIED, 1999.

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ÂNGULOS, RETAS E PARÁBOLA

Silvia Vilela de Oliveira Rodrigues1

Márcia Maioli2

Apresentaremos aqui uma sugestão de atividades para trabalhar os seguintes

conteúdos: ângulo reto e retas perpendiculares, retas paralelas, bissetriz, mediatriz e a

construção da parábola. Este material fará parte de um caderno pedagógico elaborado pelo

grupo de professores PDE da disciplina de matemática da UEM.

ÂNGULO RETO E RETAS PERPENDICULARES

O ângulo reto é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de

uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão,

esquadrias de janelas, etc.

Percebemos que muitos dos livros didáticos que consultamos voltados para o Ensino

Fundamental, os autores abordam o ângulo reto enfocando a sua medida.

Observem as definições encontradas:

“Um ângulo de medida igual a 90° é chamado ângulo reto” (BONGIOVANNI, 1997)

“O ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.” (DI PIERRO NETTO, 2002)

“Um ângulo é denominado ângulo reto quando a sua medida vale metade da medida

do ângulo de meia-volta, ou seja, 90°.” (GIOVANNI, 2002)

O objetivo desta atividade é abordar o conceito de ângulo reto e retas perpendiculares

com a ajuda do software Geogebra, sem o uso de medidas, proporcionando a compreensão do

deste objeto matemático.

Atividade 1:

1- Nesta atividade não é necessário a janela algébrica e nem os eixos das ordenadas.

2- Construir uma reta r definida por dois pontos, não vertical. Nominar a reta r e os pontos

A e B.

3- Marcar um ponto C, acima de r. Construir a reta s passando por A e C.

1 Professor da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná e-mail: silviavilela@seed.pr.gov.br 2 Professor do CRC/UEM e-mail: maioli@irapida.com.br

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4- Marcar sobre r um ponto D de forma que A fique entre B e D.

5- Marcar sobre s um ponto E, de forma que A fique entre C e E.

6- Quantos ângulos você observa?

7- Notamos a formação de quatro ângulos de vértice A, que chamaremos de: BÂC, CÂD,

DÂE e EÂB.

8- Marcar todos os ângulos formados pelo encontro dessas retas. Para isso, selecionar a

ferramenta ângulo , clicar sobre os pontos B, A e C nesta ordem, ou seja, no sentido

horário, para formar o ângulo BÂC, use o mesmo procedimento para: CÂD, DÂE e EÂB.

É importante que não apareça as medidas dos ângulos, caso esteja aparecendo, basta

clicar com o botão direito do mouse sobre a medida do ângulo e tirar a seleção de “exibir

rótulo”.

B

r

s

9- Comparar os ângulos dois a dois utilizando a ferramenta relação entre dois objetos

. Para isso selecionar a ferramenta, clicar em um ângulo e depois em outro ângulo

qualquer.

10- Com a ferramenta Mover selecionada clicar sobre o ponto C para mover a reta s. Mover a

reta s, de forma que o ponto C permaneça acima da reta r, e fazer novamente a

comparação. Descrever o que você observou.

11- Tente fazer com que os quatro ângulos fiquem congruentes, movendo a reta s. Comprovar

a igualdade com a ferramenta relação entre dois objetos .

12- Marcar um ponto F em qualquer lugar sobre a reta r.

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13- Construir uma reta t perpendicular a r passando por F.

14- Para determinar os ângulos formados pelas retas r e t é necessário marcar os pontos G e

H sobre reta r de forma que F fique entre eles, e I e J sobre a reta t com F entre I e J.

15- Marcar todos os ângulos formados pelo encontro da reta t e a reta r.

16- Comparar os ângulos dois a dois entre si.

17- Enunciar com suas palavras o que você observou.

18- Observar em sua sala de aula e verificar se você encontra coisas que dão a idéia de ângulo

reto.

19- Você conhece alguma figura geométrica que apresenta os quatro ângulos retos?

Orientações didáticas:

Abrir uma discussão com as observações apresentadas pelos alunos levando-os a

perceber que:

- Como observamos na atividade dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, mas só

podemos afirmar que esta propriedade vale para todos os ângulos opostos pelo vértice, porque

os matemáticos já comprovaram este fato.

- Quando duas retas se interceptam, formando quatro ângulos congruentes, dizemos que estas

retas são perpendiculares. E que esses ângulos são denominados “ângulos retos”.

- A posição do ponto C acima da reta, foi uma convenção para facilitar a orientação da

atividade. E no item 10, quando se pede para que ele permaneça acima da reta, é pelo fato de

que os ângulos formados, quando as retas se cruzam se sobrepõem, o que não nos interessa

discutir nesta atividade.

RETAS PARALELAS

O objetivo desta atividade é construir as retas paralelas no Geogebra de forma que se

entenda o seu conceito.

Atividade 2:

1. Traçar uma reta a usando a ferramenta reta definida por dois pontos, clique em dois

pontos quaisquer no plano. Oculte os pontos.

2. Marcar um ponto P sobre a reta a.

19

3. Selecionar a ferramenta segmento definido por dois pontos e clicar em dois pontos

quaisquer fora da reta a. Nominar esse segmento como b. Esta será a medida do raio da

circunferência que iremos construir. Como se fosse a abertura de um compasso.

4. Construir um Círculo dados centro e raio com centro em P e raio b. Clicar em P e

digitar b na janela que abrirá pedindo a medida do raio.

5. Marcar a interseção entre o círculo e a reta como E e F.

6. Construir uma circunferência usando a ferramenta Circulo dados centro e raio, com

centro em E e raio b.

7. Fazer a mesma construção só que com o centro em F e raio b.

8. Marcar a interseção da primeira circunferência com as duas novas circunferências.

9. Trace uma reta s passando pelos dois pontos de interseção que estão acima da reta a, ou

se preferir sobre os dois pontos de interseção que estão abaixo da reta a.

10. Ocultar as circunferências.

11. Selecionar a ferramenta mover e clicar sobre um dos pontos do segmento de reta b, e

mover este ponto. O que acontece com as retas?

12. Marcar um ponto K sobre a reta a.

13. Traçar uma reta perpendicular a reta a passando pelo ponto K.

14. Marcar o ponto de interseção da reta perpendicular com a reta s. Nominar esse ponto

como L.

15. Ocultar a reta perpendicular.

16. Construir um segmento de reta h de K a L.

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17. Vamos determinar a distância entre essas retas. Selecionar a ferramenta Distância ou

comprimento e clicar sobre o segmento de reta h.

18. Mover o segmento h. O que se pode observar?

19. Podemos conjecturar que essa distância vai se manter por toda a extensão das retas, ou

será que as retas se encontram em algum ponto no infinito?

20. Comparar a reta s construída com a reta r, usando a ferramenta .

21. A reta s construída é paralela a reta r. Com suas palavras registre o que a construção

sugere que seja duas retas paralelas.

Orientações didáticas: - Pode-se iniciar a atividade questionando os alunos se já ouviram a expressão “ruas

paralelas”.

- Após atividade realizada incentivar os alunos, para que apresentem o que entenderam por

retas paralelas. Em seguida à discussão, formalizar o conceito de retas paralelas.

“Duas retas são denominadas paralelas quando não se interceptam.” (GERÔNIMO, 2005)

- Depois de construído e formalizado o conceito de paralelas, informar que o Geogebra

apresenta esta ferramenta, que poderá ser utilizada em futuras construções.

- Sugerimos que essa atividade seja realizada primeiramente com régua e compasso na sala de

aula.

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

O objetivo desta atividade é levar o aluno a compreensão do conceito de bissetriz a

partir de sua construção no Geogebra.

Atividade 3:

1- Abrir um arquivo novo, desativar o Eixo e a Janela Algébrica.

2- Primeiro vamos construir um ângulo qualquer AÔB.

3- Marcar dois pontos na área de trabalho. Nominar como O e A.

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4- Traçar uma Semi-reta partindo de O e passando por A.

5- Construir uma circunferência de centro em O passando por A.

6- Marcar um ponto B sobre a circunferência.

7- Construir a semi-reta b, partindo do centro O passando por B. Temos a garantia de que o

ponto A e B eqüidistam de O? Por quê?

8- Ocultar a circunferência.

9- Construir uma circunferência com centro em A e raio AB .

10- Da mesma forma, construir uma circunferência com centro em B e raio BA .

11- Marcar a interseção entre essas duas novas circunferências. Criando os pontos C e D.

12- Ocultar também essas circunferências.

13- Traçar uma semi-reta f de O a um desses pontos de interseção, ou C ou D (caso um deles

esteja fora do ângulo AÔB, utilizar o que está entre AÔB.).

14- Marcar o ângulo formado pelas semi-retas a e f e da mesma forma das semi-retas f e b.

Depois de selecionada a função ângulo, basta clicar na semi-reta a e f e depois f e b.

15- O que se pode afirmar desses ângulos quando comparados?

16- Marcar o ângulo AÔB. Caso os rótulos não fiquem visíveis, selecionar a ferramenta

mover e ajustá-los em uma posição melhor.

17- Observar que o ângulo AÔB está dividido pela semi-reta f em dois ângulos. O que se

pode afirmar com relação ao ângulo AÔB e esses dois ângulos?

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18- Selecionar a ferramenta mover, clicar no ponto A e mover a semi-reta a. Comparar

novamente os ângulos.

19- A semi-reta f é chamada de bissetriz do ângulo AÔB. Com suas palavras, registre o que a

construção sugere que seja a bissetriz de um ângulo.

Orientações didáticas:

- Incentivar os alunos a apresentarem seus próprios conceitos. Em seguida à discussão,

formalizar o conceito de bissetriz.

“Bissetriz de um ângulo AÔB é a semi-reta OC , que divide o ângulo em dois ângulos de

mesma medida.” (BONGIOVANNI, 1997)

- Pode ocorrer que a soma AÔC+CÔB não corresponda exatamente a AÔB. Pelo fato de que

o Geogebra usa aproximação das casas decimais.

- Depois de construído e formalizado o conceito de bissetriz, informar que o Geogebra

apresenta esta ferramenta, que poderá ser utilizada em futuras construções.

- Observação: a ferramenta bissetriz no Geogebra quando acionada, nos dá a representação de

uma “reta”, dividindo o ângulo interno em duas partes congruentes.

- Após esta atividade, como sugestão, os alunos poderiam ser desafiados a dividir um ângulo

qualquer em quatro ângulos iguais.

- Sugerimos que essa atividade seja realizada primeiramente com régua e compasso na sala de

aula.

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO

O objetivo desta atividade é levar o aluno à compreensão do conceito de Mediatriz

com a ajuda do software Geogebra e, a partir da construção discutir suas propriedades.

Atividade 4:

1- Abrir um arquivo novo, desativar o Eixo.

2- Traçar um Segmento definido por dois pontos: A e B.

3- Marcar o ponto médio deste segmento. Nominar como ponto C.

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4- Traçar uma reta perpendicular ao segmento, passando por C. Nominar como reta b.

5- Marcar sobre a reta b um ponto D.

6- Utilizar a ferramenta segmento definido por dois pontos e traçar os segmentos AD e BD .

Nominar estes segmentos como c e d, respectivamente.

7- É possível observar alguma relação entre esses dois segmentos?

8- Comparar os segmentos c e d, utilizando a ferramenta Relação entre dois objetos.

9- O que você observou? Será que isso ocorreria se o ponto D estivesse localizado em outra posição

na reta b?

10- Mover o ponto D e observar os segmentos c e d na Janela Algébrica.

11- Levar em conta que, quando o ponto D se desloca sobre a reta, ele estará representando a posição

de qualquer ponto desta reta, logo podemos conjecturar que a propriedade observada deve ser

atribuída a qualquer ponto da reta. Registrar o que se observa dos pontos da reta em relação aos

pontos extremos A e B do segmento.

12- Marcar o ângulo formado pelo segmento AB e a reta b.

13- Mover o ponto A e observar o que acontece com o ângulo.

14- Esta reta b é chamada de Mediatriz do segmento AB .

15- Escrever com suas palavras o que a construção sugere que seja a Mediatriz de um segmento.

Orientações didáticas: - Antes de iniciar a atividade, o professor pode abrir uma discussão sobre o que o nome

sugere que seja a Mediatriz de um segmento investigando o conhecimento prévio dos alunos.

- É importante que o professor retome o conceito de reta perpendicular e ponto médio.

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- Após a atividade realizada, incentivar os alunos a apresentarem seus próprios conceitos. Em

seguida à discussão formalizar o conceito de mediatriz que para BARBOSA (2006):

Chamamos de Mediatriz de um dado segmento à reta perpendicular ao segmento passando

pelo seu ponto médio. E que todos os pontos desta mediatriz eqüidistam dos extremos desse

segmento.

- Depois de construído e formalizado o conceito de mediatriz, informar que o Geogebra

apresenta esta ferramenta, que poderá ser utilizada em futuras construções.

CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA

Em geral, os livros didáticos, por exemplo, MARCONDES (1998), PAIVA (1999)

entre outros apresentam a definição de função quadrática de maneira formalizada e sem

muitas aplicações e apenas cita que o seu gráfico é representado por uma curva chamada

parábola. A definição de parábola só é apresentada nos livros didáticos quando é abordado o

conteúdo de geometria analítica ao final do curso do Ensino Médio.

O objetivo desta atividade é definir e construir a parábola com a ajuda do software

Geogebra.

Apresentaremos algumas definições de parábola:

“A parábola é a curva obtida através da intersecção de um cone e

um plano secante paralelo a uma e somente uma geratriz do cone.”

(SILVA, IN Revista do professor de matemática, 1985).

Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos -

7ª edição obterá a seguinte definição para a parábola: "Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes

de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num

cone por um plano paralelo à geratriz” (1992.p.377). Esta definição não está distante da realidade

do rigor matemático.

Para MACHADO (1986), “Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de

um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F, F∉d, do plano”.

Atividade 5:

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Em pesquisa na internet encontramos um tutorial do software de geometria Régua e

Compasso, elaborado pelo prof. Humberto José Bortolossi. Na animação era apresentada a

construção da parábola. Com base nesta animação construiremos a parábola no software

Geogebra.

Partindo da definição de parábola, apresentaremos a seguir os passos desta construção.

1- Construir uma reta d (diretriz) definida por dois pontos A e B. Nominar a reta e ocultar os

pontos.

2- Marcar um ponto F(foco), fora de d.

3- Marcar um ponto D sobre a reta d. Observe que é possível mover o ponto D, mas somente

sobre a reta d.

4- Construir a mediatriz dos pontos F e D.

5- Construir uma reta perpendicular a d passando pelo ponto D.

6- Marcar a interseção da reta perpendicular a d e a mediatriz dos pontos F e D. Renomear

esse ponto como P.

d

7- Mover o ponto D sobre a reta e observar que a trajetória do ponto P é de uma curva, para

obter um traço nesta trajetória, basta clicar com o lado direito do mouse sobre o ponto P e

selecionar a função habilitar traço.

8- Outra forma de obter a curva é selecionando a ferramenta lugar geométrico e

clicar sobre o ponto P e depois sobre o D.

9- Se você mover o foco F para o outro lado da diretriz d, o que acontece com a parábola?

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Orientações didáticas:

- Discutir com os alunos se é correto afirmar que esta curva trata-se de uma parábola? Por

quê?

- Retomar a definição, chamando a atenção para o lugar geométrico dos pontos. De fato eles

eqüidistam do foco e da diretriz? O que nos garante isso?

- Se necessário apresentar as propriedades de mediatriz.

Essa curva é uma parábola, pois se trata de um lugar geométrico cujos pontos eqüidistam do

foco F e da diretriz d.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

As atividades contidas neste trabalho foram realizadas individualmente e foram

testadas pelo grupo de professores orientados pela professora MS. Márcia Maioli.

Verificamos que a aprendizagem, de qualquer conceito matemático, fica facilitada

quando este é visualizado, manipulado e apresentado de forma dinâmica. Percebemos que o

software Geogebra proporciona ao aluno a oportunidade de conjecturar sobre o que está sendo

construído na tela do computador, pois este permite movimentar as construções realizadas,

quando apenas o uso de régua e compasso não permite.

Nenhuma das atividades apresentadas foi testada com alunos. A proposta é trabalhar

com elas em 2008 na intervenção na escola, momento em que elas poderão ser alteradas.

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REFERÊNCIAS

BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro, RJ: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006.

BONGIOVANNI, Vincenzo; VISSOTO LEITE, Olímpio Rudinim; LAUREANO, José Luiz Tavares. Matemática Vida. São Paulo-SP: Editora Ática, 1997

DI PIERRO NETTO, Scipione; SOARES, Elizabeth. Matemática em atividades. São Paulo: Editora Scipione, 2002.

GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Plana e Espacial: Um Estudo Axiomático. Maringá, PR: Massoni, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; PARENTE, Eduardo. Aprendendo matemática: novo. São Paulo, SP:FTD, 2002.

MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática, Temas e Metas. São Paulo: Atual,1986.

MARCONDES DOS SANTOS, Carlos Alberto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. São Paulo: Editora Ática, 1998.

MELHORAMENTOS: Dicionário da Língua Portuguesa. 7ª Edição. São Paulo: Melhoramentos, 1992. P.377.

PAIVA, Manoel. Matemática. Volume único.1. edição. São Paulo: Moderna, 1999.

SILVA, Geni Schulz. Por que elipse, parábola e hipérbole? Revista do Professor de Matemática, n° 7, 1985, p. 43-44.

TUTORIAL 13, Régua e Compasso. Disponível em: http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/tutorial/3.8/car-tutorial-12-gif/car-tutorial-12-main-gif.html. acesso dia 11/06/2007