Geometria

Exercícios1. Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos A(3 , –2) e B(–1 , 1).1.1. Represente os pontos A e B e trace as retas paralelas aos eixos coordenados que contêm A ou B, por

forma a construir um retângulo do qual [AB] é uma diagonal.1.2. Determine a distância entre os pontos A e B utilizando o Teorema de Pitágoras.

Resolução

1.1.

1.2. Pelo Teorema de Pitágoras temos que . Como , então

, ou seja, a distância entre os pontos A e B é 5.

2. *Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(a1, a2) e B(b1, b2).2.1. Designe por A1 e B1 as projeções ortogonais no eixo das abcissas respetivamente dos pontos A e B.

Exprima, em função de a1 e de b1, a medida d1 da distância entre A1 e B1.2.2. Designe por A2 e B2 as projeções ortogonais no eixo das ordenadas, respetivamente, dos pontos A e B.

Exprima, em função de a2 e de b2, a medida d2 da distância entre A2 e B2.2.3. Exprima a medida da distância entre A e B em função de d1 e de d2 e justifique que é igual a

.

Resolução2.1. d1 = |a1 – b1|

2.2. d2 = |a2 – b2|

2.3. Pelo Teorema de Pitágoras, . Como , temos

que . Logo, .

3. **Demonstre, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, que a medida da distância entre A e B, d(A, B) é igual a

, tomando por unidade de comprimento a unidade comum dos eixos

coordenados.

ResoluçãoSejam A(a1, a2) e B(b1, b2) pontos pertencentes a um plano munido de um referencial ortonormado. Designando por A1 e B1 as projeções ortogonais no

Descritor: 1.2 (Página 21 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, que a medida da distância entre A e B é igual a e representá-la por «d(A, B) ».

Geometria

eixo das abcissas dos pontos A e B, respetivamente, temos que .

Geometria

Por outro lado, designando A2 e B2 as projeções ortogonais no eixo das ordenadas dos pontos A e B,

respetivamente, temos que

Considerando o triângulo retângulo com hipotenusa igual a [AB], e são as medidas de

comprimentos dos seus catetos.Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

,

,

,

Portanto, .

Exercícios

1. Considere, na reta numérica, os pontos A, B e M de abcissas, respetivamente, a, b e .

Prove que .

Resolução

Como e , temos que .

2. *Considere, na reta numérica, os pontos A e B de abcissas, respetivamente, a e b.

2.1. Indique, utilizando a e b, uma expressão da medida da distância entre A e B.

2.2. Seja M o ponto médio de [AB].

Apresente, utilizando a e b, uma expressão da medida da distância entre A e M.

2.3. Apresente, utilizando a e b, uma expressão para a abcissa de M sem recorrer ao símbolo de valor absoluto.

Nota: Este segundo exercício foi identificado como tendo um nível de desempenho superior, uma vez que não pressupõe, contrariamente ao que é indicado no descritor, o conhecimento prévio da expressão da abcissa do ponto médio de [AB].

Resolução

2.1.

2.2.

2.3. Seja m a abcissa de . Se b ≥ a, então .

Se b < a, então |b – a| = – (b – a) = a – b e .

Descritor 1.3 (Página 21 do caderno de apoio)

▪ Demonstrar, dada uma reta numérica e dois pontos A e B de abcissas a e b respetivamente, que a abcissa do ponto médio do segmento de reta de extremos A e B é igual a .

Geometria

Podendo-se concluir que a abcissa de M é .

Geometria

Exercícios1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A(1, 1), B(4, 6)

e C(4, 1). 1.1. Determine as coordenadas do ponto médio D do segmento de reta [AC].1.2. Considere a reta paralela ao eixo das ordenadas que passa pelo ponto D e a respetiva interseção M

com o segmento de reta [AB]. Justifique, utilizando o Teorema de Tales, que M é o ponto médio de [AB] e indique a abcissa de M.

1.3. Calcule a ordenada de M.

Resolução

1.1.

1.2. Dado que a reta MD é paralela a BC e interseta [AC] no ponto médio D, então pelo Teorema de Tales MD interseta [AB] no seu

ponto médio. Ou seja, .

Portanto, M é o ponto médio de [AB].1.3. Pelo Teorema de Tales, temos que .

Supondo que M tem ordenada y, então

Logo, a ordenada de M é .

2. *Considere um referencial ortonormado em dado plano e três pontos A, B e M desse plano, bem como as respetivas projeções ortogonais, respetivamente, A’, B’, M’, no eixo dos xx, e A”, B”, M”, no eixo dos yy.

2.1. Sabe-se que M é o ponto médio de [AB]. Prove que os pontos M’ e M” são, respetivamente, os pontos médios dos segmentos de reta [A’B’] e [A”B”].

2.2. Sabendo que A(a1, a2) e B(b1, b2), determine as coordenadas de M.

Resolução2.1. Considere a reta paralela ao eixo das abcissas que passa pelo ponto A, a reta paralela ao eixo das

ordenadas que passa pelo ponto B e o ponto C, ponto de interseção das retas consideradas. Pelo Teorema de Tales, o ponto de interseção de com [AC] é o ponto médio de [AC], pois M é o ponto médio de [AB].Dado que A’ tem a mesma abcissa que A e B’ tem a mesma abcissa que C, concluímos que M’ é o ponto médio do segmento de reta [A’B’]. Também pelo Teorema de Tales, o ponto de interseção de M”M com [BC] é o ponto médio de [BC]. Uma vez que a ordenada de A” é igual à de C e B” é igual

Descritor: 1.4 (Página 21 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, utilizando argumentos geométricos baseados no Teorema de Tales ou em consequências conhecidas deste teorema, que, dado um plano munido de um referencial ortonormado e dois pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) pertencentes a esse plano, as coordenadas do ponto médio do segmento de reta [AB] são .

Geometria a B, concluímos que M” é o ponto médio do segmento de reta [A”B”].

2.2. Dado que M tem a mesma abcissa de M’ e M’ é ponto médio de [A’B’], a abcissa de M é .

Como M também tem a mesma ordenada de M” e M” é ponto médio de [A”B”], a ordenada de M é

. Portanto, as coordenadas de M são .

Exercícios1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado e dado c > 0, a elipse de focos F1(– c, 0) e

F2(c, 0) e de eixo maior 2a (a > c > 0). Seja P o ponto de interseção da elipse com o semieixo positivo das ordenadas.

1.1. Justifique que .

1.2. Indique, justificando, a medida comum de e .

1.3. Conclua que .

Resolução1.1. Designamos por O o centro da elipse. Como, por hipótese, os focos têm coordenadas (–c, 0) e (c, 0),

o ponto O, centro da elipse, coincide com a origem do referencial e os focos situam-se no eixo das abcissas. Assim, dado que o ponto P se situa, também por hipótese, sobre o eixo das ordenadas e o referencial é ortonormado, temos que F1ÔP = F2ÔP.

Além disso, , pois F1 e F2 são focos da elipse, e o segmento de reta [OP] é comum aos

triângulos [POF1] e [POF2]. Portanto, pelo critério LAL da igualdade de triângulos, os triângulos

POF1] e [POF2] são iguais. Deste modo, .

1.2. Sabendo que d(F1, P) + d(F2, P) = 2a e que , temos:

Portanto, a medida comum de é a.

1.3. Considerando o triângulo retângulo [F1OP], pelo Teorema de Pitágoras, .

Logo, .

2. *Dada uma elipse de focos A e B e de eixo maior 2a em determinado plano, resolva as seguintes questões.

2.1. Prove que a mediatriz de [AB] interseta a elipse exatamente em dois pontos C e D situados em semiplanos opostos de fronteira AB e interseta a reta AB no ponto médio do segmento [CD], que coincide com o centro O da elipse.

Descritor: 1.9 (Página 22 do caderno de apoio)

▪ Demonstrar, dada uma elipse de focos A e B e de eixo maior 2a, que a mediatriz de [AB] interseta a elipse em dois pontos C e D equidistantes do centro da elipse e que tomando se tem , onde , designando 2b por «eixo menor da elipse» (e b por «semieixo menor da elipse»).

Geometria

2.2. Prove que tomando se tem , onde .

Resolução2.1. Comecemos por mostrar que a mediatriz de [AB] interseta a elipse exatamente em dois pontos

situados no semiplano oposto da fronteira AB.

Um ponto P é o ponto de interseção entre a elipse de focos A e B e semieixo maior a e a

mediatriz de [AB], se e somente se, satisfaz as condições d(A, P) + d(P, B) = 2a e d(A, P) = d(P, B). Daqui resulta que d(A, P) = d(P, B) = a e, portanto, P está na circunferência de centro em A e raio a, assim como na circunferência de centro B e raio a. Reciprocamente, se P está na interseção das duas circunferências, então pertence à elipse de focos A e B e semieixo maior a e na mediatriz [AB]. Dado que a soma dos raios das circunferências, 2a, é maior do que as distâncias entre os centros

, podemos concluir que as circunferências são secantes e intersetam-se

exatamente em dois pontos, C e D, situados em semiplanos opostos da fronteira AB. Vejamos agora que a mediatriz [AB] interseta a reta AB no ponto médio do segmento de reta [CD], que coincide com o centro da elipse. Como C e D são pontos secantes das circunferências de centros A e B e raio a, d(A, C) = d(B, C) e d(A, D) = d(B, D) são pontos da mediatriz de [AB]. Assim, os triângulos [ABC] e [ABD] são isósceles e iguais. Considerando M o ponto médio do segmento [AB], que também pertence à mediatriz [AB], e a altura de ambos os triângulos relativamente ao lado [AB], temos que

.Portanto, M é também ponto médio do segmento [CD], centro da elipse de focos A e B e semieixo maior a.

2.2. Seja O o centro da elipse. Como C pertence à mediatriz de [AC], então e as arestas AO e OC são perpendiculares.

Assim, e . Como e .

Finalmente, como o triângulo [AOC] é retângulo em O, pelo Teorema de Pitágoras temos

. Como b é positivo, .

Exercícios1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos F1(– 4, 0) e F2(4, 0). 1.1. Qual o valor que deve tomar o número real d por forma que um ponto P(x, y) pertença à elipse de

focos F1 e F2 e semieixo maior a, (a > 4) quando e apenas quando

?

1.2. *Considere a = 5.

Descritor: 1.10 (Página 22 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e 0 < b < a, a equação é uma equação cartesiana da elipse de semieixo maior a e semieixo menor b que tem focos A(– c, 0) e B(c, 0), onde , e designá-la por «equação (cartesiana) reduzida da elipse».

Geometria Mostre que um ponto P(x, y) pertence à elipse referida na alínea anterior quando e apenas quando

.

1.3. Tendo em conta a alínea 1.2., calcule as coordenadas dos pontos A1 e A2 em que a elipse interseta o eixo das abcissas, as coordenadas dos pontos B1 e B2, em que a elipse interseta o eixo das ordenadas e

o eixo menor .

1.4. Verifique, neste exemplo, que , onde é a semidistância focal.

Geometria

Resolução1.1. Como o ponto P(x, y) pertence à elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior a, (a > 4), temos que

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a, isto é, . Logo, d = 2a.

1.2. a = 5

(ver a justificação da equivalência no exercício 2.2)

(ver a justificação da equivalência no exercício 2.2)

1.3. Como A1 e A2 estão no eixo das abcissas, têm ordenada nula. Assim:

Logo, os pontos de interseção com os eixos das abcissas são A1(– 5, 0), A2(5, 0). Como B1 e B2 estão

no eixo das ordenadas, têm abcissa nula. Assim, .

Logo, B1(0, – 3), B2(0, 3).

1.4. e

2. **Considere num plano munido de um referencial ortonormado dois números reais a e c (a > c > 0) e os pontos F1(– c, 0) e F2(c, 0).

2.1. Justifique que a equação é a equação da elipse de focos F1 e F2 e

de semieixo maior a.

2.2. Mostre que a equação da alínea anterior é equivalente a .

2.3. Escreva a equação da alínea anterior utilizando no primeiro membro apenas as constantes a e b, onde b representa o semieixo menor da elipse.

Resolução

2.1. Por definição de elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior a ( , ou seja, a > c), um ponto P

do plano pertence à elipse se e somente se d(P, F1) + d(P, F2) = 2a.Atendendo à expressão da distância entre dois pontos através das respetivas coordenadas num referencial ortonormado, um ponto P estará na elipse se e somente se as respetivas coordenadas (x, y)

Geometria

satisfizerem a equação , com .

Deste modo, obtemos a equação cartesiana de uma tal elipse.

2.2.

Em (*) e em (**) as implicações da direita para a esquerda são justificadas pelo facto de ambos os membros serem não negativos. Em ambos, os primeiros membros ficam justificados por serem somas de quadrados. Em (**) o segundo membro é não negativo, porque a2 ≥ cx. Sabemos, por

hipótese, que a > c > 0 e da última equação que . Então, x2 ≤ a2, o que implica que |x| ≤ |a| = a

e, portanto, cx ≤ c|x| ≤ ca < a2. Em (*) o segundo membro é não negativo se .

Da sexta equação a contar de baixo e das desigualdades já provadas, temos que:

2.3. Sabemos que . Daqui resulta que b2 = a2 – c2 e, portanto, .

Exercícios1. Seja r a reta de equação y = 2x + 1 num dado plano munido de um referencial ortonormado. Considere

os conjuntos A = {X(x, y): y > 2x + 1} e B = {X(x, y): y < 2x + 1}.1.1. Seja P(1, 7) e Q(2, 6). Verifique que P ∈ A e que Q ∈ A. Calcule as coordenadas do ponto de

interseção das retas r e PQ e conclua que o segmento de reta [PQ] não interseta r.1.2. Seja R(3, 1). Verifique que R ∈ B e que o segmento de reta [PR] interseta r.1.3. Considere dois pontos P1(a, y1) e P2(a, y2) . Mostre que se pertencerem ambos a A e o outro a B, então

o segmento de reta [P1P2] não interseta r, mas que se um deles pertencer a A e o outro a B, então o

Descritores: 1.11 e 1.12 (Página 23 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de equação reduzida y = ax + b (a, b ∈), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por r têm por inequações cartesianas y > ax + b e y < ax + b (respetivamente

y ≥ ax + b e y ≤ ax + b) e designá-los respetivamente por «semiplano superior» e «semiplano inferior» em relação à reta r.

▪ Reconhecer, dado um plano munido de um referencial ortonormado e uma reta r do plano de equação cartesiana x = c (x ∈), que os dois semiplanos abertos (respetivamente fechados) determinados por r têm por inequações cartesianas x > c e x < c e (respetivamente, x ≥ c e x ≤ c) e designá-los, respetivamente, por «semiplano à direita» e «semiplano à esquerda» da reta r .

Geometria segmento de reta [P1P2] interseta r e determine as coordenadas do ponto de interseção.

1.4. Considere dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) tais que x1 ≠ x2 e seja P(x, y) um ponto de [P1P2].a) Utilizando a equação da reta P1P2 ou, diretamente, o Teorema de Tales, mostre que

x = x1 + s(x2 – x1) e y = y1 + s(y2 – y1) para determinado s ∈ [0, 1].

b) Deduza da alínea anterior que x = (1 – t)x1 + tx2 e y = (1 – t)y1 + ty2 para determinado t ∈ [0, 1] e conclua que se P1 e P2 pertencerem ambos a A (respetivamente a B), então P ∈ A (respetivamente, P ∈ B) e, portanto, o segmento de reta [P1P2] está contido em A (respetivamente em B), logo não interseta r.

c)Utilizando a alínea a) conclua que se P1 ∈ A e P2 ∈ B, então o segmento de reta [P1P2] interseta r, determinando o valor de s correspondente ao ponto de interseção.

1.5. Conclua das alíneas anteriores que A e B são exatamente os semiplanos abertos de fronteira r do plano dado.

Resolução1.1. Se P ∈ A e Q ∈ A satisfizer a inequação y > 2x + 1.

P(1 , 7) 7 > 2 × 1 + 1 ⇔ 7 > 2 + 1 ⇔ 7 > 3Logo, .

Q(2 , 6) 6 > 2 × 2 + 1 ⇔ 6 > 4 + 1 ⇔ 6 > 5Logo, .

Equação reduzida da reta PQ

Temos que a equação é do tipo y = – x + b.Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto P, temos que: 7 = – 1 + b ⇔ b = 7 + 1 ⇔ b = 8Assim, a equação reduzida da reta PQ é y = – x + 8.

Ponto de interseção das retas r e PQ

As coordenadas do ponto de interseção das retas r e PQ são . Como a abcissa deste

ponto é superior às abcissas de Q e P, pode concluir-se que o segmento de reta [PQ] não interseta r.1.2. R ∈ B se as suas coordenadas satisfazem a inequação y < 2x + 1.

1 < 2 × 3 + 1 ⇔ 1 < 6 + 1 ⇔ 1 < 7Logo, R ∈ B.

Equação reduzida da reta PR

Declive:

A equação da reta PR é da forma y = – 3x + b.Substituindo x e y pelas coordenadas de R na equação:1 – 3 × 3 + b ⇔ b = 1 + 9 ⇔ b = 10Logo, a equação reduzida da reta PR é y = – 3x + 10.

Determina-se o ponto de interseção entre r e PR.

Geometria

Logo, o ponto de interseção tem coordenadas .

Como a abcissa do ponto de interseção é maior do que a abcissa de P e menor que a abcissa de R, o segmento [PR] interseta r.

1.3. Suponhamos que P1(a, y1) e P2(a, y2) pertencem a A. Então, y1 > 2a + 1 e y2 > 2a + 1.A equação da reta P1P2 é x = a .

Geometria

Encontrando o ponto de interseção da reta r e P1P2:

S = {(a, 2a + 1)}

Concluímos que r não interseta P1P2, pois as ordenadas de P1 e P2 são maiores do que 2a + 1.Suponhamos que P1 e P2 pertencem a B. Então, y1 < 2a + 1 e y2 < 2a + 1.Assim, a equação da reta P1P2 é x = a.Calculando o ponto de interseção da reta r e P1P2, obtemos o ponto de coordenadas (a, 2a + 1).Assim, concluímos que r não interseta P1P2, pois as ordenadas de P1 e P2 são menores do que a ordenada do ponto de interseção entre r e P1P2.Vejamos agora o caso em que um dos pontos pertence a A e o outro a B.Suponhamos que P1 ∈ A e P2 ∈ B. Assim, y1 > 2a + 1 e y2 < 2a + 1.Já sabemos que o ponto de interseção da reta r e da reta P1P2 tem coordendas (a, 2a + 1). Como y2 < 2a – 1 < y1, o segmento de reta [P1P2] interseta a reta r.De modo análogo se mostra que se P1 ∈ B e P2 ∈ B, o segmento de reta [P1P2] interseta r.Além disso, as coordenadas do ponto de interseção são (a, 2a + 1).

1.4. a) P1(x1, y1) e P2(x2, y2) Considerando uma redução ou uma igualdade temos, utilizando o Teorema de Tales:

com 0 ≤ s ≤ 1

Assim:

⇔ x = x1 + s(x2 – x1) ∧ y = y1 + s(y2 – y1), s ∈ [0, 1]b) Pela alínea anterior: x = x1 + s(x2 – x1) ⇔ x = x1 + sx2 – sx1 ⇔ x = (1 – s)x1 + sx2, s ∈ [0, 1] y = y1 + s(y2 – y1) ⇔ y = y1 + sy2 – sy1 ⇔ y = (1 – s)y1 + sy2, s ∈ [0, 1]. Como P1 ∈ A e P2 ∈ A, então y1 > 2x1 + 1 e y2 > 2x2 + 1.

Pretendemos concluir que P ∈ A, ou seja, (1 – t)y1 + ty2 > 2[(1 – t)x1 + tx2] + 1. Como P1 ∈ A, y1 > 2x1 + 1. Multiplicando por (1 – t), temos que (1 – t)y1 > (1 – t)(2x1 + 1) (1) e, como P2 ∈ A, y2 > 2x2 + 1. Multiplicando por t, ty2 > t(2x2 + 1) (2). Logo, adicionando (1) e (2):

(1 – t)y1 + ty2 > (1 – t)(2x1 + 1) +t(2x2 + 1) ⇔ (1 – t)y1 + ty2 > (1 – t) × 2x1 + 1 – t + t2x2 + t ⇔ ⇔ (1 – t)y1 + ty2 > 2[(1 – t)x1 + tx2]+ 1 ⇔ y > 2x + 1

Portanto, o segmento de reta [P1P2] está contido em A, logo não interseta r. De modo análogo, se mostra que para P1 ∈ B e P2 ∈ B, [P1P2] está contido em B, logo não interseta r.c) Seja P0(x0, y0) o ponto de interseção de [P1P2] com r.

Por um lado, temos que x0 = x1 + s(x2 – x1) ∧ y0 = y1 + s(y2 – y1), para algum s ∈ [0, 1]. Por outro, temos que y0 = 2x0 + 1.

Daqui resulta que y1 + s(y2 – y1) = 2(x1 + s(x2 – x1)) + 1, ou seja, .

1.5. Começamos por notar que os conjuntos A, B e r são disjuntos 2 a 2 e a sua reunião é o plano.Sejam P ∈ A e X(x0, y0) um ponto do plano. Se X ∈ A, então, por b), o segmento [PX] está contido em A. Se X ∈ r, então o segmento [PX] interseta a reta r em X. Se X ∈ B, então, por c) o segmento [PX] interseta a reta r. Portanto, o segmento [PX] não interseta a reta r se e só se X ∈ A e o semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P ∈ A é A. Analogamente, se mostra que o semiplano aberto de fronteira determinado por um ponto Q ∈ B é B.

Geometria

2. Seja c ∈ e r a reta de equação x = c. Considere os conjuntos A = {X(x, y): x > c} e B = {X(x, y): x < c}.

2.1. Dados dois pontos P e Q de A (ou de B), justifique que o segmento de reta [PQ] não interseta a reta r.2.2. Dados dois pontos R ∈ A e S ∈ B, mostre que o segmento de reta [RS] interseta r.2.3. Conclua que A e B são os dois semiplanos definidos pela reta r.

Resolução2.1. Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos de A. Então, x1 > c e x2 > c. Se A(x, y) é um ponto do segmento

de reta [PQ] , então x = x1 + s(x2 – x1) e y = y1 + s(y2 – y1) para algum s ∈ [0, 1].Como x = x1 + s(x2 – x1) = (1 – s)x1 + sx2 > (1 – s)c + sc = c, o segmento de reta [PQ] não interseta a reta r. De modo análogo se mostra que se P(x1, y1) e Q(x2, y2) são dois pontos de B, então o segmento de reta [PQ] não interseta r.

2.2. Seja R(x1, y1) e S(x2, y2). Como R ∈ A e S ∈ B, x1 > c e x2 < c.Se P(x, y) é um ponto do segmento de reta [RS], então x = x1 + s(x2 – x1) e y = y1 + s(y2 – y1), para algum s ∈ [0, 1]. Como x2 < c < x1, x1 – x2 > 0.

Seja . Por um lado, porque x2 < c. Por outro,

porque x1 > c. Daqui resulta que o ponto está na interseção do segmento de reta [RS] com

a reta de equação = c.2.3. Começamos por notar que os conjuntos A, B e r são disjuntos 2 a 2 e a sua reunião é o plano.

Sejam P ∈ A e X(x0, y0) um ponto do plano. Se X ∈ A, então, por 1.4. b), o segmento [PX] está contido em A. Se X ∈ r, então o segmento [PX] interseta a reta r em X. Se X ∈ B, então, pelo exercício 1.4. c), o segmento [PX] interseta a reta r. Portanto, o segmento [PX] não interseta a reta r se e só se X ∈ A, e o semiplano aberto de fronteira r determinado pelo ponto P ∈ A é A.Analogamente se mostra que o semiplano aberto de fronteira r determinado por um ponto Q ∈ B é B.

Exercício1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma

circunferência de raio r > 0 e de centro C(a, b). Considere ainda um ponto P(x, y) do plano.

1.1. Exprima a medida da distância em função de x, y, a e b.1.2. Justifique que P pertence à parte interna da circunferência quando e apenas

quando (x – a)2 + (y – b)2 ≤ r2.1.3. Justifique que o círculo de centro C(a, b) e raio r se define pela condição

(x – a)2 + (y – b)2 ≤ r2.

Resolução

1.1.

1.2. Como d < r e d 2 < r2 (d > 0 e r > 0):

Descritor: 1.13 (Página 26 do caderno de apoio)

▪ Justificar, fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado, que a inequação (x – a)2 + (y – b)2 ≤ r2 (a, b ∈, r > 0) é uma inequação do círculo de centro C(a, b) e de raio r .

Geometria 1.3. Por definição de círculo de centro C(a, b) e raio r, todos os pontos do círculo encontram-se a uma

distância inferior a r do centro C. Assim:

, r > 0

Exercícios1. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas condições.1.1. y > 2x 1.2. y ≤ – 2 1.3. 2x – y < 4 1.4. 3 – x ≥ 01.5. y ≤ – 2 ∧ x > 1 1.6. y > 2x ∨ y < 3 1.7. 2x – y < 4 ∧ x > – 4 ∧ 2 – y > 01.8. *xy < 0 1.9. *x2 – y2 = 0 1.10. **x2 – 4y2 > 0

Resolução1.1. y > 2x 1.2. y ≤ – 2 1.3. 2x – y < 4 ⇔ y > 2x – 4

1.4. 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3 1.5. y ≤ – 2 ∧ x > 1 1.6. y > 2x ∨ y < 3

1.7. 2x – y < 4 ∧ x > – 4 ∧ 2 – y > 0 ⇔ 1.8. xy < 0 ⇔ (x < 0 ∧ y > 0) ∨ (x > 0 ∧ y < 0) ⇔ y > 2x – 4 ∧ x > – 4 ∧ y < 2

1.9. x2 – y2 = 0 ⇔ (x – y)(x + y) = 0 ⇔ y = ± x 1.10.

Descritores 2.1 (Página 26 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano e equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.

Geometria

2. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas condições.2.1. (x + 2)2 + y2 = 2 2.2. (x – 1)2 + (y + 3)2 ≤ 1 2.3. *x2 + y2 + 5x + 8y = 2,75

2.4. *4x2 + 4y2 + 12x + 8y = 11 2.5. 2.6. *5x2 + 16y2 = 80

2.7. *9x2 + 4y2 = 36 2.8. 1 ≤ (x – 3)2 + (y + 1)2 ≤ 42.9. (x + 2)2 + y2 > 1 ∧ (x + 3)2 + y2 < 4 2.10. (x + 2)2 + y2 < 4 ∧ |x| < 3

Resolução2.1. (x + 2)2 + y2 = 2: circunferência de centro (–2, 0) e raio 2.2. (x – 1)2 + (y + 3)2 ≤ 1: círculo de centro (1, –3) e raio 12.3. x2 + y2 + 5x + 8y = 2,75 ⇔ 4x2 + 4y2 + 20x + 32y = 11⇔⇔ 4x2 + 20x + 25 – 25 + 4y2 + 32y + 64 – 64 = 11 ⇔ (2x + 5)2 + (2y + 4)2 = 100⇔

: Circunferência de centro e raio 5

2.4. 4x2 + 4y2 + 12x + 8y = 11 ⇔ 4x2 + 12x + 9 – 9 + 4y2 + 8y + 4 – 4 = 11⇔:

Circunferência de centro e raio

2.5. : Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2

Focos: ; coordenadas dos focos:

2.6.

Elipse centrada na origem com semieixo maior 4 e semieixo menor

Focos:

; coordenadas dos focos: e

2.7.

Elipse centrada na origem com semieixo maior 3 e semieixo menor 2

Focos: ; coordenadas dos focos:

2.8. 1 ≤ (x – 3)2 + (y + 1)2 ≤ 4Coroa circular de centro (3 , –1) cujo raio da circunferência externa é 2 e o raio de circunferência interna é 1

2.9. Perímetro interior círculo de centro em (–3, 0) e raio 2, exceto o círculo de centro em (–2, 0) e raio 1

Geometria

2.10.

3. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações e inequações cartesianas, os seguintes conjuntos de pontos do plano:

3.1. pontos que distam igualmente dos pontos A(–3, 5) e B(1, 1);3.2. pontos cuja distância ao ponto C(2, –3) não excede 4 unidades;

Geometria

3.3. *pontos cuja medida da distância a D(–5, 4) é o dobro da medida da distância a E(1, 4)3.4. pontos cuja soma das medidas das distâncias aos pontos A(–2, 0) e B(2, 0) é igual a 73.5. pontos que distam duas unidades da reta de equação y = – 13.6. *pontos que distam igualmente da origem do referencial e do ponto G(–3, –3) e que pertencem à

circunferência centrada em G e tangente aos eixos coordenados3.7. pontos médios dos segmentos de reta cujos extremos são:3.7.1. o ponto O(0, 0) e cada um dos pontos da circunferência centrada em O e de raio 23.7.2. **o ponto H(1 , 3) e cada um dos pontos da reta x + y = 5.

Resolução

3.1. Seja P(x, y) um ponto da mediatriz.

Equação da mediatriz: y = x + 43.2. Círculo de centro C(2, –3) e raio 4

(x – 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4 ⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 ≤ 163.3. Seja P(x , y) um ponto qualquer do conjunto referido. d(P, D) = 2d(P, E)

⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 8y + 16 = 4(x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16) ⇔ x2 + 10x + y2 – 8y + 41 = 4x2 – 8x + 4 + 4y2 – 32y + 64 ⇔ x2 – 4x2 + 10x + 8x + y2 – 4y2 – 8y + 32y = – 41 + 4 + 64 ⇔ – 3x2 + 18x – 3y2 + 24y = 27⇔ x2 – 6x + y2 – 8y = – 9 ⇔ x2 – 2 × 3 × x + 32 – 32 + y2 – 2 × 4 × y + 42 – 42 = – 9 ⇔ (x – 3)2 – 9 + (y – 4)2 – 16 = – 9 ⇔ (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16Trata-se de uma circunferência de centro (3, 4) e raio 4.

3.4. Elipse de centro na origem, focos A(–2, 0) e B(2, 0) e eixo maior 7

Seja a o semieixo maior:

Seja b o semieixo menor da elipse e : e

Assim, a equação da elipse é:

3.5. Retas de equação y = 1 e y = – 3Seja P(x, y) um ponto qualquer e A(x, –1) um ponto da reta de equação y = – 1. Sabemos que d(P, A) = 2. Assim:

3.6. É necessário calcular a interseção da mediatriz do segmento de reta de extremos O(0, 0) e G(–3, –3) com a circunferência de centro (–3, –3) e raio 3.Seja P(x, y) um ponto qualquer.

Geometria

Equação da mediatriz:

Equação da circunferência: (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9 Interseção entre a mediatriz e a circunferência:

O conjunto é {(– 3, 0); (0, – 3)}.

3.7.1. Trata-se de todos os pontos cuja distância a O é do raio da circunferência de centro 2.

Assim, obtemos uma nova circunferência de centro O e raio , pelo que são todos os pontos

que satisfazem a equação x2 + y2 = 1.3.7.2. Seja A um ponto da reta de equação x + y = 5. As coordenadas de A são da forma (x1, –x1 + 5).

Considerando M o ponto médio do segmento de reta [HA]:

Os pontos médios são todos os pontos do conjunto:

Assim:

Portanto, os pontos médios são todos os pontos da reta .

4. *Num referencial ortonormado do plano, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero.

Sabendo que A(–5, 1) e , determine a ordenada de C sabendo que a abcissa é – 1.

ResoluçãoDado que o triângulo é equilátero, d(A, C) = d(B, C). Seja y a ordenada de C.

d((– 5, 1), (– 1, y)) =

⇔ (– 5 + 1)2 + (1 – y)2 = (– 3 + 1)2 +

⇔ y = 1 A ordenada de C é 1.

5. Sabe-se que o ponto P(3, y) é equidistante dos pontos A(–3, 1) e B(1, 2). Determine o valor de y.

Geometria

ResoluçãoDado que o ponto P(3, y) é equidistante dos pontos A(–3, 1) e B(1, 2), então:

O valor de y é .

Exercícios1. Na figura estão dois segmentos orientados que representam vetores e .1.1. Reproduza no seu caderno, dois segmentos orientados com a mesma origem P que

representem, respetivamente, os vetores e e, utilizando a regra do paralelogramo ou a regra do triângulo, construa o vetor tal que .

1.2. Construa o vetor-soma de com e justifique que é igual a .

Resolução1.1. 1.2. e tem a mesma direção, sentido e comprimentos.

Logo, são iguais.

2. **Dados os vetores e , prove, recorrendo a uma construção geométrica e utilizando diretamente as

definições de diferença e de soma de vetores, bem como o simétrico de um vetor, que .

Resolução é o vetor e adicionado ao obtém-se , ou seja, .

Utilizando a regra do triângulo:

Descritores: 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 (Página 27 do caderno de apoio)

▪ Identificar, fixada uma unidade de comprimento e dado um vetor , a «norma do vetor » como a medida do comprimento de um segmento orientado representante de e representá-la por «».

▪ Identificar, dado um vetor e um número real (também designado por «escalar») , o «produto de por » («») como o vetor de norma (fixada uma mesma unidade de comprimento para o cálculo das normas), com a direção e sentido de se e com a direção de e sentido contrário ao de se e justificar que não depende da unidade de comprimento fixada e que , vetor simétrico de .

▪ Justificar, dado um vetor não nulo, que um vetor é colinear ase e apenas se existir um número real tal que , e que, nesse caso, é único.

▪ Justificar, dados os vetores e , que existe um e somente um vetor tal que , provando que , designar por «diferença entre e » e representá-lo por «».

Geometria

Vejamos agora que , utilizando a regra do triângulo:

Como tem a mesma direção, sentido e comprimento de , então .

Exercícios1. *Considere dois vetores e não colineares e . Pretendemos

provar que . Para o efeito, fixado um ponto A do

plano, seja , e , como se ilustra na figura.

1.1. Justifique que .

1.2. Sendo e utiliando o Teorema de Tales, justifique que as retas BC e DE são

paralelas.1.3. Conclua da alínea anterior que .

1.4. Justifique que as semirretas e têm o mesmo sentido e conclua, utilizando também as alíneas

anteriores, que . (Sugestão: para comparar os sentidos das referidas semirretas note que, por construção, os pontos C e E estão numa mesma semirreta de origem do ponto A da reta BD.)

1.5. Conclua, por fim, que .

Resolução1.1. Por construção, usando a regra do triângulo, .

Por um lado, , mas por outro, .

Assim, concluímos que .

1.2. Se , pelo recíproco do Teorema de Tales, as retas BC e DE são paralelas.

Como e não são colineares, não existe um número real α tal que . Assim, no caso

particular em que α = – 1, , logo, .

e , pois .

Concluímos, então, que as retas BC e DE são paralelas.

1.3. Pelo Teorema de Tales, . Portanto, .

1.4. e têm o mesmo sentido porque têm origem na reta AD e estão contidas no mesmo semiplano determinado por AD, pois C e E está na mesma semirreta de origem em A.

Pela alínea 1.3., e, como e têm o mesmo sentido, então

.

Descritor: 3.6 (Página 31 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dados vetores e e os números reais eque e .

Geometria

1.5. . A primeira igualdade decorre de 1.2., a segunda da regra do

triângulo e a terceira da definição do ponto e de 1.3..

Geometria

2. **Utilizando uma construção idêntica à do exercício anterior, prove que, dados os dois vetores e

não colineares e .

ResoluçãoFixado um ponto A do plano, seja . e .Comecemos por justificar que .

Como , então .

Além disso, como e não são colineares, e .

Como e , pelo recíproco do

Teorema de Tales, então BC e DE são paralelas.

Sendo paralelas, pelo Teorema de Tales, . Portanto, .

Tendo a mesma direção que DE e a mesma direção que DE, os vetores e têm a mesma

direção. Além disso, .

Para concluirmos que falta justificar que e têm sentidos opostos.

Para tal, basta verificar que as semirretas e têm sentidos opostos. De facto, tal acontece pois ambas têm origem na mesma reta AD e estão contidas em semiplanos diferentes determinados por AD. Portanto, . Por fim, temos que .

3. *Considere vetores e colineares, . Fixando um ponto O do plano e sendo e , considere uma reta numérica OA de origem O.

3.1. Justifique que B é um ponto da reta OA.

3.2. Demonstre a igualdade traduzindo-a numa equação envolvendo as abcissas dos pontos A e B na referida reta numérica.

Resolução

3.1. Sabemos que e são colineares. Logo, existe um único número real tal que .Por outro lado, e sendo O e A pontos da reta OA, B é um ponto da reta OA.

3.2. • Para :

• Para : sejam a e b as abcissas dos pontos e , respetivamente. e tem abcissas e , respetivamente. Efetuando a adição dos vetores e e aplicando a “regra do triângulo” a partir do ponto O, obtém-se um ponto P de abcissa .

Por outro lado, é a abcissa do ponto que resulta da soma do ponto O com o

vetor . é um ponto Q de

abcissa a + b e é um ponto de

Geometria abcissa .

Dado que os pontos resultantes da aplicação dos vetores e ao ponto O coincidem, concluímos que:

Geometria

4. Considere um vetor e números reais . Prove que , comparando as normas, direções e sentidos dos dois vetores a partir da definição de produto de um vetor por um escalar.

Resolução

Norma:

Se ou , então . No que se segue assumimos que e .

Direção: tem a mesma direção que , que, por sua vez, tem a direção de . Como tem

também a direção de , e têm a mesma direção.Sentido:

Se e , , , e têm o mesmo sentido.

Se e , , e têm o mesmo sentido, contrário ao de .

Se e , e têm o mesmo sentido, contrário ao de e de .

Se e , , e têm o mesmo sentido, contrário ao de .

Em qualquer dos casos, e têm o mesmo sentido que .

Exercícios1. Na figura ao lado representa-se um plano munido de um referencial

ortonormado de origem O e dois segmentos orientados [A, B] e [P, Q], onde A(3, 3), B(1, 2), P(–2, –1) e Q(0, 2). Considere os pontos X(1, 0), Y(0, 1) e os vetores (da base canónica do

espaço vetorial dos vetores do plano) e .

1.1. Sendo , determine, utilizando uma construção geométrica, um

vetor com a direção de e um vetor com a direção de tais que .1.2. Quantas soluções diferentes existem para a alínea anterior? Justifique.1.3. Conclua que existe um e somente um par ordenado de números reais (v1, v2) tais que ,

designando este par por «coordenadas do vetor », e determine-o.

1.4. Sendo , resolva um exercício idêntico ao das alíneas 1.1. a 1.3., subtituindo por .

1.5. Sendo P’(– 2, 3) e , resolva um exercício idêntico ao das alíneas 1.1. a 1.3., substituindo por .

1.6. Justifique que as coordenadas dos pontos , e têm de ser iguais às coordenadas,

Descritor: 4.1 e 4.2 (Página 32 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e um vetor do plano que, sendo X(1, 0), Y(0, 1), , existe um e somente um par ordenado (v1, v2) de números reais tais que, por esse motivo designar o par ordenado por uma «base do espaço vetorial dos vetores do plano», (v1, v2) por «coordenadas do vetor (na base )» e representar por «» o vetor de coordenadas (v1, v2).

▪ Identificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e dado um ponto A, o «vetor-posição do ponto A» como o vetor e justificar que as coordenadas do vetor posição de um dado ponto coincidem com as coordenadas do ponto.

Geometria respetivamente, dos vetores , e (ditos «vetores posição» dos referidos pontos) e represente estes vetores através de segmentos orientados de origem O.

Geometria

Resolução1.1. e

1.2. Existe apenas uma única solução. Se , onde e são

vetores com a direção de e e são vetores com a direção de , então o

vetor é múltiplo de e de , o que só pode acontecer se

, e .

1.3. Pela alínea anterior, e são únicos, com .

As coordenadas do vetor são (–2 , –1).

1.4. 1.5.

Logo, . Logo, .

1.6. Para o caso, por exemplo, do ponto , existe um único ponto P tal que e sendo a soma dos vetores e , que são paralelos aos

eixos coordenados, efetuando a soma de vetores , obtemos um ponto

de abcissa e aplicando a este ponto o vetor obtemos um ponto com a

abcissa e ordenada . Logo, as coordenadas de coincidem com as coordenadas de P. De modo análogo, justificamos os outros dois casos.

2. *Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os pontos X(1 , 0) , Y(0 , 1), os vetores (da base canónica do espaço vetorial dos vetores do plano)

e e um vetor desse plano.

2.1. Fixado um ponto A nesse plano e sendo , mostre, utilizando a regra do triângulo, que existe um e somente um ponto C tal que se for igual à soma de um vetor com a direção de com um

vetor com a direção de , então e .2.2. Conclua da alínea anterior que existe um e somente um par ordenado de números reais (v1, v2) tal que

, desigando este par por «coordenadas do vetor ».2.3. Justifique que as coordenadas do ponto são iguais às coordenadas do vetor (dito «vetor-

-posição» do ponto P).

Resolução2.1. Usando a regra do triângulo para obter a soma a partir do ponto A, obtemos um ponto C que

pertence à reta paralela ao eixo Ox que passa por A e à reta paralela ao eixo Oy que passa por B, pois e têm direções de e , respetivamente. Logo, C é o único ponto de interseção das referidas

retas em que e . Existência: Seja C o ponto de interseção da reta horizontal a que A pertence com a reta vertical a que

B pertence. O vetor tem a direção de e o vetor tem a direção de .

Unicidade: Suponhamos que existem dois pontos, C e D, nessas condições. Sejam , ,

, e . Como , onde e são vetores com a direção de e

Geometria e são vetores com a direção de , então o vetor é múltiplo de e de , o que só pode acontecer se , , , e, portanto, C = D.

2.2. Como tem a direção de e tem a direção de , existem v1 e v2 tais que e . A

unicidade dos vetores e também garante a unicidade dos escalares v1 e v2.

Geometria

2.3. Atendendo às alíneas anteriores, escolhendo-se o ponto A coincidente com a origem O do referencial, o ponto B coincide com o ponto P e fica demonstrado que , . Sendo e

, resulta que as coordenadas do ponto P são exatamente (v1, v2).

Exercícios1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado, vetores e , um

número real , os pontos X(1, 0), Y(0, 1) e os vetores (da base canónica do espaço vetorial dos vetores

do plano) e .

1.1. Justifique que e que .1.2. Utilizando as propriedades algébricas conhecidas das operações com vetores, conclua que o vetor

(respetivamente ) tem coordenadas (u1 + v1, u2 + v2) (respetivamente (u1 – v1, u2 – v2)), que

o vetor tem coordenadas (λu1, λu2) e que o vetor simétrico do vetor tem coordenadas (– u1, – u2), começando por determinar expressões para estes vetores como combinações lineares dos vetores da base canónica.

1.3. Suponha que e não são nulos e justifique que são colineares se e somente se as respetivas coordenadas forem todas não nulas e os quocientes das coordenadas correspondentes forem iguais ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.

Resolução1.1. Sejam e .

Dado que tem coordenadas (u1, u2) na base (e1, e2), temos que .

Também , pois sabemos que tem coordenadas (v1, v2) na base .

1.2. •

Assim, as coordenadas de na base são .

• =

Descritores: 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 (Página 32 do caderno de apoio)

▪ Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dados os vetores tem coordenadas (u1 + v1, u2 + v2) respetivamente (u1 – v1, u2 – v2)), que o vetor tem coordenadas , que o vetor simétrico do vetor tem coordenadas (– u1, – u2) e que dois vetores não nulos são colineares se e somente se as respetivas coordenadas forem todas não nulas e os quocientes das coordenadas correspondentes forem iguais, ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.

▪ Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado, e dados os pontos A(a1, a2) e

B(b1, b2) que o vetor tem coordenadas (b1 – a1, b2 – a2), começando por justificar que , identificar, a «diferença entre os pontos B e A » como o vetor , representá-la por «B – A» e justificar que, para todo o vetor e para quaisquer pontos A e B do plano, .

▪ Justificar, fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um ponto A(a1, a2) e um vetor desse plano, que o ponto tem coordenadas (a1 + v1, a2 + v2).

▪ Justificar, fixada uma unidade de comprimento e um plano munido de um referencial ortonormado que para qualquer vetor,.

Geometria

Logo, as coordenadas de na base são (u1 – v1, u2 – v2).

Geometria

•

Logo, as coordenadas de na base são (λu1, λu2) .

• Simétrico de :

As coordenadas do simétrico de são (– u1, – u2).

1.3. Os vetores e não nulos são colineares se e apenas se existir um número real tal que .

Se e na base , então .

Como e não são vetores nulos, significa que u1 – λv1 = 0 e u2 – λv2 = 0 (*).

Se e são não nulos, as suas coordenadas não podem ser simultaneamente nulas e tem que ser diferente de zero. Isto significa que são colineares se ou as primeiras ou as segundas coordenadas de ambos os vetores forem nulas.Se nenhuma das coordenadas for nula, então, de (*):

Portanto, os vetores com coordenadas todas não nulas são colineares se e somente se os quocientes das coordenadas correspondentes são iguais.

2. Considere um plano munido de um referencial ortonormado de origem O e pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) desse plano.

2.1. Justifique que .2.2. Atendendo à alínea anterior e aplicando o conhecimento sobre coordenadas do vetor-posição de um

ponto e das coordenadas da diferença de dois vetores, justifique que o vetor tem coordenadas (b1 – a1, b2 – a2)

2.3. Dado um vetor e utilizando a alínea anterior mostre que o ponto P = A + tem coordenadas (a1 – v1, a2 – v2), começando por designar essas coordenadas por (x1, x2) e notando que, por definição, .

Resolução2.1.

Pela regra do triângulo . Atendendo a que é o simétrico de

, , .

2.2. Atendendo a que as coordenadas do vetor-posição de um dado ponto coincidem com as coordenadas do ponto, temos que: .

2.3. Sendo , então por definição . Pela alínea anterior, tem coordenadas (x1 – a1, x2 – a2). Assim, x1 – a1= v1 ∧ x2 – a2 = v2 ⇔ x1 = a1+ v1 ∧ x2 = a2 + v2.Portanto, P tem coordenadas (a1 – v1, a2 – v2).

3. Fixado um plano munido de um referencial ortonormado e dado um vetor tomando por

unidade de comprimento a unidade comum dos eixos coordenados, mostre que ,

Geometria utilizando o Teorema de Pitágoras.

Geometria

ResoluçãoConsideremos o segmento orientado [O, A] representante de . Sendo o vetor posição de A, as coordenadas de A são (v1, v2). Considerando C a projeção ortogonal de A sobre o eixo das abcissas, obtemos

o triângulo retângulo [OCA]. Pelo Teorema de Pitágoras, .

Portanto, , pois .

Exercícios1. Considere, fixado um plano munido de um referencial cartesiano, os vetores e .

Determine as coordenadas do vetor:

1.1. 1.2. tal que

Resolução

1.1.

1.2. Seja o vetor de coordenadas (a, b).

Logo, as coordenadas de são .

2. Na figura está representado um paralelogramo [ABCD], os pontos médios E, F, G e H dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente e os vetores e .

Sabe-se, fixado um certo referencial ortonormado, que ,

e .

2.1. Justifique que e indique as coordenadas de .

2.2. *Determine as coordenadas dos pontos G, F e E.

2.3. *Justifique que e determine as coordenadas dos vértices do paralelogramo [ABCD].

Resolução2.1. Dado que H e G são pontos médios dos lados [DA] e [CD], respetivamente, pelo Teorema de Tales,

e AC // HG. Então, , donde .

As coordenadas de são (2, 0).

Descritor: 6.1 (Página 33 do caderno de apoio)▪ Resolver problemas envolvendo a determinação das coordenadas de vetores do plano.

Geometria

2.2.

As coordenadas do ponto G são .

Geometria

, pois G e F são pontos médios de [DC] e [BF] e pelo Teorema de Tales:

As coordenadas de F são .

2.3. . E e G são pontos médios de lados opostos de um paralelogramo, logo e [EG] // [BC]. Além disso, os segmentos orientados [E, G] e [B, C] que representam os vetores têm o mesmo sentido, pois têm o mesmo sentido das semirretas e .

Portanto, .

Pela alínea anterior, temos que e .

Então, .

Portanto:

; ;

; .

As coordenadas dos vértices do paralelogramo [ABCD] são A(1, 3), B(4, 5), C(5, 3) e D(2, 1).

3. Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos A(0, 3) e B(5, 4) são vértices consecutivos de um losango e o ponto C(2, 1) é o ponto de interseção das respetivas diagonais. Determine as coordenadas dos outros dois vértices.

ResoluçãoAs coordenadas dos outros dois vértices serão tais que e .

Determinemos e .

Portanto, e .

4. *Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, três pontos não colineares A(a1, a2), B(b1, b2) e C(c1, c2).Seja M o ponto médio do segmento de reta [BC]. Relembrando que o baricentro G do triângulo [ABC] é o ponto G do segmento de reta [AM] tal que , verifique que o baricentro coincide com a interseção das mediatrizes do triângulo determinando sucessivamente:

4.1. as coordenadas de M; 4.2. as coordenadas de ;

Geometria 4.3. as coordenadas de ; 4.4. as coordenadas de G.

Geometria

Resolução

4.1. Como M é o ponto médio do segmento de reta [BC], .

4.2.

4.3. Sabemos que G é um ponto do segmento de reta [AM] tal que .

Assim, e .

Portanto, .

4.4.

Exercícios1. Num plano munido de um referencial cartesiano, sabe-se que os pontos A(–3, –2), B(–1, 2) e C(4, 1) são

vértices de um paralelogramo. Determine as possíveis coordenadas do quarto vértice do paralelogramo.

ResoluçãoExistem três soluções correspondentes aos casos em que as diagonais do paralelogramo são [AB] e [CD], [AC] e [BD], ou [AD] e [BC]. Seja D o quarto vértice do paralelogramo.1.º caso: as diagonais do paralelogramo são [AC] e [BD].

e 2.º caso: as diagonais do paralelogramo são [AD] e [BC].

e 3.º caso: as diagonais do paralelogramo são [AB] e [CD].

e As coordenadas do quarto vértice podem ser (2, –3), (6, 5) ou (– 8, – 1).

2. Num plano munido de um referencial cartesiano, determine, se existir, um número real k tal que os vetores e sejam colineares e com o mesmo sentido.

ResoluçãoPara que e sejam colineares terá de existir um número real tal que , sendo não nulo. Assim:

Descritor: 6.2 (Página 34 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo a colinearidade de vetores do plano.

Geometria

Como e têm de ter o mesmo sentido, terá de ser positivo. Assim, o número real k é 1.

3. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e o vetor . Determine as

coordenadas do vetor colinear a , de sentido contrário e de norma 15.

ResoluçãoPretendemos determinar um vetor que seja colinear com e tenha sentido contrário. Assim, terá de existir um número real , tal que .

Sabemos também que , ou seja, .

Como , temos .

Como tem sentido contrário a :

4. Num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(2, 1), B(6, 4) e C(8, 7) são vértices de um trapézio, cujas bases são os segmentos de reta [AB] e [CD].

4.1. *Determine todas as coordenadas possíveis do vértice D sabendo que .4.2. *Considere D(0, 1). Prove que o quadrilátero definido pelos pontos médios dos lados do trapézio

[ABCD] é um paralelogramo.

Resolução4.1. Dado que ou , vem:

; ou

D = (8, 7) + 2(4, 3) ou D =(8, 7) – 2(4, 3) D = (8, 7) + (8, 6) ou D = (8, 7) + (– 8, – 6) D = (16, 13) ou D(0, 1) As coordenadas possíveis de D são (0, 1) e (16, 13).

4.2. Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos médios de cada um dos lados do trapézio.

Ponto médio de [AB]:

Ponto médio de [BC]:

Ponto médio de [CD]:

Ponto médio de [DA]:

Para mostrar que o quadrilátero [EFGH] é um paralelogramo vamos começar por definir os vetores e e verificar que e .

Geometria

Portanto, o quadrilátero definido pelos pontos médios dos lados do trapézio [ABCD] é um paralelogramo.

Exercícios1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r, s e p definidas, respetivamente,

por 2x + 3y + 1 = 0, (x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t ∈ IR e , λ ∈ IR.

1.1. Determine os pontos em que a reta r interseta os eixos coordenados.1.2. Determine a ordenada do ponto da reta s que tem abcissa 3.1.3. Justifique que o ponto (– 2, –1) pertence à reta p.1.4. Indique, para cada uma das retas, um vetor diretor.1.5. Escreva a equação reduzida da reta s.1.6. Indique, de entre r, s e t, eventuais pares de retas paralelas.

Resolução1.1. O ponto de interseção da reta r com o eixo das abcissas terá coordenadas do tipo (x, 0). Assim,

. As coordenadas são .

O ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas terá coordenadas do tipo (0, y). Assim,

. As coordenadas são .

1.2.

é a ordenada do ponto da reta s que tem abcissa 3.

1.3. O ponto (–2, –1) pertence à reta p se satisfazer a sua equação. Assim:

Logo, o ponto (–2, –1) pertence à reta p.

1.4. ;

Da equação ficamos a saber que o declive da reta r é . Portanto, um vetor diretor da reta r

Descritor: 6.3 (Página 34 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo equações vetoriais, paramétricas e cartesianas de retas do plano.

Geometria

terá coordenadas . s: (x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t ∈ Observando a equação temos que (6, 4) são coordenadas de um vetor diretor da reta s.

, λ ∈Logo, são coordenadas de um vetor diretor da reta p.

1.5. (x, y) = (1, 5) + t(6, 4), t ∈Dado que (6, 4) são coordenadas de um vetor diretor de s, o declive .

A equação reduzida é da forma

Dado que (1, 5) são coordenadas de um ponto de s,

Portanto, a equação reduzida da reta s é .

1.6. As retas s e p são paralelas.

2. Considere, num referencial cartesiano do plano, a reta m definida por (x, y) = t(– 5, 4), t ∈ . Determine a equação reduzida da reta n, paralela a m, que interseta o eixo Ox no mesmo ponto que a reta p de equação 6x – y – 1 = 0.

Resoluçãom: (x, y) = t(– 5, 4), t ∈Dado que um vetor diretor da reta m tem coordenadas (– 5, 4), o declive da reta é .

Como a reta n é paralela à reta m, o declive da reta n é . Assim, a equação reduzida da reta n é do tipo

, b ∈ .

Atendento a que o ponto de interseção da reta p com o eixo das abcissas também é um ponto da reta n, podemos determinar b se conhecermos as coordenadas do ponto.Como p interseta o eixo Ox, a ordenada do ponto de interseção é zero. Assim:

As coordenadas de um ponto de n são .

Substituindo na equação : .

Portanto, a equação reduzida da reta n é .

3. *Determine para que valores reais de k o ponto P(k, k2) pertence à reta de equação y = – 5x – 6.

Resolução

Geometria Substituindo as coordenadas de P na equação da reta:

S = {– 3, –2}Os possíveis valores de k poderão ser – 3 ou – 2.

4. **Num referencial ortonormado do plano as retas r: 4y = 3x – 1 e s: 4x – 3y + 2 = 0 contêm dois lados iguais de um triângulo que medem 10 unidades. Determine as possíveis coordenadas dos vértices desse triângulo.

Resoluçãor: 4y = 3x – 1 ; s: 4x – 3y + 2 = 0 Dado que r e s contêm dois lados de um triângulo, o ponto de interseção das retas é um vértice do triângulo:

Um dos vértices do triângulo tem coordenadas .

As coordenadas dos restantes vértices do triângulo poderão ser obtidas pela soma do ponto A com os vetores diretores das retas de norma 10.

Reta r:

Um vetor diretor de r tem coordenadas (4, 3).Vamor determinar um vetor colinear ao vetor de coordenadas (4, 3) de norma 10.

, para um dado λ ∈ .

Assim, os vetores – 2(4, 3)= (– 8, – 6) e 2(4, 3) = (8, 6) têm norma 10 e são vetores diretores de r.

Reta s:

Logo, um vetor diretor de s tem coordenadas (3, 4).Vamos agora determinar outro vetor diretor de s com norma 10. Esse vetor terá de ser colinear com o vetor (3, 4). Assim, , para um dado λ ∈ .

Assim, os vetores – 2(3, 4) = (– 6, – 8) e 2(3, 4) = (6, 8) têm norma 10 e são vetores diretores de r.

Geometria Sejam B e C os restantes vértices do triângulo:

ou .

ou

As possíveis coordenadas para os vértices por triângulo são:

•

•

•

•

5. **Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida pela equação x2 + y2 = 10 e o ponto P(0, –10). Determine a equação reduzida de cada uma das retas que, passando por P, são tangentes à circunferência.

ResoluçãoSejam A e B os pontos de tangência. Como as retas tangentes à circunferência são perpendiculares ao raio definido com o ponto de tangência, os triângulos [OAP] e [OBP] são retângulos.

Deste modo podemos usar o Teorema de Pitágoras para determinar , que é igual

, pois os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo Oy.

Por outro lado, sendo A um ponto da circunferência de equação , terá

coordenadas da forma e:

Portanto:

Subtituindo x por 3 e por – 3 na equação inicial verificamos que são soluções da equação. Assim, temos os

pontos e .

Deste modo, os vetores das retas tangentes são:

;

Logo, os declives são ;

Geometria Como ambas as retas passam no ponto P, as retas têm ordenada na origem –10. Assim, as equações reduzidas das retas são y = 3x – 10 e y = – 3x – 10.

6. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferência de centro A definida pela equação (x – 3)2 + (y – 2)2 = 10, os pontos E e F de interseção da circunferência com o eixo Ox e o ponto D de interseção da circunferência com o eixo Oy e de ordenada superior à do ponto A.

6.1. Determine as coordenadas de D, E e F.6.2. Determine a equação reduzida da reta DF.6.3. Calcule a área do triângulo [DEF].

Resolução6.1. Como D pertence ao eixo Oy e a abcissa é zero e atendendo a que também pertence à circunferência,

temos:(0 – 3)2 + (y – 2)2 = 10 ⇔ 9 + y2 – 4y + 4 = 10 ⇔ y2 – 4y = 10 – 9 – 4 ⇔ y2 – 2 × 2y + 22 = – 3 + 22

Como a ordenada de D é superior à de A, as coordenadas de D são (0, 3).

Geometria

Como F e E pertencem ao eixo Ox a ordenada desses pontos é zero. Atendendo a que pertence à circunferência, temos:(x – 3)2 + (0 – 2)2 = 10 ⇔ x2 – 6x + 9 + 4 = 10 ⇔ x2 – 6x = 10 – 13 ⇔ x2 – 2 × 3x + 32 = – 3 + 32 ⇔ (x – 3)2 = – 3 + 9 ⇔ (x – 3)2 = 6 ⇔

Logo, e .

6.2. Comecemos por determinar o declive da reta DF.

A equação da reta será da forma .

Como a ordenada na origem da reta é a ordenada do ponto B temos que a equação da reta é:

6.3. Sendo [FE] a base do triângulo, a altura será a ordenada do ponto D.

Logo, .

7. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência que passa nos pontos A, O e B, tais que [OA] está contido na bissetriz dos quadrantes ímpares e [OB] está contido na bissetriz dos

quadrantes pares. Sabe-se ainda que a ordenada de B é igual a da

ordenada de A.7.1. *Determine as coordenadas de A e de B sabendo que a área do triângulo

[AOB] é igual a 12 unidades de área.7.2. Justifique que [AB] é um diâmetro da circunferência e escreva uma equação dessa circunferência.7.3. Escreva uma equação cartesiana da reta AB.

Resolução7.1. Seja a a ordenada do ponto de A. Como [OA] está contido na bissetriz dos quadrantes ímpares a

abcissa de A será a. O ponto A terá coordenadas (a, a).

Como a ordenada de B é da ordenada de A e [OB] está contido na bissetriz dos quadrantes pares,

as coordenadas de B são .

Considerando [OA] a base do triângulo, [OB] é a altura e temos:

Como a < 0, as coordenadas de A são e as de B são:

Geometria

=

Geometria

7.2. Como [OA] está contido na bissetriz dos quadrantes ímpares e [OB] está contido na bissetriz dos quadrantes pares e uma vez que as bissatrizes são perpendiculares, o triângulo [AOB] é retângulo em O. Sendo retângulo, o ângulo AOB está inscrito na circunferência e [AB] é o diâmetro da circunferência.O centro da circunferência é o ponto médio do segmento de reta [AB].

O raio é o comprimento do segmento de reta [CB].

Logo, a equação da circunferência é .

7.3. Determinemos um vetor diretor da reta :

Logo, o declive da reta é .

A equação da reta AB é da forma .

Substituindo x e y pelas coordenadas do ponto A, obtemos:

Portanto, a equação da reta AB é .

Exercício1. *Considere um referencial ortonormado do espaço e um terno ordenado de números reais (a, b, c).1.1. Justifique que o conjunto dos pontos do espaço cuja projeção ortogonal sobre o eixo Ox é um dado

ponto P é o plano perpendicular a Ox e que passa em P. 1.2. Considere o plano α perpendicular ao eixo Ox e que contém o ponto A(a, 0, 0) e o plano β

perpendicular ao eixo Oy e que contém o ponto B(0, b, 0). Justifique que α e β são perpendiculares e caracterize, através das abcissas e ordenadas, os pontos da respetiva reta interseção.

1.3. Considere o plano γ perpendicular ao eixo Oz e que contém o ponto C(0, 0, c). Justifique que o plano γ interseta a reta r num único ponto e que esse é o único ponto do espaço de coordenadas (a, b, c).

Resolução1.1. O conjunto dos pontos do espaço cuja projeção ortogonal sobre o eixo Ox é P é precisamente o

conjunto dos pontos das retas perpendiculares a Ox, tendo como pé da perpendicular o ponto P.Essas retas determinam um plano perpendicular a Ox e que contêm P.

1.2. Os plano α e β são perpendiculares porque os eixos Ox e Oy são perpendiculares, o plano α é perpendicular ao eixo Ox, e o plano β é perpendicular ao eixo Oy. Os pontos de interseção de α com β têm abcissa de A, a, porque estão no plano perpendicular a Ox que passa por A, e têm a ordenada de B, b, porque estão no plano perpendicular a Oy que passa por B. Então, os pontos da interseção de

Descritor: 7.5 (Página 36 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um terno ordenado de números reais (x, y, z), que existe um e apenas um ponto P com essas coordenadas e representá-lo por «P(x, y, z)».

Geometria α com β têm coordenadas (a, b, z), para algum z.

1.3. Da alínea anterior podemos concluir que a reta r tem a direção do vetor (porque, por exemplo,

(a, b, 0) e (a, b, 1) estão em r), que é a mesma do eixo Oz. Daqui resulta que r é perpendicular a γ, e em particular γ e r são concorrentes. O ponto de interseção do plano γ com r tem abcissa a e coordenada b por estar em r, e cota c por estar em r.

Exercício1. *Considere um referencial ortonormado e um ponto P(a, b, c), c ≠ 0, de projeção ortogonal P’ no plano

xOy.1.1. Considere o ponto P’, projeção ortogonal de ponto P no eixo Ox. Justifique que o plano definido

pelos pontos P, P’ e P” é perpendicular ao eixo Ox.1.2. Justifique que a reta P”P’ é perpendicular ao eixo Ox e conclua que a abcissa de P’ é igual a a.1.3. Utilizando um raciocínio análogo ao utilizado em 1.1. e 1.2., conclua que a ordenada do ponto P’ é

igual a b, que as coordenadas de P’ são (a, b, 0) e que, no plano xOy, P’ tem coordenadas (a, b).

Resolução1.1. Por definição, P” é a projeção ortogonal de P no eixo Ox. Logo, PP” é perpendicular ao eixo Ox.

Como P’ é a projeção ortogonal de P no plano xOy, então a reta PP’ tem a direção do eixo Oz e, portanto, é perpendicular ao eixo Ox. Daqui resulta que P’ e P” estão ambos no plano perpendicular a Ox que passa por P.Nota: Quando b = 0, P” ≠ P porque c ≠ 0, mas P” pode ser igual a P’ e, portanto, P, P’ e P” podem não definir um plano.

1.2. A reta P”P’ é perpendicular ao eixo Ox porque está contida no plano perpendicular ao eixo Ox que passa por P. Resulta da definição de P” que P” tem coordenadas (a, 0) e, em particular, abcissa a. Como a reta P”P’ é perpendicular ao eixo Ox, o ponto P’ tem também abcissa a.

1.3. Como a reta PP’ é paralela ao eixo Oz, é perpendicular ao eixo Oy e portanto tem a mesma ordenada que P, que é b. Visto que P’ está no plano xOy, tem cota 0, logo P’(a, b, 0). Consequentemente, as coordenadas de P’ no plano xOy são (a, b).

Exercício1. Considere o paralelepípedo retângulo da figura tal que, numa dada unidade,

.1.1. Determine, utilizando o Teorema de Pitágoras, uma expressão para a medida

de , em função de a e de b.1.2. Justifique que GC é perpendicular a AC e prove que

.1.3. *Definiu-se um referencial ortonormado do espaço, tal que o

eixo Ox é paralelo a BC, o eixo Oy é paralelo a AB e o eixo Oz é paralelo a CG. Tem-se ainda A(a1, a2, a3) e G(g1, g2, g3), tal

Descritor: 7.6 (Página 36 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, dado um referencial ortonormado e um ponto P(a, b, c) de projeção ortogonal P’ no plano xOy, que, nesse plano, munido do referencial constituído pelos eixos Ox e Oy, P’ tem coordenadas (a, b) e enunciar resultados análogos para os planos xOz e yOz.

Descritor: 8.3 (Página 36 do caderno de apoio)

▪ Provar, fixada uma unidade de comprimento e dados um referencial ortonormado do espaço e pontos A(a1, a2, a3) e B(b1, b2, b3), que a medida da distância entre A e B é igual a e representá-la por «d(A, B)».

Geometria como representa a figura.

Geometria

1.3.1. Justifique que a = |g2 – a2|, b = |g1 – a1| e c = |g3 – a3|.1.3.2. Conclua que a distância entre os pontos A e G é dada por:

Resolução

1.1. , pois .

1.2. Por se tratar de um paralelepípedo, a reta GC é perpendicular ao plano ABC. Logo, GC é perpendicular a todas as retas que passam por C, em particular à reta AC.Atendendo a este facto, o triângulo [ACG] é retângulo em C. Assim, pelo Teorema de Pitágoras:

, pois

1.3.1. a = |g2 – a2|, pois AB é uma reta paralela ao eixo das ordenadas e se considerarmos a sua projeção de [AB] sobre o eixo Oy, a será o valor absoluto da diferença das ordenadas.b = |g1 – a1|, pois BC é uma reta paralela ao eixo das abcissas. Considerando a projeção de [BC] sobre esse eixo, b será o valor absoluto da diferença das abcissas.

1.3.2. Pela alínea 1.2. .

Exercício1. Considere, num referencial ortonormado de origem O no espaço, os pontos

X(1, 0, 0), Y(0, 1, 0) e Z(0, 0, 1), os vetores (da base canónica do espaço

vetorial dos vetores do espaço) , e e um vetor .

1.1. *Como exemplificado na figura, considere um ponto A do espaço, e seja . Suponha que , onde tem a direção de ,

tem a direção de e tem a direção de .

Utilizando a regra do triângulo para a soma de com , mostre que,

sendo C um ponto tal que , então C tem de pertencer à reta r paralela ao eixo Oz que passa no ponto B.

Descritores: 10.1 e 10.2 (Página 38 do caderno de apoio)

▪ Reconhecer, fixado um referencial ortonormado no espaço de origem O e um vetor , que, sendo X(1, 1, 0), Y(0, 1, 0), Z(0, 0, 1), existe um e somente um terno ordenado (v1, v2, v3) de números reais tais que , designar o terno ordenado por uma «base do espaço vetorial dos vetores do espaço», (v1, v2, v3) por «coordenadas do vetor (na base » e representar por «(v1, v2, v3)» o vetor de coordenadas

(v1, v2, v3).▪ Estender do plano ao espaço a definição do vetor posição de um ponto e a identificação das

respetivas coordenadas, as fórmulas para o cálculo das coordenadas da soma e da diferença de vetores, do produto de um vetor por um escalar, do simétrico de um vetor, da diferença de dois pontos, da soma de um ponto com um vetor e da norma de um vetor, e o critério de colinearidade de vetores através das respetivas coordenadas.

Geometria

1.2. **Com as notações da alínea anterior e utilizando a regra do paralelogramo para a soma e a

regra do triângulo para a soma de com mostre que, sendo C um ponto tal que e

, então C está na interseção da reta r com o plano nomal à reta r que passa pelo ponto A, ou seja, C é a projeção ortogonal do ponto B no plano paralelo ao plano xOy que passa no ponto A.

1.3. *Conclua da alínea anterior que existe um e somente um terno ordenado de números reais (v1, v2, v3) tal que , designando este terno por «coordenadas do vetor ».

1.4. Justifique que as coordenadas do ponto são iguais às coordenadas do vetor (dito «vetor- -posição» do ponto P).

Resolução1.1. Como , o segmento orientado [B, C] tem, por definição, a direção de , o que significa que

a reta BC é paralela ou coincidente com o eixo Oz que passa pelo ponto B. Ou seja, BC coincide com a única reta paralela (ou coincidente) a Oz que passa pelo ponto B, e portanto, C está em BC (= r.

1.2. Usando a regra do paralelogramo para a soma a partir do ponto A, obtemos o ponto C que

pertence ao plano definido pelas retas concorrentes em A e paralelas aos eixos Ox e Oy. Note que

e têm direções de e , respetivamente. Portanto, o plano que contém A e C é paralelo ao plano xOy.Pela alínea anterior, sabemos que C pertence à única reta paralela ao eixo Oz que passa por B. Logo, a reta BC é perpendicular ao plano xOy. Como o plano que contém A e C é paralelo ao plano xOy, BC é perpendicular ao plano, C está na interseção da reta r com o plano normal à reta r que passa pelo ponto A.

1.3. Existência:Seja C o ponto de interseção do plano paralelo ao eixo xOy a que A pertence com a reta paralela ao

eixo Oz a que B pertence. O vetor , estando contido no plano xOy, pode escrever-se na

forma , onde tem a direção de e tem a direção de . Note que o vetor

tem a direção de . Se v1, v2 e v3 forem escalares tais que , então

.

Unicidade:Suponhamos que existem dois pontos, e , nessas condições. Sejam , ,

, e . Então, o vetor

está contido no plano e no eixo , o que só pode

acontecer se , e . Temos, então, que v3 = w3 e, pelo que foi visto no plano, v2 = w2 e v1 = w1, logo C = D.

1.4. Atendendo às alíneas anteriores, escolhendo-se o ponto A coincidente com a origem O do referencial, o ponto B coincide com o ponto P e fica demonstrado que e , sendo C a projeção ortogonal do ponto P no plano xOy e D e E as projeções ortogonais do ponto C nos eixos Ox e Oy, respetivamente. Sendo e , resulta que as coordenadas do ponto P são exatamente (v1, v2, v3).

Descritor: 11.1 (Páginas 38 e 39 do caderno de apoio)

▪ Resolver problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço, equações e inequações cartesianas de subconjuntos do espaço.

Geometria

Geometria

Exercício1. Fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos A(2, 0, 0), B(2, 2, 0) e C(0, 2, 0) são três dos

vértices de uma das bases de um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] de altura 6.1.1. Indique as coordenadas do ponto D, quarto vértice da base.1.2. Defina analiticamente:1.2.1. o plano que contém a base [EFGH] do prisma; 1.2.2. o plano mediador da aresta [BC];1.2.3. a reta EA sabendo que o vértice E tem a mesma abcissa e ordenada de A;1.2.4. o plano mediador de [EA];1.2.5. a aresta [EF] sabendo que B é a projeção ortogonal do vértice F no plano xOy;1.2.6. o conjunto dos pontos do espaço cuja distância do ponto B é igual a 2.1.3. Determine o volume do prisma.

Resolução1.1. As coordenadas do ponto D são (0, 0, 0).1.2.1. z = 61.2.2. B(2, 2, 0) e C(0, 2, 0)

Seja P(x, y, z) um ponto do plano mediador do segmento da reta [BC].Por definição, d(P, B) = d(P, C).

Ou seja, M o ponto médio do segmento de reta [BC].

Sendo o plano perpendicular a [BC] tem de ser paralelo ao plano xOz. Assim, a equação do plano mediador é x = 1.

1.2.3. Temos que E(2, 0, 6). Ou seja, a reta EA é paralela ao eixo Oz. Assim, a equação é x = 2 ∧ y = 0.1.2.4. Como a reta que contém o segmento de reta [EA] é paralela ao eixo das cotas, o plano mediador de

[EA] passa no seu ponto médio e é paralelo ao plano xOy.

Ponto médio de [EA]:

A equação do plano mediador de [EA] é z = 3.1.2.5. Como B é a projeção ortogonal de F no plano xOy, a abcissa e a ordenada de F são iguais à abcissa e

ordenada de B. Assim, F(2, 2, 6).A aresta [EF] é definida, analiticamente, por x = 2 ∧ y = 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 6.

1.2.6. O conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao ponto B é igual a 2 é a superficie esférica de centro em B(2, 2, 0) e raio 2. Assim, (x – 2)2 + (y – 2)2 + z2 = 4 define analiticamente o conjunto.

1.3. Vprisma = Abase × altura ; Vprisma = 22 × 6 = 4 × 6 = 24O volume do prisma é de 24 unidades de volume.

2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superfície esférica de equação: x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 8z + 12 = 0

2.1. Indique o centro C e o raio da superfície esférica.2.2. Determine expressões analíticas que definam a interseção da superfície esférica com cada um dos

seguintes conjuntos de pontos:2.2.1. o eixo Ox; 2.2.2. o plano de equação z = 4; 2.2.3. o plano de equação y = –4.2.3. Prove que o ponto A(0, 0, 2) pertence à superfície esférica e determine a inequação reduzida da esfera

de centro A e raio .

Geometria

Resolução2.1. x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 8z + 12 = 0 ⇔ x2 × 4x + y2 + 2y + z2 – 8z = – 12⇔ (x – 2 × 2x + 22) + (y2 + 2y + 12) + (z2 – 2 × 4z + 42) = – 12 + 22 + 12 + 42⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = – 12 + 4 + 1 + 16 ⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 9

A superfície esférica tem centro de coordenadas (2, –1, 4) e raio 3.2.2.1. Dado que o centro tem cota 4 e o raio 3 a supeficie esférica não interseta o plano xOy e

correspondentemente não interseta o eixo Oy.Ou, qualquer ponto do eixo Ox tem coordenadas (x, 0, 0). Assim:(x – 2)2 + (0 + 1)2 + (0 – 4)2 = 9 ⇔ (x – 2)2 = 9 – 1 – 16 ⇔ (x – 2)2 = – 8 impossível.

2.2.2. Se (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 4)2 = 9 e z = 4, então:(x – 2)2 + (y + 1)2 + (4 – 4)2 = 9 ⇔ (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

A interseção é uma circunferência de centro com coordenadas (2, –1, 4) e raio 3 de equação:(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9 ∧ z = 4

2.2.3. Se y = – 4, então:(x – 2)2 + (– 4 + 1)2 + (z – 4)2 = 9 ⇔ (x – 2)2 + (– 3)2 + (z – 4)2 = 9 ⇔ (x – 2)2 + (z – 4)2 = 0 ⇔

⇔ x – 2 = 0 ∧ z – 4 = 0 ⇔ x = 2 ∧ z = 4A interseção é o ponto de coordenadas (2, – 4, 4).

2.3. (0 – 2)2 + (0 + 1)2 + (2 – 4)2 = 9 ⇔ 9 = 9Logo, o ponto A(0, 0, 2) pertence à superfície esférica.

A inequação reduzida da esfera de centro A e raio é x2 + y2 + (z – 2)2 ≤ 9.

3. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos A(–5, 1, 2) e B(2, 0, –1). Determine:3.1. as coordenadas do ponto C(x, y, z) tal que B é o ponto médio [AC];3.2. a inequação reduzida da esfera de diâmetro [AB].

Resolução

3.1.

As coordenadas do ponto C são (9, – 1, – 4).

3.2. .

O centro da esfera é o ponto médio do segmento de reta [AB].

Logo, a inequação da esfera é .

4. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superfície esférica S de equação:(x + 3)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 54.1. Determine uma expressão analítica para a interseção da superfície esférica S com o plano y = 3.4.2. Determine analiticamente para que valores reais de a o plano de equação z = a tem interseção não

vazia com a superfície esférica S.

Geometria 4.3. *Determine para que valores de b a interseção de S com o plano x = b é uma circunferência de

raio .

Resolução

4.1.

A interseção da superfície esférica S com o plano y = 3 é uma circunferência de centro (– 3, 3, – 1) e raio 2 cuja equação é (x + 3)2 + (z + 1)2 = 4 ∧ y = 3.

4.2. .

A interseção é não vazia para 5 – (a + 1)2 ≥ 0.

4.3.

Dado que se pretende uma circunferência de raio :

A interseção de S com o plano x = – 3 é uma circunferência de raio .

5. *Fixado um referencial ortonormado do espaço os pontos A(2, – 3, 4), B(2, 3, 4) e C(– 2, – 3, 4). Identifique analiticamente o conjunto dos pontos do espaço equidistantes de A, B e C.

Resolução5. Seja P(x, y, z) um ponto equidistante de A, B e C.

Então:

O conjunto dos pontos do espaço equidistantes de A, B e C é o conjunto dos pontos do espaço tais que x = 0 ∧ y = 0, ou seja, os pontos do eixo Oz.

Descritores 11.2 (Página 39 do caderno de apoio)

Geometria

▪ Resolver problemas envolvendo o cálculo vetorial no espaço.

Geometria

Exercícios1. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os pontos A(– 3, 2, 1) e B(1, 1, – 2) e o vetor

. Determine as coordenadas de:

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

1.5. um vetor colinear a e de norma 2; 1.6. sabendo que .

Resolução1.1. = (– 3, 2, 1) + 3(8, 0, – 6) = (– 3 +24, 2 + 0, 1 – 18) = (21, 2, – 17)1.2. = B – A = (1, 1, – 2) – (– 3, 2, 1) = (4, – 1, – 3)

= (4, – 1, – 3) – 10(8, 0, – 6) = (4 – 80, – 1 + 0, – 3 + 60) = (– 76, – 1, 57)

1.3.

1.4. = (1, 1, – 2) – 3((4, – 1, – 2) + (8, 0, – 6)) = (1, 1, – 2) – 3(12, – 1, – 9)

= (1, 1, – 2) – (36, – 3, – 27) = (– 35, 4 , 25)

1.5.

Logo, ou ; ou ; ou

.

1.6.

Logo, .

2. Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, um prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] tal que os vértices A(2, 0, 0), B(0, 2, 0) e C(–2, 0, 0) pertencem a uma das bases e o vértice F(0, 2, 4) pertence à outra base, como ilustra a figura.

2.1. Seja M o ponto médio da aresta [BF]. Determine as coordenadas do vetor .

2.2. *Determine os números reais a, b e c tais que .

2.3. Determine as coordenadas do vetor . 2.4. Escreva as equações paramétricas da reta que passa em F e é paralela ao eixo Oy.

Resolução

2.1. Sendo M o ponto médio da aresta [BF] temos que .

Como D pertence à base que contém os pontos A, B e C, sendo D(0, – 2, 0).

Geometria

Assim, .

Geometria

2.2.

(por observação)

Assim:(0, 4, 2) = a(– 2, – 2, 0) + b(2, – 2, 0) + c(0, 0, 4) ⇔ (0, 4, 2) = (– 2a + 2b, – 2a – 2b, 4c)

Portanto, .

2.3.

2.4. (x, y, z) = (0, 2, 4) + λ(0, 1, 0), λ ∈ ⇔ x = 0 ∧ y = 2 + λ ∧ z = 4, λ ∈3. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, o ponto A(2, – 1, 0) e o vetor .

3.1. Escreva as equações paramétricas da reta r que tem a direção de e passa no ponto A.3.2. Mostre que o ponto B(0, – 3, 4) pertence à reta r.3.3. Utilizando as equações obtidas em 3.1., determine as coordenadas do ponto P, interseção da reta r

com o plano xOy.3.4. Os pontos A e são as extremidades de um diâmetro de uma esfera de centro C. Determine

as coordenadas de C e o raio dessa esfera.3.5. Indique as coordenadas de um ponto Q que não seja colinear com P e D.

Resolução3.1. A equação vetorial de r é (x, y, z) = (2, – 1, 0) + λ(1, 1, – 2), λ ∈ .

(x, y, z) = (2 + λ, – 1+ λ, – 2λ), λ ∈ ⇔ x = 2 + λ ∧ y = – 1 + λ ∧ z = – 2λ, λ ∈3.2. B(0, – 3, 4). Utilizando as equações paramétricas obtidas na alínea 3.1..

. Logo, B(0, – 3, 4) pertence a r.

3.3. . Logo, P (3, 0, –2).

3.4. ⇔ D = (2, – 1, 0) + 2(1, 1, – 2) ⇔ D = (4, 1, –4)O centro C será o ponto médio de [AD]:

Geometria

O centro da esfera tem coordenadas (3, 0, –2) e o raio é de .3.5. Para que o ponto Q não seja colinear com os pontos P, D e Q não pode pertencer à reta r.

Por exemplo, o ponto Q(0, – 2, 0) não é colinear com P e D, pois , ou seja,

não pertence a r.

4. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os pontos A(3, 0, 2),

B(4, 3, 2), D(0, 1, 2) e vértices do cubo [ABCDEFGH]

da figura.4.1. Justifique que o tetraedro [BDEG] tem as arestas todas iguais (ou seja, que é

um “tetraedro regular”).4.2. Determine as coordenadas dos restantes vértices do cubo.4.3. Determine equações paramétricas da reta EC.4.4. Defina abaliticamente o segmento de reta [EG].

Resolução4.1. O tetraedro [BDEG] tem as arestas todas iguais porque são diagonais das faces do cubo.

4.2.

4.3. Comecemos por determinar um vetor diretor da reta EC.

Logo, uma equação vetorial é .

Assim , λ ∈ , são as equações paramétricas da reta EC.

4.4. .

O segmento da reta [EG] pode ser definido analiticamente pela condição:

5. *Fixado um referencial ortonormado do espaço e para um dado valor real de k, os vetores

e são colineares. Determine k.

Geometria Resolução5. Dois vetores, com um deles não nulo, são colineares se existir um número real tal que .

Assim, vejamos se existe tal que:

Geometria

Para que os vetores e sejam colineares, tem de ser igual a 1.

6. Fixado um referencial ortonormado do espaço foi representada uma pirâmide quadrangular regular de vértice V(1, 1, 10) e base [ABCD]. Um plano paralelo à base interseta a pirâmide definindo o quadrado [EFGH]. Sabe-se ainda que (1, – 1, – 3),

(– 1, 1, – 3) e (0, 2, 0).

6.1. Determine as coordenadas dos vértices F e G e do vetor .6.2. *Sabendo que a área da base da pirâmide é igual a 36 unidades quadradas,

determine as coordenadas de e do ponto D.

Resolução

6.1.As coordenadas de G são (0, 2, 7).

As coordenadas de F são (2, 2, 7).Para obter as coordenadas do vetor , vamos começar por determinar as coordendas do ponto H:

Então, .

6.2. Sabendo que todos os quadrados são semelhantes entre si e que , sendo r a razão de

semelhança, e .

Assim, .

Como e , temos que r = 3.

Geometria D = (1, 1, 10) + 3 × (– 1, – 1, – 3) = (1, 1, 10) + (– 3, – 3, – 9) = (– 2, – 2, 1)As coordenadas do vetor são (3, 3, –9) e as coordenadas do ponto D são (–2, –2, 1).