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Acerca da Natureza da Luz

Jorge Manuel Torres Pereira IST, 2002

Capitulo 1

ACERCA DA NATUREZA DA LUZ

1.1 Introdu~ao

Ja na Antiguidade Classica os fil6sofos especulavam sobre a natureza da luz e estavam

ao corrente dos fenomenos de reflexao, refrac9ao e propaga~ao rectilinea da luz. as primeiros

escritos sobre estas materias datam de c. 490-430 A.C. e sao atribuidos ao filasofo grego

Empedocles.

Ate meados do seculo XVII considerava-se a luz como sendo constituida por

corplisculos que, a partir da fonte que lhes dava origem, se deslocavam em linha recta. Estes

corplisculos atravessavam os materiais transparentes e eram reflectidos pelos materiais opacos.

Contudo, em meados do seculo XVII, come90u a desenvolver-se a ideia de que a luz possuiria

caracter ondulat6rio (Hooke e Huygens). Este novo modelo para a luz nao foi logo

abertamente aceite pela maior parte dos cientistas da epoca. Sao desta altura os trabalhos de

Newton em aptica que conduziram it sua teoria das cores. Esta teoria, segundo Newton, nao se

apoiava sobre urn modelo particular da natureza da luz, mas adiantava no entanto a sua

2 PROPRIEDADES OPTICAS DOS MATERIAlS

preferencia pelo modelo corpuscular. Em 1678 Huygens demonstrou que as leis da reflexao e

da refrac9ao podiam ser explicadas com base numa teoria ondulatoria da luz.

No principio do seculo XIX as experiencias de Young e Fresnel, sobre os fenomenos de

interferencia e difrac9ao, demonstraram as limita90es da teoria corpuscular da luz e as

vantagens da teoria ondulatoria. Sera 0 trabalho de Maxwell (1873) que ira dar urn impulso

decisivo na aceita9ao da teoria ondulatoria da luz. Maxwell mostrou que urn circuito electrico

oscilador radiava ondas electromagneticas com uma velocidade de propaga9ao igual it 'da

velocidade da luz. Em 1887 H. Hertz efectuou a experiencia crucial. Com unl pequeno

oscilador electrico conseguiu gerar microondas e mostrou que estas possuiam todas as

propriedades das ondas de luz, nomeadamente podiam ser reflectidas, refractadas, etc. Nos

finais do seculo XIX era pois facto assente a teoria electromagnetica da luz que, como

veremos, nao se manteve por muito tempo. Na realidade, quer 0 espectrode emissao do corpo

negro, quer 0 efeito fotoelectrico extemo nao podiam ser explicados pela teoria

electromagnetica.

A solu9ao do primeiro problema por Max Planck (1900) conduziu it resolu9ao do

segundo por Einstein (1905). A ideia proposta por Planck postulava que a energia num feixe

de luz enl vez de se encontrar distribuida no espa90 pelos campos electricos e magneticos de

uma onda electromagnetica, estava concentrada em quantidades discretas de energia que

designou por "quanta". A cada "quantum" associou uma energia hf em que h e a constante de

Planck e f a frequencia da onda electromagnetica associada. Einstein desenvolveu esta ideia e

aplicou-a ao efeito fotoelectrico extemo com grande sucesso. No seu modelo a luz transporta

energia de forma identica it que se verifica para as particulas, em que cada quantum de luz, 0

fotao, possui uma el1ergia E=hf e urn momenta p=hf/v, em que v e a velocidadede propaga9ao

da luz no meio. 0 efeito fotoelectrico extemo baseia-se na transferencia de energia do fotao

para 0 electrao. A confinna9ao experimental desta teoria foi feita por Millikan (1906) que nao

so verificou 0 :valor da energia do fotao como tambem fez a primeira medida da constante de

Planck. No entanto a teoria corpuscular da luz so veio a ser definitivamente aceite apos os

resultados experimentais de A. H. Compton (1921) sobre a dispersao de Raios-X. Compton

conseguiu detenninar 0 movimento de urn fotao e de urn unico electrao antes e depois da

colisao entre eles tendo mostrado que 0 fotao- e 0 electrao se comportavam como particulas

materiais com energia cinetica e momenta conservados durante a colisao, como seria de

3 1. ACERCA DA NATUREZA DA LUZ

esperar para particulas classicas.

A natureza da luz parece pois depender dos fenomenos fisicos em analise. Se para

alguns casos 0 fotao e 0 modelo adequado ja para outros e necessario recorrer ao modelo da

onda electromagnetica. Cada urn dos modelos e so por si incompleto e por isso ambos devem

ser considerados, no estado actual dos conhecimentos cientificos.

1.2 Onda plana monocromatica; velocidade de Case e velocidade de grupo

A natureza electromagnetica da luz e regida pelas equa90es de Maxwell, escritas no

sistema MKS:

rotE=_aBat

(1.1)

rot H = J+ aDat

divD = p

div B = 0

Nestas equa90es E e H representam os vectores campo electrico e magnetico

respectivamente, D 0 vector deslocamento electrico e B 0 vector indu9aO magnetica. J e p

representam as fontes de corrente e carga respectivamente. As grandezas atras definidas

dependem em geral do espa90 e do tempo, e.g. E=E (x,Y,z,t). As fontes de carga e corrente

estao relacionadas atraves da equa9ao da continuidade:

,...,. J aplilV =-- (1.2)at

As rela90es constihltivas do meio sao

(1.3)

em que J.! e a permeabilidade magnetica do meio e E a sua permitividade electrica. Para meios


isotropicos J.l e Esao escalares.

Se os vectores B, E, H e D forem nln90es sinusoidais do tempo, eles podem ser

representados pelas suas amplitudes complexas e as equa90es (1.1) tomarao a fonna

rot E=-j oS

rot FI=J+joD (1.4)

div D=p

div B=O

tendo desaparecido a dependencia explicita com 0 tempo, e em que

De (1.1) para (1.4) passou-se do dominio do tempo para 0 dominio da frequencia. Em

(1.4) os campos dependem nao s6 do espa90 como tambem da frequencia. Como normalmente

s6 se lida com uma dada frequencia ha a tendencia para se esquecer este pormenor.

No espa90 livre J.l=J.lo=41txIO-7 Him e E=Eo=8,854xIO-12 F/m e as equa90es de Maxwell

podem escrever-se

rotE=_aB (I.5a)at

rotH = ao (I.5b)at

div 0=0 (I.5c)

div B =0 (I.5d)

atendendo a que J=O e p=O.

Aplicando 0 operador rotacional a ambos os membros da equa9ao (I.5a) vern

5 10 ACERCA DA NATUREZA DA LUZ

rot r oE =- ro(~~) (1.6)

d hE. -I afE. =_..2..- (r 01at

E utilizando as equa~oes (1.5b), (1.5c) e (1.3) obtem-se

(1.7)

designada por equa~ao de onda.

A equa~ao (1.7) escrita em termos de amplitudes complexas e dada por

(1.8)

Equa~oes identicas seriam obtidas para 0 campo magnetico H.

Definindo C = 1/JIJ-o Eo , sendo c a velocidade de propaga~ao de luz no vacuo, ter-se-a

para (1.7) e (1.8)

2 lapE--1- a E =0

C 2 at2

e (1.9)

1apE + (~ ) 2E=0

As equa~oes (1.9) sao equa~oes diferenciais vectoriais e cada uma delas pode ser

decomposta em tres equa~oes diferenciais escalares, correspondentes as componentes segundo

x, ye z.

A partir de (1.8), e considerando somente a componente do campo segundo z, epossivel

escrever


ou (1.10)

Considere-se uma solU9ao do tipo

-E -E e-j(kxx+kyy+kzz) = -E e-j(k ,r)z= zO zo (1.11 )

sendo k 0 vector de propaga9ao e em que Ezo e uma constante arbitraria.

Substituindo (1.11) em (1.10) vern:

(1.12)

designada por rela9ao de dispersao. Esta rela9ao de dispersao sera a mesma para as

componentes do campo segundo x e segundo y. Embora (1.12) so seja valida para 0 espa90

livre, pode tambern ser aplicada ao espa90 material isotropico desde que J=O e p=O. Neste

caso k2=ro2J.lE sendo J.l e E a penneabilidade magnetica e a pennitividade electrica

respectivamente do meio isotropico considerado.

Com base na solU9ao (1.11) que matematicamente descreve uma onda electromagnetica

plana pode obter-se em valores instantaneos Ez(r,t),

Ez(r, t) =Feal {Ez ei rot} =Feal {EzO e+Krot -(k, r) (1.13)

o vector k, designado por vector de propaga9ao, determina a direc9ao de propaga9ao da

onda electromagnetica plana, Fig. 1.1. 0 modulo de k, k, designa-se por numero de ondas e

pode ser expresso em termos do comprimento de onda Ada radia9ao por

(1.14)


y t' O> to

, '1:= to k

,

',t= to ",, , , , , , , , ,

~---------'x

Fig. 1.1 - Vector de onda k.

Em geral k pode ser definido por tres componentes todas diferel1tes de zero. Havera pois

tambem tres componentes para E e H , no caso geral. Contudo, 0 facto de as ondas serem

planas obriga a que sejam verificadas certas rela90es vectoriais entre E,H eke por isso, para

uma dada direC9aO de propaga9ao, nem todas as componentes de E e H existenl ja que os tres

vectores devem ser mutuamente perpendiculares entre si. Estas conclusoes sao retiradas das

equa90es de Maxwell (1.4) quando as solu90es sao ondas planas, de modo a que 0 operador

a a b ·'d ·k T (axa Ux + ay Uy+ az Uz = possa ser su StItUl 0 por -J . em-se entao

(1.15)

k xH=-roD

ou de (1.3)

(1.16)

kxH=-ffiEE

Estas rela90es onde a dependencia temporal e espacial foram elinlinadas permitem

provar a mutua perpendicularidade entre os vectores k, E e H, Fig. 1.2.


E

~------"'k

H

Fig. 1.2 - Orienta9iio relativa dos veetores E, H e k assoeiados a uma onda plana.

De (1.16) obtem-se

(1.17)

com Z a impedancia caracteristica da onda que, para 0 espa90 livre, toma 0 valor aproximado

de 3770.

Se por exemplo 0 campo E= EM e-j /izUx k =k z Uz, entao H sera dirigido segundo +y

e vern dado por

e (1.18)

E = EM coS(rot - kzz) Ux

Os campos E e H estao em fase em todo 0 espa90 e, nllm dado instante t, a sua

amplitude varia no espa90 de acordo com a Fig. 1.3.


z

y

Fig. 1.3 - Variar;iio da amplitude de E e H ao longo da direcr;iio de propagar;iio.

A del1sidade de fluxo de energia em cada ponto do espa90 e definido pelo vector de

Poynting 5 = Ex H e tern unidades de W/m2 • S possui a nlesrna direc9ao e sentido de k. Com

base na equa9ao (1.18), S pode ser expresso por

(1.19)

o vector de Poynting cornplexo e definido pela amplitude complexa

(1.20)

e 0 seu valor medio

< S>= ~ Kea/fE x R*} (1.21)

Ainda considerando 0 exemplo que conduziu as equa90es (1.18), ter-se-a 5 =E~/Zuz

que e real pois E e H estao em fase.

A densidade de energia electrica associada a onda plana e dada por

(1.22)

e a densidade de energia magnetica

(1.23)


No espa90 livre, we == Wm e por isso

W=We +Wm = EoE~ co~(rot -kzz) (1.24)

e <W>=2"1 EO E2 M· (1.25)

Sendo assim, de (1.21) e (1.17) tem-se:

z

z

Fig. 1.4 - Amplitude do campo electrico, em dois instantes t] e t2 (t2>t), associado a uma onda plana

que se propaga segundo z .

< S>= ~CEoE~ e (1.26)

<W>= <S> e

Vma das propriedades mais importantes de uma onda plana e a sua velocidade de

propaga9ao que se designa por velocidade de fase, Fig. 1.4. A velocidade de fase e definida

como sendo a velocidade do plano de fase constante. Para as ondas dadas por (1.18)

corresponde a ter-se

(rot - k zz) = ete (1.27)

A velocidade de fase obtem-se de (1.27) e e dada por

11 10 ACERCA DA NATUREZA DA LUZ

dz OJVj=-=- (1.28)

dt kz

Vma onda plana, no espa90 livre possui por isso uma velocidade de fase que eigual it

velocidade de propaga9ao de luz no vazio.

As ondas planas, de acordo com a defini9ao dada, ocupam 0 espa90 entre - 00 e +00 por isso

nao podem transportar infonna9ao. A velocidade de grupo tern por isso maior significado

fisico que a velocidade de fase e representa a velocidade de transmissao de energia ou

infonna9ao.

Considerem-se por isso sinais obtidos pela sobreposi9ao de urn numero finito ou infinito

de ondas planas com valores diferentes de k (ou ill). No caso de 0 nunlero de ondas planas que

se sobrepoem ser finito, 0 sinal resultante econstituido por urn numero infinito de regioes

onde hi interferencia construtiva, separadas por uma regiao onde hi interferencia destrutiva,

Fig. 1.5.

Se 0 numero de ondas planas for infinito, e estas possuirem valores de k muito

pr6ximos, entao 0 grupo de ondas resultantes possui uma unica regiao onde hi interferencia

construtiva, sendo a interferencia destnltiva no espa~o restante, Fig.l.6.

Fig.l.5 - Grupo de ondas obtido por sobreposi~ao de duas ondas planas de igual amplitude mas k

diferentes.


Fig. 1.6 - Grupo de ondas obtido por sobreposi~aodum numero infinito de ondas planas.

A velocidade de propaga9ao do grupo de ondas epor defini9ao a velocidade do seu

centro e designa-se por velocidade de grupo. Ede real9ar que cada onda plana que contribui

para 0 grupo de ondas propaga-se conl a velocidade de fase vi' definida por (1.28).

A expressao analitica para a velocidade de grupo vg, pode ser obtida considerando uma

situa9ao simples resultante da sobreposi9ao de duas ondas planas com valores diferentes de co

e k. Escrevendo a equa9ao de onda na forma

Y= A cos (rot - kz) (1.29)

o grupo de ondas vira:

(1.30)

Fazendo

e

com

e (1.31)

e

com


e (1.32)

e atendendo a rela9ao trigonometrica cosa + cos~ = 2 cos [(a+~)/2] cos [(a-~)/2], pode

escrever-se (1.30) como

ou

y = [2Acos (L1rot-L1k)¥Xos (root-koz) (1.33)

com roo, ko, L1ro e L1k definidos em (1.31) e (1.32).

o factor entre parentesis rectos representa lIma amplitude variavel, em vez da amplitude

constante utilizada em (1.29). A ful1<;ao cos(L1rot-Ma) traduz a envolvente da fun9ao

cos (root- kot),a velocidade de grupo estando associada a velocidade de propaga9ao da

envoivente. Tambem neste caso se deve verificar a rela9ao

L1 rot - L1 k =z Cte (1.34)

e por isso

que no limite

Vg-- dro I (1.35)d k k=ko

Como para 0 espa90 livre k= roJJlOEO tem-se:

1vg = =C=V, (1.36)JJlO EO

Em geral k nao varia lineannente com ro e por isso v9 ,*v,.

- - - - - - - -


ro

Vg(roo) ~.

roo

k

Fig. 1. 7 - Interpreta~iio grafica da velocidade de grupo e velocidade de fase.

1.3 Interferencia

Quando as ondas planas monocromaticas se propagam num dado meio e nao ha

acoplamento entre elas, i.e., a presen9a de varias ondas num dado ponto nao afecta as suas

caracteristicas individuais (amplitude, frequencia, vector de propaga9ao) e valido 0 principio

da sobreposi9ao: em cada ponto do espa90 0 valor instantaneo da onda resultante e a soma

algebrica dos valores instantaneos, nesse ponto, das ondas individuais presentes.

Considerem-se por exemplo duas ondas planas transversais propagando-se segundo z,

como na Fig. 1.8.

x

z

Fig. 1.8 - Sobreposi~iio de duas ondas planas que se propagam segundo z.


(1.37)

em que <P1, <P2 representam a fase relativa.

Pelo principio da sobreposi9ao:

(1.38)

Considere-se, por simplicidade, duas ondas planas com igual amplitude, frequencia e

comprimento de onda, mas fases diferentes. Assume-se que a diferen9a entre fases econstante

como e 0 caso das ondas emitidas por duas fontes coerentes (Lasers), Fig. 1.9. Podem

considerar-se duas situa90es que permitem gerar duas ondas planas nas condi90es referidas

anteriormente, Fig. 1.9(a) e Fig. 1.9(b):

(a) Utiliza9ao de duas fontes 81, 82 independentes para emissao simultanea de ondas

planas com a mesma frequencia, amplitude e comprimento de onda, mas diferen9a de fase

constante.

(b) Como em (a) mas utilizando uma so fonte. A diferen9a entre ae a'e desprezavel, em

virtude do comprimento L ser elevado.

81

-=---_-=L~_-----I

82

b ~

Alva Alva

(a) (b)

Fig. 1.9 - Interferencia entre duas ondas planas.


A interferencia entre as duas ondas so edetectivel quando A e a distancia entre as fontes

emuito menor que L.

Vern entao para

(1.39)

sem perda de generalidade, <1'1=0 e <1'2=- a, donde

(1.40)

e, em valores instantalleos:

(1.41)

As condi~5es para interferencia construtiva sao verificadas quando

~ =nn n =0, ± 1, ±2, ... (l.42a)

e para interferencia destrutiva

~=(n+~)n n=0,±1,±2,oo. (l.42b)

A diferen~a de fase a pode ser expressa em tennos da diferen~a de caminho percorrido

~ k~ 27[8. _.. ~". . u, a. = U = T' que permlte escrever as expressoes antenores, para InterlerenCla construtlva:

8=nA n =0,1,2, ... (l.43a)

e destrutiva

(l.43b)


Para a situa9ao da Fig. 1.9 (a), pode escrever-se:

(1.44)

e observar-se-ao maximos no alvo para angulos eque verificam a condi9ao

Asere =-n n = 0, ± 1, ± 2, ... (1.45a)b

e minimos quando everifica a condi9ao:

sen8=; (n+~) n =0, ±1, ±2, ... (1.45b)

Definindo a intensidade associada it onda como

vern (1.46)

1.4 Difrac~ao

A difrac9ao e basicamente urn tipo de interferencia, resultante da interac9ao de unla

onda com urn obstaculo ou urn pequeno orificio. A condi9ao para que a difrac9ao tenha lugar e

a de que 0 comprimento de onda A~ d, sendo d a dimensao do obstaculo ou orificio. Se as

distancias da fonte ao orificio e do orificio ao alvo forem muito grandes (comparadas com A),

entao as ondas incidentes no orificio e no alvo sao convenientemente aproximadas por ondas

planas e a difrac9ao chama-se de Fraunhofer. Quando as ondas incidentes e difractadas nao sao

planas 0 fenomeno e designado por difrac9ao de Fresnel.

A difrac9ao de Fraunhofer pode ser explicada com base no principio de Huygens,

embora urn tratamento mais rigoroso resulte da aplica9ao das equa90es de Maxwell.

De acordo com 0 principio de Huygens uma onda plana ao chegar ao pequeno orificio

circular vai dar origem ao aparecimento de varias ondas esfericas. Estas novas ondas possuem


uma rela~ao de fase fixa com a onda incidente, e por isso tambem entre si, propagando-se em

direc~ao ao alvo, Fig. 1.10. A origem das ondas geradas e em todos os pontos da area da

abertura e a diferen~a de fase entre duas 011das adjacentes e infinitesimal. A difrac~ao resulta

da interferencia entre estas ondas a distancias grandes dos pontos onde sao geradas.

011das

planas

\~ Dndas geradas

Fig. 1.10 - Difracr;ao da luz de acordo com 0 principio de Huygens. Mostram-se so tres do numero

infinito de pontos em que as ondas esfericas tem origem.

o tratamento matematico e grandemente simplificado se se considerarem as ondas

incidente e geradas como sendo ondas planas. As ondas geradas propagam-se em todas as

direc~oes. Se a abertura for dividida em N sec~oes, cada uma delas dando origem a ondas

planas de igual amplitude, pode generalizar-se 0 tratamento expressopela equa~ao (1.39). Para

isso considera-se a geometria da Fig. 1.11 que consiste em N fontes de ondas planas supostas it

distancia L do alvo onde serao observadas as figuras de interferencia.

Supoe-se que a distancia da fonte i ao alvo e Pi(i = 1, 2, ... N) e que os raios sao

paralelos, mantendo-se a diferen~a de fase entre raios luminosos adjacentes como representado

na Fig. 1.9.

No alvo, a onda resultante pode ser escrita por

(1.47)

ou ainda x=Feal {X1M &rot ~ e-j k~ } (1.48) 1=1

---


------8-

PN

PN-I

N-I

N

IPi+l D

i+l Pi I

P3

P2

PI

1........------- L ---------ALva

Fig. 1.11 - Modelo utilizado na analise das figuras de interferencia.

Definindo 8 = Pi+l - Pi i=1,2, ...,N-1, ter-se-a

PN- P1 (N-1)8 (1.49)

por sua vez, colocando em evidencia e-jkp1 ,

(1.50)

Por sua vez

N-1 N-1L e-jk(i-1)8 = L e-jkm8 (1.51 ) i=1 m=O

Utilizando a relayao


(1.52)

pode escrever-se

~1 e-jkmo = 1 - ejkNo

m=O 1 - e-jkD (1.53)

portanto

(1.54)

Pode ainda dar-se olltra forma ao resultado, trabalhando a equa~ao (1.53):

O j'kN~ _j kNo (e jk: _ e ~NO) . sen(_KN_O)1 - e-J u e 2 _lko 2

~-.......;;;....--=-- =e 2 (1.55) e-jkD1 - _L'52. (~ _L.!52.) (KD)e 2 e 2 -e 2 S3n ""2

Assim,

(1.56)

Sendo a intensidade

x2 sen 2(k~) I =< x2 >= ---.!M. ----

2 serf(k~ )

(1.57)

e substituindo 8 = b sen 8 e k = 2WA ter-se-a:

2 1= X 1M

2

sen 2[NrtbSeneJ A

serf[1tb~n9J (1.58)


Na Fig~ 1.12 esta representada a intensidade I em fun9ao de sene == 8 au OIL == 8.

2x 2 I=---lM..N

2

~ 2A senS b

Fig. 1.12 - Intensidade no alvo emfun9iio de e~ ou D/L, para 10 fontes, dada pela equa9iio (1.58). Havendo N fontes havera N-l minimos entre dois maximos principais.

A transposi9ao do tratamento anterior para 0 fen6meno de difrac9ao descrito

inicialmente, em virtude do numero de fontes ser infinito, obriga autiliza9ao do integral em

vez do somat6rio em (1.50), devendo escrever-se

d /2 }X = Feal x: ei{rot -kp1) Je-jkysen9 dy (1.59)

{ -d/2

em que XM traduz amplitude da onda incidente, com os restantes parametros definidos na Fig.

1.13.

b

y = d/2 - - - -

°t-Y--- 1\

1\a ---- ~----------y=o

'~Yasene

ALVOY = -d/2 - - - -

-------- L -----..

Fig. 1.13 - Identifica9iio dos parametros utilizados na equa9iio (1.59).


Calculando °integral de (1.59), obtem-se

(1.60)

epara

2 sen 2 (1tdSene)I = _X_M A__

2 (ltdrne ) 2 (1.61)

que esta representada na Fig. 1.14.

.A. 2A 3A senS d d d

Fig. 1.14 - Figura de difracr;iio de Fraunhofer obtida com uma so abertura e dada pela equar;iio

(1.61).

1.5 Efeito fotoelectrico externo

Como ja foi referido, ° efeito fotoelectrico extemo requer uma explica9ao baseada na

natureza corpuscular da luz em que se admite que a energia E de cada fotao e proporcional a frequencia f da luz, isto e,


E=hf (1.62)

em que h e a constante de Planck, h =6, 626075~0) x 10-34 J s.

o efeito fotoelectrico extemo consiste na liberta<;ao de electr5es de urn metal quando a

radia<;ao incidente possui uma frequencia maior que urn dado valor critico, fc. Para frequencias

menores que fc nao ha liberta<;ao de electr5es, independentemente da intensidade utilizada.

A observa<;ao do efeito fotoelectrico extemo pode ser feita utilizando a montagem da

Fig. 1.15, em que se faz incidir radia<;ao ultra-violeta num electrodo de s6dio. Os electr5es

libertados poderao ser atraidos para 0 outro electrodo, se carregado positivamente, e a corrente

no circuito pode ser medida atraves do micro-amperimetro. 0 esquema de liga<;ao das baterias

permite rnodificar a polaridade dos electrodos e por isso anular a corrente no circuito exterior

para urn determinado valor da tensao entre eles, que passaremos a designar por Vc (tensao de

corte).

A 1-----__.

v.v. v

Fig. 1.15 - Circuito destinado a estudar experimentalmente 0 eJeitoJotoelectrico externo.

Urn dos resultados mais surpreendentes desta experiencia consiste nas curvas I(V) para

radia<;ao ultravioleta com a mesma frequencia e varias intensidades, i.e., numero de fot5es

incidentes na unidade de tempo, e que se encontra representado na Fig. 1.16 (a). Fig. 1.16 (b)

rnostra 0 andamento I(V) para a radia<;ao incidente com intensidade constante e varios valores

da frequencia.

o rnodelo ondulat6rio para a luz faria preyer que a urn aurnento de intensidade da

24 PROPRlEDADES OPTlCAS DOS MATERIAlS

radiayao correspondesse unl aumento de energia cinetica dos electroes emitidos e por isso

obrigando Vc a ser mais negativo. Este efeito e no entanto so conseguido atraves de urn

aumento da frequencia, como se verifica na Fig. 1.16 (b).

I IIc>IB>IA f > f > f 13 2

ff311~r f 2

VVo (a) (b)

Fig. 1.16 - (a) 1(V) para radia~iio com a mesmafrequencia e varios va/ores de intensidade.

(b) 1(V) para radia~iio com a mesma intensidade e varios va/ores defrequencia.

Para alem disso, se se fizer a representayao de -Vc em funyao da frequencia f, obter-se-a

uma linha recta, Fig. 1.17.

-vc

e = arctg(h/q)

f

Fig. 1.17 - Representa~iio de Vc emfun~iio dafrequencia da radia~iio incidente.


Einstein explicou estes resultados partindo da hipotese de que a radiayao e constituida

por fotoes, cada urn deles com uma energia E= hf. Por sua vez considerou que os electroes no

metal necessitam de uma energia minima para sairem, Emin, e que serao so os mais

energeticos que irao contribuir para a corrente exterior quando V--; - Vc.

Sendo assim, a energia Emin devera ser igual it energia do fotao mais a energia do

electrao associada it tensao VC' isto e,

Emin =hf+qVc (1.63)

e portanto

(1.64)

em que q e 0 modulo da carga do electrao.

Esta expressao justifica 0 .andamento observado na Fig. 1.17 e permite a determinayao

experimental da constante de Planck.

1.6 Efeito de Compton

Urn feixe de raios-X, com urn dado comprimento de onda A, ao incidir num material de

numero atorrtico baixo (e.g. carbono) e deflectido segundo urn dado angulo. A radiayao

emergente possui urn comprimento de onda A'>A, nao explicavel pela teoria ondulat6ria. Mais

surpreendente e que esta alterayao no comprimento de onda nao e observada para as

frequencias mais baixas do espectro electromagnetico. A relayao entre. A'e A pode ser expressa

por

h A

J

- A= moc (1 - cos ~) (1.65)

em que ~ e0 angulo de deflecyao, rna a massa do electrao enl repouso e c a velocidade de

propagayao da luz no vacuo.

Compton explicou 0 resultado expresso por (1.65) analisando, do ponto de vista


classico, a colisao fotao-electrao, Fig. 1.18.

y

electrao apos o choque

A. --G-T ~- \--_--p'-u ... X

fotao incidente ! electrao

fotao deflectido em repouso

Fig. 1.18 - Analise do efeito de Compton.

o fotao ecaracterizado pela energia E= hf e momenta p= h1A enquanto. que 0 electrao

possui energia E= mc2 e momenta p= mv= h1A.

Aplicando 0 principio da conserva9ao da energia, pode escrever-se:

he +m e2 = h,c +nD2 (1.66)A A ~ '---v------.J antes do choque ap6s 0 choque

Sendo m= rno (1.67)

J1-(f)2

A equa9ao (1.66) pode ainda escrever-se:

h h-+rn..c=-+rrc (1.68)A A'flU

A conserva9ao do momenta total implica a conserva9ao das suas componentes segundo

x eye por isso pode escrever-se


h hI = T: xoa«\>+mvcosa (1.69a)

e o=-4ren ep+mvsenaA

Quadrando e sornando as equayoes (1.69a) e (1.69b) obtern-se:

(~) 2 = (~. ) 2 +(mv)2 + ~ (mv)(cos a cos ep-senasenjl .

(1.69b)

(1.70)

De (1.69) tira-se

1 (h h 1 cos a = (m v) \I - -:;: XOa«\»

e substituindo em (1.70) vern:

e (1.71)

(1.72)

Par sua vez, a equayao (1.68) pode escrever-se

h hrnc=---+ mocA A'

Quadrando, tira-se

(1.73)

(1.74)

Subtraindo (1.74) de (1.72) resulta

h (1 11 AI..: (cosep -1) +ma c\I - ~) =0 (1.75)


ou seja

, hA -A = -(1-cos ~) (1.76)moc

A expressao (1.76) foi confinnada experimentalmente por Compton e permite verificar

a correc9ao das rela90es de Einstein para a energia, varia9ao da massa com a velocidade e

ainda 0 caracter corpuscular da radia9ao incidente.

Em virtude de serem conhecidos os valores de h, moe c, pode escrever-se

(m: (1.77)

com ~ Ao == 2, 4 x 10-12 m.

Em virtude do valor extremamente baixo de ~Ao' nao e possivel detectar,

experimentalmente, qualquer desvio do valor de A para as ondas de radio e micro-ondas,

havendo por isso que utilizar radia9ao a que correspondem comprimentos de onda muito mais

CllrtOS, que e 0 caso dos raios-X.

Na Fig. 1.19 mostra-se a varia9ao do valor do comprimento de onda da radia9ao

incidente em fun9ao do angulo de deflec9ao, dado por (1.77).

o n/2 7t

Fig. 1.19 - Varia9iio do valor do comprimento de onda da radia9iio incidente emfun9iio do dngulo de

dejlec9iio.

Na Fig. 1.20 mostra-se 0 espectro electromagnetico onde se destaca a regiao espectral


correspondente it radiayao visivel.

ENERGIA FREQUENCIA COMPRIMENTO DE ONDA (eV) (Hz) ()lID)

109

108

107

106

105

104

103

lif 101

10°

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

10-7

10-8

10-9

10-10

Raios C6smicos

......--- Raios-X ---.I

lif3

lif2

lif 1

lifo 1019

1018

1017

1016

Raios Gama

A{Jlrn)

0,390

0,455 0,492

0,577 0,597 0,622

0,770

Fig. 1.20 - Espectro Electromagnetico.

1.7 Bibliografia

- J. F. Borges da Silva, Electrotecnia Teorica I, AEIST, 1995. - D. Lee, Electromagnetic Principles ofIntegrated Optics, John Wiley & Sons, 1986. - K. D. Moller, Optics, University Science Books, 1988. - A. Nussbaum, Electromagnetic Theory for Engineers and Scientists, Prentice-Hall, 1965.

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