Instituto de FısicaMecanica Geral

Prof. Marcelo Chiapparini

Lista 1 - As leis do movimento de Newton

Espaco e tempo

1. Dois vetores estao dados como b = (1, 2, 3) e c = (3, 2, 1). Encontre b + c, 5b− 2c, b · ce b× c.

2. Um dos varios usos do produto escalar e o de encontrar o angulo entre dois vetores.Encontre o angulo entre os vetores b = (1, 2, 4) e c = (4, 2, 1).

3. Calculando o produto escalar, encontre os valores do escalar s para o quais os dois vetoresb = x + sy e c = x− sy sao ortogonais. Explique sua resposta com um desenho.

4. (a) Prove que o produto escalar e distributivo, isto e, r · (u + v) = r · u + r · v.

(b) Se r e s sao dois vetores dependentes do tempo, prove que a regra para derivar umproduto se aplica ao produto escalar r · s, isto e, que

d

dt(r · s) =

dr

dt· s + r · ds

dt.

5. Uma partıcula se movimenta num cırculo de centro O e raio R com velocidade angularconstante ω no sentido anti-horario. O cırculo descansa no plano xy e a partıcula estasobre o eixo x em t = 0. Mostre que a posicao da partıcula esta dada por

r(t) = xR cos (ωt) + yR sin (ωt).

Encontre a velocidade e aceleracao da partıcula. Qual e a magnitude e direcao da ace-leracao? Relacione seus resultados com as bem conhecidas propriedades do movimentocircular uniforme.

6. Seja u um vetor arbitrario, unitario e fixo. Mostre que qualquer outro vetor b satisfaz

b2 = (u · b)2 + (u× b)2.

7. (a) Prove que o produto vetorial e distributivo, isto e, r× (u + v) = r× u + r× v.

(b) Se r e s sao dois vetores dependentes do tempo, prove que a regra para derivar umproduto se aplica ao produto vetorial r× s, isto e, que

d

dt(r× s) =

dr

dt× s + r× ds

dt.

Cuidado com a ordem dos fatores.

8. Se r, v e a denotam a posicao, velocidade e aceleracao de uma partıcula, prove que

d

dt[a · (v × r)] = a · (v × r).

Primeira e Segunda Lei de Newton, sistemas inerciais

9. Encontre a solucao geral da equacao diferencial de primeira ordem df/dt = f parauma funcao incognita f(t). [Existem varias maneiras de fazer isto. Uma e reescrever aequacao como df/f = dt e entao integrar ambos lados.] Quantas constantes arbitrariastem a solucao? [Sua resposta deve ilustrar o importante teorema geral que estabeleceque toda equacao diferencial de ordem n contem n constantes arbitrarias.)

10. A “marca registrada”de um sistema de referencia inercial e que qualquer objeto sujeito auma forca lıquida zero se movimentara numa linha reta com velocidade constante. Parailustrar isto, considere o seguinte: voce esta em pe ao nıvel do chao na origem de umsistema inercial S e chuta um taco sem atrito na direcao Norte.

(a) Escreva as coordenadas x e y do taco como funcao do tempo como vistas desdeseu sistema inercial. (Use os eixos x e y apontando para o Leste e Norte respecti-vamente.) Considere agora outros dois observadores, o primeiro em repouso numsistema S ′ que viaja com velocidade constante v para o Leste relativo a S, o se-gundo em repouso num sistema S ′′ que viaja com aceleracao constante para o Lesterelativo a S. (Todos os tres sistemas coincidem no momento em que voce chuta otaco, e S ′′ esta em repouso relativo a S no mesmo momento.)

(b) Encontre as coordenadas x′ e y′ do taco e descreva a trajetoria do taco como vistadesde S ′.

(c) Faca o mesmo para S ′′. Qual dos sistemas e inercial?

A conservacao do momento linear

11. As leis de conservacao, como a conservacao do momento linear, com frequencia fornecemuma surpreendente quantidade de informacao sobre o possıvel resultado de um experi-mento. Aqui temos provavelmente o exemplo mais simples: dois objetos de massas m1

e m2 se encontram livres de forcas exteriores. O objeto 1 esta viajando com velocidadev quando colide com o objeto 2 que se encontra em repouso. Os dois objetos colam esaem se movimentando juntos com uma velocidade v′. Use a conservacao do momentopara encontrar v′ em termos de v, m1 e m2.

A Segunda Lei de Newton em coordenadas Cartesianas

12. Uma bola de golfe e lancada desde o nıvel do chao com velocidade v0 na direcao Lesteformando um angulo θ com a horizontal. Desprezando a resistencia do ar, use a SegundaLei de Newton para encontrar a posicao como funcao do tempo, usando coordenadas xapontando para o Leste, y para o Norte e z verticalmente para cima. Encontre o tempoque leva a bola para retornar ao chao e a distancia horizontal percorrida.

13. Um aviao, que esta voando horizontalmente com uma velocidade constante v0 a umaaltura h por cima do nıvel do mar, deve lancar um pacote de suprimentos para umnaufrago sobre uma pequena jangada.

(a) Escreva a Segunda Lei de Newton para o pacote quando ele cai do aviao, supondoque pode desprezar a resistencia do ar. Resolva suas equacoes para obter a posicaodo pacote em voo como funcao do tempo.

(b) A que distancia antes da jangada (medida horizontalmente) o piloto deve deixarcair o pacote para atingir a jangada? Qual e o valor dessa distancia se v0 = 50 m/s,h = 100 m e g ≈ 10 m/s2?

(c) Dentro de qual intervalo de tempo (±∆t) o piloto deve deixar cair o pacote se devepousar dentro de ±10 m da jangada?

14. Uma bola e lancada com velocidade inicial v0 para cima de um plano inclinado. Oplano esta inclinado num angulo φ por cima da horizontal, e a velocidade inicial da bolaforma um angulo θ por cima do plano. Escolha os eixos com x apontando paralelo aoplano para cima, y normal ao plano e z perpendicular ao plano xy. Escreva a SegundaLei de Newton usando esses eixos e encontre a posicao da bola como funcao do tempo.Mostre que a bola pousa a uma distancia R = 2v20 sin θ cos(θ+φ)/(g cos2 φ) do ponto delancamento. Mostre que para v0 e φ dados, a maxima distancia que pode ser alcancadasobre o plano e Rmax = v20/[g(1 + sinφ)].

15. Um canhao lanca uma bola formando um angulo θ sobre a horizontal.

(a) Desprezando a resistencia do ar, use a Segunda Lei de Newton para encontrar aposicao da bola como funcao do tempo. (Use eixos com x medido horizontalmentee y verticalmente.)

(b) Seja r(t) a distancia da bola desde o canhao. Qual e o maior valor possıvel de θpara que r(t) aumente durante o voo da bola? [Ajuda: usando sua solucao paraa parte (a) escreva r2 como x2 + y2, e entao encontre a condicao para que r2 sejasempre crescente.]

Coordenadas polares em duas dimensoes

16. Um astronauta no espaco livre de gravidade esta fazendo girar num cırculo, com veloci-dade angular constante ω, uma massa m afixada no extremo de uma corda de compri-mento R. Escreva a Segunda Lei de Newton em coordenadas polares e encontre a tensaoda corda.

17. Prove que a transformacao de coordenadas retangulares para coordenadas polares bi-dimensionais e vice-versa esta dada pelas seguintes quatro equacoes

x = r cosφy = r sinφ

}⇐⇒

{r =

√x2 + y2

φ = arctan(y/x).

Explique porque a equacao para φ nao esta completa e forneca uma versao completa.

18. Verifique por substituicao direta que a funcao φ(t) = A sin(ωt)+B cos(ωt) e uma solucaoda equacao diferencial de segunda ordem φ = −ω2φ. (Uma vez que a solucao tem duasconstantes arbitrarias – os coeficientes das funcoes seno e cosseno – ela e, de fato, asolucao geral.)

19. Prove que se v(t) e qualquer vetor que depende do tempo (por exemplo, a velocidadede uma partıcula que se movimenta) de magnitude constante, entao v(t) e ortogonal av. Prove tambem a recıproca: se v(t) e ortogonal a v, entao |v(t)| e constante. [Ajuda:considere a derivada de v2.] Este e um resultado muito util. Ele explica porque, emcoordenadas polares bi-dimensionais, dr/dt tem que estar na direcao de φ e vice-versa.Tambem mostra que a velocidade de uma partıcula carregada num campo magnetico econstante, devido a que a aceleracao e perpendicular a velocidade.

20. Seja a posicao de um ponto P em tres dimensoes dada pelo vetor r = (x, y, z) emcoordenadas retangulares (ou Cartesianas.) A mesma posicao pode ser especificada porcoordenadas polares cilındricas, (ρ, φ, z), as quais sao definidas da seguinte forma:seja P ′ a projecao de P sobre o plano xy; ou seja, P ′ tem coordenadas CartesianasP ′ = (x, y, 0). Entao ρ e φ sao definidas como as coordenadas polares bi-dimensionaisde P ′ no plano xy, enquanto z e a terceira coordenada Cartesiana, sem mudanca.

(a) Faca um grafico para ilustrar as tres coordenadas cilındricas. Forneca expressoespara ρ, φ, z em termos das coordenadas Cartesianas x, y, z. Explique em palavraso que e ρ (“ρ e a distancia de P ao . . . . . . ”).

(b) Descreva os tres vetores unitarios ρ, φ, z e escreva a expansao do vetor posicao rem termos desses vetores unitarios.

(c) Derive duas vezes sua ultima resposta para encontrar as componentes cilındricas daaceleracao a = r da partıcula. Para isso necessitara saber as derivadas temporaisde ρ e φ. Voce pode obter esses resultados das expressoes em coordenadas polaresbi-dimensionais, ou pode deriva-las diretamente como no Problema 21.

21. Encontre as expressoes dos vetores unitarios ρ, φ e z das coordenadas cilındricas (Pro-blema 20) em termos dos versores cartesianos x, y e z. Derive essas expressoes comrespeito ao tempo para encontrar dρ/dt, dφ/dt e dz/dt.

22. Imagine dois cilindros concentricos, centrados sobre o eixo vertical z, com raios R ± ε,onde ε e muito pequeno. Uma bola pequena e sem atrito de largura 2ε e inseridaentre os dois cilindros, de forma que pode ser considerada como uma massa pontualque pode se mover livremente mantendo fixa a distancia ao eixo vertical. Se usarmoscoordenadas cilındricas (ρ, φ, z) para sua posicao (Problema 20), entao ρ esta fixo emρ = R, enquanto φ e z podem variar a vontade. Escreva e resolva a Segunda Lei deNewton para o movimento geral da bola, incluindo os efeitos da gravidade. Descreva omovimento da bola.