ADL 24Cap 13 Sistemas de Controle Digital

Vantagens dos Computadores Digitais

O uso de computadores digitais na malha leva s seguintes vantagens sobre os sistemas analgicos: (1) custo, (2) flexibilidade para realizar mudanas de projeto, e (3) imunidade a rudo. Os sistemas de controle modernos requerem o controle simultneo de numerosas malhas presso, posio. velocidade e tenso, por exemplo.

Fig. 13.1 Transformao do sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimutea. controle analgico para;b. controle digital

Fig. 13.2 a. Posicionamento do computador digital na malha;b. diagrama de blocos detalhado mostrando o posicionamento dos conversores

A/D e D/A

Converso Digital-Analgica

A converso digital-analgica simples e efetuada de forma instantnea. Somam-se tenses eltricas ponderada de forma adequada para produzir a sada analgica. Por exemplo, na Fig. 13.3 so somadas trs tenses pondera-das com os pesos 1, 2 e 4. 0 cdigo binrio de trs bits representado pelas chaves. Dessa forma, se o nm. binrio for 1102, as chaves do centro e inferior esto ligadas, e a sada analgica de 6 volts. Na tecnologia atual as chaves so eletrnicas e acionadas pelo cdigo binrio de entrada.

Fig. 13.3 Conversor digital-analgico

Converso Anlogo-Digital

A converso anlogo-digital, por outro lado, um processo de duas etapas e no instantneo. Existe uma defasagem entre a tenso analgica de entrada e a palavra digital de sada. Na converso anlogo-digital, o sinal anlogo primeiro convertido em um sinal amostrado e depois transformado em uma seqncia de nmeros binrios, o sinal digital.A taxa de amostragem deve ser pelo menos duas vezes a banda passante do sinal, ou ocorrer distoro. Esta freqncia mnima de amostragem chamada de taxa de amostragem ou freqncia de Nyquist.

Etapas na converso anlogo-digital: a. sinal analgico;b. sinal analgico depois do amostrador-extrapolador de ordem zero (sample-and-hold);c. converso dos valores das amostras em valores digitais

13.2 Modelando o Computador Digital

Modelando o Amostrador

Considere os modelos de amostragem apresentados na Fig. 13.5. 0 modelo na Fig. 13.5(a) uma chave ligando e desligando segundo uma taxa de amostragem uniforme. Na Fig. 13.5(b) a amostragem tambm pode ser considerada como o produto da forma de onda no domnio do tempo a ser amostrada. f(t), por uma funo de amostragem, s(t). Se s(t) for uma seqncia de pulsos de largura Tw, amplitude constante e taxa uniforme, como mostrado, a sada amostrada, f*Tw(t), consistir numa seqncia de segmentos de f(t) nos intervalos regulares. Esta viso equivalente ao modelo de chave da Fig. 13.5(a).

Fig. 13.5 Duas vistas da amostragem com taxa uniforme:a. abertura e fechamento da chave;b.Produto do sinal no domnio tempo pelo sinal de amostragem

Usando o modelo mostrado na Fig. 13.5(b), temos

(13.1)

onde k um nmero inteiro entre - e +. T o perodo do trem de pulsos, e Tw a largura de cada pulso.

Como a Eq. (13.1) o produto de duas funes do tempo, aplicar a transformada de Laplace para obter urna funo de transferncia no simples. Uma simplificao pode ser feita se admitirmos que a largura uniforme dos pulsos, Tw, pequena em comparao como perodo, T, de modo que f(t) possa ser considerada constante durante o intervalo de amostragem. Durante o intervalo de amostragem. Ento, f(t) = f(kT). Portanto,

(13.2)

para Tw pequeno.A Eq. (13.2) pode ser mais simplificada atravs da viso fornecida pela transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace Eq. (13. 2), temos

(13.3)

Substituindo por sua expanso em srie, obtemos

(13.4)

Para Tw pequeno, a Eq. (13.4) se torna

(13.5)

Finalmente, retomando ao domnio de tempo, temos

(13.6)

onde so funes delta de Dirac.Por conseguinte, o resultado da amostragem com pulsos retangulares pode ser

vista como uma srie de funes delta das quais a rea o produto da largura do pulso retangular pela amplitude da forma de onda amostrada, ou seja, Tw.f(kT).A Eq. (13.6) retratada na Fig. 13.6. 0 amostrador dividido em duas partes: (1) um amostrador ideal descrito pela parte da Eq. (13.6) que no dependente das caractersticas da forma de onda de amostragem e (2) a parte dependente das caractersticas da forma de onda de amostragem, Tw

Fig. 13.6 Modelo de amostragem com trem de pulsos retangulares uniformes

(13.7)

Modelando o Extrapolador de Ordem Zero

Se admitirmos um amostrador ideal (equivalente a fazer Tw = 1), ento f*(t) representada por uma seqncia funes delta. O extrapolador de ordem zero fornece uma aproximao em escada para f(t) Portanto, a sada do extrapolador uma seqncia de funes degrau cuja amplitude f(t) no instante de amostragem, ou seja, f(kT). Uma vez que um impulso nico do amostrador resulta em um degrau durante o intervalo de amostragem, a transformada de Laplace deste degrau de sada, Gh(s). que a resposta do extrapolador ao impulso, funo de transferncia do extrapolador de ordem zero. Usando um impulso aplicado no instante zero, a transformada do degrau resultante que inicia em t = 0 e termina em t = T

Num sistema fsico, os valores das amostras do sinal de entrada, f(kT), so mantidos constantes durante o intervalo de amostragem. Podemos ver, com base na Eq. (13.8), que o circuito extrapolador integra a entrada e retm seu valor durante o intervalo de amostragem. Como a rea sob as funes delta provenientes do amostrador ideal f(kT), podemos ento integrar a forma de onda amostrada ideal e obter o mesmo resultado obtido para o sistema fisico. Em outras palavras, se o sinal amostrado ideal, f*(t), for seguido de um extrapolador, podemos usar a forma de onda amostrada ideal como entrada, no lugar de

(13.8)

Fig. 13.7 Amostragem ideal e extrapolador de ordem zero (z.o.h.)

13.3 A Transformada z

A Eq. (13.7) o sinal amostrado ideal. Aplicando a transformada de Laplace a este sinal amostrado obtemos

(13.9)

Agora, fazendo z = eTs podemos escrever a Eq. (13.9) como

(13.10)

A Eq. (13.10) define a transformada z. Isto , uma F(z) pode ser transformada em. f(kT) ou uma f(kT), pode ser transformada em F(z)

Exemplo 13.1

Transformada z de uma funo do tempo

Problema Determine a transformada z de uma rampa unitria amostrada.

Soluo Para a rampa unitria, f(kT) = kT. Portanto, o degrau amostrado ideal pode ser escrito a partir da Eq. (13.7) como

(13.12)

Aplicando a transformada de Laplace obtemos

(13.13)

Aplicando a transformada z admitindo z-k = e-kTs temos(13.14)

Multiplicando a Eq. (13.14) por z, obtemos

(13.15)

Subtraindo a Eq. (13.14) da Eq. (1.3.15), obtemos

(13.16)

(13.17)Mas,

Substituindo a Eq. (13.17) na (13.16) e resolvendo para F(z), resulta

(13.18)

Tabela 13.1 Tabela parcial de transformadas z e de Laplace