AFRFB_2009_PROVA_COMENTADA

Prof. Rivelino – Matemática Básica

1 http://www.euvoupassar.com.br Repita com fé: Eu Vou Passar

COMENTÁRIO DA PROVA

RECEITA FEDERAL 2009 1. Considere as inequações dadas por:

f(x) = x² - 2x + 1≤ 0 e g(x) = -2x² + 3x + 2 ≥ 0. Sabendo-se que A é o conjunto solução de f(x) e B o conjunto solução de g(x), então Y = A ∩ B é igual a: Solução: x² - 2x + 1≤ 0 →Fatorando, temos:

(x – 1)² ≤ 0 Observando a inequação, concluímos que a mesma é nula para x = 1 e positiva para qualquer outro valor. Portanto, a solução da primeira

inequação é: A = { x / x = 1∈ }

-2x² + 3x + 2 ≥ 0 →Fatorando, temos:

-2 i (x + 12

) i (x – 2) ≥ 0

------------- ++++++++++ ---------------- _________________________

1 - 22

Observando o estudo dos sinais, temos que a solução para a segunda inequação é:

B = { 1x / - x 22

∈ ≤ ≤ }

Portanto, o conjunto Y = A ∩ B é igual a { 1 }.

Item a.

2. Em uma repartição 3/5 do total dos funcionários

são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual dentre as opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?

Solução: Resolver questões de porcentagem atribuindo valores é sempre mais fácil. Como os denominadores das frações que aparecem nas questões são 5, 3 e 4, escolherei um valor para o número de funcionários que seja múltiplo dos denominadores, como por exemplo, 60. Iniciemos os cálculos:

Concursados: 3 F5

→ 36

Não concursados: 2 F5

→ 24

Mulheres: 1 F3

→ 20

Homens: 2 F3

→ 40

Mulheres concursadas: 1 F4

→ 15

Mulheres não concursadas: 20 – 15 = 5 Homens concursados: 36 – 15 = 21 Homens não concursados: 40 – 21 = 19

% homens não concursados = 19 = 31,66%60

Item c.

3. Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em

relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900Km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento?



Solução:

a) Conversão da velocidade:

900km/h : 3,6 = 250 m/s b) Espaço percorrido em 5 segundos:

250 x 5 = 1250 metros (hipotenusa do triângulo)

c) Cálculo da altura atingida pelo projétil:

hsen30 = 1250

1 h = 2 1250h = 625 metrosh = 0,625 km

Item e.

4. Considere um retângulo formado por pequenos

quadrados iguais, conforme a figura abaixo. Ao todo quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser contados nessa figura?

Solução: Quadrados de lado 1 = 18 Quadrados de lado 2 = 10 Quadrados de lado 3 = 04 Total de quadrados = 32

Item b.

5. Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: Solução: a) Precisamos de apenas dois pontos para

determinar uma reta. A B C D

i i i i E i F G i i

b) Observando os pontos temos as possíveis retas:

EA, EB, EC, ED, EF, EG, FA, FB,

FC, FD, FG, GA, GB, GC, GD,

ABCD

Item d.

6. De quantas maneiras podem sentar-se três

homens e três mulheres em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

Solução: Fixando os meninos na roda, as meninas podem ser dispostas de 3! maneiras. Por outro lado, há (3-1)! = 2! modos de formar uma roda só com os meninos (permutação circular).



Assim, 3 meninos e 3 meninas podem ser alternadamente dispostos em uma roda de 2! i 3! = 12 maneiras.

Questão sem opção

7. Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma

pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera?

Solução: a) Admita: Esfera = E ; Cubo = C ; Cone = K e

Pirâmide = P.

b) Montando as equações: E + C = K ( I ) E = C + P ( II ) 2K = 3P ( III )

c) Relacionando Esfera e Cubo: E = C + P (x 3) 3E = 3C + 3P ( trocando 3P por 2K ) 3E = 3C + 2K ( trocando K por E + C ) 3E = 3C + 2 . (E + C) 3E = 3C + 2E + 2C E = 5C

Item e.

8. Se um polinômio f for divisível separadamente por

(x-a) e (x-b) com a≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x-a) e (x-b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x-1) e (x+3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x-1) e (x+3) é igual a:

Solução: Se f é divisível pelo produto ( x – 1 ) i ( x + 3 ),

então, utilizando a expressão D = d i q + r , podemos escrever o polinômio f assim: f = (x – 1) i (x + 3) iQ(x) + R(x)

R(x) tem grau menor que o quociente Q(x), logo, R(x) deve ser, no máximo, do 1° grau. R(x) = ax + b

Reescrevendo f , temos:

f = (x – 1) i (x + 3) iQ(x) + ax + b

Utilizando o teorema do resto: f(1) = 5 →Substituindo x por 1, temos:

a + b = 5 f(-3) = -2→Substituindo x por -3, temos:

-3a + b = -2

Resolvendo o sistema, temos:

a + b = 53a + b = -2

⎧⎨−⎩

7 13a = e b = . 4 4

7 13Assim, R(x) = + 4 4

x

Item a.

9. Com relação ao sistema, x + y + z = 12x - y z + 1 =1,3z + 2 2x + y

⎧⎪⎨ =⎪⎩

onde 3z + 2 ≠ 0 e 2x + y ≠ 0, pode-se, com certeza, afirmar que:



Solução: a) Resolvendo as equações:

2x - y 1 2x - y -3z = 23z + 2

= ⇒

z + 1 =1 2x + y -z = 12x + y

⇒

b) Organizando o sistema:

x + y + z = 12x - y - 3z = 22x + y - z = 1

⎧⎪⎨⎪⎩

c) Colocando o sistema na forma matricial:

1 1 1 12 1 3 = 22 1 1 1

xyz

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

d) Gerando as matrizes:

A=1 1 12 1 32 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Det A = 1 – 6 + 2 + 2 + 2 + 3 = 4

1

1 1 1A = 2 1 3

1 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Det 1A = 1 – 3 + 2 + 1 + 2 + 3 = 6

2

1 1 1A = 2 2 3

2 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Det 2A = - 2 – 6 + 2 – 4 + 2 + 3 = -5

3

1 1 1A = 2 1 2

2 1 1

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Det 3A = - 1 + 4 + 2 + 2 – 2 – 2 = 3

e) Cálculo de x , y e z

6 3x = = 4 2

5y = -4

3z = 4

a) Possui determinante igual a 4. (Que determinante?)

b) É indeterminado. ( F ) c) É impossível. ( F ) d) Possui apenas a solução trivial. ( F ) e) É homogêneo ( F ).

Questão mal elaborada – passível de anulação.

AFRFB_2009_PROVA_COMENTADA

Documents

Transcript of AFRFB_2009_PROVA_COMENTADA