Ajuste de Curvas e Interpolação

Ajustamento de CurvasAjuste Linear

Ajuste PolinomialAjuste não linear

Interpolação Polinomial: forma de Lagrange e de Newton

Ajustamento de Curvas

• Boa Aproximação!!!!

• Caso Discreto (quando f é dado numa tabela de valores)• Caso Contínuo (quando f é dada por sua forma

analítica)

Caso Discreto O problema do ajuste de curvas no caso em que temos

uma tabela de pontos onde escolhemos n funções contínuas e obtemos n constantes, tais que a função ajustada se aproxime se aproxime ao máximo de f(x).

Ajustamento de Curvas

Caso Discreto

Dizemos que um modelo é matemático linear quando determinamos as constantes e elas aparecem linearmente, embora as funções que queremos aproximar sejam exponenciais, quadráticas, etc.

Ajustamento de Curvas

• Primeira pergunta:

Como escolher a função que melhor se ajuste a função contínua?

Observando o gráfico dos pontos tabelados em um diagrama de Dispersão.

Ajustamento de Curvas• Exemplo 1x -1 -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7 1

f(x) 2,05 1,153 0,45 0,4 0,5 0 0,2 0,6 0,512 1,2 2,05

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

Ajustamento de Curvas

• Escolhemos então (x) = x2 é a equação da parábola que passa na origem.

• Existem formas de impormos um desvio mínimo entre a função exata da função aproximada este método chamamos de Método dos Mínimos Quadrados.

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

O problema do ajuste de curvas no caso em que se tem uma tabela de m pontos com x1, x2, x3 , … , xm pertencentes [a,b], consiste em: “escolhidas” n funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),… , gn(x), contínuas em [a,b], obter n constantes a1, a2, a3, …, an tais que a função

ϕ(x) = a1 g1(x) + a2 g2 (x)+ a3 g3 (x)+ … + an gn (x) se aproxime ao máximo de f (x).

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

Este modelo matemático é linear pois os coeficientes que devem ser determinados a1, a2, a3, …, an aparecem linearmente, embora as funções g1(x), g2(x), g3(x), …, gn(x) possam ser

funções não lineares de x, como por exemplo, g1(x)= x^2, g2(x)= e^x, g3(x)= (1+x)^2, etc.

Surge então a primeira pergunta: Como escolher as funções contínuas g1(x), g2 (x), g3(x),

… , gn (x) ?

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

No caso geral, escolhidas as funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), temos de estabelecer o

conceito de proximidade entre as funções ϕ(x) e f(x) para obter as constantes a1, a2, a3, …, an.

Uma idéia é impor que o desvio entre f(x) e ϕ(x), ou seja, dk=(f(xk)-ϕ(xk)) seja mínimo para todos os pontos (k =1, 2, ...., m).

Existem varias formas de impor que os desvios sejam mínimos. Veremos nessa aula o método dos mínimos quadrados.

Seja dk = f (xk) − ϕ (xk) o desvio em xk .

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

Ajustamento de CurvasMétodo dos Mínimos Quadrados

• Seja os dados do Exemplo 1 (anterior) e escolhemos a função (x) = x2 que melhor se ajusta a curva visualizada no diagrama de Dispersão.