AJUSTE DE FUNÇÕES PARA O CRESCIMENTO … · Tabulação de Dados e Modelos A tabela (1) mostra a...

AJUSTE DE FUNÇÕES PARA O CRESCIMENTO POPULACIONAL DA CIDADE DE BENTO GONÇALVES- A MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA NO

ENSINO

Luiz Ambrozi [email protected]

Paulo Pires Rusezyt [email protected]

Pitias Beckestein Paz [email protected]

Julhane Schulz [email protected]

RESUMO: É visível que cada dia mais as cidades de interior encontram-se em um processo de crescimento absurdo. Eventualmente, este processo pode ser aplicado em sala de aula, nos mais diversos níveis de ensino, através da Modelagem Matemática. Este trabalho, apresenta o ajuste de diversos tipos de funções para descrever o crescimento populacional da cidade de Bento Gonçalves. A comparação e avaliação desses ajustes são feita através de funções ajustadas em relação aos dados estatísticos.Como último ajuste foi feito através do modelo proposto por Velhust que resulta a curva logística, com expectativa de estimar em quanto tempo a cidade de Bento Gonçalves estará com sua capacidade populacional máxima atingida. PALAVRAS –CHAVE: Modelagem Matemática, Ensino , Funções.

Introdução

Bento Gonçalves está localizada na região dos vinhedos, no estado do Rio Grande Sul,

mais precisamente na região da serra. Foi habitada inicialmente por indígenas e até 1870

chamava-se Cruzinha, por ser o local onde morreu e foi enterrado um traçador de estradas ou

tropeiro. Por ato do Presidente da Província de São Pedro, com objetivo de ampliar a área de

colonização, foram criadas as Colônias Dona Isabel e Conde D'Eu. Hoje, são as cidades de

Bento Gonçalves e de Garibaldi respectivamente.

A Colônia Dona Isabel, criada em 1870, já era conhecida por Região da Cruzinha,

devido a uma cruz rústica, cravada sobre a sepultura de um possível tropeiro ou traçador de

lotes coloniais. Era época do escambo, ou seja, da troca de mercadoria por mercadoria. A

Colônia Dona Isabel sediava um pequeno comércio no qual os tropeiros faziam paradas para

descanso.

Em 24 de dezembro de 1875, os núcleos do Planalto começaram a receber novos

imigrantes, e em março de 1876, o Presidente do Estado, José Antonio de Azevedo Castro,

anunciava a existência de 348 lotes medidos e demarcados, e uma população de 790 pessoas,

sendo 729 italianos. Ainda em 24 de dezembro de 1875, outros pioneiros oriundos do Tirol

Austríaco e Vêneto chegaram à esplanada, onde hoje está situada a Igreja Matriz Cristo Rei.

O desmembramento da Colônia Dona Isabel do município de Montenegro, foi pelo

Ato 474, de 11 de outubro de 1890, assinado por Cândido Costa, para constituir o município

de Bento Gonçalves. O nome foi dado em homenagem ao general Bento Gonçalves da Silva,

chefe da Revolução Farroupilha ocorrida no Rio Grande do Sul em 1835. Bento Gonçalves

teve seu primeiro impulso de progresso com a vinda da agência do Banco Nacional do

Comércio. Embora tenham encontrado um Rio Grande mais organizado economicamente, os

italianos tiveram de enfrentar dificuldades semelhantes às vividas pelos alemães. Mas, embora

ambas as colonizações tenham sido feitas em zonas de mata, as áreas de ocupação italiana

eram mais altas e mais acidentadas. Enquanto a colonização alemã atingiu seu ponto máximo

em Nova Petrópolis (597 metros de altitude), a italiana se faria em altitudes que variavam

entre 600 e 900 metros.

Em 1940, a população da cidade era de 18.771 habitantes. As principais atividades

econômicas giravam em torno do setor agrícola. Contudo, começaram a surgir várias

indústrias, como acordeões, laticínios, móveis, curtume, fábrica de sulfato e vinícolas.

Através da modelagem matemática e dos dados a partir de 1940, os quais apresentam

mais precisão, tentaremos com este trabalho criar um modelo matemático que estime o

crescimento da população de Bento Gonçalves, com finalidade de auxiliar educadores no

ensino da matemática com turmas de ensino médio, podendo estender-se ao ensino superior.

2. Materiais e Métodos

Para a realização deste trabalho, dispões-se de oito dados estatísticos da população

de Bento Gonçalves, referentes a cada década de 1940 a 2010, conforme senso populacional

realizado pelo IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística.

A metodologia a ser utilizada é a regressão pelo método dos mínimos quadrados. Com

este método é possível ajustar uma função a uma série de pontos. Estes pontos a que nos

referimos, são de origem experimental, podendo haver alguma carga de incertezas voltadas

aos erros experimentais que os associam, sendo que podemos ajustar uma função que se

adapte a uma forma ou tendência de curva através da minimização dos seus erros e a função

ajustada. A técnica a que nos referimos é conhecida como o método dos mínimos quadrados,

que vai se basear na minimização do erro entre a função de ajuste e os dados a ajustar.

O objetivo deste estudo, com base em uma situação problema referente ao crescimento

populacional da cidade de Bento Gonçalves, é poder trabalhar alguns conteúdos com alunos

de ensino médio, tais como função linear, função exponencial e logarítmica, podendo se

prolongar ao ensino superior com estudos de equações diferencias através do Modelo de

Velhust. Enfocando a relação entre ensino – aprendizagem através da modelagem matemática,

que, por sua vez, tem como enfoque tomar situações-problema em modelos matemáticos para

sua solução, como sita Bassanezi (2004): “A modelagem matemática consiste na arte de

transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando

suas soluções na linguagem do mundo real.”

3. Tabulação de Dados e Modelos

A tabela (1) mostra a população de Bento Gonçalves correspondendo a sua respectiva

década, entre a década de 1940 à 2010, com o a quantidade de dados levantados.

Década 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 População 18.771 24.933 33.956 41.979 58.941 78.6943 91.486 107.278

N° de dados 1 2 3 4 5 6 7 8 Tabela 1. População de Bento Gonçalves em Relação à década correspondente.

3.1 Ajuste Linear Este ajuste consiste em encontrar os parâmetros a e b da função linear.

y b ax (1)

Onde y se refere à população decorrente e x se refere aos anos de sua respectiva

população. Foi determinado a reta através do método dos mínimos quadrados, adaptando a

reta de maneira mais eficiência para o crescimento populacional. Os parâmetros a e b são

dados através do sistema,

1 1

2

1 1 1

n n

i i i ii i

n n n

i i i i i ii i i

nb a x y

b x a x x y

(2)

Onde n é o números de dados. Considerando os dados da tabela (1) e resolvendo o

sistema (2), encontramos a = 1313.14 e b = -2.53644, assim para a equação (1) temos:

2,53644 1313,14.y x (3)

A figura (1) mostra o diagrama de dispersão dos dados populacionais e a reta ajustada.

A análise do ajuste é feita através do desvio padrão do ajuste, que é dado por:

n2

i ii 1

( xa x )S

n

(4)

Onde ixa é valor calculado pela curva ajustada no tempo i. Através da equação (4) e

considerando a equação (3) juntamente com os dados da tabela (1), temos para o ajuste linear

um erro padrão de 0.987167.

Figura (1). Diagrama de dispersão reta do ajuste linear.

Com este primeiro modelo já criado, podemos trabalhar conceitos da função linear,

com alunos das turmas do ensino médio, mostrando que este ajuste linear toma forma

parecida com a da reta linear.

3.2 Ajuste exponencial

Nesta secção iremos trabalhar com o ajuste exponencial, dada pela equação de

potência: axy be (5)

Através do método da regressão exponencial, que segue abaixo encontramos os

parâmetros a e lnb.

2 2

( ln ) ( ) (ln )( ) ( )

i i i i

i i

n x y x ya

n x x

(6)

2

2 2

( ) (ln ) ( ln ) ( )ln

( ) ( )i i i i

i i

x y x y xb

n x x

(7)

Substituindo os valores da tabela (1) nas equações (6) e (7) conseguimos encontrar os

valores de a e lnb com seus respectivos valores equivalendo a a = 0.0256532 , lnb = -39.8765.

Após substituímos o valor encontrado em (7), na fórmula (8) que segue abaixo:

lnbb e (8)

Onde conseguimos encontrar o valor de b, que equivale a b = 0184.806800441 10 .

Chegando assim na equação de potência abaixo: 018 0.02565324.806800441 10y e (9)

A figura (2) mostra o diagrama de dispersão dos dados estatísticos e a curva do ajuste

através da função de potência.

Figura 3. Diagrama de dispersão e a curva do ajuste através da função de potência

A partir desse método podemos trabalhar conceitos estatísticos, propriedades da

potenciação, função exponencial e logarítmica.

3.3 Ajustes da função cúbica

Na teoria da regressão por mínimos quadrados, vemos que se obtém os parâmetros a,

b, c na equação y=a+bx+cx²+dx³ (10) ou y= a 2 31 2 3 4y a a a x a x (11). Onde y se refere à

população decorrente e x se refere aos anos de sua respectiva população. Resolvendo o

seguinte sistema com respeito às incógnitas a1,a2,a3, encontradas a partir do sistema abaixo:

2 31 2 3 4

2 31 2 3

41 2² ³ ²

a n a x a x a x ya x a x a x xya x a x x x y

(12)

A partir deste dado encontramos a equação A equação da regressão linear é y =

1.52349e +009 + -2.29868e +006x + 1155.33.x² - 0.193421.x³, que conforme gráfico abaixo é

o que mais se ajusta aos dados inseridos:

Figura 4. Diagrama de dispersão e a curva do ajuste através da função cúbica

Como este modelo é o que mais se ajustou, podemos trabalhar em sala de aula as

funções quadráticas e cúbicas. Observando quais terão melhores respostas.

3.4 Modelo de Velhust

O modelo de crescimento populacional, proposto em 1838, é baseado na avaliação de

estatísticas disponíveis e complementa a teoria do crescimento exponencial com termos

representando os fatores de inibição do crescimento. Uma posterior elaboração foi publicada

num trabalho de 1845. Desde os anos 1970 do século XX a equação logística tem recebido

grande atenção como exemplo importante da teoria do caos. Verlhust publicou em 1838 a

equação logística:

xx ax(1 )k

(13)

Onde k é a capacidade de suporte e a é parâmetro a determinar.

Resolvendo a equação diferencial, temos:

0at

o 0

k.xxx ( k x )e

(14)

sendo 0x a população inicial. Determinando o valor do parâmetro

0.055tk. 18.771x

18.771 ( k 18.771)e

(15)

Foi considerado um ajuste para curva logística, no qual por tentativa e erro

consideramos o valor de k = 130000, chegando a apresentar a uma curva muito satisfatória,

como mostra a figura (4).

Figura 3: Curva Logística com k = 130000

Este modelo utilizado, de certo modo antes da substituição, é uma equação diferencial

que pode ser trabalhado no Ensino Superior, sendo que após a substituição se torna em uma

função exponencial e também poderia ser trabalhada no Ensino Médio. Para todas os ajustes

os autores fizeram a utilização do software free Scilab, que pode juntamente com as funções

encontradas no decorrer do trabalho auxiliar os alunos nas construções de gráficos e de ajustes

das equações, por envolver também as novas tecnologias em ambiente escolar. Todos os

processos de construção dentro do ambiente do software encontram-se em anexo no final

deste trabalho.

Considerações finais

A partir da análise dos dados podemos estimar que a população de Bento Gonçalves

chegará ao seu auge aproximadamente no ano de 2030. Estimando uma população de 130000

habitantes para o ano acima. Percebemos também que podemos fazer várias abordagens para

estudos de funções para as turmas de Ensino Médio e Superior, fazendo despertar o interesse

da pesquisa nos alunos, mostrando que a Matemática se apresenta em diversos meios e

representações, podendo nos dar modelos de fatos ocorridos em nosso cotidiano ou também

pode nos dar estimativas do que poderá acontecer no futuro. Também observamos que a

utilização de ferramentas computacionais como o Scilab são essenciais para fazer a validação

dos dados, pois, como demonstrado no artigo, de todas as equações trabalhadas a que mais se

ajusta é a função cúbica. Além de que ao inserirmos as novas tecnologias em sala de aula

estaremos estimulando o processo de ensino-aprendizagem do aluno.

Referências

BASSANEZI,R.C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto,

2009.

Bavaresco, Delair; Rafikov Marat. Ajuste de funções para o crescimento populacional de

Porto Alegre. Disponível em:

<http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?metodo=apresentar&id=K4792584Z

6&tipo=completo&idiomaExibicao=1>. Acesso em: 10 dez.2011.

Anexos programa Scilab para ajuste das funções

clc

TipoReg = input("Entre com a Equação (Regressão) desejada: 0 = Exponencial; 1 = Linear; 2

= Quadrática; 3 = Cúbica; 4 = 4o Grau; 5 = 5o Grau; 6 = Modelo de Velhust:");

select TipoReg

case 0 then

clc

x = [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8

sx = 0

sy = 0

sxx = 0

sxy = 0

sxlogy = 0

slogy = 0

slnym = 0

for i = 1:n

sx = sx + x(i)

sy = sy + y(i)

sxx = sxx + x(i)*x(i)

sxy = sxy + x(i)*y(i)

sxlogy = sxlogy + x(i)*log(y(i))

slogy = slogy + log(y(i))

slnym = slnym + (log(y(i))/n)

end

printf("O somatório de x é = %g\n",sx)

printf("O somatório de y é = %g\n",sy)

printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sxx)

printf("O somatório de x*y é = %g\n",sxy)

printf("O somatório de x*lny é = %g\n",sxlogy)

printf("O somatório de lny é = %g\n",slogy)

printf("O somatório de lnym é = %g\n",slnym)

a = (n*sxlogy - sx*slogy)/(n*sxx - sx^2)

printf("O valor de a é = %g\n",a)

lnb = (sxx*slogy - sxlogy*sx)/(n*sxx-sx^2)

printf("O valor de lnb é = %g\n",lnb)

b = %e^lnb

printf("O valor de b é = %g\n",b)

printf("A equação da regressão exponencial é y = %g*e^%gx\n",b,a)

plot(x,y,'r*');

Y = b * %e^(a*x)

plot2d(x,Y,2);

xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO GONÇALVES','Anos

de 1940 à 2010','Número de habitantes')

slnyy2 = 0;

slnym2 = 0;

for i = i:n

yy(i) = b*(%e^(a*x(i)))

slnyy2 = slnyy2 + ((log(yy(i))-slnym)^2)

slnym2 = slnym2 + ((log(y(i))-slnym)^2)

end

R2 = slnyy2/slnym2

printf("Coeficiente de correlação e determinação: %g\n",R2)

case 1 then

clc

x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8;

sx = 0;

sy = 0;

sxx = 0;

sxy = 0;

sym = 0;

for i = 1:n

sx = sx + x(i);

sy = sy + y(i);

sxx = sxx + x(i)*x(i);

sxy = sxy + x(i)*y(i);

end



printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sxx)


A = [n sx;sx sxx];

B = [sy; sxy];

S = inv(A)*B;

printf("A solução do sistema é %g e %g\n",S(1),S(2))

a0 = S(1)

a1 = S(2)

printf("A equação da regressão linear é y = %g + %gx\n",a0,a1)

plot(x,y,'r*');

Y = a0 + a1*x

plot2d(x,Y,2);

xtitle('GRÁFICO DO CRESCMENTO POPULACIONAL DE BENTO

GONÇALVES','Décadas - 1940 à 2010','Número de habitantes')

syym2 = 0;

sym2 = 0;

for i = 1:n

yy(i) = a0 + a1*x(i)

syym2 = syym2 + ((yy(i)-sym)^2)

sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)

end

R2 = syym2/sym2


case 2 then

clc

x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8;

sx = 0

sy = 0

sx2 = 0

sx3 = 0

sx4 = 0

sxy = 0

sx2y = 0

sym = 0

for i = 1:n

sx = sx + x(i)

sy = sy + y(i)

sx2 = sx2 + (x(i)^2)

sx3 = sx3 + (x(i)^3)

sx4 = sx4 + (x(i)^4)


sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))

sym = sym + (y(i)/n)

end



printf("O somatório de x^2 é = %g\n",sx2)




printf("O somatório de x^2*y é = %g\n",sx2y)

A = [n sx sx2; sx sx2 sx3; sx2 sx3 sx4];

B = [sy; sxy; sx2y];

S = inv(A)*B;

printf("A solução do sistema é %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3))

a0 = S(1)

a1 = S(2)

a2 = S(3)

printf("A equação da regressão linear é y = %g + %g.x + %g.x^2\n",a0,a1,a2)

plot(x,y,'r*');

Y = a0 + a1*x + a2*(x^2)

plot2d(x,Y,2);



syym2 = 0;

sym2 = 0;

for i = 1:n

yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2)


sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)

end

R2 = syym2/sym2


case 3 then

clc

x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8;

sx = 0

sy = 0

sx2 = 0

sx3 = 0

sx4 = 0

sx5 = 0

sx6 = 0

sxy = 0

sx2y = 0

sx3y = 0

sym = 0

for i = 1:n

sx = sx + x(i)

sy = sy + y(i)

sx2 = sx2 + (x(i)^2)

sx3 = sx3 + (x(i)^3)

sx4 = sx4 + (x(i)^4)

sx5 = sx5 + (x(i)^5)

sx6 = sx6 + (x(i)^6)


sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))

sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))


end











A = [n sx sx2 sx3; sx sx2 sx3 sx4; sx2 sx3 sx4 sx5; sx3 sx4 sx5 sx6];

B = [sy; sxy; sx2y; sx3y];

S = inv(A)*B;

printf("A solução do sistema é %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4))

a0 = S(1)

a1 = S(2)

a2 = S(3)

a3 = S(4)

printf("A equação da regressão linear é y = %g + %g.x + %g.x^2 + %g.x^3\n",a0,a1,a2,a3)

plot(x,y,'r*');

Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3)

plot2d(x,Y,2);



syym2 = 0;

sym2 = 0;

for i = 1:n

yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3)


sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)

end

R2 = syym2/sym2


case 4 then

clc

x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8;

sx = 0

sy = 0

sx2 = 0

sx3 = 0

sx4 = 0

sx5 = 0

sx6 = 0

sx7 = 0

sx8 = 0

sxy = 0

sx2y = 0

sx3y = 0

sx4y = 0

sym = 0

for i = 1:n

sx = sx + x(i)

sy = sy + y(i)

sx2 = sx2 + (x(i)^2)

sx3 = sx3 + (x(i)^3)

sx4 = sx4 + (x(i)^4)

sx5 = sx5 + (x(i)^5)

sx6 = sx6 + (x(i)^6)

sx7 = sx7 + (x(i)^7)

sx8 = sx8 + (x(i)^8)


sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))

sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))

sx4y = sx4y + ((x(i)^4)*y(i))


end














A = [n sx sx2 sx3 sx4; sx sx2 sx3 sx4 sx5; sx2 sx3 sx4 sx5 sx6; sx3 sx4 sx5 sx6 sx7; sx4 sx5

sx6 sx7 sx8];

B = [sy; sxy; sx2y; sx3y; sx4y];

S = inv(A)*B;

printf("A solução do sistema é %g, %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4),S(5))

a0 = S(1)

a1 = S(2)

a2 = S(3)

a3 = S(4)

a4 = S(5)

printf("A equação da regressão polinomial de 4o graulinear é y = %g + %g.x + %g.x^2 +

%g.x^3 + %g.x^4\n",a0,a1,a2,a3,a4)

plot(x,y,'r*');

Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3) + a4*(x^4)

plot2d(x,Y,2);



syym2 = 0;

sym2 = 0;

for i = 1:n

yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3) + a4*(x(i)^4)


sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)

end

R2 = syym2/sym2


case 5 then

clc

x= [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

y = [18771 24993 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

n = 8;

sx = 0

sy = 0

sx2 = 0

sx3 = 0

sx4 = 0

sx5 = 0

sx6 = 0

sx7 = 0

sx8 = 0

sx9 = 0

sx10 = 0

sxy = 0

sx2y = 0

sx3y = 0

sx4y = 0

sx5y = 0

sym = 0

for i = 1:n

sx = sx + x(i)

sy = sy + y(i)

sx2 = sx2 + (x(i)^2)

sx3 = sx3 + (x(i)^3)

sx4 = sx4 + (x(i)^4)

sx5 = sx5 + (x(i)^5)

sx6 = sx6 + (x(i)^6)

sx7 = sx7 + (x(i)^7)

sx8 = sx8 + (x(i)^8)

sx9 = sx9 + (x(i)^9)

sx10 = sx10 + (x(i)^10)


sx2y = sx2y + ((x(i)^2)*y(i))

sx3y = sx3y + ((x(i)^3)*y(i))

sx4y = sx4y + ((x(i)^4)*y(i))

sx5y = sx5y + ((x(i)^5)*y(i))


end
















A = [n sx sx2 sx3 sx4 sx5; sx sx2 sx3 sx4 sx5 sx6; sx2 sx3 sx4 sx5 sx6 sx7; sx3 sx4 sx5 sx6

sx7 sx8; sx4 sx5 sx6 sx7 sx8 sx9; sx5 sx6 sx7 sx8 sx9 sx10];

B = [sy; sxy; sx2y; sx3y; sx4y; sx5y];

S = inv(A)*B;

printf("A solução do sistema é %g, %g, %g, %g, %g e %g\n",S(1),S(2),S(3),S(4),S(5),S(6))

a0 = S(1)

a1 = S(2)

a2 = S(3)

a3 = S(4)

a4 = S(5)

a5 = S(6)

printf("A equação da regressão polinomial de 4o grau é y = %g + %g.x + %g.x^2 + %g.x^3 +

%g.x^4 + %g.x^5\n",a0,a1,a2,a3,a4,a5)

plot(x,y,'r*');

Y = a0 + a1*x + a2*(x^2) + a3*(x^3) + a4*(x^4) + a5*(x^5)

plot2d(x,Y,2);



syym2 = 0;

sym2 = 0;

for i = 1:n

yy(i) = a0 + a1*x(i) + a2*(x(i)^2) + a3*(x(i)^3) + a4*(x(i)^4) + a5*(x(i)^5)


sym2 = sym2 + ((y(i)-sym)^2)

end

R2 = syym2/sym2


case 6 then

// Rotinas Ajuste Paulo

clear

clc

// Ano

t = [1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010];

//População Total de Bento

X = [18771 24933 33956 41979 58941 78643 91486 107278];

plot(t,X,'.r')

// número de dados

n = size(t,2);

//Ajuste Linear Equação 2 do artigo

a11 = n;

a12 = sum(t);

a21 = a12;

a22 = sum(t^2);

b1 = sum(X);

b2 = sum(t.*X);

A = [a11 a12;a21 a22];

B = [b1;b2];

S = inv(A)*B;

a = S(1)

b = S(2)

T = 1940:2010;

AL = a + b*T;

//plot(T,AL)

// Ajuste pela curva logística, modelo de Velhust

K = 130000; // População máxima

X0 = 18771; //População inicial

tc = 0.055; //taxa de crescimento da população

T2 = 0:90;

AV = K./(1+(K-X0)/X0*exp(1-tc*T2))+11000;

T = 1940:2030;

plot(T,AV,)


GONÇALVES','Curva logística conforme Modelo de Velhust com estimativa até

2030','Número de habitantes')

end

AJUSTE DE FUNÇÕES PARA O CRESCIMENTO … · Tabulação de Dados e Modelos A tabela (1) mostra a...

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