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Projeto Institucional Edital nº 015/2010/CAPES/DED Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação Álgebra Linear Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas Jossana Ferreira

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  • Projeto Institucional

    Edital n 015/2010/CAPES/DEDFomento ao uso de tecnologias de comunio e informao nos cursos de graduao

    lgebra Linear

    Mdulo 2Autovalores e autovetoresTransformaes linearesFormas qudricas

    Jossana Ferreira

  • Jossana Ferreira

    Mdulo 2Autovalores e autovetoresTransformaes linearesFormas qudricas

  • Catalogao da publicao na fonte. Bibliotecria Vernica Pinheiro da Silva.

    Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte EDUFRN.Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorizao expressa do Ministrio da Educaco MEC

    Governo Federal

    Presidenta da RepblicaDilma Vana Rousseff

    Vice-Presidente da RepblicaMichel Miguel Elias Temer Lulia

    Ministro da EducaoAloizio Mercadante Oliva

    Reitorangela Maria Paiva Cruz

    Vice-ReitoraMaria de Ftima Freire Melo Ximenes

    Secretria de Educao a DistnciaMaria Carmem Freire Digenes Rgo

    Secretria Adjunta de Educao a DistnciaEugnia Maria Dantas

    Pr-Reitoria de GraduaoAlexandre Augusto de Lara Menezes

    Comit GestorPresidenteAlexandre Augusto de Lara Menezes

    Coordenao geralApuena Vieira Gomes

    Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CEGleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFOMarcos Aurlio Felipe/CEMaria Carmozi de Souza Gomes/PROGRADRex Antonio da Costa de Medeiros/ECT

    Coordenador de Produo de Materiais Didticos

    Marcos Aurlio Felipe

    Projeto Grfi co

    Ivana Lima

    Revisores de Estrutura e Linguagem

    Eugenio Tavares Borges

    Janio Gustavo Barbosa

    Jeremias Alves de Arajo

    Kaline Sampaio de Arajo

    Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade

    Thalyta Mabel Nobre Barbosa

    Revisoras de Lngua Portuguesa

    Cristinara Ferreira dos Santos

    Emanuelle Pereira de Lima Diniz

    Janaina Tomaz Capistrano

    Revisora das Normas da ABNT

    Vernica Pinheiro da Silva

    Revisora Tcnica

    Rosilene Alves de Paiva

    Ilustradores

    Adauto Harley

    Anderson Gomes do Nascimento

    Carolina Costa de Oliveira

    Dickson de Oliveira Tavares

    Leonardo dos Santos Feitoza

    Roberto Luiz Batista de Lima

    Rommel Figueiredo

    Diagramadores

    Ana Paula Resende

    Carolina Aires Mayer

    Davi Jose di Giacomo Koshiyama

    Elizabeth da Silva Ferreira

    Ivana Lima

    Jos Antonio Bezerra Junior

    Luciana Melo de Lacerda

    Rafael Marques Garcia

    Secretaria de Educao a Distncia (SEDIS)

    FICHA TCNICA

  • Natal RNAbril/2012

    Mdulo 2Autovalores e autovetoresTransformaes linearesFormas qudricas

    Jossana Ferreira

    lgebra Linear

  • Sumrio

    Apresentao Institucional 5

    Aula 12 Autovalores e autovetores 7

    Aula 13 Diagonalizao de matrizes 21

    Aula 14 Transformaes lineares defi nio 37

    Aula 15 Transformaes lineares e matrizes 57

    Aula 16 Transformaes lineares inversas 69

    Aula 17 Transformaes lineares e geometria do 2 83

    Aula 18 Formas qudricas 101

    Aula 19 Diagonalizao de formas qudricas 115

    Aula 20 Sees cnicas 125

  • 5

    Apresentao Institucional

    A Secretaria de Educao a Distncia SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no mbito local, das Polticas Nacionais de Educao a Distncia em parceira com a Secretaria de Educao a Distncia SEED, o Ministrio da Educao MEC e a Universidade Aberta do Brasil UAB/CAPES. Duas linhas de atuao tm caracterizado o esforo em EaD desta instituio: a primeira est voltada para a Formao Continuada de Professores do Ensino Bsico, sendo implementados cursos de licenciatura e ps-graduao lato e stricto sensu; a segunda volta-se para a Formao de Gestores Pblicos, atravs da oferta de bacharelados e especializaes em Administrao Pblica e Administrao Pblica Municipal.

    Para dar suporte oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de meios didticos e pedaggicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que so elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto grfi co para atender s necessidades de um aluno que aprende a distncia. O contedo elaborado por profi ssionais qualifi cados e que tm experincia relevante na rea, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material impresso a referncia primria para o aluno, sendo indicadas outras mdias, como videoaulas, livros, textos, fi lmes, videoconferncias, materiais digitais e interativos e webconferncias, que possibilitam ampliar os contedos e a interao entre os sujeitos do processo de aprendizagem.

    Assim, a UFRN atravs da SEDIS se integra o grupo de instituies que assumiram o desafi o de contribuir com a formao desse capital humano e incorporou a EaD como moda-lidade capaz de superar as barreiras espaciais e polticas que tornaram cada vez mais seleto o acesso graduao e ps-graduao no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN est presente em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regies, ofertando cursos de graduao, aperfeioamento, especializao e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenas regionais e o conhecimento uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local.

    Nesse sentido, este material que voc recebe resultado de um investimento intelectual e econmico assumido por diversas instituies que se comprometeram com a Educao e com a reverso da seletividade do espao quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE-TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAO A DISTNCIA como modalidade estratgica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil.

    SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA SEDIS/UFRN

  • Autovalores e autovetores

    12Aula

  • Aula 12 lgebra Linear 9

    ApresentaoOs autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informao a respeito

    de sistemas e plantas que estejam por trs dessas matrizes. Esse recurso da lgebra Linear bastante utilizado nas engenharias, fsica, qumica etc.

    ObjetivoCalcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.

  • Aula 12 lgebra Linear 11

    Autovalor Os autovalores de uma matriz tambm so chamados de valor prprio ou valor caracte-

    rstico. Para entendermos sua defi nio, consideremos uma matriz A quadrada:

    A =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    an1 an2 ann

    Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v =

    1

    2

    n

    no nulo, obtemos um outro

    vetor tambm de dimenso n1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma constante , tambm obteremos como resultado um vetor de dimenso n1:

    Av = vetor de dimenso n1v = vetor de dimenso n1

    Ser que existe algum valor para que torne esses dois resultados iguais? A.v = .v ? A resposta sim. Esses valores so chamados de autovalores.

    Portanto, autovalor um nmero, real ou complexo, que de certa forma pode substituir uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz.

    Observaes

    S possvel obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas.

    O nmero de autovalores defi nido pela ordem da matriz.

  • Aula 12 lgebra Linear12

    Exemplo 1 Se multiplicarmos a matriz A =

    [2 1

    1 2

    ] pelo vetor

    1 =

    [1

    1

    ] temos:

    A 1 =[

    2 1

    1 2

    ][

    1

    1

    ]=

    [3

    3

    ]. notrio que a constante que devemos multiplicar por v

    1 para

    que a igualdade A.v = .v seja satisfeita =3: = 3 :[

    2 1

    1 2

    ][

    1

    1

    ]= 3

    [1

    1

    ]=

    [3

    3

    ] .

    Uma outra possibilidade multiplicarmos a matriz A =

    [2 1

    1 2

    ] pelo vetor

    v2 =

    [11

    ]. Assim, temos: A 2 =

    [2 1

    1 2

    ][

    11

    ]=

    [11

    ] logo, a constan-

    te que devemos multiplicar por v2 para que a igualdade Av = .v seja satisfeita =1:

    = 1 :

    [2 1

    1 2

    ][

    11

    ]= 1

    [11

    ]=

    [11

    ].

    Encontrando os autovalores No Exemplo 1, conseguimos identifi car os autovalores da matriz A, porm, nem sempre

    essa tarefa possvel de ser alcanada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. Para obtermos o procedimento a fi m de encontrarmos os autovalores de uma matriz

    quadrada, vamos partir da prpria defi nio de autovalores:

    Av =v

    Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade:

    Av =Iv

    Vamos agora somar a ambos os lados da equao o termo Av :

    Av v = Iv Av

    0 = Iv Av

    Colocando o vetor v em evidncia: (IA)v =0

    Essa equao resulta em um sistema de equaes com n equaes e n incgnitas, onde n a ordem da matriz A. Note que o sistema um sistema homogneo, portanto, admite a soluo trivial (todas as variveis iguais a zero). No sistema de equaes, v o vetor com as incgnitas e a matriz (IA) a matriz dos coefi cientes. Sabemos ainda que em um sistema de equaes, quando a matriz dos coefi cientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possvel determinado, ou seja, de nica soluo, e como esse sistema

  • 1

    Aula 12 lgebra Linear 13

    homogneo, se apresentar uma nica soluo, essa soluo necessariamente ser a trivial, soluo que no interessa, pois obteramos qualquer valor para . Para encontrarmos as solues no triviais dessa equao, devemos garantir que o determinante da matriz (IA) seja igual a zero: det(IA)=0

    Essa equao chamada de equao caracterstica.Ao desenvolvermos a equao caracterstica, nos deparamos com um polinmio em ,

    chamado de polinmio caracterstico.n+c

    1n -1+c

    2n -2+ ... + cn -1+ cn

    Exemplo 2 Encontre os autovalores da matriz A =

    [2 2

    2 2

    ]

    Fazendo det(IA)=0

    det

    (

    [1 0

    0 1

    ][

    2 2

    2 2

    ])= 0

    det

    ([ 2 22 2

    ])= 0

    ( 2)2 4 = 02 4 = 0 polinmio caracterstico(4) = 0

    1 = 0

    2 = 4

    } autovalores de A

    Encontre os autovalores da matriz A =

    [2 4

    4 2

    ]

  • Aula 12 lgebra Linear14

    Autovetor Quando partimos da defi nio Av =v encontramos os autovalores da matriz A, porm

    quando substitumos o valor de , a equao no satisfeita para qualquer vetor v, apenas para alguns vetores que so chamados de autovetores da matriz A.

    Portanto, autovetor o conjunto de vetores soluo, no triviais, da equao Av =v ou (IA)v=0, para cada valor de .

    Exemplo 3 Encontre os autovetores da matriz A =

    [2 2

    2 2

    ].

    Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores, como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A so 0 e 4.Ento, vamos solucionar a equao (IA)v=0 para =0 e para =4.

    Para =0

    (I A)v = 0( 2 22 2

    )(x1y1

    )=

    (0

    0

    )(

    0 2 22 0 2

    )(x1y1

    )=

    (0

    0

    )(

    2 22 2

    )(x1y1

    )=

    (0

    0

    ){

    2x1 2y1 = 02x1 2y1 = 0

    x1 = y1(x1y1

    )=

    (y1y1

    )= y1

    (11

    )

    v1 = (1, 1)

    Para =4

    (I A)v = 0( 2 22 2

    )(x2y2

    )=

    (0

    0

    )(

    4 2 22 4 2

    )(x2y2

    )=

    (0

    0

    )(

    2 22 2

    )(x2y2

    )=

    (0

    0

    ){

    2x2 2y2 = 02x2 + 2y2 = 0

    x2 = y2(x2y2

    )=

    (y2y2

    )= y2

    (1

    1

    )

    v2 = (1, 1)

  • 2

    Aula 12 lgebra Linear 15

    Autoespao Note que em toda situao obteremos um sistema possvel indeterminado porque defi -

    nimos no incio que det(IA)=0, o que caracteriza um sistema possvel indeterminado ou impossvel, e como o sistema sempre homogneo, logo no pode ser impossvel. Portanto, sempre teremos infi nitas solues para os autovetores e, por essa razo, no dizemos que apenas um determinado vetor autovetor de uma matriz e sim todo espao gerado por essa base encontrada. Esse espao soluo para os autovalores possveis chamado de autoespao associado a um determinado autovalor.

    Encontre os autovetores da matriz A =

    [2 4

    4 2

    ].

    Observao:

    O sistema tem solues no triviais.

    Se A uma matriz triangular ou diagonal, ento, os autovalores de A so os elementos da diagonal principal.

    Propriedades

    Se v um autovetor associado a um autovalor de A, ento, kv tambm um autovetor de A associado ao mesmo autovalor.

    Se autovalor de A, ento, k um autovalor de Ak.

    Se autovalor de A, ento, 1 um autovalor de A1.

    Se autovalor de A, ento, k um autovalor de kA.

    *k um escalar.

  • Aula 12 lgebra Linear16

    Multiplicidade dos autovalores

    Multiplicidade algbrica A multiplicidade algbrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi-

    nado autovalor aparece como soluo do polinmio caracterstico.

    Multiplicidade geomtrica A multiplicidade geomtrica dos autovalores indica a dimenso do autoespao associado

    a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespao.

    Exemplo 4 Encontre a multiplicidade algbrica e geomtrica da matriz A =

    0 0 1

    0 0 1

    0 0 1

    Encontrando os autovalores de A:

    det(I A) = 0

    det

    0 10 10 0 1

    = 0

    Escolhendo a terceira linha da matriz:

    detM = m31c31 +m32c32 +m33c33 = 0

    detM = 0 c31 + 0 c32 +m33c33 = 0

    detM = ( 1)(1)3+3 00

    = 0( 1)2 = 01 = 1 Mult. Algebrica = 12 = 0

    3 = 0

    } Mult. Algebrica = 2

  • 3

    Aula 12 lgebra Linear 17

    Encontrando os autovetores de A:

    Para =1

    (I A)v = 0

    0 10 10 0 1

    x1y1z1

    =

    0

    0

    0

    (I A)v = 0

    1 0 10 1 10 0 0

    x1y1z1

    =

    0

    0

    0

    {x1 z1 = 0y1 z1 = 0

    x1y1z1

    =

    z1z1z1

    = z1

    1

    1

    1

    v1 = (1, 1, 1)

    Multiplicidade geomtrica de =1 1

    Para =0

    (I A)v = 0

    0 10 10 0 1

    x2y2z2

    =

    0

    0

    0

    (I A)v = 0

    0 0 10 0 10 0 1

    x2y2z2

    =

    0

    0

    0

    {z2 = 0

    x2y2z2

    =

    x2y20

    = x2

    1

    0

    0

    = y2

    0

    1

    0

    v2 = (1, 0, 0),v3 = (0, 1, 0)

    Multiplicidade geomtrica de =0 2

    Encontre as multiplicidades algbricas e geomtricas dos autovalores de

    A =

    0 0 1

    0 0 1

    1 1 1

    .

  • Desafi o

    Resumo

    1

    Aula 12 lgebra Linear18

    1) Sabendo que o polinmio caracterstico p()= 3 2+2+4, encontre det(A).

    2) Conhecendo os autovalores de A, ento, conhecemos os autovalores de AT?

    3) Uma matriz A inversvel se um dos seus autovalores for zero?

    O assunto de autovalores e autovetores um dos mais usados da lgebra Linear e importante que nesta aula voc tenha aprendido como calcul-los, assim como entender seu signifi cado, pois esse contedo ser amplamente aplicado daqui em diante.

    AutoavaliaoEncontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes.

    a) A =[4]

    b) A =[

    2 1

    0 3

    ]

    c) A =[

    2 1

    2 3

    ]

    d) A =[

    1 1

    1 1

    ]

    e) A =

    0 1 1

    1 1 0

    1 0 1

    f) A =

    1 0 0

    0 0 0

    0 0 0

    g) A =

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

  • 2

    3

    4

    5

    6

    7

    Aula 12 lgebra Linear 19

    Encontre os autovalores e autovetores de A15, sendo A =

    1 2 21 2 1

    1 1 0

    .

    Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4.

    Encontre uma base para o autoespao de:

    a) F =

    1 1 1

    0 0 0

    1 0 1

    b) H =

    0 0 1 2

    1 0 0 0

    1 0 0 0

    0 0 0 0

    Considere a matriz A =

    [a b

    c d

    ] e responda:

    a) Que condio faz com que a matriz A tenha autovalores complexos?

    b) Que condio faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algbrica diferente de 1?

    Se um dos autovalores de uma matriz B zero, a matriz B no singular? Justifi que.

    Considere o polinmio caracterstico de A, p()= (2)(+1)3 (4).

    a) Qual o tamanho de A?

    b) A inversvel?

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 12 lgebra Linear20

  • Diagonalizao de matrizes

    13Aula

  • 1

    2

    3

    Aula 13 lgebra Linear 23

    Apresentao

    Sabemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulao dessas matrizes implica em anlise, melhorias e clculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, no sejam simples de serem manipuladas, ento devemos encontrar matrizes o mais simples possvel para representar esses sistemas e assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplifi cao consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante original, e a esse processo chamamos de diagonalizao de matrizes.

    ObjetivosSaber aplicar o processo de diagonalizao de matrizes.

    Diferenciar a diagonalizao convencional da diagonaliza-o ortogonal.

    Calcular a matriz que diagonaliza outra.

  • Aula 13 lgebra Linear 25

    Defi nio A diagonalizao de matrizes consiste na obteno de uma matriz diagonal que seja

    equivalente matriz original. O que motiva a obteno dessa matriz equivalente diagonal so as suas caractersticas. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma reduo signifi cativa no custo de processamento dessa matriz.

    Matrizes equivalentes Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer

    quadrada, vejamos a seguir o que preservado em matrizes semelhantes.

    Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes:

    As caractersticas (postos) so iguais.

    As nulidades so iguais.

    Os polinmios caractersticos so iguais.

    Os determinantes so iguais.

    Os traos so iguais.

    Os autovalores so iguais.

    Os autovetores so correspondentes.

    Com esses pontos iguais, ento podemos afi rmar que duas matrizes so semelhantes. O desafi o consiste ento em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens da matriz original.

    Por defi nio, dizemos que duas matrizes A e B so semelhantes se existir uma matriz P, inversvel, tal que:

    B = P1AP

  • Aula 13 lgebra Linear26

    Ento, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e B ser uma matriz diagonal.

    Matriz diagonal Se B uma matriz diagonal semelhante A e os autovalores so preservados quando

    as matrizes so semelhantes, ento a nica possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A se os elementos da diagonal de B forem os prprios autovalores de A:

    B = D = P 1AP

    Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, ento basta encontrar-mos os autovalores da matriz A, porm, muitos problemas requerem encontrar a matriz que diagonaliza A, uma vez que essa simplifi cao na matriz de trabalho implica em uma mudana de coordenadas e muito provvel que todos os dados envolvidos com o sistema original necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas.

    Matriz que diagonaliza a matriz A Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da

    matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1, v2, v3,..., vn, basta montar a matriz P com os autovetores por coluna:

    P = [v1|v2|v3| |vn]

    A nica ressalva que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve ser inversvel. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual ordem da matriz A, ento dizemos que A diagonalizvel.

    D =

    1 0 0 00 2 0 00 0 3 0

    0 0 0 n

  • Aula 13 lgebra Linear 27

    Encontrando os autovalores:

    det(I ) = 0

    A =

    {1 = 2 = 1

    3 = 0

    Encontrando os autovetores: = 1

    (I A)X = 0

    1 1 0 02 1 00 0 1 1

    x1

    x2

    x3

    =

    0

    0

    0

    {2x1 + x2 = 0

    v1 =

    1

    2

    0

    ,v2 =

    0

    0

    1

    = 1(I A)X = 0

    0 1 0 02 0 00 0 0 1

    x1

    x2

    x3

    =

    0

    0

    0

    {x1 = 0x3 = 0

    v3 =

    0

    1

    0

    Verifi cando se os autovetores so LI:

    k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

    k1(1, 2, 0) + k2(0, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0

    k1 = 0

    2k1 + k3 = 0

    k3 = 0

    k1 = k2 = k3 = 0

    Como todas as constantes so iguais a zero, ento o conjunto LI.

    Exemplo 1 Encontre a matriz que diagonaliza A =

    1 0 0

    2 0 0

    0 0 1

    Resoluo:

  • 1

    Aula 13 lgebra Linear28

    Montando a matriz P:

    P = [v1 v2 v3 ]

    P =

    [1 0 02 0 10 1 0

    ]

    P1 =

    [1 0 00 0 12 1 0

    ]

    Verifi cando:D = P-1AP

    D =

    1 0 0

    0 0 1

    2 1 0

    1 0 0

    2 0 0

    0 0 1

    1 0 0

    2 0 1

    0 1 0

    D =

    1 0 0

    0 0 1

    0 0 0

    1 0 0

    2 0 1

    0 1 0

    D =

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 0

    Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A.

    Encontre a matriz que diagonaliza A =

    2 0 1

    1 0 1

    0 0 1

    Potenciao de matrizes A diagonalizao de matrizes permite-nos calcular potncias de matrizes. Sabendo queD = P1AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos:DD = (P1AP)(P1AP)Eliminando os parnteses, temos:D2 = P1A /AP = P1A2PMultiplicando a expresso pela esquerda por P e pela direita por P 1, temos:

  • Aula 13 lgebra Linear 29

    PD2P1 = A2Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos concluso que:

    Ak = PDkP1Onde k qualquer expoente inteiro.Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular qualquer potncia de A.

    Exemplo 2 Calcule A15, onde A =

    [0 0

    1 1

    ]

    Resoluo:Sabemos que A15 = PD15P 1 , ento devemos encontrar D e P.Encontrando os autovalores:

    det(I ) = 0{

    1 = 1

    2 = 0

    Encontrando os autovetores:

    1 = 1

    (I A)X = 0[1 0

    1 1 1

    ][x1

    x2

    ]=

    [0

    0

    ]{

    x1 = 0

    v1 =

    (0

    1

    )

    2 = 0

    (I A)X = 0[0 0

    1 0 1

    ][x1

    x2

    ]=

    [0

    0

    ]{

    x1 x2 = 0

    v2 =

    (1

    1

    )

    Verifi cando se os autovetores so LI: Como no so mltiplos um do outro, ento so LI.

    Matriz diagonal: D =

    [1 0

    0 0

    ], D15 =

    [115 0

    0 0

    ]=

    [1 0

    0 0

    ]

    Matriz que diagonaliza A: P =[

    0 1

    1 1

    ], P1 =

    [1 1

    1 0

    ]

  • 2

    Aula 13 lgebra Linear30

    Calcule A15, onde A =[

    1 11 1

    ].

    Diagonalizao ortogonal de matrizes

    Uma particularidade no caso da diagonalizao de matrizes quando a matriz que dia-gonaliza A uma matriz ortogonal:

    Pt = P 1Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P so ortonormais entre si.A diagonalizao ortogonal permite que a transio de um sistema de coordenadas para

    outro ocorra sem perda de propores, fato que comprovaremos ao estudarmos as cnicas. Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P1AP = PtAP, ento dizemos que A ortogonalmente diagonalizvel.

    Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A uma matriz simtrica, caso contrrio, j podemos descartar a possibilidade. Ento:

    Se At = A (simtrica), A diagonalizvel ortogonalmente.O processo de obteno da matriz que diagonaliza A ortogonalmente inicialmente o

    mesmo do processo de diagonalizao convencional, porm quando encontramos os autove-tores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e depois normalizamos os vetores para s ento montarmos a matriz P.

    As etapas para a diagonalizao ortogonal so:

    1) Encontrar os autovetores.

    2) Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt.

    3) Normalizar os vetores.

    Logo,

    A15 = P 15P1 =

    [0 1

    1 1

    ][

    1 0

    0 0

    ][

    1 1

    1 0

    ]=

    [0 0

    1 1

    ]

  • Aula 13 lgebra Linear 31

    Exemplo 3 Encontre a matriz que diagonaliza A =

    1 0 1

    0 0 0

    1 0 1

    ortogonalmente.

    Resoluo:Encontrando os autovalores:

    det(I ) = 0

    {1 = 2

    2 = 3 = 0

    Encontrando os autovetores:1 = 2

    (I A)X = 0

    2 1 0 10 2 0

    1 0 2 1

    x1

    x2

    x3

    =

    0

    0

    0

    x1 x3 = 0x2 = 0

    x1 + x3 = 0{x1 = x3

    v1 =

    1

    0

    1

    2 = 0

    (I A)X = 0

    0 1 0 10 0 0

    1 0 0 1

    x1

    x2

    x3

    =

    0

    0

    0

    {x1 x3 = 0

    {x1 = x3

    x2

    v2 =

    10

    1

    ,v3 =

    0

    1

    0

    Verifi cando se os autovetores so LI:

    k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0

    k1(1, 0, 1) + k2(1, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0

    k1 k3 = 0k2 = 0

    k1 + k3 = 0

    k1 = k2 = k3 = 0

    Como todas as constantes so iguais a zero, ento o conjunto LI.Analisando se os vetores so ortogonais:

    = 0 = 0 = 0

  • 3

    Desafi o

    Aula 13 lgebra Linear32

    No ser necessrio utilizar o processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt, pois os vetores j so ortogonais, necessrio ento apenas normaliz-los:

    Encontre a matriz que diagonaliza A =

    0 0 1

    0 2 0

    1 0 0

    ortogonalmente.

    1) A matriz N =

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    0 0 0 0

    pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente?

    2) Se A uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde cada autoespao unidimensional. A diagonalizvel? Justifi que.

    3) Prove que A no diagonalizvel se s0. A =[

    r s

    0 r

    ]

    v1 =v1

    v1 =(1, 0, 1)

    2=

    12012

    v2 =

    v2v2 =

    (1, 0, 1)2

    =

    12012

    v3 =

    0

    1

    0

    Montando a matriz P:

    P = [v1 v2 v3 ] P1 = P t

    P =

    12

    12

    0

    0 0 112

    12

    0

    P1 =

    12

    0 12

    12

    0 12

    0 1 0

  • Resumo

    1

    2

    Aula 13 lgebra Linear 33

    Nesta aula, voc aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalizao ortogonal. Viu ainda como identifi car quais os requisitos para que determinada matriz possa ser diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente.

    AutoavaliaoDetermine se a matriz A diagonalizvel. Em caso afi rmativo, encontre a matriz que diagonaliza A.

    Determine se a matriz A diagonalizvel ortogonalmente. Em caso afi rmativo, encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente.

    a) A =[

    2 1

    0 1

    ]

    b) A =

    3 0 0

    1 3 0

    0 1 3

    c) A =

    0 0 1

    0 0 1

    1 1 1

    d) A =

    2 0 2

    0 0 0

    2 0 2

    e) A =

    0 0 0 1

    0 0 0 1

    1 1 1 1

    0 0 0 1

    a) A =[

    2 1

    0 1

    ]

    b) A =

    3 0 0

    1 3 0

    0 1 3

    c) A =

    0 0 1

    0 0 1

    1 1 1

    d) A =

    2 0 2

    0 0 0

    2 0 2

    e) A =

    0 0 0 1

    0 0 0 1

    1 1 1 1

    0 0 0 1

  • Anotaes

    3

    4

    Aula 13 lgebra Linear34

    Calcule A21. A =

    0 2 2

    0 0 1

    0 1 0

    Para que valores de x a matriz B diagonalizvel? E ortogonalmente diagonalizvel?

    B =

    [1 1

    0 x

    ]

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 13 lgebra Linear 35

  • Anotaes

    Aula 13 lgebra Linear36

  • Transformaes lineares defi nio

    14Aula

  • 1

    2

    3

    Aula 14 lgebra Linear 39

    ApresentaoNo estudo de espaos vetoriais comum que espaos distintos se relacionem entre

    si e essa interao ocorre atravs de funes que, em se tratando de espaos vetoriais, so chamadas de transformaes lineares.

    ObjetivosReconhecer os espaos evolvidos na transformao linear.

    Calcular ncleo e imagem de transformaes lineares.

    Encontrar vetores de espaos distintos que esto relacio-nados atravs da transformao linear.

  • Espao

    Domnio Espao

    Imagem

    Espaovetorial

    W

    Espaovetorial

    V

    V2

    Vn

    V1

    T(V1)=W

    1

    T(V2)=W

    2

    T(Vn)=WnW

    2

    Wn

    W1

    T:VW

    Aula 14 lgebra Linear 41

    Defi nio Transformao linear um tipo particular de funo entre dois espaos vetoriais que

    preservam a adio vetorial e a multiplicao por escalar. Tambm pode ser chamada de aplicao linear ou mapa linear.

    Considerando funes da forma w =F(x), onde a varivel independente x um vetor em V (espao domnio) e a varivel dependente w um vetor em W (espao imagem), tem-se que a funo dita uma transformao linear F: V W se satisfi zer as seguintes condies:

    i) F(x1 + x

    2) = F(x

    1)+ F(x

    2)

    ii) F(kx1) =kF(x

    1)

    ondex

    1 e x

    2= elementos quaisquer de V e k = constante.

    Notao: Uma transformao T de um espao vetorial V em um espao vetorial W ser denotada por

    T :V W,

    onde T(v)=w,

    sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaos vetoriais V e W relacionados atravs da transformao linear T.

    Figura 1 Transformao linear de V em W

  • Aula 14 lgebra Linear42

    Exemplo 1 Explique se T: , T(x)= 8x uma transformao linear.

    Resoluo:Para que T(x)= 8x seja uma transformao linear T: , necessrio que sejam satisfeitas as duas condies:

    i) T(x1 + x

    2) = T(x

    1) + T(x

    2)

    T(x1) = 8x

    1

    T(x2) = 8x

    2

    T(x1)+ T(x

    2) = 8x

    1+8x

    2 = 8(x

    1 + x

    2)

    T(x1 + x

    2) = 8(x

    1 + x

    2)

    Como T(x1 + x

    2) = T(x

    1)+ T(x

    2), primeira condio satisfeita.

    ii) T(kx1) = k.T(x

    1)

    T(kx1)=8(kx

    1)= k.8(x

    1)

    k T(x1)= k8(x

    1)

    Satisfaz tambm a segunda condio T(kx1) = k.T(x

    1). Logo, a transformao uma

    transformao linear.

    Exemplo 2 Explique se T: 42, T(x,y,z,w)=(x+y+1,zw), uma transformao linear.

    Resoluo:Para que a transformao seja uma transformao linear, necessrio que sejam satisfeitas as duas condies:

    i) T(u + v) = T(u)+ T(v),

    onde u =(u1,u

    2,u

    3,u

    4), v =(v

    1,v

    2,v

    3,v

    4)

    T(u)=(u1 + u

    2 + 1, u

    3u

    4)

    T(v)=(v1 + v

    2 + 1,v

    3 v

    4)

    T(u)+ T(v) = (u1+v

    1+u

    2+v

    2+1+1, u

    3+v

    3u

    4 v

    4)= (u

    1+v

    1+u

    2+v

    2+2, u

    3+v

    3u

    4v

    4)

    T(u + v) =(u1+v

    1+u

    2+v

    2+1, u

    3+v

    3u

    4v

    4)

    Como T(u + v) T(u)+ T(v), a primeira condio no foi satisfeita. Logo, a transformao no linear.

  • 1

    Aula 14 lgebra Linear 43

    Em toda transformao linear T:VW, tem-se que T(0)=0.Essa caracterstica da transformao linear pode ser usada para provar que uma determinada transformao no linear, caso T(0) seja diferente de zero. Mas quando a transformao T(0) nula, sem que seja feita nenhuma outra avaliao, no possvel afi rmar que a transformao linear.

    Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que:

    Exemplo 1 T: , T(x) = 8x ( uma transformao linear)T(0)=80=0

    Exemplo 2T: 42, T(x,y,z,w)=(x+y+1,zw) (no uma transformao linear)T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0)

    No exemplo 1, verifi camos que a transformao linear, logo, T(0)=0. J no exemplo 2, foi verifi cado que a transformao no linear, T(0)0.

    Explique se as transformaes so lineares.

    a) T: 23, T(x,y)=(3x,2y, xy)

    b) T: , T(x)= 3x2

  • Aula 14 lgebra Linear44

    Princpio da superposio O princpio da superposio nos permite separar transformaes lineares de somas de

    vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformao, isso faz com que usemos parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as caractersticas de adio e multiplicao por escalar das transformaes lineares.

    T:VW uma transformao linear, {v1,v

    2,...,vn} base de V e 1, 2,..., n pertencem a , ento:

    T(1v

    1+

    2v

    2+...nvn)= 1T(v1)+ 2T(v2)+...+ nT(vn)

    O princpio da superposio possibilita encontrarmos as expresses das transformaes a partir de pares de vetores relacionados por essa transformao linear.

    Exemplo 3 Seja T: 32 uma transformao linear e B={v

    1,v

    2,v

    3} uma base do 3, onde v

    1=(0,1,0),

    v2=(1,0,1) e v

    3=(1,1,0); determine T(v), sabendo que v=(5,3,2), T(v

    1)=(1,2),

    T(v2)=(3,1) e T(v

    3)=(0,2).

    Resoluo:O vetor v pode ser escrito como combinao linear dos elementos da base B, consi-dere constantes:

    V=1v

    1+

    2v

    2+

    3v

    3

    v=1(0,1,0)+

    2(1,0,1)+

    3(1,1,0)

    v=(2+

    3,

    1+

    3,

    2)

    (5,3,2)= (2+

    3,

    1+

    3,

    2)

    2+

    3=5

    1+

    3=3

    2=2

    Logo,

    1= 4

    2= 2

    3= 7

    Assim,v=

    1v

    1+

    2v

    2+

    3v

    3

    v= 4 v12v

    2+7v

    3

  • Aula 14 lgebra Linear 45

    Aplicando a transformao em ambos os lados da equao, temos:

    T(v)=T(4v12v

    2+7v

    3)

    Usando agora o princpio da superposio podemos separar as somas e colocar as constantes para fora da transformao:

    T(v)=4T(v1)2T(v

    2)+7T(v

    3)

    T(v)=4(1,2)2(3,1)+7(0,2)T(V)=(10,20)

    Dessa forma, encontramos T(v)=T(5,3,2)=(10,20).

    Exemplo 4 Encontre, caso exista, T: 23 tal que T(1,1)=(3,2,1) e T(0,2)=(0,1,0).

    Resoluo:A primeira coisa a ser verifi cada se {(1,1),(0,-2)} a base do 2. Como base, ento a transformao existe.Nesse exerccio, queremos encontrar agora a regra da transformao linear, a equao que nos permite achar a transformao de qualquer vetor do domnio.O passo seguinte considerar um vetor genrico do espao domnio v=(x,y) e escrev-lo como combinao linear dos elementos da base:

    v=(x,y)=1(1,1)+

    2(0,2)

    1=x122=y

    Logo,

    1 = x

    2 =x y2

    Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinao linear dos vetores da base com os respectivos pesos 1 e 2:

    (x, y) = 1(1, 1) + 2(0,2)

    (x, y) = x(1, 1) +

    (x y2

    )(0,2)

    Aplicamos ento a transformao em ambos os lados da equao:

    T (x, y) = T

    (x(1, 1) +

    x y2

    (0,2))

  • 2

    Aula 14 lgebra Linear46

    Usando o teorema da superposio, temos:

    T (x, y) = x T (1, 1) + x y2

    T (0,2)

    T (x, y) = x(3,2, 1) + x y2

    (0, 1, 0)

    T (x, y) =

    (3x,2x+ x y

    2, x

    )

    T (x, y) =

    (3x,

    3x y2

    , x

    )

    Logo, encontramos a transformao linear.

    Conferindo:Se a regra est correta, as transformaes fornecidas no enunciado da questo devem valer para a regra:

    T (1, 1) = (3,2, 1)T (0,2) = (0, 1, 0)

    T (1, 1) =

    (3 1, (3) 1 1

    2, 1

    )= (3,2, 1)

    T (0,2) =(3 0, (0) 1 (2)

    2, 0

    )= (0, 1, 0)

    Logo, a transformao est correta.

    Encontre, caso exista, T: 33 tal que T(0,1,1)=(1,1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(1,0,1)=(1,0,0).

  • Espao V Espao W

    V5

    V1

    Vn

    V3

    V2

    V4

    W5

    W1

    Wn

    W3

    T:VW

    N(T) 0

    Aula 14 lgebra Linear 47

    Ncleo De uma maneira simples, o ncleo da transformao linear corresponde ao conjunto de

    todos os elementos do espao domnio que, quando aplicados na transformao, o resultado o vetor nulo do espao imagem.

    Considerando a transformao linear T:VW, chamamos de ncleo da transformao linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O ncleo tambm chamado de Kernel de uma transformao linear.

    N(T)=Ker(T)={v V; T(v)=0}

    A Figura 2 mostra a relao dos espaos com o ncleo da transformao.

    Figura 2 Ncleo de uma transformao linear

    Note que o ncleo da transformao est contido em V, N(T) V, e N(T) , pois 0 N(T), uma vez que a transformao linear e T(0)=0.

  • Aula 14 lgebra Linear48

    Propriedades do ncleoSeja T:VW uma transformao linear, ento N(T) um subespao vetorial de V.Para provarmos, considere que v

    1 e v

    2 N(T), logo:

    T(v1)=0

    T(v2)=0

    Para o subconjunto ser um subespao, devemos verifi car trs pontos:

    I) Deve conter o elemento nulo do espao:

    Como T(0)=0, ento o ncleo contm o elemento nulo do espao.

    II) Adio:

    T(v1+v

    2) = T(v

    1)+T(v

    2) = 0+0 = 0

    logo, v1 +v

    2 N(T)

    III) Multiplicao por escalar:

    Seja , ento

    T(v1) = T(v

    1) = 0 = 0

    v1 N(T)

  • Espao V Espao W

    V5

    V1

    Vn

    V3

    V2

    V4

    W5

    W1

    W4

    Wn

    W3

    W2

    T:VW

    Im(T)

    Aula 14 lgebra Linear 49

    Imagem A imagem de uma transformao linear consiste no subconjunto do espao imagem que

    contm os vetores resultantes da aplicao das transformaes lineares quando inserimos os elementos do domnio.

    Seja T:VW, chamamos de imagem de uma transformao linear o conjunto de vetores w W que so imagens de pelo menos um vetor v V.

    Im(T)= {w W; T(v)=w, para algum v V }A Figura 3 mostra a relao da imagem com os espaos vetoriais envolvidos.

    Figura 3 Imagem de uma transformao linear

    Note que a imagem da transformao est contida em W, Im(T) W, e Im(T) , pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 Im(T).

    Teorema

    Sejam U e V espaos vetoriais de dimenso fi nita e T:UV uma transforma-o linear, tem-se:

    dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))

  • Aula 14 lgebra Linear50

    Exemplo 5 Encontre o ncleo e a imagem da transformao T(x,y)=(x+y,x).

    Resoluo:NcleoSabemos que para o ncleo T(x,y)=0, logo

    T (x, y) = (x+ y, x) = (0, 0){x+ y = 0

    x = 0

    x = y = 0

    Portanto, N(T)={(0,0)}

    ImagemPara encontrar a imagem, vamos escrever a transformao em coluna:

    T (x, y) = (x+ y, x) =

    (x+ y

    x

    )

    Como aparecem duas incgnitas, x e y, ento separaremos em dois vetores, um para cada varivel.

    T (x, y) = x

    (1

    1

    )+ y

    (1

    0

    )

    Os vetores que aparecem so os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente independentes (LI).

    Como (1,1) e (1,0) so LI, ento:

    Im(T)={(1,1),(1,0)}

    *Se os vetores no fossem LI, teramos que retirar um vetor e verifi car se o conjunto rema-nescente seria LI. Caso afi rmativo, teramos a base da imagem e, caso fossem LD, teramos que retirar mais um vetor e fazer a verifi cao quantas vezes forem necessrias.

  • 3

    Desafi o

    Aula 14 lgebra Linear 51

    Exemplo 6 Encontre o ncleo e a dimenso da imagem da transformao linear T:33, onde T(x,y,z)=(xy+2z , 2x+yz , 3x+z).

    Resoluo:Encontrando o ncleo:Sabemos que para o ncleo T(x,y,z)=0(x y + 2z, 2x+ y z, 3x+ z) = 0

    x y + 2z = 02x+ y z = 03x+ z = 0

    x

    z = 3xy = 5x

    (x, y, z) = x(1,5,3)

    N(T ) = (1,5,3)

    Como o ncleo da transformao tem apenas um vetor na base, entodim(N(T)) = 1.Usando o teorema das dimenses:dim(3) = dim(N(T)) + dim(Im(T))3 = 1 + dim(Im(T))dim(Im(T)) = 2.

    Encontre o ncleo, a imagem, a dimenso do ncleo e a dimenso da imagem da transformao linear T:32, onde T(x,y,z)=(xy+z, x+z).

    1) Encontre uma transformao linear cujo ncleo seja P2.

    2) Seja T:P1P

    1, T(x+1)=2x+3 e T(x1)=3x2, encontre T(ax+b).

    3) Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes Im(T), sendo T:M22M

    22,

    T

    ([a b

    c d

    ])=

    [a+ b b+ c

    c+ d d+ c

    ]

  • 1

    Resumo

    Aula 14 lgebra Linear52

    AutoavaliaoVerifi que se as transformaes so lineares.

    a) T:33, T(x,y,z) = (xy,x 2+z, y+2z)

    b) T:5, T(v,x,y,z,w) = (x+3y2zw)

    c) T:33, T(x,y,z) = (0,0,0)

    d) T:42, T(x,y,z,w) = (xy+2z+3, 3xw+4z)

    e) T : M22 , A =[

    a b

    c d

    ], T (A) = det(A)

    f) T : M22 M44, T([

    a b

    c d

    ])=

    a 0 0 0

    0 b 0 0

    0 0 c 0

    0 0 0 d

    g) T:Mnn Mnn, , Ann, T(A) = At

    h) T:P2R, P

    2(x)=a

    2x 2 + a

    1x + a

    0,T(P

    2) = a

    2a

    1a

    0

    i) T:P2 P

    2, T(a

    2x2+a

    1x +a

    0) = (a

    2 a0)x 2 + (a0+a1+a2)

    j) T : P3 P2, T (P2) = dP2dx

    k) T:P2 P

    3, T(p(x)) =

    p(x) + xp(x) + x2p (x)

    Nesta aula, voc viu uma introduo s transformaes lineares e descobriu que atravs delas que os espaos vetoriais se relacionam. Viu ainda a defi nio de ncleo e imagem de uma transformao linear e como calcul-los.

  • 2

    4

    5

    6

    3

    Aula 14 lgebra Linear 53

    Encontre a regra para a transformao linear, sabendo que:

    a) T:22, Base do 2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (1,1)

    b) T:32, Base do 3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2) e T(1,1,1) = (4,2)

    c) T:24, Base do 2 = {(1,1),(1,1)}, T(1,1) = (0, 4, 0, 1) e T(1,1) = (4,2,2,1)

    Sejam as transformaes T(v1) = (1,1,1), T(v

    2) = (1,0,1) e T(v

    3) = (1,2,0),

    encontre T(3v1 v

    2 + 5v

    3).

    Sabendo que Q(u) = x22 e Q(v) = 23x, encontre Q(3u2v).

    Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformaes:

    a) T:5, T(v,x,y,z,w) = (x+3y2zw), onde u = (1,1,2,0,1)

    b) T : M22 M22, T([

    a b

    c d

    ])=

    [a 00 b

    ],u =

    [3 2

    7 2

    ]

    c) T : P2 P1, T (P2) = dP2dx ,u = 5x2 3x+ 2

    Encontre o ncleo e a imagem das transformaes:

    a) T:5, T(v,x,y,z,w) = (x+3y 2zw)

    b) T:22, T(x,y) = (x+3y,3y)

    c) T:3, T(x) = (x,0,3x)

    d) T:32, T(x,y,z) = (x+y, x+z)

    e) T : M22 M22, T([

    a b

    c d

    ])=

    [a 00 b

    ]

    f) T : P2 P1, T (P2) = dP2dx

    g) T: P2 P

    2, T(p(x))= xp (x)

  • 7

    8

    Aula 14 lgebra Linear54

    Encontre a dimenso do ncleo e da imagem das transformaes:

    a) T:5, T(v,x,y,z,w) = (3xw)

    b) T:22, T(x,y) = (xy, 3x+y)

    c) T:3, T(x) = (0,0,5x)

    d) T:32, T(x,y,z) = (y,x+y+z)

    e) T:M22 M

    22, T : M22 M22, T

    ([a b

    c d

    ])=

    [a a+ b+ c

    a b c b

    ]

    f) T : P3 P1, T (P3) = d2P3dx2

    g) T: P2 P

    3, T(p(x))= xp(x)

    h) T : 2 2, T (x, y) = 12(x+ y, x y)

    O que o ncleo de uma transformao linear? E a imagem de uma transformao linear?

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 14 lgebra Linear 55

  • Anotaes

    Aula 14 lgebra Linear56

  • Transformaes lineares e matrizes

    15Aula

  • 1

    2

    Aula 15 lgebra Linear 59

    ApresentaoTemos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representao matricial de sistemas

    pode facilitar seu manuseio, clculo e entendimento, quando tratamos com transformaes lineares no diferente. Toda transformao linear pode ser representada na forma matricial, o que implica nas mesmas facilidades da representao matricial dos sistemas.

    ObjetivosObter transformaes lineares na forma matricial.

    Efetuar clculos com transformaes lineares na forma matricial.

  • Aula 15 lgebra Linear 61

    Defi nioConsideremos uma transformao linear T:n m defi nida pelas equaes da forma:

    w1 = a11x1 + a12x2 + a1nxnw2 = a21x1 + a22x2 + a2nxn

    wm = am1x1 + am2x2 + amnxn

    Podemos escrever essas equaes como um produto de matrizes, separando as matrizes dos termos independentes W, dos coefi cientes A e das incgnitas X, onde

    W=A.X

    w1

    w2

    wm

    =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    am1 am2 amn

    x1

    x2

    xn

    Onde A chamada matriz cannica da transformao linear.Prova que T(x)=A.X uma transformao linear:

    i) F(x1 + x

    2) = F(x

    1) + F(x

    2)

    F(x1 + x

    2) = A(x

    1 + x

    2) = Ax

    1 + Ax

    2 = F(x

    1) + F(x

    2)

    ii) F(k.x) = k.F(x)

    F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x)

    As duas regras so satisfeitas, logo, uma transformao linear.

    Exemplo 1 A transformao linear T:43, defi nida por:T(x

    1, x

    2, x

    3, x

    4) = (2x

    1 3x

    2 + x

    3 5x

    4, 4x

    1 + x

    2 2x

    3 + x

    4, 5x

    1 x

    2 + 4x

    3)

    Pode ser representada da seguinte forma; w1w2

    w3

    =

    2 3 1 54 1 2 1

    5 1 4 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    W = A X

    Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coefi cientes da primeira varivel, x1, na

    segunda de x2 e assim sucessivamente.

  • Aula 15 lgebra Linear62

    Encontrando a matriz transformao com as bases cannicas

    Podemos encontrar a matriz transformao com a aplicao dos vetores da base cannica transformao linear. A matriz montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem dos vetores da base cannica.

    Exemplo 2 A transformao linear T:43, defi nida por:

    T(x1, x

    2, x

    3, x

    4) = (2x

    1 3x

    2 + x

    3 5x

    4, 4x

    1 + x

    2 2x

    3 + x

    4, 5x

    1 x

    2 + 4x

    3)

    ResoluoO primeiro passo identifi car a base cannica do espao domnio, nesse exemplo o 4, logo, a base cannica :

    e1 = (1,0,0,0)e2 = (0,1,0,0)e3 = (0,0,1,0)e4 = (0,0,0,1)

    Em seguida, aplicamos a transformao aos vetores da base cannica:

    T(e1) = (2.1 3.0 + 0 5.0,4.1 + 0 2.0 + 0,5 .1 0 + 4.0) = (2,4,5)T(e2) = (2.0 3,1 + 0 5.0,4.0 + 1 2.0 + 0,5.0 1 + 4.0) = (3,1,1)T(e3) = (2.0 3.0 + 1 5.0,4.0 + 0 2.1 + 0,5.0 0 + 4.1) = (1, 2, 4)T(e4) = (2.0 3.0 + 0 5.1,4.0 + 0 2.0 + 1,5.0 0 + 4.0) = (-5,1,0)

    Agora, montamos a matriz transformao A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4) por coluna:

    A = [T (e1)|T (e2)|T (e3)|T (e4)] =

    2 3 1 54 1 2 1

    5 1 4 0

    Logo,

    w1w2

    w3

    =

    2 3 1 54 1 2 1

    5 1 4 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    W = A X

  • 1

    Aula 15 lgebra Linear 63

    Encontre a forma matricial da transformao linear T:25, defi nida por:T(x

    1, x

    2) = (x

    1+2x

    2, 0, 3x

    1, x

    1x

    2, x

    2)

    Ncleo e Imagem de uma transformao linear na forma matricial

    A forma matricial de uma transformao linear facilita as operaes envolvidas e com o processo de obteno do ncleo e da imagem ocorre a mesma coisa.

    Exemplo 3 Encontre o ncleo e a imagem da transformao linear T:43, defi nida por:

    T (X) = W =

    2 0 1 01 1 0 1

    0 0 1 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    W 3 e X 4

    ResoluoNcleoDevemos investigar que vetores do 4 resultam em um vetor nulo do 3 quando aplicados transformao: 2 0 1 01 1 0 1

    0 0 1 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    =

    00

    0

    Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espao nulo da matriz dos coefi cientes A.

  • 2

    Aula 15 lgebra Linear64

    Encontre o ncleo e a imagem da transformao linear T:33, defi nida por:

    T (X) =

    2 0 11 0 0

    1 1 0

    x1x2

    x3

    Usando a eliminao gaussiana, chegamos a:

    1 0 0 00 1 0 1

    0 0 1 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    =

    00

    0

    x1 = 0

    x2 + x4 = 0

    x3 = 0

    x1

    x2

    x3

    x4

    =

    0

    x40

    x4

    = x4

    0

    10

    1

    , N(T (X)) = {(0,1, 0, 1)}

    ImagemPara encontrar a imagem, separaremos os vetores:

    T (X) = x1

    21

    0

    + x2

    01

    0

    + x3

    10

    1

    + x4

    01

    0

    Aparecem multiplicados por x1 todos os seus coefi cientes e o mesmo acontece para x

    2, x

    3 e x

    4.

    Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem ser a maior quantidade possvel de vetores LI desse conjunto.Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto LD, pois temos quatro vetores de dimenso 3. Devemos ento descartar um e analisar o conjunto resultante.Escolhendo os trs primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, 1), quando calculamos percebemos que o conjunto LI, logo uma base para a Imagem da transformao.

    Im =(2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1)

    logo

  • Desafi o

    1

    2

    Resumo

    Aula 15 lgebra Linear 65

    Na aula sobre transformaes lineares e matrizes voc aprendeu como obter a forma matricial de uma transformao linear, assim como realizar operaes caractersticas dessas transformaes na forma matricial.

    Mostre que as transformaes T1 e T2 T:33 tm o mesmo ncleo e Imagem.

    T1(x, y, z) =

    0 0 00 1 0

    0 0 1

    xy

    z

    T2(x, y, z) =

    0 0 00 1 1

    0 2 1

    xy

    z

    Encontre o valor de a para que a dimenso do ncleo seja a mesma da imagem de T, onde T:22

    T (x, y) =

    [1 1

    a 1

    ][x

    y

    ]

  • 1

    2

    Aula 15 lgebra Linear66

    AutoavaliaoEscreva a transformao na forma matricial e encontre seu Ncleo e Imagem:

    a) T:5, T(v,x,y,z,w) = (x+3y2zw)

    b) T:22, T(x,y) = (x+3y, 3y)

    c) T:3, T(x) = (x, 0, 3x)

    d) T:32, T(x,y,z) = (x+y, x+z)

    e) T : P3 P1, T (P3) = d2P3dx2

    f) T:P2P

    3, T(p(x)) = xp(x)

    g) T : 2 2, T (x, y) = 12(x+ y, x y)

    Sabendo que a transformao envolve polinmios, encontre a forma por extenso da transformao e diga qual o espao domnio e qual o imagem:

    a) T (P ) =[

    1 0

    1 1

    ]P

    b) T (P ) =[

    1 1 22 0 1

    ]P

    c) T (P ) =

    1 0

    2 13 0

    4 2

    P

    d) T (P ) = 1 0 0 1 11 2 0 1 1

    1 0 0 0 1

    P

  • Anotaes

    Aula 15 lgebra Linear 67

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 15 lgebra Linear68

  • Transformaes lineares inversas

    16Aula

  • 1

    2

    3

    Aula 16 lgebra Linear 71

    ApresentaoVimos nas aulas anteriores que uma transformao Linear uma funo que associa

    espaos vetoriais distintos ou no. Imaginemos que essa associao, em muitos casos, deva permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformao que leva um vetor de uma espao V para um espao W permitir a transformao inversa, ento, possvel partir do vetor resultante em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida.

    ObjetivosSaber reconhecer quando uma transformao admite inversa.

    Aplicar a defi nio de inversa.

    Calcular a inversa de uma Transformao Linear.

  • T:VW

    Espaovetorial

    W

    Espaovetorial

    V

    T -1:VW

    Aula 16 lgebra Linear 73

    Defi nioConsideremos a Transformao Linear deV em W, T:VW. Partindo do ponto que

    o domnio da transformao corresponde ao conjunto de vetores de V que so aplicados transformao e que a imagem de T o subespao composto por todos os vetores em W gerados a partir de V atravs da transformao, ento, se a transformao permitir o caminho inverso, o que era imagem da transformao T passa a ser domnio da transformao inversa e o que era domnio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1.

    Notao para Transformao Linear inversa de T :T 1

    Figura 1 Transformao Linear inversa

    Relaes entre T e T 1

    Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, ento, teremos:

    T(v) = wT 1(w) = v

    T 1(T(v)) = vT(T 1(w)) = w

  • Funo injetorae no sobrejetora

    Domnio Imagem

    1

    2

    3

    A

    DB

    C

    Funo sobrejetorae no injetora

    Domnio Imagem

    1

    2

    3

    4

    A

    B

    C

    Funo bijetora

    Domnio Imagem

    1

    2

    3

    4

    A

    D

    B

    C

    Aula 16 lgebra Linear74

    Figura 2 Funo injetora, sobrejetora e bijetora

    Relembrando...Funes Injetoras, Sobrejetora e BijetoraUma funo dita injetora se para cada elemento do domnio existe um cor-respondente exclusivo no contradomnio. Uma funo classifi cada como so-brejetora se a imagem corresponder a todo o contradomnio. J no caso de a funo ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela classificada como bijetora. A Figura 2 mostra a diferena entre os tipos de funes.

    Critrios para transformao inversaPara que uma Transformao Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve

    ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

    Transformao Injetora

    Dada uma transformao linear T:VW, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a V, diz-se que T injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T injetora se as ima-gens de vetores distintos so distintas. Uma transformao linear injetora quando Ker(T )=0.

    Transformao Sobrejetora

    Dada uma transformao linear T:VW, tem-se que a transformao sobrejetora se a imagem de T coincidir com W.

  • Aula 16 lgebra Linear 75

    Transformao Bijetora

    A transformao bijetora se for injetora e sobrejetora.Quando uma transformao linear T:VW for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo,

    tem-se um isomorfi smo.

    Se T bijetora, ento, cada vetor w pertencente Im(T) imagem de um nico vetor v em V. Essa unicidade que permite defi nir essa nova funo, chamada transformao inversa de T, que leva w de volta em v.

    Exemplo 1 Verifi que se a transformao bijetora: T : 22 T(x,y)=(x+y, x).

    ResoluoPara que a transformao seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora.

    InjetoraUma transformao injetora se o ncleo da transformao for apenas o vetor nulo.Encontrando o ncleo:T(x,y) = (0,0)(x+ y, x) = (0, 0){

    x+ y = 0

    x = 0

    Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} A transformao injetora.

    SobrejetoraA transformao sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomnio, ou seja, o 2.Encontrando a imagem:

    T (x, y) = (x+ y, x) =

    (x+ y

    x

    )= x

    (1

    1

    )+ y

    (1

    0

    )

    Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifi ca-se que so LI, logo, a imagem corresponde ao espao gerado por esses dois vetores, o prprio 2.

    Im(T(x,y)) = 2

    Assim sendo, a imagem igual ao contradomnio e a transformao sobrejetora. Como a transformao injetora e sobrejetora, logo bijetora.

  • 1

    Aula 16 lgebra Linear76

    Verifi que se a transformao bijetora: T: 32 T(x,y,z)=(0, x y+z, 2xz).

    Forma matricial e transformao inversaUma maneira mais simples de verifi car se uma Transformao Linear admite inversa

    proceder a anlise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz cannica da transformao, basta verifi car se essa matriz admite inversa, caso afi rmativo, a transformao tambm ad-mite e sua transformao inversa tem a matriz cannica defi nida pela inversa da matriz da transformao original.

    Exemplo 2 Verifi que se a transformao admite inversa: T: 22 T(x,y)=(x+y,x).

    ResoluoPassando para a forma matricial:

    T (x, y) = (x+ y, x)

    T (x, y) =

    (1 1

    1 0

    )(x

    y

    )

    Analisando a matriz cannica da transformao A =(

    1 1

    1 0

    ) verifi ca-se que a matriz admite

    inversa, pois det(A) = 1, logo, a transformao tambm admite inversa.

    Calculando a inversa de A temos:

    A1 =

    (0 1

    1 1

    ), portanto, a transformao inversa dada por:

    T1(x, y) =

    (0 1

    1 1

    )(x

    y

    )= (y, x y)

  • Aula 16 lgebra Linear 77

    Uma Transformao Linear admite inversa se for bijetora e uma transformao apenas ser bijetora se a matriz que a representa for inversvel.

    Exemplo 3 Encontre a inversa da transformao caso exista. T:23, T(x,y)=(2xy,y+3x, x+y)

    ResoluoPassando para a forma matricial:

    T (x, y) = (2x y, y + 3x, x+ y)

    T (x, y) =

    2 13 1

    1 1

    (x

    y

    )

    Como a matriz cannica da transformao no admite inversa por no ser uma matriz quadrada, ento, a transformao tambm no admite inversa.Para investigarmos porque no admite inversa, vamos averiguar se ela injetora e sobrejetora.

    Verifi cando se a transformao Injetora

    T (x, y) = (0, 0, 0)

    T (x, y) = (2x y, y + 3x, x+ y) = (0, 0, 0)

    2x 1 = 0y + 3x = 0

    x+ y = 0

    x = y = 0

    N(T (x, y)) = {(0, 0)}

    N(T(x,y))= {(0,0)} injetora.

    Verifi cando se a transformao Sobrejetora

    T (x, y) = (2x y, y + 3x, x+ y) =

    2x yy + 3x

    x+ y

    = x

    23

    1

    + y

    11

    1

    Os dois vetores que obtemos so LI, logo, so a base da Imagem.Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)}

    O espao correspondente Imagem que gerado por esses dois vetores no compreende todo o 3 e sim um plano dentro do 3. Dessa forma, a transformao no sobrejetora, portanto, no admitindo inversa.

    injetora

  • 2

    Desafi o

    Resumo

    1

    2

    3

    Aula 16 lgebra Linear78

    Encontre a inversa da transformao, caso exista. T: 33, T(x,y,z)=(2x y z, 2z y+3x, x+3z)

    Seja T uma transformao linear do espao dos polinmios reais de grau menor ou igual a 2, definida por:

    T (1) =1+xT (x) = 3x2T (x2) = 4+2x 3x2

    A transformao T tem inversa? Justifique.

    Seja T uma transformao linear T: 33, definida por:

    T(x1,x

    2,x

    3) =(a

    1x

    1,a

    2x

    2,a

    3x

    3), a

    i .

    Determine as condies que a1,a

    2 e a

    3 devem satisfazer para T admitir inversa.

    Obtenha a expresso de T1.

    Por que necessrio que a transformao seja bijetora para possuir inversa?

    Nesta aula, voc aprendeu a identifi car quando uma Transformao Linear admite inversa e como encontrar a transformao inversa. Aprendeu ainda a relacionar os vetores dos espaos ligados por transformaes que apresentam inversa.

  • 1

    2

    3

    Aula 16 lgebra Linear 79

    AutoavaliaoO que uma transformao linear injetora? E sobrejetora?

    Verifi que se as transformaes so injetoras e/ou sobrejetoras.

    a) T: 2 4, T(x,y) = (x+y, 3x, x 2y, y)

    b) T: 4 4, T(x,y,z,w) = (x+y, 3w, z 2y, x)

    c) T: 2 2, T(x,y) = (x+y,0)

    d) T (u) =[

    2 0

    2 1

    ]u

    e) T1(u) =

    1 0 1 0

    2 2 0 00 1 1 3

    2 0 0 3

    u

    f) T (u) =[

    1 0 10 1 0

    ]u

    g) T:P 2 P

    2 , T(a

    2x2 + a

    1x + a

    0) = (a

    2 a

    0)x2

    Indique a inversa das transformaes, por extenso, caso existam.

    a) T: 4 4, T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0)

    b) T:2 2, T(x, y) = (x, 2y)

    c) T (u) =[

    2 0

    1 1

    ]u

    d) T1(u) = 1 1 20 1 0

    1 1 1

    u

    e) T:P2 P

    3, T(a

    2x2 + a

    1x + a

    0) = x (a

    2x2 + a

    1x + a

    0)

    f) T:P1 P

    3, T(a

    1x + a

    0) = ((a

    1+a

    0)x3 + a

    1x2 + a

    0x)

  • 4

    5

    Anotaes

    Aula 16 lgebra Linear80

    Seja T: :33 uma transformao linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b e c . Determine as condies que a,b e c devem satisfazer para que T admita inversa. Para esses casos, encontre T 1 se possvel.

    Seja T:22 defi nida por T (x,y)=(kx,x+y), k .

    a) Determine k de modo a que a transformao T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformao inversa T1.

    b) Considere k = 0. Determine a dimenso e uma base para o ncleo de T.

    RefernciasA NTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

    g) T : P2 P2, T (a2x2 + a1x+ a0) = xd(a2x2 + a1x+ a0)

    dx

    h) T:P2 P

    2 , T(p(x)) = p(x +1)

  • Anotaes

    Aula 16 lgebra Linear 81

  • Anotaes

    Aula 16 lgebra Linear82

  • Transformaes lineares e geometria do 2

    17Aula

  • 1

    2

    Aula 17 lgebra Linear 85

    Apresentao

    Uma das formas mais comuns de utilizar as Transformaes Lineares a aplicao a vetores no plano. Modifi caes como expanso, rotao, refl exo etc. so utilizadas cor-riqueiramente e servem de base para a manipulao de imagens. Veremos a aplicao de transformaes lineares no plano, porm, os princpios vistos aqui podem ser expandidos a espaos com dimenso superior.

    ObjetivosIdentifi car matrizes transformaes e aplicar a vetores no plano.

    Utilizar combinaes de Transformaes Lineares.

  • y

    x

    u

    y

    x

    uy

    x

    u

    -ku

    y u ku

    ku

    0 < K < 1K > 1 K < 0

    Aula 17 lgebra Linear 87

    Defi nio As Transformaes Lineares permitem modifi carmos vetores utilizando apenas multipli-

    cao de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformao Linear a um vetor, o que resulta em outro vetor com uma, ou vrias, alteraes previamente defi nidas. Aqui, sero analisadas algumas dessas transformaes no 2, as quais podem ser expandidas para outros espaos euclidianos.

    Operaes sobre vetores Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y).

    1) Semelhana (Expanso e contrao)

    Nessa operao, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direo e o sentido.

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = k(x, y) T (x, y) =

    [k 0

    0 k

    ][x

    y

    ]

    A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformao k.u para os possveis valores de k. Note que as duas coordenadas so alteradas do fator k.

    Figura 1 Vetor u e suas alteraes de semelhana

  • x

    y

    x

    u u

    y

    T(u)

    Aula 17 lgebra Linear88

    2) Refl exo em torno do eixo Y

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (x, y) T (x, y) =[

    1 0

    0 1

    ][x

    y

    ]

    A Figura 2 mostra o vetor u e sua refl exo em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a coordenada x modifi cada, permanecendo a mesma coordenada y.

    Figura 2 Vetor u e sua refl exo em torno do eixo Y

    3) Refl exo em torno do eixo X

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (x,y) T (x, y) =[

    1 0

    0 1

    ][x

    y

    ]

    A Figura 3 mostra o vetor u e sua refl exo em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada y modifi cada e a coordenada x permanece a mesma.

  • x

    y

    x

    u u

    y

    T(u)

    x

    y

    x

    u uy

    T(u)

    Aula 17 lgebra Linear 89

    Figura 3 Vetor u e sua refl exo em torno do eixo X

    4) Refl exo em torno da reta Y = X

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (y, x) T (x, y) =

    [0 1

    1 0

    ][x

    y

    ]

    A Figura 4 mostra o vetor u e sua refl exo em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada x e y so invertidas.

    Figura 4 Vetor u e sua refl exo em torno da reta Y = X

    5) Projeo ortogonal sobre o eixo Y

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (0, y) T (x, y) =

    [0 0

    0 1

    ][x

    y

    ]

  • x

    y

    x

    uu

    y

    T(u)

    x

    y

    x

    u u

    y

    T(u)

    Aula 17 lgebra Linear90

    A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeo ortogonal sobre o eixo Y. No caso da projeo ortogonal, uma das coordenadas zerada, se for a projeo sobre o eixo Y, a coordenada x descartada.

    Figura 5 Vetor u e sua projeo ortogonal sobre o eixo Y

    6) Projeo ortogonal sobre o eixo X

    Forma por extenso Forma matricial

    T(x,y) = (x,0)T (x, y) =

    [1 0

    0 0

    ][x

    y

    ]

    A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeo ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a coordenada y descartada.

    Figura 6 Vetor u e sua projeo ortogonal sobre o eixo X

  • x

    y

    x

    u

    u

    y T(u)

    Aula 17 lgebra Linear 91

    7) Rotao de um vetor de um ngulo

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (x cos() y sen(), x sen() + y cos()) T (x, y) =[

    cos() sen()sen() cos()

    ][x

    y

    ]

    A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotao de um ngulo .

    Figura 7 Vetor u e sua rotao de um ngulo

    8) Cisalhamento de um fator k na direo X

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (x+ ky, y) T (x, y) =

    [1 k

    0 1

    ][x

    y

    ]

    A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo X. Note que, medida que o vetor se afasta do eixo y, a distoro maior, perceba que, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y prximo de zero, o cisalhamento menor, porm, se y for grande, ento, essa distoro ser maior.

  • y

    x

    u

    y

    x

    u

    K > 0

    T(u)

    y

    u

    K < 0

    T(u)

    Aula 17 lgebra Linear92

    Figura 8 Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X

    9) Cisalhamento de um fator k na direo Y

    Forma por extenso Forma matricial

    T (x, y) = (x, kx+ y) T (x, y) =

    [1 0

    k 1

    ][x

    y

    ]

    A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x prximo de zero, o cisa-lhamento menor, porm, se x for grande, ento, essa distoro ser maior.

  • 1

    y

    x

    u

    y

    x

    uy

    u

    K < 0 K > 0

    T(u)

    T(u)

    Aula 17 lgebra Linear 93

    Figura 9 Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y

    Exemplo 1 Obtenha a projeo ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,5).

    ResoluoPara obter a projeo de qualquer vetor do 2 sobre o eixo x, basta usar a transformao:

    T (x, y) =

    [1 0

    0 0

    ][x

    y

    ], logo, T (3,5) =

    [1 0

    0 0

    ][3

    5

    ]=

    [3

    0

    ]

    Portanto, a projeo do vetor (3,5) sobre o eixo x o vetor (3,0).

    Encontre o vetor resultante da rotao do vetor (1,4) de um ngulo de 90.

  • Aula 17 lgebra Linear94

    Composio de transformaes lineares

    Em muitas situaes, h a necessidade de aplicarmos no apenas uma, mas uma sequ-ncia de transformaes a um conjunto de vetores. Nessa situao, ao invs de multiplicarmos uma matriz transformao e depois outra e outra, o melhor a fazer encontrar uma nica matriz que represente a aplicao de todas as transformaes desejadas. Para obtermos essa matriz equivalente, basta que multipliquemos as matrizes s transformaes envolvidas.

    Consideremos que se deseja aplicar a transformao T1(u) e depois T

    2(u), nessa

    ordem, onde T1 a matriz transformao de T

    1(u), T

    2 a matriz transformao de T

    2(u)

    e u um vetor, ento, teremos:T2 T1(u) = T2(T1(u)) = T2 T1

    Onde: T2 T1 = T1 T2

    Exemplo 2 Obtenha o vetor resultante da rotao de 90 seguida de refl exo sobre o eixo y do vetor (4,3).

    ResoluoPrimeiro encontramos as duas matrizes transformaes:

    Rotao de 90: T (x, y) =[

    cos() sen()sen() cos()

    ][x

    y

    ]=

    [cos(90 ) sen(90 )sen(90 ) cos(90 )

    ][x

    y

    ]

    T1(x, y) =

    [0 11 0

    ][x

    y

    ]

    Refl exo sobre o eixo Y:

    T2(x, y) =

    [1 00 1

    ][x

    y

    ]

    Obtendo a combinao:

    T2 T1(x, y) = T2 T1 =[

    1 00 1

    ][0 11 0

    ]=

    [0 1

    1 0

    ]

    T2 T1(x, y) =[

    0 1

    1 0

    ][x

    y

    ]

    T2 T1(4, 3) =[

    0 1

    1 0

    ][43

    ]=

    [3

    4

    ]

  • 2

    y

    x

    3

    -4

    -3 3

    -4 -4

    u

    T1(u) T

    2(T

    1(u))

    y

    x

    y

    x

    Vetor u Rotao de 90 Reflexo em torno do eixo y

    Aula 17 lgebra Linear 95

    Verifi cando grafi camente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10.

    Figura 10 Vetor u e a aplicao de duas transformaes seguidas

    Obtenha o vetor resultante da refl exo em t orno da reta y=x seguida da projeo ortogonal sobre o eixo x do vetor (5,3).

    Exemplo 3 Obtenha a transformao resultante da composio de duas rotaes, primeiro por um ngulo 1 e depois por 2.

    ResoluoAs transformaes so:

    T1(x, y) =

    [cos(1) sen(1)sen(1) cos(1)

    ][x

    y

    ]T2(x, y) =

    [cos(2) sen(2)sen(2) cos(2)

    ][x

    y

    ]

    A composio das duas dada por:

    TR = T2 T1 = T2 T1 =[

    cos(2) sen(2)sen(2) cos(2)

    ][cos(1) sen(1)sen(1) cos(1)

    ]

    TR =

    [cos(1)cos(2) sen(1)sen(2) cos(1)sen(2) sen(1)cos(2)sen(1)cos(2) + cos(1)sen(2) sen(1)sen(2) + cos(1)cos(2)

    ]

    TR =

    [cos(1 + 2) sen(1 + 2)sen(1 + 2) cos(1 + 2)

    ]

  • Aula 17 lgebra Linear96

    Como era de se esperar, a composio das duas rotaes resulta em fazer uma transformao apenas com a rotao da soma dos ngulos. NESSE CASO, a ordem no infl uncia.

    Transformaes Lineares no 3 Para as Transformaes Lineares sobre vetores no 3, no sero feitas as

    demonstraes, porm, o raciocnio o mesmo visto para o 2.

    Transformao Forma por extenso Forma matricial

    Expano-contrao T (x, y, z) = (kx, ky, kz)

    k 0 00 k 0

    0 0 k

    Refl exo em torno do plano xy T (x, y, z) = (x, y,z)

    1 0 00 1 0

    0 0 1

    Refl exo em torno do plano xz T (x, y, z) = (x,y, z)

    1 0 00 1 0

    0 0 1

    Refl exo em torno do plano yz T (x, y, z) = (x, y, z)

    1 0 00 1 0

    0 0 1

    Projeo ortogonal sobre o plano xy

    T (x, y, z) = (x, y, 0)

    1 0 00 1 0

    0 0 0

    Projeo ortogonal sobre o plano xz

    T (x, y, z) = (x, 0, z)

    1 0 00 0 0

    0 0 1

    Projeo ortogonal sobre o plano yz

    T (x, y, z) = (0, y, z)

    0 0 00 1 0

    0 0 1

  • Desafi o

    Resumo

    Aula 17 lgebra Linear 97

    1) Considerando as Transformaes Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matri-zes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicao das Transformaes Lineares em sequncia, T1 at T4, sobre o quadrado com vrtices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1).

    T1(x, y) = (3x y,y 2x) T3(x, y) = (x+ y, 0)

    T2(x, y) =

    (x+ y

    2,x y2

    )T4(x, y) = (x y, x)

    2) A Transformao Linear T (x, y) =(x+ y

    2,x y2

    ) bijetora? Justifi que.

    3) Utilizando a matriz transformao que defi ne a rotao de um vetor no 2 de um ngulo , determine os vrtices de um tringulo retngulo e issceles que tem um dos lados coincidente com o vetor A=(2,1).

    Nesta aula, voc aprendeu a aplicar Transformaes Lineares a vetores no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformaes. Esta aula contemplou ainda a composio de transformaes e a determinao de uma matriz resultante que represente a aplicao dessas transformaes em sequncia.

  • 1

    2

    3

    4

    Aula 17 lgebra Linear98

    AutoavaliaoEncontre a representao matricial cannica para cada um dos operadores lineares em 2 descritos a seguir.

    a) Gira cada vetor de 45 no sentido antitrigonomtrico.

    b) Refl ete cada vetor em relao ao eixo x e depois roda o vetor refl etido de 90 no sentido trigonomtrico.

    c) Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30 no sentido trigonom-trico.

    d) Refl ete cada vetor em relao reta x = y e depois projeta o vetor refl etido sobre o eixo x.

    Considerando as transformaes lineares do 2 , descreva geometricamente o que elas fazem com o vetor.

    Uma transformao linear T:22 obtida a partir da rotao de um vetor de um ngulo de 90, seguida de uma expanso por um fator k = 2,5, seguida de refl e-xes em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequncia. Qual a transformao linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horrio.

    Conhecendo as transformaes T:33 , onde Ta(x,y,z)=(x+z, 2xz, y2z), Tb(x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc(x,y,z)=(y,z,x), encontre:

    a) (Tc Ta)(1, 1, 1)

    b) (Tb Ta)(0,1, 2)

    c) (Ta Tb Tc)(1,1, 1)

    d) (Tc Tb Ta)(1,1, 1)

    a) T (x, y) = (x, y)

    b) T (x, y) = (x2, 0)

    c) T (x, y) = (x, 0)

    d) T (x, y) = y(e1)

    e) T (x, y) = (x, y)

    f) T (x,y) = (x,y)

  • Anotaes

    Aula 17 lgebra Linear 99

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 17 lgebra Linear100

  • Formas qudricas

    18Aula

  • 1

    2

    Aula 18 lgebra Linear 103

    ApresentaoA lgebra Linear pode ser usada, alm de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula,

    veremos como equaes qudricas podem ser reescritas visando uma mudana de coorde-nadas que facilitar o traado do seu grfi co futuramente.

    ObjetivosSaber manipular as formas qudricas da forma por extenso para forma matricial e o contrrio.

    Reconhecer a matriz associada das formas qudricas.

  • Aula 18 lgebra Linear 105

    Defi nio Formas qudricas ou quadrticas so funes em que aparecem termos com multiplica-

    o de variveis, fato que no ocorre nas funes lineares.

    Forma linear Todas as variveis aparecem na primeira potncia e no h produto de variveis

    na expresso. a

    1x1 + a2x2 + ... + anxn

    Forma bilinear As variveis aparecem na primeira potncia e h produto de variveis distintas

    na expresso. a

    1x1y1 + a2x2y2 + ... + anxnyn

    Forma qudrica possvel aparecer quadrados de variveis ou produto de duas variveis:

    No 2 a1x21 + a2x22 + a3x1x2

    No 3 a1x21 + a2x22 + a3x23 + a4x1x2 + a5x1x3 + a6x2x3

    Onde os termos que envolvem variveis distintas so chamados de produto misto ou termo cruzado. Exemplo: a

    2x

    1x

    2.

  • Aula 18 lgebra Linear106

    Representao matricial Seja x um vetor de dimenso n, y um vetor de dimenso n e A uma matriz nn.

    x =

    x1

    x2

    xn

    y =

    y1

    y2

    yn

    A =

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    an1 an2 ann

    Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma: L(x) = Ax

    Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma:B(x) = xTAy

    Uma forma quadrtica pode ser associada a uma matriz na forma:Q(x) = xTAx

    Onde A a matriz associada forma qudrica.

    Exemplo 1

    Seja A =[

    3 2

    2 7

    ] a matriz associada forma qudrica, encontre sua expresso

    por extenso.

    Resoluo:Conhecendo a matriz que associada forma qudrica, basta substituir na expresso Q(x) = XTAx. Como a matriz A tem ordem 2x2, ento o vetor X s pode pertencer ao 2:

    X =

    [x1

    x2

    ]

    Substituindo:

    Q(x) = xTAx =[x1 x2

    ] [ 3 22 7

    ][x1

    x2

    ]

    Q(x) = [(3x1 2x2)(2x1 + 7x2)][

    x1

    x2

    ]

    Q(x) = 3x21 + 7x22 2x1x2 + 2x1x2

    Q(x) = 3x21 + 7x22

  • Aula 18 lgebra Linear 107

    Obtendo a forma matricial Quando se conhece a matriz associada forma qudrica fcil obter a forma por extenso,

    o contrrio tambm pode ser obtido, porm, requer um pouco mais de ateno.Procedimento:

    Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variveis envolvidas.

    Identifi camos os coefi cientes dos termos ao quadrado.

    Alocamos na diagonal principal esses coefi cientes.

    As demais entradas da matriz dependem dos coefi cientes dos termos cruzados, a posio ij + a posio ji na matriz corresponde ao coefi ciente do termo cruzado xixj.

    Exemplo 2Considere a forma qudrica Q(x) = x21 2x22 + 5x1x2 e obtenha uma forma matricial equivalente.

    Resoluo:Primeiro, defi niremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variveis x

    1 e x

    2, ento

    a matriz associada ter ordem 2x2.

    A =

    [

    ]

    Os elementos dos termos ao quadrado so os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coefi cientes so: 1 e 2

    A =

    [1

    2

    ]

    Os elementos a12

    e a21

    partem dos termos cruzados, onde a12+a

    21 corresponde ao coefi ciente

    do termo x1x

    2.

    a12+ a

    21 = 5

    Existe uma infi nidade de possibilidades: (2 e 3), (1 e 4), (0 e 5), (2,5 e 2,5)...

    O que ocorre que sempre se tende a utilizar matrizes simtricas, pelo fato destas apresentarem algumas facilidades, vistas mais adiante, portanto:

    A =

    [1 2, 5

    2, 5 2

    ]

  • Aula 18 lgebra Linear108

    Forma matricial: Q(x) = xTAx =[x1 x2

    ] [ 1 2, 52, 5 2

    ][x1

    x2

    ]

    possvel observar que para cada funo existe uma infinidade de matrizes que se encaixariam na sua representao, cabe escolher ento a mais adequada.Verifi cando se a matriz associada de fato forma qudrica dada:Q(x) = xTAx

    Q(x) = xTAx =[x1 x2

    ] [ 1 2, 52, 5 2

    ][x1

    x2

    ]

    Q(x) = [(x1 + 2, 5x2)(2, 5x1 2x2)][

    x1

    x2

    ]

    Q(x) = x21 + 2, 5x1x2 + 2, 5x1x2 2x22Q(x) = x21 + 5x1x2 2x22

    Exatamente a forma qudrica inicial.

    Exemplo 3Seja, Q(x) = x21 + 2x22 + 3x23 + 5x1x2 x1x3 + 2x2x3 encontre a matriz associada.

    Resoluo:Primeiro, defi niremos a ordem da matriz. Como aparecem as variveis x

    1, x

    2 e x

    3, ento, a matriz associada ter ordem 3x3.

    A =

    Os elementos dos termos ao quadrado so os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coefi cientes so: 1, 2 e 3.

    A =

    1 2

    3

    Os demais elementos partem dos termos cruzados:Coefi ciente do termo cruzado da varivel 1 com 2 : 5.Ento, os elementos a

    12 e a

    21 devem ter a soma igual a 5: a

    12 + a

    21 = 5.

    Optando pela matriz simtrica, teremos a12

    = 2,5 e a21 = 2,5.

    A =

    1 2, 52, 5 2

    3

  • 1

    Aula 18 lgebra Linear 109

    Os elementos a13

    e a31

    devem ter a soma igual a 1: a13

    + a31 = 1.

    Optando pela matriz simtrica, teremos a13 = 0,5 e a

    31 = 0,5.

    A =

    1 2, 5 0, 52, 5 2

    0, 5 3

    Os elementos a23

    e a32

    devem ter a soma igual a 2: a23 + a

    32 = 2.

    Optando pela matriz simtrica, teremos a23 = 1 e a

    32 = 1.

    A =

    1 2, 5 0, 52, 5 2 1

    0, 5 1 3

    Forma matricial: Q(x) = xTAx =[x1 x2 x3

    ] 1 2, 5 0, 52, 5 2 10, 5 1 3

    x1x2

    x3

    Verifi cando:

    Q(x) = xTAx =[x1 x2 x3

    ] 1 2, 5 0, 52, 5 2 10, 5 1 3

    x1x2

    x3

    Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 0, 5x3)(2, 5x1 2x2x3)(0, 5x1 + x2 + 3x3)]

    x1x2

    x3

    Q(x) = x21 + 2, 5x1x2 0, 5x1x3 + 2, 5x1x2 2x22 + x2x3 0, 5x1x3 + x2x3 + 3x23Q(x) = x21 2x22 + 3x23 + 5x1x2 x1x3 + 2x2x3

    Forma qudrica original.

    Encontre a forma matricial das formas qudricas e, ao fi nal, verifi que se a matriz est correta.

    a) Q(x) = 3x21 x2

    2 6x1x2

    b) Q(x) = 3x21 3x2

    2 + x2

    3 + 4x

    1x

    2 + 3x

    1x

    3 8x

    2x

    3

  • Desafi o

    Resumo

    Aula 18 lgebra Linear110

    Formas qudricas positivas Uma forma qudrica Q(x) = xTAx chamada positiva defi nida se xTAx>0 qualquer

    x diferente de zero.Existe ainda a nomenclatura negativa defi nida, quando xTAx

  • 1

    2

    3

    Aula 18 lgebra Linear 111

    AutoavaliaoIdentifi que quais das equaes so formas qudricas. Justifi que.

    a) Q(x)=2x 21 + 2x 2

    2 + 2x

    1x

    2

    b) Q(x)=5x1x

    2x

    3

    c) Q(x)=3x 21x 2

    2 + 4x

    1x

    2

    d) Q(x)=x 21 x 2

    2 + x 2

    3 2x 2

    4 + 8x

    1x

    2x

    3 +x

    3x

    4

    e) Q(x)=2x 31 + x 3

    2 + x 3

    3

    Transforme a forma matricial em forma qudrica, tomando a matriz A como a matriz associada forma qudrica.

    a) A = 1 4 32 3 2

    1 0 2

    b) A =[

    3 7

    4 3

    ]

    c) A = 1 3 23 3 1

    2 1 2

    d) A =

    1 0 1 23 2 1 31 2 0 0

    0 2 6 2

    e) A =

    2 2 0 7 54 1 2 4 60 3 4 1 0

    1 0 1 0 1

    1 2 6 1 2

    Escreva a forma qudrica na forma matricial.

    a) Q(x)=3x 21 x 2

    2 + 4x

    1x

    2

    b) Q(x)=2x 21 + x

    1x

    2

    c) Q(x)=4x 21 2x 2

    2 x 2

    3 + 4x

    1x

    2 6x

    1x

    3 + 8x

    2x

    3

    d) Q(x)=4x 24

    e) Q(x)=3x 21 + x 2

    2+ 4x

    1x

    2

    f) Q(x)=4x1x

    2 x

    2x

    4 2x

    2x

    5

  • Anotaes

    Aula 18 lgebra Linear112

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 18 lgebra Linear 113

  • Anotaes

    Aula 18 lgebra Linear114

  • Diagonalizao de formas qudricas

    19Aula

  • 1

    2

    3

    Aula 19 lgebra Linear 117

    ApresentaoA lgebra Linear quando aplicada s formas qudricas permite obter matrizes associadas

    simplifi cadas, facilitando clculos e reduzindo custo computacional. Ao lanar mo da dia-gonalizao, mostramos uma aplicao direta da lgebra Linear na geometria, uma vez que utilizaremos esse recurso para a facilitao do traado do seu grfi co futuramente.

    ObjetivosAplicar o processo de diagonalizao de matrizes s formas qudricas.

    Relacionar sistemas de coordenadas.

    Compreender a relao entre os sistemas de coordenadas envolvidos.

  • Aula 19 lgebra Linear 119

    Defi nioComo vimos na aula anterior, a forma matricial da forma qudrica obtida facilmente a

    partir da forma por extenso, porm, a matriz pode ser uma matriz cheia o que implica em v-rias difi culdades de manipulao. O que faremos nesta aula diagonalizar essa matriz associada para dispor de uma matriz simplifi cada. Uma matriz associada diagonal implica em uma forma qudrica sem termos cruzados, ento, o que de fato faremos eliminar os termos cruzados.

    Processo de diagonalizaoInicialmente utilizada a funo na forma padro:

    Q(x) = xTAx =[x1 x2 xn

    ]

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    an1 an2 ann

    x1

    x2

    xn

    O que faremos mudar de sistema de coordenadas, de X para Y, os quais se relacionam atravs da matriz P, que uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente.

    X = PY

    Onde:

    X o vetor varivel do n X =

    x1

    x2

    xn

    ,

    Y o novo vetor varivel do n Y =

    y1

    y2

    yn

    ,

    P uma matriz ortogonal que diagonaliza A.Aplicando a mudana de varivel:

    XTAX = (PY)TA(PY)

    XTAX = YTPTAPY

    XTAX = YT (PTAP )Y

    A nova matriz associada forma qudrica no novo sistema de coordenadas (PTAP).Como P uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, ento

    PT=P1

  • Aula 19 lgebra Linear120

    ePTAP = P1AP = D

    Onde D a matriz diagonalizada, cujos elementos da diagonal principal so os autovalores de A.

    D =

    1 0 00 2 0

    0 0 n

    Logo, XTAX = YTDY

    Exemplo 1Seja Q(x) = x21 5x22 8x1x2 , encontre uma mudana de varivel que transforme a forma qudrica em uma sem termos cruzados.

    Resoluo:

    Passando para a forma matricial, temos: Q(x) = xTAx =[x1 x2

    ] [ 1 44 5

    ][x1

    x2

    ].

    A matriz associada : A =[

    1 44 5

    ].

    Devemos diagonalizar a matriz A:

    Autovalores de A: 3 e 7

    Autovetores de A: v=3 =

    25

    15

    v=7 =

    15

    25

    .

    Como os autovetores j so ortonormais, no ser necessrio diagonaliz-los nem ortonor-maliz-los.

    Ento, x = Py , onde x =[

    x1

    x2

    ]y =

    [y1

    y2

    ]D =

    25

    15

    15

    25

  • Aula 19 lgebra Linear 121

    Mudando de coordenadas:

    Q(x) = x21 5x22 8x1x2 = xTAx = yTDy

    Q(y) = yTDy =[y1 y2

    ] [ 3 00 7

    ][y1

    y2

    ]

    Como a nova matriz associada D, ento a forma expandida fi ca:

    Q(y) = 3y21 7y22 Forma qudrica no novo sistema de coordenadas.

    Para relacionarmos os dois sistemas de coordenadas, basta utilizarmos a expresso x = Py, ento para calcularmos um determinado vetor em Q(x), basta obter o correspondente em y.

    Para calcular

    Q(x1, x2) = Q(2,2),Q(x) = x21 5x22 8x1x2Q(2,2) = 22 5 (2)2 8 2 (2) = 16

    Para encontrar o mesmo no sistema equivalente, primeiro encontramos seu correspondente em Y:X = PY

    Y = P1XP1 = PT

    Y = P1X =

    25

    15

    15

    25

    [

    2

    2

    ]65

    25

    y1 =65

    y2 =25

    Ento, aplicamos expresso em Y:

    Q(y) = 3y21 7y22Q(2,2) = 3

    (65

    )2 7

    (25

    )2= 16

  • Desafi o

    Resumo

    Aula 19 lgebra Linear122

    Seja Q(x) = 3x21 + 3x22 + 2x1x2 , encontre uma mudana de varivel que transforme a forma qudrica em uma sem termos cruzados.

    1) Diagonalize a forma qudrica Q(x) = 3x21 2x1x2 + 2x22 2x2x3 + 3x23 .

    2) Suponha que x um autovetor unitrio de dimenso 5 associado ao autovalor =3. Qual o valor de xT Ax?

    Nesta aula, voc viu que o processo de diagonalizao de essencial importncia na simplifi cao de formas qudricas. Voc aprendeu no apenas a aplicar a diagonalizao s formas qudricas como a relacionar vetores entre os sistemas de coordenadas envolvidos.

  • Aula 19 lgebra Linear 123

    AutoavaliaoElimine o termo cruzado das formas qudricas, escrevendo-as em um novo sistema de

    coordenadas. Encontre as matrizes que relacionam os dois sistemas. Para cada caso encontre a coordenada correspondente a x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1 no novo sistema de coordenadas.

    a) Q(x) = x21 + x22 + 10x1x2

    b) Q(x) = 2x1x2

    c) Q(x) = 9x21 + 7x22 + 11x23 8x1x2 + 8x1x3

    d) Q(x) = 2x1x3 + 6x2x3

    RefernciasANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra linear com aplicaes. Porto Alegre: Bookman, 2001.

    BOLDRINI, J. L. et al. lgebra linear. 3. ed. So Paulo: Harper-Row, 1980.

    LAY, David. lgebra linear e suas aplicaes. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

  • Anotaes

    Aula 19 lgebra Linear124

  • Sees cnicas

    20Aula

  • Aula 20 lgebra Linear 127

    Apresentao

    A lgebra Linear quando empregada na Geometria traz benefcios e facilidades ao traado de grfi cos. Uma vez aprendida a diagonalizao de formas qudricas, usaremos esse recurso para traar seus grfi cos no plano. Faremos uma mudana de sistema de co-ordenadas para trazer um grfi co deslocado em relao origem para a posio centralizada, o que facilita, e muito, o desenho do seu grfi co.

    ObjetivoTraar grfi cos de sees cnicas rotacionados e deslocados horizontal e/ou verticalmente em relao origem.

  • Hiprbole ParbolaElipse

    Aula 20 lgebra Linear 129

    Defi nio Chamamos de seo cnica a forma grfi ca que as qudricas do 2 assumem. Uma srie

    de fi guras chaves pode ser obtida a partir das formas qudricas, as quais variam de acordo com os parmetros da equao analisada.

    Quando analisamos os grfi cos das qudricas do 3, temos ento as superfcies cnicas, que no sero alvos do nosso estudo.

    O termo cnicas se d porque as fi guras, que so elipses, hiprboles e parbolas, podem ser obtidas a partir de cortes feitos em cones. A Figura 1 mostra como o plano corta o cone para formar as fi guras.

    Figura 1 Cnicas

    Interpretao geomtrica do 2Partindo da equao das formas qudricas: