Algebra I

Propriedades dos inteiros Princpio da boa ordenacao (e princpio de inducao)

Os numeros inteiros

Abordaremos algumas propriedades dos numeros inteiros, sendo dedestacar o Algoritmo da Divisao e o Teorema Fundamental daAritmetica. Falaremos de algumas aplicacoes como sejam a deteccao deerros e o sistema de encriptacao de dados RSA.

Algebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 24 / 51


Comecamos por fixar alguma notacao.

Conjunto dos numeros inteiros:

Z = {. . . ,6,5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}

Conjunto dos numeros inteiros positivos ou naturais:

Z+ = N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}

Conjunto dos numeros inteiros nao negativos:

Z+0 = N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}



Relembramos agora diversas nocoes importantes.

Um numero inteiro t, diferente de zero, diz-se divisor de um inteiro s seexiste um inteiro u tal que s = tu. Escreve-se t | s e le-se t divide s.Se t nao divide s escreve-se t - s.Um numero inteiro s diz-se multiplo de um numero inteiro t se existeum inteiro u tal que s = tu. Note-se que s e multiplo de t se e so se tdivide s.Um numero inteiro positivo, maior do que 1, diz-se primo se os seusunicos divisores positivos sao o 1 e ele proprio.

Da definicao de divisor resulta imediatamente a seguinte observacao.



Princpio de Boa Ordenacao

Para o estudo das propriedades dos numeros inteiros vamos admitir comoaxioma o Princpio de Boa Ordenacao em Z, dado que nao e possvelprovar este princpio a partir das propriedades aritmeticas elementares dosinteiros.

Axioma (Princpio de Boa Ordenacao)Qualquer conjunto P nao-vazio de inteiros positivos tem mnimo m, istoe, m P tal que x P m x.O conjunto P mencionado no Axioma anterior pode nao consistir somentede numeros inteiros positivos, como se afirma na proposicao seguinte.

ProposicaoQualquer conjunto nao-vazio de inteiros tem mnimo (respectivamente,maximo) desde que seja minorado (respectivamente, majorado).

O Princpio de Boa Ordenacao e equivalente a qualquer uma das formasdo Princpio de Inducao Matematica que se apresentam a seguir.



Proposicao (Princpio de Inducao Matematica - Primeiraforma)Sejam S um conjunto de inteiros e a um numero inteiro. Se

(i) a S e(ii) se n S e n a, entao n + 1 S,entao S contem todos os inteiros maiores ou iguais a a.

Demonstracao. Seja S um conjunto de inteiros e a um elemento de S .Suponhamos que S tem a seguinte propriedade: Se um qualquer inteiro n apertence a S , entao o inteiro n + 1 pertence a S . Queremos provar quequalquer inteiro m a pertence a S .Seja A = {m Z | m a m / S}. Suponhamos, com vista a chegar a umabsurdo, que A 6= . Sendo A 6= e minorado (a e um minorante), peloPrincpio de Boa Ordenacao, x0 A tal que m A x0 m. Visto que porhipotese a S , entao a / A e portanto x0 a+ 1. Assim, x0 1 a, mascomo x0 1 / A (porque x0 e mnimo de A) entao x0 1 S . Ora, aplicandoa propriedade de S admitida por hipotese, x0 S , o que nao pode ser poisx0 A. Chegamos a um absurdo pelo facto de ter suposto que A 6= , logoA = , ou seja, S contem todos os inteiros maiores ou iguais a a.



O Princpio de Inducao e utilizado com frequencia para provar quedeterminada afirmacao e verdadeira para todos os inteiros positivos, ouseja, utilizando a notacao da proposicao, que S = N. Numa prova destetipo, primeiro e necessario verificar que a afirmacao e verdadeira para ointeiro 1, isto e, que 1 S . Depois, assumindo que a afirmacao everdadeira para o inteiro n, isto e, que n S , prova-se que a afirmacao everdadeira para o inteiro n + 1, isto e, que n + 1 S .ExemploVamos provar que para qualquer n inteiro positivo,

1 + 2 + ...+ n =n(n + 1)

2.

Seja S o conjunto de todos os inteiros k tais que 1 + 2 + ...+ k = k(k+1)2

. Ora,

1 S , pois 1 = 1+12. Suponhamos que existe um inteiro n S , entao

1 + 2 + ... + n = n(n+1)2

. Assim

1 + 2 + ... + n + (n + 1) = n(n+1)2

+ (n + 1) = (n+1)(n+2)2

, donde podemos

afirmar que (n+ 1) S . Logo, por inducao, 1 + 2 + ...+ n = n(n+1)2

para todos

os inteiros positivos n.



ExerccioEscreva duas funcoes GAP para calcular a soma de todos os numerosinteiros positivos ate n inclusive, uma usando a formula dada no exemploanterior e a outra usando um ciclo for.Compare a sua eficiencia usando a funcao time para o efeito.

Em alguns casos torna-se mais conveniente utilizar uma outra forma doPrincpio de Inducao equivalente a` que foi anteriormente referida.

Proposicao (Princpio de Inducao Matematica - Segundaforma)Sejam S um conjunto de inteiros e a um inteiro. Se

(i) a S e(ii) se k S, para qualquer a k < n, entao n S,entao, S contem todos os inteiros maiores ou iguais a a.


ObservaesGeneralidadesAvaliao

Programa previstoPreliminaresUma introduo ao GAPOs nmeros inteiros

lgebra abstractaTeoria de GruposTeoria de anis

BibliografiaUma introduo ao GAPSobre o GAPGeneralidadesManual

Instrues bsicasFunes GAPExemplos

Os nmeros inteirosPropriedades dos inteirosPrincpio da boa ordenao (e princpio de induo)

Algebra I

Documents

Transcript of Algebra I