Algebra Vetorial

Click here to load reader

  • date post

    26-Jun-2015
  • Category

    Documents

  • view

    775
  • download

    7

Embed Size (px)

Transcript of Algebra Vetorial

NOTAS DE AULA LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICA RETAS E PLANOS ERON E ISABEL SALVADOR BA 2007 LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 1 EQUAES DA RETA EQUAO VETORIAL DA RETA DEF: Qualquer vetor no nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Sejamvum vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r. R t v t AX = , R t v t A X + = , Exemplos: a)Uma equao vetorial da reta que passa pelos pontos A(-5, 2, 3) e B(4,-7,-6) : X = A + tAB (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (9,-9, -9),t R ou ainda,(x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (1,-1, -1),t R b)As equaes vetoriais dos eixos coordenados so X = O + t i , eixo das abscissas X = O + t j , eixo das ordenadas X = O + t k , eixo das cotas INTERPRETAO FSICA DA EQUAO VETORIAL Podemos interpretar a equaov t A X + = como o movimento descrito por um ponto sobrearetar,comvelocidadeconstante(vetorial)igualav ,tindicandootempoeAa posio no instante inicial t = 0. Valores negativos de t indicam o passado do movimento, emrelaoaoinstanteinicial.Acadavalordettemosumaposiobemdeterminadado ponto mvel e fazendo t percorrer todo o conjunto R, a reta r percorrida integralmente pelo ponto(rrepresentaatrajetriadomovimento).Comohmuitosmovimentosretilneos uniformescomamesmatrajetria,ficafcilentenderporqueexistemmuitasequaes vetoriais para a mesma reta. r XAvLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 2 EQUAES PARAMTRICAS DA RETA Seja( )3 2 1, , , O e e eum sistema de coordenadas cartesianas no espao. Consideremos em relao a este sistema: X(x, y, z) um ponto genrico, A(x0, y0, z0) um ponto dado ev= (a, b, c) um vetor diretor da reta r. Escrevendo a equao vetorial da reta em coordenadas, obtemos (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) ou seja,R tct z zbt y yat x x+ =+ =+ =,000 que o sistema de equaes paramtricas da reta r. Exemplo: As equaes paramtricas do eixo coordenado y so R tzt yxt zt yt x=== + = + = + =,000 01 00 0 LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 3 EQUAES DA RETA NA FORMA SIMTRICA Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor nula, podemos isolar t no primeiro membro de cada uma das equaes paramtricas da reta e obter cz zby yax x0 0 0== Exerccios: 1)Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1) e B(3,-2,3). a)Obtenha equaes de r nas formas vetorial, paramtrica e simtrica. b)Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence reta r. c)Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B. 2)Mostre que as equaes12131 2+ ==zy x descrevem uma reta, escrevendo-as de modo quepossamserreconhecidascomoequaesnaformasimtrica.Exibaumpontoeum vetor diretor da reta. 3)Escreva na forma simtrica a equao de uma reta no plano yz. LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 4 PLANOS POSTULADOS: Por uma reta pode-se traar uma infinidade de planos. Por trs pontos no alinhados passa um nico plano. A reta que passa por dois pontos distintos de um plano est contida nesse plano. Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regies chamadas semi-planos. DETERMINAO: Por uma reta e um ponto no pertencente reta, passa um nico plano. Por duas retas paralelas (no coincidentes) passa um nico plano. Por duas retas concorrentes passa um nico plano. Por trs pontos no alinhados passa um nico plano. EQUAES DO PLANO DEF: Seuevso LI e paralelos a um plano ,uevso ditos vetores diretores de . EQUAO VETORIAL DO PLANO Sejamuevvetores diretores de um plano , A um ponto fixo de e X um ponto genrico de . claro queu ,veAXso LD, pois so coplanares. Comouevso LI, temosv u A X AX + = = , ou seja, , , X A u v R = + + r r Exemplo:Dadaumaretar:X=A+ v eumpontor P ,podemosdeterminaroplano . , , : R AP v A X + + = AX u u vvLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 5 EQUAES PARAMTRICAS DO PLANO Seja( )3 2 1, , , O e e eum sistema de coordenadas cartesianas no espao. Consideremos em relao a este sistema: X (x, y, z) um ponto genrico,A (x0, y0, z0) um ponto dado, ( )1 1, 1, u a b c =r e ( )2 2, 2, v a b c =rvetores diretores de um plano . Escrevendo a equao vetorial do plano em coordenadas, obtemos (x, y, z) = (x0, y0, z0) +(a1, b1, c1) + ) , , (2 2 2c b a ou seja,Rc c z zb b y ya a x x+ + =+ + =+ + = , ,2 1 02 1 02 1 0 que o sistema de equaes paramtricas do plano . Exerccio: Seja o plano que contm o ponto A(3, 7, 1) e paralelo a( ) 1 , 1 , 1 = ue( ) 0 , 1 , 1 = v . a)Obtenha duas equaes vetoriais de . b)Escreva equaes paramtricas de . c)Verifique se o ponto (1, 2, 2) pertence a . d)Verifique se o vetor( ) 5 , 2 , 2 = w paralelo a . EQUAO GERAL DO PLANO Considerando queu ,veAXso LD, temos que02 2 21 1 10 0 0= c b ac b az z y y x x, isto , ( ) ( ) ( ) 02 21 102 21 102 21 10= + + b ab az za ca cy yc bc bx x . Sejam 2 21 12 21 12 21 1e ,b ab aca ca cbc bc ba = = = eaequaoacimapoderserreescrita como: ( ) ( ) ( )( ) 000 0 00 0 0= + + + += + + cz by ax cz by axz z c y y b x x a ( )0 0 0onde, 0 cz by ax d d cz by ax + + = = + + +LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 6 Exerccios:1) Obtenha a equao geral do plano em cada caso. a) contm o ponto A(9,-1,0) e paralelo aos vetores( ) 1 , 1 , 1 = ue( ) 0 , 1 , 0 = v . b) contm os pontos A(1,0,1), B(-1,0,1) e C(2,1,2). c) tem equaes paramtricas =+ + = + = zyx13 2 1. 2) Obtenha equaes paramtricas do plano :0 1 2 = + z y x . INTERSEO DE UM PLANO COM OS EIXOS COORDENADOS Seja :0 = + + + d cz by ax . O plano intercepta: o eixo das abscissas no ponto A(x,0,0), determinado ao se substituir y = z = 0 na equao do plano; o eixo das ordenadas no ponto B(0,y,0), determinado fazendo x = z = 0; o eixo das cotas no ponto C(0,0,z), determinado ao se substituir x = y = 0. Exemplo:Determineospontosdeinterseodoplano:0 12 3 4 = + z y x comoseixos coordenados. Faa os clculos e observe abaixo a plotagem no sistema cartesiano. LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 7 VETOR NORMAL A UM PLANO Se o plano dado na forma vetorialR v u A X + + = , , , o vetor normal dado porv u w = . Seoplanodadonaformageral0 = + + + d cz by ax ,ovetor(a,b,c)chamado vetorcoeficientedoplano .Seestascoordenadasestoemrelaoaumsistema ortogonal, (a, b, c) um vetor normal ao plano . CASOS PARTICULARES DA EQUAO GERAL DO PLANO A nulidade de um ou mais coeficientes na equao geral do plano far com que este ocupe um posicionamento particular em relao aos eixos coordenados. Na equao0 = + + + d cz by ax , se: 1 caso:d = 0 0 = + + cz by ax , com0 c b a o plano contm a origem. 2 caso: a)a = 0 0 = + + d cz by , com0 d c b o plano paralelo ao eixo das abscissas. b)b = 0 0 = + + d cz ax , com0 d c a o plano paralelo ao eixo das ordenadas. c)c = 0 0 = + + d by ax , com0 d b a o plano paralelo ao eixo das cotas. 3 caso: a)a= d = 0 0 = + cz by , com0 c b o plano conter o eixo das abscissas. b)b= d = 0 0 = + cz ax , com0 c a o plano conter o eixo das ordenadas. c)c= d = 0 0 = +by ax , com0 b a o plano conter o eixo das cotas.

Plano paralelo ao eixo 0xPlano que contem o eixo 0x AX u vw LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 8 4 caso: a)a= b = 0 0 = + d cz , com0 d c o plano paralelo ao plano xy. b)a= c = 0 0 = + d by , com0 d b o plano paralelo ao plano xz. c)b= c = 0 0 = + d ax , com0 d a o plano paralelo ao plano yz. Exemplo: Indique o posicionamento de cada plano em relao ao sistema cartesiano. a)3x + y 4z = 0 plano que passa pela origem.b)2x + 3z 3 = 0 plano paralelo ao eixo 0y. c)4x + 3y = 0 plano que contem o eixo 0z. d)x 3 = 0 plano paralelo ao plano yz. OBS: No R a equao 2x + 3y 6 = 0 representa uma reta. Entretanto, no R tal equao representa um plano paralelo ao eixo 0z. Observe a figura. LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 9 POSIES RELATIVAS ENTRE RETAS E PLANOS NO ESPAO R3 POSIES RELATIVAS ENTRE RETAS Sejam r e s retas no R. Elas podem ser: Coplanares {}( )= = = = s r s rs rs rs rP s r// paralelas: particular casoes concorrent Reversas: = s rs r: particular caso no existe nenhum plano que contenha as duas retas CONDIO PARA RETAS COPLANARES: Sejam rv t A X r1: + =e sv t B X s2: + = ,R t t 2 1, , duas retas no R. Neste caso, ainda podemos ter:( )( ) = LD so e // paralelasLI so e es concorrents rs rv v s rv v P s r Se[ ] 0 , , AB v vs r, temos r e s retas reversas. r e s so coplanares[ ] 0 , , = AB v vs r LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 10 CONDIO DE ORTOGONALIDADE: Se alm dessa condio r e s tm um ponto comum elas so chamadas perpendiculares. Exerccio:Verifiqueseasretas 453 22:= = z y xr e 36315:= + =+zyxs so coplanares. Elas so concorrentes? Em caso afirmativo, determine o ponto de interseo. POSIES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UM PLANO Sejam r uma reta e um plano. Temos: = = r r rrr, seja ou,//r no paralela a {} P r = Sejam rv t A X r + = : e0 : = + + + d cz by ax , onde( ) c b a w , , = o vetor normal de . r // 0 = w vr Se alm dissoP(ponto de r) tambm pertence a , temos r . 0 w vr{} P r = r w vrLD so e r e s so ortogonais0 = s rv vLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 11 Exerccio:Verifiquese) 4 , 1 , 1 ( ) 1 , 3 , 2 ( : + = X r e) 2 , 3 , 3 ( ) 3 , 1 , 2 ( ) 2 , 6 , 4 ( : + + = X se interceptam. Em caso afirmativo, obtenha a interseco. POSIES RELATIVAS ENTRE PLANOS Sejam 1e 2dois planos. Eles podem ser: = 2 12 12 1// r = 2 1 Sejam0 :1 1 1 1 1= + + + d z c y b x a e0 :2 2 2 2 2= + + + d z c y b x a asequaesgeraisdosdois planos em relao ao sistema de coordenadas( )3 2 1, , , O e e e . 1 2 1// w e 2wso LD, ou seja, === =2 12 12 12 1,tc ctb bta aR t w t wSe alm disso, 2 1 0 0 0, ) , , ( = z y x P , temos: ( )0 1 0 1 0 1 1z c y b x a d + + =e ( )0 2 0 2 0 2 2z c y b x a d + + =ou seja, ( )0 2 0 2 0 2 1z tc y tb x ta d + + =e ( )0 2 0 2 0 2 2z c y b x a d + + =ento, =1dt2d 2 1 . ,2 12 12 12 1R ttd dtc ctb bta a==== LGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALTICAERON E ISABEL 12 Se1we 2wso LI, temosr = 2 1 . O sistema de equaes