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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 8

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir uma

matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da

transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.

Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m,

respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases

}u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21

estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:

+++=

+++=

+++=

mmn2n21n1n

m2m2221122

m1m2211111

va...vava)u(T

....................................................

va...vava)u(T

va...vava)u(T

Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou

seja,

=

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

a...aa

P , é chamada matriz da transformação linear T em

relação às bases B e C, cuja notação será BC]T[P = .

OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21

em relação a base C, ou seja:

=

1m

21

11

1

a

...

a

a

)]u(T[ ,

=

2m

22

12

2

a

...

a

a

)]u(T[ ,...,

=

mn

n2

n1

n

a

...

a

a

)]u(T[

Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de T

em relação a base canônica do ℜ3 e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2

.

61

Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3. Aplicando a transformação nos

vetores da base B teremos:

=

−=

=

)2,0()1,0,0(T

)0,1()0,1,0(T

)1,1()0,0,1(T

. Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:

−+=

−+=−

−+=

)1,1(f)1,1(e)2,0(

)1,1(d)1,1(c)0,1(

)1,1(b)1,1(a)1,1(

⇒

−−=

−−−=−

−+=

)1,1(1)1,1(1)2,0(

)1,1(2

1)1,1(

2

1)0,1(

)1,1(0)1,1(1)1,1(

. Portanto, a matriz da

transformação é

−−

−=

==

10

11

fdb

eca]T[P

21

21

BC .

Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operador

identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estão

relacionadas por: 2

1

21 BB

BB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 1

2

B

B]Id[ é a matriz de mudança da base B1

para a base B2.

Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V,

respectivamente. Então: BBCC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= .

Exemplo (2): Seja 2t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2

e }t2,t1,2{C 2−+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= .

Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B.

Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒

=−

+=

a21

b2a1 ⇒

−=

43

21

B]u[ .

Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C.

Então: 22 tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒

=γ

=β

=γ+β+α−

0

1

222

⇒

−

=

0

1)]u(T[

21

C .

Determinando BC]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:

62

−+++−=++=

−+++−=++−=

)t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T

)t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T22

22

⇒

−−

−−

=

23

44

1

]T[

21

BC .

Verificando o teorema (2), fazemos:

−

=

−⋅

−−

−−

=

0

1

23

44

1

)]u(T[

21

43

212

1

C

Teorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de U

e V, respectivamente. Então BC

BC

BC ]S[]T[]ST[ +=+ .

Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, bases

de U, V e W, respectivamente. Então: BC

CD

BD ]T[]S[]TS[ ⋅=o .

Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares.

Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificar

o teorema (4).

Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o .

Vamos calcular a matriz BD]TS[ o .

−+==−

−+==

−+==

)2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS(

)2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS(

)2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS(

o

o

o

⇒

−−=

051

0122]TS[ B

Do

Calculando a matriz BC]T[ :

+==−

+==

+==

)2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T

)2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T

)2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T

⇒

−−=

0

041]T[

23

21

BC

Calculando a matriz CD]S[ :

−+==

−+==

)2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S

)2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S ⇒

−−=

22

86]S[ C

D

Verificando o teorema (4), temos:

−−=

−−⋅

−−=

051

0122

0

041

22

86]TS[

23

21

BDo

63

Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente,

então ( ) 1BC

CB

1 ]T[]T[−− = .

Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V,

respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somente

se, ( ) 0]T[det BC ≠ .

Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E bases

de V. Então: BC

CE

ED

BD ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= .

Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, BC]M[P =

a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B1

C ⋅⋅= − .

OBS: A matriz BBB ]T[]T[ = .

Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2 cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é

−12

13.

Solução: Temos que

−==

12

13]T[]T[ B

BB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinação

linear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foram

escritos como combinação linear da própria base B. Então:

−=−=

=+=

)3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T

)16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T . Determinando a expressão da T, fazemos:

)5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒

+−=

=

5

yx2b

xa ⇒ )5,0(T

5

yx2)2,1(Tx)y,x(T ⋅

+−+⋅= ⇒

)3,1(5

yx2)16,3(x)y,x(T −⋅

+−+⋅= ⇒

−+=

5

y3x86,

5

yx13)y,x(T

64

Exercícios Propostos

1) Consideremos as transformações lineares 3232 :Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz de

F+G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3

seja

33

10

12

e que )y2,yx,x()y,x(F −= .

Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2 e do ℜ3

. Quem é )y,x(G ?

Resp:

−=

13

21

11

]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+=

2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫−

=1

1

dt)t(p)t(pF . Determine a matriz

de F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 22 ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:

−

−

−

=

31

BC 1

1

]F[

3) Seja )(M:T 2x23 ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas do

ℜ3 e do )(M 2x2 ℜ é

100

110

011

001

. Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base

canônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ?

Resp:

=

3

2

1

2

)]u(T[ e

+

+=

zzy

yxx)z,y,x(T

4) Seja F o operador linear do ℜ2, cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é

=

15

11]F[ B

B .

Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2. Resp:

−

−=

420

16]F[ CC

5) Seja

−

−

−−

=

0031

0112

1211

]T[ BC a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ .

Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as

65

coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é

−

3

1

1

2

, determine as coordenadas do

vetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ?

Resp:

=

5

2

2

)]u(T[ C e 2t)b3a(t)cba2()dc2ba(dc

baT −+−++−+−=