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Álgebra Linear Sistemas de equações lineares e matrizes 3ª aula
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Álgebra Linear
Sistemas de equaçõesSistemas de equaçõeslineares e matrizes
3ª aula
55
5
1032
yx
yx
yx
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yx
yx
yx
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32064
1032
yx
yx
yx
1064
1032
yx
yx
Um sistema de equações pode:
• Não ter solução
• Ter uma única solução
• Ter mais do que uma solução
Chama-se conjunto solução ou
solução geral de um sistema
ao conjunto de todas asao conjunto de todas as
soluções de um sistema
Classificação dos sistemas:
• Sistema impossível(o conjunto solução é vazio)
• Sistema possível e determinado• Sistema possível e determinado(o conjunto solução tem um único elemento)
• Sistema possível e indeterminado(o conjunto solução é infinito)
Sistemas equivalentes:
Dois sistemas de equaçõeslineares dizem-se
equivalentesquando têm o mesmo conjuntosolução
Regras para obter sistemas equivalentes:
• Regra 1: Trocar a ordem de duasequações
• Regra 2: Multiplicar ambos os membrosRegra 2: Multiplicar ambos os membrosde uma equação por uma constante nãonula
• Regra 3: Adicionar a uma equação outramultiplicada por uma constante
5
2010
10532
zyx
zyx
zyx
5
2010
10532
zyx
zyx
zyx
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532
A
x
10
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1011A
z
yX
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20B
Matriz dos coeficientes Incógnitas Termo independente
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zyx
zyx
zyx
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A1x
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321
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xxx
xxx
xxx
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411A2
3
x
x
x 20
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b
A x = b
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A
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2
3
x
x
x
x10
20
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b
A x = b
Matriz aumentada (ou ampliada)Matriz aumentada (ou ampliada)
5
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10
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411
212
Regras para obter sistemas equivalentes:
Usar as regras para obter sistemasequivalentes corresponde a efectuaroperações elementares sobre asoperações elementares sobre aslinhas da matriz aumentada.
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3/20
2
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x
x
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3/20
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3
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x
x
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
22222121
11212111
m equações com n incógnitas
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
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n
n
b
b
x
x
aaa
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2
1
2
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11211
A x = b
mnmnmm
n
b
b
x
x
aaa
aaa
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n
n
b
b
aaa
aaa
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mmnmm baaa
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xx
xx
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Exemplo 1
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xx
xx
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xx
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xx
xx
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xx
xx
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xx
xx
xx
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xx
xx
xx
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xx
xx
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xx
xx
xx
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xx
xx
xx
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400
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xx
xx
xx
IMPOSSÍVEL
232 321 xxx
2132
Exemplo 2
224
03
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321
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xxx
xxx
xxx
2
0
241
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224
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xxx
xxx
xxx
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5/2
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xxx
xxx
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xxx
xxx
xxx
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25/2
xx
xx
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321
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xxx
xxx
xxx
Conjunto solução:
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3321 5
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2:,, xxxxxxxS
3231
3321 5
2,2
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2:,, xxxxxxxS
:,
5
2,2
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2S
:1,1,20,
5
2,
5
2S
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5
2,
5
2S
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xxx
xxx
xxx
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xxx
xxx
xxx
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111
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xxx
xxx
xxx
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Se:=9 e 110 sistema impossível=9 e 110 sistema impossível=9 e = 110 sistema indeterminado9 sistema determinado
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=9 e 110posto(A) = 2 e posto (A|B) = 3
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=9 e 110posto(A) = 2 e posto (A|B) = 3
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=9 e = 110
0
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posto(A) = posto (A|B) = 2
110
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=9 e 110posto(A) = 2 e posto (A|B) = 3
=9 e = 110
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111=9 e = 110
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posto(A) = posto (A|B) = 2
110
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520
111
9posto(A) = posto (A|B) = 3
Resumindo:• posto posto
• posto posto
• posto posto
• posto posto
Resumindo:
• posto posto
Número de variáveis livres =
número de colunas de A – posto(A)
Um sistema em que o termo independente é o vector nulo chama-se homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo Um sistema homogéneo tem sempre pelo menos uma solução
Um sistema em que o termo independente é o vector nulo chama-se homogéneo.
Um sistema homogéneo tem sempre pelo Um sistema homogéneo tem sempre pelo menos uma solução:
A solução nula
Chama-se núcleo da matriz A ao conjunto das soluções do sistema homogéneo
Ax = O
Ao núcleo de uma matriz pertence sempre o vector nulo.
s é solução do sistema A x = O
A s = O e A u = bA s = O A ( s )= O
u é solução do sistema A x = bIsto é:
A s = O A ( s )= O
A x = bv = u + s é solução de
A (u + s) = O + b = b
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x
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5
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5
43
421
x
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X Ax = b
