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Construindo Hoje a Engenharia do Amanhã Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

ALGORITMO PARA ANÁLISE GRÁFICA E DIMENSIONAMENTO DE EIXOS DE

TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA

Vitório Pinheiro (1)

([email protected]), Leonardo Maia Nogueira ([email protected]),

André Luiz de Moraes Costa (1)

([email protected])

(1) Universidade Federal de Sergipe (UFS); Departamento de Engenharia Mecânica

RESUMO: Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo para calcular e comparar os parâmetros de

dimensionamento de eixos de transmissão de potência: resistência mecânica, coeficiente de segurança e

diâmetro da seção. A metodologia de cálculo considera os critérios de falha por fadiga de Goodman e falha

de escoamento de primeiro ciclo de Langer. A rotina foi implementada usando o software MATLAB e

fornece gráficos que relacionam as três variáveis estudadas. Comparação com dados da literatura mostram

que a rotina fornece resultados com boa precisão. Os gráficos gerados dão importantes subsídios par ao

projetista no projeto de eixos, pois permite visualizar regiões de falha, ponto ótimo de operação e influência

da resistência no diâmetro da peça.

PALAVRAS-CHAVE: eixo, dimensionamento, falha por fadiga, análise gráfica.

ALGORITHM FOR SHAFT GRAPHIC ANALYSIS AND DESIGN

ABSTRACT: In this paper an algorithm was developed to calculate and compare the design parameters of

shafts: strength, safety factor and diameter of the section. The calculation methodology took into account

the Goodman’s fatigue failure criteria and Langer’s first cycle yield failure criteria. The routine was

implemented using the MATLAB software and provides graphs that relate the three studied variables.

Comparison with literature data showed that routine provides results with good accuracy. The generated

graphs give important information to engineer evolved with shaft’s design, it allows viewing failure regions,

optimal point of operation and the influence of the resistance on the diameter.

KEYWORDS: shaft, mechanical design, fatigue, graphical analysis.

XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial

Auditório do Senai CIMATEC - Prédio 2 - 2º andar - Salvador - BA,

23 a 26 de Setembro de 2014

Construindo Hoje a Engenharia do Amanhã

Anais do XIV CONEMI - Congresso Nacional de Engenharia Mecânica e Industrial | 2

1. INTRODUÇÃO

O eixo é um membro rotativo, usualmente de seção transversal circular, usado para

transmitir potência ou movimento. Ele provê o áxis de rotação, ou oscilação, de elementos tais

como engrenagens, polias, volantes, manivelas, rodas dentadas e similares. Já o eixo fixo é um

membro não rotativo que não transmite torque e é usado para suportar rodas girantes, polias e

similares (BUDYNAS e NISBETT, 2011). Devido sua condição de trabalho, os eixos rotativos estão normalmente sujeitos a esforços

variáveis do tipo compressão-tração. Essa condição aliada a outros fatores como concentradores de

tensão e modificadores de resistência pode resultar em falha por fadiga. Assim, se isso não for

levado em conta no dimensionamento do eixo, este pode sofrer uma ruptura brusca durante a

operação que pode levar a danos materiais e físicos.

Um eixo também pode falhar por sobrecarga além da tensão de escoamento do material, o

que normalmente ocorre logo no início do funcionamento (escoamento no primeiro ciclo de carga),

devido ao dimensionamento incorreto em relação às condições estáticas de carregamento.

Para o dimensionamento de eixos deve-se inicialmente fazer uma análise das tensões

envolvidas em cada ponto crítico da peça e utilizar os critérios de falha mais adequados às

condições de operação. Para isso, devem-se esboçar gráficos dos momentos fletores e torsional ao

longo do comprimento, e identificar as seções mais críticas, ou seja, aquelas que envolvem maiores

momentos fletores e de torção, e também concentradores de tensão tais como: ressalto de chaveta,

sulco de anel de retenção, ressalto para assento de mancais ou engrenagens entre outros. Depois

disso deve-se calcular as tensões atuantes bem como a resistência à fadiga do material selecionado e

então obter os coeficientes de segurança a partir do critério de falha utilizado (Norton, 2004)

A tarefa de dimensionamento é relativamente simples, mas o processo é extremamente

trabalhoso e demorado, especialmente porque envolve diversas iterações e passos circulares, pois

muitas opções e modificações devem ser testadas, incluindo a resistência do material, coeficiente de

segurança e dimensões.

Atualmente muitos softwares podem ser utilizados para auxiliar nas etapas de

dimensionamento. Por exemplo, é possível obter os diagramas de momentos fletores a partir do

software FTOOL, enquanto as rotinas de cálculo podem ser criadas utilizando softwares como

MATLAB, MATHCAD ou EES. Entretanto, normalmente o engenheiro escreve uma rotina

específica para um dimensionamento específico.

Neste contexto, o objetivo deste trabalho foi desenvolver um algoritmo que fornece gráficos

comparativos entre diversas soluções possíveis para um ponto de operação, de maneira a permitir

uma rápida otimização de projeto.






2. DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES APLICADAS NO CARREGAMENTO

CÍCLICO

Um eixo de transmissão de potência este normalmente sujeito a carregamento variado de

torção e flexão. Uma vez conhecido os torques T e momentos M máximos e mínimos atuantes em

cada ciclo, podem-se determinar as componentes de médias e alternadas pelas equações:

(1)

(2)

(3)

(4)

As componentes das tensões normais ' e de cisalhamento aplicadas são calculadas pelas

seguintes equações:

(5)

(6)

(7)

(8)

Onde r = raio do eixo; d = diâmetro do eixo; = concentrador de tensão de fadiga em

flexão; = concentrador de tensão de fadiga em torção; = momento fletor; =torque; =

momento de inercia; = momento torcional. Os subscritos a e m correspondem respectivamente às

componentes alternante e média.

Utilizando o Critério da Máxima Energia de Distorção (Von Mises) para se obter as tensões

normais equivalentes temos:

⁄ (9)

⁄ (10)






Os fatores de concentração de tensão em fadiga e são obtidos a partir dos fatores de

concentração de tensão para carregamento estático de e , respectivamente, através das

equações:

(11)

(12)

Onde é o fator de sensitividade ao entalhe dado pela seguinte equação:

√

√

(13)

Onde √ é a constante de Neuber que depende diretamente da tensão última de tração Sut e R é o

raio do entalhe (Norton, 2004).

3. CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA E DE ESCOAMENTO NO

CARREGAMENTO CÍCLICO

A falha por fadiga é resultante da redução da resistência do material devido aos fatores

modificadores de resistência e ao carregamento cíclico. Já a falha por primeiro ciclo é calculada em

relação à resistência ao escoamento do material.

Os critérios de falha por fadiga foram desenvolvidos a partir do ajuste de dados

experimentais, como mostrado na Figura 1. Sf e Sut são as resistências à fadiga e última de tração do

material, respectivamente, enquanto 'm e 'a são as tensões média e alternada aplicadas,

respectivamente.

FIGURA 1. Dados experimentais de falha por fadiga em aços (Budynas e Nisbett, 2011).






O critério de Goodman modificado é considerado conservador, pois representa o limite

inferior dos pontos de falha experimentais. Considerando um coeficiente de segurança n, a linha de

Goodman pode ficar mais distante dos dados experimentais como mostrado na Figura 2. Assim, o

critério de Goodman admite que a falha por fadiga irá ocorrer apenas se o ponto de operação estiver

localizado acima de uma linha reta dada pela equação:

(14)

FIGURA 2. Linha de Goodman para diferentes coeficientes de segurança n.

O critério de escoamento de primeiro ciclo de Langer considera que a falha vai ocorre se a

soma das componentes alternada e média da tensão cíclica aplicada for maior que a resistência ao

escoamento do material Sy. Para um coeficiente de segurança n, a equação da linha de Langer é:

(14)

A Figura 3 mostra a região de segurança considerando a combinação dos critérios de

Goodman e de Langer.

Uma vez determinadas as tensões aplicadas 'm e 'a, deve-se considerar se um acréscimo

das tensões podem levar à falha por fadiga (cruzando a reta de Goodman), ou falha por escoamento






(cruzando a reta de Langer). Para um carregamento onde as componentes alternadas e médias

variam proporcionalmente, o ponto de operação varia apenas sobre a linha de carga, e então fica

mais fácil determinar o modo de falha possível para este carregamento específico (Figura 4).

FIGURA 3. Região de segurança considerando a combinação dos critérios de Goodman e de

Langer.

FIGURA 4. Pontos de operação 1 e 2 sujeitos a falha por escoamento e falha por fadiga,

respectivamente.






4. DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FADIGA DO MATERIAL

A resistência à fadiga do material diminui com o número de ciclos. No caso dos aços existe

uma resistência mínima experimental S'e chamada de limite de fadiga ou limite para vida infinita,

que é atingida em torno de 106 ciclos. De acordo com Norton (2004), o limite de fadiga vale:

para Sut < 1400 MPa (16)

MPa para Sut > 1400 MPa (17)

O valor da resistência à fadiga para as condições reais de operação Se é obtido a partir de S'e

utilizando-se fatores de correção na equação a seguir (Budynas e Nisbett, 2011):

(18)

onde: Ka é o fator de condição superficial, Kb é o fator tamanho, Kc é o fator carregamento, Kd é o

fator temperatura, Ke é o fator confiabilidade e Kf é um fator para efeitos diversos.

O fator de superfície está diretamente ligado ao acabamento recebido pela peça durante

sua fabricação. Seu valor é dado pela seguinte equação para Sut em MPa:

(19)

Os fatores a e b foram obtidos experimentalmente e são mostrados na Tabela 1.

TABELA 1. Parâmetros para o fator modificação de superfície.

Acabamento superficial

Fator a

Expoente b

Retificado 1,58 -0,085

Usinado ou laminado a frio 4,51 -0,265

Laminado a quente 57,7 -0,718

Forjado 272 -0,995

O fator de tamanho corrige o valor da resistência de acordo com a dimensão da peça. A

Equação 20 é válida para diâmetros compreendidos entre 2,79 e 51 mm. Já Equação 21 é válida

para valores de diâmetro entre 51 e 254 mm.

(20)

(21)






O fator corresponde ao tipo de carregamento aplicado e assume os seguintes valores: 0,85

para axial e 0,59 para torção. Como o ensaio que calcula o limite de fadiga é normalmente do tipo

flexão rotativa ele recebe o valor 1, ou seja, não tem influência.

O material tem comportamentos diferentes em relação à resistência de acordo com a faixa de

temperatura de trabalho. Com isso, o fator é introduzido para corrigir esse parâmetro de acordo

com temperatura de trabalho que está submetido de acordo com a Equação 19, substituindo o valor

da temperatura T em °C.

(22)

O fator confiabilidade refere-se às condições de análise dos dados experimentais. Uma

confiabilidade de 50% significa que a curva de resistência foi obtida como uma média dos pontos

experimentais. Aumentar a confiabilidade significa considerar resistências abaixo da média dos

pontos de falha experimentais. A Equação 23 calcula o valor de a partir da variável que é dada

na Tabela 2. Se o valor de confiabilidade não estiver contido na tabela o programa executa uma

interpolação para encontrar o valor mais adequado.

(23)

TABELA 2. Fatores de confiabilidade .

Confiabilidade, % Variante de transformação za Fator de confiabilidade Ke

50 0 1

90 1,288 0,897

95 1,645 0,868

99 2,326 0,814

99,9 3,091 0,753

99,99 3,719 0,702

99,999 4,265 0,659

99,9999 4,753 0,62

O fator de efeitos diversos deve ser definido pelo projetista e serve para corrigir efeitos

não inclusos nos fatores já citados.

5. CÁLCULO DO DIÂMETRO E DO COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Combinando-se equações precedentes pode-se calcular o diâmetro e o coeficiente de

segurança. Considerando um projeto para vida infinita, para o critério de Goodman tem-se:






(

{

[ ( )

( )

]

⁄

[ ( )

( )

]

⁄})

⁄

(24)

(

) {

[ ( )

( )

]

⁄

[ ( )

( )

]

⁄

}

(25)

Para o critério de Langer tem-se:

(

{

[ ( )

( )

]

⁄

[ ( )

( )

]

⁄})

⁄

(26)

(

) {

[ ( )

( )

]

⁄

[ ( )

( )

]

⁄

}

(27)

6. ROTINA COMPUTACIONAL

Até o momento foram descritas as fórmulas básicas e essenciais ao dimensionamento de

eixo. Devido à grande quantidade de equações e também da dependência entre si de alguns fatores é

de fundamental importância a utilização de softwares de cálculo para otimizar o processo de

dimensionamento. A utilização de um programa para cálculo permite, além de efetuar de forma

rápida e precisa os cálculos, verificar a influência da modificação de determinados parâmetros de

entrada na resposta final.

A rotina de cálculo deste trabalho foi desenvolvida usando o software MATLAB v. 2010

devido às possibilidades de utilização do programa, facilidade de obtenção de gráficos desejados e a

capacidade de criar uma interface amigável para o usuário.

As configurações do computador utilizado neste trabalho são:

· Processador Core i5, segunda geração;

· Placa mãe modelo Capella & IbexPeak-M e fabricante CCE;

· Memória RAM de 4 Gb, DDR3.

A rotina criada no MATLAB utiliza todas as equações descritas anteriormente e funciona da

seguinte maneira:

são solicitados como input os valores de Tm, Ta, Mm, Ma, kt, kts

são solicitados como input dados para cálculo de Ka, Kb, Kc, Kd, Ke

é solicitado como input o valor de d ou n (dependendo da análise a ser feita)

é solicitado como input o intervalo de valores de Sut

Para cada valor de Sut o programa calcula os valores de d e n para os critérios de Goodman e

Langer e compara os dois. O tipo de falha indicado para o ponto de operação é aquele que

fornece o maior d e o menor n.






O programa gera gráficos relacionando as variáveis d, n, Sut e o tipo de acabamento

superficial.

7. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Inicialmente a rotina foi validada a partir de comparação de resultados apresentados em um

exemplo de dimensionamento por Budynas e Nisbett (2014, p.388), cujos dados de entrada e saída

são listados nas Tabelas 3 e 4.

Tabela 3. Dados de entrada utilizados por Budynas e Nisbett.

Dados de entrada

Ma (N.m) 468 Ka 0,883

Mm (N.m) 0 Kb 0,9

Ta (N.m) 0 Kc 1

Tm (N.m) 360 Kd 1

kt 1,7 Ke 1

kts 1,5 Kf 1

Sut (MPa) 469 N 1,5

Tabela 4. Dados de saída encontrados por Budynas e Nisbett.

Dados de saída

kf 1,7

kfs 1,5

S’e (MPa) 234,5

Se (MPa) 186

d (mm) 43,2

Utilizando-se os mesmos dados de entrada a rotina calculou os valores para Sut variando de

300 a 2000 MPa. O resultado é mostrado na figura 5. Para Sut = 469 MPa foi encontrado d = 43,069

mm, que é um valor muito próximo de 43,2 mm obtido por Budynas e Nisbett (2014). A pequena

variação é devido à diferença percentual mínima nos valores de para convergência das interações.

Uma diferença muito pequena torna a rotina muito demorada.

O gráfico da figura 5 mostra que o diâmetro do eixo diminui acentuadamente com o

aumento da resistência do material até aproximadamente Sut = 1500 MPa. Esta análise permite ao

projetista avaliar as possibilidades de fabricação a partir dos materiais disponíveis (resistência e

dimensões das barras).






Figura 1. Gráfico resistência X diâmetro para o acabamento retificado.

Após a validação nós podemos explorar as possibilidades de análise do programa. Por

exemplo, a rotina permite fazer simultaneamente a análise para os 4 possíveis tipos de acabamento

superficial, como mostrado na figura 6. Como esperado, observa-se que quanto pior a condição

superficial, maior o diâmetro a ser utilizado. Mas é interessante notar que o diâmetro começa a

aumentar com a resistência a partir de Sut = 1460 MPa. Provavelmente isso acontece por causa de

um aumento da fragilidade associado à resistência do material. Este efeito é mais perceptível para o

aço laminado a quente e forjado onde a presença de imperfeições superficiais da própria fabricação

são maiores, o que aumenta a probabilidade de formação de trincas.

A figura 7 mostra curvas de variação de diâmetro para diferentes coeficientes de segurança

(n = 1, 2, 3). Este gráfico pode ser considerado um “mapa de falha”, onde combinações de valores

entre resistência e diâmetro que estão abaixo da curva para n = 1 vão falhar e são inaceitáveis para o

projeto.






FIGURA 6. Gráfico de resistência X diâmetro, para coeficiente de segurança 1,5 e diferentes

condições de acabamento.

Figura 7. Gráfico resistência x diâmetro para acabamento retificado e diferentes coeficientes de

segurança.






A segunda variação do programa é calcular o coeficiente de segurança a partir de

determinados parâmetros de entrada. Para este caso foram também utilizados dados de Budynas e

Nisbett (2014) mostrados nas Tabelas 5 e 6.

Tabela 5. Dados de entrada utilizados por Budynas e Nisbett (análise 2).

Dados de entrada

Ma (N.m) 443 Ka 0,883

Mm (N.m) 0 Kb 0,833

Ta (N.m) 0 Kc 1

Tm (N.m) 443 Kd 1

Kt 2,14 Ke 1

Kts 3 Kf 1

Sut (MPa) 469 D 0,042

Tabela 6. Dados de saída encontrados por Budynas e Nisbett (análise 2).

Dados de saída

Kf 1,74

Kfs 2,8

Se' (MPa) 234,5

Se (Mpa) 172

N 1,08






De forma similar ao cálculo anterior, foi obtido uma faixa de coeficiente de segurança para

um dado diâmetro na faixa de resistência Sut entre 300 e 2000 MPa, como mostrado na figura 8.

Mais uma vez comprovou-se que os valores obtidos no programa são confiáveis. Neste caso, o valor

encontrado foi aproximadamente 1,10, muito próximo do valor 1,08 encontrado por Budynas e

Nisbett (2014). Na figura 9 é observado que o coeficiente de segurança aumenta com o aumento da

resistência até 1460 MPa quando então sofrem uma inflexão. No caso de acabamentos grosseiros

observa-se uma queda do coeficiente de segurança.

Outra possibilidade de gráfico do programa é obter o coeficiente de segurança para vários

diâmetros a partir de uma gama de resistências, e para determinado tipo de acabamento, como pode

ser visto na Figura 10. Este gráfico também pode ser visualizado como uma mapa de falha se

traçarmos linhas horizontais referentes ao coeficientes de segurança.

Figura 2. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para acabamento retificado.






Figura 9. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para diversos acabamentos.

Figura 10. Gráfico resistência X coeficiente de segurança para diversos diâmetros.






8. CONCLUSÕES

Após comparação dos resultados obtidos no programa com exemplos da literatura,

constatou-se que a rotina de cálculo elaborada é confiável e apresenta uma boa precisão.

O programa constitui uma ferramenta interessante na avaliação do comportamento das três variáveis

tomadas como base nas análises: resistência, diâmetro e coeficiente de segurança.

REFERÊNCIAS

BUDYNAS, R.G.; NISBETT, J.K. Elementos de máquinas de Shigley: projeto de

engenharia mecânica, Bookman, Porto Alegre, Brasil, 1084p., 2011.

NORTON, R. L. Projeto de máquinas: uma abordagem integrada. Bookman, Porto

Alegre, Brasil, 919 p., 2004.

LENTE, C. S. Learning to program with Matlab: building GUI tools. JohnWiley & Sons,

Hoboken, USA, 301 p., 2013.

BALEEIRO, A.C.A.; GONÇALVES, E.M.; LIMA, J.W.N. Introdução ao programa

"Matlab" com aplicações. Escola de engenharia elétrica e de computação, Goiânia, Brasil,

81 p., 2007.

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