alho – Universidade do Minho 12glups.leya.com/_media/files/2013/Mar/testeexame... · Conceito...

PREPARAÇÃO PARA TESTES, TESTES INTERMÉDIOS E EXAME NACIONAL

Matemática A12

Revisão científica e pedagógica: Filipe Carvalho – Universidade do Minho

2

APRESENTAÇÃO

Esta obra pretende ser um instrumento de trabalho que permita ao aluno:

• rever os conceitos fundamentais de anos anteriores;

• consolidar as aprendizagens deste nível de escolaridade;

• evoluir no seu processo de ensino aprendizagem, fazendo com que queira ir sempre mais além;

• familiarizá-lo com questões do tipo de exame nacional;

• desenvolver a capacidade de resolução de problemas;

• desenvolver o raciocínio matemático;

• promover a autoconfiança perante situações novas.

Foi elaborada tendo como referência a preocupação com o aluno, a valorização da compo-nente prática na aprendizagem da Matemática, a preparação para testes, testes intermé-dios e exame nacional de todos os alunos.

O livro, à semelhança do programa de Matemática A, está organizado em três grandes temas: Pro-

babilidades e combinatória, Introdução ao cálculo diferencial II e Trigonometria e números com-

plexos.

Dentro de cada tema, os conteúdos estão organizados por capítulos, onde se encontrarão as ru-

bricas seguintes.

• Resumo teórico: síntese dos conteúdos programáticos abordados ao longo do 12.o ano e, quando

pertinente, apresentação de esquemas que promovam a consolidação da matéria e orientem a

resolução de exercícios – Esquematizando/Resumindo.

• Exercícios resolvidos: conjunto de exercícios que exemplificam a diversidade de questões, re-

cordam diferentes estratégias de resolução e mobilizam diferentes competências e conhecimen-

tos. A resolução destes exercícios será detalhada e explicada em pormenor, com chamadas deatenção.

Quando oportuno será explorado o Erro Típico.

• Exercícios propostos: bateria de exercícios (itens de seleção e itens de construção) que per-

mitam ao aluno numa primeira fase assimilar as noções essenciais e posteriormente adquirir agi-

lidade e destreza na resolução de exercícios, estabelecendo relações entre conteúdos. O grau de

dificuldade está identificado pela seguinte sinalética:

exercícios de base;

exercícios que requerem mais método e raciocínio;

exercícios de aprofundamento.

O livro contém dez testes de controlo de aquisição de conhecimentos e duas provas modelo se-

guindo a estrutura de exame nacional.

No final do livro encontram-se as soluções de todos os exercícios propostos e o formulário presente

no exame nacional 2012.

A todos, votos de bom trabalho e desejo de muito sucesso.

As autoras

3

Tema 1 – Probabilidades e combinatória 5

1.1. Conceitos probabilísticos 6

1.2. Operações com acontecimentos 6

1.3. Conceito clássico de probabilidade 8

1.4. Conceito frequencista de probabilidade 8

Exercícios resolvidos 9

Exercícios propostos 17

Itens de seleção 17

Itens de construção 19

2.1. Definição axiomática de probabilidade 23

2.2. Probabilidade condicionada 23

2.3. Acontecimentos independentes 24





Teste 1 39

Teste 2 42

3.1. Análise combinatória 44

3.2.Triângulo de Pascal 45

3.3. Binómio de Newton 46





4.1. Distribuição de probabilidades 66

4.2. Modelo binomial 67

4.3. Modelo normal 67





Teste 3 78

Teste 4 80

Tema 2 – Introdução ao cálculo diferencial II 83

1.1. Generalidades sobre funções 84

Exercícios propostos – Itens de seleção 90

2.1. Função exponencial de base superior a um 97

2.2. Função logarítmica de base superior a um 99

2.3. Modelação 102





Teste 5 125

ÍNDICE

ÍNDICE

4

3.1. Limites 127

3.2. Continuidade 131

3.3. Assíntotas 133





Teste 6 165

4.1. Derivadas 167


4.2. Aplicações das derivadas 175





Teste 7 203

Teste 8 205

Tema 3 – Trigonometria e números complexos 209

1.1. Conceitos básicos de trigonometria 210


1.2. Funções trigonométricas 222


1.3. Limites de funções trigonométricas 227


1.4. Derivadas de funções trigonométricas 229





Teste 9 249

2.1. Números complexos 251

2.2. Forma algébrica de um número complexo – operações 251

2.3. Forma trigonométrica de um número complexo – operações 256


2.4. Condições em C e sua representação geométrica 276





Teste 10 293

Provas-modelo 295

Prova-modelo 1 295

Prova-modelo 2 299

Soluções 303

167

Derivadas. Aplicações das derivadasRESUMO TEÓRICO

4.1. DERIVADAS

CONCEITO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO

Definição

Seja f uma função e seja [a, b] um intervalo contido no domínio de f.

Chama-se taxa de variação média de f no intervalo [a, b], com a ≠ b, ao valor

TVM[a, b](f) =

Definição

Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio.

Dá-se o nome de derivada da função f no ponto a e representa-se por f ’(a), ao limite (se existir):

ou

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONCEITO DE DERIVADA

Considera a reta secante ao gráfico de f que passa nos pontos de coordenadas (x0, f(x0)) e (x, f(x))

de declive . Quando x tende para x0, as sucessivas secantes ao gráfico tendem para uma

posição limite que se chama, se existir, tangente ao gráfico no ponto (x0, f(x0)), e cujo declive é

.

Assim, se f tem derivada finita em x = a, a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a tem

declive igual a f ’(a).

DERIVADAS LATERAIS

Seja f uma função e seja a um ponto do seu domínio.

• = é, caso exista, a derivada à esquerda da função f no ponto a

e representa-se por f ’(a–).

• = é, caso exista, a derivada à direita da função f no ponto a

e representa-se por f ’(a+).

f(b) – f(a)

b – a

f(x) – f(a)

x – alimx Æ a

f(a + h) – f(a)

hlimh Æ 0

f(x) – f(x0)

x – x0

limx Æ x0

f(x) – f(x0)

x – x0

y

x

f

O

(x)

f (x0)

x0 x

t

limx Æ a–

f(x) – f(a)

x – alim

h Æ 0–

f(a + h) – f(a)

h

limx Æ a+

f(x) – f(a)

x – alim

h Æ 0+

f(a + h) – f(a)

h

Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial IIRESUMO TEÓRICO

168

Geometricamente, se existir, f ’(x0–) é o valor do declive da semitangente à esquerda do gráfico de

f no ponto x0.

Geometricamente, se existir, f ’(x0+) é o valor do declive da semitangente à direita do gráfico de f no

ponto x0.

Quando as derivadas laterais num ponto são diferentes, não existe derivada da função nesse ponto.

Do ponto de vista geométrico, tal significa que as duas semitangentes não estão no prolongamento

uma da outra.

Quando as derivadas laterais num ponto são iguais, existe derivada da função nesse ponto. Geo-

metricamente, significa que as duas semitangentes estão no prolongamento uma da outra, for-

mando uma reta tangente.

DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE

Teorema

Toda a função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto.

Notas

1. O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Uma função pode ser contínua num ponto e não ter

derivada finita nesse ponto.

2. Se uma função não é contínua num ponto, então não tem derivada finita nesse ponto.

FUNÇÃO DERIVADA. REGRAS DE DERIVAÇÃO

Definição

Função derivada ou simplesmente derivada de uma função f é uma função:

– cujo domínio é o conjunto C de todos os pontos em que f tem derivada finita;

– que a cada ponto do seu domínio faz corresponder a derivada da função f nesse ponto, ou seja:

f ’: C Æ R

x |Æ f ’(x)

Representa-se por f ’ ou Df ou .

y

xO

f

x0Semitangente à direita

Semitangente à esquerda

y

xO x0

df

dx

169

Derivadas. Aplicações das derivadasRESUMO TEÓRICO

REGRAS DE DERIVAÇÃO

1. Derivada de uma constante: (k)’ = 0

2. Derivada de uma soma: (u + v)’ = u’ + v’

3. Derivada de um produto: (u ¥ v)’ = u’v + uv’

4. Derivada do produto de uma constante por uma função: (ku)’ = ku’

5. Derivada de :( )’

= –

6. Derivada de um quociente:( )’

=

7. Derivada de uma potência: (xn)’ = nxn – 1;

(un)’ = nun – 1 u’ (n ∈R)

8. Derivada da raiz quadrada: (√∫x)’ = ;

(√∫u)’ =

9. Derivada da função exponencial de base e: (ex)’ = ex;

(eu)’ = eu u’

10. Derivada da função exponencial de base a: (ax)’ = ax ln a;

(au)’ = u’ an ln a, a ∈R+\{1}

11. Derivada da função logarítmica de base e: (ln x)’ = ;

(ln u)’ =

12. Derivada da função logarítmica de base a: (loga x)’ = ;

(loga u)’ = , a ∈R+\{1}

TEOREMA DA DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA

Teorema

Se f ’ e g’ existem e se f o g está definida, então (f o g)’(x) = f ’(g(x)) ¥ g’(x).

1

v

1

v

v’

v2

u

v

u’v – uv’

v2

1

2√∫x

n’

2√∫u

1x

u’

u

1

x ln a

u’

u ln a

Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial IIEXERCÍCIOS RESOLVIDOS

170

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Sendo g(x) = 2ln(x + 1), calcula g’(0), pela definição.

Sugestão de resolução

g’(0) = =

= =

= =

= 2 =

= 2 ¥ 1 = 2

Repara que, no caso de x0 = 0, a expressão é a mesma usando uma ou outra definição de

derivada.

2. No Ministério da Saúde estimou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença

contagiosa, o número de pessoas infetadas pode ser expresso pela função P(t), sendo t o

número de dias decorridos desde o primeiro caso registado.

P(t) = 33t2 – t3

2.1. Calcula a taxa média de variação desta função nos primeiros cinco dias e interpreta o re-

sultado obtido no contexto do problema.

2.2. Determina a taxa de variação desta função em t = 10 e interpreta o resultado obtido no

contexto do problema.


2.1. TVM[0, 5] = = = 140, o que significa que nos primeiros cinco dias

o número de pessoas infetadas aumentou, em média, 140 pessoas por dia.

2.2. P’(10) = =

= =

= =(*)

= =

= (–x2 +23x + 230) =

= 360

Assim, dez dias depois do aparecimento do primeiro caso, o número de pessoas infetadas

estava a aumentar a uma taxa de 360 pessoas por dia.

limx Æ 0

g(x) – g(0)

x – 0

limx Æ 0

2ln(x + 1) – 2ln 1x

limx Æ 0

2ln(x + 1)x

limx Æ 0

ln(x + 1)x

P(5) – P(0)

5 – 0

33 ¥ 52 – 53 – 0

5

limx Æ 10

P(x) – P(10)

x – 10

limx Æ 10

33x2 – x3 – (33 ¥ 102 – 103)

x – 10

limx Æ 10

33x2 – x3 – 2300

x – 10

limx Æ 10

(x – 10)(–x2 + 23x + 230)

x – 10

limx Æ 10

( )0

0

= 1 (limite notável)limx Æ 0

ln(x + 1)x

NOTA

( )0

0

–1 33 0 –2300

–10 230 230010

–1 23 230 0 = r

(*) Cálculo auxiliar:

–x3 + 33x2 – 2300

= (x – 10)(–x2 + 23x + 230)

171

Derivadas. Aplicações das derivadasEXERCÍCIOS RESOLVIDOS

3. Na figura estão representadas:

• parte do gráfico de uma função f diferenciável

em R;

• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa 3.

O valor de f ’(3), derivada da função f no ponto 3,

pode ser igual a:

(A) –1 (B) 0

(C) (D) 1 Banco de Itens, GAVE


Sendo a reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 3, sabemos que o declive desta

reta é igual ao valor de f ’(3). Observamos no gráfico que a reta tem declive negativo, logo

o valor de f ’(3) é negativo. Ficam, assim, excluídas as opções (B), (D) e (C), já que f(3) > 0.

Então, a opção correta é a (A).

4. Seja f uma função real de variável real tal que:

• f(2) = 3;

• = 5.

4.1. Indica, caso exista, o valor de f(x).

4.2. Escreve uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2.

4.3. Calcula .


4.1. Sabemos que = 5 ⇔ f ’(2) = 5.

Como f admite derivada finita em x = 2, então f é derivável em x = 2.

Dado que toda a função derivável num dado ponto é contínua nesse ponto, concluímos que

f é contínua em x = 2, isto é, f(x) = f(2) ⇔ f(x) = 3.

4.2. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. Sabemos que o declive da reta t é

o valor da derivada de f em x = 2, isto é, m = f ’(2) = 5.

Assim, a equação reduzida da reta t é y = 5x + b.

Como o ponto de coordenadas (2, f(2)) = (2, 3) pertence à reta t, vem que:

3 = 5 ¥ 2 + b ⇔ 3 = 10 + b ⇔ –7 = b

Concluímos, assim, que y = 5x – 7 é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de

abcissa 2.

limh Æ 0

f(2 + h) – f(2)

h

limx Æ 2

limx Æ 2

f(x) – f(2)

–x2 – 5x + 6

limh Æ 0

f(2 + h) – f(2)

h

limx Æ 2

limx Æ 2

1

f(3)

y

x

f

r

3O


172

Sugestão de resolução (continuação)

4.3. = =

= ( ¥ ) =

= ¥ =

= f ’(2) ¥ =

= 5 ¥ 1 = 5

5. Determina a função derivada de cada uma das seguintes funções.

5.1. a(x) = e–5x 5.2. b(x) = e√∫x

5.3. c(x) = 5x 5.4. d(x) = 2x3

5.5. e(x) = 2ln x 5.6. f(x) = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9)

5.7. g(x) = 5.8. h(x) = –

5.9. i(x) = 5.10. j(x) = ln(4 – 3x)

5.11. k(x) = ln(ln x) 5.12. l(x) = ln(x2(x + 1))


5.1. a’(x) = –5e–5x

Da’ = R

5.2. b’(x) = (√∫x)’e√∫x = ¥ x–

¥ e√∫x =

Db’ = R+

5.3. c’(x) = 5x ¥ ln 5

Dc’ = R

5.4. d’(x) = 3x2 ¥ 2x3 ¥ ln 2

Dd’ = R

5.5. e’(x) = ¥ 2ln x ¥ ln 2 = ¥ 2ln x

De’ = R+

5.6. f ’(x) = ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9) + ex(–4x3 – 15x2 + 2) =

= ex(–x4 – 5x3 + 2x + 9 – 4x3 – 15x2 + 2) =

= ex(–x4 – 9x3 – 15x2 + 2x + 11)

Df ’ = R

5.7. g’(x) = =

Dg’ = R+

ln xx

ex – e–x

ex + e–x

x3

ex

1

2

1

2 e√∫x

2√∫x

1x

ln 2x

1 – ln xx2

1x

x2

x – ln x

limx Æ 2

f(x) – f(2)

–x2 + 5x – 6limx Æ 2

f(x) – f(2)

–(x – 2)(x – 3)

limx Æ 2

f(x) – f(2)

x – 2

1

3 – x

limx Æ 2

f(x) – f(2)

x – 2limx Æ 2

1

3 – x1

3 – 2

( )0

0Cálculo auxiliar:

–x2 + 5x – 6 = 0

⇔ x =

⇔ x =

⇔ x = 2 ∨ x = 3

Assim:

–x2 + 5x – 6 = –(x – 2)(x – 3)

–5 ± √∫2∫5∫ ∫–∫ ∫4∫ ∫¥∫ ∫6–2

–5 ± 1

–2

173

Derivadas. Aplicações das derivadasEXERCÍCIOS RESOLVIDOS

5.8. h’(x) = – = – = –

Dh’ = R

5.9. i’(x) = =

= =

= =

= =

= =

=

Di’ = R

5.10. j’(x) =

Dj’ = ]–∞, [

5.11. k’(x) = = =

Dk’ = ]1, +∞[

Nota que Dk = {x ∈R: ln x > 0 ∧ x > 0}(*)= ]1, + ∞[

5.12. l’(x) = =

= =

= =

= =

= =

=

Dl’ = ]–1, +∞[\{0}

Nota que Dl = {x ∈R: x2(x + 1) > 0}(*)= ]–1, + ∞[\{0}

(ex – e–x)’ ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex + e–x)’

(ex + e–x)2

(ex + e–x) ¥ (ex + e–x) – (ex – e–x) ¥ (ex – e–x)

(ex + e–x)2

(ex + e–x)2 – (ex – e–x)2

(ex + e–x)2

e2x + 2exe–x + e–2x – (e2x – 2exe–x + e–2x)

(ex + e–x)2

e2x + 2 + e–2x – e2x + 2 – e–2x

e2x + 2exe–x + e–2x

4

e2x + 2 + e–2x

–3

4 – 3x

4

3

(ln x)’

ln x

1x

ln x1

x ln x

(x2(x + 1))’

x2(x + 1)

2x(x + 1) + x2

x3 + x2

2x2 + 2x + x2

x3 + x2

3x2 + 2xx3 + x2

x(3x + 2)

x(x2 + x)

3x + 2

x2 + x

3x2 ¥ ex – x3 ex

(ex)2

ex(3x2 – x3)

(ex)2

3x2 – x3

ex


ln x > 0 ∧ x > 0

⇔ x > 1 ∧ x > 0


–1 0

x2 + + + 0 +

x + 1 – 0 + + +

x2(x + 1) – 0 + 0 +


174

6. Considera a função de domínio R, definida por:

Caracteriza a função derivada.


• Determinar f ’(x) para x < 0:

f ’(x) = (ex + 1)’ = ex

• Determinar f ’(x) para x > 0:

f ’(x) = (x2 + 3x)’ = 2x + 3

• Determinar f ’(x) para x = 0:

Como as expressões analíticas que definem f à direita e à esquerda de x = 0 são distintas,

estudemos as derivadas laterais usando a definição de derivada:

f ’(0+) =

f ’(0+) = =

= =

= =

= (x + 3) =

= 3

f ’(0–) =

f ’(0–) = =

= =

= =

= –∞

f ’(0–) ≠ f ’(0+)

f não é derivável em x = 0.

Igual conclusão seria tirada através do estudo da continuidade em x = 0, já que, sendo f

descontínua neste ponto, então não é derivável nesse mesmo ponto.

• Caracterização de f ’:

Df ’ = R\{0}

limx Æ 0

+

f(x) – f(0)

x – 0

limx Æ 0

+

x2 + 3x – 0x

limx Æ 0

+

x2 + 3xx

limx Æ 0

+

x(x + 3)x

limx Æ 0

+

limx Æ 0

–

f(x) – f(0)

x – 0

limx Æ 0

–

ex + 1 – 0x

limx Æ 0

–

ex + 1x

2

0–

ex + 1 se x < 0

x2 + 3x se x ≥ 0

��f(x) =

ex se x < 0

2x + 3 se x > 0

��f’(x) =

( )0

0

187

1. De uma função f de domínio R sabe-se que = 3.

Indica qual das seguintes afirmações é falsa.

(A) f é contínua em x = 1.

(B) f ’(1) = 3

(C) = 3

(D) Não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = 1.

2. Seja f a função cuja representação gráfica é:

Então a representação gráfica da função f ’, primeira derivada de f, é:

(A) (B)

(C) (D)

3. Seja f uma função tal que o gráfico de f ’’ é a reta de equação y = x + 3.

Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) f(–3) é máximo de f.

(B) f(–3) é mínimo de f.

(C) –3 é abcissa do ponto de inflexão do gráfico de f.

(D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em R+.

limx Æ 1

f(x) – f(1)

x – 1

limh Æ 0

f(1 + h) – f(1)

h

e

f

–e O x

y

e

O x

y

–e

O x

y

1

O x

y

–1

O x

y

Derivadas. Aplicações das derivadasEXERCÍCIOS PROPOSTOS

Itens de seleção

Tema 2 | Introdução ao cálculo diferencial IIEXERCÍCIOS PROPOSTOS

188

4. Seja f uma função definida em ]2, 6[.

A função f tem primeira derivada e segunda derivada finitas em todos os pontos do seu do-

mínio e f ’(x) > 0 ∧ f ’’(x) < 0, ∀ x ∈ ]2, 6[.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f?

(A) (B)

(C) (D)

5. Seja f uma função tal que a sua derivada no ponto 1 é igual a 3.

Indica o valor de .

(A) (B) – (C) 3 (D) 0

6. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f.

Indica o valor de f ’(4+), derivada lateral direita de f no ponto 4.

(A) 4 (B) 3 (C) –∞ (D) +∞

2 6O

f

x

y

2 6O x

y

f

f

2 6O x

y

f

2 6O x

y

limx Æ 1

f(1) – f(x)

x2 – 1

3

2

3

2

f

4

2

4

O x

y

Itens de seleção

189

7. Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) Uma função contínua num ponto tem derivada nesse ponto.

(B) Uma função contínua num ponto tem derivada finita nesse ponto.

(C) Uma função tem derivada finita num ponto se e só se é contínua nesse ponto.

(D) Uma função descontínua num ponto não tem derivada finita nesse ponto.

8. Para um certo valor de k, existe derivada no ponto de abcissa 0 da função f, definida por:

Qual é o valor de k?

(A) (B) (C) (D) e

9. Considera uma função f, par, de domínio R, parcialmente

representada na figura.

A reta t de equação y = 3x + 3 é tangente ao gráfico de f

no ponto de abcissa 4.

Então o valor de f ’(–4) é:

(A) 3 (B) –

(C) –3 (D)

10. Na figura encontra-se a representação gráfica da função g

definida por g(x) = x3 – 3x – e a reta r tangente ao

gráfico de g no ponto de abcissa a.

Sabe-se que a inclinação da reta r é 45o.

Qual é o valor de a?

(A) 2 (B) √∫2

(C) √∫3 (D)

11. Na figura estão representadas:

• parte do gráfico da função g, de domínio R–, definida por

g(x) = ln(–x);

• uma reta t tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa a.

A inclinação da reta t é 135o. Indica o valor de a.

(A) –1 (B) –√∫3

(C) –√∫2 (D) –

f(x) = (x2 + kx + 1)ex se x < 0

ln(kx + e) se x ≥ 0

��

e

1 – e

1

1 – e

1 – e

e

1

3

1

3

2

3

5

2

3

2

1

2


t

4O x

y

r

O

a

g

x

y

tO

g

x

y

a


190

12. A reta de equação y = e é tangente ao gráfico da função:

(A) f(x) = ex2 + x (B) g(x) = ln x (C) h(x) = (D) i(x) =

13. Na figura está representado o gráfico da função f ’, derivada de uma função f definida no in-

tervalo [0, 5].

Qual das seguintes afirmações é necessariamente falsa?

(A) f é contínua em [0, 5].

(B) O gráfico de f não tem pontos de inflexão.

(C) A função f tem um extremo relativo em x = 1.

(D) O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em [0, 5].

14. Considera uma função definida por y = kx2 + 8x + 1 (k ≠ 0).

Para que o declive da reta normal à curva no ponto de abcissa 1 seja – , k deve ser:

(A) 2 (B) –3 (C) (D) –2

15. Seja h uma função de domínio R tal que h’(1) = 2h(1) e h(1) ≠ 0.

Seja t a reta tangente ao gráfico da função h no ponto de abcissa 1.

Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico de h?

(A)( , 0) (B) (1, 0) (C)( , 1) (D) (2, 0)

16. Considera a função g, de domínio R, definida por g(x) = log2x.

Seja f uma função definida em R tal que f ’(2) = ln 2.

Indica o valor de (f o g)'(4).

(A) (B) ln (C) (D)

ln xx

ex

x

O

f ’

x

y

1

5

1

2

1

2

1

2

1

2

ln 2

ln 16

1

8

1

ln 16

1

ln 2

Itens de seleção

191

17. Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do

gráfico da função quadrática f, de domínio R.

Seja h a função definida por h(x) = f(x) + ln x.

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do

gráfico da função h’’, segunda derivada de h?

(A) (B)

(C) (D)

18. Seja f uma função de domínio [a, b] e c um ponto do domínio de f tal que f(c) é um extremo

relativo de f e f ’(c) é um número real.

Indica qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira.

(A) f ’(c) = 0.

(B) Se c é um ponto interior de [a, b], então f ’(c) = 0.

(C) A reta de equação y = f(c) é tangente ao gráfico de f.

(D) (c, f(c)) é ponto de inflexão do gráfico de f.

19. De uma função f, de domínio R, sabe-se que a sua segunda derivada é dada por:

f ’’(x) = (x – 1)3 (x2 – 4)(x2 + )(x + 1)2

Quantos pontos de inflexão tem o gráfico de f?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

20. Seja g uma função definida em R por um polinómio de grau 7.

Qual dos valores seguintes pode representar o número de pontos de inflexão do gráfico de g?

(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 0

O x

y

O x

y

O x

y

O x

y

1

2


O

f

x

y


192

1. Caracteriza a função derivada de cada uma das seguintes funções.

1.1. f(x) = x2 + 5x + 3 1.2. g(x) = x10 + x3 – x + e

1.3. h(x) = (3x – 1)4 – π 1.4. i(x) =

1.5. j(x) = + x2 1.6. l(x) = +2√∫x

1.7. m(x) = 1.8. n(x) =

1.9. o(x) = √∫1 ∫ ∫–∫ ∫x∫2 1.10. p(x) = 3√∫2∫x∫4∫ ∫+ ∫ ∫1∫0

2. Sejam a e b dois números reais e seja g a função definida em ]–1, +∞[ por:

g(x) = –x2 + ax + b ln(x + 1)

Determina os valores de a e de b para os quais as retas tangentes ao gráfico de g nos pontos

de abcissa x = 0 e x = são paralelas ao eixo Ox.

3. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R.

Figura 1

Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de do-

mínio R.

Uma das funções representadas é f ’, primeira derivada de f, e a outra é f ’’, segunda derivada

de f.

Figura 2 Figura 3

Numa pequena composição, explica em qual das figuras está representado o gráfico da pri-

meira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada.

1

2

2

x2

1

x5

1

2

1x

2x – 3

x + 1

xx2 + 1

3

2

a b c

O x

y

a b c

O x

y

a

b

c

O x

y

Itens de construção

193

4. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s. Sabe-se que

a sua altura, em metros, t segundos após o seu lançamento é dada pela expressão:

h(t) = –4,9t2 + 120t

4.1. Determina o instante e a velocidade com que o projétil atinge o solo.

Apresenta os valores com aproximação às décimas.

4.2. Determina a altura máxima alcançada pelo projétil.

Apresenta o valor pedido arredondado às centésimas.

4.3. Determina a aceleração num instante arbitrário t.

5. Numa pequena localidade calculou-se que, após o aparecimento de uma determinada doença

contagiosa, o número de pessoas infetadas vem expresso pela função P(d) = 30d2 – d3, sendo

d o número de dias contados após o registo do primeiro caso.

5.1. Calcula a taxa de variação média desta função no intervalo de tempo [1, 5].

5.2. Estuda, utilizando processos exclusivamente analíticos, a monotonia e os extremos da

função P no contexto do problema.

Explica como evoluiu a doença ao longo do tempo, nomeadamente qual o número má-

ximo de pessoas infetadas e quando é que tal ocorreu, bem como após quanto tempo

se considerou a doença erradicada.

5.3. Utilizando as capacidades gráficas da calculadora determina, com aproximação às uni-

dades, durante quantos dias o número de doentes foi superior a 3500.

Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora – o gráfico obtido, as coordenadas

de algum, ou de alguns pontos relevantes, apresentando as coordenadas com aproximação às centésimas.

6. Um recipiente contém uma certa quantidade de sal. Para dissolver o sal enche-se o recipiente

com água.

Admite que a massa, em gramas, de sal ainda não dissolvido, t minutos após o início do pro-

cesso de dissolução, é dada por M(t) = 30 e–0,01t, t ≥ 0.

6.1. Determina a massa de sal dissolvido ao longo da primeira meia hora.

Apresenta o resultado em gramas, arredondado às unidades.

6.2. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estuda a função M quanto à monotonia

e quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. Interpreta as conclusões a que che-

gaste, no contexto do problema.

7. Foi administrado um analgésico a um doente às 6 horas da manhã de um certo dia.

A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter

sido administrado, é dada por C(t) = 3t e–0,2t.

7.1. Mostra que houve um instante, entre as 6 h 30 min e as 7 h, em que a concentração do

medicamento foi 2 mg/ml.

7.2. Determina o instante em que a concentração de analgésico no sangue do doente foi

máxima.



194

8. O número de eucaliptos numa zona florestal cresce segundo a lei E(t) = 27 ¥ 1,3 , com t ex-

presso em anos.

8.1. Quantos eucaliptos havia no início da contagem? E uma década depois?

Apresenta o resultado com aproximação às unidades.

8.2. Quantos anos e quantos meses são necessários para que o número de eucaliptos exis-

tentes no início da contagem triplique?

Em cálculos intermédios conserva três casas decimais.

8.3. Calcula a taxa de variação em t = 1 e em t = 10.

Apresenta os valores com aproximação às unidades e interpreta os resultados encontrados no contexto do

problema.

9. Recorrendo à definição de derivada de uma função num ponto determina, para cada uma das

funções, a derivada no ponto indicado.

9.1. f(x) = x2 + 4x, derivada no ponto 1.

9.2. g(x) = ex – x, derivada no ponto 0.

9.3. h(x) = ln(x + 1) + x, derivada no ponto 0.

10. Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes.

10.1. f(x) = e2x 10.2. g(x) = ex(x + 3)

10.3. h(x) = 10.4. i(x) = √∫e∫x∫ ∫+ ∫ ∫x∫2

10.5. j(x) = ex ln x 10.6. k(x) =

10.7. l(x) = e 10.8. m(x) = + ln x

10.9. n(x) = x ln x 10.10. o(x) =

10.11. p(x) = √∫l∫n∫ ∫x 10.12. q(x) = ln(ln x)

11. Caracteriza a função derivada de cada uma das funções seguintes.

11.1. f(x) = 10x 11.2. g(x) = 2x3

11.3. h(x) = 3ln x 11.4. i(x) = log(5x + 1)

11.5. j(x) = log2( ) 11.6. k(x) =

11.7. l(x) = ln√∫1∫ ∫– ∫ ∫x∫2 11.8. m(x) = log( ) 11.9. n(x) = πln x

t

2

e2x + ex – 1

ex + 3

1

ex

1x 1

x

xln x

1x

1

log2 x

1

x + 1


201

34. Seja f a função de domínio R+ definida por f(x) = xe–x + (x + 1) ln(x + 1).

Seja P um ponto do gráfico de f ’ tal que [OP] é a hipotenusa de um triângulo retângulo isós-

celes que tem um cateto contido no eixo Ox. Determina a área desse triângulo.

Traduz este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolve-a graficamente.

Podes realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora.

Reproduz o(s) gráfico(s) obido(s) na calculadora, bem como as coordenadas de algum(ns) ponto(s) relevantes

arredondadas às centésimas, e apresenta o valor pedido arredondado às centésimas.

35. Seja f uma função cuja segunda derivada, f ’’, é contínua em R.

Sejam a e b números reais tais que a < b. Admite que as retas tangentes ao gráfico da função

derivada de f, f ’, nos pontos de abcissas a e b são perpendiculares.

Mostra que f ’’ tem pelo menos um zero em ]a, b[.

36. Seja f a função definida em R por f(x) = xex. Utiliza o método de indução matemática para

mostrar que, ∀ n ∈N, f(n)(x) = ex(x + n).

37. Seja g a função definida em R+ por g(x) = logax com a ∈R+\{1}. Utiliza o método de indução

matemática para mostrar que ∀ n ∈N, g(n)(x)=

38. Um fio encontra-se suspenso entre dois postes. A distância entre ambos é 30 metros.

Considera a função f definida por f(x) = 5(e1 – 0,1x + e0,1x – 1).

Admite que f(x) é a distância ao solo, em metros, do ponto do fio situado a x metros à direita

do primeiro poste.

38.1. Determina a diferença de alturas dos dois postes.

Apresenta o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas

decimais.

38.2. Recorrendo ao estudo da derivada da função f, determina a distância ao primeiro

poste do ponto do fio mais próximo do solo.

38.3. Determina, com aproximação à décima de metro, a distância ao primeiro poste dos

pontos do fio que se encontram a 15 metros do solo.

Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas

decimais.

Exame Nacional de Matemática A, 1998 – Prova modelo

(–1)n – 1 ¥ (n – 1)!

xn ¥ ln a

30 m

1.o Poste

2.o Poste

f(x)

x



202

39. Admite que quando uma substância é injetada na corrente sanguínea, a sua concentração t

minutos após ter sido administrada é dada por C(t) = (e–bt – e–at), para constantes po-

sitivas a, b e k.

39.1. Prova que a concentração máxima ocorre para t = .

39.2. Determina C(t) e interpreta o valor obtido no contexto do problema.

40. Admite que a massa, em quilogramas, de uma elefanta africana, com t anos de idade, pode

ser aproximada por uma função de crescimento de Bertanlanffy W tal que:

W(t) = 2600(1 – 0,51e–0,075t)3

40.1. Determina a massa e a taxa de crescimento de uma elefanta recém-nascida.

Apresenta os valores aproximados às unidades.

40.2. Uma elefanta adulta pesa 1800 kg. Determina a sua idade e a taxa de crescimento atual.

Apresenta os resultados arredondados às unidades.

40.3. Determina W(t) e interpreta o valor obtido no contexto do problema.

40.4. Mostra que a taxa de crescimento é máxima entre os 5 e os 6 anos de idade.

41. Pretende-se fazer chegar um cabo de energia de uma central elétrica até uma fábrica locali-

zada do outro lado de um rio que tem 900 metros de largura.

Sabe-se ainda que a fábrica encontra-se a 3000 metros da central, medidos como se encontra

na figura, e que o custo para fazer passar o cabo por terra é 4 euros por metro, enquanto o

custo de fazer passar o cabo debaixo de água é 5 euros por metro.

Nestas condições, determina a trajetória mais económica e indica o seu custo.

42. Um depósito cilíndrico vai ser construído para suportar um volume fixo V0.

O custo do material usado nas bases do cilindro é 3 cêntimos por metro quadrado e o custo

do material usado na parte lateral do cilindro é 2 cêntimos por metro quadrado.

Qual deve ser a relação entre o raio da base e a altura do cilindro de modo que o custo de

produção seja o menor possível?

k

a – b

( )lna

b

a – b

limt Æ +∞

limt Æ +∞

900 m

3000 m

Rio

xP


203

Teste 7TESTES DE CONTROLO

1. Observa a representação gráfica da função f. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) f(c) ¥ f ’(c) > 0

(B) f ’(c) ¥ f ’’(c) < 0

(C) f(c) ¥ f ’’(c) < 0

(D) f(c) ¥ f ’(c) ¥ f ’’(c) < 0

2. Considera a função real de variável real f definida por f(x) = ex + ln x. De uma outra função

real de variável real, g, sabe-se que g’(3) = 0 e que o ponto de coordenadas (3, 2) pertence

ao gráfico de g.

Qual é o valor de (f ¥ g)’(3)?

(A) 2e3 + (B) 2e3 + ln 3 (C) 3e3 + 1 (D) 0

3. Na figura está a representação gráfica de uma função h’, primeira

derivada de uma determinada função h de domínio R.

Quantos extremos relativos tem a função h?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

4. Seja f uma função definida num intervalo fechado I e seja a ∈I.

Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) Se f ´(a) = 0, então existe um extremo em x = a.

(B) Se em x = a existe um extremo, então f ’(a) = 0.

(C) Se f ’(a) = 0, então f é contínua em x = a.

(D) Se em x = a existe um extremo e se f ’(a) é um número real, então f ’(a) = 0.

5. Na figura está a representação gráfica de uma função f e a reta t,

tangente ao gráfico de f no ponto A de coordenadas (3, 2).

De acordo com os dados da figura pode afirmar-se que o valor de

é:

(A) –2 (B) (C) (D)

2

3

limh Æ 0

f(3 + h) – 2

h

3

2

2

3

4

3

GRUPO I

• Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo seleciona a única opção correta.

• Escreve na tua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra que identifica a

única opção escolhida.

• Não apresentes cálculos nem justificações.

O

f

x

y

c

O x

y

–2

2

O

A f

t

x

y

3

204

Teste 7TESTES DE CONTROLO

1. Seja f a função definida em R por .

Prova que a função f é contínua no ponto de abcissa 1, mas não admite derivada nesse ponto.

2. A propagação de uma doença infeciosa num infantário é dada por P(t) = , onde P(t)

é o número de crianças infetadas e t é o número de dias contados após as crianças terem

estado em contacto com outras crianças infetadas.

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, resolve as alíneas seguintes.

2.1. Determina o número inicial de crianças infetadas e passados quantos dias estarão 25

crianças doentes.

Apresenta todos os resultados com aproximação às unidades.

2.2. Determina P ’(1), com aproximação às unidades. Interpreta o valor encontrado no con-

texto do problema.

2.3. Mostra que houve um instante entre t = 1 e t = 3 em que o número de crianças infetadas

estava a aumentar à taxa de 10 crianças por dia.

Nota: Se a calculadora for utilizada em eventuais cálculos numéricos conserva duas casas decimais.

2.4. Qual foi o dia em que aumentou mais o número de crianças infetadas? E qual era a taxa

de variação nesse dia?

3. Seja h a função real de variável real definida por h(x) = ln( ).

3.1. Mostra que h’(x) = , ∀ x ∈R+.

3.2. Averigua se existe um ponto do gráfico da função h no qual a tangente é uma reta pa-

ralela ao eixo das abcissas. Em caso afirmativo, determina uma equação dessa reta

tangente.

4. Considera um retângulo inscrito num triângulo retân-

gulo, como mostra a figura.

Se o triângulo tem os lados de comprimentos 5 cm,

12 cm e 13 cm, quais serão as dimensões do retân-

gulo inscrito que tem maior área?

FIM

e2x + 3

ex – 1

100

1 + e4 – t

e3x – 2e2x – 3ex

(ex – 1)(e2x + 3)

f(x) =

se x ≠ 1

0 se x = 1

��

x – 1

1 + e

1

x – 1

GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todosos cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: Quando, para um resultado não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

5

12

1. Numa aula, a professora fez uma pergunta a um aluno dando cinco hipóteses de resposta,

das quais só uma está correta. Um aluno responde ao acaso.

Qual é a probabilidade de acertar à segunda tentativa?

(A) (B) (C) (D)

2. Seis cozinheiros concorrem de forma anónima a um concurso de gastronomia. Cada um ela-

bora dois pratos. São escolhidos aleatoriamente dois desses pratos.

Qual é a probabilidade de os dois pratos terem sido elaborados pelo mesmo cozinheiro?

(A) (B) (C) (D)

3. Uma certa linha do triângulo de Pascal tem 2016 elementos.

Quantos deles são maiores do que 5000?

(A) 1008 (B) 2012 (C) 2014 (D) 2015

4. Na figura está desenhada parte da representação gráfica de uma função f, de domínio R.

Seja (xn) uma sucessão tal que xn = 5 ln[(1 + )n].

Qual é o valor de lim f(xn)?

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 1

5. Seja f uma função de domínio R+, da qual se sabe que não tem zeros e que o eixo das abcissas

é assíntota horizontal do seu gráfico.

Seja g a função de domínio R+, definida por g(x) = .

Qual das seguintes equações define uma assíntota horizontal do gráfico de g?

(A) y = 0 (B) y = 1 (C) y = 2 (D) y = 3

1

4

1

5

1

2

2

5

612C2

1212C2

612A2

112A2

1

n

5

1

3

2

4

y

x

2 + e–x

f(x) + 1

295

PROVA MODELO 1

GRUPO I

• Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta.

• Escreve, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a única opção escolhida.

• Não apresentes cálculos nem justificações.

310

SOLUÇÕES

26.26.1. f é contínua no seu domínio, R\{–2}.26.2. f–1 é contínua no seu domínio, R\{1}.26.3. g é contínua no seu domínio, R\{0, 1}.

27.27.1. A função f é contínua no intervalo ]–∞, 0[ e em

]0, +∞[. Logo, é contínua no seu domínio.

27.2.

28.28.1. A função f é uma função contínua em

R\{–√∫2, √∫2}. Logo, é contínua no seu domínio.

29. a = e b =

30. Proposição verdadeira.

32.32.1. x = 0 e y = 2 32.2. x = 1 e y = –e32.3. x = –332.4. x = 5, y = 0 e y = –

32.5. x = 0 32.56. y = 0

33.33.1. x = 2 e y = 3x + 1 33.2. y = x33.3. x = 1, y = x + 1 e y = –x – 1 33.4. y = 2x e y = 4x 33.5. y = x – 1 33.6. x = 0 33.7. x = e e y = 033.8. x = 1

34.34.1. y = –5 e y = -3x – 1 34.2. y = –5 e y = 3x + 2 34.3. y = 5 e y = 3x – 2 34.4. y = 7 e y = 3x35.35.1. f é contínua em x = 1. 35.2. y = 0

36.36.1. f é contínua em R+\{1}. 36.2. x = 1 e y = 0

37.37.1. f é contínua no seu domínio.37.2. x = 0, x = e e y = 4x + 1 37.4. –1,7

38.38.1. 3e2 38.2. 4e3 38.3. 4 38.4. –18

39. a = 1 e b = –3

41. –4

42. y = x +

Teste 6 – página 165

Grupo I

1. (D) 2. (C) 3. (B) 4. (B) 5. (C)

Grupo II

1.1.1. D = ]–∞, 0[ ∪] , +∞[1.2. y = x ln 5 –

3.3.1. y = 0, y = 0 e y = –x + 1

3.3. Área ≈ 1,1

4. Derivadas. Aplicações das derivadas.

Itens de seleção – página 187

1. (D) 2. (C) 3. (C) 4. (D) 5. (B)

6. (C) 7. (D) 8. (A) 9. (C) 10. (B)

11. (A) 12. (D) 13. (D) 14. (B) 15. (A)

16. (A) 17. (C) 18. (B) 19. (B) 20. (C)

Itens de construção – página 192

1.1.1. f ': R → R x |Æ 2x + 51.2. g': R → R x |Æ 10x9 + x2 – 1

1.3. h': R → R x |Æ 12(3x – 1)3

1.4. i ': R\{0} → R x |Æ –

1.5. j ': R\{0} → R

x |Æ – + x

1.6. l': R+ → R x |Æ – +

1.7. m': R\{–1} → R x |Æ

1.8. n': R → R x |Æ

1.9. o': [–1, 1] → R x |Æ –

1.10. p': R → R x |Æ

2. a = 5 e b = –5

3. Da análise do gráfico de f decorre que esta função édecrescente no intervalo ]–∞, a], crescente no inter-valo [a, c], voltando a ser decrescente em [c, +∞[. Afunção tem um mínimo relativo de abcissa a e ummáximo relativo de abcissa c. Logo, f ’ é negativa em]–∞, a[, positiva em ]a, c[, voltando a ser negativa em]c, +∞[. Como f ´ está definida em R, a e c são pontosinteriores do domínio de f e f(a) e f(c) são extremos,conclui-se que f ’(a) = 0 e f ’(c) = 0. Portanto, o gráficode f ’ está representado na figura 3.

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cimapara x menor do que b, tem a concavidade voltadapara baixo para x maior do que b e tem um ponto deinflexão de abcissa b. Logo, f ’’ é positiva para x menor

g(x) =

��

– se x < 0

se x = 0

se x > 0

12x

e–x

2x

12

ln(x + 1)2x

14

12

116

14

12

15

15

OA

g

B

y

x–1,35 1,24

1,24

1,83

y = x2

y = x

32

4x3

5x6

1

√∫x1x2

5(x + 1 )2

–x2 + 1(x2 + 1 )2

x√∫1∫ ∫–∫ ∫x∫2

8x3

33√∫(∫2∫x∫4∫ ∫+∫ ∫1∫0∫)∫2

311

SOLUÇÕES

do que b e negativa para x maior do que b. Como f ’’está definida em R, b é ponto interior do domínio de f e(b, f(b)) é um ponto de inflexão, conclui-se que f ’’(b) = 0.Portanto, o gráfico de f ’’ está representado na figura 2.

4.4.1. t = 24,5 e v(24,5) = –120,1 m/s4.2. 734,69 m 4.3. a(t) = v´(t) = –9,8 m/seg2

5.5.1. 149 doentes por dia.5.2. O número de doentes aumentou durante os primei-

ros 20 dias, atingindo o máximo de 4 000 pessoasinfetadas, tendo diminuído a partir daí. Após 30 diasa doença foi considerada erradicada, pois o númerode pessoas infetadas é nulo quando d = 30.

5.3. Durante, aproximadamente, oito dias.

6.6.1. 8 g6.2. M é estritamente decrescente; o gráfico de M não

admite assíntotas verticais; a reta de equação y = 0é assíntota horizontal do gráfico de M quando t→ +∞,ou seja, à medida que o tempo passa, a quantidadede sal ainda não dissolvido é cada vez menor, ten-dendo a desaparecer.

7.7.2. A concentração máxima foi às 11 horas.

8.8.1. No início havia 27 eucaliptos e uma década depois

aproximadamente 100 eucaliptos.8.2. Oito anos e quatro meses e meio.8.3. E’(1) = 4 e E’(10) = 13, o significa que um ano depois

do início da contagem o número de eucaliptos estáa aumentar à taxa de 4 eucaliptos por ano, enquantoque 10 anos após o início da contagem o cresci-mento é mais rápido, visto o número de eucaliptosestar a aumentar à taxa de 13 eucaliptos por ano.

9.9.1. 6 9.2. 0 9.3. 2

10.10.1. f ': R → R x |Æ 2e2x

10.2. g': R → R x |Æ ex(x + 4)10.3. h': R → R

x |Æ

10.4. i': R → R x |Æ

10.5. j': R+ → R x |Æ ex(ln x + )10.6. k': R → R x |Æ –

10.7. l': R\{0} → R

x |Æ – e

10.8. m': R+ → R x |Æ

10.9. n': R+ → R x |Æ 1 + ln x10.10. o': R+\{1} → R x |Æ

10.11. p': ]1, +∞[ → R x |Æ

10.12. q': ]1, +∞[ → R x |Æ

11.11.1. f ': R → R x |Æ 10x ¥ ln 1011.2. g': R → R x |Æ 3x2 ¥ 2x3 ¥ ln 211.3. h': R+ → R x |Æ ¥ 3ln x

11.4. i': ]– , +∞[→ R

x |Æ

11.5. j': R+ → R

x |Æ –

11.6. k': R+\{1} → R

x |Æ –

11.7. l': ]–1, 1[ → R

x |Æ

11.8. m': ]–1, +∞[ → R

x |Æ –

11.9. n': R+ → R x |Æ

12.12.1. f não admite derivada em x = 0.12.2. g admite derivada em x = 0; g’(0) = 0.12.3. h não admite derivada em x = 0.

14.14.1. –1 14.2. –10 14.3. 10 14.4.

14.5. 14.6. 1 14.7. –6 14.8. 2

15. a = 2, b = –3 e c = 1.

16.16.1. y = – x – 16.2. y = –20x – 16

16.3. y = –2x – 1 16.4. y = 2e–5x + e–5

17.17.1. Equação da reta tangente: y = 2x – 1

Equação da reta normal: y = – x +

17.2. Equação da reta tangente: y = x – + ln 5

Equação da reta normal: y = – x + + ln5

18. y = 3x – 2 + ln 4

19. (0, 0) e (–2, 2)

O

P

P

t

3500

15,58 23,84 30

e3x + 6e2x + 4ex

(ex + 3)2

ex + 2x2√∫e∫x∫ ∫+∫ ∫x∫2

1x

1ex

1x1

x2

x – 1

x2

–1 + ln x(ln x)2

1

2x√∫l ∫n ∫ ∫x

1x ln x

ln 3x

15

5(5x +1) ¥ ln 10

1x ln 2

1x ln 2(log2x)2

–x1 – x2

1(x + 1) ln 10

ln p ¥ pln x

x

18

29

13

29

32

12

85

45

52

54

OUTRAS OBRAS DE APOIO A TESTES E EXAMES

..

.2 .

Matemática A 12

ISBN 978-989-23-2434-0

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