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ALOCAÇÃO DE CAPACITORES EM REDES ELÉTRICAS VIA HEURÍSTICA CONSTRUTIVA E REFINAMENTO POR BUSCA TABU

H. R. de Oliveira Rocha

Universidade Federal Fluminense, Instituto de Computação Rua Passo da Pátria 156 - Bloco E - 3º andar São Domingos Niterói - RJ

[email protected], [email protected]

A. A. Augusto Universidade Federal Fluminense, Departamento de Engenharia Elétrica

Rua Passo da Pátria 156 - Bloco D – sala 509 - São Domingos, Niterói - RJ [email protected]

L .C. Menezes Direito

Light Serviços de Eletricidade S.A., Universidade Federal Fluminense Rua Passo da Pátria 156 - Bloco E - 3º andar São Domingos, Niterói - RJ

[email protected]

J. C. Stacchini de Souza, M. B. Do Coutto Filho Universidade Federal Fluminense, Dept. de Engenharia Elétrica, Instituto de Computação

Rua Passo da Pátria 156 - Bloco E - 3º andar São Domingos Niterói - RJ [email protected], [email protected]

RESUMO

Este trabalho propõe uma heurística construtiva para o problema de alocação de capacitores em redes elétricas, de forma a gerar soluções de boa qualidade, as quais são posteriormente refinadas através do emprego da metaheurística busca tabu. Os principais objetivos são a redução das perdas de energia elétrica e o controle do perfil de tensão durante o suprimento de energia elétrica. Na investigação aqui realizada foi considerada uma codificação reduzida para a representação da solução e uma metodologia adequada para a modelagem da variabilidade da demanda. Testes com uma rede de distribuição real foram realizados com o objetivo de avaliar a eficiência e eficácia do modelo proposto, bem como de compará-lo com uma aplicação da metaheurística Algoritmos Genéticos previamente proposta na literatura.

PALAVARAS CHAVE. Otimização, Planejamento de Sistemas de Distribuição, Redução de Perdas Elétricas

Área principal: Aplicações a Energia

ABSTRACT

This work presents a constructive heuristic for the problem of capacitor placement in electrical networks, which yields good initial solutions that will be further refined by a tabu search algorithm. The main goals are to reduce energy losses and to guarantee an adequate voltage profile throughout the electric network during power energy supply. In this research work, an efficient codification to represent problem solutions has been employed and the demand variability has been addressed by an adequate load model. Tests with a real distribution network have been performed to evaluate the efficiency and effectiveness of the proposed model. A comparison with the application of a genetic algorithm, previously described in the literature, is also presented.

KEYWORDS. Optimization, Distribution Systems Planning, Power Losses Reduction

Main area: Applications to Energy

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1

1. Introdução A área de distribuição de energia elétrica tem sofrido mudanças rápidas e intensas,

fazendo com que os problemas a ela associados se tornem cada vez mais complexos. O problema de alocação de potência reativa em redes de distribuição tem recebido a atenção de pesquisadores há bastante tempo. Diversas ferramentas têm sido propostas para a solução deste problema, envolvendo métodos analíticos e técnicas de otimização.

A alocação de capacitores em redes de distribuição permite um melhor gerenciamento da potência reativa, trazendo benefícios como redução de perdas elétricas e melhoria do controle do perfil de tensão. A solução do problema deve indicar a localização e a capacidade de bancos de capacitores a serem instalados na rede. Tal solução deve ser aquela que contemple objetivos como: minimização das perdas, controle adequado do perfil de tensão e minimização de custos de investimentos na aquisição e instalação de capacitores. É fácil perceber que existem objetivos antagônicos a serem contemplados e a solução ótima deverá ser aquela que corresponde à melhor relação de compromisso entre eles.

Muitos esforços têm sido direcionados para a solução do problema de alocação de bancos de capacitores em redes de distribuição, Granger (1981), Baran (1989), Chiang (1990), Ng (2000), Gallego (2001), Alves (2005). Em muitos casos, dada a complexidade do problema, certas simplificações são assumidas, tal como a consideração apenas de patamares de demanda máxima e mínima do sistema. Maiores esforços de modelagem visando à adequada quantificação dos custos envolvidos e do retorno de investimento são também necessários.

O problema a ser resolvido é de natureza combinatória e a solução através de metaheurísticas se torna atraente. Técnicas evolutivas se tornam interessantes porque são capazes de tratar problemas que apresentam a natureza acima citada, envolvendo variáveis discretas e/ou contínuas, funções objetivo complexas, não lineares, multimodais, descontínuas ou não convexas, Lee (2002). O emprego de heurísticas construtivas se mostra promissor, Silva Junior (2008).

As metaheurísticas são métodos para a solução de problemas complexos de otimização, que utilizam procedimentos locais para a melhoria de uma solução e estratégias que permitem cobrir de forma eficiente o espaço de soluções, apresentando características de robustez e capacidade de escapar de ótimos locais durante a busca pela solução ótima, Glover (2003). As metaheurísticas realizam uma ampla busca no espaço de soluções, diferindo umas das outras pela forma como são realizadas as transições entre duas soluções ou entre dois conjuntos de soluções propostas para o problema (populações). Em geral, as soluções propostas são apresentadas de forma codificada, onde a representação adotada pode ser crucial para a eficiência do processo de busca, podendo ainda ser decisiva para o seu sucesso ou fracasso. No caso do problema de alocação de bancos de capacitores em redes de distribuição, a codificação da solução deve levar em consideração os locais onde os capacitores podem ser instalados, assim como a quantidade de potência reativa que pode ser empregada, de acordo com dados de equipamentos comerciais.

A capacidade de tratar problemas complexos, não convexos, reside no fato de que as transições entre soluções dependem apenas dos valores observados para a função objetivo e de certos parâmetros de controle do processo de evolução. Dessa maneira, é fundamental que a função objetivo seja formulada de maneira a permitir avaliar adequadamente a qualidade de cada solução obtida. No problema alvo deste trabalho, é fundamental a utilização de uma ferramenta de análise capaz de avaliar o efeito de cada solução proposta sobre a rede de distribuição. O resultado de tal avaliação deve ser então adequadamente processado de forma a se obter uma medida de qualidade de cada solução proposta. Para a avaliação do efeito de cada solução proposta será utilizado um fluxo de potência para sistemas de distribuição.

Este trabalho propõe uma metodologia que combina uma heurística construtiva e a metaheurística busca tabu para a alocação ótima de capacitores em redes de distribuição de energia elétrica. Através da heurística construtiva é possível obter soluções de boa qualidade, que são posteriormente refinadas através do emprego da busca tabu. Resultados de testes com uma rede de distribuição real são apresentados para avaliar o modelo proposto, bem como compará-lo com uma aplicação da metaheurística Algoritmos Genéticos previamente proposta na literatura.


2. Alocação de Capacitores em Redes de Distribuição O planejamento de potência reativa em redes de distribuição de energia elétrica consiste

basicamente na determinação dos investimentos em bancos de capacitores, bem como suas localizações na rede, de forma a garantir que níveis adequados de tensão sejam observados durante o suprimento de energia elétrica aos consumidores. A agência nacional de energia elétrica (ANEEL) penaliza as empresas distribuidoras de energia caso a tensão de suprimento viole limites pré-definidos para operação. Pode-se destacar a possibilidade de redução das perdas elétricas como um benefício adicional do controle do perfil de tensão na rede através de bancos de capacitores. Isto permite a redução do montante de energia importada pela empresa para atender a mesma demanda e, conseqüentemente, o aumento de sua receita líquida.

De modo a minimizar as perdas elétricas e melhorar o perfil de tensão na rede, deve-se determinar a localização ótima dos bancos de capacitores a serem instalados, bem como suas respectivas capacidades. Dessa forma, é possível formular um problema onde o objetivo passa a ser a maximização do retorno do investimento na aquisição e instalação de bancos de capacitores na rede. O problema pode então ser formulado como:

Maximizar Lucro = (Retorno do investimento – Investimento realizado) (1) s/a atendimento às restrições operativas da rede O problema representado pela equação (1) busca maximizar o lucro obtido em um dado

horizonte de tempo, calculado como sendo a diferença entre o retorno financeiro resultante, por exemplo, da economia com a energia recuperada a partir da redução das perdas elétricas, e o investimento realizado na aquisição, instalação e manutenção de bancos de capacitores. As restrições operativas correspondem às observações de limites impostos para magnitudes de tensão observadas na rede.

O problema de alocação de bancos de capacitores é de natureza combinatória e a solução através de metaheurísticas será adotada neste trabalho. É importante ressaltar que, ao se aplicar metaheurísticas para a solução de um dado problema, é interessante utilizar o conhecimento existente sobre o mesmo, visando obter benefícios como: codificação adequada das soluções, redução do espaço de busca, etc. Na alocação de bancos de capacitores tal conhecimento pode, por exemplo, se refletir na definição (com base na experiência) de um número máximo de capacitores que se acredita serem necessários na rede e, conseqüentemente, da quantidade máxima de pontos da rede elegíveis para a instalação de capacitores (deixando a cargo da técnica de otimização a busca pela quantidade, potência e localização ótima dos bancos de capacitores). No desenvolvimento das metodologias testadas neste trabalho, tais aspectos são levados em consideração. Porém, independente da metaheurística empregada, modelos e métodos propostos para a alocação ótima de potência reativa devem ser formulados de modo a considerar, entre outros, os seguintes aspectos:

• Modelagem adequada da rede de distribuição • Análise de diversas condições de carregamento associados à operação da rede em análise • Modelagem realista dos custos de investimentos e para a avaliação do retorno financeiro • Consideração das restrições de operação, como limites para as magnitudes de tensão,

assim como restrições físicas referentes à quantidade máxima de capacitores que podem ser instalados em pontos específicos da rede.

• Escolha de uma técnica de otimização adequada ao problema, que é de natureza combinatória e apresenta grande complexidade.

As seções seguintes descrevem a heurística construtiva e a metaheurística busca tabu, empregadas neste trabalho, bem como a formulação adotada para o problema e os resultados obtidos a partir das simulações realizadas.


3. Heurística Construtiva

Uma heurística construtiva consiste em construir uma solução para um dado problema de forma incremental, ou seja, elemento a elemento. O elemento escolhido é o melhor candidato segundo algum critério estabelecido. Desta forma, uma heurística construtiva fica caracterizada pelo seu critério de seleção de cada elemento.

Para o problema de alocação de capacitores é possível estabelecer um critério heurístico baseado na topologia da rede e nas possíveis potências dos bancos de capacitores. Neagle e Samson (1956) desenvolveram uma solução analítica para o problema de alocação de capacitores em um alimentador uniforme, com carga uniformemente distribuída. Segundo a teoria proposta por eles, o melhor ponto de instalação do capacitor é a 2/3 da distância da subestação, e a potência do banco deve corresponder a 2/3 da potência reativa do circuito. Portanto, de acordo com esta regra, a subestação deve fornecer potência reativa para o primeiro 1/3 do circuito, e os bancos de capacitores devem fornecer potência reativa para os últimos 2/3 do circuito. Entretanto, esta regra é valida apenas para alimentadores únicos e uniformes. Vale ressaltar também que não é possível alocar bancos de capacitores que injetem qualquer quantidade de potência reativa na rede, uma vez que existe um conjunto limitado de bancos de capacitores comercialmente disponíveis e que possuem valores discretos de potência. Tais fatos inviabilizam, a primeira vista, a aplicação deste método a redes elétricas reais, que são constituídas de vários alimentadores não uniformes, com ramais que derivam destes.

A aplicação deste método a redes de distribuição reais deve ser feita com cuidado e tenderá a produzir uma solução aproximada quanto à localização e potência dos bancos, devido ao erro de representação cometido ao se considerar a existência de alimentadores uniformemente distribuídos. Tal fato pode ser corrigido com a utilização de uma metaheuristica de refinamento. Assim, foi desenvolvida neste trabalho uma heurística construtiva, inspirada no que foi proposto por Neagle e Samsom (1956), que será usada como gerador de soluções iniciais sobre as quais atuará a metaheurística Busca Tabu, com o intuito de realizar o refinamento das mesmas. Considera-se neste trabalho a alocação de capacitores em alimentadores não uniformes e dos quais partem ramais de distribuição. Na descrição do algoritmo construtivo proposto, o alimentador é chamado de ramo principal, enquanto os ramais são chamados de sub-ramos. A seguir são descritas as etapas do algoritmo proposto. 1. Selecionar o primeiro sub-ramo a ser analisado (aquele mais distante da subestação).

2. Escolher, a partir de uma roleta probabilística, a potência do banco de capacitores a ser

eventualmente instalado (dentre os valores de potência comercialmente disponíveis), cujas parcelas na roleta dependem dos respectivos custos.

3. A partir da barra mais distante do ramo principal, acumular a potência reativa das cargas pertencentes ao sub-ramo até que o valor seja igual ou superior à potência do banco de capacitores determinada no passo 2, ou até que a barra pertencente ao ramo principal (da qual deriva o sub-ramo) seja atingida;

4. Caso se atinja a barra pertencente ao ramo principal, a carga acumulada do sub-ramo é concentrada na barra pertencente ao ramo principal. Ir para o passo 6.

5. Caso o valor da carga acumulada seja igual ou superior à potência do banco de capacitores determinada no passo 2, o banco de capacitores será alocado na barra onde a potência acumulada é a mais próxima da potência do banco. Voltar ao passo 2 e, no passo 3, considerar a barra mais distante como sendo a barra onde o último banco de capacitores foi instalado. As potências dos bancos de capacitores instalados devem ser consideradas no cálculo das potências reativas acumuladas;


6. Caso ainda existam sub-ramos a serem analisados, selecionar o próximo sub-ramo (aquele

mais distante da subestação e que ainda não foi selecionado) e voltar ao passo 3. Caso contrário, continuar no passo 7 (tem-se agora apenas o alimentador – ramo principal );

7. Escolher, a partir de uma roleta probabilística, a potência do banco de capacitores a ser eventualmente instalado (dentre os valores de potência comercialmente disponíveis), cujas parcelas na roleta dependem dos respectivos custos;

8. A partir da barra mais distante da subestação, acumular a potência reativa das cargas em cada barra até que o valor seja igual ou superior à potência do banco de capacitores determinada no passo 7;

9. O banco de capacitores será alocado na barra onde a potência acumulada é a mais próxima da potência do banco. Voltar ao passo 7 e, no passo 8, considerar a barra mais distante como sendo a barra onde o último banco de capacitores foi instalado. As potências dos bancos de capacitores instalados devem ser consideradas no cálculo das potências rativas acumuladas. Quando a barra que representa a subestação é atingida, o algoritmo é encerrado e uma proposta de alocação de bancos de capacitores é gerada.

Esta heurística construtiva é executada diversas vezes até se ter um conjunto de soluções iniciais que se acredita serem melhores que soluções iniciais aleatórias, e sobre as quais será aplicado um processo de refinamento via Busca Tabu. É importante observar que quando se chega ao passo 7 do algoritmo construtivo todos os sub-ramos foram eliminados e passa-se a trabalhar apenas com o ramo principal, sendo agora as barras deste elegíveis para alocação de bancos de capacitores.

4. Busca tabu A Busca Tabu (BT) é uma heurística de busca local desenvolvida por Glover (1986)

para a solução de problemas de otimização inteira, sendo posteriormente aperfeiçoada e utilizada em problemas de pesquisa operacional. O grande sucesso da busca tabu deve-se à sua forma inteligente de encontrar a melhor solução. A inteligência do método provém do uso do conceito de tabu. Tabu significa "restrição ou proibição imposta por tradição e que não pode ser violada,

sob pena de reprovação ou perseguição". O conceito de Tabu é aplicado na heurística da seguinte forma: os movimentos que produziram as últimas soluções do problema (inclusive a atual) são considerados tabus, i.e, não podem ser executados para encontrar uma solução. Portanto, a nova solução é alcançada realizando-se movimentos que não são proibidos, ou seja, não pertencem à memória que guarda os últimos movimentos realizados. Tal memória é denominada Lista Tabu.

A Busca Tabu foi aperfeiçoada por Glover, que lhe incorporou novos conceitos e técnicas. À lista (ou fila) tabu foi incorporado a Tabu tenure. Tabu tenure é o tempo (em relação ao algoritmo) em que determinado movimento permanece como tabu. O armazenamento de soluções inteiras na Lista Tabu (Short-Term Memory) exige, nos problemas de grande porte, grande esforço computacional. Para solucionar esse problema, faz-se uso de atributos da solução, que são características comuns a todas as soluções e capazes de diferenciá-las. A Lista Tabu com o uso de atributos é denominada Long-Term Memory. A Lista Tabu na forma Long-Term

Memory se baseia em quatro fatores: tempo (ou histórico), freqüência, qualidade e influência. O uso de atributos ocasiona perda de informação sobre as soluções, o que pode piorar a

qualidade das soluções encontradas. Além disso, verificou-se que a quebra de tabus em alguns


momentos trazia melhoramentos nas soluções obtidas. Com base nesses fatos desenvolveu-se o critério de aspiração: se a solução proposta satisfaz todas as condições tabus e pelo menos um dos critérios de aspiração, então a solução é aceita. Maiores detalhes sobre o algoritmo BT podem ser encontrados na literatura Lee (2002), Glover (2003).

Na Busca Tabu, a vizinhança, a solução corrente e a lista tabu dependem da informação contida nas soluções geradas anteriormente pelo processo de busca. Se uma solução é aleatória, ela pode ou não conter informação, o que dificulta a busca. Uma alternativa ao uso de uma solução conhecida é o uso de várias soluções iniciais aleatórias. Assim o espaço de soluções fica mais bem representado. Tal método é conhecido como múltiplas partidas. Foi adotada a estratégia de múltiplas partidas. Inicialmente, a busca tabu é iniciada com maxn soluções, e uma vizinhança

de tamanho A, com a troca de um bit e a lista tabu de tamanho B. Para tornar o processo de busca mais inteligente, após I iterações (processo de busca geral) as maxn soluções obtidas até o

momento são divididas em dois grupos: um deles contendo a k melhores soluções e o outro contendo as restantes, sendo o tamanho k do grupo definido pelo usuário. Sobre as k melhores soluções será aplicada uma busca tabu intensiva, na qual a vizinhança, a tamanho da lista são reduzidos e o critério de aspiração é alterado. Para as kn −max soluções é aplicada uma busca

tabu diversificada, na qual a vizinhança e o comprimento da lista são aumentados. Após a busca nos dois grupos, as soluções são realocadas nos dois grupos, e esse processo é realizado P vezes. O algoritmo BT é ilustrado na Figura 1.

Figura 1 – Algoritmo BT


5. Representação da Demanda - Algoritmo k-means

A modelagem da demanda é crucial para que se represente o problema de forma realista. A consideração de todos os patamares de carga horária tornaria a solução do problema inviável, dado a grande quantidade de análises a serem realizadas para cada solução proposta. Como exemplo, considerando um horizonte de tempo de 1 ano, cada solução proposta teria que ser analisada para 8760 cenários de carga horária. Usualmente, apenas dois cenários de carga são considerados para análise: os cenários de demanda máxima e mínima verificados no intervalo de tempo considerado. A escolha de tais patamares deve-se à preocupação em garantir um perfil de tensão adequado na rede de distribuição, sendo neste caso analisados os cenários nos quais o sistema é submetido a condições extremas. A duração do patamar de demanda máxima corresponde aos períodos em que o sistema experimenta os picos de carga, enquanto os demais períodos são associados ao patamar de demanda mínima. Embora a consideração dos patamares de demanda máxima e mínima seja interessante para a verificação do atendimento às restrições de operação da rede, o mesmo não se pode afirmar com relação à redução de perdas. Neste caso, os bancos de capacitores propostos com base apenas na análise dos patamares extremos de demanda podem não ser adequados para a obtenção de reduções de perdas expressivas em outros cenários de carregamento observados no intervalo de tempo considerado.

Sabe-se que o aumento do número de patamares considerados acarreta um aumento no tempo computacional para a obtenção da solução final, uma vez que uma quantidade maior de análises é necessária para cada solução proposta. Dessa maneira torna-se fundamental que a variabilidade da demanda seja representada através de um número reduzido de patamares de carga, mas que sejam representativos dos diferentes cenários que podem ser observados. Como existe um ciclo diário de carga que se repete com pequenas variações em função do dia da semana e do mês do ano, é possível agrupar os diferentes patamares de carga com base na similaridade entre eles, de forma a obter representantes de conjuntos de cenários que apresentam características semelhantes. A representação da demanda é obtida neste trabalho com o auxílio do algoritmo k-means, responsável por formar agrupamentos na base da similaridade. Para o problema em questão, considerando uma base de dados com nc cargas horárias observadas, tal algoritmo consiste dos seguintes passos: (i) Definir o número de agrupamentos a serem formados (k patamares de carga); (ii) Escolher os k primeiros patamares de carga como centróides de k agrupamentos. O centróide

de um grupo é, neste caso, um patamar de carga que corresponde à média aritmética dos patamares de carga associados a este grupo;

(iii) Associar cada um dos nc-k patamares de carga restantes na base de dados ao grupo cujo centróide é o mais próximo, recalculado o valor do centróide do grupo aumentado;

(iv) Percorrer toda a base de dados, associando cada patamar de carga ao agrupamento com centróide mais próximo. Quando um patamar de carga for associado a um grupo diferente daquele ao qual estava anteriormente associado, é necessário recalcular os centróides dos agrupamentos aumentado e subtraído;

(v) Repetir o passo (iv) até que não sejam mais observadas trocas de agrupamento para qualquer patamar de carga da base de dados.

Ao final da execução do algoritmo k-means é possível obter a representação da

variabilidade da demanda através de k patamares de carga, que são mais representativos do que os patamares de carga máxima e mínima. Isto é ilustrado na Figura 2. Contudo, é reconhecida a importância de se analisar o desempenho do sistema em tais situações extremas, sobretudo para a verificação do atendimento às restrições impostas às magnitudes de tensão na rede. Dessa maneira, neste trabalho será considerada a representação da demanda através de k+2 patamares de carga, correspondendo aos centróides dos k agrupamentos obtidos utilizando o algoritmo k-

means, além dos patamares de carga máxima e mínima, sendo estes analisados apenas para verificar a ocorrência de violações de tensão.


(a)P

t

14

2 2

3

45

(b)

t

P

4

15

2

3

∆t4 ∆t1 ∆t5 ∆t2 ∆t3

Figura 2 – (a) curva de carga; (b) k patamares de carga (k=5) É importante ressaltar que a duração de cada patamar de carga (centróide) obtido pelo

algoritmo k-means corresponde, em horas, ao número de patamares de carga horária da base de dados que estão associadas a cada agrupamento. A escolha do número de agrupamentos (patamares) a serem considerados deve ser um compromisso entre a qualidade desejada na modelagem da demanda (e conseqüente impacto na solução final) e o esforço computacional a ser despedido na busca pela solução ótima.

6. Formulação do Problema A alocação de capacitores é vista como um problema de otimização combinatória. A

eficiência computacional e a eficácia dos modelos de otimização combinatoria dependem da qualidade do modelo utilizado. A escolha adequada para a codificação da solução pode também ser determinante para se obter soluções de alta qualidade em tempos computacionais reduzidos. Por outro lado, a modelagem deve considerar aspectos relevantes do problema, de modo que a solução obtida seja aplicável a situações reais. Esses aspectos serão tratados nas seções seguintes, quando serão detalhadas a escolha da função objetivo e a forma de codificar a solução. A. Função Objetivo

A função objetivo empregada neste trabalho contempla a maximização da receita obtida com a energia recuperada após a instalação dos bancos de capacitores, a minimização do investimento em bancos de capacitores e a necessidade de atendimento às restrições operativas da rede de distribuição. A energia recuperada corresponde à redução das perdas elétricas, observada em um dado horizonte de tempo. As restrições operativas correspondem à exigência de que as magnitudes das tensões em todos os nós da rede não violem limites inferiores e superiores pré-definidos. Tais objetivos são representados através do emprego da função de avaliação apresentada em (2):

∑ ∑∑= ==

∆−

−×

×∆=

np

i i

nb

k

kBcapc

np

i

ii VCthPFA1 1

21

1 βαα (2)

onde np indica o número de patamares de carga considerados na representação da

demanda; ∆Pi representa as redução de perdas observada no i-ésimo patamar de carga em relação à observada no caso inicial (sem capacitores) para este mesmo patamar; hi representa a duração do i-ésimo patamar de carga, expressa em quantidade de horas; tc é o valor da tarifa associada à


energia comprada pela empresa de distribuição; CBcap representa o custo total de investimento em bancos de capacitores e |∆Vk| é o módulo da violação de tensão observada no k-ésimo nó da rede, sendo nb o número total de nós elétricos. As constantes α1, α2 e β são penalidades impostas a cada termo da função de avaliação de forma a melhor representar a relação de compromisso desejada entre os diferentes objetivos do problema.

O primeiro termo da expressão (2) representa a estimativa de retorno financeiro considerando a energia recuperada em um determinado horizonte de tempo e o investimento realizado em bancos de capacitores. O segundo termo corresponde ao somatório das violações de tensão observadas em cada nó para todos os patamares de carga analisados. Como violações de tensão são severamente penalizadas pela ANEEL, não devendo ser admitidas, o ajuste das penalidades α1, α2 e β deve ser tal que o segundo termo da expressão (2) tenda a se anular durante o processo de busca, enquanto o primeiro termo da expressão é maximizado. Assim como as violações de tensão, violações de carregamento podem também ser facilmente consideradas no segundo termo da expressão (2), sendo neste caso observados os limites impostos às magnitudes de correntes nos ramos da rede.

B. Codificação da Solução

Assumindo ser possível a instalação de bancos de capacitores em qualquer nó da rede e que os bancos de capacitores comerciais podem ser comumente encontrados com capacidades de 300 kVar, 600 kVar e 1200 kVar, o vetor que armazena uma solução proposta para o problema terá dimensão igual a duas vezes o número de nó, estando cada par de elementos deste vetor associado a uma localização da rede (nó elétrico) e possuindo a seguinte representação:

00 – a instalação de bancos de capacitores não é proposta 01 – é proposta a instalação de um banco de capacitores de 300 kVar 10 – é proposta a instalação de um banco de capacitores de 600 kVar 11 – é proposta a instalação de um banco de capacitores de 1200 kVar

Sabe-se, por exemplo, que é muito pouco provável que a solução ótima contemple a

instalação de bancos de capacitores em todos os nós da rede, sendo necessária a instalação de tais bancos em um número reduzido de nós, restando definir as suas localizações. Dessa maneira, um vetor de dimensão reduzida, igual ao número máximo de bancos de capacitores que se acredita serem necessários, pode ser empregado. Em tal vetor, cada par de elementos está associado a uma localização na rede, sendo esta inicialmente escolhida de forma aleatória, podendo esta ser posteriormente alterada durante a busca pela solução ótima. A Figura 3 ilustra a codificação da solução em um vetor reduzido, sendo nmax o número máximo de bancos de capacitores permitidos em cada solução proposta. O vetor de referência exemplificado indica a localização física (barra) representada por cada par de elementos do vetor que armazena uma solução proposta. Tal estratégia permite que se opere em um espaço reduzido, o que tende a tornar o processo de busca mais eficiente.

0 0 1 1 0 1 1 00 0

2 78 5 9 18

Localização do banco proposto

n=2 x nmax

Vetor referência

Figura 3 – Codificação da solução em um espaço reduzido


6. Testes e Resultados A metaheurística proposta foi testada e comparada com um algoritmo genético

apresentado em Augusto (2008), tendo sido utilizados dados de uma rede de distribuição real, correspondendo à linha de distribuição Bandeira, da Light Serviços de Eletricidade S.A., apresentada na Figura 4. As opções consideradas para as capacidades dos bancos de capacitores que podem ser instalados na rede (e correspondentes codificações utilizando dois bits) são de 300 kVar (codificação “01”), 600 kVar (codificação “10”) ou 1200 kVar (codificação “11”), cujos respectivos custos são de R$ 4.079,00, R$ 4.640,00 e R$ 7.993,00. Alternativamente, a codificação “00” é associada a um ponto da rede onde a instalação de capacitores não é proposta. O custo considerado para compra de energia foi de R$ 91,91/MWh.

240mm² Cu

4.649m

240mm² Al

2.606m

120mm² Cu

806m

240mm² Al

145m

560+j420

240mm² Cu

236m2

3

5

4

6

139+j41

8 201mm² Al

872m

114+j86

53mm²

408m

9

201mm²

482m

17+j13

201mm²

482m

25+j39

201mm²

482m

17+j131011

7

53mm²

547m

105+j79

12

201mm²

249m

13

17+j13

201mm²

249m

14

25+j39

201mm²

149m

15

17+j13

201mm²

149m

16

42+j32

201mm²

149m

17

17+j13

67+j54

53mm²

201m72

201mm²

124m

18

19

42+j32

95mm²

267m

201mm²

124m

20

27+j20

201mm²

124m

21

22

252+j189

201mm²

124m

23

63+j47

95mm²

410m

201mm²

249m

24

42+j32

201mm²

249m

25

2+j4

201mm²

249m

26

25+j19

201mm²

124m

27

42+j32

73

50mm²

75m

201mm²

124m

28

201mm²

124m

29

105+j79

201mm²

124m

30

17+j13

50mm²

189m42+j32

31 50mm²

220m

32

25+j19

76+j58

33

201mm²

249m

34

53mm²

325m

109+j8353mm²

325m 35

42+j32

74

240mm²Cu

97m36

53mm²

325m

37

53mm²

325m

17+j13

38

53mm²

325m

84+j64

39

53mm²

325m

50+j38

40

53mm²

305m

181+j137

41

53mm²

305m

59+j45

42

53mm²

305m

90+j64

43

53mm²

305m

67+j51

44

53mm²

305m

45

53mm²

305m

59+j45

46

53mm²

305m

67+j51

47

201mm²

621m

197+j145

48

201mm²

621m

45+j33

52

201mm²

621m

221+j146

75

53mm²

166m

25+j19

49

53mm²

253m

42+j32

50

53mm²

253m

25+j19

51

53mm²

253m

17+j13

53

201mm²

621m

54

201mm²

621M

135+j103

55

53mm²

406M

63+j47

56

53mm²

406M

126+j96

57

53mm²

406M

109+j72

53mm²

406m

58

361+j273

6453mm²

933m

172+j130

53mm²

933m

65

25+j19

21mm²

224m

78

25+j19

21mm²

224m

68

15+j10

21mm²

224m

69

6+j4

21mm²

224m

70

3+j2

21mm²

224m

71

3+j2

21mm²

227m

6617+j13

21mm²

227m

6725+j19

21mm²

227m

7617+j13

21mm²

227m

7717+j13

53mm²

406m

59

350+j260

53mm²

406m

60

34+j26

61

42+j32 177mm²

62m

53mm²

406m

62

17+j13

50mm²

90m

63

25+j19

Bitola R (W/km) X (W/km) I (A)

240mm² Cu 0.1013 0.1316 435240mm² Al 0.1649 0.1316 343120mm² 0.2011 0.1621 287608mm² 0.0402 0.2189 909201mm² 0.1755 0.3838 53853mm² 0.7168 0.4830 22850mm² 0.5089 0.1718 184185mm² 0.2078 0.1417 441177mm² 0.1243 0.1338 33695mm² 0.4189 0.1543 20650mm² 0.5089 0.1718 18421mm² 1.7174 0.5488 131

Legenda

Cabo Subterrâneo

Cabo Aéreo

Barra

Carga

Número da barra

Subestação

n

SETD

ItapebaLDA Bandeiras

Figura 4 – Linha de Distribuição Bandeira.

Os patamares de carga para avaliação de perdas foram obtidos através do algoritmo k-

means, descrito na seção Seção 5. A Figura 5 ilustra patamares obtidos para a curva de carga anual da linha Bandeiras quando se considerou k=3.


Figura 5 – Representação da carga anual da linha de Distribuição Bandeira.

Além destes, para a avaliação das restrições de tensão, foram considerados também os patamares de demanda mínima e máxima observados na base de dados. As simulações foram realizadas para 5 e 7 patamares de demanda, que representam adequadamente a curva de carga e para os quais o esforço computacional é relativamente baixo, Augusto (2008). É importante destacar que nos testes aqui realizados foi considerada uma curva de demanda mais pesada do que a considerada em Augusto (2008), de modo a impor uma maior dificuldade para a obtenção da solução ótima, a qual deverá requerer uma maior quantidade de bancos de capacitores. Foi considerada a codificação reduzida da solução, uma vez que esta leva a melhores resultados, Augusto (2008). Os resultados obtidos estão ilustrados na Tabela 1. É importante destacar que o emprego de uma maior quantidade de patamares de carga confere, a princípio, maior detalhamento na representação da demanda, tendendo a tornar os resultados obtidos mais realistas. Contudo, verifica-se que o emprego de mais de 5 patamares não traz alteração significativa dos resultados obtidos, resultando apenas em maior esforço computacional.

Tabela 1. Resultados considerando 5 (k = 3) e 7 (k = 5) patamares Metaheurísticas AG HC+BT

No. de agrupamentos k=3 k=5 k=3 k=5 No de Bancos Capacitores 4 4 3 2 Pot. Total Instalada (kVar) 2700 2700 2400 2400 Recuperação da Receita (R$) 51561,46 56898,81 51136,19 53895,35 Investimento (R$) 21352,00 21352,00 17273,00 15986,00 Lucro Anual (R$) 30209,46 35546,81 33863,19 37909,35

Os resultados obtidos mostram que o algoritmo que combina a heurística construtiva com uma busca tabu (HC+BT) apresenta resultado superior ao AG. Foi verificado um melhor desempenho tanto na capacidade de obter soluções de menor custo como no tempo computacional gasto para atingir tais soluções, o qual foi, em média, oito vezes mais rápido do que o obtido com o AG. Isto revela que a heurística construtiva proposta, baseada na aproximação de um alimentador uniforme com carga uniformemente distribuída, é eficaz como iniciador de soluções. Tal fato é explicado pela sua capacidade de direcionar o processo de busca para boas regiões do espaço de soluções, permitindo obter soluções de melhor qualidade.


7. Conclusões Este trabalho propôs uma heurística construtiva para o problema de alocação de bancos

de capacitores em redes de distribuição, a qual gera soluções que são posteriormente refinadas por uma metaheurística busca tabu. A codificação reduzida e a variabilidade da demanda foram implementadas no problema de modo a permitir a comparação entre o modelo proposto e a metaheurística algoritmos genéticos, que mostrou uma melhor relação de compromisso, considerando-se eficiência e eficácia, de acordo com a modelagem proposta em Augusto (2008). Os resultados comprovam que a aplicação da regra de 2/3 a alimentadores reais gera soluções com erros, que são rapidamente corrigidos pelo refinamento realizado pela busca tabu. Isto pode ser verificado pela melhor qualidade da solução obtida e pelo reduzido tempo de execução do algoritmo, quando comparados ao obtido com o algoritmo genético. Todos os testes foram realizados utilizando uma rede de distribuição real, considerando custos realistas de bancos de capacitores e para a tarifa de compra de energia.

8. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, CAPES, Light e FAPERJ, que financiaram em parte a

execução desta pesquisa.

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