DinâmicaSilvio de Souza Lima/Sergio H. Santos

Análise Dinâmica

Silvio de Souza LimaProfessor Associado,D.Sc., Eng. Civil

Escola Politécnica, UFRJ

Universidade Federal do Rio de Janeiro

POLI-Escola Politécnica

PPE-Programa de Projeto de Estruturas

Projeto de Estruturas Sob Ações Dinâmicas

Sergio Hampshire de Carvalho SantosProfessor Associado, D.Sc., Eng. Civil

Escola Politécnica, UFRJ

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Força de

Amortecimento

Perda de

Energia do

Sistema

Calor

Ruído

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ViscosoMovimentação de um

corpo num meio fluído

(ar, água, óleo)

Força de amortecimento

é proporcional á

velocidade

fluído

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CoulombCausado pelo atrito entre

superfícies deslizantes

Força de amortecimento

constante em magnitude,

mas contrária ao

movimento

F=μN

N

tFftkxtxm D

..

Sinal da força de amortecimento

depende da direção do movimento.

Sendo a velocidade positiva o sinal

da força de amortecimento será

negativo e, caso contrário positivo.

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Histerese

Um material a se deformar dissipa e

absorve energia, devido ao atrito entre os

planos internos de deslizamento, a

medida que se deforma

Ciclo de histerese para materiais elásticos

Área é igual a energia

dissipada por unidade de

volume do corpo em um

ciclo completo de carga e

descarga

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O amortecimento viscoso apresenta um tratamento matemático mais simples,

sendo a utilização desta hipótese a preferida no estudo da dinâmica das

estruturas.

Pode-se determinar um amortecimento viscoso equivalente para os outros

tipos de amortecimento

Amortecimento

viscoso equivalente

Aquele que considerado na equação de

equilíbrio dinâmico fornece a mesma

amplitude de deslocamento que a obtida

com o amortecimento em consideração

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Amortecimento Viscoso

2

n

2

0

22

2

0

2.

D kX2dttcoscXdt]tx[cE

Energia dissipada considerando

apenas a resposta permanente k

FAX 0

D

Amortecimento de Coulomb

Energia dissipada igual ao trabalho

gerado pela força em um ciclo completo

NX4ED

Sendo a força de amortecimento

pequena comparada com a

amplitude da força excitadora,

admite-se que a resposta

permanente seja também

harmônica

(1)

(2)

n

eqkX

N2Igualado as equações

1 e 2 obtém-se:

Amortecimento

viscosos equivalente

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Amortecimento de Histerese

Energia dissipada um ciclo completo de movimento

2

D kXE (3)

n

eq2

Igualado as equações

1 e 3 obtém-se:

Amortecimento

viscosos equivalente

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Estrutura Fator de amortecimento viscoso ξ

Estruturas em concreto armado 0,007

Estruturas em concreto protendido e estruturas mistas (laje

de concreto sobre vigas de aço)

0,005

Estruturas em aço 0,003

Estruturas em madeira 0,015

Fator de Amortecimento Viscoso

(passarelas)

Edifícios podem ser adotados valores de duas a três vezes maiores.

Material Constante de amortecimento de histerese η

aço 0,001 – 0,008

alumínio 0,00002 – 0,002

concreto 0,01-0,06

Constante de Amortecimento de Histerese