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Amostragem

Fonte: CORRAR, L. J.; THEÓPHILO, C. R.; Pesquisa Operacional

para Decisão em Contabilidade e Administração,

Editora Atlas, São Paulo, 2ª. Edição, 2010.

Objetivos:

Neste capítulo, você aprenderá:

A distinguir entre diferentes métodos de amostragem

Compreender o processo de obtenção de amostras

aleatórias

Reconhecer as aplicações da teoria da amostragem

em áreas do conhecimento tais como finanças,

auditoria, contabilidade, marketing, etc…

Utilizar a amostragem como instrumento auxiliar

nos campos científico e profissional.

População

População: é o “todo”

Também designado universo

Podem ser indivíduos, firmas, produtos manufaturados,

inventários, escolas, notas de aula, preços ou qualquer coisa que

possa ser mensurada, contada ou ordenada por postos;

Podem ser finitas ou infinitas;

Finitas: os produtos de um supermercado, os livros de uma biblioteca

Infinitas: produção futura de uma fábrica, nascimentos de insetos,

extrações com reposição de bolas de uma urna. Consistem

tipicamente em um processo que gera itens.

Refere-se a um conjunto específico de circunstâncias;

Ex: os alunos de uma sala de aula podem representar uma população

da qual extrairemos amostras para análise; em outra situação os

alunos da mesma sala de aula podem ser uma amostra de todos os

alunos do colégio, ou de toda a universidade.

Amostra

É a parcela do grupo que é examinada

População

Amostra

Estatística: Prof. André Carvalhal

Censo x Amostra

Censo: envolve estudar TODOS os elementos da população

Quando a amostragem é mais vantajosa:

Quando a população é infinita (processos que nunca

terminam)

A amostra pode ser mais atualizada que o censo

Quando a população tende a se modificar com o tempo

Quando a população tende a se deteriorar (ex: frutas

perecíveis, pesquisa em propagação de doenças)

Testes destrutivos (lâmpadas, munição, resistência de

concreto)

Quando o custo do censo é proibitivo

Quando o censo puder ter problemas de precisão (vários

agentes coletores aumentam a chance de erros)

Censo x Amostra

Quando o censo é mais vantajoso:

Quando a população é pequena

Quando o tamanho da amostra é grande em

relação ao da população. Ex: quando há grande

variabilidade na população a amostra terá que

ser grande para ser representativa, neste caso o

custo adicional para realizar o censo pode ser

pequeno

Se é necessário precisão completa Ex:

contagem de dinheiro em guichês de bancos

Tipos de Métodos de Amostragens

Amostra não-probabilística (ou não aleatória):

Os itens ou indivíduos são selecionados sem conhecer suas

respectivas probabilidades de seleção

As teorias da estatística inferencial não se aplicam

Exemplos de métodos: amostragem por conveniência e

amostragem por julgamento

Podem trazer problema de viés

Amostra probabilística (ou aleatória):

Itens selecionados com base em probabilidades conhecidas

Permite que se faça inferências isentas de viés

Na prática é difícil ou quase impossível obtê-la...

... mas você deve tentar e reconhecer eventuais vieses da

sua seleção.

Vantagens e Desvantagens

Vantagens Desvantagens

Aleatória

• a subjetividade do investigador não

interfere na escolha da amostra

• dificuldade de obter listagens

completas da população

• possibilidade de definir o tamanho da

amostra a partir da precisão e grau de

confiança desejado

• a seleção aleatória pode gerar amostra

dispersa geograficamente aumentando

os custos do estudo

Não aleatória

• menor custo • há unidades no universo que não tem

possibilidade de serem escolhidos

• menor necessidade de pessoal • pode ocorrer viés de opinião pessoal

• menor tempo de estudo • não se sabe com que grau de

confiança as conclusões obtidas podem

ser inferidas da população

Amostragem com ou sem reposição?

Quando há a reposição cada elemento permanece com a

mesma probabilidade de ser selecionado, igual a 1/N, onde

N é o tamanho da população.

Questão relevante quando tratamos de populações finitas.

Se o tamanho da amostra é pequeno em relação à

população a questão torna-se irrelevante.

Uma regra prática é fazer a reposição quando o

tamanho da amostra excede 5% do tamanho da

população.

Amostragem com ou sem reposição?

A extração de toda uma amostra de uma só vez equivale à

amostragem sem reposição.

Na amostragem com reposição é possível extrair um

mesmo item mais de uma vez.

Algumas situações em que a amostragem sem reposição é

justificada:

Quando os testes destroem os elementos;

Quando o teste é muito caro, e a reposição pode implicar

reaplicar o teste em uma mesma unidade.

Amostras probabilísticas e não

probabilísticas

Amostras probabilísticas ou aleatórias Obtida por meios que envolvem o acaso

Cada elemento da amostra tem uma probabilidade conhecida e

diferente de zero de ser escolhido

Obtida por meio de processo aleatório => processo aleatório =

quando você não consegue saber com antecedência quais serão os

elementos que comporão a amostra

O pesquisador não influencia a amostra

Pode-se usar sorteios, tabelas de nos. aleatórios e programas de

computador

Amostras probabilísticas e não

probabilísticas

Amostras não probabilísticas

Os itens ou indivíduos são selecionados sem conhecer

suas respectivas probabilidades de seleção

As teorias da estatística inferencial não se aplicam

Exemplos de métodos: amostragem por conveniência e

amostragem por julgamento

Podem trazer problema de viés

Tipos de Amostras

Técnicas de Amostragem

Probabilística ou Aleatória

Simples

Estratificada

Sistemática

Conglomerado

Não Probabilística ou

Não Aleatória

Por conveniência

Por julgamento

Por quotas

Amostragem aleatória simples

Etapas: Atribui-se um no. para cada elemento da população

Determina-se o tamanho da amostra adequado

Emprega-se um procedimento aleatório, para sortear os elementos que irão compor a amostra

Se a amostragem for com reposição o elemento volta para a população, se não o sorteio continua até atingir o tamanho da amostra

Função excel: aleatórioentre

Função excel: procv

Ferramenta de análise excel: amostragem

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Pearson Prentice-Hall, Inc.

Chap 5-14

Amostragem Sistemática

Conveniente quando a população está ordenada sob algum critério:

fichas de um fichário, lista telefônica

Calcula-se o intervalo de amostragem N/n aproximando-se para o

inteiro mais próximo: a.

Sorteia-se um no. aleatório x entre 1 e a.

A amostra será composta dos elementos x; x+a; x+2a;...

Exemplo: N=1000, n=200. Logo: a=1000/200=5

se 3 for o no. sorteado entre 1 e 5 os elementos da população

numerados por 3, 8, 13, ..., 998 irão compor a amostra

Frequentemente utilizada em pesquisas de opinião, realizadas em

locais públicos

Vantagens: amostras mais dispersas, fácil de ser conduzida

Desvantagem: a presença de periodicidades ocultas pode produzir

resultados tendenciosos

Amostragem aleatória estratificada

A população é dividida em subgrupos e a

amostragem aleatória é feita em cada subgrupo

Muito aplicada em populações com subgrupos

homogêneos internamente, mas diferentes entre si

Tamanhos de amostra para alocação proporcional População de tamanho N

k estratos de tamanhos N1, N2,..., Nk

Amostras de tamanhos n1, n2, ..., nk

keiparanN

Nn i

i ,...2,1

Amostragem por conglomerado

A população é subdividida em várias partes, e algumas dessas subdivisões

ou conglomerados são selecionados aleatoriamente para integrar a

amostra global.

Os subgrupos devem ser tão heterogêneos quanto a população. Como se

fossem grupos populacionais em escala reduzida.

Útil quando a população é muito dispersa e a realização da amostragem

aleatória simples revelar-se dispendiosa e demorada.

Dentro de cada conglomerado pode-se selecionar todos ou alguns

elementos. Se forem selecionados alguns, diz-se que a amostragem é em

dois estágios.

Não exige a listagem de todos os elementos da população, apenas os dos

conglomerados selecionados.

Conglomerado x Aleatória Estratificada

Conglomerado

• Heterogeneidade dentro deles

• Homogeneidade entre grupos

Aleatória estratificada

• Estratos com características semelhantes

• Homogeneidade dentro dos estratos

• Heterogeneidade entre os estratos

Amostragem por Conveniência

Quando a participação é voluntária

Quando os elementos da amostra são escolhidos por uma

questão de conveniência ou simplicidade

A amostra não é representativa da população

Deve ser empregada somente em casos especiais

Exemplo: um pesquisador deseja estudar o comportamento

dos preços de imóveis residenciais em lançamento em

Florianópolis e desenvolve sua amostragem coletando dados

em dois jornais da cidade

Amostragem por Julgamento

A amostra é escolhida segundo opinião de

um especialista

Não deve ser considerada representativa da

população

Exemplo: em uma pesquisa sobre os livros

mais relevantes para o mestrado e doutorado

em Contábeis um especialista elaborou a lista

dos alunos a serem entrevistados.

Amostragem por Quotas

Difere da amostragem estratificada pelo fato da seleção dos

elementos da população não ser aleatória

As vantagens do método estão na rapidez, economia e

facilidade de administração.

Exemplo: uma empresa deseja lançar um novo produto

de emagrecimento e o público-alvo são mulheres entre

15 e 40 anos das classes sociais A e B. A população é

dividida em categorias de acordo com as variáveis de

controle (idade e classe social). Uma amostra de 5% da

população recebe uma amostra grátis do produto.

Nomenclatura

Estatística Parâmetro

População Amostra

E usamos estatíticas das amostras

para estimar parâmetros da população

Notação


Chap 5-23

Medida Amostra População

Média x

Desvio Padrão

Variância

Tamanho n N

x

22

x

Variabilidade Amostral

Você pode retirar várias amostras diferentes

de uma mesma população!!

Cada amostra pode te dar diferentes valores

para a média, desvio-padrão ou proporção.

Como saber então qual o valor do parâmetro

na população?

É preciso conhecer como a estatística varia

de amostra para amostra...

Exemplo

Vamos supor uma população finita com 5 elementos, que são os

números 3, 5, 7, 9, 11.

Neste caso, é fácil calcular os parâmetros média e desvio padrão

da população:

A média dessa população é

E seu desvio padrão é

Vamos supor que eu não pudesse calcular diretamente a média

da população e tivesse que fazê-lo através de estimativas com

base em amostras de 2 elementos...

75

119753

83,28

5

7117977757322222

Exemplo

Quantas amostras diferentes seria possível montar?

Vamos listar as amostras e suas médias:

Cada amostra tem uma probabilidade de ser escolhida

igual a 1/10.

10!32

!345

!3!2

!5

2

5

x

xx

Amostras 3 e 5 3 e 7 3 e 9 3 e 11 5 e 7 5 e 9 5 e 11 7 e 9 7 e 11 9 e 11

Médias 4 5 6 7 6 7 8 8 9 10

Exemplo

Posso calcular a probabilidade de encontrar cada um dos diferentes valores de

média nas amostras, que será:

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

x

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

4 5 6 7 8 9 10

O que acabamos de

construir foi uma

distribuição de

probabilidades da

média da amostra

Mas isso nada mais é

do que uma

Distribuição Amostral!!

Distribuição Amostral

Uma distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades

que indica até que ponto uma estatística amostral tende a variar

devido a variações casuais na amostragem aleatória.

Voltando ao Exemplo

No nosso exemplo qual a média das médias nas amostras? E

qual o desvio-padrão dessas médias?

Prob.

4 1/10

5 1/10

6 2/10

7 2/10

8 2/10

9 1/10

10 1/10

710

110

10

19

10

28

10

27

10

26

10

15

10

14 x

3

310

1710

10

179

10

278

10

277

10

276

10

175

10

174

22222222

x

x

x

É igual a média

da população

É menor que o

desvio padrão da

população

Vamos ver outro exemplo, agora fazendo a

amostragem com reposição...

Exemplo 2

Suponha uma população (simplificada) de quatro

pessoas de seu departamento.

Tamanho da população N=4

Variável aleatória, X, é a idade dos indivíduos

Valores de X: 18, 20, 22, 24 (anos)

Exemplo 2

Parâmetros da distribuição da População:

214

24222018

N

Xμ i

2.236N

μ)(Xσ

2

i

.3

.2

.1

0 18 20 22 24

A B C D

P(x)

x

Distribuição Uniforme

Exemplo 2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18,18 18,20 18,22 18,24

20 20,18 20,20 20,22 20,24

22 22,18 22,20 22,22 22,24

24 24,18 24,20 24,22 24,24

Agora, considere todas as amostras possíveis de

tamanho n=2

1o.

Obs.

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

16 amostras possíveis

(amostragem com

reposição)

Exemplo 2

Distribuição Amostral de todas as médias

amostrais

1o.

Obs

2o. Observação

18 20 22 24

18 18 19 20 21

20 19 20 21 22

22 20 21 22 23

24 21 22 23 24

16 médias

amostrais

18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3

P(X)

X

(não é mais uniforme)

Distribuição das

médias amostrais

_

Exemplo 2

2116

24211918

N

Xμ i

X

1.5816

21)-(2421)-(1921)-(18

N

)μX(σ

222

2

Xi

X

Parâmetros da distribuição amostral da média

Exemplo 2

População

N = 4

1.58σ 21μX

X

2.236σ 21μ

Distribuição Amostral da Média n = 2

18 20 22 24

A B C D

0

.1

.2

.3

P(X)

X 18 19 20 21 22 23 24 0

.1

.2

.3 P(X)

X _

_

Por enquanto... pelo menos em nossos

exemplos...

x, a média da distribuição amostral de x , é igual a , a

média da população; x , o desvio padrão da distribuição

amostral de x , é menor do que

, o desvio padrão

populacional.

Observem a notação!!!!

x, a média da distribuição amostral de x , é igual a , a

média da população; x , o desvio padrão da distribuição

amostral de x , é menor do que

, o desvio padrão

populacional.

Observem a notação!!!!

Mas... será que sempre podemos enumerar todas as amostras

possíveis para então analisar a média amostral e quanto ela

está próxima da média da população?

Não!!

Alguns teoremas solucionam a questão...

Teorema 1:

Para amostras aleatórias de tamanho n extraídas de uma

população com média e o desvio padrão

, a distribuição

amostral de x tem média x .

Erro Padrão

Desvio padrão da estimativa

Erro padrão: quanto menor, melhor!

Erro padrão da média para populações infinitas e finitas:

1

N

nN

nou

nxx

O que acontece se o erro padrão é pequeno? E se ele for grande?

O que determina o tamanho do erro padrão?

Você lembra?

Fator de

correção

para populações

finitas!!

Veja que interessante...

No primeiro exemplo dessa aula tínhamos uma população com 5 elementos:

3, 5, 7, 9, 11

A média e o desvio padrão da população eram:

Aí, listamos todas as amostras possíveis e calculamos a média e o desvio-

padrão (erro padrão) das médias das amostras:

Mas, se calcularmos o erro-padrão pela expressão do slide anterior, teremos:

87 e

37 xx e

342

38

15

25

2

8

1

N

nN

nx

As expressões nos dão o erro padrão sem que seja necessário listar todas as

amostras possíveis, calcular suas médias e então obter o erro padrão da média

das amostras!!

Efeito do tamanho da amostra sobre uma

distribuição amostral

À medida que aumenta o tamanho da amostra, há

variabilidade cada vez menor entre as médias das

amostras;

A média da distribuição amostral é igual ao

parâmetro da população, ou seja, é igual à média da

população;

Na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a

distribuição dos resultados amostrais tende para a

forma da distribuição.

Distribuição Amostral da Média

Erro Padrão: População Normal

μμX

n

σσ

X

Se a população é normal com média μ e desvio-padrão σ, a

distribuição amostral da média é também distribuída

normalmente com

e

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem

reposição em uma população infinita)


Valor Z: População Normal

n

σ

μ)X(

σ

)μX(Z

X

X

• Valor-Z para a distribuição amostral da média:

onde: = média da amostra

= média da população

= desvio padrão da população

n = tamanho da amostra

Xμ

σ


Propriedades: População Normal

(i.e. é não viesada )

População segue

Distribuição Normal

Distribuição Amostral da

média segue Distribuição

Normal

(com a mesma média)

μμx

xx

x

μ

xμ


Propriedades: População Normal

Para amostragem com reposição:

À medida que n aumenta,

diminui xσMaior tamanho

de amostra

Menor tamanho

de amostra

xμ

Teorema do Limite Central

Para grandes amostras, a distribuição amostral da média pode

ser muito bem aproximada por uma distribuição normal,

lembrando que para populações infinitas:

Podemos então dizer formalmente que: n

e xx

Se x é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população

infinita com a média μ e o desvio padrão σ e se n é grande então

n

xz

/

tem aproximadamente a distribuição normal padrão.


Se aplica a populações infinitas...

... e a populações finitas em que n é grande mas representa

uma porção pequena da população, ou seja, n/N é pequeno

Para a maioria das distribuições, n > 30 dará uma

distribuição amostral próxima da normal

Para distribuições aproximadamente simétricas, n > 15, a

distribuição amostral também estará próxima da normal

Quando sabemos que a população tem distribuição normal, a

distribuição amostral da média pode ser aproximada pela

normal, independentemente do tamanho de n.

X


À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...


X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...


X


A distribuição

amostral torna-

se praticamente

normal.

À medida

em que o

tamanho

da

amostra

aumenta

(n 30) ...

xn

x



Chap 7-51

Distribuições de Amostragens

População não-normal

Distribuição da População

Distribuição das amostras

(aproxima-se da normal quando n cresce)

x

x

Amostra

grande Amostra pequena

xμ

μ


Exemplo

Suponha uma população com média μ = 8 e desvio-padrão σ = 3.

Suponha uma amostra aleatória de tamanho n = 36 é selecionada.

Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre 7.75 e

8.25?

Mesmo que a população não seja normalmente distribuída, o

Teorema do Limite Central pode ser usado (n > 30).

Então, a distribuição amostral da média é aproximadamente normal

com

8μx 0.536

3

n

σσx


Exemplo

5.0

363

8-8.25

5.0

363

8-7.75

Z

Z

Primeiro, vamos calcular os valores-Z para 7.75

e 8.25.

0.38300.5)ZP(-0.5 8.25) μ P(7.75X

Agora, usando uma tabela de probabilidades da

Distribuição Normal teremos:


Exemplo

= 2(.5000-.3085)

= 2(.1915)

= 0.3830

Z -0.5 0.5

Distribuição Normal

Padrão

0μz 7.75 8.25

Distribuição

Amostral

Amostra

8μX

x

Distribuição da

População

8μ X

Distribuição Amostral da Proporção

amostra da tamanho

interesse de ticacaracterís a com amostra na de número

n

X itensp

• A proporção da população com determinada

característica é denotada por π.

• A proporção da amostra ( p ) com esta característica dá

uma estimativa de π:

– 0 ≤ p ≤ 1

– p segue uma Distribuição Binomial

(Assume-se que a amostragem é feita com reposição ou sem reposição em uma

população infinita)


Erro padrão para a proporção:

n

)(1σp

n

)(1σZ

p

pp

• Valor-Z para a proporção:


Exemplo

Se em um plebiscito a proporção de votantes à favor

da Proposta A é π = .4, qual a probabilidade de que

em uma amostra de 200 pessoas a proporção de

votantes a favor esteja entre .40 and .45?

• Em outras palavras, se π = .4 e n = 200, qual a

P(.40 ≤ p ≤ .45) ?


Exemplo

.03464200

.4).4(1

n

)(1σ

p

1.44)ZP(0

.03464

.40.45Z

.03464

.40.40P.45)P(.40

p

Encontre :

Converta para

a Normal

Padronizada:

pσ


Exemplo

Use a tabela de probabilidade Normal acumulada:

P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = P(Z ≤ 1.44) – 0.5 = .4251

Z .45 1.44

.4251

Padronize

Distribuição Amostral Distribuição Normal

Padronizada

.40 0 p

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