An Sinais Cap7

8/6/2019 An Sinais Cap7

1/55


2/55

J. A. M. Felippe de Souza 7 Sries de Fourier

2

Exemplo 7.5 43

Exemplo 7.6 44

Exemplo 7.7 46

7.9 Propriedades da Srie de Fourier para sinais discretos 47

Linearidade 47

Translao no tempo ( time shifting ) 48

Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) 49

Escalonamento no tempo ( time scaling ) 49

Multiplicao 50

Conjugao 51

Translao na frequncia ( frequency shifting ) 52

Convoluo no perodo 53

Primeira diferena 53

Soma acumulada 54

Relao de Parseval 55


3/55


3

Sries de Fourier

7.1 Introduo Anlise de Fourier

Neste captulo e no prximo estudaremos a Anlise de Fourier (tambm chamada de Anlise Harmnica ), que diz respeito representao de sinais como uma soma (oumelhor dizendo, uma combinao linear ) de sinais bsicos como senos e co-senos, ouexponenciais complexas.

A srie de Fourier, assim como a transformada de Fourier, so as importantes contri-buies do matemtico francs Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

Fig. 7.1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francs.


4/55


4

A Anlise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequn-cia (harmnicos) e tem muitas aplicaes no Processamento de sinal, no Processa-mento de imagem, na Fsica em vrias aplicaes, na Probabilidade e Estatstica as-sim como em muitas outras reas.

Antes de Fourier trs fsicos j tinham feito estudos preliminares em sries infinitaspara resolverem problemas diversos da Fsica: suo Leonhard Euler (1707-1783), ofrancs Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holands Daniel Bernoulli (1700-1782).

Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemtico das sries infinitaspara resolver a equao da propagao do calor na Fsica, na publicao Mmoiresur la thorie de la chaleur , embora ele no tenha expresso os seus resultados comgrande formalismo.

Somente uns anos mais tarde que dois matemticos: o alemo Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemo Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e preciso.

Fig. 7.2 Srie de Fourier (sinal peridico da onda quadrada).


5/55


5

7.2 Srie trigonomtrica de Fourier para sinais contnuos

Considere um sinal peridico contnuo x(t) R {conjunto dos nmeros reais }, t.O sinal x(t) pode ser expresso como:

( ) ( )[ ]

=

=

++=

=

+

+=

1k ok ok

0

1k k k

0

tk senbtk cosa2

a

tk T2

senbtk T2

cosa2

a)t(x

eq. (7.1)

onde:T = perodo fundamental do sinal x(t),

o = frequncia fundamental do sinal x(t),

( )

=

=

=

To

Tk

dttk cos)t(xT2

dttk T2

cos)t(xT2

a

k = 0, 1, 2, eq. (7.2)

( )

=

=

=

To

Tk

dttk sen)t(xT2

dttk T2

sen)t(xT2

b

k = 1, 2, eq. (7.3)

sendo que as integrais acima so tomadas ao longo do intervalo do perodo T do sinalperidico x(t).

Observe que existe a o na srie a k [eq. (7.2)], mas no existe b o na srie b k [eq. (7.3)].

Alm disso, a o (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-cada pois, como

( ) 0,k para,1tk costk T2

cos o ===

ento,


6/55


6

=T

o dt)t(xT2

a

ou seja, a o de certa forma representa um valor mdio do sinal x(t) no intervalo de um

perodo T.

Esta srie conhecida como srie trigonomtrica de Fourier pois contm termoscom senos e co-senos .

A equao eq. (7.1) acima conhecida como a

equao de sntese

e as equaes eq. (7.2) e eq. (7.3) so conhecidas como as

equaes de anlise

da srie trigonomtrica de Fourier. Os a k s e os b k s so chamados de coeficientes dasrie trigonomtrica de Fourier.

7.3 Teorema de Fourier

Definio 7.1 : x(t) um sinal seccionalmente contnuo (ou, tambm chamado decontnuo por partes ) se x(t) tem um nmero limitado de descontinuidades em qual-quer intervalo limitado.

Fig. 7.3 Um sinal seccionalmente contnuo.

Definio 7.2 : x(t) um sinal seccionalmente diferencivel se ambos x(t) e sua deri-vada x(t) forem sinais seccionalmente contnuos .

Com estas definies podemos agora ver o Teorema de Fourier que estabelece ostipos de sinais que podem ser aproximados pela srie de Fourier.


7/55


7

Teorema 7.1 (Teorema de Fourier):

Se x(t) um sinal peridico seccionalmente diferencivel e de perodo T, ento asrie de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para:

a) x(t) , se o sinal x(t) for contnuo no instante t ;

b) [ x(t+0 +) + x(t+0 -) ] , o sinal x(t) for descontnuo no instante t.

Um ponto positivo deste resultado que a limitao do Teorema de Fourier acima muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prtico soseccionalmente diferenciveis .

Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem

aproximados pela srie de Fourier, quanto mais termos da srie (ou parcelas da soma)forem adicionados, melhor ser a aproximao.

Ou seja, se chamarmos de xn(t) srie de Fourier com n termos, ento:

)t(x)t(x n

nos casos em que x(t) for um sinal contnuo no instante t; e

[ ]2

)0t(x)0t(x)t(x n

+ +++

nos casos em que x(t) no for um sinal contnuo no instante t.

Exemplo 7.1:

Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada),definido num intervalo (de t = 1 at t = 1) ilus-trado na figura 7.4.

Fig. 7.4 Sinal da onda quadrada emum perodo (de t = 1 at 1).


8/55


8

Repetindo-se (ou estendendo-se) este padro para a direita de t = 1 e para esquerda det = 1, obtemos um sinal peridico para t ( < t < ).

Fig. 7.5 Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para t ( < t < ).

Agora x(t), sendo um sinal peridico t ( < t < ) j pode ser aproximado por umasrie de Fourier.

De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-minado intervalo finito e torn-lo peridico de forma a podermos aproxim-lo poruma srie de Fourier.

Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-nido acima temos, para a o primeiramente,

0dt)1(dt)1(dt)t(xT2

a1

0

0

1T

o =+==

Como o perodo fundamental T = 2, ento

=

=T2

o

e portanto,

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )

...2,1,k ,0

tk sentk senk

1

dttk cos1dttk cos)1(

dttk cos)t(xT2

a

10

01

1

0

0

1

1

1k

==

=+

=

=+=

==


9/55


9

Logo os a k s so todos iguais a zero k = 0, 1, 2,

Quanto aos b k s, temos que:

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )=+

=

=+=

==

10

01

1

0

0

1

1

1k

tk costk cosk

1

dttk sen1dttk sen)1(

dttk sen)t(xT2

b

e portanto,

=mpark se,

k 4

park se,0

b k

Ou seja,

=

4b1 ,

0b2 = ,

=

34

b3 ,

0b4 = ,

=

5

4b5 ,

0b6 = ,

=

74

b7 ,

0b8 = ,

=

9

4b9 ,

0b10 = ,

=

114

b11 ,

etc.

Logo, esta uma srie de Fourier s de senos e os primeiros termos da srie so:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

94

t7sen74

t5sen54

t3sen34

tsen4

)t(x

+

+

+

+

+

+

+

=

As figuras 7.6 at 7.10 abaixo mostram esboos do sinal x(t) aproximado pela srie

de Fourier.


10/55


10

Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto , apenas k = 1), quando x(t) simplesmente o seno

x(t) = b 1 sen( t) = (4/ ) sen( t)

Fig. 7.6 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com apenas um termo (k = 1).

Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos no nulos, at k = 3,pois b 2 = 0) temos a soma de 2 senos (e j nota-se 2 picos no sinal aproximado pelasrie):

x(t) = b 1 sen( t) + b 3 sen( t)

Fig. 7.7 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com apenas dois termos (k = 1 e 3).

Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os trs primeiros termos no nulos, at k = 5,pois b 2 = 0 e b 4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora j nota-se 3 picos no sinalaproximado pela srie):

x(t) = b 1 sen( t) + b 3 sen( t) + b 5 sen( t)


11/55


11

Fig. 7.8 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie de

Fourier com apenas trs termos (k = 1, 3 e 5).

e assim por diante.

As duas ltimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta srie at k = 11 (6 termos

no nulos) e at k = 49 (25 termos no nulos), respectivamente.

Fig. 7.9 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11).

Fig. 7.10 Sinal onda quadrada. Aproximao por srie deFourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49).

Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela srie de Fourier vai se tornandocada vez mais prximo do original, a onda quadrada.

Nos pontos t onde x(t) um sinal contnuo esta srie de Fourier converge para o pr-prio valor de x(t).


12/55


12

Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela srie de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen94

5,3sen74

5,2sen54

5,1sen34

5,0sen4

)5,0(x +

+

+

+

+

=

1,6977

0,8488

1,1035

0,9216

1,0631

que de facto converge para 1.

Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta srie deFourier converge para o valor mdio de x(t), entre o imediatamente antes e o imedia-tamente depois de t.

Por exemplo, para t = 0 -, sabemos que x(0 -) = 1, e t = 0 -, e que x(0 +) = 1. Logo, oponto mdio :

02

112

)0(x)0(x=

+=

+ +

Pela srie de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00000

...0sen94

0sen74

0sen54

0sen34

0sen4

)0(x

++++=

=+

+

+

+

+

=

que de facto converge para 0.

Mais adiante, nas Propriedades da Srie de Fourier , veremos que:

Se x(t) um sinal par , ento a srie de Fourier para x(t) uma srie de co-senos .

Se x(t) um sinal mpar , ento a srie de Fourier para x(t) uma srie de senos .


13/55


13

Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e mpares . Recorde-se que,

- A soma de 2 sinais pares um sinal par .

- A soma de 2 sinais mpares um sinal mpar .

- O produto de 2 sinais pares um sinal par .

- O produto de 2 sinais mpares um sinal par .

Logo, se x(t) um sinal par , ento os coeficientes b k da srie de Fourier para x(t) sotodos iguais a zero:

...,3,2,1k ,0dttk T2

sen)t(xT2

bT

k ==

=

e portanto, a srie de Fourier uma srie de co-senos .

Mas se x(t) um sinal mpar , ento os coeficientes a k da srie de Fourier para x(t) sotodos iguais a zero (incluindo a o):

...,3,2,1,0k ,0dttk T2

cos)t(xT2

aT

k ==

=

e portanto, a srie de Fourier uma srie de senos .

De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par , ento os a k s eram todosiguais a zero k = 0, 1, 2, , e a srie de Fourier era uma srie de senos .

7.4 Uma interpretao da Srie de Fourier

A srie de Fourier pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinalx(t), em um espao de sinais.

Recorde-se um vector v no espao R n representado como a soma

nn2211 eeev +++= L

onde e 1, e2, e n, so os vectores


14/55


14

===

1

0

0

e,

0

1

0

e,

0

0

1

e n21 ML

MM

ou seja, { }n21 e,e,e L , os chamados vectores cannicos e formam uma base do R n;e 1, 2, n, so os coeficientes do vector v nesta base { }n21 e,e,e L .

Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma daeq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos.

Note que aqui o espao no mais o espao de vectores ( R n, que tem dimenso n ) mas sim um espao de sinais, que ter dimenso infinita. A base do espao no sermais formada pelos vectores e 1, e2, e n , mas agora pelos sinais senos e co-senos

tk

T2

cos e

tk

T2

sen

definidos nas equaes de anlise eq. (7.2) e eq. (7.3). Alm disso, os coeficientes

que representam o sinal x(t) nesta base no sero mais 1, 2, n, mas agora seroosak e b k .

Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais.

Claro que a expresso da eq. (7.1) definida apenas para sinais peridicos, Entretanto, j vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definido em um intervalo finitoqualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assimperidico e desta forma pode ser descrito tambm na forma da eq. (7.1). As figuras7.4 e 7.5 ilustravam isto.

Outro detalhe: no espao R n os prprios vectores da base e 1, e 2, e n eram repre-sentados (de forma nica) como

ni21i e0e1e0e0

0

1

0

e +++++== LLM


15/55


15

ou seja, com coeficientes

1 = 0, 2 = 0, , i = 1, n = 0

isto ,

{ } { }0,,1,,0,0,,,,, ni21 LLLL = .

Aqui tambm temos que os sinais senos e co-senos da base so representados (deforma nica) como

=

+

+=

1k

k k 0 tk

T2

senbtk T2

cosa2

at

T2

cos l

onde todos os a k e b k sero todos iguais a zero excepto o valor de a k para k = l , ouseja:

ak = 0, b k = 0, excepto a l = 1

e, alm disso

=

+

+=

1k

k k 0 tk

T2

senbtk T2

cosa2

at

T2

sen l

onde todos os a k e b k sero todos iguais a zero excepto o valor de b k para k = l , ouseja:

ak = 0, b k = 0, excepto b l = 1.

Isto ocorria porque o produto escalar entre 2 vectores e m e e n, que pertenam base,

< e m , e n > = 0 , se m n,

< e m , e n > = 1 , se m = n,

onde o produto escalar entre 2 vectores no espao R n era definido como

nn2211v,v +++=>< L

sendo 1, 2, n os coeficientes de v e n21 ,,, L os coeficientes de v .


16/55


16

Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e 1, e 2, e n da base so ortogo-nais entre si.

Aqui, neste espao de sinais cuja base formada por senos e co-senos , o produtoescalar entre 2 sinais pode ser definido como:

LLLL +++++=>< k k 11k k oo bbbbaaaa)t(x),t(x

onde a o, a 1, , a k , , b 1, , b k so os coeficientes de x(t) na srie de Fourier e

k 1ok 1o b,,b,b,,a,,a,a LLL os coeficientes de )t(x na srie de Fourier. Destaforma pode-se verificar que

,nmse,0tnT2cos,tm

T2cos => <

,nmse,1tnT2

cos,tmT2

cos ==>

<

e,nmse,0tnT2

sen,tmT2

sen =>

<

.nmse,1tnT2

sen,tmT2

sen ==>

<

ou seja, aqui os sinais da base tambm so ortogonais entre si. Isso se verifica obser-vando-se as equaes de anlise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que

nmse,0dttnT2costm

T2cos

T

=

nmse,0dttnT2

sentmT2

senT

=

e

nmse,2T

dttnT2

costmT2

cosT

==

nmse,2Tdttn

T2sentm

T2sen

T

==


17/55


17

um resultado bastante conhecido em matemtica, da teoria do Clculo. Isto , asintegrais de senos e/ou co-senos de frequncia diferentes multiplicados entre si sonulas. Os senos e co-senos so ortogonais .

Fig. 7.11 Projeces de um vector v R 2 nos seus 2 eixos ( esquerda) e v R 3 nos seus 3 eixos ( direita).

Uma propriedade importante verificada nos vectores no espao R n era que o produtoescalar entre v e um elemento e k da base era o prprio coeficiente k , ou seja,

< v , e k > = k

De certa forma isto significava que os k eram as projeces dos vectores do Rn nos

seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R 2 e R 3.

Aqui no espao de funes tambm verifica-se que

k atk T2

cos,)t(x =>

< e k btk T

2sen,)t(x =>

<

o que tambm pode ser interpretado que os a k e os b k so uma espcie de projecodo sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base.

7.5 Srie exponencial de Fourier para sinais contnuos

Nesta seco estudaremos a srie exponencial de Fourier tambm chamada desrie complexa de Fourier .


18/55


18

Se o sinal x(t) R , ento a srie exponencial de Fourier a mesma que a srie trigo-nomtrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo

to je

em vez de em termos de senos e co-senos.

Entretanto, considere agora

um sinal peridico contnuo x(t) C = {conjunto dos nmeros complexos }

ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginria . Asrie exponencial de Fourier permite-nos aproximar x(t), o que no era possvel coma srie trigonomtrica.

Na srie exponencial (ou complexa ) de Fourier um sinal peridico x(t) pode serexpresso como:

=

=

=

==

k k

k k

tk o j

tk T2 j

c

c)t(x

e

e

eq. (7.4)

onde:T = perodo fundamental do sinal x(t).

o = frequncia fundamental do sinal x(t).e

=

==

T

tk j

T

tk

T

2 j

k

dte)t(xT1

dte)t(xT1

c

ok = 0, 1, 2, eq. (7.5)

Portanto, a srie exponencial (ou complexa ) de Fourier generaliza a srie trigonom-trica de Fourier e tem tambm a vantagem de ser mais compacta.

Os c k s so chamados de coeficientes da srie exponencial de Fourier ou coeficientesespectrais.


19/55


19

Semelhantemente srie trigonomtrica, a equao eq. (7.4) acima conhecida comoa

equao de sntese

enquanto que a equao eq. (7.5) conhecida como a

equao de anlise

da srie exponencial (ou complexa ) de Fourier .

Exemplo 7.2:

Tomemos novamente a onda quadrada x(t) emum perodo (de t = 1 at t = 1) ilustrada nafigura 7.12.


20/55


20

( )

( ) ( ) =+=

==

1

0

tk j0

1

tk j

1

1

tk jk

dt1

2

1dt)1(

2

1

dt)t(xT1

c

ee

e

...2,1,,0k =

Fazendo-se as integrais, obtemos:

( )[ ]( ) ( )[ ]( )

( ) ( )

=+

=

=+

=

k jk jk jk j

1

0tk j0

1tk j

k

2 jk 2

111

jk 21

jk )1(

21

jk 1

21

c

eeee

ee

Agora, usando-se as equaes de Eler temos que:

[ ]

( )

( ))k cos(1k j

)k cos(12 jk 2

1

)k (sen j)k cos()k (sen j)k cos(2 jk 2

1c k

=

=

=

+

=

e portanto,

=

=

=...,5,3,1k se, j

k 2

...,4,2,0k se,0

c k

Logo,

[ ]

=

=

=

+

=

=

=

==

...,5,3,1k

...,5,3,1k

tk j

k

tk jk

)tk (sen j)tk (cos jk 2

jk 2

c)t(x o

e

e


21/55


21

e, desmembrando-se a soma ...,5,3,1k = em duas de ...,5,3,1k = , como o seno mpar [sen (k t) = sen (k t), k ] e o co-seno par [cos (k t) = cos(k t) , k ],temos:

=

=

=

=

+

+

+

+

=

...,5,3,1k ...,5,3,1k

...,5,3,1k ...,5,3,1k

)tk (sen jk j2

)tk (cosk j2

)tk (sen jk j2

)tk (cosk j2

)t(x

e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que osdois termos com senos so idnticos, logo podem se juntar ficando:

=

=

=

=

=

...,5,3,1k

...,5,3,1k

)tk (senk

4

)tk (sen jk j22)t(x

que o mesmo resultado obtido no Exemplo 1 com a srie trigonomtrica de Fourier,

ou seja:( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

94

t7sen74

t5sen54

t3sen34

tsen4

)t(x

+

+

+

+

+

+

+

=

Isso acontece porque as sries trigonomtricas e complexa (ou exponencial ) de Fou-rier so equivalentes, um resultado que vamos ver a seguir na prxima seco.

7.6 Equivalncia das sries trigonomtrica e exponencial de Fourier

Se o sinal x(t) for de valores reais, ento existe uma relao entre a srie trigonom-

trica e a srie complexa (ou exponencial ) de Fourier . Pode-se facilmente mostrarque:


22/55


22

2b ja

c k k k

= para k = 0, 1, 2, eq. (7.6)

e

2b ja

ck k

k

+= para k = 1, 2, eq. (7.7)

Embora o coeficiente b o no exista, pois no foi definido, na eq. (7.6) assume-se que0bo = . Portanto, o coeficiente c o pode ser expresso como:

2

ac oo = . eq. (7.8)

Note tambm que enquanto os coeficientes a k s e b k s so definidos nas eq. (7.2) eeq. (7.3) apenas para k = 0, 1, 2, , os coeficientes c k s so definidos nas eq. (7.6) eeq. (7.7) para k = 0, 1, 2,

Observe tambm que a eq. (7. 7) equivalentes a:

2b ja

c k k k += para k = 1, 2, eq. (7.9)

Sabemos, pelas eq. (7.2) e eq. (7.3) da srie trigonomtrica de Fourier, que noexiste a k s ou b k s para k negativos, entretanto a -k e b -k esto bem definidos naeq. (7.9) pois nesta equao k = 1, 2, e portanto os ndices de a -k e b -k sero sem-pre positivos. Por exemplo:

a-k para k = 2 ser o a 2,

ou

b-k para k = 5 ser o b 5.

Os termos c k para k positivos so os conjugados de c k para k negativos, e vice-versa,isto :

ck = (c k )* , k = 0, 1, 2, 3,


23/55


23

As equaes acima permitem que se transforme uma srie trigonomtrica em umasrie exponencial .

O inverso, ou seja, as equaes que permitem transformar uma srie exponencial em

uma srie trigonomtrica so as seguintes:

oo c2a = eq. (7.10)

)cc(a k k k += para k = 1, 2, eq. (7.11)e

)cc( jb k k k = para k = 1, 2, eq. (7.12)

Com as relaes acima fcil de se mostrar que, quando x(t) um sinal real, ento:

( ) ( )[ ]

=

=

=

=

++=

=

+

+=

==

1k ok ok

0

1k k k

0

k

tk jk

k

tk T

2 j

k

tk senbtk cosa2a

tk T2

senbtk T2

cosa2a

cc)t(x oee

ou seja, as duas sries de Fourier, trigonomtrica e exponencial , so equivalentes.

7.7 Propriedades das sries de Fourier para sinais contnuos

Linearidade :

Suponha que


24/55


24

x1(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier k c


e que

)t(x)t(x)t(y 21 +=

ento, mostra-se que:

y(t) tem perodo T ,

ou seja,

y(t) tem frequncia fundamental T2

o= ,

e coeficientes de Fourier

k k k ccc +=

Translao no tempo ( time shifting ): Suponha que

x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k e que

)tt(x)t(y o= ou seja,

y(t) o sinal x(t) com uma translao ( shift ) no tempo de t o.

Ento, mostra-se que:

y(t) tem perodo T ,ou seja,

y(t) tem frequncia fundamentalT2

o= ,



25/55


25

k

k k

c

cc~

otT2

k j

tok j o

=

==

e

e

Nota:

Como = ,1 je , tem-se que:

k k cc~ =

Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) em torno de t = 0 :

Suponha que

x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier c k

e que

)t(x)t(y = ento, mostra-se que:

y(t) tem perodo T ,ou seja

y(t) tem frequncia fundamentalT

2o

= ,


k k cc =

Nota:

Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:


26/55


26

Se x(t) um sinal par os coeficientes de Fourier c k so, eles prprios, pares ; i.e.,

k k cc =

Se x(t) um sinal mpar os coeficientes de Fourier c k so, eles prprios, mpares ;i.e.,

k k cc =

Escalonamento no tempo ( time scaling ):

Suponha que


(portanto x(t) tem frequncia fundamentalT2

o

= )

e que)t(x)t(y =


y(t) tem perodoT

,

ou seja

y(t) tem frequncia fundamentalT

2T o

==)

e, alm disso,

tT

2k j

tok j

k k

k k

c

c)t(y

=

=

=

==

e

e

Note que a srie de Fourier muda por causa da mudana da frequncia fundamental (e do perodo ). Entretanto os coeficientes c k no mudam.


27/55


27

Multiplicao:

Suponha que



e que)t(x)t(x)t(y 21 =


y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamental T

2o

=

,


[ ] [ ]k ck c

ccc ik i

ik

=

==

=

Ou seja, c k a convoluo entre os sinais discretos [ ]k cck = e [ ]k cck = .

L+++++=

==

++

=

2k 22k 21k 11k 1k o

ik ij

ik

cccccccccc

ccc

Conjugao:

Suponha que

x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier ck

e que

)t(x)t(y =


28/55


28


y(t) tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamentalT2

o

= ,


= k k cc

Nota:Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:

Se x(t) R , ento

os coeficientes de Fourier

= k k cc ;

co R ;e

k k cc = .

Alm disso, as relaes acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x(t) R um sinal par

os coeficientes de Fourier = k k cc ; e

k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios pares ).

Se )t(x R um sinal mpar

os coeficientes de Fourier k c so imaginrios puros, 0c o = e

k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios mpares ).

Translao na frequncia ( frequency shifting ):

Suponha que

x(t) um sinal com perodo T e tem coeficientes de Fourier ck

e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes


29/55


29

mk k cc =

ou seja,

k c so os coeficientes c k desfasados de m.

Ento, mostra-se que o sinal:

)t(x)t(y to jm = e

tem os coeficientes de Fourier kc

Nota :

Esta propriedade dual da translao no tempo ( time shifting ). Agora a translao(shift ) foi aplicada aos c k e no no tempo t.

Outro detalhe, como = ,1 je , ento:

k k cc = k = 0, 1, 2,

Convoluo no perodo:

Suponha que



e que y(t) a convoluo (tomada no perodo T):

==

T21

21

d)(x)t(x

)t(x)t(x)t(y



o

= ,


k k k ccTc~~ =


30/55


30

Derivada:

Suponha que


e que

dtdx

)t(y =



o

= ,


k k ok cT2

k jck jc

==

Nota :

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada , se

2

2

dtxd

)t(y =

os coeficientes de Fourier de y(t) so

k

22

k 22

k 222

k ok cT2

k ck ck jck jcoo

==== .

Integral:

Suponha que


e que

=t

dt)t(x)t(y


31/55


31



o

= ,


k k o

k c

T2

k j

1c

k j1

c

=

=(

Nota :

No caso de c o = 0, esta propriedade s vlida para sinais x(t) peridicos e com valo-

res finitos.

Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes.

Relao de Parseval:

Suponha que


ento, mostra-se que a potncia mdia do sinal no intervalo de um perodo T:

=

=

==

k

2

k

T

2

c

dt)t(xT1

P

7.8 Srie exponencial de Fourier para sinais discretos

J vimos, no captulo 4 (sobre Sistemas), que um sinal discreto peridico se

[ ] [ ]Nnxnx +=

onde N o perodo. Alm disso, vimos que

N = perodo fundamental


32/55


32

se N for o menor inteiro para o qual a relao acima satisfaz. E neste caso:

N2

o

= = frequncia fundamental.

O conjunto de todos os sinais discretos no tempo do tipo exponenciais complexos queso peridicos (com perodo N) dado por

[ ]n

N2 jk

no jk nk

== ee , k = 0, 1, 2, eq. (7.13)

e todos estes sinais tm frequncia fundamental que so mltiplas de

N2

e portanto so harmonicamente relacionados.

Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funes k [n] definido pelaeq. (7.13) acima.

Isto uma consequncia do facto de que sinais discretos no tempo do tipo exponen-

ciais complexas que diferem na frequncia por um mltiplo de 2 so idnticos.Ou seja, aps N consecutivos, estes termos comeam a repetir-se.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

MM

MM

nn

nn

nn

nn

Nk k

2N2

1N1

No

+

+

+

=

=

=

=

Esta situao diferente do caso contnuo pois os coeficientes que aparecem na equa-o de sntese da srie de Fourier para sinais contnuos:

tT2k jtok j)t(k

== ee k = 0, 1, 2, ,

so todos diferentes uns dos outros.


33/55


33

Portanto, a srie de Fourier para sinais discretos ter apenas N termos, para N conse-cutivos valores de k,

de l=k at 1Nk += l .

e, semelhantemente, apenas N coeficientes c k .

Logo, a srie de Fourier para sinais discretos tem a expresso:

+

+=

+

+=

=

==

)1N(

),1(,k k

)1N(

),1(,k k

nok j

nN2k j

c

c[n]x

l

Kll

l

Kll

e

e

eq. (7.14)

onde, conforme j dito,

N = perodo fundamental do sinal x[n].

o = frequncia fundamental do sinal x[n].

A equao eq. (7.14) acima conhecida como a

equao de sntese

da srie de Fourier discreta.

J os coeficientes c k s no caso discreto so definidos por

[ ]

[ ]

+

+=

+

+=

=

==

)1N(

),1(,n

)1N(

),1(,nk

nN2k j

nok j

nxN1

nxN1c

l

Kll

l

Kll

e

e

k = 0, 1, 2, eq. (7.15)

Os c k s so chamados de coeficientes da srie Fourier discreta ou coeficientesespectrais .


34/55


34

A equao eq. (7.15) conhecida como as

equao de anlise

da srie de Fourier discreta.

Exemplo 7.3:

Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo ilustrada na figura 7.13:

Fig. 7.13 Onda quadrada discreta de perodo N. Sinal do Exemplo 7.3.

= somaodeintervalononoutros,0

1Nn1Nse,1

[n]x

Neste caso os coeficientes espectrais c k ficam:

=

=

1

1

N

Nnk

nN2k j

N1

c e eq. (7.16)

Se L2N,N,0,k = o somatrio desta expresso de c k acima fica

)1N2(1 1N

Nn

N

Nn

1

1

1

1

2n j +== ==

e

e portanto, a expresso de c k da eq. (7.16) acima facilmente expressa como:

N1N2

c 1k +

= , L2N,N,0,k =

Entretanto, para L2N,N,0,k definimos


35/55


35

m = n + N 1

e ento, fazemos uma mudana de ndice no somatrio, ficando

=

=

=

==

1

1

N2

0m

N2

0mk

mN2k j1NN

2k j

)1

Nm(N

2k j

N1

N1c

ee

e

.

Agora, usando a frmula da soma finita dos elementos de uma progresso geomtrica, j vista no captulo 6, eq. (6.3):

LL

LL

,qaa,qaa,qaa

:a::a:a:a

1k k 2312

k 321

===

que dada por:

)q1(

)q1(aaS

n1

n

1k k

== =

pode-se substituir o somatrio da expresso dos c k acima, uma vez que uma somafinita de uma progresso geomtrica com

( )

=+== N2

k j

11 q,e1N2n,1a e

obtendo-se:

=

+

N

2k j

)1N2(N

2k j

NN2

k j

k

1

1N1

c1

e

ee

para L2N,N,0,k

que, aps multiplicao dos termos, pode facilmente ser expresso como


36/55


36

=

++

N22

N2k j

N22

N2k j

N2k j

21

1NN2k j

21

1NN2k j

N22k j

N1

c k

eee

eee

para L2N,N,0,k

e, usando Eler, obtemos que

+

=

Nk

sen

2

1Nk

N

2sen

N1c

1

k , para L2N,N,0,k

Desta forma temos ento todos os coeficientes espectrais c k da onda quadrada discretadeste exemplo.

Resumindo:

=+

+

=

L

L

2N,N,0,k se,N

1N2

2N,N,0,k se,

Nk

sen

21

Nk N2

sen

N1

c

1

1

k

Para o caso particular de N = 9 e N 1 = 2, temos que:

(2N 1 +1) = 5

que representa o nmero de pontos que assumem o valor 1 em cada perodo e conse-quentemente,

N (2N 1 +1) = 9 5 = 4

representa o nmero de pontos que igual a 0 (zero) em cada perodo.


37/55


37

O grfico deste x[n] pode ser visto na figura 7.14.

Fig. 7.14 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2.

e os coeficientes c k calculados pela expresso acima so:

3199,0c

5556,0c

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

1

o

1

2

3

4

==

=

=

=

=

M

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

8

7

6

5

4

3

2

==

=

=

=

=

=

M

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

3199,0c

5556,0c

14

13

12

11

10

9

=

=

=

=

=

=

Observe que a cada N coeficientes eles se repetem. Isto , a cada 9 c k eles voltam aser os mesmos valores.

M

L

L

L

L

LL

L

M

0591,0ccc3199,0ccc5556,0ccc3199,0ccc

0591,0ccc1111,0ccc

0725,0ccc

20112

19101

189o

1781

1672

1563

1454

================

========

====

e assim por diante.


38/55


38

Agora, com os valores dos coeficientes c k , podemos escrever a srie de Fourier,eq. (7.14).

Ao contrrio do caso contnuo, em que tnhamos que acrescentar mais e mais termospara obter uma aproximao melhor, aqui no caso discreto possvel uma aproxima-

o exacta com N = 9 termos consecutivos:

+

+=

=)8(

),1(,k k

n9

2k jc[n]x

l

Kll

e

Por exemplo, se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos, k = 1, 0 e 1,teremos

=

=1

1k k 3

n9

2k jc[n]x e

que nos d uma primeira aproximao, ainda muito grosseira, do sinal x[n], comopode-se ver no grfico de [ ]nx 3 na figura 7.15 abaixo.

Fig. 7.15 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-o por srie de Fourier com apenas 3 termos.

Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos, k = 2, 1, 0, 1 e 2, teremos ento

=

=2

2k k 5

n9

2k jc[n]x e

que nos d uma aproximao um pouco melhor, mas ainda longe de perfeita, do sinalx[n], como pode-se ver no grfico de [ ]nx 5 na figura 7.16 abaixo.


39/55


39

Fig. 7.16 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-

o por srie de Fourier com apenas 5 termos.

Se agora tomarmos 7 termos consecutivos, k = 3, 2, 1, 0, 1, 2 e 3, teremos ento

=

=3

3k k 7

n9

2k jc[n]x e

que j nos d uma aproximao bem melhor, mas ainda no perfeita, do sinal x[n],como pode-se ver no grfico de [ ]nx 7 na figura 7.17 abaixo.

Fig. 7.17 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-o por srie de Fourier com 7 termos.

Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos, k = 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 e4, teremos ento

=

==4

4k k 9

n9

2k jc[n]x[n]x e

que nos d a aproximao perfeita, ou exacta do sinal x[n] pois N = 9. Ou seja,

[n]x[n]x 9 =

O grfico de [ ]nx 9 , que coincidente com x[n], pode ser visto na figura 7.18 abaixo.


40/55


40

Fig. 7.18 Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N 1 = 2. Aproxima-

o exacta por srie de Fourier com 9 termos.

Exemplo 7.4:

Considere agora o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x o=

Este sinal peridico quando:

o

2

um inteiro ou a razo de inteiros.

Suponha que

N2

o

=

logo,

N2

o

=

e x[n] ento um sinal peridico com perodo fundamental N.

Usando-se a equao de Eler podemos expandir este sinal x[n] como a soma de 2termos exponenciais complexas, obtendo-se

nN2 jn

N2 j

j21

j21

[n]x

= ee

e vemos ento que:


41/55


41

=

=

=

=

=

.,0c

j

2

1

j2

1c

j21

j21

c

somaodeintervalonok devaloresoutrosparak

1

1

Por exemplo, no caso particular de

N = 5

ento

= n5

2sen[n]x

e os coeficientes de Fourier sero:

j21

j21

c

0c

j21

j21

c

0c

0c

j21

j21

c

0c

j21

j21

c

0c

0c

6

5

4

3

2

1

o

1

2

3

==

=

=

=

=

=

==

=

=

=

=

=

M

e assim por diante.

M

j21

j21

c

0c

j21

j21

c

0c

0c

j21

j21

c

0c

j21

j21

c

0c

0c

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

==

=

=

=

=

=

==

=

=

=

=

=


42/55


42

Ou seja, a cada 5 coeficientes c k , eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

LL

L

M

j5,0ccc0ccc

0ccc

941

832

723

========

====

M

LL

L

M

0ccc j5,0ccc

0ccc

1272

1161

105o

========

====

e assim por diante.

O intervalo de somao pode ser quaisquer 5 coeficientes c k consecutivos, como porexemplo:

de -1k = at 3k = , oude 0k = at 4k = , ou

de 1k = at 5k = , ou

de 2k = at 7k = ,etc. etc.

Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2 e 3, teremos

=

=3

1k

n5

2k j

k 3 c[n]x e

que nos d uma aproximao do sinal x[n].

Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,teremos ento

=

=5

1k

n5

2k j

k 5 c[n]x e

que nos d a aproximao exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja,

== n5

2sen[n]x[n]x 5 .


43/55


43

Exemplo 7.5:

Considere novamente o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x o=

mas agora suponha que

inteiros2derazoMN2

o

==

onde N e M so 2 inteiros que no tm factores comuns.

Logo,

MN2o =

Novamente x[n] um sinal peridico e com perodo fundamental N.

Usando-se a equao de Eler podemos tambm expandir este sinal x[n] como asoma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se:

nN2M jn

N2M j

j2

1

j2

1[n]x

= ee

e portanto,

==

==

j21

j21

c

j21

j21

c

M

M

Alm disso, como Nk Nk cc + = (os c k s se repetem a cada N), ento:

( ) ( )tambmMMNMN c j21

cc + ===

e

( )tambmMMNMN c j21

cc =

== ++

Entretanto,.,0c somaoervalo deintnoores de k outros valparak =


44/55


44

Exemplo 7.6:

Neste exemplo anterior (Exemplo 7.5), se tomarmos o caso particular de

N = 5 e M = 3,

ento

( )n2,1senn5

6senn

52

3sen[n]x =

=

=


0c

0c

j21

c

j21

c

0c

0c

0c

j21

c

j21

c

0c

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

M

e assim por diante.


0c

0c

j2

1c

j21

c

0c

0c0c

j21

c

j21

c

0c

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

=

=

=

=

==

=

=

=

M

0c

0c

j21

c

j21

c

0c

0c

0c

j21

c

j21

c

0c

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=


45/55


45

M

L

L

L

M

j5,0cccc

j5,0cccc0cccc

8327

7238

6149

=====

==========

M

L

L

L

M

0cccc

0cccc0cccc

11614

105o5

9416

=====

==========

e assim por diante.

O intervalo de somao novamente pode ser quaisquer 5 coeficientes c k consecutivos,como por exemplo:

de -1k = at 3k = , oude 0k = at 4k = , oude 1k = at 5k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-o do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2 e 3,

=

=3

1k k 3

n5

6k jc[n]x e

Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,teremos ento

=

=5

1k k 5

n5

6k j

c[n]x e


== n5

6sen[n]x[n]x 5


46/55


46

Exemplo 7.7:

Novamente considerando o Exemplo 7.5, se tomarmos o caso particular de

N = 7 e M = 3,

ento

( ) ( )n6928,2senn8571,0senn7

6senn

72

3sen[n]x ==

=

=


j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

3

2

1

0

1

2

3

=

=

=

=

=

=

=

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21c

10

9

8

7

6

5

4

=

=

=

=

=

=

=

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j2

1c

17

16

15

14

13

12

11

=

=

=

=

=

=

=

e assim por diante.


M

L

L

L

L

M

============

====

0ccc0ccc0ccc

j5,0ccc

147o

1361

1252

1143

M

L

L

L

L

M

j5,0ccc0ccc0ccc0ccc

17103

1692

1581

147o

============

e assim por diante.


47/55


47

O intervalo de somao agora pode ser quaisquer 7 coeficientes c k consecutivos, co-mo por exemplo:

de -1k = at 5k = , ou

de 0k = at 6k = , oude 1k = at 7k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-o do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,

=

=5

1k k 5

n7

6k j

c[n]x e

Entretanto, se tomarmos 7 termos consecutivos, como por exemplo:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7,

teremos ento

=

=7

1k k 7

n7

6k j

c[n]x e


== n7

6sen[n]x[n]x 7 .

7.9 Propriedades da Srie de Fourier para sinais discretos

Linearidade :

Suponha que

x1[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c x2[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c


48/55


48

e que[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 +=

ento, mostra-se que:y[n] tem perodo N ,

ou seja,y[n] tem frequncia fundamental

N2

o

= ,


k k k ccc +=

Translao no tempo ( time shifting ):

Suponha que

x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier c k

e que[ ] [ ]onnxny =

ou seja, y[n] o sinal x[n] com uma translao ( shift ) no tempo de n o.Ento, mostra-se que:

y[n] tem perodo N ,ou seja,

y[n] tem frequncia fundamentalN2

o

= ,


k

k k

c

cc~

onN2

k j

onok j

=

==

e

e

Nota :

Como = ,1 je , tem-se que

k k cc~ =


49/55


49

Sinal reflectido / reverso no tempo ( time reversal ) em torno de n = 0 :

Suponha que

x[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck

e que[ ] [ ]nxny =


y[n] tem perodo N ,ou seja,

y[n] tem frequncia fundamentalN

2o

= ,


k k cc =

Nota:

Como consequncia desta propriedade pode-se concluir, ( semelhantemente ao caso

contnuo ), que:

Se x[n] um sinal par os coeficientes de Fourier ck so, eles prprios, pares ; i.e.,

k k cc =

Se x[n] um sinal mpar os coeficientes de Fourier c k so eles prprios, mpares ;i.e.,

k k cc = .

Escalonamento no tempo ( time scaling ):

Suponha que


(portanto x[n] tem frequncia fundamentalN2

o= )


50/55


50

e que

[ ] =mdemltiplononse,0

mdemltiplonse,mn

xny


y[n] tem perodo Nm ,ou seja,

y[n] tem frequncia fundamentalNm

2m

o

=

, e alm disso,

[ ]

+

+=

+

+=

=

==

)1N(

),1(,k k

)1N(

),1(,k k

nNm

2k j

nm

ok j

c

cny

l

Kll

l

Kll

e

e

Note que a srie de Fourier muda por causa da mudana da frequncia fundamental (e

do perodo). Entretanto os coeficientes ck no mudam.

Multiplicao:

Suponha que

[ ]nx 1 um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c [ ]nx 2 um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c

e que[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 =


y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamentalN2

o

= ,



51/55


51

+

+==

)1N(

),1(, j jk jk ccc

l

Kllk = 0, 1, 2,

Ou seja,

etcetcetcetc

)Nk (N3k 32k 21k 1

)1Nk (1N2k 21k 1k o

)1N(

),1(, j jk jk

cccccccc

cccccccc

ccc

MMMM

L

L

l

Kll

+

+

+=

++++=

++++=

==

Conjugao:

Suponha que


e que[ ] [ ]nxny =

y[n] o conjugado de x[n] ; ento, mostra-se que:

y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamental N2o = ,


= k k cc

Nota:

Como consequncia desta propriedade pode-se concluir que:

Se x[n] R , ento


52/55


52

os coeficientes de Fourier = k k cc ;

co R ;

e

k k cc = .

Alm disso, as relaes acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x[n] R um sinal par

os coeficientes de Fourier= k k cc ; e

k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios pares ).

Se x[n] R um sinal mpar

os coeficientes de Fourier k c so imaginrios puros, 0c o = e

k k cc = (os coeficientes de Fourier so eles prprios impares ).

Translao na frequncia ( frequency shifting ):

Suponha que


e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes

mk k cc = k = 0, 1, 2, ou seja,

k c so os coeficientes c k desfasados de m.

Ento, mostra-se que o sinal:

[ ] [ ]nxny nom j = e

tem os coeficientes de Fourier k c


53/55


53

Nota :

Esta propriedade dual da translao no tempo ( time shifting ). Agora a translao(shift ) foi aplicada aos c k e no no tempo t.

Como = ,1 je , ento

k k cc =

Convoluo no perodo:

Suponha que

x1[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c

x2[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier k c

e que y[n] a convoluo (tomada no perodo N):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]+

+==

==

)1N(

),1(,k 21

21

k xk nx

nxnxny

l

Kll


y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamental N2

o

= ,


k k k ccNc~~ =

Primeira diferena:

Suponha que


e que

[ ] [ ] [ ]1nxnxny = ento, mostra-se que:


54/55


54

y[n] tem perodo N , ou seja tem frequncia fundamentalN2

o

= ,


( ) k N2

k j

k k jk ce1ce1c o

==

Nota :

Esta propriedade corresponde, no caso discreto, propriedade para a derivada nocaso contnuo.

Para o caso de diferenas de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes. Por exemplo, no caso da segunda diferena , se

[ ] [ ] [ ]2nxnxny =

os coeficientes de Fourier de y(t) so

( ) k 2

N2

k j

k

2k jk ce1ce1c

o

==

.

Soma acumulada:

Suponha quex[n] um sinal com perodo N e tem coeficientes de Fourier ck

e que

[ ]=

=n

k

k x)t(y


y[n] tem perodo T , ou seja tem frequncia fundamental N2

o

= ,


( )k

N

2k j

k k jk c

e1

1c

e1

1c

o

=

=

(


55/55


Nota :

No caso de c o = 0, esta propriedade s vlida para sinais x[n] peridicos e com va-lores finitos.

Esta propriedade corresponde, no caso discreto, propriedade para a integral no casocontnuo.

Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivasvezes.

Relao de Parseval:

Suponha que


ento, mostra-se que a potncia mdia do sinal no intervalo de um perodo N:

[ ]

+

+=

+

+=

=

==

)1N(

),1(,k

2k

)1N(

),1(,n

2

c

nxN1

P

l

Kll

l

Kll

An Sinais Cap7

Documents

Transcript of An Sinais Cap7