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ANA PAULA FERREIRA DE CERQUEIRA

ISOMETRIAS: ANÁLISE DE DOCUMENTOS CURRICULARES

E UMA PROPOSTA DE SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

PARA O ENSINO MÉDIO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PUC/SPSão Paulo

2005

ANA PAULA FERREIRA DE CERQUEIRA




Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de

MESTRE (PROFISSIONAL) EM ENSINO DE

MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa

DraSiobhan Victoria Healy (Lulu Healy).

PUC/SPSão Paulo

2005

II

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

Centro das Ciências Exatas e Tecnologias

Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática




Banca Examinadora:

_________________________________Profa Dra Siobhan Victoria Healy (Lulu Healy)

_________________________________Profa Dra Cármem Lúcia Brancaglion Passos

_________________________________ Profa Dra Ana Paula Jahn

PUC/SPSão Paulo

2005

III

Eu, Ana Paula Ferreira de Cerqueira, autorizo, exclusivamente para fins

acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por

processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

IV

Deus é Fortaleza do meu coração e

lâmpada para os meus pés é a tua

palavra e, luz para os meus

caminhos.

Todavia, estou sempre contigo, tú

me seguras pela minha mão direita.

(Salmo 73 vs. 23,26 e Salmo 119 vs. 105)

V

DEDICATÓRIA

A minha querida e amada mãe, ofereço-lhe

este fruto com amor, carinho e dedicação.

VI

AGRADECIMENTOS

À CAPES, pela ajuda financeira para concluir esta pesquisa.

A Lulu Healy, minha orientadora, pela orientação competente e estímulo sem a qual

este trabalho não seria possível, pela dedicação e apoio em todos os momentos.

Às Professoras da Banca Examinadora Profa Dra Cármem Lúcia Brancaglion Passos

e Profa Dra Célia Maria Carolino Pires, pela atenção e valiosas contribuições.

A meu amigo Clemente, Edna e Ieda, por todo companheirismo nos momentos bons e

ruins deste trabalho.

A ex-coordenadora Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori, pela atenção e

carinho que sempre teve com a 1a turma do Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática.

A todos os Professores do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da PUC-

SP, pela atenção e conhecimentos adquiridos.

A todos meus queridos colegas da 1a Turma do Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática, pela amizade, companheirismo em todos os momentos do curso.

Aos secretários do Programa, Francisco e Vera que muito me ajudaram nos momentos

necessários.

Aos sujeitos participantes desta pesquisa, pela colaboração, amizade e respeito.

VII

A meu querido irmão pela amizade, carinho e por ser tão especial.

A meu querido Kekey, pelo carinho, apoio e companheirismo nesta fase final.

Ao Thiago e a minha grande amiga irmã Hello, pela amizade, carinho, apoio e por

serem tão especiais.

Especialmente, a minha mãe, pela compreensão quanto às ausências, nervosismo e,

sobretudo, por ter acreditado em meu sonho e sempre se orgulhado de mim.

Enfim, a todos aqueles que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização

deste trabalho.

VIII

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS...................................................................................................X

LISTA DE QUADROS.................................................................................................XIII

RESUMO.....................................................................................................................XIV

ABSTRACT..................................................................................................................XV

CAPÍTULO 1: APRESENTAÇÃO...............................................................................01

1. Da trajetória ao tema de investigação.....................................................................01

CAPÍTULO 2: ISOMETRIAS E SUA APRENDIZAGEM..............................................06

2.1 Introdução...............................................................................................................06

2.2 Isometrias na Perspectiva Educação Matemática................................................06

2.3 Noções da Teoria da Simetria Axial.......................................................................07

2.4 Figura Simétrica......................................................................................................10

2.5 A Teoria dos Campos Conceituais.........................................................................12

2.6 Simetria como Campo Conceitual..........................................................................16

2.7 Considerações........................................................................................................18

CAPÍTULO 3: Isometrias nos Documentos Curriculares........................................20

3.1 Introdução................................................................................................................20

3.2 Transformações Isométricas nos PCN..................................................................22

3.2.1 Parâmetros Curriculares do Ensino Fundamental (3oe 4o. ciclos).....................23

3.2.2 Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM)........................................27

3.3 Isometrias nos Livros Didáticos do Ensino Fundamental e Ensino Médio...........30

IX

3.3.1 Análise das Coleções do Ensino Fundamental (3o e 4o ciclos).........................34

3.3.1.1 Tipos de Situações-Problema envolvendo as Isometrias.................................35

3.3.2 Análise dos Livros Didáticos do Ensino Médio .................................................58

3.4 Considerações.......................................................................................................62

CAPÍTULO 4: Simetria Axial no Ensino Médio: Uma Análise de Situações de...65

Aprendizagem..............................................................................................................65

4.1 Introdução...............................................................................................................65

4.2 Perfil do Grupo........................................................................................................66

4.3 Papel da Professora-Pesquisadora.......................................................................67

4.4 Procedimento Experimental...................................................................................68

4.5 Análise dos Resultados..........................................................................................70

4.6 Considerações .......................................................................................................96

CAPÍTULO 5: Considerações finais........................................................................99

5.1 Introdução..............................................................................................................99

5.2 Resultados da Pesquisa.......................................................................................101

5.3 Direções Para o Futuro.........................................................................................106

REFERÊNCIAS...........................................................................................................108

ANEXO........................................................................................................................113

Anexo 1 – Levantamento dos tipos de situações da coleção CEF1.........................113

X

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 – Simetria Axial..........................................................................................................09

Figura 2.2 – Simétrico do Triângulo............................................................................................10

Figura 2.3 – Eixo de Simetria do Triângulo Isósceles.................................................................10

Figura 2.4 – Eixo de Simetria do Quadrado................................................................................11

Figura 2.5 – Eixo de Simetria do Retângulo...............................................................................11

Figura 2.6 – Centro de Simetria do Losango...............................................................................12

Figura 2.7 – Simétrico do Castelo – (Esquema de Vergnaud)....................................................17

Figura 2.8 – Simétrico do Triângulo ABC – (Esquema de Vergnaud).........................................17

Figura 3.1 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Introdução p.211........................................39

Figura 3.2 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218........40

Figura 3.3 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Resolvendo problemas p. 212........40

Figura 3.4 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: é preciso saber fazer, p. 216..........41

Figura 3.5 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Resolvendo problemas ,p. 212.......41

Figura 3.6 – Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218........42

Figura 3.7 – Propriedades da Simetria Axial...............................................................................43

Figura 3.8 – Módulo 20 – “Simetria” - Seção: Resolvendo problemas, p. 221............................44

Figura 3.9 – Módulo 20 – “Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p.229.............................44

Figura 3.10 – Módulo 20 – “Simetria” Seção: Mostre que você sabe, p. 227.............................45

Figura 3.11 – Módulo 20 – “Simetria” – Seção: Resolvendo problemas , p. 221........................45

Figura 3.12 – Módulo 20 – “Simetria” Seção: Para saber mais, p. 226.......................................46

Figura 3.13 – Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 114.......47

Figura 3.14 – Modúlo 9 – “Arquitetura e Simetria” - Seção: Resolvendo Problemas,p. 104.......48

Figura 3.15 – Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria” - Seção: É preciso saber fazer, p. 110.........48

Figura 3.16 – Módulo 13 –“Transformações Geométricas”- Seção: Mostre que você sabe,p.163.........49

Figura 3.17 – Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria - Seção: Mostre que você sabe,p. 108.........50

Figura 3.18 – Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria” - Seção: Mostre que você sabe, p. 115........50

XI

Figura 3.19 – Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” – Seção:É preciso saber fazer, p.213...51

Figura 3.20 – Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” – É preciso saber fazer, p.211.............52

Figura 3.21 – Módulo 5 – “Rotação e Arte” – Introdução - p.51..................................................53

Figura 3.22 – Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber fazer, p. 58.................................54

Figura 3.23 – Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber conceitos, p. 53..........................54



Figura 3.26 – Módulo 5 – “Rotação e Arte” – Mostre que você sabe, p. 63................................56

Figura 3.27 – Vértice da Parábola - Coleção CEM1 - p. 117-118...............................................59

Figura 3.28 – Simetria e Coordenadas - Coleção CEM2 - p. 79.................................................60

Figura 3.29 – Eixo de Simetria - Coleção CEM2 – p. 80.............................................................60

Figura 3.30 – Simetria e Funções - Coleção CEM2 – p. 100......................................................61

Figura 4.1 – Questionário sobre o Vídeo Simetrias.....................................................................71

Figura 4.2 – Declarações dos Alunos A e B................................................................................72

Figura 4.3 – Situação-Problema da Foto.....................................................................................73

Figura 4.4 – “Eixo de Simetria” do Rosto....................................................................................75

Figura 4.5 – Rosto Simétrico formado pela face esquerda.........................................................75

Figura 4.6 – Rosto Simétrico formado pela face direita..............................................................76

Figura 4.7 – Reflexão da Dupla D8.............................................................................................78

Figura 4.8 – Ficha 3 – Espelho...................................................................................................79

Figura 4.9 – Exemplos de Resoluções.......................................................................................81

Figura 4.10 – Ficha 4 – Investigação no Cabri-Géomètre..........................................................83

Figura 4.11 - Eixo de Simetria do Triângulo Eqüilátero encontrado pelas duplas......................84

Figura 4.12 - Eixo de Simetria do Triângulo Eqüilátero da Dupla D6..........................................85

Figura 4.13 - Construção Livre do Simétrico do Triângulo ABC..................................................86

Figura 4.14 - Simétrico do Triângulo da Dupla D6......................................................................86

Figura 4.15 – Ficha 5...................................................................................................................88

Figura 4.16 – Construção da Planificação do Sólido Usando a Ferramenta Simetria Axial.......89

Figura 4.17 - Exemplos de Planificações elaboradas pelas Duplas D5, D7e D11.....................89

XII

Figura 4.18 – Reflexões sobre o cubo da Dupla D2....................................................................92

Figura 4.19 – Reflexões sobre o tetraedro da Dupla D2.............................................................92

Figura 4.20 – Reflexões sobre o cubo da Dupla D3....................................................................93

Figura 4.21 - Reflexões sobre o tetraedro da Dupla D3..............................................................93

Figura 4.22 – Auto-Avaliação......................................................................................................94

XIII

LISTA DE QUADROS

Quadro 3.1 – Levantamento do tipo de situação na 5a série da coleção CEF1..........................42

Quadro 3.2 – Levantamento do tipo de situação na 6 série da coleção CEF1...........................47



XIV

RESUMO

O objetivo desta pesquisa foi investigar a inserção das isometrias no currículo

de matemática, tanto sob o ponto de vista oficial como da prática. Para

alcançar esse objetivo, o trabalho dividiu-se em duas partes: na primeira, foram

consideradas as características das isometrias enfatizadas nos instrumentos

oficiais de ensino, tais como: Parâmetros Curriculares Nacionais e Livros

Didáticos do Ensino Fundamental e Médio avaliados pelo Programa Nacional

do Livro Didático/2005. Nos PCN, identificou-se uma ruptura no tratamento

entre as duas etapas do ensino e nos PCN-EF as isometrias estão bastante

presentes, ao passo que nos PCNEM a inclusão desse tópico não se encontra

explícita. Em relação aos Livros Didáticos do Ensino Fundamental analisados,

a incorporação das isometrias não era uniforme, ou seja, uma coleção não

aborda o tema , enquanto na outra, as isometrias foram citadas em todas as

séries. Para analisar as atividades dessa coleção, um sistema de classificação

foi desenvolvido que se baseou em quatro níveis de complexidades do Campo

Conceitual da Simetria, de acordo com Vergnaud (1997). Esta análise permitiu

descrever uma progressão gradativa da apropriação de conceitos relacionados

à simetria. Nos livros do Ensino Médio, foi difícil localizar atividades que

trataram o Campo Conceitual da Simetria de forma sistemática. Na segunda

parte, foi elaborado e desenvolvido um conjunto de situações de ensino para

alunos do Ensino Médio (noturno). Os resultados indicaram que, embora os

alunos não tivessem estudado o conceito de simetria antes, eles se

apropriaram com sucesso da idéia de simetria como propriedade de uma figura

e, também, vivenciaram a simetria axial como uma relação entre duas figuras

distintas. Além disso, o desenvolvimento dos alunos diante das situações

indicou que eles poderiam ter trabalhado também com simetria, como objeto

em um nível de complexidade mais elevado do Campo Conceitual da Simetria.

Palavras-Chave: Campo Conceitual, Simetria, Documentos Curriculares, Situações-

Problema e Ensino Médio.

XV

ABSTRACT

The aim of this research was to investigate the insertion of isometries in the

mathematics curriculum, both from an official perspective and in terms of questions

related to practice. To this end, it was divided into two parts. The first part considered

the characteristics of isometries emphasised in official teaching instruments, such as

the National Curriculum Parameters (PCN) and mathematics textbooks. In the PCN, a

rupture was identified between the levels of Middle School and High School. In the

Middle School parametesr, isometric transformations figure highly, while at the High

School level they are not explicity included at all. In relation to the Middle School

textbooks analised, isometries were not incorporated in a uniform manner: one

collection did not consider the topic, while in the other they were comprehensively

covered for all Middle School grades. To analise the activities presented in this second

collection, a classification system based on four level of complexity of the conceptual

field of Symmetry (Vergnaud, 1997) was developed. This enabled the description of a

gradual progression in the appropriation of concepts associated with symmetry. In the

High School textbooks, no continuation of this progression was found, as it was difficult

to locate activities belonging to the conceptual field of symmetry in either of the

collections analised. In the second part of the study, a set of situations was designed

for High School students. The results indicated that although the students, all of whom

studied at night, had never studied symmetry before, they appropriated with success

the idea of axial symmetry as a property of a figure and experienced symmetry as a

relationship between two distinct figures. There were also signs that they could have

considered symmetry as an object with its own properties.

Keywords: Conceptual Field, Symmetry, Curriculum Documents and High School.

1

CAPÍTULO 1

APRESENTAÇÃO

Os professores são os principais agentes para promover

qualquer mudança educativa; que é ele, em última instância,

que dá vida ao currículo. (Ruy Pietropaolo, 1999).

1. Da trajetória ao tema de investigação

Esta pesquisa não emergiu como uma exigência apenas: é decorrente

de muitas inquietações com as quais me deparei como estudante e professora

na rede oficial de Ensino do Estado de São Paulo.

Depois de seis anos exercendo a profissão de professora de

matemática, nos diversos níveis de ensino (Fundamental e Médio), alguns

questionamentos começaram a se tornar freqüentes em minha prática docente.

Durante conversas e reuniões de planejamento com professores de

matemática nas escolas onde lecionei e leciono, sempre observei uma certa

resistência em trabalhar com a Geometria, por se tratar de um conteúdo muito

difícil do ponto de vista dos professores e constatei que em sua maioria

dedicavam-se ao ensino da Álgebra e da Aritmética.

2

Nos momentos de trabalho com a geometria, observei que a tendência

era fazer uma abordagem tradicional, como um conjunto de definições,

propriedades, nomes e fórmulas, desligado de quaisquer aplicações ou

explicações de natureza histórica ou lógica. Observo que eu também como

professora tinha as mesmas dificuldades reveladas por meus colegas quanto

ao ensino da geometria.

Desse modo, ao aprofundar minhas reflexões a respeito da ausência do

ensino da Geometria que ocorreu também durante minha trajetória escolar e

acadêmica (graduação), nas décadas de 1980 e 1990, insisti em melhorar

meus conhecimentos geométricos, indo em busca de cursos de extensão e

oficinas que tratassem dos diversos tópicos da Geometria.

Assim, como havia optado pelo magistério, especificamente, o ensino de

Matemática, decidi aperfeiçoar os conhecimentos e fazer o Mestrado

Profissional em Ensino de Matemática recém-criado pela PUC/SP no 2o

semestre de 2002, que de acordo com as normas da CAPES:

O Mestrado Profissional em Ensino de Matemática tem caráter

de preparação profissional na área docente, focalizando o

ensino, a aprendizagem, o currículo, a escola e o sistema

escolar. Deve também contribuir efetivamente para a evolução

do sistema de ensino, seja pela ação direta em sala de aula,

seja pela ação em espaços educativos em que a atuação do

professor é fundamental: escola, comunidade, associações

científicas, etc.

3

No segundo semestre do curso, envolvi-me no desenvolvimento de um

trabalho sobre as transformações geométricas, enfocando as isometrias no

plano, sendo minha primeira experiência com este tópico que não fez parte da

minha formação escolar e acadêmica.

A partir desse momento, comecei a sentir um grande interesse também

sobre o tema: seus aspectos matemáticos e didáticos. Descobri de fato que as

transformações geométricas tinham uma presença nas propostas curriculares

desde a década de 60/70, por influência do Movimento da Matemática

Moderna1, mas esse estudo foi negligenciado por falta de conhecimento dos

professores.

Nos documentos oficiais no Estado de São Paulo, as transformações

geométricas estão presentes no Guia Curricular de Matemática, elaborado e

divulgado pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo na década de

1970, onde podemos observar, pelos conteúdos propostos e os objetivos

específicos contidos no Guia (1975), as sugestões do estudo das

transformações isométricas são tratadas, como aplicações pontuais do plano

nele mesmo, usando uma abordagem essencialmente algébrica.

Atualmente, por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN

surgem novas recomendações sobre o ensino de transformações isométricas

que irei detalhar mais adiante.

1 Segundo Fiorentini (1995), o Movimento da Matemática Moderna aparece no Brasil no início da décadade 60, tenta unificar os três campos fundamentais da Matemática – Geometria, Álgebra e Aritmética – pormeio das estruturas Algébricas e das Relações e Funções; dando ênfase aos aspectos estruturais e lógicosda Matemática. Esta tentativa é feita pela introdução de elementos unificadores como a Teoria dosConjuntos e as Estruturas Algébricas. Destaca o papel da geometria para ilustrar o caráter dedutivo eaxiomático da matemática, desvalorizando os aspectos ligados a observação, experimentação econstrução.

4

Dentre as várias possibilidades de estudo que a temática da geometria nos

dá, percebi que seria possível desenvolver uma pesquisa com dois objetivos

inter-relacionados:

! Investigar como as transformações isométricas estão

incorporadas nos documentos curriculares atuais.

! Elaborar um conjunto de situações para alunos do Ensino Médio,

abordando uma transformação isométrica, simetria axial,

investigar o desenvolvimento dos alunos diante dessas situações

de aprendizagem.

Para atingir esses objetivos da pesquisa, desenvolvemos o trabalho da

seguinte maneira:

No Capítulo 2, apresentamos uma breve análise do objeto matemático,

considerando, tanto aspectos matemáticos como cognitivos. Em particular,

destacamos os tipos de transformações isométricas no plano, concentrando-se

na simetria axial e na noção de figura simétrica. Neste capítulo, também

consideramos isometrias como parte do Campo Conceitual da Simetria,

5

apresentando, assim, o quadro teórico que norteou nossas investigações em

relação aos aspectos cognitivos.

No Capítulo 3, o enfoque está no primeiro objetivo da pesquisa. Surgiu a

idéia de fazer uma análise de documentos curriculares, como: Parâmetros

Curriculares Nacionais – (PCN) - Ensino Fundamental e Ensino Médio,

Programa Nacional do Livro Didático – (PNLD/2005) - Ensino Fundamental e

Ensino Médio, com intuito de analisar como as transformações isométricas são

tratadas nesses documentos.

No Capítulo 4, desenvolvemos o segundo objetivo da pesquisa, usando

como base as análises dos documentos curriculares e os aspectos da Teoria

dos Campos Conceituais de Vergnaud para elaborar um conjunto de situações

para alunos do 2o ano do Ensino Médio (período noturno), realizando uma

análise da forma como os alunos se desenvolveram e interagiram com essas

situações de aprendizagem.

No capítulo 5, nas considerações finais, busco uma síntese de nosso

estudo.

6

CAPÍTULO 2

ISOMETRIAS E SUA APRENDIZAGEM

Uma geometria não é mais verdadeira do que outra, pode ser

apenas mais conveniente. (Henry Poincaré)

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, faremos uma breve análise do objeto matemático, no

qual consideramos os aspectos matemáticos e cognitivos.

Apresentamos os tipos de transformações isométricas no plano,

concentrando-se na simetria axial, a noção de figura simétrica e, a seguir,

discutimos o quadro teórico que norteará as investigações.

2.2 ISOMETRIAS NA PERSPECTIVA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

As transformações isométricas compõem um tema da geometria que

pode enriquecer o processo de ensino-aprendizagem, contribuindo de forma

valiosa para a construção e desenvolvimento do pensamento geométrico e em

7

outras áreas do conhecimento, tanto pelo seu aspecto visual, artístico, intuitivo

como pela característica “dinâmica” que possui.

Os PCN destacam que:

À primeira vista, as transformações podem parecer um assunto

que não tem relação com o dia-dia, mas refletindo e

observando nota-se, por exemplo, que as simetrias estão muito

presente no cotidiano. Em inúmeros objetos físicos ocorrem

aproximações de planos de simetria de reflexão. (Parâmetros

Curriculares Nacionais – Matemática de 5a a 8a série, 1998,

p.124).

Assim, entre as várias razões que justificam a inclusão das isometrias no

ensino, uma delas é a relação entre conhecimento geométrico e vida cotidiana

(desenvolvimento das habilidades de percepção espacial), pois, assim a

geometria desempenha um papel que gera possibilidades do aluno

compreender, descrever, representar e fazer uma leitura de forma organizada

do mundo em que vive.

2.3 NOÇÕES DA TEORIA DA SIMETRIA AXIAL

No que segue, faremos uma apresentação da teoria das transformações

isométricas, vista na perspectiva da geometria. Iremos falar brevemente das

8

transformações isométricas, para depois apresentar a definição da simetria

axial que este trabalho irá focalizar.

As isometrias são transformações geométricas no plano ou no espaço

euclidiano que não distorcem as formas e tamanho; por isso são conhecidas

também como: movimentos rígidos, ou seja, muda unicamente a posição de

uma figura.

(ISO = mesma; METRIA= medida)

Uma isometria é uma transformação, na qual as seguintes propriedades

são preservadas:

• A distância entre os pontos;

• A colinearidade de pontos;

• A ordem dos pontos numa reta;

• A medida dos ângulos;

• O paralelismo entre retas.

No plano euclidiano, existem quatro tipos de transformações isométricas:

reflexão em relação a uma reta (simetria axial), translações, rotações em torno

de um ponto e reflexões com deslizamento em relação a uma reta.

9

No espaço, há seis tipos de isometrias: reflexão, translação, rotação,

parafuso, reflexão deslizante e reflexão rotativa.

No plano, a reflexão em relação a uma reta (simetria axial) representa

uma transformação, particularmente, importante, pois cada isometria no plano

é uma composição de, no máximo, três reflexões.

A reflexão na reta ou simetria axial é a transformação isométrica que fixa

todos os pontos de uma reta dada r e associa a cada ponto P do plano, não

pertencente a r, o ponto P’, de modo que r é a reta mediatriz do segmento PP’.

A reta r chama-se eixo de simetria, e os pontos P e P’ são chamados de

simétricos em relação a r.

Figura 2.1 – Simetria Axial

A simetria axial conserva as distâncias e os ângulos; portanto, dizemos

que é uma isometria.

10

Figura 2.2 – Simétrico do Triângulo

2.4 FIGURA SIMÉTRICA

A simetria é descrita como uma correspondência em grandeza, forma e

posição relativa, de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano

médio, ou que estejam em volta de um centro de simetria ou eixo. Quando uma

figura é simétrica de si mesma em relação ao eixo r, dizemos que a reta r é

eixo de simetria da figura. Ao adotar como referência Alves e Galvão, 1996,

temos:

A reta que contém a bissetriz do ângulo correspondente ao vértice de

um triângulo isósceles é um eixo de simetria do triângulo.

Figura 2.3 – Eixo de Simetria do Triângulo Isósceles

11

As retas que contêm as diagonais de um quadrado, ou seja, as que

passam pelo seu ponto de intersecção e são paralelas a seus lados são eixos

de simetria do quadrado.

Figura 2.4 – Eixo de Simetria do Quadrado

As retas que passam pelo ponto de intersecção das diagonais de um

retângulo e são paralelas a seus lados são eixos de simetria do retângulo.

Figura 2.5 – Eixo de Simetria do Retângulo

12

No paralelogramo, que não seja losango nem retângulo, há um centro de

simetria e nenhum eixo de simetria.

Figura 2.6 – Centro de Simetria do Losango

2.5 A Teoria dos Campos Conceituais

Na seção anterior, apresentamos os objetos matemáticos de nosso

estudo, em relação ao ensino e aprendizagem, é importante também

considerar estes objetos sob o ponto de vista cognitivo.

Vergnaud (1997) sugere que a simetria representa o que chama de um

do Campo Conceitual. Ele define Campo Conceitual como sendo, em primeiro

lugar, um conjunto de situações cujo domínio requer, por sua vez, o domínio de

vários conceitos de natureza distinta (Vergnaud, 1993,1996).

A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria psicológica de conceitos

(Vergnaud, 1990, p.147), uma teoria pragmática, ou seja, que faz apelo à

noção de situação e das ações dos sujeitos nestas situações; “o saber se

forma a partir de problemas para resolver, quer dizer de situações para

dominar”.

13

Vergnaud (1985, 1990, citado por Franchi, p.174, 1999) caracteriza

campos conceituais, como conjuntos de situações com distintos invariantes que

estão envolvidos em diversas situações. O autor argumenta que uma situação

não pode ser analisada pela via de um único conceito, pois sua resolução

mobiliza vários esquemas.

Vergnaud considera um conceito como um conjunto constituído de três

subconjuntos:

C =(S, I, R)

S: é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito (o referente);

I: é um conjunto de invariantes operatórios, conceitos-em-ação e teoremas-

em-ação que intervém nos esquemas de tratamento dessas situações (o

significado);

R: é um conjunto de representações lingüísticas e simbólicas que permite a

representação do conceito e de suas propriedades, nas situações às quais ele

se aplica e nos procedimentos que dele se nutrem (o significante).

Dessa definição, decorrem os principais argumentos que levaram

Vergnaud a considerar o conceito de campo conceitual:

1) Um conceito não se forma com uma única situação;

2) uma situação não se analisa com um único conceito;

3) a construção e a apropriação de todas as propriedades de um certo

conceito é um processo que leva um longo período de tempo.

14

Muitas vezes uma situação pode ter ou não sentido para o aprendiz. Por

sentido, Vergnaud entende que há uma relação do sujeito com as situações e

com os significantes, ou seja, muitos esquemas são evocados sucessivamente

e mesmo simultaneamente a uma situação nova para o sujeito.

Vergnaud (1993, p.2) define esquema como “a forma estrutural da

atividade”, a organização invariante da atividade do sujeito sobre uma classe

de situações dadas.

Conforme cita é nos esquemas que podemos identificar os

conhecimentos em ação do sujeito, ou seja, os elementos cognitivos que fazem

com que a ação do sujeito seja operatória.

Os principais ingredientes de um esquema são:

• Metas e expectativas - um esquema dirige-se sempre a uma classe de

situações, nas quais o sujeito pode descobrir uma possível finalidade de

sua atividade;

• Regras para gerar ações – busca informações e envolve a busca de

formas de controle que permitem que o sujeito aja;

• Invariantes operatórios (Teorema-em-Ação e Conceitos-em-Ação) são

os conhecimentos incorporados aos esquemas que permitem obter a

informação pertinente e com base nela inferir a meta a alcançar e as

regras de ação adequada;

• Possibilidade de conclusões (raciocínios) “hic et nunc”, (“aqui e agora”)

– as regras e as antecipações baseadas nas informações e invariantes

operatórios, essas expressões designam os principais conhecimentos

15

contidos nos esquemas, pois produzem ações, incluindo operações

intelectuais.

Destes ingredientes, os invariantes operatórios constituem a base

conceitual dos esquemas. Eles fazem a articulação entre teoria e prática,

percepção e busca de informações pertinentes que dão sentido às situações e

baseiam-se inteiramente no Conceito em Ação disponível para o sujeito

(objetos, atributos, relações e condições) e nos Teoremas em Ação subjacente

a conduta.

Os termos Conceito em Ação e Teorema em Ação designam os

conhecimentos contidos nos esquemas. Um Teorema em Ação é uma

proposição considerada como verdadeira sobre o real; ao passo que Conceito

em Ação refere-se a uma categoria do pensamento considerada como

essencial e pertinente, para constituir a base conceitual para resolução do

problema em mão junto dos esquemas.

Segundo Franchi (1999), a teoria dos Campos Conceituais visa à

construção de princípios que permitem articular competências e concepções

constituídas em situação, e os problemas práticos e teóricos em que essas

competências e concepções se constituem.

A competência é traçada pela ação do aluno diante das situações (ou

seja, resolução do problema) e as concepções dos alunos podem ser

delineadas por expressões verbais ou outras representações simbólicas (tais

como, escrita e gestual-perceptual).

Vergnaud (1998, p.172) enfatiza que há perceptivo-gestuais, verbais e

sociais, entre outros, na matemática, como nos exemplos:

16

• Contando um conjunto de objetos;

• Desenhando a imagem simétrica de alguma figura plana feita de linhas

retas na malha quadriculada;

• Desenhando alguma imagem simétrica de uma figura plana com régua

e compasso;

• Desenhando um gráfico ou diagrama.

A representação exerce um papel fundamental na teoria dos campos

conceituais, tanto no nível conceitual como na comunicação, e os objetos

matemáticos podem ter “status” muito diferente de um ponto de vista conceitual

ou de um ponto de vista lingüístico.

Fundamentados dessa idéia, podemos enxergar a simetria como um

campo conceitual, no qual as isometrias representam um conceito importante

para a simetria.

2.6 SIMETRIA COMO CAMPO CONCEITUAL

Segundo Vergnaud (1997, p.9), o conceito de simetria pode ser

envolvido em diversas situações e estas formam um campo conceitual. Por

exemplo, o autor descreve quatro sentenças envolvendo a palavra simetria,

cada uma associada com distintas situações e significados para o conceito:

17

1. O castelo é simétrico;

Figura 2.7 – Simétrico do Castelo

(Esquema de Vergnaud)

2. Triângulo A’B’C’ é simétrico ao triângulo ABC, em relação à reta r.

Figura 2.8 – Simétrico do Triângulo ABC

(Esquema de Vergnaud)

3. Simetria conserva comprimentos e ângulos.

4. A simetria é uma isometria.

18

Podemos ver os diferentes níveis conceituais pelos seus aspectos

lingüísticos, ou seja, palavras e outros símbolos, sentenças e outras

expressões simbólicas, que são instrumentos cognitivos indispensáveis para

transformação de invariantes operatórios, implícitos, em conceitos e teoremas

científicos, explícitos.

No primeiro nível de complexidade caracterizado pela frase “O castelo é

simétrico” (sentença 1), o conceito simétrico é relacionado às propriedades

que a figura possui; “mesma forma”, “mesmo comprimento” e “mesma

distância“, ou seja, uma única figura que possui um eixo de simetria.

A sentença 2, “O triângulo A’B’C’ é simétrico ao triângulo ABC em relação à

reta r”, trata mais explicitamente a simetria como uma relação entre duas

figuras distintas, cujos pontos distam igualmente do eixo de simetria.

Na sentença 3, temos a volta para dar ênfase nas propriedades, mas

difere-se da sentença 1, pois, agora a simetria e não uma figura, que é

colocada como um objeto que possui suas próprias propriedades.

Na sentença 4, ocorre a substituição da simetria por “isometria”, ou seja, a

simetria tornou-se um membro de um grupo que preserva propriedades. Nas

quatro sentenças, então, temos simetria como propriedade, como relação,

como objeto e como membro de um grupo estruturado.

2.7 Considerações

Neste capítulo, apresentamos os objetos matemáticos investigados do

nosso estudo e o quadro teórico que pretendemos usar para considerar como

19

esses objetos, atualmente, estão, sendo incorporados nos documentos

curriculares de matemática.

No capítulo 3, analisamos de que forma a isometria está sendo inserida

nos documentos curriculares.

20

CAPÍTULO 3

ISOMETRIAS NOS DOCUMENTOS CURRICULARES

No seu trabalho, “Introdução ao estudo da geometria, baseado

no conceito de transformações geométricas, afirmava que o

conceito de transformação geométrica desempenhava um

vasto papel coordenador e simplificador no estudo da

geometria”. (Felix Klein)

3.1 INTRODUÇÃO

Na década de 90 do século XX, enfrentamos um desafio na educação

brasileira em razão das grandes transformações. Vivemos uma era marcada

pela competição e pela excelência, na qual os progressos científicos e as

novas tecnologias definem distintas exigências para a formação do cidadão.

Salientamos que a formação do aluno deve ter como alvo principal a aquisição

de conhecimentos básicos, a preparação científica e a capacidade de utilizar as

diferentes tecnologias relativas às áreas de atuação.

No que se refere ao Ensino Fundamental, a Lei de Diretrizes e Bases da

Educação 9.394/96, aponta a educação em valores como principal objetivo

desta etapa da educação básica, refere-se à formação geral do cidadão,

valorizando a aquisição de conhecimentos por meio do desenvolvimento da

capacidade de aprender.

21

As estratégias básicas desta etapa incluem o pleno domínio da leitura,

da escrita e do cálculo e de três competências relacionadas explicitamente com

a educação em valores: a compreensão do ambiente natural e social, do

sistema político, da tecnologia, das artes e dos valores em que se fundamenta

a sociedade (inciso II); o desenvolvimento da capacidade de aprendizagem,

tendo em vista a aquisição de conhecimentos e habilidades e a formação de

atitudes e valores (inciso III) e o fortalecimento dos vínculos de família, dos

laços de solidariedade humana e de tolerância recíproca em que se assenta a

vida social (inciso IV). A legislação prevê ainda o desenvolvimento da

capacidade de aprendizagem, tendo em vista a aquisição de conhecimentos e

habilidades e a formação de atitudes e valores bem como o fortalecimento dos

vínculos de família, dos laços de solidariedade humana e de tolerância

recíproca em que se assenta a vida social.

O artigo 35, no que se refere ao Ensino Médio, aponta, além do

desenvolvimento cognitivo que se caracteriza pela consolidação e

aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, a

possibilidade de prosseguimento de estudos e preparação básica do educando

para o trabalho e cidadania.

O artigo aponta explicitamente o aprimoramento do educando como

pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia

intelectual e do pensamento crítico; e mais, a compreensão dos fundamentos

científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a

prática no ensino de cada disciplina.

Uma grande desafio que nos propomos a refletir neste estudo é como

ensinar a Matemática de forma consistente com o principal objetivo descrito na

22

LDB 9.394/96. Em especial, nos referimos em relação à Geometria, visto que

pesquisas indicam ser este um campo que aparentemente é dada pouca

ênfase em relação a outros conteúdos.

Assim, torna-se, um desafio ensinar geometria no espírito da visão

educacional descrito em lei. Entretanto, isso parece possível quando se

incentiva a investigação do tema isometrias, o qual está presente na vida

cotidiana das pessoas, pois pode servir como um contexto pertinente ao

processo de ensino e aprendizagem da geometria. Com isso, há fortes indícios

de contribuir de forma valiosa para a construção do conhecimento geométrico

dos estudantes.

Embasados neste fato, sentimos necessidade de investigar mais

detalhadamente a respeito do que é sugerido sobre as transformações

isométricas nos documentos curriculares ligados ao ensino de matemática no

Ensino Fundamental e Médio.

Na primeira parte do capítulo, analisaremos a inclusão das

transformações isométricas nas propostas curriculares; na segunda,

discutiremos a presença ou não das transformações isométricas nos livros

didáticos.

3.2 TRANSFORMAÇÕES ISOMÉTRICAS NOS PCN

Nesta seção, consideramos o que é sugerido sobre a incorporação das

Transformações Isométricas nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

23

3.2.1 PARÂMETROS CURRICULARES DO ENSINO FUNDAMENTAL

(3O E 4O CICLOS)

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN–EF), os conteúdos

matemáticos estão divididos em quatro grandes blocos: Números e Operações,

Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação. Quanto à

organização curricular, propõem o “tratamento em espiral”, ou seja, os

assuntos são abordados mais de uma vez, de diferentes formas, ou

relacionados a novos conteúdos nos vários ciclos, acompanhando a

experiência do aluno, subvertendo a rígida exigência de pré-requisitos do

ensino tradicional.

O bloco Espaço e Forma, ao qual nos deteremos, justifica-se pelo fato

do aluno desenvolver um tipo especial de pensamento que permite a

compreensão, descrição e representação de forma organizada do mundo onde

vive.

Nessa direção, os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem que a

incorporação das transformações isométricas desses ciclos seja feita de forma

que os alunos passem a reorganizar e ampliar os conhecimentos sobre

espaço e forma, visando ao desenvolvimento das habilidades de percepção

espacial, favorecendo a construção de figuras congruentes apoiadas na

reflexão, translação, rotação de uma outra figura, nas quais os alunos

percebam que as medidas dos lados, dos ângulos, da figura dada e das

figuras transformadas sejam as mesmas.

24

De acordo com os PCN-EF:

Deve-se destacar também nesse trabalho a importância das

transformações geométricas (isometrias, homotetias), de modo

que permita o desenvolvimento de habilidades de percepção

espacial e como recurso para induzir de forma experimental a

descoberta, por exemplo, das condições para que duas figuras

sejam congruentes ou semelhantes. (Parâmetros Curriculares

Nacionais – Matemática de 5a a 8a série, 1998, p.86).

A ênfase ao bloco espaço e forma evidencia sua importância para a

inserção do aluno, como cidadão no mundo do trabalho, cultura, tecnologia que

lhe possibilitam um “novo olhar” sobre as figuras geométricas, auxiliando na

descoberta de propriedades e no desenvolvimento do pensamento geométrico.

Desta forma, os PCN-EF propõem que, durante os 3o e 4o ciclos, os

conceitos de transformações isométricas sejam consolidados, uma vez que já

vêm sendo trabalhados desde ciclos anteriores e outros deverão ser

completados e consolidados no Ensino Médio.

Os PCN-EF sugerem que a incorporação das transformações

isométricas seja feita de forma significativa, permitindo ao aluno ter um

desenvolvimento do pensamento geométrico, por meio da exploração de

situações de aprendizagem que levem a produzir e analisar as transformações

de figuras geométricas planas, identificando seus elementos variantes e

invariantes. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

25

Com relação às transformações geométricas, as atividades que

envolvem as transformações de uma figura no plano devem ser

privilegiadas nesses ciclos, porque permitem o

desenvolvimento de conceitos geométricos de uma forma

significativa, além de obter um caráter mais dinâmico para este

estudo.(Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática de 5a

a 8a série, 1998, p.124).

No terceiro ciclo (5a e 6a série) do Ensino Fundamental, os Parâmetros

Curriculares Nacionais estabelecem que o ensino de matemática deve visar ao

desenvolvimento do pensamento geométrico por meio da exploração de

situações de aprendizagem que levem o aluno a:

Resolver situações-problema que envolve figuras geométricas

planas, utilizando procedimentos de decomposição e

composição, transformação, ampliação e redução. (Parâmetros

Curriculares Nacionais – Matemática de 5a a 8a série, 1998,

p.65).

Quanto ao bloco Espaço e Forma, para este ciclo, é importante ressaltar

que os alunos consolidem alguns conceitos já aprendidos nos ciclos anteriores,

como analisar figuras por observações, manuseios e construções, aprendendo

a fazer conjecturas e identificar propriedades ao invés de se ocupar com

definições que sejam memorizadas e fórmulas decoradas.

26

No quarto ciclo (7a e 8a série) do Ensino Fundamental, a proposta dos

Parâmetros Curriculares não é muito diferente e estabelece praticamente os

mesmos objetivos, desenvolvimento do pensamento geométrico pela

exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

Produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de

figuras geométricas planas identificando seus elementos

variantes e invariantes, desenvolvendo o conceito de

congruência e semelhança. (Parâmetros Curriculares Nacionais

– Matemática de 5a a 8a série, 1998, p.82).

Os conteúdos que constituem o bloco Espaço e Forma visam a

estabelecer uma grande ligação entre matemática, situações do cotidiano e o

exercício de diversas profissões como a engenharia, a bioquímica, a

coreografia, a arquitetura, a mecânica, etc., que demandam do indivíduo a

capacidade de pensar geometricamente.

Enfim, podemos ressaltar, conforme os PCN-EF, que é importante dar

ênfase ao bloco Espaço e Forma e que as transformações isométricas

representam uma parte integrante da formação nesse nível. Conforme o PCN-

EF:

27

O estudo das transformações isométricas (transformações do

plano euclidiano que conservam comprimentos, ângulos e

ordem de pontos alinhados) é um excelente ponto de partida

para a construção das noções de congruência. As principais

isometrias são: reflexão numa reta (ou simetria axial),

translação, rotação, reflexão num ponto (ou simetria central),

identidade”.

Desse modo as transformações que conservam propriedades

métricas podem servir de apoio não apenas para o

desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas,

mas também para a compreensão das propriedades destas.

(Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática de 5a a 8a

série, 1998, p.124).

Pela leitura dos PCN’s - EF, inferimos que a abordagem sugerida seria a

utilização das isometrias como ferramenta no estudo das propriedades das

figuras geométricas planas e desenvolvimento do conceito de congruência.

3.2.2 PARÂMETROS CURRICULARES DO ENSINO MÉDIO - (PCNEM)

Quanto aos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM), no que

se refere a conteúdo da geometria no Ensino Médio são propostas quatro

unidades temáticas: Geometria plana, espacial, métrica e analítica.

28

Os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM) destacam a

importância do aluno ter capacidade para compreensão e construção de

modelos para resolução de problema de matemática e outras disciplinas,

usando a geometria como ferramenta para representar e visualizar partes do

mundo real. Além disso, apontam a necessidade de desenvolver habilidades

de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de

soluções para certos problemas.

Segundo os PCNEM, a Matemática no Ensino Médio tem um valor

formativo que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, mas

também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve

para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as

atividades humanas.

As concepções da matemática no Ensino Médio juntam-se à idéia de

que no Ensino Fundamental os alunos devem ter se aproximado de vários

campos do conhecimento matemático. Agora estão em condições de utilizá-los,

ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades tão importantes

como as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de

problemas de qualquer tipo, investigação, análise, compreensão de fatos

matemáticos e interpretação da própria realidade.

Quanto às habilidades e competências discutidas nos Parâmetros

Curriculares do Ensino Médio relacionados a um conteúdo específico, como:

por exemplo as transformações isométricas, não há tratamento de forma

explícita, como é feito nos PCN-EF.

No Ensino Médio, o professor deve apresentar ao aluno o conhecimento

de novas informações e instrumentos necessários, para que seja possível

29

continuar aprendendo, ou seja, haja um aprofundamento dessas idéias no

sentido de que o aprendiz possa desenvolver amplamente seus conhecimentos

de transformações isométricas para fatos que lhe são familiares.

Algumas das finalidades da matemática do ensino médio indicam como

objetivo levar o aluno a:

• “aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os

na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades

cotidianas;

• desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de

comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;

• expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar

a precisão da linguagem e as demonstrações em matemática;

• reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando

procedimentos associados às diferentes representações”.

(Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática: Ensino Médio, 1999, p.254).

Há uma diferença entre os Parâmetros Curriculares Nacionais do

Ensino Fundamental e Médio. Enquanto que nos PCN-EF há uma orientação

didática, no Ensino Médio a proposta é ampla e aberta, cabendo ao professor

verificar a forma de aprendizagem na área de ciência, matemática e suas

tecnologias.

Ressaltamos que aprender matemática no Ensino Médio deve ser mais

do que memorizar resultados dessa ciência. A aquisição do conhecimento deve

estar vinculada ao domínio de um saber fazer matemática e de um saber

pensar matemático, cabendo ao professor desvencilhar-se das práticas

30

respaldadas pelos livros didáticos com característica de “currículo linear2” que,

na maioria das vezes, utiliza como recurso para elaborar suas aulas.

Diante desta consideração, o que nos perguntamos é: Será que os livros

didáticos abordam as transformações isométricas de forma significativa? Para

responder a esta questão, na próxima seção analisaremos alguns livros

didáticos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio que foram avaliados pelo

PNLD/2005 e pelo PNLEM/2005, com isso investigaremos se esses livros

abordam esse tema e qual importância é dada às isometrias.

3.3 ISOMETRIAS NOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO FUNDAMENTAL

(3O E 4O CICLOS) E ENSINO MÉDIO

Nesta seção, procuramos realizar uma análise dos livros didáticos com o

intuito de constatar a incorporação das transformações isométricas nesses

meios didáticos, além disso, averiguar se o tratamento do tema é feito

isoladamente e visto uma única vez.

Quanto à abordagem dos livros didáticos, os PCN-EF de 1998

mencionam:

2 Currículo Linear é a organização curricular tradicional, guiada por pré-requisitos internos quedificultam uma abordagem interdisciplinar, além disso, um dado tema é visto uma única vez,extensivamente.

31

O que também se observa em termos escolares é que muitas

vezes os conteúdos matemáticos são tratados isoladamente e

são apresentados e exauridos num único momento. Quando

acontece de serem retomados (geralmente num mesmo nível

de aprofundamento, apoiando-se nos mesmos recursos), é

apenas com a perspectiva de utilizá-los como ferramentas para

a aprendizagem de novas noções. De modo geral, parece não

se levar em conta que, para o aluno consolidar e ampliar um

conceito, é fundamental que ele veja em novas extensões,

representações ou conexões com outros conceitos.

(Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática de 5a a 8a

série, 1998, p.22 e 23).

O Ministério da Educação (MEC) por meio do Programa Nacional do

Livro Didático - PNLD vem avaliando a qualidade dos livros didáticos brasileiros

de (5a a 8a séries), e esta é sua terceira avaliação. Ao final de cada processo

de avaliação pedagógica sistemática das obras inscritas no PNLD, é elaborado

o guia de livros didáticos3.

É importante que o professor leia atentamente o PNLD/2005, pois as

obras não são mais acompanhadas de menções (RD-Recomendada com

distinção; R- Recomendada e RR- Recomendada com ressalvas).

Atualmente elas são relacionadas em ordem alfabética, sem o recurso da

linguagem iconográfica que acabava sendo, na maioria das vezes, um

indicador para a escolha do professor. Muitos se baseavam apenas pela

indicação desses requisitos, sem uma leitura e análise das considerações dos

guias ou mesmo das resenhas dos livros.

3 No Guia dos Livros Didáticos, são apresentados os critérios que nortearam a avaliação dos livros, bemcomo as resenhas das obras aprovadas.

32

O Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio está sendo

implantado em 2005, portanto, até a presente data ainda não dispomos de

análise final das coleções dos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio.

Para a seleção dos livros didáticos que seriam analisados neste estudo,

procuramos o PNLD/2005 (5a a 8aséries) – Ensino Fundamental e o

PNLEM/2005 para o Ensino Médio e nos restringimos ao tema transformações

isométricas presentes nas coleções selecionadas.

Neste estudo, a metodologia usada baseou-se em uma pré-análise

comparativa dos conteúdos abordados nas coleções pesquisadas, foi a fase de

organização propriamente dita com o objetivo de sistematizar os procedimentos

metodológicos.

O trabalho passou pelas seguintes fases:

1. A leitura do PNLD/2005 - (3o e 4o ciclos) e PNLEM/2005 – (Ensino

Médio);

2. A escolha das coleções a serem submetidas à análise;

3. Investigar de que maneira o tema transformações isométricas é

abordado nas coleções;

4. Constatações que fundamentaram as considerações e conclusões.

33

Para análise dos livros didáticos, escolhemos duas coleções das 23

obras indicadas pelo PNLD/2005 que abrangem o Ensino Fundamental (3o

e 4o ciclos) pelo fato das duas coleções apresentarem características

distintas na abordagem dos conteúdos. Assim, na primeira coleção, os

conteúdos são estruturados em “espiral”4, e na segunda , apresentam uma

estrutura “compartimentalizada”5.

As siglas mencionadas abaixo referem-se às coleções dos livros

didáticos de (5aa 8a séries), dos seguintes autores:

• CEF1 – Coleção “EDUCAÇÃO MATEMÁTICA“ dos autores Célia

Carolino Pires, Edda Curi e Ruy Pietropaolo.(5a a 8a série). 1aedição.

Editora Atual. São Paulo, 2002.

• CEF2 - Coleção A CONQUISTA DA MATEMÁTICA – A + NOVA, dos

autores José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci e José Ruy Giovanni

Junior, (5a a 8a série). 1aedição. Editora FTD. São Paulo, 2000.

Para o Ensino Médio, escolhemos duas coleções das 11 obras indicadas

pelo PNLEM/2005 que abrangem o Ensino Médio e por apresentarem

características distintas na abordagem dos conteúdos. Assim, a CEM1 é

guiada por pré-requisitos internos, centra-se na definição, nos exemplos e nos

modelos de exercícios, desconsiderando situações de interdisciplinaridade e de

contextos diversos.

4 “Espiral” os assuntos são abordados mais de uma vez, de diferentes formas ou relacionadas a novosconteúdos, nos vários ciclos, acompanhando a experiência do aluno. O tratamento em espiral tambémsubverte a rígida exigência de pré-requisitos do ensino tradicional.5 “Compartimentalizada” os assuntos são esgotados em uma só abordagem.

34

Quanto à Coleção CEM2, já possui situações de interdisciplinaridade e

de contextos diversos, mas, ainda, com características de estrutura

compartimentalizada.

As siglas mencionadas abaixo referem-se às coleções dos livros

didáticos do (Ensino Médio), dos seguintes autores:

• CEM1 – Coleção “Matemática Aula Por Aula”, dos autores Benigno

Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva, (Ensino Médio). 1a edição.

Editora FTD. São Paulo, 2003.

• CEM 2 – Coleção “Matemática Ensino Médio”, das autoras Kátia

Stocco Smole e Maria Ignez Diniz, (Ensino Médio). 4a edição

reformulada/2004 e 3a tiragem/2005. Editora Saraiva. São Paulo, 2005.

3.3.1 ANÁLISE DAS COLEÇÕES DO ENSINO FUNDAMENTAL

(3o e 4o Ciclos)

Na análise da Coleção CEF1, percebemos que seus autores dedicaram-

se a trabalhar os conteúdos de forma espiral, assim, às transformações

isométricas são ilustradas e contextualizadas com a pretensão de facilitar a

aprendizagem do aluno.

35

No caso da Coleção CEF2, constatamos que não apresenta o conteúdo

transformações isométricas como tópico de estudo e esse tema não está

associado a outros conteúdos matemáticos.

Podemos inferir que a coleção não está de acordo com as orientações

dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (3o e 4o ciclos),

pois, nem todos os livros didáticos apropriaram-se do tema, indicando que nem

todos os alunos do Ensino Fundamental trabalharão com o tema em suas aulas

de matemática.

Para melhor situar o leitor quanto à análise das coleções, faremos uma

descrição dos tipos transformações isométricas e situações-problema e, em

qual contexto é trabalhada a isometria na coleção CEF1, já que a outra

coleção não aborda o tema. Além disso, investigaremos se está de acordo com

a proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (3o

e 4ociclos), no que diz respeito ao Bloco Espaço e Forma, como vimos nas

orientações didáticas dos PCN - EF.

3.3.1.1 TIPOS DE SITUAÇÕES-PROBLEMA ENVOLVENDO AS

ISOMETRIAS

Nesta seção, faremos uma investigação à luz da Teoria dos Campos

Conceituais sobre os tipos de situações-problema e transformações

isométricas contidas na coleção CEF1 a qual se compõe de módulos, sendo

que cada volume apresenta uma introdução, seguida das seções: Resolvendo

36

problema; É preciso saber; É preciso saber fazer; Para saber mais e Mostre

que você sabe.

No capítulo anterior, descrevemos que o conceito de simetria pode ser

envolvido em um conjunto de situações, cujo domínio requer uma variedade

de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em estreita conexão,

isso nos leva a considerar a simetria como campo conceitual.

Ao recorrer a esta proposição teórica, consideramos que a apropriação

de um determinado conceito matemático envolve, na realidade, o trabalho com

vários conceitos em distintos contextos com suas múltiplas representações.

Para situar nossa discussão, exemplificaremos que este é o caso do

trabalho envolvendo as transformações isométricas. Tentamos classificar as

atividades da coleção CEF1 nesta perspectiva, ou seja, quanto ao tipo de

situações, procedimentos e invariantes matemáticos que cada uma delas

desenvolve, podendo também ter uma visão geral da forma como o assunto

está incorporado em toda coleção CEF1.

Identificamos quatro grupos de situações-problema, com distintos

invariantes (objetos, propriedades e relações) que devem ser utilizados pelos

alunos para analisar e dominar a situação dada.

Reconhecemos que as situações-problema envolvem diferentes

representações lingüísticas e simbólicas para a representação e

contextualização do conceito e de suas propriedades.

Por meio desta classificação, descrevemos primeiramente os quatro

grupos de situações-problema.

37

Grupo 1 – Figura Simétrica

Este grupo é formado por tarefas e exercícios, tratando de uma figura plana

simétrica que possui uma reta chamada eixo de reflexão ou eixo de simetria,

que se divide em duas figuras congruentes.

Três tipos de situações são incluídas no grupo:

a) Determinar os eixos de simetria

b) Completar a figura na malha quadriculada.

c) Completar a figura sem malha quadriculada.

Grupo 2 – Construção da Figura Imagem

O grupo 2 é formado por tarefas e exercícios que tratam a simetria como

relação entre duas figuras distintas.

Nesse grupo, existem dois tipos de situações:

a) Problema apresentado na malha quadriculada;

b) Problema apresentado sem a malha quadriculada.

Grupo 3 – Identificação dos invariantes

Neste grupo, são situações que envolvem a identificação explícita de

invariantes em uma isometria.

38

Grupo 4 - Identificação

São situações, nas quais o aluno precisa identificar o tipo de transformação;

(simetria axial, simetria central, translação e rotação).

Em termos de representações e contextualizações das situações-problema,

identificamos quatro categorias:

a) Arte

b) Natureza

c) Cotidiano

d) Contexto Matemático Escolar

Por meio desse levantamento, classificamos os tipos de situações e

isometrias presentes na coleção CEF 1.

Na análise da coleção, observamos que a introdução das

transformações isométricas é feita a partir da 5a série no Módulo 20 –

“Polígonos e Simetria”, por meio de um texto, que versa sobre a simetria em

diversos aspectos, como: na natureza, no cotidiano e na arte. A simetria é

caracterizada como palavra de origem grega que significa “Justa Proporção ou

Harmonia”, resultante de certas combinações e proporções regulares.

39

Figura 3.1 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Introdução p.211.

No volume da (5a série), observamos que a simetria é incorporada a situações

dos grupos 1, 2 e 3.

Do grupo 1, temos por exemplo:

• 1a – Figura Simétrica – determinar os eixos de simetria.

40

Figura 3.2 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218.

• 1b – Figura Simétrica – Completar a figura na malha quadriculada;

Figura 3.3 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Resolvendo problemas, p. 212.

41

Como exemplo do grupo 2, temos:

• 2a – Construção da Figura Imagem – Problema apresentado na malha

quadriculada;

Figura 3.4 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: é preciso saber fazer, p. 216.

Do grupo 3, temos:

• Identificação dos Invariantes

Figura 3.5 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Resolvendo problemas, p. 212.

42

Cabe ressaltar que a situação apresentada na Figura 3.5, também pode ser

caracterizada como 2a, ou seja, construção da figura imagem apresentada na

malha quadriculada.

No volume da 5a série, além das situações de contexto matemático escolar,

também, há um problema, no qual a simetria é abordada em um contexto

artístico. (Figura 3.6).

Figura 3.6 - Módulo 20 – “Polígonos e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 218.

Quadro 3.1– Levantamento do tipo de situação na 5a série da coleção CEF1.

série: 5a

Tipo de Situação no de Questões

1a 81b 42a 53 1

Total 18

43

De acordo com os dados do Quadro 3.1 é visível que as situações do

tipo 1a e 2a são as que predominam nesta série. Esses tipos de situações

podem ser classificados como os dois primeiros níveis de complexidade

sugeridos por Vergnaud, conforme foi discutido no capítulo anterior.

No volume da 6a série no módulo 20 – “Simetria”, a ênfase é dada à

simetria axial, ocorrendo a formalização do conceito de simetria axial.

Primeiro, as propriedades da figura são explicitadas:

Figura 3.7 – Propriedades da Simetria Axial

Finalmente, formaliza o conceito da seguinte forma:

Definição:

“O processo de obtenção de uma figura por reflexão em reta ou simetria axial é um

tipo de transformação que não modifica as medidas da figura original. Transformações

em que as medidas não se modificam, são chamadas de isométricas”. (p.223)

44

As situações sugeridas aos alunos de 6a série têm, por exemplo:

Do grupo 1:

• 1 a - Figura Simétrica – determinar os eixos de simetria;

Figura 3.8 - Módulo 20 – “Simetria” - Seção: Resolvendo problemas, p. 221.

• 1b – Figura Simétrica -Completar a figura na malha quadriculada;

Figura 3.9 - Módulo 20 – “Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p.229.

45


• 2a - Construção da figura imagem – Problema apresentado na malha

quadriculada.

Figura 3.10 - Módulo 20 – “Simetria” Seção: Mostre que você sabe, p. 227.

Do grupo 4, temos como exemplo:

• Identificação do tipo de transformação;

Figura 3.11 - Módulo 20 – “Simetria” – Seção: Resolvendo problemas , p. 221.

46

A questão requer que o aluno decida se os pares de figuras são ou não

relacionados por simetria axial que classificamos, como tipo 4.

Portanto, não corresponde exatamente ao quarto nível de complexidade

sugerida por Vergnaud, no qual a simetria é vista, como um membro da

isometria, já que as outras isometrias não foram apresentadas ainda.

Em termos de representações e contextualizações, o volume da 6a

apresenta uma situação da categoria cotidiano, por exemplo:

Figura 3.12 - Módulo 20 – “Simetria” Seção: Para saber mais, p. 226.

De acordo com os dados do Quadro 3.2, notamos novamente uma

ênfase na situação do tipo 1a – Figura Simétrica/determinação dos eixos de

simetria e do tipo 2a – Construção da Figura-Imagem, apresentada na malha

quadriculada.

Embora as situações sejam muito semelhantes às do volume da 5a

série, notamos que existe um fator que diferencia os capítulos, pois, apenas

na 6a série ocorre uma formalização do conceito de simetria axial.

47

Quadro 3.2 – Levantamento do tipo de situação na 6a série da coleção CEF1.

série: 6a

Tipo deSituação no de Questões

1a 131b 42a 164 2

Total 35

No volume da 7a série, as isometrias são trabalhadas nos seguintes

módulos: Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria”; Módulo 13 – “Transformações

Geométricas” e no Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras”.

Além da simetria axial, constatamos que são incorporadas também simetria

central, rotação e translação e as situações diversificam-se.


• 1 a - Figura Simétrica – determinar os eixos de simetria;

Figura 3.13 - Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria” – Seção: Mostre que você sabe, p. 114.

48

• 1c - Complete a figura, sem a malha quadriculada.

Figura 3.14 - Modúlo 9 – “Arquitetura e Simetria” - Seção: Resolvendo Problemas, p. 104.


A próxima situação pode ser identificada como 2b – construção da figura

imagem apresentada sem a malha quadriculada e, também, 3a identificação

explícita de invariantes em uma isometria.

Figura 3.15 - Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria” -Seção: É preciso saber fazer, p. 110.

49

• 2a - Construção da figura imagem apresentada na malha quadriculada,

envolvendo a simetria central.

Figura 3.16 - Módulo 13–“Transformações Geométricas”-Seção:Mostre que você sabe, 163.


• Identificação do tipo de transformação, envolvendo a simetria axial e a

translação. Neste nível, os alunos já identificaram os invariantes e

precisam identificar também qual o tipo de transformação a figura

sofreu.

50

Figura 3.17 - Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria “ - Seção: Mostre que você sabe, p. 108.

Há também uma situação-problema que se refere em termos de

representações e contextualizações da categoria arte como, no exemplo

abaixo:

Figura 3.18 - Módulo 9 – “Arquitetura e Simetria”- Seção: Mostre que você sabe, p. 115.

51

As situações sugeridas no volume da 7a série enfatizam o desenvolvimento

do conceito de congruência de figuras planas, com base nas transformações

(reflexão em retas, translação, simetria central, rotações e suas composições),

de acordo com as orientações dos PCN’s (1998, p.124).

O módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” trata do estudo de congruência

de figuras planas e utiliza a isometria como ferramenta para o estudo das

propriedades das figuras congruentes, no qual pudemos identificar situações

do grupo 2, por exemplo:

• 2b - Construção da figura imagem – apresentada sem a malha

quadriculada. Nesta situação, aplica-se a simetria central para mostrar a

congruência dos triângulos, utilizando os casos de congruência de

triângulos.

Figura 3.19 - Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” – Seção: É preciso saber fazer, p. 213.

52

Figura 3.20 - Módulo 18 – “Sobreposição de Figuras” – É preciso saber fazer, p 211.

De acordo com os dados do Quadro 3.3, observamos que ocorre uma

grande variedade de situações, envolvendo diversas isometrias que são

introduzidas de maneira menos intuitivas do que nas séries anteriores (5a e 6a

séries), ou seja, os conceitos são mais explicitados e formalizados, já que

nessa fase todos os níveis de complexidade sugeridos por Vergnaud foram

apresentados em diversas situações.


série: 7a

Figura Simetria Axial Translação Simetria CentralTipo de Situação Simétrica no de Questões no de Questões no de Questões

1a 7 ..... ..... .....1b ..... 1 5 112a ..... 4 2 72b ..... 4 1 ......3 ..... 3 2 .....4 ..... 5 2 .....

Total 07 17 12 18

53

No volume da 8a série, as isometrias encontram-se no Módulo 5 –

“Rotação e Arte” - estão presentes em diversas situações, porém, a ênfase

maior é dada à rotação. Na introdução, há uma conceitualização de

isometria e descrição de suas propriedades de maneira explícita.

Figura 3.21- Módulo 5 – “Rotação e Arte” – Introdução - p.51.

54


• 2a - Construção da figura imagem apresentada na malha quadriculada;

Figura 3.22 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber fazer, p. 58.

• 2b - Construção da figura imagem apresentada sem a malha

quadriculada, envolvendo a simetria central e a rotação.

Figura 3.23 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – É preciso saber conceitos, p. 53.

55

Do grupo 3, temos, por exemplo:

• Identificação dos Invariantes

Na situação, os invariantes (propriedades) nesse tipo de isometria são

quanto ao sentido (horário ou anti-horário); quando a figura sofre a

transformação.



• Identificação do tipo de transformação;

56

Na situação, existem diversas isometrias envolvidas que, por meio da

característica de cada figura, o aluno deverá descobrir o tipo de transformação

que a figura sofreu.


Existe também uma situação que se refere em termos de

representações e contextualizações da categoria arte, envolvendo diversas

simetrias.

Figura 3. 26 - Módulo 5 – “Rotação e Arte” – Mostre que você sabe, p. 63.

57

De acordo com os dados do Quadro 3.4, é visível que as situações que

envolvem a simetria axial e a rotação aparecem com maior freqüência,

enquanto as translações, a simetria central e as do tipo 1 e 2 são menos

apontadas.

Notamos que existe uma diversidade de situações envolvidas nas

diversas transformações. No volume da 8a série, a coleção formaliza os

conceitos das transformações geométricas explicitamente, pois o campo

conceitual em estudo foi desenvolvido na coleção de modo progressivo, ou

seja, transformou conceitos que eram implícitos no início do ciclo em científicos

ao final do ciclo.


série: 8a

Simetria Axial Translação Simetria Central RotaçãoTipo de Situação no de Questões no de Questões no de Questões no de Questões

2a 1 ...... ...... 12b 4 ...... 1 113b ...... 1 ...... 044 7 5 6 9

Total 12 06 7 25

Pela análise, usando os níveis de complexidades de Vergnaud constatamos

que ocorre uma progressão gradativa de situações-problema sugeridas na

coleção CEF 1.

No volume das 5a e 6a séries, as situações concentram-se na simetria

como propriedade de uma figura, em uma relação entre duas figuras distintas.

58

Nos volume das 7a e 8a séries, ocorrem a formalização dos conceitos, e a

simetria é tratada como objeto inserido no grupo de isometrias definido com

base em suas propriedades.

3.3.2 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO

Ao analisar a coleção CEM1, constatamos que a transformação

isométrica não faz parte dos conteúdos apresentados nesta coleção do Ensino

Médio.

Não há abordagem das transformações isométricas nem estudos das

propriedades das figuras ou resolução de problemas, utilizando as isometrias

como ferramentas e também não há estudo como objeto matemático.

As idéias que se fundamentam da teoria das transformações

manifestam-se de modo esparso pelos assuntos que são estudados

tradicionalmente no ensino médio.

Só encontramos um indício dessa abordagem em alguns assuntos que

poderiam levar ao estudo das isometrias, deixando a critério do professor uma

possível discussão sobre a idéia de simetria que é usada sem uma

conceitualização precisa em diversos tópicos da matemática que pode ser pelo

fato dos autores das coleções imaginarem que o conceito de simetria, já foi

abordado de modo suficiente no Ensino Fundamental.

Além disso, observamos que as orientações didáticas não são

evidenciadas nos PCNEM nem mesmo a proposta de organização curricular

59

em espiral.Talvez, por causa disso, os livros didáticos de modo geral possuam

uma característica de “texto escolar”, ao qual o conteúdo e a metodologia, na

maioria das vezes, centram-se na definição, nos exemplos, desconsiderando a

abordagem interdisciplinar ou contextualizada.

Em particular, verificamos que na coleção CEM1 o trabalho com as

transformações isométricas está relacionado apenas a exercícios para análise

de gráfico de funções. Essa abordagem pode ser caracterizada como uma

situação-problema de primeiro nível de complexidade de Vergnaud, como

mostra a Figura 3.27.

Figura 3.27 – Vértice da Parábola - Coleção CEM1 - p. 117-118

No caso da coleção CEM2, não há referência explícita ao estudo das

isometrias, mas constatamos que a mesma está presente. Ela é abordada de

maneira superficial no volume 1 da coleção na unidade 3 – Relações entre

grandezas: Funções; na seção “FLASH MATEMÁTICO”, o qual têm como

objetivo estabelecer relações entre matemática, vida cotidiana e outras áreas

60

do conhecimento, ou, ampliar determinados aspectos de assuntos

desenvolvidos teoricamente, ficando a critério do professor abordar ou não

esse tópico.

No primeiro “FLASH MATEMÁTICO” da unidade 3, as autoras

introduzem a simetria contemplada na arte e definem uma figura plana

simétrica para fazer uma conexão da simetria com coordenadas do plano

cartesiano.

Figura 3.28 – Simetria e Coordenadas - Coleção CEM2 - p. 79

Figura 3.29 – Eixo de Simetria - Coleção CEM2 – p. 80

61

No segundo “FLASH MATEMÁTICO”, as autoras relacionam simetria e

funções. Neste caso, a transformação está sendo vista como uma função, ou

seja, uma bijeção do plano no plano, levando o aluno a interpretar a simetria

como transformação de pontos no plano.

Embora não explicitada nas descrições do Campo Conceitual de

Vergnaud, sugerimos que esta concepção representa uma especificação mais

precisa da simetria como membro da classe função, talvez, então, um quinto

nível de complexidade.

Figura 3.30 – Simetria e Funções - Coleção CEM2 – p. 100

62

Pudemos constatar que houve intenção das autoras inserir as

isometrias, mesmo que, superficialmente, propiciando diversas formas de

pensar e analisar o conteúdo, usando a isometria como uma ferramenta para o

desenvolvimento do pensar geométrico.

3.4 Considerações

Por meio da análise dos PCN-EF, constatamos que é sugerida a

inserção efetiva das transformações isométricas no currículo, para que o aluno

desenvolva gradativamente esses conceitos e aplicações das transformações

de forma significante, dinâmica, inovadora e vinculada a outros conteúdos que

enriquecem potencialmente a geometria.

Quanto à nossa análise dos Livros Didáticos - EF, identificamos que das

duas coleções analisadas só a coleção CEF1 aborda as isometrias,

enfatizando-as em todas as séries, de forma significativa.

Isto nos mostra que a coleção está adaptada às propostas dos PCN-EF,

no que diz respeito a desenvolver o conteúdo do bloco Espaço e Forma

(transformações isométricas); podendo servir de apoio para o

desenvolvimento do conceito de congruência de figuras planas e a

compreensão de suas propriedades, além de identificar medidas que

permanecem invariantes nessas transformações, ficando a cargo do professor

a responsabilidade de incluir a isometria em um contexto significativo.

63

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio conforme

observamos não explicitam a incorporação das isometrias, mas de acordo com

as concepções da matemática do Ensino Médio que se aliam ao Ensino

Fundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários campos do

conhecimento. Agora estão em condições de utilizá-los, ampliá-los e

desenvolvê-los de modo mais amplo.

É importante ressaltar que incluir este tema no currículo é um meio de

dar continuidade sem ocorrer ruptura do assunto, possibilitando ao aluno

desenvolver os conceitos e aplicações das isometrias de forma significante,

dinâmica, inovadora e, também, vinculada a outros conteúdos, enriquecendo a

aprendizagem e o desenvolvimento do pensar geométrico.

Em nossa análise das coleções do Ensino Médio, constatamos que a

coleção CEM1 não enfatiza as isometrias. A simetria é citada para análise de

gráfico sem o conceito formal. Já na CEM2 é feita uma abordagem superficial,

relacionando simetria e função, na qual a simetria é vista como uma bijeção do

plano no plano.

Estudos sobre essa temática constataram que o ensino das

transformações isométricas é paradoxal, pois existem bons materiais de apoio,

entretanto, muitos professores não conhecem o suficiente, para que possam

ensinar aos alunos por meio de situações-problema ou não.

Segundo Pietropaolo (1999, p.16), “os professores são os

principais agentes para promover qualquer mudança educativa;

que é ele em última instância, que dá vida ao currículo. Se ele

não compreender a proposta, se ele não a incorporar ou não

estiver convencido dela, a potencialidade da mudança será

limitada ou não ocorrerá”.

64

Consideramos que outras ações sejam necessárias, assim, destacamos

a urgência de uma revisão sistemática dos cursos de formação de professores

e a implantação de projetos de formação continuada e como contribuição

elaboramos um conjunto de situações direcionadas aos alunos do Ensino

Médio que será assunto do próximo capítulo.

65

CAPÍTULO 4

SIMETRIA AXIAL NO ENSINO MÉDIO: UMA ANÁLISE DE

SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM

Muitas de nossas concepções vêm das primeiras situações que

fomos capazes de dominar ou de nossa experiência tentando

modificá-las. (Vergnaud, 1996, p.117).

4.1 Introdução

Neste capítulo, apresentaremos uma análise de situações de

aprendizagem elaboradas e aplicadas com alunos do 2o ano do Ensino Médio,

tendo como referencial teórico a progressão gradativa dos diferentes níveis de

complexidade do Campo Conceitual da Simetria sugerido por Vergnaud.

Inicialmente, mostraremos algumas características relevantes dos

sujeitos de pesquisa e do ambiente de aplicação da investigação. Em seguida,

apresentamos as situações desenvolvidas, as descrições, os objetivos, as

estratégias utilizadas pelos alunos, bem como suas reflexões e conclusões

sobre a temática.

66

4.2 Perfil do Grupo

Participaram de nossa experiência 26 alunos do 2o ano do Ensino

Médio, período noturno, de uma escola da Rede Pública do Estado de São

Paulo, da região leste da cidade de São Paulo, onde leciono.

Os participantes do estudo tinham entre 16 e 20 anos de idade, sendo

que 80% dessa turma residiam a 30 Km da escola, ou seja, no extremo leste

da cidade.

Os alunos começaram a estudar na referida escola no Ensino Médio,

diziam que sua opção pela escola foi em razão de seu bom Projeto

Pedagógico, que avaliavam como satisfatório em comparação às escolas

próximas de suas residências que julgavam não serem boas. Além disso, a

escola é tida como uma “Escola de Passagem”, ou seja, se localiza entre o

trajeto do trabalho e suas casas. Isto facilita, ao aluno trabalhador chegar na

escola em tempo hábil para estudar.

Os alunos provinham de famílias modestas, em geral, pais assalariados,

pois precisavam optar estudar no período noturno, porque trabalhavam

durante o dia com carga horária de 10 a 12 horas, para ajudar no sustento da

família.

Em conversas informais e, mesmo na convivência com os alunos

durante o ano letivo de 2004, pôde-se constatar que eles estudaram pouca

geometria no Ensino Fundamental. Que a mesma era apresentada sempre no

final do ano e abordada, como um conjunto de definições, nomes e fórmulas.

67

Além disso, a relação que tinham com a matemática não era boa.

Relataram que, na maioria das vezes, as aulas eram cansativas, tradicionais,

expositivas e os assuntos eram estudados por meio de definições, exemplos e

modelos de exercícios.

O ambiente de aprendizagem não tinha mudança. Eram usados os

recursos materiais de sempre: lousa, lápis e caderno, com isso, muitas vezes,

não tinham muito estímulo para aprender.

4.3 Papel da Professora-Pesquisadora

Além do desenvolvimento das situações de aprendizagem, a Professora-

pesquisadora desempenhou a função de investigadora dos procedimentos dos

alunos frente à resolução das situações-problema, de modo que eles

pudessem desenvolver, de forma gradual o Campo Conceitual da Simetria, por

meio dos quatro níveis de complexidade sugeridos por Vergnaud.

Foram feitos registros das falas dos alunos que são instrumentos

cognitivos indispensáveis para transformação de invariantes operatórios

implícitos, em conceitos explícitos. A professora exerceu uma função essencial

nesse processo de aprendizagem, ou seja, considerou o aluno como um

sistema com mecanismos regulatórios capazes de assegurar seu progresso

cognitivo para desenvolver os diferentes níveis de complexidade do Campo

Conceitual em estudo.

68

4.4 Procedimento Experimental

Durante o mês de novembro de 2004, o trabalho foi desenvolvido em

sete sessões consecutivas, cada uma com a duração de 50 minutos, ou seja,

uma aula regular da escola.

Antes da aplicação da pesquisa, a professora-pesquisadora informou

aos alunos, os objetivos e o tema que seria abordado, além disso, que seriam

sujeitos de pesquisa de um trabalho que ela estava desenvolvendo sobre uma

proposta de inserir um determinado tema no currículo do Ensino Médio.

As situações foram elaboradas e apresentadas sob a forma de material

impresso que chamamos de Fichas numeradas de 1 a 6.

O ambiente de trabalho não foi em sala de aula, pois havia atividades

que deveriam ser desenvolvidas no computador. Durante todas as sessões,

utilizamos o laboratório de informática. Com a ajuda dos alunos montamos uma

“sala-laboratório” com nove computadores e mesas para as duplas6 de alunos,

para que resolvessem as situações quando não necessitavam do computador e

para fazer revezamento com os colegas, pois o número de computadores era

insuficiente a todos. As duplas foram identificadas por D1,...D13, para

preservar a imagem dos alunos pesquisados.

Em cada sessão, as duplas recebiam a ficha contendo a situação-

problema a ser resolvida durante a sessão com espaço para fazerem as

anotações e conclusões até o final de cada sessão, quando eram recolhidas

6 A formação inicial das duplas permaneceu idêntica até o final da pesquisa e quando um dos integrantesfaltava, trabalhava-se individualmente.

69

pela professora. Essas fichas serviriam como material de análise das

dificuldades ou estratégias de resoluções realizadas pelos alunos.

Algumas duplas não participaram de todas as sessões, pois faltavam às

aulas. Os motivos das ausências de alunos do curso noturno são variados: às

vezes, precisavam trabalhar além do horário normal. Destaca-se que

justificavam as ausências, uma prática que não faziam antes do

desenvolvimento deste estudo.

No início de cada sessão, a professora fazia uma breve introdução, dava

as instruções sobre a situação-problema a ser resolvida ou retomava a anterior

para observações e discussões.

A análise das situações-problema baseou-se em:

! Descrição da situação-problema;

! Objetivo da situação-problema;

! Estratégias e reflexões dos alunos para resolver a situação-

problema;

! Considerações.

70

4.5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

PRIMEIRA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Na primeira sessão, os alunos assistiram ao vídeo: ARTE Matemática.

Direção de Sérgio Zeigler. Simetrias: Os diferentes casos de simetria, da

música às equações algébricas. São Paulo: Brasil Videocultura TV Escola,

2001. Fita de vídeo (30’min.), VHS Son., color.

O filme abordava a simetria em termos de representação e

contextualização da categoria arte, natureza e cotidiano.

OBJETIVO

Seu objetivo era apresentar o tema fora do contexto matemático escolar,

provocando a curiosidade e, também, investigar se foi estudado em aspectos

diferentes da matemática.

71

REFLEXÕES DOS ALUNOS

Após a apresentação do filme, os alunos responderam ao questionário

individualmente (Figura 4.1),

Nas respostas, houve registros de 24 alunos que declararam ter ouvido

falar na simetria pela primeira vez. Dois alunos relacionaram o termo simetria

à reflexão do espelho ou ao corpo humano (Figura 4.2), ou seja, a linguagem

daqueles que tinham algum conhecimento não era ligada explicitamente ao

contexto matemático, que é característica do primeiro nível de complexidade,

isto é, a simetria é vista como propriedade de um determinado objeto.

Figura 4.1 – Questionário Sobre o Vídeo Simetrias.

72

Figura 4.2 – Declarações dos Alunos A e B.

CONSIDERAÇÕES

Pela atividade, constatamos que os alunos não tinham conhecimentos

do tema em estudo, assim, foi essencial identificar quais seriam os níveis de

complexidade que poderiam ser explorados com eles para desenvolver o

Campo Conceitual da Simetria e introduzir de forma gradativa.

SEGUNDA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Nesta sessão, a professora-pesquisadora escaneou o carômetro7 e

gravou as fotos dos alunos individualmente em disquetes, para que eles

manipulassem durante o desenvolvimento da atividade.

7 Carômetro: Catálogo de fotos dos alunos para identificação.

73

Na sessão, ocorreu o uso da tecnologia, do programa “Paint” para a

resolução da situação-problema que se compõe das seguintes fases:

• Na primeira fase, os alunos precisavam identificar o “eixo de simetria”

do rosto, pois na primeira situação algum aluno tinha suposto que o

corpo humano tinha uma certa simetria.

• Na segunda fase, com os recursos e ferramentas do programa “Paint”,

os alunos construíram um “novo rosto” que foi, realmente, simétrico e

pode ser comparado com o rosto original.

• Na terceira fase, solicitou-se aos alunos que definissem uma figura

simétrica.

Figura 4.3 – Situação-Problema da Foto

74

OBJETIVO

Tinha por objetivo desenvolver o primeiro nível de complexidade do

Campo Conceitual da Simetria, para que os alunos pudessem identificar as

propriedades da figura simétrica.

ESTRATÉGIAS DOS ALUNOS

A maioria dos alunos manipulou o programa adequadamente, os que

não sabiam, solicitavam ajuda do colega.

Quanto à resolução da situação-problema, não apresentaram

dificuldades, encontravam o “eixo de simetria” do rosto por meio da ferramenta

recortar e colar, sem a orientação e interferência da professora-pesquisadora e

traçavam uma linha para indicar o “eixo de simetria”, depois construíam o rosto

simétrico por meio da ferramenta que executava a função inverter

(horizontalmente/verticalmente), para formarem o rosto simétrico que ocorreu

nas seguintes fases, conforme o exemplo:

75

1a fase: Encontrar o “eixo de simetria” do rosto8.

Figura 4.4 – “Eixo de Simetria” do Rosto.

2a fase: O rosto simétrico que construíram com as faces direita e esquerda.

! Simétrico com a face esquerda:

Figura 4.5 – Rosto Simétrico formado pela face esquerda.

8 O rosto usado como exemplo é o da professora-pesquisadora, para preservar a imagem dos alunos.

76

! Simétrico com a face direita:

Figura 4.6 – Rosto Simétrico formado pela face direita.

REFLEXÕES DOS ALUNOS

Os alunos identificaram as propriedades da figura simétrica, com o uso de

uma linguagem informal para descrevê-la, como mostramos abaixo:

• “É quando a figura possui lados iguais”.

• “Uma figura simétrica é aquela que dividida ao meio, os dois lados são

idênticos”.

• “Imagens repetidas”.

• “Quando a figura se sobrepõe”.

• “Quando partimos ao meio (eixo de simetria) e as figuras são iguais”.

• “Quando a figura é cortada ao meio fica exatamente igual a outra parte”.

77

CONSIDERAÇÕES

Por meio dessa situação-problema, atingiu-se o objetivo que era o aluno

desenvolver o primeiro nível de complexidade do Campo Conceitual da

Simetria, ou seja, identificar as propriedades da figura simétrica.

Os alunos acharam a atividade interessante e motivadora por

desenvolverem o trabalho em um ambiente diferente do cotidiano escolar, ou

seja, marcado por uma maior aproximidade, interação e colaboração entre os

pares. Além disso, houve discussões sobre os resultados obtidos e as

descobertas das propriedades da figura simétrica, conforme o objetivo central

da atividade.

Enfim, a participação dos alunos nessa sessão foi satisfatória, pois a

postura foi totalmente contrária ao habitual em uma sala de aula tradicional.

Muitas vezes, cansados pelo trabalho, não agüentam realizar os

exercícios e ouvir as explicações dos professores, sentem-se sem estímulo

para aprender e ter reações positivas diante de determinados assuntos.

Durante a sessão, a situação provocou reações diante dos resultados,

gerando (risos, brincadeiras e apropriação da característica de figura

simétrica), comentários do tipo que nenhum aluno era perfeito, isto é, com a

formação do “novo rosto” ficavam diferentes do rosto real e só com base nessa

situação perceberam que, em geral, o rosto não é realmente simétrico, ou seja,

não possui a mesma forma.

78

Salientamos um comentário interessante de uma das duplas que se

referia à simetria no contexto cotidiano, sobre a investigação policial, isto é, a

simetria é um ótimo recurso para se fazer retrato falado (Figura 4.7).

Figura 4.7 – Reflexão da Dupla D8.

Essa dupla continuava pensando que o rosto é simétrico, ou, pelo

menos, “suficientemente” simétrico para identificação. Cabe ressaltar, pela

reflexão da Dupla D8, a diferença interessante que existe entre a simetria

contemplada no dia-dia e a simetria do contexto matemático.

TERCEIRA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Nesta sessão, os alunos disponibilizavam de um espelho e a Ficha 3,

com a situação-problema com uma malha quadriculada para executar a

atividade, como mostra a figura a seguir:

79

Figura 4.8 – Ficha 3 – Espelho.

OBJETIVO

O objetivo desta situação-problema era desenvolver e explicitar a

mesma estrutura da situação-problema anterior, porém, complementando com

diferentes representações matemáticas, contextos e recursos, mas, ainda no

primeiro nível de complexidade.

Na situação-problema anterior, a principal propriedade mencionada

pelos alunos da figura simétrica foi a mesma forma.

80

Parece que os alunos têm Teorema em Ação (proposição considerada

como verdadeira sobre o objeto), isto é, uma figura simétrica com duas partes

iguais. Embora esta proposição esteja correta nem todas a propriedades

associadas com o eixo da simetria foram explicitadas.

Nesta situação-problema, a malha quadriculada foi utilizada para

enfatizar as seguintes propriedades:

• Mesma Forma;

• Mesma Distância;

• Mesmo Comprimento.

ESTRÁTEGIAS DOS ALUNOS

Na atividade, todas as duplas participaram, e o tempo gasto para

resolver foi 35 minutos, e os outros 15 minutos foram usados para discutir

sobre a situação-problema.

Os alunos colocaram o espelho, visualizaram a figura de uma parábola,

e para descrever a imagem na malha quadriculada empregaram o mesmo

número de quadradinhos da figura dada para representar sua imagem obtida,

usando, pelo menos, nas suas ações as propriedades: mesma forma, mesma

distância e mesmo comprimento e também um eixo de simetria.

81

Figura 4.9 – Exemplos de Resoluções.

REFLEXÕES

A figura foi reconhecida por todos como uma parábola, nos 15 minutos

finais da sessão durante as discussões, constatamos que 50% das duplas

identificaram o eixo de simetria e as propriedades da figura (mesma forma,

82

mesma distância e mesmo comprimento), sempre relacionando a figura inicial

com a imagem obtida com o espelho.

CONSIDERAÇÕES

Pela situação, constatamos que com a mudança da situação do rosto

para a situação da malha quadriculada, as propriedades da figura simétrica

ficaram ainda mais explícitas aos alunos.

Além da propriedade mesma forma, os alunos tiveram a oportunidade de

descobrir outras como: a mesma distância e mesmo comprimento ao fazer a

construção na malha quadriculada. Nas discussões os alunos foram explicando

as observações feitas sobre a figura, além disso, relacionaram a figura com o

gráfico da função do 2o grau que haviam estudado em séries anteriores, porém

revelaram não saber o que era eixo de simetria.

Esta atividade foi mais complexa que a anterior, porém essencial para

que identificassem que a figura simétrica possui suas próprias características.

83

QUARTA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Nesta sessão, os alunos usaram a tecnologia como recurso para a

resolução da situação-problema, ou seja, o programa “Cabri-Géomètre”.

Foram cedidos apenas 10 minutos para conhecerem e familiarizarem-se com

as ferramentas que o programa disponibilizava. Logo após, abriram o arquivo

2medio.fig , conforme mostramos a seguir:

Figura 4.10 – Ficha 4 – Investigação no Cabri Géomètre

84

OBJETIVO

O objetivo desta proposta era levar o conceito da simetria ao segundo

nível de complexidade, ou seja, tratar explicitamente a simetria, como uma

relação entre duas figuras distintas, cujos pontos distam igualmente do eixo de

simetria; além disso, nosso objetivo era que distinguisse a figura simétrica do

simétrico de uma figura. Por essa razão, foi dada uma situação de figura

simétrica e outra do simétrico de uma figura, em particular, a simetria axial.

ESTRATÉGIA DOS ALUNOS

Nessa situação-problema, 12 das 13 duplas utilizaram a ferramenta reta

ou segmento de reta, traçaram um segmento ou reta no ponto em que

supunham ser o ponto médio de um lado do triângulo equilátero (Figura 4.11).

Ou seja, dividiam o triângulo ao meio e descreveram que o segmento era o

eixo de simetria da figura. Afirmaram que o triângulo ficava com dois lados

“idênticos”, sendo assim tratava-se de uma figura simétrica.

Figura 4.11 – Eixo de Simetria do Triângulo Eqüilátero encontrado pelas Duplas.

85

Apenas a dupla D6 utilizou a ferramenta ponto médio para construir o

ponto médio em um dos lados do triângulo. Sobre esse ponto traçou uma reta

perpendicular ao lado em que construiu o ponto médio. Depois mediu as

distâncias entre os vértices e o ponto médio, e caracterizou a figura como

simétrica, pois as medidas eram iguais, como mostra (Figura 4.12).

Figura 4.12 – Eixo de Simetria do Triângulo Eqüilátero da Dupla D6.

Na segunda situação-problema, as 12 duplas tentaram construir o

simétrico do triângulo A, B, C sem critérios geométricos, isto é, construindo

livremente sem o uso da ferramenta simetria axial, utilizando a ferramenta

copiar colar.

Copiavam a figura e colavam a uma certa distância do eixo ou

desenhavam um outro triângulo-imagem livremente, como mostraremos na

(Figura 4.13).

86

Figura 4.13 – Construção Livre do Simétrico do Triângulo ABC.

Novamente, apenas a Dupla D6 utilizou a ferramenta simetria axial para

a construção do simétrico do triângulo ABC, ou seja, fez primeiro uma

investigação de cada ferramenta que o programa disponibilizava e perguntou à

professora-pesquisadora se poderia utilizar. A professora sugeriu que fizesse o

uso e verificasse o resultado.

Seguindo os passos que a ferramenta dava, os alunos da dupla

obtiveram a solução desejada, que era o simétrico do triângulo.

Figura 4.14 – Simétrico do Triângulo da Dupla D6.

87

REFLEXÕES

Nas duas situações, apenas a dupla D6 conseguiu obter o resultado

desejado, enquanto as outras 12 duplas mostraram mais dificuldade para

resolver a situação, até mesmo, por questão de tempo para se familiarizar com

o programa “Cabri Géomètre”, que foi muito pouco.

Mas, puderam observar e depois discutir sobre as soluções da dupla D6.

Nesta discussão, a propriedade enfatizada foi de simetria como relação entre

a duas figuras distintas, cujos pontos de ambas distam igualmente do eixo de

simetria.

Entretanto, não podemos afirmar que esta interpretação foi apropriada

pelos alunos.

CONSIDERAÇÕES

Nesta atividade, os alunos mostraram mais dificuldade na situação-

problema (b), isto é, ainda pensavam na simetria, como propriedade da figura,

e não como relação entre duas figuras distintas, ou seja, uma questão de nível

de complexidade maior.

Além disso, observamos a falta de familiaridade com o programa “Cabri

Géomètre”, o que acabou dificultando a resolução.

A apresentação do programa deveria ter acontecido com maiores detalhes

e exploração, para depois propor a atividade no “Cabri-Géomètre”, criando,

assim, uma possibilidade do aluno ter um desenvolvimento melhor na situação.

88

QUINTA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Duas figuras iniciais foram dadas no “Cabri Géomètre”; um quadrado e um

triângulo eqüilátero; por meio delas, os alunos tinham que construir a

planificação de um cubo e de um tetraedro, usando a ferramenta simetria axial.

Figura 4.15 – Ficha 5

OBJETIVO

Diante dos resultados da situação anterior, o objetivo da atividade era

facilitar a passagem do primeiro nível de complexidade, ao segundo nível de

complexidade do Campo Conceitual de Simetria, sugerido por Vergnaud.

Além disso, visou à familiarização com a ferramenta simetria axial do

“Cabri Géomètre”, de tal forma que pudessem investigar dinamicamente a

relação entre uma figura e sua imagem sobre a reflexão na reta.

89

ESTRATÉGIAS

Na situação-problema de construção das planificações do cubo e do

tetraedro, as 13 duplas utilizaram a ferramenta simetria axial, selecionando os

lados da figura original (quadrado ou triângulo), para que servissem como eixo

para obter a imagem da figura (original), formando gradativamente a

planificação do sólido pedido.

Figura 4.16 – Construção da Planificação do Sólido usando a Ferramenta Simetria Axial.

Figura 4.17 – Exemplos de Planificações elaboradas pelas Duplas D5, D7 e D11.

90

REFLEXÕES

Por meio desta situação, com ajuda e mediação da professora, as

propriedades e as características da isometria colocadas em questão, isto é,

(segundo nível de complexidade) ficaram mais claras aos alunos, ou seja, a

relação entre duas figuras distintas. Além disso, o uso do programa “Cabri

Géomètre” foi mais fácil do que na atividade anterior.

CONSIDERAÇÕES

Pode-se concluir que o segundo nível de complexidade sugerido por

Vergnaud, para o estudo do Campo Conceitual da Simetria desenvolveu-se

gradativamente. Com base nessa situação, os alunos perceberam a relação

entre as figuras, ou seja, as medidas da figura original eram correspondentes a

sua imagem.

SEXTA SESSÃO

DESCRIÇÃO

Os alunos usaram as planificações da atividade anterior que foram

impressas em papel cartão ou com o uso da massa de modelar montaram os

sólidos: tetraedro e cubo.

91

OBJETIVO

O objetivo era sair do plano e considerar a simetria no espaço. A idéia foi

desenvolver a situação-problema equivalente ao plano, ou seja, tratar a

simetria como propriedade de uma figura geométrica (nível de complexidade

1), neste caso, identificando plano de simetria.

ESTRÁTÉGIAS

Duas duplas realizaram o experimento com a massa de modelar para

identificar o plano de simetria dos sólidos geométricos que cortava a figura com

a régua no meio das faces. Assim, referiam-se ao plano de simetria, enquanto

as 11 duplas que utilizavam o sólido feito no papel cartão, encaixavam um

palito no centro da figura e descreviam que se tratava do “eixo de simetria” da

figura espacial.

REFLEXÕES

As duas duplas que usaram a massa de modelar, diziam que os sólidos

tinham planos de simetria, pelo fato de terem as faces do sólido todas iguais.

As 11 duplas, diziam que os sólidos tinham “eixo de simetria”, quando

encaixavam o palito no centro do sólido. Além disso, descreviam que, ao girar

o sólido, que chamaram de rotação, ele não mudava, ou seja, não sofria

alteração, e comparavam com a situação anterior do simétrico do triângulo

ABC, pois sua imagem continuava a mesma, uma perspectiva mais

92

característica de nível 3 do que nível 1, no qual a figura simétrica não é mais

um objeto com suas propriedades, porém um objeto que fica invariante sobre

uma transformação.

Mostraremos os exemplos das duplas D2 e D3 que registraram na Ficha 69.

Ficha 4.18 – Reflexões sobre o cubo da Dupla D2.

Ficha 4.19 – Reflexões sobre o tetraedro da Dupla D2.

9 As figuras do “cubo e do tetraedro” que contêm na ficha 6 são representações, que os alunos utilizavampara fazer seus registros e conclusões, após manipulação de seus sólidos.

93

Ficha 4.20 – Reflexões sobre o cubo da Dupla D3.

Ficha 4.21– Reflexões sobre o tetraedro da Dupla D3.

94

CONSIDERAÇÕES

Por meio desta situação, concluímos que embora tenham inserido o

primeiro nível de complexidade já visto em situações-problema anteriores no

plano, os alunos abordaram a situação para um nível mais elevado, ou seja,

considerando um objeto que fica invariante sobre uma transformação e não

como um objeto com suas próprias propriedades no caso da figura simétrica.

Concluímos que se atividade tivesse uma extensão maior, os alunos

desenvolveriam todos os níveis de complexidade, podendo relacionar com

outros contextos matemáticos escolares.

Após o término da pesquisa, aplicamos uma auto-avaliação com algumas

das observações dos alunos sobre o desenvolvimento das situações de

aprendizagem.

Figura 4. 22 – Auto-Avaliação.

95

Todos responderam apenas de forma geral, citando suas reações sobre

o estilo de aula, porém, sem comentários do contexto matemático.

! Muito interessante ajuda a desenvolver o raciocínio e a percepção;

! Gostei, pois trabalhamos em outro ambiente facilitando o aprendizado

de um novo assunto;

! Muito interessante “essa geometria”;

! Interessante, não conhecia o assunto;

! Achei as aulas ótimas, em ambiente diferente e um tema rico que pode

ser aplicado em diversos assuntos;

! Achei ótima e aprendi um pouco mais sobre um tema que eu

desconhecia.

Suas reações foram bem positivas, ao considerarmos o perfil do grupo,

avaliamos como satisfatório.

96

4.6 CONSIDERAÇÕES

Por meio dessas situações-problema, o aprendizado tornou-se ativo e

dinâmico, mas ocorreu interação entre o sujeito (aluno) e o objeto de estudo

(Campo Conceitual da Simetria).

Pelo perfil do grupo, observamos que a relação com a geometria foi

essencial na primeira sessão para identificar, quais eram os níveis de

complexidade do Campo Conceitual da Simetria que poderiam ser explorados

por esse grupo de alunos. Pela situação, constatamos que só 1% dos alunos

tinha ouvido falar no termo simetria e fora do contexto matemático escolar.

Optamos por desenvolver o estudo nos primeiro e segundo níveis de

complexidade, para que os alunos pudessem gradativamente se apropriarem

dos conceitos de forma significativa.

Em relação à segunda e terceira sessão, as situações-problema

abordadas foram resolvidas satisfatoriamente pelo grupo. Além disso, uma

sessão completou a outra, fazendo com que eles se apropriassem das

propriedades de figuras simétricas.

Na quarta sessão, o desempenho do grupo não foi satisfatório, ou seja,

só uma das 13 duplas conseguiu obter o desenvolvimento desejado.

Nesta situação, os alunos utilizavam o programa “Cabri Géomètre”, por

meio das ferramentas que o programa disponibilizava; verificavam se o

triângulo dado era simétrico e, além disso, tinham que dar o simétrico do

triângulo em relação ao eixo r.

97

Na situação-problema para construir o simétrico do triângulo, os alunos

ainda pensavam na simetria como propriedade (primeiro nível de

complexidade), e não como relação entre duas figuras distintas (segundo nível

de complexidade), além disso, observamos que a falta de familiaridade com o

programa dificultou a resolução.

Na quinta sessão com o intuito de facilitar a passagem do primeiro nível

para o segundo nível de complexidade, não atingido na sessão anterior, o

grupo percebeu a relação entre as duas figuras distintas, ou seja, apropriou-se

da simetria axial, isto é, as medidas da figura original eram correspondentes à

sua imagem.

No fim da atividade, os alunos ainda estavam enfocando a simetria como

propriedade, mas baseados no uso da ferramenta simetria axial no “Cabri

Géomètre”, tiveram a experiência com a simetria, tendo a oportunidade de se

apropriar da simetria como relação entre figuras e, em particular, decidir o que

usar como eixo de simetria para produzir a figura desejada.

Na sexta sessão, houve uma surpresa, a intenção da situação era

concentrar a simetria em três dimensões, com uma atividade que enfatiza

simetria, como propriedade de um sólido. Eles poderiam ter resolvido a

situação, usando apenas o primeiro nível de complexidade, mas abordaram a

situação para um nível mais elevado, ou seja, terceiro nível de complexidade,

considerando o sólido como um objeto que ficava invariante, sobre uma

determinada transformação, não como um objeto com suas próprias

propriedades, no caso da figura simétrica (primeiro nível de complexidade).

98

Diante dessa análise, consideramos que os alunos avançaram em seus

conhecimentos de forma gradual, embora nunca tivessem estudado esse

tema.

Além disso, observamos com os resultados das situações-problema que

os alunos apresentaram dificuldades para se expressar em uma linguagem

geométrica, porém no decorrer do desenvolvimento das atividades e com

mediação da professora, foram se apropriando de alguns termos geométricos

que desconheciam.

Podemos concluir que o ambiente e os recursos utilizados também

contribuíram para participação e ampliação das experiências dos alunos e a

compreensão do Campo Conceitual da Simetria. Ressaltamos que seria

possível desenvolver outros níveis de complexidade, caso o estudo se

prolongasse.

As atividades envolveram várias dimensões, além da resolução das

situações-problema, tivemos o diálogo, as participações e as discussões

coletivas, o que enriqueceu o ensino e a aprendizagem.

Para os alunos, essa experiência deu suporte teórico, cujas soluções

ajudaram a formular conceitos, a descobertas de propriedades relacionadas,

sobretudo aos primeiro e segundo níveis de complexidade da simetria.

Para a professora-pesquisadora, a teoria de Vergnaud apresentou uma

ferramenta nova para descrever, analisar e interpretar aquilo que se passa em

sala de aula na aprendizagem da geometria, em particular, no Campo

Conceitual da Simetria.

99

CAPÍTULO 5

Considerações Finais

5.1 Introdução

O objetivo da pesquisa foi investigar a inserção das isometrias no

currículo de matemática, tanto sob o ponto de vista oficial como na prática.

Para alcançar esse objetivo, o trabalho dividiu-se em duas partes: na

primeira, analisamos como as transformações isométricas estão inseridas nos

documentos curriculares; e na segunda, consideramos o ensino e

aprendizagem das isometrias, propondo um conjunto de situações-problema

para alunos do segundo ano do Ensino Médio (noturno), a fim de investigar

suas interações e desenvolvimento diante do tema.

Nosso estudo percorreu várias etapas. Iniciamos com algumas

considerações do capítulo 2, sobre o objeto matemático em discussão e seus

aspectos cognitivos. Os tipos de transformações isométricas no plano foram

apresentados, concentrando-se na simetria axial e na noção de figura

simétrica. Ainda, mostrou-se pertinente a tentativa de inserir esse tema, usando

a progressão gradativa dos diferentes níveis de complexidade do Campo

Conceitual da Simetria sugerido por Vergnaud, a saber:

100

• No primeiro nível de complexidade, o conceito de figura simétrica é

relacionado às propriedades que a figura possui; “mesma forma”,

“mesmo comprimento” e “mesma distância“, ou seja, uma única figura

que possui um eixo de simetria.

• O segundo nível de complexidade trata mais explicitamente a simetria

como uma relação entre duas figuras distintas, cujos pontos distam

igualmente do eixo de simetria.

• No terceiro nível de complexidade, ocorre a ênfase nas propriedades,

mas difere-se do primeiro nível de complexidade, pois, refere-se à

simetria e não a figura, que é colocada como um objeto que possui suas

próprias propriedades.

• No quarto nível de complexidade, a simetria torna-se um membro de um

grupo que preserva propriedades.

Em suma, observa-se que nos quatro níveis de complexidade, temos

simetria como propriedade, como relação, como objeto e como membro de um

grupo estruturado.

Os demais capítulos do trabalho centram-se no ensino e aprendizagem

das isometrias, em particular, na simetria axial. A pesquisa inicia-se com uma

análise dos documentos curriculares (PCN-EF, Livros Didáticos do Ensino

Fundamental, PCNEM e Livros Didáticos do Ensino Médio) à luz da Teoria dos

Campos Conceituais, buscando identificar de que forma esse tema é

apresentado.

101

Na elaboração do conjunto de situações-problema para alunos do

Ensino Médio, ao qual aplicamos e analisamos as suas interações tivemos

como referencial teórico a progressão gradativa dos diferentes níveis de

complexidade do Campo Conceitual da Simetria sugerido por Vergnaud.

Na aplicação das situações de aprendizagem consideramos quais

seriam os conhecimentos que esses alunos, do Ensino Médio, detinham sobre

o tema, no contexto matemático ou em outros aspectos. Com isso, buscamos

identificar quais os níveis de complexidade que poderiam ser explorados com

esses alunos.

5. 2 RESULTADOS DA PESQUISA

Vale recordar que os objetivos da pesquisa, em síntese foram:

! Investigar como as transformações isométricas estão incorporadas

nos documentos curriculares atuais.

! Elaborar um conjunto de situações para alunos do Ensino Médio,

abordando uma transformação isométrica, simetria axial e

investigar o desenvolvimento dos alunos diante destas situações

de aprendizagem.

102

Em relação ao primeiro objetivo, nossas análises indicaram:

a) Os PCN-EF sugerem a incorporação das transformações isométricas no

currículo, desde ciclos iniciais. Propõem um estudo das isometrias e sua

utilização como ferramenta para o estudo das propriedades das figuras

geométricas planas e o desenvolvimento do conceito de congruência.

b) Na análise dos Livros Didáticos – Ensino Fundamental, constatou-se que

das duas coleções analisadas, só uma coleção aborda as isometrias,

enfatizando-as em todas as séries, de forma significativa e abordando de forma

gradativa os quatro níveis de complexidade do Campo Conceitual sugeridos

por Vergnaud (1997).

Nesta coleção, identificamos quatro tipos de situações com distintos invariantes

(objetos, propriedades e relações) que podem ser utilizados pelos alunos para

analisar e dominar a situação dada. Constatamos, também, as situações que

envolviam diferentes representações lingüísticas e simbólicas para a

representação e contextualização do conceito e de suas propriedades.

c) Os PCNEM, revelam uma valorização ao ensino da Geometria, mas não

apontam quais os conteúdos que devem ser abordados. Assim, diferem do

PCN-EF, pois, em termos de conteúdo, são mais genéricos. Não trazem

orientação didática como nos PCN-EF, ficando assim subentendido a

necessidade do estudo de tais tópicos para o desenvolvimento das habilidades.

103

d) Nos Livros Didáticos do Ensino Médio, aferiu-se que nenhuma das

coleções apresentou uma abordagem aprofundada das isometrias. Em uma

coleção, a simetria é abordada apenas para análise de gráfico sem o conceito

formal e, na outra, ocorre uma abordagem superficial, relacionando simetria e

função, na qual a simetria é vista como uma bijeção do plano no plano.

A partir desta análise, conclui-se que as isometrias não são ainda

abordadas de forma consistente, tornando-se difícil a tarefa de desenvolver

atividades para alunos do Ensino Médio.

Assim, acreditamos que a isometria que deve ser estudada no Ensino

Médio é um meio de oferecer continuidade ao estudo sugerido nos PCN-EF

sem rupturas, possibilitando ao aluno desenvolver conceitos e aplicações da

isometria de forma significativa e, também, vinculada a outros conteúdos.

Quanto ao segundo objetivo, elaboramos um conjunto de situações para

alunos do Ensino Médio, abordando uma transformação isométrica, a simetria

axial e investigamos o desenvolvimento desses alunos diante dessas

situações de aprendizagem.

Estas foram elaboradas de modo que a cada sessão, os alunos fossem

colocados frente a situações que visavam a atingir aos diferentes níveis de

complexidade do Campo Conceitual da Simetria de Vergnaud (1997).

O perfil do grupo e da relação que mantinham com a geometria, foram

essenciais na primeira sessão, para identificar quais eram os níveis de

complexidade que poderiam ser explorados.

Na primeira sessão, constatamos, por meio de um questionário para 26

alunos, que, apenas dois alunos, tinham ouvido falar no termo simetria,

entretanto, fora do contexto matemático. Sendo assim, desenvolvemos as

104

atividades abordando, sobretudo o primeiro e segundo nível de complexidade

do Campo Conceitual da Simetria.

Com base na segunda e terceira sessão, as quais iniciamos o

desenvolvimento do primeiro nível de complexidade, a simetria é enfatizada em

termos de propriedades de uma figura simétrica como; “mesma forma”,

“mesmo comprimento” e “mesma distância”.

Observamos que os alunos resolveram as situações relacionadas a esse

nível satisfatoriamente. Além disso, as atividades foram coerentes, pelo fato, de

uma complementar a outra, fazendo com que os alunos descobrissem as

propriedades das figuras simétricas e se apropriassem delas, como

identificamos pelas descrições que faziam.

A quarta sessão envolveu uma situação na qual a simetria foi tratada

como relação entre duas figuras (segundo nível de complexidade), e o

desempenho do grupo não foi tão satisfatório como na anterior. Só uma dupla

das treze, chegou ao resultado desejado. Uma das implicações do mau

desempenho foi a familiaridade com o programa “Cabri Géomètre” que

precisavam usar e, também, uma dificuldade em negociar a passagem do

primeiro nível de complexidade para o segundo.

Ao construir o simétrico do triângulo, os alunos não o relacionavam

como uma relação entre duas figuras distintas, ou seja, as medidas da figura

original tinham que ser correspondentes à sua imagem.

Na quinta sessão, com o intuito de facilitar a passagem do primeiro nível

para o segundo nível de complexidade, foi apresentada novamente ao grupo

uma situação abordando a simetria simultaneamente, como propriedade de

uma figura e como relação entre as duas figuras.

105

No fim da atividade, os alunos ainda estavam enfocando a simetria como

propriedade, mas com base no uso da ferramenta simetria axial no “Cabri

Géomètre”, passaram a discutir como relação.

Na sexta sessão, ocorreu uma surpresa, a intenção da situação era

concentrar a simetria em três dimensões, com uma atividade que enfatiza

simetria como propriedade de um sólido. Embora, pudessem resolver a

situação, usando apenas o primeiro nível de complexidade, os alunos

abordaram considerando o sólido como um objeto que ficava invariante sobre

uma determinada transformação, uma visão consideravelmente mais complexa

do que ver o sólido como um objeto que pode ser dividido em duas partes

iguais.

Assim, em razão da falta de familiaridade dos alunos com o tópico do

estudo, as situações concentraram-se nos elementos menos complexos da

simetria, sendo possível perceber avanços significativos; mesmo assim foi

possível que os alunos desenvolvessem o aprendizado gradualmente,

enriquecendo e reorganizando os conceitos que foram abordados durante a

pesquisa.

Enfim, em relação às interações constatamos que:

• Os alunos foram capazes de construir o próprio conhecimento com as

ferramentas fornecidas e direcionadas pela professora.

106

• A aula tornou-se dinâmica e produtiva com a participação de todos,

sobretudo daqueles que não demonstravam interesse em aulas

tradicionais.

5.3 DIREÇÕES PARA O FUTURO

Salientamos que o ideal no Ensino Médio não seria necessariamente

abordar o primeiro e segundo nível de complexidade, mas concentrar-se nos

níveis mais avançados, como o quarto nível de complexidade que trata a

simetria como um membro de um grupo estruturado que preserva propriedades

(isometria).

Entretanto, enquanto as isometrias não forem inseridas na forma mais

coerente nos instrumentos oficiais do ensino, tanto no Ensino Fundamental

como no Médio a tendência será ficar preso ao primeiro nível de complexidade.

Como professora, o estudo serviu para clarificar os aspectos

relacionados com a aprendizagem do Campo Conceitual da Simetria de

Vergnaud (1997) e mostrou-me a importância de desenvolver situações

frutíferas, para colocar o aluno em contato com o conhecimento. Acreditando

assim, que para ter um avanço no ensino da geometria parece necessário

modificar minha prática em sala de aula, tornando o ensino dinâmico, interativo

e criativo.

107

Enfim, ao descrever este capítulo final, entendemos que, embora o

trabalho chegue a seu fim, acreditamos que estamos apenas no início de um

longo caminho a ser percorrido, já que mediante as respostas encontradas,

muitas outras questões e dúvidas surgiram no decorrer do estudo.

108

REFERÊNCIAS

ALVES, Sérgio S. GALVÃO, Maria Elisa Esteves Lopes. Um estudo Geométrico

das Transformações Elementares. São Paulo, IME-USP, 1996.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICA. Apresentação de

relatórios técnico-científicos. NBR 10719. Rio de Janeiro,1989, ago.

BITTAR, M. Les vecteur dans I’enseignemente secondaire; Aspects outil et

objet dans manuels. Estude de difficiltés d’ élèves dans deux enviromments:

papier crayon et Cabri-Géomètre II. Tese (Doutorado) da Universidade Joseph

Fourier Grenoble I. França, 1998.

BONGIOVANNI, Vincenzo. Descobrindo o Cabri-Géomètre: Caderno de

Atividades/Vincenzo Bongiovanni, Tânia M.M. Campos, Saddo A. Almouloud. São

Paulo: FTD,1997.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria da Educação. LEI no

9.394. Brasília, 1996.

109

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática (3o e 4o ciclos do Ensino Fundamental). Brasília:

MEC/SEF, 1998.

BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática (Ensino Médio). Brasília: MEC/SEF, 1999.

BRASIL. Secretaria de Educação. Programa Nacional do Livro Didático –

PNLD/2005: Matemática (5a a 8a série do Ensino Fundamental). vol.3. Brasília:

MEC/SEF, 2004.

BRASIL. Secretaria de Educação. Programa Nacional do Livro Didático do

Ensino Médio – PNLEM/2005: Matemática (Ensino Médio). vol 1. Brasília:

MEC/SEF, 2004.

CATUNDA, Omar, Martha Maria de Souza Dantas. As transformações

geométricas e o ensino da geometria. Salvador. Centro Editoria e Didático da

UFBA, 1990.

FRANCHI, A. Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In:

Alcântara Machado; Silvia Dias Alcântara Machado et al. Educação Matemática:

uma introdução. São Paulo. EDUC. 1999. p. 155-195.

110

FIORENTINI, Dario. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática

no Brasil. Revista Zetetiké, Ano 3, no 1, p.1-34. Campinas: Unicamp, 1995.

LEDERGERBER-RUOFF, Érika Brigitta. Isometrias e ornamentos do plano

euclidiano. São Paulo, Atual, 1982.

MEGA, Élio. Ensino/Aprendizagem da Rotação na 5asérie: Um estudo

comparativo em relação ao material utilizado. Dissertação (Mestrado), PUC-

SP,2001.

PASSOS, C. L. B. “Representações, Interpretações e Prática Pedagógicas: A

geometria na Sala de Aula”.Tese (Doutorado). Campinas. Faculdade de

Educação. UNICAMP-SP, 2000.

PAVANELLO, R. M. “O abandono do ensino de geometria – uma visão

histórica”. Dissertação (Mestrado). Campinas. Faculdade de Educação.

UNICAMP-SP, 1983.

PESCUMA, Derna; CASTILHO, Antonio Paulo F. de. Referências bibliográficas:

um guia para documentar suas pesquisas. 2 ed. rev. amp. São Paulo: Olho

d’Água, 2002.

111

PIETROPAOLO, Ruy César. Parâmetros Curriculares Nacionais de

Matemática. In Educação Matemática em Revista; Sociedade Brasileira de

Educação Matemática, no 7, ano 6, p.11-18. São Paulo: SBEM, 1999.

PIRES, Célia Maria Carolino. “Currículos de Matemática: da organização linear

à idéia de rede“. Tese (Doutorado). São Paulo. Faculdade de Educação da

Universidade de São Paulo, 1995.

SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Guias Curriculares para o

Ensino de Matemática: 1o grau. São Paulo: SE/CENP, 1975.

VELOSO, Eduardo. Geometria–Temas Actuais – II Múltiplas perspectivas em

Geometria. p.88-90. Editado. IEE. Portugal. Disponível em:

http://www.apm.pt/apm/foco98/transfr3.pdf.Acesso em 4 nov. 2004.

VERGNAUD, G. Quelques problémes theóriques de la didactique a propôs d’

um example: les structures additives. Atelier Internation d’ Eté: Récherche em

Didactique de la Physique. La Londe les Maures, França,1983.

_____________. Conceitos e esquemas numa teoria operatória da

representação. Psycologie Française, 30 (3-4) trad.mimeo, 1985.

_____________. La théorie de champs conceptuales. Recherches en

Didactique de Mathématiques, RDM, vol 10 (2.3), Grenoble, p. 133-170, 1990.

http://www.apm.pt/apm/foco98/transfr3.pdf.Acesso

112

_____________. Multiplicative conceptual field: what and why?” In: HAREL, G e

CONFREY, J. (eds.) The development of multiplicative reasoning in the learning of

mathematics. Albany, N.Y.: State University of New York Press,1994, p. 41- 59.

_____________. Education: the best part of Piaget’s heritage. Swiss Journal of

Psychology, 55 (2/3): 112-118, 1996.

_____________.The nature of mathematical concepts. In: Nunes, T. & Bryant, P.

(Eds.), Learning and Teaching Mathematics: An International Perspective.

Psychology Press, East Sussex, 1997, p.5-28.

_____________. A comprehensive theory of representation for mathematics

education. Journal of Mathematical Behavior, 17(2): 167-181, 1998.

ZEIGLER. Sérgio. Arte Matemática. Simetrias: Os diferentes casos de simetria,

da música às equações algébricas. São Paulo: Videocultura TV Escola. Fita de

vídeo (30’min.), VHS Son., color , 2001.

113

ANEXO 1

LEVANTAMENTO DOS TIPOS DE SITUAÇÕES DA COLEÇÃO CEF 1.

série: 5a

Tipo de Situação no de Questões

1a 81b 42a 53 1

Total 18

série: 6a

Tipo deSituação no de Questões

1a 131b 42a 164 2

Total 35

114

série: 7a

Figura Simetria Axial Translação Simetria CentralTipo de Situação Simétrica no de Questões no de Questões no de Questões

1a 7 ..... ..... .....1b ..... 1 5 112a ..... 4 2 72b ..... 4 1 ......3 ..... 3 2 .....4 ..... 5 2 .....

Total 07 17 12 18

série: 8a

Simetria Axial Translação Simetria Central RotaçãoTipo de Situação no de Questões no de Questões no de Questões no de Questões

2a 1 ...... ...... 12b 4 ...... 1 113b ...... 1 ...... 044 7 5 6 9

Total 12 06 7 25

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