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PAGE 56ANLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFCIOS EM CONCRETO ARMADO USANDO PROGRAMAS DE COMPUTADORROBERTO CHUST CARVALHO, IGOR FREDERICO STOIANOV COTTA, HENRIQUE RAYMUNDO

SUMRIOcaptulo 1 Estruturas de concreto armado de Edificaes1.1- Introduo

1.2- Caso simples de estrutura de concreto armado, modelo discretizao e modelo tridimensional.

1.3- Principais caractersticas de comportamento de estruturas de concreto armado.

1.4- Considerao do pavimento isolado

1.5- Considerao de prticos planos e tridimensionais

1.6- Aes verticais nos pavimentos

1.7- Aes laterais

1.8 Modelos usados para o clculo de edificaes com os programas atuais

captulo 2 Modelo de grelha equivalente para pavimentos

2.1- Introduo

2.2- Resumo de teoria de placas

2.3- O uso de uma grelha equivalente para resoluo de um pavimento.

2.4- Aes e considerao dos resultados

captulo 3 Anlise matricial de estruturas3.1-Introduo (tipos de Estruturas)3.2- Fundamentos tericos

3.3- Mtodo da rigidez para prticos espaciais

3.4- Matriz de rigidez do elemento

3.5- Matriz de rotao do elemento

3.6- Matriz de rigidez global

3.7- Vetor dos carregamentos nodais

3.8- Mtodos numricos para resoluo de sistemas lineares

3.9- Mtodo da eliminao de Gauss

3.10- Mtodo de Gauss-Jacobi

3.11- Resultados do mtodo

3.12- Clculo dos deslocamentos nodais

3.13- Clculo dos esforos de extremidade

3.14- Clculo das reaes de vnculo3.15- Exemplo Simples

captulo 4 Entrada de dados e Sada de dados

4.1- Idealizao da estrutura e desenho das formas

4.2- Uso de programas do tipo CAD

4.3- A linguagem LISPcaptulo 6 Exemplos

4.1- Idealizao da estrutura e desenho das formas

4.2- Uso de programas do tipo CAD

4.3- A linguagem LISP

captulo 7 Manual do Sistema Grfico

4.1- Idealizao da estrutura e desenho das formas

4.2- Uso de programas do tipo CAD

4.3- A linguagem LISP

captulo 8 Manual do Sistema Espacial

4.1- Idealizao da estrutura e desenho das formas

4.2- Uso de programas do tipo CAD

4.3- A linguagem LISP

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captulo 1 Estruturas de concreto armado de Edificaes

1.1- INTRODUO

Define-se neste trabalho que anlise de estruturas de edifcios em concreto armado a possibilidade de interpretar o funcionamento de este tipo de estrutura atravs do conhecimento dos seus esforos solicitantes, seu estado de deformaes e deslocamentos dos pontos mais importantes.

Os esforos solicitantes so apresentados, de uma maneira geral, atravs dos diagramas de momento fletor, cortante e etc. Conhecido os esforos solicitantes nas diversas sees transversais da estrutura possvel, com a geometria das mesmas definida, determinar a quantidade de armadura assim como proceder ao detalhamento da mesma. O clculo da quantidade da armadura e seu detalhamento no tema desta publicao recomenda-se para tanto, entre as vrias citaes bibliogrficas, os volumes I e II de Clculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado de CARVALHO et ALL FIGUEIREDO FILHO (2007, 2009).

Todo elemento estrutural um elemento com trs dimenses, desta forma uma seo transversal deste est submetida, em princpio, a todos tipos de esforos solicitantes possveis: Momento fletor, Momento fletor transversal, Cortante, Cortante transversal, Toror e Normal como o caso da seo indicada na figura 1.1.

Figura 1.1. Esforos solicitantes possveis em uma seo transversal de uma barra.: Mx momento toror, My momento fletor, Mz momento fletor transversal, N normal, Vy-cortante trasnversal e Vz- Cortante.

Em algumas situaes e regies da edificao, como o caso das vigas travadas por lajes de concreto, o momento fletor (Mz) transversal e o cortante transversal (Vy) podem ser desprezados.

Alm dos esforos solicitantes o conhecimento do comportamento da estrutura na situao deformada fornece muitas informaes ao projetista. Na verdade atravs da medio das deformaes e deslocamentos em ensaios de prottipos que se pode calcular com razovel preciso os esforos solicitantes atuantes em uma seo ou mesmo as tenses em alguma regio.

1.2-PRINCIPAIS CARACTERSTICAS DE COMPORTAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

Porque as estruturas de concreto armado precisam ser estudadas de maneira diferenciada que outras estruturas? Na verdade at certo ponto o comportamento dos sistemas estruturais no depende muito do material que so feitos. De uma maneira geral os materiais estruturais devem apresentar grande capacidade portante, ou seja, em geral os materiais usados em sistemas estruturais tm boa capacidade resistente e outras caractersticas de deformao. No caso especfico de concreto armado o concreto tem resistncia alta compresso porem baixa trao, necessitando assim armadura para suportar as tenses de trao principalmente as oriundas da flexo.

Algumas caractersticas importantes do concreto armado precisam ser conhecidas para se calcular e detalhar corretamente as estruturas de concreto armado.

monolitismo Lajes horizontais desempenhando o papel de diafragma no linearidade fsica devido fissurao do concreto fluncia e retrao do concreto

fissurao devido toro. no linearidade de peas comprimidas.

Funcionamento de ns (encontro de elementos). Teoria de tirantes e bielas

1.2.1-Monolitismo

O uso do concreto armado permite a realizao de estruturas monolticas.

Figura 1.2. Execuo de um prtico de concreto armado feita no local. Na etapa 1 constroi-se os pilares concretando-se at a cota A. Na segunda etapa concreta-se a viga obtendo-se o prtico definitivo. Finalmente no esquema estrutural est indicado a direita da figura no fazendo distino da regio prxima ao ponto A e as sees de outras regies.

Considera-se como monolitismo a propriedade decorrente da capacidade que um concreto novo tem de aderir a um mais antigo (tomados certos cuidados antes e na execuo da segunda concretagem). A estrutura executada como mostrada na figura 1-2 funciona como se tivesse feita de uma nica vez, ou seja, monoltica. Desta forma em torno do ponto K as deformaes so compatveis. Assim, na seo da face do pilar e a imediatamente a sua direita (j na viga) tem-se a mesma rotao.

Nas estruturas pr-moldadas, mesmo em concreto armado, como a indicada na figura 1-3 diferentemente do caso anterior pode haver um giro relativo entre o pilar e a viga. Este giro pode ser qualquer se a ligao for feita pra que haja uma rtula (primeiro esquema estrutural indicado na figura 1-3), ou se a ligao for semi-rgida flexo haver um impedimento parcial da rotao (segundo esquema estrutural indicado na figura 1-3)

Figura 1.3. Estrutura de prtico feito com elementos pr-moldados. Esquema estrutural pode indicar que a ligao entre a viga tem rotao totalmente livre de girar ou parcialmente impedida.

Desta forma para uma ao uniformemente distribuda no prtico considerado nas figuras anteriores o diagrama de momento fletor ocorre, de forma esquemtica, como mostra a figura 1.4. Com o prtico moldado no local conseguindo fazer que o momento fletor no pilar seja o maior (em mdulo) que os outros dois casos.

Figura 1.4. Prtico moldados no local, pr-fabricado com ligao semi-rgida e rtula e respectivos diagramas de momento fletor.

1.2.2- Lajes horizontais desempenhando o papel de diafragma

Outra situao que decorre do monolitismo que as estruturas de edificaes moldadas no local tm, o papel de diafragma que as lajes horizontais passam a exercer sobre a estrutura.

Considerem-se as duas estruturas mostradas na figura 1.5 que podem perfeitamente ser comparadas com uma mesa com a sua tampa e outra no. Devido o fato de a primeira estrutura ter a laje macia, que concretada com as vigas, haver movimento de corpo rgido de todos os pontos contidos na superfcie meda laje devido ao da fora F, inclusive os pontos centrais das extremidades dos pilares. Na segunda estrutura as deformaes do prtico P3,V3 e P4 sero maiores que as do prtico P1, V1 e P2 pois as vigas V2 e V4 no conseguem transmitir muito esforo para o prtico citado, no h assim movimento de corpo rgido e as distncias entre os centros da extremidade superior dos pilares se alterar aps a deformao.

Figura 1.5. Estrutura com prticos e laje e apenas com prtico.

Verificar que em virtude da laje fazer o papel de diafragma rgido no sistema da figura 1.5 todas as vigas (V1, V2 etc) podem ser consideradas com inrcia transversal muito grande, ou melhor, podem ser desprezados os momentos fletores transversais e os cortantes correspondentes. 1.2.3- No linearidade fsica devido fissurao do concreto

Um comportamento importante caracterstico das estruturas de concreto armado devido fissurao do concreto flexo devido baixa resistncia aos esforos de trao. Na figura 1.6 mostra-se o resultado obtido da flecha (mximo deslocamento de um ponto do elemento) ao se ensaiar flexo uma nervura de concreto armado sob uma carga concentrada. A curva mais esquerda (constituda de pontos com pequenos crculos) corresponde flecha terica obtida considerando que a pea tenha todas as sees funcionando no estdio I. A mais direita (constituda de um trao contnuo) representa a variao da flecha considerando que todas as sees estariam trabalhando no estdio II. Finalmente a curva real (constituda por pontos formados por um losango) est contida entre a referente ao estado I e a considerao da inrcia mdia de Branson (detalhes destes pontos so vistos no captulo 4 de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007)). De uma maneira geral o clculo de esforos das estruturas, seja de concreto ou de outro material, consideram que a rigidez (o produto EI, mdulo de elasticidade por inrcia) da seo transversal de cada elemento no se altera. Para o concreto armado esta hiptese leva no mnimo a subestimar os deslocamentos finais dos diversos pontos da estrutura

Figura 1.6 Grfico de ensaio de nervura de concreto armado de laje pr-moldado com trilho e curvas correspondentes para considerao das flechas com estdio I e II e finalmente com a considerao da inrcia mdia de BRANSON. (FLRIO 2004).

Na figura 1.7 pode-se perceber que mesmo em uma viga simplesmente apoiada h regies funcionando no estdio I e outras no estdio II (vide definio destes estdios no captulo 3 de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007)).

Assim h uma relao no linear fsica entre aes e deslocamentos em estruturas de concreto armado.

Para considerar este efeito possvel resolver a estrutura atravs de carregamentos incrementais em que cada etapa pode-se considerar o grau de fissurao de um trecho e se for o caso alterar a sua rigidez. Tambm importante que os trechos considerados sejam pequenos o suficiente para conseguir reproduzir, por exemplo, a situao mostrada na figura 1.7, ou seja, preciso que o modelo (elemento considerado para representar a pea real) empregado apresente esforos solicitantes em sua extremidade que traduzam o grau de fissurao existente em todo o trecho.

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Figura 1.7 Viga de concreto armado simplesmente apoiada sob aes de servio.

1.2.4- Fluncia e retrao do concreto

Outra caracterstica das estruturas de concreto a deformao ao longo do tempo principalmente devido fluncia do concreto (h tambm devido retrao). Tal efeito pode ser visto na figura 1.8. Esta tambm uma das causas (junto com a fissurao do concreto) da no linearidade entre aes e deformaes.

Figura 1.8 Variao da flecha no tempo de uma nervura de laje pr-moldada [ROGGE (2002)].

1.2.5-Fissurao devido toro.

Alm da fissurao do concreto flexo h fissurao no concreto devido a outro tipo de ao tais como o cortante e a toro. O caso da toro bastante importante principalmente para as sees de elementos prismticos (que tm seo transversal constante) com seo retangular e de pequena espessura, que o caso das vigas, que tm pouca resistncia toro.

O comportamento de uma seo transversal retangular de concreto armado sujeita a um momento toror est indicada na figura 1.9, para duas situaes uma em que o momento inferior ao momento que causa a fissurao de toro (Mtr) e outra em que superior a este valor. Se o momento toror aplicado na seo tem intensidade inferior a aquele que provoca a fissurao a distribuio de tenses de cisalhamento na seo linear (em relao a um raio traado do centro) como considerado na resistncia dos materiais (ver detalha da situao 1). Quando o momento aplicado ultrapassa o momento de toro ento h uma fissurao contnua na seo isolando a regio central da pea (um ncleo) de uma regio distante t do contorno da pea como pode ser visto na figura 1.9. A tenso de cisalhamento atuante na espessura t passa a ser constante e aumentando bastante sua intensidade. Nesta situao a rigidez da seo transversal diminui bastante.

Figura 1.9 Seo transversal de concreto (retangular) sujeita a esforo toror.Na primeira (estdio I) o valor da inrcia toro vale:

Com os valores de

h altura da seo da viga

b largura da seo da viga

- parmetro que depende da relao h/b. Em geral se usa para este valor de o valor de 3

No estdio II, quando o ncleo da seo no funciona, a inrcia pode ser tomada igual a um valor de um dcimo do valor anterior.

Assim, o projetista de concreto quando analisa uma estrutura de concreto, pode em diversas situaes, desde que no seja importante para o equilbrio, desprezar a inrcia a toro no estdio I. Este , por exemplo, o caso do possvel engastamento de lajes em vigas perifricas, ou seja, a considerao de que as vigas perifricas podem impedir a rotao das lajes analisada na figura 1.10.

Figura 1.10 Seo transversal de uma laje apoiada em vigas. Considerao da rigidez toro da viga no impedimento da rotao da laje na extremidade.

Na figura 1.10 so mostradas duas situaes extremas. A primeira em que as vigas tm grande rigidez toro impedindo a rotao nas extremidades da laje tornando-a engastada flexo. Na segunda situao imagina-se uma rigidez to baixa das vigas que a laje praticamente trabalha como simplesmente apoiada nos contornos. Na prtica o que ocorre , em geral, situao intermediaria (rotao parcialmente impedida) que depende fundamentalmente da considerao da rigidez toro da viga.

Mais adiante mostrado que a inrcia toro de elementos de concreto de uma grelha equivalente que representa uma laje tm tratamento distinto ao que tratado aqui sendo explicado oportunamente.

1.2.6- No linearidade de peas comprimidasNas peas fortementes comprimidas e com ao de momento fletores mesmo quando no h fissurao pode haver no linearidade entre os esforos e os deslocamentos como se percebe este efeito ao analisar as curvas momento fletor resistente por curvatura de sees transversais sujeitas a um mesmo normal e com taxa de armadura ( varivel da figura 1.11

O valor do momento fletor resistido por uma seo pode ser dado pela relao adimensional:

com Mrd momento resistido de clculo

b- largura da seo

h-altura da seo

fcd resistncia compresso de clculo do concreto

Figura 1.11 Seo transversal de concreto tpica de pilar e a relao momento-curvatura variando no linearmente para diversos valores de taxa de armadura (.

com Nrd normal resistido de clculo

1.2.7 CONSIDERAO DE NS. TEORIA DE TIRANTES E BIELAS

Existem partes de uma estrutura de concreto armado que no atendem a hiptese de Bernoulli da distribuio linear de deformaes. preciso lembrar que nestas partes, onde ocorrem descontinuidades de natureza esttica ou geomtrica, como pontos de aplicao de cargas concentradas, ns de prticos, aberturas, etc., so projetadas por regras empricas, baseadas na experincia.

Figura Regies com distribuio de deformaes no lineares por descontinuidades geomtricas ou estticas.

Uma possibilidade de lidar com estes trechos de estruturas usar a teoria das bielas e dos tirantes (strut and ties models) que pode ser entendidas como uma generalizao da analogia da trelia. A idia identificar as regies fortemente comprimidas no concreto que iro compor as bielas e as regies tracionadas que sero compostas por armaduras passivas ou ativas. Estes elementos (representados pelo seu eixo) se ligam e formam estruturas cujos esforos podem ser calculados, permitindo assim o clculo e verificao destas regies.

FIGURA 10.16. Trelia anloga de Mrsch para o caso de: a) estribos; b) barras dobradas

1.3-CASO SIMPLES DE ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO: MODELO DISCRETIZADO E MODELO TRIDIMENSIONAL.Para entender os modelos usados em concreto armado usa-se inicialmente uma estrutura simples, como feito em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2006), indicada na figura 1.12. Considera-se, em geral que as estruturas so compostas por elementos estruturais que so peas, geralmente com uma ou duas dimenses preponderantes sobre as demais (vigas, lajes, pilares, etc.), que compem uma estrutura. O modo como so arranjados pode ser chamado de sistema estrutural. Alguns comportamentos so dependentes apenas desse arranjo, no influindo o material com que so feitos os elementos. Assim, se a estrutura da figura 1.12 for moldada no local e, portanto valendo o princpio do monolitismo no h porque considerar a mesma composta de diversos elementos. Porem, a interpretao e a anlise do comportamento real de uma estrutura so, geralmente, complexas e difceis, e nem sempre possveis de serem feitas com muita preciso. Por essa razo, importante entender que para montar modelos fsicos e matemticos na anlise de construes de concreto armado muitas vezes preciso usar a tcnica da discretizao, que consiste em desmembrar a estrutura em elementos cujos comportamentos possam ser admitidos j conhecidos e de fcil estudo. Essa tcnica possibilita que se consiga, da maneira mais simples possvel, analisar uma estrutura com resultados satisfatrios.

Figura 1.12 Perspectiva esquemtica de uma estrutura de concreto com laje macia, viga, pilares blocos e estacas. Elementos que a compem e esquema estrutural dos diversos elementos em que as estrutura pode ser discretizada.

Desta forma a estrutura da figura 1.12 (imaginando como sendo uma estrutura de uma cobertura de garagem para carros) pode ser discretizada da seguinte maneira: a laje de concreto (plana) suporta seu peso, os revestimentos e mais alguma carga acidental (gua da chuva, pessoas, etc.); as vigas recebem os esforos da laje (placa de concreto) e os transmitem, juntamente com seu prprio peso (mais peso de parede, se houver) para aos pilares; os pilares recebem todas as cargas e as transmitem, tambm com seu peso, para as fundaes (no caso, blocos e estacas). Com essas simplificaes possvel identificar algumas das estruturas estudadas em teoria das estruturas e calcular os esforos solicitantes mximos nas sees, coma ajuda dos conceitos da resistncia dos materiais.

O processo fsico e matemtico que possibilita o clculo e o detalhamento dos diversos elementos de concreto armado em que ficou dividida a estrutura visto nos livros de teoria tcnica de concreto armado, como por exemplo, CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2008).

Fica evidente que as hipteses de clculo devem levar em conta o tipo de estrutura escolhida se moldada no local ou pr-moldada por causa do comportamento monoltico ou no. No caso das peas pr-moldadas o dimensionamento deve levar em conta tambm as operaes de transporte e considerar que, em princpio, no haver monolitismo entre as ligaes, caracterstico das moldadas no local.

Na Figura 1.12 mostra-se como cada elemento da estrutura pode ser analisado; dessa forma j est sendo montado um modelo fsico de funcionamento do sistema e, para que os conhecimentos da teoria das estruturas possam ser aplicados, necessrio fazer diversas simplificaes. Por exemplo, as vigas so apoios indeformveis na direo vertical para as lajes; os pilares fazem o papel de apoios indeslocveis na vertical para as vigas e podem ser considerados, de modo grosseiro, como bi-rotulados em suas extremidades; as lajes so simplesmente apoiadas ou totalmente engastadas nas vigas; as aes nas vigas so uniformemente distribudas, etc. Note-se que a viga 1 descarrega nos pilares P1 e P4 e a viga 2 nos pilares P1 e P2; para encontrar a carga atuante no pilar P1, preciso somar as reaes das vigas 1 e 2 e assim por diante, ou seja, o clculo dos esforos feito no sentido inverso ao da construo. Concluindo, importante destacar que para determinar o esforo que a fundao transmite ao solo, deve-se efetuar o clculo na seguinte seqncia: lajes, vigas, pilares (superestrutura) e fundaes (infra-estrutura); nota-se que o clculo efetuado na seqncia inversa da construo.

Com o advento dos microcomputadores e dos programas de clculo estrutural, em muitos casos possvel um estudo global, sem o uso da discretizao. Assim, a estrutura da figura 1.11 pode ser analisada como mostra a figura 1.13.

Figura 1.13 Perspectiva esquemtica da estrutura de concreto da figura 1.11 calculada agora de uma s vez com uma grelha equivalente e prtico tridimensional e subdividida em grela e prtico espacial.

A anlise pode ser feita de uma nica vez modelando a laje como uma grelha equivalente acoplada s vigas e aos pilares formando uma estrutura tri-dimensional composta de barras prismticas. Outra forma de analisar a estrutura da figura 1.13 est em subdividir a estrutura em pavimento (representado por uma grelha) apoiada nas vigas e nos pilares, calcular os esforos da mesma e resolver o prtico tri-dimensional com as aes oriundas da grelha.

Na primeira soluo o nmero de equaes muito grande e por isso na poca que este texto estava sendo produzido os programas comerciais de estruturas de concreto preferiam a segunda soluo.

1.4- CONSIDERAO DO PAVIMENTO ISOLADO

Como visto anteriormente o pavimento pode ser considerado isoladamente do restante da estrutura. Para projetar o pavimento o projetista pode se valer de sistemas com vigas e lajes macias, ou lajes nervuradas unidirecional, ou nervuradas bi-direcionais todas moldadas no local. Ainda com vigas pode usar lajes pr-fabricadas com nervuras pr-fabricada alveolar e tipo duplo t. Finalmente ainda possvel usar-se pavimentos com lajes lisas, ou seja, sem vigas.

Nas figuras de 1.14 a 1.17 so mostradas as lajes citadas anteriormente,

Figura 1.14 Planta de forma de laje macia

FIGURA 1.15 Pavimento com forma quadrada soluo com laje nervurada em uma direo

e) Armao laje trelia

FIGURA 1.15. Sees transversais de lajes pr-moldadas: a) tipo (; b) alveolar;

c) tipo trilho; d) tipo trelia; e) amadura da nervura da laje tipo trelia (de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2006))

Figura 1.16- Seo Transversal de Laje pr-fabricada com vigotas protendidas (figura 3.1.1b da NBR 14859).

FIGURA 1.17. Perspectiva esquemtica de um painel de laje sem vigas

Todos os tipos de pavimentos enunciados anteriormente podem ser modelados por um sistema de grelhas e tratado isoladamente dos pilares e dos demais andares. A ao lateral de vento ou outras podem ser consideradas em um prtico tri-dimensional e depois considerada nas vigas.

FIGURA 1.18. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje macia e o esquema da grelha equivalente usada na sua modelagem.

Na figura 1.18 mostra-se a perspectiva esquemtica da forma de pavimento com laje macia, vigas e pilares e o esquema da grelha equivalente usada na sua modelagem. Em princpio tanto as vigas como as lajes so modeladas por barras. A diferena est no valor da inrcia flexo e na inrcia toro. As vigas costumam ter baixa inrcia toro e alta inrcia flexo. Os elementos de laje ao contrrio. No caso em questo como se trata de laje macia a modelagem deve considerar barras em duas direes. Os pilares so considerados apoios indeslocveis na vertical. O impedimento da rotao da viga palos pilares pode ser considerado ao se colocar uma mola nos mesmos. Esta mola s faz sentido se for usada nos pilares de extremidade, ou seja, para pilares internos com razovel simetria de cargas e geometria o momento absorvido pelos mesmos pequeno. Ainda assim a mola no conseguir representar todo o efeito do prtico espacial que os pilares e vigas dos diversos andares formam.

FIGURA 1.19. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje nervurada bidirecional e o esquema da grelha equivalente usada na sua modelagem.

No caso de pavimento com lajes nervuradas, como o da figura 1.19, pode-se usar tambm uma grelha para sua modelagem. Torna-se interessante neste caso que as barra usadas nas lajes coincidam com as nervuras da estrutura. Neste caso a inrcia toro destes elementos (barras que representam as nervuras) ser menor do que a usada nas barras que representam elementos de laje macia.

FIGURA 1.20. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje nervurada unidirecional e o esquema da grelha equivalente usada na sua modelagem.

Na figura 1.20 mostrado o esquema de uma grela equivalente usada para modelar o pavimento com lajes nervuradas unidirecionais. Notar que as barras representam as nervuras e portanto para cada trecho de laje s h barras em uma direo.

FIGURA 1.21. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje nervurada unidirecional e o esquema da grelha equivalente usada na sua modelagem considerando tambm a capa funcionando como elemento trabalhando flexo.

Na figura 1.21 visto o mesmo pavimento da figura 1.20 porem modelado com barras que representam as nervuras e barras que podem representar a capa das lajes como foi feito por CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2006) e Flrio (2005).1.5- CONSIDERAO DE PRTICOS PLANOS E TRIDIMENSIONAISPara mostrar como podem ser feitas as anlise das estruturas usando prticos usa-se como fonte principal o trabalho de CARVALHO e MIRANDA Volume 2 (2009).

FFIGURA 1.22. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje macia e vigas em que se considera o sistema de prtico plano para representar o efeito da viga e pilares.

Na figura 1.22 mostra-se o sistema pilares e vigas em como prtico plano suportando as aes verticais. Percebe-se que se os vos forem iguais e as aes tambm iguais em todos os vo no h deformao dos pilares P6 e P7 apenas os pilares P5 e P8 ao impedir a rotao da viga e, portanto surgindo momentos fletores. Por este motivo que na norma Brasileira no item 14.6.7.1 indica que pode ser usado o modelo clssico de calculo de vigas contnuas.

FIGURA 1.23. Perspectiva esquemtica de forma de pavimento com laje macia e vigas em que se considera o sistema clssico de viga contnua.

As estruturas, mesmo as mais simples, esto sempre sujeitas, alm das aes gravitacionais, s aes laterais decorrentes normalmente de vento. Assim a mesma estrutura que serve para absorver os esforos verticais, o prtico plano, serve tambm para absorver os esforos laterais de vento como mostra a figura 1.24.

Figura 1.24Prtico de uma estrutura sob aes verticais e com as mesmas verticais atuando junto com uma ao horizontal de vento. Notar o deslocamento transversal.

No caso de estruturas de grande altura ou de relao entre altura e dimenso em planta grande estes efeitos se tornam mais importantes e podem, inclusive, serem desencadeadoras de situaes de instabilidade. Desta forma embora em algumas situaes as estruturas tenham rigidez suficiente para no se considerar os efeitos de segunda ordem da instabilidade global (definidos adiante) ainda assim preciso pelo menos avaliar se as aes de vento so significativas e necessitam serem consideradas no clculo.

Figura 1.25- Estrutura submetida ao de carga vertical e s aes laterais de vento (v) e os correspondentes efeitos de segunda ordem.

A figura 1.25 mostra claramente o que ocorre com uma estrutura, no caso uma haste reta, vertical, engastada na base e solta no topo sujeita inicialmente a uma carga vertical (no topo) excntrica de (0. No se considerando a deformao da haste o diagrama de momento fletor, chamado de primeira ordem apresenta, no trecho vertical, o mesmo valor para todas as sees (figura 1.25b) e igual M=P(0. Ao considerar a estrutura se deformando surge devido a prpria deformao da estrutura um estado de deformao (figura 1.25c) que origina os momentos fletores, chamados agora de segunda ordem, dados pela figura 1.25d. Ao se considerar a mesma haste submetida tambm ao lateral do vento, representado por um carregamento uniforme de intensidade v, tem-se a situao da figura 1.25.e que resultar nos momentos fletores de segunda ordem representado na figura 1.25.d. Como fica claro os efeitos chamados de segunda ordem, sero em geral, maiores quando se considera aes laterais atuando em uma estrutura. Se a estrutura em questo possuir uma grande rigidez os valores tanto de (1 como de (2 so pequenos resultando em momentos de segunda ordem desprezveis para efeito de clculo. Como visto posteriormente considera-se que o momento de segunda ordem pequeno quando no supera a 10% do momento de primeira ordem. Ressalta-se que tanto no caso do exemplo em questo como tambm nas estruturas usuais os esforos de primeira ordem devido ao vento devem ser considerados exceto nas situaes em que tambm forem de baixa intensidade.

1.6-AES VERTICAIS NOS PAVIMENTOS1.7-AES LATERAISNa estruturas pr-fabricadas, em virtude do tipo de ligaes existentes entre os diversos elementos, a ao do vento costuma ser mais importante no dimensionamento do que nas similares executadas com concretagem no local. No caso de usar a moldagem no local h sempre o efeito do monolitsmo presente nas ligaes entre os diversos elementos. Estas ligaes podem ser considerados, para efeito de rotao, rgidas. Desta forma, nas estruturas pr-fabricada a anlise da ao do vento deve ser feita de forma cuidadosa e mais prxima do real e considerando a semi-rigidez das ligaes para que se garanta, alm da estabilidade global da estrutura, seu funcionamento adequado em servio principalmente nos deslocamentos laterais.

Para realizar a anlise (calculo dos esforos e deslocamentos) devido s aes laterais de vento em estruturas pr-fabricadas com pavimentos pode-se proceder da mesma forma que se faz parta as estruturas moldadas no local com pavimentos de lajes macias. O procedimento se baseia em considerar o pavimento trabalhando segundo seu plano mdio como um diafragma rgido. A partir desta hiptese possvel determinar as aes em todos os elementos de contraventamento. Para estruturas pr-moldadas aps a determinao destas aes devem ser calcular os esforos no plano mdio do pavimento verificando se este esforos atuantes na laje podem ser absorvido, principalmente nas ligaes capa-elemento pr-moldado, laje-viga etc. Para pavimentos moldados no local com laje macia considera-se que estes esforos sejam de baixa intensidade e suportadas pela mesmo.

Assim para verificar a estabilidade global ou verificar deslocamentos devido s aes laterais preciso conhecer como estas aes se distribuem em relao aos elementos de contraventamento. Este o tema deste trabalha que considera tambm algumas particularidades do sistema pr-fabricado com laje alveolar. A segunda etapa do procedimento, ou seja, a verificao da laje propriamente dita no faz parte deste trabalho.1.7.1) Considerao da laje funcionando como Diafragma rgido

Considerar o pavimento como diafragma rgido equivale considerar que a distncia entre dois pontos do pavimento, aps a deformao decorrente da ao lateral, no se altera (como o indicado na figura 1). Em outras palavras isto significa dizer que o pavimento (conjunto de lajes) tm deslocamentos de corpo rgido e portanto o deslocamentos do centro de gravidade da seo de extremidade pilar contido neste pavimento a soma do deslocamento de translao do pavimento como o oriundo da rotao do mesmo.

figura. 1- Estrutura (elevao e planta) sob a ao de esforo lateral e com pavimento trabalhando como diafragma rgido. Os pontos A B (comuns a pilar e laje) antes do deslocamento e AB depois do deslocamento do pavimento continuam guardando a mesma distncia entre eles (figura adaptada de CARVALHO e PINHEIRO (2009))

1.7.2) Procedimento simplificado para a distribuio da ao do vento considerando o diafragma como rgido.Assim considerando o pavimento como um corpo rgido (segundo o seu plano mdio), o modelo de clculo que representara o funcionamento do mesmo est indicado na figura 2.

figura. 2- Planta de pavimento contraventado por prticos que podem ser substitudos por molas (figura central) e que apresentar um movimento de corpo rgido transladando e girando em relao ao centro de rigeza.

Aps a aplicao das aes de vento (FV) o pavimento desloca de (translao, neste caso somente em x mas poderia ter componente em y) e uma rotao como pode ser visto na figura 2.

Se a resultante do vento Rx, considerando atuante s na direo paralela a x, atuar no centro de rotao o pavimento s sofrer um deslocamento igual a . Fazendo equilbrio de momento em relao a origem segundo o centro de rotao ou de rigeze CR(considerando em um primeiro momento apenas atuantes e resistentes parcelas com direo em x) tem-se:

Usando o conceito de rigidez

Analogamente

Para a situao ainda de Resultante aplicada no centro de rigeza (ainda incialmente na direo x) Pode-se escrever, por equilbrio:

e para cada apoio (conjunto de contraventamento)

Substituindo na equao anterior

e voltando segunda equao

Analogamente

Para considerar o efeito de um MOmento aplicado no pavimento e que gera uma rotao , como visto na figura 3, tem-se

figura. 3- Planta de pavimento contraventado por prticos que podem ser substitudos por molas solicitado por um momento atuando no centro de rigeza. Equilbrio de momentos:

Com Ri a fora no elemento de contraventamento i, cuja aplicao se d no ponto A

ri a distncia do centro de rigeza at o ponto A

Novamente pode-se escrever

Substituindo na expresso anterior

e retornado na segunda expresso

a expresso anterior pode ser dada em funo das componentes

Finalmente para um caso geral tem-se

1.7.3 Roteiro para anlise dos elementos de contraventamento sob ao de vento pelo processo simplificadoPara determinar os esforos solicitantes e deslocamentos no elementos de contraventamento, usando clculo simplificado, considerando o pavimento funcionando como diafragma rgido, segue-se o seguinte roteiro:

1) Determinao da rigidez equivalente de cada sistema de conctraventamento

2) Determinar o centro de rotao (CR) do pavimento em funo da distribuio das rigezas dos elementos de contraventamento.

3) Reduzir as aces do vento para o CR (colocar a resultante e o respectivo momento)

4) Calcular a ao atuante em cada elemento de contraventamento atravs das expresses deduzidas

5) Resolver (calcular esforos solicitantes e deslocamentos) o elemento de contraventamento sob as aes anteriores.

1.7.4. Anlise dos elementos de contraventamento sob ao de vento usando anlise matricialA anlise da ao do vento em edificaes, considerando o pavimento rgido, atravs da analise matricial pode ser feita de vrias formas, ou melhor, com diversas modelagens da estrutura.

Existe sempre a possibilidade de trabalhar com barras ou elementosw finitos. Neste trabalho considera-se apenas o uso de barras prismticas.

Obviamente o ideal usar um modelo em trs dimenses com o pavimento sendo representado por um conjunto de barras planas (grelha ou em 3d) e prticos tri-dimensionais. Nos demais processos feita sempre a separao entre o pavimento e o prtico tridimensional. Neste processos (em que ah a separao do pavimento e prtico) a ao do vento nos elementos de contraventamento acaba sendo possvel de ser calculada sem a a resoluo do pavimento (exceto para efeitos de segunda ordem).

Modelo 1) Estrutura considerada com elementos em 3 direes

Modelo 2) Prtico tridimensional em que as vigas possuem inrcia transversal elevada

Modelo 3) Prtico tridimensional com as extremidades dos pilares entre um andar e outro ligadas com escoras.

Modelo 4) Prtico tri-dimensional com a considerao do n mestre.

Estes processos se equivalem no que diz respeito as aes encontradas nos prticos de contraventamento devido ao vento. Para comprovar este hiptese usando o programa STRAP ( )

Seja a edificao cujo esquema estrutural dado na figura 4 e imaginando-a submetida a uma distribuda de vento (0,188 kN/m) pode-se aplicar nela os diversos modelos relatados.

figura 4- Estrutura composta de pavimento rgido e prticos com vigas e pilares esquema em perspectiva volumtrica e em barras.Mostra-se em seguida na figuras 5,6,7 e 8 os resultados obtidos para momento fletor com cada uma das modelagens descritas.

Figura 5- Modelo 1 estrutura considerada em trs dimenses (pavimento representado por grelha), esquema de aes e diagrama de momentos fletores nos pilares.

Figura 6- Modelo 2 prtico tridimensional em que as vigas possuem inrcia transversal elevada. Momentos fletores nos pilares e vigas de contorno.

Figura 7- Modelo prtico tridimensional com as extremidades dos pilares entre um andar e outro ligadas com escoras. Momento fletores nas bases dos pilares

Figura 8- Prtico tri-dimensional com a considerao do n mestre. Anlise 11: Prtico plano

Figura 4. 1 Prtico plano modelado. Figura 4. 2 Esforos nas bases dos pilares.

Figura 4. 3 Estrutura modelada sem laje.

Na Figura 4. 4 possvel observar os valores de esforos obtidos nas bases dos pilares.

A Figura 4. 2 indica os esforos nas bases dos pilares. Pode-se perceber que realmente a ao horizontal, nos modelos anteriores, estava sendo dividida igualmente para os trs prticos (observam-se valores bem prximos de momento na base considerando o prtico plano e os modelos espaciais).

A Erro! Fonte de referncia no encontrada. indica os esforos nas bases dos pilares.

.

Figura 4. 4 Esforos nas bases dos pilares.

1.8 MODELOS USADOS PARA O CLCULO DE EDIFICAES COM OS PROGRAMAS ATUAIS

CAPTULO 3 Anlise matricial de estruturas de barras prismticas.

Neste captulo mostra-se como podem ser resolvidas estruturas prismti

cas com o auxilio da anlise matricial. Para tanto se torna necessrio inicialmente conceituar o que se entende por estruturas de barras prismticas. So estruturas constitudas por elementos em que uma das dimenses, por exemplo, o comprimento muito maior que as outras duas dimenses (da seo transversal). A anlise que consiste na determinao das reaes de apoio, esforos solicitantes, deslocamentos e flechas feita com a ajuda do uso da lgebra matricial, normalmente conhecida por toda estudante e profissional de engenharia.

O termo prismtica consiste em considerar que barras deste tipo possuem em seu comprimento sees transversais constantes. Quando a seo transversal varia no trecho ainda possvel usar a mesma teoria apenas usando-se algumas adaptaes.

elemento de barra (figuras)

Discorre-se aqui apenas sobre os tpicos essenciais concernentes anlise matricial de estruturas, utilizando-se o mtodo dos deslocamentos, e como pode ser realizado um programa de computador que calcule as reaes de apoio, esforos internos solicitantes e deslocamentos de estruturas, por exemplo, de prticos tridimensionais. Salienta-se o fato de que os conceitos apresentados neste captulo so utilizados para anlise de estruturas, independentemente dos materiais utilizados. Portanto, o programa desenvolvido pode ser estendido inclusive anlise de estruturas de concreto pr-moldado, particularmente, para o estudo das ligaes dos elementos.A opo por barras prismticas pode ser atribuda, alm da facilidade de programao, possibilidade da anlise dos pavimentos atravs do sistema de grelhas equivalentes, o qual uma ferramenta usual nos escritrios de projetos brasileiros e permite fazer anlises bastante confiveis. Permite ainda, com a tcnica do carregamento incremental, avanar para a anlise no linear fsica e geomtrica, conforme descrito no captulo 3.

3.1-Tipos de Estruturas.Pode-se classificar as estruturas formada por barras com sees prismticas em: vigas, trelia plana, prtico plano, grelha, trelia espacial e prtico espacial. Esquema estrutural das mesmas apresentado na figura 3.1. As caractersticas destas estruturas esto indicadas no quadro 3.1, que apresenta a caracterstica da estrutura ser plana ou no. No caso das planas tem-se: a viga, a trelia plana, o prtico plano e a grelha, enquanto as tridimensionais so: a trelia tridimensional e o prtico tridimensional. Sob o ponto de vista terico seria possvel trabalhar sempre com o prtico tridimensional j que o mesmo pode englobar as demais estruturas. Porem, at por questes histricas antes mesmo do uso de programas de computadores para confeco da anlise, sempre que era possvel analisar uma estrutura com um esquema mais simples, sem perda razovel de preciso, adotava-se uma das estruturas planas citadas. Ainda no comeo do uso de programas de computador percebeu-se que para economizar espao na memria do computador, tempo de processamento e reduzir a introduo de dados valia o mesmo argumento: sempre que possvel a anlise deve ser feita com uma estrutura plana e com o menor nmero de deslocamentos nodais.

vigatrelia plana

prtico planogrelha

trelia espacialprtico tridimensional

Figura 3.1- Estruturas com barras prismticas.Ressalta-se ainda que para a aplicao de estruturas de concreto armado os dois modelos mais empregados so o grelha para representar pavimentos e o do prtico (sempre que possvel plano) para a anlise de estruturas de contraventamento e a interao entre vigas e pilares. A viga tambm bastante usada mas pode ser substituda por um programa de prtico em que pode se desprezar as aes normais.

Quadro 3.1 Caractersticas das estruturas primticas.EstruturaBarrasEsforos solicitantesDeslocamentos nodais

Vigatodas em um plano e alinhadasCortante e Momento fletoruma rotao e um deslocamento (vertical).

Trelia Planacontidas todas em um plano (com extremidades rotuladas)NormalDeslocamentos lineares em duas direes (x e y)

Prtico planocontidas todas em um planoCortante, Momento Fletor e NormalDeslocamento lineares em duas direes e uma rotao

Grelhaontidas todas em um plano (perpendicular ao do carregamento de foras)Cortante, momento fletor e momento tororDuas rotaes e um deslocamento linear

Trelia espacialBarras no contidas em um s plano com extremidades rotuladasEsforo NormalTrs deslocamentos lineares

Prtico EspacialBarras no contidas em um s plano.Esforo Nornal, Cortante e Cortante Transversal. Momento Toror, momento Fletor e Momento fletor trtansversalTrs deslocamentos lineares e trs rotaes

3.2- Fundamentos tericosAntes de se proceder anlise matricial das estruturas, cabe referenciar algumas definies ou conceitos que facilitaram a anlise do comportamento estrutural. Dentre elas, destacam-se:

Eixos: Denomina-se eixo de um elemento o segmento originado a partir da unio dos centros de massa das sees transversais que o compem. Elementos curvos podem ser discretizados por segmentos lineares de corda dos trechos curvos. Ns: Os eixos dos elementos se interceptam nos chamados pontos nodais ou ns da estrutura. Quando da anlise estrutural, tambm so considerados ns os pontos de apoio e extremidades livres da estrutura ou qualquer outro ponto interno pertencente ao eixo de um elemento, assim como os pontos intermedirios cujos deslocamentos e esforos internos devem ser conhecidos. Ns de apoio: Os ns de apoio ou pontos de apoio podem ser engastes, que impedem deslocamentos verticais, horizontais e rotaes; articulaes, que impedem deslocamentos verticais e horizontais, mas permitem as rotaes; e os apoios mveis, que impedem apenas o deslocamento vertical ou o deslocamento horizontal, ou seja, qualquer elemento que impea total ou parcialmente um deslocamento, a priori possvel, do referido n. Aes: Sero consideradas aes em uma estrutura as foras concentradas, cargas distribudas, ou binrios que estaro submetendo a estrutura a um estado de deformao. Em um primeiro momento para o desenvolvimento do programa, considera-se apenas a atuao de cargas concentradas ou momentos concentrados nos ns.

Deslocamentos: Entende-se por deslocamento uma rotao ou translao em algum ponto do eixo da estrutura. A translao est relacionada distncia percorrida por tal ponto, enquanto a rotao significa o ngulo de rotao da tangente curva elstica neste mesmo ponto. Deformao: Por deformao, entende-se a pequena mudana ocorrida na forma s quais os elementos constituintes da estrutura so submetidos ao serem solicitados pelo carregamento, j definido anteriormente. Ressalta-se que a deformao de um determinado elemento da estrutura originada a partir da combinao dos deslocamentos verificados para os diversos pontos pertencentes ao eixo do e1emento. Neste trabalho, a deformao da estrutura considerada em funo dos deslocamentos de seus ns, tambm j definido anteriormente.

Elementos estruturais: Entende-se por elementos estruturais as peas que compem uma estrutura, que a parte da construo que resiste s diversas aes e garante o equilbrio das edificaes. Estas peas geralmente apresentam uma ou duas dimenses preponderantes sobre as demais (vigas, lajes e pilares). Para o desenvolvimento deste trabalho, foram considerados os elementos lineares prismticos, ou seja, aqueles que apresentam seo transversal constante ao longo do seu comprimento, o qual consiste da dimenso preponderante sobre as demais.

Depois da introduo dos conceitos anteriores pode-se j encaminhar para organizar as variveis que precisam ser conhecidas para fazer a anlise de uma estrutura prismtica. Inicia-se com a definio de coordenadas que podem ser locais e globais. A partir deste trecho as explicaes da montagem do programa so todas referidas a uma estrutura do tipo viga, por ser mais fcil de entender, mas logo em seguida feita a generalizao para os outros tipos de estrutura.

3.2-Coordenadas locais e globais

Definido os tipos de estruturas e conceituados os ns e as barras preciso agora para prosseguir as informaes necessrias para resolver a estrutura e definir o que vem a ser coordenadas locais e globais. As coordenadas so as possibilidades de deslocamentos (linear e angular possveis em um n do elemento ou da estrutura). Tambm j possvel definir eixos locais e globais que servem para referendar as coordenadas em questo.

Na figura 3.2 apresentada uma estrutura do tipo viga e depois com seus elementos (barras). A estrutura em questo composta por 3 elementos e 4 ns. Os eixos de referencia global (X e Y) esto mostrados no primeiro desenho (acima e a esquerda) enquanto nos esquemas dos elementos a esquerda (parte inferior da figura) esto mostrados os eixos locais. Assim, para a estrutura da Figura3.2, inicialmente adota-se os eixos globais X e Y colocando a estrutura na origem deles. Considerando um triedro direto o eixo z seria representado no plano perpendicular ao da figura e segundo este eixo se daria a rotao das sees transversais. Para eixos locais em cada barra adotam-se o eixo x coincidindo com o eixo axial do elemento (neste caso com o eixo global) e analogamente o eixo y.

Figura 3.2 Esquema da estrutura dos elementos, eixos global, locais, coordenadas global e locais para uma estrutura do tipo viga.Os deslocamento (coordenadas) nodais possveis de uma estrutura esto representados na figura 3.2, a direita, na parte superior. Percebe-se que o nmero de deslocamentos possveis para este tipo de estrutura de

ND = 2.ncom ND nmero de deslocamentos nodais possveis;

n nmero de ns

O deslocamentos (coordenadas) locais neste caso de estrutura de viga, obviamente, so quatro e sempre (desde que no haja descontinuidade tal como rtula, ligao semi-rgida) possuem correspondentes globais. No caso da figura 3.2, por esemplo, o deslocamento 4 do elemento 2 corresponde ao deslocamento 6 da estrutura.

Assim, h uma relao entre deslocamentos locais e globais que como visto adiante pode ser obtido atravs de (matrizes) de transformao ou (matrizes) de rotao (ou decomposio).

Para efeito apenas de exemplo mostra-se na figura 3.3 como pode ser representado um elemento de barra de um prtico tri-dimensional com ns 1 e 2, seus eixos locais e coordenadas locais (as rotaes representadas agora com a notao de vetor de seta dupla)..

Figura 3.3 Eixos e coordenadas locais de uma barra tridimensionalQuando se tem um elemento de uma estrutura tri-dimensional procura-se orientar o eixo x ao longo do elemento, ou seja, na direo do comprimento longitudinal do mesmo. Conforme possvel observar a partir da figura, o sistema de eixos forma um triedro direto, ou seja, os versores que representam as direes e sentidos dos eixos obedecem regra da mo direita.

No prtico tridimensional, faz-se necessrio a considerao de 6 deslocamentos nodais possveis, sendo 3 translaes e 3 rotaes. Portanto, devem ser adotadas 6 coordenadas locais para cada um dos ns, que consistem de vetores que representam os referidos deslocamentos. Para o n 1, foram adotadas as coordenadas numeradas de 1 a 6, representando os seguintes deslocamentos:

1. Coordenada 1: translao na direo do eixo x;

2. Coordenada 2: translao na direo do eixo y;

3. Coordenada 3: translao na direo do eixo z;

4. Coordenada 4: rotao em torno do eixo x;

5. Coordenada 5: rotao em torno do eixo y;

6. Coordenada 6: rotao em torno do eixo z.3.3-Definio de coeficiente de flexibilidade e de rigidez.

Os coeficientes de flexibilidade e rigidez de uma estrutura (elemento) podem ser definidos como se segue.Coeficiente de flexibilidade Fij de um elemento em uma direo i o deslocamento que ocorre nesta direo i quando atua na direo j um esforo (pode ser fora ou momento) unitrio. Este deslocamento deve estar referenciado a um sistema de coordenadas.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Figura 3.4 Estrutura (mola) com um deslocamento possvel. Representao da flexibilidade.Seja a estrutura da figura 3.4, composta de um nico elemento e apenas com a coordenada de deslocamento 1 possvel (deslocamento axial). Ao se aplicar um esforo R1 na direo obtm-se um deslocamento (na mesma direo) chamado (e representado na figura) por F11.

Coeficiente de rigidez Kij de um elemento a ao mecnica que ocorre na direo i provocada por um deslocamento (pode ser linear ou angular) unitrio na direo j. Similarmente flexibilidade, a rigidez deve estar referenciada a um sistema de coordenadas.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Figura 3.5 Estrutura (mola) com um deslocamento possvel. Representao da rigidez.

Seja a estrutura da figura 3.5, composta de um nico elemento e apenas com a coordenada de deslocamento 1 possvel (deslocamento axial). Ao se aplicar um deslocamento r1=1 (unitrio) ocorre o esforo K11 na direo 1 chaamado de coeficiente de rigidez.

Os coeficientes de Flexibiliade e rigdez so um inverso do outro

Rij = 1/ (Kij)

O conceito de flexibilidade e rigidez pode ser aplicado para uma estrutura com diversas barras e deslocamentos. Dada um estrutura do tipo viga como a da figura 3.4 com um sistema de coordenadas globais indicados, pode-se obter os coeficientes de rigidez devido um deslocamento unitrio em 1 e indicados desde que se faa os demais deslocamentos nulos. Estes coeficientes (K11, K12 .... K16) podem ser arranjados como uma coluna de uma matriz (Coluna 1).

Figura 3.6 Estrutura de viga continua (da figura 3.2) como sistema de coordenadas globais e o deslocamento unitrio em 1 (com os demais nulos) e os esforos resultantes (coeficientes de rigidez).

Os demais coeficientes de rigidez possveis da estrutura de viga podem ser determinados de forma similar aos da direo 1 obtendo-se a matriz de RIGIDEZ DA ESTRUTURA indicada na figura 3.7. Figura 3.7 Coeficientes de rigidez da estrutura de viga contnua (da figura 3.2) armazenados em forma matricial. Matriz de rigidez da estrutura. A matriz de rigidez simtrica

Kij = Kji Teorema de BetisH uma maneira mais simples de gerar a matriz de rigidez da estrutura da viga contnua das figura 3.2 e 3.6 basta considerar a estrutura composta de duas barras, calcular a matriz de rigidez de cada barra e somar os coeficientes de cada uma adequadamente para formar a matriz de rigidez da estrutura. Assim, seja a viga da figura 3.8 que pode ser decomposta em duas barras. So mostradas nas figura ainda as coordenadas globais e as locais de uma (e da outra) barra.

Figura 3.8 Estrutura de viga continua (da figura 3.2) com um sistema de coordenadas globais; as barras que fazem parte da mesma(j como os deslocamento impedidos) e o sistema de coordenadas locais.A matriz de rigidez da estrutura pode ser montada atravs da matriz do elemento 1 (em azul) e do elemento 2 (em rosa) como pode ser visto de forma esquemtica no figura 3.9 onde indicada atravs de quadrados as posies dos elementos na matriza. A matriz de rigidez de um elemento aquela em que se obtm a partir das coordenadas locais.

Figura 3.9 Esquema para mostrar a montagem de matriz de rigidez da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada elemento.

Assim, para a matriz de rigidez da estrutura tem-se:

- coeficiente de rigidez da estrutura na direo 3 (coordenada global) devido a um deslocamento na direo 3.

- coeficiente de rigidez do elemento 1 na direo 3 (coordenada local) devido a um deslocamento na direo 3.

coeficiente de rigidez do elemento 2 na direo 1 (coordenada local) devido a um deslocamento na direo 1. importante perceber que apenas para esta situao que foi relativamente simples montar a matriz de rigidez da estrutura a partir da matriz de rigidez do elemento como ser visto posteriormente preciso usar uma matriz de transformaoao ou de rotao para efetuar a montagem. 3.4-Clculo da matriz de rigidez de um elemento.Todo o procedimento de resoluo de estruturas pelo mtodo de rigidez baseado na obteno da matriz de rigidez, que para elementos mais simples pode ser obtida facilmente e normalmente j se encontram disponibilizadas nas publicaes especficas. Para ficar claro feito aqui a obteno de um dos termos de um termo da matriz de rigidez um elemento de viga e os demais elementos e respectivas matrizes so apenas indicadas.

Figura 3.10 Esquema de um elemento de viga para mostrar a o clculo do coeficiente de rigidez para o deslocamento unitrio na direo 1.

Imaginando a viga (um elemento de viga) da figura 3.10 e com as coordenadas globais indicadas. Considerando um deslocamento unitrio na direo 1 surgem os valores de reaes K11, K12, K13 e K14. Pode-se escrever ento o momento fletor em uma seo S distante x do apoio esquerda a equao do momento fletor:

(3.1)Da resistncia dos materiais pode-se escrever a equao da elstica:

(3.2)

Aplicando a expresso 3.1 em 3.2 fica com

(3.3)Integrando 3.3

(3.4)

Mas lembrando que para x=0 dy/dx (rotao)=0 e aplicando em 3.4 resulta em C1=0.

Outra condio da estrutura que para x=L (comprimento da barra) dy/dx (rotao)=0 aplicando esta condio em 3.4 chega-se a:

(3.5)Integrando 3.4 chega-se a

(3.6)

Impondo a condio de contorno para x=0 y=1

e portanto a expresso 3.6 fica

(3.7)

Para x=L (comprimento da barra) sabe-se que y=0 aplicando esta condio em 3.7 e com 3.5 chega-se a:

(

(3.8)O sinal negativo se deve ao fato que foi desde incio (ver a figura) considerado o esforo contrrio a coordenada em questo se no desenho de K11 troca-se seu sentido o sinal desaparece . Finalmente os termos da matriz de rigidez de um elemento tipo viga com as coordenadas indicadas anteriormente pode ser dada pela matriz que aparece na figura 3.11.

Figura 3.11 Matriz de rigidez de um elemento de viga.A ttulo ilustrativo apresenta-se na figura 3.12 a matriz de rigidez de um elemento de prtico tridimensional.

Figura 3.12 Matriz de rigidez de um elemento de prtico tridimensional.3.4-Processo dos deslocamentos com anlise matricial.

Como j escrito analisar uma estrutura obter os esforos solicitantes e os deslocamentos dos diversos pontos da mesma a partir da geometria, caracterstiscas geomtrica, elsticas e aes atuantes. Para resolver uma estrutura, por exemplo, igual a indicada na figura 3.13,do tipo viga pode-se usar o sistema de coordenadas globais indicado. As incgnitas, quando se opta pelo processo dos deslocamentos, passam a ser os deslocamentos nodais d1, d2, d3, d4, d5 e d6. Assim para a estrutura em questo as incognistas passam a ser d2, d4 e d6, pois os demais so nulos.

Figura 3.13 Estrutura do tipo viga, com coordenadas locais e deslocamentos desconhecidos.

De qualquer maneira dada uma estrutura de viga, conhecidos seus coeficientes de rigidez (matriz de rigidez da estrutura) e chamando de D1,D2,...Di,... Dn os deslocamento nodais da estrutura pode-se dizer. Inicia-se o raciocnio imaginando a estrutura resolvida e assim todos os deslocamentos D conhecidos. Assim, se ocorre D1 (um deslocamento na direo 1) surge nesta direo 1, um esforo igual K11.D1 . Mas o estado de deformao da estrutura indica a existncia de D2.que deve provocar na direo 1 um esforo igual a K12.D2 e assim sucessivamente. Considerando a superposio de efeitos chega-se as expresses para as direes 1 e 2 :

K11D1 + K12D2 + K13D3 + ... + K1nDn = P1

K21D1 + K22D2 + K23D3 + ... + K2nDn = P2

Onde

Kij so os coeficientes de rigidez;

Di so os deslocamentos nodais;

Pi so os carregamentos nodais Colocando sob forma matricial fica-se com

ou de maneira mais condensada

{P} = {K}{D}

(3.9)Que pode ser lido como: A matriz de aes atuantes nodais (externas) igual ao produto da matriz de rigidez da estrutura pelos deslocamentos nodais.

Resolver (ou fazer a anlise da mesma) a estrutura significa conhecer o estado de deslocamento dos pontos nodais. assim pode-se resolver o conjunto de equaes lineares representado por 3.9 fazendo:

{D}= {K}{P}

(3.10)Com {K} a matriz inversa de {K} (o produto de ambas resulta na matriz identidade).Transformando os deslocamento nodais globais em locais chamando-os aqui de d1, d2, d3 e d4 pode-se cheguar aos esforos solicitantes nas extremidades das barras a partir de:

{p}= {Kel}{d}

(3.11)Com

{p}- matriz dos esforos solicitantes nos ns do elemento

{Kel}- matriz de rigidez do elemento

{d} deslocamaentos nodais do elemento (nas coordenadas locais).3.5-Exemplo Numrico

Exemplo 1- Calcular a viga dada com inrcia constante de I e com valor de mdulo de elasticidade E e com vos igual a L.

Figura 3.14 Estrutura de viga para o exemplo 1.

Para resolver a estrutura dada inicialmente numera-se os ns, as barras, as coordenadas globais e os eixos como mostrado na figura 3.15.

Figura 3.15 Estrutura do exemplo 1 com numerao de ns, elementos, coordenadas globais , locais e eixos.

Pode-se aps a numerao montar a matriz de rigidez do elemento a partir da rigidez de cada elemento. O esquema da figura 3,9 ajuda neste clcilo. Este esquema reproduzido novamente na figura 3.16 mostra que os coeficientes K15, K16. K25,K26 (e os simtricos) so nulos. Exceto os termos K33, K34. K44,K43 os demais termos no nulos decorrem dos valores de cada barra isolada.

Figura 3.16 (3.9 repetida) Esquema para mostrar a montagem de matriz de rigidez da estrutura a partir da matriz de rigidez de cada elemento.Assim

Com

K33 coeficiente de rigidez da estrutura na direo 3 com deslocamento unitrio em 3

-coeficiente de rigidez do elemento 1 na direo 3 com deslocamento unitrio em 3

- coeficiente de rigidez do elemento 2 na direo 1 (do elemento) com deslocamento unitrio em 1 (do elemento e 3 na da estrutura).

Analogamente

Finalmente a matriz de rigidez da estrutura fica com a forma final

O vetor dos deslocamentos considerando que segundo as direes 1,3, 5 e 6 so nulas (pois h vnculos que restringem os deslocamentos).fica com a forma:

O vetor de aes fica com a forma

=

Com os valores de P1, P3, P5, P6 so as reaes dos vnculos indeterminados no incio da resoluo do problema.Agora basta usar a expresso (3.10) para resolvero o problema:

{D}= {K}{P}

Neste caso dado preferncia ao uso do sistema de equaes pelo processo direto ento as equaes da estrutura so:K11D1 + K12D2 + K13D3 + K14D4+ K15D5 +K16D6 = P1

K21D1 + K22D2 + K23D3 + K24D4+ K25D5 + K26D6 = P2K31D1 + K32D2 + K33D3 + K34D4+ K35D5 + K36D6 = P3K41D1 + K42D2 + K43D3 + K44D4+ K45D5 + K46D6 = P4K51D1 + K52D2 + K53D3 + K54D4+ K55D5 + K56D6 = P5K61D1 + K62D2 + K63D3 + K56D4+ K65D5 + K66D6 = P6Lembrando que h diversos valores nulos do deslocamento o sistema fica e verificando que as incgnitas (deslocamentos desejadas so D2 e D4 separa-se a segunda equao e a quarta tem-se:K22D2 + K24D4 = 2

K42D2 + K44D4 = 0que substituindo os valores dos coeficientes de rigidez:

(4EI/L). D2 + (2EI/L). D4=2(2EI/L). D2 + (8EI/L). D4=0

Assim da ltima equaoD2 =-(4)D4Portanto

3.6-Processo de resoluo de sistemas lineares de equaes simultneas.

A resoluo de um sistema de equaes simultneas lineares pode ser feita de vrias formas, embora das mais usadas e adequadas a resoluo de estruturas a que usa o procedimento de GAUSS. J sabido que este sistema pode sempre ser aplicado as estruturas em comportamento elstico sem causar errso numricos ou mesmo imprecises mesmo quando se tem um sistema de muitas equaes sendo usado. Imagine-se o sistema dado a seguir (expresso 3.n). a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6 = p1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4+ a25 x5 + a26 x6 = p2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4+ a35 x5 + a36 x6 = p3 (3.n)a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4+ a45 x5 + a46 x6 = p4

a51 x1 + a52 x2 + a53 x3 + a54 x4+ a55 x5 + a56 x6 = p5

a61 x1 + a62 x2 + a63 x3 + a56 x4+ a65 x5 + a66 x6 = p6

No sistema dado as incgnitas a se determinar so x1; x2 ; x3; x4; x5 e x6 com p1; p2 ; p3; p4; p5 e p6 os termos independentes e a11 ;a12 ....a66 coeficientes das equaes.

O sistema pode ser escrito de forma matricial como j foi escrito para a estrutura em (3.9) {p} = {x}{a}

(3.9 bis)Que pode ser lido como: O vetor de termos independentes igual ao produtos da matriz de coeficientes na equaes pelo vetor de incgintas.

Resolver (ou fazer a anlise da mesma) a estrutura significa conhecer os valores do vetor x. Assim pode-se resolver o conjunto de equaes lineares representado por 3.9 bis fazendo:

{x}= {P}{a}

(3.10 bis)Com {a} a matriz inversa de {a} (o produto de ambas resulta na matriz identidade). Este o caminho clssico da teoria de matrizes, mas aqui se d preferncia ao estudo da resoluo algbrica do sistema. Chama-se ainda a ateno que ao se usar o procedimento que usa o determinante da matriz pode-se chegar a imprecises na ordem da resoluo da estrutura de at 10% (o que no pouco para se fazer uma anlise). Um procedimento bastante intuitivo o de isolar na primeira equao a incgnita x1 em funo do termo independente e das outras incgnitas. Com o valor de x1 conhecido substitui-se o mesmo na segunda equao e depois nas demais equaes. Ao terminar esta operao obtido um sistema com n-1 equaes e n-1 incgnita (x1 foi substitudo em todas as equaes) . Ao se proceder novamente desta forma e de forma sucessiva chega-se a etapa n-1 com uma equao s em que o valor de xn passa a ser conhecido. A partir deste instante basta voltar na equao anterior (n-1) com o valor de xn para obter rapidamente xn-1 e da mesma forma conhecer as outras incgnitas.

Agora passa-se a estudar detalhadamente estas operaes para tentar automatizar o mximo possvel o procedimento. Iniciando com o isolamento de x1Ao se proceder ao isolamento de x1 tem-se inicialmente:x1 +(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 = (p1/a11)

esta passagem corresponde a dividir todos os termos da primeira equao pelo termo da diagonal principal aii no caso a11Isolando x1x1 = (p1/a11) -(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 Substituindo na segunda equao a21 (p1/a11) -(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 )+ a22 x2 + a23 x3 + a24 x4+ a25 x5 + a26 x6 = p2

Reagrupando chega-se a 0.x1+(-a12.a21/a11+a22 )x2+(-a13.a21/a11+a23) x3+(-a14.a21/a11+a24 ) x4+(-a15.a21/a11+a25 )x5+(-a16.a21/a11+a26) x6 =(-p1.a21/a11 )+p2 Repare que a equao anterior equivale a realizar as seguintes operaes:

dividir todos os termos da primeira equao pelo pivo (no caso a11)

x1 +(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 = (p1/a11)

Multiplicar com o sinal trocado toda a equao pelo valor do coeficiente da linha subseqente a do piv (neste caso multiplicar por a21).

-a21 x1 + (-a21).(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 = (-a21).(p1/a11)

Finalmente Soma-se esta primeira linha da equao (j transformada com a segunda linha).

-a21 x1 + (-a21).(a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6)/a11 = (-a21).(p1/a11)

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4+ a25 x5 + a26 x6 = p2

Resultando em

0.x1+(-a12.a21/a11+a22 )x2+(-a13.a21/a11+a23) x3+(-a14.a21/a11+a24 ) x4+(-a15.a21/a11+a25 )x5+(-a16.a21/a11+a26) x6 =(-p1.a21/a11 )+p2

fcil perceber que ao fazer esta soma para a primeira posio sistema tem-se

(a11/a11)(-a21)+ a21 que resulta em zero. Tal situao se reprete para as outras equaes ficando o sistema a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4+ a15 x5 +a16 x6 = p1

0. x1 + a221 x2 + a231 x3 + a241 x4+ a251 x5 + a261 x6 = p210. x1 + a321 x2 + a331 x3 + a341 x4+ a351 x5 + a361 x6 = p31 0. x1 + a421 x2 + a431 x3 + a441 x4+ a451 x5 + a461 x6 = p410. x1 + a521 x2 + a531 x3 + a541 x4+ a551 x5 + a561 x6 = p510. x1 + a621 x2 + a631 x3 + a561 x4+ a651 x5 + a661 x6 = p61 onde o termo aij1 corresponde ao termo aij somado ao termo da primeira linha divido pelo pivo e multiplicado por a1nAssim o termo geral da primeira passagem :

EMBED Equation.3 Outro aspecto de se chamar a ateno que aps a primeira passagem, ou seja a substituio de x11 nas demais equaes resulta em obter um sistema que representado por uma coluna(a primeira) de zeros abaixo da diagonal principal.

Repetindo o procedimento n-1 vezes (no caso do sitema 5 vezes) deve-se encontra um sistema representado por:

a11. x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + a15 x5 + a16 x6 = p1

0. x1 + a221 x2 + a231 x3 + a241 x4+ a251 x5 + a261 x6 = p210. x1 + 0.x2 + a332 x3 + a342 x4+ a352 x5 + a362 x6 = p320.x1 + 0. x2 + 0. x3 + a443 x4+ a453 x5 + a463 x6 = p430. x1 + 0.x2 + 0. x3 + 0. x4 + a554 x5 + a564 x6 = p540. x1 + 0. x2 + 0. x3 + 0.x4 + 0.x5 + a665 x6 = p65 Que pode ser melhor visualizado separando os coeficientes (j transformados), o vetor das incgnitas e finalmente o vetor dos termos independentes com indicado a seguir.a11 a12 a13 a14 a15 a16

0 a221 a231 a241 a251 a2610 0 a332 a342 a352 a3620 0 0 a443 a453 a4630 0 0 0 a554 a5640 0 0 0 0 a665x1x2

x3

x4

x5

x6p1

p21p32p43p54p65

No esquema anterior fica claro que a matriz dos coeficientes devidamente transformada tornou-se uma matriz triangular com zeros abaixo da diagonal principal. Por isto esta etapa do procedimento conhecida como a triangularizao da matriz dos coeficientes. Notar que se quisesse resolver uma estrutura submetida aos carregamentos p, q e r o sistema poderia ser resolvido simultaneamente como o esquema dado a seguir a11 a12 a13 a14 a15 a16

0 a221 a231 a241 a251 a2610 0 a332 a342 a352 a3620 0 0 a443 a453 a4630 0 0 0 a554 a5640 0 0 0 0 a665x1x2

x3

x4

x5

x6p1

p21p32p43p54p65

q1

q21q32q43q54q65

r1

r21r32r43r54r65

Com as operaes realizadas pode-se proceder a chamada retrosubstituio pois da ltima equao j se tem a ltima incgnita no caso em questo x6 (xn) pode-se coloc-la na equao anterior a equao 5 (ou equao n-1) obtendo-se o valor da incgnita x5. Repete-se o procedimento at obter-se todas as incgnitas.

EXEMPLO NUMRICO

Resolver o sistema dado pelas matrizes

1 3 5

8 2 1

4 5 1x1x2x3

31

21

27

Aplicando o processo anterior faz-se a primeira passagem

Inicia-se pela determinao do piv que neste caso igual a 1 e a zeragem da linha 2Linha 11 3 531

Linha 1 dividida pelo piv neste caso 11 3 531

Multiplicar a linha 1 pelo termo a12 com sinal trocado x(-8) -8 -24 -40 -248

segunda linha 8 2 1 26

Soma das duas etapas anteriores 0 -22 -39 -222

Repetindo o processo com a terceira linha (piv igual a 1) zeragem da linha 3Linha 11 3 531

Linha 1 dividida pelo piv neste caso 11 3 531

Multiplicar a linha 1 pelo termo a12 com sinal trocado x(-4) -4 -12 -20 -124

terceira linha 4 5 1 27

Soma das duas etapas anteriores 0 -7 -19 -97

Aps a primeira passagem tem-se o sistema j modificado1 3 5

0 -22 -39

0 -7 -19x1x2x3

31

-222

-97

Aplicando o processo anterior para a segunda passagem

Inicia-se pela determinao do piv que neste caso igual a -22 e a zeragem da linha 3

Linha 20 -22 -39-322

Linha 2 dividida pelo piv neste caso 10 1 39/22222/22

Multiplicar a linha 2 pelo termo a23 com sinal trocado x(7) 0 7 12,41 70,70

terceira linha 0 -7 -19 -97

Soma das duas etapas anteriores 0 0 -6,59 -26,3

Aps a segunda passagem (e ltima neste caso) tem-se o sistema j modificado

1 3 5

0 -22 -39

0 0 -6,59x1x2x3

31

-222

-26,3

Agora pode se iniciar o procedimento de retro substituio

A ltima equao

-6,59 x3 = -26,4

( x3 =4,0A penltima equao

-22x2 -39 x3 = -222 ( -22x2 -39 (4,0) = -222 ( x2 =3,0

A primeira equao

x1+ 3 x2 + 5 x3 = 31 ( x1+ 3 (3) + 5 (4) = 31 ( x1 =2,0

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5.12518.143

7.4618.595

8.76718.755

12.00518.9

12.419.03

1319.833

13.33819.775

13.67320.028

13.67820.17

14.1220.31

14.19820.668

15.2920.825

21.253

22.405

23.268

24.558

24.6

24.81

24.92

25.02

25.585

25.795

26.02

26.618

26.778

27.565

28.613

28.61

Tempo (dias)

Flecha (mm)

Plan1

IdadeLaje AIdadeLaje BLaje CLaje DLaje E

85.12585.420

97.46097.682

108.767108.892

1712.0051711.948

1812.4001812.290

2113.0002115.465

2813.3382816.1484.5458.2005.925

2913.6732916.6785.8758.7738.010

3013.6783016.8706.3428.8589.168

3114.1203117.0487.3759.7159.420

3214.1983217.2937.9109.9289.745

3515.2903518.1209.62711.58011.023

3518.1433618.6489.87511.67811.208

3618.5953719.04810.06011.77011.538

3718.7553819.32810.82511.82511.765

3818.9003919.68311.00011.87011.975

3919.0304219.90311.30013.19812.015

4219.833Carreg22.98313.31517.96515.150

4319.7754323.51514.95518.29516.215

4420.0284423.53015.66518.43316.433

4520.1704523.54515.80018.74516.608

4620.3104623.57316.18818.89316.700

5020.6685024.03316.71319.02016.823

5220.8255224.04416.91319.45516.933

5721.2535724.05517.54820.77017.388

6522.4056525.50018.68323.04518.455

7223.2687227.09319.84324.95519.480

8024.5588028.09820.99825.98021.343

8624.6008628.17021.15026.65321.450

9824.8109828.30521.27326.76821.668

9924.9209928.31821.44626.84021.798

10925.02010928.40021.90026.95521.820

11925.58511928.44022.29027.16321.845

12825.79512828.56325.58028.36521.900

13526.02013528.88325.91028.63021.988

14326.61814330.32826.09528.79822.303

15626.77815631.06527.22029.27022.620

17127.56517131.96527.75329.44023.400

18428.61318432.25027.85529.64023.875

20028.61020032.58028.03029.94024.010

Plan1

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tempo (dias)

Flecha (mm)

Laje A

Plan2

Idade

85.420

97.682

108.892

1711.948

1812.290

2115.465

2816.148

2916.678

3016.870

3117.048

3217.293

3518.120

3618.648

3719.048

3819.328

3919.683

4219.903

4222.983

4323.515

4423.53

4523.545

4623.573

5024.033

5224.044

5724.055

6525.500

7227.093

8028.098

8628.17

9828.305

9928.318

10928.400

11928.440

12828.563

13528.883

14330.328

15631.065

17131.965

18432.250

20032.580

Plan2

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

0

0

0

0

0

Tempo (dias)

Flecha (mm)

Laje B

Plan3

Idade

8

9

10

17

18

21

284.545

295.875

306.3425

317.375

327.91

359.6275

369.875

3710.06

3810.825

3911

4211.3

4213.315

4314.955

4415.665

4515.8

4616.1875

5016.7125

5216.9125

5717.5475

6518.6825

7219.8425

8020.9975

8621.15

9821.2725

9921.4455

10921.9

11922.29

12825.58

13525.91

14326.095

15627.22

17127.753

18427.855

20028.03

Plan3

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tempo (dias)

Flecha (mm)

Laje C

Plan4

Idade

8

9

10

17

18

21

288.2

298.7725

308.8575

319.715

329.9275

3511.58

3611.6775

3711.77

3811.825

3911.87

4213.1975

4217.965

4318.295

4418.4325

4518.745

4618.8925

5019.02

5219.455

5720.77

6523.045

7224.955

8025.98

8626.6525

9826.768

9926.84

10926.955

11927.1625

12828.365

13528.63

14328.798

15629.27

17129.44

18429.64

20029.94

Plan4

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Tempo (dias)

Flecha (mm)

Laje D

Plan5

Idade

8

9

10

17

18

21

285.925

298.01

309.1675

319.42

329.745

3511.0225

3611.2075

3711.538

3811.765

3911.975

4212.015

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