Estruturas de Concreto II-PILARES

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Estruturas de Concreto II

Prof. Engº Grécio Lima Vieira

PILARES1. INTRODUÇÃO

Em estruturas de edifícios, os pilares são elementos verticais que têma função primária de transmitir as ações verticais gravitacionais e deserviço e as horizontais (vento) às fundações, além de conferiremestabilidade global ao edifício. Os pilares usuais dos edifíciosapresentam um comportamento de flexo-compressão, sendo as forçasnormais de compressão preponderantes.

Em edifícios correntes de concreto armado, as seções dos pilares sãogeralmente retangulares Pilares de seções quadradas ou circularestambém podem ser considerados em projetos estruturais de edifíciospara atender o indicado no projeto arquitetônico. Em virtude do tipo dematerial (concreto) e da solicitação preponderantemente de força decompressão, os pilares apresentam rupturas frágeis. A ruína de umaseção transversal de um único pilar pode ocasionar o colapsoprogressivo dos demais pavimentos subsequentes provocando, assim,a ruína de toda a estrutura.

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1. INTRODUÇÃO

As disposições dos pilares na planta de forma de um edifício sãoimportantes, pois o posicionamento destes, juntamente com as vigas,formam pórticos que proporcionam rigidez e conferem estabilidadeglobal ao edifício.

Por consequência, os pilares são peças estruturais do edifício queprecisam ser projetados cuidadosamente, englobando osdimensionamentos e os detalhamentos corretos.

Projetos adequados de elementos de concreto estrutural, em termosde resistência, estabilidade e durabilidade, precisam ser feitos deacordo com as diretrizes e recomendações de normas técnicas.

Este texto foi escrito considerando os critérios da NBR 6118:2003 –Projeto de estruturas de concreto, edição de 2004.

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2. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES EM EDIFÍCIOS

2.1 Quanto à posição

Os pilares podem ser classificados de acordo com a sua posição naplanta de forma de um pavimento tipo de edifício em: pilaresintermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, conforme afigura 2.1. Essa classificação permite considerar as diferentessituações de projeto e de cálculo, em relação aos esforçossolicitantes, em que cada um desses pilares se enquadra.

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2.1.1 Pilares Intermediários

•Considera-se que os pilares intermediários estejam submetidos

•preponderantemente às forças axiais de compressão, pois osmódulos dos momentos fletores são de pequena intensidade, emrelação às ações verticais apenas (as permanentes e as variáveisnormais). A menos que os vãos das vigas contínuas que se apóiamnesses pilares sejam consideravelmente diferentes, desprezam-se osmomentos fletores finais transmitidos aos pilares. Portanto, nasituação de projeto, admite-se o pilar intermediário submetido a umacompressão centrada, isto é a excentricidade inicial é consideradaigual a zero para o dimensionamento das áreas das armaduraslongitudinal e transversal.

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2.1.2 Pilares de extremidade

Os pilares de extremidade, além de estarem submetidos às forçasnormais de compressão, também estão sujeitos à ação de momentostransmitidos pelas vigas que têm suas extremidades externas nessespilares. Não considerados os momentos transmitidos por vigastransversais ao eixo da viga interrompida. Portanto, na situação deprojeto, admite-se o pilar de extremidade submetido à flexão normalcomposta, considerando-se, portanto, excentricidade inicial segundouma das ordenadas locais da seção transversal do pilar.

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2.1.3 Pilares de canto

Além da força normal de compressão atuante consideram-se osmomentos transmitidos pelas vigas, cujos planos médios sãoperpendiculares às faces dos pilares, e são interrompidas nas bordasdo pilar. Na situação de projeto, portanto, considera-se o pilar de cantosubmetido à flexão oblíqua composta, com excentricidades iniciassegundo os eixos coordenados locais.

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2.2 Quanto ao tipo de solicitação

Embora a classificação quanto à posição na estrutura ainda sejabastante usual, a tendência é substituí-la por outra que consideresimplesmente o tipo de solicitação a que o pilar está submetido. Ouseja, pilares sob compressão centrada, pilares sob flexão compostanormal e pilares sob flexão composta oblíqua.

Assim, poderiam ser enquadrados casos especiais em que aclassificação quanto à posição não conduz à real forma de solicitaçãodo pilar. É o que ocorre, por exemplo, quando uma viga é interrompidaem um pilar interno, deixando este de estar sob compressão centradana situação de projeto.

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2.2 Quanto ao tipo de solicitação

Na análise estrutural, que tem por finalidade determinarem-se osesforços solicitantes nas barras da estrutura, feita por processoaproximado, sem assistência de programa computacional, pode serútil a classificação indicada.

Quando se determinam os esforços solicitantes considerando o efeitode pórtico espacial, como atualmente é feito nos projetos de estruturasde edifícios, os pilares são todos submetidos a ações de flexãocomposta oblíqua, ou seja, força normal e momentos fletores complanos de ações em duas direções.

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2.2 Quanto à esbeltez

2.3.1 Definição de índice de esbeltez

•O índice de esbeltez dos pilares de concreto armado que fazem partede estruturas de edifícios é a razão entre o comprimento equivalente( ) do pilar e o raio de giração (i) da seção, conforme expressão 2.1:

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O comprimento equivalente ( ) do pilar, suposto vinculado em ambasas extremidades, assume o menor dos seguintes valores:

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Conhecendo-se o comprimento equivalente em cada direção, o índicede esbeltez em seções retangulares pode ser calculado por:

sendo que h é a medida da seção transversal paralela ao plano deação do momento atuante no pilar, oriundo do ligação com a viga.

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2.3.2 Critérios da NBR 6118:2003 para cálculo do valor dereferência

Com os critérios de projeto de pilares indicados na NBR 6118:2003, oslimites de esbeltez que definem a classificação dos pilares, dependemde fatores adicionais, tais como a excentricidade relativa, as condiçõesde vinculação das extremidades e da forma do diagrama demomentos fletores. Esses fatores são considerados por meio docoeficiente λ , o qual é calculado por:

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Com a restrição para o coeficiente de λ dado por:

35 λ 90

sendo:

/h a excentricidade relativa de primeira (1.ª) ordem, não incluindo aexcentricidade acidental;

um coeficiente que depende da distribuição de momentos no pilar.

O valor de pode ser obtido de acordo com as seguintes situações:

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a – Para pilares biapoiados sem cargas transversais (figura 2.2):

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sendo e os momentos solicitantes de 1° ordem nas extremi-dades do pilar. Adota-se para o maior valor absoluto entre os

dois momentos de ex-

tremidade. Adota-se o

sinal positivo para ,

se este tracionar a me-

sma face que (cur-

vatura simples), e nega-

tivo em caso contrário

(curvatura dupla).

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2.3.2 Critérios da NBR 6118:2003 para consideração dos efeitosde segunda ordem

Quanto à esbeltez, os pilares podem ser classificados como:

Pilares curtos (λ ≤ λ ) em que os índices de esbeltez são menores que os de referência e, portanto, os efeitos de segunda ordem não precisam ser considerados.

Pilares medianamente esbeltos (λ < λ ≤ 90) que são aqueles para os quais podem ser considerados os efeitos de segunda ordem por processo aproximado como o método do pilar-padrão com curvatura aproximada.

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Quanto à esbeltez, os pilares podem ser classificados como:

Pilares esbeltos (90 < λ ≤ 140) são aqueles para os quais é possível considerar-se nos projetos o método do pilar-padrão acoplado a diagramas de M – N – 1/r.

Pilares muito esbeltos (140 < λ ≤ 200) que exigem a consideração de processos exatos para a verificação do estado limite de instabilidade.

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A NBR 6118:2003 não permite que se projete e construa pilar com índice de esbeltez (λ) maior do que 200. Esse pode ser ultrapassado nos casos de postes com força normal menor do que 0,10 ⋅ ⋅ .

Neste texto só são estudados pilares com índice de esbeltez menor do que 90, ou seja, (λ ≤ 90).

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3. DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

3.1 Considerações iniciais

Os princípios do equilíbrio de forças e momentos, da compatibilidadede deformações e os domínios de deformações utilizados na análisede vigas são igualmente aplicados aos pilares. No caso de pilares, aforça normal é introduzida às equações, tornando o problema comoum caso de flexão composta normal ou de flexão composta oblíqua.

No caso de flexão composta oblíqua, a obtenção de uma soluçãogeral por meio das equações de equilíbrio e compatibilidade épraticamente impossível, uma vez que é desconhecida a distância e ainclinação da linha neutra. Do ponto de vista prático, tanto no caso deflexão composta reta e principalmente no caso de flexão compostaoblíqua, podem ser utilizados ábacos, que são de fácil utilização e boaprecisão, ou programa computacionais de dimensionamento da áreade armadura.

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3.1 Considerações iniciais

Com relação à utilização dos ábacos, nestes normalmente sãopreestabelecidas a forma da seção e a disposição das barras daarmadura, necessitando conhecer, além das propriedades mecânicasdos materiais aço e concreto, as excentricidades calculadas nosprocedimentos de dimensionamento.

As excentricidades nos pilares ocorrem não só por conta dassolicitações iniciais atuantes nos pilares, mas também por causa defatores adicionais como os efeitos de 2.ª ordem, as imperfeiçõesgeométricas e a fluência do concreto.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamentoPara o dimensionamento dos pilares, é necessário obter asexcentricidades pertinentes ao tipo de pilar analisado. Apresentam-seneste item os critérios para a obtenção dessas excentricidades empilares isolados, de acordo com as recomendações da norma NBR6118:2003.3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordemComo é sabido as vigas e os pilares formam os pórticostridimensionais, de tal modo que os pilares ficam submetidos a flexãooblíqua composta e, portanto, apresentam excentricidades iniciais emduas direções principais medidas a partir do centro geométrico dopilar, e numericamente iguais aos valores dos momentos com planode ação contendo cada eixo principal divididos pelo módulo da forçanormal de compressão, conforme expressões 3.1.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordem

Nos casos de projetos em que se consideram processos simplificadospara a determinação dos esforços solicitantes (força normal, momentofletor e força cortante), por exemplo, o processo de viga contínuaindicado na NBR 61228:2003, admite-se que as excentricidadesiniciais surgem nos pilares de extremidade e nos pilares de canto.Lembra-se que para os pilares intermediários as excentricidades nãosão consideradas.As excentricidades iniciais são calculadas com a expressão 3.1:

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sendo: a força normal solicitante de cálculo;

, e , os momentos solicitantes de cálculo nas extremidades do pilar.

Neste texto adota-se, de acordo com a NBR 6118:2003, para , amaior excentricidade em valor absoluto.Além das excentricidades iniciais nas extremidades do pilar, precisaser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo doeixo. Normalmente, em pilares de edifícios, os máximos momentosiniciais ocorrem em suas extremidades e os máximos momentos de 2ªordem ocorrem em suas seções intermediárias.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordemPor esse motivo, a NBR 6118:1978 especificava que se considerasseuma excentricidade inicial na seção intermediária (meio do vão) dopilar dada por:

sendo que o sinal de , é obtido com o mesmo raciocínio aplicado àdeterminação do coeficiente b: positivo se MB tracionar a mesma faceque MA e negativo em caso contrário, conforme figura 3.1 no próximoslide.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordemA NBR 6118:2003, embora não mencione explicitamente aexcentricidade inicial a ser adotada para a seção intermediária, adotao mesmo procedimento anterior.A NBR 6118:2003 indica processo simplificado para a obtenção dosesforços solicitantes iniciais, conceito que já foi estudado por ocasiãoda análise dos esforços solicitantes em vigas contínuas e é aquirecordado.Quando não for realizado o cálculo exato dos esforços solicitantes naestrutura, permite-se, como simplificação, adotar o modelo estáticoindicado na figura 3.2 para a obtenção dos momentos fletores nosapoios extremos.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordemOs momentos solicitantes nos tramos superior e inferior do pilar sãoobtidos por:

sendo que é o momento de engastamento perfeito no tramoconsiderado (tramo de extremidade) da viga.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.1 Excentricidade inicial de 1ª ordemOs coeficientes de rigidez dos tramos superior e inferior do pilar e notramo da viga, são definidos pelas relações entre momentos de inérciae vãos, conforme expressões 3.5:

Considerando o equilíbrio do nó, o momento fletor na viga édeterminado por:

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O comprimento equivalente do pilar pode ser determinado pelaexpressão 2.2.Os vãos efetivos das vigas podem ser calculados pela expressão:

Os valores de e , em cada extremidade do vão, podem serdeterminados pelos valores apropriados de ai, indicado na figura 3.2A,sendo:

igual ao menor valor entre ( /2 e 0,3 . h), e, igual ao menor valorentre ( /2 e 0,3 . h). Conforme próximo slide.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.2 Excentricidade de forma

Muitas vezes, para adequara posição dos elementos

estruturais em função doprojeto arquitetônico, osprojetistas estruturais precisamfazer coincidir as faces internasou externas das vigas com asfaces dos pilares que as apoiam.Quando tal procedimento é ado-

tado, os eixos das vigas nãopassam pelo centro de gravidade da seção do pilar (figura 3.3),surgindo assim excentricidades denominadas excentricidades deforma.

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As excentricidades de forma, de maneira geral quando se fazem osprojetos e estruturas de edifícios sem assistência de programascomputacionais elaborados para este fim, não são consideradas nodimensionamento dos pilares. O momento fletor produzido pelasexcentricidades no nível de cada andar é equilibrado por um binário,produzindo, em cada piso, pares de forças de sentidos contrários e demesma ordem de grandeza, que tendem a se anular. No nível dafundação, a não consideração da excentricidade de forma se justificapelas elevadas forças normais atuantes, cujos acréscimos deexcentricidades são pequenos, não alterando os resultados dodimensionamento.

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No nível da cobertura, os pilares são poucos solicitados e dispõem deuma armadura mínima capaz de absorver o acréscimo de esforçoscausados pelas excentricidades de forma, não sendo necessário,portanto, considerá-la.Programas computacionais elaborados para análise estrutural edimensionamento com os critérios dos estados limites últimos everificações de aberturas de fissuras e deslocamentos com os critériosdos estados limites de serviço, consideram as excentricidades deforma.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.3 Excentricidade acidental

A NBR 6118:2003 prevê a consideração de uma excentricidadeacidental ( ) para levar em conta as imperfeições locais por ocasiãoda construção dos pilares. As imperfeições podem ser a falta deretilinidade do eixo do pilar ou o desaprumo (conforme figura 3.4 nopróximo slide). Admite-se que, nos casos usuais, a consideraçãoapenas da falta de retilinidade do pilar é suficiente com relação averificação da segurança estrutural.

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Portanto, a excentricidade acidental (ea) é calculada por (Figura 3.4a):

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NBR 6118:2003 estabelece ainda que para o dimensionamento omomento total de primeira ordem, isto é, a soma dos momentosiniciais com os momentosproduzidos pelas imperfeições geométricas locais, precisa respeitar ovalor mínimo,dado por:

sendo:é força normal de cálculo;

h é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros;, a excentricidade mínima igual a 0,015 + 0,03 ⋅h, em metros.

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De acordo com a NBR 6118:2003, nas estruturas reticuladas usuais,admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se forrespeitado o valor do momento total mínimo. No caso de flexãocomposta oblíqua, o valor do momento mínimo precisa ser respeitadoem cada uma das direções principais, separadamente.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.4 Excentricidade de segunda ordem

A determinação dos efeitos locais de segunda ordem pode ser feitapelo método geral ou por métodos aproximados. Neste texto, somenteé abordada a consideração dos efeitos de 2ª ordem para os pilaresmedianamente esbeltos, empregando-se o método do pilar padrãocom curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidezaproximada.Os pilares medianamente esbeltos correspondem a maioria dasocorrências em estruturas correntes de edifícios, sendo mais raros oscasos de pilares com índices de esbeltez maiores do que 90.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.4 Excentricidade de segunda ordema.- Método do pilar padrão com curvatura aproximada

Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ ≤ 90, comseção constante e armadura simétrica e constante ao longo do seueixo. Este método aplica-se somente ao caso de flexão compostanormal.A não-linearidade geométrica é considerada de modo aproximado,supondo-se que a deformada da barra possa ser representada poruma curva senoidal. A não-linearidade física é considerada por umaexpressão aproximada da curvatura na seção transversal queapresenta maior valor de momento fletor levando em conta osmomentos de primeira e segunda ordens.

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O momento total máximo no pilar, ou seja, a soma dos momentos de1ª ordem com os momentos de 2ª ordem, é calculado pela expressão:

sendo:

sendo:

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Portanto, partindo da segunda parcela da expressão (3.9), conclui-se que a excentricidade de 2ª ordem assume o seguinte valor:

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.4 Excentricidade de segunda ordemb.- Método do pilar padrão com rigidez aproximada

O método pode ser empregado no dimensionamento de pilares com λ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longodo seu eixo. Este método pode ser aplicado em pilares submetidos àflexão composta oblíqua, analisando-se cada uma das duas direçõesprincipais, simultaneamente.A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada,supondo-se que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidadefísica é considerada por uma expressão aproximada da rigidez.

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O valor de cálculo do momento total máximo no pilar (soma domomento de 1° ordem com o momento de 2° ordem) pode sercalculado pela expressão:

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As demais variáveis possuem o mesmo significado do métodoanterior.Usualmente, 2 ou 3 iterações são suficientes quando se optar por umprocesso iterativo.É possível considerar uma solução única para cálculo do , ,portanto sem a necessidade de iterações, usando a expressão 3.13,resultante da substituição da expressão 3.12 em 3.11.

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Considerando a expressão 2.8, pode-se escrever:

Substituindo a 3.14 em 3.13 obtém-se a equação de segundo grau3.15 cuja incógnita é o valor do momento fletor total, que considera osmomentos fletores de primeira e segunda ordens.

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Fazendo:

que permite calcular o valor de , quando se adota o método do pilar padrão com rigidez aproximada.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.4 Excentricidade de segunda ordemc.- Método do pilar padrão para pilares da seção retangularsubmetidos à flexão oblíqua composta

Quando a esbeltez de um pilar de seção retangular submetido à flexãocomposta oblíqua for menor que 90 (λ < 90) nas duas direçõesprincipais, precisa ser aplicado o processo aproximado do pilar padrãocom rigidez aproximada em cada uma das duas direções.A amplificação dos momentos de 1ª ordem em cada direção édiferente, pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez.

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.4 Excentricidade de segunda ordemc.- Método do pilar padrão para pilares da seção retangularsubmetidos à flexão oblíqua composta

Uma vez obtida a distribuição de momentos totais, de primeira esegunda ordem, em cada direção, deve ser verificada, para cadaseção ao longo do eixo, se a composição desses momentossolicitantes fica dentro da envoltória de momentos resistentes para aarmadura escolhida. Essa verificação pode ser realizada em apenastrês seções: nas extremidades A e B e num ponto intermediário ondese admite atuar concomitantemente os momentos , nas duasdireções (x e y).

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.5 Excentricidade causada pela fluência

A excentricidade causada pela fluência do concreto deve serconsiderada em pilares com λ > 90, ou seja, nos pilares esbeltos emuitos esbeltos. Os efeitos da fluência podem ser desprezados empilares com índices de esbeltez menores que 90.Embora a avaliação precisa dos efeitos da fluência seja uma tarefacomplexa, a NBR 6118:2003 apresenta uma expressão simplificadapara o cálculo da excentricidade , dada a seguir:

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3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento3.2.5 Excentricidade causada pela fluência

sendo:e os esforços solicitantes no pilar obtidos com combinação quase

permanente;

é a excentricidade acidental;

é o coeficiente de fluência;

= . .

²;

= 5600 . , é o módulo de elasticidade inicial do concreto;

é o momento de inércia da seção do pilar;

é o comprimento equivalente do tramo de pilar.

A excentricidade calculada na expressão (3.13) precisa ser somada àexcentricidade de 1ª ordem.

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3.3 Situações de projeto e de cálculo

As situações de projeto dos pilares dependem apenas de sua posiçãoem relação à estrutura e dos esforços iniciais nos mesmos. Portanto,conforme mencionado no item 2.1, a situação de projeto dos pilaresintermediários é de compressão centrada,dos pilares de extremidade é de flexão normal composta e dos pilaresde canto é de flexão oblíqua composta.Nas situações de cálculo, ou seja, as admitidas para odimensionamento, além das excentricidades iniciais da situação deprojeto, devem estar consideradas as excentricidades que levam emconta efeitos adicionais, tais como as imperfeições geométricas, osefeitos de 2ª ordem e os efeitos da fluência do concreto.

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3.3.1 Seção de extremidade e seções intermediárias de pilares

No dimensionamento, além das seções das extremidades, tambémprecisam ser analisadas as seções intermediárias do pilar.Para compreender as diferentes situações em que se encontramessas duas seções, pode-se partir de uma estrutura de nósindeslocáveis, onde os nós extremos de um pilar não têmdeslocamentos horizontais, pois os mesmos podem serconsiderados fixos nas vigas dos pavimentos. Os pavimentosconstituídos por lajes e vigas funcionam como um diafragma horizontalimpedindo, assim, os deslocamentos no seu plano.

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Entretanto, em uma seção intermediária do pilar, existemdeslocamentos de 2ª ordem, que precisam ser considerados noprojeto (figura 3.6). Por outro lado, as excentricidades iniciais nasseções intermediárias são menores que as das seções extremas (poisos momentos solicitantes são menores).As situações de cálculo nas seções de extremidade e na seçãointermediária precisam ser consideradas separadamente, asresistências destas seções precisam ser verificadas separadamente ea áreas de armadura das seções transversais são as maiores entre asverificações das várias seções.

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Pilares curtos:

Quando < 1, os efeitos locais de 2ª ordem podem ser desprezadosna direção em questão. Somando-se a excentricidade inicial e arelativa à falta de retilinidade, geram-se as situações de cálculoindicadas na figura 3.6.

.

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Pilares medianamente esbeltos:

Nos casos de projetos de pilares em > , os efeitos locais desegunda ordem precisam ser obrigatoriamente considerados. Adeterminação dos efeitos de 2ª ordem pode ser feita por métodosaproximados, como o método do pilar padrão. Os efeitos da fluênciado concreto podem ser desprezados nos pilares medianamenteesbeltos ( 90). A excentricidade de segunda ordem pode servista na figura 3.5. (Próximo slide)

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Pilares medianamente esbeltos:

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Pilares esbeltos:

Para λ ≥ 90 é obrigatória a consideração dos efeitos da fluência doconcreto, efetuada por meio de uma excentricidade . A determinaçãodos efeitos locais de 2ª ordem pode ser feita pelo método do pilarpadrão ou pilar padrão melhorado, utilizando-se para a curvatura daseção crítica valores obtidos dos diagramas de momento fletor, forçanormal e curvatura específica para o caso.

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Pilares muito esbeltos:

Uma classificação adicional pode ser feita para pilares queapresentam índices de esbeltez compreendidos entre 140 < λ ≤ 200,denominados muito esbeltos. Neste caso, para a consideração dosefeitos de 2ª ordem, deve-se recorrer ao Método Geral, queconsiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretizaçãoadequada da barra, considerando a relação momento-curvatura realem cada seção e a não-linearidade geométrica de maneira nãoaproximada.

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4. DETALHAMENTO DE PILARES DE CONCRETO ARMADO

4.1 Dimensões mínimas dos pilares

A NBR 6118:2003 estabelece que a menor dimensão da seçãotransversal do pilar não deve ser inferior a 19cm. Esta recomendaçãovisa evitar um comportamento inaceitável para os elementosestruturais e propiciar condições adequadas de construção.Em casos especiais, permite-se que a menor dimensão do pilar estejacompreendida entre 19cm e 12cm. Nestes casos, é preciso multiplicaros esforços finais de cálculo empregados no dimensionamento dospilares por um coeficiente adicional , de acordo com a tabela 4.1:

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4.2 Armaduras longitudinais

4.2.1 Taxa geométrica mínima e máxima

Inicialmente, define-se taxa geométrica de armadura longitudinal dopilar pela seguinte relação:

sendo a soma das áreas das seções transversais das barraslongitudinais e é a área da seção transversal do pilar.De acordo com as recomendações da NBR 6118:2003, a área mínimade armadura longitudinal, que depende da resistência do aço e daintensidade da solicitação em virtude da força normal, é determinadapela seguinte expressão:

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4.2.1 Taxa geométrica mínima e máxima

Portanto, a taxa geométrica mínima de armadura é igual a 0,4%.

A maior área de armadura possível em pilares, considerando-seinclusive a sobreposição de armadura em regiões de emenda, deveser de 8% da área da seção transversal, ou seja:

Nas regiões fora das emendas por traspasse a taxa de armaduralongitudinal fica igual a 4%, pois, nas regiões de emendas têm-se odobro do número de barras.A taxa geométrica de armadura máxima em pilares de concretoarmado é de 4%, nas regiões fora das emendas por traspasse.

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4.2.2 Diâmetro mínimo das barras

O diâmetro mínimo das barras longitudinais não pode ser inferior a 10mm e também não pode ser superior a 1/8 da menor dimensão daseção do pilar.

4.2.3 Distribuição das armaduras longitudinais na seção do pilar

A NBR 6118:2203 prescreve que as barras longitudinais devem serposicionadas ao redor da periferia da seção, de forma a garantir aadequada resistência do elemento estrutural.Em seções poligonais, dentre as quais estão incluídas as seçõesretangulares, precisa existir pelo menos uma barra em cada canto ouvértice do polígono. Em seções circulares, deve existir pelo menosseis barras, distribuídas ao longo do perímetro.

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4.2.4 Espaçamento livre entre as barras das armaduras

Para garantir adequada concretagem é necessário que o concretotenha um mínimo de espaço para passar entre as armaduraslongitudinais. Por esse motivo impõem-se limitações ao espaçamentolivre entre as barras da armadura longitudinal ( ), o qual precisa serigual ou superior ao maior dos seguintes valores:

• 20 mm;

• a medida do diâmetro da barra, do feixe ou da luva adotada naemenda;

• 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado.

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4.2.5 Espaçamento máximo entre eixos das armaduras

O espaçamento máximo entre os eixos das barras da armaduratambém é limitado, precisando ser menor ou igual a duas vezes amenor dimensão do pilar, sem exceder a 400mm.

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4.3 Armaduras transversais

4.3.1 Diâmetro dos estribos

O diâmetro dos estribos ( ) em pilares não pode ser inferior a 5 mm ou 1/4 do diâmetro da barra longitudinal.

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4.3.2 Espaçamento longitudinal entre os estribos

A fim de garantir o posicionamento das barras da armaduralongitudinal e, também, impedir a flambagem das barras longitudinaise servir de armadura de costura nas regiões de emendas, sãorecomendados espaçamentos máximos entre os estribos (medido nadireção do eixo do pilar), devendo ser igual ou inferior ao menor dosseguintes valores:

• 200 mm;• menor dimensão da seção;• 24 para aço CA-25 e 12 para aço CA-50, onde é o diâmetro

da barra longitudinal.

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Os estribos podem apresentar diâmetro menor do que /4 desdeque as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e oespaçamento longitudinal respeite também a seguinte limitação:

A figura 4.1 indica, resumidamente, os valores dos espaçamentosmáximos e mínimos das armaduras transversais e longitudinaisrecomendados pela NBR 6118:2003.

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4.3.3 Proteção contra a flambagem das barras longitudinais

Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras junto àsuperfície, devem precisam ser tomadas precauções para evitá-la.Segundo a NBR 6118:2003, os estribos poligonais impedem aflambagem das barras longitudinais situadas em seus cantos e as poreles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20 do canto,desde que nesse trecho de comprimento 20 não existam mais deduas barras, não contando a do canto. Quando houver mais de duasbarras no trecho de comprimento 20 ou barras fora dele, deve haverestribos suplementares.

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Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminadaem ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e osseus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais deuma barra longitudinal a ser protegida junto à extremidade do estribosuplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em pontojunto a uma das barras, o que deverá ser indicado no projeto de modobem destacado (figura 4.3).

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4.4 Emenda das barras longitudinais do pilar

Em função do processo construtivo empregado para execução dospilares, as barras longitudinais desses elementos precisam seremendadas ao longo de seu comprimento. Normalmente, as emendasdas barras podem ser: por traspasse; por luvas com preenchimentometálico ou rosqueadas; por solda.A emenda por traspasse é largamente empregada por seu menorcusto, além da facilidade de execução. Entretanto, a NBR 6118:2003recomenda que a emenda por traspasse seja evitada para diâmetrosde barras maiores que 32mm, e também para elementos estruturaiscom seção transversal totalmente tracionada, como os tirantes.

O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas édeterminado pela seguinte expressão:

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O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas é determinado pela seguinte expressão:

sendo que:

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A figura 4.4 contém um exem-plo de emenda por traspasseem pilares de seção constante,onde as barras longitudinais dopilar inferior devem ser interrom-

pidas a uma altura acima do pisoigual ao comprimento de traspas-

se.

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5. EXEMPLOS DE PROJETO DE PILARES

Neste item apresentam-se exemplos de dimensionamento de pilaresde concreto armado seguindo as recomendações da NBR 6118:2003.Desenvolveu-se um exemplo para cada tipo de pilar quanto à suaposição geométrica na forma do pavimento-tipo: pilar interno, pilar deextremidade e pilar de canto.O projeto de edifício considerado é o analisado por Fusco (1981),porém atualizado com os critérios da NBR 6118:2003 [ABNT, 2004].Os pilares a serem projetados são: o P5 que é um pilar que pode serconsiderado submetido à força normal, não sendo considerados osmomentos fletores atuantes em função da ligação do pilar com asvigas V2 e V5; o pilar P4 submetido à ação de força normal calculadaconsiderando-se as reações de apoio das vigas V2 e V4; e, o pilar P1submetido à flexão composta oblíqua, por ser um pilar de canto e,portanto, submetido à força centrada e momentos fletores em duasdireções principais em virtude da ligação deste com as vigas V1 e V4.

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A figura 5.1 ilustraa planta de forma

do pavimento tipoe a tabela 1 for-

nece os dados ne-cessários para oscálculos e detalha-

mentos das áreasdas armaduras.

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Nestes exemplos, para a determinação dos efeitos de 2ª ordem,emprega-se o método do pilar padrão com curvatura aproximada noprojeto do pilar P4 submetido a ações relativas à flexão normalcomposta. No caso do pilar P1 com ações atuantes que geram flexãooblíqua composta considera-se o método do pilar padrão com rigidezaproximada. No projeto do pilar P5, submetido a força centrada nasituação de projeto, por se tratar de pilar interno, também se considerao método do pilar padrão com curvatura aproximada.

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P5

Para o pilar interno P5, indicado na figura 5.1, considera-se que adistância vertical entre os níveis dos pavimentos seja de 5,60 metros,conforme Fusco (1981). A figura 5.2 indica essa medida.

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P5

As forças normais característica e de cálculo atuantes no pilar P5, deacordo com o projeto, são iguais a:

= 2.720kN

= 1,4 × 2.720 = 3.808kN

5.1.1 Excentricidades iniciais

Nas seções de extremidade - topo e base do pilar - e intermediária,nas duas direções x e y, as excentricidades são iguais a zero, pois setrata de um pilar interno, assim têm-se:

0

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.2 Cálculo dos comprimentos equivalentes do pilar P5

Para os cálculos dos comprimentos equivalentes do pilar P5, nasdireções x e y, consideram-se as expressões 2.7, indicadas pela NBR6118:2003, e o que é mostrado na figura 2.3 e na planta de forma dafigura 5.1 e na figura 5.2.Na direção do eixo x a distância entre as faces das vigas V2 em doisandares seqüentes é igual a:

560 62 498

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O comprimento equivalente na direção do eixo x é a menor dasmedidas entre a distância livre acrescida da medida do lado do pilarna direção x e a distância entre os centros das vigas-tipo V2 entre doisandares, resultando:

498 35 533

560

ou seja:

533

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Analogamente para o comprimento equivalente do pilar P5 na direçãodo eixo y, tem-se:

508 60 568

560

portanto:

560

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.3 Cálculo dos índices de esbeltez

O cálculo dos índices de esbeltez nas direções x e y são calculadoscom as expressões indicadas em 2.6 e com e calculados em5.1.2.Considerando o eixo x obtêm-se:

É preciso comparar esse valor de com o índice de esbeltez dereferência Para cálculo do índice de esbeltez de referência usa-se a expressão2.1 com avaliado para cada direção.

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Na direção do eixo x tem-se = 1,0 , pois os momentos atuantesnas extremidades - topo e base – do tramo do pilar P5 são iguais azero e menores que o momento mínimo.Portanto, resulta:

É preciso considerar que a NBR 6118:2003 indica que 35 ≤ λ ≤ 90 .Portanto = 35.

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Como = 52,8 = 35 entende-se que se trata de um pilarmedianamente esbelto na direção x, sendo necessário considerar-sena direção do eixo x o efeito do momento de segunda ordem causadopelas deformações das seções transversais.Na direção do eixo y o índice de esbeltez, com igual a 560cm eigual a 60cm resulta:

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O valor de é igual a 1,0 , pois os momentos nas extremidades dotramo de pilar são iguais a zero e menores que o momento mínimo aser considerado em todos os projetos de pilares segundo a NBR6118:2003.

Portanto, resulta = 35 posto que seja maior do que o valorcalculado de 25.Considerando que = 32,3 = 35 vê-se que o pilar é

considerado curto na direção y, não havendo necessidade de seconsiderar o efeito de segunda ordem nesta direção y.

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.4 Cálculo das excentricidades acidentais

Como já estudado a NBR 6118:2003 indica a consideração de umaexcentricidade acidental por falta de retilinidade do pilar durante a suaconstrução, na seção intermediária, calculada com as expressões 3.7,de acordo com a figura 3.4, resultando para a direção do eixo x:

que é maior que

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.4 Cálculo das excentricidades acidentais

Portanto a excentricidade acidental na direção do eixo x resulta iguala:

Analogamente, na direção do eixo y a excentricidade acidental resulta:

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.5 Cálculo das excentricidades mínimas

A NBR 6118:3003 indica, como já estudado no item 3.2.3, aconsideração de um valor de , calculado com a expressão 3.8,resultando na direção do eixo x:

Analogamente, na direção do eixo y, resulta:

Como devem prevalecer os maiores valores das excentricidadesmínimas e acidentais por causa da falta de retilinidade, nas seções deextremidade - topo e base - e na seção intermediária, têm-se asexcentricidades de primeira ordem:

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.6 Cálculo das excentricidades de segunda ordem

O cálculo da excentricidade de segunda ordem, relativa à seçãointermediária na direção do eixo x, é feito com as expressões do item3.2.4a, deduzidas com base no Método do pilar padrão com curvaturaaproximada, como indicado na NBR 6118:2003.A excentricidade de segunda ordem é calculada por:

Seguindo a rotina indicada no item 3.2.4a calculam-se:

a.- resistência de cálculo à compressão do concreto

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.6 Cálculo das excentricidades de segunda ordem

b.- força normal reduzida

c.- curvatura da deformada em virtude das deformações de segundaordem

d.- excentricidade de segunda ordem na direção do eixo x

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.7 Situações de projeto e de cálculo

Para que as situações de cálculo fiquem definidas para permitir oscálculos das áreas das armaduras é preciso desenhar as situações deprojeto, relativas às posições do pilar em relação à forma dopavimento tipo. A figura mostra as situações de projeto e de cálculo dopilar P5.

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O arranjo final da armadura longitudinal é adotado para a situaçãomais desfavorável.

Para os cálculos das áreas das armaduras utilizam-se os ábacos deVenturini (1987) para a flexão normal composta.

5.1.8 Cálculo das áreas das armadurasÉ preciso considerar-se as situações a – direção do eixo x e situaçãob – direção do eixo y das seções de extremidades, topo e base, eintermediária indicadas na Figura 5.3.Para os cálculos das áreas das armaduras utilizam-se os ábacos deVenturini (1987) para a flexão normal composta.

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.8 Cálculo das áreas das armaduras5.1.8.1 Situação a – direção x

Analisando as medidas das excentricidades nas seções intermediáriae de topo e base percebe-se que o valor maior é o que ocorre naseção intermediária, onde se tem as excentricidades mínima e desegunda ordem, sendo que na seção de topo e base tem-se apenas aexcentricidade mínima, que leva em conta a excentricidade acidental.Para o cálculo da área das barras longitudinais é preciso determinar:

a.- Relação entre a distância do centro das barras da armadura e a medida do lado da seção transversal na direção considerada - x

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b.- Excentricidade total na direção xDe acordo com a figura 5.3 tem-se

c.- Valor da força normal reduzida

d.- Cálculo do momento fletor reduzido na direção do eixo x

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e.- Cálculo da área das barras da armadura longitudinal para asituação a – seção intermediária

Para o cálculo da área das barras da armadura para a situação a,neste caso de flexão composta normal escolhe-se um arranjo debarras distribuídas preponderantemente nos lados paralelos a daseção transversal, pois está sendo considerado momento fletor complano de ação paralelo ao lado .Assim, escolhe-se, inicialmente, o ábaco A-2 [Venturini, 1987], para / 0,10, que, como pode ser observado, resultou a taxa

geométrica de armadura igual a:

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A área das barras é igual a:

Escolhendo-se barras de diâmetro de 20,0mm, cuja área é igual a3,14cm², resulta como área efetiva, para esta primeira avaliação daárea das barras longitudinais do pilar P5, o valor:

que é representada por 12 20,0mm distribuídas paralelamente aolado y, segundo o considerado no ábaco A-2 [Venturini, 1987].

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.8 Cálculo das áreas das armaduras5.1.8.2 Situação b – direção y

Analisando, agora, as medidas das excentricidades nas seçõesintermediária e de topo e base na direção y percebe-se aexcentricidade é igual a 3,30cm para as três seções – topo e base eintermediária, conforme figura 5.3.Para o cálculo da área das barras longitudinais é preciso calcular:

a.- Relação entre a distância do centro das barras da armadura e amedida do lado da seção transversal na direção considerada - y

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b.- Excentricidade total na direção y

c.- Valor da força normal reduzida

d.- Cálculo do momento fletor reduzido na direção do eixo y

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e.- Cálculo da área das barras da armadura longitudinal para asituação b – todas as seções transversais ao longo da altura do pilar.

Escolhem os ábacos A-17 (d’/h = 0,05) e A-18 (d’/h = 0,10),elaborados por Venturini (1987), pois eles apresentam o mesmoarranjo das barras da armadura longitudinal adotado para a direção x.Esses ábacos consideram o plano de ação do momento atuando nadireção do eixo y. Assim, resulta para valor da taxa geométrica dearmadura:

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.9 Arranjo final da barras na seção transversal do pilar P5

O arranjo escolhido foi o do Ábaco A-2 que resultou , igual a37,68cm² cuja taxa geométrica é igual a:

A NBR 6118:2003 indica que a área das barras da armaduralongitudinal em pilares precisa resultar menor do que:

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.9 Arranjo final da barras na seção transversal do pilar P5

lembrando-se que é preciso considerar apenas a metade das barraspara levar em conta as regiões de emendas por traspasse.A área de armadura mínima, que também precisa ser verificada,resulta igual a:

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.10 Arranjo na seção transversal e cálculo dos espaçamentosentre os estribos

Conforme estudados em itens anteriores deste texto e medianteconsulta a NBR 6118:2003 é preciso calcular os espaçamentos entreos estribos inclusive os estribos suplementares necessários paraevitar a flambagem localizada das barras longitudinais. A figura 5.4mostra o arranjo das barras na seção transversal do pilar P5 e a rotinacom os cálculos dos espaçamentos dos estribos.

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5.1 Exemplo 1: pilar interno – P55.1.7 Detalhamento do pilar P5

A figura 5.5 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilarP4, mostrando as barras longitudinais em verdadeira grandeza,inclusive com o segmento de espera, ou seja, o comprimento detraspasse para promover as emendas das barras do tramo i com asbarras do tramo i + 1. A seção transversal mostrada na figura 5.4 édesenhada na figura 5.5, deslocando-se os desenhos em verdadeiragrandeza dos estribos principais e suplementares. Essa figura 5.5 éenviada para a obra para que os técnicos possam montar as barras dotramo do pilar P5

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5.2 Exemplo 2: Pilar de extremidade – P4

Para este exemplo, considera-se o pilar de extremidade P4 da plantado pavimento tipo da figura 5.1, admitindo que a distância verticalentre os níveis dos pavimentos seja de 4,60 metros, conforme figura5.6.

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As forças normais característica e de cálculo atuantes no pilar P4 sãoiguais a:

1670

1,4 . 1670 2338

Por se tratar de um pilar de extremidade com os esforços solicitantesdeterminados pelo processo de viga contínua, indicado na NBR6118:2003, o pilar P4 será considerado submetido a uma força normale um momento fletor em virtude da sua ligação com a viga V2definindo, portanto, situação de projeto de flexão normal composta.Com relação às ações da viga V4 só se considera a força normal porcausa da reação de apoio, sendo que o momento fletor não éconsiderado.

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5.2.1 Determinação do momento fletor atuante no tramo do pilarP4

5.2.1.1 Cálculo dos comprimentos equivalentes do tramo do pilar

a.- Direção do eixo x:

Observando a figura 5.6, nota-se que na direção do eixo x a distâncialivre entre as vigas V2 posicionadas em dois andares seqüentes éigual a:

O comprimento equivalente é calculado pelas expressões 2.7 com asindicações da figura 2.3, lembrando que h é a medida da seçãotransversal do pilar na direção do eixo considerado, resultando:

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O comprimento equivalente é calculado pelas expressões 2.7 com asindicações da figura 2.3, lembrando que h é a medida da seçãotransversal do pilar na direção do eixo considerado, resultando:

Portanto, o comprimento equivalente do pilar na direção do eixo x é:

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b.- Direção do eixo y:

Analogamente, na direção y tem-se:

distância livre entre as vigas V4 entre dois andares consecutivos,

sendo que o comprimento equivalente é a menor medida entre,

ou seja, na direção do eixo y resulta:

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5.2.2.2 Cálculo do vão efeito da viga V2

A expressão a considerar é a 3.6.a, com as indicações da figura 3.2a.

Analisando a forma estrutural do pavimento tipo, figura 5.1, determina-se a distância livre da viga V2 entre os pilares P4 e P5, resultando:

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A medida relativa ao pilar P4 é calculada por:

resultando, portanto, a medida de menor valor:

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Analogamente a medida relativa ao pilar P5 é calculada por:

resultando:

Substituindo os valores das medidas , , , resulta comomedida do vão efetivo do primeiro tramo da viga V2:

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5.2.3 Momento fletor atuante inicial no pilar P4

Os momentos fletores atuantes nos tramos do pilar P4, conformeestudado,podem ser determinados considerando o modelo simplificado da NBR6118:2003 e neste texto indicado no item 3.2.1.

A figura 5.7 apresenta o desenho do modelo do pilar P4 com a V2 ecom as medidas calculadas nesta memória de cálculo.

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Seguindo a rotina mostrada na NBR 6118:2003 é preciso calcular as rigidezes dos tramos superior e inferior do pilar e do primeiro tramo da viga V2 que está vinculado ao pilar. A rigidez do tramo superior do pilar é igual a:

Como as seções transversais dos tramos inferior e superior são iguais tem-se:

A rigidez da viga resulta:

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O momento de engastamento perfeito para o primeiro tramo da vigaV2 resulta igual a:

Portanto, os momentos fletores solicitantes nos tramos resultam:

Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:

A figura 5.8 mostra os diagramas de momentos fletores característicos iniciais nopilar P4.

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5.2.3.1 Excentricidades iniciais no pilar P4 – direção x

A excentricidade inicial na seção de topo na direção do eixo x é iguala:

pois, o momento fletor de cálculo é o momento fletor característico,indicado no diagrama da figura 5.8, multiplicado por = 1,4 , ou seja:

e a força normal de cálculo é:

Na seção da base a excentricidade inicial é dada por:

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5.2.3.1 Excentricidades iniciais no pilar P4 – direção x

Como já estudado no item 3.2.1 e expressão 3.2 a excentricidade naseção intermediária na direção do eixo x do pilar é igual a:

Como a curvatura da deformada é dupla, em virtude dos momentos no topo e na base do pilar tracionarem faces opostas, o sinal de é negativo na expressão acima e, portanto, tem-se:

Assim a excentricidade na seção intermediária na direção do eixo x resulta:

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5.2.4 Excentricidades acidentais no pilar P4

Nos pilares as excentricidades acidentais ocorrem por falta deretilinidade ou por desaprumo do pilar por falha de construção, assima NBR 6118:2003 indica que na fase de projeto as ações geradas porestas situações precisam ser consideradas. A norma indica que só afalta de retilinidade pode ser considerada na seção intermediáriae nas duas direções x e y.O ângulo é o indicado pela expressão 3.7, portanto:

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O ângulo é o indicado pela expressão 3.7, portanto:

Na direção do eixo x tem-se:

que precisa ser maior do que:

A excentricidade acidental na direção do eixo x é:

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Analogamente na direção do eixo y tem-se:

que é maior do que:

Portanto a excentricidade acidental na direção do eixo y resulta:

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5.2.5 Excentricidades mínimas (de primeira ordem) no pilar P4

A NBR 6118:2003 indica que nos pilares é preciso considerar ummomento mínimo de módulo maior que o momento gerado pelaexcentricidade acidental, nas duas direções, cuja excentricidademínima é calculada pela expressão 3.8, a seguir copiada.

Assim, neste caso do pilar P4, na direção do eixo x, a excentricidademínima vale:

Na direção do eixo y tem-se:

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5.2.5 Excentricidades mínimas (de primeira ordem) no pilar P4

Comparando-se os valores das excentricidades mínimas com asacidentais calculadas no item 5.2.4 observa-se que, nas seções detopo e base e intermediárias, estas são maiores que aquelas.Ou sejam:

a.- seções de extremidade – topo e base:

b.- seção intermediária:

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5.2.6 Excentricidades de segunda ordem no pilar P4

5.2.6.1 Cálculo dos índices de esbeltez

Os índices de esbeltez do pilar P4 nas direções x e y são calculadoscom a expressão 2.6. Os comprimentos equivalentes são oscalculados para cada direção do pilar.


O valor de é igual a 1,0, pois os momentos são menores que omomento mínimo, conforme indicado na NBR 6118:2003 e neste textono item 2.3.

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Na direção do eixo x o índice de esbeltez a considerar no projeto do pilar P4 é:

A NBR 6118:2003 indica a seguinte restrição a esse valor calculado:

e, portanto, tem-se que:

Como:

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o pilar P04 na direção do eixo x pode ser considerado medianamenteesbelto, ou seja, é necessário considerar-se a excentricidade desegunda ordem, segundo os critérios do Método do pilar padrão comcurvatura aproximada.


Analogamente ao que se fez para o eixo x tem-se neste caso de eixoy:

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O coeficiente é igual a 1,0, pois os momentos nas extremidadesdo tramo são iguais a zero e, portanto menores que o momentomínimo.O cálculo do índice de esbeltez na direção do eixo y é:

Portanto, considera-se y = 35 e como = 22,8 é menor do que olimite 35, tem-se caso de pilar curto na direção do eixo y do pilar P4não sendo necessário, portanto, considerar-se os efeitos de 2ª ordem.

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5.2.6.2 Excentricidade de segunda ordem na seção intermediáriano pilar P4

Conforme já dito considera-se o Método do pilar padrão com curvaturaaproximada, cujo valor da excentricidade de segunda ordem ( ) écalculada por:

O valor da força normal reduzida é igual a:

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5.2.6.2 Excentricidade de segunda ordem na seção intermediáriano pilar P4

e, portanto, o valor do inverso da curvatura é:

A excentricidade de segunda ordem na direção do eixo x é igual a:

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5.2.7 Determinação da área da armadura longitudinal do pilar P4

Para se determinar a área das barras da armadura longitudinal épreciso verificar quais são as situações de cálculo mais desfavoráveisem relação às situações de projeto (excentricidades iniciais) e levandoem conta as excentricidades acidentais e as mínimas nas duasdireções (a maior entre as duas) e a de segunda ordem (na direçãodo eixo x).

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Esse trabalho fica facilitado com a montagem da figura 5.9.

Analisando-a percebe-se que se têm os seguintes casos:

Seção intermediária:

Caso a – flexão normal composta com excentricidade igual a 5,11cm;Caso b – flexão composta oblíqua com igual a 0,34cm e igual a 3,60cm.

Seções de topo e base:

Caso a – flexão normal composta com excentricidade igual a 2,25cm;Caso b – flexão composta oblíqua com igual a 0,84cm e igual a 3,60cm.

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A seção intermediária é a mais crítica e a que é considerada para o cálculo da área da armadura longitudinal.

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5.2.7.1 Determinação da área da armadura para a situação decálculo a:

a.- Relação entre a distância do centro das barras da armaduraposicionadas nas quinas e a medida do lado da seção na direção x

b.- excentricidade total na direção do eixo x e situação a seçãointermediária

c.- força normal reduzida

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5.2.7.1 Determinação da área da armadura para a situação decálculo a:

d.- momento fletor reduzido

e.- Ábacos de Venturini (1987) para a flexão normal composta:

f.- Área das barras da armadura

g.- Área efetiva de barras da armadura

Essa área é representada por 12 16,0mm.

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5.2.7.2 Determinação da área da armadura para a situação decálculo b:

Como já observado para esta situação tem-se caso de flexãocomposta oblíqua.

a.- Relações entre as distâncias dos centros das barras da armaduraposicionadas nas quinas e as medidas dos lados da seção nasdireções x e y

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Como já observado para esta situação tem-se caso de flexãocomposta oblíqua.

a.- Relações entre as distâncias dos centros das barras da armaduraposicionadas nas quinas e as medidas dos lados da seção nasdireções x e y

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b.- Excentricidades

c.- força normal reduzida

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d.- Momentos reduzidos

Consultando os ábacos A-16 e A-17 de Pinheiro et al. (1994) para a flexão oblíqua resulta:

Que é uma taxa mecânica menor que a calculada para a situação de cálculo da armadura (flexão normal composta) da seção intermediária.

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5.2.7.3 Taxa geométrica de armadura

A área efetiva de armadura longitudinal do pilar P4 é:

A taxa geométrica da armadura é calculada por:

Que é menor do que o limite indicado na NBR 6118:2003 considerando a região de emenda por traspasse (4%). A área da armadura mínima é calculada por:

Portanto, á área de armadura efetiva do pilar P4 é maior que a área mínima.

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5.2.7.4 Arranjo das barras na seção transversal do pilar P4

A disposição das barras da armadura longitudinal do pilar P4 tem queseguir a disposição adotada por ocasião do dimensionamento, e épreciso calcular os espaçamentos entre os estribos inclusive osestribos suplementares necessários para evitar a flambagemlocalizada das barras longitudinais.

A figura 5.10 mostra o arranjo das barras na seção transversal do pilarP4 e os cálculos dos espaçamentos dos estribos.

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A figura 5.11 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilar P4 que é enviado à obra.

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5.3 Exemplo 3: Pilar de canto – P1

O pilar de canto P1 indicado no desenho da forma do pavimento tipoda figura 5.1, com a distância de piso a piso igual a 4,60 metros, éprojetado neste item. A figura 5.12 mostra as medidas da seçãotransversal do pilar P1 e as dimensões das vigas V1 e V4 inclusive asdistâncias entre pisos.Os módulos das forças normal característica e de cálculo atuante nopilar P1 são:

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5.3.1 Comprimentos equivalentes do tramo do pilar nas direções xe y

Os comprimentos equivalentes do pilar nas direções x e y sãocalculados considerando as expressões 2.7, indicadas na NBR6118:2003, e observando o desenho da figura 2.3.:

5.3.1.1 Eixo x:

Analisando a figura 5.12 determina-se a distância entre as faces dasvigas V1, da face superior do andar i até a face inferior do andar i + 1,resultando:

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5.3.1.1 Eixo x:

O comprimento equivalente é o menor valor entre o comprimento livre do pilar acrescido da dimensão do pilar na direção considerada, neste caso x, e a distância entre os centros das vigas do andar i e i +1, indicado a seguir:

Portanto, tem-se para valor de :

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5.3.1.2 Eixo y:

Analogamente, observando a figura 5.12, vem:

A distância livre entre as vigas na direção y do pilar é igual a:

O comprimento equivalente é o menor valor entre as seguintesmedidas:

Portanto, resulta :

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5.3.1.3 Vãos efetivos das vigas V1 e V4

Para cálculo dos vãos efetivos dos tramos extremos das vigas V1 e V4usam-se as expressões 3.6.a com as indicações da figura 3.2.a

a.- Viga V1:

Conforme já visto os vão efetivos dos tramos de vigas são calculadospor:

A distância livre da viga V1, isto é, a distância entre as faces internas dos pilares de apoio e igual a:

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Sendo igual a menor medida entre:

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Com igual a menor medida entre:

resultando, = 18,5 cm

Portanto o vão efetivo do primeiro tramo da viga V1 é:

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b.- Viga V4:

Analogamente para a viga V4 tem-se:

sendo o vão livre, conforme o desenho da forma do pavimento tipo,dado por:

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A medida é igual ao menor valor entre:

resultando, = 15,6 cm

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A medida é igual ao menor valor entre:

E, portanto, = 15,6 cm

o vão efetivo da viga V4 é igual a:

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5.3.2 Cálculo dos momentos fletores atuantes nos pilares

Se os esforços solicitantes são determinados considerando pórticoplano ou espacial, com auxílio de programa computacional, os cálculosdeste item não precisam ser feitos, basta analisar os resultados comrelação aos momentos fletores e forças normais, para cada tramo, ecom estes valores dimensionar o tramo em questão.Alguns programas fornecem inclusive os desenhos dos diagramas deesforços solicitantes e existem programas que resolvem e apresentamos resultados considerando toda a estrutura do edifício constituída porbarras horizontais e verticais tratando-a como pórtico espacial.

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Neste exemplo os momentos fletores atuantes no pilar P1 nas direçõesdos eixos x e y são calculados pelo processo simplificado da NBR6118:2003, cujos modelos, para ambas as vigas estão mostrados nafigura 5.13.As expressões para cálculo dos momentos fletores, por processosimplificado, são 3.3 e 3.4 com as fórmulas para cálculo da rigidezindicadas em 3.5.

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5.3.2.1 Momentos fletores relativos a viga V1 - Eixo x:

O momento fletor atuante nos tramos do pilar na direção x é calculadocomo a rotina seguinte.Calculam-se os índices de rigidez dos tramos superior e inferior dopilar e do tramo da viga vinculada ao pilar, calcula-se o momento deengastamento perfeito e, por fim, os momentos atuantes nas barrassuperior e inferior do pilar.As rigidezes dos tramos superior e inferior do pilar resultam:

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5.3.2.1 Momentos fletores relativos a viga V1 - Eixo x:

A rigidez da viga é dada por:

O momento de engastamento perfeito do 1º tramo da viga é igual a:

Os momentos fletores atuantes nos tramos superior e inferior emrelação a viga V1 resultam iguais a:

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5.3.2.2 Momentos fletores relativos a viga V4 - Eixo y:

Segue-se o mesmo procedimento com relação ao pilar P1 e viga V4.

As rigidezes dos tramos do pilar P1 resultam:

A rigidez da viga V4 é igual a:

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5.3.2.2 Momentos fletores relativos a viga V4 - Eixo y:

O momento de engastamento perfeito do primeiro tramo da viga V4junto ao pilar P1 é:

Os momentos fletores nos tramos do pilar resultam:

A figura 5.14 mostra os diagramas de momentos fletorescaracterísticos nos tramos do pilar P1.

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5.3.3 Cálculo das excentricidades relativas aos momentosatuantes nas seções de topo e base do pilar P1

As excentricidades nas direções x e y relativas aos momentos no pilar(de primeira ordem), nas seções de topo e base, resultam:

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5.3.4 Cálculos dos momentos mínimos

A NBR 6118:2003 indica que é preciso dimensionar o pilarconsiderando, em ambas as direções momento fletor mínimo calculadopela expressão 3.8.Os módulos dos momentos mínimos nas direções x e y resultam iguaisa:

Os módulos dos momentos mínimos são maiores que os momentosfletores atuantes nas seções de topo e base oriundos da ligação comas vigas V1 e V4.

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5.3.5 Verificação da necessidade da consideração dos momentosde segunda ordem

A verificação da necessidade da consideração dos momentos desegunda ordem é feita calculando-se os índices de esbeltez, para asduas direções x e y, e com as expressões indicadas no item 2.3.



O índice de esbeltez é calculado com a expressão 2.8, considerando-se a medida do lado do pilar na direção x, resultando:

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O cálculo do índice de esbeltez de referência é feito com a expressão2.1:

com 1,0 , pois os momentos são menores que o momento mínimo (expressão 2.5).

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Portanto tem-se que = 35

E como, visto no item 2.3 e na NBR 6118:2003,

tem-se pilar medianamente esbelto na direção x, havendo necessidadede considera-se os efeitos de segunda ordem nesta direção.

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Analogamente o índice de esbeltez na direção do eixo y resulta:

O índice de esbeltez de referência é:

sendo 1,0, pois os momentos são menores que o momentomínimo.

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Portanto, = 35

e, como

não há a necessidade de se considerar o efeito de segunda ordem nadireção y.

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5.3.6 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e y

5.3.6.1 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando as equações do momento total ( , ) e da rigidezaproximada ( )

Na flexão composta oblíqua, aplica-se o método do pilar padrão comrigidez aproximada, processo indicado pela NBR 6118:2003 4 nestetexto estudado no item 3.2.4 alínea b, cujo procedimento consiste naamplificação dos momentos de 1ª ordem, em cada direçãosimultaneamente. Dessa amplificação resulta o momento total máximo,para determinação da área da armadura longitudinal, expresso por:

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5.3.6.1 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando as equações do momento total ( , ) e da rigidezaproximada ( )

Neste projeto do pilar foram feitas iterações para a determinação dosmomentos totais que consideram os momentos de primeira ordem(com valor mínimo) e o de segunda ordem. Neste exemplo, sãorealizadas 3 iterações, empregando o método da bisseção para obteros valores iniciais de cada iteração.As expressões usadas a seguir são as indicadas neste texto e,portanto, a rotina de cálculo seguida, pode ser observada no item 3.2.4alínea a, ou na NBR 6118:2003.

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5.3.6.1 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando as equações do momento total ( , ) e da rigidezaproximada ( )5.3.6.1.1 Momento total na direção do eixo x:

Com os dados indicados a seguir inicia-se o processo iterativo com a finalidade de se calcular o momento total na direção do eixo x do pilar P1.

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Portanto, após 3 iterações tem-se:

E, portanto, o momento solicitante de cálculo , 4451 .

será o considerado com plano de ação paralelo ao eixo x para cálculoda armadura do pilar. A excentricidade total na direção do eixo x,considerando as excentricidades de primeira e segunda ordem, é dadapor:

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5.3.6.1 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando as equações do momento total ( , ) e da rigidezaproximada ( )5.3.6.1.2 Momento total na direção do eixo y:

Com os dados a seguir inicia-se o processo iterativo com a finalidadede se calcular o momento total na direção do eixo y do pilar P1.

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Em virtude da convergência alcançada, uma 3° iteração não énecessária, pois o momento para a terceira iteração é menor que omomento mínimo de primeira ordem de cálculo.

Portanto, após 2 iterações tem-se:

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Como a NBR 6118:2003 indica que a seção transversal precisa resistirum momento igual ao momento mínimo o momento na direção y éigual a:

Cálculo da excentricidade total na direção do eixo y:

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5.3.6.2 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando a equação da solução única

A título de comparação calculam-se, nesta sessão, os momentos totaiscom a equação deduzida para solução única do processo do pilar-padrão com rigidez aproximada. O leitor pode observar que osresultados são praticamente iguais, com o era esperado, nas direçõesx e y, em virtude de aproximações numéricas.

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5.3.6.2 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando a equação da solução única5.3.6.2.1 Momento total na direção do eixo x

Com a equação 3.16 se calcula o valor do momento total na direção doeixo x.

Com os seguintes dados relativos à direção x:

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vem:

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Substituindo a, b e c na equação 3.16 tem-se:

Resolvendo a equação do segundo grau, resulta:

sendo que o momento total na direção do eixo x tem que ser maior do que o momento mínimo, assim tem-se:

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5.3.6.2 Cálculo dos momentos totais nas duas direções x e yusando a equação da solução única5.3.6.2.2 Momento total na direção do eixo y

Com a equação 3.16 se calcula o valor do momento total na direção doeixo y.

Com os seguintes dados relativos à direção y:

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vem:

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Substituindo a, b e c na equação 3.16 tem-se:

Resolvendo a equação do segundo grau, resulta:

sendo que o momento total na direção do eixo x tem que ser maior doque o momento mínimo, assim tem-se:

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5.3.7 Cálculo da área da armadura longitudinal

Para o cálculo da área das barras da armadura longitudinal se segue arotina conhecida por ocasião do estudo de determinação da área debarras da armadura longitudinal de seções transversais de elementoslineares em concreto armado submetidos a flexão composta. Usam-seneste exemplo os ábacos elaborados por Pinheiro et al. (1994). Parafacilitar o entendimento cópias dos ábacos utilizados são apresentadasanexas.Para cálculo das áreas das armaduras relativas aos momentos totaisnas direções x e y consideraram-se os momentos calculados peloprocesso iterativo.

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É necessário calcular as distâncias entre os centros das barras juntoàs quinas da seção transversal do pilar em relação às medidas doslados da seção, resultando:

As excentricidades no pilar P1 são iguais a:

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O valor da força normal reduzida é igual a:

Os momentos fletores reduzidos são iguais a:

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Escolhendo-se o Ábaco A-17 elaborado por Pinheiro et al. (1994) paraa flexão oblíqua com 0,4 e 0,6 resulta taxa mecânica dasbarras da armadura igual a zero, ou seja:

indicando que a seção transversal precisa ser armada com a taxamínima de armadura longitudinal.

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5.3.8 Cálculo da taxa geométrica mínima de armadura

A área mínima de armadura é calculada pela expressão indicada pelaNBR 6118:2003, resultando:

A maior medida do lado do pilar é igual a 60cm, portanto a NBR6118:2003 indica que a maior distância entre barras longitudinais éigual a 40cm, então a seção transversal será armada com 616,0mm,totalizando uma área de barras longitudinais efetiva de 12,06cm².

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5.3.8 Cálculo da taxa geométrica mínima de armadura

A taxa geométrica das barras longitudinais é igual a:

que é menor do que o valor máximo da taxa geométrica de 4,0%levando-se em conta a região de emendas por traspasse.

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5.3.9 Arranjo das barras das armaduras longitudinal e transversal

A figura 5.15 mostra o arranjo das barras na seção transversal do pilar P1 e o dimensionamento das barras da armadura transversal (estribos) e os respectivos espaçamentos.

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Bibliografia

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PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. (1994). Concreto armado: Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP.

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