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Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática

Sociedade Brasileira de

História da Matemática

Uma Análise do “Tratado de Trigonometria” de Adrien-Marie

Legendre

An Analysis of the “Treaty of Trigonometry” by Adrien-Marie Legendre

Andressa Cesana Biral1

Resumo

A pesquisa em História da Matemática vista como uma atividade científica pode contribuir para diversos campos da Educação Matemática.

Além disso, grande número de pesquisas em Educação Matemática aponta a História da Matemática como uma contribuição importante para

a prática pedagógica do professor de Matemática. Parte da pesquisa da minha dissertação de mestrado, intitulada “Trigonometria: uma

abordagem histórica e uma análise de livros didáticos” consolidou-se na tentativa de construir um panorama da história da Trigonometria

como disciplina escolar em nosso país a partir de livros didáticos. Para isso, buscou-se, no processo de elaboração da dissertação, realizar um

estudo detalhado de dez livros didáticos de Trigonometria dos séculos XVIII, XIX e XX os quais, historicamente, indicaram importantes

referências no ensino da Matemática do Brasil. A partir de reflexões feitas sobre investigações em História da Matemática propõe-se neste

trabalho um recorte de uma das obras analisadas na dissertação, o “Tratado de Trigonometria” do matemático francês Adrien-Marie

Legendre, que é importante referência no ensino da Matemática no Brasil. Esse recorte se faz numa perspectiva de descrição do documento

analisado. A intenção aqui é de descrever e compreender determinados aspectos de um documento de matemática que foi produzido no início

do século XIX e teve importância na história do ensino da matemática no Brasil. Este trabalho se fundamenta no item “análise histórica e

crítica de fontes literárias” proposto pelo Professor Dr. Hans Wussing, caracteriza-se como uma pesquisa qualitativa de abordagem histórico-

bibliográfica e conta com os seguintes instrumentos metodológicos: pesquisa bibliográfica e análise documental. Procura-se levar em conta

que o documento analisado tenha sido construído em meio a uma situação sócio-histórico-cultural e que é necessário questionar a intenção

que se teve no momento de produção do documento. Este texto destina-se aos interessados em matemática e que refletem sobre ensino e

pesquisa em história da matemática.

Palavras-chave: História da Matemática. Trigonometria. Legendre.

Abstract

Research in the History of Mathematics seen as a scientific activity may contribute to various fields of mathematics education. Furthermore,

a large number of researches in mathematics education point the history of mathematics as an important contribution to the practice of

teacher education in mathematics. Part of the research of my dissertation, titled "Trigonometry: a historical review and an analysis of

textbooks" was consolidated in an attempt to build an overview of the history of trigonometry as a school subject in our country from

textbooks. For this, we sought, in the drafting of the thesis; make a detailed study of ten textbooks on trigonometry of the XVIII, XIX and

XX centuries which have historically pointed to important references in the teaching of mathematics in Brazil. From reflections on research

in the history of mathematics in this paper proposes a cut of one of the works analyzed in the dissertation, the "Treaty of Trigonometry" the

French mathematician Adrien-Marie Legendre, it is important reference in the teaching of Mathematics in Brazil. This cutting is made with a

view to describing the document being analyzed. The intent here is to describe and understand certain aspects of mathematics that a

document was produced in the early XIX century and was important in the history of mathematics education in Brazil. This work is based on

1 Universidade Federal do Espírito Santo – UFES. E-mail: [email protected]

Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 2

the item "historical and critical analysis of literary sources" proposed by Professor Dr. Hans Wussing, characterized as a qualitative research

approach of historical literature and has the following methodological tools: a literature and document analysis. It seeks to take into account

that the document analysis has been built in the midst of a socio-cultural-historical and it is necessary to question the intentions you had at

the time of producing the document. This paper is intended for students and math teachers who reflect on research on the history of

mathematics.

Keywords: History of Mathematics. Trigonometry. Legendre.

O caminho até Adrien-Marie Legendre

Houve influências estrangeiras na criação das escolas militares do Brasil Colônia? A

resposta é positiva. Essas escolas aqui no Brasil, cujos modelos foram copiados também por

outros países, são reflexos das cinco escolas destinadas à educação militar dos oficiais e

aspirantes ao Corpo de Artilharia da França (VALENTE, 1997, p. 56).

Julgando a França como grande influenciadora do ensino da Matemática em Portugal

e, por conseguinte, no Brasil, tentamos justificar o motivo da Matemática ter sido ensinada

em nosso país por meio das escolas militares, citando D‟hombres (1985, p. 136, tradução

nossa) quando menciona que “a Matemática, também, foi o modelo para moldar uma nova

elite de engenheiros, de soldados, de industrialistas. Livros-texto em matemática foram

escritos para preparar esta elite e preparar os exigidos professores de matemática”.

Com relação ao Brasil, junto com a vinda da família real portuguesa para cá em 1808,

veio a Academia Real dos Guardas-Marinha, que se instalou no Rio de Janeiro. O curso da

Academia em Portugal, e que agora seria dado no Brasil, durava três anos e, segundo a

explanação da Carta de Lei de 1º de abril de 1796, a “Trigonometria Reta com seu uso prático

mais próprio aos oficiais do mar era vista no primeiro ano e a Trigonometria Esférica no

terceiro ano” (VALENTE, 1997, p. 85).

Assim como outras obras, a tradução do “Tratado de Trigonometria” por Legendre foi

escrita “em linguagem para uso dos alunos da Academia Militar do Rio de Janeiro”, como

afirma Silva (1996, p. 54). A tradução deste tratado foi realizada em 1809 por Manuel

Ferreira de Araújo Guimarães, sobre o qual será mencionado adiante.

A seguir, serão evocados três motivos importantes para a escolha da obra de Legendre.

Em seguida, será feito um breve comentário sobre o autor e sua principal obra e, ressaltada a

sua influência no ensino da Trigonometria no Brasil.

Por que e quem foi Adrien-Marie Legendre?


Figura 1. Adrien-Marie Legendre (1752-1833)2

Conhecer o “Tratado de Trigonometria” de Legendre é importante pelos seguintes

motivos:

A Revolução Francesa (1789-1815) criou condições altamente favoráveis para o

desenvolvimento da Matemática devido ao fato de sua ruptura ideológica com o

passado e de suas muitas mudanças violentas. Sendo assim, Dhombres (1985, p. 136)

afirma que a Revolução foi uma época riquíssima para publicações de livros em geral.

O período de 1797 a 1819 é considerado de ouro para a produção de livros de

Matemática e, as obras de Legendre foram publicadas neste período.

De acordo com Schubring (1997, p. 45), Legendre em sua obra sobre Trigonometria

utilizou-se do método sintético em suas demonstrações, embora na época (após 1794),

o método de ensino que vigorava e o adotado nos livros didáticos fosse o método

analítico, difundido principalmente pelos “Idéologues”, que vieram a ser o principal

grupo intelectual após a Era das Antecipações (1792-1794) da Revolução Francesa,

quando a República Francesa já estava proclamada e a Revolução se radicalizava,

fugindo do controle dos grandes burgueses. Este fato gerou um interessante impacto,

na verdade uma contradição, pois em sua obra “Éléments de Géométrie”, Legendre

mencionou no prefácio, a importância de se praticar apenas um método de ensino, o

analítico.

Legendre foi também um dos autores de livros didáticos que se destacou após 1805,

juntamente com Bézout e Lacroix (DHOMBRES, 1985, p. 136). Certamente, o seu

sucesso internacional influenciou a indicação e o uso de sua Geometria e

Trigonometria pela Academia Real Militar, instituída em nosso país com a vinda da

Corte Portuguesa (SILVA, 1994, p. 32).

Adrien-Marie Legendre nasceu em Paris, França, dia 18 de setembro de 1752 e faleceu

também em Paris, dia 10 de janeiro de 1833. Há poucos detalhes sobre sua vida. Sabe-se que

estudou matemática e física no College Mazarin, em Paris e, durante cinco anos, de 1775 a

1780, trabalhou junto com Laplace quando ambos lecionavam na École Militaire de Paris.3

Com base em Eves (1997, p. 487), na História da Matemática, o sucesso de Adrien-

Marie Legendre (1752-1833) baseia-se em suas descobertas matemáticas, porém, na História

da Matemática Elementar, sua fama se deve principalmente à produção da obra “Éléments de

2 Foto disponível em <http://www.ee.nthu.edu.tw/~sdyang/Courses/PDE/Legendre,%20Adrien-Marie%20(1752-

1833).jpg>. Acesso em jul. 2010. 3 Disponível em <http://ecalculo.if.usp.br/historia/legendre.htm>. Acesso em jul. 2010.


Géométrie” (1794). Seu objetivo ao escrevê-la foi o de tornar os “Elementos” de Euclides

acessíveis ao ensino. Ele mesmo afirma na introdução, de acordo com Miorim (1998, p. 49),

que estava interessado numa Geometria “que satisfaça o espírito”. Nesta ocasião, ele dava

aulas na “École Normale”, dedicada à formação de professores para o ensino médio da

França.

Os Estados Unidos foram um dos países em que Legendre obteve grande receptividade, tanto

que seu livro-texto chegou a trinta e três edições traduzidas para o inglês. Dedicou-se

também à matemática superior, com pesquisas sobre a teoria dos números, as funções

elípticas, o método dos mínimos quadrados e as integrais. Obteve notável destaque em

geodésia por sua triangulação da França. (EVES, 1997, p. 488)

Anteriormente à publicação dos “Éléments de Géométrie”, Legendre foi professor da

Escola Militar de Paris (1775-1780). Foi também examinador dos candidatos às escolas de

oficiais de artilharia (1799-1815) e fez parte da Academia de Ciências. (VALENTE, 1997, p.

96)

Aqui no Brasil, de acordo com Silva (1996, p. 54), as obras de Legendre “Elementos

de Geometria” e o “Tratado de Trigonometria”, cujas traduções foram feitas em 1809 por

Manuel Ferreira de Araújo Guimarães e editadas no Rio de Janeiro, representaram alguns dos

primeiros livros a serem impressos pela Imprensa Régia. Valente (1997, p. 116) comenta que

a Geometria de Legendre foi utilizada apenas nos cursos da Academia Real Militar e ressalta

ainda que, tanto na França quanto no Brasil, sua obra foi mais uma referência para a

Geometria do que propriamente um livro a ser utilizado pelos alunos. A obra original,

“Tratado de Trigonometria”, foi escrita por Legendre em 1794.

O “Tratado de Trigonometria”, por Adrien-Marie Legendre (1752-1833)

Valente (1997, p. 97) atribui o “rigor” como sendo uma forte característica da

Geometria de Legendre, isto é, ele negava a intuição geométrica como um método de

demonstração. Para isso, era necessário tratar a Geometria axiomaticamente. Esse estilo

rigoroso descrito na Geometria de Legendre põe em evidência o caráter do método analítico,

que já foi mencionado anteriormente, de certa forma, contrapondo-se ao método sintético

usado para a obra “Tratado de Trigonometria”.

Passa-se a seguir a descrever uma análise sobre o “Tratado de Trigonometria” de

Adrien-Marie Legendre, obra traduzida para o português por Manuel Ferreira de Araújo de

Guimarães e cuja primeira edição (língua original) é de 1794 e, cuja tradução analisada é

datada de 1809. Legendre, ao escrever sua Trigonometria, se utiliza de figuras para confirmar

certos resultados, que revela uma característica do uso do método sintético nessa obra. Para


elucidar essa menção do autor, pode-se observar como ele procede a fim de expressar o seno e

o cosseno de arcos negativos. É na figura a seguir que ele se baseia para justificar o resultado:

Notemos primeiro que dois arcos iguais e de finais contrários AM, NA, têm senos iguais e de

sinais contrários MP e PN, enquanto o cosseno CP é o mesmo para um e para outro. Logo

temos em geral sen(-x) = -senx e cos(-x) = cosx, fórmulas que servirão para exprimir os senos

e os cossenos dos arcos negativos”. (LEGENDRE, 1809)

Figura 2. Sen(-x) = -senx e cos(-x) = cosx

A referência a esta obra será sempre feita ao autor original Legendre, pois a tradução

de Guimarães trata-se de uma reprodução fiel do tratado original. Isso se confirma com uma

frase de Guimarães citada por Valente (1997, p. 98): “... julguei mais sensato trasladar o que

eles ensinam do que cansar o leitor com minhas bagatelas”.

Legendre (1809, p. 1) inicia sua Trigonometria esclarecendo o objeto dela; para ele, o

objeto da Trigonometria é resolver este problema geral: “sendo dadas três das seis partes de

um triângulo, determinar as outras três”. Legendre faz aí uma observação, em que explica

quais são as partes de um triângulo: os seus três ângulos e os seus três lados. É importante

também mencionar o valor que Legendre dá à Trigonometria. Segundo ele, os métodos

trigonométricos dão as soluções com todo o grau de exatidão que se pode desejar; elas se

baseiam nas propriedades das funções trigonométricas, as quais ele chama de propriedades

das linhas, referindo-se às funções seno, cosseno, tangente etc.

Sinteticamente, o próprio Legendre (1809, p. 2) narra a proposta de sua

Trigonometria: “exporemos primeiramente as propriedades dessas linhas e as principais

fórmulas que delas resultam; fórmulas que tem muito uso em todas as partes das matemáticas,

e que fornecem à análise algébrica meios de aperfeiçoar-se. Depois as aplicaremos

sucessivamente à resolução dos triângulos retilíneos, e dos triângulos esféricos”.

Vale salientar que as figuras utilizadas por Legendre em sua obra não estão inseridas

no texto. Ficam situadas no final do tratado e são, ao todo, em número de dezessete.

Desta primeira parte do tratado, a que se reserva às propriedades das linhas

trigonométricas e às das principais fórmulas que procedem dessas linhas, pode-se destacar


quatro tópicos relevantes: divisão da circunferência, noções gerais sobre as funções

trigonométricas, teoremas e fórmulas relacionadas a essas funções e a construção das tábuas

dos senos.

Sobre o primeiro tópico, a divisão da circunferência, Legendre (1809, p. 2) menciona a

vantagem prática de se dividir a circunferência em 360 partes (graus) pelo seu grande número

de divisores. Entretanto, faz uma ressalva: para ele, esse modo “antigo” de divisão gerava

inconvenientes quando se tratava dos números complexos e, também, frequentemente

atrapalhava a agilidade do cálculo. Assim, achava mais interessante utilizar-se apenas da

divisão decimal na medida dos ângulos, ou seja, considerava como unidade principal o quarto

da circunferência ou o quadrante ou ainda, a medida do ângulo reto que estaria dividida em

cem partes iguais. Legendre também define elementos relacionados com ângulos, como

complemento e suplemento de um ângulo. Ele provavelmente preferia a divisão decimal da

circunferência porque participou da comissão que elaborou o sistema métrico decimal, que

procurava obter uma padronização para todas as unidades de medida.

O que Legendre apresenta nas noções gerais sobre as funções trigonométricas, no

segundo tópico? Primeiro dá a definição das seis funções trigonométricas, a qual chama cada

uma de linhas, com base na figura anterior, já apresentada, acrescentando também suas

notações respectivas. Por exemplo, ele define assim a tangente do arco AM: “se ao extremo

do raio CA tirarmos a perpendicular AT até o encontro de CM prolongado, a linha AT, assim

terminada, se chama tangente” (LEGENDRE, 1809, p. 4). Ressalta ainda que tanto o seno, a

tangente e a secante depende do arco AM e são sempre determinadas por tal arco e pelo raio

da circunferência (raio designado por R, não significando necessariamente a unidade). A

notação para a tangente é dada por “AT = tang AM ou AT = tang ACM”. A partir daí,

Legendre apresenta quais as variações de valores que as funções trigonométricas sofrem à

medida que o arco varia na circunferência.

Segue agora, ainda na primeira parte do tratado, o terceiro tópico sobre os teoremas e

fórmulas relacionadas com as funções já definidas. Legendre segue apresentando os

resultados que acha imprescindíveis para atingir o fim principal da Trigonometria, o de

resolver os triângulos. As demonstrações são feitas após cada proposição proposta.

Antes de tratar do quarto e último tópico, a construção das tábuas dos senos, Legendre

aborda o desenvolvimento das funções trigonométricas por meio de séries. Faz um breve

comentário sobre a importância do cálculo infinitesimal, “o desenvolvimento das fórmulas

trigonométricas, considerado em toda a sua generalidade, forma um ramo importante da

análise, acerca do qual se pode consultar a excelente obra de Euler, intitulada: „Introdução à


análise dos infinitos‟” (LEGENDRE, 1809, p. 27).

Quanto às tábuas ou tabelas dos senos, o que Legendre faz é oferecer inicialmente uma

idéia dos tipos de métodos que se podem ter para sua construção. Utilizando vários cálculos,

ele chega aos senos naturais para depois, porém, admitir e explicar a vantagem de se utilizar

os logaritmos dos senos. Após desenvolver toda essa teoria, Legendre apresenta a parte final

da obra, objetivando a resolução dos triângulos planos e esféricos. Uma seqüência didática é

seguida pelo autor, que inclui basicamente: princípios para a resolução dos triângulos,

resolução dos triângulos e exemplos da resolução dos triângulos. Quando menciona

triângulos, ele está se referindo aos triângulos retângulos, triângulos retilíneos (planos) em

geral, triângulos esféricos retângulos e também aos triângulos esféricos em geral.

Os princípios para a resolução dos triângulos retilíneos em geral se resumem em três

fórmulas demonstradas, suficientes para resolver qualquer triângulo plano, as quais

correspondem hoje, ao que chamamos de relações métricas no triângulo retângulo para o seno

e a tangente, à lei dos senos e também dos cossenos. Aqui, todas essas fórmulas estão em

função do raio R da circunferência de referência.

Apresenta, a seguir, os quatro casos de resolução dos triângulos retângulos e também

de resolução dos triângulos retilíneos em geral. Os enunciados dos quatro casos possíveis para

os triângulos retângulos:

1º) Sendo dada a hipotenusa a e um lado b, achar o terceiro lado e os dois ângulos agudos.

2º) Sendo dados os dois lados b e c do ângulo reto, achar a hipotenusa e os ângulos agudos.

3º) Sendo dada a hipotenusa a e um ângulo B, achar os outros dois lados b e c.

4º) Sendo dado um lado b do ângulo reto, com um dos ângulos agudos, achar a hipotenusa e o

outro lado.

Os exemplos da resolução dos triângulos retilíneos se referem aos problemas práticos

que serão abordados adiante neste texto. Todos os quatro exemplos que Legendre apresenta

têm figuras ilustrativas e são resolvidos primeiro para o caso geral e posteriormente são

resolvidos exemplos numéricos, particulares. Guimarães, para não mudar as notações da obra

original, resolve de duas maneiras cada exemplo numérico; uma utilizando-se da divisão

decimal do círculo (referindo-se à tradução da obra original), e outra, da divisão sexagesimal.

O próprio Guimarães faz uma ressalva: “repetirei os mesmos exemplos, referindo-me à

unidade vulgar entre nós e à antiga divisão do círculo”.

De modo análogo, como já foi comentado, Legendre faz todo esse processo para a

resolução dos triângulos esféricos. Finalizando, o Apêndice, intitulado “Que contém a

resolução de diferentes casos particulares de trigonometria”, refere-se a outros casos de


resolução dos triângulos, dos quais se podem usar fórmulas mais simples e notáveis em

substituição das gerais.

Um problema prático do Tratado de Trigonometria de Legendre

A área que trata do estudo sobre a resolução de problemas está atualmente obtendo

notável interesse, principalmente por parte dos pesquisadores em Educação Matemática. O

problema abordado neste trabalho pode ser classificado como problema real. De fato, a partir

das terminologias dos tipos de problemas adotadas por Siqueira Filho (1999, p. 116), serão

caracterizados como “problemas reais”, aqueles que apresentam uma situação-problema real

que era útil para a época em que eles foram propostos. O que se espera é que o professor de

Matemática de hoje trabalhe com problemas reais, mesmo com enunciados análogos aos

daqueles propostos nos livros de Trigonometria antigos, entretanto, que possa levar o aluno a

perceber o quão útil já foi e é a Trigonometria. Concordando ainda com Siqueira Filho (1999,

p. 116), só assim o professor fornecerá “ao aluno a oportunidade de usar uma variedade de

habilidades matemáticas, procedimentos e conceitos para resolvê-los”.

Foi escolhido um problema prático de resolução de triângulos do “Tratado de

Trigonometria” de Legendre para se apresentado aqui. A escolha se justifica porque é um

problema prático que até hoje está presente em livros didáticos de matemática das séries finais

do ensino fundamental e do ensino médio. Após a resolução dos triângulos retângulos e dos

triângulos retilíneos em geral, com os quatro casos clássicos tratados em cada parte, Legendre

(1809, p. 55) propõe exemplos de resolução dos triângulos retilíneos. Um exemplo é

apresentado a seguir.

“Exemplo I. Suponhamos que se quer a altura de um edifício AB, cujo pé é acessível”.

Figura 3. Cálculo da altura de um edifício.

A figura que Legendre apresenta é como a figura acima (sendo esta uma adaptação da

autora deste trabalho).

Tendo medido sobre o terreno, suposto nivelado, uma base AD (como na figura), que

seja de proximidade razoável em relação à altura AB, poremos em D o pé do círculo ou de


qualquer instrumento com o qual se deseja medir o ângulo BCE, formado pela linha

horizontal CE paralela a AD e pelo raio visual CB dirigido ao vértice do edifício. A figura

proposta para esse problema por Legendre assim como todas as outras se encontram no final

do seu livro. Aliás, todas as figuras mencionadas em seu livro são expostas no fim e são em

número bastante reduzido.

Agora Legendre faz a suposição de se ter achado certo valor para AD ou CE. Este

valor ele supõe ter sido 67,84 metros e também supõe ter achado o ângulo BCE = 45o 64‟.

Assim, para se obter BE devemos resolver o triângulo retângulo BCE. É o que Legendre faz

agora, utilizando o Caso IV da Resolução dos triângulos retângulos, donde obtém a proporção

BEg

R 84,67

'64º45tan . Da tábua de logaritmos ele obtém que BE = 59,13 metros e

acrescentando a BE a altura do instrumento CD ou AE, igual a 1,12 metros, encontrou a altura

desejada AB = 60,25 metros, a qual Legendre representa assim AB = 60m

,25.

O problema está resolvido, como é possível perceber, a partir da utilização do sistema

de medida decimal e também da divisão decimal do círculo, porém o tradutor da obra faz mais

e acrescenta que, “como essas medidas não estão geralmente adotadas e eu não quero alterar o

texto do autor, repetirei os mesmos exemplos, referindo-me à unidade vulgar entre nós e à

antiga divisão do círculo”. Assim prossegue Guimarães, resolvendo todos os exemplos da

resolução dos triângulos retilíneos.

Considerações finais

É natural estar diante de uma fonte original de matemática e sentir pelo menos uma

curiosidade em saber como algum dia tal fonte foi utilizada. Acredita-se ser este o primeiro

indício do desejo de se conhecer um dos vários aspectos que a história da matemática pode

abarcar.

Além disso, muitas obras importantes se perdem com o tempo, e, o registro de como

foram estruturadas é um processo rico e interessante com a finalidade de se conhecer o estilo

de escrita da época e os conceitos e os problemas matemáticos tratados. Isso se inclui em um

dos papéis que a história deve exercer: o de conhecer o passado pelo presente.

Refletindo sobre a utilização de fontes originais de história da matemática e

ancorando-se em Dynnikov e Sad (2007, p. 7), este trabalho limita-se em “manipular a fonte

na expectativa de uma compreensão imediata”, mas, isso não implica que ele não pode ser

usado pelo professor de matemática a fim de levar o aluno a produzir novos significados a

partir do contato com problemas trigonométricos em obras antigas por exemplo. Esta tarefa é

deixada aqui como um convite ao professor.


10

Como já mencionado inicialmente, a intenção é de uma análise descritiva do “Tratado

de Trigonometria” escrito por Legendre. A tentativa da descrição se faz pensando como sendo

aquela que “requer a produção adequada de significados e de conhecimentos que, interligados

de modo argumentativo, possam ser cientificamente convincentes ao compor os registros

finais de análise do pesquisador” (SAD e SILVA, 2008, p. 30). É possível perceber que vários

tópicos da obra ainda poderiam ser explorados mais profundamente: a elaboração da tábua

dos senos, as demonstrações dos quatro casos de resolução dos triângulos retângulos e

também a demonstração da resolução dos triângulos retilíneos em geral. Entretanto, optou-se

por enfatizar a resolução de dois problemas práticos que são comuns de se encontrar em livros

didáticos atuais. Neste caso, pensou-se no papel do professor que pode fazer acontecer uma

integração entre a história da matemática e uma situação educacional a partir da proposta de

se estudar como tais problemas foram resolvidos por Legendre e como eles são propostos e

resolvidos atualmente nos livros didáticos de matemática do ensino médio.

Um documento não pode ser visto como algo pronto e acabado.

Concorda-se com a concepção de documento apresentada por Le Goff:

[...] um documento nunca é o simples resultado de uma situação histórica dada. Ele é o

produto orientado de uma situação. O que então é preciso analisar são as condições nas quais

tal documento foi produzido e não só de que ambiente sai ou de que é que literalmente nos

fala. (LE GOFF, 1999 apud SAD e SILVA, 2008, p. 31)

Ele foi construído em meio a uma situação sócio-histórica-cultural que deve ser levada

em conta pelo pesquisador que deseja estudar sobre ele. É necessário questionar a intenção

que se teve no momento de produção do documento.

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