Análise Combinatória - Atividades didáticas de 2007 · 2.2 Arranjo com repeti¸cão 2 Os...

Elementos de MatematicaAnalise Combinatoria - Atividades didaticas de 2007

Versao compilada no dia 31 de Julho de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses Sodre: ulysses(a)uel(pt)brMatematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais usados emnossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e naoespero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto.Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia,mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitorpesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seusestudos.

Mensagem: ‘Tudo tem a sua ocasiao propria, e ha tempo paratodo proposito debaixo do ceu. Ha tempo de nascer, e tempo demorrer; tempo de plantar, e tempo de arrancar o que se plantou;tempo de matar, e tempo de curar; tempo de derrubar, e tempode edificar; tempo de chorar, e tempo de rir; tempo de prantear,e tempo de dancar; tempo de espalhar pedras, e tempo de ajuntarpedras; tempo de abracar, e tempo de abster-se de abracar; tempode buscar, e tempo de perder; tempo de guardar, e tempo de deitarfora; tempo de rasgar, e tempo de coser; tempo de estar calado,e tempo de falar; tempo de amar, e tempo de odiar; tempo deguerra, e tempo de paz. Que proveito tem o trabalhador naquiloem que trabalha? Tenho visto o trabalho penoso que Deus deu aosfilhos dos homens para nele se exercitarem. Tudo fez formoso emseu tempo; tambem pos na mente do homem a ideia da eternidade,se bem que este nao possa descobrir a obra que Deus fez desde oprincıpio ate o fim.’ A Bıblia Sagrada, Eclesiastes 3

http://www.mat.uel.br/matessencial/

CONTEUDO ii

Conteudo

1 Introducao a Analise Combinatoria 1

2 Arranjos 1

2.1 Arranjo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Arranjo com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Arranjo condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Permutacoes 3

3.1 Permutacao simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Permutacao com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Anagrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Permutacao circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Combinacoes 6

4.1 Combinacao simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Combinacao com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Regras para Analise Combinatoria 8

5.1 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.2 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.3 Numero de Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5.4 Numero de Permutacoes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.5 Numero de Combinacoes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.6 Numero de arranjos com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.7 Numero de permutacoes com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.8 Numero de combinacoes com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.9 Propriedades das combinacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.10 Numeros Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Analise Combinatoria - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

Secao 1 Introducao a Analise Combinatoria 1

1 Introducao a Analise Combinatoria

Analise Combinatoria e um conjunto de procedimentos que permite construirgrupos diferentes formados por um numero finito de elementos de um conjuntosob certas circunstancias.

Na maioria das vezes, tomaremos conjuntos com m elementos e os gruposformados com elementos deste conjunto terao p elementos, isto e, p sera ataxa do agrupamento, com p ≤ m.

Arranjos, Permutacoes e Combinacoes, sao os tres tipos principais de agru-pamentos, sendo que eles podem ser simples, com repeticao ou circulares.Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observacao 1. E comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar,combinar ou permutar, mas todo o cuidado e pouco com os mesmos, que asvezes sao utilizados em questoes em uma forma dubia!

2 Arranjos

Definicao 1 (Arranjo). E um grupo formado com p elementos escolhidos deuma colecao com m elementos, sendo p < m de forma que os p elementossejam distintos entre si pela ordem ou pela especie. Os arranjos podem sersimples ou com repeticao.

2.1 Arranjo simples

Definicao 2 (Arranjo simples). E um arranjo que nao permite a repeticaode qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O numero de arranjossimples e dado pela formula:

A(m, p) =m!

(m− p)!

Exemplo 1. Para o conjunto {A, B, C,D}, o numero de arranjos simples dosm = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 e formado por 12 grupos, pois

A(4, 2) =4!

2!=

24

2= 12


2.2 Arranjo com repeticao 2

Os grupos nao possuem a repeticao de qualquer elemento mas os elementospodem aparecer na ordem trocada. Todos os grupos estao no conjunto:

{AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD,DA,DB,DC}

2.2 Arranjo com repeticao

Definicao 3 (Arranjo com repeticao). E um arranjo em que todos os m

elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos. O numerode arranjos com repeticao e dado pela formula:

Ar(m, p) = mp

Exemplo 2. Para o conjunto {A, B, C,D}, o numero de arranjos com repeticaodos m = 4 elementos com a taxa p = 2 e formado por 16 grupos, pois

Ar(4, 2) = 42 = 16

Aparecem repeticoes em cada grupo. Os grupos estao no conjunto:

{AA, AB, AC,AD,BA,BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD,DA,DB,DC,DD}

2.3 Arranjo condicional

Definicao 4 (Arranjo condicional). E um arranjo em que todos os elementosaparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condicao que deveser satisfeita acerca de alguns elementos. O numero de arranjos condicionaise dado pela formula:

Ac = A(m1, p1)× A(m−m1, p− p1)

Exemplo 3. Vamos construir todos os arranjos com 4 elementos do conjunto{A, B, C,D, E, F, G}, comecando com 2 letras escolhidas no subconjunto{A, B, C}.

Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa e p = 4, o subconjunto escolhidotem m1 = 3 elementos e a taxa de formacao para este subconjunto e p1 = 2.Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estao no conjunto:

PABC = {AB, BA, AC, CA, BC, CB}


Secao 3 Permutacoes 3

Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, obtemos 12 grupos que estao noconjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED, EF, EG,FD, FE, FG, GD, GE,GF}

Usando a regra do produto, temos 72 possibilidades obtidas pela juncao deum elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Umtıpico arranjo para esta situacao e CAFG.

Calculo para o exemplo:

Ac = A(3, 2)× A(7− 3, 4− 2) = A(3, 2)× A(4, 2) = 6× 12 = 72

3 Permutacoes

Definicao 5 (Permutacao). Permutacao e um agrupamento formado com m

elementos, de modo que todos os m elementos sejam distintos entre si pelaordem. As permutacoes podem ser simples, com repeticao ou circulares.

3.1 Permutacao simples

Definicao 6 (Permutacao simples). Permutacoes sao agrupamentos com to-dos os m elementos distintos. O numero de permutacoes simples e:

P (m) = m!

Exemplo 4. Para o conjunto {A, B, C}, o numero de permutacoes simplesdesses m = 3 elementos e formado por P (3) = 3! = 6 grupos que nao podemter a repeticao de qualquer elemento em cada grupo mas que aparecem naordem trocada. Todos os agrupamentos estao no conjunto:

P = {ABC, ACB,BAC,BCA, CAB, CBA}

3.2 Permutacao com repeticao

Definicao 7 (Permutacao com repeticao). Para os m elementos de um con-junto {x1, x2, x3, ..., xm}, vamos supor que existem m1 elementos iguais a x1,


3.3 Anagrama 4

m2 elementos iguais a x2, m3 elementos iguais a x3, ..., mn elementos iguaisa xn, tal que m = m1 + m2 + m3 + ... + mn.

Para os nossos calculos vamos usar m = m1 + m2 + m3 e o numero depermutacoes com repeticao e dado pela formula:

Pr(m; m1+m2+m3) = C(m, m1) C(m−m1, m2) C(m−m1−m2, m3)

=m!

m1! (m−m1)!

(m−m1)!

m2! (m−m1−m2)!

(m−m1−m2)!

m3! 0!

=m!

m1! m2! m3!

Em geral, se m = m1 + m2 + m3 + ... + mn, o numero de permutacoes comrepeticao e dado pela formula:

Pr(m; m1+m2+m3+...+mn) =m!

m1! m2! m3! ... mn!

3.3 Anagrama

Definicao 8 (Anagrama). Um anagrama e uma (outra) palavra construıdacom as mesmas letras da palavra original trocadas de posicao.

Se as letras da palavra original sao:

1. distintas, o numero de anagramas e dado pelo numero de permutacoessimples.

2. repetidas, o numero de anagramas e dado pelo numero de permutacoescom repeticao.

Exemplo 5. Para obter os anagramas da palavra ARARAT, observamos que aletra A ocorre m1 = 3 vezes, a letra R ocorre m2 = 2 vezes e a letra T ocorrem3 = 1 vez. O numero de permutacoes com repeticao desses elementosdo conjunto {A, R, T} em agrupamentos de m = 6 elementos e dado por60 grupos com a repeticao de todos os elementos do conjunto aparecendotambem na ordem trocada.

Calculo: Aqui m1 = 3, m2 = 2, m3 = 1, m = m1 + m2 + m3 = 6, logo

Pr(6; 3 + 2 + 1) =6!

3! 2! 1!=

720

6× 2× 1= 60


3.4 Permutacao circular 5

Todos os 60 anagramas da palavra ARARAT estao listados na tabela:

N Inicial Anagramas formados com as tres letras iniciais indicadas

1 RRT RRTAAA

1 RTR RTRAAA

1 TRF TRRAAA

3 AAA AAARRT, AAARTR, AAATRR

3 AAT AATARR, AATRAR, AATRRA

3 ARR ARRAAT, ARRATA, ARRTAA

3 ART ARTAAR, ARTARA, ARTRAA

3 ATA ATAARR, ATARAR, ATARRA

3 ATR ATRAAR, ATRARA, ATRRAA

3 RRA RRAAAT, RRAATA, RRATAA

3 RTA RTAAAT, RTAATA, RTATAA

3 TAA TAAARR, TAARAR, TAARRA

3 TAR TARAAR, TARARA, TARRAA

3 TRA TRAAAR, TRAARA, TRARAA

6 AAR AARART, AARATR, AARRAT, AARRTA, AARTAR, AARTRA

6 ARA ARAART, ARAATR, ARARAT, ARARTA, ARATAR, ARATRA

6 RAA RAAART, RAAATR, RAARAT, RAARTA, RAATAR, RAATRA

6 RAR RARAAT, RARATA, RARTAA, RATAAT, RATATA, RATTAA

3.4 Permutacao circular

Definicao 9 (Permutacao circular). Este tipo de permutacao ocorre quandotemos grupos com m elementos distintos formando um cırculo. O numero depermutacoes circulares e dado pela formula:

Pc(m) = (m− 1)!

Exemplo 6. De quantos modos distintos as pessoas do conjunto {A, B, C,D}poderao sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizaro jantar sem haver repeticao das posicoes?

Existem 24 permutacoes simples possıveis com estas 4 pessoas, as quais estao


Secao 4 Combinacoes 6

no conjunto:

Pc = {ABCD, ABDC, ACBD,ACDB, ADBC, ADCB,

BACD, BADC, BCAD,BCDA, BDAC, BDCA,

CABD, CADB,CBAD, CBDA,CDAB, CDBA,

DABC,DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}

Acontece que junto a uma mesa circular temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD

ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD

ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Assim, existem somente

P (4) = (4− 1)! = 6

grupos distintos, que sao:

Pc = {ABCD, ABDC, ACBD,ACDB, ADBC, ADCB}

4 Combinacoes

Definicao 10 (Combinacao). Combinacao e um arranjo formado por um agru-pamentos com p elementos de uma colecao com m elementos, sendo p ≤ m,de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela especie.

4.1 Combinacao simples

Definicao 11 (Combinacao simples). E uma combinacao em que nao ocorrea repeticao de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. O numerode combinacoes e dado pela formula:

C(m, p) =m!

(m− p)! p!


4.2 Combinacao com repeticao 7

Exemplo 7. Considerando o conjunto {A, B, C,D}, o numero de combinacoessimples desses m = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 e formado por

C(4, 2) =4!

2!2!=

24

4= 6 grupos que nao podem ter a repeticao de qualquer

elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentosestao no conjunto:

Cs = {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

4.2 Combinacao com repeticao

Definicao 12 (Combinacao com repeticao). E uma combinacao em que todosos elementos podem aparecer repetidos em cada grupo ate p vezes. O numerode combinacoes com repeticao e dado pela formula:

Cr(m, p) = C(m + p− 1, p)

Exemplo 8. Para o conjunto {A, B, C,D}, o numero de combinacoes comrepeticao desses m = 4 elementos tomados com a taxa p = 2 e formado por

Cr(4, 2) = C(4 + 2− 1, 2) = C(5, 2) =5!

2!3!= 10

grupos que possuem todas as repeticoes possıveis de elementos em grupos de2 elementos nao podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. Emgeral, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16elementos:

Cr = {AA, AB, AC,AD,BA,BB, BC, BD,

CA, CB,CC,CD, DA,DB, DC,DD}

mas para obter as combinacoes com repeticao, deveremos excluir deste con-junto os 6 grupos que ja apareceram antes, pois

AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB, CD=DC

assim as combinacoes com repeticao dos elementos de K tomados 2 a 2, sao:

Cr = {AA, AB, AC,AD,BB, BC, BD, CC, CD, DD}


Secao 5 Regras para Analise Combinatoria 8

5 Regras para Analise Combinatoria

Em geral, problemas de Analise Combinatoria sao muito difıceis mas eles po-dem ser resolvidos atraves de duas regras basicas: a regra da soma e a regrado produto.

5.1 Regra da soma

A regra da soma garante que se um elemento pode ser escolhido de m formase um outro elemento pode ser escolhido de n formas, entao a escolha de umou outro elemento ocorrera de m + n formas, desde que tais escolhas sejamindependentes, isto e, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidircom uma escolha do outro.

5.2 Regra do Produto

A regra do produto garante que se um elemento H pode ser escolhido de m

formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elementoM pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nestaordem podera ser realizada de m× n formas.

Exemplo 9. Sejam duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontossob analise estejam em ambas, sendo que a primeira reta r contem m pontosdistintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda reta s contem n outrospontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn.


5.3 Numero de Arranjos simples 9

De quantos modos podemos tracar segmentos de retas com uma extremidadena reta r e a outra extremidade na reta s?

Ligando r1 a todos os pontos de s temos n segmentos, depois ligando r2 atodos os pontos de s temos n segmentos, e continuamos ate o ultimo pontorm para obter tambem n segmentos. Como existem m pontos na reta r e n

pontos na reta s, temos m× n segmentos possıveis.

5.3 Numero de Arranjos simples

De quantas maneiras diferentes podemos escolher p elementos de um conjuntocom m elementos, com p ≤ m?

Cada uma dessas escolhas e um arranjo de m elementos tomados p a p.Construımos uma sequencia com os m elementos do conjunto.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1, cm}

Cada vez que um elemento e retirado, indicamos esta operacao com a mudancada cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto com m elementos, temos m

possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caıdo sobre o elemento deordem m.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1, cm}

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjuntoe constatamos que agora existem apenas m− 1 elementos. Suponhamos quetenha sido retirado o ultimo elemento dentre os que sobraram no conjunto. Oelemento retirado na segunda fase e aquele de ordem m− 1.

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1, cm}

Apos a segunda retirada, sobraram m − 2 possibilidades para a proxima re-tirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o deordem m− 2, teremos algo que pode ser visualizado como:

{c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm−2, cm−1, cm}


5.3 Numero de Arranjos simples 10

Continuando o processo de retirada, cada vez temos 1 elemento a menos quena fase anterior. Para retirar o elemento de ordem p, restam m − p + 1possibilidades de escolha.

Para obter o numero total de arranjos possıveis de m elementos tomados coma taxa p, basta multiplicar os numeros que aparecem na segunda coluna databela:

Retirada Numero de possibilidades

1 m

2 m-1

3 m-2

... ...

p m-p+1

Numero de arranjos: m(m− 1)(m− 2)...(m− p + 1)

Denotamos o numero de arranjos de m elementos com a taxa p, por A(m, p)e a expressao para o seu calculo e dada por:

A(m, p) = m(m− 1)(m− 2)...(m− p + 1)

Exemplo 10. Quais e quantas sao as possibilidades de dispor as 5 vogaisA,E,I,O,U em grupos de 2 elementos diferentes?

O conjunto solucao e:

{AE, AI,AO,AU, EA, EI, EO,EU, IA, IE,

IO, IU,OA, OE,OI, OU, UA, UE,UI, UO}

A solucao numerica e A(5, 2) = 5× 4 = 20.

Exemplo 11. Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantassao as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (naonecessariamente diferentes)?Sugestao: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela a anteriorcom as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que ha 5 × 5 = 25possibilidades.O conjunto solucao e:

{AA, AE, AI, AO,AU, EA, EE,EI, EO,EU, IA, IE, II,

IO, IU,OA, OE,OI, OO, OU,UA, UE,UI, UO,UU}


5.4 Numero de Permutacoes simples 11

Exemplo 12. Quantas placas de carros da forma XYZ-1234 sao obtidas nosistema brasileiro de transito com 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?Sugestao: Use as 26 letras do nosso alfabeto tomadas 3 a 3 e 10 algarismosdispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

5.4 Numero de Permutacoes simples

Este e um caso particular de arranjo com p = m. Para obter o numero depermutacoes com m elementos distintos de um conjunto, basta escolher osm elementos em uma certa ordem. A tabela de arranjos com as linhas ate aordem p = m, permitira obter o numero de permutacoes de m elementos:

Retirada Numero de possibilidades

1 m

2 m-1

... ...

p m-p+1

... ...

m-2 3

m-1 2

m 1

Denotaremos o numero de permutacoes de m elementos, por P (m) e a ex-pressao para o seu calculo sera dada por:

P (m) = m(m− 1)(m− 2)...(m− p + 1)...3× 2× 1

Em funcao da forma como construımos o processo, podemos escrever:

A(m, m) = P (m)

Como o uso de permutacoes e intenso em Matematica e nas ciencias, costuma-se simplificar a permutacao de m elementos e escrever simplesmente:

P (m) = m!

Este sımbolo de exclamacao posto junto ao numero m e lido como: fatorialde m, onde m e um numero natural.


5.5 Numero de Combinacoes simples 12

Embora zero nao seja um numero natural no sentido que tenha tido origemnas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definicao de fatorial dem de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever:

0! = 1

Em contextos mais avancados, existe a funcao gama que generaliza o conceitode fatorial de um numero real, excluindo os inteiros negativos e com estasinformacoes pode-se demonstrar que 0! = 1.O fatorial de um numero inteiro nao negativo pode ser definido de uma formarecursiva atraves da funcao P = P (m) ou com o uso do sinal de exclamacao:

(m + 1)! = (m + 1) ·m!, 0! = 1

Exemplo 13. De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A,B,C difer-entes em uma estante? O numero de arranjos e P (3) = 6 e o conjunto solucao:

P = {ABC, ACB,BAC,BCA, CAB, CBA}

Exemplo 14. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavraAMOR? O numero de arranjos e P (4) = 24 e o conjunto solucao e:

P = {AMOR,AMRO, AROM, ARMO,AORM, AOMR, MARO,MAOR,

MROA,MRAO, MORA,MOAR, OAMR,OARM,ORMA, ORAM,

OMAR,OMRA, RAMO,RAOM,RMOA, RMAO,ROAM,ROMA}

5.5 Numero de Combinacoes simples

Seja um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, obser-vamos que podemos escolher p elementos deste conjunto, mas ao realizar taisescolhas pode ocorrer que duas colecoes com p elementos tenham os mes-mos elementos em ordens trocadas. Uma situacao tıpica e a escolha de umcasal (H, M). Quando se fala casal, nao tem importancia a ordem da posicao(H, M) ou (M, H), assim nao precisamos escolher duas vezes as mesmas pes-soas para formar o referido casal. Para evitar a repeticao de elementos emgrupos com a mesma quantidade p de elementos, introduzimos o conceito decombinacao.

Uma colecao de p elementos de um conjunto com m elementos e uma com-binacao de m elementos tomados p a p, se as colecoes com p elementos nao


5.6 Numero de arranjos com repeticao 13

possuem os mesmos elementos que ja apareceram em outras colecoes com omesmo numero p de elementos.

Aqui, temos um outro caso de arranjo, mas nao acontece a repeticao domesmo grupo de elementos em uma ordem diferente, o que significa que dentretodos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos comos mesmos elementos. Para obter o numero de combinacoes de m elementoscom a taxa p, devemos dividir o numero de arranjos A(m, p) por m! paraobter apenas o numero de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m, p) =A(m, p)

p!

=m(m−1)(m−2)...(m−p + 1)

p!

=m(m−1)(m−2)...(m−p + 1)

1 · 2 · 3 · 4....(p−1)p

=m(m−1)(m−2)...(m−p + 1)

1 · 2 · 3 · 4....(p−1)p

(m−p)(m−p−1)...2× 1

(m−p)(m−p−1)...2× 1

=m!

p!(m− p)!

A expressao simplificada para a combinacao de m elementos tomados p a p,e uma das seguintes:

C(m, p) =

(m

p

)=

m!

p! (m− p)!

5.6 Numero de arranjos com repeticao

Tomemos um conjunto com m elementos distintos e consideremos p elementosescolhidos neste conjunto em uma certa ordem. Cada uma dessas escolhas eum arranjo com repeticao de m elementos tomados p a p. Como existem m

possibilidades para a colocacao de cada elemento, o numero total de arranjoscom repeticao de m elementos escolhidos p a p e dado por mp. Assim,indicamos este numero por:

Ar(m, p) = m× p


5.7 Numero de permutacoes com repeticao 14

5.7 Numero de permutacoes com repeticao

Problema: Sejam 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Paracolocar estas bolas em uma ordem determinada, devemos obter o numero depermutacoes com repeticao dessas bolas. Usaremos o seguinte procedimento:

1. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serao colocadas as bolas.

2. Coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que da C(10, 3)possibilidades.

3. Coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos que sobraram, para obterC(10− 3, 2) possibilidades e

4. Coloque as 5 bolas amarelas, para obter C(10− 3− 2, 5) possibilidades.

O numero total de possibilidades pode ser calculado como:

Pr = C(10, 3) C(10− 3, 2) C(10− 3− 2, 5) =10!

3!7!× 7!

2!5!× 5!

5!0!=

10!

3!2!5!Tal metodologia pode ser generalizada.

5.8 Numero de combinacoes com repeticao

Sejam m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um apos ooutro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. Oresultado e denominado uma combinacao com repeticao de m elementos coma taxa p, denotado por Cr(m, p). Aqui a taxa p podera ser maior do que onumero m de elementos.

Exemplo 15. Seja o conjunto A = {a, b, c, d, e} e p = 6. As colecoes{a, a, b, d, d, d}, {b, b, b, c, d, e} e {c, c, c, c, c, c} sao exemplos de combinacoescom repeticao de 5 elementos escolhidos 6 a 6.Podemos representar tais combinacoes por meio de sımbolos # e vazios Ø ondecada ponto # e repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes apareceuma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetosem funcao das suas diferencas

{ a, a, b, d, d, d } equivale a # # Ø # Ø Ø # # # Ø

{ b, b, b, c, d, e } equivale a Ø # # # Ø # Ø # Ø #

{ c, c, c, c, c, c } equivale a Ø Ø # # # # # # Ø Ø


5.9 Propriedades das combinacoes 15

Cada sımbolo possui 10 lugares com exatamente 6 # e 4 Ø. Para cada com-binacao existe uma correspondencia biunıvoca com um sımbolo e reciproca-mente. Podemos construir um sımbolo pondo exatamente 6 pontos em 10lugares. Apos isto, os espacos vazios sao preenchidos com barras. Isto podeser feito de C(10, 6) modos. Assim:

Cr(5, 6) = C(5 + 6− 1, 6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Cr(m, p) = C(m + p− 1, p)

5.9 Propriedades das combinacoes

Seja m um numero de elementos e o numero p a taxa que define a quantidadede elementos de cada escolha dentre os m elementos dados.

1. Taxas complementares: C(m, p) = C(m, m− p).

2. Relacao de Stifel: C(m, p) = C(m− 1, p) + C(m− 1, p− 1).

5.10 Numeros Binomiais

Se m e p sao numeros inteiros nao negativos, o numero de combinacoes de m

elementos tomados com a taxa p, indicado antes por C(m, p), e denominadocoeficiente binomial ou numero binomial, denotado por:(

m

p

)=

m!

p!(m− p)!

Extensao: Existe uma extensao do conceito de numero binomial ao conjuntodos numeros reais e podemos calcular o numero binomial de qualquer numeroreal r que seja diferente de um numero inteiro negativo, tomado a uma taxainteira p, mas neste caso, nao podemos mais utilizar a notacao de combinacaoC(m, p) pois esta somente tem sentido quando m e p sao numeros inteirosnao negativos.

Tomando π = 3, 1415926535, obtemos(π

2

)=

π(π − 1)

2= 3, 36400587375


5.10 Numeros Binomiais 16

A funcao citada acima que permite a extensao e a funcao gama. Tais calculossao utilizados em Probabilidade e Estatıstica.

Existem duas relacoes muito importantes, que podem ser escritas em funcaoda notacao binomial:

Teorema 1 (Taxas complementares). Se n, k ∈ N com n ≥ k, entao(n

k

)=

(n

n− k

)

Exemplo:(1210

)=

(122

)= 66.

Teorema 2 (Relacao de Stifel). Se n, k ∈ N com n > k, entao(n

k

)+

(n

k + 1

)=

(n + 1

k + 1

)Desenvolvendo o membro da esquerda, obtemos:(

n

k

)+

(n

k + 1

)=

n!

k!(n− k)!+

n!

(k + 1)!(n− k − 1)!

=n!(k + 1)

(k + 1)k!(n− k)!+

n!(n− k)

(k + 1)!(n− k)(n− k − 1)!

=n!(k + 1)

(k + 1)!(n− k)!+

n!(n− k)

(k + 1)!(n− k)!

=n!(k + 1 + n− k)

(k + 1)![(n + 1)− (k + 1)]!

=(n + 1)n!

(k + 1)![(n + 1)− (k − 1)]!

=(n + 1)!

(k + 1)![(n + 1)− (k − 1)]!=

(n + 1

k + 1

)

Exemplo:(1210

)=

(1110

)+

(119

)= 605.

Teorema 3 (Binomial para n finito). Se h > 0 e n ∈ N , entao

(1+h)n =n∑

k=0

(n

k

)hn = 1+nh+

n(n− 1)

2!h2+

n(n− 1)(n− 2)

3!h3+...+hn



Teorema 4 (Desigualdade de Bernoulli com 2 termos). Se 1+h > 0 e n ∈ N ,entao:

(1 + h)n ≥ 1 + nh

Demonstracao: Se n = 1, entao (1 + h)1 ≥ 1 + 1h. Se (1 + h)n ≥ 1 + nh everdadeiro, mostraremos que (1 + h)n+1 ≥ 1 + (n + 1)h.

(1 + h)n+1 = (1 + h).(1 + h)n ≥ (1 + h).(1 + nh)

= 1 + h + nh + nh2 ≥ 1 + (n + 1)h

Teorema 5 (Desigualdade de Bernoulli com 3 termos). Se h > 0 e n ∈ N ,entao

(1 + h)n ≥ 1 + nh +n(n− 1)

2!h2

Demonstracao: Se n = 1 entao (1 + h)1 ≥ 1 + 1h + 0.h2.

Se (1 + h)n ≥ 1 + nh +n(n− 1)

2!h2 e verdadeiro, mostraremos que

(1 + h)n+1 ≥ 1 + (n + 1)h +(n + 1)n

2h2

(1 + h)n+1 = (1 + h).(1 + h)n

≥ (1 + h).(1 + nh +n(n− 1)

2h2)

= 1 + nh +n(n− 1)

2!h2 + h + nh2 +

n(n− 1)

2h3

= 1 + (n + 1)h +n(n− 1)

2h2 +

2n

2h2 +

n(n− 1)

2!h3

≥ 1 + (n + 1)h +n(n− 1)

2h2 +

2n

2h2

= 1 + (n + 1)h +(n + 1)n

2h2

Alguns casos particulares do Teorema binomial, sao:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5



Teorema 6 (Binomial). Se m e um numero natural, entao:

(a + b)m = am +

(m

1

)am−1b +

(m

2

)am−2b2 +

(m

3

)am−3b3 + ... +

(m

m

)bm

A demonstracao do teorema sera construıda com o uso do Princıpio da InducaoMatematica. Iremos considerar a Proposicao P (m) de ordem m, dada por:

(a + b)m = am +

(m

1

)am−1b +

(m

2

)am−2b2 +

(m

3

)am−3b3 + ... +

(m

m

)bm

P (1) e verdadeira pois (a + b)1 = a + b.

Vamos considerar verdadeira a proposicao P (k), com k > 1:

(a + b)k = ak +

(k

1

)ak−1b +

(k

2

)ak−2b2 +

(k

3

)ak−3b3 + ... +

(k

k

)bk

Para mostrar que e verdadeira a proposicao P (k + 1), devemos concluir que:

(a+b)k+1 = ak+1+

(k+1

1

)akb+

(k

2

)ak−1b2+

(k−1

3

)ak−2b3+...+

(k+1

k+1

)bk+1

Assim

(a + b)k+1 = (a + b)(a + b)k

= (a + b)[ak +(k1

)ak−1b +

(k2

)ak−2b2 +

(k3

)ak−3b3 + ... +

(kk

)bk]

= a[ak +(k1

)ak−1b +

(k2

)ak−2b2 +

(k3

)ak−3b3 + ... +

(kk

)bk]

+b[ak +(k1

)ak−1b +

(k2

)ak−2b2 +

(k3

)ak−3b3 + ... +

(kk

)bk]

= ak+1 +(k1

)akb +

(k2

)ak−1b2 +

(k3

)ak−2b3 + ... +

(kk

)abk

+akb +(k1

)ak−1b2 +

(k2

)ak−2b3 +

(k3

)ak−3b4 + ... +

(kk

)bk+1

= ak+1 + [(k1

)+ 1]akb + [

(k2

)+

(k1

)]ak−1b2 + [

(k3

)+

(k2

)]ak−2b3

+[(k4

)+

(k3

)]ak−3b4 + ... + [

(k

k−1

)+

(k

k−2

)]a2bk−1

+[(kk

)+

(k

k−1

)]abk +

(kk

)bk+1

= ak+1 + [(k1

)+

(k0

)]akb + [

(k2

)+

(k1

)]ak−1b2

+[(k3

)+

(k2

)]ak−2b3 + [

(k4

)+

(k3

)]ak−3b4 + ...

+[(

kk−1

)+

(k

k−2

)]a2bk−1 + [

(kk

)+

(k

k−1

)]abk +

(kk

)bk+1



A relacao de Stifel garante as tres primeiras e as tres ultimas as identidades:

(k1

)+

(k0

)=

(k+11

) (k

k−2

)+

(k

k−1

)=

(k+1k−2

)(k2

)+

(k1

)=

(k+12

) (k

k−1

)+

(k

k−2

)=

(k+1k−1

)(k3

)+

(k2

)=

(k+13

) (kk

)+

(k

k−1

)=

(k+1k

)E assim podemos escrever:

(a + b)k+1 =

(k+1

0

)ak+1 +

(k+1

1

)akb +

(k+1

2

)ak−1b2 +

(k+1

3

)ak−2b3

+... +

(k+1

k − 1

)a2bk−1 +

(k+1

k

)abk +

(k+1

k+1

)bk+1

que garante que a propriedade P (m + 1) e verdadeira.


Análise Combinatória - Atividades didáticas de 2007 · 2.2 Arranjo com repeti¸cão 2 Os...

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