Análise de Circuitos -...
Transcript of Análise de Circuitos -...
1
Análise de Circuitos
Instituto Superior de Engenharia
Universidade do Algarve
António Sousa, Cristiano Cabrita, Jorge Semião
Curso Técnico Superior Profissional
Setembro de 2015
Parte 1 - Corrente contínua
Análise de Circuitos
Instituto Superior de Engenharia
Universidade do Algarve
Curso Técnico Superior Profissional
2
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 3
Unidadesdo
SistemaInternacional(unidades de
base e unidades
derivadas)
Quantidade Símbolo Unidade Abreviatura
Comprimento l meter m
Massa m kilogram kg
Tempo t second s
Corrente Eléctrica i, I ampere A
Temperatura T kelvin K
Intensidade Luminosa I candela cd
Força F newton N
Energia W joule J
Potência P, p watt W
Tensão V, v, E, e volt V
Carga Q, q coulomb C
Resistência R ohm
Capacidade C farad F
Indutância L henry H
Frequência f hertz Hz
Fluxo Magnético weber Wb
Densidade de Fluxo Magnético B tesla T
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 4
Prefixos do SIFactor Nome Símbolo Factor Nome Símbolo
10-24 yocto y 1024 yotta Y
10-21 zepto z 1021 zetta Z
10-18 atto a 1018 exa E
10-15 femto f 1015 peta P
10-12 pico p 1012 tera T
10-9 nano n 109 giga G
10-6 micro 106 mega M
10-3 mili m 103 quilo k
10-2 centi c 102 hecto h
10-1 deci d 101 deca da
3
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 5
Conversões
• Exemplo: – Converter 60 milhas por hora (mph, ou mi/h)
para metros por segundo (m/s)
m/s 8.26s 3600
h 1
km 1
m 10
mi 1
km 609.1
h
mi 60mi/h60
s 3600
h 11 ;
km 1
m 101 ;
mi 1
km 609.11 :como
3
3
1 1 1
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 6
Estrutura do Átomo
Átomo de Cobre:- 29 electrões- 3 primeiras órbitas completas- 1 electrão na covalência
4
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 7
Carga Eléctrica
• É uma propriedade intrínseca da matéria que se manifesta sob a forma de forças:– Electrões repelem-se entre si mas atraem protões;– Protões repelem-se entre si mas atraem electrões.
• Pode ser positiva (carga do protão) ou negativa (carga do electrão), sendo manifestações contrárias da mesma propriedade física.
• Apresenta-se na Natureza com valores múltiplos inteiros da carga eléctrica elementar, a carga do electrão, cujo valor é: qe = – 1,602 x 10–19 C.O protão tem carga igual mas de sinal positivo.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 8
Carga Eléctrica
• Representa a quantidade de electricidade e é medida em Coulombs [C].
• 1 Coulomb = 6.24x1018 electrões
• Lei de conservação das cargas:– As cargas não podem ser criadas nem destruídas,
apenas transferidas– Num sistema fechado, a soma algébrica das cargas
eléctricas é constante.
• Cargas iguais repelem-se;Cargas diferentes atraem-se.
5
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 9
Campos de Forças Associados a Partículas Carregadas
• Linhas de força entre cargas
Linhas de Força
Cargas diferentes atraem-se. Cargas iguais repelem-se.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 10
Carga Eléctrica
• Lei de Coulomb:
• Electrões Livres: electrões que por estarem pouco ligados ao átomo, andama vaguear pela substância– um bom condutor apresenta muitos electrões livres;– um isolante, poucos ou nenhuns;– um semicondutor não é nem condutor nem isolante.
• Iões: se um átomo perdeu um electrão torna-se num ião positivo; se recebeu um electrão, ião negativo.
221
d
QQkFe
6
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 11
Electricidade
Corrente Eléctrica
• Classe de fenómenos físicos que resultam da existência de cargas eléctricas e da interacção entre estas.
• Quando uma carga é estacionária ou estática, produz forças eléctricas na região onde está presente, e, quando em movimento, produz efeitos magnéticos.
• Movimento ordenado de portadores de carga eléctrica. A sua intensidade é a quantidade de carga que atravessa uma dada superfície por unidade de tempo, expressa em Amperes [A].
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 12
Corrente Eléctrica
• Razão entre a quantidade de carga eléctrica que atravessa um condutor e o intervalo de tempo que demora.
• Analogia para o conceito de corrente eléctrica
7
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 13
Corrente Eléctrica
• i = corrente eléctrica (ampere)
• q = carga (coulomb)
• t = tempo (segundo)
• 1 ampere = 1 coulomb/segundo
dt
dqi
t
tdtiQ
0
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 14
Corrente Eléctrica• Se a corrente for constante:
• Sentido Convencional: é o sentido do deslocamento das cargas positivas.
• Sentido Electrónico (ou dos electrões): é o sentido do deslocamento dos electrões, ou seja, oposto ao sentido convencional.
C] [coulombs,t IQ ; A] [amperes, t
QI
Sentido
Electrónico
Sentido
Convencional
Condutor sob tensão
8
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 15
Corrente contínua
• Corrente contínua (cc, ou dc): uma corrente que permanece constante no tempo
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 16
Corrente alternada
• Corrente Alternada (ca, ou ac) : uma corrente que varia com o tempo (normalmente sinusoidal)
9
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 17
Energia
• Propriedade da matéria que se manifesta de diversas formas, como a electricidade, o calor e o trabalho (capacidade de produzir movimento nos corpos).
• A unidade de energia é o Joule, símbolo J, no Sistema Internacional (S.I.), mas a unidade mais usada na prática (em electrotecnia) é o Kilowatt-hora, [KWh], e os seus múltiplos, MWh e GWh.
1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3,6 x 106 J
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 18
Energia Potencial Eléctrica
• Energia que um corpo tem devido à sua posição.
• É necessário realizar trabalho para separar uma carga positiva de uma carga negativa; as cargas separadas ficam com energia potencial eléctrica
• Exemplos: nuvem, pilha
10
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 19
Potencial Eléctrico
• É a capacidade que um corpo (com carga eléctrica) tem de realizar trabalho, ou seja, atrair ou repelir outras cargas eléctricas.
– V é o potencial eléctrico
– q é a carga do corpo
– EP é a sua energia potencial
– d é a distância
– k é a constante dieléctrica do meio
– Q é a carga geradora
q
EV P
d
QkV
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 20
Tensão
• Tensão é diferença de potencial entre dois pontos a e b, ou voltagem, designada por Vab.
• É também o trabalho (energia) necessário para deslocar uma carga unitária entre dois pontos ae b, ou a energia necessária para mover uma carga unitária através de um elemento.
• A unidade de tensão é o Volt [V].
11
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 21
Tensão
• v = tensão (Volts)
• w = energia (Joules)
• q = carga (Coulomb)
• 1 volt = 1 joule / coulomb
= 1 newton-meter/coulomb
dq
dvab
Vab = Vba
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 22
Tensão
Se atribuirmos a seguinte incógnica vx para a tensão, temos:
Vx = 10 V
Se atribuirmos a seguinte incógnica vx para a tensão, temos:
Vx = ─ 10 V
12
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 23
Tensão
• Quando uma corrente flui por um
elemento de circuito, produz uma
queda de tensão aos seus terminais.
• Se um nó for estabelecido como
referência (massa ou potencial zero),
a tensão em outro ponto do circuito
pode ser representada com subscrito
único: Va.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 24
Tensão
• Ponto a está 9 V acima do ponto b
• 9 V de queda de tensão de a para b ou 9 V de subida de tensão de b para a
• Ponto b está -9 V acima do ponto a
• -9 V de queda de tensão de b para a ou -9 V de subida de tensão de a para b
13
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 25
Elementos de CircuitoIdeais Básicos
Dois tipos de elementos:
• Elementos Activo: Capaz de gerar energia (fontes de tensão e corrente, independentes e dependentes)
• Elementos Passivos: não são capazes de gerar energia (resistências, condensadores, bobinas)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 26
Elementos Activos(Fontes de Tensão)
Fonte de Tensão
independente
Fonte de Tensão
independente – Tensão constante
Fonte de Tensão
dependente
14
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 27
Elementos Activos(Fontes de Corrente)
Fonte de Corrente
Independente
Fonte de Corrente
Dependente
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 28
Elementos Passivos
15
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 29
Resistências
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 30
Condensadores
16
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 31
Bobinas
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Definições1. ELECTRICIDADE
Classe de fenómenos físicos queresultam da existência de cargaseléctricas e da interacção entreestas.
Quando uma carga é estacionária ou estática,produz forças eléctricas na região onde estápresente, e, quando em movimento, produz efeitosmagnéticos.
2. CARGA
É a quantidade deelectricidade, expressa emCoulombs [C].
Pode ser positiva ou negativa, sendoambos os tipos manifestações contrárias damesma propriedade física.Apresenta-se na Natureza com valoresmúltiplos inteiros da carga eléctricaelementar, que é a carga do electrão, cujovalor é simbolizado por e = – 1,610–19 C.O protão tem carga com a mesmamagnitude, mas sinal positivo.
A lei da conservação da carga afirma que acarga não pode ser criada nem destruída.Desta forma, num sistema fechado, a somaalgébrica das cargas eléctricas é constante.
17
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Definições3. CORRENTE ELÉCTRICA
Movimento ordenado de portadores de carga eléctrica. A sua intensidade é a quantidade de carga que atravessa uma dada superfície por unidade de tempo, expressa em Ampéres [A].
Sentido Convencional
É o sentido do deslocamento das cargas positivas.Sentido Electrónico
É o sentido do deslocamento dos electrões, ou seja, oposto ao sentido convencional.
dt
dqi
2
1
t
t
dtiq
Um Ampére é a intensidade de corrente que percorre um condutor quando há um deslocamento de uma carga de 1 Coulomb por segundo, através de uma secção transversal desse condutor.
1 A = 1 C / 1 s
Sentido Convencional
Sentido Electrónico
Condutor sob tensão
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Definições
4. TENSÃO
é o trabalho necessário para deslocar uma carga unitária entre dois pontos a e b, ou ainda a diferença de energia potencial entre a e b,designada vab
Também é designada voltagem, ou diferença de potencial. A unidade de tensão é o Volt [V].
[V]
PolaridadesPara um elemento de um circuito a tensão tem as seguintes convenções, com duplo subscrito:
q
wv
baab vv
Se a tensão entre dois pontos é de 1 Volt, a energia para deslocar uma carga de 1 Coulomb é de 1 Joule.
1V = 1 J / 1 C
Notar que:
Se um nó do circuito for estabelecido como referência (massa ou potencial zero), a tensão em outro ponto do circuito pode ser representada com subscrito único:
18
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
5. ENERGIA
A unidade de energia é o Joule, símbolo J, no Sistema Internacional (S.I.), mas a unidade mais usada na prática é o Kilowatt-hora, [KWh], e os seus múltiplos, MWh e GWh.
Einstein relacionou a energia com a massa de um corpo, através da fórmula
2E m c
Definições
Propriedade da matéria que se manifesta de diversas formas, como a electricidade, o calor e o trabalho (capacidade de produzir movimento nos corpos).
[ J ]
em que c é a velocidade da luz no vácuo.
1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3,6 x 106 J
tpw
Obs: Há autores que usam a letra E e outros a letra w para indicar energia ou trabalho. Como em electricidade a letra E é frequentemente usada para representar a força electromotriz, geralmente usaremos a letra w.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
6. POTÊNCIA
CONVENÇÃO PASSIVAConsidera positiva a potência consumida por um elemento; a corrente entra no terminal de maior potencial.
dt
dwp
2
1
t
t
dtpw
A unidade de potência é o Watt, que representa o consumo (ou produção) de energia a uma taxa de 1 Joule por segundo.
1 W = 1 J / 1 s
t
wp
Se a potência for constante, a energia absorvida (ou gerada) por um elemento será o produto da potência pelo tempo de utilização:
tpw
A potência instantânea consumida (ou gerada) no elemento é igual ao produto da tensão pela corrente.
ivp
é a razão à qual um elemento absorve ou gera energia.
[ W ] [ J ]
Definições
19
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Unidades do Sistema Internacional (S.I.)
• Carga Coulomb [C]
• Intensidade de Corrente Ampére [A]
• Tensão Volt [V]
• Energia Joule [J]
• Potência Watt [W]
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo de cálculo de potênciasCalcule o valor das potências consumidas e geradas nos elementos abaixo.
W36312 aP
W36)3()12( bP
Potências consumidas
W36)3(12 cP
W363)12( dP
Considerámos a convenção passiva.
Valores positivos correspondem a potências absorvidas(consumidas) pelo elemento;
Valores negativos correspondem a potências geradas(fornecidas) pelo elemento ao circuito;
12 V b 12 V c 12 V d12 V a
3 A 3 A 3 A 3 A
Potencial de referência
20
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Elementos de Circuitos - activosFONTES INDEPENDENTES
São aquelas que estabelecem o valor de uma grandeza (corrente ou tensão), quaisquer que sejam os restantes elementos do circuito.
FONTES DEPENDENTES
São aquelas em que o valor da grandeza respectiva (corrente ou tensão) depende ou é controlado por uma outra grandeza do circuito (corrente ou
tensão).
k i
k v
k v
k i
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
RESISTÊNCIAS
Elementos passivos (podem apenas consumir energia) apresentam uma relação linear entre tensão e corrente, quaisquer que sejam os restantes elementos do circuito (as resistências não lineares não são estudadas nesta disciplina).
i
vR
A grandeza denominada resistência é a razão entre tensão e corrente no elemento, representando a oposição do elemento à passagem da corrente. A unidade é o Ohm. O inverso é a condutância, expressa em Siemens ou Mhos.
Pela convenção passiva, a corrente entrano terminal positivo e há uma queda de tensão na resistência, simbolizada por
A potência absorvida é dada por:
ivp
O gráfico tensão-corrente é linear:
v
i
A resistência é numericamente igual ao declive da recta.
2iRp LEI DE JOULE
LEI DE OHM
Elementos de Circuitos – passivos
RG
1 S
21
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
BOBINAS
Elementos passivos que apresentam uma relação linear entre a variação de corrente e a tensão.
dt
diLv
A grandeza característica da bobina é denominada auto-indução, de símbolo L, cuja unidade é o Henry, cujo símbolo é H.
Pela convenção passiva, a corrente entra no terminal positivo e há uma queda de tensão na bobina, simbolizada por;
O gráfico tensão-variação da corrente é linear:
v
di/dt
A auto-indução L é numericamente igual ao declive da recta.
Nota: A bobina comporta-se como um curto-circuito (ou fio), caso a corrente não varie.
Elementos de Circuitos – passivos
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
CondensadoresCONDENSADORES
Elementos passivos que apresentam uma relação linear entre a variação de tensão e a corrente. Acumulam carga eléctrica.
dt
dvCi
A grandeza característica do condensador é denominada capacidade, cuja unidade é o Farad, cujo símbolo é F, e é a razão entre a carga acumulada e a tensão aos seus terminais.
Pela convenção passiva, a corrente entra no terminal positivo e há uma queda de tensão no condensador, simbolizada por;
O gráfico corrente-variação de tensão é linear:
i
dv/dtA capacidade é numericamente igual ao declive da recta.
v
qC
1V
1C1F
Nota: O condensador comporta-se como um circuito aberto, caso a tensão não varie.
22
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Leis Básicas
1. LEI DE OHM
Numa resistência linear a tensão aos seus terminais é directamente proporcional à corrente que a atravessa.
Exemplo 1:
A tensão aos terminais duma resistência é de 10 V, e o valor da resistência é de 2 . Qual é a corrente que a atravessa?
IRV Resolução:
210 I
IRV
De acordo com a lei de Ohm:
Substituindo os valores:
A razão de proporcionalidade entre tensão e corrente é a resistência R.
2
10I A 5I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Leis Básicas
2. LEI DE JOULE
Numa resistência linear a potência consumida é o produto da resistência pelo quadrado da corrente.
Exemplo 2:
Calcule a potência consumida pela resistência no exemplo 1.
Resolução:
Substituindo os valores dados:
W50 52 2 P
2IRP
Exemplo 3:
Calcule a potência consumida por uma resistência de 20 , sujeita a uma diferença de potencial de 15 V.
Formas alternativas:R
VP
2 IVP ou
Resolução:
W25,11 20
152 PP
23
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
2. LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (KCL)
A soma algébrica das correntes que entram num determinado nó ou numa superfície fechada é nula.
01
N
nni
11
N
nsaem
N
nentram ii
01
N
nouti
Leis Básicas - KCL
I1
I2
I3
0)( 321 III
0)()( 321 III
213 III
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Lei de Kirchhoff das Correntes (KCL)Exemplo:
Calcule o valor das correntes I1, I2 e I3 no circuito abaixo.
10A I1
2 A
1 A
I2
I3
3 A
Atenção:
Neste circuito os elementos não estão representados, para maior simplicidade
24
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Resolução Exemplo 5
10A I1
2 A
1 A
I2
I3
3 A
1 2
43
Nó 1: 02110 1 I
A 111 I
Nó 2: 0312 2 I
A 42 I
0323 II
A 13 I
Nó 3:
010 31 II
A 13 I
Nó 4:
Repare que uma equação não é necessária.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
2. LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (KVL)
A soma algébrica das diferenças de potencial (quedas ou elevações) num caminho fechado (malha) é nula.
01
M
nmV
11
M
m
M
m
elevaçõesquedasou
1221 VV
012 21 VV
0)(12 21 VV0 1
M
m
quedas
I
ou
Leis Básicas - KVL
25
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo de aplicação - KVL
+
–
20 V
+
–
+
–
+–
+ –
+ –
25 V
15 V
10 V
V 1 V 3
+ – V 2
Exemplo:
Calcule o valor das tensões V1, V2 e V3 no circuito abaixo.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Resolução do Exemplo 6
+
–
20 V V 3
+
–
+
–
+–
+ –
+ –
25 V
15 V
10 V
V 1
+ – V 2
1 3
2
Malha 1: 0102520 1 V
V 351 V
Malha 2: 01015 2 V
V 52 V
Malha 3: 0321 VVV
V 303 V
26
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Associações de Resistências
SÉRIE
São percorridas pela mesma corrente.
A
B
I
IRV 11
IRRRVAB )( 321
IRV 22De acordo com a lei de Ohm:
IRV 33
De acordo com a lei de Kirchhoff das Tensões:
IRIRIRV
VVVV
AB
AB
321
321
321 RRRReq
A resistência equivalente é:
A resistência equivalente é o valor que pode substituir toda a associação e produzir os mesmos efeitos (corrente).
IRV eqAB
+
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Associações de ResistênciasPARALELO
Estão sujeitas à mesma tensão aos seus terminais.
VRRR
I
321
111
De acordo com a lei de Kirchhoff das Correntes:
1 2 3
1 2 3
I I I I
V V VI
R R R
321
1111
RRR
Req
A resistência equivalente é:
eqR
VI
+
321
1111
RRRReq
V
+
R1 R2 R3I1 I2 I3
I
27
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Resumo Associações de Resistências
N
nnNeq RRRRR
121 ...
SÉRIE
PARALELO
N
nN
eq
RRRR
R
121
1
11
...11
1
Se forem apenas 2 resistências:
21
21
RR
RRReq
Se forem N resistências iguais:N
RReq
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Resumo Associações de Condutâncias
N
nnNeq GGGGG
121 ...
SÉRIE
PARALELO
N
nN
eq
GGGG
G
121
1
11
...11
1
Se forem apenas 2 condutâncias:21
21
GG
GGGeq
Se forem N condutâncias iguais:
N
GGeq
28
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo Associações de ResistênciasExemplo:
Calcule a resistência equivalente do circuito.
33,13
4
6
8
42
424||2
Como são apenas 2 resistências:
Pela fórmula geral:
33,1
41
21
14||2
Exemplo:
Calcule a condutância equivalente dos circuitos 1 e 2.
S 75,04
3
4
1
2
121 GGGeq
S 37,0
5,01
51
21
1
eqG
1
2
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo Associações de resistências
2
201
51
41
120||5||4
4
101
101
201
110||10||20
Exemplo: Calcule a resistência equivalente do circuito.
29
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo Associações de resistências –continuação
15eqR
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Divisor de Tensão (sem carga)DIVISOR DE TENSÃO
21
22 V
RR
RV
)||(
||
21
22 V
RRR
RRV
L
L
Sem carga
Com carga
30
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Divisor de Tensão (demonstração)DIVISOR DE TENSÃO
• Duas ou mais resistências em série
• É possível calcular as tensões nas resistências
sem precisar de determinar a corrente
IRV 11
IRV 22
De acordo com a lei de Ohm:
21 RR
V
R
VI
eq
Substituindo nas equações anteriores
VRR
RV
21
11
VRR
RV
21
22
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Divisor de TensãoExemplo: Calcule a tensão V2 no circuito seguinte, sem carga, e com uma carga com RL= 5, sabendo que V=12 V.
Sem carga
122010
20
21
22
V
RR
RV
Com carga
12410
42
V
4520
520||2
LRR
V 82 V V 43,32 V
31
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Divisor de CorrenteDIVISOR DE CORRENTE
• Duas ou mais resistências em paralelo
• É possível calcular as correntes nas resistências sem precisar de determinar a tensão
Os resultados finais são.
21
1 2
RI I
R R
12
1 2
RI I
R R
1 2V V V Repare que
Igualando (3) com (1) obtemos
1R 11
RI 2
1 2
RI
R R
1 1V R I
2 2V R I Aplicando a Lei de Ohm,
(1)
(2)
Determinando a resistência equivalente,
1 2
1 2eq
R RV R I I
R R
(3)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Associação de Fontes de Tensão
321 VVVV
SÉRIE
PARALELO
V 21 VVV
Atenção:
Só é possível se
32
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
321 IIII
SÉRIE
PARALELO
321 IIII
Atenção:
Só é possível se
Associação de Fontes de Corrente
I I
I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplos Associações de FontesExemplo:
Calcule a tensão equivalente entre A e B.
208106 ABV
V 8ABV
Exemplo:
Calcule a corrente que entra no terminal B.
A
B
Resolução:
Resolução:
Temos que considerar a fonte equivalente no sentido AB, logo
4510 I
A1ILembre-se:
V 8BAV Lembre-se: O resultado anterior é equivalente aA
B
33
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplos com Fontes controladas
Exemplo:
Calcule a corrente I no circuito e as potências consumidas em todos os elementos do circuito, verificando a lei da conservação da potência.
Resolução:
Como é uma fonte de tensão controlada por corrente e temos só uma única malha aplicamos a LKT (KVL),
05436 II
A 4I
Cálculo das potências consumidas
FONTE INDEPENDENTE
W 144)4(36 consP W 144gerP
RESISTÊNCIA
W 6444 22 IRPcons
FONTE CONTROLADA
V 20455 IVfc
W 80420 IVP fccons
Verificação da lei da conservação da potência
08064144 consTotalP
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Transformação de FontesUma fonte de tensão V em série com uma resistência pode ser substituída por uma fonte de corrente I em paralelo com a mesma resistência, e vice-versa. A conversão é feita através da lei de Ohm. Também é válida para fontes dependentes.
R
VI s
s
34
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Transf. de Fontes - exemplos
Exemplo:
Determine o valor de V por substituição de fontes.
V 1234 IRVs
A 43
12
R
VI s
s
A 224
12
sI
Associam-se as fontes e as resistências, excepto aquela que determina a incógnita V.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Transf. Fontes – ex. (cont.)
V 422 V
Através de um divisor de tensão,
482
8
V
V2,3V
35
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Transf. de Fontes – exemplos (cont)
Outro exemplo:
Determine o valor de I por substituição de fontes.
4 21,5
4I A
Quer a resistência de 4Ω como a fonte de 1V podem ser desprezadas para efeitos de cálculo de correntes
+-
1V
2A
2Ω 1Ω
1Ω
4Ω
I
+-
1V
2A
2Ω 1Ω
1Ω
4Ω
I
2A
2A
2Ω 1Ω
1Ω
I2A
Passo 1
Passo 3
Substituição das fontes de correntes pelas fontes de tensão equivalentes:
4V
1Ω1Ω
I2V-
+
2Ω
+-
Passo 2
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Y
TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO ( Y- )
R1
R3
R2
1 2
3
R13
R12
R23
2
3
1
2R1
R3
R2
1
3
21
3
3
31322112 R
RRRRRRR
2
31322113 R
RRRRRRR
1
31322123 R
RRRRRRR
36
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
YTRANSFORMAÇÃO TRIÂNGULO-ESTRELA ( -Y )
R1
R3
R2
1 2
3
R13
R12
R23
2
3
1
2R1
R3
R2
1
3
21
3
132312
13121 RRR
RRR
132312
23122 RRR
RRR
132312
23133 RRR
RRR
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Resumo Y e Y
21
3
R23R13
R12
R3
R1R2
132312
13121 RRR
RRR
132312
23122 RRR
RRR
132312
23133 RRR
RRR
3
31322112 R
RRRRRRR
2
31322113 R
RRRRRRR
1
31322123 R
RRRRRRR
37
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo Transformação Y-ΔExemplo:
Calcule a resistência equivalente do circuito. Os valores são expressos em Ohms.
Uma simplificação possível através de associação de resistências é
Fazemos agora uma transformação -Y
R2
2
R1
R3
3
1
1
2 3
3
5
435
451R
25,14
5
435
352R
1
435
433R
;
Resolvendo a associação paralelo,
5,162
626||2
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Exemplo (cont.)
1
32
3
8
528
581R
15
16
528
282R
3
2
528
523R
167,3917,3
167,3917,3
15
16
3
5eqR
48,4eqR
;
38
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema de ThéveninQualquer circuito linear pode ser substituído por um circuito equivalente composto apenas por uma fonte de tensão com uma resistência em série.
A
B
A tensão de Thévenin é a tensão de circuito aberto entre os terminais A e B com todas as fontes activas.
)(abertoABth VV
A resistência de Thévenin é a razão entre a tensão de Thévenin e a corrente de curto-circuito entre os terminais A e B.
sc
thth I
VR
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
1º Caso: Só Fontes Independentes e Resistências
Exemplo:
Calcule o equivalente de Thévenin entre os terminais A e B.
Cálculo de Vth: Como o circuito está aberto entre A e B não
há corrente na resistência de 4 . Usando um divisor de tensão temos
50520
2020
VVab
V 40thV
Cálculo de Rth: Anulamos todas as fontes independentes. Como não há fontes controladas é só calcular a resistência equivalente entre A e B.
205
2054)20||5(4
thR
8thR
39
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
1º Caso (cont.)
Circuito equivalente de Thévenin
A
B
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
2º Caso: Fontes Independentes, controladas e resistências
Exemplo:
Calcule o equivalente de Thévenin entre os terminais A e B.
Cálculo de Vth: Aplicam-se as leis de Ohm e Kirchhoff das correntes. Não circula corrente na resistência de 4.
Considera-se o nó indicado, aplica-se
12 II
A769,0I
Lei de Ohm
5abV
I
V 846,3abV
22
10abV I
I
Resolvendo o sistema de equações
A 231,02 I
LKC
V 846,3thV
I2
40
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Fontes Independentes, controladas e resistências(cont.)
Cálculo de Rth: Anulamos apenas a fonte independente. Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B.
4 abVV
10
2)4(2
IVI ab
5V I I2 +
Vab
–
+
Vab
–
12 II
A769,0I
V 846,7abV
Resolvendo o sistema de equações
A 231,02 I
846,7thR
1ab
thV
R
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
3º Caso: Apenas Fontes Controladas e Resistências
Exemplo:
Calcule o equivalente de Thévenin entre os terminais A e B.
Cálculo de Vth:
Como não há fontes independentes a tensão em circuito aberto é nula.
0thV
Cálculo de Rth: Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B.
+
Vab
–
12 II
5
22
IVI ab
10abV
I
1ab
thV
R
846,3thR
I2
41
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema de NortonQualquer circuito linear pode ser substituído por um circuito equivalente composto apenas por uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência.
A corrente de Norton é a corrente de curto circuito entre os terminais A e B com todas as fontes activas.
ccN II
A resistência de Norton é a razão entre a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito entre os terminais A e B.
N
ththN I
VRR
A
B
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema de Norton (cont.)Exemplo:
Calcule o equivalente de Norton entre os terminais A e B.
Cálculo de IN: Faz-se o paralelo entre a resistência de 4 e a de 20 , calcula-se a resistência equivalente do circuito e a corrente total I,
333,8)20||4(5eqR
A 5NI
Cálculo de Rth: Igual ao efectuado para o equivalente de Thèvenin.
8thR
I
A 6333,8
50
eqR
VI
Por um divisor de corrente, calcula-se o valor de IN
624
20
204
20
II N
IN
42
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema de Norton: Fontes Independentes, controladas e resistências
+
Vx
–
IN
Exemplo:
Calcule o equivalente de Norton entre os terminais A e B.
Cálculo de IN: Aplicam-se as leis de Ohm e Kirchhoff das correntes, após curto-circuito entre os pontos AB.
Considera-se o nó indicado, aplica-se:
1 02 2
V V Vx xI N
3 // 6
3 // 6 2V Vx
LKC
2
3I AN
Lei de Ohm1
VI N
Divisor de tensão
Cálculo de RN: Anulamos apenas a fonte independente. Aplicamos uma fonte de teste aos terminais A e B. 1 0
2 3 // 6 2
VV x
1 1V Vab
LKC
3R N
LKV
3 // 6
3 // 6 2V Vx
Divisor de tensão
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema de Norton (conclusão)
Circuito equivalente de Thèvenin
A
B
Circuito equivalente de Norton
B
A
43
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Linearidade
ADITIVIDADE
A resposta a uma soma de entradas é a soma das respostas a cada entrada aplicada separadamente.
Se V1 = R I1 e V2= R I2 V = R ( I1 + I2 ) = V1 + V2
LINEARIDADE
Propriedade de um elemento que descreve uma proporção directa entre causa e efeito.
Combina as propriedades da homogeneidade e da aditividade.
HOMOGENEIDADE
Se a grandeza de entrada é multiplicada por uma constante, a saída será multiplicada pela mesma constante.
Exemplo: Para uma resistência V = R ISe a corrente for k I V = k R I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema da SobreposiçãoTEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO
A tensão aplicada a um elemento linear (ou a corrente que o atravessa) é a soma algébrica das tensões (ou correntes) nesse elemento devidas à acção de cada fonte independente actuando de forma isolada.
Não pode ser aplicada à potência, porque esta não é linear.
Passos a seguir
1 – ANULAR(desactivar)todas as fontes INDEPENDENTES excepto uma. MANTENHA ACTIVAS todas as fontes controladas. Redesenhe o circuito e calcule a resposta (corrente ou tensão) devida a essa fonte activa usando um método conveniente.
2 – Repetir o passo 1 para cada uma das outras fontes INDEPENDENTES.
3 – Determine o valor da grandeza SOMANDO ALGEBRICAMENTE as contribuições de todas as fontes independentes.
ANULAR FONTES DE CORRENTE significa substitui-las por CIRCUITOS ABERTOS.
ANULAR FONTES DE TENSÃO significa substitui-las por CURTO-CIRCUITOS.
44
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Sobreposição (exemplo)Exemplo:
Calcule a corrente I por sobreposição.
Anulando todas as fontes excepto a fonte de tensão de 12 V, temos
Calcula-se a associação de resistências
63)12||4(eqR
6
121 I A 21 I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Sobreposição (exemplo- cont.)Anulando todas as fontes excepto a fonte de tensão de 24 V, temos
714,13)3||4(48eqR
A 75,1714,13
24
I
II
43
42 A 12 I
Contribuição da fonte de 3 A,
I
714,5)3||4(4) ( IramoeqR
A 75,13714,58
8
I
75,143
43
I A 13 I
45
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Sobreposição (conclusão)
Somando todas as contribuições
321 IIII
1)1(2 I
A2I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema da Máxima Transferência de Potência
Objectivo: MAXIMIZAR a POTÊNCIA fornecida a uma carga
Representando o circuito pelo seu equivalente de Thèvenin temos
I
A potência consumida pela carga é
2IRP eRR
VI
th
th
RRR
VP
th
th
2
Derivando a expressão e igualando a zero,
'2
2
22
4
0( )
( ) 2 ( )0
( )
thth
th thth
th
dP RV
dR R R
R R R R RV
R R
02 RRRth
thRR A resistência da carga deve ser igual à resistência interna do circuito.
46
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Teorema da Máxima Transferência de Potência (cont.)
POTÊNCIA MÁXIMA
th
th
R
VP
4
2
max 2
max ththth
th RRR
VP
Vth=20V
Rth=10
RL
Para o circuito abaixo, observe o gráfico da potência na carga em função da resistência de carga. Verifique que a potência máxima ocorre quando RL=10
0
2
4
6
8
10
12
0 5 10 15 20
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Topologia dos circuitos eléctricos lineares
Noção de nó, ramo, laço, malha, grafo, árvore, elo
Nó
Malha
Laço
Nó: ponto que liga dois ou mais componentes
Ramo: caminho que liga dois nós
Malha: laço que não contém nenhum outro laço dentro
Ramo
Laço: caminho que liga vários nós, terminando no nó inicial
Grafo: desenho no qual a natureza dos elementos é suprimida, mostrando os elementos como linhas rectas
Árvore: conjunto de ramos que não contém nenhum laço e que liga, não necessariamente, cada nó aos restantes (distintas árvores podem ser construídas para um circuito)
elo
Elo: ramo que pertence ao grafo e não à árvore
47
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Método NodalMÉTODO DE ANÁLISE NODAL
As incógnitas são as tensões nos nós do circuito, calculadas a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das Correntes a todos os nós excepto um, designado referência, ao qual se atribui potencial zero.
•Identificar todos os nós essenciais do circuito e escolher um deles como nó de referência.
2º Passo
1º Passo
3º Passo
O número total de nós essenciais é n.
•Obter (n – 1) equações pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Correntes a todos os nós, excepto o de referência.
n – 1 + número de variáveis de controlo de fontes controladas.
•Haverá mais uma equação por cada fonte controlada presente no circuito. O número total de equações será:
•Resolver o sistema de equações obtido de modo a conhecer as tensões nodais e, a partir destas, calcular os valores de todas as grandezas do circuito.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Método Nodal – 1º caso- só fontes independentes de corrente
Exemplo:
Determine as tensões nos nós 1 e 2 do circuito abaixo, com a referência no nó 3.
0)( 2111213 aivvGvGvG
0)( 24121 ab iivGvvG
Sabendo que G representa a condutância, aplicando a KCL aos nós 1 e 2 obtém-se, respectivamente:
aivGvGGG 211123
ab iivGGvG 24111
Agrupando as equações
Substituindo os valores numéricos
52
1
2
1
6
1
3
121
vv
534
1
2
1
2
121
vv
Solução:
V 5,51 v
V 12 v
48
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
SOLUÇÃO MATRICIAL PELO MÉTODO DOS NÓS
Solução:
11 1 1 153 6 2 221 1 1
2 2 4
V
Método Nodal – Exemplo1 – Resolução Matricial
1 V G I
V 5,51 v
V 12 v
5,5V
1
O VECTOR DAS TENSÕES [ V ](incógnitas) é obtido pelo produto da INVERSA DE [G] pelo VECTOR [I]
valor da tensão no nó ' '
(diferença de potencial para o nó de referência)iv i
Termos:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Método Nodal - Matrizes
Exemplo: Resolução pelo método matricial.
Solução:
S
2
1
5
1
5
15
1
5
1
3
1
G
A 510
53
I
V 8,12
8,19 1
IGV
V 8,191 v
V 8,122 v
49
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Nodal – Exemplo3
S
5
1
2
1
5
10
5
1
5
1
3
1
5
1
5
1
05
1
5
1
G
A
510
55
35
I
V
8,12
8,19
8,59
1
IGV
Exemplo: Resolução pelo método matricial por inspecção directa dos valores das resistências.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Método Nodal 3
055
3 21
vv
03
55
55
23212
vvvvv
02
105
5 323
vvv
NÓ 1 :
NÓ 2:
NÓ 3:
V 8,591 v V 8,192 v V 8,123 v
Solução:
50
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
2º CASO – com fontes de tensão em série com resistência entre dois nós
03
30
62 211
vvv
05
43
)30( 3212
vvvv
010
84
5323
vvv
NÓ 1 :
NÓ 2:
NÓ 3:
V 5,30 ; 75,21 ; 5,1 321 vvvSolução:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
3º Caso – Fonte de Tensão isolada entre um nó e a referência
A tensão no nó 1 já está definida.
101 v
0545212
vvv
(V) 556,152 v
NÓ 1 :
NÓ 2 :
Solução:
51
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
4º Caso – com fonte de tensão entre dois nós, nenhum deles a referência
Criar um SUPERNÓ
054453212
vvvv
052
5 211
vvv
32 10 vv
SUPERNÓ (2,3)
NÓ 1 :
Equação que relaciona os nós 2 e 3:
Qualquer superfície fechada pode ser encarada como um único nó ao qual se aplica a LKC.
Vamos obter uma equação para esse nó, baseada nas tensões dos nós;
Em seguida, tiramos outra equação pela relação entre as tensões nos nós que ficaram no interior do SUPERNÓ.
V 889,81 v V 111,62 v
V 111,163 v
Solução:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Caso Geral – todo o tipo de fontes, inclusive controladas
0850205
3212 vvvv
251 v
32 2 viv x
SUPERNÓ (2,3)
NÓ 1 :
Equação que relaciona os nós 2 e 3:
A 496,4xi V 482,472 v V 475,563 v
Solução:
Criamos um supernó para a fonte de tensão controlada;
A tensão no nó 1 já está definida;
Equação da fonte controlada:
512 vv
ix
52
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
MÉTODO DAS MALHASMÉTODO DAS MALHAS (MESH ANALYSIS)
As incógnitas são as CORRENTES nas malhas do circuito, calculadas a partir da aplicação da lei de Kirchhoff das Tensões a todas as malhas.
Apenas aplicável a circuitos planares
•Identificar todos os ramos essenciais do circuito. O número total de ramos é r. Identificar as malhas do circuito e respectivas correntes.
2º Passo
1º Passo
3º Passo
O número total de malhas é r-(n-1).
•Obter r-(n – 1) equações pela aplicação da Lei de Kirchhoff das Tensões a todas as malhas.
r-(n – 1) + número de variáveis de controlo de fontes controladas.
•Haverá mais uma equação por cada fonte controlada presente no circuito. O número total de equações será:
•Resolver o sistema de equações obtido de modo a conhecer as correntes nas malhas, e, a partir destas, calcular os valores de todas as grandezas do circuito.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Malhas (cont.)
Lembrar que:A corrente de malha é uma grandeza fictícia. O seu valor só corresponde à corrente num elemento se este estiver na periferia do circuito.
NÃO se pode percorrer uma malha onde esteja presente uma fonte de corrente, porque não se conhece o valor da diferença de potencial (há a possibilidade de se atribuir uma incógnita a esse valor e percorrer as malhas sem uso da supermalha – ver apontamentos) .
53
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
1º Caso – só fontes de tensão independentes
ia ie
ic id
ib
12
3
0)(5112 211 iii
02)(424)(5 232212 iiiiii
064)(4 323 iii
12)0()5()51( 321 iii
4)4()2425()5( 321 iii
6)44()4()0( 321 iii
Solução: 05,0 ; 61,1 ; 34,3 321 III A
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Solução Matricial – Método das Malhas Independentes
VRI 1
840
4135
056
4440
424255
0551
R
6
4
12
V A
0549,0
6098,1
3415,3
I
ia
ie
ic
id
ib
1 2 3
54
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
0)(2510 211 III
32 I
Malha 1:
Malha 2:
Solução: A 571,01 I
A corrente de malha no ramo onde está a fonte de corrente independente já está definida.
2ºCaso – com fonte de corrente na periferia
1 2
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
3º Caso – com fonte de corrente comum a duas malhas
1
2 3
Criar uma SUPERMALHA;
É um laço que contorna a fonte de corrente, dando origem a uma equação em função das correntes de malha.
É necessária uma equação suplementar que relaciona as correntes de malha no interior da supermalha.
41 IMalha 1:
SUPERMALHA (2,3): 02)(1)(110 31312 IIIII
Equação da fonte: 532 II
Solução: 25,3 ; 25,8 ; 4 321 III A
55
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
1 2 3
Malha 3: 03)(3 323 III
Solução: 5,0 ; 1 ; 1,0 321 III A
Equação da fonte independente:
9,012 II
Equação do controlo: 1Iix
Equação da fonte controlada: 210 Iix
Com todos os tipos de fontes
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Comparação dos Métodos
4 NÓS ESSENCIAIS 3 EQUAÇÕES
2 EQUAÇÕES DE FONTES CONTROLADAS
TOTAL: 5
6 RAMOS = 6-(4-1) 3 EQUAÇÕES
2 EQUAÇÕES DE FONTES CONTROLADAS
TOTAL: 5
NODAL MÉTODO MALHASDASMÉTODO
56
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
1 2
3NÓ 1:
05,2
4,010
193 211
VV
VV
y
Solução: 90 ; 143 ; 173 321 VVV V
NÓ 2: 010
)8,0(5,0
5,23212
VVVVV x
Equação da VCVS:
3VVx
NÓ 3: 010
8,05,0
5,7233
VVVV x
Equação da VCCS:
10
8,02 32 VVV
V xy
Comparação - Nós
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Comparação: malhas
1 2 3
SUPERMALHA (1,2,3): 065,788,025,24193 123321 IIIVIII x
Equação do controlo da VCVS:
25,7 IVx
Equação do controlo da VCCS:
32 IVy
Equações das fontes de corrente:
2 10,4 yV I I 5,023 II
Solução: 90 ; 143 ; 173 321 VVV V
57
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Equivalente de Thévenin (aplicação de método nodal)
1 1 101 0
10 10
V V Nó 1:
Nó 2: 2 251 0
10 40
V V V
2 060 40
V V V Nó 3:
8,18 VthV V Solução:
(40 10) || 60 27,27 thR
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional
Parte 2 - Corrente alternada emregime permanente sinusoidal
Análise de Circuitos
Instituto Superior de Engenharia
Universidade do Algarve
Curso Técnico Superior Profissional
58
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 115
Condensadores
• Elementos passivos
• Acumulam carga
eléctrica
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 116
Condensadores
• A quantidade de carga Q que pode ser armazenada depende da tensão e da capacidade
• C é a capacidade do Condensador
Q = CV = I x t coulombs
F) (farads, V
QC
59
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 117
Condensadores
• A capacidade é directamente
proporcional à área das placas
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 118
Condensadores
• Reduzindo a distância das placas aumentamos a força de atracção, aumentando Q e consequentemente C
60
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 119
Condensadores
• A Permissividade mede a
facilidade em criar fluxo
eléctrico num material
Aumentando ε aumenta C
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 120
Condensadores
• Efeito do campo eléctriconum átomo do dieléctricodo condensador
• A força dieléctrica domaterial é medida no ponto de ruptura dodieléctrico
61
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 121
Condensadores
• Pode-se empilharvárias placas paraaumentar a Capacidade
• Estrutura Tubularmantém E praticamenteuniforme entre placas
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 122
Condensadores
• Tipos: Vácuo, Ar, Papel, Plástico, Vidro, Mica, Cerâmicos, Electrolíticos, Tântalo, SMD (surface-mount device), etc.
multilayer ceramic, ceramic disc, multilayer polyester film, tubular ceramic, polystyrene, metalized polyester film, aluminum electrolytic SMD
62
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 123
Condensadores
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 124
Condensadores
• Condensadores em Paralelo– Tensão igual entre eles; Capacidades
somam-se
Q1 = C1V e Q2 = C2V QT = Q1 + Q2
QT = C1V + C2V = (C1 + C2)V
CT = C1 + C2
63
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 125
Condensadores
• Condensadores em Série– Carga igual entre eles; Tensões somam-se
N
N
NN
C
Q
C
Q
C
QV
VVVV
VCQVCQVCQ
...
...
, ,
21
21
2211
NT CCCC
1...
111
21
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 126
Condensadores
• Para 2 Condensadores em Série
• Divisor de Tensão com Condensadores– Q é igual
21
21
CC
CCCT
Tx
Tx V
C
CV
64
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 127
Condensadores
• O movimento dos electrões constitui a corrente
• A corrente dura apenas enquanto o condensador carrega.
• Não passa corrente entre os pratos.
• A tensão não salta para o valor final imediatamente, já que leva tempo para que os electrões se movam de um prato para o outro (milhões de milhões de electrões são movidos).
• Tensão cresce, a diferença de tensão entre a fonte e o condensador decresce, a corrente decresce
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 128
Condensadores
• Apresentam uma relação linear entre a variação da tensão e a corrente
dt
dvCi
t
t
ttvdti
Cdti
Cv
0
)(11
0
65
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 129
Condensadores
• Potência:
• Energia Armazenada:
dt
dvvCivp
ttdvvCdt
dt
dvvCw
2
2
1vCw
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 130
Condensador
• Notas:– Em DC comporta-se como um circuito aberto– Tensão a crescer, a corrente tem valor positivo e o
condensador estará a acumular energia– A tensão não varia instantaneamente entre dois
valores– Quanto maior a capacidade, maior será a carga
armazenada para uma dada tensão– Nunca se deve ligar em curto circuito os terminais de
um condensador carregado, porque a corrente será muito elevada
66
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 131
Bobinas
• Elementos passivos
• Acumulam energianum campo magnético
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 132
Bobinas
• L é a indutância da BobinaA grandeza característica dabobina é denominada auto-indução,cuja unidade é o Henry, cujo símbolo é H
• A Permeabilidade mede o grau de magnetização de um materialAumentando μ aumenta L
67
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 133
Bobinas
• A corrente não pode mudar bruscamente
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 134
Bobinas
• A tensão dura apenas enquanto o corrente varia.
• Não há tensão para corrente constante.
• A corrente não salta para o valor final imediatamente.
• Corrente cresce, a diferença de tensão entre a fonte e a bobina cresce, a tensão na bobina decresce
68
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 135
Bobinas
• Apresentam uma relação linear entre a variação da corrente e a tensão
dt
diLv
t
t
ttidtv
Ldtv
Li
0
)(11
0
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 136
Bobinas
• Bobinas em Série– Corrente igual entre elas; Indutâncias somam-se
V = L1di/dt + L2di/dt + … + Lndi/dtV = (L1 + L2 + …+ Ln).di/dt
Leq = L1 + L2 +…+ Ln
69
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 137
Bobinas
• Bobinas em Paralelo– Tensão igual entre eles; correntes somam-se
NT LLLL
1...
111
21
t
n
t
n
ttdtv
LLLdtv
Ldtv
Ldtv
Li )
1...
11(
1...
11
2121
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 138
Bobinas
• Potência:
• Energia Armazenada:
dt
diiLivp
ttdiiLdt
dt
diiLw
2
2
1iLw
70
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 139
Bobinas
• Um núcleo de material ferromagnético aumenta a indutância concentrando as linhas de força de campo magnético que fluem pelo interior das espiras.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 140
Bobinas
• Notas:– Em DC comporta-se como um curto-circuito– Corrente a crescer, a tensão tem valor positivo e a
bobina estará a acumular energia– A corrente não varia instantaneamente entre dois
valores– Quanto maior a indutância, maior será a energia
armazenada para uma dada corrente– Nunca se deve interromper um circuito duma bobina
percorrida por corrente, porque a tensão será muito elevada.
71
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 141
Analogia com Fluidos
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 142
Grandezas Alternadas
GRANDEZAS
CONSTANTES (ex: corrente contínua)
VARIÁVEIS
APERIÓDICAS (sem período definido)
PERIÓDICAS
PULSATÓRIAS (valor médio 0)
ALTERNADAS PURAS(valor médio = 0)
Sinusoidal
Triangular
Rectangular
…
72
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 143
Grandezas Periódicas
• a(t) é uma função periódica se a sua variação com o tempo se repetir ao fim de t = T (s)
• T é o menor intervalo de tempo para o qual se verifica a repetição, ou seja, o período
• O número períodos que ocorrem num segundo é definido como frequência: f = 1 / T (Hz)
a(t) = a(t + T) = a(t + nT) t n N
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 144
Grandezas Periódicas
• Valor Médio: média dos valores ao longo de um período
T
me dttaT
A0
)(1
745
175195260180
)()()()(Ame
73
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 145
Grandezas Pulsatórias
[V]
v(t)
t [s]
10 V
T T
[V]
v(t)
t [s]
10 V
T T
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-1 0 V
T
0,8T
[V]
v(t)
t [s]
10 V
T T
[V]
v(t)
t [s]
10 V
T T
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-1 0 V
T
0,8T
Vme = 5 (V) Vme = 20/ (V) Vme = 6 (V)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 146
Grandezas Alternadas Puras
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
[V]
v(t)
t [s]
10 V
-10 V
T
T/2
Vme = 0 Vme = 0 Vme = 0
74
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 147
• a(t) : valor instantâneo• Am : valor máximo ou amplitude• t+: fase ou ângulo de fase• : pulsação ou frequência angular, = 2f = 2 / T• : desfasamento inicial ou fase inicial
Grandezas Alternadas Sinusoidais
a(t) = Am cos(t + )= Am sen(t + + /2)
sen(t + ) = cos(wt + – 90º)
cos(t + ) = sen(wt + + 90º)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 148
Valor Eficaz
• Valor eficaz, ou Valor quadrático médio, representa a eficácia da grandeza alternada sinusoidal em termos de energia dissipada
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin(t)
2 sin(t)
2m
ef
AA
T
ef dttaT
A0
2 )(1
Para uma Sinusóide:
75
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 149
Valor Eficaz
TIRTPW DC 2
efefef
efm
T
m
IVR
VIRP
dttiT
RP
2
2
0
2 )(1
Energia Dissipada em T para CC:
TIRdttiRdttpW ef
TT 2
0
2
0)()(
Energia Dissipada em T para CA sinusoidal:v(t)
()it
R
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 150
Valor Eficaz
22 DCDC
VP R I
R
22 efef
VP R I
R
76
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 151
Exemplo 1
( ) 3 cos ( )v t t
3mV
32 ,1 2 1
2e fV
1 ra d /s
0 º
22 6 , 2 8 s
1T
( ) 3 sen( )v t t 3mV 32 ,1 2 1
2e fV
1 ra d /s 9 0 º
22 6 , 2 8 s
1T
Calcule todas as grandezas apresentadas para as tensões:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 152
Exemplo 2
• Calcule os valores médios das ondas:
Ime = 1,43 (A) Vme = 6,67 (V)
77
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 153
Exemplo 2
• Calcule os valores eficazes das ondas:
Ief = 2,26 (A)Vef = 19 (V)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 154
Números Complexos:Forma Cartesiana (rectangular)
• Números formados pela soma entre um número real x, chamado parte real, e outro número real y, designado parte imaginária, separados pela unidade imaginária, j.
• Unidade Imaginária:
• Propriedades de j:
1j
1j
j 2 1j 3j j 4
nn resto dej j
A x j y
78
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 155
Números Complexos:Forma Exponencial
• Números formados pelo produto entre um número real , chamado módulo, e uma função exponencial cujo expoente é j , em que é o ângulo formado pelo vector que une a origem dos eixos ao ponto de coordenadas (x,y) com o eixo dos xx, medido em sentido anti-horário.
jA e
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 156
Números Complexos:Forma Polar (rectangular)
• Representação alternativa à forma exponencial, com módulo e o argumento, separados pelo símbolo .
A
79
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 157
Números Complexos: Conversões
y
x
CONVERSÃO RECTANGULAR POLAR
2 2x y MÓDULO
arctany
x
ARGUMENTO
CONVERSÃO POLARRECTANGULAR
cos x PARTE REAL
seny PARTE IMAGINÁRIA
ATENÇÃO: O argumento dos reais positivos é 0, e o dos reais negativos é (180º).
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 158
4 3A j
5B j
2 3C j 5 2D j
A
Representar no plano de Argand os números complexos:
A = 4+ j 3
B= - 5+ j
C= -2 - j 3
D = 5 - j2
Exemplo 3
80
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 159
2 2
1
4 3 5
3tan 36,87º
4
A
A
5,099 168,69ºB
3,606 123,69ºC 5,385 21,80ºD
argA A
5 36,87ºA
| |A A
A:
B:2 2
1
( 5) 1 26 5,385
1tan 168,69º
5
B
B
2 2
1
( 2) ( 3) 3,6055
3tan 236,3º 123,69
2
C
C
C:
2 2
1
5 ( 2) 4,58
2tan 21,8º
5
A
A
D:
Exemplo 3: RectangularPolar
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 160
ADIÇÃO
1 1 2 2Se e A x j y B x j y
SUBTRACÇÃO
MULTIPLICAÇÃO
1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )A B x x y y j x y x y 1 2 1 2A B
ou 1 1 2 2Se e A B
DIVISÃO
11 2
2
A
B
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( )A x jy x jy x x y y j x y x y
B x jy x jy x y
Números Complexos: Operações
).()( 2121 yyjxxBA ).()( 2121 yyjxxBA
81
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 161
QUADRADO RAIZ QUADRADA
Números Complexos: Operações
)2.()( 112
12
12 yxjyxA 1
21
2 2 A 211 A
ou
SIMÉTRICO
)º180( 11 A11 .yjxA
INVERSO
11
11
A2
12
1
12
12
1
11
yx
yj
yx
x
A
CONJUGADO
11* A11
* .yjxA
11 . Se yjxA 11 Se A
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 162
CASOS PARTICULARES
Números Complexos: Operações
....
º901
º01
º2701
º1801
º901
5
24
233
2
2
jj
ej
ej
ej
ej
j
j
j
j
As potências de j repetem-secom um período de 4
)º90(. 11 AjA multiplicação por j equivale
a aumentar a fase de 90º
)º90( 11 j
A
A divisão por j equivale a diminuir a fase de 90º
*1jj
j
O inverso de j é igual ao seu simétrico e ao seu conjugado
82
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 163
Fasor
• Transformada de Steinmetz:
efj
efef AeAAtAta .)cos(.2)(
)cos(..2
)(..)cos(.Re.2
..Re.2.Re.2)( )(
tA
tsenAjtA
eeAeAta
ef
efef
jtjef
tjef
efj
efefef AeAsenAjAA .)(.)cos(
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 164
Fasor
• É um vector que gira a uma determinada frequência angular, cujo comprimento é proporcional ao módulo da grandeza e, na sua representação vectorial, faz um ângulo (ângulo de fase) com o eixo de abcissas.
• No nosso curso é representado na forma:
REPRESENTAÇÃO COMPLEXA: REPRESENTAÇÃO VECTORIAL:
cos ( )t
efX
Permite o uso de números complexos para o seu tratamento matemático, em que o módulo corresponderá ao valor eficaz da grandeza e o argumento ao ângulo de faseem relação ao cos( t).
)(sen..)cos(.
.
efef
jefef
XjX
eXXX
83
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 165
cos ( )mX t
TEMPO:
2m
efX
X
FREQUÊNCIA :
( ) cos ( )m vv t V t Tensão:
( ) cos ( )m ii t I t Corrente:
Fasores: Conversões
vefVV
iefII
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 166
Converta para a forma de fasor (domínio da frequência):
( ) 12cos (300 14º )v t t
( ) 17cos (20 68º )i t t
Exemplo 4
º142
12V
º682
17I
84
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 167
Fasores: Derivação
Derivar em ordem ao tempo de grandezas alternadas sinusoidais significa, no domínio da frequência, multiplicar o módulo por e aumentar a fase em 90º (equivale a multiplicar por j)
efj
efef AeAAtAtaConsidere )cos(.2)( :
)º90cos( 2)( 2)(
tAtsenAdt
tadefef
).( )( )2(
efj
efj
ef AjeAjeAdt
tad
)()(
)(
tjef
tjef eAj
dt
eAd
Domínio do tempo:
Domínio da frequência:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 168
Fasores: Integração
A integração em ordem ao tempo de grandezas alternadas sinusoidais significa, no domínio da frequência, dividir o módulo por e diminuir a fase em 90º (equivale a dividir por j)
efj
efef AeAAtAtaConsidere )cos(.2)( :
)º90cos( 2
)( 2
).(
tA
tsenA
dtta efef
).(1
).( )2(
efjefjef A
je
j
Ae
Adtta
)()( 1
)(
tj
eftj
ef eAj
dteA
Domínio do tempo:
Domínio da frequência:
85
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 169
Fasores
• Não se podem operar Fasores com diferentes frequências.
• Quando há fontes com frequências diversas no mesmo circuito deve-se usar o Teorema da Sobreposição da seguinte forma:– Activa-se uma fonte independente anulando-se as restantes (as
dependentes não se anulam), e obtém-se um circuito no domínio fasorial válido para a frequência dada;
– Após obter a resposta fasorial transforma-se de volta ao tempo (valores instantâneos).
– Faz-se o mesmo para todas as outras fontes independentes, e somam-se as contribuições das diversas fontes mas no domínio temporal.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 170
ImpedânciaRazão entre TENSÃO e CORRENTE num elemento passivo no domínio da frequência.
Designaremos ao ângulo da impedância, ou seja, v – i.
Designaremos Z ao módulo do número complexo da impedância.
É de notar que alguns livros representam os valores eficazes sem subscrito, apenas pela letra maiúscula que representa o módulo do fasor
(à semelhança da impedância).
A parte real da impedância é a RESISTÊNCIA.A parte imaginária é a REACTÂNCIA.
Forma rectangular
][ I
VZ
Z
I
V
I
V
I
VZ
ef
efiv
ef
ef
ief
vef
ZI
VZ
ef
ef
][ . XjRZ
86
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 171
AdmitânciaRazão entre CORRENTE e TENSÃO num elemento passivo no domínio da frequência.
A parte real da admitância é a CONDUTÂNCIA (G).A parte imaginária é a SUSCEPTÂNCIA (B).
Forma rectangular
]ou ,[ 1
1- SZV
IY
][ . SBjGY
YYV
I
V
I
V
IY
ef
efvi
ef
ef
vef
ief
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 172
Impedância de Resistências
cos( )m ii I t v R i
Considerando a corrente instantânea numa resistência como
( ) cos( )m iv t R I t então
Na forma de fasor
mas
IMPEDÂNCIA DA RESISTÊNCIA
ou
Numa resistência a corrente e a tensão estão EM FASE.
º0 RZR
iv
efef
iefvef
IRVIRIRVV
RZR
87
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 173
Tensão e Corrente numa Resistência
Exemplo:
( ) 2cos(2 )v t t
4
3R
( )( ) 1,5cos(2 )
v ti t t
R
i (t) e v (t)
EM FASE
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 174
Impedância de Bobinas
cos( )m ii I t
( ) sen( )m iv t LI t dt
diLv
Considerando a corrente instantânea numa bobina como
( ) cos( )m id
v t L I tdt
então
Na forma de fasor
mas
cos( 90º )m iv LI t
REACTÂNCIA INDUTIVAIMPEDÂNCIA DA BOBINA
LX L
Numa bobina a corrente está ATRASADA 90º em relação à tensão.
LjLZL º90
º90 º90
iv
efef
iefvef
ILVLIILjVV
88
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 175
Tensão e Corrente numa Bobina
( ) 2cos(2 )v t t
4
3LX
( )( )
( ) 1,5cos(2 90º )L
v ti t
jX
i t t
Exemplo:90º
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 176
Impedância de Condensadores
cos( )m vv V t
sen( )m vi CV t
dvi C
dt
Considerando a tensão instantânea num condensador como:
( ) cos( )m vd
i t C V tdt
então
Na forma de fasor
mas
cos( 90º )m vi CV t
Num condensador a corrente está ADIANTADA 90º em relação à tensão.
REACTÂNCIA CAPACITIVAIMPEDÂNCIA DO CONDENSADOR
C
j
CjCZC
1º90
1
º90 º90
iv
efef
vefief
VCICVVCjII
CX C
1
89
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 177
Tensão e Corrente num Condensador
( ) 2cos(2 )v t t
4
3CX
( )( )
( ) 1,5cos(2 90º )C
v ti t
jX
i t t
Exemplo:90º
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 178
Impedância – resumoResistência Bobina Condensador
ELEMENTOS
DOMÍNIO DO TEMPO
DIAGRAMA FASORIAL
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
IMPEDÂNCIA
REACTÂNCIA ------LX L
VR
IRVC90º
ICVL
IL90º
)()( tiRtv
)()( tvGti
t dttiC
tv )(1
)(
dt
tdvCti
)()(
dt
tdiLtv
)()(
t dttvL
ti )(1
)(
IRV
RZ
ILjV
LjZ
ICj
V 1
C
j
CjZ
1
CX C
1
90
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 179
Exemplos
314,16 rad/s
C
60uF
R
1kohm
Exemplos:
Determine as impedâncias complexas e as reactâncias dos seguintes elementos (passe-os para o domínio da frequência), quando a fonte fornece uma tensão alternada de frequência angular 314,16 rad/s:
L
0.2mHa) b) c)
Solução: Começamos por verificar que:
a) 310 R R Z
b)3314,16 0,2 10 = 0,628
0,628 L
L
j L j j
X L
Z
c)
Não tem reactância
053,01
053,0106016,314
13
CX
jj
CZ
C
C
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 180
Conceitos a reter
A impedância de uma resistência é independente da frequência e sempre igual a R.
A impedância de uma bobina é directamente proporcional à frequência.Em corrente contínua comporta-se como um curto-circuito e para muito altas
frequências como um circuito aberto.
A impedância de um condensador é inversamente proporcional à frequência.
Em corrente contínua comporta-se como um circuito aberto e para muito altas frequências como um curto-circuito.
Observar que:
91
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 181
Associações de Bobinas
SÉRIE
PARALELO
1 2
11 1 1
...eq
N
L
L L L
1 2 ...eq NL L L L L 1 L 2 L N
L 1 L 2 L N
Estamos a considerar a inexistência de INDUTÂNCIA MÚTUA.
Isto é, não haver influência mútua entre os campos magnéticos das diferentes bobinas. Se ocorresse, alteraria os valores resultantes destas associações. Esta influência e as suas consequências serão estudadas mais adiante, noutra disciplina.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 182
Associações de condensadores
SÉRIE
PARALELO
1 2
11 1 1
...eq
N
C
C C C
1 2 ...eq NC C C C
C1 C2 CN
C1 C2 CN
92
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 183
Associações de ImpedânciasTodas as regras que apresentámos para associações de resistências em corrente contínua são
válidas de forma análoga para as impedâncias em corrente alternada.
Apenas se deve ter em conta que, enquanto as resistências são números reais, as impedâncias são valores complexos.
Para as admitâncias vale o que se verifica em C.C. para as condutâncias.
SÉRIE
PARALELO
Neq ZZZZ ...21
N
eq
YYY
Y1
...11
1
21
Neq YYYY ...21
N
eq
ZZZ
Z1
...11
1
21
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 184
Divisores de tensão e de correnteDIVISOR DE TENSÃO
DIVISOR DE CORRENTE
I
I1 I2
Z1 Z2
VZZ
ZV
21
22 V
ZZ
ZV
21
11
IZZ
ZI
21
12 I
ZZ
ZI
21
21
93
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 185
Associações de impedâncias – exemploExemplo:
Determine a impedância de entrada do circuito da figura, sabendo que a frequência angular é
= 50 rad/s. Especifique a resistência e a reactância equivalentes.Solução:
Cálculo das impedâncias dos elementos (para as resistências não são necessários cálculos):
1 3
1 110
50 2 10C j
j C j
Z
2 32
1 12
50 10 10C j
j C j
Z
1 1 50 0,2 10 L j L j j Z
Associação série de R1 com C2:
1 1 2 3 2 R C j Z Z Z
Associação série de R2 com L1:
2 2 1 8 10 R L j Z Z Z
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 186
Exemplo (cont.)Cálculo de Zin:
1 1 2(3 2) (8 10)
( || ) 10(3 2) (8 10)in C
j jj
j j
Z Z Z Z
3,22 11,07 11,53 73,77º in j Z
Re( ) 3,22 in inR Z Im( ) 11,07in inX Z
11,53 Z Z arg( ) 73,77ºin v i Z
Resistência Reactância
Módulo da Impedância Ângulo da Impedância
Este circuito apresenta uma característica predominantemente capacitiva, já que a reactância equivalente assim o indica (ângulo da impedância negativo).
Assim, poderá ser representado, no domínio do tempo, por uma resistência, em série com um condensador, válido APENAS para este valor de frequência considerado.
94
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 187
Exemplo (conclusão)
DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS
Z
R
X2 2Z R X Z
TRIÂNGULO DE IMPEDÂNCIAS
R
j X Z
Cálculo do circuito equivalente no domínio temporal:
3111,07 1,807 10 1,807 mF
50C
C
Válido para = 50 rad/s.
A
B
e 07,11CXC
X C 1
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 188
Exemplo 5Determine Z, sabendo que:
( ) 1,872cos( 22,5º )i t t
1 rad/s
Solução:
Representar o circuito no domínio fasorial (frequência):
1 L j L j Z
2 R R Z
Fonte de tensão
44cos ( ) 0º
2v t V
Corrente
1,872cos ( 22,5º ) 1,3237 22,5ºi t I
i
I
Cálculo de Z equivalente da associação:
21 ( || ) 1
2eq Rj j Z
Z Z ZZ
mas 40º
2 2,137 22,5º1,3237 22,6ºeq
V
ZI
logo
21,534 87,19º 1,0555 21,508 j Z
95
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 189
Método NodalExercício:
Resolver o circuito abaixo, já representado no domínio da frequência, de modo a obter todas as correntes e tensões nos elementos.
1 1 210,6 0º10 1 2j
V V V
1 2 2 2 20
1 2 5 5j j
xV V V V I
2121
j
VV
Ix
A º1,6956,14
A º9,9601,12
A º8,1304,7
A º1,2412,4
V º9,208,72
V º8,1343,70
2
1
c
b
a
x
I
I
I
I
V
VNó 1:
Nó 2:
Equação do controlo:
Soluções:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 190
Método das MalhasExercício:
Resolver o circuito abaixo, já representado no domínio da frequência, de modo a obter todas as correntes e tensões nos elementos.
º06,101 I
0))(5()21()(10 32212 IIIII jj
2II x
0205)5)(( 323 xj IIIIA º1,2412,4
A º9,9601,12
A º1,2412,4
3
2
xI
I
I
Malha 1:
Malha 2:
Malha 3:
Equação do controlo:
Soluções:
96
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 191
Método das Malhas (cont)Exemplo:
Resolver o circuito abaixo, pelo método matricial com inspecção directa.
1 2 3
5 5 5 0
5 8 8 6
0 6 10
j j
j j
Z
Matriz das impedâncias:
Vector das tensões:
30 0º
0
20 0º
V
1 I Z V
3,57 29,8º
1,73 40,1º
1,38 150,9º
I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 192
Teoremas de Thévenin e de Norton
REDE LINEAR ThV
ThZ
NI NZ
N Th
Th Th N
Z Z
V Z I
97
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 193
Teoremas de Thévenin e de Norton
Exercício:
Determine o equivalente de Thévenin aos terminais ab do circuito, já representado na frequência. Aplicando o método nodal por
inspecção directa:
1200º +-
12Ω 12Ω
j12Ω +-
12036,9º
a
b
1 1 1
12 12 12j
Y
Matriz das admitâncias:
Vector das correntes:
1 V Y I 101,81 45,015 V 101,81 45,015 thV
Determinar Zthv:
12Ω 12Ω
j12Ω
a
b
12//12// 12 4,8 2,4j j thZ ThV
ThZ
(120 0º ) (120 36,9º )
12 12
I
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 194
Conversões Estrela-triângulo
3
31322112 Z
ZZZZZZZ
2
31322113 Z
ZZZZZZZ
1
31322123 Z
ZZZZZZZ
132312
13121 ZZZ
ZZZ
132312
23122 ZZZ
ZZZ
132312
23133 ZZZ
ZZZ
1 2
3
Z1 Z2
Z3
1 2
3
Z13
Z12
Z23
98
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 195
Circuitos Ponte
4
2
3
1
Z
Z
Z
Z
0 Zcom //// 54321 ZZZZZT
54231 Zcom )//()( ZZZZZT
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 196
Sobreposição em CA: frequências diferentes
Exemplos: Determine v(t) no circuito abaixo, por sobreposição.
Tal como em CC activaremos uma fonte de cada vez.
No entanto, a cada fonte corresponderá um circuito fasorial diferente. Resolvemos cada um desses circuitos e obteremos para cada um a resposta no domínio temporal.
Somaremos então, no domínio do tempo, as respostas obtidas para cada fonte.
Caso as frequências das fontes fossem iguais, bastaria uma única transformação para o domínio da frequência e os resultados poderiam ser somados na frequência e então esta soma fasorial seria transformada para o domínio do tempo.
+ v
99
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 197
I
+ V1
Sobreposição: resolução 1Activando a fonte de tensão do ramo mais à esquerda, obtemos:
10cos2 sv t 10
0º V2
s V
100º
2
2H L 2 2 4 L j j Z
0,1F C 15
2 0,1C jj
Z
2 rad/s
4 j
5 j
1 4
Conversão para o domínio da frequência: 1 4 (4 || 5) 4,003 30,784º eqZ j j
100º
2 1,766 30,784º A4,003 30,784º
I
1 1 1,766 30,784 1,766 30,784 V V
Conversão para o domínio do tempo:
1( ) 2,498cos(2 30,78º ) Vv t t
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 198
I
+ V2
Sobreposição: resolução 2Activando a fonte de corrente, obtemos:
2sen 5 si t 2 90º As I
2H L 5 2 10 L j j Z
0,1F C 12
5 0,1C jj
Z
5 rad/s
10 j
2 j
1 4
Conversão para o domínio da frequência: (4 || 2) 0,8 1,6 parZ j j
101,646 77,905º A
1 0,8 1,6 10sj
j j
I I
2 1 =1,646 -77,905º V V I
Conversão para o domínio do tempo:
2( ) 2,328cos(5 77,905º ) Vv t t
2 90º A
Zpar
100
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 199
Activando a fonte de tensão contínua, obtemos:
Como a fonte é de tensão continua, não há necessidade de converter para o domínio da frequência. Temos de considerar as seguintes condições:
1 – As bobinas são convertidas em curto-circuitos;
2 – Os condensadores são convertidos em circuitos abertos.
31
5 1 V1 4
V
( ) 1 2,498cos(2 30,8º ) 2,328cos(5 77,9º ) Vv t t t
Sobreposição: resolução 3
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )v t v t v t v t
Somando as contribuições das 3 fontes:
Solução:
I
+ V3
1 4
5 V
Com um divisor de tensão:
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 200
Sobreposição: v(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
101
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 201
Potência Instantânea( ) ( ) ( )p t v t i t
( ) cos ( )cos ( )m m v ip t V I t t
( ) cos ( )m vv t V t ( ) cos ( )m ii t I t
1cos cos cos ( ) cos ( )
2a b a b a b
A Componente constante é chamada de potência média ou potência activa, e é independente do tempo.A Componente sinusoidal é de frequência dupla da frequência da tensão e da corrente, e tem valor médio nulo.
sinusoidal Componenteconstante Componente
)2(cos)cos()( ivefefivefef tIVIVtp
sinusoidal Componenteconstante Componente
)2(cos2
1)cos(
2
1)( ivmmivmm tIVIVtp
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 202
Potência Instantânea( ) ( ) ( )p t v t i t
)2(sen)(sen))2cos(1)(cos(
)2(sen)(sen2
))2cos(1)(cos(2
)cos()cos()(
tIVtIV
tIV
tIV
tItVtp
efefefef
máxmáxmáxmáx
máxmáx
Potência nas Resistências Potência nas Reactâncias(bobinas e condensadores)
Potência nas Resistências: tem média Vef.Ief.cos()e uma componente alternada com amplitude Vef.Ief.cos()
Potência nas Reactâncias: tem média nula e uma componente alternada com amplitude Vef.Ief.sen()
102
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 203
Potência
)(sen:reactiva potência
)cos(:activa potência
efef
efef
IVQ
IVP
Pot. Activa = Pot. Média = Pot. nas resistências = Pot. efectivamente dissipada
Pot. Reactiva = Amplitude da Pot. trocada entre a fonte e as reactâncias = Não é dissipada, mas armazenada e/ou devolvida
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 204
Potência numa resistência
103
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 205
Potência numa bobina
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 206
Potência num condensador
104
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 207
Potência num circuito genérico
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 208
Potência Complexa
É o produto do fasor da tensão pelo conjugado do fasor corrente. A unidade é o VOLT-AMPÈRE.
* . IVS
jQPS
SSS
IVIV
IVS
efefivefef
iefvef
||
)()((VA)
(VA)
105
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 209
Potência Aparente
É o produto dos valores eficazes da tensão e da corrente.
A unidade é o VOLT-AMPÈRE.(VA)
A potência APARENTE é o valor estipulado nos quadros das máquinas de corrente alternada, tais como os transformadores, e as máquinas rotativas de indução ou síncronas.
efef IVSS . ||
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 210
Potência Média ou Activa
0
1( )
TP p t dt
T
Se passarmos à forma fasorial:
A potência activa é a parte real do produto do fasor tensão pelo CONJUGADO do fasor corrente.
A unidade é o WATT, tal como em corrente contínua.
Esta é a potência lida nos aparelhos designados WATTÍMETROS.
)cos(
)cos(
efef
ivefef
IV
IVP
*ReRe)cos( IVIVIVP ivefefivefef
2efIRP
A unidade é o Watt.
(W)
(W)
106
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 211
Potência Reactiva
É a parte imaginária da potência complexa.
A unidade é o VOLT-AMPÉRE REACTIVO.
2 2S P Q
TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS
S Q
P
0 Carga resistiva
0 Carga capacitiva
0 Carga indutiva
Q
Q
Q
2efIXQ
*ImIm)(sen IVIVIVQ ivefefivefef
)(sen
)(sen
efef
ivefef
IV
IVQ (var)
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 212
É a razão entre a POTÊNCIA ACTIVA e a POTÊNCIA APARENTE.
Factor de Potência
fpP
S fp cos( ) cosv i
Repare que o ângulo do factor de potência é a diferença de fase entre a tensão e a corrente, ou seja, é o ângulo da impedância da carga.
Varia entre 0 e 1.
Fp=1 Carga RESISTIVA (componente reactiva é nula).
Fp=0 Carga puramente INDUTIVA ou puramente CAPACITIVA; indica-se sempre qual é o caso; componente resistiva nula.
0<Fp<1 Carga predominantemente CAPACITIVA ou INDUTIVA com componente resistiva.
107
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 213
POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA
COMPLEXA
APARENTE
ACTIVA
REACTIVA
FACTOR DE POTÊNCIA
*v iP j Q V I S S V I
2 2S V I P Q S
cos ( ) Re cos ( )v iP V I S S
sen( ) Im sen( )v iQ V I S S
fp cos ( ) cos ( )v iP
S
Resumo de Potências
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 214
Conservação de Potência
Este princípio é válido em C.A. para as potências complexa, activa e reactiva, mas NÃO para a potência
aparente.
Para uma fonte ligada a N cargas:
1 2 ... N S S S S
1 2 ... NP P P P
1 2 ... NQ Q Q Q
108
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 215
Transferência da Máxima Potência Activa para a Carga
{ . *} {( ). *}P re V I re Z I IL
e
( ) ( )
Vth vIR R X Xth L th L
2
2 2( ) ( )
VthP RLR R X Xth L th L
P máximo seX Xth LR Rth L
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 216
Exemplo – cálculo de potências
25 2 cos( )
(V)
t
50 2 50 314,159 rad/sf Hz
3100 4 10 1,2566 LZ j j
3
115,915
100 0,2 10CZ j
j
Transformar o circuito para o domínio
da frequência (f = 50 Hz):
25 2 cos( ) 25 0º Vv t V
Usando o método das malhas:110 1,2566 1,2566
1,2566 4 14,658
j j
j j
25 0º
0
1
2
2,47 7,71º A
0,20 157,03º
I
I
1
2
I
I
15,915 0,2 157,03º 3,183 67,03ºC j V
1,2566 (2,47 7,71) (0,2 157,03º )L j V
3,347 81,16ºL V
1 10 (2,47 7,71º ) 24,7 7,71ºR V
2 4 (0,2 157,03º ) 0,8 157,03ºR V
Calcular as potências aparente para todos os componentes e o factor de potência da fonte
109
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 217
Cálculo de potências (cont)
2* . * | |I S VI Z I I Z215,915 0,2 0,637 0,637 90º
0 W ; 0,637 VAR ; 0,637 VAC
C C
j j
P Q S
S
21,2566 2,66 8,89 8,89 90º
0 W ; 8,89 VAR ; 8,89 VAL
C L L
j j
P Q S
S
21 10 2,47 61 WR S
22 4 0,2 0,16 WR S
Lembrar que:
As resistências absorvem potência activa.
Condensadores e bobinas apresentam potência reactiva mas não potência activa
25 0º 2,47 7,71º
61,75 7,71º 61,19 8,28
61,75 VA ; 61,19 W ; 8,28 VA ;
cos(7,71º ) 0,99 indutivo
FT
FT j
S P Q
Pfp
S
S
S
Impedância equivalente:25 0º
10,121 7,71º 10,03 1,358 2,47 7,71º
10,03 ; 1,358
eq j
R X
VZ
I
XR
V
IZ
DIAGRAMA DA IMPEDÂNCIA EQ. DIAGRAMA FASORIAL P/ FONTE
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 218
Correcção do factor de potência
A maior parte das cargas domésticas e industriais apresentam factores de potência indutivos e por vezes bastante baixos.
Exemplos deste tipo de cargas são as lâmpadas fluorescentes, máquinas de lavar e outros electrodomésticos, motores industriais de indução, e fornos de indução.
Para evitar os problemas disto decorrentes, instalam-se condensadores em paralelo com estas cargas, de forma a corrigir o fp, ou seja aproximá-lo de 1 (fp resistivo).
A nível de clientes domésticos (baixas potências) o fornecedor de energia eléctrica não mede o consumo de potência reactiva e não penaliza as contas.
Para os clientes industriais há penalizações em caso de factor de potência inferior a 0,95 indutivo, pelo que estes devem monitorizar as suas instalações e corrigir o respectivo factor de potência caso este tenda a atingir valores inferiores aos permitidos.
110
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 219
Correcção do factor de potência
Por conseguinte, seguidamente, veremos quais os inconvenientes de ter um baixo factor de potência (para a rede eléctrica).
Um dos inconvenientes é a maior utilização de potência aparente para uma mesma potência activa consumida, ocupando uma maior fracção da potência disponível por parte do transformador que alimenta a carga.
Além disso, causa um aumento da potência dissipada nas linhas de transporte e distribuição de energia, acarretando maiores perdas nestes sistemas, exigindo maior capacidade por parte destes, com consequentes custos financeiros.
Haverá ainda uma maior queda de tensão nas linhas, o que fará com que a carga seja alimentada com uma tensão inferior à nominal.
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 220
Correcção do fp – triângulo de potências
S2
Q2
QCS1
Q1
12P
QC potência reactiva fornecida pelo condensador.Q1 e S1 potência reactiva e aparente antes da correcção do fp.Q2 e S2 potência reactiva e aparente desejadas (para o fp que se
pretende).
111
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 221
Correcção do fpDo triângulo podemos verificar que:
1 1 1 1sen( ) t g( )Q S P
2 2 2 2sen( ) t g( )Q S P
1 2 1 2t g t g CQ Q Q P S2
Q2
QCS1
Q1
12
P
Mas, para um condensador,
22
CC
VQ CV
X
Assim a CAPACIDADE do condensador necessária para corrigir o factor de potência de um valor fp1 para fp2 é:
2CQ
CV
1 22
(t g t g )PC
V
onde
11 1
12 2
cos ( )
cos ( )
fp
fp
Instituto Superior de Engenharia Curso Técnico Superior Profissional 222
Correcção do fpExemploCalcule o factor de potência do circuito e corrija o mesmo (qual o valor para o condensador a colocar em paralelo com a fonte?) para obter fp=0,97 (w=1000rad/s)
Cálculo das potências:
M1:
M2:
1200º +-
R112Ω
R212Ω
j12Ω
1 1 2(120 0) 12 12 ( ) 0I j I I
M1 M2
2 1 212 ( ) 12 0j I I I
1
2
6,325 18,4º
4,472 26,57º
I
I
2* . * | |I S VI Z I I Z212 (4.47) 239,98 239,98 90º
0 W ; 239,98 VAR ; 239,98 VAL
L L L
j j
P Q S
S
21
1 1 1
12 (6,325) 480,07 480,07 0º
480,07 W ; 0 VAR ; 480,07 VAR
R R RP Q S
S
22
2 2 2
12 (4,472) 239,98 239,98 0º
239,98 W ; 0 VAR ; 239,98 VAR
R R RP Q S
S
. . 1
. .
* 720,20 239,58 759 18,4º
720,20 W ; 239,58 VAR ; 759 VAF T F T
F T F T
j
P Q S
S V I
O factor de Potência: 720,020,95 indutivo
759fp
1 22 2
720,02 (18,2) (14,07)(t g t g )
1000 120
tg tgPC
V
11 1
12 2
cos ( ) 18,2º
cos ( ) 14,07º
fp
fp
3,9C F
Corrigir o factor de potência