Análise de um circuito RLC

SISTEMAS DE CONTROLO I

2012 – 2013

Mestrado Integrado em Engenharia Electronica e deTelecomunicacoes

3ºAno 2º Semestre

1º Trabalho

Analise no tempo e na frequencia de um circuito RLC

Grupo: 3

422943973039070

Raul FerreiraDenis Sirbu

Helder Vieira

13 de Abril de 2013

CONTEUDO 1

Conteudo

1 Objectivos 2

2 Preparacao Teorica 32.1 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Componentes de modulo e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Modelo Espaco de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Solucao do Modelo Espaco de Estados na presenca de condicoes

iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 Resposta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 Lugar das Raızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Simulacao 173.1 Resposta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Resposta com condicoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Analise dos tempos para o regime sub amortecido . . . . . . . . . 323.4 Resposta Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Componentes de modulo e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Bibliografia 50

1 OBJECTIVOS 2

1 Objectivos

De acordo com o programa da disciplina este trabalho encerra o estudo deanalise de sistemas, no tempo e na frequencia, ja proveniente de Teoria de Sis-temas e agora finalizado em Sistemas de Controlo I.

O sistema escolhido foi um sistema de natureza electrica, um circuito RLCserie e, portanto a sua analise teorica vai ser feita com base na teoria de circui-tos. Vamos caracterizar este sistema e de seguida iremos, em MATLAB, simularo comportamento deste para diferentes entradas, bem como a sua resposta tran-sitoria.

O principal objectivo sera entao solidificar todas estas materias, agrupando-as neste trabalho de analise.

Sistemas de Controlo I

2 PREPARACAO TEORICA 3

2 Preparacao Teorica

2.1 Circuito RLC

Numa primeira fase deste trabalho, antes de avancar com a simulacao daresposta no tempo e na frequencia de um circuito RLC, sera util preceder asimulacao com alguma preparacao teorica, com o objectivo tracar termos decomparacao e saber o que esperar dos resultados provenientes da simulacao.

Consideremos entao o seguinte circuito RLC com configuracao em serie:

Figura 1: Circuito RLC

Assumindo um regime permanente sinusoidal podemos determinar analiti-camente o ganho do circuito Av(jw) em termos de modulo |Mv|(jw) e de faseFv(w).

il(t) (corrente de malha)v0(t) (tensao aos terminais do condensador)

Aplicando a lei das malhas:

vi(t) = il(t)R+ L×dil(t)

dt+

1

C

∫il(t)dt

Da analise de circuitos sabemos que:

il(t) = Cdvo(t)

dt(1)

v0(t) =1

C

∫il(t) , il(t) = C ×

dv0(t)

dt⇒

dil(t)

dt= C ×

d2v0(t)

dt2



LCd2v0(t)

dt2+RC × dv0(t)

dt+ v0(t) = vi(t)

Aplicando as regras da transformacao para o domınio de Laplace obtemos:

LCs2v0(s) +RCv0(s) + v0(s) = vi(s) ⇐⇒ v0(s)[LCs2 +RCs+ 1] = vi(s) (2)

De onde podemos retirar a equacao caracterıstica do sistema:

LCs2 +RC + 1 = 0 (3)

Chegamos entao a expressao que nos da uma representacao externa do sis-tema, a funcao transferencia que, por definicao, assume condicoes iniciais nulas.

Av(jw) =v0(jw)

vi(jw)=

1

LC

s2 + sR

L+

1

LC

, s = jw

A funcao de transferencia de um sistema LTI e definida como a relacao datransformada de laplace de saıda e da entrada, considerando-se nulas todas ascondicoes iniciais.

Equacao caracterıstica:

s2 + sR

L+

1

LC= 0 ⇐⇒ s =

−R±√

(R

L)2 − 4

1

LC2L

As duas raızes sao dadas por:

s =−R±

√(R

L)2 − 4

1

LC2L

=

s1 =

−R+

√√√√(R

L)2−

4

LC2L

s2 =−R−

√√√√(R

L)2−

4

LC2L

(4)

2.2 Componentes de modulo e fase

Podemos entao definir a funcao transferencia em componentes de modulo efase.

Fv(w) = ∠v0(jw)

vi(jw)= −∠

[jwRC + (1− w2LC)

]

= − arctan

w

R

L1

LC− w2

(5)



|Mv(jw)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣1

LC

jwR

L+ (

1

LC− w2)

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

1

LC

|jwR

L+ (

1

LC− w2))|

=

1

LC√(

1

LC− w2)2 + (w

R

L)2

(6)

Podemos tambem obter a equacao diferencial que descreve o funcionamentodo circuito, tomando a corrente de malha como saıda, embora seja inconvenientepara os procedimentos que se seguem:

vi(t) = il(t)R+ L× dil(t)

dt+ vo(t) , vo(t) =

1

C

∫il(t)

⇒ vi(t) = il(t)R+L×dil(t)dt

+1

C

∫il(t) ⇐⇒

dvi(t)

dt=dil(t)

dtR+L

d2il(t)

dt+

1

Cil(t)

il(t) = ic(t) = cdvo(t)dt

Organizando a equacao temos:

⇒ Ld2il(t)

dt2+dil(t)

dtR+

1

Ci(t) =

dvi(t)

dt,× 1

L

⇒ d2il(t)

dt2+R

L× dil(t)

dt+

1

CLi(t) =

1

L× dvi(t)

dt(7)

2.3 Diagrama de Blocos

E possıvel encontrar o modelo de estado devidamente a partir das equacoesdiferenciais, no entanto existe outro metodo para obter este modelo atraves dafuncao transferencia. Baseia-se no uso de diagramas de solucao.

Diagrama de solucao: E um tipo de diagrama em blocos que e constituıdopara obter uma funcao transferencia especifica ou para modelar um conjuntoespecıfico de equacoes diferenciais. Dada a funcao transferencia, equacoes dife-renciais ou equacoes de estado, podemos construir um diagrama de solucao. O

seu elemento basico e o integrador1

s.



O correspondente diagrama de blocos, tomando a equacional diferencial (6)seria:

˙vi(t) // 1

L

+ //¨il(t) // 1

s

˙il(t) // 1

s

il(t) //

R

L

−

cc

−

OO

1

LC

Voltando a primeira equacao diferencial, tomando a tensao desenvolvida aosterminais do condensador como saıda, obteve-se o seguinte diagrama de blocos:

˙vi(t) // 1

LC

+ //¨vo(t) // 1

s

˙vo(t) // 1

s

vo(t) //

R

L

−

cc

−

OO

1

LC

2.4 Modelo Espaco de Estados

Visando uma completa analise do circuito em questao e oportuno nesta al-tura obter tambem uma representacao interna do circuito, de forma a possibilitara observacao da sua resposta na presenca de condicoes inicias que condicionam emoldam a sua saıda. Com esse fim, este sistema sera tambem representado nummodelo espaco de estados. O primeiro passo sera entao escolher as variaveis deestado, variaveis essas que terao de estar a associadas a elementos que, pelassuas caracterısticas, sejam acumuladores de energia ou entao, as suas n+ 1 de-rivadas, sendo n a ordem do sistema em causa. Para este circuito temos entao,a encaixar neste perfil, o condensador e a bobine.

Estamos na presenca de um sistema de segunda ordem, necessitamos de duasvariaveis de estado, que serao a corrente que atravessa a bobine, que coincidecom a corrente de malha, e a tensao aos terminais do condensador. x1 = vo(t)

x2 = il(t)



Um modelo de estado e definido por uma equacao de estado e uma equacaode saıda, com a seguinte forma geral:

X = AX +BUY = CX +DU

Da analise de circuitos sabemos que e possıvel reescrever as expressoes rela-tivas as variaveis de estado da seguinte forma:

x1 = vo(t)

Relacionando a tensao desenvolvida aos terminais de um condensador, e a cor-rente que o atravessa, podemos exprimir a segunda variavel de estado em termosda primeira.

il(t) = C dvo(t)dt

x2 = Cdvo(t)

dt

Ou seja:x2 = Cx1

Reordenando a equacao diferencial que descreve o sistema, podemos obteruma expressao para a derivada da segunda variavel de estado:

¨vo(t) = −RL

˙vo(t)−1

LCvo(t) +

1

LCvi(t)

Ou o equivalente:

x2 = −RLx2 −

1

LCx1 +

1

LCu

As duas equacoes que necessitamos para construir um modelo espaco de estadossao entao:

x1 =1

Cx2 (8)

x2 = −RLx2 −

1

LCx1 +

1

LCu (9)

Uma representacao em diagrama de blocos e bastante util, pois atraves delapodemos directamente obter a representacao do sistema num modelo de espacoestados. Para as variaveis de estado consideradas, temos o seguinte modelo:



x1x2

=

0 1/C

−1/C −R/C

x1x2

+

0

1/C

.vi(t)Y = [1 0]

[x1x1

]

2.5 Solucao do Modelo Espaco de Estados na presenca decondicoes iniciais

Para determinar a solucao deste modelo em ordem as variaveis de estado foiassumida uma entrada em degrau vi(t) = u(t).

Analisemos entao a expressao da saıda do sistema, na presenca de condicoesiniciais. Para isso considerou-se, num momento to, as seguintes grandezas:

Io, corrente de malha no instante inicial.Vo, tensao aos terminais do condensador no instante inicial.

O estado de um sistema em qualquer tempo tm, e a quantidade de informacaoem to, em conjunto com todas as entradas tn ≥ to, com n ≤ m.

Existem dois metodos para encontrar a solucao das equacoes de estado:

→ pela transformada da laplace→ por series infinitas

Decidimos, por simplicidade, utilizar o primeiro metodo.

Forma geral de um modelo de estado:

X = AX +BUY = CX +DU

Desenvolvendo o modelo e transformando-o para outro domınio podemos ti-rar partido de algumas simplificacoes.

x1 = a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn + b1rur...xn(t) = an1x1 + an2x2 + ...+ annxn + bnrur ⇐⇒ L

Das propriedades da transformada de laplace sabemos que relativamente a de-rivacao:

⇒ L[ddtx(t)

]= sX(s)− x(0)

...L[d2

dt2x(t)]

= s2X(s)− sx(0)− x′(0)



...L[dn

dtnx(t)]

= snX(s)− sn−1x(0)− ...− x(n−1)(0)

Os termos x(0), x’(0),... sao chamados resıduos. e importante reparar quese estamos a considerar condicoes unicas nulas entao:

x(0) = sX(0) = x′(0) = 0

L ⇒ sx1(s)− x1(0) = a11x1(s) + a12x2(s) + ...+ a1nxn(s) + b1rur(s)...sxn(s)− xn(0) = an1x1(s) + an2x2(s) + ...+ annxn(s) + bnrur(s)

Chegamos assim a forma matricial no domınio de Laplace:

sX(s)− x(0) = AX(s) +BU(s)

Resolvendo em ordem a X(s):

sX(s)−AX(s) = x(0) +BU(s) =

= X(s)(sI −A) = X(0) +BU(s) =

X(s) = (sI −A)−1X(0) + (sI −A)−1BU(s) (10)

Podemos calcular a transformada de Laplace do sinal de entrada. vi(t) = u(t)

(degrau), pelas tabelas da transformada de Laplace sabemos que u(t)L←→ 1/s.

Aplicando a transformada de Laplace a equacao de estado obtemos:x1(s)

x2(s)

−x1(0)

x2(0)

=

0 1/C

−1/C −R/C

x1(s)

x2(s)

+

0

1/C

× 1

s

Sera necessario agora desenvolver o modelo ate chegar a forma geral de (9):

[sI−A] = s

1 0

0 1

− 0 1/C

−1/L −R/L

=

s 0

0 s

− 0 1/C

−1/L −R/L

=

s 1/C

−1/L s+ R/L

Da algebra sabemos que:

A−1 =1

det(A).adj(A) adj(A) = [cof(A)]T

det(SI −A) = s×

(s+

R

L

)−

[1

L×

(−

1

C

)]= s2 + s

R

L+

1

LC



adj(A) =

s+ R/L 1/C

−1/L s

(SI −A)−1 = 1

s2+s×R

L+

1

LC

s+ R/L 1/C

−1/L s

Obteve-se entao a transformada de Laplace Φ(s) da matriz transicao de es-tados Φ(t).

Aplicando esta matriz ao modelo desenvolvido em cima, podemos continuara desenvolver ate a obtencao de uma expressao mais simplificada.

X(s) =1

s2 + s×R

L+

1

LC

s+ R/L 1/C

−1/L s

x1(0)

x2(0)

+1

s2 + s×R

L+

1

LC

s+ R/L 1/C

−1/L s

0

1/L

1

s

X(s) =1

s2 + s×R

L+

1

LC

S + R/L 1/C

−1/L S

x1(0)

x2(0) +1

SL

x1(0) = Vo , x2(0) = Io

X(s) =1

s2 + s×R

L+

1

LC

Vo

(s+

R

C

)+Io

C+

1

sLC

−vo

L+ sIo +

1

L

X(s) =

Vo

(s+

R

C

)+Io

C+

1

sLC

s2 + s×R

L+

1

LC

−vo

L+ sIo +

1

L

s2 + s×R

L+

1

LC

a1 X1(s) = V (s)

a2 X2(s) = I(s)



2.6 Resposta transitoria

A equacao diferencial (6) pode ser resolvida para tres diferentes regimes defuncionamento.

Os parametros do circuito R, L e C vao ditar a natureza das solucoes epodemos determinar em funcao de L e C, para que valores de R se obtem osdiversos regimes.

Relembrando a equacao diferencial que determina o comportamento do sistema:

LCd2vo(t)

dt2+RC

dvo(t)

dt+ vo(t) = v(t)

Sera do nosso interesse apresentar a forma generica de uma funcao de um sis-tema de 2ª ordem sem zeros (all poles):

G(s) =Aw2

n

s2 + 2ξ + w2n

(11)

(s2LC + sRC + 1 = 0)→ equacao caracterıstica.

Esta equacao pode ser resolvida com a seguinte aproximacao x(t) = Cest

ξ → coeficiente de amortecimentown → frequencia natural

ξ =R

2Lconstante de amortecimento

wn =1

√LC

frequencia natural

As raızes da esquadro caracterıstica s2 + s ξ s + w2o = 0 definem o tipo da

resposta transitoria do circuito.

s1,2 = −ξwn ± wn√ξ2 − 1

Existem 3 tipos de solucao para a equacao diferencial, que sao caracterizadospelos seguintes tipos de raızes da equacao caracterıstica.

Da teoria de sistemas sabemos que as respostas vao depender do coeficientede amortecimento:

ξ > 1→ Regime sobre-amortecido



0 < ξ < 1→ Regime sob-amortecido

ξ = 1→ Regime criticamente amortecido

A resposta ao degrau pode apresentar diferentes comportamentos em funcaode R, L e C.

Apenas por observacao da funcao pode-se retirar valores importantes sobreo funcionamento do sistema.

wn =1

√LC→ frequencia natural do circuito.

ξ =R

2L→ constante de amortecimento do circuito RLC.

s2 + 2s×R

2L+

(1

√LC

)2

= 0

⇐⇒ s2 + s2ξ + w2n = 0

s1,2 = −wn(ξ ± j√

1− ξ2 )

s1,2 = −wn(ξ ±√ξ2 − 1 )

Resposta sub-amortecida (ξ < 1).

R

2L<

1√LC

⇐⇒ R <2L√LC

(12)

Respeitada esta condicao asseguramos que estamos a trabalhar com um re-gime sub-amortecido.

As raızes s1 e s2 sao complexas conjugadas.No domınio do tempo vamos ter uma resposta da seguinte forma:

→ vo(t) = A1 +A2e−αt sin(βt) +A3e

−αt cos(βt) (13)

Resposta sobre-amortecida (ξ > 1).

R

2L>

1√LC

⇐⇒ R >2L√LC

(14)

As raızes s1 e s2 sao ambas reais.A expressao, no domınio do tempo toma a seguinte forma:

→ vo(t) = A1 +A2e−s1t +A3e

−s2t (15)



Resposta criticamente amortecida (ξ = 1)

R

2L=

1√LC

⇐⇒ R =2L√LC

(16)

s1,2 = −wn(ξ ± j√

0 )⇒ s1 = s2 (17)

Para estes valores de R as duas raızes sao reais duplas, a parte imaginariaanula-se e temos a seguinte expressao:

→ vo(t) = A1 +A2e−s1t +A3te

−s1t (18)

Regime sinusoidal puro R = 0

E interessante reparar que este circuito pode conter uma oscilacao na ausenciado fenomeno que a criou (durante um perıodo de tempo). Esta frequencia de vi-bracao pode ser chamada de frequencia natural nao amortecida. Observa-se quea frequencia natural do circuito RLC serie e exactamente a mesma a frequencianatural de um circuito LC, ou seja, sem a presenca de uma resistencia, ele-mento dissipador, que impoe amortecimento no circuito. Esta caracterıstica deamortecimento presente intrinsecamente na resistencia explica o motivo paraestabelecermos os parametros do circuito L e C em funcao do valor de R, paraestudar os diferentes regimes.

O circuito ideal iria funcionar num regime sinusoidal puro caso realmente severifica-se a ausencia de resistencia. s1,2 = ±j(

√1− ξ2 )

s1,2 = ±j

√√√√1−

(R√LC

2L

)2

= ±j√

1−R2LC

4L2= ±j

√1−

R2C

4L

s1,2 = ±jwn = ±j1

√LC

frequencia natural nao amortecida.

2.7 Lugar das Raızes

As caracterısticas de um sistema podem ser ajustadas pela modificacao deum ou mais parametros. Podemos analisar a performance de um sistema obser-vando a localizacao das raızes da equacao caracterıstica no plano s.

Sera do interesse deste trabalho analisar o movimento destas raızes no planos na presenca de variacoes de parametros. Vai ser utilizado um metodo grafico,o lugar das raızes. Com este metodo podemos tambem estabelecer a sensibili-dade de cada raiz para pequenas variacoes de parametros.

Numa primeira fase podemos ja deduzir que os resultados obtidos no pontoanterior vao ser de grande utilidade pois a estabilidade do sistema e a sua res-posta transitoria estao intimamente ligados.



Vamos entao esbocar a trajectoria dos polos de um sistema, em funcao doseu ganho. a ideia sera construir um modelo com realimentacao e uma entradada forma:

R(s) // //K // G(s)Y (s) //

Y (s)OO

Com a seguinte funcao transferencia em malha fechada:

Y (s)

R(s)=

KG(s)

1 +KG(s)ou

Y (s)

R(s)=

KN(s)

D(s)

1 +KN(s)

D(s)

=KN(s)

D(s) +KN(s)

Por observacao da funcao transferencia segue-se que os polos do sistema emmalha fechada sao as raızes da equacao caracterıstica do sistema.

1 +KG(s) = 0 ou tambem D(s) +KN(s) = 0

E entao evidente que o valor dos polos do sistema depende do valor de K.

Se variamos K de 0 a +∞ os polos do sistema realimentado tomarao todosos valores possıveis consistentes com a realimentacao negativa.

Chamamos entao lugar de raızes do sistema ao conjunto dos pontos (lugargeometrico) no plano s, ocupado pelos polos do sistema com equacao carac-terıstica 1 +KG(s) = 0 , quando K varia de 0 a +∞.



Figura 2: Sinusoidal puro

Figura 3: Sub-amortecido



Figura 4: Sobre-amortecido

Figura 5: Cricamente amortecido

Ruith-Hurwitz:

s2 1 1LC

s RL 0

s0 1LC

Pelo criterio de Ruith-Hurwitz o sistema sera estavel se a primeira colunativer valores positivos, ou seja 1

LC > 0 e por sua vez RL > 0.


3 SIMULACAO 17

3 Simulacao

3.1 Resposta transitoria

Nesta seccao o objectivo sera comprovar os resultados obtidos na preparacaoteorica atraves de simulacoes, onde foi possıvel analisar a resposta do circuitono tempo e na frequencia.

Para podermos fazer um estudo completo teve-se de arbitrar valores para osparametros do circuito R, L e C. Estes valores foram escolhidos de acordo comos resultados obtidos na preparacao teorica de forma a percorrermos todos osdiferentes regimes do circuito. Estes estao representados na seguinte tabela:

R(Ohms) L(H) C(mF)0 3 2510 10 3.520 5 430 4 4.5100 10 4250 9 2260 8 2.5300 2 5

Para visualizar a resposta do circuito para os diferentes regimes foi cons-truıdo um sistema em SIMULINK na figura abaixo, foi definida a funcao trans-ferencia do circuito RLC serie e este e excitado por um degrau.

Figura 6: Diagrama de blocos

O programa em MATLAB que controla os diferentes valores dos parametrosno sistema SIMULINK foi executado passo a passo de forma a que a observacao


3 SIMULACAO 18

de todas as respostas seja possıvel.

Para a primeira resposta estabelecemos que a resistencia do circuito serianula R = 0, forcando assim o sistema a entrar num regime sinusoidal puro,como se pode observar na figura 3. A falta de presenca de um elemento dissipa-tivo impoe no circuito uma resposta constante sem amortecimento. O sistemarecebe a energia proveniente da entrada, e esta e oscilada entre a bobine e ocondensador, infinitamente, num cenario ideal.

Figura 7: Resposta puramente sinusoidal

Na proxima resposta do sistema entramos num regime sub amortecido, ondeas raızes sao reais, para estes parametros podemos verificar da tabela em cimaque se respeita a condicao:

R <2L√LC

A resposta sub amortecida decai de uma forma oscilatoria, que e funcao daatenuacao presente no sistema.

Descendo nos valores da tabela, fazendo R se aproximar de2L√LC

observou-

se que a atenuacao era menor e, consequentemente, a oscilacao diminui, verifica-se que a resposta decai mais rapidamente. Podemos observar essa resposta nafigura 5.


3 SIMULACAO 19

Podemos analisar este comportamento de um ponto de vista fısico. O amor-tecimento e uma forca de friccao e, portanto, gera calor e dissipa energia. Ma-tematicamente esta resposta toma a seguinte forma:


−αt cos(βt)

Figura 8: Resposta sub amortecida


3 SIMULACAO 20

Figura 9: Resposta sub amortecida

Observa-se uma resposta que decai o mais rapidamente possıvel sem entrarem oscilacao quando se verifica a condicao:

R <2L√LC

Esta resposta esta representada na figura 6, as raızes sao reais duplas. O sistemaentrou num regime criticamente amortecido com a seguinte forma:

→ vo(t) = A1 +A2e−s1t +A3te

−s1t

Neste regime podemos observar que obtemos o retorno mais rapido ao estadode equilıbrio do sistema o que por vezes e muito desejado em engenharia.


3 SIMULACAO 21

Figura 10: Resposta criticamente amortecida

A medida que a resistencia se faz sentir mais presente no circuito, nomeada-mente:

R <2L√LC

podemos observar que a oscilacao contınua suprimida como no caso anteriorpois o amortecimento e grande e portanto a forca de friccao e tao intensa quenao permite oscilacoes ao circuito.Matematicamente, este regime possui a analise mais simples pois as raızes saoreais e distintas. A resposta possui a seguinte forma:

→ vo(t) = A1 +A2e−s1t +A3e

−s2t

Uma propriedade importante para este regime que devemos assinalar e queas raızes sao ambas negativas. Este regime evita oscilacoes mas no entanto levamais tempo a estabilizar do que o criticamente amortecido. Podemos ver estasrespostas nas figuras 7 e 8.


3 SIMULACAO 22

Figura 11: Resposta sobre amortecida

Figura 12: Resposta sobre amortecida


3 SIMULACAO 23

Em baixo e apresentado uma sobreposicao de todos os regimes estudadospara o circuito RLC.

Figura 13: Todos os regimes

3.2 Resposta com condicoes iniciais

Vamos agora analisar a resposta do circuito na presenca de condicoes inicias,quando este e excitado por um degrau u(t). Para isso iremos concentrar-nos narepresentacao interna do sistema, no modelo espaco de estados. Relembrandoas variaveis de estado:

x1 = vo(t) x2 = io(t)

E o modelo de estado:x1x2

=

0 1/C

−1/L −R/L

x1x2

+

0

1/L

vi(t) vi(t) = u(t)

y(t) = [1 0]

x1x2

X = AX +BC

Y = CX +DU

Podemos estudar a estabilidade do sistema pela posicao dos polos resolvendoa seguinte equacao:


3 SIMULACAO 24

det(λI −A) = 0 (19)

A matriz D, por vezes chamada a matriz de realimentacao positiva, paraeste sistema e nula.

Este tipo de representacao externa permite a inclusao e consequentemente oestudo do comportamento do sistema na presenca de condicoes iniciais.

Portanto se tivermos conhecimento das variaveis de estado para to e dosvalores das entradas para t ≥ to podemos determinar por completo o compor-tamento do sistema.

Relembrando as expressoes que definem a saıda em termos de tensao e cor-rente:

x(s) =

x1(0)

x2(0)

x1(0)

x2(0)

=

Vo(s+ R/C

)+ Io/C + 1/sLC

s2 + s× R/L+ 1/LC

− vo/L+ sIo + 1/L

s2 + s× R/L+ 1/LC

a1a2

a1 = V (s)

a2 = I(s)

Para esta experiencia vamos trabalhar com o regime criticamente amorte-cido, nomeadamente com os seguintes parametros:

R = 100 Ohms

L = 2 H

C = 4 mF

Foram arbitrados valores para as condicoes inicias de forma a fazer uma am-pla analise do sistema na presenca destas. Escolhemos os seguintes valores paraa tensao aos terminais do condensador e corrente de malha no momento t0.

i0(mA) v0(V )0.2 65 22 10

0.35 1


3 SIMULACAO 25

Primeiramente vamos tomar a saıda como sendo a tensao aos terminais docondensador, temos entao o correspondente modelo de estados:

Ytensao(s) = [1 0]

vo(s+ R/L

)+ Io/C

s2 + s× R/L+ 1/LC+

1

sLC

sIo + 1/L+ Io/C + 1/sLC

s2 + s× R/L+ 1/LC+

1

sLC= I(s)

Ytensao(s) =vo(s+ R/L

)+ Io/C + 1/sLC

s2 + s× R/L+ 1/LC(20)

De um ponto de vista teorico, o estudo da resposta ao impulso seria a ferra-menta mais fundamental para caracterizar os sistemas no domınio do tempo, noentanto para aplicacoes praticas e bastante mais relevante a resposta ao degrau,e por isso vamos estudar esta resposta.

Com o MATLAB foi gerada a resposta do sistema a um degrau unitario u(t)sem a presenca de condicoes iniciais, figura 10. Vemos que o condensador levaalgum tempo ate que a sua tensao se estabilize.

Figura 14: Resposta ao degrau

Codificando a expressao (15) em MATLAB podemos analisar a respostaunicamente as condicoes iniciais, figura 11, para varios valores arbitrados ante-riormente, em termos de tensao.


3 SIMULACAO 26

Figura 15: Respostas as condicoes iniciais

E interessante reparar que a tensao que se faz sentir aos terminais do con-densador descarrega mais ou menos abruptamente dependendo do valor inicialdesta, ou seja, o tempo de descarga do condensador parece ser independente dosvalores das condicoes iniciais.

Sera agora oportuno observar a resposta total do sistema, quando excitadopor um degrau unitario na presenca de condicoes iniciais. Matematicamente ebastante simples, reflecte-se na soma duas duas, pois estamos a trabalhar comsistemas lineares. No MATLAB foi efectuada esta soma, e os resultados saoapresentados na figura 12.


3 SIMULACAO 27

Figura 16: Resposta do sistema (Tensao).

Na presenca de uma entrada em degrau a primeira conclusao que retiramosao observar a figura e que as condicoes iniciais moldaram completamente a res-posta final do sistema. O envelope da resposta e igual ao da figura anterior, noentanto vemos que agora o sistema estabiliza para um valor, aos terminais docondensador, de 1V, enquanto que na resposta as condicoes iniciais esta tensaoanulava-se, ou seja, houve um deslocamento positivo de 1V no eixo das imagens.Concluımos entao que estas condicoes podem ter bastante influencia na respostade um sistema.

Sera util neste ponto confirmar os resultados obtidos. Para cada par decondicoes iniciais achamos por bem inverter a transformada de Laplace em (15),para obtermos o funcionamento do sistema expressado no domınio do tempo.Logicamente esperamos uma expressao da forma apresentada na preparacaoteorica para este tipo de regime:


−αt cos(βt)

Para os quatro casos obtivemos:

y1(t) = 5e−st + 501te−5t

20 + 1

y2(t) = e−5t +25

4te−5t + 1


3 SIMULACAO 28

y3(t) = e−5t +25

4te−5t + 1

y4(t) =7

80te−5t + 1

De seguida foi criado um vector tempo para actuar nesta simulacao e foramgeradas as quatro respostas correspondentes a cada sinal, os resultados sao apre-sentados na figura 13. Como se pode observar os resultados foram exactamenteos mesmos em comparacao com os obtidos no ponto anterior.

Figura 17: Resposta do sistema (Tensao)

Concluıda a observacao da evolucao da tensao v0(t) aos terminais do con-densador, sera tambem oportuno visualizar tambem a evolucao da corrente demalha il(t), a segunda variavel de estado, na presenca de condicoes iniciais.

Para isso, reescrevemos o nosso modelo de estado, tomando agora a saıdacomo sendo a corrente:

YIo = CX(s) = [0 1]

vo(s+ R/L

)+ Io/C

s2 + s× R/L+ 1/LC+

1

sLC

sIo + 1/L+ Io/C + 1/sLC

s2 + s× R/L+ 1/LC


3 SIMULACAO 29

YIo(s) =sIo + 1/L+ Io/C + 1/sLC

s2 + s× R/L+ 1/LC(21)

Seguindo o mesmo raciocınio de analise a tensao, comecaremos com a res-posta do sistema a um degrau unitario u(t) com condicoes iniciais nulas. Ob-servando a figura 14, notamos que a corrente de malha atinge um valor pico deaproximadamente 7.5 mA para depois progredir para zero apos uns instantes.Concluımos que um circuito RLC criticamente amortecido vai desenvolver umacorrente de pico bastante mais baixa do que num regime sub amortecido. Existeuma troca entre a complexidade do sistema (natureza das raızes) e o valor depico da corrente. E importante realcar que a corrente de malha e a corrente queatravessa a bobine, facto que ira ser importante no estudo da resposta.

Figura 18: Resposta ao degrau (Corrente)

Novamente, para observarmos a evolucao da corrente de malha ao longo dotempo, foi gerada a resposta as condicoes iniciais. Estas podem ser vistas nafigura 15.


3 SIMULACAO 30

Figura 19: Resposta as condicoes iniciais (Corrente)

A resposta obtida vai de encontro a preparacao teorica efectuada, nomea-damente no que se refere a relacao existente entre as duas variaveis de estado,a relacao entre a corrente que atravessa a bobine e a tensao desenvolvida nocondensador. Relembremos essa relacao:

il(t) = Cdvo(t)

dt(22)

Ou seja para cada instante t a corrente que atravessa o circuito iguala aderivada da tensao desenvolvida no condensador afectada de uma constante deproporcionalidade C, a capacitancia do condensador.

Observando a figura 12 vemos que a tensao desenvolvida nos terminais docondensador decresce continuamente, ou seja com declive negativo, o que setraduz na figura 15, temos valores negativos para a corrente afectados de umaconstante de proporcionalidade, existe uma certa oposicao de fase. Quando atensao estabiliza e possui valor constante, a derivada desta anula-se e, conse-quentemente, tambem a corrente de malha ve o seu valor anulado.

Foram somadas as duas respostas e o resultado e mostrado na figura 16.Podemos tirar algumas conclusoes destes valores.


3 SIMULACAO 31

Figura 20: Resposta do sistema (Corrente)

A primeira explicacao a dar sera o motivo pelo qual, na presenca de umaentrada constante com valor unitario, a corrente se anula passado uns instantes,mesmo na presenca de uma fonte na entrada.

O que provoca a anulacao da corrente no circuito, uma vez que se tratada corrente de malha, e o facto de o degrau unitario representar uma tensaocontınua (DC), e portanto, da analise de circuitos sabemos que um condensadorse comporta como um circuito aberto para correntes contınuas, nao deixandopassar corrente para o circuito.

So faz entao sentido estudar a resposta deste sistema, com uma entradadesta natureza contınua, nos instantes iniciais, quando a entrada e imposta eexiste variacao de tensao, consequentemente de campo magnetico, induzindoassim corrente na bobine, possibilitando o estudo desta resposta transitoria.

Novamente para comprovar os resultados, foram deduzidas as expressoes nodomınio do tempo que caracterizam estas respostas.

yi1(t) = 15000e

−st − 5011000e

−st

yi2(t) = 1200e

−st − 18e−st

yi3(t) = 1500e

−st − 91100e

−st


3 SIMULACAO 32

yi4(t) = 720000e

−st − 74000e

−st

Podem-se comprovar entao os resultados observando a figura 17.

Figura 21: Resposta do sistema (Corrente)

Neste ponto fomos de encontro ao modelo de estado obtido na preparacaoteorica e comprovamos experimentalmente que, usando este metodo, podemosfacilmente encontrar a resposta e a estabilidade de um circuito RLC.

3.3 Analise dos tempos para o regime sub amortecido

Podemos definir algumas propriedades deste tipo de regime que ajudarao noseu estudo. Os parametros do circuito que vao ser utilizados nesta altura:

R = 10 Ohms

L = 10 H

C = 4.5 mF

E algumas constantes que respeitam a este circuito:

Constante de tempo RLC τ = 2LR


3 SIMULACAO 33

Largura de banda e definida em (rads/s)

∆w = 2ξ =R

L

Definimos entao o tempo de pico tp como sendo o tempo que a sua respostaprecisa para alcancar primeiro pico de oscilacao.

Tempo de pico:

tp =π

wn√

1− ξ2=

π

1√LC

√√√√1−

(R

2

√C

L

)2

Utilizando os valores em questao chegamos ao seguinte resultado, este valorde pico esta representado na figura 19:

tp = 0.59s

Podemos comprovar pelos valores gerados pelo MATLAB que o calculo estacorrecto.

Figura 22: Primeiro maximo do vector


3 SIMULACAO 34

Figura 23: Primeiro maximo do vector

Podemos tambem definir o tempo de estabelecimento como o tempo que umsistema leva, com um degrau a servir de entrada, para que entre numa especifi-cada banda erro, usualmente simetrica em relacao ao valor final.

Podemos reparar que este tempo se reflecte num atraso de propagacoes so-mando como uma serie que converge para o valor final da resposta.

Constante de tempo RLC τ = 2LR

O tempo de estabelecimento para um sistema de 2ª ordem sub-amortecidoquando excitado por um degrau pode ser aproximado. (Assumindo que estamosnuma solucao em que ξ < 1)

ts = − ln(0.02)

ξwnR = 10 Ω C = 3.5mF L = 10H


3 SIMULACAO 35

ξ = R2

√C

L= 10

2

√3.5× 10−3

10' 0.0935414 s

wn =1

√LC

=1

√10× 3.5× 10−3

' 5.34522 s

ts = − ln(0.02)

0.0935414× 5.34522' 7.82406 s

Concluımos entao que apos ts a resposta recai sobre uma determinada bandalimitada por dois majorantes, podemos visualizar isto na figura 20.

Figura 24: Tempo de estabelecimento

A sobre-elevacao Mp e definida como a amplitude mınima que o sinal desaıda atinge. Apenas faz sentido calcular este valor para sistemas em regimesub amortecido, pois este converge para um valor mınimo.

A percentagem de sobre-elevacao X refere-se a quantidade de resposta queexcede o seu valor final e e funcao do factor de amortecimento.

Spercentage = 100 % e−

ξπ√1− ξ2 (23)


3 SIMULACAO 36

O valor obtido foi:

Spercentage = 75%

Na figura 21 e apresentada a sobre elevacao.

Figura 25: Sobre elevacao

Tambem podera ser util o perıodo das oscilacoes amortecidas. Definimosfrequencia (wa ou fa) e perıodo (Ta) das oscilacoes amortecidas, no caso deestes existirem e serem periodicos na regiao de amortecimento, a diferenca entredois maximos locais.

ta = t2 − t1 fa =1

Tawa = 2πfa

Com a ajuda dos vectores obtidos na simulacao, figura 23, podemos calcularesta diferenca facilmente.


3 SIMULACAO 37

Figura 26: Diferenca entre dois maximos

ta = 1.18 s

Na figura 22 esta representado o perıodo entre as oscilacoes amortecidas.


3 SIMULACAO 38

Figura 27: Perıodo das oscilacoes amortecidas

Sera tambem interessante apresentar um mapa da localizacao dos polos dosistema.

Localizacao dos polos :

Av(s) =

1

LC

s2 + s×R

L+

1

LC

=

1

10× 3.5mF

s2 + s+1

10× 3.5mF

O sistema nao possui zeros.

Equacao caracterıstica:

s2 + s+1

10× 3.5mF= 0 ⇐⇒ s2 + s+ 28.571428 = 0

⇒ s =− 1 ±

√1− 4× 28.571428

2

s1 = −0.5− j5.32179

s2 = −0.5 + j5.32179.


3 SIMULACAO 39

Figura 28: Pole map

Concluıda a analise da resposta ao degrau unitario, podemos retirar algumasconclusoes com os resultados obtidos.

Vemos que a velocidade de estabilizacao depende principalmente do polo queesteja mais proximo do eixo imaginario. Quanto menor for esta proximidademais demorada e a estabilizacao do sistema. Isto advem do facto de o tempo deestabelecimento ts, figura 20, depender essencialmente da parte real dos polos.

Para um sistema de segunda ordem segue entao, como podemos observarna figura 9 que o mais rapido a estabilizar sera o que esta a funcionar numregime criticamente amortecido. Existem varias aplicacoes onde esta rapida es-tabilizacao e crucial para o bom funcionamento desta.

3.4 Resposta Sinusoidal

Depois de analisado o comportamento do sistema para um degrau unitario noque toca a resposta transitoria, vamos agora ver o seu comportamento quandoa entrada e uma onda sinusoidal.

Nesta parte da experiencia decidimos utilizar valores dos parametros R, L eC que se reflectem num regime sobre amortecido.

Temos entao a entrada AV (s) uma sinusoide vi(t) = vi cos(wt + Φ) de am-plitude Vi constante.Vamos obter correspondentes os correspondentes sinais desaıda vo(t) = Vo cos(wt+ ξ).


3 SIMULACAO 40

Relembrando a funcao transferencia que determina o comportamento do cir-cuito:

Av(s) =

1

LC

s2 + s×R

L+

1

LC

(Sobre amortecido

Duas raızes reais negativas

)

Os valores considerados para os parametros:

R = 100, L = 2H, C = 5mF

Podemos entao reescrever:

Av(s) =

1

2.5× 10−3

s2 + s×100

2+

1

2.5× 10−3

=100

s2 + 50s+ 100

s2 + 50s+ 100 = 0 ⇐⇒ s1 = −47.913 ∨ s2 = −2.0871

Podemos ver estes polos representados na figura abaixo.

Figura 29: Pole Map


3 SIMULACAO 41

100

(s+ 47.913)(s+ 2.0871)=

A

s+ 47.913+

B

s+ 2.0871

Av(s) = 2.182

(1

s+ 2.0871− 1

s+ 47.913

)

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos o sistema no domıniodo tempo:

av(t) = L−1Av(s) = 2.182(e−2.0871 − e−47.913)

O proximo passo sera arbitrar valores para a frequencia w do sinal de en-trada vi.

Vamos assumir uma amplitude constante Vi = 1 V .

As frequencias escolhidas foram:

w(rad/s)0.30.51.22510102

103

No MATLAB fizemos variar a frequencia desta forma e as forma de onda ob-tidas podem ser visualizadas nas figuras 26 e 27, para baixas e altas frequencias.


3 SIMULACAO 42

Figura 30: Resposta para as baixas frequencias

Figura 31: resposta para as altas frequencias


3 SIMULACAO 43

Numa primeira analise destas figuras observamos que o sistema se comportacomo um filtro passa baixo, onde as altas frequencias, figura 27, sao fortementeatenuadas. Parece tambem que a diferenca de fase entre os sinais vai aumen-tando com a frequencia.

Sera entao importante tabelarmos alguns valores importantes. Para isso va-mos calcular numericamente a razao das amplitudes dos sinais, e a diferenca defase entre eles.

No que toca a calculos de fase, podemos arranjar as expressoes dos sinaisem ordem as componentes de fase, temos entao as seguintes expressoes:

vi(t) = vi cos(wt+ Φ)vo(t) = vo cos(wt+ θ)

vi(t) = vi cos(wt+ Φ) ⇐⇒ wt+ Φ = arccos(vi(t)vi

)⇐⇒ Φ = arccos

(vi(t)vi

)− wt

vo(t) = v0 cos(wt+ θ) ⇐⇒ wt+ θ = arccos(vo(t)vo

)⇐⇒ θ = arccos

(vo(t)vo

)− wt

(24)

A razao entre as amplitudes dos sinais foi gerada pelo MATLAB na simulacao,os valores estao representados na figura que se segue.

vo

vi=

max(vo − x)

vi20 log10

(vo

vi

)= 20 log10

(max(vo − x)

vi

)

Figura 32: Razao entre as amplitudes dos sinais

Podemos representar graficamente esta razao, figura 29, bem como esta razaoconvertida para dB.


3 SIMULACAO 44

Figura 33: Razao entre as amplitudes V0 e Vi

Podemos entao agrupar estes valores numa tabela, possibilitando assim umamelhor visualizacao dos mesmos.

w vo/vi 20log10(v0/vi) θ − Φ0.3 0.9126 -0.7944 -22.09440.5 0.8013 -1.9243 -34.43481.2 0.4873 -6.2444 -59.92682 0.3175 -9.9671 -71.67705 0.1326 -17.5462 -83.852410 0.0666 -23.5291 -89.8398102 0.0052 -45.7419 -123.1859103 0.0040 -47.9122 -171.8873

Observa-se que os valores vao de encontro aos graficos representados nasfiguras 26 e 27. A razao entre as amplitudes esta a diminuir com o aumentoda frequencia, o caracter passa baixo do circuito comeca a cortar quase porcompleto sinais com frequencia w > 10 rad/s.

Em relacao a fase adivinha-se uma representacao linear, variando entre 0ºe -180º. Para baixas frequencias a imposicao de diferenca de fase nao e muitosignificativa mas para altas frequencias nota-se claramente uma tendencia paraprovocar uma oposicao de fase dos sinais.


3 SIMULACAO 45

Com o objectivo de comprovar estes resultados, e com a ajuda do MATLABvamos representar os diagramas de bode exactos, para a amplitude e para afase, de forma a perceber se os resultados obtidos fazem sentido. Podemos veresta representacao na figura 30.

Figura 34: Diagrama de Bode

Comprovamos realmente que o circuito se comporta como um filtro passabaixo, que atenua as altas frequencias, o que vai de acordo com os valores queobtivemos. Reparamos tambem uma resposta de fase linear entre 0º e -180º.

Podemos tambem calcular numericamente os diagramas de bode assintoticos,para comparacao e ate para ter uma ideia do quanto estes fogem da realidade.Comecemos entao por desenvolver a funcao transferencia de forma a podermosrepresentar as suas componentes de modulo e de fase.

Av(s) =100

s2 + 50s+ 100= 2.182

(1

s+ 2.0871− 1

s+ 47.913

)

1

s+ 2.0871⇒ I

1

s+ 47.913⇒ II


3 SIMULACAO 46

|Av(s)|dB = 20 log10

∣∣∣∣∣ 100

s2 + 50s+ 100

∣∣∣∣∣ = 20 log10

∣∣∣∣ 100

(s+ 2.0871)(s+ 47.913)

∣∣∣∣= 20 log10 |100| − 20 log10 |s+ 2.0871| − 20 log10 |s+ 47.913|

I: − 20 log10 |s+ 2.0871|

w → 0 |G1(jw)| = − 20 log10(2.0871)2 = − 40 log10(2.0871) = 12.781

∠ G1(jw) = arctan(0) = 0

w → ∞ |G2(jw)| = − 20 log10(w2) = − 40 log10(40)

∠ G2(jw) = arctan(∞) = 90

− 40 log10(2.0871) = − 40 log10(wc) ⇐⇒ wc = 2.0781 rad/s

II: − 20 log10 |s+ 47.913| = − 20 log10 |jw + 47.913|

w → 0 |G2(jw)| = − 20 log10(47.913)2 = − 40 log10(47.913) = −67.2181 dB

∠ G2(jw) = arctan(0) = 0

w → ∞ |G2(jw)| = − 20 log10(w2) = − 40 log10(40)

∠ G2(jw) = arctan(∞) = 90

− 40 log10(47.913) = − 40 log10(wc) ⇐⇒ wc2 = 2.0781 rad/s


3 SIMULACAO 47

|G(jw)|dB = 20 log10 |100| − 20 log10 |jw + 2.0871| − 20 log10 |jw + 47.913|

20 log10(100) = 40 dB

Temos entao o respectivo diagrama de bode assintotico para a magnitude:

Figura 35: Diagrama de bode, magnitude

Relativamente a fase, temos entao a contribuicao de todos os elementoselementares:

∠ G(jw) = ∠ (100) − ∠ (jw + 2.0871) − ∠ (jw + 47.913)

Figura 36: Diagrama de bode, fase

Podemos ver realmente alguma semelhanca entre as figuras 32/31 e 30/29.Observa-se que para o caso assintotico os valores nao sao exactamente correctos,no entanto sao bem visıveis as caracterısticas do sistema, comportando-se comoum filtro passa baixo e, portanto, para uma rapida analise, os diagramas de


3 SIMULACAO 48

bode assintoticos sao uma optima ferramenta de analise na frequencia de umsistema.

Em relacao a resposta sinusoidal do circuito, concluımos que o comporta-mento do circuito se aproxima de um filtro passa baixo. Nota-se tambem umadecencia entre o amortecimento exponencial e a resistencia presente no circuito.

3.5 Componentes de modulo e fase

Podemos codificar os resultados obtidos em (5) e (6) no MATLAB de formaa comprovar uma vez mais os resultados obtidos no ponto anterior.

Relembrando as expressoes:

Fv(w) = − arctan

w

R

L1

LC− w2

|Mv(jw)| =

1

LC√(

1

LC− w2)2 + (w

R

L)2

Sera util converter a expressao do modulo para dB:

|Mv(jw)|dB = 20 log10

1

LC√(

1

LC− w2)2 + (w

R

L)2

(25)

No MATLAB gerou-se um vector para a frequencia de modo a podermosrepresentar graficamente estas duas expressoes. Apresentamos os resultados embaixo na figura 33.


3 SIMULACAO 49

Figura 37: Componentes de modulo e fase

Comparando estas respostas na frequencia em termos de modulo e de fasecom os diagramas de bode da figura 30, comprovamos entao as expressoes quederivamos na preparacao teorica.

Novamente vemos semelhancas com os diagramas de bode assintoticos obti-dos anteriormente, o que solidifica a veracidade dos resultados obtidos.


4 BIBLIOGRAFIA 50

4 Bibliografia

Modern Control SystemsRichard C. Ddorf, Sixth Edition

Linear Control Systems Analysis and Design with MATLABJohn J. D’Azzo, Fifth Edition

Modern Control EngineeringKatsuhiko Ogata, Fourth Edition


Análise de um circuito RLC

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