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Analise em subvariedades- uma introducao

Versao original:

Helga Baum,

Humboldt-Universitat zu

Berlin

Traducao e edicao:

Martin Weilandt, UFSC

Revisao:

Ivan Pontual Costa e Silva,

UFSC

Ultima atualizacao: 10 de junho de 2014

c©Helga BaumEsta obra foi licenciada sob uma Licenca

Creative Commons Atribuicao-NaoComercial-SemDerivados (BY-NC-ND) 3.0 Nao Adaptada.

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.pt_BR

Prefacio do tradutor

Este texto e uma traducao do capıtulo 10 da apostila

“Differential- und Integralrechnung auf Untermannigfaltigkeiten des RN” de Helga Baum.

So foram corrigidos/esclarecidos alguns pequenos problemas e feitas maiores edicoes na

parte da integracao (Cap. 10 e 11) onde usamos a integral de Riemann (em vez da integral

de Lebesgue). Agradeco a autora a permissao de criar esta traducao e fornece-la aos alunos

da UFSC.

Esta apostila cobra todo o conteudo das secoes 2 e 3 (com excecao da parte 2.2) da materia

Calculo Avancado (MTM410018).

Martin Weilandt, 11 de maio de 2014

2

http://www.math.hu-berlin.de/~baum/Skript/UMF-2012.pdf

http://www.math.hu-berlin.de/~baum

http://mtm.ufsc.br/~martin

Sumario

0 Introducao 5

1 Subvariedades do RN 7

1.1 Subvariedades sem bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Subvariedades com bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Espacos tangentes e normais em subvariedades 17

3 Aplicacoes diferenciaveis e suas derivadas 20

4 Bases canonicas e suas bases duais 23

5 Campos vetoriais em subvariedades 27

6 Subvariedades orientaveis e nao-orientaveis 31

7 A metrica Riemanniana induzida numa subvariedade 34

8 Gradiente, divergencia e Laplaciano em subvariedades 36

9 Formas diferenciais em subvariedades 43

9.1 Preliminares algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9.2 Teorema de localizacao para formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9.3 Calculo com formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9.4 Formas diferenciais fechadas e exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.5 A forma de volume duma subvariedade orientada . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10 Integracao de formas ao longo de subvariedades orientadas 62

10.1 Integrais multiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.2 A integral de formas no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.3 A integral ao longo de subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.4 Propriedades e calculo da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.5 A integral de superfıcie e o volume de subvariedades . . . . . . . . . . . . . . 68

11 O teorema de Stokes 70

11.1 O teorema de Stokes para formas diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.2 Mais teoremas integrais em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.3 Teoremas integrais classicos no R2 e R

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

11.4 Duas outras aplicacoes tıpicas do teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . 77

3

12 Possıveis questoes numa prova final 80

13 Exercıcios 82

Referencias Bibliograficas 89

4

Capıtulo 0

Introducao

Ate agora aprendemos como derivar e integrar aplicacoes definidas em subconjuntos abertos

do Rn. Para muitas areas da matematica e muitas aplicacoes, por exemplo na fısica

matematica, isso nao e suficiente. Modelos matematicos frequentemente contem conjuntos

que nao podem ser descritos globalmente por n coordenadas reais, mas somente localmente

(quer dizer, perto de cada ponto). Tais conjuntos chamam-se espacos localmente euclideanos

ou variedades se tiverem “boas” propriedades adicionais em relacao as mudancas de um

sistema de coordenadas para outro. Exemplos de tais objetos sao superfıcies dadas pelo

grafico duma funcao ou a superfıcie dum corpo de rotacao.

Nesta apostila queremos explicar a diferenciacao de integracao em tais variedades. O alvo

essencial e a demonstracao do Teorema de Stokes para formas diferenciais, que estabelece

uma conexao entre integrais ao longo dum conjunto M e integrais ao longo do bordo de M

(como ela aparece em alguns casos especiais, por exemplo na analise complexa). O Teorema

de Stokes tem varias aplicacoes em geometria, analise e fısica matematica que sao tratadas

em aulas mais avancadas.

Neste curso tratamos somente do caso onde a variedade e dada como subconjunto dum

espaco real RN . Neste caso falamos das chamadas subvariedades do RN . Esta restricao nao

e necessaria, mas tem a vantagem que conceitos e objetos podem ser visualizados bem, pelo

menos para o caso de superfıcies no R3. Aqui vamos introduzir todos os conceitos numa

forma que (usando uma definicao adequada do espaco tangente) pode ser generalizada

literalmente ao caso de variedades abstratas.

Primeiro lembremos alguns conceitos da diferenciacao de aplicacoes de varias variaveis.

Seja F : U ⊂ Rn −→ R

m uma aplicacao diferenciavel dum subconjunto aberto de Rn em

Rm. A derivada DFx : Rn −→ R

m desta aplicacao no ponto x ∈ U e uma transformacao

linear, cujo valor num vetor a ∈ Rn e dado pela derivada de F ao longo da reta por x na

direcao a:

DFx(a) =d

dt

(F (x+ ta)

)∣∣∣t=0

, a ∈ Rn.

Aplicando a derivada DFx ao i-esimo vetor canonico ei no Rn (ei possui i-esima componente

igual a 1, todas as outras componentes sao zero), obtemos a derivada parcial de F na i-esima

coordenada∂F

∂xi(x) = DFx(ei).

Nesta apostila vamos identificar todas as transformacoes lineares com as matrizes corres-

5

pondentes em relacao as bases canonicas. Em outras palavras, identificamos a derivada DFx

da aplicacao F = (F1, . . . , Fm) no ponto x ∈ U com a matriz Jacobiana de F no ponto x:

DFx ≡

∂F1

∂x1(x) · · · ∂F1

∂xn(x)

... · · ·...

∂Fm

∂x1(x) · · · ∂Fm

∂xn(x)

.

Se todas as derivadas parciais

∂kF

∂xi1 . . . ∂xik: U ⊂ R

n −→ Rm

da ordem k existem e sao contınuas em U , entao F e chamada k vezes continuamente

derivavel ou de classe Ck. O conjunto dessas aplicacoes Ck e denotado por Ck(U,Rm). Se

F e uma aplicacao Ck para todo k ≥ 1, entao F chama-se uma aplicacao suave ou de classe

C∞.

Uma aplicacao F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R

n e chamada de difeomorfismo de classe Ck de U em

V se F : U −→ V for bijetora e F e F−1 forem k vezes continuamente diferenciaveis.

Se F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R

n for um difeomorfismo e x ∈ U , entao a derivada DFx :

Rn −→ R

n e um isomorfismo. Por outro lado, vale o Teorema da Funcao Inversa: se

F : U ⊂ Rn −→ V ⊂ R

n for uma aplicacao Ck (1 ≤ k ≤ ∞), x ∈ U e a derivada

DFx : Rn −→ Rn for um isomorfismo, entao F e um difeomorfismo local em torno de x,

isto , existem uma vizinhanca aberta W ⊂ U de x e uma vizinhanca aberta W ⊂ V de F (x)

tal que F |W :W −→ W e um difeomorfismo Ck.

6

Capıtulo 1

Subvariedades do RN

Primeiro definamos os objetos principais desta apostila: as subvariedades.

1.1 Subvariedades sem bordo

Definicao. Um subconjunto M ⊂ RN e chamado de subvariedade n–dimensional do R

N se

em torno de cada ponto x ∈ M existirem uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN e um difeomor-

fismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ de U∗ num subconjunto aberto V ∗ ⊂ RN tal que

ϕ∗(U∗ ∩M) = y ∈ V ∗ | yn+1 = . . . = yN = 0 = V ∗ ∩ (Rn × o) .

(o denota o vetor nulo no espaco RN−n.)

........

........

..................................................................

.........................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

...............................................

.................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

........

...............................................

.................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

q ϕ∗q

V ∗ ⊂ R2S1 =M ⊂ R

N=2

x

U∗(x)

Observacao: Se todos os difeomorfismos ϕ∗ da definicao de subvariedade sao de classe Ck,

1 ≤ k ≤ ∞, entao a subvariedade e chamada “de classe Ck”. Neste curso (normalmente)

consideramos o caso que os difeomorfismos ϕ∗ sao de classe C∞ e omitimos a classe.

O difeomorfismo ϕ∗ pode ser imaginado como forma de “aplanar” a “parte curvada”M ∩U∗

de U∗ (veja imagem).

Vamos identificar o subespaco Rn×o ⊂ R

N = Rn×R

N−n com o Rn. Todos os subespacos

de espacos reais sao munidos com a topologia induzida pela metrica euclideana. Se ϕ∗ :

U∗ −→ V ∗ e um difeomorfismo como na definicao duma subvariedade, entao

1. U := U∗ ∩M e um subconjunto aberto de M em relacao a topologia induzida em M ,

2. V := V ∗ ∩ (Rn × o) ⊂ Rn e aberto no R

n,

3. ϕ := ϕ∗|U : U −→ V e um homeomorfismo entre U e V .

7

Atraves de ϕ associamos a cada ponto de U ⊂ M uma unica n–upla de coordenadas reais.

Observamos que nao e difıcil ver que a dimensao duma subvariedade e bem-definida. Em

outras palavras, se M e uma subvariedade m-dimensional e n-dimensional, entao m = n.

Definicao. Seja ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ um difeomorfismo como na definicao duma subvariedade.

Entao (U := U∗ ∩M,ϕ := ϕ∗|U ) e chamado de carta de M em torno de x ∈ M . Uma

cobertura de M por cartas (que por definicao e uma famılia A = (Uα, ϕα)α∈Λ, onde

(Uα, ϕα) sao cartas e M =⋃α∈Λ

Uα) e chamada atlas de M .

Teorema 1.1 Sejam (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2) duas cartas da subvariedade Mn ⊂ RN em torno

do ponto x ∈M . Entao ϕ2 ϕ−11 : ϕ1(U1∩U2) ⊂ R

n −→ ϕ2(U1∩U2) ⊂ Rn e uma aplicacao

suave entre subconjuntos abertos de Rn.

Demonstracao: Por definicao temos U1 = U∗1 ∩M , U2 = U∗

2 ∩M , ϕ1 = ϕ∗1|U1

e ϕ2 = ϕ∗2|U2

,

onde ϕ∗1 : U∗

1 −→ V ∗1 e ϕ∗

2 : U∗2 −→ V ∗

2 sao difeomorfismos entre subconjuntos abertos de

RN . A aplicacao ϕ2 ϕ−1

1 e a restricao do difeomorfismo

ϕ∗2 ϕ∗−1

1 : ϕ∗1(U

∗1 ∩ U∗

2 ) −→ ϕ∗2(U

∗1 ∩ U∗

2 )

ao subespaco Rn do R

N e, portanto, um difeomorfismo tambem.

A aplicacao ϕ2 ϕ−11 e chamada de transformacao de coordenadas ou mudanca de cartas

entre as cartas (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2).

Obviamente, cada subconjunto aberto U ⊂ RN e uma subvariedade de dimensao N do

RN . Como atlas podemos escolher o que consiste somente na carta dada pelas coordenadas

euclideanas: A = (U,ϕ(x) = (x1, . . . , xN ).Para decidir se um subconjunto M ⊂ R

N e uma subvariedade, temos de dar um atlas para

este subconjunto. Normalmente um tal atlas consiste de varias cartas. Em muitos casos,

ha ainda outras possibilidades de verificar, que um conjunto M e uma subvariedade. Agora

queremos conhecer um criterio que possamos usar para decidir se subconjuntos de RN dados

por equacoes sao subvariedades.

Teorema 1.2 (Caracterizacao de subvariedades por equacoes) Seja W ⊂ RN um

subconjunto aberto, n ≤ N e F : W ⊂ RN −→ R

N−n uma funcao suave. Denotamos

por M := x ∈ W |F (x) = o o conjunto das raızes da funcao F . Entao, se o posto da

matriz Jacobiana DFx de F e maximo (= N − n) em cada ponto x ∈ M , temos que o

conjunto M ⊂ RN e uma subvariedade de R

N de dimensao n.

Demonstracao: Primeiro simplifiquemos a aplicacao F por uma transformacao de coorde-

nadas em RN . Vamos mostrar que em torno de cada ponto y ∈M existem uma vizinhanca

aberta U∗ ⊂ RN e um difeomorfismo ϕ∗ : U∗ → V ∗ num conjunto aberto V ∗ ⊂ R

N tais que

(i) ϕ∗(y) = 0 e

(ii) F((ϕ∗)−1(x1, . . . , xN )

)= (xn+1, . . . , xN ) .

Para isso, observemos que o posto da matriz Jacobiana DFy de F no ponto y e, por hipotese,

N−n. Portanto, podemos (eventualmente depois duma permutacao das coordenadas no RN )

supor que as ultimas N − n colunas de DFy sejam linearmente independentes. Denotemos

8

estas ultimas colunas por By, isto

By :=

∂F1

∂xn+1(y) · · · ∂F1

∂xN(y)

... · · ·...

∂FN−n

∂xn+1(y) · · · ∂FN−n

∂xN(y)

.

Seja G a aplicacao suave dada por

G :W ⊂ Rn × R

N−n −→ Rn × R

N−n

x = (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , xN ) 7→ (x1 − y1, . . . , xn − yn, F1(x), . . . , FN−n(x)).

Entao G(y) = 0 e o calculo do determinante de Jacobi nos da

det(DGy) = det

(In 0

∗ By

)= detBy.

Como as ultimas N − n colunas de DFx sao linearmente independentes, temos que By e

inversıvel, logo det(DGy) = detBy 6= 0. Portanto podemos aplicar o Teorema da Funcao

Inversa que garante a existencia de uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN de y e uma vizinhanca

aberta V ∗ ⊂ RN de 0 tais que ϕ∗ := G|U∗ : U∗ −→ V ∗ e um difeomorfismo. Isso implica

(1.1), pois ϕ∗(y) = G(y) = 0 . Pela definicao de G, temos

G((ϕ∗)−1(x)

)=

=((ϕ∗)−1(x)1 − y1 , . . . , (ϕ

∗)−1(x)n − yn , F1((ϕ∗)−1(x)), . . . , FN−n((ϕ

∗)−1(x))). (+)

Alem disso, vale G|U∗ = ϕ∗ e, portanto, G((ϕ∗)−1(x)

)= x para todo x ∈ V ∗. Substituindo

isso em (+), obtemos F((ϕ∗)−1(x1, . . . , xN )

)= (xn+1, . . . , xN ) , o que implica (1.1).

Agora, mostremos que o difeomorfismo ϕ∗ : U∗ → V ∗ define uma carta em torno de y ∈ U∗.

Por construcao de ϕ∗, temos que

ϕ∗(U∗ ∩M) = ϕ∗(U∗ ∩ w ∈W |F (w) = o) = ϕ∗(U∗) ∩ v ∈ V ∗ |F ((ϕ∗)−1(v)) = o= V ∗ ∩ vn+1 = . . . = vN = 0 = V ∗ ∩ Rn × o.

Portanto, (U,ϕ) := (U∗ ∩M,ϕ∗|U∗∩M ) e uma carta em torno de y ∈M .

Exemplos de subvariedades definidas por equacoes

Exemplo 1: A Esfera

Consideremos a esfera de raio r no Rn+1

Snr := x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = r.

Snr e uma subvariedade do Rn+1 de dimensao n. Para mostrar isso, consideramos a aplicacao

suave

F : Rn+1 −→ R

x 7→ ‖x‖2 − r2.

Obviamente temos Snr = F−1(0). Para a matriz Jacobiana de F em x vale

DFx = (2x1, . . . , 2xn+1) = 2x . Para x ∈ Snr temos posto(DFx) = 1 . Portanto, Teorema

1.2 implica que Snr e uma subvariedade do Rn+1 de dimensao n.

9

Exemplo 2: O grafico duma funcao

Seja U ⊂ Rn um subconjunto aberto e f : U −→ R

m uma funcao suave. Agora consideremos

o grafico de f :

M := graph(f) = (x, y) ∈ Rn+m | y = f(x) ⊂ R

n+m.

M pode ser escrito como o conjunto das raızes da seguinte funcao F :

F : U × Rm ⊂ R

n+m −→ Rm

(x, y) 7→ f(x)− y,

Obviamente M = F−1(o) e a matriz Jacobiana e dada por

DF(x,y) =

⋆

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1. . .

−1

,

(com n+m colunas e m linhas). Como posto(DF(x,y)) = m , temos que M e uma subvarie-

dade do Rn+m de dimensao n.

Exemplo 3: O toro de revolucao

Consideramos o toro de revolucao no R3.

Este e o conjunto T 2 definido da seguinte maneira:

Seja dada uma circunferencia no plano

(x, z) com centro (r1, 0) e raio r2, onde

0 < r2 < r1. Seja T 2 o conjunto dos

pontos no R3, que obtemos girando esta

circunferencia em torno do eixo z.

T 2 e chamado de toro de revolucao.

Mostremos que

............................................u

........

........................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................r

r2

r1 x

z

y

..............................................

..................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................

............................................................................................................................................................................................................................................

.............................

.............................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................

.............................................................................

...........................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................

T 2 = (

(r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu)| u, v ∈ R

.

A circunferencia no plano (x, z) e parametrizada por γ(u) := (r1+r2 cosu, r2 senu). Girando

em torno do eixo z, a coordenada z fica fixa. Pontos diferentes de (0, 0) no plano (x, y) sao

escritos usando coordenadas polares na forma peiv = p(cos v + i sen v) = (p cos v, p sen v),

onde p ∈ R+ e a distancia de (0, 0) e v e o angulo ao eixo x. Portanto, para as coordenadas

dum ponto do toro de revolucao, vale

x = (r1 + r2 cosu) cos v, y = (r1 + r2 cosu) sen v, e z = r2 senu. (∗)

Agora mostremos que T 2 e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (∗) implica x2 + y2 =

(r1 + r2 cosu)2 e, portanto,

(√x2 + y2 − r1

)2= r22 cos

2 u = r22(1− sen2 u) = r22 − z2.

Reciprocamente, se (x, y, z) ∈ R3 satisfazem (

√x2 + y2 − r1)

2 = r22 − z2, entao existem

u, v ∈ R tais que vale (∗). Concluımos entao que

T 2 = (x, y, z) ∈ R3 | (√x2 + y2 − r1)

2 + z2 − r22 = 0.

10

Se agora definimos a funcao F por

F : (x, y, z) ∈ R3 | (x, y) 6= (0, 0) −→ R

(x, y, z) 7→ (√x2 + y2 − r1)

2 + z2 − r22,

entao T 2 = F−1(0). Alem disso,

DF (x,y,z) =

(2(√x2 + y2 − r1) · x√

x2 + y2,2(√x2 + y2 − r1) · y√

x2 + y2, 2z

)

e DF (x,y,z) 6= (0, 0, 0) para todo (x, y, z) ∈ T 2. Pelo Teorema 1.2, temos que T 2 e uma

subvariedade do R3 de dimensao 2.

No Exemplo 3 descrevemos o toro de revolucao T 2 usando dois parametros u e v. Agora,

consideramos conjuntos no RN que sao descritos por n parametros e analisamos sob quais

condicoes sobre a parametrizacao tais conjuntos sao subvariedades. Isso nos da um outro

criterio para decidir se certos conjuntos sao subvariedades.

Definicao. Seja M um subconjunto do RN . Uma parametrizacao local de M em torno do

ponto x ∈ M por n parametros e uma aplicacao suave injetora Φ : W ⊂ Rn −→ R

N dum

subconjunto aberto W do Rn no R

N com as seguinte propriedades:

1. x ∈ Φ(W ) ⊂M .

2. Φ(W ) e aberto M em relacao a topologia induzida em M (isto e, Φ(W ) = U∗ ∩M,

com U∗ ⊂ RN aberto).

3. Φ :W −→ Φ(W ) e um homeomorfismo.

4. A matriz Jacobiana DΦw tem posto n para todo w ∈W .

Exemplos:

1. Se h : U −→ V e uma carta duma subvariedade M em torno de x ∈M , entao

Φ := h−1 : V ⊂ Rn −→M ⊂ R

N

e uma parametrizacao local de M em torno de x.

2. Seja W = (u0 − π, u0 + π)× (v0 − π, v0 + π) ⊂ R2 e Φ :W −→ R

3 a aplicacao dada

por

Φ(u, v) := ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu) , (u, v) ∈W.

Entao Φ e uma parametrizacao local de T 2 em torno do ponto Φ(u0, v0).

Teorema 1.3 (Caracterizacao de subvariedades por parametrizacoes locais)

Seja M ⊂ RN . Suponhamos que em torno de cada ponto x ∈M exista uma parametrizacao

local de M por n parametros. Entao M e uma subvariedade n–dimensional do RN .

Demonstracao: Seja x ∈ M e seja Φ : W ⊂ Rn −→ R

N uma parametrizacao local em

torno de x. Querıamos usar Φ para construir uma carta em torno de x. Para o posto da

matriz Jacobiana de Φ, temos posto(DΦw) = n em todo ponto w ∈ W . Sem perda de

11

generalidade, podemos supor que as primeiras n linhas desta matriz sejam linearmente in-

dependentes. (Podemos obter isso permutando as coordenadas e eventualmente diminuindo

W ). Portanto,

det

∂Φ1

∂x1(w) · · · ∂Φ1

∂xn(w)

.... . .

...∂Φn

∂x1(w) · · · ∂Φn

∂xn(w)

6= 0. (∗)

Agora, consideremos a aplicacao

G :W × RN−n ⊂ R

N −→ RN

(a, b) 7→ Φ(a) + (o, b) = (Φ1(a), . . . ,Φn(a),Φn+1(a) + b1, . . . ,ΦN (a) + bN−n).

Entao temos que

detDG(a,b) = det

∂Φ1

∂x1(a) · · · ∂Φ1

∂xn(a)

.... . .

...∂Φn

∂x1(a) · · · ∂Φn

∂xn(a)

0

⋆ IN−n

.

Por (∗), obtemos detDG(a,b) 6= 0 para todo (a, b) ∈ W × RN−n. Agora, seja w0 ∈ W a

pre-imagem de x: Φ(w0) = x . Entao G(w0, o) = x . Pelo teorema da aplicacao inversa,

existem uma vizinhanca aberta V1 ⊂ RN de (w0, o) e uma vizinhanca aberta V2 ⊂ R

N

de x, tais que G|V1: V1 −→ V2 e um difeomorfismo. Pela definicao da parametrizacao,

a aplicacao Φ−1 : Φ(W ) −→ W e contınua e bijetora. Portanto, imagens de conjuntos

abertos sob Φ :W −→ Φ(W ) sao abertos. Em particular, o conjunto Φ(a) | (a, o) ∈ V1 =

Φ(V1 ∩ (W × o)) tem de ser aberto em Φ(W ) que, por sua parte, e aberto em M . Logo

existe um conjunto aberto O ⊂ RN tal que Φ(a) | (a, o) ∈ V1 = O ∩M . Agora, definimos

V ∗2 := V2 ∩ O e V ∗

1 := G−1(V ∗2 ) e denotamos a restricao G−1|V ∗

2: V ∗

2 −→ V ∗1 por ϕ∗.

Afirmamos que ϕ∗ define uma carta da subvariedade em torno de x ∈ M . Obviamente, ϕ∗

e um difeomorfismo e vale

V ∗2 ∩M =M ∩V2∩O = Φ(a) | (a, o) ∈ V ∗

1 = G(a, o) | (a, o) ∈ V ∗1 = G(V ∗

1 ∩ (Rn×o)),

pela definicao de G. Portanto, ϕ∗(V ∗2 ∩M) = V ∗

1 ∩ (Rn × o).

Motivados pela demonstracao do teorema acima, vamos usar a palavra carta tambem para

qualquer aplicacao inversa de parametrizacoes (sem a exigencia de ser restricao dum φ∗).

Assim obtemos uma nocao um pouco mais geral que em algumas situacoes pode ser mais

pratica que nossa definicao original.

Exemplo: A catenoide

A catenoide e a superfıcie que obtemos se giramos a catenaria pelo eixo z. Ela e descrita

por

M2 := Φ(u, v) = (coshu cos v, coshu sen v, u) | (u, v) ∈ R2

A catenoide M2 e uma subvariedade 2–dimensional do R3, pois

Φ : (u, v) ∈ (u0 − π, u0 + π)× R −→ Φ(u, v) ∈M

e uma parametrizacao local em torno do ponto Φ(u0, v0) ∈ M para todo (u0, v0) ∈ R2

(Exercıcio 3).

12

Figura 1.1: A catenoide

Exemplo: A helicoide

A helicoide e o conjunto

F 2 = Φ(u, v) := (v cosu, v senu, u) | v, u ∈ R, v > 0 .

A helicoide F 2 e uma subvariedade 2–dimensional do R3, pois, para todo (u0, v0) ∈ R

2,

Φ : (u, v) ∈ (u0 − π, u0 + π)× R −→ Φ(u, v) ∈ F

e uma parametrizacao local em torno do ponto Φ(u0, v0) ∈ F .

13

−2

−1

0

1

2 −2−1.5

−1−0.5

00.5

11.5

2

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 1.2: Intersecao da helicoide com um plano pelo eixo z

Nos exercıcios tratamos outros exemplos de subconjuntos que sao ou nao sao subvariedades

(veja Exercıcios 1 ate 5 no Capıtulo 13).

1.2 Subvariedades com bordo

Ate agora tratamos somente subvariedades que nao possuem “bordo”. Alguns conjuntos

simples, como o disco fechado no R2, nao sao inclusos nesta definicao. Agora estendemos

o conceito duma subvariedade e tambem permitimos subvariedades com bordo como, por

exemplo, o disco fechado.

Definicao. Rn+ := (x1, . . . , xn) ∈ R

n |xn ≥ 0 e o semi-espaco.

∂Rn+ := x ∈ Rn+ |xn = 0 ≃ R

n−1 e o bordo do semi-espaco.

Definicao.∗ Um subconjunto M ⊂ RN e chamado de subvariedade n-dimensional com

bordo se em torno de cada ponto x ∈ M existem uma vizinhanca aberta U∗ ⊂ RN e um

difeomorfismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ de U∗ num conjunto aberto V ∗ ⊂ RN tais que uma das

seguintes condicoes e satisfeita:

1. ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn × 0), ou

2. ϕ∗(U∗∩M) = V ∗∩(Rn+×0) e para a n-esima coordenada de ϕ∗(x) vale ϕ∗n(x) = 0.

Neste caso tambem chamamos o par (U := U∗ ∩M,ϕ := ϕ∗|U∗) uma carta em torno de

x ∈M .

Visualizamos os dois casos no exemplo do disco no R2 (onde temos N = n = 2 e visualizamos

uma carta do tipo 1 e uma do tipo 2, ambas denotadas por ϕ).

Exemplo:

14

........

........

........

...................................................................................................

..........................

.....................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

........

...............................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........

...............................................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................q

xU∗(x)

(1)(2)

........

........

...............................................

.................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ϕ∗....................

...............................................................................................................

ϕ∗

........

........................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

V ∗

x1

x2

q

x1

x2

q

ϕ∗(x)

q

V ∗ ⊂ R2

M := x ∈ R2 | ‖x‖2 ≤ 1

x

U∗(x)

No “interior” do disco existe uma carta do tipo (1), para o “bordo” uma carta do tipo (2).

Agora mostramos que cada ponto duma subvariedade possui ou somente cartas do tipo (1)

ou somente cartas do tipo (2).

Teorema 1.4 Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional com bordo e x ∈ Mn.

Entao os difeomorfismos ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ que definem uma carta em torno de x ou todos

satisfazem a condicao 1 ou todos satisfazem a condicao 2 da definicao ∗ acima.

Demonstracao: Usamos um argumento indireto e supomos que existam um difeomorfismo

ϕ∗1 : U∗

1 −→ V ∗1 tal que x ∈ U∗

1 e ϕ∗1(U

∗1 ∩M) = V ∗

1 ∩ (Rn × 0) e um difeomorfismo

ϕ∗2 : U∗

2 −→ V ∗2 tal que x ∈ U∗

2 , ϕ∗2(U

∗2 ∩M) = V ∗

2 ∩ (Rn+ ×0) e (ϕ2)∗n(x) = 0. Definimos

O := U∗2 ∩ U∗

1 . Entao ϕ∗1(O ∩M) ⊂ R

n e aberto e

ϕ∗2 (ϕ∗

1)−1 : ϕ∗

1(O ∩M) −→ ϕ∗2(O ∩M) ⊂ R

n+ ⊂ R

n

e um difeomorfismo satisfazendo ϕ∗2 (ϕ∗

1)−1(ϕ∗

1(x)) = ϕ∗2(x) . Em particular, o con-

junto ϕ∗2(O ∩ M) e aberto no R

n. Porem, vale ϕ∗2(O ∩ M) ⊂ R

n+ e ϕ∗

2(x) ∈∂Rn+ e, portanto, ϕ∗

2(O ∩ M) nao pode ser aberto no Rn. Isto e uma contradicao.

Teorema 1.4 permite a seguinte definicao:

Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional. O conjunto

∂M := x ∈M | Existe uma carta em torno de x satisfazendo cond. 2 da Def. ∗ e o bordo de M . O conjunto

Int(M) := x ∈M | Existe uma carta em torno de x satisfazendo cond. 1 da Def. ∗ e o interior de M .

Observamos que uma subvariedade e a uniao disjunta do interior e do bordo:

M = Int(M) ∪ ∂M .

Teorema 1.5 Seja M ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional com bordo. Entao Int(M) e

uma subvariedade n–dimensional sem bordo e ∂M e ou vazio ou uma subvariedade (n− 1)–

dimensional sem bordo.

Demonstracao: Por definicao, temos que Int(M) e uma n-subvariedade sem bordo. Su-

pomos ∂M 6= ∅ e seja x ∈ ∂M . Entao existe um difeomorfismo ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ tal que

x ∈ U∗ e ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn+ ×0). Se y ∈ U∗ ∩ ∂M , entao ϕ∗n(y) = 0: Se tivessemos

ϕ∗n(y) > 0, uma restricao adequada do difeomorfismo ϕ∗ daria uma carta do tipo (1) em

torno de y, em contradicao ao Teorema 1.4. Entao obtemos

ϕ∗(U∗ ∩ ∂M) = V ∗ ∩ (Rn−1 × o).

15

Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e a carta em torno de x∂M ⊂M definida por ϕ∗, entao (U∩∂M,ϕ =

(x1, . . . , xn−1)) e uma carta de ∂M em torno de x.

16

Capıtulo 2

Espacos tangentes e normais em

subvariedades

Para uma aplicacao diferenciavel F : Rn −→ R

m , a derivada no ponto x ∈ Rn e uma

transformacao linear DFx : Rn −→ Rm . O valor da transformacao DFx no vetor a ∈ R

n

e obtido pela derivada direcional de F na direcao a que e a derivada de F ao longo da reta

por x na direcao a:

DFx(a) =d

dt

(F (x+ ta)

)|t=0

O domınio Rn da derivada DFx pode ser identificado com o conjunto de todos os vetores

que sao tangentes a alguma reta por x (isto e, uma curva da forma γ(t) = x+ ta ).

Nos seguintes dois capıtulos queremos generalizar esta ideia a aplicacoes diferenciaveis F :

M −→ N entre subvariedades (com bordo). Primeiro definimos e analisamos os espacos

vetoriais que vao servir como domınio da derivada de F , os chamados espacos tangentes.

Agora, no caso duma subvariedade M nao vamos considerar as retas por x, mas as curvas

suaves γ : I −→ RN por x cujas imagens sao contidas em M .

A partir de agora, seja Mn ⊂ RN uma n-subvariedade com ou sem bordo.

Definicao. Seja x ∈M . O conjunto dos vetores

TxM :=v ∈ R

N∣∣∣ ∃ curva suave γ : I −→M tal que γ(0) = x , γ′(0) = v,

onde I = (−ε, ε), [0, ε) ou (−ε, 0]

e chamado de espaco tangente de M no ponto x. Os elementos de TxM sao chamados de

vetores tangentes a M no ponto x.

Teorema 2.1 O espaco tangente TxM duma n-subvariedade Mn ⊂ RN no ponto x ∈ M e

um subespaco do RN de dimensao n.

Demonstracao: Seja ϕ∗ : U∗ −→ V ∗ um difeomorfismo definindo uma carta em torno de

x ∈M . Entao, por definicao, temos ou ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn × o) (se x ∈ Int(M)) ou

ϕ∗(U∗ ∩M) = V ∗ ∩ (Rn+ × o) e ϕ∗n(x) = 0 (se x ∈ ∂M). Como ϕ∗ e um difeomorfismo

entre subconjuntos abertos do RN , a derivada Dϕ∗

x : RN −→ RN e um isomorfismo. Vamos

mostrar a seguinte afirmacao (∗) que imediatamente implica o Teorema 2.1:

(Dϕ∗x)

−1(Rn × o) = TxM (∗).

17

Primeiro, seja w ∈ Rn × o. A n-esima coordenada do vetor w seja denotada por wn.

Consideramos a curva suave γ : I −→ U∗

γ(t) := (ϕ∗)−1(ϕ∗(x) + tw),

onde I = (−ε, ε) se x ∈ Int(M) , I = [0, ε) se x ∈ ∂M e wn > 0, e I = (−ε, 0] se x ∈ ∂M

e wn < 0. Aqui, escolhemos ε > 0 tao pequeno que ϕ∗(x) + tw ∈ V ∗ para todo t ∈ I. Isso

implica que ϕ∗(x) + tw ∈ V ∗ ∩ (Rn × o) e, portanto,

γ(t) = (ϕ∗)−1(ϕ∗(x) + tw) ⊂ U∗ ∩M ⊂M.

Alem disso, temos γ(0) = x, e a regra da cadeia para aplicacoes diferenciaveis entre espacos

reais implica

γ′(0) =(Dϕ∗−1

)ϕ∗(x)

(w) = (Dϕ∗x)

−1(w).

Pela definicao de TxM , obtemos (Dϕ∗x)

−1(w) ∈ TxM .

Agora, seja v ∈ TxM . Entao existe uma curva suave γ : I −→ M tal que γ(0) = x e

γ′(0) = v. Se escolhemos o intervalo I bastante pequeno, entao γ(t) ∈ U∗ para todo t ∈ I.

Portanto, ϕ∗(γ(t)) ⊂ Rn × o. Derivando em t = 0 e aplicando a regra da cadeia, otemos

Dϕ∗x(γ

′(0)) ∈ Rn×o. Como v = γ′(0), concluımos que tambem vale a inclusao inversa de

(*).

Exemplo 1: Seja U ⊂ Rn aberto e x ∈ U . Entao TxU = R

n .

Exemplo 2: Seja Snr := x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = r a n-esfera e x ∈ Snr . Entao

TxSnr = v ∈ R

n+1 | 〈x, v〉 = 0

pelo seguinte argumento: Se v ∈ TxSnr , entao existe uma curva suave γ : I −→ R

3 tal que

γ(0) = x, γ′(0) = v e 〈γ(t), γ(t)〉 ≡ r2 para todo t ∈ I.

Derivando a ultima equacao por t, obtemos

〈γ′(t), γ(t)〉 + 〈γ(t), γ′(t)〉 = 0 . Para t = 0,

obtemos 〈v, x〉 = 0 . Portanto, TxSnr ⊂ v ∈

Rn+1 | 〈x, v〉 = 0 . Como os dois espacos veto-

riais possuem a mesma dimensao, concluımos

que sao iguais.

x v

M = S2 ⊂ R3

TxM

........

........

........

........

....................................................................................

...........................

..............................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

......................................................................

...............................

...................................................................................................................................

Exemplo 3: Seja F : RN −→ RN−n uma aplicacao C∞ eM := F−1(o) o conjunto de raızes

de F . A matriz Jacobiana DFx tenha posto (maximo) N − n para todo x ∈ M . Entao M

e uma n–subvariedade e

TxM =(span (gradF1(x), . . . , gradFN−n(x))

)⊥

= v ∈ RN | 〈v, gradFi(x)〉 = 0 ∀i = 1, . . . , N − n = Nuc(DFx).

Como nos dois lados temos subespacos do Rn da mesma dimensao, basta mostrar que TxM ⊂(span (gradF1(x), . . . , gradFN−n(x))

)⊥. Entao seja v ∈ TxM . Pela definicao de TxM ,

existe uma curva γ : I −→M satisfazendo γ(0) = x e γ′(0) = v tal que Fi(γ(t)) = 0 para

todo t ∈ I e i = 1, . . . , N − n. Com a regra da cadeia, obtemos

(DFi)x(v) = 〈gradFi(x), v〉 = 0,

para todo i = 1, . . . , N − n. Isto implica a afirmacao.

18

Exemplo 4: Seja Mn ⊂ RN uma n-subvariedade e Φ : W ⊂ R

n −→ RN uma parame-

trizacao local em torno de x = Φ(u) ∈M . Entao

TxM = span

(∂Φ

∂x1(u), . . . ,

∂Φ

∂xn(u)

).

Como, por definicao, a matriz Jacobiana DΦu =(∂Φ∂x1

(u), . . . , ∂Φ∂xn

(u))

tem posto n, sabe-

mos que span(∂Φ∂x1

(u), . . . , ∂Φ∂xn

(u))

e um subespaco n–dimensional do RN . Portanto, basta

mostrar que span(∂Φ∂x1

(u), . . . , ∂Φ∂xn

(u))

⊂ TxM . Para isso, consideramos a curva suave

γ(t) := Φ(u + tei). Entao γ(0) = x e a regra da cadeia implica γ′(0) = DΦu(ei) =∂Φ∂xi

(u).

Isto implica ∂Φ∂xi

(u) ∈ TxM e, portanto, a afirmacao.

Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade e x ∈M . O complemento ortogonal de TxM

e denotado por

NxM := w ∈ RN |w ⊥ TxM = (TxM)⊥

e e chamado espaco normal a M no ponto x ∈ M . Os elementos de NxM sao chamados

vetores normais a M no ponto x. O plano n–dimensional

TanxM := x+ TxM ⊂ RN

e chamado plano tangente a M em x ∈M e o plano (N − n)–dimensional

NorxM := x+NxM ⊂ RN

e chamado plano normal a M em x ∈M .

Dos Exemplos 3 e 4, obtemos as seguintes formas de calcular os espacos normais:

1. Se Mn ⊂ Rn+1 e Φ : W −→ R

n+1 e uma parametrizacao local em torno de x =

Φ(u) ∈M , entao

NxM = R

( ∂Φ

∂x1(u)× . . .× ∂Φ

∂xn(u)

︸︷︷︸produto vetorial

).

2. Seja Mn ⊂ Rn+1 uma hipersuperfıcie definido por equacoes, isto e, M = F−1(0)

para uma aplicacao suave F : Rn+1 −→ R cujo gradiente nunca se anula. Entao

NxM = R · gradF (x).

Um exemplo concreto:

Seja M2 = S2 a 2-esfera no R3. Entao

T(0,0,1)S2 = (x, y, 0) ∈ R

3 | x, y ∈ RN(0,0,1)S

2 = (0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R

Mais exemplos sao contidos nos Exercıcios 5 ate 7.

19

Capıtulo 3

Aplicacoes diferenciaveis e suas

derivadas

Agora definimos o conceito duma aplicacao diferenciavel entre subvariedades.

Definicao. Sejam Mn11 ⊂ R

N1 e Mn22 ⊂ R

N2 duas subvariedades. Uma aplicacao F :

M1 −→ M2 e chamada diferenciavel de classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞, se para toda carta (U,ϕ) de

M1 a aplicacao

F ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn1 −→ R

N2

e uma aplicacao de classe Ck.

Por Ck(M) denotamos o anel de todas as aplicacoes Ck com valores reais em M . Por

Ck(M1,M2) denotamos o conjunto das aplicacoes de classe Ck entre as subvariedades M1

e M2.

Observacoes:

(1) Normalmente, vamos considerar aplicacoes suaves (quer dizer, C∞). Se o grau de dife-

renciabilidade nao interessa, falamos simplesmente duma aplicacao diferenciavel (e omitimos

a informacao Ck).

(2) Basta verificar a diferenciabilidade das aplicacoes F ϕ−1i : ϕi(Ui) −→ R

N2 para algum

atlas A = (Ui, ϕi)i∈I (Exercıcio).

(3) Se M1 ⊂ RN1 e um subconjunto aberto, entao o conceito de diferenciavel definido acima

coincide com o conceito conhecido para aplicacoes entre espacos vetoriais reais.

(4) Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade de classe Ck e seja (U,ϕ) uma carta em M . Entao a

aplicacao ϕ : U −→ V ⊂ Rn e diferenciavel de classe Ck (Exercıcio).

(5) Sejam F : M1 −→ M2 e G : M2 −→ M3 diferenciaveis. Entao a composicao

G F :M1 −→M3 tambem e diferenciavel (Exercıcio).

Definicao. Seja F : Mn11 −→ Mn2

2 uma aplicacao entre duas subvariedades. Seja (U,ϕ)

uma carta em torno de x ∈ M1 e (V, ψ) uma carta em torno de F (x) ∈ M2. Entao a

aplicacao

ψ F ϕ−1 : ϕ(U ∩ F−1(V )) ⊂ Rn1 −→ ψ(V ) ⊂ R

n2

e chamada representacao de F em relacao as cartas (U,ϕ) e (V, ψ).

Se F :M1 −→ RN , entao F ϕ−1 : ϕ(U) −→ R

N e chamada representacao de F em relacao

a carta (U,ϕ).

Observamos que uma aplicacao F e diferenciavel de classe Ck se, e somente se, todas suas

20

representacoes em cartas sao aplicacoes Ck. (Exercıcio!)

Agora, a derivada duma aplicacao diferenciavel F : M1 −→ M2 e definida em analogia ao

caso de aplicacoes entre espacos reais como derivada de F ao longo de curvas:

Definicao. Seja F : M1 −→ M2 uma aplicacao diferenciavel entre subvariedades. A

derivada da aplicacao F no ponto x ∈M1 e a aplicacao

dFx : TxM1 −→ TF (x)M2

γ′(0) 7−→ (F γ)′(0),

onde γ : I −→M1 e uma curva diferenciavel tal que γ(0) = x .

Observacao 1: A definicao de dFx e correta, isto e, ela independe da escolha de γ: Seja

v ∈ TxM1 e seja γ uma curva diferenciavel em M1 tal que γ(0) = x e γ′(0) = v . Pegamos

uma carta (U,ϕ) em torno de x. Entao a regra da cadeia para aplicacoes diferenciaveis entre

espacos reais implica que

(F γ)′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x)((ϕ γ)′(0)).

Como a carta ϕ e, por definicao, a restricao dum difeomorfismo local ϕ∗ : RN → RN , a

regra da cadeia implica (ϕ γ)′(0) = (ϕ∗γ)′(0) = Dϕ∗x(γ

′(0)) = Dϕ∗x(v) e, portanto,

(F γ)′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x) Dϕ∗x(v).

Portanto, (F γ)′(0) nao depende da escolha da curva γ.

Observacao 2: Se M1 ⊂ RN1 e M2 ⊂ R

N2 sao subconjuntos abertos dos dados espacos

reais, entao a derivada definida acima coincide com a derivada conhecida de aplicacoes entre

subconjuntos abertos de espacos reais.

dFx(v) =d

dtF (x+ tv︸︷︷︸

γ(t)

)|t=0 = DFx(v).

Teorema 3.1 Sejam F :M1 −→M2 e G :M2 −→M3 diferenciaveis e x ∈M1.

1. A derivada dFx : TxM1 −→ TF (x)M2 e uma transformacao linear entre os espacos

tangentes.

2. Vale a regra da cadeia: d(G F )x = dGF (x) dFx .

Demonstracao: Seja v ∈ TxM1 e seja γ : I −→ M1 uma curva diferenciavel tal que

γ(0) = x e γ′(0) = v.

Sobre 1. Seja (U,ϕ) uma carta em torno de x. Pela definicao da derivada de F e pela regra

da cadeia para aplicacoes entre espacos reais, segue (como acima):

dFx(v) = (F γ)′(0) = [(F ϕ−1) (ϕ γ)]′(0) = D(F ϕ−1)ϕ(x) Dϕ∗x(v),

Como as derivadas de aplicacoes diferenciaveis no RN sao lineares, dFx tambem e linear.

Sobre 2. Aplicar a definicao da

(dG)F (x) (dF )x(v) = (dG)F (x)((F γ)′(0)) = (G (F γ))′(0) = ((G F ) γ)′(0)= d(G F )γ(0)(γ′(0)) = d(G F )x(v).

21

Observacao: A seguinte observacao frequentemente facilita a verificacao que uma aplicacao

definida numa subvariedade e diferenciavel e ao mesmo tempo fornece uma forma de calcular

sua derivada:

Sejam F : U ⊂ RN −→ R

k uma aplicacao diferenciavel, U ⊂ RN aberto e Mn ⊂ U

uma subvariedade n–dimensional. Entao a aplicacao f := F |M : M −→ Rk tambem em

diferenciavel e df x = DFx|TxM (Exercıcio).

22

Capıtulo 4

Bases canonicas e suas bases

duais

Como sabemos da Algebra, frequentemente e util considerar bases especiais em espacos

vetoriais. Como base do espaco tangente TxM , e comum usar a base definida por uma carta

em torno de x, a chamada base canonica.

Sejam Mn ⊂ RN uma subvariedade e (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈M .

O i-esimo vetor da base canonica do Rn seja denotado por ei (a i-esima componente de ei

e 1, todas as outras componentes de ei sao zero). Consideramos o vetor tangente no ponto

x ∈M que e definido pela derivada de t 7→ ϕ−1(ϕ(x) + tei):

∂

∂xi(x) :=

d

dt

(ϕ−1(ϕ(x) + tei)

)∣∣∣t=0

= (Dϕ−1)ϕ(x)(ei) =∂ϕ−1

∂xi(ϕ(x)) ∈ TxM

e2

e1

......................................................................................................................................................❯

ϕ

...................................................

.............................................

..................................................................

................................................................................................................................................................................................................

∂∂x1

(x)

∂∂x2

(x)

.........................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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................................................................

.......

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................

...........

Como para o espaco tangente vale TxM = dϕ−1ϕ(x)(R

n × 0) e a aplicacao dϕ−1ϕ(x) e um

isomorfismo, os n vetores (∂

∂x1(x), . . . ,

∂

∂xn(x)

)

formam uma base do espaco tangente TxM . Esta base e chamada base canonica de TxM

em relacao a carta (U,ϕ). (Observamos que cada ∂∂xi

nao depende apenas da funcao xi

mas da carta φ e de i.

23

Exemplo: Seja M = R2. Determinamos as bases canonicas das cartas definidas pelas

coordenadas euclideanas e pelas coordenadas polares, respectivamente:

Seja ϕ : R2 −→ R2 a carta dada pelas coordenadas euclideanas: ϕ(x) := (x1, x2) . Para

esta carta obviamente vale

∂

∂xi(x) = ei para todo ponto x = (x1, x2) ∈M.

As coordenadas polares em R2 sao dadas pela parametrizacao

Φ : R+ × (0, 2π) −→ U := R2 \ (x1, 0) | x1 ∈ [0,∞)

Φ(r, v) := (r cos v, r sen v).

Entao no ponto x = (x1, x2) = Φ(r, v) vale (para a carta (U,Φ−1) definida pela parame-

trizacao Φ e usando a convencao comum Φ−1 =: (y1, y2),∂∂r

:= ∂∂y1

, ∂∂v

:= ∂∂y2

):

∂

∂r(x) =

∂Φ

∂r(r, v) = (cos v, sen v) =

1

rx =

x√x21 + x22

e

∂

∂v(x) =

∂Φ

∂v(r, v) = (−r sen v, r cos v) = (−x2, x1).

........

........

........

........

....................................................................................

...........................

..............................................

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∂∂v

........

........

........

........

....................................................................................

...........................

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........................................................

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❯

s

∂∂r

Agora descrevemos a relacao entre as bases canonicas em relacao a duas cartas diferentes

em torno dum mesmo ponto.

Teorema 4.1 (Formula de transformacao para bases canonicas) Seja Mn ⊂ RN

uma subvariedade, seja x ∈ M e sejam (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e (V, ψ = (y1, . . . , yn)) duas

cartas em torno de x. Entao

∂

∂xi(x) =

n∑

α=1

∂(ψ ϕ−1)α∂xi

(ϕ(x)) · ∂

∂yα(x),

onde ∂(ψϕ−1)α∂xi

(ϕ(x)) e a α–esima componente da i–esima derivada parcial∂(ψϕ−1

|ϕ(U∩V ))

∂xi(ϕ(x)) .

Portanto, a matriz de transformacao entre as bases canonicas de (U,ϕ) e (V, ψ) e dada pela

matriz Jacobiana da mudanca de cartas ψ ϕ−1.

Demonstracao: Seja (e1, . . . , eN ) a base canonica do RN . A i–esima coluna da matriz

Jacobiana D(ψ ϕ−1)ϕ(x) e dada por d(ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei) =n∑α=1

∂(ψϕ−1)α∂xi

·eα . Entao segue

24

por definicao, a regra da cadeia e a linearidade da derivada:

∂

∂xi(x) = (dϕ−1)ϕ(x)(ei) = d(ψ−1 ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei)

= (dψ−1)ψ(x) d(ψ ϕ−1)ϕ(x)(ei)

= (dψ−1)ψ(x)

( n∑

α=1


(ϕ(x)) · eα)

=

n∑

α=1


(ϕ(x)) · (dψ−1)ψ(x)(eα)

=n∑

α=1


(ϕ(x)) · ∂

∂yα(x).

De forma analoga, obtemos a representacao da derivada duma aplicacao diferenciavel entre

subvariedades em relacao a bases canonicas:

Teorema 4.2 (Representacao da derivada em bases) Seja F : M1 −→ M2 uma

aplicacao diferenciavel entre subvariedades e x ∈ M1. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta

em torno de x ∈M1 e (W,ψ = (z1, . . . , zk)) uma carta em torno de F (x) ∈M2. Entao para

a transformacao linear dFx : TxM1 −→ TF (x)M2 vale

dFx

( ∂

∂xi(x))=

k∑

α=1

∂(ψ F ϕ−1)α∂xi

(ϕ(x)) · ∂

∂zα(F (x)).

Portanto, a matriz de dFx em relacao as bases canonicas da carta (U,ϕ) em torno de

x ∈ M1 e (W,ψ) em torno de F (x) ∈ M2 e a matriz Jacobiana da representacao

ψ F ϕ−1|ϕ(F−1(W )∩U) de F em ϕ(x).

Demonstracao: A demonstracao e analoga a demonstracao do Teorema 4.1.

dFx

( ∂

∂xi(x))

= dFx((dϕ−1)ϕ(x)(ei)) = d(ψ−1 ψ F ϕ−1)ϕ(x)(ei)

= (dψ−1)ψ(F (x)) d(ψ F ϕ−1)ϕ(x)(ei)

= (dψ−1)ψ(F (x))

( k∑

α=1


(ϕ(x)) · eα)

=

k∑

α=1


(ϕ(x)) · (dψ−1)ψ(F (x))(eα)

=

k∑

α=1


(ϕ(x)) · ∂

∂zα(F (x)).

Da Algebra sabemos que a cada espaco vetorial podemos associar seu dual algebrico. Agora

fazemos o mesmo com os espacos tangentes a uma subvariedade. Em particular, queremos

descrever as bases duais das bases canonicas.

Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade, x ∈ M e TxM o espaco tangente em x. O

espaco vetorial

T ∗xM := L : TxM −→ R | L linear

25

chama-se espaco dual tangente a M no ponto x, tambem chamado de espaco cotangente.

Seja f : M −→ R uma aplicacao diferenciavel com valores reais e seja x ∈ M . A derivada

df x : TxM −→ Tf(x)R = R de f no ponto x e linear e, portanto, df x ∈ T ∗xM .

Em particular, as funcoes coordenadas xi : U −→ R duma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn))

sao apliccoes diferenciaveis com valores reais. Portanto, (dxi)x : TxM −→ R e linear e,

consequentemente, (dx1)x, . . . , (dxn)x ∈ T ∗xM .

Teorema 4.3 Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta de M em torno de x com base canonica

( ∂∂x1

(x), . . . , ∂∂xn

(x)) de TxM . Entao as diferenciais ((dx1)x, . . . , (dxn)x) formam a base

dual no espaco cotangente T ∗xM , isto e,

(dxi)x

( ∂

∂xj(x))= δij ∀ i, j = 1, . . . n.

Demonstracao: Aplicando a definicao da

(dxi)x

( ∂

∂xj(x))

= (dxi)x

( ddt

(ϕ−1(ϕ(x) + tej))|t=0 =

d

dtxi(ϕ

−1(ϕ(x) + tej))|t=0

=d

dt(ϕ(x) + tej)i|t=0 = δij .

Da formula de transformacao para bases duais (veja Algebra Linear), obtemos a seguinte

formula de transformacao para as bases duais.

Corolario. Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e (W,ψ = (y1, . . . , yn)) sao duas cartas em M em

torno de x, entao

(dyα)x =n∑

i=1


(ϕ(x)) · (dxi)x.

26

Capıtulo 5

Campos vetoriais em

subvariedades

Definicao. Um campo vetorial numa subvariedade Mn ⊂ RN e uma aplicacao C∞

X :M −→ RN satisfazendo X(x) ∈ TxM para todo x ∈M .

Observacao: Seja X(M) o conjunto de todos os campos vetoriais M . Entao

1. Se X1, X2 ∈ X(M), entao X1 +X2 ∈ X(M).

2. Se f ∈ C∞(M) e X ∈ X(M), entao fX ∈ X(M).

Portanto, X(M) e um modulo sobre o anel C∞(M) das funcoes suaves.

Exemplo 1:

A aplicacao X : S2 −→ R3 definida por

X(x, y, z) := (−y, x, 0)

e um campo vetorial na esfera

S2 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 = 1 ⊂ R

3.

........

........

........

........

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...........................

..............................................

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....................................

..................................................................................

........................

..........................................

...........................................................................................................

Exemplo 2: Sistemas de bases canonicas

Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn) uma carta numa subvariedade M e seja ∂∂xi

(x) = ∂ϕ−1

∂xi(ϕ(x)) o

i-esimo vetor da base canonica (definida na secao anterior) da carta (U,ϕ) no ponto x ∈ U .

Como as aplicacoes ∂ϕ−1

∂xie ϕ sao diferenciaveis, a aplicacao

∂

∂xi: U ⊂M −→ R

N ,

que associa a cada ponto x ∈ U o vetor ∂∂xi

(x) e uma campo vetorial suave na regiao

U ⊂ M . A n-upla das aplicacoes ( ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

) chama-se campo de bases canonicas em

relacao a (U,ϕ).

Cada campo vetorial X ∈ X(M) pode ser descrito sobre o domınio U duma carta usando

27

a base canonica:

X(x) =

n∑

i=1

ξi(x)∂

∂xi(x). (∗)

As componentes nesta representacao em bases canonicas definem funcoes suaves ξi : U −→R , i = 1, . . . , n no domınio da carta. (∗) chama-se representacao do campo vetorial X em

relacao a carta (U,ϕ). Representando as funcoes coordenadas ξi na carta φ, obtemos as

funcoes

ξi ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn −→ R,

as componentes de X em relacao a carta (U,ϕ).

Agora, vamos generalizar a definicao da derivada direcional do caso Rn ao caso de subvari-

edades.

Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade e seja F : M −→ R

m uma aplicacao dife-

renciavel com valores num espaco vetorial real.

1. Seja v ∈ TxM um vetor tangente a M no ponto x. O vetor

v(F ) := dFx(v) ∈ TF (x)Rm = R

m

chama-se derivada direcional de F pelo vetor v.

2. Seja X ∈ X(M) um campo vetorial em M . A aplicacao X(F ) : M −→ Rm , definida

por

X(F )(x) := dFx(X(x)),

chama-se derivada direcional de F pelo campo vetorial X.

Deixamos a demonstracao das seguintes propriedades da derivada direcional como exercıcio.

Teorema 5.1 Seja M ⊂ RN uma subvariedade, sejam X ∈ X(M) um campo vetorial e

sejam

F ∈ C∞(M,Rm), f ∈ C∞(M,R). Entao:

1. X(F ) ∈ C∞(M,Rm).

2. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x e seja X =n∑i=1

ξi∂∂xi

a repre-

sentacao de X em relacao a esta carta. Entao temos para as derivadas parciais que

X(F ) =

n∑

i=1

ξi∂

∂xi(F ) =

n∑

i=1

ξi∂(F ϕ−1)

∂xi ϕ.

Em particular, a derivada direcional de F pelo campo ∂∂xi

e dada pela i-esima compo-

nente da derivada parcial da representacao de F na carta (U,ϕ).

3. A derivada direcional satisfaz a seguinte regra do produto:

X(f · F ) = X(f) · F + f ·X(F ) .

Finalmente, queremos conhecer um metodo para associar um novo campo vetorial (o cha-

mado comutador) a dois campos vetoriais numa subvariedade M .

Por definicao, um campo vetorial X emM e uma aplicacao suave definida emM com valores

28

no espaco vetorial real RN . O fato que esta aplicacao suave X e um campo vetorial emM se

manifesta numa propriedade adicional da imagen desta aplicacao: X(x) e tangente a M no

ponto x. Considerando um campo vetorial X como uma aplicacao suave X : M −→ RN ,

podemos deriva-la na direcao dum outro campo vetorial Y . Entao Y (X) : M −→ RN vai

ser uma aplicacao suave, mas em geral nao precisa ser um campo vetorial em M , pois os

valores Y (X)(x) nao necessariamente sao tangentes a M em x. Esta “perturbacao” nao-

tangente pode ser removido subtraindo a outra derivada direcional. Vale o seguinte teorema:

Teorema 5.2 Sejam X e Y dois campos vetoriais numa subvariedade Mn ⊂ RN .

Entao a aplicacao suave

[X,Y ] := X(Y )− Y (X) :M −→ RN

define um campo vetorial em M . (Aqui, X(Y ) e a derivada direcional da aplicacao

Y :M −→ RN pelo campo vetorial X e Y (X) a derivada direcional da aplicacao

X :M −→ RN pelo campo vetorial Y ). Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de

x. Em relacao a esta carta, os campos X e Y tenham as representacoes X|U =n∑i=1

ξi∂∂xi

e Y |U =n∑i=1

ηi∂∂xi

, respectivamente. Entao

[X,Y ]|U =

n∑

i=1

(X(ηi)− Y (ξi))∂

∂xi.

Definicao. Sejam X e Y dois campos vetoriais numa subvariedade M . O campo vetorial

[X,Y ] chama-se comutador de X e Y .

Demonstracao de 5.2: Para mostrar que [X,Y ] e um campo vetorial em M , temos de

mostrar que [X,Y ](x) ∈ TxM para todo x ∈M . Para isso, consideramos as representacoes

dos campos vetoriaisX e Y em relacao a uma carta qualquer (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e mostram

que [X,Y ] tambem pode ser representado pelo campo de bases canonicas desta carta.

Aplicando a regra do produto para a derivada direcional obtemos que em U ⊂M vale

[X,Y ] = X

( n∑

i=1

ηi∂

∂xi

)− Y

( n∑

i=1

ξi∂

∂xi

)

=

n∑

i=1

[X(ηi)− Y (ξi)

] ∂

∂xi+

n∑

i=1

[ηiX

( ∂

∂xi

)− ξiY

( ∂

∂xi

)].

Portanto, basta mostrar que a ultima soma e zero. Como

n∑

i=1

[ηiX

( ∂

∂xi

)− ξiY

( ∂

∂xi

)]=

n∑

i,j=1

[ηiξj

∂

∂xj

( ∂

∂xi

)− ξiηj

∂

∂xj

( ∂

∂xi

)]

=n∑

i,j=1

ηiξj

( ∂

∂xj

( ∂

∂xi

)− ∂

∂xi

( ∂

∂xj

))

=

n∑

i,j=1

ηiξj

[ ∂

∂xj,∂

∂xi

],

falta mostrar que vale [ ∂∂xj

, ∂∂xi

] = 0 para todo i, j. Pela definicao de campos de bases

29

canonicas, temos

[ ∂

∂xj,∂

∂xi

]=

∂

∂xj

((∂ϕ−1

∂xi

) ϕ)− ∂

∂xi

((∂ϕ−1

∂xj

) ϕ)

=∂2ϕ−1

∂xj∂xi ϕ− ∂2ϕ−1

∂xi∂xj ϕ.

Como essas sao as derivadas parciais usuais e todas as aplicacoes sao suaves, a afirmacao

segue do lema de simetria de Schwarz. (A mesma afirmacao vale se a subvariedade e os

campos vetoriais forem pelo menos de classe C2.)

Corolario. Para o comutador de campos de bases canonicas vale

[ ∂

∂xi,∂

∂xj

]≡ 0.

Exemplo: Seja S2 ⊂ R3 a esfera 2–dimensional no R

3. Consideramos os seguintes tres

campos vetoriais em S2:

X(x, y, z) := (−y, x, 0) , Y (x, y, z) = (−z, 0, x) , Z(x, y, z) = (0,−z, y)

Entao para o comutador vale [X,Y ] = Z (Exercıcio 8). A seguinte imagem bonita (criada

por Thomas Neukirchner) visualiza este resultado:

,

=

Deixamos a demonstracao das seguintes propriedades do comutador como exercıcio

(Exercıcio 9).

Teorema 5.3 (Propriedades do comutador de campos vetoriais) Sejam X,Y, Z

campos vetoriais e f, g funcoes numa subvariedade. Entao

a) [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (identidade de Jacobi)

b) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X

c) [X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f))

30

Capıtulo 6

Subvariedades orientaveis e

nao-orientaveis

Vamos distinguir dois tipos de variedades: as orientaveis e as nao-orientaveis. Para as

subvariedades orientaveis muitos conceitos sao tecnicamente mas faceis de definir e de usar.

Antes de definirmos estes dois tipos de subvariedades lembramos o conceito de orientacao

dum espaco real de dimensao finita conhecido da Algebra Linear.

Seja V n uma espaco real n-dimensional e B(V ) o conjunto de bases de V . Sejam a =

(a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) duas bases de V e seja Ma,b :=(Mij

)a matriz da mudanca

de bases associada, definida por

aj =

n∑

i=1

Mijbi

Dizemos que as bases a e b possuem a mesma orientacao (e escrevemos a ∼ b) se o

determinante da mudanca de base Ma,b e positivo. Esta relacao ∼ e uma relacao de

equivalencia em B(V ) e o espaco quociente B(V )/ ∼ possui exatamente dois elementos.

Uma orientacao OV de V e uma classe de equivalencia OV := [a] de bases.

Seja (V,OV ) uma espaco vetorial orientado. Uma base a = (a1, . . . , an) ∈ B(V ) chama-se

positivamente orientada se a ∈ OV .

No espaco vetorial V = Rn, fixamos a orientacao dada pela base canonica e a denotamos

por ORn , isto e, ORn := [(e1, . . . , en)] .

Consideramos o exemplo V = R2: Entao (a1, a2) ∈ OR2 se, e somente se, a1 pode ser

transformado num multiplo positivo de a2 por uma rotacao no sentido anti-horario por um

angulo ϕ ∈ (0, π).

Se V = R3, entao (a1, a2, a3) e positivamente orientada se, e somente se, vale a “regra da

mao direita”.

Em analogia ao nosso tratamento de campos vetoriais, vamos generalizar o conceito de

orientacao a subvariedades. Uma orientacao duma subvariedade M vai ser uma famılia de

orientacoes em cada espaco tangente TxM deM que num certo sentido depende suavemente

do pe x do espaco tangente.

Definicao. Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade. Mn chama-se orientavel se existir uma

famılia de orientacoes OM = OTxMx∈M nos espacos tangentes que em torno de cada

ponto pode ser realizada por campos de bases canonicas. Em outras palavras, para cada

31

x ∈M existe uma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) em torno de x tal que

( ∂

∂x1(y), . . . ,

∂

∂xn(y))∈ OTyM para todo y ∈ U.

Uma tal carta (U,ϕ) chama-se positivamente orientada. A famılia OM chama-se orientacao

de M . O par (M,OM ) e uma subvariedade orientada.

Enquanto cada espaco vetorial real de dimensao finita possui exatamente duas orientacoes,

uma subvariedade nao necessariamente tem de ser orientavel. O seguinte resultado da um

criterio para orientabilidade.

Teorema 6.1 Uma subvariedade Mn ⊂ RN e orientavel se, e somente se, existir um atlas

A de M tal que, para todas as cartas (U,ϕ), (V, ψ) ∈ A com U ∩ V 6= ∅, vale:

det(D(ψ ϕ−1)u

)> 0 para todo u ∈ ϕ(U ∩ V ) (∗).

Demonstracao: (⇒) Seja M orientavel. Definimos

A := (U,ϕ) | (U,ϕ) e uma carta positivamente orientada em M.

Da definicao de orientabilidade, obtemos que A e uma cobertura da variedadeM . Portanto,

se (U,ϕ) e (V, ψ) sao duas cartas de A tais que U ∩V 6= ∅, entao o determinante da mudanca

de bases entre as bases induzidas de TxM e estritamente positivo para todo x ∈ U ∩V . Pelo

Teorema 4.1, este determinante e dado pelo determinante da matriz Jacobiana da mudanca

de coordenadas.

(⇐) Seja A uma atlas com a propriedade (∗) e seja (U,ϕ) ∈ A. Definimos orientacoes nos

espacos tangentes por

OTxM :=

[( ∂

∂x1(x), . . . ,

∂

∂xn(x))], x ∈ U.

Como o determinante da mudanca de bases entre duas bases canonicas de cartas em A e

estritamente positivo, OTxM e bem-definido e, de fato, define uma orientacao.

Para o caso especial duma hipersuperfıcie Mn ⊂ Rn+1, temos o seguinte criterio de orienta-

biliade:

Teorema 6.2 Uma subvariedade Mn ⊂ Rn+1 e orientavel se, e somente se, existe um

campo normal unitario contınuo em M , quer por definicao e uma aplicacao contınua

n :Mn −→ Rn+1

tal que n(x) ∈ NxM ⊂ Rn+1 e ‖n(x)‖ = 1 para todo x ∈M .

Demonstracao: (⇒) Seja M orientada. Seja x ∈M e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta

positivamente orientada em torno de x. ∂∂x1

(x) × . . . × ∂∂xn

(x) denote o produto vetorial

dos vetores da base canonica de TxM associada a carta (U, φ) no Rn+1.

Agora definimos

n(x) :=∂∂x1

(x)× . . .× ∂∂xn

(x)

‖ ∂∂x1

(x)× . . .× ∂∂xn

(x)‖ .

Pelas propriedades do produto vetorial, o vetor n(x) e perpendicular ao espaco tangente

TxM . A definicao e correta, isto e, ela independe da carta positivamente orientada, pois se

32

a1, . . . , an e b1, . . . , bn sao duas n-uplas de vetores linearmente independentes no Rn+1 que

geram o mesmo subespaco n-dimensional, entao

a1 × . . .× an

‖a1 × . . .× an‖=

b1 × . . .× bn

‖b1 × . . .× bn‖⇐⇒ (a1, . . . , an) ∼ (b1, . . . , bn).

A aplicacao n : M −→ Rn+1 e contınua (ate suave), pois as aplicacoes ∂

∂xi= ∂ϕ−1

∂xi ϕ e

‖ · ‖ o sao.

(⇐) Seja dada uma aplicacao contınua n como acima. Definimos uma orientacao

OM = OTxMx∈M em Mn por

(v1, . . . , vn) ∈ OTxM ⇐⇒ (v1, . . . , vn, n(x)) ∈ ORn+1 . (∗∗)

Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈ M com domınio conexo U . Por

continuidade, o determinante da matriz (n+ 1)× (n+ 1)

( ∂

∂x1(y), . . . ,

∂

∂xn(y), n(y)

)

tem o mesmo sinal em cada ponto y ∈ U . Se este sinal e positivo, entao a carta (U,ϕ)

e positivamente orientada. Se o sinal for negativo, substituimos a carta (U,ϕ) pela carta

(U, ϕ = (−x1, x2, . . . , xn)) e obtemos desta forma uma carta positivamente orientada.

Portanto, (∗∗) de fato define uma orientacao de M .

Exemplo 1: A Esfera

A esfera n–dimensional Sn ⊂ Rn+1 e orientavel, pois a aplicacao n : Sn −→ R

n+1 , definida

por n(x) = x‖x‖ , e um campo normal unitario contınuo em Sn.

Exemplo 2: A faixa de Mobius

Se pegamos uma longa faixa, giramos um extremo

por 180 e colamos os dois lados, obtemos a chamada

faixa de Mobius no R3. Esta e uma variedade com

bordo de dimensao 2 que nao e orientavel. Para ver

isso, consideramos a curva central na faixa de Mobius

e pegamos um vetor normal unitario qualquer num

ponto desta curva central. Se seguimos esta curva,

dando uma volta pela faixa e levando o vetor normal

continuamente, obtemos o vetor normal negativo no

ponto inicial. Portanto, nao pode existir um campo

vetorial normal contınuo.

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Exemplo 3: Hipersuperfıcies de nıvel

Sejam U ⊂ Rn+1 aberto, F : U −→ R uma aplicacao C∞, M = F−1(0) e dFx 6= 0 para todo

x ∈M . Entao M e uma subvariedade n-dimensional do Rn+1. O espaco normal e dado por

NxM = R · gradF (x) (veja Capıtulo 2). A hipersuperfıcie M e orientavel pois

n(x) :=gradF (x)

‖gradF (x)‖

e um campo normal unitario contınuo em M .

33

Capıtulo 7

A metrica Riemanniana

induzida numa subvariedade

Como no Rn, queremos “fazer geometria” em subvariedades tambem. Por exemplo que-

remos definir e calcular comprimentos de curvas, distancias entre pontos ou volumes de

subconjuntos. O conceito basico para todas as definicoes e investigacoes geometricos e o da

metrica Riemanniana. Numa dada variedade e possıvel definir muitas metricas diferentes.

Para as subvariedades que estudamos aqui, nos limitamos a chamada “metrica Riemanniana

induzida” que e obtida do produto escalar euclideano do espaco envolvente.

Seja Mn uma subvariedade no RN . No R

N temos o produto escalar euclideano dado por

〈a, b〉 :=N∑

i=1

ai · bi para a = (a1, . . . , aN ) , b = (b1, . . . , bN ).

〈·, ·〉 induz um produto escalar em cada subespaco TxM ⊂ RN .

Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade e, para cada x ∈M , seja gx : TxM×TxM −→

R o produto escalar dado por

gx(a, b) := 〈a, b〉.

A famılia g = gxx∈M destes produtos escalares chama-se a metrica Riemanniana induzida

em M .

Definicao. Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta de M em torno de x. Consideramos a

matriz n× n simetrica e positiva definida gij(x) dada por

(gij(x)

)i,j

:=(gx( ∂

∂xi(x),

∂

∂xj(x)))i,j

=(⟨ ∂

∂xi(x),

∂

∂xj(x)⟩)

i,j.

As funcoes gij ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rn −→ R , i, j ∈ 1, ldots, n, chamam-se coeficientes locais

da metrica g em relacao a carta (U,ϕ).

Exemplo 1: A matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas euclideanas:

SejaM um subconjunto aberto do Rn. EmM consideramos a carta dada pelas coordenadas

euclideanas: ϕ(x) = (x1, . . . , xn). Entao para a base canonica temos ∂∂xi

(x) = ei ∈ TxM =

Rn. Portanto,

gij(x) = 〈ei, ej〉 = δij .

34

Em outras palavras, a matriz da metrica e a matriz identidade(gij(x)

)= In.

Exemplo 2: A matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas polares:

Consideramos coordenadas polares em R2. Seja Φ : R+ × (0, 2π) −→ U = R

2 \ (x, 0) | x ∈R

≥0 ⊂ R2 a parametrizacao por coordenadas polares

Φ(r, v) = (r cos v, r sen v).

Entao para a carta (U,Φ−1) temos, em x = Φ(r, v),

∂

∂r(x) =

∂Φ

∂r(r, v) = (cos v, sen v) e

∂

∂v(x) =

∂Φ

∂v(r, v) = (−r sen v, r cos v) .

Portanto, obtemos

⟨ ∂∂r

(x),∂

∂r(x)⟩= 1,

⟨ ∂∂r

(x),∂

∂v(x)⟩= 0 und

⟨ ∂∂v

(x),∂

∂v(x)⟩= r2.

Concluımos que a matriz da metrica Riemanniana induzida em coordenadas polares tem a

forma(gij(x)

)=

(1 0

0 r2

).

Exemplo 3: A matriz da metrica Riemanniana induzida na esfera S2 em coordenadas

esfericas:

Sejam Φ : (0, 2π)× (−π2 ,

π2 ) −→ S2 as coordenadas esfericas

Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu).

Entao, em x = Φ(v, u), os vetores da base canonica definida pela carta Φ−1 sao dados por

∂

∂v(x) =

∂Φ

∂v(v, u) = (− sen v cosu, cos v cosu, 0) ,

∂

∂u(x) =

∂Φ

∂u(v, u) = (− cos v senu,− sen v senu, cosu) .

Portanto, obtemos

⟨ ∂∂v

(x),∂

∂v(x)⟩= cos2 u,

⟨ ∂∂v

(x),∂

∂u(x)⟩= 0 und

⟨ ∂

∂u(x),

∂

∂u(x)⟩= 1.

Concluımos que a matriz da metrica Riemanniana induzida em S2 possui a seguinte forma

em coordenadas esfericas:(gij(x)

)=

(cos2 u 0

0 1

).

35

Capıtulo 8

Gradiente, divergencia e

Laplaciano em subvariedades

Ametrica Riemanniana induzida fornece, em cada espaco tangente TxM , um produto escalar

positiva definida gx. Usando esse, podemos generalizar o gradiente de funcoes, a divergencia

de campos vetoriais e o Laplaciano do Rn ao caso de subvariedades gerais. Estes conceitos

vao ser relevantes mais tarde nos teoremas integrais (veja Capıtulo 11).

Seja f : M −→ R uma aplicacao suave numa subvariedade M . Entao a diferencial dfx :

TxM −→ R e uma transformacao linear no espaco vetorial euclideano (TxM, gx). Como

sabemos da Algebra Linear, esta transformacao linear corresponde a um unico vetor “dual”

em TxM . Esse vai ser o gradiente de f :

Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade com sua metrica Riemanniana induzida e seja

f : M −→ R uma funcao suave em M com valores reais. O gradiente de f e o campo

vetorial

grad f :M −→ RN

em M que a cada ponto x ∈M associa o vetor grad f(x) ∈ TxM dual a forma linear dfx:

gx(grad f(x), a) := df x(a) ∀ a ∈ TxM.

O seguinte teorema da a representacao local do gradiente na base canonica associada a uma

carta e, em particular, mostra que a aplicacao grad f e suave.

Teorema 8.1 Seja f ∈ C∞(Mn) e (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em M . Denote a

representacao correspondente de f por f := f ϕ−1 : ϕ(U) −→ R e seja(gij(x)

)a matriz

inversa de(gij(x)

)=(gx(∂∂xi

(x), ∂∂xj

(x)))

. Entao no domınio U temos:

grad f =n∑

i,j=1

gij∂

∂xi(f) · ∂

∂xj=

n∑

i,j=1

gij( ∂f∂xi

ϕ)· ∂

∂xj,

36

Demonstracao: Calculamos, para α ∈ 1, . . . , n,

df x

( ∂

∂xα(x))

=∂(f ϕ−1)

∂xα(ϕ(x)) =

n∑

i=1

∂(f ϕ−1)

∂xi(ϕ(x)) δiα

=

n∑

i,j=1

∂(f ϕ−1)

∂xi(ϕ(x)) · gij(x) · gjα(x)

=n∑

i,j=1

∂(f ϕ−1)

∂xi(ϕ(x)) · gij(x) · gx

( ∂

∂xj(x),

∂

∂xα(x))

= gx

( n∑

i,j=1

gij(x) · ∂f∂xi

(ϕ(x)

)· ∂

∂xj(x),

∂

∂xα(x)

).

Por outro lado, temos que, por definicao,

gx

(grad f(x),

∂

∂xα(x))= df x

( ∂

∂xα(x)).

A afirmacao agora segue do fato do produto escalar ser nao-degenerado.

Exemplo 1: O gradiente duma funcao em coordenadas euclideanas:

Seja U um subconjunto aberto do Rn e seja f : U −→ R uma aplicacao diferenciavel.

Vamos determinar a representacao do gradiente de f na carta ϕ(x) = (x1, . . . , xn) dada

pelas coordenadas euclideanas. Como observamos na ultima secao, a matriz da metrica

Riemanniana induzida em relacao a esta carta e dada pela matriz identidade:(gij(x)

)=(

gij(x))= In e ∂

∂xi(x) = ei . Portanto, para o gradiente em coordenadas euclideanas temos

grad f(x) =

n∑

i=1

∂f

∂xi(x) · ∂

∂xi(x) =

( ∂f∂x1

(x), . . . ,∂f

∂xn(x)).

Exemplo 2: O gradiente de f : U ⊂ R2 −→ R em coordenadas polares:

Seja Φ(r, v) := (r cos v, r sen v) a parametrizacao por coordenadas polares. Na ultima secao

determinamos a matriz da metrica Riemanniana induzida na carta Φ−1. Seja x = Φ(r, v) e

f := f Φ denote a representacao de f na carta Φ−1. Entao

(gij(x)

)=

(1 0

0 r2

)e(gij(x)) =

(1 0

0 1r2

)

e

grad f(x) =∂f

∂r(r, v) · ∂

∂r(x) +

1

r2∂f

∂v(r, v) · ∂

∂v(x).

Exemplo 3: O gradiente duma funcao f : S2 −→ R em coordenadas esfericas:

Seja Φ(v, u) := (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao local da esfera por coorde-

nadas esfericas. Seja x = Φ(v, u) e seja f = f Φ a representacao de f nessas coordenadas.

Pela secao anterior, temos que, em relacao a carta definida pelas coordenadas esfericas, a

matriz da metrica Riemanniana induzida e dada por:

(gij(x)

)=

(cos2 u 0

0 1

)e (gij(x)) =

(1

cos2 u 0

0 1

).

Portanto, para o gradiente vale

grad f(x) =1

cos2 u

∂f

∂v(v, u) · ∂

∂v(x) +

∂f

∂u(v, u) · ∂

∂u(x).

37

O gradiente associa a cada funcao emM um campo vetorial. Agora consideramos o processo

inverso. Vamos associar a cada campo vetorial uma funcao..

Definicao. Seja X um campo vetorial numa subvariedade Mn ⊂ RN . A divergencia de X

e a funcao div(X) ∈ C∞, que a cada ponto x ∈M associa o numero

div (X)(x) :=n∑

i=1

〈ai(X), ai〉,

onde (a1, . . . , an) e uma base ortonormal do espaco vetorial euclideano (TxM, gx) e

ai(X) ∈ RN denota a derivada direcional da apliccao X :M −→ R

N em direcao ao vetor

ai.

Um argumento simples mostra que esta definicao independe da escolha da base ortonormal

(a1, . . . , an). Portanto, div (X) e bem-definido.

Querıamos descrever a divergencia por coordenadas locais tambem. Para isso, primeiro

mostramos um lema util.

Lema. Seja U : I −→ GL(n,C) uma curva diferenciavel no grupo das matrizes invertıveis.

Entao

Tr (U−1(s) U ′(s)) =d

dsln(detU(s)).

Demonstracao:

Primeiro passo: Seja A ∈ GL(n,C) uma matriz invertıvel e seja H ∈ M(n,C) uma matriz

qualquer. Entao

limt→ 0

det(A+ tH)− det(A)

t= det(A) · lim

t→0

det(In + tA−1H)− det Int

(∗).

Para o determinante, obtemos

det(In + tB) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + tb11 tb12 . . . tb1n

tb21 1 + tb22...

.... . .

...

tbn1 . . . tbnn−1 1 + tbnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 1 + tTr B +O(t2).

Para o limite, somente os termos constantes e os termos lineares em t sao relevantes. Por-

tanto,

(∗) = det(A) · Tr (A−1 H).

Segundo passo: Consideramos f(t) = det(U(s) + tU ′(s)). Derivamos e obtemos

f ′(0) = limt→0

det(U(s) + tU ′(s))− det(U(s))

t

1.= det(U(s)) · Tr (U−1(s) U ′(s)).

Agora a regra da cadeia implica que f ′(0) = d(det)U(s)(U′(s)) e

d

dtln(det(U(t)))|t=s =

1

det(U(s))

d

dt(det(U(t)))|t=s =

1

det(U(s))· d(det)U(s)(U

′(s))

=f ′(0)

det(U(s))= Tr (U−1(s) U ′(s)).

Agora mostremos a seguinte formula para a divergencia dum campo vetorial:

38

Teorema 8.2 Seja X um campo vetorial numa subvariedadeM e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn))

uma carta em M . Em relacao a esta carta, X tenha a representacao X =n∑i=1

ξi ∂∂xi

. Seja(gij(x) = gx(

∂∂xi

, ∂∂xj

))

a matriz da metrica em relacao a carta dada e seja(gij(x)

):=

(gij(x)

)−1a matriz inversa. Alem disso, seja θ(x) := det (gij(x)) o determinante desta

matriz. Entao no domınio U , temos

div (X) =1√θ

n∑

i=1

∂

∂xi(ξi

√θ).

Demonstracao: Seja ( ∂∂x1

(x), . . . , ∂∂xn

(x)) a base canonica induzida pela carta dada e seja

(a1, . . . , an) uma base ortonormal qualquer em TxM . Entao ai =n∑j=1

Aij∂∂xj

(x) para uma

matriz A = (Aij). Alem disso, seja E := (δij) a matriz identidade e seja G := (gij(x)) . As

matrizes G e A sao relacionadas da seguinte forma:

E = (gx(ai, aj)) =( n∑

k,l=1

AikgklAjl

)= A G At, also G−1 = At A

Em particular,

gij = (AtA)ij (∗)

Para a divergencia obtemos, pela definicao:

div (X) =

n∑

i=1

〈ai(X), ai〉 =n∑

i,k,l=1

Aik

⟨ ∂

∂xk(X),

∂

∂xl

⟩Ail

=n∑

k,l=1

( n∑

i=1

AikAil

)⟨ ∂

∂xk(X),

∂

∂xl

⟩

=

n∑

k,l=1

(AtA)kl

⟨ ∂

∂xk(X),

∂

∂xl

⟩(∗)=

n∑

k,l=1

gkl⟨ ∂

∂xk(X),

∂

∂xl

⟩

Agora substituimos X pela representacao X =n∑i=1

ξi ∂∂xi

e aplicamos as regras para a deri-

vada direcional. Alem disso, no seguinte calculo vamos usar que as derivadas direcionais e

vetores duma base canonica comutam segundo a formula

[ ∂

∂xk,∂

∂xj

]=

∂

∂xk

( ∂

∂xj

)− ∂

∂xj

( ∂

∂xk

)= 0.

Desta forma, obtemos

div (X) =

n∑

j,k,l=1

gkl(⟨ ∂

∂xk(ξj) ·

∂

∂xj,∂

∂xl

⟩+ ξj

⟨ ∂

∂xk

( ∂

∂xj

),∂

∂xl

⟩)

=

n∑

j,k,l=1

[ ∂

∂xk(ξj)g

klgjl + ξjgkl⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xk

),∂

∂xl

⟩]

=

n∑

j=1

∂

∂xj(ξj) +

n∑

j=1

ξj

n∑

k,l=1

gkl⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xk

),∂

∂xl

⟩(∗∗),

onde, na penultima linha no segundo termo, trocamos os indıces j e k segundo nossa ob-

servacao acima. Continuamos transformando o segundo termo. Para isso, separamos ele

em duas partes iguais e na segunda parte renomeamos os ındices k e l. Alem disso usamos

39

a simetria da metrica, a regra da derivada do produto escalar de aplicacoes com valores

vetoriais e o lema anterior.

n∑

k,l=1

gkl⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xk

),∂

∂xl

⟩=

1

2

n∑

k,l=1

gkl⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xk

),∂

∂xl

⟩+

1

2

n∑

l,k=1

glk⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xl

),∂

∂xk

⟩

=1

2

n∑

k,l=1

gkl⟨ ∂

∂xj

( ∂

∂xk

),∂

∂xl

⟩+

1

2

n∑

l,k=1

gkl⟨ ∂

∂xk,∂

∂xj

( ∂

∂xl

)⟩

=1

2

n∑

k,l=1

gkl∂

∂xj

(⟨ ∂

∂xk,∂

∂xl

⟩)

=1

2

n∑

k,l=1

gkl∂

∂xj(gkl) =

1

2Tr(G−1 ∂

∂xj(G))

Lema=

1

2

∂

∂xj(ln(detG))

=1

2

∂

∂xj(ln(θ)) =

∂

∂xj(ln

√θ) =

1√θ

∂

∂xj(√θ)

Com (∗∗) finalmente obtemos

div (X) =

n∑

j=1

[ ∂

∂xj(ξj) +

1√θ· ξi ∂

∂xj(√θ)]=

1√θ·∑

j=1

∂

∂xj(√θ · ξj).

De novo, consideramos nossos 3 exemplos:

Exemplo 1: A divergencia dum campo vetorial em coordenadas euclideanas:

Seja U ⊂ Rn aberto e sejam ϕ(x) = (x1, . . . , xn) as coordenadas euclideanas. Entao uma

base ortonormal no espaco tangente de x e dada por ∂∂xi

(x) = ei, i = 1, . . . , n. Seja X um

campo vetorial em U com X = (ξ1, . . . , ξn) =n∑i=1

ξi∂∂xi

. Entao

div (X)(x) =n∑

i=1

〈ei(X), ei〉Rn =n∑

i=1

ei(ξi) =n∑

i=1

∂ξi∂xi

(x).

Exemplo 2: A divergencia dum campo vetorial no R2 em coordenadas polares:

Seja Φ(r, v) = (r cos v, r sen v) a parametrizacao por coordenadas polares, seja x0 = Φ(r0, v0)

e sejam as funcoes ξ1, ξ2 dados por X(x) = ξ1(r, v)∂∂r(x) + ξ2(r, v)

∂∂v

(x) (onde sempre

x = Φ(r, v)). Temos θ(x0) = r20. Portanto,

div (X)(x0) =1

r0

(∂(rξ1)

∂r(r0, v0) +

∂(rξ2)

∂v(r0, v0)

)=∂ξ1∂r

(r0, v0)+1

r0ξ1(r0, v0)+

∂ξ2∂v

(r0, v0).

Exemplo 3: A divergencia dum campo vetorial X na esfera S2 em coordenadas esfericas:

Seja Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao por coordenadas esfericas,

seja x0 = Φ(v0, u0) e sejam ξ1, ξ2 dados pela representacao local X(x) = ξ1(v, u)∂∂v

(x) +

ξ2(v, u)∂∂u

(x) do campo vetorial X nas coordenadas esfericas. Entao θ(x0) = cos2 u0 .

40

Portanto,

div (X)(x0) =1

cosu0

(∂(cosu ξ1)

∂v(v0, u0) +

∂(cosu ξ2)

∂u(v0, u0)

)

=∂ξ1∂v

(v0, u0)−senu0cosu0

ξ2(v0, u0) +∂ξ2∂u

(v0, u0).

Finalmente, definimos o Laplaciano (ou: operador de Laplace) para funcoes definidas em

subvariedades.

Definicao. Seja M ⊂ RN uma subvariedade e seja f : M −→ R uma funcao suave em M

com valores reais. seja o seguinte operador em C∞(M):

: C∞(M) −→ C∞(M)

f 7−→ div (grad f).

O operador chama-se operador de Laplace.

Em coordenadas locais podemos representar o operador de Laplace da seguinte forma.

Teorema 8.3 Seja M ⊂ RN uma subvariedade, seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em

M e seja f ∈ C∞(M). Entao, com as notacoes do Teorema 8.2, vale:

f =1√θ

n∑

i,j=1

∂

∂xj

(√θ · ∂

∂xi(f) · gij

).

Demonstracao: Por definicao, temos f = div (grad f). Dos Teoremas 8.1 e 8.2 (repre-

sentacoes locais de div e grad), segue que no domınio U :

(f |U ) = div

( n∑

j=1

( n∑

i=1

gij∂

∂xi(f)) ∂

∂xj

)=

1√θ

n∑

j=1

∂

∂xj

(√θ

n∑

i=1

gij∂

∂xi(f)

)

=1√θ

n∑

i,j=1

∂

∂xj

(√θ∂

∂xi(f)gij

).

Exemplo 1: O operador de Laplace em coordenadas euclideanas:

Seja M = Rn e sejam ϕ(x) = (x1, . . . , xn) as coordenadas euclideanas. Entao temos

f =

n∑

j=1

∂2f

∂x2j.

Exemplo 2: O operador de Laplace em coordenadas polares no R2:

Sejam Φ(r, v) = (r cos v, r sen v) as coordenadas polares, x = Φ(r, v) e f := f Φ a repre-

sentacao correspondente de f . Entao

f(x) = ∂2f

∂r2(r, v) +

1

r

∂f

∂r(r, v) +

1

r2∂2f

∂v(r, v).

Exemplo 3: O operador de Laplace na S2 em coordenadas esfericas.

Sejam Φ(v, u) = (cos v cosu, sen v cosu, senu) a parametrizacao por coordenadas esfericas,

x = Φ(v, u) e f := f Φ a representacao de f em coordenadas esfericas. Entao vale

f(x) = 1

cos2 u

∂2f

∂v(v, u) +

∂2f

∂u(v, u)− tanu

∂f

∂u(v, u).

41

Finalmente, mostramos algumas regras de produto para o gradiente, a divergencia e o La-

placiano.

Teorema 8.4 (Regras do produto) Seja M uma subvariedade, sejam f, h ∈ C∞(M) e

seja X um campo vetorial em M . Entao

1. grad (f · h) = f · grad (h) + h · grad (f),

2. div (f ·X) = f · div (X) +X(f),

3. (f · h) = f · h+ h · f + 2〈 grad (f), grad (h) 〉.

Demonstracao: 1.) Seja Y um campo vetorial qualquer em M . Entao para a derivada

direcional vale

〈 grad (f · h), Y 〉 = Y (f · h) = h · Y (f) + f · Y (h) = 〈h · grad (f) + f · grad (h), Y 〉.

A afirmacao segue do fato de 〈·, ·〉 (e sua restricao em cada TxM×TxM) ser nao-degenerado.

2.) Localmente, escolhemos um campo de bases ortonormais (a1, . . . , an) sobre U ⊂ M .

Entao o campo vetorialX pode ser representado sobre U , nesta base, por X :=n∑i=1

〈X, ai〉ai .Segue que

div (f ·X) =

n∑

i=1

〈ai(f ·X), ai〉 =n∑

i=1

〈ai(f) ·X + f · ai(X), ai〉

=

n∑

i=1

〈X, ai〉 ai(f) + f · 〈ai(X), ai〉

= X(f) + f · div (X).

3.) Temos

(f · h) = div (grad (f · h)) 1.)= div (h · grad (f) + f · grad (h))

2.)= grad (f)(h) + h · f + grad (h)(f) + f · h= 2〈grad (h), grad (f)〉+ h · f + f · h.

42

Capıtulo 9

Formas diferenciais em

subvariedades

Do mesmo jeito que nos casos de campos vetoriais e de orientacoes, podemos generalizar for-

mas multilineares alternadas de espacos vetoriais para subvariedades. Obtemos as chamadas

formas diferenciais em subvariedades, que vamos definir e analisar nesta secao. Nas proximas

secoes vamos usar esta formas diferenciais para definir medidas em variedades orientadas

e analisar as propriedades das integrais associadas. Formas diferenciais jogam um papel

importante na modelagem de problemas matematicos e fıscos. Com a ajuda delas da para

descrever curvaturas na geometria ou caracterizar propriedades analıticas de variedades.

9.1 Preliminares algebricas

Antes de definir formas diferenciais, lembramos alguns conceitos da Algebra.

Seja V uma espaco vetorial real de dimensao n. Uma k–forma alternada em V e uma

aplicacao ω : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

−→ R com as propriedades

1. ω e multilinear, isto e, linear em cada componente, e

2. ω e alternada: ω(. . . , v1, . . . , v2, . . .) = −ω(. . . , v2, . . . , v1, . . .).

Por ΛkV ∗, denotamos o espaco vetorial das k–formas alternadas em V . Em particular,

temos Λ1V ∗ = V ∗.

Dadas duas formas multilineares alternadas, podemos usar a seguinte operacao para definir

uma nova tal forma:

ΛkV ∗ × ΛlV ∗ −→ Λk+lV ∗

(ω, σ) 7→ ω ∧ σ

onde

(ω ∧ σ)(v1, v2, . . . , vk+l) :=∑

π∈Sk+l,

π(1)<...<π(k),π(k+1)<...<π(k+l)

sgn(π)ω(vπ(1), . . . , vπ(k)) · σ(vπ(k+1), . . . , vπ(k+l)).

(Sk+l aqui denota o grupo de permutacoes dos numeros 1, . . . , k + l.)

43

Seja (a1, . . . , an) uma base de V e denote por (σ1, . . . , σn) a base dual em V ∗. Entao

σi1 ∧ . . . ∧ σik | 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n (∗)

e uma base no espaco vetorial ΛkV ∗ das k-formas. Em particular, a dimensao do espaco das

k-formas dum espaco vetorial n-dimensional e dada por dim ΛkV ∗ =(nk

). Uma k-forma ω

pode ser representada na base (∗) da seguinte maneira:

ω =∑

I=(1≤i1<...<ik≤n)

ω(ai1 , . . . , aik)σi1 ∧ . . . ∧ σik (∗∗)

Os numeros ω(ai1 , . . . , aik) =: ωi1...ik ∈ R sao chamados de componentes de ω em relacao a

base (σ1, . . . , σn) .

A seguinte notacao e frequentemente usada para a representacao (∗∗): Dado um multiindice

ordenado I = (1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n), definimos

ωI := ω(ai1 , . . . , aik) e σI := σi1 ∧ . . . ∧ σik .

Em outras palavras, escrevemos a representacao de ω (em relacao a base σi1 ∧ . . .∧σik | 1 ≤i1 < i2 < . . . < ik ≤ n) na forma concisa

ω =∑

I

ωI σI .

Finalmente, ainda lembramos a seguinte regra para n–formas num espaco vetorial V n de

dimensao n:

Seja ω ∈ ΛnV ∗ e sejam (a1, . . . , an) e (b1, . . . , bn) bases de V . Seja B = (Bij) a matriz de

transformacao entre estas bases ( aj =∑i

Bijbi ). Entao

ω(a1, . . . , an) = det(B)ω(b1, . . . , bn).

9.2 Teorema de localizacao para formas diferenciais

Agora querıamos generalizar estas formas multilineares alternadas a uma subvariedade

M . Em analogia aos casos de campos vetoriais e de orientacoes, consideramos famılias de

formas alternadas nos espacos tangentes TxM de M que dependem suavemente do pe x.

Definicao. Uma famılia ωxx∈M de k–formas alternadas ωx ∈ ΛkT ∗xM e chamada suave

se a funcao

x ∈M −→ ωx(X1(x), . . . , Xk(x)) ∈ R

for suave para todos os campos vetoriais X1, . . . Xk ∈ X(M).

Definicao. Uma forma diferencial de grau k (ou: uma k–forma) numa subvariedade M e

uma forma C∞(M)–multilinear alternada em X(M), isto e., uma aplicacao

ω : X(M)× . . .× X(M)︸︷︷︸k vezes

−→ C∞(M),

com as propriedades

1. ω e adiditva em cada componente,

44

2. ω(X1, . . . , Xi−1, fXi, Xi+1, . . . , Xk) = fω(X1, . . . , Xk),

para f ∈ C∞(M) e X1, . . . , Xk ∈ X(M)

3. ω(. . . , Xi, . . . , Xj , . . .) = −ω(. . . , Xj , . . . , Xi, . . .) para todo Xi, Xj ∈ X(M).

O espaco de todas as k-formas em M vai ser denotado por Ωk(M). Alem disso definimos

Ω0(M) := C∞(M).

Observacao: Ωk(M) e um modulo sobre o anel C∞(M) das funcoes suaves.

Vamos mostrar que os conceitos “k-forma na subvariedade M” e “famılia suave de k-formas

em cada espaco tangente a M” das duas definicoes acima sao equivalentes. Primeiro,

consideramos um exemplo.

Exemplo: Seja f :M −→ R uma funcao suave emM . Consideramos a 1-forma df ∈ Ω1(M)

dada pela derivada direcional de f por campos vetoriais:

df : X(M) −→ C∞(M)

X 7→ df(X) := X(f).

A 1-forma df ∈ Ω1(M) chama-se diferencial de f .

Por outro lado, para cada ponto x ∈M , temos a diferencial de f no ponto x que e a forma

linear dfx : TxM −→ R , isto e, df x ∈ Λ1T ∗xM . A 1–forma df e corresponde a famılia suave

de 1–formas df xx∈M pela relacao

(df (X))(x) := X(f)(x) = df x(X(x)).

Esta relacao vale em geral como vai seguir do seguinte teorema.

Teorema 9.1 (Teorema de localizacao para k–formas) Seja ω ∈ Ωk(M) uma k–

forma em M e sejam X1, . . . , Xk ∈ X(M). Entao, em qualquer ponto x ∈ M , o valor

ω(X1, . . . Xk)(x) e unicamente determinado pelos vetores X1(x), . . . Xk(x) in TxM .

Demonstracao: Seja x ∈M um ponto qualquer fixo e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta

em torno de x com a base canonica ( ∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

). Escolhemos uma funcao f ∈ C∞(M)

que tem suporte em U e tal que f(x) = 1. Agora sejam X1, . . . , Xk e X1, . . . , Xk duas k-

uplas de campos vetoriais em M tais que Xi(x) = Xi(x) para todo i = 1, . . . , k. Queremos

mostrar que

ω(X1, . . . , Xk)(x) = ω(X1, . . . , Xk)(x).

Para isso, consideramos os seguintes campos vetoriais Y1, . . . , Yn definidos em M todo:

Yi :=

f · ∂

∂xiem U

0 em M \ U

Como o suporte da funcao f e contido em U , os campos vetoriais Yi sao bem-definidos. Os

campos vetoriais fXj e fXj , respectivamente, podem ser representados na forma

fXj =

n∑

i=1

ξjiYi e fXj =

n∑

i=1

ξjiYi,

45

onde ξji e ξji sao funcoes suaves emM . Por hipotese, temos ξji(x) = ξji(x) para i = 1, . . . , n

e j = 1, . . . , k. Isso implica

ω(X1, . . . , Xk)(x) = fk(x) · ω(X1, . . . , Xk)(x) =((fkω)(X1, . . . , Xk)

)(x)

= ω(fX1, . . . , fXk)(x)

=

n∑

i1,...,ik=1

ξ1i1(x) · . . . · ξkik(x) · ω(Y1, . . . , Yk)(x)

=

n∑

i1,...,ik=1

ξ1i1(x) · . . . · ξkik(x) · ω(Y1, . . . , Yk)(x)

= ω(fX1, . . . , fXk)(x) = . . . = ω(X1, . . . , Xk)(x).

Aplicando o Teorema 9.1, obtemos uma bijecao entre o modulo Ωk(M) das k–formas em M

e as famılias suaves de k–formas ωxx∈M com ωx ∈ ΛkT ∗xM :

1. Se ω ∈ Ωk(M) e uma k-forma em M , entao definimos uma famılia suave ωxx∈Mde k–formas ωx ∈ ΛkT ∗

xM por

ωx(v1, . . . , vk) := ω(X1, . . . , Xk)(x) , onde Xi ∈ X(M) tal que Xi(x) = vi ∈ TxM

O teorema acima diz que ωx(v1, . . . vk) e bem-definido, pois nao depende da escolha

da extensao dos vetores vi pelos campos vetoriais Xi.

2. Por outro lado, seja ωxx∈M uma famılia suave de k–formas ωx ∈ ΛkT ∗xM . Definimos

uma k-forma ω ∈ Ωk(M) por

ω(X1, . . . , Xk)(x) := ωx(X1(x), . . . , Xk(x)) , X1, . . . , Xk ∈ X(M).

Definicao. Seja U ⊂ M um subconjunto aberto, seja ω ∈ Ωk(M) uma k-forma e seja

ω=ωxx∈M a famılia suave correspondendo a ω. A restricao ω|U ∈ Ωk(U) de ω a U e

k–forma que corresponde a famılia suave ωxx∈U .

9.3 Calculo com formas diferenciais

(1) Formas induzidas.

Seja F :M −→ N uma aplicacao suave entre subvariedades. Queremos ver como cada forma

diferencial no contra-domınio N induz uma forma diferencial em M por meio de F .

F induz uma aplicacao

F ∗ : Ωk(N) −→ Ωk(M),

ω 7−→ F ∗ω

definida da seguinte maneira: Seja ω uma k-forma no contra-domınio N . Definimos a k–

forma induzida (ou: o pull-back) F ∗ω ∈ Ωk(M) por meio de F pela seguinte famılia suave

(F ∗ω)xx∈M de k-formas:

(F ∗ω)x(v1, . . . , vk) := ωF (x)(dFx(v1), . . . , dFx(vk)) , vi ∈ TxM .

46

Portanto, temos para campos vetoriais X1, . . . , Xk em M que

(F ∗ω)(X1, . . . , Xk)(x) := ωF (x)(dFx(X1(x)), . . . , dFx(Xk(x))).

Observamos que para um campo vetorial X ∈ X(M) e uma aplicacao suave sobrejetora

F : M −→ N , a famılia de vetores dFx(X(x))x∈M geralmente nao define um campo

vetorial em N .

A seguinte propriedade do pull-back segue imediatamente da regra da cadeia.

Teorema 9.2 Se M , N e P sao subvariedades, F ∈ C∞(M,N), G ∈ C∞(N,P ) e ω ∈Ωk(N), entao

(G F )∗ω = G∗(F ∗ω).

(2) O produto alternado.

Como no caso dos espacos vetoriais, podemos definir uma operacao que leva duas formas

diferenciais ω e σ a uma nova forma diferencial ω ∧ σ, o chamado produto alternado ou

produto exterior:

∧ : Ωk(M)× Ωl(M) −→ Ωk+l(M)

(ω, σ) 7−→ ω ∧ σ

Sejam ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M) tal que k, l > 0. Entao definimos ω ∧ σ ∈ Ωk+l(M) por

(ω ∧ σ)(X1, . . . , Xk+l) :=∑

π∈Sk+l,

π(1)<...<π(k),π(k+1)<...<π(k+l)

sgn(π) ω(Xπ(1), . . . , Xπ(k)) · σ(Xπ(k+1), . . . , Xπ(k+l)),

Para f ∈ Ω0(M) = C∞(M) e ω ∈ Ωk(M) definimos

f ∧ ω = ω ∧ f := f · ω.

Em analogia ao produto alternado de formas multilineares em espacos vetoriais, obtemos

as seguintes propriedades do produto alternado de formas diferencias, que deixamos como

exercıcio para o leitor.

Teorema 9.3 O produto alternado ∧ de formas diferenciais possui as seguintes proprieda-

des:

1. Se ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M), entao ω ∧ σ ∈ Ωk+l(M).

2. ∧ e C∞(M)–linear em cada componente.

3. ∧ e associativo.

4. Se ω ∈ Ωk(M) e σ ∈ Ωl(M), entao ω ∧ σ = (−1)k·l(σ ∧ ω).

5. Seja F :M −→ N uma aplicacao suave e sejam ω ∈ Ωk(N) e σ ∈ Ωl(N) duas formas

diferencias no contra-domınio N . Entao

F ∗(ω ∧ σ) = (F ∗ω) ∧ (F ∗σ).

(3) O produto interior.

47

Seja X um campo vetorial em M . A aplicacao

iX : Ωk(M) −→ Ωk−1(M)

ω 7→ iXω

definida por

(iXω)(X1, . . . , Xk−1) := ω(X,X1, . . . , Xk−1)

chama-se produto interior de ω pelo campo vetorial X. O seguinte teorema descreve al-

gumas propriedades do produto interno. A demonstracao e feita aplicando as definicoes

formalmente (Exercıcio).

Teorema 9.4 (Propriedades do produto interior)

1. ifX ω = iX(f ω) = f · iXω,

2. iX(ω ∧ σ) = (iXω) ∧ σ + (−1)degωω ∧ (iXσ),

3. Seja F :M −→ N uma aplicacao suave e sejam X ∈ X(M) e Y ∈ X(N) dois campos

vetoriais, relacionados por F (quer dizer, Y (F (x)) = dFx(X(x)) para todo x ∈ M).

Se ω ∈ Ωk(N) , entao

F ∗(iY ω) = iX(F ∗ω).

(4) A representacao local duma forma diferencial.

Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x ∈M , seja ( ∂∂x1

(x), . . . , ∂∂xn

(x)) a base

canonica de TxM definida por esta carta e seja ((dx1)x, . . . , (dxn)x) a base dual de T ∗xM .

Entao ∂∂xi

sao campos vetoriais no domınio U e as diferenciais dxi das funcoes-coordenadas

sao 1-formas em U .

Por definicao, para o produto alternado dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∈ Ωk(U) vale

(dxi1 ∧ . . . ∧ dxik)( ∂

∂xj1, . . . ,

∂

∂xjk

)=

sgn

(i1, . . . , ik

j1, . . . , jk

), se

(IJ

)∈ Sk

0, se(IJ

)6∈ Sk

.

Em analogia a representacao duma k-forma em relacao a uma base na Algebra obtemos a

seguinte representacao duma forma diferencial ω ∈ Ωk(M) no o domınio U duma carta:

ω|U =∑

I=(1≤i1<...<ik≤n)

ωi1...ikdxi1 ∧ . . . ∧ dxik =:∑

I

ωIdxI , (∗)

onde as funcoes ωI := ωi1...ik ∈ C∞(U) sao dadas por

ωi1...ik(x) = ω|U( ∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik

)(x) = ωx

( ∂

∂xi1(x), . . . ,

∂

∂xik(x)).

Chamamos (∗) de representacao local de ω em relacao a carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)).

As aplicacoes

ωi1...ik (ϕ−1) : ϕ(U) −→ R

chamam-se coeficientes locais da forma ω em relacao a (U,ϕ).

As regras dadas ate agora foram regras algebricas, isto e, regras que valem em algum ponto

fixo. As seguintes duas operacoes descrevem regras de diferenciacao para formas diferenciais.

48

(5) A diferencial duma k–forma.

Na Secao 9.2, ja definimos a diferencial duma funcao suave. Essa foi a seguinte aplicacao

que leva cada 0-forma (=funcao) a uma 1-forma:

d : C∞(M) −→ Ω1(M)

f 7−→ df onde df(X) := X(f)

A representacao local de df em relacao a uma carta (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e dada por

df =

n∑

i=1

df( ∂

∂xi

)dxi =

n∑

i=1

∂

∂xi(f) dxi.

Agora definimos a diferencial nas k-formas para k ≥ 1. Ela leva cada k-forma a uma

(k + 1)-forma. A aplicacao

d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M) ,

ω 7−→ dω

seja definida por

dω(X0, . . . , Xk) :=

k∑

j=0

(−1)jXj

(ω(X0, . . . , Xj , . . . , Xk)

)

+∑

0≤α<β≤k

(−1)α+βω([Xα, Xβ ], X0, . . . , Xα, . . . , Xβ , . . . , Xk).

(Aqui o “chapeu” numa entradaXi (isto e, Xi) significa que o campo vetorial correspondente

e omitido.)

d chama-se diferencial no espaco das k–formas, dω e a diferencial de ω.

Como casos especiais, obtemos, por exemplo, a diferencial de 1- e 2-formas, respectivamente.

1. Seja ω ∈ Ω1(M) uma 1-forma. Entao

dω(X,Y ) = X(ω(Y ))− Y (ω(X))− ω([X,Y ]).

2. Seja ω ∈ Ω2(M) uma 2-forma. Entao

dω(X,Y, Z) = X(ω(Y,Z))− Y (ω(X,Z)) + Z(ω(X,Y )

−ω([X,Y ], Z) + ω([X,Z], Y )− ω([Y,Z], X).

Teorema 9.5 (Propriedades da diferencial)

1. A aplicacao d : Ωk(M) −→ Ωk+1(M) e bem-definida e linear.

2. Seja ω ∈ Ωk(M) e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em M tal que ω tenha a

representacao local ω|U =∑I

ωIdxI . Entao a representacao local de dω e dada por

dω|U =∑

I

dωI ∧ dxI .

3. d(ω ∧ σ) = dω ∧ σ + (−1)degωω ∧ dσ.

49

4. ddω = 0 para todo ω ∈ Ωk(M) e k ≥ 0.

5. Se F :M −→ N e uma aplicacao suave e ω ∈ Ωk(N), entao

d(F ∗ω) = F ∗dω.

Demonstracao: Sobre 1.) Por definicao, d obviamente e linear. dω e alternada pois a

k-forma ω e o comutador [·, ·] o sao. A linearidade C∞ de dω segue das regras para o

comutador do Teorema 5.3. Por exemplo, usamos a regra [fX, Y ] = f [X,Y ] − Y (f)X.

Portanto, dω ∈ Ωk+1(M).

Sobre 2.) A k-forma ω tenha a representacao local

ω|U =∑

I

ωIdxI .

Sabemos de 1.) que dω e uma (k+ 1)-forma e, portanto, possui uma representacao local da

forma

dω|U =∑

(J=1≤j0<...<jk≤n)

(dω)( ∂

∂xj0, . . . ,

∂

∂xjk

)· dxJ

def.=∑

J

[ k∑

α=0

(−1)α∂

∂xjα

(ω( ∂

∂xj0, . . . ,

∂

∂xjα, . . . ,

∂

∂xjk

))]· dxJ + 0,

onde usamos [ ∂∂xi

, ∂∂xj

] = 0 . Trocando as diferenciais, obtemos

dω|U =∑

J=(I,jα)

[ k∑

α=0

( ∂

∂xjα(ωI)

)]· dxjα ∧ dxI =

∑

I

[ n∑

j=1

∂

∂xj(ωI) · dxj

]∧ dxI

=∑

I

dωI ∧ dxI .

Sobre 3.) Sem perda de generalidade, podemos supor ω = f dxI e σ = g dxJ , pois d e linear

e uma operacao local. As regras conhecidas para formas diferenciais implicam

d(ω ∧ σ) = d(f dxI ∧ g dxJ) = d(fg dxI ∧ dxJ) 2.= d(fg) ∧ dxI ∧ dxJ

PR= (g df + f dg) ∧ dxI ∧ dxJ 9.3

= df ∧ dxI ∧ g dxJ + dg ∧ f dxI ∧ dxJ

= df ∧ dxI ∧ σ + dg ∧ ω ∧ dxJ 2.= (dω) ∧ σ + (−1)degωω ∧ dσ.

Sobre 4.) Primeiro, mostramos a afirmacao para k = 0. Para isso, seja f ∈ C∞(M). Entao

pela definicao da diferencial e pelas propriedades do comutador do Teorema 5.3 temos

d(df )(X,Y )def .= X(df (Y ))−Y (df (X))−df ([X,Y ]) = X(Y (f))−Y (X(f))− [X,Y ](f) = 0.

Agora seja k ≥ 1 e seja ω ∈ Ωk(M) uma k-forma com a representacao local ω =∑I

ωIdxI .

Entao

d(dω)2.=∑

I

d(dωI ∧ dxI) =∑

I

[d(dωI) ∧ dxI − dωI ∧ d(dxI)].

Como ωI ∈ C∞(M) e dxI = dxik ∧ . . . ∧ dxik , do caso k = 0 segue d(dω) = 0 por 3.).

Sobre 5.) Mostramos a afirmacao por inducao pelo grau de ω. Seja k = 0 e seja f ∈C∞(N) = Ω0(N). Entao (F ∗f)(x) = f(F (x)). Portanto,

d(F ∗f)x(v) = d(f F )x(v) RC= (df )F (x)

(dFx)(v)

)= (F ∗df )x(v),

50

isto e, d(F ∗f) = F ∗df .

Agora supomos que a afirmacao ja tenha sido estabelecida para k-formas e analisamos o

caso de (k+1)-formas: Seja ω uma (k+1)-forma. Como acima, podemos supor, sem perda

de generalidade, que ω = fdxJ , onde J = (1 ≤ j0 < · · · < jk ≤ n) e um multi-ındice

ordenado. No seguinte calculo, seja I o multi-ındice I = (j0 < · · · < jk−1) . Entao obtemos

das regras conhecidas e da hipotese da inducao que

d(F ∗ω) = d(F ∗(fdxJ )) = d(F ∗[(fdxj0 ∧ . . . ∧ dxjk−1) ∧ dxjk ])

9.3= d(F ∗(fdxI) ∧ F ∗dxjk)3.= d(F ∗(fdxI)) ∧ F ∗dxjk + (−1)kF ∗(fdxI) ∧ d(F ∗dxjk)

H .I .= F ∗(d(fdxI)) ∧ F ∗dxjk + (−1)kF ∗(fdxI) ∧ (ddF ∗xjk)4.&

9.3= F ∗(d(fdxI) ∧ dxjk)3.= F ∗(d(fdxI ∧ dxjk)) = F ∗dω.

9.4 Formas diferenciais fechadas e exatas

Definicao. Uma k–forma ω ∈ Ωk(M) e chamada fechada se dω = 0. Uma k–forma

ω ∈ Ωk(M) e chamada exata se existir uma (k − 1)–forma η ∈ Ωk−1(M) tal que dη = ω .

Como d d = 0 , cada forma diferencial exata e fechada.

Exemplo 1: Consideramos a seguinte 1–forma ω emM = R2 (em coordenadas euclideanas)

ω = y dx+ x dy.

1. ω e fechada pois

dω = dy ∧ dx+ dx ∧ dy = −dx ∧ dy + dx ∧ dy = 0.

2. ω e exata pois para a funcao f ∈ C∞(R2) com f(x, y) := x · y temos

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = y dx+ x dy = ω.

Exemplo 2: Consideramos um conjunto aberto U ⊂ R2 com coordenadas euclideanas (x, y)

e uma 1–forma ω ∈ Ω1(U)

ω = Pdx+Qdy, onde P,Q ∈ C∞(U).

Aplicando as regras dx ∧ dx = 0, dy ∧ dy = 0, dx ∧ dy = −dy ∧ dx obtemos

dω = dP ∧ dx+ dQ ∧ dy

=

(∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy

)∧ dx+

(∂Q

∂xdx+

∂Q

∂ydy

)∧ dy

=

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dx ∧ dy.

51

Portanto, vale

dω = 0 ⇔ ∂Q

∂x=∂P

∂y.

Por outro lado, ω e exata (isto e, existe uma funcao suave φ ∈ C∞(U) tal que dφ = ω) se,

e somente se,

Pdx+Qdy = ω = dφ =∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy,

o que equivale a

P =∂φ

∂xe Q =

∂φ

∂y. (∗)

Exemplo 3: No R3, cada 1-forma fechada ω ∈ Ω1(R2) e exata:

Para achar uma funcao φ ∈ C∞(R2) com dφ = ω, supomos que ja tenhamos uma tal funcao

φ. Integramos a funcao ∂φ∂x

pela variavel x e usamos o criterio (∗):

φ(x, y) =

∫ x

0

∂φ

∂x(t, y)dt+ φ(0, y) =

∫ x

0

P (t, y)dt+ φ(0, y)

φ(0, y) =

∫ y

0

∂φ

∂y(0, s)ds+ φ(0, 0) =

∫ y

0

Q(0, s)ds+ φ(0, 0).

Portanto, definimos

φ(x, y) :=

∫ x

0

P (t, y)dt+

∫ y

0

Q(0, s)ds.

φ e suave e de fato satisfaz a condicao (∗): P = ∂φ∂x

pelo teorema fundamental do calculo.

Para verificar Q = ∂φ∂y

, temos de usar tambem que ω e fechada:

∂φ

∂y(x, y) =

∫ x

0

∂P

∂y(t, y)dt+Q(0, y)

dω=0=

∫ x

0

∂Q

∂x(t, y)dt+Q(0, y)

= Q(x, y)−Q(0, y) +Q(0, y) = Q(x, y).

Se uma 1–forma fechada nao e definida no R2 todo, ela geralmente nao precisa ser exata.

Esta propriedade depende do tipo do domınio U ⊂ R2 onde ω e definida.

Exemplo 4: A forma de angulo.

Consideramos a 1–forma ω ∈ Ω1(R2 \ (0, 0)) dada por

ω(x, y) = − y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy (forma de angulo).

ω e fechada como da para calcular facilmente como no Exemplo 2. Mas ω nao e exata. Para

mostrar isso, consideramos algum k ∈ Z e a curva γ : [0, 2π] → R2 \ (0, 0)

γ(t) := (r cos(kt), r sen(kt))

que percorre k vezes a circunferencia de raio r. Consideramos a integral em curva de ω ao

longo de γ: ∫

γ

ω :=

∫ 2π

0

ωγ(t)(γ′(t))dt.

Como γ′(t) = (−rk sen(kt), rk cos(kt)) e ∂∂x

= e1,∂∂y

= e2, obtemos

ωγ(t)(γ′(t)) = −r sen(kt)

r2(−rk sen(kt)) + r cos(kt)

r2rk cos(kt) = k.

52

Portanto, ∫

γ

ω =

∫ 2π

0

kdt = 2πk.

Em outras palavras, a integral de ω ao longo de γ conta quantas vezes γ percorre a cir-

cunferencia. Supondo que ω seja exata, existiria uma funcao φ ∈ C∞(R2 \ (0, 0) tal que

dφ = ω. Entao terıamos

ωγ(t)(γ′(t)) = dφγ(t)(γ

′(t)) = (φ γ)′(t)

e para a integral em curva seguiria

∫

γ

ω =

∫ 2π

0

(φ γ)′(t)dt = φ(γ(2π))− φ(γ(0)) = 0.

Isto e uma contradicao para k ∈ Z \ 0.

Agora mostramos que para qualquer conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn toda k-forma

fechada ω ∈ Ωk(U) tambem e exata.

Lembre que um conjunto U ⊂ Rn e chamado estrelado (em relacao a x0 ∈ U) se para todo

x ∈ U o segmento x0x e completamento contido em U .

Lema de Poincare:

Num conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn, cada k-forma (k ≥ 1) fechada e exata.

Demonstracao: Aqui vamos dar uma demonstracao direta que tambem serve para ilus-

trar o calculo com formas diferenciais. Nossa demonstracao consiste em dois passos. No

primeiro vamos mostrar que basta mostrar a afirmacao para conjuntos abertos e estrelados

em relacao ao vetor nulo o ∈ Rn. No segundo passo mostramos o Lema de Poincare para

k-formas fechadas em conjuntos abertos e estrelados em relacao a o.

Primeiro passo: Supomos que a afirmacao do Lema de Poincare valha para qualquer con-

junto aberto no Rn que e estrelado em relacao a o. Seja U ⊂ R

n um conjunto aberto e

estrelado. U seja estrelado em relacao a x0 ∈ U . Consideramos o seguinte conjunto aberto

e estrelado em relacao a o:

U := U − x0 = x− x0 | x ∈ U ⊂ Rn.

Agora seja ω ∈ Ωk(U) fechada, isto e, supomos dω = 0. Consideramos o difeormorfismo

φ : U → U

x 7−→x+ x0

e a forma φ∗ω induzida por ω por meio de φ. Entao φ∗ω ∈ Ωk(U) e d(φ∗ω) = φ∗dω = 0.

Segundo nossa hipotese, existe uma (k − 1)-forma η ∈ Ωk−1(U) tal que

dη = φ∗ω.

Para a aplicacao inversa φ−1 e a forma induzida η := (φ−1)∗η ∈ Ωk−1(U), temos:

dη = d((φ−1)∗η) = (φ−1)∗dη = (φ−1)∗(φ∗ω) = (φ−1)∗ φ∗ω = ω.

Portanto, ω e exata em U e basta mostrar a afirmacao do Lema de Poincare para conjuntos

abertos no Rn que contem o vetor nulo o e sao estrelados em relacao a o.

53

Segundo passo: Agora seja U ⊂ Rn um conjunto aberto que contem o vetor nulo o e e

estrelada em relacao a o. Para mostrar a afirmacao do Lema de Poincare, definimos, para

cada nıvel k ≥ 1, um operador linear

Sk : Ωk(U) −→ Ωk−1(U)

e mostramos que, para cada k-forma ω, vale a formula

ω = Sk+1(dω) + dSk(ω).

Em particular, se ω e fechado (dω = 0), entao segue para a (k − 1)-forma η := Sk(ω), que

dη = ω e obtemos o Lema de Poincare.

Seja ω uma k-forma em U . Representamos ω nas coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn):

ω =∑

I:=(1≤i1<...<ik≤n)

ωI dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,

onde

ωI = ω|U

(∂

∂xi1, . . . ,

∂

∂xik

)∈ C∞(U).

Definimos a (k − 1)-forma Sk(ω) ∈ Ωk−1(U) por meio dos coeficientes ωI de ω por

Sk(ω)x :=∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1

1∫

0

tk−1ωI(tx)dt

xiα

︸︷︷︸=:θ(x)

·dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

Como U e estrelado em relacao a o, ωI(tx) e definido para todo t ∈ [0, 1] e, portanto, a

forma Sk(ω) tambem e bem-definida. Obviamente, θ ∈ C∞(U) e a aplicacao ω 7→ Sk(ω) e

linear.

Para a diferencial de Sk(ω), obtemos

dSk(ω)x :=∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1 ·

n∑

j=1

∂θ

∂xj(x)dxj

︸︷︷︸=dθ

∧dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1 ·n∑

j=1

∂

∂xj

1∫

0

tk−1ωI(tx)dt · xiα

dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1 ·n∑

j=1

1∫

0

tk∂ωI∂xj

(tx)dt

· xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

+∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1 ·k∑

β=1

1∫

0

tk−1ωI(tx)dt

· dxiβ ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

k∑

α=1

(−1)α−1 ·n∑

j=1

1∫

0

tk∂ωI∂xj

(tx) dt

· xiα · dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

+∑

I

1∫

0

k · tk−1ωI(tx)dt

· dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

54

Para a diferencial de ω, vale

dω=∑

I

dωI ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

n∑

j=1

∂ωI∂xj

· dxj︸︷︷︸

dωI

∧dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .

Agora usamos o mesmo processo que acima para associarmos a (k + 1)-forma dω a k-forma

Sk+1(dω) em U e obtemos:

Sk+1(dω)x=∑

I

n∑

j=1

(∫ 1

0

tk∂ωI∂xj

(tx) dt

)xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik −

−∑

I

k∑

α=1

n∑

j=1

(−1)α−1

(∫ 1

0

tk∂ωI∂xj

(tx) dt

)xiα dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxiα ∧ . . . ∧ dxik

Somando as formulas para dSk(ω) e Sk+1(dω) e aplicando a regra da cadeia, obtemos:

dSk(ω) + Sk+1(dω)=∑

I

1∫

0

k · tk−1ωI(tx)dt

· dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

+∑

I

n∑

j=1

(∫ 1

0

tk∂ωI∂xj

(tx) dt

)xj dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

(∫ 1

0

d

dt

(tkωI(tx)

)dt

)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

=∑

I

ωI(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik=ω.

Geralmente, as formas diferenciais exatas sao um subespaco proprio das formas diferenciais

fechadas:

Im dk−1 := d(Ωk−1(M)

)⊂ Ker dk := ω ∈ Ωk(M) | dω = 0 .

O espaco quociente

HkDR(M) := Ker dk/Im dk−1

chama-se a k-esima cohomologia de de Rham1 de M . Para conjuntos abertos e estrelados

U ⊂ Rn temos pelo Lema de Poincare que

HkDR(U) = 0 para todo k ≥ 1.

A cohomologia de de Rham e suas aplicacoes na analise e geometria aparecem em cursos de

geometria algebrica, geometria diferencial e analise global. Ela contem informacoes essenciais

sobre propriedades analıticas da variedade M . Por exemplo, a cohomologia de de Rham da

esfera e da bola podem ser usadas para mostrar o teorema do ponto fixo de Brouwer. Aqui

vamos dar duas outras aplicacoes: Da para mostrar que os espacos vetoriais HkDR(M) sao

de dimensao finita para qualquer variedade compacta M . Por isso, dada uma variedade

1nomeado por Georges de Rham (1903-1990)

55

compacta n–dimensional M , podemos associar o seguinte numero, a chamada caracterıstica

de Euler, a M :

χ(M) =

n∑

k=0

(−1)k dimHkDR(M).

Vale, por exemplo:

1. Duas variedades 2-dimensionais, compactas, orientaveis e conexas sao difeomorfos se, e

somente se, elas tem a mesma caracterıstica de Euler.

2. Numa variedade compacta Mn, existe um campo vetorial global que nunca se anula se,

e somente se, a caracterıstica de Euler e zero: χ(M) = 0.

Um outro conceito importante duma derivada para formas diferenciais e a derivada de Lie,

que generaliza a derivada direcional de funcoes (0-formas).

(6) A derivada de Lie duma forma diferencial

Seja X um campo vetorial em M . A aplicacao

LX : Ωk(M) −→ Ωk(M)

ω 7−→ LXω

definida por

LXω := d iXω + iXdω

chama-se derivada de Lie de ω pelo campo vetorial X.

Teorema 9.6 A derivada de Lie possui as seguintes propriedades:

1. Para quaisquer campos vetoriais X1, . . . , Xk em M vale a seguinte formula para o

calculo da derivada de Lie:

(LXω)(X1, . . . , Xk)=X(ω(X1, . . . , Xk))

−k∑

i=1

ω(X1, . . . , Xi−1, [X,Xi], Xi+1, . . . , Xk).

2. LX(ω ∧ σ) = (LXω) ∧ σ + ω ∧ LXσ.

3. d LX = LX d.

4. LfX = fLX + (df ) ∧ iX .

5. [LX , iY ] := LX iY − iY LX = i[X,Y ]

[LX , LY ] := LX LY − LY LX = L[X,Y ].

6. Seja F : M −→ N uma aplicacao suave, seja ω ∈ Ωk(N) e sejam X ∈ X(M) e Y ∈X(N) dois campos vetoriais relacionados por F (isto e, dFx(X(x)) = Y (F (x)) ∀ x ∈M). Entao

LX(F ∗ω) = F ∗(LY ω

).

Demonstracao: Isso e mostrado aplicando as definicoes formalmente. (Exercıcio).

56

9.5 A forma de volume duma subvariedade orientada

Como observamos no Capıtulo 6, distinguimos variedades orientaveis e nao-orientaveis. Pri-

meiro caracterizamos as variedades orientaveis por formas diferenciais.

Teorema 9.7 Uma subvariedade n–dimensional M ⊂ RN e orientavel se, e somente se,

existe uma n–forma ω ∈ Ωn(M) que nunca se anula (uma n–forma tal que ωx 6= 0 para todo

x ∈M).

Demonstracao: (=⇒): Seja M orientada. Consideramos uma carta positivamente ori-

entada (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) em M com a base canonica(

∂∂x1

(y), . . . , ∂∂xn

(y))

∈ OTyM

para cada y ∈ U . Aplicando o processo de ortonormalizacao de Gram–Schmidt a esta

base em cada um dos espacos euclideanos (TyM, gy), obtemos uma base ortonormal posi-

tivamente orientada (e1(y), . . . , en(y)) em TyM . As aplicacoes no domınio U dadas por

ei : y ∈ U −→ ei(y) ∈ RN sao suaves e, portanto, campos vetoriais em U . Agora definimos

a forma desejada ω localmente em U por

ω|U (e1, . . . , en) := 1.

Obviamente, temos ωy 6= 0 para y ∈ U . Falta mostrar que ω e bem-definida globalmente

em M .

Dadas duas bases a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) em TyM , temos

ωy(a1, . . . , an) = det(Ma b)ωy(b1, . . . , bn),

onde Ma b denota a base de transformacao entre as bases. Portanto, para duas bases orto-

normais positivamente orientadas a e b temos ωy(a1, . . . , an) = ωy(b1, . . . , bn) pois o deter-

minante da matriz de transformacao entre duas bases ortonormais da mesma orientacao e

1. Portanto, ωy independe da carta positivamente orientada escolhida em torno de y. Logo,

ω = ωyy∈M define uma n–forma global em M que nunca se anula.

(⇐=): Reciprocamente, seja ω uma n–forma em M que nunca se anula. Definimos uma

orientacao em M por

(a1, . . . , an) ∈ OTxM : ⇐⇒ ωx(a1, . . . , an) > 0 .

Seja x ∈ M e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta em torno de x com domınio conexo U .

Se para a base canonica associada a esta carta vale ( ∂∂x1

(x), . . . , ∂∂xn

(x)) ∈ OTxM , entao,

por continuidade, tambem temos ( ∂∂x1

(y), . . . , ∂∂xn

(y)) ∈ OTyM para todo y ∈ U . Isso quer

dizer que a carta (U,ϕ) e positivamente orientada. Se ( ∂∂x1

(x), . . . , ∂∂xn

(x)) /∈ OTxM , entao

consideramos, em vez da carta ϕ = (x1, . . . , xn), a nova carta ϕ = (−x1, x2, . . . , xn) e

obtemos uma carta positivamente orientada (U, ϕ).

Agora vamos considerar uma forma particular numa subvariedade orientada Mn ⊂ RN , a

chamada forma de volume de (Mn,OMn). Seja (Mn,OMn) uma subvariedade orientada.

Entao (TxM, gx,OTxM ) e um espaco vetorial euclideano orientado. Identificamos este espaco

vetorial isometricamente com o (Rn,ORn), levando cada vetor v ∈ TxM a suas componentes

em relacao a uma base ortonormal positivamente orientada e = (e1, . . . , en) :

τe : TxM −→ Rn

v 7−→(gx(v, e1), . . . , gx(v, en)

)t

57

Definicao. A n–forma dMx ∈ ΛnT ∗xM seja definida por

dMx(v1, . . . , vn) := volume do paralelepıpedo P gerado por τe(v1), . . . τe(vn) no Rn

(P =

n∑

i=1

xiτe(vi)∣∣∣ 0 ≤ xi ≤ 1

)

= det(gx(vi, ej)

)ij

= det(τe(v1) · · · τe(vn)

)

dMx chama-se forma de volume de (TxM, gx,OTxM ).

Observacoes:

(1) dMx e bem-definida, isto e, independe da escolha da base ortonormal (e1, . . . , en).

(2) A famılia de n–formas dMxx∈M e suave, isto e, ela define uma n–forma em M .

Para ver isso, consideramos, como na demonstracao do Teorema 9.7, um campo local

(e1, . . . , en) de bases ortonormais positivamente orientadas no domınio U duma carta e

observamos que, para quaisquer campos vetoriais (suaves) X1, . . . , Xn, a aplicacao

x ∈ U 7→ dMx

(X1(x), . . . , Xn(x)

)= det

(gx(Xi(x), ej(x))

)ij

e suave. A n–forma dM := dMxx∈M chama-se forma de volume da subvariedade orien-

tada (M,OM ).

(3) Seja (a1, . . . , an) uma base positivamente orientada de (TxM,OTxM ) . Entao

dMx(a1, . . . , an) =√det(gx(ai, aj)

)ij

(∗).

Para ver isso, observamos que, por definicao, temos

dMx(a1, . . . , an) = det(〈ai, ej〉) = det(M(ai),(ei)) > 0,

onde (e1, . . . , en) e um base ortonormal positivamente orientada. Portanto, para (3) basta

mostrar que (det(〈(ai, ej〉

))2= det

(〈ai, aj〉

).

Isso segue de

(det(〈ai, ej〉)

)2=det(〈ai, ej〉) · det(〈ai, ej〉)T = det

((〈ai, ej〉)ij (〈el, ak〉)lk

)

=det( n∑

j=1

〈ai, ej〉〈ej , ak〉)ik

= det(〈ai,

n∑

j=1

〈ej , ak〉ej〉)ik

= det(〈ai, ak〉

).

Seja (σ1, . . . , σn) a base dual a (a1, . . . , an) . De (∗), obtemos em particular a seguinte

representacao da n–forma dMx:

dMx =√

det(〈ai, aj〉

)σ1 ∧ · · · ∧ σn (∗∗)

(4) Seja ω ∈ Ωn(M) uma n–forma qualquer em Mn. Entao existe uma funcao f ∈ C∞(M)

tal que ω = f · dM .

Nomeadamente, definimos a funcao f por f(x) = ωx(e1, . . . , en), onde (e1, . . . , en) e um

base ortonormal positivamente orientada.

Como caso particular de (∗∗), obtemos a representacao local da forma de volume em relacao

a uma carta positivamente orientada em M :

58

Teorema 9.8 (Representacao local da forma de volume) Seja (M,OM ) uma subva-

riedade orientada do RN . Seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) uma carta positivamente orientada em

M e seja(gij := 〈 ∂

∂xi, ∂∂xj

〉)

a matriz da metrica Riemanniana induzida em relacao a esta

carta. Entao

dM |U =√det(gij) dx

1 ∧ . . . ∧ dxn.

Demonstracao: Isso segue do fato que as diferenciais (dx1, . . . , dxn) das funcoes coorde-

nadas formam a base dual a base canonica associada a carta (U,ϕ).

Exemplo 1: A forma de volume de Rn

Em coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn) do Rn temos: dRn = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn.

Exemplo 2: A forma de volume duma subvariedade 1–dimensional do RN

Seja M ⊂ RN uma subvariedade 1–dimensional do R

N (uma curva). Entao, em torno de

cada ponto x ∈M , existe uma parametrizacao local dada por uma curva regular

γ : I = (−ε, ε) −→M ⊂ RN , γ(0) = x.

Para a forma de volume desta parametrizacao temos

dM |γ(t) = ‖γ′(t)‖ dt.

Na literatura “classica” dM |γ(I) chama-se o elemento de arco da curva.

Exemplo 3: A forma de volume de superfıcies no R3

Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie no R

3 e seja Φ : U ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao local

de M . Entao a seguinte notacao classica e frequentemente usada:

E := g11 =⟨ ∂Φ∂u1

,∂Φ

∂u1

⟩, F := g22 =

⟨ ∂Φ∂u2

,∂Φ

∂u2

⟩e G := g12 =

⟨ ∂Φ∂u1

,∂Φ

∂u2

⟩.

Assim obtemos

θ := det

(g11 g12

g21 g22

)= det

(E G

G F

)= EF −G2 =

∥∥∥ ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

∥∥∥2

e, portanto,

Φ∗dM2Φ(U) =

√EF −G2 du1 ∧ du2 =

∥∥∥ ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

∥∥∥ du1 ∧ du2.

Na literatura “classica” a forma de volume dM2Φ(U) tambem e chamada de “elemento de

superfıcie“.

Para a derivada de Lie da forma de volume por um campo vetorial X, vale a seguinte formula

que vai ser importante no contexto dos teoremas integrais. Com ela, podemos interpretar a

divergencia dum campo vetorial X geometricamente como distorcao pelo fluxo ao longo das

curvas integrais de X.

Teorema 9.9 Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade orientada e seja X um campo vetorial em

M . Entao para a derivada de Lie por X da forma de volume vale

LXdM = div(X) dM.

59

Demonstracao: Como nao existe nenhuma (n + 1)–forma nao-nula numa variedade n-

dimensional, a diferencial da forma de volume e nulo: ddM = 0. Como LX = diX+iX d ,

segue LXdM = d(iXdM) . Para calcular d(iXdM) , exprimimos dM e X em coordenadas

locais em relacao a uma carta positivamente orientada:

dM =√θ dx1 ∧ . . . ∧ dxn e X =

n∑

i=1

ξi∂

∂xi.

Entao

iXdM =

n∑

i=1

√θξi i ∂

∂xi

(dx1 ∧ . . . ∧ dxn) =n∑

i=1

(−1)i−1√θ ξi dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn.

Portanto,

d(iXdM) =n∑

i,j=1

(−1)i−j∂

∂xj(√θξi) dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn︸︷︷︸

=0, se i6=j

=

n∑

i=1

∂

∂xi(√θξi) dx1 ∧ . . . ∧ dxn =

1√θ

n∑

i=1

∂

∂xi(√θξi) dM = div (X) dM.

Para preparar os teoremas integrais, finalmente ainda analisamos a conexao entre a forma

de volume duma variedade orientada com bordo e da forma de volume do bordo. Para isso,

temos de especificar qual orientacao queremos escolher no bordo.

Seja Mn ⊂ RN uma subvariedade n–dimensional orientada com bordo ∂M 6= ∅. ∂M e

uma subvariedade (n− 1)–dimensional (sem bordo) e, para um ponto x ∈ ∂M no bordo, o

espaco tangente Tx∂M a ∂M no ponto x e um subespaco (n − 1)-dimensional do espaco

tangente TxM (que tem dimensao n).

Definicao. A aplicacao x ∈ ∂M 7→ ν(x) ∈ TxM ⊂ RN com

1. ν(x) ⊥〈·,·〉RN

Tx(∂M),

2. ‖ν(x)‖ = 1,

3. Existe uma curva γ : (−ε, 0] −→M tal que γ(0) = x e γ′(0) = ν(x)

chama-se campo normal (unitario) exterior no bordo ∂M .

Aqui omitimos a demonstracao que a aplicacao ν e bem-definida e contınua (veja [3]).

Definicao. Seja (M,OM ) uma subvariedade orientada com bordo ∂M 6= ∅ e seja ν :

∂M −→ RN o campo normal no bordo. Definimos uma orientacao O∂M no bordo por

(v1, . . . , vn−1) ∈ OTx(∂M) ⇐⇒ (ν(x), v1, . . . , vn−1) ∈ OTxM .

O∂M chama-se a orientacao induzida por OM .

Teorema 9.10 Seja (M,OM ) uma subvariedade n–dimensional orientada no RN com bordo

∂M 6= ∅. Denotamos por ν : ∂M −→ RN o campo normal exterior e por O∂M a orientacao

induzida em ∂M . Entao, para as formas de volume, temos

d(∂M) = iν dM |∂M ∈ Ωn−1(∂M).

60

Demonstracao: Seja x ∈ ∂M e seja (e1(x), . . . , en−1(x)) uma base ortonormal positi-

vamente orientada de Tx(∂M). Entao (ν(x), e1(x), . . . , en−1(x)) e uma base ortonormal

positivamente orientada de TxM e a definicao da forma de volume implica

d(∂M)x(e1, . . . , en−1) = 1 = (dM)x(ν(x), e1, . . . , en−1) = iν(x)dMx(e1, . . . , en−1),

e, portanto, d(∂M)x = iν(x)dMx.

61

Capıtulo 10

Integracao de formas ao longo

de subvariedades orientadas

Neste capıtulo queremos introduzir a teoria de integracao para variedades orientadas M

usando formas diferenciais. Essa vai generalizar as integrais ao longo de curvas e superfıcies

e a integral no Rn conhecidas do Calculo.

10.1 Integrais multiplas

Nesta secao vamos dar um resumo da integral de Riemann sobre subconjuntos do Rn. Para

a teoria completa veja [4, Cap. 8 e 9].

Seja n ≥ 1 um numero natural. Um bloco n-dimensional (fechado) e um produto cartesiano

da forma

A =

n∏

i=1

[ai, bi] = [a1, b1]× · · · × [an, bn] ⊂ Rn,

com numeros reais ai < bi. Por definicao o volume (n-dimensional) do bloco A e definido

por Vol(A) =∏ni=1(bi− ai). Uma particao dum intervalo fechado [a, b] e um conjunto finito

P = c0, . . . , ck de numeros reais tal que a = c0 < c1 < . . . < ck = b. Uma particao do

bloco∏ni=1[ai, bi] ⊂ R

n e um produto cartesiano P1×· · ·×Pn, onde cada Pi e uma particao

de [ai, bi].

Os subintervalos duma particao c0, . . . , ck dum intervalo [a, b] sao por definicao os interva-

los [c0, c1], . . . , [ck−1, ck]. Dada uma particao P =∏ni=1 Pi dum bloco A =

∏ni=1[ai, bi], um

sub-bloco de A e um bloco da forma I1× · · ·× In com Ii um subintervalo de Pi. Escrevemos

B ∈ P se B e sub-bloco de P .

Seja A ⊂ Rn um bloco fechado e seja f : A → R uma funcao limitada. Definimos a soma

inferior I(f ;P ) e a soma superior S(f ;P ) de f relativemente a P por

I(f ;P ) =∑

B∈P

(infBf)Vol(B) e S(f ;P ) =

∑

B∈P

(supB

f

)VolB,

onde cada soma e sobre todos os sub-blocos de P . Se P e Q sao particoes quaisquer de A,

entao vale I(f ;P ) ≤ S(f ;Q). Esta observacao implica que, se definimos a integral inferior

e a integral superior por∫ I

A

f = supI(f ;P ); P e uma particao de A

62

e ∫ S

A

f = infS(f ;P ); P e uma particao de A,

respectivamente, entao∫ IAf ≤

∫ SAf . Dizemos que f e integravel (no sentido de Riemann)

se essas duas integrais coincidem e escrevemos

∫

A

fdV :=

∫ I

A

f =

∫ S

A

f.

Agora precisamos da nocao dum conjunto de medida nula: Dizemos que um conjunto qual-

quer A ⊂ Rn e de medida nula (n-dimensional) se para todo ε > 0 existe uma cobertura

enumeravel de A por blocos B1, B2, . . . tal que∑∞k=1 Vol(Bk) < ε. Exemplos de conjuntos

de medida nula sao pontos, reunioes enumeraveis de conjuntos de medida nula e subcon-

juntos de conjuntos de medida nula. Tambem observe que um conjunto de medida nula

A ⊂ Rn nao pode conter um conjunto aberto no R

n. O seguinte teorema pode ser usado

para mostrar que cada subvariedade de dimensao menor que n tem medida nula no Rn.

Teorema 10.1 Se A ⊂ Rn tem medida nula e f : A→ R

n e diferenciavel, entao f(A) ⊂ Rn

tem medida nula.

O seguinte teorema da um criterio pratico de integrabilidade.

Teorema 10.2 (Lebesgue) Seja A ⊂ Rn um bloco (fechado) e seja f : A→ R uma funcao

limitada. f e integravel se, e somente se, o conjunto

Df = x ∈ A; f nao contınua em x

tem medida nula.

Agora seja D ⊂ Rn um conjunto limitado e seja f : D → R uma funcao limitada. Se A e

um bloco contendo D, definimos fA : A→ R por

fA(x) =

f(x), x ∈ D

0, x ∈ A \D.

Se existe a integral∫AfAdV , entao dizemos que f e integravel sobre D e a ultima integral e

denotada por∫DfdV . Nao e difıcil mostrar que a integral nao depende da escolha do bloco

A.

Dizemos que um conjunto D ⊂ Rn limitado e um domınio de integracao se sua funcao

constantemente 1 e integravel sobre D e escrevemos Vol(D) :=∫D1dV . Equivalentemente,

D ⊂ Rn e um domınio de integracao se, e somente se, D e limitado e sua fronteira ∂D

tem medida nula. Da para mostrar que cada funcao contınua e limitada num domınio de

integracao e integravel e que essa integral tem as seguintes propriedades.

Lema 10.1 Seja D ⊂ Rn um domınio de integracao e sejam f, g : D → R funcoes contınuas

e limitadas.

1. Para todo a, b ∈ R:

∫

D

(af + bg)dV = a

∫

D

fdV + b

∫

D

gdV.

2. Se D tem medida nula, entao∫DfdV = 0.

63

3. Se D1, . . . , Dk sao domınios de integracao tal que qualquer intersecao Di ∩Dj (i 6= j)

tem medida nula, entao D :=⋃ki=1Di e um domınio de integracao e

∫

D

fdV =

∫

D1

fdV + . . .+

∫

Dk

fdV.

4. Se f ≥ 0 em D, entao∫DfdV ≥ 0. A ultima integral e zero se, e somente se, f ≡ 0

no interior

D.

Tambem da para mostrar que no caso de funcoes contınuas num bloco fechado a integral

definida acima coincide com a integral multipla classica: Se A = [a1, b1]×· · ·× [an, bn] e um

bloco fechado no Rn e f : A→ R e contınua , entao

∫

A

fdV =

∫ bn

an

(· · ·(∫ b1

a1

f(x1, . . . , xn)dx1

)· · ·)dxn

e a mesma formula vale para qualquer outra ordem de integracao a direita.

O ultimo teorema deste resumo vai ser fundamental para a teoria de integracao de formas

diferenciais.

Teorema 10.3 (de mudanca de variaveis) Sejam h : U → V um difeomorfismo C1

entre abertos U, V ⊂ Rn e seja D ⊂ U um domınio de integracao compacto. Entao para

qualquer funcao contınua f : h(D) → R temos que h(D) e um domınio de integracao e

∫

h(D)

fdV =

∫

D

(f h)| detDh|dV.

10.2 A integral de formas no Rn

Seja ω ∈ Ωn0 (M) uma n-forma numa subvariedade orientadaMn. Queremos definir a integral

∫

M

ω

de ω ao longo de M . Antes de definir este conceito em subvariedades, temos de definir a

integral de n–formas no Rn.

Seja entao A ⊂ Rn um domınio de integracao compacto e seja ω uma n–forma contınua em

A, isto e, seja

ω = fdxn ∧ · · · ∧ dxncom f ∈ C(A) uma funcao contınua. Definimos

∫

A

ω :=

∫

A

fdV (=

∫

D

fdx1 · · · dxn).

Para estender esta definicao a Ωn0 (U) (com U ⊂ Rn aberto), precisamos do seguinte resul-

tado.

Teorema 10.4 Seja U ⊂ Rn aberto e K ⊂ U compacto. Entao existe um domınio de

integracao compacto A tal que K ⊂ A ⊂ U .

Demonstracao: Para x ∈ K seja Bx uma bola aberta contendo x tal que Bx ⊂ U . Como

K e compacto, existem x1, . . . , xm ∈ K tais que K ⊂ ⋃mi=1Bxi. Como cada fronteira ∂Bxi

e uma (n− 1)–esfera e, portanto, tem medida nula, o conjunto A :=⋃mi=1Bxi

e um domınio

64

de integracao como desejado.

Definicao. Para U ⊂ Rn aberto e ω ∈ Ωn0 (U) definimos

∫

U

ω :=

∫

A

ω,

onde A ⊂ Rn e qualquer domınio de integracao tal que suppω ⊂ A ⊂ U .

Nao e difıcil mostrar que esta definicao independe da escolha de A.

Teorema 10.5 Sejam U, V ⊂ Rn abertos, h : U → V um difeomorfismo que preserva a

orientacao (quer dizer, o determinante da derivada e positiva em cada ponto). Entao para

cada n–forma ω com suporte compacto contido em V temos

∫

V

ω =

∫

U

h∗ω.

Demonstracao: Sejam A,B ⊂ Rn domınios de integracao compactos tais que supp(h∗ω) ⊂

A ⊂ U e suppω ⊂ B ⊂ V . Definimos f ∈ C∞(V ) por ω = fdx1 ∧ · · · ∧ dxn e calculamos

∫

V

ω =

∫

B

ω =

∫

B

f dV =

∫

A

(f h)| detDh| dV

=

∫

A

(f h) detDhdV =

∫

A

(f h) detDhdx1 ∧ · · · ∧ dxn

=

∫

A

h∗ω =

∫

U

h∗ω.

10.3 A integral ao longo de subvariedades

Se queremos definir a integral duma n–forma ω ao longo duma subvariedade M , uma ideia

natural e a seguinte: CobrimosM por subconjuntos “pequenos” tal que cada um desses sub-

conjuntos e contido no domınio duma carta, consideramos as integrais nestes subconjuntos

e somamo-las. Vamos mostrar que (sob certas condicoes) esta ideia funciona.

A partir de agora, M sempre seja uma subvariedade orientada n–dimensional com ou sem

bordo. Consideramos a classe de n–formas com suporte compacto:

Ωno (M) := ω ∈ Ωn(M) | suppω = x ∈M, ωx 6= 0 e compacto ,

Por exemplo, se M e compacto, entao dM ∈ Ωn0 (M).

Definicao.[I1]

Seja ω ∈ Ωn0 (Mn) uma n–forma em M com suporte compacto e seja (U,ϕ = (x1, . . . , xn))

uma carta positivamente orientada tal que suppω ⊂ U . Definimos a integral de ω sobre M

por ∫

M

ω :=

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗ω.

Teorema 10.6 A definicao (I1) e correta, isto e, o numero∫M

ω independe da escolha da

carta positivamente orientada cujo domınio contem suppω.

Demonstracao: Sejam (U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas positivamente orientadas tal que o su-

porte de ω e contido em U ∩ V . Observamos que h := ψ ϕ−1 e um difeomorfismo entre

65

ϕ(U ∩ V ) e ψ(U ∩ V ) que preserva a orientacao. Pelo Teorema 10.5, obtemos

∫

ψ(V )

(ψ−1)∗ω =

∫

ψ(U∩V )

(ψ−1)∗ω =

∫

ϕ(U∩V )

h∗(ψ−1)∗ω

=

∫

ϕ(U∩V )

(ϕ−1)∗ψ∗(ψ−1)∗ω =

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗ω,

e, portanto,∫M

ω independe da escolha da carta.

Geralmente, o domınio de integracao A nao vai ser contido no domınio duma carta. Para

poder definir a integral sobre um tal conjunto, usa-se a chamada particao da unidade.

Definicao. Seja M uma subvariedade e seja A um atlas de M . Uma particao da unidade

associada ao atlas A e uma famılia enumeravel fαα∈Λ de funcoes suaves fα :M −→ [0, 1]

tal que

1. O suporte de cada fα (o conjunto supp fα = x ∈M | fα(x) 6= 0) e contido no domınio

duma carta de A.

2. supp fαα∈Λ e uma famılia localmente finita de conjuntos, isto e, todo x ∈M possui

uma vizinhanca U(x) tal que U(x) ∩ supp fα 6= ∅ somente para um numero finito de

ındices α.

3.∑α∈Λ

fα(x) = 1 para todo x ∈M .

Em outras palavras, as funcoes fα decompoem a funcao f ≡ 1 (a “unidade”) numa soma de

funcoes com suporte compacto tal que cada um desses suportes e contido no domınio duma

carta.

Aqui citamos o seguinte teorema. (Veja [4] ou [3] para uma demonstracao.)

Teorema 10.7 Para cada atlas A em M , existe uma particao da unidade fαα∈Λ.

Agora podemos definir a integral duma n–forma qualquer com suporte compacto.

Definicao. [I2]

Seja ω ∈ Ωn0 (Mn) e A = (Uα, ϕα)α∈Λ um atlas positivamente orientado com uma particao

da unidade fαα∈Λ. Entao definimos

∫

M

ω :=∑

α∈Λ

∫

M

fα ω. (I2).

A integral (I2) sempre existe:

• Como o conjunto supp(fαω) ⊂ supp fα ⊂ Uα e compacto, fαω e uma n–forma com

suporte compacto em Uα. Portanto, a integral∫Uαfαω de (I1) sempre existe e e finita.

• Como ω ∈ Ωn0 (M), o conjunto de ındices Λ′ = α ∈ Λ| supp(fαω) 6= ∅ e finito e (I2)

e uma soma finita de numeros reais.

Teorema 10.8 A definicao (I2) e correta, isto e, ela independe de A e fα.

66

Demonstracao: Seja A = (Vβ , ψβ) um outro atlas positivamente orientado de M com

particao da unidade gβ. Temos de mostrar que

∑

α

∫

M

fαω =∑

β

∫

M

gβω .

Temos fα =∑β

fα · gβ e gβ =∑α

gβ · fα . Como supp(fαgβω) ⊂ Uα ∩ Vβ , obtemos

∑

α

∫

M

fαω =∑

α

∑

β

∫

M

(fα · gβ) ω =∑

β

∑

α

∫

M

(fα · gβ) ω

=∑

β

∫

M

∑

α

(fα · gβ) ω =∑

β

∫

M

gβω,

onde podıamos trocar as somas e a integral pois cada soma e finita.

10.4 Propriedades e calculo da integral

Teorema 10.9 (Propriedades elementares da integral)

1. A integral e linear: Se ω1 e ω2 sao n–formas em Ωn0 (M) e λ1, λ2 ∈ R, entao

∫

M

λ1ω1 + λ2ω2 = λ1

∫

M

ω1 + λ2

∫

M

ω2.

2. Seja F : M −→ N um difeomorfismo que preserva orientacao (quer dizer, detD(ψ F ϕ−1) > 0 no domınio F−1(V ) ∩ U para (U,ϕ) uma carta positiva em M e (V, ψ)

uma carta positiva em N) e seja ω ∈ Ωn0 (N). Entao

∫

M

F ∗ω =

∫

N

ω.

3. Se −M denota a subvariedade M , munida com a orientacao inversa, entao

∫

−M

ω = −∫

M

ω.

Demonstracao: Sobre 1: Segue diretamente da definicao.

Sobre 2: Isso e uma versao independente da formula da mudanca de variaveis. Usando 1 e o

fato que se fα e uma particao da unidade em N , entao F ∗fα = fα F e uma particao

da unidade em M , observamos que basta mostrar a afirmacao para o caso que suppω ⊂ V

com V o domınio duma carta positivamente orientada ψ em N . Definimos U := F−1(V )

e ϕ := ψ F|U : U → ψ(V ) = ϕ(U) e observamos que, como F e um difeomorfismo que

preserva orientacao, (U,ϕ) e uma carta positivamente orientada em M com suppF ∗ω ⊂ U .

Entao podemos calcular

∫

M

F ∗ω =

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗F ∗ω =

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗(ψ−1 ϕ)∗ω

=

∫

ϕ(U)

(ϕ−1)∗ϕ∗(ψ−1)∗ω =

∫

ψ(V )

(ψ−1)∗ω =

∫

N

ω.

67

Sobre 3: A demonstracao e analoga ao caso acima. A unica diferenca e que, para obter uma

carta positivamente orientada ϕ em M , temos de compor ψ F|U com algum difeormorfismo

que inverte a orientacao, por exemplo uma permutacao que troca duas coordenadas no Rn.

Para calcular uma integral na pratica, queremos calcular integrais usando parametrizacoes

cujas imagens cobram nossa subvariedade mas se intersectam somente em conjuntos de

medida nula. Formalmente, vamos usar o seguinte resultado ([3, Prop. 16.8]). Lembramos

que em subconjuntos abertos do Rn usamos a orientacao dada pela orientacao canonica do

Rn (em que uma base e positiva se o determinante correspondente e positivo).

Teorema 10.10 Seja M uma subvariedade orientada com ou sem bordo e seja ω ∈ Ωn0 (M).

Sejam D1, . . . , Dk domınios de integracao abertos no Rn e sejam Fi : Di →M , i = 1, . . . , k

diferenciaveis tais que

1. A restricao de Fi a Di e um difeomorfismo a um subconjunto aberto Wi ⊂ M que

preserva orientacao.

2. Wi ∩Wj = ∅ para i 6= j.

3. suppω ⊂W1 ∪ · · · ∪Wk.

Entao ∫

M

ω =k∑

i=1

∫

Di

F ∗i ω.

10.5 A integral de superfıcie e o volume de subvarieda-

des

Agora definimos a integral de funcoes e o volume duma subvariedade. Seja Mn uma subva-

riedade orientada com forma de volume dM .

Seja f :M −→ R e uma funcao contınua em M com suporte compacto. A integral∫

M

f dM

e chamada a integral de f ao longo de M .

Se M e compacto, o numero

Vol(M) :=

∫

M

dM

e chamado o volume de M .

Exemplo 1: O volume de curvas (comprimento)

SejaM ⊂ RN uma subvariedade 1–dimensional compacta e seja γ : (a, b) −→M uma curva

que parametriza M (possivelmente com excecao dum numero finito de pontos) preservando

orientacao. Entao temos para a forma de volume (com t denotando a carta dada pela inversa

γ((a, b)) → (a, b) de γ): dMγ(t) = ‖γ′(t)‖dt . Portanto, o volume de M e exatamente o

comprimento da curva γ

Vol(M) =

∫

M

dM =

b∫

a

‖γ′(t)‖dt = comprimento(γ)

68

Exemplo 2: Volume de superfıcies no R3 (area)

Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta no R

3 e Φ : U ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao

local de M preservando orientacao tal que U e um domınio de integracao, Φ(U) e denso em

M e Φ possui uma extensao suave para U . Como na Secao 9.5 escrevemos

E := g11 =⟨ ∂Φ∂u1

,∂Φ

∂u1

⟩, F := g22 =

⟨ ∂Φ∂u2

,∂Φ

∂u2

⟩e G := g12 =

⟨ ∂Φ∂u1

,∂Φ

∂u2

⟩.

A forma de volume e dada por

Φ∗dM2Φ(U) =

√EF −G2 du1 ∧ du2 =

∥∥∥ ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

∥∥∥ du1 ∧ du2.

Logo,

Vol(M) =

∫

U

√EF −G2du1du2 =

∫

U

∥∥∥ ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

∥∥∥ du1du2

Como caso especial obtemos (Exercıcio):

A area dum grafico:

Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta e F : U ⊂ R

2 −→ R uma aplicacao suave tal que U

e um domınio de integracao, F pode ser estendido a uma funcao suave em U e o grafico

graph(F ) = (u1, u2, F (u1, u2)) | (u1, u2) ∈ U de F e denso em M . Entao

Vol(M2) =

∫

U

√1 +

( ∂F∂u1

)2+( ∂F∂u2

)2du1du2.

A area duma superfıcie de revolucao:

Seja γ : [a, b] −→ R2 uma curva suave regular tal que γ1 > 0 e seja

M2γ := (γ1(u) cos v, γ1(u) sen v, γ2(u)) | v ∈ R, u ∈ [a, b]

a superfıcie de revolucao gerada por γ. Entao

Vol(M2γ ) = 2π

b∫

a

γ1(u) ‖γ′(u)‖ du

69

Capıtulo 11

O teorema de Stokes

Para a integral de Riemann, conhecemos a formula (o teorema fundamental do Calculo)

b∫

a

f ′(x) dx = f(b)− f(a).

Sob certas condicoes sobre a funcao, da para calcular a integral por valores no bordo do

domınio de integracao. Queremos generalizar isso a variedades com bordo. Queremos mos-

trar que a integral ∫

M

σ

pode ser expressa por uma integral ao longo do bordo ∂M se a n–forma σ e exata.

11.1 O teorema de Stokes para formas diferenciais

Teorema 11.1 (Teorema de Stokes)

Seja Mn uma subvariedade orientada n-dimensional, ∂M o bordo de M munido com a

orientacao induzida e ω uma (n− 1)–forma com suporte compacto em M . Entao

∫

M

dω =

∫

∂M

ω (∗)

Demonstracao: Seja A = (Uα, ϕα) um atlas emM e fα uma particao da unidade para

A. Entao ω =∑α

fαω, onde a soma e finita pois suppω e compacto e a famılia dos suportes

suppfα e localmente finita. Como os dois lados de (∗) sao lineares em ω, basta mostrar

que∫M

d(fαω) =∫∂M

fαω . Entao podemos supor o suporte suppω seja contido no domınio

U duma carta de M e vamos calcular as duas integrais de (∗) para este caso especial.

(1) Calculo de∫M

dω:

Seja (U,ϕ = (x1, . . . xn)) uma carta positivamente orientada tal que ϕ(U) ⊂ Rn+ = R

n−1 ×[0,∞). Em relacao a esta carta, ω e dada por

ω =

n∑

i=1

ωidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn, onde ωi = ω( ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xi, . . . ,

∂

∂xn

).

70

Aplicando a derivada exterior, obtemos

dω =

n∑

i=1

dωi ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn

=n∑

i,j=1

∂

∂xj(ωi) dxj ∧ dx1 ∧ . . . dxi ∧ . . . ∧ dxn

=

n∑

i=1

(−1)i−1 ∂

∂xi(ωi) dx1 ∧ . . . ∧ dxn

Como ϕ e uma carta positivamente orientada, obtemos

∫

M

dω =

∫

ϕ(U)

n∑

i=1

(−1)i−1 ∂

∂xi(ωi) ϕ−1 dV

=

n∑

i=1

(−1)i−1

∫

ϕ(U)

∂

∂xi(ωi) ϕ−1 dV

=n∑

i=1

(−1)i−1

∞∫

0

∫

R

. . .

∫

R

∫

R

∂(ωi ϕ−1)

∂xi(x) dx1 . . . dxn

︸︷︷︸=:Ii

(Como suppω ⊂ ϕ(U), podıamos estender o domınio de integracao para o Rn+ todo no

ultimo passo.) Agora distinguimos dois casos. Se i < n, entao

Ii =

∞∫

0

∫

R

. . .

∫

R

(∫

R

∂(ωi ϕ−1)

∂xi(x) dxi

)

︸︷︷︸=0

dx1 . . . dxi . . . dxn = 0

pois suppωi e compacto. Para i = n calculamos (tambem pelo teorema fundamental do

Calculo)

In =

∫

R

. . .

∫

R

( ∞∫

0

∂(ωn ϕ−1)

∂xn(x) dxn

)dx1 . . . dxn−1

=

∫

R

. . .

∫

R

(−ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)))dx1 . . . dxn−1.

Isso implica∫

M

dω = (−1)n∫

Rn−1

ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)

)dx1 . . . dxn−1.

(2) Calculo de∫∂M

ω:

Como suppω ⊂ U , temos suppω|∂M ⊂ ∂M ∩U . Se (U,ϕ = (x1, . . . , xn)) e uma carta deM ,

entao (U ∩ ∂M,ϕ|U∩∂M = (x1, . . . , xn−1)) e uma carta de ∂M pois o bordo e caracterizado

por xn = 0 . Seja ν : ∂M −→ TM o campo normal exterior do bordo. As seguintes bases

de TxM num ponto x ∈ ∂M do bordo tem a mesma orientacao:

(ν(x),

∂

∂x1(x), . . . ,

∂

∂xn−1(x))

∼( ∂

∂x1(x), . . . ,

∂

∂xn−1(x), (−1)n−1ν(x)

)

∼( ∂

∂x1(x), . . . ,

∂

∂xn−1(x), (−1)n

∂

∂xn(x))

71

pois os vetores ∂∂xn

(x) e ν(x) por definicao apontam em sentidos inversos em relacao a

Tx∂M : ν(x) para fora e ∂∂xn

(x) para dentro. Portanto, a carta (U ∩∂M,ϕ|U∩∂M ) do bordo

e positivamente orientada se n e par e negativamente orientada se n e impar.

A representacao local de ω|U∩∂M em relacao a carta do bordo e dada por

ω|U∩∂M =

n∑

i=1

ωidx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn|U∩∂M = ωndx1 ∧ . . . ∧ dxn−1,

pois para todo vetor tangente ∂∂xj

(x) ∈ Tx∂M , j = 1, . . . , n−1, temos (dxn)x(∂∂xj

(x)) = 0 .

(a) Seja n par. Entao∫

∂M

ω =

∫

U∩∂M

ωndx1 ∧ . . . ∧ dxn−1 =

∫

ϕ(U∩∂M)

ωn ϕ−1 dV

=

∫

Rn−1

ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)

)dx1 . . . dxn−1.

(b) Se n e impar, entao∫

∂M

ω10.9= −

∫

Rn−1

ωn(ϕ−1(x1, . . . , xn−1, 0)

)dx1 · · · dxn−1.

Finalmente concluımos que∫M

dω =∫∂M

ω .

11.2 Mais teoremas integrais em variedades

Nesta secao deduzimos outros teoremas integrais em variedades do teorema de Stokes. Na

secao toda seja Mn ⊂ RN uma subvariedade conexa, compacta, orientada com bordo ∂M e

seja ν : ∂M −→ RN o campo normal (unitario) exterior em ∂M .

Teorema 11.2 (Formula da divergencia) Seja X um campo vetorial em M . Entao∫

M

div(X) dM =

∫

∂M

〈X, ν〉 d(∂M).

Demonstracao: Ja sabemos do Teorema 8.2 que

div(X) dM = LXdM = d(iXdM) + iX ddM = d(iXdM).

Portanto, o teorema de Stokes implica∫

M

div(X) dM =

∫

∂M

iXdM.

Decompomos X|∂M numa componente normal e uma componente tangente. Seja x ∈ ∂M e

seja

X(x) = 〈X(x), ν(x)〉ν(x)︸︷︷︸∈TxM,⊥Tx∂M

+X∗(x)︸︷︷︸∈Tx∂M

.

Entao vale (com os dois lados considerados como formas diferenciais em ∂M)

iX∗dM |∂M = 0 em ∂M,

72

pois n vetores no espaco vetorial (n − 1)–dimensional Tx∂M sao linearmente dependentes.

Portanto,

iXdM |∂M = 〈X, ν〉 iνdM |∂M 9.10= 〈X, ν〉 d(∂M)

e obtemos ∫

M

div (X) dM =

∫

∂M

〈X, ν〉 d(∂M).

Teorema 11.3 (Teorema de Gauss) Seja X um campo vetorial e seja f uma funcao

suave em M . Entao∫

M

X(f) dM +

∫

M

f · div (X) dM =

∫

∂M

f · 〈X, ν〉 d(∂M).

Demonstracao: Exercıcio

Teorema 11.4 (Formulas de Green) Sejam f e h funcoes suaves em M . Entao

1.∫M

h · (f) dM +∫M

〈grad f, gradh〉 dM =∫∂M

h · ν(f) d(∂M),

2.∫M

(h · (f)− f · (h)) dM =∫∂M

(h · ν(f)− f · ν(h)

)d(∂M).

Demonstracao: Exercıcio

Aqui observamos que na literatura existem duas definicoes diferentes do Laplaciano. Se for

usada a outra definicao (∆ = −div grad), entao os sinais nas formulas de Green tem de

ser modificadas adequadamente.

Corolario 1: Seja Mn uma subvariedade compacta, orientada sem bordo. Entao

1.∫M

div (X) dM = 0 para todo campo vetorial X.

2. O operador de Laplace : C∞(M) −→ C∞(M) e formalmente auto-adjunto em

C∞(M) relativamente ao produto escalar 〈f, h〉L2 =∫M

f · h dM , isto e, vale a

formula

〈f, h〉L2 =

∫

M

f · h dM Green=

∫

M

f · h dM = 〈f,h〉L2 .

Corolario 2: Seja Mn uma subvariedade orientada, compacta, conexa sem bordo e f uma

funcao suave em M tal que f = 0. Entao f e constante.

Demonstracao: Segue da primeira formula de Green. (Exercıcio)

Definicao. Uma funcao f ∈ C2(M) e chamada harmonica se f = 0.

Em outras palavras, o Corolario 2 acima diz que cada funcao harmonica em uma subvarie-

dade orientada, compacta, conexa sem bordo e constante.

73

11.3 Teoremas integrais classicos no R2 e R

3

Agora deduzimos alguns teoremas integrais classicos no R2 e no R

3 que aparecem em cursos

de Calculo Vetorial. Primeiro um teorema sobre domınios no R2. Parte 1 do teorema abaixo

tambem e conhecido como teorema de Green.

Teorema 11.5 Seja G ⊂ R2 uma subvariedade 2–dimensional compacta com bordo ∂G = Γ

e seja X = (ξ1, ξ2) : G −→ R2 um campo vetorial em G. Alem disso, seja ν = (ν1, ν2) :

∂G −→ R2 o campo normal unitario em ∂G. Entao

1.

∫

G

(∂ξ2∂x1

− ∂ξ1∂x2

)dx1dx2 =

∫

Γ

(ξ1 dx1 + ξ2 dx2

).

2.

∫

G

(∂ξ1∂x1

+∂ξ2∂x2

)dx1dx2 =

∫

Γ

(ξ1ν1 + ξ2ν2

)dΓ.

Demonstracao: Consideramos a 1–forma ω := ξ1dx1 + ξ2dx2 ∈ Ω1(G). Entao

dω =∂ξ1∂x2

dx2 ∧ x1 +∂ξ2∂x1

dx1 ∧ x2 =

(∂ξ2∂x1

− ∂ξ1∂x2

)dx1 ∧ dx2.

Entao a primeira afirmacao segue do teorema de Stokes. Para a divergencia do campo

vetorial X temos

div(X) =∂ξ1∂x1

+∂ξ2∂x2

.

Portanto, a segunda formula segue da formula da divergencia. .

Antes de formular os teoremas integrais classicos no R3, lembramos os conceitos divergencia,

gradiente e rotacional. Seja U ⊂ R3 um subconjunto aberto do R

3 e seja X : U ⊂ R3 −→ R

3

um campo vetorial com as componentes X = (ξ1, ξ2, ξ3) . O rotacional de X e um novo

campo vetorial definido por

rot (X) :=

(∂ξ3∂x2

− ∂ξ2∂x3

,∂ξ1∂x3

− ∂ξ3∂x1

,∂ξ2∂x1

− ∂ξ1∂x2

).

A divergencia de X e dada por

div(X) =∂ξ1∂x1

+∂ξ2∂x2

+∂ξ3∂x3

.

O gradiente duma funcao suave f : U ⊂ R3 −→ R e

gradf =( ∂f∂x1

,∂f

∂x2,∂f

∂x3

)

Um calculo direto (Exercıcio 10) mostra as seguintes propriedades do rotacional:

1. div (rot (X)) = 0 para todo X ∈ X(U),

2. rot (grad f) = 0 para todo f ∈ C∞(U),

3. rot (f ·X) = f · rot (X) + grad f ×X.

Do lema de Poincare concluımos que, dado um campo vetorial Y num conjunto estrelado

U ⊂ R3, vale:

1. div(Y ) = 0 se, e somente se, rot(X) = Y para um campo vetorial X em U .

2. rot(Y ) = 0 se, e somente se, Y = gradf para uma funcao f em U .

74

Na analise vetorial classica os seguintes conceitos sao comuns:

d~s :=

dx1

dx2

dx3

∈ Ω1(U,R3)

chama-se elemento de linha vetorial em U ,

d~F :=

dx2 ∧ dx3dx3 ∧ dx1dx1 ∧ dx2

∈ Ω2(U,R3)

chama-se elemento de area vetorial em U e a forma de volume comum

dV := dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∈ Ω3(U)

chama-se elemento de volume de U .

Se X = (ξ1, ξ2, ξ3), Y = (η1, η2, η3) sao campos vetoriais em U , entao X · d~s e Y · d~Fdenotam, respectivamente, as 1– e 2–formas

X · d~s := ξ1dx1 + ξ2dx2 + ξ3dx3 ∈ Ω1(U)

Y · d~F := η1 dx2 ∧ dx3 + η2 dx3 ∧ dx1 + η3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2(U).

Teorema 11.6 (Teorema de Stokes classico para superfıcies no R3)

Seja M2 ⊂ R3 uma superfıcie compacta orientada no R

3 com bordo ∂M . Seja

n :M2 −→ S2 ⊂ R3

x 7→ n(x) ⊥ TxM2

o campo normal unitario correspondente a orientacao de M e seja

t : ∂M −→ T (∂M) o campo tangente unitario da subvariedade 1–dimensional ∂M que

corresponde a orientacao induzida do bordo. Seja U ⊂ R3 uma vizinhanca aberta de M e

seja X um campo vetorial definido em U . Entao

∫

M2

〈rot(X), n〉 dM =

∫

∂M2

〈X, t〉 d(∂M).

ou, na notacao classica,∫

M2

rot(X) · d~F =

∫

∂M2

X · d~s.

Demonstracao: Consideramos a 1–forma dual a X dada por

ω =

3∑

i=1

ξi dxi = X · d~s

75

e vamos aplicamor o teorema de Stokes a ω. Denotamos o rotacional de X por rotX =:

(R1, R2, R3) . Entao

dω = dξ1 ∧ dx1 + dξ2 ∧ dx2 + dξ3 ∧ dx3= ∂2(ξ1)dx2 ∧ dx1 + ∂3(ξ1)dx3 ∧ dx1 + ∂1(ξ2)dx1 ∧ dx2

+ ∂3(ξ2)dx3 ∧ dx2 + ∂1(ξ3)dx1 ∧ dx3 + ∂2(ξ3)dx2 ∧ dx3= (∂2(ξ3)− ∂3(ξ2))dx2 ∧ dx3 + (∂3(ξ1)− ∂1(ξ3))dx3 ∧ dx1

+ (∂1(ξ2)− ∂2(ξ1))dx1 ∧ dx2= R1dx2 ∧ dx3 +R2dx3 ∧ dx1 +R3dx1 ∧ dx2= rot(X) · d~F

Agora o teorema de Stokes implica

∫

M2

rot(X) · d~F =

∫

∂M2

X · d~s

Para mostrar que

dω = rot(X) · d~F = 〈rotX, n〉 dM e (∗)ω = X · d~s = 〈X, t〉 d(∂M) (∗∗)

seja Φ : W ⊂ R2 −→ M uma parametrizacao local de M (preservando orientacao). Entao

temos para o campo normal unitario

n(Φ(u)) =∂Φ∂u1

(u)× ∂Φ∂u2

(u)

‖ ∂Φ∂u1

(u)× ∂Φ∂u2

(u)‖ ∈ R3 u = (u1, u2).

e para a forma de volume

Φ∗dM =∥∥∥ ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

∥∥∥ du1 ∧ du2 .

Alem disso, pelas definicoes do produto alternado e do produto vetorial, obtemos para a

primeira componente do produto vetorial:

(dx2 ∧ dx3

)( ∂Φ∂u1

,∂Φ

∂u2

)=∂Φ2

∂u1· ∂Φ3

∂u2− ∂Φ3

∂u1· ∂Φ2

∂u2=( ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

)1,

logo temos

Φ∗(dx2 ∧ dx3) =( ∂Φ∂u1

× ∂Φ

∂u2

)1du1 ∧ du2

O calculo para as outras componentes e analogo e obtemos, com n =: (N1, N2, N3), que

N1 dM = dx2 ∧ dx3N2 dM = dx3 ∧ dx2N3 dM = dx1 ∧ dx2

Finalmente concluımos 〈rotX, n〉 dM =3∑i=1

RiNi dM = dω e (*).

Agora seja t =: (T1, T2, T3). Como t e um campo vetorial unitario correspondendo a ori-

entacao, segue por dxi(t) = Ti e d(∂M)(t) = 1 que

Ti d(∂M) = dxi em ∂M.

76

Portanto, obtemos (**):

ω =

3∑

i=1

ξi dxi =

3∑

i=1

ξiTi d(∂M) = 〈t, X〉 d(∂M).

Agora introduzimos a seguinte notacao:

Como no Teorema 11.6 podemos escrever a formula da divergencia do Teorema 11.2 na

forma classica e obtemos

Teorema 11.7 Seja V 3 uma subvariedade 3–dimensional do R3 com bordo ∂V 3 = M2 e

seja X = (ξ1, ξ2, ξ3) um campo vetorial em V . Entao∫

V

( ∂ξ1∂x1

+∂ξ2∂x2

+∂ξ3∂x3

)dV =

∫

M

X · d~F

11.4 Duas outras aplicacoes tıpicas do teorema de Sto-

kes

O teorema de Stokes e um dos teoremas centrais da teoria de integracao. Ele possui varias

aplicacoes em geometria, analise e na fısica matematica. Aqui vamos apresentar so duas.

Outras aparecem em cursos mais avancados como por exemplo na geometria diferencial (de

variedades gerais de dimensao n).

Calculo do volume da esfera:

Seja Dnr = x ∈ R

n | ‖x‖ ≤ r ⊂ Rn a bola de raio r > 0 e seja Sn−1

r = x ∈ Rn | ‖x‖ = r

seu bordo, a esfera n−1-dimensional de raio r. O volume da bola pode ser calculado usando

coordenadas polares no Rn:

Vol(Dnr ) =

πn2 rn

(n2 )! , se n par

2n+12 π

n−12 rn

1·3·5·...·n , se n ımpar .

Como aplicacao do teorema de Stokes, vamos agora calcular o volume do bordo:

Teorema 11.8 O volume da esfera e dado por

Vol(Sn−1r ) =

n

r·Vol(Dn

r ).

Demonstracao: Temos ∂Dnr = Sn−1

r e Vol(Sn−1r ) =

∫

Sn−1r

dSn−1r . Em Dn

r consideramos

as coordenadas euclideanas (x1, . . . , xn). Entao a forma de volume de Dnr e dada por

dDnr = dx1 ∧ . . . ∧ dxn

e o campo normal exterior no bordo Sn−1r de Dn

r por

ν(x) =x

r=

1

r

n∑

j=1

xj∂

∂xj(x) x ∈ Sn−1

r

77

Agora o Teorema 9.10 implica

(dSn−1r )x = iν(x)(dD

nr )x

=

n∑

j=1

xjri ∂∂xj

(dx1 ∧ . . . ∧ dxn

)

=1

r

n∑

j=1

(−1)j−1xj

(dxj

( ∂

∂xj

)

︸︷︷︸=1

)dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn

=1

r

n∑

j=1

(−1)j−1xj dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn

Por ω, denotamos a (n− 1)–forma

ω =n∑

j=1

(−1)j−1xj dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn

Sua diferencial e dada por

dω =

n∑

j=1

(−1)j−1dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dxj ∧ . . . ∧ dxn =

n∑

j=1

dx1 ∧ . . . ∧ dxn = ndDnr

Logo, obtemos o volume da esfera pelo teorema de Stokes:

Vol(Sn−1r ) =

∫

Sn−1r

dSn−1r =

1

r

∫

Sn−1r

ω =1

r

∫

Dnr

dω =n

r

∫

Dnr

dDnr =

n

rVol(Dn

r )

Para uma outra aplicacao geometrica do teorema de Stokes consideramos o conceito de

aplicacoes homotopas.

Definicao. Sejam f0 e f1 : M −→ N duas aplicacoes suaves entre as subvariedades M

e N . f0 e f1 chamam-se suavemente homotopas se existir uma aplicacao diferenciavel

H : [0, 1]×M −→ N tal que H(0, x) = f0(x) e H(1, x) = f1(x) para todo x ∈M . Isso quer

dizer que temos uma famılia de aplicacoes ft : M −→ N tal que ft(x) = H(t, x). Notacao:

f0 ∼H f1.

Teorema 11.9 Sejam Mn e Nn subvariedades compactas orientadas sem bordo e seja ω

uma n–forma com suporte compacto em N . Se f0, f1 : M −→ N sao duas aplicacoes

suavemente homotopas, entao ∫

Mn

f∗0ω =

∫

Mn

f∗1ω.

Demonstracao: Seja I = [0, 1]. O bordo da subvariedade I ×M e dado por ∂(I ×M) =

M ∪ (−M) onde −M e a subvariedadeM com a orientacao inversa. Logo segue de f0 ∼H f1

que ∫

∂(I×M)

H∗ω =

∫

M

f∗0ω +

∫

−M

f∗1ω =

∫

M

f∗0ω −∫

M

f∗1ω.

Por outro lado, aplicando o teorema de Stokes obtemos∫

∂(I×M)

H∗ω =

∫

I×M

d(H∗ω) =

∫

I×M

H∗dω = 0,

78

pois dω ∈ Ωn+1(Nn) = 0. Portanto, temos∫M

f∗0ω =∫M

f∗1ω.

Agora mostramos que “nao da para pentear um ourico”. (Em portugues, o nome mais

comum do seguinte teorema e “Teorema da bola cabeluda”, uma traducao literal do nome

“hairy ball theorem”. Tambem existem denominacoes envolvendo cocos.)

Teorema 11.10 (Teorema do ourico) Cada campo vetorial X numa esfera S2m ⊂R

2m+1 de dimensao par possui no mınimo uma raız, isto e, existe x ∈ S2m tal que X(x) = 0.

Observacao: Este teorema nao vale para esferas de dimensao impar 2m+ 1; por exemplo

considere o campo vetorial X(x1, . . . , x2n+2) := (x2,−x1, x3,−x4, . . . , x2m+2,−x2m+1).

Demonstracao do Teorema 11.10: Escrevemos n := 2m e seja X um campo vetorial

em Sn. Supomos que X nao tenha nenhuma raız. Por τ denotamos a chamada aplicacao

antipodal, definida por τ(x) := −x. Como X nao possui nenhuma raız,

H(t, x) := cos(πt)x+ sen(πt)X(x)

‖X(x)‖

e uma homotopia suave entre a identidade e a aplicacao antipodal τ e o Teorema 11.9 implica

∫

Sn

dSn =

∫

Sn

τ∗ dSn. (∗).

Agora exprimimos a n–forma τ∗ dSn pela forma de volume da esfera. A orientacao da esfera

Sn seja dada pelo campo normal unitario n(x) = x, isto e,

(a1, . . . , an) ∈ OTxSn ⇐⇒ (a1, . . . , an, x) ∈ ORn+1 (∗∗)

Agora seja (e1, . . . , en) uma base ortonormal positivamente orientada de TxSn. Entao

(e1, . . . , en) tambem e uma base ortonormal de T−xSn que por (**) e negativamente orien-

tada. Logo, obtemos para a n–forma τ∗dSn:

(τ∗dSn)x(e1, . . . , en) = dSn−x(−e1, . . . ,−en) = (−1)ndSn−x(e1, . . . , en)

= (−1)n+1 = (−1)n+1dSnx (e1, . . . , en).

Portanto,

τ∗dSn = (−1)n+1dSn

e para o volume da esfera a equacao (*) implica

Vol(Sn) =

∫

Sn

dSn =

∫

Sn

τ∗dSn = (−1)n+1

∫

Sn

dSn = (−1)n+1 Vol(Sn).

Isto e uma contradicao para n par.

79

Capıtulo 12

Possıveis questoes numa prova

final

As seguintes questoes resumem o conteudo desta apostila e devem ajudar na preparacao

a uma prova final. Para cada afirmacao dada voce devia conhecer a demonstracao ou as

ideias principais. Voce devia ser capaz de explicar onceitos matematicos usando atraves de

exemplos ou contra-exemplos. Voce tambem devia ser capaz de aplicar o conteudo da aula

a resolucao de questoes (como dadas nas aulas praticas ou nas listas de exercıcios).

1. Define o conceito duma subvariedade do Rn (com e sem bordo). Quais propriedades

tem a parte interior e o bordo duma subvariedade? Quais exemplos voce conhece?

Como podemos escrever subvariedades (por equacoes, graficos ou parametrizacoes lo-

cais)?

2. Define o espaco tangente e o espaco cotangente a uma subvariedade M num ponto

x ∈M . Quais propriedades tem esses espacos? Como podemos calcular esses espacos?

3. Define o conceito duma aplicacao diferenciavel (Ck, C∞) entre subvariedades. Quais

propriedades tem aplicacoes diferenciaveis?

4. Define a derivada duma aplicacao diferenciavel entre subvariedades. Quais proprieda-

des tem esta derivada? Porque ela generaliza a derivada duma aplicacao diferenciavel

f : U ⊂ Rn → R

m?

5. O que e a base canonica do espaco tangente TxM em relacao a uma carta em torno

de x ∈M? Como obtemos a base dual do T ∗xM (Demonstracao)?. De as formulas de

transformacao entre bases canonicas ou suas bases duais em relacao a cartas diferentes?

6. O que e um campo vetorial numa subvariedade? Define a derivada direcional duma

funcao por um campo vetorial. O que e o comutador de dois campos vetoriais e quais

sao suas propriedades?

7. O que e a metrica Riemanniana induzida numa subvariedade? Quais sao seus coefici-

entes locais? (Exemplos)

8. Define os conceitos gradiente, divergencia e Laplaciano numa subvariedade. De pro-

priedades desses operadores (regras do produto, representacoes locais).

80

9. O que e uma k–forma numa subvariedade? Quais operacoes para k–formas voce

conhece (forma induzida, produto exterior, representacao local, diferencial duma k–

forma, produto interior, derivada de Lie)? De as regras de calculo mais importantes.

10. O que e uma orientacao numa subvariedade? Quais criterios voce conhece para a

orientabilidade de subvariedades? De exemplos para subvariedades orientaveis e nao-

orientaveis.

11. Define a forma de volume duma subvariedade orientada. Quais propriedades possui

esta forma (representacao local, relacao entre a forma de volume de M e a forma de

volume do bordo ∂M)?

12. Define a integral duma n–forma ao longo duma subvariedade n–dimensional. Quais

propriedades tem esta integral? Como podemos calcula-la..

13. Define o volume duma subvariedade compacta. Como calculamos este volume?

14. De a afirmacao e a demonstacao do teorema de Stokes (para integrais de formas ao

longo de subvariedades). Quais aplicacoes voce conhece?

15. Quais teoremas integrais seguem do teorema de Stokes. Quais propriedades do opera-

dor de Laplace seguem destes teoremas?

81

Capıtulo 13

Exercıcios

Exercıcio 13.1 Mostre que o cilindro Z = (x, y, z) ∈ R3 ‖ x2 + y2 = 1 e uma subvarie-

dade do R3 de dimensao 2. De parametrizacoes locais que cobram o cilindro.

Exercıcio 13.2 Seja f : (a, b) → R+ uma funcao C∞. Mostre que a superfıcie de revolucao

M2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = f(z)2

e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (Esboco)

Exercıcio 13.3 Mostre que a catenoide

M2 = (coshu cos v, coshu sen v, u) ∈ R3 | (u, v) ∈ R

2

e uma subvariedade do R3 de dimensao 2. (Esboco)

Exercıcio 13.4 a) Mostre que o cone

K = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = z2

nao e uma subvariedade do R3. (Esboco)

b)∗ Mostre que a parabola de Neil

P = (x, y) ∈ R2 | x3 = y2

nao e uma subvariedade do R2. (Esboco)

Exercıcio 13.5 Mostre que cada grupo G ⊂ gl(Rn) abaixo e uma subvariedade do Rn2 ≃

gl(Rn). Alem disso, determine a dimensao de G e o espaco tangente na matriz identidade.

a) G = SL(n,R) = M ∈ gl(Rn) | detM = 1 (grupo linear especial).

b) G = O(n) = M ∈ gl(Rn) | M ·M t = id (grupo ortogonal).

Exercıcio 13.6 Considere a helicoide

M2 := Φ(u, v) := (v cosu, v senu, u) ∈ R3 | v, u ∈ R, v > 0

Seja u0 ∈ R fixo e, para cada v ∈ R, seja ϕ(v) o angulo entre o plano tangente TanΦ(u0,v)M2

e o eixo z. Mostre que

ϕ(v) = arctan(|v|).

82

Exercıcio 13.7 Seja h : U ⊂ R2 → R uma funcao C∞ e seja M2 ⊂ R

3 a subvariedade

de dimensao 2 dada por M2 :=graph(h). Mostre que o plano tangente por um ponto p =

(u0, v0, h(u0, v0)) ∈M2 e dado por

TanpM =

(x, y, z) ∈ R

3∣∣∣ (x− u0)

∂h

∂u(u0, v0) + (y − v0)

∂h

∂v(u0, v0) = z − h(u0, v0)

.

Exercıcio 13.8 Sejam X,Y : S2 → R3 dados por

X(x, y, z) = (−y, x, 0), Y (x, y, z) = (−z, 0, x)

a) Mostre que X e Y sao campos vetoriais suaves em S2.

b) Calcule o comutador de X e Y .

c) Determine os componentes do campo vetorial X em relacao a carta dada pelas coor-

denadas esfericas.

d) Calcule a derivada direcional X(f) para a funcao f : S2 → R, f(x, y, z) = z.

e) Mostre: Nao existe uma funcao h : S2 → R tal que X = grad(h).

Exercıcio 13.9 Sejam X,Y, Z campos vetoriais e f, g funcoes numa subvariedade.

Mostre as seguintes propriedades do comutador de campos vetoriais:

a) [X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0 (identidade de Jacobi)

b) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + fX(g)Y − gY (f)X

c) [X,Y ](f) = X(Y (f))− Y (X(f))

Exercıcio 13.10 a) Seja U ⊂ R3 um subconjunto aberto. Se F = (F1, F2, F3) : U → R

3

e um campo vetorial em U , sua rotacao e o campo vetorial em U definido por

rot(F ) :=

(∂F3

∂x2− ∂F2

∂x3,∂F1

∂x3− ∂F3

∂x1,∂F2

∂x1− ∂F1

∂x2

)

Mostre as seguintes formulas (em que f ∈ C∞(U,R)):

• div(rot(F )

)= 0

• rot(grad(f)

)= 0

• rot(f · F ) = f · rot(F ) + grad(f)× F

b) Seja M ⊂ RN uma subvariedade, sejam f, h ∈ C∞(M) e seja V ∈ X(M). Definimos

o Laplaciano ∆ por

∆(f) := div(grad(f)

)

Mostre as seguintes regras do produto:

• grad(f · h) = f · grad(f) + h · grad(f)

• div(f · V ) = f · div(V ) + V (f)

• ∆(f · h) = f ·∆(h) + h ·∆(f) + 2⟨grad(f), grad(h)

⟩

83

Exercıcio 13.11 a) Denotamos por N = (0, ..., 0, 1) o “Polo Norte” da esfera Sn e

seja h : Sn \N → Rn a aplicacao dada por:

h(x) :=reta por N e x

∩plano xn+1 = 0

De formulas explıcitas para h e h−1 e mostre que h−1 e uma parametrizacao de Sn \N.

b)∗ Descreva as imagens sob h−1 de hiperplanos En−1 ⊂ Rn e de hiperesferas Sn−1 ⊂ R

n.

c) Calcule os coeficientes da metrica Riemanniana em relacao a carta em Sn \ N dada

pela projecao estereografica h. Depois determine as representacoes do gradiente duma

funcao f ∈ C∞(Sn), da divergencia dum campo vetorial X ∈ X(Sn) e a representacao

do Laplaciano de f em relacao a h.

Exercıcio 13.12 Determine todas as funcoes f : Rn\0 → R que dependem apenas

da distancia r(x) = d(x, 0) = ||x|| da origem e satisfazem a equacao ∆f = 0 (funcoes

harmonicas).

Exercıcio 13.13 a) Calcule a derivada exterior d das seguintes formas no R3:

1) ω1 = ex cos(y) dx− ex sen(y) dy

2) ω2 = xy dx ∧ dy + 2x dy ∧ dz + 2y dx ∧ dz3) ω2 = z dx ∧ dy + x dy ∧ dz + y dx ∧ dz

b) Seja ω1 = f(x, y) dx+ g(x, y) dy ∈ Ω1(R2) uma 1-forma em R2. Mostre:

ω1 e fechada ⇐⇒ ∂f

∂y=∂g

∂x

Determine todas as funcoes α ∈ C∞(R2) tais que dα = ω1 e todas as 1-formas η1 tais

que dη1 = y dx ∧ dy.

c) Encontre um criterio analogo para uma 1-forma em Rn ser fechada.

d) Seja σ ∈ Ω1(R

2 \ 0)a 1-forma

σ = − y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

Mostre que σ e fechada mas nao exata em R2 \ 0. De um subconjunto aberto U de

R2 \ 0 onde σ e exata. (U grande!).

Exercıcio 13.14 Um subconjunto A ⊂ Rn e chamado estrelado se existe um ponto x0 ∈ A

tal que para todo x ∈ A o segmento xox e contido em A. Mostre:

Num conjunto aberto e estrelado U ⊂ Rn, cada k-forma fechada e exata (k ≥ 1).

Sugestao: Sem perda de generalidade podemos escolher x0 = 0. Considere a (k-1)-forma Iω

em U , dada por

Iω(x) :=∑

i1<...<ik

k∑

α=1

(−1)α−1

1∫

0

tk−1ωi1...ik(tx) dt

· xiα dxi1 ∧ ... ∧ dxiα ∧ ... ∧ dxik

e mostre que vale dIω = ω.

84

Exercıcio 13.15 Seja U ⊂ R3 um conjunto aberto e estrelado e X um campo vetorial em

U . Mostre:

rotX = 0 ⇐⇒ existe f ∈ C∞(U) tal que gradf = X

Sugestao: Aplique Exercıcio 13.14 a 1-forma ωX , dada por ωX(Y ) = 〈X,Y 〉 .

Exercıcio 13.16 (Equacoes de Maxwell) As seguintes nocoes sao usadas para descrever

processos eletromagneticos no vacuo:

• E =3∑i=1

Ei(x, t)∂∂xi

(campo eletrico)

• B =3∑i=1

Bi(x, t)∂∂xi

(campo magnetico)

• ρ(x, t) (densidade de carga)

• J =3∑i=1

Ji(x, t)∂∂xi

(densidade de corrente

eletrica)

As relacoes entre estes campos sao dadas pelas equacoes de Maxwell (confirmadas em expe-

rimentos) que (depois duma normacao adequada das constantes fısicas) dizem o seguinte:

(1) div(B) = 0 (lei de Gauss para o magnetismo)

(2) rotE + ∂∂t(B) = 0 (lei de Faraday)

(3) rotB − J − ∂∂t(E) = 0 (lei de Ampere)

(4) divE = ρ (lei de Gauss)

Definimos ∂∂x4

= ∂∂t

. Consideramos E,B, J ∈ X(R4) como campos vetoriais diferenciaveis

em R4 e ρ ∈ C∞(R4). Alem disso, dados um campo vetorial F =

∑3i=1 Fi(x, t)

∂∂xi

∈ X(R4)

e uma 2-forma α2 ∈ Ω2(R4) , definimos:

1. ω1F :=

3∑i=1

Fidxi ∈ Ω1(R4)

2. ω2F := F1dx

2 ∧ dx3 + F2dx3 ∧ dx1 + F3dx

1 ∧ dx2 ∈ Ω2(R4)

3. δ(α2) :=4∑i=1

4∑j=1

κi∂∂xi

(α2( ∂

∂xi, ∂∂xj

))dxj onde κi =

−1 para i = 1, 2, 3

1 para i = 4

Mostre que para a 2-forma η2 ∈ Ω2(R4) dada por

η2 := ω1E ∧ dt+ ω2

B

valem as seguintes equivalencias:

1. dη2 = 0 ⇐⇒ 1) e 2)

2. δη2 = ω1J − ρdt ⇐⇒ 3) e 4)

Exercıcio 13.17 Determine a representacao local da forma de volume para as seguintes

superfıcies no R3:

a) superfıcie de revolucao

Rf (a, b) = (f(z) cos(v), f(z) sen(v), z

)∈ R

3 | (v, z) ∈ R× (a, b) ,onde f ∈ C∞

((a, b)

)e f > 0.

85

b) toro de revolucao

T 2 = ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu

)| (v, u) ∈ R

2 ,onde r1 > r2 > 0 .

c) helicoide

W = (r cos v, r sen v, v

)∈ R

3 | (v, r) ∈ R× R+ .

d) esfera de raio r > 0

S2(r) = (r cos v cosu, r sen v cosu, r senu

)∈ R

3 | (v, u) ∈ R2

e) grafico duma funcao F ∈ C∞(R2)

Γ(F ) = (u, v, F (u, v)

)∈ R

3 | (u, v) ∈ R2

Exercıcio 13.18 Mostre a seguinte formula para a forma de volume na esfera unitaria

Sn ⊂ Rn+1 (onde Sn seja orientada pelo campo normal apontando para fora) :

dSnx (v1, . . . , vn) = 〈x, v1 × . . .× vv〉, v1, . . . , vn ∈ TxSn

Exercıcio 13.19 Calcule as areas das seguintes superfıcies:

a) toro de revolucao

T 2 = ((r1 + r2 cosu) cos v, (r1 + r2 cosu) sen v, r2 senu

)| (v, u) ∈ R

2 ,onde r1 > r2 > 0 .

b) esfera de raio r > 0

S2(r) = (r cos v cosu, r sen v cosu, r senu

)∈ R

3 | (v, u) ∈ R2

c) helicoide

W = (r cos v, r sen v, v

)∈ R

3 | (v, r) ∈ [0, 4π]× (0, 2) .

d) cone

K := (r cos θ, r sen θ, r) ∈ R3 | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1.

Exercıcio 13.20 Calcule a area do grafico da funcao f : [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2 → R

f(x, y) :=2

3(x

32 + y

32 )

Exercıcio 13.21 Determine as superfıcies das seguintes superfıcies de revolucao Rf (a, b)

(veja Exercıcio 13.17(a)):

• f(z) = z, 0 < a < b.

• f(z) = e−z, (a, b) = (0,∞).

• f(z) = z−α, (a, b) = (1,∞). Para quais α > 0 a area e finita?

Exercıcio 13.22 Seja R > 0.

a) Calcule o volume do solido de Viviani, i.e., a intersecao do cilindro solido

Z := (x, y, z) ∈ R3 | (x− R

2 )2 + y2 ≤ (R2 )

2 com a bola B3 := (x, y, z) ∈ R3 | x2 +

y2 + z2 ≤ R2.

b) Calcule a area da superfıcie de Viviani, i.e., a intersecao do cilindro solido

Z de (a) com a esfera S2 := (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2.

86

Exercıcio 13.23 Seja K = Rcosh2 z(−∞,+∞) a catenoide e seja T 2 o toro de revolucao.

Calcule as seguintes integrais:

a)

∫

K

1

(x2 + y2)2dK e b)

∫

T 2

z dx ∧ dy.

Exercıcio 13.24 Seja η = z2 dx∧dy uma 2-forma no R3 e seja S = (x, y, z) ∈ S2 | z > 0

o hemisferio superior da esfera unitaria orientada S2 ⊂ R3. Calcule a integral

∫

S

η

Exercıcio 13.25 Seja S a superfıcie orientada S := (u + v, u2 − v2, u · v) | u, v ∈ [0, 1].Calcule a integral ∫

S

x dy ∧ dz + y dx ∧ dy

Exercıcio 13.26 Calcule a integral

∫

E

√x2

a4+y2

b4+z2

c4dE ,

onde E e o elipsoide E := (x, y, z) ∈ R3 | x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 .

Exercıcio 13.27 Seja T o solido limitado pelo plano xy, o plano xz, o plano yz e o plano

2x+ 3y + 6z = 12. Calcule

∫

∂T

F1 dx ∧ dy + F2 dy ∧ dz + F3 dz ∧ dx

diretamente e pelo teorema de Stokes1 onde:

a) F1 = 3y, F2 = 18z, F3 = −12

b) F1 = z, F2 = x2, F3 = y

Exercıcio 13.28 Consideramos o campo vetorial F ∈ X(R3) dado por F(x, y, z) :=

(2x, y2, z2). Alem disso seja S2 ⊂ R3 a esfera de dimensoes 2 e raio 1. Seja n o campo

normal exterior. Usando o teorema de Stokes, calcule a integral

∫

S2

< F,n > dS2

Exercıcio 13.29 Usando o teorema de Stokes, calcule a integral

∫

C

−y3dx+ x3dy − z3dz

onde C e a intersecao do cilindro x2 + y2 = 1 com o plano x+ y + z = 1. A orientacao de

C corresponde a rotacao anti-horario no plano xy.

1 Observacao: ∂T NAO e uma subvariedade suave, mas pode ser composto por tais. Mesmo assim, o

teorema de Stokes pode ser aplicado aqui calculando∫∂T

como soma das integrais ao longo dos componentes

suaves do bordo.

87

Exercıcio 13.30 Verifique o teorema integral de Stokes para a superfıcie B = (x, y, z) ∈R

3 | z = x2 − y2, x2 + y2 ≤ 1 e o campo vetorial X(x, y, z) = (x, y, z). Em outras palavras,

faca dois calculos independentes para mostrar que

∫

B

rot(X) · d~F =

∫

∂B

X · d~s.

Exercıcio 13.31 Sesja D ⊂ R2 um domınio plano limitado com bordo suave ∂D. Por

γ : [a, b] −→ ∂D denotamos a curva simples, regular e parametrizada por comprimento de

arco que parametriza o bordo de D no sentido dado por sua orientacao. Mostre que a area

Area(D) := λ2(D) do domınio D e dada pela seguinte formula:

Area(D) =1

2

b∫

a

(x(t) y′(t)− y(t)x′(t)

)dt, onde γ(t) = (x(t), y(t))

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Referencias Bibliograficas

[1] M. P. Do Carmo: Differential forms and applications. Springer, Berlin 1994.

[2] H. Flanders: Differential forms. With applications to physical sciences. Dover publica-

tions, 1989.

[3] John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer, 2012.

[4] Elon L. Lima: Analise Real volume 3. Analise Vetorial. IMPA, 2008.

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