1

ANALISIS DA ESTABILIDAD ABSOLUTA DE UM SISTEMA NA FORMA DE LURE’S A TRAVES DO CRITÉRIO DO CÍRCULO

Manuel Ricardo Vargas Ávila

Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares

RESUMO: O presente documento consiste em um

relato das atividades desenvolvidas durante o capítulo 10 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil da disciplina do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, chamado analises de um sistema em malha fechada, o qual consiste num desenvolvimento das técnicas de estabilidade absoluta (Lure) chamadas o critério do círculo e critério de Popov. Será feita uma breve introdução dos principais conceitos envolvidos sobre a determinação da estabilidade absoluta de um sistema na forma de Lure. Em seguida, será feito um desenvolvimento teórico sobre o problema de LURE, a condição do setor clássico, uma vez definido a condição do setor, é mostrado a determinação da estabilidade absoluta do sistema a traves do critério do círculo. Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultados a traves de gráficos e simulações com simulink.

PALAVRAS-CHAVE: Sin memoria, critério do círculo,

Nyquist, Matlab.

1 INTRODUÇÃO

Muitos sistemas físicos não lineares podem ser representados como uma conexão em malha fechada de um sistema dinâmico lineal e um elemento ( não linear

(sistema na forma de LURE). Este sistema é dito assintoticamente estável se:

1 . Nós devemos ter em conta que o elemento não

linear posem duas restrições que fazem que , e por tanto que o sistema não seja

assintoticamente estável. As duas restrições serão definidas na base teórica do relatório. Para fazer o estudo da estabilidade absoluta de um sistema não linear na forma de Lure, existem 2 técnicas chamadas critério do círculo e critério de Popov. As

duas usam o diagrama de Nyquist como base para definir se o sistema é assintoticamente estável ou não. Neste relatório nós vamos a fazer o desenvolvimento do critério

1 A definição é presentada na base teórica

setor=

do círculo para estudar a estabilidade absoluta de um sistema não linear.

2 BASE TEÓRICA

2.1 PROBLEMA DE LURE

A maioria dos sistemas não lineares podem ser

representados a traves do seguinte sistema:

Figura 1. Sistema na forma de Lure

O qual tem um sistema linear realimentado

negativamente com um elemento não linear ( . O sistema da figura 1 pode ser representado como:

+BU(t) (1)

Para encontrar a matriz A (Matriz dinâmica do

sistema), nós devemos encontrar a matriz jacobiana:

| (2)

U=Vetor de entradas B=Matriz que considera cada uma das entradas C=Matriz de saída D=Matriz que considera a influência direta das entradas

na saída O elemento não linear , deve ser um elemento

que cumpra umas condições:

2

A função avaliada no origem deve

ser, por tanto

Deve ser uma função simétrica ímpar, é dizer

2.2 CONDIÇÃO DO SETOR

Figura 2. (a) Setor global; (b) Setor local

Definição 1: Uma função continua [ →

pertence ao setor [ ]se existem dois

números não-negativos e , onde , tais que

(3)

se verifica. A relação (3) pode ser escrita na forma

[ ][ ] (4) A equação (4) é chamada condição do setor. Esta

condição garante que esteja localizada no

primeiro e terceiro quadrante e ainda que . A satisfação de uma dada condição de setor pode ser caracterizada tanto de forma local quanto global.

2.3 ESTABILIDADE ABSOLUTA

Baseado no sistema na forma de Lure (Figura 1) e

da condições do setor (4), nós podemos definir a

estabilidade absoluta da seguinte maneira. Definição 2: Considere o sistema (1), onde a não-

linearidade satisfaz uma dada condição do setor. Este sistema é globalmente absolutamente estável se a origem é globalmente assintoticamente estável para qualquer não-linearidade em um dado setor. Este sistema será localmente absolutamente estavel se a origem é assintoticamente estável para qualquer não-linearidade parcialmente contida em um dado setor [1].

Em conclusão nós podemos olhar que a

estabilidade absoluta é uma característica exclusiva do sistema e do setor escolhido, por tanto é válida para qualquer não-linearidade pertencente ao setor.

Figura 3. Estabilidade absoluta- caso local

Figura 4. Estabilidade absoluta- caso global

2.3.1 CRITÉRIO DO CIRCULO

O critério do círculo permite investigar a estabilidade

absoluta usando apenas o diagrama de Nyquist do sistema linear. Isto é muito importante porque o diagrama de Nyquist pode ser determinada de forma experimental. Tendo o diagrama de Nyquist , pode-se determinar

os setores admissíveis para as quais o sistema é absolutamente estável.

Teorema 1: Considere o sistema (1), onde (A,B)

são controlável, (A,C) são observável e cumpre a condição do setor (4) globalmente. Então o sistema é absolutamente estável se: [1]

[ ]

É Hurwitz.

Onde: G(s) é a função de transferência do sistema linear.

E

3

[ ]

[ ] [

[

]

[

]

] (

)

é estritamente positiva real, ou seja:

{ }

Para definir o critério do círculo, nós primeiro

devemos traçar o diagrama de Nyquist do sistema linear.

Figura5. Diagrama de Nyquist

Logo devemos traçar o círculo.

Figura6. Círculo no caso que

O qual está definido como:

Onde:

(5)

Teorema 2: Considere um sistema na forma (1) e

cumpre a condição do setor (4) globalmente. Então o sistema é absolutamente estável se uma das condições seguintes é satisfeita. [3]

Se , o diagrama de Nyquist de

não entra no círculo D.

Se , é Hurwitz e o diagrama de Nyquist G (s) encontra-se à direita da linha vertical

e definido por [ ]

.

Se , é Hurwitz e o diagrama

de Nyquist de G (s) encontra-se no interior do disco de "D".

Figura 7. Critério do circulo

4

3 ANALISIS DA ESTABILIDAD ABSOLUTA DE UM SISTEMA NÃO LINEAR (PENDULO) A TRAVES DO CRITERIO DO CIRCULO.

3.1 SISTEMA NÃO LINEAR (PENDULO)

Figura8. Pendulo

Usando a segunda lei de newton a gente pode

escrever a equação de movimento na direção tangencial:

Onde é a massa da bola, é a longitude do

braço, é o ângulo entre a vertical e o braço, aceleração angular, é a aceleração da gravidade, e é

o coeficiente de fricção.

Pegando como variáveis de estado e

nós podemos escrever as equações de estado

⏟

As constantes são definidas:

(6)

Então as equações de estados ficam:

(7)

⏟

(8)

Onde o elemento não linear é:

(9)

Fazendo substituição de (9) em (8), as equações

de estados ficam:

(10)

(11)

3.2 SISTEMA NA FORMA DE LURE

Figura 9. Sistema na forma de LURE

3.2.1 LINEARIZAÇÃO DO SISTEMA (10) e (11)

A partir de (2) nós podemos encontrar a matriz

dinâmica do sistema (A).

[

]

[ ]

[ ]

Então a representação do sistema linear fica:

[

] [

] [

]+ [

]U(t)

(12)

[ ] [

]

3.2.2 ELEMENTO NÃO LINEAR

(13)

Onde:

Então o gráfica da função (13) fica:

5

Figura 9. Função , com

3.3 CONDIÇÃO DO SETOR

Figura 10. Setor local

Definição do setor:

(14)

|

| (15)

Então (3) fica:

Por tanto a condição do setor fica:

[

] [ ]

Agora a gente pode traçar o círculo com radio (5)

Figura 11. Círculo (r= 0.2926)

3.4 DIAGRAMA DE NYQUIST

A função de transferência do sistema linear é:

Fazendo em Matlab: A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; C=[1 0]; syms s I=[1 0;0 1]; G=C*inv(s*I-A)*B

Seu diagrama de bode fica:

Figura 12. Diagrama de bode

-2*pi -pi 0 pi 2*pi-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Sine Function

Radians

Function V

alu

e

-100

-50

0

50

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

6

Nós podemos olhar que a fase vai de -90 a -180 , por tanto o diagrama de nyquist fica:

Figura 13. Diagrama de Nyquist

3.5 CRITÉRIO DO CIRCULO

Agora traçando a figura11 com a figura 13, nós

vamos analisar a estabilidade absoluta do sistema a partir do teorema 2.

Figura 14. Critério do circulo

Pelo teorema 2, Se , o diagrama de

Nyquist de não deve entrar no círculo D. Se nos olhamos a figura 14, não cumpre o teorema, por tanto pela condição definida de (6), o sistema não é absolutamente estável. Então, nós vamos definir o limite de , no qual o teorema2 seja verdade e portanto o sistema seja absolutamente estável.

Definindo (6) como:

Figura 15. Setor local

A nova condição do setor fica:

(16)

|

| (17)

Por tanto a condição do setor fica:

[

] [ ]

Agora nós podemos traçar o círculo com radio (5).

Figura 16. Círculo (r= 0.22272)

Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama de nyquist da figura 13.

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

7

Figura 17. Critério do circulo

Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por

tanto o sistema é absolutamente estável. Agora definindo (6) como:

Figura 18. Setor local

A nova condição do setor fica:

(18)

|

| (19)

Por tanto a condição do setor fica:

[

] [ ]

Agora nos podemos traçar o círculo com radio (5).

Figura 19. Círculo (r= 0.2816)

Agora aplicando o critério do círculo com o diagrama de nyquist da figura 13.

Figura 20. Critério do circulo

Nós podemos olhar que o teorema2 é satisfeito, por

tanto o sistema é absolutamente estável.

4 Conclusões

O critério do círculo é uma técnica muito importante para investigar a estabilidade absoluta de um sistema usando apenas o diagrama de nyquist. Mas se comparamos esta técnica com o critério Popov, tem desvantagem por que a técnica de Popov é menos conservadora, ou seja a estimação é mais parecida.

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-0.6 -0.4 -0.2

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

8

Neste relatório nos logramos encontrar o limite de no qual a través do critério do círculo o

sistema é absolutamente estável.

5 REFERÊNCIAS

[1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, , 1996.