Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais

7/23/2019 Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais

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Animao de fluidos em imagens digitais

Marcos Aurlio Batista


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Animao de fluidos em imagens digitais

Marcos Aurlio Batista

Orientador:Prof. Dr. Luis Gustavo Nonato

Tese apresentada ao Instituto de Cincias Matemticas e deComputao - ICMC-USP, como parte dos requisitos paraobteno do ttulo de Doutor em Cincias - Cincias deComputao e Matemtica Computacional. VERSOREVISADA

USP So Carlos

Outubro de 2011

SERVIO DE PS-GRADUAO DO ICMC-USP

Data de Depsito:

Assinatura:


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Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassie Seo Tcnica de Informtica, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

B328aBatista, Marcos Aurlio Animao de fluidos em imagens digitais / MarcosAurlio Batista; orientador Luis Gustavo Nonato --So Carlos, 2011. 111 p.

Tese (Doutorado - Programa de Ps-Graduao emCincias de Computao e Matemtica Computacional) --Instituto de Cincias Matemticas e de Computao,Universidade de So Paulo, 2011.

1. Animao de Fluidos. 2. guas Rasas. 3. ImagensDigitais. I. Nonato, Luis Gustavo, orient. II. Ttulo.


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Resumo

Esta tese apresenta uma nova metodologia para animao de objetos lquidosem imagens. Contrariamente s tcnicas existentes, este mtodo baseado

em um modelo fsico, o que proporciona efeitos realsticos. A perspectiva da

imagem obtida com a interveno do usurio, por um esquema simples de

calibrao da cmera, o qual permite a projeo da camada da imagem a ser

animada sobre um plano horizontal no espao tridimensional. As equaes de

guas rasas conduzem a simulao e as informaes de altura so projetadas

de volta ao espao da imagem utilizando traado de raios. Alm disso, efeitosde refrao e iluminao so aplicados durante este estgio, resultando em

animaes realsticas e convincentes.

Palavras-chave:

Animao de Fluidos guas Rasas Imagens Digitais

v


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Abstract

This work presents a new methodology for animating liquid objects depictedin a still image. In contrast to existing techniques, the proposed method

relies on a physical model to accomplish the animation, resulting in realistic

effects. Image perspective is handled through a simple user assisted camera

calibration scheme which allows one to project the image layers to be anima-

ted onto the horizontal plane in the three-dimensional space. Shallow-Water

equations drive the simulation and the resulting height field is projected back

to the image space via ray-tracing. Refraction and lighting effects are also ac-complished during the ray-tracing stage, resulting in realistic and convincing

animations.

Keywords:

Fluid Animation Shallow Water Still Image

vi


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Sumrio

Resumo v

Abstract vi

1 Introduo 1

2 Trabalhos correlatos 4

2.1 Espao da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Tcnicas baseadas em vdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Auxlio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Animando fluidos em imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Animao baseada em guas rasas. . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Abordagem proposta 21

4 Inferncia tridimensional 26

4.1 Linha do horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Distncia focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Calibrao da cmera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Projeo inversa do corpo dgua . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.5 Determinando o domnio de simulao . . . . . . . . . . . . . 37

vii


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5 Construo do domnio de simulao 39

6 Simulao fsica 44

6.1 Resoluo numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Consideraes sobre os arquivos de entrada. . . . . . . . . . . 52

7 Projeo reversa e renderizao 57

8 Resultados obtidos 61

8.1 Rio em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Animao de fluxo em uma represa . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.3 Vulco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4 Chuvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.5 Balano natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.6 Transporte de textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.7 Efeito Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.8 Insero de objetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.9 Comparaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9 Concluso 83

Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A guas rasas 85

A.1 Caractersticas fsicas das guas rasas . . . . . . . . . . . . . . 85

A.2 Equaes de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.3 Equacionamento do movimento das guas rasas . . . . . . . . 89

A.4 As equaes de guas rasas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Referncias bibliogrficas 97

viii


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Captulo 1

Introduo

A manipulao de fotografias e pinturas tem sido objeto de grande inte-

resse em computao grfica [Freeman, Adelson & Heeger 1991, Litwinowicz

& Williams 1994], estimulando uma grande quantidade de mtodos para

edio [Barrett & Cheney 2002, Igarashi, Moscovich & Hughes 2005], ani-

mao [Hornung, Dekkers & Kobbelt 2007, Xu, Wan, Liu, Wong, Wang& Leung 2008] e criao de efeitos atraentes [Chu, Hsu, Mitra, Cohen-Or,

Wong & Lee 2010, Shesh, Criminisi, Rother & Smyth 2009] a partir de ima-

gens. Entretanto, a animao realstica de fenmenos naturais em imagens

permanece um desafio. As poucas tcnicas existentes so muito complexas,

exigindo uma intensa e especializada interveno do usurio [Okabe, Anjyo,

Igarashi & Seidel 2009], ou simula apenas fenmenos suaves, como o efeito

de um vento brando em um lago [Chuang, Goldman, Zheng, Curless, Sa-

lesin & Szeliski 2005]. Alm disso, a maioria destas tcnicas apoia-se em

sntese de texturas para simular fenmenos naturais, produzindo animaes

nem sempre realsticas.

Uma das principais dificuldades dos mtodos de animao de fenmenos

naturais em imagens, que utilizam modelos fsicos, a carncia de informa-

1


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es sobre a estrutura tridimensional da cena. Sem as informaes tridimen-

sionais dificilmente conseguiramos simular ondas e o movimento de objetos

em harmonia com a cena retratada na imagem, resultando em efeitos no

convincentes.

Nesta tese, tratamos as dificuldades mencionadas com uma nova tcnica

para animao de lquidos em imagens, a qual se baseia em modelos fsicos. A

falta de informaes tridimensionais resolvida com um esquema simples de

calibrao da cmera, o que permite o posicionamento, no espao tridimen-

sional, do domnio de simulao. A tcnica de traado de raios empregada

para projetar o resultado da simulao de volta ao espao da imagem. Alm

de fornecer um bom casamento entre a propagao da onda e a perspectiva

da cena, o mecanismo permite, naturalmente, recursos adicionais de renderi-

zao, como refrao e iluminao, os quais so explorados para intensificar

o realismo e introduzir novos elementos cena.

Ns utilizamos como modelo fsico, no processo de animao, as equaesde guas rasas. Alm de permitir animaes realsticas, o modelo de guas

rasas fornece um conjunto de parmetros que podem servir para modular efei-

tos especficos no fluido. Ademais, utilizamos camadas da imagem como um

mecanismo para definir os parmetros envolvidos na simulao, permitindo

mudanas no comportamento do fluido e criando efeitos interessantes.

Contribuies

As principais contribuies deste trabalho podem ser resumidos em:

Inferncia tridimensional: um esquema simples de calibrao de

cmera, conduzido pelo usurio, empregado para inferir o domnio

tridimensional onde ocorrer a simulao fsica.

2


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Animao fisicamente baseada: em contraste s tcnicas de anima-

o em imagens, nossa abordagem apoia-se fortemente em um modelo

fsico (guas rasas) para gerar os efeitos de movimento, resultando em

animaes realsticas.

Projeo reversa via traado de raios: o traado de raios uti-

lizado para projetar o resultado da simulao de volta ao espao da

imagem, preservando a perspectiva da cena enquanto efeitos adicionais

so aplicados, tais como refrao e iluminao. At onde sabemos, esta a primeira vez que o traado de raios utilizado em animao de

imagens em conjunto com simulaes fsicas.

Para apresentar esta proposta ao leitor fazemos, no segundo captulo, uma

breve anlise dos trabalhos correlatos. Nos captulos seguintes apresentamos

nossa proposta e em seguida uma amostra dos resultados obtidos. Fechamos

com um captulo de concluso, onde apresentamos algumas propostas detrabalhos futuros.

Esta tese no tem a pretenso de ser um tratado sobre o movimento de

fluidos e nem mesmo do movimento de guas rasas. Os rigores matemticos

e fsicos de um tratado desta natureza podem ser encontrados em [Kinnmark

1984, Weiyan 1992, Galdi 1998a, Galdi 1998b]. Para manter o texto completo,

porm, fornecemos detalhes do modelo de guas rasas, bem como a estratgia

de discretizao adotada.

3


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Captulo 2

Trabalhos correlatos

A admirao que o ser humano tem adquirido por pinturas e fotografias

artsticas ao longo de milnios de nossa evoluo fruto da capacidade de

abstrair o significado da cena, muitas vezes, pelo movimento intrnseco da

mesma.

J no de hoje que a Computao Grfica gera movimento a partirde duas ou mais imagens, seja na interpolao de quadros a partir de cria-

es artsticas em tempos especficos da cena ou a partir de sequncias de

imagens capturadas de uma cena real, seja nas famosas tcnicas de meta-

morfose, iniciadas artisticamente por Georges Melis1 no incio do sculo2.

Tcnica esta onde, a partir de duas imagens distintas, uma alomorfia entre

elas gerada atravs de quadros que evoluem a partir de uma imagem em

direo a outra, utilizando tcnicas de deformaes em imagens [Gomes &

Velho 1994]. O artigo [Wolberg 1998] nos d um panorama das tcnicas de

metamorfose entre imagens desenvolvidas no sculo passado (veja tambm

www.visgraf.impa.br/morph).

1Ilusionista Francs, 1861-1938.2Vdeo disponvel em .

4
http://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.movhttp://w3.impa.br/~morph/melies/melies.mov


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CAPTULO 2. TRABALHOS CORRELATOS 5

Recentemente, o artigo [Bonilla, Velho, Nachbin & Nonato 2009] apre-

senta uma tcnica de deformao de imagens, onde a imagem considerada

um campo de densidades imerso em um fluido que, ao movimentar-se sob a

ao de foras externas, parmetro informado pelo usurio, deforma a ima-

gem.

Mas animar uma imagem a partir do significado intrnseco que a mesma

passa aos nossos olhos um grande desafio. A demanda prtica um tanto

bvia, visto que gerar movimento a partir de uma imagem dada diminui

consideravelmente o custo de uma animao. Este desafio tem sido objeto

de estudo desde o fim da dcada de 70, quando uma tcnica de variao de

cores na imagem foi proposta [Shoup 1979].

Para melhor contextualizar nosso trabalho, organizamos as tcnicas de

animao de objetos em imagens pelo nvel de informaes tridimensionais

requeridas. Mais especificamente, agrupamos as tcnicas em trs categorias:

tcnicas onde todo o processamento acontece no espao bidimensional daimagem, tcnicas que utilizam vdeos preexistentes como exemplos, e mtodos

apoiados em algum tipo de informao tridimensional.

2.1 Espao da imagem

Tcnicas que realizam o processo de animao no espao da imagem abran-

gem desde iluso de movimento baseado em filtragem [Freeman et al. 1991]at mtodos sofisticados de animao, envolvendo ciclos de movimento de

animais [Xu et al. 2008], as quais contam com ferramentas de manipulao

de imagem tais como manipulao de formas [Igarashi et al. 2005, Schae-

fer, McPhail & Warren 2006], edio [Barrett & Cheney 2002], e deformao

de imagens [Litwinowicz & Williams 1994]. Na realidade, as ferramentas


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bsicas de manipulao de imagem, juntamente com a utilizao do canal

alfa [Sun, Jia, Tang & Shum 2004] e do retoque digital [Drori, Cohen-Or

& Yeshurun 2003] so fundamentais para a maioria dos mtodos existentes.

Falemos sobre alguns destes trabalhos que tratam da gerao de animao.

Na dcada de 90 o artigo [Freeman et al. 1991] apresenta a gerao de

um vdeo a partir de uma imagem simples aplicando um filtro, com diferena

de fase de 90o, duas vezes na imagem e, a partir destas imagens chamadas

G e H, gera os quadros: Ft = cos(t)G+sen(t)H, onde = 2T

e T o

tempo total de um ciclo do vdeo (360o). Assim a imagem final igual

imagem inicial (G), gerando uma sequncia circular de movimento, tendo

como imagens intermedirias H, G e H(respectivamente, t = 2

, e

32).

Ainda na mesma dcada, Peter Litwinowicz e Lance Williams [Litwinowicz

& Williams 1994], da Apple Computer, Incapresentam uma tcnica de ani-

mao em imagens onde, a partir de uma sequncia de quadros tomado comomodelo e da imagem dada, gera os esboos dos quadros desta imagem e de-

forma cada um dos esboos, preservando a textura interna aos contornos,

gerando os respectivos quadros de animao. A sequncia para a gerao

desta animao pode ser acompanhada na figura2.1:

1. a imagem no canto inferior esquerdo de2.1b a imagem dada,

2. a sequncia de quadros na parte superior de 2.1a o vdeo tomadocomo modelo,

3. o esboo no canto superior esquerdo de2.1b foi extrado da imagem

dada,

4. a sequncia de esboos na parte inferior de2.1a foi extrada do modelo,


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c

ACM

(a)

c

ACM

(b)

Figura 2.1: Animao da imagem de um gato (canto inferior esquerdo) a partir dos con-

tornos do vdeo de uma pessoa (linha superior). [Litwinowicz & Williams 1994]

5. a sequncia de esboos na parte superior de2.1b foi gerada a partir dos

esboos da imagem dada e do modelo,

6. finalmente, a sequncia na parte inferior de2.1b o vdeo gerado.

J no incio deste sculo, apresentada uma tcnica que gera movimento

em uma imagem a partir da seleo de um ou mais objetos nesta imagem

e de suas segmentaes automticas. A partir desta segmentao o usurio

pode mudar a forma, o tamanho e a localizao do objeto ou de parte deste

objeto [Barrett & Cheney 2002]. Um exemplo de aplicao da tcnica pode

ser visto na figura 2.2, onde a imagem esquerda a imagem original, o

objeto selecionado o relgio e a imagem direita a imagem modificada.

J uma tcnica de manipulao de formas apresentada na figura2.3,

onde um objeto dado coberto por uma malha triangular e manipulado pelo

usurio a partir de pontos arbitrrios [Igarashi et al. 2005]. A tcnica consiste

em, dada uma imagem com textura regular e um objeto de contorno fechado:


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c

ACM

Figura 2.2: Relgio fluindo. [Barrett & Cheney 2002]

c

ACM

Figura 2.3:Viso geral de uma tcnica de manipulao de formas. [Igarashi et al. 2005]

1. o objeto coberto por uma malha triangular,

2. pontos de manipulao, ou de fixao, so selecionados pelo usurio e

os mesmos so atribudos a vrtices da malha,

3. o usurio, a partir dos pontos selecionados, manipula o objeto como se

manipula uma marionete,

4. a malha se adapta manipulao deformando os tringulos e preser-

vando os vrtices associados aos pontos selecionados,

5. em cada intervalo predeterminado, a textura original dos tringulos

repintada e um quadro gerado,

6. os quadros gerados formam a animao.

Outro interessante trabalho de animao a partir de imagens, proposto

em [Xu et al. 2008], consiste em, dada uma imagem como na figura 2.4a,


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c

ACM

(a) (b)

Figura 2.4: Seleo de objetos e inferncia de movimento. [Xu et al. 2008]

os objetos so extrados e ordenados, gerando uma sequncia de movimentoinferido como apresentado na figura2.4b, o fundo da imagem retocado e a

sequncia de movimento gerada, reinserindo os objetos na cena a partir de

sua posio original e, a cada quadro, inserindo os objetos na sequncia do

movimento inferido.

Ainda que efetivas para a animao em certas classes de imagens, como

os cartoons e faces humanas, tcnicas atuando apenas no espao da imagem

no so adequadas para a modelagem de fenmenos naturais, como estamos

interessados.

2.2 Tcnicas baseadas em vdeo

Vdeo textura e sntese de textura tm sido amplamente utilizados para sinte-

tizar sequncias de vdeos. A maioria destas tcnicas so capazes de estender

uma sequncia de vdeo de maneira bastante convincente, mas elas so extre-

mamente restritivas em relao interveno do usurio. Mtodos interativos

tambm foram propostos, tornando possvel a gerao de animaes a partir

de esboos e fluxos definidos pelo usurio. Dividimos os mtodos de sntese

de texturas baseados em vdeo, em trs categorias:

Mtodos que propiciam ao usurio a expanso de um vdeo j existente:


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[Wei & Levoy 2000] propem um algoritmo para sntese de volume

3D dinmicos.

[Bar-Joseph, El-Yaniv, Lischinski & Werman 2001] propem um

algoritmo estocstico para sntese de sequncias de vdeo utili-

zando anlise de multirresoluo.

[Schdl, Szeliski, Salesin & Essa 2000] propem um mtodo de

texturizao baseado em vdeo para concatenar apropriadamente

subsequncias previamente escolhidas.

[Doretto, Chiuso, Wu & Soatto 2003] propem um mtodo de

texturizao dinmica utilizando filtros autorregressivos.

Mtodos que propiciam a modificao de um vdeo preexistente, criando

uma nova animao de fluido:

[Wang & Zhu 2003] analisam uma animao de fluidos e representa-

a com textonspara sintetizar um sequncia diferente de vdeo.

[Bhat, Seitz, Hodgins & Khosla 2004] propem um esboo de in-

terfacee um algoritmo para sintetizar uma animao de fluidos a

partir de um vdeo modelo, onde o usurio pode mudar a aparncia

do fluido.

[Kwatra, Essa, Bobick & Kwatra 2005] propem um mtodo para

modelar a texturizao da animao de um fluxo sobre um localespecfico designado pelo usurio.

[Narain, Kwatra, Lee, Kim, Carlson & Lin 2007] transferem as

texturas de um vdeo para uma superfcie fludica 3D ou outra

sequncia de vdeo.


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Mtodos que modificam a aparncia de um vdeo utilizando uma ima-

gem simples como modelo:

[Hertzmann, Jacobs, Oliver, Curless & Salesin 2001] utilizando

uma tcnica de comparao de imagens.

[Hashimoto, Johan & Nishita 2003] estende a tcnica anterior para

filtragem de vdeo.

Mais relacionado ao problema de gerao de animao a partir de ima-gens, o trabalho [Hashimoto et al. 2003] sintetiza uma sequncia de vdeo a

partir de imagens exemplo. O sistema de animao em [Lin, Wang, Wang,

Kang & Fang 2007] tambm faz uso de mltiplas imagens para gerar a ani-

mao. J o problema de animao de fluidos em imagens, que retomaremos

na seo2.4, foi bem abordado em [Okabe et al. 2009], tirando proveito de

vdeos exemplos e traos definidas pelo usurio para sintetizar a animao.

Embora flexveis, capazes de gerar diferentes tipos de animao, os mo-delos carecem de fundamentos fsicos, impedindo que as tcnicas baseadas

em vdeo produzam efeitos realsticos em animaes de fenmenos naturais

que envolvam fluxos ondulatrios.

2.3 Auxlio tridimensional

O uso de modelos tridimensionais no auxlio de animaes bidimensionais,como o caso de nosso trabalho, tem sua origem no incio da computao

grfica, principalmente na animao de cartoons. A abordagem usual neste

contexto a construo de modelos tridimensionais cujas silhuetas sejam

compatveis com os traos e contornos delineados a mo, podendo ser defor-


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mados e renderizados de acordo com o modelo tridimensional [Corra, Jensen,

Thayer & Finkelstein 1998, Ono, Chen & Nishita 2004, Rademacher 1999].

Observamos tambm manipulaes a partir de imagens simples para exi-

bies virtuais, como em [Zhang, Pan, Ren & Wang 2007] ou em reconstru-

es tridimensionais a partir de imagens, como em [Horry, Anjyo & Arai 1997,

Criminisi, Reid & Zisserman 2000, Oh, Chen, Dorsey & Durand 2001, Sun,

Liang, Wen & Shum 2007, Wu, Sun, Tang & Shum 2008, Shesh & Chen 2008].

Trabalhos mais recentes fazem uso de informaes tridimensionais para

animar objetos em imagens. [Hornung et al. 2007], por exemplo, apresenta

um sistema de animao que utiliza um esqueleto bidimensional, especificado

pelo usurio, para determinar, aproximadamente, a posio da cmera e

procurar por um modelo de pose ideal em um banco de dados tridimensional

de movimentos. Ocluses e partes faltantes so recortadas com tcnicas

utilizando Poisson e preenchidas com tcnicas de retoque digital.

Mais especificamente relacionado ao nosso trabalho, o sistema de ani-mao proposto em [Chuang et al. 2005], que detalharemos na seo2.4,

capaz de animar objetos como rvores e gua, modelando as foras da natu-

reza estocasticamente, evitando uma simulao baseada em modelos fsicos.

Embora rvores e similares possam ser animadas utilizando apenas informa-

es bidimensionais, a sntese do movimento da gua requer a interveno

do usurio para definir um plano no espao tridimensional, para modelar

corretamente os efeitos de perspectiva.Como no utilizam, ao contrrio do nosso, modelos fsicos para conduzir

a animao, torna-se difcil a gerao de efeitos com comportamentos es-

pecficos como ondas direcionais. Alm disso, estes sistemas no suportam

refrao e efeitos de iluminao.


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2.4 Animando fluidos em imagens

A animao de fluidos em imagens estticas um grande desafio e poucos

o tm atacado. Apresentamos aqui dois artigos que geram movimentos em

imagens nos quais, apesar de no simularem fisicamente o movimento de

fluidos, a animao gerada visualmente realstica.

No primeiro, com o objetivo de sintetizar um vdeo estocstico a partir

de uma simples imagem, os autores propem, para criar um movimento

interessante, complexo e plausvel, a seguinte tcnica de animao [Chuang

et al. 2005]:

1. Tome uma imagem Ique passe a idia de movimento que possa ser

reproduzido aleatoriamente.

2. Selecione os diversos objetos da imagem:

(a) Selecione os objetos da imagem Ique esto totalmente visveis.(b) Identifique cada objeto comoOi, incrementandoisequencialmente

a partir da unidade.

(c) Crie uma nova imagemLicontendo o objeto Oina mesma posio

da imagem Ie vazia nas demais posies.

(d) Utilize uma tcnica de Retoque Digital e remova os objetos sele-

cionados, reconstruindo o fundo da imagem I.

(e) Repita o processo at selecionar todos os objetos da imagem I.

3. Classifique os objetos Oi em:

(a) rvore (movimento de oscilao).

(b) gua (movimento ondulatrio).


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(c) Barco (movimento de sacudimento).

(d) Nuvem (movimento de translao).

(e) Imvel (sem movimento).

4. Uma funo deslocamento di(p, t) associada a cada imagem Li de

acordo com a classificao do objeto Oi. Esta funo leva cada pixel p

da imagem Li ao deslocamento do objeto Oi no intervalo de tempo t.

5. Uma funo Li(p) de reposicionamento de cada pixel do objeto Oi definida como sendo o valor do pixel antes do deslocamento, ou seja,

Li(p+di(p, t)) =Li(p), onde Li(p) Li.

6. A imagem recomposta para cada instante tatravs do agrupamento

dos objetos, na ordem inversa de criao, ou seja,

(a) Im(p, t) =Lm(p+dl(p, t)), ondem a quantidade total de objetos.

(b) Ii(p, t) =Ii+1(p, t) +Li(p+di(p, t)), para 0 i < m.

7. Sendo Ia imagem no instante inicial, fazemos de I0(p, t)a imagem no

instantet, ou seja,

(a) I0 I.

(b) It I0(p, t).

8. A animao obtida a partir da sequncia de quadros It.

Esta sequncia pode ser observada na figura2.5.

Este mtodo aborda o problema de animao em imagem que representem

fenmenos naturais e, em relao a movimentos fludicos, apenas oscila a

superfcie da gua com ondulaes estocsticas.


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c

ACM

Figura 2.5: Sequncia de animao de imagem utilizando movimentos estocsticos.

[Chuang et al. 2005]


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Uma outra tcnica de animao de imagens utilizando vdeos pr-sele-

cionados proposta por [Okabe et al. 2009]. A tcnica consiste em, dada

uma imagem contendo uma cena de fluido em movimento implcito, ou seja,

uma cena esttica que da idia de movimento, e admitindo seu fluxo em

regime permanente, o usurio escolhe um vdeo, realstico ou no, que ser

tomado como modelo na animao (figura2.6). Este vdeo subdividido nas

seguintes partes:

imagem mdia: a mdia pixel a pixel dos quadros do vdeo tomado comomodelo.

vdeo diferena: gerado a partir das diferenas entre cada quadro e a

imagem mdia.

fluxo tico: o vdeo formado por quadros deslocamento obtidos pela

diferena euclidiana entre os vetores posio de um pixel em um quadro

do vdeo diferena e o quadro seguinte.

imagem mdia do fluxo tico: a mdia vetorial, pixel a pixel, dos qua-

dros do fluxo tico.

vdeo residual: o vdeo obtido pelo erro entre a indicao de movimento

da imagem mdia do fluxo tico em cada quadro do vdeo diferena e

o quadro seguinte.

A gerao do vdeo a partir da imagem efetuada pelo processo inverso

ao descrito acima, admitindo a imagem mdia como sendo a imagem dada

inicialmente e o fluxo ajustado pelo usurio (figura 2.7). Alguns resultados

podem ser observados no stio deMakoto Okade3.

3.
http://www.mpi-inf.mpg.de/~mokabe/AnimePicFluidhttp://www.mpi-inf.mpg.de/~mokabe/AnimePicFluid


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c

Okabe,

Anjyo,

Igarashi&

Seidel

Figura 2.6: Animao de fluido a partir de um modelo. [Okabe et al. 2009]

Como pudemos observar, nosso objeto de estudo difere substancialmente

dos trabalhos apresentados, mas compartilham alguns aspectos, o que nos

possibilitou um indicativo de contexto de nosso trabalho.

2.5 Animao baseada em guas rasas

A reviso bibliogrfica apresentada mostra que nenhuma tcnica de animao

de imagens se baseia em um modelo fsico para criar animaes realsticas de

fluidos. O mtodo proposto nesta tese se baseia em um modelo fsico para

conduzir a simulao, resultando em animaes realsticas e convincentes.

Alm disso, a projeo reversa baseada no traado de raios, presente em

nosso processo de animao, flexibiliza grandemente a implementao das

tcnicas descritas.

Para conduzir o processo fsico de nosso modelo, utilizaremos o equaciona-

mento de guas rasas, cujo modelo se baseia em um ambiente bidimensional

que nos d informaes sobre as alteraes (ondulaes) ocorridas na super-

fcie do fluido. guas rasas so fluidos cujo equacionamento pode ser consi-

derado uma simplificao das equaes do movimento de fluidos, utilizando

algumas hipteses com relao geometria do problema. Esta simplificao

apresentada no apndiceA.


25/111


c

Okabe,

Anjyo,

Igarashi&

Seid

el

Figura 2.7: Processo de gerao de animao em imagem a partir de um modelo. [Okabe

et al. 2009]


26/111


Em 1990, Michael Kass e Gavin Miller apresentaram as equaes de guas

rasas comunidade de Computao Grfica em uma simulao de chuva,

obtendo resultados encorajadoramente realsticos [Kass & Miller 1990].

Desde ento, vrios autores apresentaram simulaes baseadas em guas

rasas:

[Layton & van de Panne 2002] apresentam, aps umsurveydos modelos

de simulao de fluidos baseados nas equaes de Navier-Stokes, um

modelo que baseado nas equaes de guas rasas e que, segundoos autores, simula eficientemente movimentos suaves, superposio de

ondas, objetos sendo levados pela correnteza, obstculos variados e

fronteiras de vrias formas.

[Hagen, Hjelmervik, Lie, Natvig & Henriksen 2005] simulam reas com

topografia no trivial sendo alagadas e escoadas. A simulao efetu-

ada diretamente na GPU, obtendo resultados rpidos.

[Wang, Miller & Turk 2007] simulam uma variedade de efeitos aqu-

ticos, inclusive acoplamento de corpos rgidos flutuantes, de maneira

rpida e estvel.

[Drasek III, Bookout & Lake 2009] simulam ondas ocenicas em tempo

real possibilitando a iterao do usurio na modificao de parme-

tros dinamicamente, produzindo uma variedade de formas de ondas emguas ocenicas rasas.

Modelos hbridos tm sido utilizados para simular o movimento de guas,

como em [Irving, Guendelman, Losasso & Fedkiw 2006], que resolve as equa-

es de Navier-Stokes em clulas regulares em volta da superfcie da gua

e, abaixo desta superfcie, utiliza uma malha no uniforme, evitando o mo-


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delo de guas rasas para capturar detalhes que o modelo no simula, como

respingos.

Estas animaes so totalmente ambientadas tridimensionalmente, o que

no nosso interesse pois nosso ambiente original uma imagem esttica.


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Captulo 3

Abordagem proposta

Nossa tcnica assume como entrada uma imagem decomposta em vrias par-

tes ou camadas, algumas das quais definem as partes da imagem a serem

animadas (figura3.1 - esquerda). Como ilustrado na figura3.1, a sequn-

cia proposta para animao composta de quatro passos principais, quais

sejam: (1) estimativa da posio da cmera, (2) construo do domnio desimulao, (3) simulao de guas rasas e (4) projeo reversa utilizando o

traador de raios.

Figura 3.1: Viso geral do mtodo.

21


29/111

CAPTULO 3. ABORDAGEM PROPOSTA 22

Figura 3.2: Pontos Re Sno infinito obtidos a partir do quadriltero em azul. A reta em

vermelho a linha do horizonte.

A estimativa da posio da cmera necessria para o correto posici-

onamento do domnio de simulao no espao tridimensional, de forma a

considerar os efeitos de perspectiva. A posio da cmera estimada por um

mecanismo, assistido pelo usurio, baseado em pontos no infinito (cap. 4).

Mais especificamente, o usurio desenha um quadriltero na imagem original

(quadro em vermelho na figura3.1, acima esquerda), atravs do qual so

calculados alguns dos parmetros da cmera.

O usurio pode utilizar como referncia para desenhar o quadriltero,

estruturas da imagem conhecidamente formadas por retas paralelas. Por

exemplo, a figura 3.2mostra o quadriltero alternativo ao apresentado nafigura 3.1, em azul, e os pontos no infinito correspondentes, obtidos pela

extenso dos segmentos de reta do quadriltero.

Uma vez que a posio da cmera est bem determinada, utilizamos as

transformaes de perspectiva para projetar as camadas a serem animadas

no plano horizontal, no espao tridimensional (figura3.1central acima). O


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(a) (b) (c)

Figura 3.3: (a) imagem original, (b) projeo no plano do objeto e (c) domnio de simulao.

quadriltero projetado convertido em um paralelogramo, determinando o

domnio de simulao (figura3.1centro inferior e figura 3.3). Detalhes do

processo so apresentados no prximo captulo.

A simulao do fluxo, representada na figura 3.4baseado nas equaes

de guas rasas, detalhada no captulo6, executada em uma malha retil-

nea. O comportamento do fluxo controlado pelas condies de fronteira e

parmetros, informaes estas contidas nas camadas da imagem, definidas

pelo usurio. Estas camadas so delimitaes, na imagem, da localizao do

objeto lquido a ser animado, bem como suas fronteiras. Outras parties

possveis, opcionalmente inseridas pelo usurio, so o relevo do leito do ob-

jeto lquido e o coeficiente de Chezzy, indicando o atrito em cada ponto do

leito, a partir de informaes em tons de cinza, na posio equivalente da

imagem.

Finalmente, as informaes de altura resultantes da simulao so mape-adas (distorcidas) na camada correspondente (figura 3.1,no alto direita)

que projetada de volta ao espao da imagem via traador de raios (figura

3.1, abaixo direita). Efeitos de refrao e iluminao so tambm incor-

porados durante o estgio da projeo reversa, para aumentar o realismo,


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Figura 3.4: Simulao do fluxo a partir das equaes de guas rasas.


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Figura 3.5:Quadro resultante da aplicao do modelo proposto.

como discutido no captulo7. A figura3.5mostra o resultado da aplicao

do modelo proposto.

Nos prximos captulos, discutimos detalhadamente cada um dos passos

apresentados aqui.


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Captulo 4

Inferncia tridimensional

Chamamos de inferncia tridimensional a caracterizao do corpo dgua em

seu plano original com relao ao plano da imagem dada. Esta caracterizao

obtida a partir de algumas informaes intrnsecas imagem dada, quais

sejam:

linha do horizonte,

inclinao frontal da cmera e

inclinao lateral da cmera.

Inicialmente, vamos posicionar a imagem em um ambiente tridimensional,

com relao ao corpo dgua e cmera. Assumiremos aqui que o corpo

dgua est no plano xy de nosso ambiente tridimensional, a imagem estlocalizada no plano, que faz um ngulo com o planoxy e a cmera est a

uma distnciadfdo centro da imagem. A figura4.1esquematiza o ambiente

relatado. Assumimos ainda que a projeo do plano xy em , gerada pela

cmera, cnica.

26


34/111

CAPTULO 4. INFERNCIA TRIDIMENSIONAL 27

Figura 4.1: Posicionamento tridimensional da imagem.

Nas sees seguintes vamos caminhar para a inferncia do ambiente rela-

tado e, para isso, algumas definies e resultados tradicionais so adaptados

ao nosso modelo.

4.1 Linha do horizonte

Definio 4.1 (Projeo Cnica) Uma projeo cnica de um dado ob-

jeto, a partir de um ponto P, em um plano entreeP, o mapeamento

dos pontos deste objeto, interceptados pelo segmento de reta iniciado emP e

finalizado em, na interseo deste segmento com o plano .

Teorema 4.1 Retas paralelas no plano xy, quando projetadas conicamente

em um plano no paralelo axy, a partir de um ponto fora dexy , ouse encontram em um nico ponto de ou so paralelas axy .

Prova. A prova deste teorema pode ser encontrada em [Hilbert & Cohn-

Vossen 1952].


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A primeira etapa desta fase consiste na identificao manual (na imagem)

de dois pares de retas paralelas (em xy), com o objetivo de determinar a linha

do horizonte (que pode, alternativamente, ser definida pelo usurio), a qual

definiremos a seguir. Para isto o usurio deve desenhar, na imagem, quatro

segmentos de retar1 , r2 , s

1 e s

2 , os quais so projees de retas em xy que

chamaremos, respectivamente, de r1, r2, s1 e s2. Estas retas devem ser tais

que:

r1 r2

s1 s2

r1r2 s1 s2

Ou seja, o usurio deve identificar dois pares de retas, como indicado na

figura4.2-esquerda, que, no corpo dgua (no planoxy), sejam paralelas com

seus pares, mas no sejam paralelas quando tomadas de pares diferentes;

alm disso, a projeo destes pares em no deve originar retas paralelas.

Teorema 4.2 O conjunto de todos os pontos em de interseco de retas

correspondentemente paralelas emxy formam uma reta.

Prova. A prova deste teorema pode ser encontrada em [Hilbert & Cohn-

Vossen 1952].

Definio 4.2 (Linha do Horizonte) Linha do horizonte a reta em ,

formada pelos pontos de interseo de retas correspondentemente paralelas

emxy.


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(a) (b)

Figura 4.2: Identificao, esquerda, de dois pares de segmentos de retas paralelas no plano

do objeto e, direita, determinao da linha do horizonte a partir dos prolongamentos

destes segmentos.

Nossa linha do horizonte, ento, a reta que passa pelos pontos de in-

terseco dos prolongamentos de r1 e r

2 e dos prolongamentos de s

1 e s

2 .

Ou seja as retas r1 , r2 , s

1 e s

2 so prolongadas e a reta PrPs, formada pelos

pontos Pr = r1 r2 e Ps = s

1 s

2 , chamada de linha do horizonte. Veja

a ilustrao na figura4.2-direita.

Observe que a linha do horizonte no tem correspondente na projeo em

xye todo o plano xy projetado abaixo" da linha do horizonte em .

Se a linha do horizonte, que chamaremos de, for paralela linha longitu-

dinal1 da imagem, dizemos que a imagem no est inclinada. Caso contrrio,

o ngulo1entre a linha do horizonte e o prolongamento da linha longitudinal

da imagem nos d a inclinao da imagem (figura4.3).

1Linha que corta a imagem de lado a lado, perpendicular altura.


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Figura 4.3: ngulo de inclinao lateral da cmera.

4.2 Distncia focal

Definio 4.3 (Eixo focal) O eixo do cone de projeo, em uma projeo

cnica, chamado de eixo focal.

Definio 4.4 (Ponto focal) O ponto de interseco do eixo focal com o

plano de projeo chamado de ponto focal.

Definio 4.5 (Distncia focal) A distncia da cmera ao ponto focal

chamada de distncia focal.

Conclumos, ento, que distncia focal a distncia da cmera ao ponto

do plano da imagem para o qual a cmera est olhando.

Assumiremos, neste trabalho, que a cmera olha para o centro da ima-

gem, sempre na direo perpendicular ao plano da imagem. Ora, como as-

sumimos que a cmera est a uma distncia dfdo centro da image, df a

distncia focal e a reta que liga o centro da imagem e a cmera o eixo focal.


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4.3 Calibrao da cmera

Dizemos que uma cmera est calibrada quando temos, em um ambiente

tridimensional, bem determinados, o ponto de observao, os eixos tico e de

inclinao, a distncia focal e a tela virtual. Vejamos:

o ponto de observao o ponto onde se localiza a cmera virtual,

o eixo tico, ou eixo focal, a reta perpendicular ao plano de projeo

(plano da imagem) e que passa pela cmera,

o eixo de inclinao a reta paralela ao plano da imagem, no sentido

longitudinal, e que passa pela cmera,

a distncia focal a distncia da cmera ao plano de projeo e

a tela virtual o retngulo no plano de projeo, com centro no eixo

tico, correspondente imagem original.

Para facilitar nosso trabalho, consideraremos trs referenciais cartesianos

ortonormais tridimensionais:

o referencial do corpo dgua, dado por (E, { e1, e2, e3}),

o referencial da cmera, dado por (O, {o, v,l})e

o referencial da imagem, dado por (C, {i,j, k}),

onde:

(E, { e1, e2, e3}) o referencial cartesiano,

O a posio da cmera,

o o vetor unitrio associado ao eixo tico, com direo da cmera para o

plano de projeo ,


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Figura 4.4: Referenciais cartesianos ortonormais, da esquerda para a direita, referencial do

corpo dgua, referencial da cmera e referencial da imagem.

l o vetor unitrio associado ao eixo de inclinao, tambm chamado eixo

lateral, com direo da cmera para a direita da imagem frente dacmera,

v= l o,

C o canto superior esquerdo da imagem, no plano ,

i o vetor unitrio associado lateral da imagem, com direo de cima para

baixo,

j o vetor unitrio associado longitude da imagem, com direo da es-

querda para a direita e

k= ij.

A figura4.4d uma idia esquemtica dos trs referenciais.


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Figura 4.5: ngulo de inclinao frontal da cmera.

Precisamos agora posicionar os referenciais da cmara e da imagem em

relao ao referencial do objeto. Faremos esta inferncia posicionando os

referenciais, da cmara e da imagem, encaixados" no referencial do objeto

e, atravs de translaes e rotaes especficas, obteremos os valores de O,

C,o, v, l, i, je k.

Antes de prosseguirmos, falta calcularmos duas importantes inclinaes,

quais sejam, as inclinaes lateral e frontal da cmara. A inclinao lateral

da cmera a inclinao da imagem, ou seja, dada pelo ngulo 1 (figura

4.3) entreej, obtido, por definio, de jparana direo de j. A inclinao

frontal da cmera obtida admitindo-se que a cmara est de frente para o

plano da imagem, ou seja o kcom a inclinao lateral dada anteriormente,

ou seja, v. O ngulo 2 (figura4.5) entre o eixo tico e a reta passando

por Oe perpendicular a a inclinao frontal da cmara. Observemos que,

dado que conhecemos e dfento conhecemos tambm 1e 2.

Passemos ento calibrao da cmara, inicialmente posicionando o re-

ferencial da cmara coincidente com o referencial do objeto e, em seguida,


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Figura 4.6: Sequncia de rotaes para calibrao da cmera.

conforme o resumo esquemtico na figura 4.6,rotacionando a cmara 90o

em torno do eixo e1, ou seja, uma rotao de 90o no sentido de e3 para e2.

Esta rotao obtida pela matriz de transformao, cuja deduo pode ser

encontrada em [Foley, van Dam, Feiner & Hughes 1996]:

Ro=

1 0 0 0

0 cos(2

) sen(2

) 0

0 sen(2

) cos(2

) 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

.

Em seguida, uma rotao em torno do eixo tico necessria. Esta ro-

tao inclina a cmera de tal maneira que a linha do horizonte fique na

inclinao inferida anteriormente, ou seja, de um ngulo de1. Observe que,

inclinar a linha do horizonte para a direita ou para a esquerda, equivalente

a inclinar a cmera, na mesma intensidade, para a esquerda ou para a direita,

respectivamente. Assim, devemos rotacionar a cmera de 1 em torno do


42/111


eixo e1, o que obtemos a partir da matriz:

R1 =

1 0 0 0

0 cos(1) sen(1) 0

0 sen(1) cos(1) 0

0 0 0 1

=

1 0 0 0

0 cos1 sen1 0

0 sen1 cos1 0

0 0 0 1

.

Finalmente, necessrio efetuarmos uma rotao para posicionarmos o

plano de projeo no ngulo correto com o plano do objeto. Esta rotao

obtida rotacionando de 2, lembrando que 2 o ngulo entre o plano xy

e o plano , em torno do eixo e2, o que obtemos a partir da matriz, cuja

deduo pode ser encontrada em [Foley et al. 1996]:

R2 =

cos(2) 0 sen(2) 0

0 1 0 0

sen(2) 0 cos(2) 0

0 0 0 1

=

cos2 0 sen2 0

0 1 0 0

sen2 0 cos2 0

0 0 0 1

.

Quanto disposio espacial da cmera em relao ao plano do objeto,

terminamos os clculos. Mas algumas operaes ainda so necessrias para

inferir a posio levando em conta o plano de projeo com a imagem obtida.

A primeira delas tem o intuito de posicionar a cmera a uma distncia dfdo

centro da imagem e obtida pela matriz:

Tdf =

1 0 0 df

0 1 0 n2

0 0 1 m2

0 0 0 1

,

onde m a altura da imagem e n a largura. Esta translao efetuada

antes das rotaes lateral e frontal da cmera.


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Aps as rotaes lateral e frontal, uma translao efetuada, objetivando

minimizar a distoro provocada pela projeo, e dada pela matriz:

Tc =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 m2+n2

2

0 0 0 1

.

As matrizesTdf e Tcforam obtidas empiricamente, com o objetivo de co-

locar a cmera em uma posio que a projeo cnica gerasse, inversamente,

um objeto de mxima resoluo e mnima distoro. claro que este mesmo

processo emprico, se realizado individualmente, produz valores distintos para

Tdfe para Tc, mas os valores apresentados se mostraram convenientes para

todos os experimentos realizados, apesar de poderem no ser ideais.

Finalmente ento temos a cmera calibrada, obtida pela sequncia de

transformaes dada pela aplicao sucessiva das transformaes Ro, Tdf,

R1 , R2 e, finalmente, Tc. A calibrao da cmera , ento, dada por:

Mc = Tc R2 R1 Tdf Ro

4.4 Projeo inversa do corpo dgua

Tendo conhecimento da posio da cmera podemos tambm inferir a posio

da imagem bastando, para isto, efetuarmos a aplicao da seguinte matriz:

Mi=Tc R2 R1 Rj


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onde Rj uma rotao de 90o em torno do eixo e2 e dada por:

Rj=

cos(2

) 0 sen(2

) 0

0 1 0 0

sen(2

) 0 cos(2

) 0

0 0 0 1

=

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

.

Seja ento (i, j) um ponto da imagem, para obtermos sua posio tri-

dimensional conforme as inferncias obtidas, basta efetuarmos a operao(x,y,z, 1) =Mi (i,j, 0, 1)que o ponto(x,y,z) a posio, nas coordenadas

do objeto, o equivalente ao ponto (i,j, 0)nas coordenadas da imagem.

A posio da cmera obtida atravz da operao (x0, y0, z0, 1) = Mc

(0, 0, 0, 1), onde o ponto (x0, y0, z0) a posio da cmera. Lembrando que

o ponto (x,y,z) projeo cnica, a partir de (x0, y0, z0), de um ponto no

plano xy, ento o ponto (p, q, 0) pertencente reta que passa pelos pontos

(x0, y0, z0)e (x,y,z) o ponto do objeto correspondente ao ponto da imagem

(i, j).

Fazendo este mesmo procedimento para todos os pontos da imagem, obte-

mos todo o objeto. Isto nos d no s as coordenadas do nosso corpo dgua,

como tambm sua textura.

4.5 Determinando o domnio de simulao

A partir dos parmetros da cmera podemos posicionar as partes da imagem

a serem animadas no espao tridimensional. Mais especificamente, a partir

dos parmetros da cmera podemos projetar as camadas da imagem a serem

animadas, em um plano horizontal do espao tridimensional, como ilustrado

na Figura4.7. As equaes de guas rasas so discretizadas para as camadas


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Figura 4.7: Mapeamento da imagem projetada no domnio de simulao.

projetadas, porm estes domnios no esto alinhados quadrilateralmente, o

que prejudica a implementao do esquema de diferenas finitas.

Para executar o esquema numrico em uma malha cartesiana, o quadril-

tero distorcido mapeado em um domnio retangular com os eixos alinhados.

O domnio retangular ento discretizado em uma malha regular, no mnimo

duas vezes a resoluo da imagem a ser animada. A malha cartesiana afi-

nada proporciona a captura de mnimos detalhes do movimento durante a

simulao, desta forma tornando a animao bastante realstica.

Como mostrado na Figura4.7, o mapa de segmentao, definindo as ca-

madas da imagem, so tambm transportados para o domnio de simulao.

Este recurso utilizado para determinar as condies de fronteira e os par-

metros das equaes de guas rasas.


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Captulo 5

Construo do domnio desimulao

Nesta fase de nosso processo, o objetivo determinar a malha em que ser

resolvido o sistema de equaes de guas rasas.

Como resultado das fases anteriores, temos como dados de entrada:

a imagem Ioriginal, a ser animada;

o objeto Oonde ocorrer a simulao de guas rasas;

o mapa de segmentao, presente na mscara M, indicando as frontei-

ras do objeto Ono plano da imagem I;

a posio odo observador, onde est localizada a cmera;

o plano , onde foi capturada a imagem Ipelo observador o;

o plano xy, onde se localiza o objeto O.

Conforme ilustrado na figura5.1, observemos que o objeto Oest mape-

ado, pela mscaraM, no plano. Nosso primeiro objetivo aqui mapear este

39


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CAPTULO 5. CONSTRUO DO DOMNIO DE SIMULAO 40

Figura 5.1: Dados de entrada para construo do domnio de simulao.

mesmo objeto Ono plano xy, para em seguida obtermos a malha desejada,

tambm no plano xy.

Como, do captulo anterior, sabemos mapear a imagem I, abaixo da

linha do horizonte, no plano xy , podemos repetir o processo para M. Assim,

efetuando o mesmo mapeamento para a mscaraMobteremos o mapeamento

correspondente do objeto O no plano xy. Temos, ento, uma grade regular

cobrindo o objetoO. Esta malha, mapeada no planoxy e restrita aos limites

do objeto Oem xy, a que procuramos.

Ou seja, considerando que a projeo de Memxytem clulas de dimen-

ses unitrias(x= y = 1)e que cada uma corresponde a um elemento da

projeo de Iem xy, a restrio ao objeto O, da projeo de M em xy, nos

d uma malha de clulas unitrias que a restrio do objeto O da projeo

de M em xy. A mesma restrio, aplicada projeo de Iem xy, nos d a

textura do objeto O.


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Observe a sequncia ilustrada na figura5.2: inicialmente a imagem origi-

nal (a) e sua mscara (b) so projetadas no plano xy (c-d) e, em seguida a

textura (e) e a malha (f) so obtidas restringindo as projees aos limites do

objeto aquoso. As figuras5.3a e5.3b mostram, respectivamente, um zum de

10e outro de 100na malha representada na figura5.2f.

importante observar que a malha, assim gerada, traz informaes adi-

cionais a cada clula, a partir do mapa de segmentao, dizendo:

onde fronteira aberta, indicando a presena do fluido mesmo apseste ponto,

onde fronteira fechada, indicando que, ali, o fluido encontra um

obstculo,

e onde deve ser simulado o movimento, isto , os objetos aquosos, vis-

veis ou oclusos,

informaes estas, presentes na mscara M, conforme indicado na figura5.4.

Esta malha, obtida naturalmente a partir da projeo reversa do objeto,

nos induz a utilizar um mtodo numrico apropriado a uma malha regular,

o que ser tratado no prximo captulo, que utilizar esta malha para a

resoluo do sistema de equaes de guas rasas e a fase seguinte poder

utilizar a textura correspondente no processo de renderizao.


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(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 5.2: Sequncia de malhamento. (a) imagem original no plano , (b) mscara no

plano , (c) e (d) projees no plano xy, (e) textura do objeto, restrio de (c), e (f)

domnio de simulao , com informaes de malha, restrio de (d).


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(a) (b)

Figura 5.3: Zum da malha apresentada na figura5.2f.

Figura 5.4: Mscara, fornecida pelo usurio, com o mapa de segmentao indicando as

fronteiras do objeto.


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Captulo 6

Simulao fsica

Nesta fase vamos resolver numericamente as equaes de guas rasas, discu-

tidas no apndiceA, e que so reproduzidas aqui para melhor convenincia:

h

t

+(hu)

x

+(hv)

y

= 0 (6.1)

(hu)

t +

(huv)

y +

x

hu2 +

g

2(h2 H2)

= (6.2)

f hv + g(h H)H

x

g|u|u

C2h +F1

(hv)

t +

(huv)

x +

y

hv2 +

g

2(h2 H2)

= (6.3)

f hu + g(h H)H

y

g|u|v

C2h +F2

Onde t o tempo,(x, y)a posio espacial,u=(u, v)a velocidade do fluido,

g o mdulo da acelarao da gravidade, Co coeficiente de Chezy, (F1, F2)

44


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CAPTULO 6. SIMULAO FSICA 45

a ao do vento na superfcie, fa acelerao de Coriolis e H o termo que

define a topografia do fundo, relativamente ao nvel mdio da gua, como

ilustrado na figura6.1.

Figura 6.1: Altura instantnea h e altura mdia Hdo corpo dgua.

Na figura6.1ilustramos tambm o campo altura h, o qual varia com o

tempo e possibilita, com isso, a visualizao das ondas e o movimento do

fluido, que a essncia de nosso processo de animao.

6.1 Resoluo numrica

As equaes 6.1, 6.2 e 6.3 sero resolvidas na malha obtida no captulo

anterior e consideraremos, como j foi dito, que nossa malha composta

por clulas dispostas uniformemente no plano xy e de dimenses unitrias

(x= y= 1). O mtodo utilizado para resolvermos as referidas equaes,

apresentado a seguir, baseado no mtodo tradicional de Lax-Wendroff de


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dois passos [Lax & Wendroff 1960] que duplica a densidade de nossa malha e

onde, em um primeiro passo, resolvemos as equaes governantes no tempo

t+ t2 , nos pontos intermedirios de nossa malha e, num segundo passo,

resolvemos as mesmas equaes no tempo t+ t, nos pontos originais da

malha.

Inicialmente, vejamos as discretizaes que iremos utilizar: considerando

a funo f contnua e suficientemente diferencivel em t, podemos expand-la

em srie de Taylor, com acrscimo t a partir de t e utilizando a notao

f(t) ft

e fk(t) kf

tk:

f(t+ t) =f(t) + t f(t) +k=2

(t)k

k! fk(t) (6.4)

com acrscimo t2

a partir de t:

f(t+t

2 ) = f(t) +

t

2 f(t) +

k=2(t)k

2kk! fk(t) (6.5)

e com acrscimo t2

a partir de t+ t2:

f(t+ t) = f(t+t

2 ) +

t

2 f(t+

t

2 ) +

k=2

(t)k

2kk! fk(t+

t

2 ) (6.6)

Substituindo a equao6.5 na equao6.6obtemos:

f(t+ t) =f(t) +t

2 f(t) +

t

2 f(t+

t

2 ) +

k=2(t)k

2kk!

fk(t) +fk(t+

t

2 )

(6.7)a partir da equao6.4 temos:

f(t) = f(t+ t) f(t)

t

k=2

(t)k1

k! fk(t) (6.8)


54/111


e substituindo6.8em6.7 obtemos:

f(t+ t) = f(t) +t

2

f(t+ t) f(t)

t

k=2

(t)k1

k! fk(t)

+

+ t

2 f(t+

t

2 ) +

k=2

(t)k

2kk!

fk(t) + fk(t+

t

2 )

f(t+ t) = f(t) +f(t+ t) f(t)

2 +

t

2 f(t+

t

2 ) +

+

k=2

(t)k

2kk! fk(t) +fk(t+t

2 )

k=2

(t)k

2k! fk(t)

2f(t+ t) = f(t) +f(t+ t) + tf(t+t

2 ) +

+k=2

(t)k

k!

fk(t) + fk(t+ t

2)

2k1

k=2

(t)k

k! fk(t)

f(t+ t) = f(t) + tf(t+t

2 ) + (6.9)

+k=2

(t)k

k!

fk(t) + fk(t+ t2 )2k1

fk(t)

Considerando os erros da ordem de (t)2 desprezveis, a partir da equao

6.5obtemos a aproximao

f(t+t

2 ) f(t) +

t

2 f(t) (6.10)

que a equao base do primeiro passo de nosso mtodo e, a partir da equao

6.9obtemos a aproximao

f(t+ t) f(t) + tf(t+t

2 ) (6.11)

que a equao base do segundo passo.

Assim, no 1o passo calculamosh, (hu)e (hv)no tempo t+ t2

conforme

a equao6.10e, no 2o passo calculamos h, (hu) e (hv) no tempo t+ t

conforme a equao6.11.


55/111


P6 Q2

P4

P3

Q3 P1

Q1

Q4

P0 Q0

P2

P5

Q5 P7

Figura 6.2: Estncil utilizado no mtodo apresentado.

O estncil representado na figura6.2 mostra os pontos de malha onde

ocorrero os clculos. Os pontosP0, P2, P4 e P6 so originais da malha, j

os pontos P1, P3, P5 e P7 so os pontos adicionados malha no intuito deduplicar sua densidade e onde so efetuados os clculos referentes ao 1o passo

do mtodo. Os pontosQ0,Q1,Q2,Q3,Q4e Q5so auxiliares para os clculos

das derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais e so obtidos pela

mdia dos dois vizinhos mais prximos calculados no passo anterior ao passo

em questo.

Exemplificando, seja o ponto P0 do estncil associado ao ponto (i, j) da

malha e admitamos conhecer todos os pontos do estncil no tempo t. Notempo t+ t

2 obtemos os valores no ponto P1 (i+ 12 , j+

12

) a partir da

equao6.10de tal maneira que ao final do 1o passo os valores nos pontosP1,

P3, P5e P7so conhecidos, os pontosQ0,Q3, Q4e Q5so obtidos por mdia

destes, ou seja,Q0= P1+P72 e assim por adiante e os valores do pontoP0, para

efeito de clculo de derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais


56/111


obtido a partir da mdia P1+P3+P5+P74

. J no tempot +tos valores no ponto

P0 so calculados a partir da equao6.11sendo que ao final do 2o passo os

valores nos pontos P0, P2, P4 e P6 so conhecidos, e os pontos Q0, Q1, Q2 e

Q3 so obtidos como anteriormente (Q0 = P0+P22 , etc.).

As derivadas parciais referentes coordenada temporal requeridas nas

equaes6.10e6.11so obtidas a partir do sistema de equaes apresentado

no incio do captulo. As equaesA.10,A.36eA.37so aproximadas con-

forme as equaes6.10e6.11, fazendo f = h, f = (hu) e f = (hv), obtendo

aproximaes para ht

e (hu)t

e (hv)t

em cada um dos passos do processo. As

derivadas parciais referentes s coordenadas espaciais so obtidas atravs das

aproximaes centradas:

f(x, y)

x

f(x+ x2

, y) f(x x2

, y)

x (6.12)

ef(x, y)

y

f(x, y+ y2

) f(x, y y2

)

y (6.13)

assim, basta fazermosf = (hu), f = (hv), f = (hu)(hv)h

, f = (hu)2 + g2

(h2H2),

f= (hv)2 + g2

(h2 H2)e f= Hpara obtermos as derivadas parciais (hu)x

e

etc, necessrias para a resoluo do sistema de equaes de guas rasas.

Assim, lembrando que nossa malha tem dimenses unitrias, utilizando

a notao fti,j para o valor de fno ponto de malha (i, j)no tempo te consi-

derando uti,j = (hu)ti,j

hti,je vti,j =

(hv)ti,jhti,j

, as verses discretas das equaesA.10,

A.36eA.37,referentes ao primeiro passo do modelo apresentado so, respec-

tivamente:

ht+t

2

i+ 12,j+ 1

2

= hti+ 1

2,j+ 1

2

+ (6.14)

t

2

(hu)t

i+1,j+ 12

(hu)ti,j+ 1

2

+ (hv)ti+ 1

2,j+1

(hv)ti+ 1

2,j


57/111


(hu)

t+t2

i+ 12,j+ 1

2 = (hu)t

i+ 12,j+ 1

2 +

t

2 f(hv)ti+ 12 ,j+ 12 +

g

(uti+ 1

2,j+ 1

2

)2 + (vti+ 1

2,j+ 1

2

)2uti+ 1

2,j+ 1

2

(Ci+ 12,j+ 1

2

)2hti+ 1

2,j+ 1

2

+ (6.15)

+ g(hti+ 1

2,j+ 1

2

Hi+ 12,j+ 1

2

)(Hi+1,j+ 12

Hi,j+ 12

) +

(hu)t

i+1,j+ 12

uti+1,j+ 1

2

+g

2((ht

i+1,j+ 12

)2 (Hi+1,j+ 12

)2)

+

(hu)ti,j+ 12 uti,j+ 12 +g

2

((hti,j+ 1

2

)2 (Hi,j+ 12

)2)+

(hu)t

i+ 12,j+1

vti+ 1

2,j+1

(hu)ti+ 1

2,j

vti+ 1

2,j

+

1

(hv)t+t

2

i+ 12,j+ 1

2

= (hv)ti+ 1

2,j+ 1

2

+t

2

f(hu)t

i+ 12,j+ 1

2

+

g

(uti+ 1

2,j+ 1

2

)2 + (vti+ 1

2,j+ 1

2

)2vti+ 1

2,j+ 1

2

(Ci+ 12,j+ 1

2

)2hti+ 1

2,j+ 1

2

+ (6.16)

+ g(hti+ 1

2,j+ 1

2

Hi+ 12,j+ 1

2

)(Hi+ 12,j+1 Hi+ 1

2,j) +

(hv)t

i+ 12,j+1

vti+ 1

2,j+1

+g

2((ht

i+ 12,j+1

)2 (Hi+ 12,j+1)

2)

+

(hv)ti+ 1

2,j

vti+ 1

2,j

+g

2((ht

i+ 12,j

)2 (Hi+ 12,j)

2)

+

(hu)ti+1,j+ 1

2

vti+1,j+ 1

2

(hu)ti,j+ 1

2

vti,j+ 1

2

+

2

e as verses discretas das equaesA.10,A.36e A.37,referentes ao segundopasso do modelo apresentado so, respectivamente:

ht+ti,j = hti,j+ (6.17)

t

(hu)t+t

2

i+ 12,j (hu)

t+t2

i 12,j

+ (hv)t+t

2

i,j+ 12

(hv)t+t

2

i,j 12


58/111


(hu)t+ti,j = (hu)

t

i,j+ tf(hv)t+t2i,j +

g

(u

t+t2

i,j )2 + (v

t+t2

i,j )2u

t+t2

i,j

(Ci,j)2ht+t

2

i,j

+ (6.18)

+ g(ht+t

2

i,j Hi,j)(Hi+ 12,j Hi 1

2,j) +

(hu)

t+t2

i+ 12,j

ut+t

2

i+ 12,j

+g

2((h

t+t2

i+ 12,j

)2 (Hi+ 12,j)

2)

+

(hu)t+t2

i1

2 ,j

ut+t

2

i1

2 ,j

+g

2((h

t+t2

i1

2 ,j

)2 (Hi1

2

,j)2)+

(hu)t+t

2

i,j+ 12

vt+t

2

i,j+ 12

(hu)t+t

2

i,j 12

vt+t

2

i,j 12

+

1

(hv)t+ti,j = (hv)ti,j+ t

f(hu)

t+t2

i,j +

g

(u

t+t2

i,j )2 + (v

t+t2

i,j )2v

t+t2

i,j

(Ci,j)2ht+t

2

i,j

+ (6.19)

+ g(ht+t

2

i,j Hi,j)(Hi,j+ 12

Hi,j 12

) +

(hv)

t+t2

i,j+ 12

vt+t

2

i,j+ 12

+g

2((h

t+t2

i,j+ 12

)2 (Hi,j+ 12

)2)

+

(hv)t+t

2

i,j 12

vt+t

2

i,j 12

+g

2((h

t+t2

i,j 12

)2 (Hi,j 12

)2)

+

(hu)t+t

2

i+ 12,j

vt+t

2

i+ 12,j (hu)

t+t2

i 12,j

vt+t

2

i 12,j

+

2

As equaes6.14a6.19foram implementas considerandof, g, 1 e 2 da-

dos numricos de entrada eh0,He Cmatrizes numricas de mesma dimenso

da malha, inseridas a partir de imagens de entrada.


59/111


6.2 Consideraes sobre os arquivos de entrada

Na simulao fsica relatada, alguns parmetros de entradas so informados

pelo usurio, quais sejam:

altura mdia Hdo corpo dgua,

altura inicial h0 do corpo dgua,

coeficiente de Chezy C, que controla o atrito de fundo,

ao do vento (F1, F2)na superfcie e

acelerao fde Coriolis.

Estes parmetros, com exceo de F1, F2e f, que so escalares, so iniciali-

zados a partir de imagens em tons de cinza. Estas imagens so interpretadas

como um campo de valores associado ao respectivo parmetro e cujos valores

so associados ao intervalo [0, 1] conforme a intensidade de cinza de cada

elemento da imagem, associando o zero ao preto e a unidade ao branco.

As figuras6.3e6.4mostram resultados de experimentos com imagens de

entrada para os parmetros C e H, em diferentes tons de cinza. Cada co-

luna representa um experimento, mostrando quadros em diferentes posies

temporais e, na ltima linha, apresentamos a imagem utilizada como par-

metro. Na figura6.3as imagens na ltima linha representam o coeficiente de

Chezy Cenquanto H considerado constante e unitrio. J na figura6.4,

as imagens da ltima linha representam a altura mdia da gua H, que nos

d o formato do leito, enquanto o coeficiente de Chezy, agora, considerado

constante e unitrio.

Na figura6.5observamos exemplos de inicializao para h0. Cada linha

representa um experimento, onde apresentamos, na primeira imagem, a ima-

gem utilizada na inicializao de h0, ou seja, a altura da gua no incio do


60/111


Figura 6.3: Variao no coeficiente de Chezy: cada coluna representa um experimento

que tem como entrada do parmetro C a imagem na ltima linha e mantendo H = 1

constante. Da esquerda para a direita, vemos o efeito do aumento do atrito na regio

central do objeto.


61/111


Figura 6.4: Variao na topografia: cada coluna representa um experimento que tem como

entrada do parmetro Ha imagem na ltima linha e mantendo C = 1constante.


62/111


Figura 6.5: Dois experimentos com h0 inicializados pelas imagens da esquerda. Imagens

centrais indicando a inicializao da superfcie e as imagens da direita, a superfcie durante

a simulao.

movimento. A segunda imagem o primeiro quadro do movimento e a ltima

um quadro no transcorrer da simulao.

Alm disso, o parmetro(F1, F2)e a altura da ondah, podem ser pertur-

bados durante o experimento, como ocorre nos experimentos apresentados

nas figuras6.6e 6.7.

A figura6.6mostra um experimento com(F1, F2) = (0, 0)e uma onda ge-

rada por uma perturbao inicial emh0 em um nico ponto de malha, no cen-

tro superior do objeto aquoso. Na segunda linha, efetuamos uma perturbao

nas foras (F1, F2) durante cinco intervalos de tempo, do

tempo50 ao tempo55, voltando a zer-las aps este inter-

valo. O vetor correspondente perturbao representado

ao lado.

J na figura6.7 a altura da onda h que perturbada. Durante todo

o experimento, a altura da onda h alterada, em posies aleatrias, rece-


63/111


Figura 6.6: A primeira linha apresenta um experimento onde a ao do vento nula. Na

segunda linha, apresentamos a ao do vento aplicada na direo diagonal, no sentido do

canto inferior esquerdo do objeto ao canto superior direito, durante os tempos 50 a 55.

Fora deste intervalo temporal a fora nula. As colunas representam, respectivamente, os

resultados nos tempo 50, 100, 150e 200.

bendo valores tambm aleatrios. Mostramos a imagem original utilizada no

experimento e um quadro da simulao.

Figura 6.7:Experimento com perturbaes aleatrias em h. Imagem original esquerda eno tempo 100 direita.

Outros experimentos so apresentados no captulo de resultados.


64/111

Captulo 7

Projeo reversa e renderizao

O processo de simulao descrito no captulo6 disponibiliza, a cada passo

de tempo, o campo de alturas h, que descreve as ondas produzidas pelo

fluxo no domnio de simulao. O campo de alturas produzido em cada

passo de tempo deve ser transferido imagem original para criar a animao.

Este processo como um mapeamento do campo de alturas em uma malharetangular sobre o domnio de projeo.

Um mecanismo traador de raios utilizado para transferir o efeito de

ondas do campo de alturas para a imagem projetada. Mais especificamente,

raios originados no ponto focal e passando por cada elemento da camada

da imagem a ser animada so lanados em direo ao domnio de simula-

o, interceptando o campo de alturas. Efeitos de refrao e iluminao so

calculados e combinados para produzir a cor final de cada elemento.

A refrao um recurso importante quando animamos certas espcies de

cenas, como cenas contendo lquidos transparentes, e calculada utilizando

a lei de Snell com os coeficientes gua/ar. Cada raio refratado intercepta a

superfcie definida pelo campo de alturas he, em cada ponto de interseo,

so combinados efeitos de iluminao para produzir a imagem final.

57


65/111

CAPTULO 7. PROJEO REVERSA E RENDERIZAO 58

A iluminao correta em cada ponto de interseo no pode ser calculada

diretamente porque as posies das fontes de luz no so conhecidas. Uma

estimativa automtica da fonte de luz um problema difcil. Em nossa

implementao ns evitamos este problema fixando a fonte de luz atrs da

cmera. Embora esta estratgia simples possa gerar uma inconsistncia entre

a iluminao da imagem e a onda, a mesma no afeta o resultado da animao

ao ponto de despertar ateno. A intensidade da cor modificada em funo

da alterao no ngulo de incidncia do raio proveniente da fonte de luz,

atravz de uma reflexo difusa dada por Inovo = kI(N L), onde k o

coeficiente de difuso, I a intensidade determinada,N o vetor normal do

campo altura e L o vetor direcional da fonte de luz.

Durante o processo de renderizao, alm da refrao e da iluminao,

podemos aplicar alteraes na tonalidade em funo da altura da onda, re-

sultando em efeitos visuais interessantes, como podemos observar na figura

7.2. Estes efeitos so o branqueamento, que aproxima a cor do pixel dobranco em funo da altura da onda e a turbidez, que altera a saturao do

pixel, conservando sua cromaticidade, tambm em funo da altura da onda.

Embora heurstico, estes mecanismos resultam em efeitos agradveis nos

diversos experimentos que realizamos. Alm disso, o mapeamento pode ser

efetuado atravs da textura original do corpo dgua ou qualquer textura

informada pelo usurio. Ou seja, o processo consiste de trs etapas, sendo

duas opcionais:

texturizao (opcional) Etapa em que a textura original do corpo dgua pode ser

modificada. Para isto, basta que o usurio informe uma imagem da

mesma dimenso da textura original gerada durante a projeo do

corpo dgua.


66/111


refrao Etapa padro que remapeia a textura de acordo com a refrao do raio

de observao.

iluminao (opcional) Etapa em que a textura observada alterada em sua inten-

sidade e/ou em sua saturao.

A figura 7.2 ilustra resultados de diversas opes de iluminao em um

mesmo experimento, em um mesmo instante de tempo. A primeira linha

mostra o resultado aplicando apenas a refrao, na segunda linha temos a

refrao seguida da iluminao propriamente dita, j na terceira e quarta

linhas, mostramos o resultado da refrao seguida, respectivamente, de um

branqueamento e do efeito de turbidez, comentados anteriormente neste

captulo.

Finalmente, como podemos visualizar pela figura 7.1, aps passar pelo

processo inverso exposto no captulo 4, onde o corpo dgua mapeado de

volta no plano da imagem, a camada da imagem que no sofreu movimento

incorporada, gerando o quadro final para aquele instante de tempo. Ento

os quadros so concatenados, respeitando a sequncia temporal e o filme de

nossa animao est completo.

Figura 7.1: Sequncia de quadrinizao, da esquerda para a direita, quadro no plano do

corpo dgua, quadro no plano da imagem, quadro completo e filme.


67/111


plano da imagem plano do objeto

Refraopura

Iluminao

Branqueamento

Turbidez


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Captulo 8

Resultados obtidos

Apresentaremos neste captulo alguns resultados, no intuido de mostrar a

aplicabilidade do mtodo apresentado, sua robustez e qualidade grfica, com

diferentes parmetros em diversas imagens.

Cada experimento, se no informado o contrrio, executado com os

seguintes parmetros:

Profundidade mdia do corpo dgua constante e unitria.

Profundidade inicial do corpo dgua constante e unitria.

Acelerao de Coriolis nula.

Fora do vento nula.

Coeficiente de Chezy constante e unitrio.

Variaes espaciais infinitesimais constantes e equivalentes a uma clula

da malha.

Variaes temporais variveis e inferiores a 1maxi

hi.

Um quadro gerado a cada unidade de tempo.

61


69/111

CAPTULO 8. RESULTADOS OBTIDOS 62

Um filme gerado com taxa de exibio de quinze quadros por segundo,

produzido para cada um dos experimentos relatados a seguir e o endereo

onde o mesmo pode ser visualizado apresentado. O custo computacional

funo da resoluo da imagem, dos parmetros da cmera e do tamanho

do objeto. Em mdia, imagens com resoluo 400 300 cuja malha do

objeto foi inferida em 500 500, gastam 30 a cada passo de tempo na

simulao de guas rasas e130por quadro durante a fase de projeo reversa

e renderizao, quando executados em um computador porttil de500M bde

memria RAM e processador Intel Centrino de 1, 6M Hz. Como estas duas

fases podem ser executadas em paralelo, o tempo de processamento de um

minuto de vdeo , em mdia, de22, 5horas para experimentos com imagens

desta resoluo.


70/111


8.1 Rio em movimento

Neste experimento vamos ilustrar o movimento das guas de um rio, com uma

onda refletindo na imagem. A figura8.1,utilizada como imagem original,

uma foto da represa de Catalo (GO).

Figura 8.1: Imagem original do experimento.

Com parmetros default, foram aplicadas perturbaes randmicas na

altura da onda, na barragem. No filme gerado e na figura 8.2, podemos

observar o movimento das ondas provenientes de tal perturbao, bem como

seu comportamento ao encontrar a margem do rio. Com 34 de vdeo, a

gerao deste filme durou cerca de 12horas.


71/111


Figura 8.2: Quadro gerado pelo experimento.

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8.2 Animao de fluxo em uma represa

Neste experimento ilustramos o fluxo das guas na sada das comportas de

uma represa. As figura8.3c e8.3d mostram quadros de uma animao obtida

com perturbaes no campo de alturas sob a barragem, fora do campo visual,

e com a camada de controle do parmetro Hinicializada conforme a figura

8.3b, ou seja, definimos a topografia do leito do rio.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 8.3: Animao de fluxo em uma represa. (a) Imagem original; (b) camada da

imagem utilizada para modificar H; (c) e (d) fluxo em dois diferentes passos de tempo.

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8.3 Vulco

Neste experimento, vamos ilustrar o movimento de um fluido no interior de

um vulco, alterando a profundidade inicial da fronteira do corpo fludico

randomicamente.

A figura8.4mostra a imagem original e a respectiva mscara utilizadas

no experimento. Uma sequncia do vdeo mostrada, em close, na figura

8.5.

Figura 8.4: Da esquerda para a direita, imagem original e mscara utilizados no experi-

mento, seguidas da textura e malha geradas durante a fase de malhamento.

Figura 8.5: Sequncia em close do vdeo do experimento vulco.

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8.4 Chuvas

Os experimentos desta seo tm o objetivo de apresentar simulaes de

chuva obtidas pelo nosso mtodo. O efeito de chuva conseguido atravs

de perturbaes no corpo dgua em posies aleatrias, e produzem efeitos

agradveis. Com, respectivamente, 7, 28 e 6 de vdeo, a gerao destes

filmes duraram cerca de 3, 10e 3horas, respectivamente.

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8.5 Balano natural

Estes experimentos mostram o movimento suave de um corpo dgua, gerado

pela queda constante de gua em determinados pontos da imagem, indicados

por cachoeiras ao longe. Estas quedas dgua so simuladas por perturbaes

no corpo dgua, nas suas respectivas posies.

A renderizao foi efetuada, nos dois experimentos, sem acrescentar efei-

tos de iluminao, apenas utilizando a refrao. O efeito resultante um

movimento suave e realstico.

A simulao referente ao primeiro vdeo foi efetuada a partir da imagem e

mscaras indicadas na figura8.6e alteraes randmicas na altura do corpo

dgua na posio indicada pelas cachoeiras.

Figura 8.6: Da esquerda para a direita, imagem e mscara utilizadas no primeiro experi-

mento desta seo, textura e malha obtidas durante o malhamento.

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A simulao referente ao segundo vdeo foi efetuada a partir da imagem ao

lado e tambm alteraes

randmicas na altura do corpo

dgua na posio indicada

pelas cachoeiras.

Observe, na figura8.7,de-

talhes de quadros do segundo

vdeo, referentes ao canto in-

ferior direito da imagem ao

lado, destacando a distoro

ocorrida devido s refraes

distintas, geradas pela variao na altura da gua em cada instante.

Figura 8.7: Zum referente aos cantos inferiores direitos de quadros do segundo vdeo desta

seo.

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8.6 Transporte de textura

Ns tambm podemos combinar os efeitos de onda com o transporte de tex-

tura, como mostrado na figura8.8. O rio na figura8.8a recebeu manchas na

superfcie da gua. A animao produzida apenas pela projeo reversa no

campo de alturas no pareceu to realstico quanto ao transportar a mancha.

Este efeito pode ser alcanado utilizando as componentes de velocidadeu e v

para transportar a textura quadro a quadro, aumentando o realismo (figura

8.8b e8.8c).

(a)

(b) (c)

Figura 8.8: Efeitos de onda combinados com transporte de textura. (a) Imagem original;

(b) e (c) transporte de ondas e textura.

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8.7 Efeito Coriolis

O objetivo deste experimento apresentarmos as alteraes no movimento de

onda provocados pela variao na acelerao de Coriolis. Dois vdeos foram

gerados, um indicando as variaes no parmetro fe o outro salientando as

cristas e vales das ondas, respectivamente, com tons de vermelho e azul.

A acelerao de Coriolis, f, traz para as equaes de guas rasas a ao

da fora aparente provocada pelo movimento de rotao da Terra. Veja, na

figura8.9, a ao desta fora, em diversas intensidades, comparada com a

inexistncia da mesma, na primeira coluna. Cada linha representa um mesmo

instante de tempo.

A acelerao de Coriolis uma das responsveis pela gerao das tempes-

tades e podemos observar a intensificao deste efeito, nos vdeos, medida

que aumentamos o valor de f. Veja a causa deste efeito na figura8.10onde

salientamos a diferena do campo velocidade, em um mesmo instante de

tempo, em trs valores distintos de f. A evoluo deste campo velocidades

apresentada na figura8.11.

A figura8.12mostra a potencialidade de nosso mtodo ao comparar um

dos campos de velocidades obtidos em nosso experimento e uma foto do

furaco Dora no Pacfico Sul.


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t

=

14

t

=

28

t

=

42

t

=

56

t

=

70

t

=

84

t

=9

8

t

=

112

Figura 8.9: Efeito Coriolis. Da esquerda para a direita, f = 0, f = 0, 5, f = 1e f = 2.


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Figura 8.10: Efeito Coriolis: vetores velocidade no plano do objeto emt = 42. Da esquerda

para a direita, f = 2, f = 0e f = 2. Em destaque, zum correspondente no centro do

plano do objeto.

t= 28 t= 56 t= 84 t= 112

Figura 8.11: Efeito Coriolis: Zum central dos vetores velocidade. Acima, f =2e abaixo,

f = 2.


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Figura 8.12: Furaco Dora em 1999 esquerda e campo de velocidades de nosso experi-

mento direita.

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Animacao de Fluidos Em Imagens Digitais

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