anisotropia e plasticidade na transformação martens

8/7/2019 anisotropia e plasticidade na transformação martens

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E L S E V I E R Mechan ics o f Material s 21 (1995) 1 -23

O FNAllIIAI

T h e i n f l u e n c e o f m a t e r ia l a n i so t r o p y o n t r a n s f o r m a t i o n i n d u c e d

plas t i c i ty in s t ee l subjec t to martens i t i c t rans format ion

F . D . F i s c h e r , S . M . S c h l 6 g l

Institute of M echanics and C hristian Doppler Laboratory for M icromechanics of Materials, University o r M ining and Metallurgy,

Franz Josef Strafle 18, A-8700 Leoben, Austria

Rece ived 30 June 1994; revised version received 19 Octobe r 1994

Abstract

A s impl i f ied micromechan ica l model adap ted to mar tens i t ic t r ans fo rmat ion i s app l ied to descr ibe t r ans fo rmat ion

i n d u ced p l a st ic i ty ( T R I P ) i n s tee l . T h e acco m m o d a t i o n o f t h e t r an s f o r m a t i o n v o l u m e an d s h ap e ch an g e i s p e r f o r m ed

by plast if icat ion consider ing Hil l ' s anisotropic yield condit ion. Both a uniaxial and a tr iaxial Ioadstress s tate are

i n v es t i g a t ed . A g en e r a l i zed T R I P- t e r m i s d ev e l o p ed i n t h e s en s e o f an " ex t en d ed " G r een w o o d an d J o h n s o n ( 1 9 6 5 ,

Proc. R. Soc. London A 283, 430-422) r e la t ion .

Keywords: Transformat ion induced p las t ic i ty ; Mar tens i t ic t r ans fo rmat ion ; Or tho t rop ic p las t ic an iso t ropy ; Microme-chan ica l model ; Unia~ia l and t r iax ia l load ing

1 . I n t r o d u c t i o n

1 .1 . E x p l a n a t i o n o f t r a n s f o r m a t i o n i n d u c e d p la s t ic i t y ( T R I P )

T h e a u t h o r o f th e o n l y e xi st in g m o n o g r a p h y e n t ir e ly d e v o t e d t o T R I P ( M i t t e r 1 98 7) d e s c ri b e s T R I P

a s : " s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e d p l a s t i c i t y d u r i n g a p h a s e c h a n g e . E v e n u n d e r a n e x t e r n a l l y a p p l i e d l o a d s t r e s s

s t a t e w i th t h e c o r r e s p o n d i n g e q u i v a l e n t s t r e s s b e i n g s m a l l i n r e l a t i o n t o t h e " n o r m a l " y i e ld s t re s s o f t h e

m a t e r i a l , p l a s t i c d e f o r m a t i o n s o c c u r . "

T h i s s o f t e n i n g h a s i t s o r i g in i n th e f a c t t h a t d u r i n g a p h a s e t r a n s f o r m a t i o n o f a c e r t a i n p a r t o f a m a t e r i a l

( l et u s s a y, a " m i c r o r e g i o n " ) th i s m i c r o r e g i o n m a y c h a n g e i ts v o l u m e a n d / o r i ts s h a p e . T o a c h i e v e

c o m p a t i b il i ty b e t w e e n t h e n e i g h b o u r i n g m a t e r i a l a n d t h e t r a n s fo r m i n g m i c r o r e g io n u n d e r c o n s i d e r a ti o n

t h e m i s f it m u s t b e c o m p e n s a t e d ( o r a c c o m m o d a t e d ) b y a n e i g e n s tr e s s s ta t e w h i c h m a y v a ry w i t hi n a g r a in

o f a p o l y c r y st a l li n e m a t e r i a l , b u t a t l e a s t f r o m g r a i n t o g r a i n. I n m a n y c a s e s ( e .g . i n t h e c a s e o f " c l a s s i c a l "

t r a n s f o r m a t i o n s o f , ; t e d d u r i n g q u e n c h i n g ) t h e m i s fi t l e a d s a t l e a s t t o a p l a s t i fi c a t i o n o f t h e n e i g h b o u r i n g

m a t e r i a l o f th e m i c r o r e g i o n s , s o m e t i m e s e v e n t o a p l a st i f ic a t i o n o f t h e m i c r o r e g i o n s t h e m s e l v e s . I t c a n b e

e a s il y i m a g i n e d t h a t t h e d e v e l o p m e n t o f th i s e i g e n s t re s s s t a t e i s i n f l u e n c e d b y a n e x t e r n a l l y a p p l i e d s t r e s s

s t a te o n a c e r t a i n s p e c i m e n . T h e s u p e r p o s i ti o n o f t h e s e t w o s tr e ss i n g o r s t ra i n i ng " m e c h a n i s m s " m a y

i n i ti a t e p l a s t if i c a ti o n , e v e n u n d e r a l ow e x t e r n a l s t r e s s le v e l. T h e r e f o r e , a m a c r o s c o p i c p l a s t i c d e f o r m a -

t i o n o f t h e s p e c i m e n c a n b e o b s e r v e d . T h i s m e c h a n i c a l e f f e c t a s s o c i a t e d w it h p h a s e t r a n s f o r m a t i o n s h a s

0167-6636/95/$09.50 © 1995 Elsevier Scienc e B.V. All rights reservedSSDI 0167-6636(94) (10070-0



2 F.D. Fischer , S .M. Sch l i~gl / Me cha nics o f Ma terials 21 (1995) 1-2 3

o r i g i n a ll y b e e n c o n s i d e r e d a s T R I P . I t s h o u l d b e m e n t i o n e d t h a t e v e n i n t h e c a s e o f n o p l a s t i fi c a t i o n b u t

o n l y e l a st ic a c c o m m o d a t i o n o f t h e s t r a i n -i n c o m p a t i b il i ty a g l o b a l d e f o r m a t i o n o f t h e s p e c i m e n m a y

r e m a i n i f t h e t r a n s f o r m e d m i c r o r c g i o n s a r c a r r a n g e d s p a t i a l ly in s u c h a w a y t h a t t h e i r s h a p e c h a n g e s a d d

u p t o a n o n - z e r o o v e r a l l s t ra i n . I n t h e c a s e o f s tr e s s - i n d u c e d t h e r m o e l a s t i c m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n

( e .g . s h a p c m e m o r y a l l o y s) t h e e x t e r n a l l y a p p l i e d s t r e ss t h o r o u g h l y a f f e c t s th e o r i e n t a t i o n o f t h e

m i c r o r e g i o ns . I n th is c a se , t oo , t h e t e r m T R I P h a s b e e n a d o p t e d f o r th e n o n - e l a s t ic d e f o r m a t i o n o f a

s p e c i m e n e v e n t h o u g h t hi s d e f o r m a t i o n is g e n e r a l ly r e v e r si b l e d u r i n g t h e r e v e r s e t ra n s f o r m a t i o n f r o m t h e

p r o d u c t t o t h e p a r e n t p h a s e .

G r e e n w o o d a n d J o h n s o n ( 1 96 5 ) w e r e a m o n g t h e f i r st r e s e a r c h e r s p r e s e n t i n g a q u a n t it a t iv e r e l a t i o n

b e t w e e n a [ o a d s t re s s "~3 e x t e r n a l l y a p p l i e d o n a te n s i o n s p e c i m e n , t h e t r a n s f o r m a t i o n v o l u m e c h a n g e za

± A + / ~ A ~ 3. T h e T R I P s t ra i n k A , ~ 3 ( kn d t h e f i n a l l o n g i t u d i n a l s t r a i n e : , 3 o f th e s p e c i m e n b e i n g e z . 3 = 3

is a c o n s t a n t d i s c u s s e d l a t e r ) i s o b v i o u s l y p r o p o r t i o n a l t o 2 ' 3 w h i c h m e a n s t h a t i n t h e c a s e o f a l o a d - f r e e

s p e c i m e n o n l y a f in a l st r ai n c o m p o n e n t ± A c a n b e o b s e r v e d . T h e G r e e n w o o d a n d J o h n s o n r e l a ti o n w a s

r e e x a m i n e d b y L e b l o n d a n d c o - o p e r a t o r s ( L e b l o n d e t a l. 1 9 8 6 a ,b 1 9 8 9; L e b l o n d , 1 98 9) , M i t t e r ( 1 9 8 7 ) a n d

F i s c h e r ( 1 9 9 0 ) a n d e x t e n d e d t o a t r i a x i a l e x t e r n a l l o a d s t r e s s 2 . F i n i t e e l e m e n t s t u d i e s h a v e a l s o b e e n

p e r f o r m e d , s e e , e . g . S j 6 s t r 6 m e t a l . ( 1 9 9 2 ) . T h e s e r e s e a r c h e r s c ~ m e t o t h e c o m m o n c o n c l u s i o n t h a t f o r at r a n s f o r m a t i o n w i t h o n l y a v o l u m e c h a n g e ( a s i t i s t h e c a s e f o r a f i r s t - o r d e r d i f f u s i o n a l t r a n s f o r m a t i o n a s

t h e a u s t e n i t e - p e a r l i t c t r a n s f o r m a t i o n i n s t e e l s ) t h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a i n t e n s o r i s p r o p o r t i o n a l t o t h e

p ro d u c t A_S w i t h S b e i n g t h e d ev i a t o r t o _2". F i s ch e r ( 1 9 9 2 ) co u l d s h o w t h a t t h i s i s ev e n co r r ec t f o r a

m a r t e n s i t i c - t r a n s f ~ r m a t i o n w i th a v o l u m e - c h a n g e a n d a n a d d i t io n a l s i g n if i ca n t s h a p e c h a n g e o f th e

t r a n s f o r m i n g m i c r o r e g i o n s.

1 .2 . P r o b l e m d e f i n i t i o n

A l m o s t a l l i n v e s t i g a t o r s o n T R I P c o n s i d e r a n i s o t r o p i c m a t e r i a l . H o w e v e r , i n m a n y p r a c t i c a l a p p l i c a -

t i o n s m a t e r i a l s a r e u s e d w h i c h s h o w a c e r t a i n k i n d o f a n i s o t ro p y , e . g . a t e x t u r e d e v e l o p e d b y f o r g in g a n d

r o l l i n g . T h e r e f o r e , t h e q u e s t i o n h a s a r i s e n h o w a n i s o t r o p y i n f l u e n c e s t h e f i n a l T R I P s t r a i n . T h e m a i n

g o a l s o f t h i s p a p e r a r e :

- t o i n v e s t i g a t e t h e l o c a l s t r e s s s t a t e i n a m a r t e n s i t i c a l l y t r a n s f o r m i n g m i c r o r e g i o n u n d e r t h e a s s u m p t i o n

o f p l a st ic a n i s o t r o p y r e p r e s e n t e d b y o n e a n i s o t ro p y p a r a m e t e r p ;

- t o s i m u l a t e a c t u a l e x p e r i m e n t s f o r u n i a x i a l a n d t r i a x i a l e x t e r n a l l o a d i n g ;

- t o p r e s e n t a r e l a t i o n b e t w e e n t h e T R I P s t r a in , e -r R, a n d t h e d e v i a t o r S o f t h e e x t e r n a l l y a p p l i e d s t r e s s

t e n s o r a s w e l l a s a s et o f p a r a m e t e r s k l ( p ) , k 3 (~) r e f l ec t i n g t h e an i s o ~- ro p y . T h i s r e s u l t c an b e s een a s

a n e x t e n d e d G r e e n w o o d a n d J o h n s o n r e l a t io n f o r m a r t e n s i t ic t r a n s f o r m a t i o n i n a n a n i s o tr o p i c

m a t e r i a l a n d c a n b e u s e d i n a c o n s t i t u t i v e m a t e r i a l l a w f o r f u r t h e r p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s , e . g . i n

i n c r e m e n t a l f o r m a s a n e x t r a t e r m i n a d d i t i o n t o t h e " c l a s s i c a l " p l a s t i c s t r a i n i n c r e m e n t .

1 .3 . M a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n

A s a r e p r e s e n t a t i v e p a r t o f t h e m a t e r i a l a m e s o d o m a i n is c o n s i d e r e d . A l l m a t e r ia l p r o p e r t i e s a n d t h e

t e m p e r a t u r e T a r e a s s u m e d t o b e s p a t ia l ly c o n st a n t. E q u a l e l a s ti c p r o p e r t i e s o f th e p a r e n t p h a s e a n d t h e

p r o d u c t p h a s e a r e c o n s i d e r e d . T h e m e s o d o m a i n is lo a d e d b y a h o m o g e n e o u s l o a d s t r es s s t a te _ ~ w h i c h

r e m a i n s c o n s t a n t d u r i n g t h e p h a s e t r a n s f o r m a t i o n . T h e m e s o d o m a i n is n o w d i v i d e d in t o m i c r ~ r e g io n s

f o r m i n g s u b u n it s . T h e p r o g r e s s o f m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n i s t h o u g h t t o c o n s i s t o f a s u c c e ss i v e

" s w i t c h " o f o n e m i c r o r e g i o n a f t e r t h e o t h e r f r o m t h e p a r e n t p h a s e t o a m a r t e n s i t e v a r i a n t. T h e

o r i e n t a t i o n o f e a c h v a r i a n t i s d e f i n e d b y a s e t o f E u l e r i a n a n g l e s 6 , O , ~0 w h i c h g e n e r a l l y v a r y f r o m

m i c r o r e g i o n t o m i c r o r e g i o n . T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e v a r i a n t s c a n b e d e s c r i b e d b y a c e r t a i n d i s t r i b u t i o n

f u n c t i o n g ( s~ ; 0 , 6 , ~ P), ~ i s t h e m a r t e n s i t e v o l u m e f r a c t i o n . I f a sp e c i f i c m i c r o r e g i o n w e r e a s s u m e d t o b e

i s o la t e d a n d , t h e r e f o r e , n o t c o n s t r a i n e d b y it s n e i g h b o u r i n g m a t e r i a l, t h e t r a n s f o r m a t i o n d e f o r m a t i o n c a n



F.D. Fischer, S.M. Schl6gl / Mechanics of Materials 21 (1995) 1- 23 3

b e d e s c r i be d , d u e t o t h e p h e n o m e n o l o g i c a l t h e o r y o f m a r t e n s it e , b y a " f r e e " t r a n s f o r m a t i o n s t r a in t e n s o r

_e'¢ d e f i n ed w i th r e sp ec t t o a l o ca l co o r d in a te sy s t em x ' , y ' , z ' ,

l e ' ~ = h ( t / t ~ ) ~ ' ¢ , h ( O ) = O , ] h ( 1 ) = l

0 0 1(1)

o o o .-- 1

T h e x ' - y ' p l a n e i s t h e h a b i t p l a n e b e i n g th e c o m m o n c r y s t a ll o g ra p h i c p l a n e b e t w e e n t h e p a r e n t a n d t h e

p r o d u c t p h a s e , h ( t / t ~ ) r e p r e s e n t s a f u n c t i o n o f t h e d i m e n s i o n l e s s ti m e ? = t / t ~ , t i s the t ime, t¢ the

t r a n s f o r m a t i o n t i m e ( w h i c h is v e r y s m a ll ), 3 ' is t h e t r a n s f o r m a t i o n s h e a r a n g l e ( o f o r d e r 0 . 2 f o r s t e e l ) a n d1 2( o f t h e o r d e r 0 . 0 4 f o r s te e l ) c o r r e s p o n d s t o t h e t r a n s f o r m a t i o n v o l u m e c h a n g e A , 6 = A + ~ [A + (1 +

A2 ) s in 2 3 '] . T h e E u le r i an an g le 0 i s t h e a n g le b e tw een th e g lo b a l z a n d th e lo ca l z ' ax is .

A s t a n d a r d c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n p r o c e d u r e b y t h e o r t h o g o n a l t e n s or Q ,

[ c o s O , : o s q ~ - s i n ~ c o s O s i n q ~ - c o s q , s i n q ~ - s i n ~ k c o s O c o s q ~ s i n q ~ s i n O ]

__Q= s i n $ . , . i n q ~ + c o s $ c o s O s i n q ~ - s i n ~ O s i n q ~ + c o s $ c o s O c o s q ~ - c o s $ s i n O ,

- sin 0 sin q~ sin 0 cos q~ co s 0

( 2 )g iv es th e t en s o r _e',: i n t h e g lo b a l co o r d i n a te sy s t em a s

e_ _~ Q . e _ '~"Q T = h ( t / Q ) ~ , ~ :~= a " ~ _'~ "Q ' r .

T h e

e _ c = h ( t / t , ) ! ! c , ~ c = ~ c - ½ t ~ _ / .

dev ia to r ic par t e_- o f _~c posse sses th e fo l low ing co m po ne nts acc ord ing to Fi sch er (1992) :

e ¢ . x = ½3'(sin 2~ sin 0 cos q~ - sin 2 ~b sin 2 0 sin q~) + 6 (si n 2 q, sin 2 0 - 3) ,

~ .y = - ½3'(' .; in 2~ sin 0 cos ~p + co s 2 ~b sin 2 0 sin q~) + 6 (co s z ~ sin 2 0 - ½),

- 1 l 2 0 ) ,ec. ~ = ½3'(sin 2 0 sin q~) + ~6 (3 + co s

~.x~ = 3 , (cos ~ co s O cos ¢ - s in ~ cos 20 s in ~p) + 6 s in ~ s in 2 0 ,

~/¢.yz = 3 ' (s in q, cos 0 cos q~ + c os ~ cos 2 0 sin ~o) - 6 co s ~b sin 2 0 ,

Yc.xy = 3 ' ( - co s 2~ s in O cos q~ + ½sin 2q , s in 20 s in ~p) - 6 s in 2 ~ s in 2 0 .

( 3 a )

(3b)

(4 )

T h e p h e n o m e n o l c g i c a l t h e o r y d o e s n o t d e a l w i th a n y t h e r m o d y n a m i c c o n d i t i o n fo r t h e t r a n s f o r m a t i o n o f

a m i c r o r e g i o n t ha ~ is m o s t l y i n t h e f o r m o f a v e r y t h i n p l a t e . I n t h e p a s t f e w y e a r s c o n s i d e r a b l e r e s e a r c h

h as b ee n d ev o te d to th i s t o p ic , f o r a rev iew see F i sch e r e t a l . ( 19 94 ). W i th o u t g o in g in to d e t a i l s , a

c o n d i t i o n h a s t o b e f o r m u l a t e d w h i c h e x p r e s s e s t h a t t h e s u m o f a c h e m i c a l a n d a m e c h a n i c a l d r i v i n g

f o r c e m u s t p r e v a i l o v er a c e r t a i n e n e r g y b a r ri e r . T h e n e w l y f o r m e d m a r t e n s i t i c t h i n p l a t e t a k e s n o w s u c h

a n o r i e n t a t i o n t h a t t h e m e c h a n i c a l d r i v i n g f o r c e i s m a x i m i z e d . T h i s w a s r e c o g n i z e d b y P a t e l a n d C o h e n

( 1 9 53 ) w i th r e sp ec t t o t h e g lo b a l l o ad s t r e s s _Z o n a s in g le c r y s t a l an d ex te n d e d , e .g . b y M ar k e tz e t a l .

( 19 95 ), t o a p o ly c r y s t a l w i th r e sp ec t t o t h e lo ~zal s t r e s s s t a t e f t . Su ch a n o r i en ta t io n e f f e c t c an a l so b e

o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y , a s r e p o r t e d b y G a u t i e r a n d S i m o n ( 1 f f 8 7 ) . T h e t r a n s f o r m a t i o n t e n s o r r e p r e s e n t s

a l o ca l s t r a i n i n c o m p a t i b il i t y . T h e r e f o r e , i t m u s t b e c o m p e n s a t e d b y a n a c c o m m o d a t i o n p r o c e s s b o t h i n

t h e n e i g h b o u r i n g m a t e r i a l a n d t h e m i c r o r e g i o n u n d e r c o n s i d e r a t i o n . T h i s l e a d s t o p l a s t i f i c a t i o n i n t h e

r e m a i n i n g p a r e n t p h a s e a s w e l l a s , u p t o a c e r t a i n a m o u n t , i n t h e m a r t e n s i t i c p h a s e . O r i e n t a t i o n a n d



4 F.D. Fi scher, S .M. Sc hl6 gl /M ec ha nic s o f Mater ia l s 21 (1995) 1-2 3

a c c o m m o d a t i o n a r e s t r o n g l y c o u p l e d v ia t h e m e c h a n i c a l d r i v in g f o r c e a s m e n t i o n e d a b o v e . I n a s e r ie s o f

p a p e r s , s e e , e .g . L c b l o n d e t a l. (1 9 8 6 a ,b , 1 9 89 ) a n d L e b l o n d ( 1 9 8 9 ) o n l y t h e a c c o m m o d a t i o n o f t h e

v o l u m e c h a n g e w a s t r e a t e d . M i t t e r ( 1 9 87 ) w a s t h e f ir st w h o p o i n t e d t o a p l a s ti c a c c o m m o d a t i o n o f th e

t r a n s f o r m a t i o n s h e a r a s w e l l a s t o t h e o r i e n t a t i o n e f f e c t ; f o r a d e t a i l e d t r e a t m e n t , s e e F i s c h e r ( 1 9 9 0 ,

1 99 2) . R e c e n t l y , s o m e f i n i t e e l e m e n t s t u d i e s b y G a n g h o f f e r e t a l . ( 1 9 9 1 ) a n d M a r k e t z e t a l . ( 1 9 9 4 ) w e r e

p u b l is h e d t h a t d e a l t w i th t h e c o u p l i n g o f o r i e n t a t i o n a n d a c c o m m o d a t i o n . H o w e v e r , a k i n e ti c e q u a t i o n

fo r ~ : i n r e l a t i o n t o an ex t e rn a l s t r e s s s t a t e - 2 a s w e l l a s t o t h e t emp e ra t u r e T s t i l l h a s t o b e fo u n d .

O b v i o u s l y t h e m o s t d i f f i c u l t t a s k i n s u c h a n a p p r o a c h i s t o a p p l y a p r o p e r r e l a t i o n b e t w e e n _ 2 , T a n d t h e

l o c al s t re s s s t a t e _,2. O n e w a y l e a d i n g t o s u c h a n e q u a t i o n h a s b e e n i n d i c a t e d r e c e n t l y b y O b e ) - a ig n e r e t a l.

( 1 9 9 3 ). O f co u rs C , t h e l a ck o f s u ch a k i n e t i c eq u a t i o n p r ev en t s s a t i s fy i n g r e l a t i o n s b e t w e en ~: an d _eXR

e v e n t h o u g h t h e y h a v e b e e n r e p o r t e d i n t h e l i t e r a t u r e . T h i s p a p e r i s b a s e d , h o w e v e r , o n t h e s i m p l i f y i n g

a s s u m p t i o n t h a t a l o a d e d s p e c i m e n ( m e s o d o m a i n ) i s c o o l e d s o qu i c k ly th a t t h e w h o l e m a t e r i a l t r a n s f o r m s

s i m u l t a n e o u s l y f r o m t h e p a r e n t t o t h e p r o d u c t p h a s e .

2 . T h e m i c r o - m a c r o m e c h a n i c a l m o d e l f o r T R I P i n a n a n i s o t r o p ic m a t e r i a l

2 .1 . A s s u m p t i o n s

I n t h e f o l l o w i n g c o n t e x t al l a s s u m p t i o n s a n d p r e c o n d i t i o n s a r e s u m m a r i z e d o n w h i c h t h e d e r i v a t i o n o f

t h e T R I P s t r a i n t e r m -~ TR is b a s e d :

- A s p e c i a l k i n d o f o r T h o t r o p i c p l a s t ic a n i s o t r o p y , t h e s o - c a l l e d t r a n s v e r s e i s o t ro p y , is a s s u m e d w i t h t h e

y i e l d s t r e s s R l in t h e l o n g i t u d i n a l ( z - ) d i r e c t i o n o f t h e s p e c i m e n a n d t h e y i e l d stress Rq i n t h e

t r a n s v e rs e x - y p l a n e , s e e A p p e n d i x A . S u c h a n a n i s o t r o p y ca n o f t e n b e o b s e r v e d i n lo n g i tu d i n a l

s p e c i m e n s m a c h i n e d o u t o f f o r g e d r o d s . F o r t h e s a k e o f s i m p l ic i t y t h e s a m e a n i s o t r o p y i s a s s u m e d

b o t h i n t h e p a r e n t a n d t h e p r o d u c t p h a s e .

- A l l t h e a u s t e n i t i c m i c r o r e g i o n s t r a n s f o r m i n t o m a r t e n s i t e s i m u l t a n e o u s l y . D u r i n g t h i s p r o c e s s t h e y i e l d

s t r e s s e s R l , Rq c h a n g e f r o m R t , a , Rq, a to R l , m , Rq,m, h e l a b e l " a " i s f o r a u s t e n i t e a n d t h e l a b e l " m "

f o r m a r t e n s i t e . F o r s i m p l i f i c a t io n a n a v e r a g e y i e l d s t r e ss R [ , R t . a <_ R [ < Rt . m, i s i n t ro d u ced , w h i ch

w i l l b e j u s t i f i ed l a t e r .

- O n l y t w o t y p es o f g (~ :; O , $ , ~0) a r e c o n s i d e r e d :

( a ) A u n i fo rm d i s t r i b u t i o n o f a ll v a r i an t s , l e a d i n g t o g - 1 .1

(b ) A u n i fo r m d i s t r i b u t i o n w i t h r e s p ec t t o O , $ w i t h ~0 = + E rr i n ca s e o f a u n i ax i a l t en s i o n l o ad s t r e s s

a n d ~ = - ½ rr f o r c o m p r e s s i o n l e a d i n g t o e x t r e m e v a l u e s o f ec .z , f o r d e t a i l s s ee F i s ch e r ( 1 9 9 0 , 1 9 9 2 ) .

- T h e s t r a i n i n c o m p a t i b i l it y d u e t o _e i s c o m p e n s a t e d o n l y b y p la s t i f ic a t i o n . T h e e l a s ti c p a r t o f t h e t o t a l

s t r a i n t e n s o r i s i g n o r e d . A l t h o u g h ~ i g n i f i c a n t s t r a i n i n g ( y ~ 0 . 2 ! ) t a k e s p l a c e , a li n e a r d e c o m p o s i t i o n o f

t h e t o t a l s t r a i n t en s o r e t is a s s u m ed ,

~t = ~p + ~c + 38 h / - (5 a)

A d o t r e p r e s e n t s d i f f e r e n t i a t i o n w i th r e s p e c t t o t h e d i m e n s i o n l e s s t im e t'.

- A T a y l o r - L i n a s s u m p t i o n is i n t r o d u c e d s t a t i n g t h a t i n e a c h m i c r o r e g i o n t h e s a m e f i n a l s t r a i n s t a te _e

c a n b e o b s e r v e d . T h i s i s, o f c o u r s e , a s i m p l i f i c a t io n b u t i t l e d t o r a t h e r g o o d r e s u l t s i n t h e c a s e o f a-n

i s o t r o p i c m a t e r i a l , s e e M i t t e r ( 1 9 8 7) , F i s c h e r ( 1 9 9 0 ). T h i s a s s u m p t i o n a l lo w s o n e t o f i n d f i n a ll y s i m p l e

a n a l y t i c a l r e l a t i o n s f o r t h e T R I P s t r a i n t e n s o r . S i n c e _e is n o w s p a ti a l ly c o n s t a n t i n t h e m e s o d o m a i n ,

t h e m a c r o s c o p i c T R I P t e n s o r _eT R f o l lo w s a s

_ETR = _E" -- 1~ ! . (5 b )



F.D. Fischer, S.M . Schliigl / Mechanics of Materials 21 (1995) 1-23 5

T h e u n k n o w n e n t iq t n o w is t h e T R I P s t ra i n t e n s o r e r a f o r w h i c h a d i f f e re n t i a l e q u a t i o n w i ll b e d e r i v e d

in the next sec t ion .

2 . 2 . D e r i v a t i o n o f e - r n a n d e r r

The de r i va t i on o f t he a bo ve -m e n t i o ne d d i f f e re n t i a l e qu a t i on i s ba se d o n t he i n t roduc t i on o f -~ 0, s e e

(A.3 ) , in t o r e l a t i on (5 ) a nd t h e n i n t o t he y i e ld c ond i t i on (A .2 ) . Due t o a g l oba l p r i nc ipa l s t r e s s t e nso r ,~

(~ 3 i n z -d i r e c t i on ) a s l oa d s t r e s s t e nso r , t h e t e n so r -~ TR ha s t he fo l l owi ng s t ruc t u re :

E T R , i j = E i S i j ' ~ i j K ron e c ke r 8 , e l + e 2 + e 3 = 0 . (6a )

N o t e t h a t t h e la b e l " T R " i s s k i p p e d f o r t h e c o m p o n e n t s o f eT R.

I t fo l l ows f rom (5 ) a nd Appe nd i x A t ha t

_ _ _ _ 2_~o = ~TR-- ~¢ = , i (s + Xp_) , (Ta)

p i s an a niso t rop y f ac tor , - 0 .75 _< p ~ 3 .0 , see A pp end ix A, ~i >_ 0 , and w i th (7a ) fo r the y ie ld con di t ion

(A.2 )

3 1 [ 1 ]

N o w t h e c o m p o n e n t s o f ~ m u s t b e e x p r e s s e d b y st r ai n r a t e s u s i n g ( 7 a) ,

1s + ~ps = ~-

l e a d i ng t o

1 1

sx+2p(s,,-s,)= 7(6- ox 1,

T h e s o l u t io n o f t h e s e t w o e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o G , s y d e l iv e r s

1

S x = [ ( ~ . - ~ ¢ ,~ )( 1 + 2 P ) + ( ~ 2 - ~ o . ~ ) 2 P ],(1 +

1

s y = [ ( ~2 - ~ , y ) ( 1 + 2 P ) + ( e , - e c . , ) 2 P ] . ( 7 c )( 1 +

Us ing ec : e~ = ( 582 + I 2,L2_ ~y m f ina l ly lead s to

1 P N 2 - 4 ( 1 + ] ( 8 a )= N ~ 1 + 4 p

3 "2 • • " 3 2 ' ; -2 (8 5)N , = ~ ( e , + e ~ + f 3 ) - 3 ( ~ ,~ c . x + e 2 e c . y + ~ 3 ~ c . z ) + ( 8 2 + ~ 7 } n ,

N 2 = [ ~ l - ~ 2 - - ( e c , . t . - - e c , y ) ] 2 " ] - ' ~ c , x y ' 2 ( 8 C )

N3 = -2 .2 (8 d)7Z,x~ + 7~,y~.

T h e s t r es s d e v i a t o r c o m p o n e n t s i n e a c h i n d i v id u a l m i c r o r e g i o n c a n n o w b e e x p r e s s e d b y o n ly t h e t h r e e



6 F.D. Fischer, S.M. Sch l6gl/M ech anics of Materials 21 (1995 ) 1-23

u n k n o w n c o m p o n e n t s k l , ~ 2 , ~ 3 o f - E T R a n d t h e k n o w n c o m p o n e n t s o f ~ ¢ b y i n s e r t i n g ( 7 c ) a n d ( 8 a ) i n t o

(7a): - -

Sz e3 - ec ,z

- - = [ ] 1 / 2 , ( 9 a )R / P N 2 - P I - N 3"N , l + 3 p 4 ( 1 + 3 p ) j

s x 1 ( g , - e c . x ) ( 1 + }P ) + ( e 2 - ec" y)~P2- - = - - [ p ] 1 / 2 ' ( 9 b )

P N z 4(1 + ½p) N3l 1 + }p N I 1 + 4p

S y 1 ( g z 2 - O . c ,y ) ( l + Z p ) + ( g , - ~ , ~ ) Z p ( 9 c )

( P N 3 ] ' J 2P - - -N 2 4 ( 1 + 3 0 )

t 1 + 3P N l l + 30

N o t e t h a t s x , s y , s z d e p e n d o n t h e i n d i v id u a l s et o f E u l e r i a n a n g l e s o f e a c h m i c r o r e g i o n v ia t h ec o m p o n e n t s o f _~c a n d t h a t t h e y v a r y f r o m m i c r o r e g i o n t o m i c r o r e g io n ! T h e s h e a r c o m p o n e n t s a r e n o t

wr i t ten down ex i~l ic i te ly .

T h e f in a l d i f f e r en t i a l eq u a t io n s f o r ~1 , ~2 , ~3 can n o w b e f o u n d b y co n s id e r in g th e g lo b a l eq u i l ib r iu m .

T h e a v e r a g e s o f t h e d e v i a t o r c o m p o n e n t s s x , s y , s z m u s t b e e q u a l t o t h e g l o b a l d e v i a t o r c o m p o n e n t s $ 1 ,$ 2 , S3 wh ich can b e ca l c u la t ed d i r ec t ly f r o m th e g lo b a l s t r e s s t en so r X , S = X - ~- 3('~1 + "~2 + "~3) -/" T h ea v e r a g e i s p e r f o r m e d w i t h r e s p e c t t o t h e E u l e r i a n a n g l e s a s

f = f 2 = 2 , ' r s g s in O dO d(p dOo=o ~=o~q,=oz

S = ( s ) = ( 1 0 )

= _ f ' ~ f 2 ' ~ f 2 ~ ' g s i n O d O d q ~ d ~ O

O = o ~ = o ~ = 0T h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 9 a ) - ( 9 c ) a r e o f a c o m p l i c a t e d n a t u r e s i n c e t h e i n t e g r a l s o v e r t h e E u l e r i a n

a n g l e s c a n n o t b e s o l v e d e xa c tl y . A l l t e r m s ~ . . . . . . . ~ ' ¢ , y z a r e t r an sce n d en t f u n c t io n s o f O , ~p, ~b an d ap p ea r

i n t h e n u m e r a t o r a s w e l l a s i n t h e d e n o m i n a t o r o f ( 9 a ) - (9 c ) t o g e t h e r w i t h t h e u n k n o w n d e v i a t o r

c o m p o n e n t s k l , ~ 2, ~3. H o w e v e r , t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s c a n b e r e d u c e d t o a l g e b r a ic e q u a t i o n s i f t h e

s a m e t i m e d e p e n d e n c e e x i s t s f o r th e k n o w n c o m p o n e n t s e ¢.x . . . . y¢ ,y z a n d t h e u n k n o w n T R I P s t r a i n

co m p o n en t s e~, e 2 , e 3. S in ce th i s i s a r ea so n ab le a s su m p t io n , a s d i scu ssed in F i sc h e r ( 19 90 ), i t is ap p l i ed

in th e f o l lo win g co n tex t ,

e i = h ( t / Q ) e i ( 1 ) , i = 1 , 2 , 3 . ( 6 b )

I f t h e r e l a t io n s ( 3 b ) an d ( 6 b ) a r e in se r t e d in to ( 9 a ) - ( 9 c ) , t h e t im e d e r iv a t iv e ~ f i t ~ Q ) c a n b e e l i m i n a t e d .

As th e y i e ld s t r e s s R t ch an g es f r o m R ~, . t o R t ,m , w e i m p l e m e n t a n a v e r a g e y i e l d s t r e ss R f . T h i s

a s s u m p t i o n w i l l b e c h e c k e d l a t e r . T h e f i r s t o f t h e t h r e e f i n a l a l g e b r a i c e q u a t i o n s n o w f o l l o w s

3 R f ( 2 " ~ 3 - " ~ ' - ' ~ 2 ) = e 3 - ~ ' ) 3 2 - + e 3 ~ , , ~ ) + 6 2 + 3 2

" [ (1 + 3P e l - - e2 - - (ec ,x - - ~ 'c ,y + Yc ,xy

P 2 ( l l a )4(1 + ½p) (y~2x~ + Y~'Yz

T h e o t h e r t w o e q u a t i o n s a r e s k i p p e d f o r t h e s a k e o f br e v it y .



F.D. Fischer, S.M. Schl6gl Mechanics of Materials 21 (1995) 1-23 7

E x p l i c i t r e l a t i o n s f o r e ~ , e 2, e 3 , e I + e 2 + e 3 = 0 , d ep en d i n g o n 2 ~ , Z 2 , ' ~ 3 c a n n o t b e f o u nd . H o w e v e r ,

b y a s s u m i n g a g i v e n s e t o f e I , e 2, e 3 t h e l e f t - h a n d s i de o f (1 1 ) c a n b e c a l c u l a t e d b y n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n

o v e r 0 , ~0, qJ. T h i s l e a d s t o t h r e e d e v i a t o r c o m p o n e n t s o f S w h i c h f i n a ll y i n d i c a t e s t h a t t h e i n v e r s e

p r o b l e m c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l ly . T h e c o r r e s p o n d i n g s t r e ss s ta t e Z is , o f c o u r s e , n o t d e f i n e d i n au n i q u e w a y s i n ce t h e h y d r o s t a t i c p a r t o f t h e s t r e s s t e n s o r d o e s n o t a p p e a r i n t h e f i n a l r e l a ti o n s (1 l a ) , e t c .

3 . S i m u l a t i o n o f t e s t s

I n t h e f o l l o w i n g , d i m e n s i o n l e s s s t r e s s t e r m s Z " = 2 / R ~ a r e u s e d . F o r a l l f u r t h e r n u m e r i c a l c a l c u l a -

t io n s , 6 = 0 .0 4 a n d y = 0 .2 a r e u s e d b e i n g t y p i ca l d a t a f o r a F e - N i m a r t e n s i t e .

3 .1 . The tens ion / compr ess ion te s t

3 . 1 . 1 . Nu m e r i c a l t e s t s* * ]

A u n i a x i a l l o a d i n g , ~ 3 @ 0 ( 2 ; = , ~ 3 / R t ), 2 : 1 = 0 l e a ds w i t h E T a = e 3 , e I = e 2 = - - 2 e 3 a n d g = 1( u n i f o r m d i s t r ib u t i o n ) t o a s e t o f c u r v e s d e p i c t e d i n F i g. 1 . A n o t t o o r e m a r k a b l e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e

c u r v e s w i t h v a r y i n g p a r a m e t e r s t9 c a n b e o b s e r v e d . I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t a s i g n i f ic a n t , a l m o s t

l i n e a r p a r t o f t h e e T a - - ~ ° e x i s t s f o r t h e w h o l e r a n g e o f p ( a s p r e d i c t e d 3 0 y e a r s a g o f o r a n i s o t r o p i c

m a t e r i a l b y G r e e n w o o d a n d J o h n s o n ( 19 6 5) ). H o w e v e r , f o r t h e c a s e Z 3" = 0 a c e r t a i n T R I P s t r a in e 3, 0

r e m a i n s f o r t9 @ 0 : T h i s m e a n s t h a t i n th e c a s e o f a n a n i s o t r o p i c m a t e r i a l t h e v o l u m e c h a n g e d u e t o

m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n is n o t d i s t r i b u t e d u n i f o r m l y o v e r a l l d i r e c t io n s , s e e F i g . 2, w h i c h q u a l i t a t i v e l y

c o n f i r m s e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n s , s e e t h e d i s c u s s i o n i n S e c t i o n 3 . 2 . 3 . I t f u r t h e r s e e m s t h a t a l l c u r v e s

r u n t o w a r d s a f i x e d p o i n t .• • , , 1I f t h e " ~ - r e s t n c t l o n , ~o = + ~ r r, is a c t i v a t e d , t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n c u r v e s f o r a v a r y i n g a n i s o t r o p y

p a r a m e t e r p i s m u c h s m a l l e r , s e e F i g . 3 .

3 .1 .2 . L inear iza t ion5 / ( ~ 2+ 3 2w '*

A s r e p o r t e d b y F i , ; c h e r ( 1 9 9 0 ) a v e r y s i m p l e r e l a t i o n , eV R = g Z Y "~ , c o u l d b e f o u n d f o r p = 0

( w h ic h c a n b e s e e n a s an " e x t e n d e d " G r e e n w o o d a n d J o h n s o n r e l at i o n ) if t h e a l m o s t l in e a r p a r t o f th e

c u r v e s i n F ig s • 1 , 3 i s c o n s i d e r e d . T h i s c a n b e d o n e f o r p ~ 0 , t o o , b y d e v e l o p i n g , e . g . r e l a t i o n ( l l a ) i n t o a

T a y l o r s e ri e s a t e TR = 0 , t h e n t r u n c a t i n g i t t o 2 t e r m s . O n l y s o m e s t e p s o f t h is p r o c e d u r e a r e r e p e a t e d • I t

f ol lo w s w i th ( l l a ) a n d e T R = e 3 , ~ / = ~ 2 " = 0

3 / . m - f < . A" ~; = f ( e T R ) = 2 t V ~ / '

9 2 - - 9 ~ t~2 3 2 P g 'c ,x -e c . , ) + Yc,x, 4(1 + 1#9) (~i2.x~ + Yc,rz ,N = Z e T R ~ - c , z e V R + + zY 1 + 4,0

o f

. v ; - J q . . = 0 + , . - o

4

= - + c , , .

The averag ing mus t be done n um er ica l l y and f i na l l y leads to t he re la t ion

t~3 = e T R = e 3 , 0 ( p ) + k 3 ( P ) . ~ 3 .

( 1 2 a )

( 1 2 b )

( 1 3 a )



8 F.D. Fischer, S.M . Schl6gl/M echan ics of Materials 21 (1995) 1-23

. .. . = p = -0 ,3 6

p = 0

* - - p = 1 , 2 5

- - - - - - - - ~ p = 3

t ~

0,24 -

0 , 2 ~ -

0 , 1 6 . . ~

0 , 1 2 - -

= = ~ ' pi i ,

i0 ,08 -~ -

iI

0 , 0 4 T

- 1 - 0 , 8 - 0 , 6 - 0 , 4

II

- 0 , 0 8 ~ -

i I . . . . d ......

0 , 2 0 , 4 0 , 6

I

0, 8

i

I

E *

/ / ' /

I Ii i / /

< ~ 1 ) i

- 0 ,12

-0 ,16

-0.2

-0,24

g = l

Fig. 1. Relatio n between the TR IP strain e rR and the dimensionless stress E ° for differen t values of the anisotropy param eter a,g - ~ l .

e3 ,o (p ) a n d k 3 ( p ) a r e g i v e n in T a b l e 1 b o t h f o r g - - 1 a n d t h e " ~ o - r e s tr i c ti o n " . T h e l i n e a r i z e d r e l a t i o n i s

a l s o d e p i c t e d i n F i g s . 4 a , 4b . A g a i n , t h e w e a k i n f l u e n c e o f p o n e r R f o r t h e " q ~ - r e s tr i c ti o n " c a n b e s e e n .

3 .1.3 . C o n s i d e r a t i o n o f a va r i a b l e y i e l d s tr e s s

I n t h is c as e , th e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s a r e m a d e :

- T h e t i m e v a r i a t io n o f t h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a in t e n s o r c o m p o n e n t s i s l i n e ar , s ee ( 1) ,

h ( t / Q ) = h ( ? ) = t , h ( i ) = l , 0 _ < i ' < l .



F.D. Fischer , S.M. Schl6gl / Mech anics o f Mater ials 21 (1995) 1-2 3 9

-0,3

. . . . - p =- 0 , 3 6 ~ 0 , 0 3 ] / / / /

.... o - o : o 4 o o 2 1 . / / ~ / / / / /

~ - ° -3 ...... o,o,

. . . . . . . . . o , 0 , ' 2

° 0 2Fig. 2. De mo nstral io n of eTR e 0 for .~" = 0.

I

0, 3

- T h e y i e l d s t r e s s c h a n g e s i n a l i n e a r w a y f r o m R t , a to R/ ,m,

R t ( t ' ) = ( 1 - i ' ) R t . a + [ R t . m

- g - 1 ( u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f t h e v a r i a n t s ) .

W i t h ( 8 a ) - ( 8 c ) , ( 9 a ) a n d a n a l o g o u s l y t o (1 2 a ) t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r i T R = ~ 3 c a n b e w r i t t e n a s

2 '~ 3 f 'n " f 2" rr / ' 2 . ( ~ 6 T R - - d c z ) s i n 0 d O d , d 6

-3 (1 - " [ ) R t a + i R t,- -- ~m r r2 = j j , ' . (14 a)• . ~ o ~ = o o~ ,, { [ ~ . + : : : ] _ - ~ i . . ] } ~ -

T h is r e l a t io n i s so lv ed ag a in n u m er i ca l ly f o r f ix ed t im e - p a r am e te r s i = i~K , 0 < K _< 1 00 , an d in v e r t ed to

i T R = f ( . ~ , R t , . R t , m , p , [ ) . ( 1 4 8 )

E q u a t io n ( 1 4 8 ) i s : i n t eg r a t ed n u m er i ca l ly ag a in . T h e r e su l t s a r e p r e sen ted a s f u l l cu r v es in F ig . 5 f o r

R L a = 25 0 N / m m z a n d R I, m b e i n g 5 0 0 , 8 0 0, 1 10 0 N / r a m z. T h e s t r es s "~3 v a r i es f r o m - 2 5 0 t o 2 5 0

N / m m z .

Table 1TRIP-s t ra in paramete r s e3 ,o, k 3

p unif orm distrib utio n "~o-restriction"

e3,o k3 e3,0 k3

- 0.75 0.006907 0.2866 0.011357 0.2201

- 0.5 0.002975 0.1837 0.005064 0.1911

- 0.36 0.001724 0.1674 - 0.002966 0.1913

0 0 0.1481 " 0 0.1942

1.25 0.002034 0.1248 0.003573 0.19743.0 0.002955 0.1119 0.005226 0.1964

• 5 / ~ 2 _ 3 2 1This agrees with the exact value g~o . ~1' •



10 F.D. Fischer , S .M. Schl iSgl / Me chanics o f Ma terials 21 (1995) 1- 23

i - - - p =-0,36

' , p=O

--*- - - p = 1 , 2 5

- - . -o p=3

0 , 2 4 - [ -

0 , 2 - .

0 , 1 6 •

0 , 1 2 !

0 , 0 8 -

0 , 0 4 - ~

. ~ ' , #

y - , # < ~/ ; ' /

- , / , ?

-1 -0,6 - 0 , 6 - 0 , 4 - 0 , 2

. . . . . . . 1

0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8

E"

- 0 , 0 8

s : / ; ;, / , . ,

l / ' i ' l '

, f t , / ' , ;

- 0 , 1 2 -

-0 , 16!

1I

-0,2

g.. ."~-restriction"

-0,24

F i g. 3. R e l a t i o n b e t w e e n t h e T R I P s t r a in e T R a n d t h e d i m e n s i o n l e s s s t r e s s E " f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e a n i s o t ro p y p a r a m e t e r p , g

c o r r e s l x ) n d s t o " p - r e s t r i c t i o n " .

For the isotropic case and the linear part of the ETR -- ~"~3 curve, Fis cher (1990, 1991) gave the following

relation for an average flow stress:

R[ =R/ , m 1 - Rt,m in . (14c)

For the sake of comparison, this constant value R 7 is also used instead of (1 - i ) R t , a + i R t , m in the case

of an anisotropic material. The corresponding curves can be seen as dotted lines in Fig. 5. They agree

very well with those due to (14b). Simplified calculat ions with R [ instead o f a variable flow stress are

justified as a consequence.



F.D. Fischer, S.M . Schl6gl / Mechanics of Materials 21 (1995) 1-23 11

3 . 1 .4 . P l a s t i c w o r k

T o g e t a n i d e a h o w m u c h p l a s ti c w o r k i s p e r f o r m e d a n d t o a l a rg e a m o u n t t u r n e d i n t o h e a t , t h e

s p e c i f ic p l a s t i c w o r k W ~ c a n b e c a l c u l a t e d e a s i l y . I t f o l l o w s w i th ( 5 ), ( 7 a ) a n d ( A . 2 )

' / 0 1 f 0 ' ( ' + ' P s ) ' d i " ( T d )/ = ~ : ~ p d t ' = A s : : 2 - 2 [ ' R 2 i

i c a n b e t a k e n f r o m ( 8 a ) , ( 8 b ) w i t h e 3 = e.r R = - 2 e I = - - 2 e 2. W i t h t h e a b b r e v i a t i o n /~ t f o r th e i n t e g r a l

/dR,h d? i t f o l l o w s

W; ~R I [~ET R 9- P - 2 --2= - 2 e c ' = e T R + 6 2 + 3 3 ' ] 1 + 4 p

P - 2 ~ i / 2

4 ( 1 + ½ p ) ( % 2 + 3,c.,,~) / ( 7 e )

( a ) 0 , 3 -

I

0,25 .

t~

' -~ 0 ,2

q, '~ 0,15

q .I

0,1

0,05 •

0

- o ~ 7 5

-0,05

. m _ _ • .

-0,25 0,25

a . . . . k 3 ~ • . . . E3,0

g = l

- - • t . . . . . . . . . . . . . . . •

0,75 1,25 1,75 2,25 2,75

P

3,25

( b ) o , 3

0,25

0,2 -

o

~ 0 , 1 5 -

•. i [ 3

£ T R - - - - E 3 , 0 "J7 k 3 G "

n . k 3 , . . . E3,0

L

0,1

0,05 g . . . " ~ - r e s t r i c t i o n "

.•

0 m U m - - - , • • ..... ! - - - - - l •

-0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75 2 ,25 2,75 3,25

-0,05 . p

Fig. 4 . (a) Param eters e30 and k 3 for the l inear ized re la t ion betwe en ~ 'TR and the dimen sionless s tress E " for di f ferent values ofthe anisot ropy param etel p , g -~ 1 . (b) Param eters e3,0 and k 3 for the l inear ized re la t ion betw een eT a and the dime nsionless s tressE" for di f ferent values of the anisot ropy param eter p , g cor respo nds to "p- res t r ic t ion" .



12 F.D. Fischer, S.M. S c h l 6 g l / M e c h a n i c s o f Materials 21 (1995) 1-2 3

0 ,24

0 ,2

" ' - ' - - - ~¢ R t ,, , , = 5 0 0 N / m m ~ R t , . = 2 5 0 N / m m 2

0 , 1 6 ~ - 9 = - 0 ' 3 6 /t

Rt ,~ = 8 0 0 N / m m 2 JJ. i

• 0 , 1 2 - A n " , t

0 0 ,

004 4

, I ~ ~ - ' ~, - - . - ~ - _ . , . . . . . . . ; . . . . ~ ~ . . . . . . { - - . . . . . . . . .

- 1 - 0 , 8 - 0 , 6 ~ , 4 ~ ; ~ 6 0 , 2 O A 0 , 6 0 , 8 ] E 1

- o 0 4 t _ R , , .

'~ i ' / / - 0 , 1 2 -J

• /

~ / ,

. - o ,1 6 i g = l

6=

-0 ,2 -

-0 ,24

F ig . 5 . Co mpa r ison o f TR IP s t ra in e .vR-2 " /R t .a -C Urves fo r a var iab le f low s t ress R I ( fu l l l ines) i n r e l a t i o n t o t h o s e f o r a n a v e r a g e

f l o w s t r e s s R t " ( d o t t e d l i n es ) , g =- 1 .

I f a l in e a r t i m e d e p e n d e n c e , R t = ( 1 - i ) R i . a + i R t . m , i s c o n s i d e r e d a g a i n , / ~ l c a n b e c a l c u l a t e d a s t h e

w e i g h t e d a v e r a g e

W ~ w a s e v a l u a t e d b o t h f o r g = 1 a n d t h e " y - r e s t r i c ti o n " a n d s h o w s a l m o s t t h e s a m e b e h a v i o r . W ~ / I ~

i s d e p i c t e d i n F i g . 6 i n r e l a t i o n to E * . W i t h a n a p p r o x i m a t i v e v a l u e o f 0 . 1 5 / ~ a t E ° = 0 . 5 t h e s p e c i f ic

p l as ti c w o r k W ~ r e a c h e s t h e r a t h e r hi g h v a l u e o f ca . 1 0 0 N m / m m 3, w h i c h i s a p p r o x i m a t e ly o n e t h i r d o f



F.D. Fischer, S.M. Schl6gl / M echanics o f Materials 21 (1995) 1 -23 13

0,3= p = 0

0 , 0 5

• - p = 3 ~ ,

g - 1

t t ! - - . j 0 0 . . . . t J I I i

- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 , 4 - 0 , 2 0 0 . 2 0 , 4 0 6 0 , 8 1

E "

F i g . 6 . D i m e n s i o n l e s s s p e c i f i c p l a s t i c w o r k W ~ / / ~ / i n r e l a t i o n t o t h e d i m e n s i o n l e s s s t r e s s v . f l) r d i f f e r e n t v a l u e s o f t h e a n i s o t r o p y

p a r a m e t e r p , g - ~ 1 .

t h e s p e c i f i c l a t e n t h e a t s e t f r e e d u r i n g m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n . U s u a l l y t h e l a t e n t h e a t d u e t o a

c h a n g e i n s p e c i f ic e n t r o p y i s m u c h m o r e i m p o r t a n t w i t h r e s p e c t t o h e a t p r o d u c t i o n t h a n p l a s t i fi c a t io n .

3 . 2 . T h e t r i a x i a l l o a d i n g c a s e

3 . 2 . 1 . N u m e r i c a l t e ~ t s

W e s t u d y t h e c a s e o f a t ri a x ia l I o a d s t r e s s s t a t e w i t h t h e p r i n c i p a l d i m e n s i o n l e s s s t r e s s e s , ~ f , 2 ' 2" , ~v3

a n d t h e p r i n c i p a l d e v i a t o r i c s t r a i n s e l , e 2 , e 3. A s a l r e a d y d o n e i n F i s c h e r ( 1 99 0 ) , a d e m o n s t r a t i o n o f t h c

r e s u l t s is p e r f o r m e d i n a S ( - S ° 3 p l a n e w i t h S ( , S ~'. b e i n g t h e d e v i a t o r c o m p o n c n t s , S ( + S 2 + S ; . = 0 ,c o r r e s p o n d i n g t o ., ~( , Z 2 * , Z ; . g - 1 is u s e d a s o r i e n t a t i o n d i s t r i b u t io n o f t h e m a r t e n s i t i c v a r i a n t s .

Fu r t h e r , an av e rag e y i e l d s t r e s s R t" i s i m p l e m en t ed , s ec (1 4 c ) . S i n ce i d ea l p l a s t i c i ty is f o l l o w e d , o n l y

t h o s e S ( , S ; a r e a d m i s s ib l e w h i ch d o n o t c n f o r c e p l a st ic f lo w an d , t h e r c f o r e , i n f in i te d e f o r m a t i o n s

b e f o r e t h e m a r t e n s i t i c t r a n s f o r m a t i o n . W i t h t h e y i e l d c o n d i t i o n ( A . 1 ) i t f o l l o w s

R 23 ( S I . 2 + S I , $ 3 , + S. 2) . + p ( 4 S I , 2 + 4 S ( $ 3 . + S ~ 2 ) _ R [ 2"ta- ( 1 5 )

E q . ( 15 ) d e s c r i b e s a r o t a t e d e l l ip s e i n t h e S l' - S ; p l a n e w i t h a n o r i g i n c o i n c i d i n g w it h t h a t o f t h e

c o o r d i n a t e s y s te m . F i g s. 7 a a n d 8 a d e m o n s t r a t e t h e l in e s e I = c o n s t . , e 3 = c o n s t , i n t h e S ( - S 3 p l a n e f o r

p = - 0 . 3 6 a n d p =: 3 .0 . T h e c o r r e s p o n d i n g g r a p h f o r p = 0 c a n b e t a k e n f r o m F i g. 3 ( F i s c h e r 1 99 0) .

D i f f e r e n t l o a d p a t h s a r e m a r k e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g l i ne s w i th t h e n u m b e r s 1 t o 7:

P a t h

P a t h

P a t h

P a t h

P a t h

P a t h

P a t h

1 , .~3 ÷ I ), Z l =-~2 = O, S~ = - 2 S ( ,

2 , Z] ~ O, "~2 = '~3 = O, S ; = - 1 / 2 S ( ,

3 , Z 2 ~ O , . Y ,] = " ~3 = O , S ~ = S l " ,

4 , ~ 'I = Y ,2 = Z , ~ 3 = O , S 3 = - 2 S ( ,

5 , "~2 = ~g3 = '~ , ~1 = 0 , S 3 = - 1 / 2 S f ,

6 , Z ~ = ~3 = 2 , .a~ 2 = 0 , S ; = SI* ,

7 , "~t, Z2 ~ 0 , ~3 = 0 , S ; = - ~ / at- S l*"



14 F.D. FLwher, S.M. SchliJgl / Mechani cs of MateriaL~ 21 (1995) 1- 23

F i g s. 7 b a n d 8 b s h o w t h e c o r r e s p o n d i n g a d m i s s i b l e r e g i o n s f o r S ( , S 3 d u c t o c o n d i t i o n ( 1 5 ) f o r t h e s a m e

d a t a R I . , ,, R I . m a s d e f i n e d i n S e c t i o n 3 . 1 . 3 .

T h e s t r o n g l y v a r y i n g i n f l u e n c e o f a n i s o t r o p y ( y i e l d s t r e s s R / i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n , R q i n th e2 2

t r a n s v e r s a l d i r e c t i o n , p = R t / R q - 1 ) c a n b e s t b e s e e n f r o m a n e l - e 3 g r a p h , s e e F i g . 9 , f o r t h e d i f f e r e n t

p a t h s ( P a t h I = P a t h 4 , P a t h 2 = P a t h 5 , P a t h 3 = P a t h 6 ) a n d t w o a n i s o t r o p y p a r a m e t e r s O = - 0 . 3 6 ,

p = 3 . 0 w i t h g = 1 .

I f t h c s p e c i m e n i s l o a d e d i n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n ( P a t h 1 ) , n o s i g n i f ic a n t d i f f e r e n c e i n t h e

i s o t r o p ic c a s e c a n b c f o u n d in t h e T R I P s t ra i n c o m p o n e n t s . H o w e v e r , f o r a l o a d i n g i n t h e t ra n s v e r s a l

d i r e c t io n ( P a t h 2 an d P a t h 3 ) , th e a n i s o t r o p y e f f e c t c a n b y n o m e a n s b e n e g l e c t e d .

( a )

O'1'

2 '

3 '

,t I

,~/

~ = 0 . 0 p = -0 ,3 6 0" : ¢:~ = 0 , 0

e l = 0 . 0 ' 1 I - - 1 " : ~ 3 = 0 . 0 t

~ l = 0 . 0 8 2 " : e a = 0 . 0 8

~1 = 0 . 1 3 ~ " ~ 3 " : ~ 3 = 0 . 1 3

e l = 0 . 2 1 0 , 8 ~ - , t , ,: ~ 3 = 0 , 2

q = 0 . 3 \ / 5" : ~:~ = 0 , 35t n

-I s ; 1

i ' : ~l -. v,,,-. -u, t s ~ - . • , :~ - -0 ,0 4

' 2' : e l = - 0 , 0 8 ; 2 " : ~:~ = - 0 , 0 8

3 ' : q = - 0 , 1 3 j 3 " : c a = - 0 , 1 3

4 ' : ~ 1 = - 0 , 2 -1 ~ / l " : ~ s = - 0 , 2

~ ' : e , = - O . a g = 1 : i" : ~ 3 = - 0 , 3

F i g . 7 . ( a ) C u r v e s o f c o n s t a n t T R I P s t r a i n s e l , e 3 in t h e d ev ia t o r ic S ( - S f p l a n e , g --- 1 a n d p = - 0 . 3 6 . T h e l i n e s 1 to 7 r e p r e s e n t

d i f f e r e n t l o a d i n g p a t h s . ( b ) R e g i o n s f o r a d m i s s i b l e S ( , S ~ in t h e d ev ia t o r ic S l ' - S ~ p l a n e , g ~- 1 a n d p = - 0 . 3 6 . T h e d i f f e r e n t

c u r v e s b e l o n g t o d if f e r e n t f l o w s t r e s s v a l u e s R t , m o f m a r t e n s i te . F l o w s t r e s s R t , a o f a u s t e n i t e i s 2 5 0 N / m m z .



F. D. F i scher, S . M. Sch l6g l / Me chanics o f Mater ia l s 21 (1995) 1 -2 3 15

( b )

Rt,. = 250 N / r a m 2

. J

/

\

• " ; . . . . . . ) ' " " " . . . . . 0

" ' \ " \ X \

- o , 8 \-o,:~,,,, - o , 2

'" ~-0,2\.- \

\

" -0,4

[ . ;

- 1 1

1

~ , 1: R t,,~ = l l O O N / m m 2

8 0,8 2: Rt,,~ = 800 N / r n m ~

3: R~,,~ = 50ON/turn 2

' . . . . .

0 , 6 ..... ~ "- . . 4 - . " - 4 " R i , m = 2 5 0 N /r am 2

/ " 0 .4 " " ---3 "\~

i ' . / / 0 . 2 " " \ \ , \ , \ " ' ,

, : / , ' . ( \ . . \', \ X \ , \",\

. . . . . X i ' > ' • - ~ ) ,

0 0 , 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 ' , , ST• i

-0.6

/ /

p = - 0 , 3 6 -0 .s

-1

F i g . 7 ( c o n t i n u e d ) .

g = l

3 . 2 . 2 . L m e a r i z a t i o n

A l t h o u g h a h i g h ly n o n l i n e a r p r o b l e m e x is ts , i t is a g a i n s u r p r i s i n g t h a t f o r a T R I P s t r a in l ev e l u p t o

0 . 0 4 ( a n d w i t h s o m e i n a c c u r a c y u p t o 0 . 0 8 ) a n a l m o s t l i n e a r r e l a t io n e x i s ts b e t w e e n t h e c o m p o n e n t s o f

t h e T R I P s t r a i n a n d t h o s e o f t h e d i m e n s i o n l e s s d e v i a t o r . T h i s al lo w s o n e t o w r it e t h e f o l l o w i n g r e l a t io n s

u s i n g E q . ( 1 3 a ) f o r a u n i a x i a i t e s t i n t h c 3 - d i r e c t i o n , a n d u s i n g e q u a t i o n ( 1 3 b ) f o r t h e u n i a x i a l t e s t in t h e

l - d i r e c t i o n ,

s , - - e , , o ( p ) + k l ( p ) E ? , ( 1 3 b )

k e e p i n g i n m i n d t h a t e l , o , e3 .0 , k l, k 3 a r e f u n c t i o n s o f p :

- - ~ k 3 )I = e l , 0 + ( 2 / : ,

e 2 = e 2 , 0 - - ( 2 k l l- 2 k 3 )

S ~ " + ( k ~ - k O S ; ,

+ 2 ) s ; '

3 k 3e 3 = e3, 0 + 0 SI* + ---~--S 3 .

~ 1 , 0 = / ~ 2 , 0 ,

( 1 6 a )

( 1 6 b )

( 1 6 c )



1 6 F .D . FL s 'ch er , S .M. S ch l i i g l / Me ch a n i c s o f Ma t er i a l s 2 1 (1 9 9 5 ) 1 - 2 3

B y i n t r o d u c in g t h e s t re s s c o m p o n e n t s E ( , E 2 , E j i n s te a d o f S ( , S ~ E q s . ( 1 6 a ) - ( 1 6 c ) c a n b e e x p r e s s e d a s

e l = e l , o + k l E l , _ ( k 1 _ ~ k 3 ) ~ 2 1, _ ~ k 3 E1 *, (17a)

e 2 = e 2 . ( ) - k , - - ~ E ( +k , E ; - - - ~E . ~ , e l.(,=e2, , ( 1 7 b )

1 - . l . . e l , o ( 1 7 c )e3 = e3 .0 - 7k3Y, l - ~ k .~Ez + k3 E3 ' , e3 ' ° - 2

A d i f f e r e n t g r o u p i n g o f t h e r i g h t - h a n d s i d e o f ( 1 7 a ) - ( 1 7 c ) l e a d s t o t h e f o l l o w i n g m a t r i x r e l a t i o n w i t h t h e

( a )0' : ( l = 0, 0 p = 3 0" : ~3 = 0, 0

1 ' : ( l = 0 ,0 4 1 , 1" : (3 = .0 ,0 4

• ~ - 2 " : e 3 = 0 , 0 8' : ~ 1 = 0 . 0 8 ~ ,,

3 ' :~ 1 = 0 , 1 3 J 3 " : ( 3 = 0 , 1 3

4 ' : ( 1 = 0 , 2 1 0 .8 , ~ - 4 " : ( 3 = 0 , 2

5' : ~1 = 0, 3 5" : e3 = 0, 3

5 ~

-0.8 -0.6 -C 5 0,8 S~

'\ \

] ' : s t = - ( I , 0 4 -0 ,8 -~ - 4 ] " : e :, = -0 ,0 4

2 ' : ( 1 = - 0 , 0 8 / ; 2 " : e a = - 0 , 0 8

.3' : ~1 = -0 ,1 3 ] 3" : ( a = -0 ,1 3

; l ' : e l = -0 ,2 -1 _ t_ 3 , " : e 3 = -0 ,2

5 ' : e l = - 0 , 3 g - - 1 , 5 " : c a = - 0 , 3

F i g . 8. ( a ) C u r v e s o f c o n s t a n t T R I P s t r a i n s i n t h e d e v i a t o r i c S l" - S 3" p l a n e , g --- 1 a n d p = 3 .0 . T h e l i n e s 1 t o 7 r e p r e s e n t d i f f e r e n t

l o a d i n g p a t h s . ( b ) R e g i o n s f o r a d m i s s i b l e S I ' , S [ i n t h e d e v i a t o r i c S I - S 3. p l a n e , g - = 1 a n d p = 3 .0 . T h e d i f f e r e n t c u r v e s b e l o n g t o

d i f f e r e n t f l o w s t r e s s v a l u e s R / . m o f m a r t e n s i t e . F l o w s t r e s s RI . a o f a u s t e n i t e i s 2 5 0 N / r a m 2.



F.D.FLwher, .M. c h l 6 g l / M e c h a n i c s o f M a t e r i a l s 21 (1995)1-23 17

( b )

- 1 - 0 , 8 - 0 , 6

R 4,. = 2 5 0 N / r a m 2

1 : Rt,~ = l l O O N / m m ~

0 , 8 2 : Rt,m = 8 0 0 N / r n m ~

3 : R t ,~ = 5 0 0 N / r a m :. . . . . . !

~ ~,] 4 Rt. , ,~ 2 5 0 N / m m 2, :

\ ', i ( ' \ \ ] ' , , \

, ' ,x, \ \,

\ ' ~ \ I ' ,5 ", ',

- o , 4 - ~ 2 \ \ \ o ' , ~ : ~ 0 4 0 6 o 8~x \ \ \\ ' '. ', ',

~9 ,z \ ~ - , , , . . .\ \, \\ ~ . • ..

~ \ \ _ .. ~ ,

• !

- 0 , 4 \ \ \, \

', \

\ , \

\ .

- 0 , 6 " \\

1s;

p = 3 - 0, 8 g = l

° 1 - -

F i g . 8 ( c o n t i n u e d ) .

v e c t o r s E T R = ( E l , F 2 , 6 " 3 ) , _ T = ( E l , 0 , E 2 , 0 ' E 3 , 0 ) , a n d _ ~ . T

"transposed":

= ( 2 ( , E ~ , E 3 ) , t h e su p e rs c ri p t T m e a n s

1 2 - -2

I 1_6T R = _6 0 - ] - k 3 - - ~ 1 -

l l2 2

[ 1 1 i ]_E* + ( k , - k 3 ) - 1 1 "_ 2 ". ( 1 8 a )

0 0

I f w e in troduc e the dev iator _S" analo gously to __,_E', and the v ec tor ~ " = [S~ - S 2 ,

a n a lo g o u s ly t o th e t e n so r g in A p p e n d ix A , t h e f o l l o w in g r e la t io n c a n b e w r i t te n :

- s ? + s ; , 0 ]

3 *£ T g = g o ( P ) + - ~ k3 (p )S - + ( k , ( p ) - k 3 ( p ) ) _ S " ; ( 1 8 b )

5 / ~ 2 3 2p = 0 : e o ( p ) = 0 , k l = k 3 = ~ V u + iT •

N o w t h e q u e s t io n a r is e s w h e t h e r t h e r e la t io n s ( 1 8 a ) , ( 1 8 b ) c a n b e e x t e n d e d t o a g e n e r a l s t r ain s ta t e

eVVR = ( r x , e y , e ~ , e ~ y , e x z , e y e ) a n d a g e n e r a l s t r es s s t a t e _ ~ 'T = ( 2 ; , 2 ; , E~ ' , T x ~ ., T ~ , T y ~ ) w i t h T ~ y ,



18 I.D . Fischer, S.M. Schlb'gl / M echanics o f Materials 21 (1q95) 1-2 3

o 0 '3 , . . ~ - ~ .

p a t h - , 1 , 4 " - , . . , ~ ~ ,'" ~

'l l r

. . . . . ~ "~ 0 ,1 '. ~ , -'. . . . * , ; / . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . •

t -- I - - - - + - - ~ - - ~ - ~ . . . . ~ , .. I . . . . . . . . . q

- 0 , 3 - 0 , 2 . .. .. . - . - - - ~ , t " ~ . . .. . . . ,'~ , N N ~ " ~ " - L . 3 ~ _ 0,2 '3 0,3

_ ~ - - } p = 3 " i '. " " - - .

A• / - 0 , 3 -

• I p - - -0 ,3 6

,L

Fig . 9 . Almos t l inea r e I, e 3 r e l a t ions fo r d i f f e ren t load ing pa ths de pend ing on the an i so t ropy pa ram e te r p = -0 . 36 and p = 3 .0 .

T .,~ , T ~.': b e i n g t h e d i m e n s i o n l e s s m a s c r o s c o p i c s h e a r s t r e s s e s o n a u n i t c u b e o f t h e a n i s o t r o p i c m a t e r i a l .I t i s e a s y t o c h e c k t h i s f o r Tx" . s i n c e i s o tr o p y e xi s ts in t h e x - y p l a n e . A p p l y i n g M o h r ' s c i r c le b y

c o n s i d e r i n g t h e l o a d s t r e s s s t a t e T ~ a n d u s i n g ( 1 7a ) , ( 1 7 b ) i m m e d i a t e l y l e a d s t o t h e r e l a t i o n

3 *e , : . = ~k3Txy + 2 (k ] - ka)T~ ; . . ( 1 9 a )

S u c h a s i m p l e r e l a t i o n , h o w e v e r , c a n n o t b e w r i t t e n f o r T x ~ , Tv~ s i n c e t h e x - y o r x - z p l a n e , r e s p e c t i v e l y ,

is n o w a n " a n i s o t r o p y p l a n e " . T h i s c a n a l s o b e s e e n f r o m A p p e n d i x B , r e l a t i o n ( B .5 ) . S i n c e t h e p r i n c i p a l

s t r e s s e s d u e t o T x ~ , Ty~ a r e o p e r a t i v e i n d i r e c t i o n s w i t h n o r m a l v e c t o r s o f 4 5 ° t o t h e g l o b a l z - a x i s, t h e

a n g l e s Y ],Y 2 ,Y 3 (f o r d e f i n i t i o n s e e A p p e n d i x B ) a r e 4 5 ° , 9 0 ° , 4 5 ° l e a d i n g t o a y i e l d c o n d i t i o n o f t h e t y p e]

½(1 + p X o r 2 - 0"3 2 + ~-(Or - - 0"])2 + ½(1 + f i X 0 . 1 - 0"3 2 w i t h r e s p e c t t o t h e c o o r d i n a t e s y s t e m o f t h e p r i n c i -

p a l s t re s s e s . H o w e v e r , t h i s y ie l d c o n d i t io n d i f fe r s f r o m ( A . 1 ) o n w h i c h t h e f o r m e r d e r i v a t i o n s w e r e b a s e d .

F o r a c o m b i n a t i o n o f g l o b a l n o r m a l a n d s h e a r s t r e s s e s it c a n a g a i n b e s e e n f r o m ( B . 5) th a t t h e t r a n s v e r s a l

i s o t ro p y d i s a p p e a r s w i t h r e s p e c t t o a n y o n e o f t h e p r i n c i p a l s t r e s s a x e s s in c e Y ~ , Y 2 , Y 3 u s u a l l y a r e

d i f f e r e n t a n g l e s .

A d i r e c t r e l a t i o n b e t w e e n a g l o b a l s h e a r s t r e ss T x~ a n d t h e T R I P - s t r a i n t e n s o r c o m p o n e n t s e x , e z a n d

e x z c a n o n l y b e f o u n d b y a n a n a l y s i s e x p l a i n e d i n S e c t i o n 2 . 2 , c o n s i d e r i n g , h o w e v e r , t h a t ( s x / R ; ) = 0,

( s : / R ; ) = 0 , s ee ( 9 a ,b ) , an d ( ~ x z / R t ' ) = T ~ '~ ( 'r xJ R ; ) i s n o t e x p r e s s e d i n S e c t i o n 2 .2 b u t c a n b e

e v a l u a t e d w i t h t h e s a m e p r o c e d u r e a s t h e o t h e r l o c al s t r e s s t e n s o r c o m p o n e n t s s x, e t c . S u c h a n

i n v es t ig a t io n h a s n o t y e t b e e n p e r f o r m e d u p t o n o w a n d w ill b e p o s t p o n e d t o a f u t u r e e x p e r i m e n t a l / a n a -

l yt ic a l p r o g r a m f o r t h in t u b e s u n d e r n o r m a l l o a d a n d s h e a r .

H o w e v e r , d u e t o t h e p r o p e r r e l a t i o n s b e t w e e n n o r m a l s t r e s s e s a n d s t r a i n s , s e e ( 1 8 a ) , ( 1 8 b ) , a n d t h e



KD. Fischer, S.M. Schl6gl Mechanics of Materials 21 (1995) 1-23 19

s h e a r s t r a i n r e l a t i o n ( 1 9 a ), t h e f o l l o w i n g t e n s o r i a l r e l a t i o n b e t w e e n t h e T R I P s t r a i n t e n s o r _ eTR a n d t h e

d i m e n s i o n l e s s s t re s s d e v i a to r S ' c a n b e s u g g e st e d :

3 *

_ETR = _E0 + ~k3 S + (k I - k3)_S" ' _e0 = [ 0 0 0 1 i s so .o o ' = / 2 T , ; s ; - s :

o ~,o [ ½rx ; ~T,;

( 1 8 c )

3 1

W i t h r e s p e c t t o th e: f a c t o r s ~ i n c o n n e c t i o n t o k 3 a n d 2 re s p . ~ t o (k ~ - k 3 ) , o n e m a y n o w a d m i t t h a t t h e

S " , _ S " v e c t o r s c a n b e e x t e n d e d t o v e c t o r s w i t h 6 c o m p o n e n t s ,

_S" = (S~" Sy" ,S~" ,T~; ,T~; ,Ty~ ), (2 0a )

" 9 T " ' T " ' T ' ) , ( 2 0 b )" = ( s ; - s ; , - S x + s ; , o , - .x ~ , ~ . ~ z , ~ . .

" o b v i o u s l y is t h e a n a l o g o u s v e c t o r t o t h e t e n s o r S in t h e A p p e n d i x A .

T h i s m e a n s t h a t r e l a t i o n ( 1 8 b ) c a n a l s o b e u s e d F o r t h e g e n e r a l l o a d s t r e s s s t a t e . H o w e v e r , t h e v e c t o r

_% i s a s s u m e d t o h a v e t h e c o m p o n e n t s

_ ~T = (~ . 1 ,0 ,E 2 . ( , , £ 3 .0 ,0 , 0 ,0 ) , E l . 0 -{ - e2 , 0 q - E3 , 0 = 0 . ( 2 0 c )

R e l a t i o n s ( 1 8 b ) a n d ( 1 8 c ) c a n n o w b e e x t e n d e d t o t a k e i n t o a c c o u n t a c e r t a i n v o l u m e f r a c t i o n ~: o f

m a r t e n s i t e a s w a s a l r e a d y d o n e b y v a r i o u s r e s e a r c h e r s i n t h e p a s t , f o r a n o v e r v i e w se e D e n i s e t a l. ( 1 9 89 ) .

I n t h e i r i n c r e m e n t a l f o r m t h e y r e a d n o w

-eTR = [-% + -32k3-S" + ( k , - k 3) _S " ] d ~ ) ( , ( 1 8 b )

~ T R = [ ~ 0 + 3 k 3 S ' + ( k x - k 3 ) _ s * l d ~ - J ) s_ - . ( 1 8 c )

T h e c o n s t a n t s k 1, J¢3 as w e l l a s th e c o m p o n e n t s o f _ %, _% a r e f u n c t i o n s o f t h e a n i s o t r o p y f a c t o r p a n d a r e

d e f i n e d a b o v e . T h e m o n o t o n i c f u n c t i o n q ~(s ) m u s t - l i e i n t h e i n t e r v a l 0 < q ~ ( ~ ) < 1 f o r 0 _ < ~ _< 1.

P r o p o s a l s f o r ~ p(s ) c a n a l s o b e t a k e n f r o m D e n i s e t a l. ( 1 98 9 ) .

~ TR o r -~ TR c a n n o w b e a d d e d a s a n a d d i t i o n a l s t r a i n r a t e t e r m t o t h e " c l a s s i c a l " p l a s ti c s t r a i n r a t e

t e r m a s i t ~ va s, e . g. p r o p o s e d b y L e b l o n d ( 1 9 8 6 a , b )

3.2.3. Some comments on experiments

O n l y f e w e x p e r i m e n t a l r e p o r t s o n t h e a n i s o t r o p y e f f e c t o n T R I P e x is t in t h e l i t e r a t u re . L e b l o n d ( 1 9 9 2 )

i n f o r m e d t h e a u t h o r s o f s o m e i n t e r e s t i n g r e s u l t s o n l o w - a l l o y f o r g e d c y l i n d r i c a l s p e c i m e n s w i t h s i g n i f i -

c a n t ly e l o n g a t e d g r a in s . W h e n t h e g r a i n s w e r e o r t h o g o n a l t o t h e s p e c i m e n a xi s t h e m a t e r i a l b e h a v e d ,

m a c r o s c o p i c a l l y s p e a k i n g , i s o t r o p i c a l ly d u r i n g a f u l l t e m p e r a t u r e c y c le . B u t w h e n e v e r t h e g r a i n s w e r e

p a r a l l e l t o t h e a x i s t h e s p e c i m e n d i d n o t r e c o v e r i t s o r i g i n a l l e n g t h a f t e r a f u l l t e m p e r a t u r e c y c l e .

H o w e v e r , n o q u a r t t i t a t i v e d a t a h a v e b e e n c o m m u n i c a t e d u p t o n o w . M o t i v a t e d b y t h i s o b s e r v a t i o n ,

t u b u l a r s p e c i m e n s w i t h t h e i r a x i s i n t h e d i r e c t i o n o f l o n g i t u d i n a l f o r g e d r o d s o f l o w c a r b o n ( C < 0 . 0 3 % ) ,

1 1 % N i - s t e e l w e r e s u b j e c t e d t o a f e w t h e r m a l c y c l e s w i t h o u t a n y l o a d a p p l i e d . A f t e r h e a t i n g t o 8 30 ° C

a n d h o l d i n g th i s te m p e r a t u r e f o r 1 0 m i n . t h e y w e r e q u e n c h e d t o r o o m t e m p e r a t u r e . B r o z y n a (1 9 9 4)



20 F.D. Fi scher, S .M. Schl6gl / Mec hanics o f Mater ia l s 21 (1995) 1-2 3

i n d e e d f o u n d a n i r r e v e r s i b l e e l o n g a t i o n o f e 3 ,0 = 0 .0 0 2 p e r c y c l e. T h i s a g r e e s w e l l w i t h t h e c a l c u l a t e d

s t ra i n f o r p ~ - 0 . 4 , s e e F i g. 2 w i th Z * = 0. F u r t h e r e x p e r i m e n t s a r e u n d e r p r e p a r a t i o n f o r t h e s a m e

t u b e t y p e , h o w e v e r , u n d e r a n e x t e r n a l p r e s s u r e a n d a l o n g i t u d i n a l l o a d .

F i n a l l y i t i s r e f e r r e d t o t h e e x p e r i m e n t a l w o r k b y S a t t l e r a n d W a s s e r m a n n ( 1 9 7 2 ) . T h e y i n v e s t i g a t e d

t e n s i o n s p e c i m e n s f r o m a p l a t e w i t h a p r o n o u n c e d r o l li n g te x t u r e , ( 11 2 )[ 1 l ~ ] + ( 0 1 1 ) [ 2 1] ] . T h e s p e c i m e n s

w e r e c u t o u t o f t h e p l a t e u n d e r d i f f e r e n t a n g l e s a i n t h e r o l l in g d i r e c t i o n a n d l o a d e d b y a s t r e ss ,~ in

t h e i r l e n g t h d i r e c t i o n . H o w e v e r , d u e t o a l a c k o f i n f o r m a t i o n i t i s n o t p o s s i b l e t o r e l a t e t h i s t y p e o f

a n i s o t r o p y t o a s p e c i f ic v a l u e o f p . D i f f e r e n t a n g l e s a l c a d t o d i f f e r e n t c o m b i n a t i o n s , ~ , , ~ :, T xz d u e t o

M o h r ' s c i r c l e i f o n e d e f i n e s t h e x d i r e c t i o n a s t h e r o l li n g d i r e c t i o n a n d t h e z a x i s a s th e w i d t h d i r e c t i o n

o f t h e p l a t e .

I t is i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t u p t o a n e T a - v a l u e ( m e a s u r e d i n t h e s p e c i m e n l e n g t h d i r e c t i o n ) s m a l l e r

t h a n 0 . 06 a l in e a r r e l a t i o n b e t w e e n E TR a n d Z c a n b c e n v i s a g e d . T h i s c l e a r l y p o i n t s t o a l i n e a r

s u p e r p o s i t i o n o f t h e T R I P s t r a in ! A d d i t i o n a l l y , a c e r t a i n b u t s m a l l s t r e s s s t a t e e x i st s f o r eT R = 0. B o t h

e f f e c t s a p p e a r i n t h is s c m i a n a l y t i c a l s t u d y a s w e l l w h i c h , a t l e a s t, i n d i c a t e s a q u a l i t a t iv e l y c o r r e c t r e s u l t!

I t m a y b e , h o w e v e r , o f i m p o r t a n c e t h a t s p e c i f i c a ll y f o r Z l e a d i n g a l r e a d y t o a p l a s t if i c a t io n o f t h e

a u s t e n i t c , o n l y v e r y f e w m a r t e n s i t e v a r i a n t s ( s o m e t i m e s o n l y 2 ! ) e x is t . T h i s m e a n s t h a t i n a d d i t i o n t oa c c o m m o d a t i o n a n o r i e n t a t i o n e f f e c t a p p e a r s .

F i n a l l y i t m u s t b e s a i d t h a t e v e n t h o u g h t h e r e s e a r c h o f S a t t l e r a n d W a s s e r m a n n ( 1 9 7 2 ) c e r t a i n l y i s o f

t h e p i o n e e r i n g k i n d , f u r t h e r a n d b e t t e r d o c u m e n t e d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i l l b e n e c e s s a r y t o c h e c k t h e

i n f lu e n c e o f a n i so t r o p y o n T R I P in s p e c i m e n s m a c h i n e d f r o m r o l l e d p la t e s.

4 . C o n c l u s i o n

T h e i n f l u e n c e o f t r a n s v e r s e i s o t r o p y (w h i c h i s a s p e c i a l k i n d o f o r t h o t r o p i c a n i s o t r o p y f o u n d , e . g . in

f o r g e d l o n g i t u d i n a l s p e c i m e n s ) o n t h e t r a n s f o r m a t i o n s t r a in is n o t v e r y si g n i f ic a n t in t h e u n i a x i a l l o a d i n g

c a s e i f t h e s p e c i m e n is lo a d e d i n t h e l o n g i t u d i n a l a n i s o t r o p y d i r e c t i o n . H o w e v e r , i n s o m e t r i a x ia l l o a ds t r e s s c a s e s a s w e l l a s f o r a u n i a x i a l l o a d i n g i n t h e t r a n s v e r s e d i r e c t i o n , t h e a n i s o t r o p y c o n t r i b u t e s t o t h e

T R I P s t r a i n s m u c h m o r e s i g n i f ic a n t ly , ( 1 8c ) . A s a g e n e r a l r u l e , a m o d i f i e d T R I P s t r a in t e n s o r is p r o p o s e d

f o r th is s p e c ia l o r t h o t r o p i c a n i s o t r o p y w h ic h c o n s is t s o f t h r e e " s u b t e n s o r s " . O n e " s u b t e n s o r " is

" s t a n d a r d " a n d p r o p o r t i o n a l t o th e s t re s s d e v ia t o r S ' . A f u r t h e r " s u b t e n s o r " r e f le c t s t h e a n i s o tr o p y in

t h e c a s e o f n o e x t e r n a l l o a d i n g ( e 0 ). T h e t h i r d t en ~- or ( k I - k 3 ) _S" r e p r e s e n t s t h e " c o u p l i n g " b e t w e e n

t h e l o a d s t r c s s s t a t e a n d t h e o r t h 6 t r o p i c a n i s o t r o p y . O f c o u r s e , i fi t h e c a s e o f a g e n e r a l a n i s o t r o p y t h e

t h i r d t e n s o r m u s t o b v i o u s l y b e m o d i f i e d . T h i s w i ll r e q u i r e f u r t h e r s t u d ie s , t h o u g h .

A c k n o w l e d g e m e n t

T h e p r o j e c t w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e " C h r i s t i a n D o p p l e r L a b o r a t o r i u m f o r M i c r o m e c h a n i c s o f

M a t e r i a ls " w h i c h is s p o n s o r e d b y th e f o r m e r A u s t r i a n I n d u s t ri e s , a s w e l l a s b y t h e A u s t r i a n F e d e r a l

M i n i s t e r y o f S c i e n c e a n d R e s e a r c h c o n c e r n i n g t h e p r o j e c t " E x p e r i m e n t a l M a t e r i a l L a w - V e r i f i c a t i o n " ,

p r o j e c t n u m b e r G Z 4 9 . 8 0 9 / 3 - 2 4 / 9 2 . T h e s e s u p p o r t s a r e g r a t e fu l l y a c k n o w l e d g e d .

T h e a u t h o r s f u r t h e r a p p r e c i a t e t h e d i s c u s s i o n s w i t h F r a n z M a r k e t z , P h . D . s t u d e n t a t t h e I n s t i t u t e o f

M e c h a n i c s , U n i v e r s i t y f o r M i n i n g a n d M e t a l l u r g y , L e o b e n , s p e c i f ic a l l y o n t h e p h y s i c s o f m a r t e n s i t i c

t r a n s f o r m a t i o n s .

F i n a l l y t h e a u t h o r s w a n t t o e x p r e s s t h e i r t h a n k s t o P r o f . H . P . S t i J w e a n d D o z . B . O r t n e r w h o a r e

c u r r e n t l y p e r f o r m i n g a n e x t e n si v e e x p e r i m e n t a l p r o g r a m o n b i a x ia ll y l o a d e d t r a n s f o r m i n g s p e c i m e n s .



F.D. Fischer, S.M . Schli igl Mech anics of Ma terials 21 (1995) 1-2 3 21

A p p e n d i x A . A n i s o t r o p i c p l a s t i c i t y

T h e c l a s s i c a l a n i s o t r o p i c y i e l d c o n d i t i o n i s g i v e n b y H i l l ( s e c , e . g . 1 9 5 0 ) ,

) 2F ( t r y - t r~ + G ( t r ~ - o ~ ) 2 + H ( ~ - tr y, )2 + 2 L ~ . 2 + 2 M 7 " ~ + 2 N T " ~ y - 1 = 0

f o r m o n o t o n i c s t r e s s i n g ( i. e . w i t h o u t a B a u s c h i n g e r e f f e c t ) is t h e s t a r t i n g r e l a t i o n . R t is t h e y i e l d s t r e s s i n

t h e l o n g i t u d i n a l ( z - ) d i r e c t i o n w h i c h c o i n c i d e s w i t h t h e s p e c i m e n a xi s. R q i s t h e y i e l d s t r e s s i n t h e x - y

p l a n e , i .e ., in t h e t ra n s v e r s e d i r e c t io n . D u e t o t hi s a s s u m p t i o n t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s f o r F , G , H c a n b e

w r i t t e n :

t r ~ = ~ = 0 , t r . = R l F + G = I / R ~ ,

o ' ~ = R c , t r y = t r y = 0 G + H = I / R 2 ,

c r y = 0 , c r y = R q , t r z = 0 F + H = I / R 2 q ,

w i t h t h e r e s u l t

11 2 1 2 1 2

F = ~ R t , G = T R t , H = ---5 - ~ R t .R q

A p u r e s h e a r t e s t ( 7 -x r = z , t rx = t ry = t rz = % z = ry~ = 0) de l iv ers 2 N z 2 - 1 = 0 . D u e t o M o h r ' s c i r c l e t h is

tes t i s equ iv al en t to t r l = +7- , t r2 = -7 - , t r3 = 0, 7-12 = 7"13= 7"23 = 0 if o n e c o n s i d e r s t h e 1 - d i r e c t i o n a t a n

a n g l e o f 4 5 ° t o t h e x - d i r e c t i o n . D u e t o t h e a x i a l s y m m e t r y w i t h r e s p e c t t o t h e z ( o r 3 ) - ax i s it f o l l o w s

FT" 2 + GT" 2 + H4 7" 2 - 1 = 0.

T h i s a l l o w s t o c a l c u l a t e 7"2 a s 1 / ( 4 / R ~ - 1 / R 2 ) r e s u l t in g i n 2 N = 4 / R 2 - 1 / R 2 . A s i m i l a r p r o c e d u r e

a l l o w s t o w r i t e

2 M = 2 / R 2 + l /R 2 q , 2 L = 2 / R 2 + 1 / R 2 q .

N o w t h e y i e ld c o n d i t i o n c a n b e w r i t t e n w i t h p ( 2 2R I / R q ) - 1 as

_ _ 2 = R 2 .2 + ( 3 + p ) 7 - 2 + ( 3 + 4 p ) % y- ( t r y t r . ) 2 + ~ ( t r z o ' ~ ) 2 + ( { - + p ) ( o ' , : - t r y ) 2 + ( 3 + , o ) 7 " y ~

( a . 1 )

T h e r e a r e c e r t a i n r e s t r i c t io n s o n t h e f a c t o r p . D u e t o t h e e q u i v a l e n c e o f s o m e s l ip s y s te m s , t h e r a t io

R t / R q f o r a f c c s i n g l e c ry s t a l c a n b e 2 a t m a x i m u m , s e e , e . g . D i e t e r ( 1 9 6 1 ). T h e r e f o r e , P m a x is a s s u m e d t o1

b e 3 . O n t h e o t h e r h a n d , f o r R J R q < ~ t h e c o n v e x i t y o f th e y i e l d s u r f a c e i s l o s t, s e e , e . g . S t ii w e ( 1 9 7 4 ) ,

l e a d i n g t o P m i n -- - ' 0 " 7 5 a n d , t h e r e f o r e , - 0 . 7 5 < p _< 3 .0 . T h e s t r e ss d e v i a t o r t e n s o r s is i n t r o d u c e d a s1

t r = s + 3 ( tr ~ + tr y + t r ~ )l . A s e c o n d d e v i a t o r i c t e n s o r g_ i s d e f i n e d a s

2 7 " . ]| 2 7 " . .

77"yz 0

T h e y i e ld c o n d i t i o n c a n b e w r i t t e n a s

e ( t r ) - o , - 0 . 7 5 < p < 3 .0 . ( , , . 2 )



22 F. D. F i scher, S . M. Sch l6g l / M echan ics o f Mater ia l s 21 (1995) 1 -23

T h e p l a s t ic s t r a in i n c r e m e n t i s f o u n d b y th e r e l a t i o n ~ p

d i f f e r e n t i a t e d , e . g .

OF= - - + + -

= ~0 F / O _ o - . T o ach i ev e t h i s , ( A .1 ) m u s t b e

a F- - = ( 3 + p ) r y z ,O~'yz

2 1 2 2no te ryz = ~(~yz + ~ '~) - Us ing the te ns or s aga in l ead s to

T h e s p e c i f i c p la s t i c w o r k i n c r e m e n t f o l l o w s w i t h ( A . 2 ) as

+

a n d , d u e t o t h e s e c o n d l aw o f t h e r m o d y n a m i c s , t o t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n

,~ >__ 0~

( A . 3 )

A p p e n d i x B . G e n e r a l y i e l d i ng

I f w e a s s u m e a p r i n c i p a l s t r e s s o - t o b e o p e r a t i v e i n t h e d i r e c t i o n o f a u n i t v e c t o r n I w i t h t h e

c o m p o n e n t s n T = ( c o s a l, c o s / 3 I, c o s y l ) , wi th co s2 a l + c0 s2 /3 1 + co s2 3 '1 = 1 , s t a n d a r d t e n s o r t r a n s f o r m a -

t i o n l e a d s t o t h e c o r r e s p o n d i n g s t r e s s t e n s o r _ a i n t h e g l o b a l c o o r d i n a t e s y s t e m :

COS 2 0 ' 1 COS O' l COS /31 COS O~1 COS T1

i f = o " t co s a I co s / 3 1 co s 2 / 3 co s / 3 1 co s 3'1 ( B .1 )

co s o q co s Y~ co s f l l co s y l co s2 Yt

I n s e r t i o n o f ( B . 1 ) i n t o t h e a n i s o t r o p i c y i e l d c o n d i t i o n ( A . 1 ) d e l i v e r s , a f t e r s o m e a l g e b r a ,

a ? [ i + p ( 1 - co s 2 3 q ] = R t ( 8 .2 )

F o r a n o r t h o g o n a l t r i a d n~ w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g p r i n c i p a l s t r e s s e s a / , i = 1 , 2 , 3 , r e l a t i o n ( B . 2 ) c a n b e

g e n e r a l i z e d t o

o '/2 11 + p ( 1 - co s 2 3 '/ )] = R 2 - ( B .3 )

I f o n e t u r n s n o w t o t h e c o o r d i n a t e s y s t e m w i t h t h e b a si s _n t o f o r m u l a t e a n a n i s o t r o p i c y i e l d c o n d i t i o n , i t

f o l lo w s i m m e d i a t e l y f r o m ( B . 3 ) f o r t h e y i e l d s t r e s s e s o ' r, i i n t h e t h r e e o r t h o g o n a l d i r e c t i o n s n i

t r y. / = R , [ 1 + p ( 1 - c o s z 3 'i )] - ' / 2 ( B . 4 )

T h e c o e f f i c i e n t s F ' , G ' , H ' o f t h e y i e l d c o n d i t i o n

)zF ' ( ( r 2 - (r3)2 + G ' ( (73- (r l + H'(or t r2)2 = 1

c a n n o w b e w r i t t e n a s

1 1 1 1F'=~---t2(~+pcos23',) , G ' = -- ~t ( ½ + p c o s 2 3 " 2 1 , H' = - -2 ( ½ + P c ° s 2 3 '3 ) ( B . 5 )



F.D. Fischer, S .M. Schl6gl / M echan ics o f Materials 21 (1995) 1-2 3 23

S o m e o f t h e a b o v e r e s u l t s w e r e r e c e n t l y p u b l i s h e d i n a mo r e s p e c i f i e d f o r m b y P e r e d a e t a l. ( 1 9 9 3 ) . I f ,

t h e r e f o r e , a g e n e r a l s t r e ss s t a t e Z x , Z y , Z ~ , T ~ v , T , ~ , Ty~ w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g p r i n c i p l e s t r e s s e s c ry , o -2 ,

~r3 a n d t h e i r c i g e n ~ e c t o r s n t , n_ _ :, n 3 is a p p l i e d t o a u n i t c u b e , t h e T R I P t e n s o r _ e v a ( 1 8 . 3 ) c a n n o t d i r e c t l y

be app l i ed to the n_~ , _n2 , _n3 c o o r d i n a t e s y s te m s i n c e i t w a s d e r i v e d u n d e F t h e p r e p o s i ti o n F = Go r F'=G'.

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anisotropia e plasticidade na transformação martens

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