Análise de Estruturas

PROF.: KAIO DUTRA

AULA 12-14 – DEFLEXÕES USANDO MÉTODOS DE ENERGIA

Trabalho Externo e Energia de Deformação◦O método da energia é baseadano princípio da conservação deenergia.

◦O princípio da conservação deenergia pode ser enunciadomatematicamente como

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Trabalho Externo e Energia de Deformação – Trabalho Externo

◦Trabalho externo – força. Quando uma força Fpassa por um deslocamento dx na mesma direçãoque a força, o trabalho realizado é dUe = F dx.

◦Se o deslocamento total é x, o trabalho torna-se

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Trabalho Externo e Energia de Deformação – Trabalho Externo

◦Trabalho externo – momento. O trabalho de um momento édefinido pelo produto da magnitude do momento M e o ângulodθ através do qual ele gira, isto é, dUe = M dθ. Se o ângulo totalda rotação é θ radianos, o trabalho torna-se

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Trabalho Externo e Energia de Deformação – Energia de Deformação

◦Energia de deformação – força axial. Quando uma força axial N éaplicada gradualmente à barra, ela vai tracionar o material de talmaneira que o trabalho externo realizado por N será convertidoem energia de deformação, que é armazenada na barra. N/A = E(Δ/L), e a deflexão final é:

◦Substituindo P=N, a energia de deformação na barra fica:

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Trabalho Externo e Energia de Deformação – Energia de Deformação

◦Energia de deformação – flexão. A energiade deformação, ou trabalho armazenado noelemento, é determinada da equação :

◦Tendo em vista que o momento interno égradualmente desenvolvido. Logo,

◦A energia de deformação para a viga édeterminada integrando este resultadoatravés do comprimento inteiro da viga L. Oresultado é

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Princípio do Trabalho Virtual◦O princípio do trabalho virtual proporciona um meio geral de seobter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico emuma estrutura, seja ela uma viga, pórtico ou treliça.

◦Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia:

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Princípio do Trabalho Virtual◦O princípio do trabalho virtual proporciona ummeio geral de se obter o deslocamento e ainclinação em um ponto específico em umaestrutura, seja ela uma viga, pórtico ou treliça.

◦Em geral, o princípio do trabalho e energiaenuncia:

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Princípio do Trabalho Virtual◦Em geral, o princípio do trabalho e energiaenuncia:

◦Podemos escrever a equação de trabalho virtualcomo:

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Princípio do Trabalho Virtual◦Carga externa. Vamos considerar odeslocamento vertical Δ do nó B da treliça nafigura.

◦A equação de trabalho virtual para a treliça é,portanto,

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Princípio do Trabalho Virtual◦Temperatura. Podemos determinar o

deslocamento do nó de uma treliça selecionadaem razão da sua mudança de temperatura daequação de trabalho virtual, escrita como

◦Erros de fabricação e contraflecha. Se ummembro da treliça é mais curto ou mais longodo que o intencionado, o deslocamento de umnó da treliça da sua posição esperada pode serdeterminado a partir da aplicação direta daequação de trabalho virtual, escrita como

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Princípio do Trabalho VirtualExemoplo 9.1

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Princípio do Trabalho VirtualExemoplo 9.1

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Princípio do Trabalho VirtualExemoplo 9.1

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Princípio do Trabalho VirtualExemoplo 9.3

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Princípio do Trabalho VirtualExemoplo 9.3

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Princípio do Trabalho VirtualExemplo 9.3

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Teorema de Castigliano◦O método que é chamado de segundo teorema deCastigliano, ou o método do trabalho mínimo, aplica-sesomente a estruturas que têm temperatura constante,apoios sem recalques, e resposta do material elásticalinear.

◦Tendo em vista que o trabalho externo realizado poressas cargas é igual à energia de deformação internaarmazenada no corpo, podemos escrever

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Teorema de Castigliano◦Tendo em vista que o trabalho externo realizado poressas cargas é igual à energia de deformação internaarmazenada no corpo, podemos escrever

◦O trabalho externo é uma função das cargas externas:

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Teorema de Castigliano◦O trabalho externo é uma função das cargas externas:

◦Agora, se qualquer uma das forças, digamos Pi, foraumentada por um montante diferencial dPi, otrabalho interno também é aumentado de tal maneiraque a nova energia de deformação torna-se

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Teorema de Castigliano◦A aplicação adicional das cargas P1, P2, ..., Pn, quedeslocam o corpo Δ1, Δ2, ..., Δn, resulta na energia dedeformação.

◦Tendo em vista que estas duas equações têm de seriguais, é necessário que

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Teorema de Castigliano Para Treliças◦Substituindo a equação da energia interna no Teoremade Castigliano:

◦No caso geral L, A e E são constantes para um dadomembro e, portanto, podemos escrever

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.4

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.4

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.4

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.6

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.6

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.6

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.6

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Teorema de Castigliano Para TreliçasExemplo 9.6

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos

◦Somar os efeitos sobre todos oselementos dx ao longo da viga exigeuma integração e, portanto, aequação de trabalho virtual torna-se:

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos

◦Tendo em vista que o trabalho do momento binário unitário é1·θ, então:

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.7

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.7

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.7

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Método do Trabalho Virtual: Vigas e PórticosExemplo 9.8

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Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos

◦A energia de deformação deflexão interna para uma viga oupórtico é dada pela Equação:

◦Em vez de elevar ao quadrado aexpressão para o momentointerno M, integrando, e entãotomando a derivada parcial,geralmente é mais fácildiferenciar antes da integração:

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Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos

◦Se a inclinação θ em um ponto será determinada, temos decalcular a derivada parcial do momento interno M em relação aum momento binário externo Mʹ atuando no ponto, isto é:

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Teorema de Castigliano Para Vigas e PórticosExemplo 9.14

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Teorema de Castigliano Para Vigas e PórticosExemplo 9.14

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Teorema de Castigliano Para Vigas e PórticosExemplo 9.14

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