Análise de um Sistema Piezoelétrico de Colheita Energética de...
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ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA
DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR
RAJADAS DE VENTO
Henrique Perinni Kiepper
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Rio de Janeiro
Setembro de 2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecanica
DEM/POLI/UFRJ
ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA
DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR
RAJADAS DE VENTO
Henrique Perinni Kiepper
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Aprovada por:
Prof. Marcelo Amorim Savi, D.Sc.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.Ing.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
SETEMBRO DE 2018
Kiepper, Henrique Perinni
Analise de um Sistema Piezoeletrico de Colheita
Energetica de Vibracoes de Estruturas Aeronauticas
Geradas por Rajadas de Vento/ Henrique Perinni Kiepper.
– Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica, 2018.
XIII, 81 p.: il.; 29, 7cm.
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2018.
Referencias Bibliograficas: p. 80 – 81.
1. Piezoeletricidade. 2. Colheita de Energia. 3.
Sistemas de Colheita Energetica. 4. Turbulencia. 5.
Rajadas de Vento. 6. Gusts. 7. Vibracoes. 8.
Parametros Distribuıdos. I. Amorim Savi, Marcelo. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso
de Engenharia Mecanica. III. Analise de um Sistema
Piezoeletrico de Colheita Energetica de Vibracoes de
Estruturas Aeronauticas Geradas por Rajadas de Vento.
iii
A minha famılia que, apesar da
distancia, sempre estive ao meu
lado.
A minha namorada, Maria Stela,
e aos meus amigos, por todo o su-
porte.
iv
Agradecimentos
Agradeco a minha famılia, aos meus amigos e a minha namorada, Maria Stela, por
todo o apoio e suporte.
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico
ANALISE DE UM SISTEMA PIEZOELETRICO DE COLHEITA ENERGETICA
DE VIBRACOES DE ESTRUTURAS AERONAUTICAS GERADAS POR
RAJADAS DE VENTO
Henrique Perinni Kiepper
Setembro/2018
Orientador: Marcelo Amorim Savi
Programa: Engenharia Mecanica
As mudancas climaticas e o crescente aumento da demanda energetica dos equi-
pamentos modernos levam a busca por novas e limpas fontes de energia. Dentre
estas, a piezoeletricidade vem ganhando bastante destaque, especialmente para a
industria aeroespacial, tendo em vista que pode ser utilizada para aumentar a au-
tonomia de aeronaves nao tripuladas atraves da colheita de energia proveniente do
vento, alem de auxiliar na prevencao de efeitos potencialmente destrutivos, como fa-
lhas por fadiga e flutter. O foco deste estudo consiste na modelagem e analise de um
sistema de colheita piezoeletrico para captacao da energia proveniente de vibracoes
em componentes aerodinamicos flexıveis, excitados por rajadas de vento discretas.
A estrutura bi-morfa do sistema e baseada num modelo a parametros distribuıdos
para uma viga Euler-Bernoulli. O carregamento aerodinamico e derivado da teoria
de estados finitos de Peters et. al (1995), enquanto as equacoes eletrodinamicas sao
obtidas a partir da forma integral da lei de Gauss e das equacoes constitutivas dos
materiais piezoeletricos. O sistema de equacoes diferencias e solucionado atraves
do metodo Runge-Kutta de quarta ordem, possibilitando a caracterizacao do sis-
tema de colheita para uma aeronaves leves e a identificacao das cargas resistivas que
maximizam a colheita energetica em funcao do gradiente de turbulencia.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
ANALYSIS OF A PIEZOELECTRIC ENERGY HARVEST SYSTEM FROM
AERONAUTIC STRUCTURES VIBRATIONS GENERATED BY GUSTS
Henrique Perinni Kiepper
September/2018
Advisor: Marcelo Amorim Savi
Department: Mechanical Engineering
The climate changes and the growing energetic demand from modern devices,
lead us to search new and clean energy sources. Among all of them, the piezoelec-
tricity has gained prominence, especially for the aerospace industry, which has the
opportunity to improve the autonomy of unmanned aerial vehicles by harvesting
energy from the wind and to help preventing from potential destructive effects, such
as fatigue failure and flutter. This study is focused on modeling and analyzing a
piezoelectric energy harvesting system for harvesting vibration energy from flexible
aerodynamic components excited by discrete gust loads. The bimorph structure is
based on a distribute parameter model of an Euler-Bernoully beam. The finite-state
theory of Peters et. al. (1995) is used to derive the unsteady aerodynamic loads,
while the equations of the electrical circuits are obtained from the integral form
of Gauss’ law and from the constitutive equations of piezoelectric materials. The
system of differential equations is numerically solved using Runge-Kutta forth order
method, allowing to characterize the energy harvesting system for light aircraft and
to identify the resistive loads for maximizing the energy harverst as a function of
turbulence gradient.
vii
Sumario
Lista de Figuras x
Lista de Tabelas xiii
1 Introducao 1
2 Piezoeletricidade 4
2.1 Equacoes Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Coletores de Energia Piezoeletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Equacoes Reduzidas para Vigas Finas Operando no modo 31 . 8
3 Estruturas e Componentes Aerodinamicos 10
3.1 Asas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1 Longarinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.2 Nervuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Revestimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Cargas Aerodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Aerodinamica Nao-estacionaria 19
4.1 Modelo de Theodorsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Modelo de Estados-Finitos de Peters et al. (1995) . . . . . . . . . . . 23
4.3 Rajadas de Vento e Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1 Intensidade e Distribuicao de Rajadas . . . . . . . . . . . . . 30
5 Modelagem Matematica 34
5.1 Fundamentos e Premissas do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Vibracao Transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
viii
5.2.1 Frequencias e Modos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Vibracao Torcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 Frequencias e Modos Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Normalizacao de Autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.5.1 Vibracao Transversal - Normalizacao com Relacao a Massa . . 48
5.5.2 Vibracao Torsional - Normalizacao com Relacao ao Momento
Polar de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.6 Equacoes Mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7 Acoplamento Eletromecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8 Equacoes Eletromecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Simulacoes Numericas 61
6.1 Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Condicoes Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Resultados para Rajadas de Vento Discretas . . . . . . . . . . . . . . 68
7 Conclusao 78
Referencias Bibliograficas 80
ix
Lista de Figuras
2.1 Material piezoeletrico operado nos modos (a) 33 e (b) 31 . . . . . . . 7
2.2 Configuracao bi-morfa com circuitos conectados (a) em serie e (b) em
paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 Componentes de uma aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Formatos tıpicos de asas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Asas dos tipos cantilever, semi-cantilever e externamente apoiadas. . 12
3.4 Componentes estruturais das asas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Asa mono-longarina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6 Secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas. . . . 14
3.7 Longarinas de secao transversal I e H com reforcadores. . . . . . . . . 15
3.8 Diferentes tipos de nervuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.9 Projeto stressed-skin, onde revestimento suporta parte dos esforcos
aplicados a asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.10 (a) Distribuicao de pressao no contorno do aerofolio e (b) Sustentacao,
arraste e momento resultante atuando no centro aerodinamico AC . . 17
3.11 Distribuicao da forca de sustentacao ao longo da asa. . . . . . . . . . 18
4.1 Esquema ilustrando a geometria de um aerofolio simetrico . . . . . . 20
4.2 Diagrama das partes real e imaginaria de C(k) por 1/k . . . . . . . . 21
4.3 Diagrama do corpo livre para um aerofolio . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Perfil de rajada 1 - cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Perfil de rajada ”1-Cosseno”em funcao da distancia gradiente H para
uma aeronave com caracterısticas similares a Embraer Phenom 100 . 33
x
5.1 (a)Asa mono-longarina, (b) circuito eletrico acoplado em serie e (c)
circuito eletrico conectado acoplado em paralelo . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Diagrama do corpo livre para viga em flexao com carregamento dis-
tribuıdo ao longo comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Vibracao torcional de um eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Autofuncao (funcao de forma) φ(x) para os 5 primeiros modos de flexao. 49
5.5 Autofuncao (funcao de forma) ψ(x) para os 5 primeiros modos de
torcao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 Circuito equivalente a um elemento piezoeletrico alimentando uma
carga resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Circuitos equivalentes para as configuracoes (a) em paralelo e (b) em
serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1 Secao transversal do modelo de asa utilizado nas simulacoes . . . . . 63
6.2 Deflexao transversal da asa em t=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) veloci-
dade transversal e (d) velocidade angular da ponta da asa conside-
rando um circuito conectado em serie com R = 10kΩ para diversos
valores de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em serie
com R = 10kΩ para diversos valores de H . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.5 (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) veloci-
dade transversal e (d) velocidade angular da ponta da asa conside-
rando um circuito conectado em paralelo com R = 1000Ω para diver-
sos valores de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.6 (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em
paralelo com R = 10kΩ para diversos valores de H . . . . . . . . . . 71
6.7 Comparacao entre os circuitos conectados em serie e em paralelo dos
valores absolutos maximos obtidos para (a) o deslocamento transver-
sal, (b) o deslocamento angular, (c) a velocidade transversal e (d) a
velocidade angular da ponta da asa, considerando R = 10kΩ . . . . . 72
6.8 Total de energia coletada atraves do circuito eletrico acoplado ao
sistema para R = 10kΩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
xi
6.9 Valores absolutos maximos atingidos para os deslocamentos (a) trans-
versal e (b) angular da ponta da asa, (c) tensao eletrica e (d) corrente
eletrica em funcao da resistencia equivalente do circuito (H = 35ft
(10, 67m)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.10 Total de energia coletada pelo sistema em funcao da resistencia
eletrica equivalente (H = 35ft (10, 67m)) . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.11 Energia coletada em funcao da resistencia eletrica para diversos gra-
dientes de rajadas discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.12 Maxima energia possıvel de ser coletada pelo sistema em funcao do
gradiente de rajada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.13 Resistencia eletrica equivalente do circuito eletrico necessaria para
maximizar a coleta de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xii
Lista de Tabelas
4.1 Propriedades do Embraer Phenom 100 (Aeronave da categoria VLJ) . 31
4.2 Velocidade de referencia e fator de alıvio . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Autovalores (parametros de frequencia) para uma viga Euler-
Bernoulli homogenea na condicao engaste-livre . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Termo de acoplamento eletromecanico modal e capacitancia equiva-
lente do sistema de colheita de energia piezoeletrico conectado em
serie e em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.1 Dimensoes da asa e dos componentes estruturais . . . . . . . . . . . . 64
6.2 Parametros de voo e turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Propriedades fısicas dos componentes estruturais . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Frequencias naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
xiii
Capıtulo 1
Introducao
Fomentados pelas mudancas climaticas causadas pela queima de combustıveis fosseis
e pelo aumento da demanda energetica dos equipamentos atuais, os esforcos para
obtencao de novas fontes de energia alternativa tem crescido nas ultimas decadas.
Uma das formas que tem ganhado bastante relevancia na comunidade academica
consiste no uso de materiais piezoeletricos para coletar energia proveniente de vi-
bracoes mecanicas e diretamente converte-la em eletricidade. Este tipo de tecnolo-
gia e especialmente atrativa em situacoes remotas onde ha a necessidade de suprir
dispositivos moveis de baixo consumo ou de recarregar dispositivos de armazena-
mento, como baterias e capacitores. Dentre as diversas areas de aplicacao, o uso
de ceramicas piezoeletricas na industria aeroespacial tem sido cada vez mais abor-
dado, dada a exposicao direta a vibracoes causadas pela incidencia de vento sobre
superfıcies aerodinamicas e a praticidade de aplicacao junto a componentes flexıveis,
como asas. O objetivo deste trabalho consiste na modelagem de um sistema de co-
lheita de energia de vibracoes induzidas por rajadas de vento discretas que incidem
sobre componentes aerodinamicos utilizando ceramicas piezoeletricas. O potencial
de colheita energetica e a resposta dinamica do sistema sao avaliados atraves de
simulacoes numericas, permitindo a caracterizacao e a identificacao de condicoes
otimas de aplicacao do sistema.
A piezoeletricidade consiste na propriedade que alguns materiais possuem de ge-
rar eletricidade quando expostos a um carregamento mecanico e vice-versa, podendo
ser utilizada tanto em sensores quanto em atuadores. Esta propriedade foi desco-
berta no final de seculo XIX pelos irmao Curie e, a partir de entao, diversos esforcos
1
vem sendo aplicados a fim de melhor explora-la. Atualmente, a piezoeletricidade ja e
utilizada em diversos equipamentos modernos, tais como balancas de precisao e sen-
sores de pressao em geral, microfones, alto-falantes, guitarras-eletricas e outros. Com
a crescente demanda por novas fontes de energia e o aumento da demanda energetica
dos equipamentos, os esforcos atuais estao concentrados na capacidade de colheita
de energia a partir de fontes de vibracao diversas, dentre as quais destacam-se o
vento incidente sobre superfıcies aerodinamicas e construcoes, o trafego de veıculos
e pessoas em ambientes de alta concentracao, como em pontes, aeroportos e ro-
doviarias, e o movimento humano. Alem disso, os efeitos negativos causados por
vibracoes podem ser amenizados com o uso de dispositivos piezoeletricos, auxili-
ando, por exemplo, na prevencao de falhas por fadiga em componentes estruturais.
Um dos ramos em que mais se discute a aplicacao de dispositivos piezoeletricos
para fins de colheita de energia e reducao de vibracoes e na industria aeroespacial.
O progresso na fabricacao e a crescente popularizacao das aeronaves nao tripuladas,
tanto em aplicacoes militares, quanto em civis, fomentam os esforcos para aumentar
a autonomia destas, incentivando pesquisas relacionadas a sistemas capazes de cole-
tar o maximo de energia disponıvel a partir do ambiente. Alem do mais, fenomenos
aeroelasticos autoexcitantes, como o flutter, representam um grande potencial de
falha em aeronaves. O uso de dispositivos piezoeletricos pode contribuir para am-
pliacao dos limites de projeto em componentes estruturais e aerodinamicos, con-
tribuindo tambem para alıvio de efeitos decorrentes de turbulencias durante voos,
como a perda parcial de controle da aeronave.
O grande desafio para a colheita de energia a partir de componentes piezoeletricos
reside no dimensionamento de sistemas capazes de coletar o maximo de energia a
partir de uma dada fonte de vibracao, a fim de superar a relativamente baixa densi-
dade energetica gerada entre os polos do material [1]. Para tal, faz-se necessario o uso
de um modelo mecanico confiavel, que permita caracterizar o sistema e identificar
as condicoes mais favoraveis de aplicacao. Os esforcos deste trabalho sao voltados
para a modelagem e analise de um sistema piezoeletrico utilizado para captar a
energia proveniente de rajadas de vento discretas, que incidem sobre componentes
aerodinamicos flexıveis de aeronaves durante voos de cruzeiro. O sistema proposto
e composto por piezoceramicas perfeitamente acopladas as extremidades superior
2
e inferior da longarina, principal componente estrutural de uma asa. Um circuito
puramente resistivo conecta os polos das piezoceramicas, permitindo a passagem de
corrente eletrica. Utilizando uma modelagem a parametros distribuıdos e conside-
rando a estrutura como uma viga Euler-Bernoulli, e possıvel avaliar a dinamica ao
longo de toda a estrutura e contabilizar o efeito de multiplos modos de vibracao. O
acoplamento eletromecanico e formulado a partir da lei de Gauss e das propriedades
constitutivas dos materiais piezoeletricos. A teoria de estados-finitos de Peters et.
al. (1995) [2] e usada para obter expressoes para as cargas aerodinamicas em regime
nao-estacionario no domınio do tempo. O sistema de equacoes diferencias obtido e
resolvido a partir do metodo numerico Runge Kutta de quarta ordem, permitindo
explorar a resposta dinamica e a energia coletada pelo sistema.
Atraves de uma analise parametrica, investiga-se a influencia de rajadas de vento
discretas com perfil ”1-Cosseno”[3], cuja distancia gradiente varia entre 35 e 350 ft,
sobre a capacidade de colheita energetica do sistema. Variando a carga resistiva apli-
cado ao circuito eletrico, identifica-se os valores que permitem maximizar a colheita
de energia para um gradiente de rajada especıfico. Com isso, e possıvel construir
uma curva da capacidade maxima de colheita energetica em funcao da intensidade
da rajada de vento, assim como apontar os valores de carga resistiva que maximizam
a colheita energetica em funcao da distancia gradiente de rajada.
3
Capıtulo 2
Piezoeletricidade
A piezoeletricidade consiste na habilidade que alguns cristais e ceramicas tem de
gerar carga eletrica quando carregados mecanicamente. Esta propriedade e conhe-
cida como efeito piezo direto e foi descoberta em 1880 pelos irmaos Pierre e Jacques
Curie, que a demonstraram em turmalina, quartzo, topaz, cana de acucar e sal de
Rochele (tartarato de sodio e potassio tetrahidratado) [4]. Um ano apos a descoberta
dos irmao Curie, Gabriel Lippmann descobriu que os mesmos materiais apresentam
o efeito piezo reverso, ou seja, os materiais tendem a se deformar quando expos-
tos a um campo eletrico. A partir de entao, intensas pesquisas exploraram estas
propriedades, sendo a primeira utilizacao pratica feita por Paul Langevin no de-
senvolvimento de sonares durante a primeira guerra mundial, que utilizou cristais
de quartzo acoplados a massas metalicas para gerar ultrassom na faixa de algumas
dezenas de kHz’s [5]. Devido a necessidade de geradores de alta tensao para estimu-
lar a fabricacao de transdutores (dispositivo que transforma um tipo de energia em
outro) de quartzo, iniciou-se uma corrida pela fabricacao de materiais piezoeletricos
sinteticos apos a primeira guerra mundial. Nas decadas de 40 e 50, a URSS e o
Japao desenvolveram ceramicas piezoeletricas de Titanato de Bario (BaTiO3). Na
mesma epoca, os EUA criaram as ceramicas piezoeletricas de Titanato Zirconato
de Chumbo (Pb[ZrxTi1−x]O3), que consistem em cristais mistos de zirconato de
chumbo (PbZrO3) e titanato de chumbo (PbT iO3). Estas sao conhecidas como
PZT’s (uma abreviacao da formula quımica) e sao as mais utilizadas atualmente
devido suas diversas variacoes e eficiencia elevada, sendo capazes de converter ate
80% da energia mecanica aplicada em energia eletrica, o que equivale a cerca de 100
4
vezes a eficiencia dos cristais de quartzo [5].
2.1 Equacoes Constitutivas
Considerando o tensor de tensao T , o tensor de deformacao S, o tensor campo
eletrico E e o tensor de deslocamento eletrico D, as equacoes constitutivas para um
material piezoeletrico sao expressas na forma matricial mostrada em 2.1
S
D
=
sE dt
d εT
T
E
(2.1)
onde s E, d e ε T representam as constantes elasticas, as constantes piezoeletricas e
as constantes dieletricas do material, respectivamente. Os termos sobrescrito E e T
indicam, nesta ordem, que as constante sao avaliadas a um campo eletrico e a uma
tensao constante, enquanto t representa transposicao matricial. Em geral, piezo-
ceramicas polarizadas sao materiais transversalmente isotropicos [1], sendo o plano
de isotropia definido aqui como plano 12. Neste caso, os materiais piezoeletricos
exibem simetria com relacao ao eixo 3, que e o eixo de polarizacao do material, o
que resulta em sE11 = sE22, sE12 = sE21, s
E44 = sE55, s
E45 = sE54, e
T11 = eT22, d14 = d15 e
d31 = d32.
Usando a notacao de Voigt para representar as componentes de tensao e de-
formacao (11→ 1, 22→ 2, 33→ 3, 23→ 4, 13→ 5, 12→ 6)
S1
S2
S3
S4
S5
S6
=
S11
S22
S33
2S23
2S13
2S12
e
T1
T2
T3
T4
T5
T6
=
T11
T22
T33
T23
T13
T12
(2.2)
A forma expandida da Equacao 2.1 e obtida aplicando-se 2.2 e as propriedades
5
isotropicas do material:
S1
S2
S3
S4
S5
S6
D1
D2
D3
=
sE11 sE12 sE13 0 0 0 0 0 d31
sE12 sE11 sE13 0 0 0 0 0 d31
sE13 sE13 sE33 0 0 0 0 0 d31
0 0 0 sE55 0 0 0 d15 0
0 0 0 0 sE55 0 d15 0 0
0 0 0 0 0 sE66 0 0 0
0 0 0 0 d15 0 εT11 0 0
0 0 0 d15 0 0 0 εT11 0
d31 d31 d33 0 0 0 0 0 εT33
T1
T2
T3
T4
T5
T6
E1
E2
E3
(2.3)
2.2 Coletores de Energia Piezoeletricos
Coletores de energia piezoeletricos sao projetados com o objetivo de converter parte
da energia mecanica em eletrica. Para identificar possıveis configuracoes que podem
ser utilizadas para este fim, observa-se separadamente o vetor deslocamento eletrico
a partir da Equacao 2.3
D1
D2
D3
=
0 0 0 0 d15 0
0 0 0 d15 0 0
d31 d31 d33 0 0 0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
+
εT11 0 0
0 εT11 0
0 0 εT33
E1
E2
E3
(2.4)
Observando o primeiro termo do lado direito da Equacao 2.4, nota-se que o com-
ponente de acoplamento eletromecanico d15 esta relacionado apenas com as tensoes
cisalhantes T4 e T5, que nao sao interessantes do ponto de vista de colheita de ener-
gia [4]. Por outro lado, d31 e d33 se relacionam com as tensoes normais aplicadas
sobre o material, e correspondem aos modos 31 e 33, respectivamente, ilustrados na
Figura 2.1. O primeiro numero (3) indica o eixo de polarizacao do material, onde
a tensao eletrica e gerada. Os eletrodos devem ser acoplados a superfıcies perpen-
diculares a este eixo, que, neste caso, e o eixo z. O segundo numero representa a
6
(a)
(b)
Figura 2.1: Material piezoeletrico operado nos modos (a) 33 e (b) 31
Fonte: [4]
direcao de aplicacao da tensao. Desta forma, no modo 33 a tensao e aplicada no
mesmo eixo em que o material e polarizado. No modo 31, a tensao e aplicada ao
longo do eixo 1 (ou 2), e o material e polarizado no eixo z (3).
Apesar de d33 ser superior a d31 (d31 ≈ 0, 5d33 para PZT [4]), a configuracao 31 e
preferıvel para fins de coleta de energia, pois as frequencias naturais de ressonancia
para vibracoes transversais (flexao) sao inferiores as encontradas em vibracoes lon-
gitudinais (tracao/compressao diretamente aplicada) e mais proximas do espectro
de frequencia de vibracoes encontradas no ambiente. Sendo assim, o modo 31 pode
ser aplicado de forma mais eficiente e num maior numero de situacoes do que o 33
para coleta de energia de vibracoes. Um exemplo de aplicacao do modo 31 se da
em configuracoes bi-morfas, ilustradas na Figura 2.2. Esta configuracao consiste
em duas camadas piezoeletricas acopladas uma a outra ou as superfıcies superior
e inferior de uma terceira estrutura central. Quando a viga e fletida no sentido
negativo do eixo 3 (com curvatura concava para baixo), a camada superior e tra-
cionada, enquanto a camada inferior e comprimida. O oposto acontece quando a
viga e fletida na sentido positivo de z. Para a configuracao bi-morfa, e possıvel co-
7
nectar um circuito eletrico aos eletrodos das camadas piezoeletricas de duas formas
distintas: em serie, quando as camadas sao polarizadas em sentidos opostos (Fi-
gura 2.2(a)); e em paralelo. quando as camadas sao polarizadas no mesmo sentido
(Figura 2.2(b)). O circuito conectado em serie gera o dobro da tensao eletrica e
possui metade da capacitancia do sistema uni-morfo, enquanto a corrente perma-
nece inalterada. O circuito conectado em paralelo gera a mesma tensao eletrica,
mas em compensacao apresenta o dobro da corrente eletrica e da capacitancia em
comparacao com o sistema uni-morfo. A derivacao destas propriedades e realizada
em detalhes no Capıtulo 5- Secao 5.7.
(a)(b)
Figura 2.2: Configuracao bi-morfa com circuitos conectados (a) em serie e (b) em paralelo
Fonte: [4]
2.2.1 Equacoes Reduzidas para Vigas Finas Operando no
modo 31
Para vigas finas sob flexao modeladas a partir da teoria de Euler-Bernoulli, apenas
o componente de tensao T1 apresenta valores significativos [1], ou seja:
T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = 0
Aplicando este valores a Equacao tensorial 2.3, tem-se S1
D3
=
sE11 d31
d31 εT33
T1
E3
(2.5)
Que pode ser reescrita na forma sE11 0
−d31 1
T1
D3
=
1 −d310 εT33
S1
E3
(2.6)
8
Multiplicando ambos lados da Equacao 2.6 pela inversa do tensor de constantes
presente no lado direito, a equacao que permite obter a tensao e o deslocamento
eletrico em funcao da deformacao e do campo eletrico e alcancada. T1
D3
=
cE11 −e31e31 εT33
S1
E3
(2.7)
onde
cE11 =1
sE11, e31 =
d31sE11
, εS33 = εT33 −d231sE11
(2.8)
A barra horizontal indica que a constante foi reduzida da forma tri-dimensional
para o estado plano de tensoes e o sobrescrito S representa que a constante foi
avaliada sob deformacao constante.
9
Capıtulo 3
Estruturas e Componentes
Aerodinamicos
Os componentes estruturais de uma aeronave sao projetados para transportar cargas
e resistir a esforcos aos quais estao sujeitos durante o voo e operacoes em solo.
A analise estrutural destes componentes deve garantir que os esforcos aplicados
durante as operacoes nao extrapolem os limites estipulados por criterios de falha
pre-estabelecidos. O objetivo deste capıtulo consiste em descrever as caracterısticas
dos componentes aerodinamicos de uma aeronave, assim como suas funcoes e as
cargas a que estao expostos durante as operacoes. Uma breve descricao dessas
estruturas e apresentada, com o intuito de auxiliar na determinacao de parametros
a serem utilizados na modelagem das equacoes dinamicas e simulacoes numericas.
De acordo com a Federal Aviation Administration (FAA) [6], aeronaves con-
vencionais sao geralmente compostas por tres partes principais: fuselagem, asas e
estabilizadores. A fuselagem comporta a tripulacao e uma carga util, que e a carga
a ser transportada, podendo variar de passageiros a armamentos, dependendo do
tipo da aeronave. As asas sao responsaveis por gerar a sustentacao necessaria du-
rante o voo, enquanto estabilizadores horizontais e verticais garantem a estabilidade
direcional da aeronave. Aileron e lemes permitem ao piloto manobrar a aeronave
durante o voo, enquanto flapes acoplados as asas fornecem o aumento ou diminuicao
de sustentacao para decolagem ou pouso, respetivamente. Spoilers, posicionados no
extradorso da asa (parte superior), sao acionados durante os pousos para aumentar
o arrasto e, consequentemente, a desaceleracao da aeronave.
10
Figura 3.1: Componentes de uma aeronave
Fonte: [6]
3.1 Asas
As asas sao os componentes responsaveis por gerar a sustentacao necessaria a aero-
nave durante os voos. Elas podem ser construıdas em diferentes formatos e tama-
nhos, dependendo das exigencias e do tipo de operacao da aeronave. A quantidade
de sustentacao gerada, a velocidade de operacao e o controle da aeronave sob di-
ferentes velocidades estao entre os fatores a serem considerados na determinacao
do tipo e do formato das asas a serem usadas no projeto. Diferentes formatos sao
mostrados na Figura 3.2
Na maioria das aeronaves atuais, as asas sao do tipo em balanco (i.e. sem ne-
nhum tipo de escoramento externo), sendo o suporte das cargas atribuıdo somente
aos membros estruturais internos. O combustıvel fina armazenado em tanques no
interior da asas. Em modelos mais antigos, suportes ou cabos externos eram utiliza-
dos para auxiliar na contencao do peso e das cargas aerodinamicas, como ilustrado
na Figura 3.3.
A estrutura das asas e composta por longarinas (spars), nervuras (ribs), re-
forcadores e revestimento (skin). As longarinas sao os principais membros estru-
turais da asa, sendo responsaveis por suportar as cargas os esforcos de flexao e
11
Figura 3.2: Formatos tıpicos de asas
Fonte: [6]
Figura 3.3: Asas dos tipos cantilever, semi-cantilever e externamente apoiadas.
Fonte: [6]
12
torcao gerados pelas forcas e momentos aerodinamicas, assim como o peso da fu-
selagem, trens de pouso e motores (quando fixados as asas) em operacoes no solo.
O revestimento transfere os esforcos as nervuras, que os transmite as longarinas.
Reforcadores sao adicionados entre as nervuras e o revestimento para aumentar a
resistencia estrutural destes componentes.
Figura 3.4: Componentes estruturais das asas.
Fonte: [6]
3.1.1 Longarinas
As longarinas sao barras dispostas perpendicularmente a fuselagem ou paralelas as
asas, que se estendem da raiz em direcao a ponta. Sao acopladas a fuselagem atraves
de fixadores de aviacao, vigas planas ou trelicas [6]. O numero de longarinas usadas
na construcao das asas depende do projeto e do tipo da aeronave, podendo variar
entre uma (asas mono-longarinas), duas (asas bi-longarinas) ou mais (asas multi-
longarinas). Sao os principais componentes responsaveis por resistir aos esforcos de
flexao e torcao gerados pelas cargas aerodinamicas, alem de resistir ao peso da asa,
do combustıvel e demais equipamentos instalados nas asas, como motores, turbinas
e armamentos.
Alem das longarinas convencionais, tambem sao utilizadas longarinas de aileron,
tambem chamadas de longarinas falsas. Estas se estendem apenas por uma parte
da envergadura e servem como suporte as dobradicas do aileron.
Os materiais utilizados na fabricacao das longarinas podem variar entre madeira
de aviacao (geralmente espruce), ligas metalicas e materiais compositos. Atual-
mente, a maioria das aeronaves possuem longarinas fabricadas a partir de uma
13
Figura 3.5: Asa mono-longarina.
unica peca de alumınio extrudado ou por secoes de alumınio rebitadas [6]. Algumas
secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas sao mostrados na
Figura 3.6. Em longarinas de secao transversal do tipo I ou H, as mesas funcio-
Figura 3.6: Secoes transversais tipicamente usadas em longarinas metalicas.
nam como base para fixacao do revestimento. Reforcadores verticais ou no formato
de quilha sao usados em determinadas secoes para aumentar a rigidez e prevencao
contra flambagem.
3.1.2 Nervuras
Nervuras sao membros estruturais dispostos perpendicularmente a direcao da en-
vergadura, que se estendem da borda de ataque ate a longarina traseira ou ate a
borda de fuga da asa. Elas compoem a armacao da asa, fornecendo o formato de ae-
rofolio necessario para gerar sustentacao. Tambem sao responsaveis por transmitir
os esforcos do revestimento e reforcadores as longarinas.
14
Figura 3.7: Longarinas de secao transversal I e H com reforcadores.
Fonte: [6]
As nervuras sao fabricadas de madeira ou metal, sendo que apenas nervuras
metalicas sao utilizadas em conjunto com longarinas metalicas. O dimensionamento
destas depende principalmente da localizacao ao longo da envergadura. Em regioes
mais proximas a ponta da asa, onde as tensoes sao menores, as nervuras tem basica-
mente a funcao de dar a forma de aerofolio a asa. Para estas aplicacoes, estruturas
leves e com baixa rigidez sao suficientes. Por outro lado, em regioes proximas a raiz,
e necessaria uma construcao mais robusta, a fim de absorver e transmitir tensoes
maiores.
Figura 3.8: Diferentes tipos de nervuras.
Fonte: [6]
3.1.3 Revestimento
A principal funcao do revestimento e formar uma superfıcie impermeavel para su-
portar a distribuicao de pressao aerodinamica da qual a capacidade de sustentacao
15
da asa e derivada [7]. Em geral, o revestimento e projetado para suportar parte dos
esforcos aplicados a asa, em conjunto com as nervuras e longarinas. Este tipo de
projeto e conhecido como stressed-skin e e ilustrado na Figura 3.9.
Figura 3.9: Projeto stressed-skin, onde revestimento suporta parte dos esforcos aplicados a asa
Fonte: [6]
Embora o revestimento seja eficiente em suportar tensoes de cisalhamento e de
tracao, ele tende a flambar sob cargas compressivas inferiores quando comparado aos
demais componentes da asa [7]. Ao inves de aumentar a espessura do revestimento, o
que aumentaria consideravelmente o peso da estrutura, reforcadores sao adicionados
entre o ele e as nervuras, dividindo-o em pequenos paineis e aumentando a resistencia
a flambagem.
Como nos demais componentes citados, o revestimento e geralmente fabricado
em madeira, materiais compositos, alumınio e outras ligas metalicas leves.
3.2 Cargas Aerodinamicas
Segundo Megson [7], as forcas atuantes sobre componentes aerodinamicos (como
asas, e caudas horizontais e verticais) sao basicamente resultantes do diferencial
de pressao em torno do revestimento, que e gerada pela incidencia de vento, cur-
vatura ou uma combinacao dos dois [7]. Esta diferenca de pressao (ilustrada na
Figura 3.10(a)) causa forcas resultantes nas direcoes vertical (sustentacao) e ho-
rizontal (arrasto), que atuam no centro de pressao (CP) do aerofolio. A posicao
de CP muda com a variacao da distribuicao de pressao, causada pelo aumento da
velocidade (U) ou do angulo de incidencia do vento sobre a asa (α). Entretanto,
ha um ponto fixo no aerofolio em que o momento gerado pela sustentacao e pelo
arrasto permanece constante. Este ponto, chamado de centro aerodinamico (AC de
aerodynamic center), pode ser usado no lugar de CP para representar as forcas e
16
momentos atuantes na secao do aerofolio. A Figura 3.10(b) mostra o diagrama do
corpo livre das forcas e momentos atuantes em AC. [7].
(a) (b)
Figura 3.10: (a) Distribuicao de pressao no contorno do aerofolio e (b) Sustentacao, arraste e
momento resultante atuando no centro aerodinamico AC
Fonte: [7]
De acordo com Anderson [8], em aerofolios simetricos o centro de pressao CP
e o centro aerodinamico AC estao ambos localizados a 0, 25c a partir da borda
de ataque, onde c representa a corda do aerofolio. Em condicoes estacionarias, a
forca de sustentacao L e o momento aplicado em AC M1/4, ambos por unidade de
comprimento da asa, sao dados por
L = 2παρ∞U2b (3.1)
M1/4 = 0 (3.2)
onde b = c/2 e a semi-corda do aerofolio.
A distribuicao da forca de sustentacao ao longo da envergadura da asa depende
do formato da mesma. Em asas trapezoidais, defini-se a razao de afilamento da asa
como λasa = ct/cr, onde cr e ct sao as cordas da raiz e da ponta, respectivamente. A
Figura 3.11 ilustra a real distribuicao de L ao longa da envergadura da asa l (semi-
envergadura da aeronave). E possıvel notar que L e proporcional a corda local, como
exposto pela Equacao 3.1, com excecao de regioes proximas a ponta, onde ocorre
um decaimento abrupto da magnitude.
A forca de sustentacao total da aeronave e obtida integrando a Equacao 3.1 ao
17
Figura 3.11: Distribuicao da forca de sustentacao ao longo da asa.
longo da envergadura.
LTotal =
∫ l
−lL(x)dx = 4παρ∞U
2∞
∫ l
0
b(x)dx (3.3)
Para asas retangulares (λasa = 1.0), em que a secao do aerofolio e constante, a
Equacao 3.3 pode ser simplificada
LTotal = 4παρ∞U2∞bl (3.4)
18
Capıtulo 4
Aerodinamica Nao-estacionaria
Durante a incidencia de rajadas de vento, manobras aereas ou mudancas subitas
na densidade do ar, instabilidades dinamicas associadas a variacoes da magnitude
e direcao das cargas aplicadas as superfıcies aerodinamicas podem gerar vibracoes
e perda parcial de estabilidade. Estes fenomenos estao relacionados ao campo da
aerodinamica nao-estacionaria e, quando negligenciados, podem levar a fenomenos
auto-excitantes como o flutter, capazes de induzir a falhas catastroficas e causar
graves acidentes.
Diferentes modelos e tecnicas de engenharia relacionadas a aerodinamica nao-
estacionaria sao discutidos em [2]. A origem da forca de sustentacao e do momento
aerodinamico atuante sobre superfıcies aerodinamicas sao decorrentes de dois efeitos
distintos: efeitos circulatorios e nao-circulatorios.
Os efeitos circulatorios sao mais relevantes para os componentes aerodinamicos
de aeronaves [2], uma vez que sao os responsaveis por mante-las suspensas durante
voos de altitude estavel. Tais efeitos surgem devido a uma diferenca entre as veloci-
dades dos escoamentos de ar nas superfıcies superior e inferior dos aerofolios. Este
perfil de velocidade pode ser representado como um fluxo de velocidade constante
somado a vortices locais. Em situacoes nao estacionarias, as mudancas de magni-
tude e direcao da velocidade do ar, causadas pelo movimento do aerofolio, fazem
com que a intensidade dos vortices varie. Consequentemente, o angulo de ataque
efetivo e a forca de sustentacao tambem sofrem variacoes.
Somado a este efeito, ha a geracao de vortices na borda de fuga do aerofolio.
O downwash destes vortices, por sua vez, altera o fluxo que colide no aerofolio,
19
afetando o angulo de ataque efetivo e, por consequencia, a forca de sustentacao.
Os efeitos nao-circulatorios, conhecidos como efeitos de massa e inercia aparente,
apesar de apresentarem menor relevancia, tambem contribuem na alteracao das
cargas aerodinamicas. Estes efeitos sao decorrentes da aceleracao de partıculas de ar
na proximidade das superfıcies do aerofolios. [2]. Como estas partıculas apresentam
massa finita, surgem forcas de inercia opostas ao movimento do aerofolio.
4.1 Modelo de Theodorsen
Uma das principais teorias no campo da aerodinamica nao-estacionaria foi desen-
volvida por Theodorsen (1934) para estudar o efeito de flutter sobre aerofolios de
perfis finos imersos em escoamentos invıscidos e incompressıveis. As equacoes 4.1
e 4.2, desenvolvidas por Theodorsen, modelam a sustentacao e o momento aplicado
no centro aerodinamico, respectivamente, permitindo avaliar a resposta dinamica de
um aerofolio em situacoes nao-estacionarias.
Figura 4.1: Esquema ilustrando a geometria de um aerofolio simetrico
L = 2πρ∞UbC(k)
[Uθ − w + b
(1
2− a)θ
]+ πρ∞b
2(Uθ − baθ − w) (4.1)
M1/4 = −πρ∞b3[Uθ + b
(1
8− a
2
)θ − 1
2w
](4.2)
A Figura 4.1 ilustra as dimensoes de um aerofolio, onde c representa a corda
do aerofolio, b a semi-corda (c = 2b), θ o angulo de inclinacao da borda de ataque
com relacao a horizontal. AC e o centro aerodinamico (localizada a 1/4c da borda
20
de ataque em aerofolios simetricos [8]), P e onde esta localizado o eixo elastico
da asa ponto (onde w, w e w sao medidos) e QC e o ponto de concentracao de
vortices, localizado a 3/4c da borda de ataque (1/2c de corda da borda de fuga).
U representa a velocidade relativa do escoamento livre e ρ∞ a densidade do ar.
A constante adimensional a varia entre −1 e 1 e e usada como parametro para
localizacao de P ao longo da corda do aerofolio, cuja posicao referente a borda de
ataque e dada por (1 + a)b.
A sustentacao L e afetada por ambos efeitos circulatorios e nao circulatorios,
enquanto o momento a aplicado no centro aerodinamico (localizado a 1/4 da borda
de ataque) M1/4 e inteiramente decorrente de efeitos nao circulatorios. A inclinacao
da curva de sustentacao e igual a 2π, o que e valido apenas para aerofolios simetricos
finos. O primeiro termo da forca de sustentacao equivale aos efeitos circulatorios. A
funcao de valores complexos C(k), tambem conhecida como funcao de Theodorsen,
representa os efeitos causados pela a esteira de vortices formada na borda de fuga
do aerofolio, sendo k a frequencia reduzida, dada por:
k =bω
U(4.3)
C(k) = F (k) + iG(k) (4.4)
Figura 4.2: Diagrama das partes real e imaginaria de C(k) por 1/k
Fonte: [2]
21
onde ω e a frequencia do movimento oscilatorio do aerofolio.
A partir da Figura 4.2, observa-se que C(k) e real e igual a 1 para o caso es-
tacionario (i.e. k = 0). Quanto maior o valor de k, maior a magnitude da parte
imaginaria G(k) e menor da parte real F (k). Quando k tende a infinito, C(k) tende
a 0, 5, embora em situacoes praticas k raramente excede o valor de 1, 0. Quando
uma funcao harmonica e multiplcada por C(k), sua magnitude e reduzida e uma
defasagem e introduzida.
Os efeitos nao-circulatorios estao presentes no segundo termo da forca de sus-
tentacao e no momento aplicado no centro aerodinamico. Note que estes termos
dependem da aceleracao e da aceleracao angular do aerofolio, sendo decorrentes da
massa das partıculas de ar aceleradas pelo movimento do aerofolio. E possıvel notar
ainda que o coeficiente que multiplica o termo nao circulatorio na forca de sus-
tentacao (πρ∞b2) equivale a massa de ar por unidade de comprimento contida num
cilindro de raio b, ou seja, a quantidade de ar a que e perturbada pelo movimento
do aerofolio.
A expressao para o angulo de ataque efetivo pode ser extraıda da Equacao 4.5
α = C(k)
[θ +
w
U+b
U
(1
2− a)θ
](4.5)
α e o angulo de ataque medido a uma distancia de 3/4c da borda de ataque,
considerando o valor medio de escoamento induzido ao longo de toda a corda. Em
casos de aerodinamica estavel, o angulo de ataque efetivo equivale ao angulo de
inclinacao da borda de ataque (i.e. α = θ). No entanto, para casos nao-estacionarios,
α passa a depender tambem de C(k), w e θ. Esses parametros adicionais introduzem
mudancas na magnitude e fase entre θ e α. Consequentemente, a magnitude da
forca de sustentacao nao estacionaria e reduzida em comparacao com a sustentacao
estacionaria.
O caso em que C(k) = 1 (i.e. k = 0) e conhecido como quase-estacionario. Esta
aproximacao e valida para valores pequenos de k, como em casos de oscilacoes com
baixa frequencia.
22
4.2 Modelo de Estados-Finitos de Peters et al.
(1995)
Embora o modelo formulado por Theodorsen forneca uma excelente representacao
das cargas aerodinamicas em situacoes nao estacionarias, a dependencia da forca
de sustentacao pela funcao de valores imaginarios C(k) impede o seu uso direto
nas equacoes diferencias referentes a estrutura analisada. Sendo assim, e necessario
buscar equacoes capazes de representar estas cargas no domınio do tempo. O modelo
de estados finitos para escoamentos invıscidos e incompressıveis criado por Peter et
al. (1995) apresenta uma solucao aproximada da forca de sustentacao apresentada
por Theodorsen.
No modelo de Peters et al. (1995), os efeitos nao circulatorios sao os mesmos
apresentados por Theodorsen, havendo apenas distincao na apresentacao dos efeitos
circulatorios. A formulacao destes efeitos e apresentada em [2], sendo reproduzida
a seguir considerando os efeitos de rajadas de vento (gusts) perpendiculares a asa .
Figura 4.3: Diagrama do corpo livre para um aerofolio
Considerando o diagrama do corpo livre de uma secao de aerofolio simetrico na
figura 3.10, ~U e o vetor da velocidade relativa do ar, ~UG e o vetor de velocidade da
rajada de vento vertical que incide sobre a asa, ~Uef e a velocidade efetiva do ar, w e
velocidade de deslocamento do eixo elastico do aerofolio, ~L e a forca de sustentacao,
aplicada no centro aerodinamico AC e cuja direcao e considerada perpendicular a
corda do aerofolio, e ~M1/4 e o momento aerodinamico aplicado na direcao (1).
Sendo θef (x, t) o angulo entre a borda de ataque e a horizontal, obtido a partir da
23
soma do angulo de ataque de projeto θ0 e do angulo de torcao θ(x, t). α representa
o angulo de ataque efetivo (i.e. o angulo formado entre a corda do aerofolio e a
velocidade efetiva do ar), medido a 3/4 da borda de ataque.
θef (x, t) = θ0 + θ(x, t) (4.6)
Como θ0 e constante, a velocidade e aceleracao angular efetiva dependem apenas
dos efeitos de torcao
θef (x, t) = θ(x, t) e θef (x, t) = θ(x, t)
Definindo-se os sistemas de referencias:
1. I, que acompanha a translacao horizontal da asa e permanece fixo com relacao
a horizontal e a vertical, sendo composto pelos unitarios ortogonais i, j, k
2. S2, solidario ao corpo do aerofolio e obtido a partir de um giro de angulo
θef (x, t) no sentido horario (negativo) do eixo x (1) a partir de I, composto
pelos unitarios ortogonais i2, j2, k2.
3. S3, solidario a velocidade efetiva do ar ~Uef e obtido a partir de um giro de
angulo αef no sentido anti-horario (positivo) do eixo x (1) a partir de S2,
composto pelos unitarios ortogonais i3, j3, k3
As matrizes de rotacao referentes aos sistemas sao apresentadas a seguir
[ITS2 ] =
1 0 0
0 cos θef − sin θef
0 sin θef cos θef
(4.7)
[S2TS3 ] =
1 0 0
0 cosα sinα
0 − sinα cosα
(4.8)
Desta forma, um vetor de coordenadas espaciais quaisquer ~u pode ser represen-
tado em qualquer um dos sistemas I, S2 e S3, utilizando as expressoes que seguem
para alterar o sistema de referencia quando necessario
~uS2 = [ITS2 ]~uI e ~uS3 = [S2TS3 ]~uS2
24
A transformacao reversa e obtida utilizando as transpostas das matrizes de
rotacoes
~uI = [ITS2 ]T~uS2 e ~uS2 = [S2TS3 ]
T~uS3
As teorias de escoamento induzido aproximam os efeitos da esteira de vortices
com base nas alteracoes causadas por estes no campo de escoamento [2]. Assim,
o campo de velocidades e obtido a partir da velocidade de escoamento livre ~U e
de uma componente adicional para contabilizar os efeitos do escoamento induzido.
Embora o escoamento induzido varie ao longo da corda da secao, ele e aproximado
no modelo de Peters et al. pela media das velocidades λ0k2 ao longo desta. Assim,
a velocidade do ar e
~U =
0
U
Ug
I
+
0
0
λ0
S2
(4.9)
O angulo de ataque efetivo pode ser calculado a partir do vetor da velocidade
do ar efetiva com relacao ao aerofolio, considerando os movimentos de translacao e
rotacao do mesmo.
~Uef = ~U − ~vQ (4.10)
onde ~vQ representa a velocidade do ponto Q, localizado a 3/4c.
~vQ =
0
0
w − (1
2− a)bθ
S2
(4.11)
Aplicando a Equacao 4.11 em 4.10 e expressando o resultado no sistema de
referencia S2
~Uef =
0
U cos θef − Ug sin θef
U sin θef + Ug cos θef − w + (1
2− a)bθ + λ0
S2
(4.12)
A velocidade efetiva do ar tambem pode ser expressa em funcao do angulo de
25
ataque efetivo
~Uef =
0
Uef
0
S3
=
0
Uef cosα
Uef sinα
S2
(4.13)
Igualando as Equacoes 4.12 e 4.13
Uef
0
cosα
sinα
= U
0
cos θef −UgU
sin θef
sin θef +UgU
cos θef −w
U+ (
1
2− a)b
θ
U+λ0U
(4.14)
De 4.13
tan(α) =U sin θef + Ug cos θef − w + (
1
2− a)bθ + λ0
U cos θef − Ug sin θef(4.15)
Uef =
√(U cos θef − Ug sin θef )
2 +
[U sin θef + Ug cos θef − w + (
1
2− a)bθ + λ0
]2(4.16)
Considerando pequenos angulos incidencia e assumindo que a magnitude da ve-
locidade de cruzeiro U seja muito superior aos demais fatores que compoem Uef , as
Equacoes 4.15 e 4.16 podem ser simplificadas
α = θef +UgU− w
U+
(1
2− a)bθ
U+λ0U
(4.17)
Uef = U (4.18)
Na Equacao 4.17, α representa o angulo de ataque efetivo obtido a partir da
da velocidade relativa efetiva do ar Uef , medida a uma distancia 3/4c a partir da
borda de ataque, que leva em conta os efeitos de escoamento induzido atraves de
λ0. Vale ressaltar que, devido ao movimento da asa e ao campo de escoamento
induzido, tanto a magnitude quanto a direcao da velocidade efetiva do vento nao
26
sao constantes no tempo e, como consequencia, α nao e equivalente ao angulo de
ataque efetivo θef .
De acordo com a teoria dos estados finitos de Peters et al. [2], a velocidade
media do fluxo induzido pela esteira de vortices λ0 e calculada a partir de N estados
induzidos λ1, λ2, λ3, ..., λN ,
λ0 ≈1
2
N∑n=1
bnλn (4.19)
Sendo os valores de bn obtidos a partir do metodo de mınimos-quadrados. Par-
tindo da premissa de que a esteira de vortices permenece no mesmo plano do aerofolio
e trafega a juzante, com velocidade igual a do escoamento, as velocidades induzidas
pelos segmentos de vortices podem ser obtidas a partir de N equacoes diferenciais
de primeira ordem.
[A]λ+U
bλ = c
[−w + Uθ + b
(1
2− a)θ
](4.20)
onde λ e um vetor que contem as velocidades induzidas pelos segmentos de vortices
λ1, λ2, ..., λN . [A] e c sao matrizes definidas em funcao dos N numeros de estados
considerados [2].
[A] = [D] + dbT + cdT +1
2cbT (4.21)
onde
Dnm =1
2nn = m+ 1
= − 1
2nn = m− 1
= 0 n 6= m± 1
(4.22)
bn = (−1)n−1(N + n− 1)!
(N − n− 1)!
1
(n!)2n 6= N
= (−1)n−1 n = N
(4.23)
dn =1
2n = 1
= 0 n 6= 1(4.24)
27
e
cn =1
2(4.25)
A equacao da porcao circulatoria da forca de sustentacao (Lc) e analoga a
Equacao 3.1 para aerofolios simetricos, diferindo apenas pelo fato de que α nao
e constante no tempo.
Lc = 2παρ∞U2b (4.26)
Aplicando a Equacao 4.17 a Equacao 4.26 e somando a porcao a parcela nao-
circulatoria (equivalente ao modelo de Thoedersen), a forca de sustentacao nao-
estacionaria pelo modelo de Peters et al. e finalmente alcancada.
L = πρ∞b2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub
[Uθef + Ug − w + b
(1
2− a)θ + λ0
](4.27)
Deve-se observar as semelhancas entre as equacoes para a sustentacao encontra-
das a partir do modelo de Theodersen (Equacao 4.1) e de Peters et al (Equacao 4.27).
Em geral, desconsiderando diferencas nas notacoes e a velocidade Ug (incrementado
apenas na formulacao do segundo modelo) a diferenca entre os modelos e resumida
a formulacao dos efeitos advindos do fluxo induzido pela circulacao dos vortices.
Pode-se observar que para o caso quase-estatico, em que C(k) = 1 e λ0 = 0, os
modelos fornecem exatamente as mesmas expressoes.
Uma vez que o momento depende apenas dos efeitos nao-circulatorios, os modelos
de Peters et al. e Theodorsen apresentam expressoes identicas para tal.
M1/4 = −πρ∞b3[Uθ + b
(1
8− a
2
)θ − 1
2w
](4.28)
A expressao para o momento aplicado no eixo elastico e dada pela Equacao 4.29
MP = M1/4 + (1/2 + aP )bL
= −πρ∞b3[Uθ + b
(1
8− a
2
)θ − 1
2w
]+
.(1/2 + a)b
πρ∞b
2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub
[Uθef + Ug − w + b
(1
2− a)θ + λ0
](4.29)
28
4.3 Rajadas de Vento e Turbulencia
Os movimentos do ar em turbulencia sao conhecidos como rajadas de vento ou gusts
e provocam mudancas no angulo de incidencia da asa, levando a uma subita ou
gradual perda ou aumento de sustentacao da aeronave [7]. Isto pode ser crıtico para
aeronaves de grande porte ou em altas velocidade de cruzeiro.
Um dos metodos mais utilizados em criterios preliminares de projeto e certi-
ficacoes de aeronaves e o de rajada de vento discreta, que consiste na determinacao
da resposta dinamica da aeronave devido a incidencia de uma rajada de vento de
perfil ao longo de uma certa distancia ou perıodo de tempo.
Figura 4.4: Perfil de rajada 1 - cosseno
Fonte: [7]
O perfil de rajada ’1 - Cosseno’ e o mais comumente utilizado na modelagem de
rajadas de vento discretas para determinacao de cargas de rajada e turbulencia [3].
Este perfil modela uma rajada de vento segundo uma funcao cossenoide, dada pela
Equacao 4.30
Ug =Uds2
[1− cos
(πs
H
)]0 ≤ s ≤ 2H (4.30)
onde Ug representa a velocidade da rajada, Uds a velocidade maxima da rajada,
tambem chamada de velocidade de projeto de rajada, s a distancia adentrada na
regiao de turbulencia e H e a distancia gradiente, definida como a distancia percor-
rida do inıcio da rajada ate o momento em que Ug atinja o valor maximo (i.e. Uds),
que para o perfil ”1-Cosseno”, tambem e equivalente a metade do comprimento da
zona afetada pela rajada.
29
A velocidade de projeto Uds e obtida atraves da Equacao 4.31
Uds = UrefFg
(H
350
) 16
(4.31)
Sendo Uref a velocidade de referencia da rajada, dada em ft/s, e Fg o fator
de alıvio de perfil de voo. Considerando a velocidade de cruzeiro de projeto da
aeronave Vc, o valor de 56, 0ft/s deve ser considerado para Uref a nıvel do mar [3].
Para diferentes altitudes Z, as equacoes a seguir devem ser usadas
Uref = 56, 00− 8.00× 10−4Z 0 ≤ Z ≤ 15000ft
= 51, 71− 5, 14× 10−4Z 15000ft < Z ≤ 50000ft(4.32)
Fg deve decrescer linearmente em funcao altitude de voo a partir do valor ao
nıvel, dado pela Equacao 4.33, ate 1,0, na maxima altitude de operacao.
Fg = 0, 5
[1− Zmo
250000+
√ZFW
MTOWtan
(π
4
MLW
MTOW
)](4.33)
Sendo MLW o peso maximo de pouso, MTOW o peso maximo de decolagem,
e ZFW o peso maximo sem combustıvel da aeronave.
O tempo de duracao e a magnitude da rajada sao fatores importantes uma vez
que influenciam a forca de sustentacao e o momento aplicado em AC. Rajadas de
curta duracao causam um subito aumento e, em seguida, uma subita diminuicao da
velocidade relativa do ar, gerando impulsos de maior frequencia. Por outro lado, a
velocidade maxima da rajada Uds aumenta em funcao de H, contribuindo para maio-
res deflexoes dos componentes aerodinamicos. Estudos envolvendo rajadas de vento
discretas focam em analisar a resposta dinamica do sistema em funcao da distancia
gradiente H para a maxima velocidade de cruzeiro da aeronave. Analises deste
tipo sao exigidas a fim de se determinar as respostas e cargas limite de estruturas
aerodinamicas, considerando valores de H entre 30 e 350ft [3].
4.3.1 Intensidade e Distribuicao de Rajadas
Utilizando as equacoes descritas na secao 4.3, e possıvel obter a intensidade e o
perfil de rajadas de vento para qualquer tipo de aeronave. Nas simulacoes realizadas
nos proximos capıtulos, considera-se uma aeronave de transporte civil da categoria
30
Tabela 4.1: Propriedades do Embraer Phenom 100 (Aeronave da categoria VLJ)
Informacoes Gerais
Nome Phenom 100
Fabricante Embraer
Pais de Origem Brasil
Ano de Introducao 2008/2009
Dimensoes Externas
Envergadura (2l) 12,29 m
Corda da raiz (cr) 2,03 m
Corda da ponta (cp) 0,82 m
Pesos da Aeronave e Combustıvel
Peso basico de Operacao 3235 kgf
Peso Maximo de Decolagem (MTOW) 4750 kgf
Peso Maximo de Pouso (MLW) 4430 kgf
Peso Maximo sem Combustıvel (ZFW) 3830 kgf
Peso do Combustıvel Utilizavel Maximo (Wfuel) 1272 kgf
Altitude
Velocidade maxima nivelado (UMax) 722 km/h
Altitude Maxima de Operacao (Zmo) 12495 m [41000 ft]
31
Very Light Jet (VLJ). Os parametros utilizados foram baseados no modelo Embraer
Phenom 100, cujas propriedades sao listadas na Tabela 4.1.
A partir dos dados expressos na Tabela 4.1, pode-se calcular a velocidade de
referencia (Uref ) e o fator de alıvio (Fg) para uma aeronave deste tipo operando a
altitude maxima (Zmo), atraves das Equacoes 4.32 e 4.33, respectivamente.
Tabela 4.2: Velocidade de referencia e fator de alıvio
Propriedade Valor
Velocidade de Referencia (Uref ) 9.34 m/s [30.63 ft/s]
Fator de Alıvio (Fg) 0.8438
Os valores na Tabela 4.2 devem ser aplicados na Equacao 4.31 para obter a
velocidade maxima da rajada Uds para uma dada distancia gradiente H. Assim,
o perfil da rajada ao longo da distencia percorrida pela aeronave s e obtido pela
Equacao 4.30.
Perfis de rajada para diferentes distancias gradientes H sao mostrados na Fi-
gura 4.5
32
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
6
7
8
s (ft)
Ug (
m/s
)
H=35 ft
H=105 ft
H=175 ft
H=280 ft
H=350 ft
Figura 4.5: Perfil de rajada ”1-Cosseno”em funcao da distancia gradiente H para uma aeronave
com caracterısticas similares a Embraer Phenom 100
33
Capıtulo 5
Modelagem Matematica
Neste capıtulo sao apresentadas as equacoes que governam a dinamica do sistema
de colheita de energia na estrutura aeronautica, uma asa na qual se adiciona com-
ponentes piezoeletricos com o intuito de coletar a energia de vibracao. A ideia e
converter a energia mecanica em eletrica que pode ser utilizada para abastecer ba-
terias ou capacitores para uso posterior ou diretamente suprir dispositivos eletricos
como sensores e luzes de sinalizacao conectados a asa. Alem disso, os sinais ge-
rados podem ser diretamente interpretados por atuadores a fim de reduzir efeitos
indesejaveis causados pela vibracao da asa, como desconfortos e perdas parciais de
controle da aeronave durante turbulencias.
5.1 Fundamentos e Premissas do Modelo
A asa do tipo mono-longarina e modelada como uma viga em balanco, como ilus-
trado na Figura 5.1(a). Considera-se que a rigidez estrutural da asa (tanto de torcao,
quanto de flexao) e gerada apenas pela longarina. Os materiais que compoem a lon-
garina e os componentes piezoeletricos sao considerados uniformes e apresentam
comportamento linear. O acoplamento entre eles e perfeito, de modo que nao ha
movimento relativo entre as superfıcies em contato. Os eletrodos que recobrem as
faces superior e inferior dos componentes piezoeletricos tem espessura desprezıvel
em relacao aos demais componentes. Alem disso, sao considerados condutores per-
feitos, de modo que a diferenca de potencial eletrico e uniforme ao longo de todo
o seu comprimento. Consequentemente, o campo eletrico instantaneo induzido nas
34
Figura 5.1: (a)Asa mono-longarina, (b) circuito eletrico acoplado em serie e (c) circuito eletrico
conectado acoplado em paralelo
camadas piezoeletricas tambem e uniforme em todo o domınio. As direcoes dos eixos
x, y e z, mostrados na Figura 5.1, coincidem, respectivamente, com as direcoes das
propriedades piezoeletricas 1, 2 e 3. No circuito eletrico, as camadas piezoeletricas
sao modeladas como capacitores eletricos e uma resistencia eletrica (representada
por R) foi adicionada ao circuito. As camadas piezoeletricas sao identicas e as de-
formacoes instantaneas medias devido a flexao sao sempre de igual magnitude e com
sentidos opostos (i.e. quando a camada superior esta sob tracao, a inferior esta sob
compressao e vice-versa). Quando as camadas sao polarizadas em sentidos opostos
na direcao da espessura (direcao de z), tem-se a configuracao em serie (Figura 5.1a),
capaz de produzir maior tensao eletrica. De maneira analoga, quando o circuito e
organizado de forma que o sentido de polarizacao nas camadas e o mesmo, tem-se a
configuracao em paralelo (Figura 5.1b), que permite alcancar uma amplitude supe-
rior de corrente eletrica. Desta forma, e possıvel configurar o circuito dependendo
das necessidades que se deseja.
35
5.2 Vibracao Transversal
A Figura 5.2 ilustra o diagrama de corpo livre de uma viga, representando a asa,
onde M(x, t) representa o momento fletor, V (x, t) a forca cortante e f(x, t) a forca
externa aplicada a esta por unidade de comprimento.
Figura 5.2: Diagrama do corpo livre para viga em flexao com carregamento distribuıdo ao longo
comprimento
Fonte: [9]
Atraves do somatorio das forcas atuantes em z e dos momentos na direcao de y
com origem em O e aplicando a 2a Lei de Newton, as seguintes equacoes sao obtidas:
−(V + dV ) + f(x, t)dx+ V = m(x)dx∂2w
∂t2(x, t) (5.1)
(M + dM)− (V + dV )dx+ f(x, t)dxdx
2−M = 0 (5.2)
onde m(x) e a massa por unidade de comprimento da secao transversal. Reescre-
vendo a forca cortante e o momento fletor como
dV =∂V
∂xdx
dM =∂M
∂xdx
e desconsiderando os termos elevados a segunda potencia em dx, as Equacoes 5.1 e
5.2 podem ser reescritas da seguinte forma
−∂V∂x
(x, t) + f(x, t) = m(x)∂2w
∂t2(x, t) (5.3)
36
∂M
∂x(x, t)− V (x, t) = 0 (5.4)
Substituindo V = δM/δx, da Equacao 5.4, na Equacao 5.3,
−∂2M
∂x(x, t) + f(x, t) = m(x)
∂2w
∂t2(x, t) (5.5)
O momento fletor atuando numa secao transversal qualquer da viga e obtido
integrando-se o produto da tensao normal a direcao longitudinal da longarina (σ11)
pela distancia a linha neutra no domınio da secao.
M(x, t) = −∫A
σ11zdA = −bm
[∫ −hs/2−hp−hs/2
σp11zdz +
∫ hp+hs/2
hs/2
σp11zdz +
∫ hs/2
−hs/2σs11zdz
](5.6)
onde σS11 e σp11 sao as tensoes normais na direcao (1) atuante na longarina e nas
camadas piezoeletricas, respectivamente, e bs e a largura da longarina. Os termos
sobrescrito s e p fazem referencia ao componente estrutural (i.e. longarina) e as ca-
madas piezoeletricas, nesta ordem. Considerando materiais lineares na zona elastica,
a tensao normal a (1) para a a longarina e obtida a partir da lei de Hooke. A tensao
nas camadas piezoeletricas e dada pela Equacao 2.7
σs11 = Esεs1
σp11 = cE11εp1 − e31E3
(5.7)
Sendo Es o modulo de elasticidade (ou modulo de Young) do material da longa-
rina, cE11 o modulo de elasticidade da piezo-ceramica a um campo eletrico constante,
e31 a constante de tensao piezoeletrica efetiva e E3 o campo eletrico na direcao
(3) (direcao de z ou direcao de polarizacao), descritos previamente no Capıtulo 2.
Considera-se que o componente da deformacao axial na direcao (1) ε1 e devido ape-
nas a flexao. Desta forma, a deformacao axial para um elemento localizado numa
secao em x e proporcional a distancia a linha neutra e a a curvatura da viga, con-
forme expresso pela Equacao 5.8.
ε1(x, z, t) = −z∂2w(x, t)
∂x2(5.8)
Na convencao de sinais adotada, o momento fletor e positivo quando produz com-
pressao nas fibras superiores e tracao nas inferiores. O sinal da curvatura acompanha
o momento fletor, sendo positiva se a viga fletir com concavidade para cima.
37
O campo eletrico E3 na equacao 3.10 deve ser expresso em funcao da tensao
eletrica desenvolvida nas camadas piezo-ceramicas. A partir daqui, faz-se necessario
a distincao na modelagem para as configuracoes em serie e em paralelo. Como
as camadas piezo-ceramicas sao identicas, a tensao eletrica desenvolvidas entre os
eletrodos de cada uma delas e dada por por v(t)/2 na configuracao em serie, e
v(t) na configuracao em paralelo. Por conta da oposicao dos polos, a constante de
tensao piezoeletrica efetiva e31 tem sinais opostos nas camadas inferior e superior
na configuracao em serie, de forma que o campo eletrico desenvolvido em ambas
camadas apresenta o mesmo sentido.
Esup3,s = Einf
3,s = −v(t)
2hp
esup31,s = −einf31,s = e31
(5.9)
Por outro lado, na configuracao em paralelo a polarizacao ocorre no mesmo
sentido em ambas camadas, de modo que e31 possui o mesmo sinal para as camadas
superior e inferior. O campo eletrico instantaneo, por sua vez, apresenta sentidos
opostos.
Esup3,p = −Einf
3,p = −v(t)
hp
esup31,p = einf31,p = e31
(5.10)
Os termos sobrescritos sup e inf fazem referencia as camadas superior e inferior,
respetivamente.
Reescrevendo a Equacao 5.6 e desenvolvendo as operacoes necessarias, as
equacoes do momento fletor para as configuracoes em serie e em paralelo sao obtidas
M(x, t) =∂2w(x, t)
∂x2EI − kcΘvs(t) [H(x)−H(x− l)] (5.11)
onde EI representa a rigidez de flexao da secao composta para um campo eletrico
constante aplicado sobre as piezo-ceramicas (condicao de curto-circuito), dada por:
EI = EsIy,s + cE11Iy,p (5.12)
Iy,s e o momento de inercia de area da secao da longarina e Iy,p e o momento de
inercia de area das ceramicas piezoeletricas, ambos com relacao ao eixo y(2).
38
Tendo em vista que o termo eletrico na Equacao 5.11 e funcao apenas do tempo,
e necessario multiplica-lo por [H(x)−H(x− l)] para que este permaneca apos a de-
rivacao espacial, onde H(x) e a funcao de Heaviside. Na Equacao 5.11, Θ representa
o coeficiente de acoplamento eletromecanico, sendo obtido pela Equacao 5.13 e a
constante kc faz a distincao entre os acoplamentos em serie (kc = 0, 5) e em paralelo
(kc = 1, 0)
Θ = bs(hs + hp)e31 (5.13)
Substituindo a Equacao 5.11 na equacao Equacao 5.5, realizando a diferenciacao
com relacao a x e reagrupando os termos, a equacao diferencial parcial acoplada e
obtida
m∂2w(x, t)
∂t2+ EI
∂4w(x, t)
∂x4− kcΘv(t)
[dδ(x)
dx− dδ(x− l)
dx
]= f(x, t) (5.14)
onde δ e a funcao delta de Dirac (i.e. primeira derivada da funcao de Heaviside),
cuja enesima derivada satisfaz a condicao descrita na Equacao 5.15 [1]∫ ∞−∞
d(n)δ(x− x0)dx(n)
g(x) = (−1)nd(n)g(x)
dx(n)
∣∣∣∣x=x0
(5.15)
Para uma funcao qualquer g(x), contınua e diferenciavel em todo domınio.
5.2.1 Frequencias e Modos Naturais
Na condicao de curto-circuito (limR→0v(t) = 0 ) e livre de carregamento externo
(f(x, t) = 0), a Equacao 5.14 fica reduzida a:
m∂2w(x, t)
∂t2+ EI
∂4w(x, t)
∂x4= 0 (5.16)
Que permite realizar a analise modal da estrutura a fim de identificar os modos
naturais de vibracao. Aplicando o metodo de separacao de variaveis, assume-se
a hipotese de que a resposta dinamica da estrutura pode ser expressa como uma
combinacao linear de duas variaveis independentes: φ(x) e η(t).
w(x, t) = φ(x)η(t) (5.17)
Substituindo a Equacao 5.17 na Equacao 5.16 e reagrupando os termos espaciais
e temporais em lados distintos
EI
m
1
φ(x)
d4φ(x)
dx4= − 1
η(t)
d2η(t)
dt2(5.18)
39
Como x e t sao independentes, o argumento padrao do metodo de separacao de
variaveis diz que ambos lados da equacao devem ser iguais a mesma constante γ:
EI
m
1
φ(x)
d4φ(x)
dx4= − 1
η(t)
d2η(t)
dt2= γ (5.19)
O que implica que:
d4φ(x)
dx4− γ m
EIφ(x) = 0 (5.20)
d2η(t)
dt2+ γη(t) = 0 (5.21)
A partir da Equacao 5.20, pode-se inferir que a constante γ deve ser positiva para
que a condicao de vibracao (oscilacao) do sistema seja verdadeira, caso contrario
a amplitude poderia crescer ou decair indefinidamente com o tempo. Sendo assim,
torna-se conveniente substituir tal constante como o quadrado de uma outra: γ = ω2
d4φ(x)
dx4− ω2 m
EIφ(x) = 0 (5.22)
d2η(t)
dt2+ ω2η(t) = 0 (5.23)
As solucoes das Equacoes 5.22 e 5.23 sao dadas a seguir
φ(x) = A cos
(λ
lx
)+B cosh
(λ
lx
)+ C sin
(λ
lx
)+D sinh
(λ
lx
)(5.24)
η(t) = E cosωt+ F sinωt (5.25)
onde
λ4 = ω2ml4
EI(5.26)
As constante A, B, C e D podem ser obtidas a partir das condicoes de contorno
do sistema. Para uma viga em balanco engastada em uma das extremidades (x = 0)
e livre na outra (x = l), as condicoes de contorno sao
w(0, t) = 0
∂w(x, t)
∂x
∣∣∣∣x=0
= 0
M(l, t) = EI∂2w(x, t)
∂x2
∣∣∣∣x=l
= 0
V (l, t) = EI∂3w(x, t)
∂x3
∣∣∣∣x=l
= 0
(5.27)
40
As condicao de contorno para a funcao de forma sao obtidas ao substituir a
Equacao 5.17 no sistema de Equacoes 5.27
φ(0) = 0
dφ
dx
∣∣∣∣x=0
= 0
d2φ
dx2
∣∣∣∣x=l
= 0
d3φ
dx3
∣∣∣∣x=l
= 0
(5.28)
Substituindo a Equacao 5.22 nas duas primeiras condicoes de contorno descritas
em 5.28, tem-se
A+B = 0→ B = −A (5.29)
C +D = 0→ D = −C (5.30)
Assim, a Equacao 5.28 pode ser reescrita como:
φ(x) = A
[cos
(λ
lx
)− cosh
(λ
lx
)]+ C
[sin
(λ
lx
)− sinh
(λ
lx
)](5.31)
Apenas as constantes A e C permanecem desconhecidas. Aplicando 5.31 nas
duas ultimas condicoes em 5.28
cosλ+ coshλ sinλ+ sinhλ
sinλ− sinhλ − cosλ− coshλ
A
C
=
0
0
(5.32)
Utilizando qualquer uma das equacoes de 5.32, obtem-se a equacao caracterıstica
de autovalor diferencial para uma viga em flexao na condicao engaste-livre
1− cosλ coshλ = 0 (5.33)
Os valores positivos de λ que satisfazem a Equacao 5.33 sao os autovalores do
sistema. Como o problema em questao e positivo-definido, ha infinitos autovalores
positivos, levando a infinitos modos naturais de vibracao. O autovalor (ou parametro
de frequencia) para o n-esimo modo natural de vibracao e denominado de λn. Os
cinco primeiros autovalores do sistema estao listados na Tabela 5.1.
Ainda a partir do sistema 5.32, pode-se extrair a razao entre as constantes A e
C
ζ =C
A=
sinλ− sinhλ
cosλ+ coshλ(5.34)
41
Utilizando a razao ζn = ζ(λn), a autofuncao para o enesimo modo pode ser
reescrita a partir da Equacao 5.31 de forma a conter apenas uma constante.
φn = An [cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] (5.35)
Em 5.35, a constante modal An, tambem chamada de constante de amplitude,
representa o valor maximo que pode ser alcancado pelas autofuncoes de forma. x e
a coordenada adimensional, definida por
x =x
l(5.36)
A frequencia natural do sistema (ou auto-frequencia) para o enesimo modo na-
tural de vibracao e obtida a partir da Equacao 5.26
ωn = λ2n
√EI
ml4(5.37)
Tabela 5.1: Autovalores (parametros de frequencia) para uma viga Euler-Bernoulli homogenea na
condicao engaste-livre
Modo Autovalor (λr)
1 1.87510407
2 4.69409113
3 7.85475744
4 10.9955407
5 14.1371684
O movimento natural do enesimo modo de vibracao e expresso por
wn(x, t) = φn(x)ηn(t) (5.38)
ηn(t) e dada pela Equacao 5.25. As constantes En, Fn podem ser obtidas a partir
das condicoes iniciais do problema w(x, 0) e∂w(x, t)
∂t
∣∣∣∣t=0
.
Uma vez que o sistema de parametros distribuıdos apresenta infinitos modos de
vibracao independentes, a resposta generica e uma combinacao linear das contri-
42
buicoes de todos os modos de vibracao
w(x, t) =∞∑n=1
φn(x)ηn(t) (5.39)
5.3 Vibracao Torcional
A figura 3.4 ilustra uma viga de secao nao-uniforme submetida a um torque externo
fT (x, t) por unidade de comprimento [9]. Sendo θ(x, t) o angulo de torcao da secao
transversal, a relacao entre a deflexao torcional e o momento torcor Mt(x, t) e dada
por:
Mt(x, t) = GJ(x)∂θ(x, t)
∂x(5.40)
Figura 5.3: Vibracao torcional de um eixo
Fonte: [9]
Aplicando a segunda lei de Newton, a equacao do movimento e obtida:
(Mt + dMt)−Mt + f(x, t)dx = Ix(x)dx∂2θ
∂t2(5.41)
Expressando dMt na forma∂Mt
∂xdx e aplicando 5.40 em 5.41, a equacao diferen-
cial que modela a dinamica de uma viga de secao qualquer sob torcao e alcancada
43
∂
∂x
[GJ(x)
∂θ
∂x(x, t)
]+ fT (x, t) = Ix
∂2θ
∂t2(x, t) (5.42)
Para vigas de secao transversal uniforme (i.e. J(x) = J), a Equacao 5.42 e
resumida a
GJ∂2θ
∂x2+ fT (x, t) = Ix
∂2θ
∂t2(x, t) (5.43)
onde G e o modulo de cisalhamento e J e a constante de torcao da secao, cuja
rigidez torsional e dada por GJ(x). Vale observar que para secoes circulares (solidas
ou vazadas), J e equivalente ao momento polar de area da secao. Para perfis fechados
de parede fina, J pode ser obtido pela Equacao 5.44
J =4A2
m(x)∫ lm0
ds
e
(5.44)
onde Am e a area delimitada pela linha media da parede do perfil, lm o perımetro
contornado da linha media e e a espessura da secao. Se a espessura e da secao e
constante, a Equacao 5.44 pode ser simplificada
J =4eA2
m
lm(5.45)
Para vigas de secoes abertas finas, como por exemplo perfis em I ou H, o calculo
de J pode ser aproximado atraves da analogia da membrana de Prandtl, descrita
em [7].
J =1
3
∫sec
e3ds (5.46)
5.3.1 Frequencias e Modos Naturais
Reescrevendo a Equacao 5.43 para o caso de vibracao livre de excitacao externa (i.e.
fT (x, t) = 0)
GJ∂2θ
∂x2= Ix
∂2θ
∂t2(x, t) (5.47)
A partir de entao, segue-se os mesmos passos usados na analise modal para
vibracao transversal. A variavel θ(x, t) e expressa em funcao do produto de uma
variavel espacial φ(x) e uma temporal χ(t)
θ(x, t) = ψ(x)χ(t) (5.48)
44
Aplicando 5.48 em 5.47) e reagrupando os termos espaciais e temporais em lados
distintos da equacao
GJ
Ix
1
ψ(x)
d2ψ(x)
dx2=
1
χ(t)
d2χ(t)
dt2= υ (5.49)
onde os lados dependentes do espaco e do tempo sao equivalentes e iguais a uma
constante υ. As equacoes diferenciais do espaco e do tempo sao extraıdas a partir
da Equacao 5.49
d2ψ(x)
dt2− υ Ix
GJψ(x) = 0 (5.50)
d2χ(t)
dt2− υχ(t) = 0 (5.51)
Observando as Equacao 5.51, pode-se notar que para que a amplitude do sistema
nao cresca ou diminua de forma indeterminada com o tempo, e necessario υ < 0.
Desta forma, e conveniente escrever υ = −ω2θ , sendo ωθ outra constante real.
d2ψ(x)
dt2+ ω2
θ
IxGJ
ψ(x) = 0 (5.52)
d2χ(t)
dt2+ ω2
θχ(t) = 0 (5.53)
As solucoes das Equacoes diferenciais 5.52 e 5.53 sao apresentadas a seguir
ψ(x) = G cosωθpx+H sin
ωθpx (5.54)
χ(t) = M cosωθx+N sinωθx (5.55)
Sendo G, H, I e J constantes desconhecidas e p =√GJ/Ix.
As condicoes de contorno para engaste-livre sao:
θ(0, t) = 0→ ψ(0) = 0 (5.56)
∂θ
∂x(l, t) = 0→ dψ
dx
∣∣∣∣x=l
= 0 (5.57)
Aplicando as condicoes das Equacoes 5.56 e 5.57 na equacao 5.54
G = 0
H
(ωθp
)cos
ωθpl = 0
(5.58)
45
Para solucoes nao triviais (i.e. H 6= 0)
cosωθpl = 0→ ωθ,rl
p= (2r − 1)
π
2
ωθ,r = (2r − 1)π
2
√GJ
Ixl2
(5.59)
Sendo r = (1, 2, 3...) e ωθ,r a frequencia natural do r-ezimo modo de vibracao
torcional. As constantes M e N dependem das condicoes iniciais.
A autofuncao em 5.54 pode ser reescrita a partir das expressoes 5.58 e 5.59
ψr(x) = Hr sin (2r − 1)π
2x (5.60)
Na Equacao 5.60, Hr e a constante de amplitude da autofuncao espacial. A
resposta dinamica para o r-ezimo modo de vibracao e obtida pela Equacao 5.61
θr(x, t) = ψr(x)χr(t) (5.61)
A resposta dinamica do sistema e alcancada atraves de um somatorio das res-
postas individual de cada um dos infinitos modos de vibracao do sistema.
θ(x, t) =∞∑r=1
ψr(x)χr(t) (5.62)
5.4 Ortogonalidade
Uma funcao e dita ortogonal num domınio especıfico sempre que a integral sobre o
produto desta funcao por qualquer outra neste domınio resultar em zero [9]. Ou seja,
considerando duas funcoes distintas f(x) e g(x), tais funcao sao ditas ortogonais no
domınio x0 ≤ x ≤ xf somente se a condicao 5.63 for satisfeita
∫ xf
x0
f(x)g(x)dx = 0 ∀f 6= g (5.63)
Para ilustrar esta propriedade, considere o caso de vibracao transversal descrito
anteriormente. Sendo φi(x) e φj(x) autofuncoes do sistema que correspondem as
frequencias naturais wi e wj, respetivamente, onde i 6= j. Pela equacao 5.22
d4φi(x)
dx4− w2
i
m
EIφi(x) = 0 (5.64)
d4φj(x)
dx4− w2
j
m
EIφj(x) = 0 (5.65)
46
Multiplicando as Equacoes 5.64 por φj(x), a equacao 5.64 por φi(x) e integrando
ambas de 0 a l ∫ l
0
[d4φi(x)
dx4φj(x)− w2
i
m
EIφi(x)φj(x)
]dx = 0 (5.66)
∫ l
0
[d4φj(x)
dx4φi(x)− w2
j
m
EIφj(x)φi(x)
]dx = 0 (5.67)
Subtraindo as Equacoes resultantes uma pela outra∫ l
0
φi(x)mφj(x)dx =EI
w2j − w2
i
∫ l
0
[d4φj(x)
dx4φi(x)− d4φi(x)
dx4φj(x)
]dx (5.68)
Usando integracao por partes para resolver o lado direito da Equacao 5.68
∫ l
0
φimφjdx =EI
w2j − w2
i
[φiφ
′′′
j − φjφ′′′
i + φ′
jφ′′
i − φ′
iφ′′
j
]∣∣∣l0
(5.69)
onde [∗]′ representa uma diferenciacao com relacao a x. Aplicando as condicoes de
contorno expressas pelas Equacao 5.28 a 5.69, o lado direito e reduzido a 0.∫ l
0
φimφjdx = 0, ∀i 6= j (5.70)
A Equacao 5.70 demonstra que a autofuncao φ(x) e ortogonal.
A condicao em 5.70 pode ser demonstrada de forma analoga para o caso de
vibracao torcional. Considerando ψr(x) e ψs(x) autofuncoes referentes as frequencias
naturais wθ,r e wθ,s, respetivamente, onde r 6= s. Pela equacao 5.52
d2ψr(x)
dx2+ w2
θ,r
IxGJ
ψr(x) = 0 (5.71)
d2ψs(x)
dx2+ w2
θ,s
IxGJ
ψs(x) = 0 (5.72)
Multiplicando 5.71 por ψ e 5.72 por ψr e integrando de 0 a l∫ l
0
[d2ψr(x)
dx2ψ(x) + w2
θ,r
IxGJ
ψr(x)ψ(x)
]dx = 0 (5.73)
∫ l
0
[d2ψs(x)
dx2ψr(x) + w2
θ,s
IxGJ
ψs(x)ψr(x)
]dx = 0 (5.74)
Subtraindo 5.74 de 5.73 e reagrupando as diferenciais de mesma ordem em lados
distintos∫ l
0
ψr(x)Ixψs(x)dx =GJ
w2θ,r − wθ,s
∫ l
0
[d2ψs(x)
dx2ψr(x)− d2ψr(x)
dx2ψs(x)
]dx (5.75)
47
Integrando por partes o lado direito da Equacao 5.74∫ l
0
ψr(x)Ixψs(x)dx =GJ
w2θ,r − wθ,s
[ψ
′
sψr − ψ′
rψs
]∣∣∣l0
(5.76)
Aplicando as condicoes de contorno 5.56 e 5.57, o lado direto da equacao 5.76 e
reduzido a zero. Sendo assim∫ l
0
ψrIxψsdx = 0, ∀r 6= s (5.77)
5.5 Normalizacao de Autofuncoes
A partir da condicao de ortogonalidade, e possıvel obter valores para as constantes
de amplitude An, para vibracao transversal, e Hr, para vibracao torcional, de tal
maneira que as autofuncoes resultantes sejam normalizadas com relacao a massa m
e ao momento de inercia polar Ix.
5.5.1 Vibracao Transversal - Normalizacao com Relacao a
Massa
Reescrevendo a condicao de ortogonalidade descrita em 5.70∫ l
0
φimφjdx = δij (5.78)
onde δij e o Kronecker Delta, que equivale a 0, se i 6= j, e 1, se i = j. Substituindo
a Equacao 5.35 em 5.78 e resolvendo para os caso i = j = n, obtem-se a seguinte
expressao para An:
A2n =
ml
∫ 1
0
[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)]2 dx
−1(5.79)
A integral em 5.79 pode ser resolvida por meio de metodos numericos ou utili-
zando softwares que permitam manipular variaveis simbolicas. Independentemente
do metodo empregado na solucao, a integral do lado direito sempre resultara em 1.
Logo
An = A = ±√
1
ml(5.80)
48
Como A representa a amplitude da autofuncao, e conveniente adotar apenas o
valor positivo. A autofuncao para vibracao transversal normalizada com relacao a
massa m e alcancada substituindo A na Equacao 5.35
φn(x) =
√1
ml[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] (5.81)
Os 5 primeiros modos de flexao sao mostrados na Figura 5.4.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
x
φ(x
)
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Figura 5.4: Autofuncao (funcao de forma) φ(x) para os 5 primeiros modos de flexao.
A Equacao 5.78 ainda pode ser usada na Equacao 5.64 para alcancar a seguinte
relacao ∫ l
0
d4φi(x)
dx4EIφj(x) = δijw
2i (5.82)
5.5.2 Vibracao Torsional - Normalizacao com Relacao ao
Momento Polar de Inercia
Reescrevendo a condicao de ortogonalidade para torcao descrita em 5.77
∫ l
0
ψrIxψsdx = δrs (5.83)
49
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
x
ψ(x
)
r=1
r=2
r=3
r=4
r=5
Figura 5.5: Autofuncao (funcao de forma) ψ(x) para os 5 primeiros modos de torcao.
Sendo δrs e o Kronecker Delta, que equivale a 0 para r 6= s e 1 para r = s.
Substituindo a autofuncao para torcao 5.60 em 5.83 e resolvendo para s = r, obtem-
se a seguinte expressao para a constante de amplitude torcional Hr:
H2r =
Ixl
∫ 1
0
sin2[(2r − 1)
π
2x]dx
−1→ Hr = H =
√2
Ixl(5.84)
Segundo a Equacao 5.84, a constante H independe do modo de vibracao. Re-
escrevendo 5.60 na forma normalizada com relacao ao momento polar de Inercia
Ix
ψr(x) =
√2
Ixlsin[(2r − 1)
π
2x]
(5.85)
A funcao de forma ψ(x) para os 5 primeiros modos de torcao e mostrada na
Figura 5.5.
Ainda e possıvel aplicar a Equacao 5.83 na Equacao 5.73 para obter a seguinte
expressao ∫ l
0
d2ψr(x)
dx2GJψs(x) = −δrsw2
θ,r (5.86)
50
5.6 Equacoes Mecanicas
As expressoes obtidas a partir da propriedade de ortogonalidade das auto-funcoes,
definidas na Secoes 5.4, podem ser utilizadas na simplificacao das equacoes mecanicas
do sistema. As cargas de sustentacao e momento aplicado sobre o centro aero-
dinamico para situacoes nao-estacionarios, descritas no Capıtulo 4, assim como as
equacoes referentes ao circuito eletrico, sao entao utilizadas na obtencao das equacoes
diferenciais ordinarias que modelam a dinamica e coleta de energia.
Aplicando a Equacao 5.39 na Equacao 5.14 e substituindo f(x, t) pela forca de
sustentacao por unidade de comprimento da asa L(x, t)
m∞∑n=1
φn(x)d2ηn(t)
dt2+ EI
∞∑n=1
ηn(t)d4φn(x)
dx4− kΘv(t)
[dδ(x)
dx− dδ(x− l)
dx
]= L(x, t)
(5.87)
Multiplica-se ambos os lados da equacao por φm e integra-se de 0 a l
∫ l
0
∞∑n=1
φmmφn(x)d2ηn(t)
dt2dx+
∫ l
0
∞∑n=1
ηn(t)φmEId4φn(x)
dx4dx
− kΘv(t)
[∫ l
0
φmdδ(x)
dxdx−
∫ l
0
φmdδ(x− l)
dxdx
]=
∫ l
0
φm(x)L(x, t)dx
(5.88)
As condicoes de ortogonalidade expressas em 5.78 e 5.82 e a propriedade da
funcao Dirac Delta, dada em 5.15, podem ser entao aplicadas para simplificar a
Equacao 5.88
d2ηn(t)
dt2+ ω2
mηn(t)− kcΘv(t)
(− dφm(x)
dx
∣∣∣∣x=0
+dφm(x)
dx
∣∣∣∣x=l
)=
∫ l
0
φm(x)L(x, t)dx
(5.89)
Aplicando a condicao de contorno dada em 5.28 a Equacao 5.89
d2ηm(t)
dt2+ ω2
mηm(t)− Θmv(t) =
∫ l
0
φm(x)L(x, t)dx (5.90)
onde Θm e dado por
Θm = kcΘdφm(x)
dx
∣∣∣∣x=l
(5.91)
51
Substituindo L(x, t) em 5.90 pela Equacao 4.27
ηm + ω2mηm − Θmv(t) =∫ l
0
φm(x)
πρ∞b
2(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub
[U(θ0 + θ) + Ug − w + b
(1
2− a)θ + λ0
]dx
(5.92)
Aplicando as condicoes 5.39 e 5.70 aos termos w e w no lado direito da
Equacao 5.92 e reagrupando os termos:
(1 +
πρ∞b2
m
)ηm(t) +
2πρ∞Ub
m˙ηm(t) + ω2
mηm(t)− Θmv(t) =
2πρ∞Ub
∫ l
0
φm(x)
[Uθ0 + Ug(t) + λ0(x, t) + Uθ(x, t) + b(1− a)θ(x, t)− b2a
2Uθ(x, t)
]dx
(5.93)
Pode-se observar que os termos dependentes da posicao x na Equacao 5.93 desa-
parecerem quando se realiza a integracao na envergadura da asa, de forma a restar
apenas variaveis em funcao do tempo. Para que isto fique explıcito, o deslocamento
angular θ(x, t) e suas derivadas θ(x, t) e θ(x, t) devem ser expressos na forma de
variareis separaveis (Equacao 5.62)
θ(x, t) =∑∞
r=1 ψr(x)χr(t), θ(x, t) =∑∞
r=1 ψr(x)χr(t), θ(x, t) =∑∞
r=1 ψr(x)χr(t)
Reescrevendo a Equacao 5.93(1 +
πρ∞b2
m
)ηm(t) +
2πρ∞Ub
m˙ηm(t) + ω2
mηm(t)− Θmv(t) =
2πρ∞Ub
∫ l
0
φm(x) [Uθ0 + Ug(t)] +
N∑n=1
bnλφm,n + φm(x)
∞∑r=1
ψr(x)
[Uχr(t) + b(1− a)χr(t)−
b2a
2Uχr(t)
]dx
(5.94)
onde λφm,n e a forma modal referente ao modo de vibracao transversal m da veloci-
dade induzido pelo n-esimo estado λn. As velocidades induzidas pelos segmentos de
vortices na forma modal sao obtidas a partir de N equacoes diferenciais de primeira
ordem, apresentadas em 5.95
[A]λφm+U
bλφm = c
−ηm +
∫ l
0
φm(x)∞∑r=1
ψr(x)
[Uχr + b
(1
2− a)χr
](5.95)
52
Na e 5.95, a matriz de constantes [A] e os vetores de constantes b e c depen-
dem do numero de estados finitos considerados na analise, calculados atraves das
Equacoes 4.21, 4.23 e 4.25.
Para o deslocamento angular da asa, aplica-se o angulo de torcao dado por 5.62
a Equacao 5.43, substituindo fT (x, t) pelo momento aerodinamico aplicado no eixo
de torcao MP (x, t).
∞∑r=1
Ixψr(x)d2χr(t)
dt2−∞∑r=1
GJχr(t)d2ψr(x)
dx2= MP (x, t) (5.96)
Multiplicando ambos lados da equacao por ψ e integrando de 0 a l∫ l
0
∞∑r=1
ψsIxψr(x)d2χr(t)
dt2dx−
∫ l
0
∞∑r=1
χrψsGJ(t)d2ψr(x)
dx2dx =
∫ l
0
ψs(x)MT (x, t)dx
(5.97)
Essa equacao e simplificada ao aplicar as condicoes de ortogonalidade da auto-
funcao ψ(x), expressas em 5.83 e 5.86. MT (x, t) e dado pela Equacao 4.29
d2χs(t)
dt2+ ω2
θ,sχs(t) =
− πρ∞b3∫ l
0
ψs(x)
[Uθ + b
(1
8− a
2
)θ − 1
2w
]+
(1/2 + a)
∫ l
0
ψs(x)
πρ∞b
3(Uθ − baθ − w) + 2πρ∞Ub2
[Uθef + Ug − w + b
(1
2− a)θ + λ0
](5.98)
Expressando w, w e w, em funcao de φ(x) e η(t) (atraves da Equacao 5.39) e θ, θ
e θ em funcao ψ(x) e χ(t) (atraves da Equacao 5.62), alem de aplicar a propriedade
da auto-funcao 5.77 e reagrupar os termos[1 +
πρ∞b4
Ix(1/8 + a2)
]χs(t) + (1/2 + 2a2)
πρ∞b3U
Ixχs(t) +
[ω2θ,s −
2πρ∞b2U2(1/2 + a)
Ix
]χs(t) =
πρ∞b2U
∫ l
0
(1 + 2a)
[ψs(x)(Uθ0 + Ug) +
N∑n=1
bnλψs,n
]− ψs(x)
∞∑m=1
φm(x)[2U2(1/2 + a)ηm(t)− abηm(t)
]dx
(5.99)
em que λψs,n e a forma modal do modo de vibracao torcional s da velocidade induzido
pelo n-esimo estado λn. As velocidades induzidas pelos segmentos de vortices na
forma modal referentes ao modo s sao obtidas a partir de N equacoes diferenciais
53
de primeira ordem, apresentadas em 5.100
[A]λψs+U
bλψs = c
−∫ l
0
ψs
∞∑m=1
φm(x)ηmdx+ Uχs + b
(1
2− a)χs
(5.100)
A solucao da integral que engloba as autofuncoes φm(s) e ψr(s), dada em 5.101,
pode ser obtida atraves de tecnicas convencionais de integracao ou por metodos de
integracao numerica.∫ l
0
φm(x)ψr(x)dx =
√2
mIx
∫ 1
0
[cosλnx− coshλnx+ ζn (sinλnx− sinhλnx)] sin[(2r − 1)
π
2x]dx
(5.101)
As Equacoes 5.94 e 5.99 modelam a resposta dinamica de uma asa equipada com
ceramicas piezoeletricas sob condicoes aerodinamicas nao-estacionarias e podem ser
utilizas para simular o comportamento desta sob condicoes adversas de voo, como
durante a incidencia de rajadas de vento descritas no Capıtulo 4.
5.7 Acoplamento Eletromecanico
Considera-se inicialmente apenas uma da camada piezoeletrica conectada ao circuito
eletrico. Como a unica fonte de deformacao na camada piezoeletrica e a tensao axial
devido a flexao σP11, a expressao para o deslocamento eletrico na superfıcie do eletrodo
e dada pela Equacao 2.7
D3 = e31ε1 + εS33E3 (5.102)
A corrente eletrica desenvolvida no circuito e obtida a partir da lei de Gaus
aplicada a superfıcie do eletrodo e derivando em relacao ao tempo [1].
d
dt
(∫A
D · ndA)
=v(t)
R(5.103)
onde D e o vetor de deslocamento eletrico e n e o vetor unitario normal a superfıcie
A do eletrodo. Como a superfıcie dos eletrodos e perpendicular a direcao 3 (eixo z),
resta apenas a componente D3 do deslocamento eletrico apos o produto escalar.
Aplicando a Equacao 5.102 a Equacao 5.103, considerando a deformacao media
na camada piezoceramica expressa em termos da curvatura e o campo eletrico em
54
funcao da diferenca potencial (E3 = −v(t)/hp), otem-se:
d
dt
∫ l
0
[−e31
(hs + hP
2
)∂2w(x, t)
∂x2− εS33
v(t)
hp
]bmdx =
v(t)
R(5.104)
Reordenando os termos na Equacao 5.104
εS33bml
hp
dv(t)
dt+v(t)
R+ bm
(hs + hP
2
)e31
∫ l
0
∂3w(x, t)
∂x2∂tdx = 0 (5.105)
Nas Equacoes 5.104 e 5.105, o termo (hs + hP )/2 representa a distancia entre a
linha neutra e o centro da camada piezoeletrica. A capacitancia interna do elemento
piezoeletrico e dada por [1]
Cp =εS33bml
hp(5.106)
Substituindo as Equacoes 5.106 interna e 5.13 e expandindo na forma modal
Cpdv(t)
dt+v(t)
R+
1
2Θ∞∑i=1
dφi(x)
dx
∣∣∣∣l
dηi(t)
dt= 0 (5.107)
De acordo com Iman e Erturk [1], um elemento piezoeletrico pode ser repre-
sentado como uma fonte de corrente conectada em paralelo com sua capacitancia
interna. Sendo assim, o sistema analisado pode ser representado como na Figura 5.6.
Figura 5.6: Circuito equivalente a um elemento piezoeletrico alimentando uma carga resistiva
i(t) =1
2Θ∞∑i=1
dφi(x)
dx
∣∣∣∣l
dηi(t)
dt(5.108)
A equacao final do circuito eletrico para uma camada piezoeletrica conectada a
uma carga resistiva e obtida substituindo a Equacao 5.108 na Equacao 5.107
Cpdv(t)
dt+v(t)
R+ i(t) = 0 (5.109)
55
A partir do circuito equivalente para uma unica camada, e possıvel construir
os circuitos equivalentes para as configuracoes bi-morfas conectadas em serie e em
paralelo.
Figura 5.7: Circuitos equivalentes para as configuracoes (a) em paralelo e (b) em serie
A Figura 5.7(b) ilustra um circuito equivalente para a conexao em serie. Para
tal, aplica-se as leis de Kirchhoff a fim de se obter a capacitancia interna e a fonte
de corrente equivalentes
Csp =
Cp2, is(t) = i(t) =
1
2Θ∞∑i=1
dφi(x)
dx
∣∣∣∣l
dηi(t)
dt(5.110)
Logo, a equacao eletrodinamica do circuito eletrico conectado em serie e
Cp2
dv(t)
dt+v(t)
R+ i(t) = 0 (5.111)
Para o circuito em paralelo, ilustrado na Figura 5.7(a), a capacitancia interna e
a fonte de corrente equivalente obtidas a partir das leis de Kirchhoff sao
Cpp = 2Cp, ip(t) = 2i(t) = Θ
∞∑i=1
dφi(x)
dx
∣∣∣∣l
dηi(t)
dt(5.112)
A equacao eletrodinamica do circuito eletrico conectado em paralelo
Cpdv(t)
dt+v(t)
2R+ i(t) = 0 (5.113)
56
Por fim, as Equacoes 5.111 e 5.113 para os circuitos acoplados em serie e em para-
lelo, respectivamente, devem ser utilizadas em conjunto com as equacoes dinamicas
descritas na Secao 5.6 para obter a quantidade de energia coletada pelas camadas pi-
ezoeletricas. A potencia eletrica instantanea Pelet(t) desenvolvida no circuito eletrico
e calculada a partir da Equacao 5.114.
Pelet(t) =v(t)
R2(5.114)
A energia total coletada pelo sistema e obtida integrando 5.114 no tempo:
Eelet =
∫ tf
0
v(t)
R2dt (5.115)
57
5.8 Equacoes Eletromecanicas
As equacoes diferenciais que governam as respostas das coordenadas modais
(Equacoes 5.94 e 5.99) e a tensao eletrica desenvolvida no circuito eletrico conec-
tado em serie (Equacao 5.111) e em paralelo (Equacao 5.113) sao reescritas com o
intuito de se obter as equacoes eletromecanicas do sistema de colheita energetico
piezoeletrico.
η+ [Cw]η+ [Kw]η − [Θw]v(t) = Fw (5.116)
χ+ [Cθ]χ+ [Kθ]χ = Tθ (5.117)
Ceqp
dv(t)
dt+v(t)
Req+∞∑m=1
Θmdηm(t)
dt= 0 (5.118)
onde η e χ sao vetores contendo as coordenadas modais de flexao e torcao,
respectivamente, e v(t) e a tensao eletrica do circuito eletrico. Os elementos das
matrizes diagonais [Cw], [Kw], [Θ], [Cθ] e [Kθ] sao dados por
Cwi,i =
2πρ∞Ub
m(1 + rm)
Kwi,i =
ω2i
1 + rm
Θwii =
Θi
(1 + rm)
Cθj,j = (1/2 + 2a2)
πρ∞b3U
Ix(1 + rI)
Kθj,j =
1
(1 + rI)
[ω2θ,j −
2πρ∞b2U2(1/2 + a)
Ix
]
(5.119)
58
sendo as constantes rm e rI expressas por
rm =πρ∞b
2
m
rI =πρ∞(1/8 + a2)b4
Ix
(5.120)
Apesar das equacoes referentes as vibracoes transversais e angulares terem sido
derivadas separadamente, observa-se que o acoplamento entre elas ocorre atraves
dos vetores de carregamento mecanico Fw e Tθ, obtidos a partir das Equacoes
5.121 e 5.122.
Fw,i =2πρ∞Ub
1 + rm
∫ l
0
φi(x) [Uθ0 + Ug(t)] +
N∑n=1
bnλφm,n(t) +
φi(x)
∞∑r=1
ψr(x)
[Uχr(t) + b(1− a)χr(t)−
b2a
2Uχr(t)
]dx
(5.121)
Tθ,j =πρ∞b
2U
1 + rI
∫ l
0
(1 + 2a)
[ψs(x)(Uθ0 + Ug) +
N∑n=1
bnλψs,n(t)
]−
ψs(x)
∞∑m=1
φm(x)[2U2(1/2 + a)ηm(t)− abηm(t)
]dx
(5.122)
A solucao para os deslocamentos da estrutura e obtida atraves da superposicao
dos modos naturais de vibracao.
As formas modais das velocidades dos escoamentos induzidos por segmentos de
vortices λφs,n(t) e λψs,n(t) sao encontradas atraves das equacoes diferenciais 5.95 e
5.100. O termo de acoplamento eletromecanico modal Θm e a capacitancia equiva-
lente do circuito eletrico Ceqp para os circuitos conectados em serie e em paralelo sao
mostrados na Tabela 5.2.
Tabela 5.2: Termo de acoplamento eletromecanico modal e capacitancia equivalente do sistema de
colheita de energia piezoeletrico conectado em serie e em paralelo
Circuito em Serie Circuito em Paralelo
Θmbs(hs + hp)e31
2
dφm(x)
dx
∣∣∣∣x=l
bs(hs + hp)e31dφm(x)
dx
∣∣∣∣x=l
Ceqp
1
2
εS33bml
hp2εS33bml
hp
Os deslocamentos transversais e angulares sao encontrados a partir da super-
posicao dos modos naturais de vibracao atraves das Equacoes 5.39 e 5.60.
59
As equacoes diferenciais do sistema de colheita eletro-mecanico apresentadas
podem ser resolvidas com o uso de metodos numericos e softwares matematicos a fim
de avaliar a resposta dinamica do sistema e o potencial de colheita energetica a partir
de rajadas de vento que incidem sobre a superfıcie de componentes aerodinamicos.
As Equacoes 5.114 e 5.114 permitem calcular a potencia instantanea e a energia
coletada pelo sistema.
60
Capıtulo 6
Simulacoes Numericas
Este capıtulo apresenta as simulacoes numericas associadas a uma asa retangular
mono-longarina, com perfil de aerofolio NACA0015, a qual foi acoplado um sistema
de colheita piezoeletrico com o objetivo de absorver parte da energia proveniente
de rajadas de vento que incidem sobre o componente aerodinamico. As equacoes
diferenciais que modelam a dinamica e eletrodinamica do sistema sao resolvidas
atraves do metodo Runge-Kutta de 4a ordem. Atraves de uma analise parametrica,
e possıvel identificar o potencial de colheita energetica do sistema em funcao do gra-
diente de rajada, assim como a carga resistiva aplicada ao circuito eletrico conectado
que leva a maxima eficiencia em termos de colheita energetica.
6.1 Parametros
O perfil NACA0015 pertence a serie de aerofolios de quatro dıgitos desenvolvi-
dos pela National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), em que os qua-
tro dıgitos que compoem a nomenclatura do perfil referem-se as suas propriedades
geometricas. Os dois primeiros dıgitos estao relacionados a curvatura do aerofolio,
sendo que o primeiro representa o percentual da curvatura maxima com relacao a
corda, enquanto o segundo da a posicao da curvatura maxima ao longo da corda do
aerofolio a partir da borda de ataque. Os dois ultimos dıgitos representam a largura
maxima do aerofolio com relacao a corda (τ), sendo a localizacao desta equivalente
ao dobro deste valor a partir da borda de ataque (por definicao para esta serie de
aerofolios). No caso do perfil NACA0015, sua curvatura e zero, uma vez que e um
61
aerofolio simetrico com relacao a corda, e a largura maxima equivale a 15% da corda,
estando localizada a 30% da borda de ataque do aerofolio.
O objeto de estudo baseia-se no modelo Embraer Phenom 100, cujas propriedades
estao listadas em Tabela 4.1. Diferentemente da asa analisada, que e retangular, as
asas do Embraer Phenom 100 sao trapezoidais (i.e. a corda decai linearmente da
raiz ate a ponta). Desta forma, faz-se necessario obter um valor para a corda tal
que a area de planagem AP seja equivalente. Neste caso, a corda c equivale a corda
media do modelo base.
Ap = lc =l
2(cr + cp)
c =cr + cp
2
(6.1)
De acordo com a Equacao 3.1, a forca de sustentacao em aerofolios simetricos e
nula quando o angulo de ataque e nulo. Logo, para que as asas gerem forca de
sustentacao suficiente para manter o aviao num nıvel de altitude estavel em voos
de cruzeiro, e preciso dimensionar o angulo de ataque de projeto θ0. Considerando
o peso da aeronave com tanque de combustıvel completamente abastecido igual a
WTotal = (ZFW +Wfuel), em que ZFW e Wfuel sao obtidos da Tabela 4.1.
L = WTotal → θ0 =(ZFW +Wfuel)
4πρ∞U2∞bl
(6.2)
A estrutura da asa e formada por uma longarina de secao transversal em I com-
posta de alumınio AA7050, posicionada no centro aerodinamico do aerofolio (1/4c
da borda de ataque), com camadas de ceramica PZT-5A instaladas sobre as me-
sas. A Figura 6.1 ilustra a disposicao dos componentes numa secao do aerofolio,
enquanto as dimensoes sao dadas na Tabela 6.1. O alumınio AA7050 e uma liga
com elevado limite de escoamento e resistencia a tracao, frequentemente utilizada
em projetos aeroespaciais [10]. O PZT-5A e uma das piezo-ceramicas mais utiliza-
das em projetos de engenharia [1]. A Tabela 6.3 fornece as propriedades fısicas dos
componentes estruturais da asa.
As condicoes de operacao da aeronave e as propriedades atmosfericas sao for-
necidas na Tabela 6.2. Sao consideradas rajadas de vento verticais e horizontais
de igual magnitude e distancia gradiente, modeladas atraves do perfil “1-Cosseno”,
detalhado na Secao 4.3.
62
O metodo Runge Kutta de 4a Ordem e utilizado para solucionar as equacoes
diferenciais que modelam a dinamica (5.93 e Equacoes 5.99) e eletrodinamica
(Equacoes 5.111 e 5.113) do sistema. Intervalos temporais de 1 × 10−4s sao usa-
dos nas simulacoes, que levaram em conta os 5 primeiros modos de flexao e de
torcao (m, s ≤ 5), alem de 15 estados finitos na determinacao da velocidade media
do fluxo induzido λ0 (Equacao 4.19). Desta forma
w(x, t) =5∑
m=1
φm(x)ηm(t)
θ(x, t) =5∑s=1
ψs(x)χs(t)
λ0(x, t) =1
2
15∑n=1
bnλn(x, t)
(6.3)
Figura 6.1: Secao transversal do modelo de asa utilizado nas simulacoes
63
Tabela 6.1: Dimensoes da asa e dos componentes estruturais
Propriedade Valor
Semi-envergadura l 6,1450 m
Corda c = 2b 1,4250 m
Espessura Maxima τc 0,2137 m
Angulo de Ataque de Proj, θ0 1,06
Posicao do Eixo Elastico a -0,50
Largura da Alma ba 0,0100 m
Altura da Alma ha 0,1616 m
Largura das Mesas bm 0,1058 m
Altura das Mesas hm 0,0200 m
Largura dos Piezos bp 0,1058 m
Altura dos Piezos hp 0,0050 m
Tabela 6.2: Parametros de voo e turbulencia
Propriedade Valor
Densidade Atmosferica ρ∞ 1,225kg/m3
Velocidade de voo U 722 km/h [200,56 m/s]
Altitude de voo Z 12495 m [41000 ft] m
64
Tabela 6.3: Propriedades fısicas dos componentes estruturais
Longarina
Propriedade Sımbolo Valor
Material - Alumınio AA7050
Densidade ρs 2830 kg/m3
Modulo de Elasticidade Es 70,3 GPa
Modulo de Cisalhamento Gs 26,6 GPa
Limite de Escoamento SY 450 MPa
Massa por uni, de comprimento ms 16,55 kg/m
Momento de Inercia de Area (y) Iy,s 3, 856× 10−5m4
Momento de Inercia de Area (z) Iz,s 3, 962× 10−6m4
Momento Polar de Inercia de Area (x) Ix,s 4, 252× 10−5m4
Constante de Torcao Js 6, 182× 10−7m4
Rigidez de Flexao EIs 2, 71× 106Nm2
Rigidez de Torcao GJs 1, 65× 104Nm2
Camadas Piezoeletricas
Propriedade Sımbolo Valor
Material - PZT-5A
Densidade ρp 7750 kg/m3
Modulo de Elasticidade cE11 61,0 GPa
Modulo de Cisalhamento Gp 23,1 GPa
Constante de tensao piezo, efetiva e31 -10,4 C/m2
Permissividade a tensao constante εS33 13, 3× nF/m
Capacitancia Cp 1, 73× 10−6F
Massa por uni, de comprimento mp 8,20 kg/m
Momento de Inercia de Area (y) Iy,p 1, 129× 10−5m4
Momento de Inercia de Area (z) Iz,p 9, 871× 10−7m4
Momento Polar de Inercia de Area (x) Ix,p 1, 228× 10−5m4
Constante de Torcao Jp 4, 41× 10−9m4
Rigidez de Flexao EIp 6, 89× 105Nm2
Rigidez de Torcao GJp 1, 02× 102Nm2
65
Com base nos parametros listados na Tabela 6.3, e possıvel calcular as frequencias
naturais do sistema para flexao e torcao a partir das Equacoes 5.37 e 5.59, respecti-
vamente. As frequencias naturais dos cinco primeiros modos de cada um dos tipos
de vibracao sao apresentadas na Tabela 6.4
Tabela 6.4: Frequencias naturais
Modo Flexao [Hz] Torcao[Hz]
1 35, 5 70, 9
2 216, 3 212, 6
3 605, 5 354, 3
4 1186, 6 496, 1
5 1961, 5 637, 8
6.2 Condicoes Iniciais
O sistema encontra-se inicialmente sob repouso, sendo as condicoes iniciais dadas
por:
η1
η2
η3
η4
η5
t=0
=
η1
η2
η3
η4
η5
t=0
=
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
t=0
=
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
t=0
=
0
0
0
0
0
e v(t = 0) = 0
(6.4)
Os deslocamentos devido a flexao w(x, 0) e torcao θ(x, 0), causadas pela forca
de sustentacao e momento aerodinamico estacionarios, sao calculadas aplicando as
Condicoes Iniciais 6.4 as Equacoes 5.93 e 5.99, respectivamente.
66
η1
η2
η3
η4
η5
t=0
=
−1, 3343
−0, 0188
−0, 0014
−0, 0003
−0, 0001
e
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
t=0
=
0
0
0
0
0
(6.5)
Note que χ(0) = 0 deve-se ao posicionamento do eixo elastico sobre AC (a =
−1/2). Isso faz que o momento sobre AC e, consequentemente, o momento torcor
sejam nulos ao longo de toda a envergadura da asa em situacoes estacionarias.
Substituindo os resultados de 6.5 nas Equacoes 6.3, obtem-se w(x, 0) e θ(x, 0):
w(x, 0) =5∑
m=1
φm(x)ηm(0)
θ(x, 0) =5∑r=1
ψr(x)χr(0) = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
50
100
150
200
250
x/l
w(x
,t =
0)
[mm
]
Figura 6.2: Deflexao transversal da asa em t=0.
67
6.3 Resultados para Rajadas de Vento Discretas
A resposta dinamica do sistema e a potencia eletrica desenvolvida no circuito sao
calculadas para rajadas de vento discretas que incidem sobre as asas. Os parametros
descritos na Tabela 6.2 sao mantidos constantes, enquanto varia-se a distancia gra-
diente H (i.e. a intensidade e duracao das rajadas) e a resistencia equivalente do
circuito eletrico R.
0 0.5 1 1.5 2 2.5100
200
300
400
500
600
700
Tempo [s]
Deslo
cam
ento
da P
onta
[m
m]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo [s]
Desl. A
ngula
r da P
onta
[°]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Tempo [s]
Velo
cid
ade d
a P
onta
[m
/s]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Tempo [s]
Vel. A
ngula
r da P
onta
[°/
s]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(d)
Figura 6.3: (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) velocidade transversal e
(d) velocidade angular da ponta da asa considerando um circuito conectado em serie com R = 10kΩ
para diversos valores de H
As Figuras 6.3 e 6.4 apresentam os resultados obtidos para 5 valores diferentes
de gradientes de rajadas (variando entre o 35ft (10,67m) e 350ft (106,68m) para o
circuito conectado em serie. A resistencia equivalente do circuito eletrico utilizada
68
0 0.5 1 1.5 2 2.5−2000
−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
Tempo [s]
Tensão E
létr
ica [V
]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
50
100
150
200
250
300
Tempo [s]
Potê
ncia
Elé
tric
a [W
]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(b)
Figura 6.4: (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em serie com R = 10kΩ
para diversos valores de H
na simulacao equivale a 10kΩ. E possıvel observar que a amplitude e a duracao do
deslocamento transversal da ponta da asa (Figura 6.3(a)) aumentam com o aumento
da distancia gradiente. Em contrapartida, o deslocamento angular (Figura 6.3(c)) e
superior em rajadas de curta duracao, uma vez que estas induzem maiores variacoes
de velocidade, gerando maior momento no centro aerodinamico. Isto tambem e
refletido na tensao eletrica desenvolvida no circuito eletrico (Figura 6.4(a)), uma vez
que esta e proporcional a velocidade do deslocamento, consequentemente levando a
uma maior potencia eletrica gerada no circuito (Figura 6.4(b)). Resultados similares
sao obtidos ao considerar o circuito conectado em paralelo (Figuras 6.5 e 6.6).
Comparando os resultados obtidos para o circuito em serie com os alcancados
com o circuito em paralelo (Figuras 6.3 e 6.5), e possıvel observar que a escolha do
tipo de circuito nao exerce grande efeito sobre a dinamica do sistema quando uma
carga resistiva de R = 10kΩ e aplicada ao circuito. Isso fica explıcito na Figura 6.7,
que compara o valores absolutos maximos dos deslocamento e velocidades na ponta
da asa. Em contrapartida, a tensao eletrica e a potencia instantanea desenvolvida
no circuito eletrico variam bastante de uma conexao para outra, sendo que valores
superiores sao atingidos quando a conexao do circuito em paralelo e utilizada. Isto
e refletido na energia total coletada pelo sistema, como mostrado na Figura 6.8.
69
0 0.5 1 1.5 2 2.5100
200
300
400
500
600
700
Tempo [s]
Deslo
cam
ento
da P
onta
[m
m]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Tempo [s]
Desl. A
ngula
r da P
onta
[°]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(b)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Tempo [s]
Velo
cid
ade d
a P
onta
[m
/s]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(c)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Tempo [s]
Vel. A
ngula
r da P
onta
[°/
s]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(d)
Figura 6.5: (a) Deslocamento transversal, (b) deslocamento angular, (c) velocidade transversal
e (d) velocidade angular da ponta da asa considerando um circuito conectado em paralelo com
R = 1000Ω para diversos valores de H
70
0 0.5 1 1.5 2 2.5−2500
−2000
−1500
−1000
−500
0
500
1000
1500
2000
2500
Tempo [s]
Tensão E
létr
ica [V
]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.50
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo [s]
Potê
ncia
Elé
tric
a [W
]
H=35ft (10,7m)
H=105ft (32,0m)
H=175ft (53,3m)
H=280ft (85,3m)
H=350ft (106,7m)
(b)
Figura 6.6: (a) Tensao eletrica e (b) potencia para um circuito conectado em paralelo com R =
10kΩ para diversos valores de H
A fim de investigar os efeitos causados pela resistencia eletrica do circuito sobre
as respostas dinamica e eletrica do sistema, sao realizadas simulacoes com valores
de cargas resistivas variando entre 100Ω e 100MΩ. Os resultados sao apresentados
nas Figuras 6.9 e 6.10, para uma rajada de vento com distancia gradiente de 35ft
(10,67m). A carga resistiva e expressa em escala logarıtmica, sendo resistencia
eletrica de referencia Rref = 1Ω.
A partir da Figura 6.9 percebe-se que o deslocamento da ponta da asa decai com
o aumento da resistencia eletrica do circuito, permanecendo praticamente estavel
para valores acima de 1000kΩ (independentemente do tipo de circuito utilizado).
Como esperado, voltagens superiores sao alcancadas com o uso do circuito em serie.
Por outro lado, maiores amplitudes de corrente eletrica podem ser atingidas com o
circuito conectado em paralelo, permitindo escolher o tipo de conexao do circuito
eletrico mais indicado para aplicacoes especıficas.
A Figura 6.10 contem as curvas de energia coletada em funcao da resistencia
eletrica para cada um dos circuitos avaliados, considerando H = 35ft(10, 67m).
Uma vez que a corrente e a tensao eletrica se comportam de maneiras opostas com
relacao a carga resistiva (i.e a corrente e inversamente proporciona a resistencia,
enquanto a tensao eletrica e diretamente proporcional a esta) e sabendo que a energia
coletada e obtida a partir da integral da potencia eletrica, produto entre a corrente
e a tensao eletrica, no tempo, pode-se notar que a energia coletada nao apresenta
71
0 20 40 60 80 100 120500
550
600
650
700
H [m]
De
slo
ca
m.
Ab
s.
Ma
x d
a P
on
tat
[mm
]
Serie
Paralelo
(a)
0 20 40 60 80 100 1200.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
H [m]
Desl. A
ngula
r A
bs. M
ax. da P
onta
[º]
Serie
Paralelo
(b)
0 20 40 60 80 100 1201
2
3
4
5
6
7
H [m]
Velo
c. A
bs. M
ax. da P
onta
[m
/s]
Serie
Paralelo
(c)
0 20 40 60 80 100 1200
5
10
15
20
25
30
35
40
H [m]
Ve
loc.
An
g.
Ab
s.
Ma
x.
da
Po
nta
[º/
s]
Serie
Paralelo
(d)
Figura 6.7: Comparacao entre os circuitos conectados em serie e em paralelo dos valores absolutos
maximos obtidos para (a) o deslocamento transversal, (b) o deslocamento angular, (c) a velocidade
transversal e (d) a velocidade angular da ponta da asa, considerando R = 10kΩ
72
0 20 40 60 80 100 1200
10
20
30
40
50
60
H [m]
Energ
ia C
ole
tada [J]
Serie
Paralelo
Figura 6.8: Total de energia coletada atraves do circuito eletrico acoplado ao sistema para R =
10kΩ
um comportamento monotonico em funcao da resistencia, havendo determinados
valores de resistencia que maximizam a colheira energetica. Apesar do ponto de
maxima coleta de energia ser alcancado para diferentes valores de resistencia eletrica
em cada um dos circuitos, a magnitude da energia maxima coletada e de cerca de
41J para ambos circuitos. Estes pontos sao atingidos com o uso de resistencias
eletricas de R ' 35, 1kΩ e R ' 10, 0kΩ para os circuitos em serie e em paralelo,
respectivamente. A energia coletada em funcao da resistencia para outros gradientes
de rajada e mostrada na Figura 6.11. Pode-se inferir que a distribuicao da energia
coletada em funcao da resistencia e aproximadamente parabolica para todos em todo
o regime de gradientes de rajada passıveis de atingir a aeronave.
A maxima energia coletada pelo sistema a partir de rajadas de vento discretas
em funcao da distancia gradiente e apresentada na Figura 6.12, enquanto a Fi-
gura 6.13 mostra a resistencia eletrica necessaria que este valor seja alcancado. A
partir dos resultados, nota-se que a capacidade de coleta dos sistemas conectados
em serie e em paralelo e bastante proxima ao logo de todo o intervalo de distancias
gradientes. O pico de energia registrado em torno do gradiente 20m e devido a pro-
ximidade da frequencia natural do primeiro modo de vibracao transversal do sistema
(ω1 = 34, 5Hz). Com excecao deste ponto, percebe-se que a capacidade de colheita
73
2 3 4 5 6 7 8512
512.5
513
513.5
514
514.5
515
log(R/Rref
)
Máx. D
eslo
c. A
bs. da P
onta
[m
m]
Paralelo
Paralelo − Cubic Spline
Série
Série − Cubic Spline
(a)
2 3 4 5 6 7 80.85
0.851
0.852
0.853
0.854
0.855
0.856
0.857
0.858
log(R/Rref
)
Max. D
esl. A
ngula
r A
bs. da P
onta
[º]
Paralelo
Paralelo − Cubic Spline
Série
Série − Cubic Spline
(b)
2 3 4 5 6 7 80
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
log(R/Rref
)
Ma
x.
Te
nsã
o E
létr
ica
[V
]
Paralelo
Paralelo − Cubic Spline
Série
Série − Cubic Spline
(c)
2 3 4 5 6 7 80
50
100
150
200
250
300
350
400
log(R/Rref
)
Ma
x.
Cu
rre
nte
Elé
tric
a [
mA
]
Paralelo
Paralelo − Cubic Spline
Série
Série − Cubic Spline
(d)
Figura 6.9: Valores absolutos maximos atingidos para os deslocamentos (a) transversal e (b) angu-
lar da ponta da asa, (c) tensao eletrica e (d) corrente eletrica em funcao da resistencia equivalente
do circuito (H = 35ft (10, 67m))
74
2 4 6 8 10 120
5
10
15
20
25
30
35
40
45
log(R/Rref
)
Energ
ia C
ole
tada [J]
Série
Série − Cubic SplineParalelo
Paralelo − Cubic Spline
Figura 6.10: Total de energia coletada pelo sistema em funcao da resistencia eletrica equivalente
(H = 35ft (10, 67m))
aumenta com o aumento do gradiente de rajada, o que e explicado pelo aporte de
energia ao sistema (i.e quanto maior a intensidade e duracao da rajada de vento,
mais energia e fornecida ao sistema). A resistencia eletrica requerida para maxi-
mizar a colheita energetica tende a crescer com o gradiente de turbulencia, sendo
sempre superior para circuitos conectados em serie.
Os resultados obtidos nas simulacoes realizadas permitem avaliar a resposta
dinamica do sistema para diferentes situacoes de turbulencia que podem ser en-
contradas durante voos de cruzeiro ou em manobras aereas. A caracterizacao do
sistema de colheita energetica a partir de materiais piezoeletricos permite compre-
ender o processo de colheita energetica, podendo ser aplicada no dimensionamento
eficiente de sistemas reais. Alem do mais, o modelo apresentado nesta analise e
bastante abrangente, podendo ser empregado em diversas outras aplicacoes de en-
genharia com pequenas modificacoes nos parametros e cargas utilizadas.
75
2 4 6 8 10 120
10
20
30
40
50
60
70
log(R/Rref
)
En
erg
ia C
ole
tad
a [
J]
Série
Série − Cubic SplineParalelo
Paralelo − Cubic Spline
(a) H=70ft (21,36m)
2 4 6 8 10 120
10
20
30
40
50
60
70
log(R/Rref
)
En
erg
ia C
ole
tad
a [
J]
Série
Série − Cubic SplineParalelo
Paralelo − Cubic Spline
(b) H=140ft (42,62m)
2 4 6 8 10 120
10
20
30
40
50
60
70
log(R/Rref
)
En
erg
ia C
ole
tad
a [
J]
Série
Série − Cubic SplineParalelo
Paralelo − Cubic Spline
(c) H=270ft (82,30m)
2 4 6 8 10 120
10
20
30
40
50
60
70
80
log(R/Rref
)
En
erg
ia C
ole
tad
a [
J]
Série
Série − Cubic SplineParalelo
Paralelo − Cubic Spline
(d) H=350ft (106,68m)
Figura 6.11: Energia coletada em funcao da resistencia eletrica para diversos gradientes de rajadas
discretas.
76
20 30 40 50 60 70 80 90 10040
45
50
55
60
65
70
75
Gradiente de Rajada [m]
Ma
x.
Ene
rgia
Cole
tad
a [
J]
Circ. em Serie
Circ. em Paralelo
Figura 6.12: Maxima energia possıvel de ser coletada pelo sistema em funcao do gradiente de
rajada
20 30 40 50 60 70 80 90 1004
4.5
5
5.5
Gradiente de Rajada [m]
log(R
/Rre
f) para
Max. C
olh
eita E
nerg
ética
Circ. em Serie
Circ. em Paralelo
Figura 6.13: Resistencia eletrica equivalente do circuito eletrico necessaria para maximizar a coleta
de energia
77
Capıtulo 7
Conclusao
O objetivo deste trabalho consiste em investigar a resposta dinamica e a capacidade
de colheita de energia a partir de vibracoes geradas pela incidencia de rajadas de
vento sobre componentes aerodinamicos de aeronaves atraves do uso de materiais
com propriedades piezoeletricas. O sistema de colheita energetico e modelado como
um sistema contınuo, permitindo analisar a dinamica do sistema ao longo de toda
a sua extensao e contabilizar o efeito de multiplos modos de vibracao. As cargas
aerodinamicas sao derivadas da teoria de estados-finitos de Peters et al. (1995),
com o intuito de abordar efeitos aerodinamicos nao-estacionarios. Sao considera-
das rajadas de vento do tipo “1-Cosseno”, seguindo as orientacoes estabelecidas
em [3]. A solucao do sistema de equacoes diferenciais que modela a dinamica e
eletrodinamica do sistema e obtida utilizando o metodo numerico Runge Kutta de
quarta ordem, possibilitando obter a resposta dinamica e a capacidade de colheita
de energia do sistema em funcao do gradiente de turbulencia e do carga resistiva do
circuito eletrico.
A estrutura da asa e modelada como uma viga Euler-Bernoulli contınua em
balanco, engastada em uma das extremidades e livre na outra, com camadas de
material piezoeletrico acopladas as extremidades superior e inferior. As cargas aero-
dinamicas nao-estacionarias foram extraıdas do modelo de estados-finitos de Peters
et al. (1995), descrito em [2], com pequenas modificacoes a fim de considerar os
efeitos causados pela incidencia das rajadas de vento com perfil “1-Cosseno”. Uti-
lizando o metodo de separacao de variaveis, as frequencias naturais e as funcoes de
forma do sistema sao encontradas. Com isso, pode-se dividir as equacoes diferenci-
78
ais parciais que modelam a mecanica do sistema em infinitas equacoes diferenciais
ordinarias. As equacoes do circuito eletrico sao derivadas com base na integral da
lei de Gauss e das equacoes constitutivas dos materiais piezoeletricos.
Considerando os cinco primeiros modos de vibracao transversal e angular, si-
mulacoes numericas sao realizadas utilizando o metodo Range-Kutta de 4a ordem,
com parametros baseados numa aeronave de transporte civil da categoria Very Light
Jet. Os resultados obtidos permitem analisar a resposta dinamica e o potencial de
colheita energetica do sistema para diversos valores de carga resistiva do circuito
eletrico e gradientes de turbulencia. E possıvel observar a dependencia da capaci-
dade de colheita energetica em funcao da carga resistiva do circuito eletrico, tanto
para circuitos conectados em serie, quanto para circuitos em paralelo. Para um
gradiente de rajada especıfico, a colheita de energia apresenta um comportamento
parabolico em funcao da resistencia eletrica do circuito, podendo ser maximizada
com o uso de cargas resistivas especıficas. O mapeamento das resistencias eletricas
que levam a maxima colheita energetica, assim como o maximo potencial de co-
lheita em funcao do gradiente de rajada, sao apresentados em forma grafica. Como
esperado, o potencial de colheita energetica cresce com o gradiente de rajada, com
um maximo local na proximidade da primeira frequencia de ressonancia do sistema.
Apesar de ser possıvel reduzir os efeitos das vibracoes geradas pelas incidencia de
rajadas, os ganhos sao desprezıveis quando comparados ao deslocamento estatico da
estrutura.
Comparando os tipos de conexao em serie e em paralelo, e possıvel concluir
que a capacidade de colheita do sistema independe do tipo de conexao do circuito
(i.e. ambos circuitos apresentam potencial de colheita praticamente equivalentes
para uma determinada magnitude de turbulencia). Como esperado, maiores volta-
gens eletricas sao alcancadas para circuitos em serie, enquanto correntes eletricas
superiores sao obtidas a partir de circuitos conectados em paralelo, o que permite
selecionar o tipo de circuito mais adequado para determinadas aplicacoes.
79
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[10] PRASAD, E., WANHILL, R.In: , Aerospace Materials and Material Techno-
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81