ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM ...

ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM

PROTENSÃO EXTERNA

Vinicius Lube Teles

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil.

Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Rio de Janeiro

Setembro de 2015


PROTENSÃO EXTERNA

Vinicius Lube Teles

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

________________________________________________

Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D.

________________________________________________

Profᵃ. Lídia da Conceição Domingues Shehata, Ph.D.

________________________________________________

Profᵃ. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Alexandre Landesmann, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO DE 2015

iii

Teles, Vinicius Lube

Análise de vigas de concreto armado reforçadas com

protensão externa / Vinicius Lube Teles – Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPE, 2015.

XVI, 102 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Civil, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 93-97.

1.Concreto armado. 2. Reforço. 3. Protensão externa. I.

Shehata, Ibrahim Abd El Malik. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Dedico este trabalho, em especial, ao meu avô Zezito

e ao meu padrinho Geraldo. Levo vocês no meu coração.

v

AGRADECIMENTOS

À luz de Santo Inácio de Loyola, agradeço a Deus pelos dons e oportunidades

que me deu e para quem devolto, dispondo deles com gratidão.

Aos professores Ibrahim e Lídia por todo o conhecimento transmitido nas aulas

e ao longo de todo período deste trabalho. Mesmo sabendo de todas as minhas

deficiências e dificuldades, me incentivaram, apoiaram e colaboraram muito ao longo

de toda essa caminhada.

À minha mãe, mesmo distante, mas no meu coração, por sempre me escutar nos

momentos dificies e por todas as abdicações que fez por mim e pelo meu irmão na sua

vida.

À minha querida Aline Almeida, pela paciência e compreensão em todo esse

tempo. Pela sua disposição em me ajudar e estar ao meu lado me apoiando e

incentivando para que eu não desistisse e seguisse em frente.

Aos amigos que fiz no mestrado, Erica, Rafaela, Rodrigo, Godoy, Marianne e

Alfredo. Em especial ao Nelson, por toda a ajuda com o FORTRAN, à Karyne pelo

apoio e ajuda em vários momentos na elaboração da dissertação e ao querido amigo

Renato Evangelista com quem tive o prazer de conviver e ter como amigo.

Aos amigos Maria Luisa, Igor Guerrante e Thomás Resende pela ajuda valiosa

durante a elaboração deste trabalho.

Ao engenheiro José Afonso Pereira Vitório, que cordialmente cedeu algumas

fotos de suas obras.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)


PROTENSÃO EXTERNA

Vinicius Lube Teles

Setembro/2015


Programa: Engenharia Civil

Para reforçar estruturas existentes de grande porte, a protensão externa se

destaca por ser uma técnica versátil e de boa relação custo/beneficio. Ela tem as

vantagens de não necessitar a interdição da estrutura, diminuir flechas e aberturas de

fissuras, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.

Neste trabalho são apresentados procedimentos normativos e metodologias

propostas na literatura para obtenção da variação de tensão nos cabos de vigas com

protensão externa relativa a determinado carregamento. É também descrito o programa

em linguagem FORTRAN elaborado com o objetivo de analisar o comportamento de

vigas de concreto armado reforçadas com protensão externa. A partir desse programa é

possível estimar as tensões nos cabos e as flechas das vigas. O programa se aplica ao

caso de vigas monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas com cabos poligonais e

permite a análise do comportamento da estrutura tanto em serviço quanto no estado

limite último considerando as não-linearidades física e geométrica.

Os resultados obtidos com o programa desenvolvido mostraram uma boa

correlação com os experimentais e numéricos disponíveis na literatura, sendo possível

prever o comportamento da estrutura por meio de uma análise numérica mais simples

do que a proposta por outros autores.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS STRENGTHENED BY

EXTERNAL PRESTRESSING

Vinicius Lube Teles

September/2015

Advisor: Ibrahim Abd El Malik Shehata

Department: Civil Engineering

The external prestressing stands out as a versatile technique with a good

cost/benefit ratio to strengthen existing large structures. It has the advantages of not

requiring the interdiction of the structure and of reducing deflection and crack widths,

besides facilitating the inspection and maintenance of the cables.

This work presents code procedures and methodologies proposed in the

literature for obtaining the stress increment in the tendons of beams with external

prestressing related to certain loading. It is also described a program in FORTRAN

language developed to analyze the behaviour of reinforced concrete beams strengthened

with external prestressing. With this program, it is possible to estimate the prestressing

cables stresses and the deflection of the beams. The program considers the case of

monolithic reinforced concrete beams, simply supported with polygonal tendons and

analyzes the beam in both the service and ultimate limit states considering the physical

and geometric nonlinearity.

The results obtained from the program showed good correlation with

experimental and numerical results available in the literature, making it possible to

predict the behaviour of the structure through a numerical analyzes simpler than others

described in the literature.

viii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1

1.1 Considerações Iniciais e Motivação ....................................................................... 1

1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho ............................................................................. 4

1.3 Estrutura do Trabalho ............................................................................................. 5

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................................................................................... 6

2.1 Breve Histórico da Protensão Externa .................................................................... 6

2.2 Vantagens e Desvantagens ...................................................................................... 8

2.3 Trabalhos já realizados ......................................................................................... 10

2.3.1 Estudo de MACGREGOR (1989) ................................................................. 10

2.3.2 Estudos de NAAMAN (1990) e NAAMAN e ALKHAIRI (1991) .............. 14

2.3.3 Estudos de DÉSIR (1993) e RÉGIS (1997) .................................................. 18

2.3.4 Estudos de HARAJLI (1993) e HARAJLI et al. (1999) ............................... 22

2.3.5 Estudos de TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005) ...................................... 28

2.3.6 Estudo de DALL’ASTA et al. (2007) ........................................................... 33

2.3.7 Estudo de HE e LIU (2010) .......................................................................... 35

2.3.8 Estudo de GHALLAB (2013) ....................................................................... 37

2.4 Procedimentos Normativos Referentes à Protensão Externa ................................ 40

2.4.1 NBR 6118:2014 ............................................................................................ 40

2.4.2 ACI 318:2014 ................................................................................................ 41

2.4.3 AASHTO:2012 ............................................................................................. 41

2.4.4 EN 1992-1-1:2004 ......................................................................................... 42

2.5 Considerações Sobre a Protensão Externa ............................................................ 42

2.6 Comentários Finais ............................................................................................... 45

3 PROGRAMA DESENVOLVIDO ............................................................................... 48

3.1 Introdução ............................................................................................................. 48

ix

3.2 Análises do Problema ........................................................................................... 48

3.2.1 Não-linearidade Física .................................................................................. 48

3.2.2 Procedimento da Análise da Interação Cabo-Estrutura ................................ 52

3.3 Programa de Análise Desenvolvido ...................................................................... 58

3.3.1 Análise Seccional .......................................................................................... 59

3.3.2 Análise da Viga ............................................................................................. 62

3.3.3 Carregamentos e Traçado dos Cabos ............................................................ 65

3.3.4 Dados de Entrada e de Saída ......................................................................... 67

4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA .................................................... 72

4.1 Introdução ............................................................................................................. 72

4.2 Viga Ensaiada por HARAJLI (1993) .................................................................... 73

4.3 Viga Ensaiada por TAN e NG (1997) .................................................................. 76

4.4 Vigas Ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) .................................. 79

4.5 Análise Numérica de DALL’ASTA et al. (2007) ................................................. 83

4.6 Aplicação com a Variação do Número de Desviadores ....................................... 86

4.7 Cálculos Segundo Equações Propostas ................................................................. 89

5 CONCLUSÕES ............................................................................................................ 91

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 93

APÊNDICE ..................................................................................................................... 98

x

LISTA DE FIGURAS

Figura 1-1 – Vista em perspectiva do perfil dos cabos externos e disposição dos desviadores da ponte

Long Key (MACGREGOR, 1989, p. 2). ...................................................................................................... 1

Figura 1-2 – Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos externos da Ponte

sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012). ....................................................... 2

Figura 1-3 – Desviador próximo ao apoio da Ponte sobre Riacho dos Porcos ............................................. 3

Figura 1-4 – Viga sujeita a cargas, conduzindo ao aumento de deformações e perda da excentricidade

inicial - efeito de segunda ordem (NG e TAN, 2005a, p. 611). .................................................................... 5

Figura 2-1 – Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrücke, Alemanha. Dimensões em metros (SPECHT,

1987, p. 165). ................................................................................................................................................ 6

Figura 2-2 – Ponte Can Bia com corrosão dos cabos externos devida à infiltração e ruptura de alguns

cabos (VIRLOGEUX, 1990, p. 26). ............................................................................................................. 7

Figura 2-3 – Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte existente (BBR

Cables for External Prestressing, 1999, p.11). ............................................................................................ 10

Figura 2-4 – Arranjo dos cabos externos e seções transversais, com dimensões em milímetros

(MACGREGOR, 1989, p. 55). ................................................................................................................... 11

Figura 2-5 – Esquema de carregamento da estrutura em um dos vãos de extremidade (MACGREGOR

1989, p. 171). .............................................................................................................................................. 11

Figura 2-6 – Altura plástica, Zp, definida como sendo a distância da rótula plástica ao cabo externo

(MACGREGOR, 1989, p. 335). ................................................................................................................. 12

Figura 2-7 – Diagrama esquemático de tensão dos cabos com o acréscimo de carga (MACGREGOR,

1989, p. 308). .............................................................................................................................................. 13

Figura 2-8 – Diagrama esquemático da relação entre momento fletor e deslocamento vertical da seção de

maior momento fletor de viga com cabos protendidos não aderentes internos ou externos (NAAMAN,

1990, p. 352). .............................................................................................................................................. 15

Figura 2-9 – Variação da excentricidade dos cabos com a deformação da viga ......................................... 19

Figura 2-10 – Discretização de dois trechos consecutivos para determinação da carga Pj, responsável por

provocar o deslizamento (DÉSIR, 1993, p. 36). ......................................................................................... 19

Figura 2-11 – Vista longitudinal da viga monolítica com esquema de carregamento e seções transversais,

com dimensões em milímetros (RÉGIS, 1997, p. 24). ............................................................................... 20

Figura 2-12 – Curvas carga-flecha para vigas monolítica e com aduelas pré-moldadas obtidas

experimentalmente por RÉGIS (1997) e com o programa de DÉSIR (1993) (RÉGIS, 1997, p. 101). ....... 21

Figura 2-13 – Curva carga-flecha no meio do vão para viga com protensão interna reforçada com cabos

externos retos (HARAJLI, 1993, p. 81). ..................................................................................................... 22

Figura 2-14 – Curva carga-flecha para viga de concreto armado reforçada com cabos externos poligonais

(HARAJLI, 1993, p. 82). ............................................................................................................................ 23

Figura 2-15 – Vista longitudinal e seção transversal das vigas ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI

(1997) (HARAJLI et al., 1999, p.1153). .................................................................................................... 24

xi

Figura 2-16 – Comparação entre curvas carga-flecha esperimentais de KHAIRALLAH e HARAJLI

(1997) e as obtidas numericamente por HARAJLI et al. (1999). ............................................................... 25

Figura 2-17 – Comparação entre curvas momento fletor-acréscimo de tensão nos cabos obtidas

experimentalmente por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e as dadas pelo modelo numérico de

HARAJLI et al. (1999). .............................................................................................................................. 26

Figura 2-18 – Curvas momento fletor-flecha para três configurações de desviadores e taxas de armadura

mecânica (HARAJLI et al., 1999, p. 1157). ............................................................................................... 27

Figura 2-19 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto protendido com diferentes tensões

efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159). ................................................................... 27

Figura 2-20 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto armado com diferentes tensões efetivas

nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159). ................................................................................ 28

Figura 2-21 – Acréscimo de tensões devido ao efeito de pino em cabos internos e ausência do efeito para

cabos externos em face do movimento não restringido dos cabos (NG, 2003, p. 645). ............................. 28

Figura 2-22 – Configuração das vigas ensaiadas com dimensões em milímetros ...................................... 30

Figura 2-23 – Configuração de cabos das vigas ensaiadas, com dimensões em milímetros (NG e TAN,

2005b, p. 624). ............................................................................................................................................ 31

Figura 2-24 – Curvas carga-tensão nos cabos externos, calculadas e experimentais, para diferentes

números de desviadores (NG e TAN, 2005b, p. 630)................................................................................. 32

Figura 2-25 – Curvas momento fletor-tensão nos cabos externos obtidas nos ensaios (NG e TAN, 2005b,

p. 625)......................................................................................................................................................... 32

Figura 2-26 – Modelo estrutural esquemático cabo-estrutura (DALL’ASTA et al., 2007, p. 123) ............ 34

Figura 2-27 – Arranjo dos cabos e seções transversais, com dimensões em centímetros (DALL’ASTA et

al., 2007, p. 125)......................................................................................................................................... 34

Figura 2-28 – Influência do número de desviadores na variação de tensão dos cabos ............................... 37

Figura 2-29 – Configuração esquemática dos cabos externos antes e após carregamento, mostrando a

pequena mudança de posiçãodo ponto A na extremidade .......................................................................... 38

Figura 2-30 – Variação da excentricidade em uma viga com cabos externos e dois desviadores e

demarcação do limite entre região fissurada e não fissurada ...................................................................... 43

Figura 2-31 – Esquema de forças atuantes no desviador (MACGREGOR, 1989, p. 286). ........................ 44

Figura 3-1 – Representação esquemática do diagrama tensão normal-deformação específica do concreto

segundo a EN 1992-1-1:2004. .................................................................................................................... 49

Figura 3-2 – Diagrama tensão normal-deformação específica do aço da armadura passiva. ..................... 50

Figura 3-3 – Diagrama tensão normal-deformação específica para o aço das armaduras ativas. ............... 51

Figura 3-4 – Protensão dos cabos externos para viga no seu estado inicial. ............................................... 52

Figura 3-5 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 0. .......................................... 52

Figura 3-6 – Variação da geometria dos cabos para a carga inicial q – Etapa 0. ........................................ 53

Figura 3-7 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 0 de análise da viga. .............................. 54

Figura 3-8 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 1. .......................................... 55

Figura 3-9 – Variação da geometria dos cabos para a carga q+∆q – Etapa 1. ............................................ 56

Figura 3-10 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 1 de análise da viga. ............................ 57

xii

Figura 3-11 – Divisão da viga em trechos ∆x com os respectivos momentos fletores médios tomados para

cada trecho. ................................................................................................................................................. 58

Figura 3-12 – (a) Discretização da seção em lâminas de concreto e camadas de aço (b) e distribuição de

deformações específicas na seção. .............................................................................................................. 59

Figura 3-13 – Fluxograma com sequencia de cálculos realizada em cada trecho para análise da viga. ..... 61

Figura 3-14 – Seções transversais típicas, I, T ou retangular implementadas. ........................................... 62

Figura 3-15 – Discretização da viga, rotação em cada trecho e distância vertical do ponto B à tangente ao

ponto A do eixo da viga na posição deformada. ......................................................................................... 63

Figura 3-16 – Obtenção do deslocamento vertical da seção onde se encontra o desviador. ....................... 65

Figura 3-17 – Configurações possíveis para os cabos externos. ................................................................. 66

Figura 3-18 – Tipos de carregamentos. ...................................................................................................... 66

Figura 3-19 – Dimensões da seção transversal (Dados de Entrada). ......................................................... 67

Figura 3-20 – Configurações gerais da rotina e definição das posições dos desviadores e das cargas

concentradas (Dados de Entrada). ............................................................................................................. 68

Figura 3-21 – Cargas e força de protensão inicial a serem definidas pelo usuário ..................................... 68

Figura 3-22 – Propriedades dos materiais e seção dos cabos a serem definidas pelo usuário (Dados de

Entrada). .................................................................................................................................................... 69

Figura 3-23 – Dados da armadura passiva a serem definidos pelo usuário (Dados de Entrada). .............. 69

Figura 3-24 – Arquivo de saída com valores de flecha no meio do vão (fmid) e nos terços do vão (fpto)

para a carga atuante. ................................................................................................................................... 70

Figura 3-25 – Arquivo de saída com a tensão nos cabos para a carga atuante. .......................................... 70

Figura 3-26 – Arquivo de saída mostrando ângulo de desvio e forças de protensão para as etapas 0 e 1. . 71

Figura 4-1 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga B5D. ...................................... 73

Figura 4-2 – Curvas carga-flecha para a seção no meio do vão obtidas com o programa e

experimentalmente por HARAJLI (1993). ................................................................................................. 74

Figura 4-3 – Curvas momento fletor-rotação na seção do meio do vão obtidas com o programa, para três

forças de protensão. .................................................................................................................................... 75

Figura 4-4 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida com o programa e pontos experimentais de

HARAJLI (1993). ....................................................................................................................................... 76

Figura 4-5 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga T-1D. ..................................... 76


experimentalmente por TAN e NG (1997). ................................................................................................ 78

Figura 4-7 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida pelo programa e experimentalmente por TAN

e NG (1997). ............................................................................................................................................... 78

Figura 4-8 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento das vigas ensaiadas. ........................... 79

Figura 4-9 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T2D obtidas com o programa e

experimentalmente. .................................................................................................................................... 80



xiii



Figura 4-12 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T4D na seção do meio do vão obtidas com o

programa e experimentalmente. ................................................................................................................. 82

Figura 4-13 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T2D na seção do meio do vão obtidas com o

programa e experimentalmente. ................................................................................................................. 83

Figura 4-14 – Posição dos desviadores e tipo de carregamento para as vigas analisadas. .......................... 83

Figura 4-15 – Seções transversais para viga caixão e duplo T (dimensões em centímetros)...................... 84

Figura 4-16 – Seções transversais adotadas no programa (dimensões em centímetros). ............................ 85

Figura 4-17 – Vista longitudinal da viga T-1D com dois desviadores. ...................................................... 86

Figura 4-18 – Vista longitudinal da viga caixão com carregamento e posição do desviador adotados. ..... 86

Figura 4-19 – Curvas carga-flecha na seção do meio do vão da viga T-1D com um e dois desviadores. .. 87

Figura 4-20 – Curvas carga-flecha da viga de seção caixão com um e dois desviadores. .......................... 88

LISTA DE TABELAS

Tabela 2-1 – Fatores Ω, Ωc e Ωu para diferentes carregamentos e cabos com um desviador. .................... 17

Tabela 2-2 – Valores de η, ψ, γ e K para casos de carregamentos distribuído e concentrado, um e dois

desviadores (HE e LIU, 2010, p.1058). ...................................................................................................... 36

Tabela 2-3 – Fatores de multiplicação kg e kc (GHALLAB, 2013, p.424). ................................................. 40

Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continua). ............................... 46

Tabela 4-1 – Dados das armaduras da viga B5D. ....................................................................................... 73

Tabela 4-2 – Dados das armaduras da viga T-1D. ...................................................................................... 77

Tabela 4-3 – Dados das vigas ensaiadas. .................................................................................................... 79

Tabela 4-4 – Cargas de ruptura obtidas com o programa e experimentalmente. ........................................ 80

Tabela 4-5 – Dados das armaduras das vigas caixão e duplo T. ................................................................. 84

Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e com o programa

desenvolvido, para a viga de seção caixão. ................................................................................................ 85

Tabela 4-7 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e com o programa

desenvolvido, para a viga de seção duplo T. .............................................................................................. 85

Tabela 4-8 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga T-1D com um e dois desviadores. ...... 87

Tabela 4-9 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga de seção caixão com um e dois

desviadores. ................................................................................................................................................ 88

Tabela 4-10 – Variação de tensões nos cabos calculados e experimentais. ................................................ 89

Tabela 4-11 – Comparação entre flechas obtidas com o programa e experimental para carga de serviço. 90

xiv

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras latinas

Ag - área da seção transversal bruta de concreto

Aps - área da seção transversal da armadura de protensão externa

As - área da seção transversal da armadura longitudinal de tração passiva

As’ - área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão

passiva

a - distância do apoio até a seção de aplicação da carga concentrada

b - largura da mesa da seção transversal T ou I

bw - largura da alma da seção transversal T ou I ou largura da seção

retangular

dp - altura útil da armadura longitudinal de protensão externa

dpu - altura útil da armadura longitudinal de protensão externa no ELU

ds’ - altura útil da armadura longitudinal de compressão passiva

ds - altura útil da armadura longitudinal de tração passiva

em - excentricidade do cabo de protensão no meio do vão

es - excentricidade do cabo de protensão na extremidade da viga

eu - excentricidade do cabo de protensão no meio do vão no ELU

e0 - excentricidade inicial do cabo de protensão

Ecs - módulo de elasticidade secante do concreto

Ect - módulo de elasticidade tangente do concreto

Eps - módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos

Es - módulo de elasticidade longitudinal do aço da armadura passiva

fck - resistência característica à compressão do concreto

fcm - valor médio da resistência à compressão do concreto

fi - coeficiente de atrito cabo-desviador

Fpi - força de protensão inicial

fpy - resistência de escoamento do aço dos cabos externos

fpu - tensão de ruptura do aço dos cabos externos

xv

fsu - tensão de ruptura do aço da armadura passiva

fy - resistência ao escoamento do aço da armadura passiva tracionada

fy’ - resistência ao escoamento do aço da armadura passiva comprimida

h - altura da viga

hf - altura da mesa de seção transversal T ou I

Ie - momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto

Icr - momento de inércia da seção fissurada de concreto

Ig - momento de inércia da seção bruta de concreto

L - vão

Lc - comprimento da região fissurada

Ld - distância do desviador até o apoio

ld - distância entre cargas concentradas

Le - comprimento efetivo do cabo de protensão

Lfinal - comprimento final total do cabo de protensão

li - comprimento livre do cabo externo

L0 - comprimento inicial total do cabo de protensão

M - momento fletor solicitante

Mcr - momento fletor de fissuração

Mg - momento fletor devido às cargas permanentes

Mmax - momento fletor máximo atuante

Msuporte - momento fletor no apoio

Mu - momento fletor último

sd - espaçamento entre desviadores

T0 - força inicial dos cabos externos

Tu - força final dos cabos externos no ELU

x - altura da linha neutra

xu - altura da linha neutra no ELU

Zp - altura plástica, definida como sendo a distância da região onde se

formou a rótula plástica até o cabo externo

xvi

Letras gregas

αi - ângulo de desvio do cabo de protensão externo

δdesv - deslocamento vertical na seção onde fica o desviador devido ao

acréscimo de carregamento após a aplicação da protensão externa

δmid - deslocamento vertical no meio do vão

δmid,u - deslocamento vertical no meio do vão no ELU

δ0 - deslocamento vertical inicial no meio do vão devido ao acréscimo de

carregamento, após a aplicação da protensão externa

∆εps - variação da deformação específica do aço de protensão

∆σps - variação da tensão na armadura de protensão devida a um acréscimo de

carregamento

∆L - variação do comprimento total do cabo externo

εce - deformação específica longitudinal do concreto no nível dos cabos

externos

εcg - deformação específica no nível do centroide da seção

εcu - deformação específica do concreto última

εc1 - deformação específica correspondente à tensão máxima

εcu1 - deformação específica do concreto última

εpe - deformação específica do aço de protensão correspondente à tensão

efetiva de protensão

εps - deformação específica do aço de protensão

εsy - deformação específica de escoamento do aço da armadura passiva

εsu - deformação específica do aço da armadura passiva última

σpe - tensão efetiva de protensão (após perdas)

σps - tensão nos cabos externos

ρp - taxa de armadura geométrica da armadura de protensão externa

ρs - taxa de armadura geométrica da armadura longitudinal de tração

passiva

ϕu - curvatura do eixo longitudinal da viga no ELU

ω - taxa mecânica da armadura longitudinal de tração passiva

1

1 INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais e Motivação

Nos últimos anos, o uso da protensão externa vem se destacando

especificamente no campo da recuperação e reforço de estruturas, quando comparado ao

da protensão interna aderente e não aderente. Em estruturas de médio e grande porte,

que possuem grandes vãos e, em especial, pontes antigas que necessitam de aumento da

capacidade portante, a solução de reforço aplicando a protensão externa mostra uma boa

relação custo/benefício.

A protensão externa é definida como sendo a com cabos localizados fora da

seção transversal da estrutura. As ancoragens são fixadas na estrutura apenas nas

extremidades e o perfil dos cabos é mantido por desviadores. A técnica pode ser

aplicada tanto em estruturas existentes quanto novas, de concreto armado ou protendido

e de aço. A Figura 1-1 mostra um exemplo de aplicação de protensão externa, onde os

cabos se encontram na parte interna da seção caixão de uma ponte. Os desviadores estão

localizados nos apoios e no meio do vão.

Figura 1-1 – Vista em perspectiva do perfil dos cabos externos e disposição dos

desviadores da ponte Long Key (MACGREGOR, 1989, p. 2).

Variando-se a posição

totalidade dos esforços provenientes da ação do ca

frequentes para reforçar uma

problemas de deterioração, além da necessi

estrutura. Em pontes, o aumento do volume de tráfego e

transportadas, aliado a com problemas de deterioração decorrentes da falta de

manutenção, levam à necessidade de intervenções. A protensão

reforço de pontes e estruturas convencionais tem a vantagem de não necessitar da sua

interdição, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.

No Brasil, existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo R

(2003), no Rio de Janeiro, foram reforçados

Ataulfo Alves e Faria Timbó. Recentemente

Porcos foi reforçada utilizando protensão externa. Trata

de vão, originalmente com duas pistas, localizada na BR

executado em 2012. Toda a intervenção realizada na estrutura para o trabalho de reforço

foi feita sem interrupção do tráfego. As

José Afonso Vitório, responsável pelo projeto e mostram o re

utilizadas 6 cordoalhas de 12,7mm de diâmetro (CP

vigas e colocados desviadores

Figura 1-2 – Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos

externos da Ponte sobre Riacho dos Porcos, (Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).

a posição dos cabos ao longo do vão busca-se combater parte ou a

totalidade dos esforços provenientes da ação do carregamento. As razões mais

entes para reforçar uma estrutura são erros em projeto, falhas na execução,

problemas de deterioração, além da necessidade de aumentar a capacidade de carga da

estrutura. Em pontes, o aumento do volume de tráfego e do peso das cargas

com problemas de deterioração decorrentes da falta de

à necessidade de intervenções. A protensão externa usada para o


interdição, além de facilitar a inspeção e manutenção dos cabos.

existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo R

io de Janeiro, foram reforçados com protensão externa os viadutos do Jóa,

Ataulfo Alves e Faria Timbó. Recentemente, no Ceará, a ponte sobre o Riacho dos

Porcos foi reforçada utilizando protensão externa. Trata-se de uma ponte com 25,10m

nte com duas pistas, localizada na BR-116/CE. O reforço foi


foi feita sem interrupção do tráfego. As Figuras 1-2 e 1-3 foram cedidas pelo engenheiro

, responsável pelo projeto e mostram o reforço executado. Foram

cordoalhas de 12,7mm de diâmetro (CP-190RB) dispostas nas laterais das

desviadores perto dos apoios e nos vãos.

Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos


2

se combater parte ou a

rregamento. As razões mais

erros em projeto, falhas na execução,

dade de aumentar a capacidade de carga da

peso das cargas

com problemas de deterioração decorrentes da falta de

externa usada para o


existem alguns exemplos de aplicação da técnica. Segundo RÉIS

os viadutos do Jóa,

no Ceará, a ponte sobre o Riacho dos

se de uma ponte com 25,10m

116/CE. O reforço foi


foram cedidas pelo engenheiro

forço executado. Foram

190RB) dispostas nas laterais das

Vista longitudinal mostrando o posicionamento dos desviadores e cabos


Figura 1-3 – Desviador

(Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).

Os parâmetros que influenciam a tensão em cabos internos não aderentes devem

também influenciar a tensão de cabos externos.

protensão externa seja similar

comportamento, a carga de ruptura e

tipos de protensão.

Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos

por um carregamento em cada seção

nível dos cabos. Nas com cabos não aderentes,

e essa variação é praticamente constante ao longo do vão. A tensão nos cabos depende

do seu alongamento total, que depende da deformação

complica a determinação da tensão nos cabos, de cujo valor depende a resistência à

flexão das vigas. Deste modo

da tensão nos cabos referente a um carregamento

simplificada. No caso de protensão externa,

são ligados às vigas, os cabos não acompanha

um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas

vez afeta a tensão nos cabos

Não há ainda norma que

reforçada com protensão externa.

realizados, dando origem a fórmulas empíricas e semi

Desviador próximo ao apoio da Ponte sobre Riacho dos Porcos

(Arquivo pessoal de J. A. P. Vitório, 2012).


também influenciar a tensão de cabos externos. Entretanto, embora conceitualmente

externa seja similar à protensão interna não aderente, existe diferença

carga de ruptura e a relação carga-flecha de vigas com esse

Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos

por um carregamento em cada seção é igual à variação de deformação no concreto no

nível dos cabos. Nas com cabos não aderentes, não há compatibilidade de deformações


seu alongamento total, que depende da deformação da viga como um todo


Deste modo, para evitar uma análise não-linear, o cálculo da variação

referente a um carregamento costuma ser feito de maneira bem

simplificada. No caso de protensão externa, há ainda o fato de, fora das seções onde eles

os cabos não acompanharem a deformação das mesmas

um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas

afeta a tensão nos cabos.

Não há ainda norma que especifique o procedimento de análise de

reforçada com protensão externa. Estudos sobre vigas com protensão externa já

a fórmulas empíricas e semi-empíricas para determinação da

3

Ponte sobre Riacho dos Porcos


embora conceitualmente a

protensão interna não aderente, existe diferença entre o

de vigas com esses dois

Em vigas com cabos aderentes, a variação de deformação nos cabos provocada

é igual à variação de deformação no concreto no

não há compatibilidade de deformações


da viga como um todo, e isto


o cálculo da variação

de maneira bem

há ainda o fato de, fora das seções onde eles

mesmas, havendo

um deslocamento relativo entre os cabos e o eixo longitudinal das vigas, que por sua

de uma estrutura

re vigas com protensão externa já foram

empíricas para determinação da

4

tensão nos cabos, sendo algumas as mesmas adotadas para protensão interna não

aderente. Entretanto, ainda existem questionamentos quanto ao comportamento de vigas

reforçadas com protensão externa, aos parâmetros que mais influenciam esse

comportamento e aos que podem ser desconsiderados. Este estudo visa contribuir para a

melhor compreensão desse comportamento.

1.2 Objetivos e Escopo do Trabalho

O objetivo deste trabalho é analisar o comportamento de vigas de concreto

armado reforçadas com protensão externa por meio de uma rotina computacional em

linguagem FORTRAN.

Abrangeu-se o caso de vigas monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas e com

um ou dois desviadores. Foram considerados dois tipos de carregamentos atuantes

(carga uniformemente distribuída e cargas concentradas) e a força de protensão foi

ancorada no nível do centroide das seções dos apoios.

A abordagem adotada é do tipo seccional; a partir da análise de seções ao longo

da estrutura, obtêm-se tensões normais, deformações específicas e flechas da estrutura.

O programa desenvolvido permite a análise do comportamento da viga tanto em serviço

(ELS) quanto na ruptura (ELU). Consideram-se as não-linearidades física e geométrica

utilizando equações constitutivas dos materiais e aplicando as cargas de forma

incremental, com a atualização da geometria da viga em cada etapa. Dessa maneira, sem

empregar uma análise mais complexa como a de elementos finitos, é possível avaliar o

comportamento da estrutura para diferentes níveis de carregamento e,

conseqüentemente, as variações da excentricidade da força de protensão (efeito de

segunda ordem mostrado na Figura 1-4) e de tensão normal nos cabos.

O programa possibilita verificar a perda de eficiência de protensão decorrente

dos efeitos de segunda ordem que, como consequência, pode ocasionar maiores flechas

e aberturas de fissuras e menor capacidade resistente.

5

Figura 1-4 – Viga sujeita a cargas, conduzindo ao aumento de deformações e perda da

excentricidade inicial - efeito de segunda ordem (NG e TAN, 2005a, p. 611).

1.3 Estrutura do Trabalho

No segundo capítulo é feito breve histórico sobre a utilização de protensão

externa e citadas suas vantagens e desvantagens. São também apresentados resumos de

estudos já realizados e itens de normas que abordam protensão externa, buscando dar

uma ideia do estado da arte sobre o comportamento e procedimentos de projeto de vigas

com protensão externa.

No terceiro capítulo, são apresentados os procedimentos utilizados para a análise

da interação cabo-estrutura, abordando a análise seccional e a forma como foram

tratadas as não-linearidades física e geométrica do problema, bem como os tipos de

carregamento, seções transversais e configuração dos cabos implementados no

programa.

No quarto capítulo, resultados obtidos com a utilização do programa são

comparados com os experimentais e numéricos apresentados na literatura, visando

mostrar a eficiência do programa. Valores de tensão nos cabos obtidos com o programa

são também comparados com os calculados usando equações propostas por

pesquisadores.

Por fim, no quinto capítulo, são apresentadas as conclusões do estudo realizado e

sugestões para trabalhos futuros.

6

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

CAPÍTULO 2

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Breve Histórico da Protensão Externa

A protensão surgiu na França, com Freyssinet, no final da década de 1920, com

a utilização de cabos internos não aderentes. Contudo, na Alemanha, Dischinger já

havia projetado e construído pontes utilizando a protensão externa, como a Saale-

Brücke em 1928 (POWELL et al., 1988). A Figura 2-1 mostra a Bahnhofsbrücke

construída em 1936.

Figura 2-1 – Corte longitudinal da ponte Bahnhofsbrücke, Alemanha. Dimensões em

metros (SPECHT, 1987, p. 165).

Segundo VIRLOGEUX (1990), no período pós-guerra, cinco obras que

empregaram a protensão externa se destacam pelo seu pioneirismo e estado de

conservação ao longo do tempo. Na Bélgica, em 1950, foi construída a ponte Sclayn

projetada pelo engenheiro Magnel, e na França, entre 1950 e 1953, as pontes

Villeneuve-Saint-Georges, Vaux-sur-Seine, Port à Bison e Can Bia.

Após 30 anos de sua construção, a ponte Port à Bison foi encontrada em ótimo

estado, sem fissuras aparentes e sem infiltrações no seu interior, notando-se que a

pintura betuminosa nos cabos foi suficiente para o combate à corrosão. Contudo, a

7

presença de pombos no seu interior, deixando excrementos nos cabos inferiores, levou à

colocação de telas de proteção.

Na ponte Villeneuve-Saint-Georges, projetada por Lossier, o traçado dos cabos

foi considerado complicado e a complexidade dos detalhes para os desviadores,

fabricados especialmente para a obra, tornou-a antieconômica em comparação com

outras alternativas. Cabe a observação que Lossier previu pela primeira vez a

possibilidade da troca de cabos, se antecipando a uma eventual necessidade futura, uma

característica da protensão externa que ainda hoje se mostra como uma vantagem

perante outras alternativas para o reforço de estruturas.

Vistorias na década de 1980 na ponte Vaux-sur-Seine constataram ausência de

fissuras no concreto, mas verificou-se a ruptura de vários cabos de protensão causada

por corrosão, fato que levou à necessidade de protensão externa adicional.

De todas as obras citadas, a ponte Can Bia foi a que apresentou o pior estado de

conservação após quase 30 anos de sua execução (ver Figura 2-2). Um projeto de má

qualidade aliado a problemas de corrosão causou a ruptura de vários cabos, levando ao

seu fechamento e posterior demolição (VIRLOGEUX, 1990).

Figura 2-2 – Ponte Can Bia com corrosão dos cabos externos devida à infiltração e

ruptura de alguns cabos (VIRLOGEUX, 1990, p. 26).

VIRLOGEUX (1990) comenta que as primeiras experiências com protensão

externa não apresentaram bons resultados em conseqüência da corrosão dos cabos,

fazendo com que a técnica ficasse de lado nos anos seguintes. No entanto,

8

posteriormente, a protensão externa se desenvolveu como uma saída para contornar a

patente de Freyssinet para sistemas de protensão interna.

Embora seu surgimento tenha se dado no início do século XX, apenas no início

da década de 1980, na França e nos Estados Unidos, e por motivos distintos, a protensão

externa voltou à cena e se consolidou como uma técnica eficiente para o projeto de

estruturas novas e para o reforço de estruturas existentes. A redução de custos (redução

de seção transversal) e a simplicidade do método construtivo foram os principais

motivos que alavancaram o uso da protensão externa nos Estados Unidos. Na França,

ações governamentais visando melhorar a qualidade das construções e, em paralelo, a

necessidade de reforço de estruturas existentes levaram ao aumento da utilização da

protensão externa (VIRLOGEUX, 1990).

Problemas de perdas de protensão em obras já construídas decorrentes de

corrosão, ou deficiência nos projetos por não consideração do gradiente de temperatura

e fluência do concreto, acarretaram necessidade de reforço em uma série de pontes. Um

exemplo é o reforço realizado no viaduto Marne-La-Valle, onde, devido à não

consideração de perdas de protensão por atrito, cabos externos foram utilizados

passando por desviadores na mesa inferior da viga (POWELL et al., 1988). A primeira

ponte a ser construída utilizando protensão externa, ponte Bahnhofsbrücke, necessitou

de retensionamento por duas vezes, em 1962 e 1980, devido a problemas de relaxação

do aço, fluência e fissuração do concreto (VIRLOGEUX, 1990).

2.2 Vantagens e Desvantagens

As intervenções acima citadas mostraram a viabilidade do uso da protensão

externa como técnica de reforço. POWELL et al. (1988) fez um levantamento das

razões que fizeram a protensão externa se desenvolver:

O fácil acesso aos cabos possibilita que eles sejam inspecionados e trocados, ou

ainda retensionados sem grande complicação, o que permite manter e reparar

pontes sem que haja interrupção do seu uso. Essa talvez tenha sido uma das

principais razões que levaram ao uso da técnica até os dias de hoje.

A colocação de cabos fora da seção transversal elimina o tempo consumido em

operações de colocação e posicionamento dos cabos e reduz a interferência com

9

as armaduras passivas. A redução no congestionamento das armaduras melhora

as condições de concretagem, reduzindo também o tempo de execução da obra.

A ausência de cabos na seção transversal permite uma redução da espessura das

mesas, com diminuição de peso próprio, melhorando a eficiência da seção.

O perfil dos cabos é menos complexo que no caso de protensão interna com

cabos parabólicos. Além de nas regiões de ancoragem, o contato com a estrutura

apenas onde se encontram os desviadores reduz as perdas por atrito.

Entretanto, ainda segundo POWELL et al. (1988), algumas das características que

beneficiam o sistema trouxeram, por outro lado, desvantagens que devem ser atentadas

pelo projetista:

As seções de desvio dos cabos são geralmente bem espaçadas, gerando um

possível problema de vibração dos cabos, já que eles ficam “livres”. Providência

especial deve ser tomada, a fim de controlar vibrações excessivas (efeito de

cordas vibrantes), como a adoção de menores distâncias entre desviadores.

A mudança de excentricidade do cabo entre as posições dos desviadores, com a

atuação do carregamento na viga, provoca uma redução na excentricidade

efetiva, reduzindo a eficiência da protensão e gerando efeitos desfavoráveis. Se

esses efeitos desfavoráveis não forem avaliados, eles podem superar os

favoráveis e o reforço pode se tornar ineficiente.

A concentração de tensões nos desviadores e nas ancoragens deve ser analisada

e o detalhamento dessas regiões deve levar isso em conta. A falha em um desses

elementos pode levar toda a estrutura ao colapso.

Segundo BRUGGELING (1990), por serem externos, os cabos são mais suscetíveis

a ações externas como vandalismo, incêndio e intempéries, exceto quando ficarem do

lado de dentro da seção, como no caso de vigas caixão exemplificado na Figura 2-3.

Talvez esse aspecto tenha sido uma das razões que retardaram o desenvolvimento da

técnica no início da década de 1950.

10

Figura 2-3 – Arranjo dos cabos externos passando por um desviador em uma ponte

existente (BBR Cables for External Prestressing, 1999, p.11).

2.3 Trabalhos já realizados

Nos próximos itens, são apresentados trabalhos que buscaram investigar o

comportamento de vigas com protensão externa, em ordem cronológica. Nesses

trabalhos foram propostas metodologias para obtenção das flechas na viga e da tensão

nos cabos baseadas em estudos experimentais e teóricos. Procedimentos normativos

sobre a protensão externa também são abordados.

Em geral, os trabalhos compreenderam o caso de vigas bi-apoiadas e contínuas

em concreto armado com diferentes seções transversais. Consideraram-se cargas

distribuídas ou concentradas, diferentes números de desviadores e a influência dos

efeitos de segunda ordem no comportamento das vigas.

2.3.1 Estudo de MACGREGOR (1989)

Este estudo compreendeu uma investigação experimental com um modelo em

escala reduzida da ponte San Antonio Y, nos Estados Unidos. O modelo possuía três

vãos de 7,62m, seção do tipo caixão e foi construído com uma parte das aduelas pré-

fabricadas fixadas com junta seca e a outra parte com epóxi.

A Figura 2-4 mostra o arranjo dos cabos e seções transversais típicas nos apoios

e meio dos vãos do modelo. Nos apoios, os cabos externos eram desviados na

extremidade superior da mesa e, nos vãos, em duas regiões da parte inferior.

Figura 2-4 – Arranjo dos cabos externos

milímetros

As vigas foram ensaiadas

vãos, espaçadas de aproximadamente

AASHTO:1983, como ilustra a

Figura 2-5 – Esquema de carregamento

dos cabos externos e seções transversais, com d

milímetros (MACGREGOR, 1989, p. 55).

As vigas foram ensaiadas variando-se a posição de duas cargas concentradas

de aproximadamente 122cm, simulando o trem tipo HS20 da

, como ilustra a Figura 2-5.

Esquema de carregamento da estrutura em um dos vãos de extremidade

(MACGREGOR 1989, p. 171).

11

, com dimensões em

cargas concentradas nos

simulando o trem tipo HS20 da

de extremidade

12

O objetivo do trabalho foi examinar o efeito do tipo de junta na rigidez,

resistência e ductilidade da estrutura, além de propor uma equação para o cálculo da

tensão nos cabos, e dele foram tiradas as seguintes conclusões:

Os cabos externos não deslizaram até a aplicação da carga total de serviço, mas

para estágios de carga próximos ao da carga última foi observado que todos os

cabos deslizaram sobre os desviadores.

A tensão efetiva, ou seja, a tensão final após a contabilização das perdas é o

fator mais importante que afeta a resistência à flexão. Se perdas por atrito,

relaxação e retração forem subestimadas, a resistência à flexão atingida será

menor do que a prevista podendo levar a viga à ruptura sob uma carga inferior à

prevista.

A relação altura plástica/comprimento livre do cabo Zp/li (Figura 2-6) é o

segundo fator mais importante que afeta a tensão nos cabos externos. A extensão

da rótula plástica é uma função direta de Zp. Uma relação Zp/li alta conduz a

acréscimos de tensões maiores e uma baixa a acréscimos pequenos de tensão.

A curva de tensão normal nos cabos em função da carga indicou diferentes

comportamentos, como ilustra a Figura 2-7. Inicialmente, a tensão nos cabos

pouco aumentou com o acréscimo de carga (Trecho A-B). A partir do ponto B,

quando a posição da linha neutra se encontrava na mesma altura dos cabos, e do

ponto C, instante em que a resultante das forças de compressão do concreto se

concentrou na mesa superior, observaram-se maiores aumentos de tensão nos

cabos até a ruptura (ponto D).

Figura 2-6 – Altura plástica, Zp, definida como sendo a distância da rótula plástica ao

cabo externo (MACGREGOR, 1989, p. 335).

Figura 2-7 – Diagrama esquemático

MACGREGOR (1989) propôs

nos cabos externos na seção de maior momento fletor

também é válida para o caso de cabos

e

p

cupspepsL

dE

−+= εξσσ

+=

s

eN

LL

5,010

σps : tensão nos cabos externos

σpe : tensão efetiva após perdas

fpy: resistência de escoamento do aço dos cabos externos

Eps : módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos

εcu : deformação específica do concreto no ELU, adotada como 3‰

dp : altura útil dos cabos externos

xu : altura da linha neutra no ELU

O valor do coeficiente

rótula plástica e a altura da linha n

PANNEL (1976). O comprimento efetivo do cabo,

total do cabo, L0, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo

Diagrama esquemático de tensão dos cabos com o acréscimo de carga

(MACGREGOR, 1989, p. 308).

MACGREGOR (1989) propôs a equação (2.1) para a determinação d

na seção de maior momento fletor no estado limite último

para o caso de cabos internos não aderentes.

py

e

uf

x≤

: tensão nos cabos externos

tensão efetiva após perdas

: resistência de escoamento do aço dos cabos externos

: módulo de elasticidade longitudinal do aço dos cabos externos

a do concreto no ELU, adotada como 3‰

: altura útil dos cabos externos

: altura da linha neutra no ELU

O valor do coeficiente ξ =10,5, que representa a relação entre o comprimento da

e a altura da linha neutra, foi determinado experimentalmente por TAM e

PANNEL (1976). O comprimento efetivo do cabo, Le, depende do comprimento inicial

, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo

13

om o acréscimo de carga

determinação da tensão

no estado limite último, que

(2.1)

(2.2)

, que representa a relação entre o comprimento da

mentalmente por TAM e

, depende do comprimento inicial

, e do número de rótulas plásticas necessárias para formar mecanismo

14

de ruptura por flexão entre pontos de ancoragem dos cabos Ns. Em vigas simplesmente

apoiadas, Ns = 0 e, em vigas contínuas, Ns= 1 se o vão crítico for externo e Ns= 2 se o

vão crítico for interno.

A AASHTO:2012 adota essa equação para a determinação da tensão em cabos

não aderentes.

2.3.2 Estudos de NAAMAN (1990) e NAAMAN e ALKHAIRI (1991)

Os dois trabalhos buscaram desenvolver uma metodologia para a determinação

de tensões no concreto e no aço de vigas protendidas com cabos não aderentes, internos

ou externos, em serviço e no estado limite último.

Primeiramente NAAMAN (1990) desenvolveu um procedimento de cálculo para

o caso da protensão não aderente, partindo do caso de cabos aderentes e introduzindo

um coeficiente redutor de deformações, Ω. Em seguida, NAAMAN e ALKHAIRI

(1991) usaram um coeficiente redutor de deformações para o estado limite último, Ωu,

que levou a melhores resultados que a metodologia original.

O coeficiente de redução das deformações para a seção de momento fletor

máximo é a razão entre a variação da deformação no cabo não aderente e a no cabo

aderente equivalente e sua dedução pode ser vista em ALMEIDA (2001).

A Figura 2-8 representa de maneira esquemática a relação momento fletor-

deslocamento vertical para a seção transversal de uma viga com protensão não aderente.

Segundo NAAMAN (1990), é possível dividir essa relação em 4 estágios, que

representam o comportamento linear elástico não fissurado (trecho A-B), o

aparecimento da primeira fissura (trecho B-C), o comportamento linear elástico no

estado fissurado (trecho C-D) e comportamento não linear fissurado (trecho D-E). O

ponto E corresponde ao valor máximo de momento fletor e o F ao de ruptura. Foram

estabelecidas expressões para os coeficientes de redução de deformação relativos a

diferentes estágios.

Para o estágio linear elástico não fissurado, trecho A-B, o coeficiente de redução

de deformações, Ω, depende apenas da armadura e do tipo de carregamento. Os efeitos

de segunda ordem são desprezados e considera-se que o comportamento dos materiais é

linear elástico. Essas premissas são válidas para a determinação da tensão nos cabos

(equação 2.3) para um valor de momento fletor M variando entre o devido às cargas

permanentes, Mg, e o de fissuração, Mcr.

15

Figura 2-8 – Diagrama esquemático da relação entre momento fletor e deslocamento

vertical da seção de maior momento fletor de viga com cabos protendidos não aderentes

internos ou externos (NAAMAN, 1990, p. 352).

( )

Ω

++

−Ω+=

2m

g

g

ps

ps

c

g

mg

peps

eA

IA

E

EI

eMMσσ (2.3)

em: excentricidade do cabo de protensão no meio do vão

Ec: módulo de elasticidade longitudinal do concreto

Aps: área da seção transversal da armadura de protensão externa

Ag: área da seção transversal bruta de concreto

Ig: momento de inércia da seção bruta de concreto

Quando o momento fletor atuante ultrapassa o momento de fissuração, é dado

início ao estágio linear elástico no estado fissurado, trecho C-D. A viga é então dividida

em duas regiões, uma fissurada e outra não fissurada com momentos de inércia Icr e Ig,

respectivamente. Define-se para essa etapa o coeficiente redutor Ωc que depende de Ω,

da relação entre o momento de inércia da seção fissurada e da seção bruta, Icr/Ig, e da

relação entre o comprimento da região fissurada e o vão, Lc / L. As expressões para o

cálculo de Ω e Ωc, para alguns casos de carregamento e cabos com um desviador,

encontram-se na Tabela 2-1. NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do

comportamento em serviço, assumindo comportamento linear elástico para os materiais

e desprezando os efeitos de segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade

δδδδ

16

dos cabos externos com o aumento de carga. Analisando as expressões de Ωc, constata-

se que, se o valor de Lc / L for pequeno, o de Ωc fica aproximadamente igual ao de Ω.

A determinação de tensões nos cabos e no concreto é feita por meio de um

processo iterativo, pois dependem da altura da linha neutra x. A partir das equações de

equilíbrio, de compatibilidade de deformações e de relações entre tensões e

deformações dos materiais, chega-se a uma equação de terceiro grau em x, onde a

deformação no concreto aparece multiplicada por Ωc, que, por sua vez, depende da

altura da linha neutra. Uma vez encontrada a posição da linha neutra, é possível

determinar a tensão no cabo com a equação (2.4) e a tensão na fibra mais comprimida

do concreto com a equação (2.5), onde tensões e deformações entram em módulo.

−Ω+Ω+= 1

x

d

E

EE

p

cc

c

ps

ccecpspeps σεσσ (2.4)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xdE

EAxd

E

EAxd

E

EAhx

bbxb

xEA

s

c

sss

c

ssp

c

psps

cfw

cecpepsps

cc

−−−−−Ω−−−

−

Ω+=

'''2

2

22

εεσ (2.5)

εce: deformação específica longitudinal do concreto no nível dos cabos externos

ds: altura útil da armadura longitudinal de tração passiva

ds’: altura útil da armadura longitudinal de compressão passiva

b: largura da mesa da seção transversal T ou I

bw: largura da alma da seção transversal T ou I ou largura da seção retangular

hf: altura da mesa da seção transversal T ou I

As: área da seção transversal da armadura longitudinal de tração passiva

As’: área da seção transversal da armadura longitudinal de compressão passiva

Es, Es’: módulo de elasticidade longitudinal do aço de armadura passiva de tração e de

compressão

NAAMAN (1990) limitou-se a uma verificação do comportamento em serviço,

assumindo comportamento linear elástico para os materiais e desprezando os efeitos de

segunda ordem provenientes da mudança de excentricidade dos cabos externos com o

aumento de carga.

17

Tabela 2-1 – Fatores Ω, Ωc e Ωu para diferentes carregamentos e cabos com um desviador.

Estado não fissurado

Estado fissurado ELU

m

s

e

e

4

1

12

5+=Ω

−

−+Ω=Ω

4

4

2

2

41

21

1L

L

e

e

L

L

e

e

I

I

I

I c

m

sc

m

s

g

cr

g

crc

p

udL

3=Ω

+−−+

4

4

3

3

2

2

4

1

3

1

2

1

L

L

L

L

L

L

L

L cccc

m

s

e

e

6

1

3

1+=Ω

−−

−+Ω=Ω

L

L

L

L

I

I

I

I cc

g

cr

g

crc 2

111

p

udL

5,1=Ω

−

−+ 2

2

13

1

2

1

L

L

e

e

L

L c

m

sc

m

s

e

e

54

13

54

23+=Ω -

p

udL

3=Ω

Para o estado limite último, NAAMAN e ALKHAIRI (1991) optaram por

determinar o coeficiente de redução de aderência, Ωu, a partir de resultados

experimentais obtidos por outros pesquisadores no período de 1962 a 1990. O

coeficiente Ωu depende do tipo de carregamento e da relação entre vão e altura útil dos

cabos L/dp e é valido para vigas bi-apoiadas (ver Tabela 2-1). Para que os valores

calculados sejam inferiores aos obtidos experimentalmente, a tensão nos cabos é

limitada a 0,94 fpy. Dessa forma garante-se que as tensões nos cabos permaneçam

trabalhando no regime elástico linear, como admitido.

A posição da linha neutra no estado limite ultimo é obtida resolvendo-se a

equação (2.7). De posse do valor de xu, a tensão nos cabos na seção crítica fica

determinada pela equação (2.6). Nessas equações, é adotado o valor de 3‰ para εcu.

py

u

p

cupsupeps fl

l

x

dE 94,01

2

1 ≤

−Ω+= εσσ (2.6)

1

112

11

2

4

A

CABBxu

−+−= (2.7)

18

11 85,0 βwck bfA =

(2.8)

( ) fwckysyspeucupsps hbbffAfAl

lEAB −+−+

−

Ω= 85,0''

2

11 σε

(2.9)

2

11

l

ldEAC pucupsps Ω−= ε

(2.10)

l1: soma de comprimentos de trechos do vão com cabos e carregados

l2: comprimento entre ancoragens do cabo

β1 : fator que multiplicado pela altura da linha neutra fornece a altura do diagrama de

tensões de compressão retangular no concreto

A equação (2.9) é para o caso de β1 x > hf; para vigas com linha neutra na mesa

ou seção retangular, b=bw.

2.3.3 Estudos de DÉSIR (1993) e RÉGIS (1997)

DÉSIR (1993) elaborou uma rotina computacional para análise não-linear

geométrica e física de vigas hiperestáticas protendidas com cabos externos, dando

prosseguimento ao trabalho realizado por MARTINS (1989). Seu estudo considerou o

caso de estruturas de concreto armado e protendido com cabos externos.

A modelagem da estrutura foi feita por meio de um conjunto de elementos de

barra unidos entre si pelos nós, sendo que cada elemento possuía dois nós e quatro graus

de liberdade. O comprimento dos elementos na discretização da estrutura procurou obter

a melhor precisão dos resultados.

Algumas das características da sua rotina computacional foram:

A variação da excentricidade, que surge com a variação deslocamento vertical

da viga, v(x), foi contemplada, sendo a nova excentricidade definida por e0 –

v(x), como indicado na Figura 2-9.

19

Figura 2-9 – Variação da excentricidade dos cabos com a deformação da viga

(DÉSIR, 1993, p. 34).

Considerou-se o deslizamento dos cabos nos desviadores. A diferença de tensões

entre dois trechos adjacentes pode vencer o atrito, provocando o deslizamento do

cabo nos desviadores. A formulação para a consideração dos deslizamentos dos

cabos é atribuída a MARTINS (1989) e VIRLOGEUX et al. (1986) e depende

do ângulo de desvio entre os trechos, αi, e do coeficiente de atrito, fi, como

mostra a Figura 2-10.

Para representar a não-linearidade física do material foi adotada a formulação do

CEB – FIP MC 90 (1993). A não-linearidade geométrica foi feita atualizando-se

a configuração deformada da estrutura em cada etapa de carregamento.

Figura 2-10 – Discretização de dois trechos consecutivos para determinação da carga Pj,

responsável por provocar o deslizamento (DÉSIR, 1993, p. 36).

20

DÉSIR (1993) comparou seus resultados com os de rotinas computacionais

desenvolvidas por outros autores e verificou que eles ficaram dentro da faixa dos

obtidos com outros programas.

O estudo indicou que:

Vigas providas de armadura passiva têm uma perda de rigidez menos acentuada,

sendo essa armadura determinante no comportamento das vigas no início da

fissuração.

O valor do coeficiente de atrito influencia o início de deslizamento dos cabos

nos desviadores e, consequentemente, a variação de tensões nos cabos.

Posteriormente, RÉGIS (1997) ensaiou duas vigas contínuas, de seção tipo I,

uma monolítica e outra formada por aduelas pré-moldadas ligadas por junta seca, com

dois vãos de 7,50m. As vigas foram protendidas com cabos externos compostos por 3

cordoalhas de 7 fios de 15,2mm e possuíam dois desviadores localizados

aproximadamente nos terços do vão, como mostra a Figura 2-11.

Seu objetivo era investigar o comportamento das vigas até a ruptura e comparar

os resultados experimentais com os obtidos usando o programa desenvolvido por

DÉSIR (1993). Foi avaliada a evolução das tensões nos cabos externos com a variação

da excentricidade dos cabos, o deslizamento dos cabos nos desviadores e a diferença de

comportamento entre vigas monolíticas e com aduelas pré-moldadas ligadas por junta

seca.

Figura 2-11 – Vista longitudinal da viga monolítica com esquema de carregamento e

seções transversais, com dimensões em milímetros (RÉGIS, 1997, p. 24).

21

No estudo verificou-se que:

Ambas as vigas apresentaram um comportamento dúctil.

Houve uma maior variação da excentricidade com o aumento do carregamento

na viga monolítica que na com aduelas. A variação da excentricidade até a

ruptura da viga monolítica chegou a 11%, enquanto que na viga com aduelas

pré-moldadas chegou a 2,5%.

As tensões nos cabos estão diretamente ligadas aos deslizamentos, os quais

dependem do coeficiente de atrito entre os cabos e desviadores. Assim, uma

avaliação correta do coeficiente é importante para a obtenção de bons resultados.

O coeficiente de atrito é uma variável importante para determinar o deslizamento

dos cabos nos desviadores. Uma calibração melhor do modelo matemático de

DÉSIR (1993) deve ser feita para que seja possível descrever melhor o

comportamento real da estrutura. A Figura 2-12 mostra uma comparação das

curvas carga-flecha obtidas por DÉSIR (1993) com as obtidas

experimentalmente. Para cargas baixas, o programa fornece flechas menores que

as verificadas no ensaio, tendendo essas flechas a se aproximarem para cargas

maiores.

Figura 2-12 – Curvas carga-flecha para vigas monolítica e com aduelas pré-moldadas

obtidas experimentalmente por RÉGIS (1997) e com o programa de DÉSIR (1993)

(RÉGIS, 1997, p. 101).

2.3.4 Estudos de

Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental

compreendeu dezesseis vigas. Os objetivos eram

protensão externa aplicada

resistência à flexão.

As vigas ensaiadas

parcialmente protendido com

concentradas nos terços do vão.

poligonal com um ponto de desvio e uma reta.

de carga e descarga para simular um estado de necessidade de reforço

protendidas externamente e carregadas

O programa experimental abrangeu

de armadura passiva ou dois (

valor de taxa de armadura,

Nas vigas com protensão interna, as fissuras fecharam totalmente ao ser aplicada

a protensão externa, enquanto nas vigas

apenas parcialmente. Comparando

diferentes relações entre momento fletor e

armado e com protensão interna. Nessas figuras pode

flecha causada pela protensão externa.

Figura 2-13 – Curva carga

reforçada com

de HARAJLI (1993) e HARAJLI et al.

Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental

vigas. Os objetivos eram investigar as vantagens

plicada em reforço e seu efeito no comportamento da estr

As vigas ensaiadas eram bi-apoiadas de concreto armado, concreto protendido e

parcialmente protendido com seção retangular, e foram carregadas com duas cargas

do vão. Duas configurações de cabos foram testadas, uma

de desvio e uma reta. Todas as vigas foram submetidas a ciclos

para simular um estado de necessidade de reforço

protendidas externamente e carregadas monotonicamente até a ruptura.

O programa experimental abrangeu, para cada tipo de viga, três valores

ou dois (viga parcialmente protendida) e, para cada tipo de

dois arranjos de cabos (poligonal ou reto).


a protensão externa, enquanto nas vigas de concreto armado, as fissuras fecharam

apenas parcialmente. Comparando-se as Figuras 2-13 e 2-14, pode

entre momento fletor e flecha no meio do vão para vigas

protensão interna. Nessas figuras pode-se verificar a diminuição de

cha causada pela protensão externa.

Curva carga-flecha no meio do vão para viga com protensão interna

com cabos externos retos (HARAJLI, 1993, p. 81

22

. (1999)

Primeiramente HARAJLI (1993) realizou um estudo experimental que

investigar as vantagens da técnica da

o comportamento da estrutura e na

apoiadas de concreto armado, concreto protendido e

carregadas com duas cargas

Duas configurações de cabos foram testadas, uma

Todas as vigas foram submetidas a ciclos

para simular um estado de necessidade de reforço antes de serem

três valores da taxa

para cada tipo de viga e


, as fissuras fecharam

14, pode-se observar as

flecha no meio do vão para vigas de concreto

se verificar a diminuição de

com protensão interna

, p. 81).

Figura 2-14 – Curva carga

externos poligona

Para cabos retos, o

consistentemente menor do que

desviador ter sido responsável por manter a excentricidade na região

máximo, o que não aconteceu

Nas flechas, para a condição de serviço, houve uma redução de

nas vigas com a configuração de cabos poligonais

cabos retos. O arranjo de cabos poligonais se mostrou

presença do desviador na região de momento fletor máximo.

Para o caso de vigas com um desviad

deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão

(1993) propôs a equação

externos no regime linear elástico

do vão após os cabos externos serem

externos no meio do vão, em

pspspeps E εσσ ∆+=

onde

02

4δε

L

emps =∆

Curva carga-flecha para viga de concreto armado reforçada

externos poligonais (HARAJLI, 1993, p. 82).

Para cabos retos, o acréscimo de resistência à flexão das vigas foi

consistentemente menor do que para cabos poligonais. Isso é explicado pe

responsável por manter a excentricidade na região de momento fletor

, o que não aconteceu nas vigas com cabos retos.

, para a condição de serviço, houve uma redução de

vigas com a configuração de cabos poligonais em comparação com as

O arranjo de cabos poligonais se mostrou mais eficiente

presença do desviador na região de momento fletor máximo.

o caso de vigas com um desviador, considerando que o aumento da

deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão

(2.11) para o cálculo do acréscimo de tensões nos cabos

no regime linear elástico. Ele é função do aumento da flecha na seção do meio

os cabos externos serem tracionados, δ0, da excentricidade dos cabos

m, e do vão, L (equação 2.12).

23

reforçada com cabos

acréscimo de resistência à flexão das vigas foi

explicado pelo fato do

de momento fletor

, para a condição de serviço, houve uma redução de cerca de 36%

com as das vigas de

mais eficiente em virtude da

que o aumento da

deformação nos cabos é proporcional ao aumento da flecha no meio do vão, HARAJLI

para o cálculo do acréscimo de tensões nos cabos

a flecha na seção do meio

a excentricidade dos cabos

(2.11)

(2.12)

24

Posteriormente a esse estudo experimental, HARAJLI et al. (1999) apresentaram

um modelo numérico não-linear com o objetivo de avaliar o comportamento e

resistência de elementos de concreto armado e protendido com protensão externa. Esse

trabalho investigou o efeito da configuração dos cabos externos, a tensão de protensão

efetiva e o tipo de carregamento. Segundo os autores, esses são os parâmetros que mais

influenciam os efeitos de segunda ordem.

A análise não-linear física e geométrica foi baseada no método da deformação

incremental, na qual a viga é subdividida em elementos menores e a deformação

específica do concreto na seção mais crítica aumenta de forma incremental simulando

um acréscimo gradual de carregamento. Em cada etapa de carregamento, as condições

de compatibilidade de deformações e de equilíbrio são satisfeitas e considera-se a

mudança de excenticidade dos cabos com o aumento do deslocamento vertical da viga.

A flecha no meio do vão é obtida pela integração da curvatura.

O modelo numérico proposto foi testado, comparando-se resultados por ele

fornecidos com os experimentais de KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e TAN e NG

(1997). No estudo conduzido por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997), 12 vigas foram

ensaiadas, divididas em grupos com 3 vigas cada. A Figura 2-15 mostra uma vista geral

com seção transversal, arranjo das armaduras e esquema de carregamento. As principais

variáveis nos ensaios foram a taxa de armadura passiva, a área da seção transversal dos

cabos externos e o traçado dos cabos (retos ou com um desviador).

Figura 2-15 – Vista longitudinal e seção transversal das vigas ensaiadas por

KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) (HARAJLI et al., 1999, p.1153).

25

Verificou-se uma boa correlação entre resultados do modelo numérico e os

experimentais, como mostram as Figuras 2-16 e 2-17. Nos gráficos, as letras C, S e D se

referem à viga sem cabos externos, com cabos retos e com um desviador,

respectivamente. Nessas figuras pode-se notar o aumento da resistência à flexão com a

utilização de cabos externos, que foi maior no caso de haver desviador, e que as curvas

obtidas numericamente tenderam a se aproximar mais das experimentais para cargas

maiores.

A partir de análises feitas numericamente para uma viga bi-apoiada de seção

retangular, os autores concluíram que, sob o ponto de vista do tipo de carregamento,

uma carga única concentrada produz efeitos de segunda ordem menores que uma carga

distribuída ou duas cargas nos terços do vão, já que na ruptura o comprimento de rótula

plástica é menor, mobilizando assim, menores deformações.

Figura 2-16 – Comparação entre curvas carga-flecha esperimentais de KHAIRALLAH

e HARAJLI (1997) e as obtidas numericamente por HARAJLI et al. (1999).

26

Figura 2-17 – Comparação entre curvas momento fletor-acréscimo de tensão nos cabos

obtidas experimentalmente por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) e as dadas pelo

modelo numérico de HARAJLI et al. (1999).

Para avaliar a influência do traçado dos cabos externos na capacidade resistente

da viga, variou-se o número de desviadores. Foram testadas três configurações distintas:

sem desviador, apenas um desviador no meio do vão e dois desviadores posicionados

nos terços do vão. Na Figura 2-18 é possível perceber que a configuração sem

desviadores foi a que conduziu a menor momento fletor máximo e maiores flechas, para

todas as taxas de armadura mecânica adotadas. Devido ao efeito de segunda ordem,

vigas sem desviadores são menos eficientes, uma vez que a redução de excentricidade

com o acréscimo de carregamento é mais acentuada.

27

Figura 2-18 – Curvas momento fletor-flecha para três configurações de desviadores e

taxas de armadura mecânica (HARAJLI et al., 1999, p. 1157).

Duas vigas, uma em concreto armado e outra em concreto protendido, foram

analisadas com o objetivo de avaliar a influência da tensão efetiva de protensão. As

Figuras 2-19 e 2-20 mostram as curvas momento fletor-flecha para duas vigas com

diferentes tensões efetivas consideradas. Os autores observaram que o aumento da

tensão efetiva nos cabos externos aumenta o momento resistente e reduz a flecha e a

ductilidade da viga. Comparando a viga de concreto armado com a protendida,

constatou-se que a protensão externa possibilita o mesmo ganho de resistência à flexão

em ambas.

Figura 2-19 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto protendido com

diferentes tensões efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159).

28

Figura 2-20 – Curva momento fletor-flecha para viga em concreto armado com

diferentes tensões efetivas nos cabos externos (HARAJLI et al., 1999, p. 1159).

2.3.5 Estudos de TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005)

NG e TAN (2005a) propuseram expressões para determinação da flecha e da

tensão última nos cabos externos utilizando coeficientes redutores de aderência. Foi

elaborada uma análise dita pseudo-seccional que computa os efeitos de segunda ordem

devidos à mudança de excentricidade dos cabos baseando-se na compatibilidade de

deformações e condições de equilíbrio na seção. O intuito foi evitar análises numéricas

mais complexas e fornecer uma maneira mais direta de dimensionamento.

Segundo os autores, a relação vão/altura útil (L/dp) não deveria ser levada em

conta para a determinação da tensão última nos cabos. Uma das justificativas seria que

nos cabos externos não se reproduz o efeito de pino, já que os cabos se encontram fora

da seção transversal da viga, o que não geraria tensões adicionais nos cabos (Figura

2-21).

Figura 2-21 – Acréscimo de tensões devido ao efeito de pino em cabos internos e

ausência do efeito para cabos externos em face do movimento não restringido dos cabos

(NG, 2003, p. 645).

29

O parâmetro escolhido por NG e TAN (2005a) para o coeficiente redutor no

estado limite último, θu, foi a relação entre o espaçamento e a altura útil inicial dos

desviadores, sd/dp. Segundo os autores, a escolha do espaçamento, ao invés do vão, é

mais adequada, pois reflete o fato de que o efeito de segunda ordem é mais relevante

para vigas com maior espaçamento entre desviadores e menos quando a altura útil

inicial é maior. A constante adimensional kn, dada pela equação (2.13), deve ser usada

para a consideração dos efeitos de segunda ordem. Para o regime não fissurado e

fissurado, o estudo de NG e TAN (2005) seguiu o trabalho já desenvolvido por

NAAMAN (1990).

O coeficiente proposto pelos autores é válido para o caso de vigas bi-apoiadas

com duas cargas concentradas nos terços do vão. A tensão nos cabos externos no estado

limite último pode ser obtida com a equação (2.15), onde a é a distância do apoio até a

seção de aplicação de carga.

>

≤

=

15144,0

150096,0

p

d

p

d

p

d

n

d

spara

d

spara

d

s

k (2.13)

n

p

u kh

d

L

a−

−= 364,1895,0θ (2.14)

py

u

p

cupsupepspeps fx

dE ≤

−+=∆+= 1εθσσσσ (2.15)

Os autores propuseram também expressões para determinação da excentricidade

e flecha no meio do vão no estado limite último, assim como para a altura útil dos cabos

de protensão:

+

⋅−−

−

−

⋅+

=

2281

4

313

622

2

aaLL

IE

A

L

a

L

a

x

Le

e

ec

pspe

u

cum

u σ

ε

(2.16)

⋅+= 13

6

2

L

a

x

Ldd

u

cuppu

ε

−

⋅=

4

3

6

22

,L

a

x

L

u

cuumid

εδ

Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto I

g

cr

eM

MI

M

MI

−+

=

3

max

1

. A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos

experimentais realizados por TAN e NG (1997) e NG e TAN (

estudo consistiu de 6 vigas bi

número de desviadores e

protensão externa. Em três

desviadores ao longo do vão. As outras

vão e cabos retos ou poligonais

Todas as vigas foram carregadas com duas cargas nos terços do vão e levadas até a

ruptura.

Figura 2-22 – Configuração das vigas ensaiadas com d

+

⋅−+

−

−

2284

31

22 aaLLe

IE

A

L

au

ec

pspeσ

( )

−−

⋅−

68

22aeeLe

IE

Asuu

ec

pspeσ

Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto I

cr

cr IM

M

3

max

A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos

experimentais realizados por TAN e NG (1997) e NG e TAN (2005b).

6 vigas bi-apoiadas em seção T e objetivou estudar a influência do

número de desviadores e do traçado dos cabos no comportamento de vigas com

das vigas, que possuíam cabos retos, variou

desviadores ao longo do vão. As outras três vigas possuíam um desviador no meio do

retos ou poligonais. A Figura 2-22 mostra esquema das vigas ensaiadas.


nfiguração das vigas ensaiadas com dimensões em milímetros

(TAN e NG, 1997, p. 16).

30

(2.17)

(2.18)

Sendo o momento de inércia efetivo da seção fissurada de concreto Ie dada por:

(2.19)

A verificação da análise proposta foi feita por meio de dois estudos

2005b). O primeiro

estudar a influência do

o traçado dos cabos no comportamento de vigas com

variou-se o número de

vigas possuíam um desviador no meio do

das vigas ensaiadas.


em milímetros

31

Posteriormente, NG e TAN (2005b) ensaiaram nove vigas, todas bi-apoiadas e

com seção T. Variaram-se o número de desviadores e a relação L/dp com o objetivo de

avaliar a influência do número de desviadores nos efeitos de segunda ordem e a

importância da relação L/dp nas tensões finais nos cabos. As vigas foram carregadas

com duas cargas nos terços do vão até a ruptura. A Figura 2-23 mostra cabos e

desviadores das vigas ensaiadas.

Os resultados obtidos dos dois estudos experimentais foram confrontados com

os calculados com a fórmula proposta. Em geral, a diferença entre as tensões nos cabos

obtidas experimentalmente e as calculados ficou na ordem de 8%. A Figura 2-24 mostra

curvas carga-tensão nos cabos externos segundo cálculos e ensaios.

Nessa figura, observa-se que as vigas sem desviadores atingiram cargas de

ruptura inferiores às das vigas com um ou mais desviadores.

Figura 2-23 – Configuração de cabos das vigas ensaiadas, com dimensões em

milímetros (NG e TAN, 2005b, p. 624).

32

Figura 2-24 – Curvas carga-tensão nos cabos externos, calculadas e experimentais, para

diferentes números de desviadores (NG e TAN, 2005b, p. 630).

Para as vigas com um desviador apenas e relações L/dp até 22,5 (ST-1, ST-2,

ST-3 e ST-4), a diferença de momento último observado nas vigas foi da ordem de 10%

(Figura 2-25) e a adoção de um único desviador no meio do vão foi suficiente para

minimizar os efeitos de segunda ordem. Ainda para essas mesmas vigas, no estado

limite último, os autores observaram que o aumento da tensão nos cabos externos foi

independente da relação L/dp. Concluiu-se que, para vigas com L/dp=30, são necessários

pelo menos dois desviadores, uma vez que a tensão nos cabos é mais influenciada pelos

efeitos de segunda ordem.

Figura 2-25 – Curvas momento fletor-tensão nos cabos externos obtidas nos ensaios

(NG e TAN, 2005b, p. 625).

33

2.3.6 Estudo de DALL’ASTA et al. (2007)

Os autores realizaram uma análise numérica para vigas de concreto armado com

protensão externa, visando a obtenção do acréscimo de tensão nos cabos e a respectiva

carga no estado limite último.

O método foi baseado na observação de que vigas com mesmas configurações

estruturais como traçado de cabos, tipo de carregamento e condições de apoio possuem

similar distribuição de curvatura na ruptura e de que poucas diferenças ocorrem com a

variação da seção transversal, altura da seção, vão e armadura.

A análise numérica é feita em duas etapas. Na primeira etapa a viga de concreto

armado é analisada por meio de um modelo de elementos finitos validado anteriormente

por DALL’ASTA e ZONA (2005). Com o intuito de obter resultados mais precisos, a

viga foi modelada com uma malha de 30 elementos. Nesse modelo são aplicados

deslocamentos na seção crítica, obtendo-se as deformações na seção e curvatura da viga.

Os deslocamentos são aplicados até que se atinja a deformação limite para o aço ou o

concreto no estado limite último.

Na segunda etapa, os autores definiram uma expressão denominada função de

forma, que depende do deslocamento dos desviadores, número de desviadores,

carregamento, geometria e apoios da viga. Essa função associa a variação da deformada

da viga, medida pela curvatura ϕu, com a variação do alongamento dos cabos εps (ϕu), e a

variação da força nos cabos, ∆T(ϕu).

A força final nos cabos no estado limite último, Tu (ϕu), é obtida acresentando-se

a variação ∆T(ϕu) à força inicial aplicada T0.

)()()( 00 uuupspspsuu TTATT φφεσφ ∆+=+= (2.20)

A Figura 2-26 mostra o modelo estrutural esquemático de uma viga com cabos

externos analisada pelos autores. O método proposto reduz a análise de toda a viga à da

seção crítica apenas. Dessa maneira evita-se uma análise não-linear completa em todo o

sistema cabo-viga. Por se tratar de uma análise apenas da seção critíca, o estudo se

limitou a encontrar a tensão nos cabos e a carga máxima para o estado limite último.

Figura 2-26 – Modelo estrutural

Nas análises foram adotadas p

específica não linear do CEB

FIB (1998).

Com a método proposto,

apoiadas variando a seção transversal, taxa de armadura e número de desviadores. A

Figura 2-27 mostra o carregamento, arranjo

Foram adotadas duas taxas de armadura passiva, 0,3% e 1,0%, duas seções transversais

e dois traçados para os cabos

ou 50m. O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura

máxima e a influência da relação L/d

Figura 2-27 – Arranjo dos cabos e

(DALL’ASTA

Modelo estrutural esquemático cabo-estrutura (DALL’ASTA

p. 123)

Nas análises foram adotadas para o concreto a curva tensão normal

não linear do CEB – FIP MC 90 (1993) e para os aços as curva

Com a método proposto, DALL’ASTA et al. (2007) analisaram 72 vigas bi


o carregamento, arranjos dos cabos e seções transver


dois traçados para os cabos (com um e dois desviadores) e os vãos eram de 30m, 40m

O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura

máxima e a influência da relação L/dp e número de desviadores nas tensões nos cabos.

Arranjo dos cabos e seções transversais, com dimensões em centímetros

(DALL’ASTA et al., 2007, p. 125).

34

estrutura (DALL’ASTA et al., 2007,

tensão normal-deformação

rvas bilineares da

(2007) analisaram 72 vigas bi-


os e seções transversais adotados.


s vãos eram de 30m, 40m

O objetivo dos autores foi avaliar o efeito da taxa de armadura na carga

e número de desviadores nas tensões nos cabos.

imensões em centímetros

35

Os autores compararam as tensões nos cabos obtidas com as calculadas usando

expressões das normas ACI 318:2002 e AASHTO:1994. Em todos os casos analisados,

as expressões das normas forneceram valores de variação da tensão nos cabos menores.

Na ruptura, a variação da tensão nos cabos externos não dependeu da relação

L/dp, como também tinham concluído NG e TAN (2005b).

Para as vigas com dois desviadores, a carga máxima obtida foi superior à da viga

com um desviador apenas e a da viga com taxa de armadura de 1,0% foi cerca de 9%

superior à da com 0,3%.

2.3.7 Estudo de HE e LIU (2010)

Esses autores apresentaram equações para a determinação do acréscimo de

tensões nos cabos externos de vigas com protensão interna e externa não aderente para

condições de serviço e para o estado limite último. O estudo foi feito para vigas bi-

apoiadas com carregamento uniformemente distribuído e concentrado.

Desconsideraram-se a deformação devida ao esforço cortante e o atrito entre

desviador e cabo, a tensão ao longo do cabo foi admitida uniforme e o efeito de segunda

ordem foi contemplado por meio de fatores de correção de tensão e altura útil.

Com base em resultados experimentais de outros autores, foi concluído que

existe uma correlação praticamente linear entre ∆σps e δmid.

Em condições de serviço, o acréscimo de tensão nos cabos externos (equação

2.21), ∆σps, é expressa em termos da flecha da viga no meio do vão obtida da equação

(2.22), onde Mmax é o momento fletor máximo e K, dado pela Teoria da Resistência dos

Materiais (ver Tabela 2-2), depende do tipo de carregamento.

( )2

L

eE midmmidps

ps

δηδσ

Ψ−=∆

(2.21)

gc

midIE

LMK

2max=δ

(2.22)

Na equação (2.21), η depende da relação entre a excentricidades do cabo no

apoio e no meio do vão, es/em e η e ψ dependem do carregamento e da configuração dos

cabos, como indicado na

Tabela 2-2.

36

Para o estado limite último, a partir de dados experimentais verificou-se que a

equação (2.21) ainda se mostra válida, mas substituindo δmid por δmid,u dada pela

equação (2.23). No cálculo de δmid,u assumiu-se que a rigidez em qualquer seção ao

longo da viga fosse igual à da seção mais solicitada, o que conduziu a valores

superestimados de flecha. Para contornar isso, adotou-se o coeficiente corretor γ na

equação (2.23), que, como mostra a Tabela 2-2, depende de L/dp.

u

cuumid

xLK

εγδ 2

, =

(2.23)

( )2

,,

L

eE umidmumidps

ps

δηδσ

Ψ−=∆

(2.24)

Tabela 2-2 – Valores de η, ψ, γ e K para casos de carregamentos distribuído e

concentrado, um e dois desviadores (HE e LIU, 2010, p.1058).

η ψ K γ

m

s

e

e4,24 − 0,97

485

pdL

35,278,0 +

( )( )

135

52232 ms ee−

0,43

m

s

e

e24 − 0,80

121

pd

L

33,0 +

( )9

846 ms ee− 0,45

( )23

5688 ms ee− 0,94

21623

pdL

35,278,0 +

( )23

24100 ms ee−

0,41

Para verificar sua metodologia, os autores utilizaram os resultados experimentais

de TAN e NG (1997), HARAJLI et al. (1999) e NG e TAN (2005b). Foi possível

37

verificar que os valores obtidos com a equação proposta concordaram melhor com os

experimentais que os calculados segundo expressões do ACI 318:2008 e

AASHTO:2004, que se mostraram muito conservadores.

Os autores concluíram que o efeito de segunda ordem pode ser reduzido com

eficácia se ao menos um desviador for colocado no meio do vão, podendo ser

desprezado se dois desviadores forem colocados nos terços do vão. A magnitude dos

efeitos de segunda ordem depende especialmente da disposição e número de

desviadores, como ilustra a Figura 2-28.

Figura 2-28 – Influência do número de desviadores na variação de tensão dos cabos

(HE e LIU, 2010, p. 1063).

Ainda segundo os autores, a magnitude dos efeitos de segunda ordem depende

principalmente do traçado dos cabos e da relação L/em. Para vigas com pelo menos dois

desviadores e L/em>50, a perda de excentricidade é menor do que 5%, mas essa perda

pode ser maior que 50% caso nenhum desviador seja previsto.

2.3.8 Estudo de GHALLAB (2013)

Para vigas de concreto armado e protendido tendo protensão externa,

GHALLAB (2013) propôs uma equação para a determinação da tensão nos cabos

externos. Sua equação abrangeu o caso de vigas bi-apoiadas e contínuas, diferentes

materiais para os cabos externos

concentradas e distribuída)

O autor seguiu o trabalho

determinação da tensão nos cabos por meio

deformação. Além do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas

simplificações:

A deformação na direção longitudinal

considerada com a justificativa de que a deformaç

antes dos cabos serem ancorados

Admitiu-se que não há mudança de posição

ancoragens, com a justificativa

seção transversal e a mudança da posição da ancoragem nas extremidades é

relativamente pequena e pode ser desprezada

Não foi considerado o atrito nos desviadores.

Figura 2-29 – Configuração esquemática

mostrando a pequena mudança de posição

A tensão final nos cabos externos é dada pela equação

tensão nos cabos pela equação

pspeps σσσ ∆+=

externos, três tipos de carregamento (uma ou duas cargas

concentradas e distribuída) e traçado dos cabos reto ou poligonal.

O autor seguiu o trabalho já desenvolvido por outros pesquisadores

inação da tensão nos cabos por meio da adoção de coeficientes corretores de

lém do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas

na direção longitudinal da viga devida à protensão n

justificativa de que a deformação elástica do concreto ocorre

serem ancorados.

ão há mudança de posição dos cabos onde se encontram as

ancoragens, com a justificativa de que, no estado limite último, a rotação da


pequena e pode ser desprezada (ver Figura 2-29).

erado o atrito nos desviadores.

Configuração esquemática dos cabos externos antes e após carregamento,

mostrando a pequena mudança de posiçãodo ponto A na extremidade

(GHALLAB, 2013, p.423).

A tensão final nos cabos externos é dada pela equação (2.25) e o

tensão nos cabos pela equação (2.26).

38

(uma ou duas cargas

por outros pesquisadores para a

da adoção de coeficientes corretores de

lém do coeficiente corretor, sua formulação para tensões adotou algumas

da viga devida à protensão não foi

elástica do concreto ocorre

nde se encontram as

de que, no estado limite último, a rotação da


antes e após carregamento,

ponto A na extremidade

) e o acréscimo de

(2.25)

39

pspsps E εσ =∆ (2.26)

0

0

0 L

LL

L

L final

ps

−=

∆=ε (2.27)

Os comprimentos inicial e final do cabo são o somatório de comprimentos

iniciais e finais li no vão (equações 2.28 e 2.30).

n

n

i

i lllllL ++++==∑=

...3211

0

(2.28)

( )221 01 ddLl

AB−+=

( )222 12 ddLl

BC−+=

( )223 32 ddLl

CD−+= etc.

O comprimento final dos cabos, Lfinal, depende da nova posição dos desviadores

após o carregamento e foi proposta a equação (2.29) para o cálculo do deslocamento

vertical dos desviadores considerando o coeficiente corretor kg, válido para vigas

simples apoiadas, e cuε =3,0‰.

2L

xk

u

cugdesv

εδ = (2.29)

****

1

* ...321 ni

lllllLn

i

final ++++==∑=

(2.30)

( )[ ]22* 0111

ddLlAB

−∆−+=

( ) ( )[ ]22* 22112

∆+−∆++= ddLlBC

( )[ ]22* 3223

ddLlCD

−∆++= etc.

Para vigas continuas adotou-se kc no lugar de kg na equação (2.29). Os valores

dos coeficientes kc e kg são mostrados na Tabela 2-3.

40

Tabela 2-3 – Fatores de multiplicação kg e kc (GHALLAB, 2013, p.424).

Viga simplesmente apoiada Viga continua

Uma carga concentrada

( )( )Ll

Llk

d

dg

−

−=

148

43 2

−+=

max

sup0625,05,01

M

M

kkk

orte

g

gc

Duas cargas concentradas

( )6

125,02

Llk d

g −=

−+=

max

sup0625,05,01

M

M

kkk

orte

g

gc

Carga uniformemente

distribuída 104,0=gk

−=

max

sup

101104,0

M

Mk

orte

c

Msuporte: momento fletor no apoio; Mmax: momento fletor máximo no vão ld: distância entre cargas concentradas

O autor comparou os resultados obtidos utilizando o método proposto para o

cálculo de tensões com os de 37 vigas com desviadores ensaiadas por outros autores,

chegando à conclusão de que, em geral, o método fornece bons resultados, mas pode ser

melhorado.

Os valores encontrados pelo autor para a tensão última nos cabos foram

superiores aos calculados segundo as normas ACI 318:2011 e EN 1992-1-1:2004.

Concluiu-se que os procedimentos dessas normas não fornecem bons resultados para o

caso de dp > h.

2.4 Procedimentos Normativos Referentes à Protensão Externa

2.4.1 NBR 6118:2014

A ABNT NBR 6118:2014 é limitada quanto a considerações especiais para a

protensão externa, não explicita distinção de dimensionamento para protensão interna

não aderente e externa e em um único item faz a recomendação de que as bainhas

podem ser de material plástico resistente a intempéries com proteção adequada para a

armadura.

Para protensão interna não aderente, são dadas para variação da tensão nos cabos

as mesmas fórmulas que constam na ACI 318:2014, dadas abaixo.

41

2.4.2 ACI 318:2014

As equações propostas para a determinação da tensão final em cabos internos

não aderentes também são usadas para o caso de cabos externos. O cálculo da tensão

nos cabos depende da relação vão/altura útil, L/dp e as equações propostas só podem ser

utilizadas caso se garanta que σpe ≥ 0,5 fpu.

É comentado que deve-se assegurar que a excentricidade desejada entre os cabos

e o centroide da seção seja mantida, garantindo-se assim que efeitos de segunda ordem

não surjam.

As equações para a determinação da tensão nos cabos são função de fck e da taxa

da armadura de protensão, ρp e fornecem maior variação de tensão para vigas com

relação L/dp ≤ 35.

+≤++=

MPa

ffMPa

pe

py

p

ckpeps 420100

70σρ

σσ para L/d p≤ 35 (2.31)

+≤++=

MPa

ffMPa

pe

py

p

ckpeps 210300

70σρ

σσ para L/d p> 35 (2.32)

p

ps

pdb

A=ρ

(2.33)

2.4.3 AASHTO:2012

Nas edições a partir de 2004, a AASHTO passou a adotar para o cálculo da

tensão em cabos não aderentes a metodologia proposta por MACGREGOR (1989).

Para o cálculo da tensão nos cabos sem aderência, a AASHTO:2012 propõe a

equação (2.34), que leva em consideração o comprimento efetivo dos cabos, Le, e a

posição da linha neutra. A equação também é usada para o caso de cabos externos. O

valor encontrado para a tensão nos cabos é em megapascal (MPa).

py

e

p

peps fL

xd≤

−+= 0630σσ (2.34)

+=

s

eN

LL

2

2 0 (2.35)

42

Caso uma análise quanto à vibração dos cabos não indique valor menor, o

comprimento livre máximo dos cabos deve ser 7,5m. Para o caso de pontes com vãos da

ordem de 24m, com seções-caixão simples ou múltiplas, executadas pelo método de

balanços sucessivos ou qualquer outro método incremental, a AASHTO:2012 indica a

necessidade dehaver acesso e espaço para a colocação de desviadores e cabos externos

extras, capazes de fornecer uma força de protensão correspondente a pelo menos 10%

de acréscimo nos momentos fletores positivo e negativo.

2.4.4 EN 1992-1-1:2004

No cálculo da tensão no estado limite último para membros com cabos não

aderentes, a EN 1992-1-1:2004 estabelece que é geralmente necessário considerar a

deformação de todo o membro no cálculo da variação de tensão nos cabos. Neste caso,

deve-se adotar os valores médios das propriedades dos materiais e o valor de projeto

dessa variação deve considerar coeficientes de segurança parciais superior e inferior

iguais a 1,2 e 0,8, respectivamente.

Caso não seja feita uma análise da deformação de todo o membro, no estado

limite último, pode ser assumido que MPaps 100=∆σ .

2.5 Considerações Sobre a Protensão Externa

Um dos fatores que tornam complexa a análise de vigas protendidas

externamente é a variação de excentricidade dos cabos externos com a aplicação do

carregamento. À medida que a carga é aplicada, a viga se deforma enquanto os cabos

permanecem retilíneos entre as ancoragens e os desviadores, resultando em uma

variação da distância entre os cabos e o centroide da seção, o chamado efeito de

segunda ordem (Figura 2-30). Ele acarreta redução da excentricidade da força de

protensão e consequente redução da resistência à flexão.

43

Figura 2-30 – Variação da excentricidade em uma viga com cabos externos e dois

desviadores e demarcação do limite entre região fissurada e não fissurada

(NAAMAN e ALKHAIRI 1991, p. 684).

Segundo HARAJLI et al.(1999), os efeitos de segunda ordem são influenciados

principalmente pelo número de desviadores, tipo de carregamento e tensão de protensão

efetiva. Para mesmos carregamento e traçado de cabos, em vigas com duas cargas

concentradas nos terços do vão ou carga uniformemente distribuída, os efeitos são

maiores que em vigas com uma única carga concentrada no meio do vão.

Uma maneira de minimizar os efeitos de segunda ordem é adotar um número

mínimo de desviadores (NG e TAN, 2005b). Isto é indiretamente indicado na ACI

318:2014, ao estipular que devem ser garantidos dispositivos que mantenham a

excentricidade de projeto prevista. Com base em seu estudo experimental, NG e TAN

(2005b) concluíram que, para vigas com L/dp ≤ 22,5, um desviador é suficiente para

minimizar os efeitos de segunda ordem e, para vigas com L/dp=30, são necessários pelo

menos dois desviadores.

Caso não seja possível adotar o número desejável de desviadores, o efeito de

segunda ordem pode ser considerado reduzindo-se a capacidade resistente à flexão da

viga por meio da redução da tensão última nos cabos. HE e LIU (2010) propuseram um

coeficiente redutor de aderência para contabilizar os efeitos de segunda ordem

considerando o tipo de carregamento e o arranjo dos cabos. Segundo esses autores, a

magnitude dos efeitos de segunda ordem depende principalmente da disposição dos

desviadores e consequente traçado dos cabos e da relação L/em. Para vigas com pelo

menos dois desviadores e L/em>50, a perda de excentricidade é menor do que 5% e na

44

prática os efeitos de segunda ordem podem ser desprezados. Caso nenhum desviador

seja previsto, essa perda de excentricidade pode ser maior que 50%, comprometendo a

segurança da estrutura. GHALLAB (2013) contemplou os efeitos de segunda ordem ao

propor um fator de correção para o cálculo das tensões nos cabos, que considera o tipo

de carregamento e traçado dos cabos e pode ser utilizado para vigas simplesmente

apoiadas e contínuas. Segundo GHALLAB (2005), a tensão nos cabos no estado limite

último é influenciada pela resistência do concreto, tensão de protensão efetiva, número

de desviadores e relação entre espaçamento de desviadores e vão.

Não há um consenso dentre os pesquisadores citados neste trabalho quanto à

influência do deslizamento dos cabos. Segundo GHALLAB (2012), HE e LIU (2010),

ALKHAIRI e NAAMAN (1991) e NG e TAN (2005a), esse efeito pode ser desprezado

na determinação das tensões finais nos cabos e no comportamento da viga. Contudo,

estudos experimentais (MACGREGOR, 1989; REGIS, 1997) e numéricos (DESIR,

1993) sugerem a necessidade da determinação mais precisa do coeficiente de atrito nos

desviadores, sendo esse fator relevante para determinar o ponto de início de

deslizamento dos cabos e conseqüente variação de tensões.

Nos ensaios conduzidos por MACGREGOR (1989), verificou-se que houve

deslizamento dos cabos somente para cargas próximas da última. O deslizamento não se

iniciou de maneira brusca e aumentou de maneira contínua com o aumento de carga. Na

região dos desviadores, ocorre uma mudança de força nos cabos entre dois segmentos

adjacentes devido ao atrito e às altas pressões laterais (Figura 2-31). Segundo

MACGREGOR (1989), são necessários estudos adicionais sobre o mecanismo de

transferência de forças nos desviadores para que seja possível determinar o instante em

que os cabos começam a deslizar nos desviadores.

Figura 2-31 – Esquema de forças atuantes no desviador (MACGREGOR, 1989, p. 286).

45

Modelos numéricos foram elaborados com o objetivo de estudar o

comportamento de vigas com protensão externa. Na rotina computacional elaborada por

DESIR (1993) a modelagem da estrutura é feita por meio de elementos de barra

prismáticos planos com dois nós e quatro graus de liberdade. A precisão de seu modelo

está associada a modelagem da estrutura e ao nível de discretização da estrutura, quanto

mais elementos mais preciso. O autor considerou o caso de estruturas de concreto

armado e protendido. HARAJLI et al. (1999) dividiram a viga em trechos, e na seção

critica a deformação especifica da fibra mais comprimida de concreto foi aumentada

incrementalmente simulando a aplicação de um carregamento. Um processo iterativo foi

realizado para satisfazer a compatibilidade de deformações e equações de equilíbrio em

cada seção nos trecho restantes. Fazendo a integração da curvatura foi possível obter a

flecha no meio do vão e assim obter as curvas carga-flecha e carga-tensão nos cabos

para o estado limite de serviço e último. DALL’ASTA et al. (2007) propuseram um

método para análise de vigas com protensão externa a partir da seção crítica, ao invés de

toda a viga, para encontrar a variação da tensão nos cabos e a carga máxima no estado

limite último. Foi feita a modelagem da estrutura em elementos finitos com a aplicação

de deslocamentos na seção crítica, obtendo-se deformações e a curvatura. Em seguida,

por meio de uma função de forma que associa a deformada da viga com o alongamento

dos cabo, foi possível obter a variação da tensão nos cabos e a carga última.

Em todas as análises numéricas vistas houve a necessidade da modelagem do

sistema cabo-estrutura, feito por meio de elementos de barra como o de DESIR (1993),

elementos finitos como DALL’ASTA et al. (2007), ou por meio da subdivisão em

trechos como HARAJLI et al. (1999).

O ponto em comum entre as metodologias foi a consideração da não linearidade

física e geométrica por meio da adoção das equações constitutivas dos materiais e

atualizando-se a configuração deformada da estrutura em cada etapa de carregamento.

2.6 Comentários Finais

Existe entendimento entre os autores dos estudos revistos de que o efeito de

segunda ordem deve ser considerado no dimensionamento de vigas com protensão

externa, a menos que ele seja minimizado por meio de desviadores que garantam a

excentricidade prevista em projeto.

46

Não há, entretanto, consenso sobre os fatores que mais influenciam esse efeito e

os que podem ser desconsiderados, e os diferentes procedimentos simplificados para

avaliar esse efeito levam em conta diferentes parâmetros, como mostra a Tabela 2-4,

que resume as equações propostas para cálculo da variação de tensão nos cabos

incluídas na revisão bibliográfica.

Este trabalho visou avaliar a importância desse efeito no comportamento de

estruturas reforçadas com protensão externa por meio de uma rotina computacional,

dispensando o uso de fórmulas simplistas e análises mais sofisticadas como a de

elementos finitos.

O atrito entre cabo e desviador é desprezado, permitindo o livre deslizamento

dos cabos e admitindo-se que sua influência nas tensões finais nos cabos seja pequena e,

em uma análise realizada seção a seção como a deste trabalho, esse efeito não controla o

comportamento da viga.

Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continua).

FONTE EQUAÇÃO

MACGREGOR (1989)

No ELU:

py

e

up

cupspeps fL

xdE ≤

−+= εσσ 5,10

+=

s

eN

LL

5,010

NAAMAN e

ALKHAIRI (1991)

No estágio linear elástico não fissurado:

( )

Ω

++

−Ω+=

2m

g

g

ps

ps

cg

mg

peps

eA

IA

E

EI

eMMσσ

No estágio linear elástico fissurado:

−Ω+Ω+= 1

x

d

E

EE

p

cc

c

ps

ccecpspeps σεσσ

No ELU:

py

u

p

cupsupeps fl

l

x

dE 94,01

2

1 ≤

−Ω+= εσσ

47

Tabela 2-4 – Resumo de equações para cálculo de pspeps σσσ ∆+= (continuação).

FONTE EQUAÇÃO

HARAJLI (1993) No estágio linear elástico:

NG e TAN (2005a) No ELU:

HE e LIU (2010)

Para cargas de serviço:

No ELU:

GHALLAB (2013)

Variação do comprimento do cabo depende do deslocamento

vertical do desviador e, para vigas simplesmente apoiadas,

2L

xk cu

gdesv

εδ =

ACI 318:2014

+≤++=

MPa

ffMPa

pe

py

p

ckpeps 420100

70σρ

σσ L/d p≤ 35

+≤++=

MPa

ffMPa

pe

py

p

ckpeps 210300

70σρ

σσ L/d p> 35

AASHTO:2012

Para qualquer etapa de carregamento:

py

e

p

peps fL

xd≤

−+= 0630σσ

+=

s

eN

LL

2

2 0

EN 1992-1-1:2004

Se nenhum cálculo mais preciso for feito, adota-se:

MPaps 100=∆σ

02

4δσσ

L

eE m

pspeps +=

py

u

p

cupsupepspeps fx

dE ≤

−+=∆+= 1εθσσσσ

( )2L

eE midmmidps

ps

δηδσ

Ψ−=∆

( )2

,,

L

eE umidmumidps

ps

δηδσ

Ψ−=∆

48

3 PROGRAMA DESENVOLVIDO

CAPÍTULO 3

PROGRAMA DESENVOLVIDO

3.1 Introdução

Neste capítulo é descrita a rotina computacional elaborada em linguagem

FORTRAN para a análise do comportamento de vigas de concreto armado reforçadas

com protensão externa. São apresentadas as equações constitutivas dos materiais que

compõem a estrutura, a descrição da análise não-linear física e geométrica e o

fluxograma dos algoritmos implementados. A análise abrange o caso de vigas

monolíticas de concreto armado, bi-apoiadas com um ou dois desviadores e cargas

uniformemente distribuída ou concentradas.

3.2 Análises do Problema

Na protensão externa, a ligação cabo-estrutura ocorre apenas nas regiões de

ancoragens e onde há desviadores, diferentemente da protensão interna não aderente,

onde isso ocorre ao longo do cabo.

As tensões nos cabos não aderentes são determinadas a partir do estudo da

interação cabo-estrutura; elas dependem da variação da geometria dos cabos decorrente

do deslocamento dos vínculos entre os cabos e a viga.

Para representar o comportamento estrutural mais realista do conjunto cabo-

estrutura são consideradas nas análises as não linearidades física e geométrica.

3.2.1 Não-linearidade Física

A não-linearidade física é considerada adotando-se as curvas tensão-deformação

não-lineares para os materiais concreto e aço descritas a seguir. Desprezou-se a

resistência a tração do concreto e admitiu-se aderência perfeita entre aço e concreto.

49

A) Concreto

Adotou-se expressão da curva tensão normal-deformação específica da EN

1992-1-1:2004, dada pela equação (3.1), onde tensões e deformações estão em módulo.

Essa curva é aplicável para concretos de resistência à compressão característica,

fck, de até 90MPa e está representada esquematicamente na Figura 3-1.

−+

−

=

1

1

2

11

1

21c

c

cm

cct

c

c

c

c

cm

cct

cm

c

f

E

f

E

f

ε

εε

ε

ε

ε

εε

σ

(3.1)

MPaff ckcm 8+= : valor médio da resistência à compressão do concreto.

‰8,27,0 31,01 ≤= cmc fε : deformação específica correspondente a tensão máxima.

5,3=cuε ‰ : deformação específica última para fck< 50MPa.

−+=

4

100

98278,2 cm

cu

fε : deformação específica última para fck ≥ 50MPa.

3,0

1022000

= cm

cs

fE : módulo de elasticidade secante do concreto (MPa).

csct EE 05,1= : módulo de elasticidade tangente do concreto (MPa).

Figura 3-1 – Representação esquemática do diagrama tensão normal-deformação

específica do concreto segundo a EN 1992-1-1:2004.

50

B) Aço da Armadura Passiva

Com o intuito de modelar um comportamento mais próximo do real, foi adotada

a relação tensão normal-deformação específica bilinear mostrada na Figura 3-2.

No primeiro trecho, onde 0 ≤ εs ≤ εsy , a tensão na armadura é dada por (3.2),

com um módulo de elasticidade médio Es = 200GPa.

sss E εσ = (3.2)

Para o segundo trecho, onde εsy ≤ εs ≤ εsu, a tensão na armadura é definida por,

( )( )( )

sysu

sys

ysuys fffεε

εεσ

−

−−+= ≤ suf

(3.3)

Figura 3-2 – Diagrama tensão normal-deformação específica do aço da armadura

passiva.

Considerando-se nessas expressões a resistência de escoamento igual à

correspondente a εsu, tem-se o diagrama com patamar comumente adotado em projeto.

51

C) Aço da Armadura Ativa

Os aços das armaduras ativas considerados podem ser das categorias de baixa

relaxação (RB) e relaxação normal (RN). Os diagramas tensão normal-deformação

específica adotados para esses dois tipos de aço são os propostos por MATTOCK

(1979), dados pelas equações (3.4) e (3.5) e representados na Figura 3-3. Nessas

equações considerou-se Eps=200000MPa.

Aços de baixa relaxação:

( )[ ]MPaE

ps

pspsps 18601181

975,0025,0

1,010≤

++=

εεσ (3.4)

Aços de relaxação normal:

( )[ ]MPaE

ps

pspsps 18601211

97,003,0

167,06≤

++=

εεσ (3.5)

Figura 3-3 – Diagrama tensão normal-deformação específica para o aço das armaduras

ativas.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 0.050

Ten

são

σp

s(M

Pa

)

Deformação Específica (εps)

Relaxacão Baixa

Relaxação Normal

52

3.2.2 Procedimento da Análise da Interação Cabo-Estrutura

A análise do comportamento da viga reforçada é feita em duas etapas.

Na primeira, chamada de etapa 0, atuam na viga apenas cargas permanentes. A

protensão é aplicada nos cabos externos, que ainda não estão fixos à viga, ou seja, não

houve o encunhamento dos cabos. Durante esse processo, toda a deformação da viga

oriunda da interação cabo-estrutura ocorre até a estabilização do sistema com a força de

protensão de projeto do reforço aplicada nos cabos.

A análise parte com a geometria da viga no seu estado inicial, onde o ângulo de

desvio inicial dos cabos é dado por αi e a força de protensão por Fpi (Figura 3-4).

Figura 3-4 – Protensão dos cabos externos para viga no seu estado inicial.

Como o ângulo de desvio é pequeno, por simplificação pode-se aproximar seu

seno e tangente para o próprio ângulo em radianos e o cosseno para 1,0 (Figura 3-5).

( )iiFpFp αcos0 ≅

(3.6)

( ) iiInteração FpsenFpF αα 00 ≅=

(3.7)

Figura 3-5 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 0.

53

Para a etapa 0, a interação cabo-estrutura segue a seguinte sequência de cálculos

até a estabilização do sistema e encunhamento dos cabos:

1) Parte-se da geometria inicial tanto da viga quanto dos cabos e obtém-se a

configuração deformada da viga sob a ação da carga inicial e das forças

de interação,

2) Em virtude da mudança de geometria da viga, há uma mudança da

geometria dos cabos e tem-se novo ângulo de desvio dos cabos (αi+1),

3) A força de interação cabo-estrutura (Fp0 αi+1) é atualizada com o novo

ângulo,

( )10 += iInteração FpF α

(3.8)

4) Atualizada a força de interação, chega-se a uma nova configuração

deformada da viga e, assim, a um novo ângulo de desvio dos cabos,

5) O processo iterativo é repetido até que se atinja a estabilização da

geometria dos cabos (que depende do deslocamento das seções onde se

localizam os desviadores), ou seja, que a diferença entre os ângulos de

desvio entre iterações (ou deslocamentos) fique menor que a tolerância

estabelecida em 10-6. Por fim, há o encunhamento dos cabos.

A Figura 3-6 ilustra o processo iterativo descrito para a etapa 0 até que o sistema

cabo-estrutura se estabilize.

Figura 3-6 – Variação da geometria dos cabos para a carga inicial q – Etapa 0.

54

Ao final da análise da etapa 0, fica conhecida a configuração deformada da viga

(flechas e o ângulo de desvio dos cabos, α0), tensões nos cabos externos, além de

tensões e deformações no concreto e na armadura passiva. O fluxograma da Figura 3-7

mostra a sequência de cálculos realizados na rotina computacional para a etapa 0 de

análise da viga.

Figura 3-7 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 0 de análise da viga.

Na segunda etapa, posterior ao encunhamento dos cabos e chamada de etapa 1,

passa a atuar na viga o carregamento acidental, que é resistido pelo reforço e aplicado

em incrementos ∆q. A análise da interação cabo-estrutura, para cada incremento de

55

carga, é feita por meio da compatibilização dos deslocamentos da viga e dos cabos onde

há vínculo entre eles. Ao longo desse processo ocorrem variações da geometria dos

cabos, as quais implicam em variações das forças nos mesmos.

Na etapa 1, as geometrias iniciais da viga e dos cabos são aquelas determinadas

no final da análise da etapa 0. Para cada incremento de carga, a interação cabo-estrutura

na etapa 1 segue a sequência de cálculos abaixo descrita até a estabilização da

geometria:

1) Parte-se da força de protensão (Fp0) e geometrias da viga e dos cabos

(α0) definidas no final da etapa 0,

2) Aplica-se um incremento de carga ∆q na viga, obtendo-se uma nova

configuração deformada da viga,

3) Em virtude da mudança de geometria da viga, há uma mudança de

geometria dos cabos (α1(i)) e, por consequência, mudança das forças nos

cabos, tal que

L

AELFp

psps∆=∆

(3.9)

4) Atualiza-se a força de protensão nos cabos (Figura 3-8), que passa a ser

FpFpFp ∆+= 01

(3.10)

Figura 3-8 – Sistema estático equivalente com forças de interação – Etapa 1.

5) Com a força de protensão atualizada (Fp1), realiza-se a análise da viga

com a força de interação atualizada (Fp1α1(i)), obtendo-se uma nova

configuração deformada da viga e uma nova geometria dos cabos

definida por (α1(i+1)),

56

6) O processo iterativo é repetido até que se estabilize a geometria dos

cabos para o incremento de carga aplicado,

7) Para incrementos de carga posteriores, parte-se das geometrias da viga e

dos cabos e forças obtidas no final da análise do incremento de carga

anterior, até que se atinja o nível de carga desejado (ELS ou ELU).

A Figura 3-9 ilustra o processo iterativo para a etapa 1, e a Figura 3-10 apresenta

o fluxograma com a sequência de cálculos implementados na rotina computacional.

Figura 3-9 – Variação da geometria dos cabos para a carga q+∆q – Etapa 1.

57

Figura 3-10 – Fluxograma com sequência de cálculos para etapa 1 de análise da viga.

Com os resultados de saída do programa podem-se traçar as curvas carga-flecha,

carga-tensão nos cabos externos e momento-rotação para a seção.

58

3.3 Programa de Análise Desenvolvido

Primeiramente, a viga é analisada com o carregamento e as forças introduzidas

pela protensão e obtém-se a distribuição das solicitações. Considerando a viga dividida

em pequenos trechos de comprimento ∆x, ao longo dos quais as solicitações são

consideradas constantes e com o valor médio do trecho em questão, parte-se para a

análise individual de cada trecho, como mostra a Figura 3-11.

Figura 3-11 – Divisão da viga em trechos ∆x com os respectivos momentos fletores

médios tomados para cada trecho.

Em cada trecho da viga, são feitas análises para a determinação das rotações das

seções e em seguida a curvatura do trecho. Com o conhecimento das curvaturas e dos

comprimentos de cada trecho obtém-se a deformada da viga e, por conseguinte a

geometria dos cabos.

O procedimento adotado para a obtenção das rotações das seções em cada trecho

da viga e a sua deformada é descrito a seguir.

59

3.3.1 Análise Seccional

Conforme Figura 3-12, a seção transversal é discretizada em lâminas de concreto

simétricas em relação ao eixo y. Cada lâmina tem uma área Ac(i) com centroide a uma

distância yc(i) do eixo z (nível do centroide da seção) e cada camada de aço com área

As(j) a uma distância ys(j). As deformações específicas do aço e do concreto numa

camada qualquer, εc(i) e εs(j), podem ser calculadas a partir do conhecimento da

deformação no nível do centroide da seção, εcg, e da rotação relativa por unidade de

comprimento, ϕ, utilizando as equações (3.11) e (3.12).

φεε )()( iccgic y−= (3.11)

φεε )()( jscgjs y−= (3.12)

Figura 3-12 – (a) Discretização da seção em lâminas de concreto e camadas de aço (b) e

distribuição de deformações específicas na seção.

No caso da protensão externa, apenas a força normal de compressão Fp é

considerada para o equilíbrio da seção. Os esforços internos N e M são obtidos para um

correspondente estado de deformação (εcg, ϕ) utilizando as equações (3.13) e (3.14),

onde os índices c e s se referem ao concreto e ao aço da armadura passiva,

respectivamente. Discretizando a seção em n lâminas de concreto, m camadas de

armadura passiva e fazendo o somatório, tem-se:

60

pjs

m

j

jsic

n

i

ic FAAN +∆+∆= ∑∑==

)(1

)()(1

)( σσ (3.13)

)()(1

)()()(1

)( jsjs

m

j

jsicic

n

i

ic yAyAM ∆+∆= ∑∑==

σσ (3.14)

A partir das relações constitutivas dos materiais e das equações (3.11) e (3.12),

chega-se aos módulos de elasticidade secante e às tensões no nível do centroide de cada

área i e j:

( )φεσ )()()( iccgicic yE −=

(3.15)

( )φεσ )()()( jscgisjs yE −=

(3.16)

A resistência a tração do concreto é desprezada zerando os valores das tensões

encontrados pela equação (3.15), caso elas resultem em valores negativos. Com as

tensões nas equações (3.13) e (3.14) dadas pelas equações (3.15) e (3.16), e

reorganizando, tem-se:

=

−

−

φ

ε cgp

KK

KK

M

FN

2221

1211 (3.17)

Onde:

∑∑==

∆+∆=m

j

jsjs

n

i

icic AEAEK1

)()(1

)()(11

(3.18)

∆+∆−== ∑∑

==

m

j

jsjsjs

n

i

icicic yAEyAEKK1

)()()(1

)()()(2112

(3.19)

∑∑==

∆+∆=m

j

jsjsjs

n

i

icicic yAEyAEK1

2)()()(

1

2)()()(22

(3.20)

Para calcular os elementos da matriz K, assume-se um valor para a deformação

específica do concreto na fibra mais comprimida e um valor para a altura da linha

neutra, x. Calculam-se εcg, ϕ e as deformações especificas de cada lâmina de concreto e

camada de armadura passiva. De posse das deformações específicas, é possível obter, a

61

partir das equações constitutivas de cada material, o módulo de elasticidade secante de

cada lâmina de concreto e camada de aço, e com isso calcular os elementos da matriz.

O valor do esforço normal encontrado é comparado com o atuante (Fp). Na

hipótese do valor do esforço normal encontrado ser maior do que o atuante, reduz-se a

altura da linha neutra mantendo fixa a deformação específica do concreto na fibra mais

comprimida. O processo iterativo é repetido até que a diferença entre os valores seja

menor que a tolerância estabelecida de 0,1%. O fluxograma com as etapas descritas é

mostrado na Figura 3-13.

Figura 3-13 – Fluxograma com sequencia de cálculos realizada em cada trecho para

análise da viga.

62

Em cada trecho, tendo-se N, M e Fp pode-se, por meio dessa análise iterativa,

encontrar a curvatura e a posição do eixo longitudinal da viga na condição deformada.

A Figura 3-14 mostra os tipos de seções transversais que foram implementados

no programa de análise seccional desenvolvido. No caso de seção retangular, os valores

de b1, b2, h1 e h2 devem ser zerados e para seção T apenas os valores de b1 e h1. A

altura dos cabos externos onde fica o desviador é dada por hi; caso os cabos se

encontrem abaixo da viga, adota-se o valor negativo para hi.

Figura 3-14 – Seções transversais típicas, I, T ou retangular implementadas.

Na rotina de análise, a altura de cada lâmina de concreto em que é dividida a

seção (Hlam) pode ser escolhida pelo usuário e tem seu valor default no programa como

sendo 5mm. O número de camadas de armadura passiva (Ncam) e as respectivas áreas

de seção, bem como a área da seção da armadura ativa são dados de entrada e devem ser

definidos pelo usuário.

3.3.2 Análise da Viga

A análise da viga é feita, primeiramente, por meio do cálculo de rotações e

flechas, para que, em seguida, se encontre a geometria dos cabos e se corrija a força de

protensão de acordo com a variação da geometria da viga.

Considerando um segmento ds entre os dois pontos m1 e m2 no eixo deformado

da viga mostrados na Figura 3-15, a partir do raio da curvatura e do ângulo dθ tem-se:

63

ρθ

dsd =

(3.21)

Dividindo-se a viga em trechos dx, para uma viga com pequenas deformações o

valor de ds aproxima-se do valor de dx, e, portanto,

dxddxdxds

d ⋅=∴⋅=== φθφ

φρ

θ1

(3.22)

Figura 3-15 – Discretização da viga, rotação em cada trecho e distância vertical do

ponto B à tangente ao ponto A do eixo da viga na posição deformada.

Para determinar a distância vertical entre o ponto B e a tangente em A, δAB,

pode-se considerar um segmento ds no qual há uma variação angular dθ e que tem uma

participação dδ na distância vertical (Figura 3-15).

64

Como o ângulo dθ é muito pequeno, pode-se admitir que a distância dδ é igual a

dθ xi. Partindo da equação (3.22), chega-se a:

ii xdxxdd φθδ ==

(3.23)

O deslocamento vertical δAB é obtido fazendo o somatório de todas as parcelas

dδ devidas aos segmentos ds entre os pontos A e B. O somatório expressa o primeiro

momento de área do diagrama de curvatura entre esses dois pontos em relação ao ponto

B.

∑=

=n

i

iiAB dxx1

φδ

(3.24)

No programa desenvolvido são analisadas as seções transversais obtidas

dividindo-se a viga em n trechos de comprimento ∆x. Para cada seção que representa

cada trecho i, são encontradas a rotação e a sua posição xi em relação ao apoio (Figura

3.14). A posição xi pode ser colocada em função de ∆x e, a partir das equações (3.24) e

(3.25), chega-se à equação (3.26).

−∆=

2

1ixx i

(3.25)

∑=

−∆∆=

n

i

iAB ixx1 2

1φδ

(3.26)

Para cada etapa de incremento de carga, a posição do eixo da viga na condição

deformada e o comprimento dos cabos são definidos, sendo este comprimento definido

a partir do deslocamento dos desviadores. Este deslocamento é obtido a partir dos

cálculos da distância da seção no meio do vão ao apoio e a distância da seção do meio

do vão à da posição do desviador, como mostra a Figura 3.16, ou seja,

ACABdesv δδδ −= (3.27)

65

Figura 3-16 – Obtenção do deslocamento vertical da seção onde se encontra o

desviador.

A precisão na obtenção das flechas utilizadas nas análises da viga para as etapas

0 e 1 é importante, já que a geometria dos cabos externos é obtida diretamente desse

cálculo. Assim, quão maior o número trechos ao longo da viga, melhor a qualidade dos

resultados. Como default do programa adotam-se 1000 divisões para a viga, mas esse

valor pode ser mudado pelo usuário.

3.3.3 Carregamentos e Traçado dos Cabos

Para aplicações com o programa, o usuário pode escolher dois tipos de arranjo

para os cabos, a depender do número de desviadores, como mostra a Figura 3-17. A

distância do desviador até o apoio é Ld e L o vão.

66

Figura 3-17 – Configurações possíveis para os cabos externos.

Os carregamentos atuantes na viga podem ser distribuídos ou concentrados. As

cargas concentradas (uma ou duas) estão situadas a uma distância a do apoio. A carga

uniformemente distribuída é considerada atuando ao longo de todo o vão. A Figura 3-18

mostra os tipos de carregamento possíveis.

Figura 3-18 – Tipos de carregamentos.

67

3.3.4 Dados de Entrada e de Saída

Os dados do projeto, definidos pelo usuário, são colocados em uma sub-rotina

chamada Dados de Entrada. A seção transversal e a configuração dos cabos são

escolhidas seguindo os tipos disponíveis descritos nos itens anteriores (Figuras 3-19 e 3-

20).

Figura 3-19 – Dimensões da seção transversal (Dados de Entrada).

68

Figura 3-20 – Configurações gerais da rotina e definição das posições dos desviadores e das cargas concentradas (Dados de Entrada).

Os carregamentos devem ser definidos para as etapas 0 e 1 da análise, como

mostra a Figura 3-21, assim como a força de protensão inicial:

P – Carga concentrada atuante na etapa 0 (N)

DeltaP – Acréscimo de carga concentrada para a etapa 1 (N)

Q – Carga distribuída atuante na etapa 0 (N/mm)

DeltaQ – Acréscimo de carga distribuída para a etapa 1 (N/mm)

F – Força de protensão inicial (N)

Figura 3-21 – Cargas e força de protensão inicial a serem definidas pelo usuário (Dados de Entrada).

As propriedades dos materiais e as armaduras são definidas na sequência

(Figuras 3-22 e 3-23).

69

fck– Resistência característica à compressão do concreto (MPa)

fy – Resistência de escoamento do aço da armadura passiva (MPa)

fsu –Resistência à tração do aço da armadura passiva (MPa)

esu– Deformação específica última do aço da armadura passiva (10-3)

esy– Deformação específica de escoamento do aço da armadura passiva (10-3)

Asp – Área da seção dos cabos externos (mm²)

Espe – Módulo de elasticidade do aço dos cabos externos (MPa)

Espa –Módulo de elasticidade do aço da armadura passiva (MPa)

ncam – Número de camadas de armadura passiva

As(j)– Área da seção transversal da armadura passiva da camada j (mm²)

ds(j) – Altura útil da camada j da armadura passiva (mm)

Figura 3-22 – Propriedades dos materiais e seção dos cabos a serem definidas pelo usuário (Dados de Entrada).

Figura 3-23 – Dados da armadura passiva a serem definidos pelo usuário (Dados de

Entrada).

70

O programa gera um arquivo de saída em formato de texto. Ao final de cada

etapa de análise, o programa fornece o ângulo de desvio dos cabos, e, para cada

incremento de carga, a tensão nos cabos externos e a flecha da viga no meio do vão e

nas posições dos desviadores (Figuras 3-24 a 3-26).

Figura 3-24 – Arquivo de saída com valores de flecha no meio do vão (fmid) e nos

terços do vão (fpto) para a carga atuante.

\

Figura 3-25 – Arquivo de saída com a tensão nos cabos para a carga atuante.

71

Figura 3-26 – Arquivo de saída mostrando ângulo de desvio e forças de protensão para

as etapas 0 e 1.

72

4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA

CAPÍTULO 4

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO PROGRAMA

4.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos utilizando o programa

desenvolvido, que são comparados com resultados experimentais e numéricos

apresentados na literatura, bem como com os calculados com equações propostas.

Os dados de entrada utilizados no programa foram os fornecidos na referência

bibliográfica fonte, sem coeficiente de segurança.

Para exemplos de aplicação do programa foram escolhidas as seguintes vigas:

i) Viga B5D ensaiada por HARAJLI (1993)

ii) Viga T-1D ensaiada por TAN e NG (1997)

iii) Vigas TD2, TD3 e TD4 ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997)

iv) Vigas de DALL’ASTA et al. (2007) (resultados numéricos)

Dentre as vigas ensaiadas por HARAJLI (1993), apenas para a B5D o autor

apresentou a curva carga-flecha. Por ser de concreto armado e ter os cabos desviados no

meio do vão, ela se adéqua para simulação no programa desenvolvido. No programa

experimental de TAN e NG (1997), a viga T-1D foi a única com cabos desviados no

meio do vão; as restantes possuíam cabos retos.

As vigas ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997) podem ser

simuladas no programa desenvolvido e foram escolhidas por terem variação da taxa de

armadura e da tensão efetiva de protensão.

Todas as vigas ensaiadas tinham um desviador. Como exemplos de vigas com

dois desviadores, foram tomadas duas vigas com seções transversais diferentes da série

de vigas analisadas numericamente por DALL’ASTA et al. (2007).

Para o estado limite último, admitiu-se para a deformação última do aço da

armadura passiva o valor de 50‰, para o concreto 3,5‰ e para tensão de ruptura valor

igual a 1,2 vezes a resistência ao escoamento. A altura da lâmina de concreto adotada na

discretização das seções foi de 5mm.

73

4.2 Viga Ensaiada por HARAJLI (1993)

A viga B5D é bi-apoiada de 3,00 metros de vão, com duas cargas concentradas

aplicadas nos terços do vão (Figura 4-1).

A armadura de protensão é composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um de

cada lado da viga. A seção transversal é retangular de 12,7cm x 22,8cm e a resistência à

compressão do concreto, medida na época do ensaio, é de 32,4MPa. O desviador se

encontra a 273mm do topo da viga e a excentricidade nas extremidades é zero.

Figura 4-1 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga B5D.

A armadura passiva adotada foi a do tipo Grade 60. A tensão de ruptura não foi

dada e adotou-se o valor de 620MPa, seguindo a especificação para esse tipo de aço.

No seu trabalho o autor apresentou apenas a curva carga-flecha e a carga de

ruptura para a viga, mas não a tensão nos cabos. A Figura 2-14, no capítulo 2, mostra a

curva carga-flecha no meio do vão obtida no ensaio e a Tabela 4-1 resume dados das

armaduras da viga.

Tabela 4-1 – Dados das armaduras da viga B5D.

Es, Esp (GPa) fy, fpy (MPa) fsu, fpu (MPa)

Armadura Passiva 200 551,6 620

Armadura Ativa 206,7 - 1427

Diâmetros As, Asp(mm²) ds, dp (mm)

Armadura Passiva 3ϕ12mm 339 203,6

Armadura Ativa 2 ϕ7mm 77 273

74

No ensaio, a viga foi carregada em duas fases. Na primeira fase, 10000 ciclos de

carga e descarga foram aplicados na viga com o objetivo de simular as condições reais

de uma viga com grandes deformações por carregamento cíclico. O ciclo de carga

variou de um valor mínimo (Pmin) de 20kN ao máximo (Pmax) de 60kN. Na segunda fase,

os cabos externos foram protendidos e a viga partiu com uma carga total inicial de

2P=20kN chegando até a carga máxima de 98kN, aproximadamente. A tensão de

protensão aplicada nos cabos foi de 870MPa.

Na simulação com o programa, a protensão foi aplicada à viga juntamente com a

carga inicial de 20kN e, em seguida foram dados incrementos de carga de 1,0kN. A

Figura 4-2 apresenta a curva carga-flecha experimental, a obtida com o programa e,

para consideração da deformação residual, a curva obtida com o programa deslocada em

aproximadamente 3mm. A curva deslocada sugere que a diferença entre as curvas

experimental e obtida com o programa pode ser atribuída, pelo menos parcialemente, ao

carregamento cíclico a que foi submetida a viga na primeira fase do ensaio.


experimentalmente por HARAJLI (1993).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35

Ca

rga

P (

kN

)

Flecha no meio do vão (mm)

Curva Experimental HARAJLI (1993)

Curva Programa

Curva Programa (considerando

deformação residual)

Pmax

Pmin

≈3mm

75

É possível notar na curva obtida numericamente uma perda de rigidez mais

acentuada a partir de carga próxima a 83kN, quando se observa o escoamento da

armadura passiva, enquanto na curva experimental isso é notado para a carga de 92kN.

A carga máxima obtida pela rotina foi de 88kN (corresponde à chegada da

deformação específica do concreto a 3,5‰) contra 98kN do ensaio, tendo-se uma

diferença de 10%. Com o aumento do carregamento, as inclinações dos cabos ficam

cada vez maiores e, portanto, tem-se valores maiores para as componentes verticais da

força de interação cabo-viga. Consequentemente, ocorre um aumento da força normal

atuante na viga e o diagrama momento-rotação da seção sofre uma mudança (Figura

4-3). O valor final da força normal atuante na seção foi de 84kN, 25% a mais que o

valor inicial.

Figura 4-3 – Curvas momento fletor-rotação na seção do meio do vão obtidas com o

programa, para três forças de protensão.

Segundo o autor, a variação de tensão nos cabos externos entre a carga mínima e

máxima foi de 137MPa. A tensão medida no instante de aplicação de Pmax=60kN, única

fornecida, foi de 1007MPa e a obtida com o programa foi de 965MPa (diferença de

4%). A curva da Figura 4-4 mostra a evolução das tensões nos cabos obtida

numericamente.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006

Mo

me

nto

(N

m)

Rotação (rad)

0kN

67kN

84kN

76

Figura 4-4 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida com o programa e pontos

experimentais de HARAJLI (1993).

4.3 Viga Ensaiada por TAN e NG (1997)

A viga T-1D faz parte de um grupo de vigas ensaiadas por TAN e NG (1997)

(Figura 2-22). A viga era bi-apoiada com 3,00 m de vão, seção T e com duas cargas

concentradas aplicadas nos terços do vão, como mostra a Figura 4-5.

A armadura de protensão era composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um

de cada lado e demais dados das armaduras estão na Tabela 4-2. O concreto tinha

resistência à compressão, medida na época do ensaio, de 32,1MPa. O desviador se

encontrava a 250mm do topo da viga e a excentricidade nas extremidades era zero.

Figura 4-5 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento da viga T-1D.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200

Ca

rga

P (

kN

)

Tensão nos cabos externos (MPa)

Pontos Ensaio

HARAJLI(1993)

Curva Programa

77

No dia anterior ao ensaio, a viga foi protendida com uma tensão de

aproximadamente 300MPa, sendo posteriormente submetida a cargas P partindo de zero

e indo até o colapso da estrutura. A viga rompeu com esmagamento do concreto no

topo.

Os autores apresentaram as curvas carga-flecha para a seção no meio do vão e

carga-tensão nos cabos externos.

Tabela 4-2 – Dados das armaduras da viga T-1D.

Es, Esp (GPa) fy, fpy (MPa) fsu, fpu (MPa)

Armadura Passiva 200 530 636(*)

Armadura Ativa 193 - 1900

Diâmetros As, Asp(mm²) ds, dp (mm)

Armadura Passiva 2ϕ16mm(sup.) 4ϕ8mm(inf.)

402(sup.) 201(inf.)

275(sup.) 25(inf.)

Armadura Ativa 2 ϕ7mm 77 250

(*)Adotado, considerando fsu=1,2fy

Na primeira etapa de análise do programa, a aplicação da força de protensão foi

feita com a atuação de cargas P equivalentes ao peso próprio da viga, para, em seguida,

serem dados incrementos de carga até a ruptura. A Figura 4-6 apresenta as curvas carga-

flecha obtidas por TAN e NG (1997) e com o programa.

O programa parou a análise quando foi atingida a deformação máxima do

concreto de 3,5‰, fornecendo a carga última de 142kN, enquanto a experimental foi de

158kN (diferença de cerca de 10%).

A diferença entre flechas calculadas e experimentais vista na Figura 4-6 é menor

para as cargas entre 80kN e 120kN. A diferença no início é explicada pelo fato do

programa desprezar a resistência a tração do concreto, o que leva a maiores

deslocamentos que os verificados no ensaio da viga, que partiu de um estado não

fissurado. O fato de a viga ter sido protendida inicialmente e somente depois ter

recebido o carregamento fez com que ela tivesse uma flecha negativa no início,

diferentemente de como foi feito na simulação com o programa, que considerou a

aplicação da protensão com a atuação concomitante do peso própio.

78


experimentalmente por TAN e NG (1997).

Segundo a análise, o escoamento da armadura passiva ocorre para uma carga

próxima a 115kN, tendo-se, portanto, maior perda de rigidez e maior variação de tensão

nos cabos a partir dessa carga. Em geral, as tensões nos cabos obtidas com o programa

são menores que as experimentais (Figura 4-7), tendendo a se aproximar para cargas

maiores.

Figura 4-7 – Curva carga-tensão nos cabos externos obtida pelo programa e

experimentalmente por TAN e NG (1997).

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

-10.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0

Ca

rga

P (

kN

)


Curva Experimental

(TAN e NG 1997)

Curva Programa

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

200.0 400.0 600.0 800.0 1000.0 1200.0 1400.0 1600.0 1800.0

Ca

rga

P (

kN

)

Tensão nos cabos externos (MPa)

Curva Programa

Curva Experimental

(TAN e NG 1997)

79

4.4 Vigas Ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997)

Adotaram-se para comparação com os do programa, os resultados de três vigas

ensaiadas por KHAIRALLAH e HARAJLI (1997). Todas as vigas eram bi-apoiadas

com 3,00 m de vão, seção T e duas cargas concentradas aplicadas nos terços do vão,

como mostra a Figura 4-8.

A armadura de protensão era composta de dois cabos de 7mm de diâmetro, um

de cada lado, nas vigas T3D e T4D, e dois cabos de 5mm na viga T2D. O traçado dos

cabos de todas as vigas era o mesmo, o desviador encontrava-se a 350mm do topo da

viga e a excentricidade nas extremidades era zero. A tensão de protensão aplicada nos

cabos foi de 931MPa para a viga T2D, 895MPa para a T3D e 1001MPa para a T4D.

Figura 4-8 – Vista longitudinal, seção transversal e carregamento das vigas ensaiadas.

A Tabela 4-3 resume os dados das armaduras das vigas. Os módulos de

elasticidade dos aços das armaduras passiva e ativa utilizados nos ensaios foram

200GPa e 193GPa, respectivamente.

Tabela 4-3 – Dados das vigas ensaiadas.

Viga fck

(MPa) fy

(MPa) fsu

(*)

(MPa) σpe

(MPa) fpu

(MPa) As

(mm²) ds

(mm) Asp

(mm²)

T2D 43,5 615,3 738 931 1607 340

(3ϕ12mm) 280

39 (2 ϕ5mm)

T3D 39,0 509,2 611 895 1427 462

(3ϕ14mm) 280

77 (2 ϕ7mm)

T4D 38,7 413,7 496 1001 1986 603

(3ϕ16mm) 280

77 (2 ϕ7mm)

(*)Adotado para fsu=1,2fy

80

As Figuras 4-9 a 4-11 apresentam as curvas carga-flecha obtidas com o

programa junto com as experimentais, e a Tabela 4-4 lista as cargas de ruptura

calculadas e experimentais.

Tabela 4-4 – Cargas de ruptura obtidas com o programa e experimentalmente.

Viga Pu (kN)

T2D

Experimental 151

Programa 148

Diferença (%) 2

T3D

Experimental 195

Programa 184

Diferença (%) 6

T4D

Experimental 210

Programa 184

Diferença (%) 14

Figura 4-9 – Curvas carga-flecha no meio do vão da viga T2D obtidas com o programa

e experimentalmente.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Ca

rga

P (

kN

)


Curva Experimental

(KHAIRALLAH e HARAJLI 1997)

Curva Programa

81





Os autores do estudo não deixaram claro o procedimento de ensaio das vigas. As

curvas carga-flecha sugerem que, provavelmente, as vigas tenham sido protendidas

primeiro e depois carregadas, já que partem de zero. No programa, adotou-se uma carga

inicial equivalente ao peso próprio, antes da aplicação de incrementos de carga de

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-5 5 15 25 35 45 55

Ca

rga

P (

kN

)


Curva Experimental


Curva Programa

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Ca

rga

P (

kN

)


Curva Experimental


Curva Programa

82

1,0kN. Os resultados do ensaio foram obtidos até a ruptura da viga, enquanto a análise

do programa parou quando atingiu a deformação limite de 3,5‰.

Por terem as vigas sido submetidas inicialmente a protensão junto com a atuação

do peso próprio, as flechas obtidas com o programa foram maiores que as observadas

experimentalmente.

Os autores apresentaram a curva carga-tensão nos cabos para as vigas TD2 e

TD4 apenas (Figuras 4-12 e 4-13). Embora nada tenha sido relatado, a forma das curvas

dessas vigas sugerem ter havido alguma anomalia durante os ensaios (possivelmente no

desviador), o que explicaria a diferença entre as curvas experimentais e calculadas.

Figura 4-12 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T4D na seção do meio do vão

obtidas com o programa e experimentalmente.

0

20

40

60

80

100

120

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Mo

mn

eto

(k

Nm

)

Variação de Tensão nos Cabos Externos (MPa)

Curva Experimental


Curva Programa

83

Figura 4-13 – Curvas momento-tensão nos cabos da viga T2D na seção do meio do vão

obtidas com o programa e experimentalmente.

As taxas de armadura interna passiva das vigas T3D e T4D eram de 0,8% e

1,1%, respectivamente, e as tensões de protensão aplicadas nas vigas apesar de não

terem sido iguais eram muito próximas (895MPa e 1001MPa). É possível observar que

o aumento da armadura interna passiva conduziu a um aumento do momento máximo.

4.5 Análise Numérica de DALL’ASTA et al. (2007)

Para comparação dos resultados numéricos de DALL’ASTA et al. (2007) com

os do programa, foram consideradas duas vigas, uma com seção caixão e outra em

duplo T, bi-apoiadas com vãos de 30m e 40m, respectivamente, e dois desviadores. As

figuras 4-14 e 4-15 mostram o arranjo dos cabos e as seções transversais.

Figura 4-14 – Posição dos desviadores e tipo de carregamento para as vigas analisadas.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 100 200 300 400 500 600

Mo

me

nto

(k

Nm

)

Variação de Tensão nos Cabos Externos (MPa)

Curva Experimental


Curva Programa

84

Figura 4-15 – Seções transversais para viga caixão e duplo T (dimensões em

centímetros).

Para os dois casos, a resistência à compressão do concreto é de 40MPa. Os

desviadores se encontram a 350mm do fundo da viga caixão e a 205mm da viga duplo

T, e a excentricidade dos cabos nas extremidades é zero. A tensão de protensão aplicada

nos cabos foi de 1150MPa. A taxa de armadura passiva adotada foi de 1% para

armadura inferior e 0,3% para a superior.

Dados das armaduras estão na Tabela 4-5 e os módulos de elasticidade das

armaduras passiva e ativa adotados são 206GPa e 200GPa.

Tabela 4-5 – Dados das armaduras das vigas caixão e duplo T.

Viga fy

(MPa) fpy

(MPa) fsu

(MPa) fpu

(MPa) As

(mm²) ds

(mm) Asp

(mm²)

Caixão 430 1700 540 1850

17850 (sup.) 59500 (inf.)

100 (sup.) 1900 (inf.)

21128

Duplo T 15825 (sup.) 52750 (inf.)

100 (sup.) 1800 (inf.)

37350

As seções transversais foram convertidas para duas seções que pudessem ser

aceitas pelo programa, como mostra a Figura 4-16.

85

Figura 4-16 – Seções transversais adotadas no programa (dimensões em centímetros).

Os autores forneceram a carga distribuída e a variação de tensões nos cabos na

ruptura por eles obtidas e as Tabela 4-6 e 4-7 comparam esses resultados com os

encontrados com o programa desenvolvido neste estudo.

Tabela 4-6 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e

com o programa desenvolvido, para a viga de seção caixão.

qu

(kN/m) ∆σps

(MPa)

DALL’ASTA et al. (2007) 884 299

Programa Desenvolvido 922 248

Diferença (%) 4,0 17

Tabela 4-7 – Comparação entre os resultados obtidos por DALL’ASTA et al. (2007) e

com o programa desenvolvido, para a viga de seção duplo T.

qu

(kN/m) ∆σps

(MPa)

DALL’ASTA et al. (2007) 648 365

Programa Desenvolvido 680 295

Diferença (%) 4,5 20

É possível observar que houve maior proximidade de resultados de carga de

ruptura que de variação das tensões nos cabos. Isto pode decorrer da adoção de

diferentes curvas tensão normal-deformação específica para os materiais.

86

4.6 Aplicação com a Variação do Número de Desviadores

O programa desenvolvido foi utilizado para simular uma configuração de cabos

diferente para duas vigas já analisadas anteriormente.

Na viga T-1D ensaiada por TAN e NG (1997) com um desviador, foi adicionado

um desviador e, na viga caixão de DALL’ASTA et al. (2007) analisada com dois

desviadores, adotou-se apenas um desviador.

O carregamento e a força de protensão foram aplicados do mesmo modo que nas

análises anteriores. As Figuras 4-17 e 4-18 mostram o traçado dos cabos e o

carregamento adotados para as duas vigas.

Figura 4-17 – Vista longitudinal da viga T-1D com dois desviadores.

Figura 4-18 – Vista longitudinal da viga caixão com carregamento e posição do

desviador adotados.

As curvas carga-flecha no meio do vão para a viga T-1D com um e dois

desviadores são mostradas na Figura 4-19 e os valores de Pu e ∆σps das duas vigas se

encontram na Tabela 4-8.

87

Tabela 4-8 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga T-1D com um e dois

desviadores.

Pu

(kN/m) ∆σps

(MPa) L / dp

Viga T-1D – 1 Desviador 142 490 12

Viga T-1D – 2 Desviadores 154 451 12

Diferença (%) 8 8

Nas curvas carga-flecha e na Tabela 4-8 verifica-se que a viga com dois

desviadores atingiu uma carga máxima maior que a com um desviador e, para a mesma

carga, menores deslocamentos. A diferença de deslocamentos entre as duas vigas foi

maior para cargas maiores que 120kN. A adoção de dois desviadores em vez de um teve

pouca influência na carga máxima e na variação de tensão nos cabos.

Figura 4-19 – Curvas carga-flecha na seção do meio do vão da viga T-1D com um e

dois desviadores.

A variação da tensão nos cabos foi maior para a viga com um desviador, como

era esperado. Maiores deslocamentos para a viga provocaram maiores alongamentos

dos cabos, gerando uma maior variação das tensões. Apesar de maior, essa diferença

entre as vigas não passou de 8%.

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

180.0

0 5 10 15 20 25 30 35

Ca

rga

P (

kN

)


1 Desviador

2 Desviadores

88

As curvas carga-flecha para as vigas de seção caixão com um e dois desviadores

são mostradas na Figura 4-20 e os valores de qu e ∆σps estão na Tabela 4-9.

Tabela 4-9 – Comparação entre os resultados obtidos para a viga de seção caixão com

um e dois desviadores.

qu

(kN/m) ∆σps

(MPa) L / dp

Viga Caixão – 1 Desviador 797 328 18,2

Viga Caixão – 2 Desviadores 922 248 18,2

Diferença (%) 14 24

Como no caso das vigas T-1D, para a viga com seção caixão com dois

desviadores, teve-se carga máxima superior à da viga com um desviador e

deslocamentos menores para uma mesma carga. A diferença entre a variação de tensões

nos cabos, na ordem de 25%, foi maior que a entre as cargas últimas. Neste caso, com

vãos maiores, a adoção de dois desviadores trouxe mais benefícios.

Figura 4-20 – Curvas carga-flecha da viga de seção caixão com um e dois desviadores.

Para os dois casos analisados, a adoção de dois desviadores trouxe vantagens à

estrutura, uma vez que conseguiu manter melhor o traçado dos cabos, reduzindo a

variação da excentricidade e acarretando menores tensões nos cabos e maiores cargas

máximas.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-25 25 75 125 175 225 275 325

Ca

rga

q (

KN

/m)


1 Desviador

2 Desviadores

89

4.7 Cálculos Segundo Equações Propostas

Os valores de tensão nos cabos na ruptura calculados segundo procedimentos

propostos são comparados com os experimentais das seguintes vigas: B5D de

HARAJLI (1993), T1-D de TAN e NG (1997) e T2D e T4D de KHAIRALLAH e

HARAJLI (1997). Todas as vigas tinham um desviador e foram submetidas a duas

cargas concentradas.

A título de exemplo, no apêndice são mostrados os cálculos feitos para a viga

B5D de HARAJLI (1993). A Tabela 4-10 lista os valores de ∆σps calculados usando os

procedimentos resumidos na Tabela 2-4, os obtidos com o programa e os experimentais

referentes à carga última. Também são incluídas as tensões tiradas das curvas

experimentais correnspondentes à carga última dada pelo programa. Considerou-se para

limite da tensão nos cabos o valor de 0,94 fpy (adotado por Naaman e Alkhairi (1991)

em seu procedimento) ou fpy ≈ 0,85 fpu.

HARAJLI (1993) não forneceu a tensão nos cabos externos no momento da

ruptura para a viga B5D, apenas comentou que até a ruptura da viga a tensão nos cabos

externos ficou abaixo da de escoamento.

Tabela 4-10 – Variação de tensões nos cabos calculados e experimentais.

Fórmula ∆σps (MPa)

B5D T-1D T2D T4D

EN 1992-1-1:2004 100 100 100 100

ACI 318:2014 216 383 435

(1261) 607

MACGREGOR (1989) e AASHTO:2012 343

(366) 451

435 (661)

625

NAAMAN e ALKHAIRI (1991) 306 1020 435

(1679) 687

(1118)

NG e TAN (2005) 343

(584) 1315

(1333) 435

(2960) 687

(1802)

HE e LIU (2010) 343

(389) 689

435 (1622)

687 (1087)

GHALLAB (2013) 343

(463) 1171

435 (2091)

687 (1270)

PROGRAMA DESENVOLVIDO 328 490 305 351

Experimental referente à carga última dada pelo programa

- 540 430 300

Experimental referente à carga última experimental

- 950 500 700

(*) Valores resultantes dos cálculos, maiores que os obtidos considerando o limite para σps.

90

A Tabela 4-10 mostra uma grande diferença entre os valores de variação de

etnsão calculados e entre eles e os obtidos com o programa e os experimentais. Em

alguns casos os valores encontrados ultrapassaram a tensão limite dos cabos. Sendo os

métodos de cálculos simplistas e bem aproximados, era de se esperar que fosse

conservadores, o que nem sempre foi verificado para as vigas analisadas.

A diferença entre as tensões obtidas com o programa e as experimentais pode ser

explicada pela aproximação dos diagramas adotados no programa para os materiais e a

deformação limite definida para o concreto.

Na Tabela 4-11 é feita comparação entre flechas no meio do vão obtidas com o

programa e as experimentais para carga de serviço, tomada como sendo igual à metade

da carga última experimental.

Tabela 4-11 – Comparação entre flechas obtidas com o programa e experimental para

carga de serviço.

δmid (mm)

B5D T-1D T2D T4D

PROGRAMA DESENVOLVIDO 10,2 7,0 7,5 6,1

EXPERIMENTAL 15,0 6,0 6,0 5,5

CARGA DE SERVIÇO (*) 50kN 70kN 75kN 105kN

(*) Valores aproximados

Observa-se na Tabela 4-11 que, a menos da viga B5D, os valores de flecha

obtidos com o programa ficaram próximos dos experimentais. Na viga B5D, a flecha

experimental inclui parcela referente ao carregamento cíclico a que a viga foi submetida

antes de aplicação da protensão, fato que levou à maior diferença entre flechas calculada

e experimental.

91

5 CONCLUSÕES

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES

No caso de vigas reforçadas com protensão externa, os trabalhos vistos na

revisão bibliográfica e as aplicações feitas com o programa desenvolvido comprovaram

a eficiência da técnica no acréscimo de momento resistente e na redução de flechas.

Neste trabalho buscou-se, por meio de uma rotina computacional elaborada em

linguagem FORTRAN, prever o comportamento de vigas reforçadas com protensão

externa a partir do estudo da interação cabo-estrutura. Com base na análise seccional,

feita em n seções de trechos de comprimento ∆x, foi possível estimar as tensões nos

cabos e as flechas da viga considerando as não-linearidades física e geométrica.

O modelo numérico não retrata exatamente o comportamento real de uma

estrutura, pois aproximações são feitas para representar o comportamento dos materiais

que a compõem. Por meio de comparações dos resultados obtidos com o programa com

resultados numéricos e experimentais de outros pesquisadores, pôde-se concluir que o

programa desenvolvido apresenta um desempenho satisfatório na previsão do

comportamento de vigas com protensão externa; e nas cargas máximas a diferença

variou entre 4% (DALL’ASTA et al., 2007) e 14% (KHAIRALLAH e HARAJLI,

1997).

Cabe ao engenheiro definir o nível de sofisticação desejado, que é função do

tempo disponível e da precisão necessária. Nesse sentido, uma contribuição deste

trabalho foi a obtenção do comportamento da estrutura por meio de uma análise

numérica mais simples, mas abrangente e com boa aproximação com resultados

experimentais.

O estudo realizado mostrou que a magnitude dos efeitos de segunda ordem

depende principalmente do número de desviadores. Exceto no caso de vigas sujeitas a

apenas uma carga concentrada, vigas com um desviador foram menos eficientes quando

comparadas com vigas com dois desviadores. Os desviadores são responsáveis por

manter o traçado dos cabos, reduzindo a variação da excentricidade e influenciando,

assim, o comportamento da estrutura.

92

As expressões para a determinação de tensões nos cabos propostas por

pesquisadores e especificadas por normas podem levar a valores bem diferentes o que

mostra que esse assunto precisa ser melhor estudado.

Como sugestões para a continuidade deste trabalho, visando aprimorar a

ferraenta desenvolvida e dar-lhe maior abrangência, sugere-se:

implementar o caso de vigas com protensão interna,

implementar a combinação de carregamentos (atuação simultânea de cargas

distribuídas e concentradas na viga),

adicionar a possibilidade do uso de cabos retos,

incluir o caso de vigas contínuas e

incluir a opção de mais de uma camada para os cabos externos.

93

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CAPÍTULO 6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, T. G.M., 2001, “Reforço de vigas de concreto armado por meio de cabos

externos protendidos”, Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos,

USP, São Paulo.

AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAYS AND TRANSPORTATION

OFFICIALS – AASHTO, 1983, Standard Specifications for Highway Bridges,

Washington, EUA.


OFFICIALS – AASHTO, 1994, AASHTO LRFD Bridge Design Specifications,

Washington, EUA.



Washington, EUA.



Washington, EUA.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, 2008, ACI 318-08: Building Code

Requirements for Structural Concrete- and Commentary, Farmington Hills, EUA.


Requirements for Structural Concrete-and Commentary, Farmington Hills, EUA.


Requirements for Structural Concrete-and Commentary, Farmington Hills, EUA.

94

APARICIO A. C., RAMOS G., CASAS J. R., 2002, Testing ofexternally prestressed

concrete beams, Eng. Struct., 24(1), 73–84.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014, ABNT NBR

6118:2014: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Brasil.

BBR CABLES FOR EXTERNAL PRESTRESSING. Switzerland, BBR Systems Ltd,

1999.

BEAUPRE R.J., POWELL L.C., BREEN J. E.et al, 1990, “Deviator Behavior and

Design for Externally Post-Tensioned Brigdes”, External Prestressing in Bridges ACI

SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute, Farmington

Hills, MI, pp.257-288.

BRUGGELING, A.S.G., 1990, “External Prestressing – a State of Art”, External

Prestressing in Bridges ACI SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American

Concrete Institute,Farmington Hills, MI, pp.61-81.

BURGOYNE C.J., 1990, “Properties of Polyaramid Ropes and Implications of Their

Use as External Prestressing Tendos”, ACI SP-120, External Prestressing in Bridges

ACI SP-120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington

Hills, MI, pp.107-124.

COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. CEB-FIP, 1988, Model Code 1990,

Bulletin d’Information, n° 190, Paris.

CONTI E., TARDY R., VIRLOGEUX M., 1993, “Friction losses in some externally

prestressed bridges in France”, Proc. Of the Workshop on Behavior of External

Prestressing in Structures, E. Conti and R. Tardy, Editors, Saint-Rémy-lès-Chevreuse,

France.

DALL’ASTA A., RAGNI L., ZONA A., 2007, Simplified Method for Failure Analysis

of Concrete Beams Prestressed with External Tendons, Journal of Structural

Engineering, ASCE, v.133, n.1, (jan), pp. 121-131.

95

DÉSIR, J.M., 1993, Análise Não-linear do Comportamento até a Ruptura de Vigas

Contínuas de Concreto com Protensão Externa. Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ,

Rio de Janeiro, RJ, Brasil.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION, 2004, EN 1992-1-1:2004:

Design of Concrete Structures – Part 1-1: General Rules and Rules for Buildings,

Bruxelas, Bélgica.

FEDÉRATION INTERNACIONALE DU BÉTON, CEB, 1998, Ductility of reinforced

concrete structures, Bulletin d’Information n° 242, Paris.

GHALLAB A., 2013, Calculating ultimate tendon stress in externally prestressed

continuous concrete beams using simplified formulas. Eng Struct, 46, pp. 417–430.

GHALLAB A., BEEBY, A.W., 2005, Factors affecting the external prestressing stress

in externally strengthened prestressed concrete beams, Cement & Concrete

Composites, v.27, n.9-10, pp. 945-957.

HARAJLI M.H., 1993, Strengthening of Concrete Beams by External Prestressing. PCI

Journal, v.38, n.6, pp.76-88, Nov.-Dec.

HARAJLI M. H., KHAIRALLAH N., NASSIF H., 1999, Externally Prestressed

Members: Evaluation of Second-order Effects, Journal of Structural Engineering,

ASCE, v.125, n.10, (out), pp. 1151-1161.

HE Z., LIU Z., 2010, Stresses in External and Internal Unbonded Tendons: Unified

Methodology and Design Equations, Journal of Structural Engineering ASCE, v.136,

n.9, pp. 1055-1065.

JARTOUX P., LACROIX R., 1990, “Development of External Prestressing in Bridges

– Evolution of the Technique”, External Prestressing in Bridges ACI SP-120, A.

Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, pp.

83-106.

96

KHAIRALLAH N., HARAJLI M.H., 1997, “Experimental evaluation of the behavior

of reinforced concrete T beams strengthened using external prestressing”, Proc. Int.

Conf. on Rehabilitation and Devel. of Civ. Engrg. Infrastructure Sys., M. Harajli and A.

Naaman, Editors, American University of Beirut, Lebanon, 2, pp. 1282-1293.

MACGREGOR R.J.G., 1989, Evaluation of Strength and Ductility of a Three-span

Externally Post-tensioned Box Girder Bridge Model, Ph.D. Dissertation, The University

of Texas at Austin, Austin, USA.

MARTINS P.C.R., 1989, Modélisation Du Comportamentjusqu’a a La Ruptureem

Flexion de Poutres enBéton a PrécontrainteExterieure ou Mixte, Thèse de Doctorat de

l’ÉcoleCentrale de Paris, Paris, France. (sept).

MATTOCK A. H., 1979, Flexural Strength of Prestressed Concrete Sections by

Programmable Calculator, PCI Journal, V. 24, n.2, (Jan/Fev), p. 32-54.

NAAMAN A. E., 1990, A New Methodology for the Analysis of Beams Prestressed with

External or Unbonded Tendons, ACI SP-120, External Prestressing in Bridges ACI SP-

120, A. Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington Hills,

MI, pp.339-354.

NAAMAN A. E., ALKHAIRI F.M., 1991, Stress at ultimate in unbonded post-

tensioning tendons - Part 2: Proposed methodology,ACI StructuralJournal, v. 88, n.

6(nov-dec), USA, pp. 683-692.

NAAMAN A. E., ALKHAIRI F. M., 1993, Analysis of beams prestressed with

unbonded internal or external tendons, Journal of Structural Engineering, ASCE, v.

119, n. 9, pp. 2680-2700.

NG C. K., 2003, Tendon Stress and Flexural Strength of Externally Prestressed Beams,

ACI Structural Journal, v. 100, n. 5 (September-October), USA, pp. 644-653.

NG C. K., Tan K. H., 2005a, Flexural behavior of externally prestressed beams. Part I:

Analytical model, Eng. Struct., 28, 602–621.

97

NG C. K., Tan K. H., 2005b, Flexural behavior of externally prestressed beams. Part

II: Experimental investigation, Eng. Struct., 28, 622–633.

POWELL L. C., BREEN J.E., KREGER M.E., 1988, State of the Art Externally Post-

Tensioned Bridges with Deviators, Center for Transportation Research, The University

of Texas at Austin, Research Report No. 365-1.

REGIS P. A., 1997, Estudo Teórico-experimental do Comportamento de Vigas em

Concreto com Protensão Externa. Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ,

Brasil.

REIS F. J. C., 2003, Influência do Nível de Protensão na Deformação de Estruturas

Executadas com Protensão Externa. Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de

Janeiro, RJ, Brasil.

SPECHT M., 1987, Spannweite der Gedanken:zur 100. Wiederkehr des Geburtstages

von Franz Dischinger, Springer-Verlag, Berlin, pp. 133-165.

TAM A., PANNEL F. N., 1976, The Ultimate Moment of Resistance of Unbonded

Partially Prestressed Reinforced Concrete Beams, Magazine of Concrete Research,

v.28, n.97 (dec), pp. 203-208.

TAN K. H., NG C. K., 1997, Effects of Deviators and Tendon Configuration on

Behavior of Externally Prestressed Beam, ACI Structural Journal, v.94, n.1 (january-

february), pp. 13-22.

VIRLOGEUX M. P., 1990, “External Prestressing: from Construction History to

Modern Technique and Technology”, External Prestressing in Bridges ACI SP-120, A.

Naaman and J.Breen, Editors, American Concrete Institute,Farmington Hills, MI, pp.1-

60.

98

APÊNDICE

APÊNDICE

Neste apêndice é apresentado o cálculo de flechas e tensões nos cabos externos,

para o estado limite último, utilizando as equações apresentadas na revisão

bibliográfica. Tomou-se para o exemplo de cálculo a viga B5D de HARAJLI (1993). As

propriedades geométricas da seção e dos materiais foram mantidas e se encontram na

Tabela 4-1.

A deformação específica última do concreto adotada nos cálculos foi 3‰ e o

fator β1 calculado segundo o ACI 318:2014. Nos cálculos as tensões foram utilizadas

em megapascal e as dimensões em milímetros.

I. ACI 318:2014

A tensão nos cabos externos no estado limite último depende da relação L/dp e

da taxa de armadura ativa.

3598,10273

3000≤∴==

pd

L

A taxa de armadura protendida vale:

0022,0273127

77=

×==

p

ps

pdb

Aρ

Como a relação vão/altura útil dos cabos foi menor que 35, a tensão nos cabos

no estado limite último é dada por:

MPaf

p

ck

peps 10862168700022,0100

4,3270300

10070 =+=

×++=++=

ρσσ

Essa tensão atende à condição da norma:

=+

=≤=

MPaMPa

MPafMPa

pe

py

ps 1290420

12131086

σσ

99

II. MACGREGOR (1989) e AASHTO:2012

A tensão nos cabos é função de Ns, comprimento do cabo e da posição da linha

neutra.

Partindo do equilíbrio, para seção retangular, calcula-se a posição da linha

neutra:

( ) ( )818,0

7

284,3205,085,0

7

2805,085,01 =

−−=

−−= ckf

β

mmbf

fAfAfAx

ck

ysyspups

u 9,97127818,04,3285,0

6,55106,551339121385,077

85,0

85,0

1

''=

×××

×−×+××=

−+=

β

O comprimento inicial total do cabo é dado pela soma dos trechos de cabos entre

ancoragens:

( ) ( ) ( ) ( ) mmeLL mid 301715923000222 22220 =+=+=

O comprimento efetivo vale:

mmN

LL

s

e 301702

30172

2

2 0 =

+

×=

+=

A tensão nos cabos no estado limite último

MPaL

xd

e

up

peps 12363668703017

9,9727363008706300 =+=

−+=

−+= σσ

MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ

III. NAAMAN e ALKHAIRI (1991)

Primeiramente, determina-se o coeficiente redutor de aderência para o estado

limite último. Para viga com um desviador no meio do vão e duas cargas concentradas

nos terços do vão, o coeficiente é dado por:

273,0

2733000

33===Ω

p

u

dL

Em seguida, calcula-se a posição da linha neutra conforme recomendado pelos

autores, adotando-se para o comprimento total dos cabos (l2) 3017mm e para o

comprimento do vão carregado (l1) 3000mm.

100

2863818,01274,3285,085,0 11 =×××== βbfA ck

=−+

−

Ω= ysyspeucupsps fAfA

l

lEAB ''

2

11 σε

2410306,5513396,55108703017

3000273,0003,0206700771 −=×−×+

−

××=B

35387633017

3000273273,0003,020670077

2

11 −=×××××−=Ω−=

l

ldEAC pucupsps ε

mmA

CABBxu 9,96

2

4

1

112

11 =−+−

=∴

A tensão nos cabos no estado limite último fica definida por:

py

u

p

cupsupeps fl

l

x

dE 94,01

2

1 ≤

−Ω+= εσσ

MPaps 11763068703017

30001

9,97

273003,0206700273,0870 =+=

−××+=σ

A tensão atende à condição:

pyps f94,0≤σ

IV. NG e TAN (2005)

O coeficiente redutor utilizado para a determinação da tensão nos cabos no

estado limite último depende da relação sd/dp. Para vigas com um desviador no meio do

vão, a distância entre desviadores (sd) é zero, assim:

150273

0≤==

p

d

d

s

0273

00096,00096,0 =

=

=

p

dn

d

sk

=−

−= n

p

u kh

d

L

a364,1895,0θ

527,00228

273

3000

1000364,1895,0 =−

−=

A tensão nos cabos no estado limite último fica definida por:

101

py

u

p

cupsupepspeps fx

dE ≤

−+=∆+= 1εθσσσσ

MPa145558487019,97

273003,0206700527,0870 =+=

−××+=

MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ

V. HE e LIU (2010)

Os autores estipularam quatros coeficientes de correção das tensões e altura útil

para o estado limite último. Para duas cargas concentradas nos terços do vão e um

desviador tem-se:

82,323

)1590(5688

23

)(5688=

−=

−= mids ee

η

94,0=Ψ

21623=K

99,0

2733000

35,278,0

35,278,0 =+=+=

pdL

γ

A variação das tensões nos cabos e a flecha no meio do vão são dadas por:

mmx

LKu

cu

umid 2,299,97

003,03000216

2399,0 22, =×××==

εγδ

( ) ( )MPa

L

eE umidmumidps

ps 3893000

2,29106,015982,32,2920670022

,,=

×−××=

Ψ−=∆

δηδσ

MPapspeps 1259389870 =+=∆+= σσσ

MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ

VI. GHALLAB (2013)

Para vigas bi-apoiadas e duas cargas concentradas nos terços do vão, o autor

estipulou o fator corretor de deformações kg para a determinação da flecha nas seções

dos desviadores.

( ) ( )1065,0

6

30001000125,0

6125,0

22

=−=−=Ll

k d

g

102

mmLx

ku

cu

gdesv 4,2930009,97

003,01065,0 22 ===

εδ

O comprimento final do cabo considerando o deslocamento vertical do

desviador é:

( ) ( ) ( ) ( ) mmeLL desvmidfinal 30244,2915923000222 2222=++=++= δ

0

0

L

LLEE

final

pspepspspepspeps

−+=+=∆+= σεσσσσ

MPaps 13334638703017

30173024206700870 =+=

−×+=σ

MPaf pups 1213142785,085,0 =×=>σ

ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM ...

Documents

Transcript of ANÁLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORÇADAS COM ...