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UNESP(Bauru/SP) 1309 - Estruturas de Concreto II - Torção em Vigas de Concreto Armado

1

TORÇÃO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO

1. INTRODUÇÃO

Um conjugado que tende a torcer uma peça fazendo-a girar sobre o seu próprio eixo é

denominado “momento de torção”, momento torçor ou torque. O caso mais comum de torção ocorre

em eixos de transmissão.

A torção simples, torção uniforme ou torção pura (não atuação simultânea com M e V)

ocorre apenas raramente na prática. Geralmente a torção ocorre combinada com momento fletor e

força cortante, mesmo que esses esforços sejam causados apenas pelo peso próprio do elemento

estrutural. De modo aproximado, os princípios de dimensionamento para a torção simples são

aplicados às vigas com atuação simultânea de momento fletor e força cortante (LEONHARDT &

MÖNNIG, 1982).

Nas estruturas de concreto, a ligação monolítica entre vigas e lajes e entre vigas com vigas

de apoio origina momentos de torção, que podem ser desprezados por não serem essenciais ao

equilíbrio dos elementos. Entretanto, no caso da chamada “torção de equilíbrio”, como se verá

adiante, a consideração dos momentos torçores é imprescindível para garantir o equilíbrio do

elemento.

Desde o início do século passado numerosos estudos experimentais já foram realizados

sobre vigas de concreto armado sob solicitação de torção simples. Como uma conseqüência desses

estudos, as vigas serão dimensionadas simplificadamente à torção considerando-se a seção vazada

(oca) com parede fina, segundo as equações clássicas da Resistência dos Materiais, formuladas por

BREDT. Semelhantemente ao dimensionamento das vigas ao esforço cortante será feita também a

analogia com uma treliça, agora espacial. A Treliça Generalizada, com ângulo θ de inclinação das

diagonais comprimidas variável, é o modelo atualmente mais aceito internacionalmente. Como feito

no dimensionamento para outros tipos de solicitação, as tensões de compressão serão absorvidas

pelo concreto e as tensões de tração pelo aço, na forma de duas diferentes armaduras, uma

longitudinal e outra transversal (estribos).

A análise da torção em perfis abertos de paredes finas, com aplicação da torção de Vlassov

ou Flexo-Torção, não é apresentada nesta apostila por não fazer parte do programa da disciplina na

graduação em engenharia.


2

2. CASOS MAIS COMUNS

Um caso comum de torção nas vigas de concreto ocorre quando existe uma distância entre a

linha de ação da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 1 e 2. Na Figura 1,

a viga AB, estando obrigatoriamente engastada na extremidade B da viga BC, aplica nesta um

momento de torção, que deve ser obrigatoriamente considerado no equilíbrio da viga BC. Na viga

mostrada na Figura 2 a torção existirá se as cargas F1 e F2 forem diferentes. Essa situação pode

ocorrer durante a fase de construção ou mesmo quando atuarem os carregamentos permanentes e

variáveis, se estes forem diferentes nas estruturas que se apóiam na viga pré-moldada.

F

A

B

C

F1 2F

Figura 1 – Viga em balanço com

carregamento excêntrico.

Figura 2 – Viga do tipo pré-moldada para apoio de

estrutura de piso ou de cobertura.

Talvez o caso mais comum de torção ocorra com lajes em balanço, engastadas em vigas de

apoio, como por exemplo lajes (marquises) para proteção de porta de entrada de barracões, lojas,

galpões, etc. (Figuras 3 e 4). O fato da laje em balanço não ter continuidade com outras lajes

internas à construção faz com que a laje deva estar obrigatoriamente engastada na viga de apoio, de

modo que a flexão na laje passa a ser torção na viga. A torção na viga torna-se flexão no pilar,

devendo ser considerada no seu dimensionamento.


3

Figura 3 – Torção em viga devido a engastamento de laje em balanço.

A

B

C

A

BB

C

Figura 4 – Viga contínua sob torção por efeito de laje em balanço.

Um outro caso de torção em viga, de certa forma também comum nas construções, ocorre

em vigas com mudança de direção, como mostrado na Figura 5. No ponto de mudança de direção

um tramo aplica sobre o outro um momento de torção. A torção também ocorre em vigas curvas,

com ou sem mudança de direção, como mostrado na Figura 6.

Se a torção for necessária ao equilíbrio da viga e não for apropriadamente considerada no

seu dimensionamento, intensa fissuração pode se desenvolver, prejudicando a segurança e a estética

da construção.


4

Figura 5 – Torção em viga devido à mudança de direção.

Figura 6 – Vigas curvas e com mudança de direção são solicitação por torção.

3. CASOS TÍPICOS PARA O MOMENTO DE TORÇÃO

Apresentam-se nas Figuras 7 a 11 os valores dos momentos de torção para alguns casos mais

comuns na prática das estruturas.

m

T

Figura 7 – Torção concentrada na extremidade de viga em balanço.

T = - m


5

T

a a

l

m m

T = m

T = - m

Figura 8 – Torção aplicada à distância a das extremidades de viga biengastada.

m

l

m l

T

2T =

Figura 9 – Torção uniformemente distribuída em viga biengastada.

m

T

/2 /2lll

T = m/2

T = m/2

Figura 10 – Torção concentrada no centro de viga biengastada.


6

F

e

A B

FMt e

T

= .

ATB

l

a b

b

Figura 11 – Torção c

4. TORÇÃO DE EQUILÍBRIO E DE C

A torção nas estruturas pode ser divid

compatibilidade.

Na torção de equilíbrio, o momento

ele é necessário para o equilíbrio da estrutur

se solicitadas por torção de equilíbrio, deven

A torção de compatibilidade ocorre c

aquele mostrado na Figura 12, com uma la

aplica um momento de torção (mT) na viga,

à flexão dos pilares. Surgem então momento

pilares. Quando a rigidez da viga à torção é p

e gira, permitindo o giro da laje também. O

na viga e na laje, e como conseqüência os m

ser desprezados.

lMT tA = a

oncentrada em viga biengastada.

OMPATIBILIDADE

ida em duas categorias: torção de equil

de torção deve ser obrigatoriamente co

a. As estruturas mostradas nas Figuras 1

do ser obrigatoriamente considerada.

omumente nos sistemas estruturais, com

je engastada na viga de borda. Ao te

que tende a girar também, sendo imped

s torçores solicitantes na viga e momen

equena comparada à sua rigidez à flexã

corre então uma compatibilização entre

omentos torçores na viga diminuem ba

lMT tB =

íbrio e torção de

nsiderado, pois

a 6 encontram-

o por exemplo

ntar girar a laje

ida pela rigidez

tos fletores nos

o, a viga fissura

as deformações

stante, podendo


7

f

(Laje)

m (Viga de borda)

T

(Viga de bordo)T

m (Laje)E

Momento de dimensionamento

da laje

TfM

Em = m (Laje)

T

m (Laje)

M(Pilar)

Figura 12 – Torção de compatibilidade de laje com a viga de apoio.

(LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).

Um outro exemplo de torção de compatibilidade é aquele mostrado nas Figuras 13 e 14.

Como se observa na Figura 14, a viga AB apóia-se nas vigas CD e EF.

Figura 13 – Estrutura real.

A Figura 15 mostra o caso das vigas de apoio CD e EF com rigidez à torção elevada. Neste

caso não existe total liberdade de rotação para a viga AB nas suas extremidades, o que faz surgir os

momentos de engastamento MA e MB , que, por outro lado, passam a ser momentos torçores

concentrados e aplicados em A e B.


8

Figura 14 – Esquema estrutural (SÜSSEKIND, 1985).

Figura 15 – Caso das vigas de apoio com elevada rigidez à torção.

A intensidade dos momentos fletores e torçores depende das rigidezes relativas das vigas, ou

seja, da rigidez à torção das vigas CD e EF e da rigidez à flexão da viga AB. Se a rigidez à torção

das vigas CD e EF for zero, a viga AB fica livre para girar em A e B, levando a zero os momentos


9

fletores MA e MB , e conseqüentemente também os momentos torçores (Figura 16). Nesta análise

percebe-se que a torção é conseqüência da compatibilidade de deformações das vigas, daí a

chamada “torção de compatibilidade”. Neste caso há o equilíbrio, embora sem se considerar a

ligação monolítica da viga AB com as vigas CD e EF.

Por outro lado, sob o efeito do momento de torção a viga irá fissurar, o que acarreta uma

significativa diminuição na rigidez da viga à torção. Desse modo, as vigas CD e EF, ao fissurarem

por efeito da torção proveniente da viga AB, têm sua rigidez à torção diminuída, diminuindo por

conseqüência os momentos MA e T, o que leva ao aumento do momento fletor positivo da viga AB.

Figura 16 – Caso de pequena rigidez à torção.

Pode-se assim resumir que, “a torção nas vigas deve ser considerada quando for necessária

para o equilíbrio (torção de equilíbrio), e pode ser desconsiderada quando for de

compatibilidade”.

Considerando-se o pavimento de um edifício constituído por lajes e vigas, além da torção de

compatibilidade existente entre as vigas, a ligação monolítica entre as lajes e as vigas, como

mostrado na Figura 12, também ocasiona o surgimento de momentos de torção nas vigas, de


10

compatibilidade, não imprescindível ao equilíbrio do sistema, podendo assim ser desprezado

também.

Somado a isso, por imposição da arquitetura a largura das vigas varia normalmente de 10 a

20 cm, e para alturas correntes para as vigas (comumente até 60 cm), a rigidez à torção não é

significativa, o que leva a valores baixos para a torção de compatibilidade, justificando a sua

desconsideração.

Outra análise que se faz é que, se as vigas CD e EF forem livres para girar nas extremidades,

T será zero, ou seja, não existirá o momento de torção. Ou, por outro lado, e o que é mais comum na

prática das estruturas, devido à ligação monolítica das vigas CD e EF com os pilares de apoio, se as

vigas não podem girar e a rigidez à torção das vigas CD e EF é muito maior que a rigidez à flexão

da viga AB, o momento fletor MA se aproxima do momento fletor de engastamento. Portanto, os

momentos T e MA resultam do giro da viga AB em A e B, que deve ser compatível com o ângulo de

torção das vigas CD e EF em A e B.

5. TORÇÃO SIMPLES (TORÇÃO DE ST. VENANT)

Numa barra de seção circular, como a indicada na Figura 17, submetida a momento de

torção, com empenamento permitido (torção livre), surgem tensões principais inclinadas de 45° e

135° com o eixo longitudinal da seção. As trajetórias das tensões principais desenvolvem-se

segundo uma curvatura helicoidal, em torno da barra. A trajetória das tensões principais de tração

ocorre na direção da rotação e a compressão na direção contrária, ao longo de toda o perímetro da

seção.

Figura 17 – Trajetórias das tensões principais na seção circular.

Se considerado um estado de tensão segundo a direção dos eixos longitudinal e transversal

da seção, o momento de torção provoca o surgimento de tensões de cisalhamento em planos


11

perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente, como

mostrado nas Figuras 18, 19 e 20.

τ

τ

Figura 18 – Tensões de cisalhamento numa barra de seção circular sob torção.

a)

b)

c)

Figura 19 – Tensões devidas à torção: a) tensões de cisalhamento; b) tensões principais

de tração e compressão; c) trajetória helicoidal das fissuras.

(MACGREGOR, 1997).


12

Figura 20 – Tensões de cisalhamento e tensões principais na seção circular.

A distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais circulares e quadradas é

como indicado na Figura 21. A tensão de cisalhamento é máxima nas superfícies da seção e zero

nos vértices e no eixo que passa pelo centro de gravidade.

Figura 21 – Variação da tensão de cisalhamento na seção transversal.

Por questão de simplicidade, as vigas de concreto armado sob momento de torção são

dimensionadas como se fossem ocas e de parede fina. Ao desprezar a parte correspondente à área

interna da seção o erro cometido não é significativo nem antieconômico, porque a espessura da

casca ou parede é determinada de forma que represente uma seção com grande percentual de

resistência ao momento de torção. Este procedimento resulta num acréscimo de segurança que não é

excessivo, sendo, portanto, pouco anti-econômico.


13

6. TORÇÃO SIMPLES APLICADA A SEÇÕES VAZADAS DE PAREDE FINA

Considere a seção vazada mostrada na Figura 22, com espessura t, submetida ao momento

de torção T.

r

ds

dA

-I

TX

LINHA M

ÉDIA

x

s

s x

A

A'

t

s____+t tdds

d____ds s

T

IX

O

A

B

+

s

Figura 22 – Seção vazada com parede fina (SÁNCHEZ, 2001).

Do equilíbrio estático da seção tem-se a igualdade da resultante das tensões τ com o

momento de torção T que as originou:

( )∫ τ= rdstT (Eq. 1)

O produto τ . t (fluxo de cisalhamento ou de torção) é constante, e o produto ds . r é o dobro

da área do triângulo OAB (d . Ae), vindo:

∫τ= eAdt2T (Eq. 2)

Da Eq. 2 surge a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina, devida ao

momento de torção:

eAt2

T=τ (Eq. 3)

com Ae sendo a área interna compreendida pelo eixo da parede fina, como indicada na Figura 23.


14

t

Ae

Figura 23 – Área Ae da seção vazada.

7. COMPORTAMENTO DAS VIGAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À

TORÇÃO SIMPLES

LEONHARDT & MÖNNIG (1982) descrevem os resultados de ensaios realizados por

MÖRSCH, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos à torção simples, sem armadura,

com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as armaduras e com armadura

em forma de hélice, como mostrado na Figura 24.

Os ensaios confirmaram que nas seções de concreto armado as tensões principais de tração e

de compressão são inclinadas de 45° e com traçado helicoidal. Após o surgimento das fissuras de

torção que se desenvolvem em forma de hélice, apenas uma casca externa e com pequena espessura

colabora na resistência da seção à torção. Isso ficou evidenciado em ensaios de seções ocas ou

cheias com armaduras idênticas, que apresentaram as mesmas deformações e tensões nas

armaduras.

10,8

10,8

φ 10

404010,7

34 34

φ 10

40

34

10,740

34

10,8φ 1010,8

10,8

10,8

φ 10

φ 10

Figura 24 – Seções estudadas por MÖRSCH (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).


15

A Tabela 1 apresenta os resultados experimentais obtidos, para o momento fletor de

fissuração (momento fletor correspondente à primeira fissura) e para o momento fletor de ruptura.

Tabela 1 – Momentos fletores de primeira fissura e de ruptura (MPm) de seções ocas ensaiadas por MÖRSCH.

Seção Momento Fletor de Primeira fissura

Momento Fletor de Ruptura

Sem armaduras 2,33 2,33 Com armadura longitudinal 2,33 2,38 Com armadura transversal 2,50 2,50 Com armaduras longitudinal e transversal

2,47 3,78

Com armadura helicoidal 2,70 > 7,00*

* A máquina de ensaio não levou a seção à ruptura

Os ensaios demonstraram que: na seção oca sem armadura as fissuras são inclinadas a 45° e

em forma de hélice; com somente uma armadura, seja longitudinal ou transversal, o aumento de

resistência é muito pequeno e desprezível; com duas armaduras a resistência aumentou e, com

armadura helicoidal, segundo a trajetória das tensões principais de tração, o aumento de resistência

foi muito efetivo. Os valores contidos na Tabela 1 demonstram as observações.

Fissuras inclinadas podem se desenvolver quando a tensão principal de tração alcança a

resistência do concreto à tração, levando uma viga não armada à ruptura. Se a viga for armada com

barras longitudinais e estribos fechados transversais, à viga pode resistir a um aumento de carga

após a fissuração inicial.

8. ANALOGIA DA TRELIÇA ESPACIAL PARA A TORÇÃO SIMPLES

Existem hoje basicamente duas teorias muito diferentes com o intuito de explicar o

comportamento de uma viga sob torção. Uma delas é chamada de “Flexão Esconsa” (skew bending

theory), e foi desenvolvida por LESSIG (1959) e atualizada por HSU (1968). A segunda teoria

baseia-se na analogia da seção vazada (Teoria de Bredt) com uma treliça espacial, chamada de

“Treliça Generalizada”. A teoria foi inicialmente elaborada por RAUSCH em 1929, estando em uso

por diversas normas até os dias de hoje.

Como apresentado no item anterior os ensaios experimentais realizados mostraram que as

seções cheias de concreto podem ser calculadas como seções vazadas de paredes finas. A Figura 25

mostra o modelo de uma seção cheia fissurada, sob torção simples. As tensões de compressão são

resistidas pelo concreto da casca e as tensões de tração são resistidas pelo conjunto armadura

longitudinal e armadura transversal (estribos).


16

R sl

R sl

R sl

R sl

dC

dC

dC

dCdC

dC

dCdC

dC

R s,e

R s,e

Fissuras

Figura 25 – Modelo resistente para a torção simples em viga de concreto fissurada.


A treliça clássica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras inclinadas

de 45° com o eixo longitudinal (Figura 26). Os banzos paralelos representam a armadura

longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hélice, com inclinação de 45°,

representando as bielas de compressão e os montantes verticais e horizontais representam estribos

fechados a 90° com o eixo longitudinal da viga.

R sl

R s,eslR

C ddC 45°

dC /cos 45

dC /cos 45

dC /sen 45dC /sen 45

b

b

T

M

45° 45°

R s,e

Barras tracionadas

Diagonais comprimidas

M

Esforços solicitantes no corte ll - ll

Da

B

ll

ll

Esforços nas barras do nó B

estr

m

a =

b

m

m

Figura 26 – Treliça espacial para viga com torção simples com armadura longitudinal e

transversal (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).


17

9. TORÇÃO COMBINADA COM MOMENTO FLETOR E FORÇA CORTANTE

A Figura 27 mostra as trajetórias das fissuras numa viga de concreto de seção retangular. As

fissuras apresentam-se com trajetórias inclinadas de aproximadamente 45° com o eixo longitudinal

da viga.

T

Figura 27 – Trajetórias das fissuras na viga vazada de seção retangular.

Quando o valor do momento fletor é elevado comparativamente ao momento de torção, a

zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras, como mostrado na Figura 28.

T

V

M

Figura 28 – Modelo para vigas com altos momentos fletores (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).

No caso da força cortante elevada, uma face vertical deverá ficar isenta de fissuras, sendo

aquela onde as tensões de cisalhamento da torção e do esforço cortante têm sentidos contrários. Isso

fica demonstrado nos modelos de treliça adotados, onde as diagonais comprimidas da treliça para o

cortante opõem-se às diagonais tracionadas da treliça espacial da torção.

As fissuras nesses casos apresentam-se contínuas, em forma de hélice e em três das quatro

faces da viga. Numa face, onde as tensões de compressão superam a de tração, não surgem fissuras

(Figura 29).


18

T

V

M

Figura 29 – Modelo para vigas com altas forças cortantes (LEONHARDT & MÖNNIG, 1982).

10. FORMAS DE RUPTURA POR TORÇÃO

Após a fissuração, a ruptura de uma viga sob torção pura pode ocorrer de alguns modos:

escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as armaduras. No caso

de vigas superarmadas à torção, o concreto comprimido compreendido entre as fissuras inclinadas

pode esmagar pelo efeito das tensões principais de compressão, antes do escoamento das

armaduras. Outros modos de ruptura podem também ocorrer, estando descritos a seguir.

10.1 Ruptura por Tração

A ruptura brusca também pode ocorrer por efeito de torção, após o surgimento das primeiras

fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocação de uma armadura mínima, para resistir às

tensões de tração por torção.

Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982) sendo as armaduras longitudinal e transversal

diferentes, a menor armadura determinará o tipo de ruptura. Uma pequena diferença nas armaduras,

pode, no entanto, ser compensada por uma redistribuição de esforços.

Ao contrário do esforço cortante, onde a inclinação do banzo comprimido pode diminuir a

tração na alma da viga, na torção essa diminuição não pode ocorrer, dado que na analogia de treliça

espacial não existe banzo comprimido inclinado.

10.2 Ruptura por Compressão

Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte

empenamento das faces laterais, ocasionando tensões adicionais ao longo das bielas comprimidas,

podendo ocorrer o seu esmagamento (Figura 30).


19

T

Compressão Tração

R cR s

c

Tt

Cd

45°

Superfície de dupla curvatura

Figura 30 – Empenamento da viga originando tensões adicionais de flexão.


10.3 Ruptura dos Cantos

A mudança de direção das tensões de compressão nos cantos, como indicado na Figura 31,

origina uma força que pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras

longitudinais dos cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tensões de

cisalhamento da torção muito elevadas devem ter o espaçamento dos estribos limitados a 10 cm

para evitar essa forma de ruptura.

R c

cRcR

cRU

UU

Estribo

T

cR

R c

U

Rompimento do canto

Engastamento à torção

Figura 31 – Possível ruptura do canto devida à mudança de direção das diagonais comprimidas.



20

10.4 Ruptura da Ancoragem

Esta forma de ruptura pode ocorrer por insuficiência da ancoragem do estribo, levando ao

seu “escorregamento”, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado na ancoragem das

armaduras pode evitar essa forma de ruptura.

11. DEFINIÇÃO DAS FORÇAS E TENSÕES NA TRELIÇA GENERALIZADA À

TORÇÃO SIMPLES

Nas décadas de 60 e 70 a treliça clássica foi generalizada por LAMPERT, THÜRLIMANN

e outros, com a admissão de ângulos variáveis (θ) para a inclinação das bielas (Figura 32). O

modelo de treliça generalizada é o atualmente adotado pelas principais normas internacionais, como

ACI 318/95 e MC-90 do CEB (1990).

A NBR 6118/2004 também considera o modelo de treliça generalizada para o

dimensionamento de vigas de concreto armado à torção, em concordância com a treliça plana

generalizada concebida para a análise da força cortante.

R ld

Rwd

Cd

R dl

Rwd

Cd

Cd dC

Cdsen

dC

PLANO ABCD

l

l

A

sen

sen

sen

l

l

= inclinação da biela

BA

C

D

Estribo

Barras Longitudinais

l

Y

XZ

cotg

Bielas Comprimidas

cotg l

lcotg

cotg l

yy

NÓ A

Figura 32 – Treliça espacial generalizada (LIMA et al. 2000).


21

11.1 Bielas de Concreto

Considerando-se o plano ABCD da treliça espacial generalizada indicada na Figura 32 e que

os esforços internos resistentes devem igualar o esforço externo (Td), tem-se:

lθ= senC2T dd (Eq. 4)

A força nas bielas comprimidas surge da Eq. 4:

θ

=sen2TC d

dl

(Eq. 5)

com: Cd = força na biela comprimida;

Td = momento de torção de cálculo;

θ = ângulo de inclinação da biela;

= distância entre os banzos. l

A força de compressão Cd nas bielas atua sobre uma seção transversal de área:

y . t = cos θ . t (Eq. 6) l

com: t = espessura da casca da seção oca;

y = largura de influência da diagonal inclinada da treliça.

Assim, substituindo a força Cd da Eq. 5 por σcd y t = σcd cos θ . t, a tensão de compressão

na biela (σ

l

cd) assume o valor:

θ

=θσsen2Tt.cos d

cdl

l

( ) θθ=σ

sen2t.cosTd

cdll

θ

=σ2sent

T2

dcd

l (Eq. 7)


22

como : e2 A=l

θ

=σ2sentA

T

e

dcd (Eq. 8)

A Eq. 3 pode ser escrita como: Td = τt 2 Ae t . Da Eq. 3 reescrita na Eq. 8 fica:

θ

τ=σ

2sen2 td

cd (Eq. 9)

11.2 Armadura longitudinal

Fazendo o equilíbrio de forças na direção x, tem-se:

(Eq. 10) θ= cosC4R4 ddl

com resultante em um banzo longitudinal. Como =dR l ywdsd fAR4 ll = , substituindo na Eq. 10

fica:

θ= cosC4fA dywdsl (Eq. 11)

Substituindo a Eq. 5 na Eq. 11 fica:

θθ

= cossen2T4fA d

ywdsl

l

Isolando a armadura longitudinal:

θ= gcotfT2Aywd

ds

ll (Eq. 12)

Com o objetivo de evitar fissuração entre os vértices da seção vazada, a armadura deve ser

distribuída no perímetro u = 4 , de modo que a taxa de armadura longitudinal por comprimento do

eixo médio da seção vazada é:

l

θ=θ= gcot4f

T2gcotuf

T2u

A

ywd

d

ywd

ds

llll


23

θ= gcotfA2

Tu

A

ywde

dsl (Eq. 13)

ou

θ

=tgfA2

Tu

A

ywde

dsl (Eq. 14)

com: = área total da armadura longitudinal; lsA

Ae = área interna delimitada pelo eixo da casca (ver Figura 23);

u = perímetro do contorno da área Ae .

11.3 Estribos

Fazendo o equilíbrio do nó A na direção do eixo Z, tem-se:

Rwd = Cd sen θ (Eq. 15)

Substituindo a Eq. 5 na Eq. 15 tem-se:

ll 2

Tsensen2

TR ddwd =θ

θ= (Eq. 16)

Sendo s o espaçamento dos estribos e θgcotl o comprimento de influência das barras

transversais da treliça que representam os estribos (ver Figura 32), tem-se:

ywd90,swd fAs

gcotR θ=

l (Eq. 17)

Igualando as Eq. 16 e 17 fica:

l

l

2TfA

sgcot d

ywd90,s =θ

Isolando a armadura transversal relativamente ao espaçamento s dos estribos:

ywd

d90,s

fgcot2T

sA

θ=

ll

θ= tgfA2

Ts

A

ywde

d90,s (Eq. 18)


24

12. DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118/2004 NO ESTADO LIMITE

ÚLTIMO

A norma separa o estudo dos elementos lineares sujeitos à torção em Torção Uniforme e

Torção em Perfis Abertos de Parede Fina (item 17.5). No texto subseqüente será considerado o

dimensionamento apenas dos elementos lineares sujeitos à torção uniforme.

A norma pressupõe “um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir

de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar. As

diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto, têm inclinação que

pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30° ≤ θ ≤ 45° ”. Esse modelo é o da treliça espacial

generalizada, descrito anteriormente. O projetista tem a liberdade de escolher o ângulo de

inclinação das bielas de compressão, que deve estar coerente com o ângulo adotado no

dimensionamento à força cortante.

12.1 Geometria da Seção Resistente

No caso de seções poligonais convexas cheias, a seção vazada equivalente terá a espessura

da parede equivalente (he) dada por:

uAhe ≤ (Eq. 19)

he ≥ 2 c1 (Eq. 20)

onde: A = área da seção cheia;

u = perímetro da seção cheia;

c1 = distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento

estrutural.

A NBR 6118/2004 também define como deve ser considerada a seção resistente de Seções

Compostas por Retângulos e de Seções Vazadas.

12.2 Torção de Compatibilidade

No caso de torção de compatibilidade a norma diz que “é possível desprezá-la, desde que o

elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros

esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados”.


25

No caso de elementos sob torção com comprimento menor ou igual a duas vezes a altura

(≤ 2 h), com o objetivo de possibilitar a adaptação plástica, a norma recomenda que a peça tenha a

armadura mínima à torção e a força cortante de cálculo fique limitada a:

VSd ≤ 0,7 VRd2 (Eq. 21)

com:

VRd2 = 0,27 αv . fcd . bw . d . sen 2 θ (Eq. 22)

12.3 Torção de Equilíbrio

Elementos sujeitos à torção de equilíbrio devem possuir armaduras longitudinal e transversal

(estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforços de tração.

Admite-se satisfeita a resistência de um elemento estrutural à torção pura quando se

verificarem simultaneamente as seguintes condições:

TSd ≤ TRd,2 (TRd,2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas do concreto);

TSd ≤ TRd,3 (TRd,3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo

do elemento estrutural);

TSd ≤ TRd,4 (TRd,4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais,

paralelas ao eixo do elemento estrutural).

A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:

TRd,2 = 0,50 . αv2 . fcd . Ae . he . sen 2 θ (Eq. 23)

com: αv2 = 1 – fck/250 e fck em MPa;

θ = ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°;

Ae = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo

a parte vazada;

he = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto

considerado.

A resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve atender à

expressão:

TRd,3 = (As,90/s) fywd 2 Ae cotg θ (Eq. 24)


26

donde, com TSd = TRd,3 de forma semelhante à Eq. 24, calcula-se a área da armadura transversal:

θ= tgfA2

Ts

A

ywde

Sd90,s (Eq. 25)

onde: fywd é a resistência de cálculo do aço da armadura passiva, limitada a 435 MPa.

Para estribo a 45°:

ywde

Sd45,s

fA2T

sA

= (Eq. 26)

A resistência decorrente da armadura longitudinal deve atender à expressão:

TRd,4= (Asl/ u). 2Ae fywd tg θ (Eq. 27)

donde, com TSd = TRd,4 de forma semelhante à Eq. 27, calcula-se a área da armadura longitudinal:

θ

=tgfA2

Tu

A

ywde

Sdsl (Eq. 28)

Para θ = 45°:

ywde

Sds

fA2T

uA

=l (Eq. 29)

onde: Asl = soma das áreas das seções das barras longitudinais;

u = perímetro de Ae.

12.4 Armadura Mínima

Sempre que a torção for de equilíbrio, deve existir armadura resistente aos esforços de

tração, constituída por estribos verticais e barras longitudinais distribuídas na área correspondente à

parede equivalente ao longo do perímetro da seção resistente. A taxa geométrica mínima de

armadura é:


27

ywk

m,ct

w

s

w

swsws f

f2,0

ubA

sbA

≥==ρ=ρ ll (Eq. 30)

com: = taxa mínima de armadura longitudinal; lsρ

= taxa mínima de armadura transversal; swρ

Asw = área da seção transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus ramos;

= área total de armadura longitudinal; lsA

bw = largura média da alma;

s = espaçamentos dos estribos;

u = perímetro da seção transversal;

fct,m = resistência média à tração do concreto.

fywk = resistência ao escoamento do aço da armadura transversal;

Isolando Asw/s e : u/Asl

wywk

m,ctssw bf

f2,0u

As

A≥= l (Eq. 31)

Fazendo o espaçamento s e o perímetro u iguais a 100 cm, a armadura mínima fica:

wywk

m,ctmín,smín,sw b

ff20

AA == l (cm2/m) (Eq. 32)

com: bw em cm;

fywk e fct,m em kN/cm2;

3 2ckm,ct f3,0f = (MPa).

12.5 Solicitações Combinadas

12.5.1 Flexão e Torção

Nos elementos estruturais submetidos à torção e à flexão simples ou composta, as

verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais,

devendo-se atender ainda:

- na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à

armadura longitudinal necessária para flexão;

- no banzo comprimido pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em

função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de

comprimento ∆u correspondente à barra ou feixe de barras consideradas;


28

- nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que

reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de

seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o

valor 0,85 fcd . Esta tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de

tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da

tensão tangencial de torção, calculada por:

τTd = Td / 2 Ae he (Eq. 33)

12.5.2 Torção e Força Cortante

Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação

das bielas de concreto (θ) coincidentes para os dois esforços. Na utilização do modelo de cálculo I

para a força cortante, subentende-se θ = 45º também para a torção.

A resistência à compressão diagonal do concreto será satisfeita se atendida a expressão:

1TT

VV

2Rd

Sd

Rd

Sd ≤+ (Eq. 34)

onde VSd é a força cortante de cálculo e TSd é o momento de torção de cálculo.

A armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras calculadas

separadamente para VSd e TSd .

12.6 Disposições Construtivas

A armadura destinada a resistir aos esforços de tração provocados por torção deve ser

constituída por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais

paralelas ao mesmo eixo. Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar

contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente.

Para prevenir a ruptura dos cantos é necessário alojar quatro barras longitudinais nos

vértices das seções retangulares. Segundo LEONHARDT & MÖNNIG (1982), para seções de

grandes dimensões, é necessário distribuir a armadura longitudinal ao longo do perímetro da seção,

a fim de se limitar a fissuração.


29

12.6.1 Fissuração Diagonal da Alma

Usualmente não é necessário verificar a fissuração diagonal da alma de elementos estruturais

de concreto. Em casos especiais em que isso for considerado importante deve-se limitar o

espaçamento da armadura transversal a 15 cm.

12.6.2 Estribos

Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as barras

das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio

de ganchos em ângulo de 45º.

Diâmetro do estribo:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≤

<

≥

φ

soldada por tela formados estribos para mm 4,2 lisa barra para mm 12

10b

mm5

w

t (Eq. 35)

O espaçamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do vibrador, a fim

de garantir o perfeito adensamento do concreto.

O espaçamento máximo deve atender as condições:

- se VSd ≤ 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,6 d ≤ 30 cm;

- se VSd ≥ 0,67 VRd2 ⇒ smáx = 0,3 d ≤ 20 cm. (Eq. 36)

12.6.3 Armadura Longitudinal

As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado

ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35 cm.

Deve-se respeitar a relação ∆Asl /∆u, onde ∆u é o trecho de perímetro da seção efetiva

correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl , exigida pelo dimensionamento.

A armadura longitudinal de torção de área total Asl pode ter arranjo distribuído ou

concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação ∆Asl/∆u, onde ∆u é o trecho de

perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl .

Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos

uma barra longitudinal.


30

13. EXEMPLOS NUMÉRICOS DE APLICAÇÃO

Apresentam-se a seguir três exemplos numéricos de aplicação sobre o dimensionamento de

vigas de concreto armado submetidas à torção.

13.1 EXEMPLO 1

Uma viga em balanço, como mostrada na Figura 33, suporta em sua extremidade uma outra

viga, nela engastada, com uma carga concentrada de 50 kN em sua extremidade. As distâncias e

dimensões adotadas para as duas vigas estão indicadas na planta de fôrma mostrada na Figura 34.

As vigas estão submetidas somente à carga F e ao peso próprio.

São conhecidos: C25 ; CA-50 A ; cnom = 2,5 cm ; γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15.

F

97,5

V1 (35 x 50)

V2

(20

x 50

)

V (2

0 x

50)

P135/60

150

Figura 33 – Perspectiva da estrutura com

a força F aplicada.

Figura 34 – Planta de fôrma.

RESOLUÇÃO

Os esforços solicitantes serão calculados de dois modos, primeiro considerando-se a atuação

conjunta das vigas como uma grelha, e segundo considerando-se as vigas individualmente. Para

cálculo da grelha foi utilizado o programa GPLAN4, de CORRÊA et al. (1992).

a) Cálculo dos esforços como grelha

Vão efetivo e peso próprio da viga V2:

lef,V2 = lo + a1 = 80 + 15 = 95 cm

lo = 80 cm


31

⎩⎨⎧

=⋅===

≤cm 15 050,3h0,3cm 5,172/352/t

a 11 ∴ a1 = 15 cm

Peso próprio: gpp,V2 = 25 . 0,20 . 0,50 = 2,5 kN/m Vão efetivo e peso próprio da viga V1:

lef,V1 = lo + a1 = 150 + 15 = 165 cm

lo = 150 cm

⎩⎨⎧

=⋅===

≤cm 15 050,3h0,3

cm 302/602/ta 1

1 ∴ a1 = 15 cm

Peso próprio: gpp,V1 = 25 . 0,35 . 0,50 = 4,375 kN/m

A Figura 35 mostra o esquema utilizado para a grelha, com a numeração dos nós e das

barras. Na barra correspondente à viga V1 (2) deve ser considerado o momento de inércia à torção.

O nó 2 deve ser obrigatoriamente considerado um engaste perfeito, e os nós 1 e 3 não têm restrições

nodais.

165

95

2 3

1

2

1

Figura 35 – Esquema da grelha.

Para o módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) foi considerado o valor

secante. O módulo tangente na origem pode ser avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2004,

item 8.2.8):

Eci = 5.600 fck1/2 = 5.600 . 251/2 = 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2

O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale:

Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2

Para o módulo de deformação transversal (G) pode-se utilizar 0,20 Ecs, o que resulta 476

kN/cm2. Para a grelha em questão foi adotado um valor um pouco superior, de 480 kN/cm2.

O arquivo de dados para entrada no programa, apresentado a seguir, foi feito conforme o

manual de utilização do programa (CORRÊA et al., 1992) e o manual com diretrizes para a sua

aplicação, de BASTOS (1995).


32

OPTE,0,2,0,0,2, TORCAO CONCRETO II EXEMPLO 1 NO 1,165,0, 2,0,95, 3,165,95, RES 2,1,1,1, BAR 1,1,3,1,1, 2,2,3,2,1, PROP 1,1,1000,208333,100,50, 2,1,1750,364583,405169,50, MATL 1,2380,480, FIMG CARR1 CBR 1,1,-.025,1, 2,1,-.04375,1, CNO 1,-50, FIMC FIME Os resultados gerados pelo programa estão listados nos Anexos. Os diagramas de esforços

solicitantes característicos estão indicados na Figura 36. A flecha máxima para a grelha resultou

igual a 0,5 cm, no nó 1, menor que o valor limite indicado pela NBR 6118/04.

+

T (kN.cm)

k kV (kN)

4863

59,6

52,4

50

M (kN.cm)

k

92374863-

-

Figura 36 – Diagrama de esforços solicitantes característicos.

b) Cálculo dos esforços e dimensionamento da viga V2 (20 x 50)

A título de exemplo e comparação com os esforços da grelha, as vigas terão os esforços

novamente calculados, agora considerando-as individualmente.

A viga V2 deve estar obrigatoriamente engastada na viga V1. Seu esquema estático e

carregamento estão indicados na Figura 37.


33

b1) Esforços solicitantes

V = 2,5 . 0,95 + 50 = 52,4 kN

95,0502

95,05,2M2

⋅+⋅

=

M = 48,63 kN.m = 4863 kN.cm

50 kN2,5 kN/m

95

50V (kN)

52,4

4863M (kN.cm)

_

k

k

Figura 37 – Esquema estático, carregamento e

esforços na viga V2.

b2) Dimensionamento à flexão

A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com:

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup

33,3253,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa

20833312

502012hbI

33===

. cm4

833325

208333yI W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)

Md,mín = 0,8 . 8333 . 0,333 = 2.220 kN.cm

Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:

d

2w

c MdbK = = 1,19

222046.20 2

= ⇒ da Tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,023.

dMKA d

ss = = 11,146

2220023,0 = cm2

Conforme a Tabela 2 da apostila de Vigas (BASTOS, 2004) para seção retangular e concreto

C25, a taxa mínima de armadura (ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:

As,mín = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2 > 1,11 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2)


34

Md = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm

2,66808

4620K2

c =⋅

=

na Tabela de Kc tem-se: βx = 0,14, Ks = 0,024 e dom. 2.

55,346

6808024,0As == cm2 ≥ As,mín = 1,50 cm2

(2 φ 16 mm = 4,00 cm2 ou 3 φ 12,5 = 3,75 cm2)

A distância livre entre as três barras deve ser suficiente para

passar a agulha do vibrador.

2,5

20

2,5

50

3 φ 12,5

b3) Armadura de pele

A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No

entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será

colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR

6118/80), em cada face da viga:

As,pele = 0,0005 . 20 . 50 = 0,50 cm2

4 φ 4,2 mm = 0,56 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura.

b4) Dimensionamento ao esforço cortante

A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas

desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (2004). Sendo a seção retangular será considerado o

Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°.

Vk = 52,4 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 52,4 = 73,4 kN

b4.1) Verificação das bielas de compressão

Da Tabela 2 da apostila de Cortante (BASTOS, 2004) em viga, para o concreto C25,

determina-se a força cortante última ou máxima:

VRd2 = θθ cos.sen.d.b87,0 w = 0,87 . 20 . 46 . sen 38 . cos 38 = 388,3 kN

→=<= kN3,388V4,73V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.

b4.2) Cálculo da armadura transversal

Da Tabela 2 da apostila de Cortante para o concreto C25, a equação para determinar a força

cortante correspondente à armadura mínima é:

VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.040,0 +θ


35

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :

8,7046.204,1.10

253,07,06,0dbf6,0V

3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

2,708,703,3884,733,3888,70V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 3,1172,7038gcot.46.20.040,0 =+ kN

→=<= kN3,117V4,73V mín,SdSd portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima.

A armadura mínima é calculada pela equação:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2

ckctm ,,, === MPa

0522050

256020A mínsw ,.,., == cm2/m

Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se:

02050s400 ,,

= → s = 19,5 cm ≤ smáx = 27,6 cm

b4.3) Detalhamento da armadura transversal

- Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm

- Espaçamento máximo:

0,67 VRd2 = 0,67 . 388,3 = 260,2 kN

VSd,máx = 73,4 < 260,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 27,6 cm

b5) Ancoragem da armadura negativa

A armadura negativa deve ser cuidadosamente ancorada na viga V1, sob sérios riscos de

ruptura. Conforme apresentado na apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2004) o

comprimento de ancoragem básico é:

bd

ydb f

f4φ

=l com fbd = η1 . η2 . η3 . fctd

28141

253070f3070f3 2

3 2ck

cctd ,

,,,,.,

=⋅

=γ

= MPa

com barra de alta aderência e situação de má aderência tem-se:

fbd = 2,25 . 0,7 . 1,0 . 1,28 = 2,02 MPa


36

Para barra de diâmetro 12,5 mm o comprimento de ancoragem básico para situação de má

aderência resulta:

bd

ydb f

f4φ

=l = 3672020151

504251 ,

,,,

=⋅

cm

O comprimento de ancoragem necessário, considerando a armadura calculada de 3,55 cm2 e

a armadura efetiva composta por 3 φ 12,5 (3,75 cm2), com gancho, é:

mín,bef,s

calc,sb1nec,b A

Alll ≥α=

Comprimento de ancoragem mínimo para barra

φ 12,5 mm:

r = (D/2) φ = 2,5 φ = 2,5 . 1,25 = 3,125 cm

r + 5,5 φ = 3,125 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm

6,4475,355,33,677,0nec,b =⋅=l > lb,mín = 10,0 cm

Comprimento de ancoragem efetivo:

lbe = b – c = 35 – 2,5 = 32,5 cm

b,nec

b

l

VIGA DE APOIO

As,ef

Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário, com

gancho, é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 44,6 cm > lbe = 32,5 cm). Se a

armadura for aumentada para As,corr fica:

calc,sbbe

bcorr,s A

3,0A

ll

l

+= = 53,455,3

3,673,05,323,67

=⋅+

cm2

3 φ 12,5 + 1 grampo φ 8 = 4,75 cm2

A Figura 38 mostra o detalhamento completo da armadura da viga V2. O espaçamento dos

estribos foi diminuído de 19,5 cm para 15 cm, a favor da segurança e com pequeno acréscimo no

consumo de aço. A armadura de pele, embora não obrigatória neste caso, foi adotada. As barras

longitudinais inferiores, porta-estribos, foram adotadas φ 8 mm.

c) Cálculo e dimensionamento da viga V1 (35 x 50)

A viga V1 deve estar obrigatoriamente engastada no pilar P1. Ela tem como carregamento o

seu próprio peso e as ações provenientes da viga V2 (reação de apoio e momento torçor). O

esquema estático e o carregamento estão indicados na Figura 39.


37

45

14

N1 - 6 c/ 15

110

45

30

N2* - 3 φ 12,5 C = 275

N3 - 2 φ 8 C = 228 (2° cam)

N4 - 2 x 4 φ 4,2 C = 110

N5 - 2 φ 8 C = 110

3N2

2N3

4N44N4

2N5

* N2 sobre N2 da V1

V2 (20 x 50)

45

15

N1 - 6 φ 5 C = 130

Figura 38 – Armadura final da viga V2.

c1) Esforços solicitantes

V = 4,375 . 1,65 + 52,4 = 59,6 kN

65,14,522

65,1375,4M2

⋅+⋅

=

M = 92,42 kN.m = 9.242kN.cm

T = 4.863 kN.cm

P1

165

4,375 kN/m 52,4 kN

4863 kN.cm

59,6 52,4V (kN)

_9242

4863

M (kN.cm)

T (kN.cm)

k

k

k


esforços na viga V1.


38

c2) Dimensionamento á flexão


Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup , fctk,sup = 3,33 MPa

583.36412

50.3512hb

I33

=== cm4

583.1425


Md,mín = 0,8 . 14583 . 0,333 = 3.885 kN.cm


d

2w

c MdbK = = 1,19

388546.35 2


dMKA d

ss = = 94,146

3885023,0 = cm2



As,mín = 0,0015 . 35 . 50 = 2,63 cm2 > 1,94 cm2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2)

Md = 1,4 . 9.242 = 12.939 kN.cm

7,512939

4635K2

c =⋅

=

na Tabela de Kc tem-se: βx = 0,16 ≤ 0,50, Ks = 0,025 e

dom. 2.

03,746

12939025,0As == cm2 ≥ As,mín = 2,63 cm2

(5 φ 12,5 + 1 φ 10 = 7,05 cm2)

O espaçamento livre entre as barras é:

( )[ ] 3,45

0,125,1563,05,2235eh =+⋅++−

= cm

(suficiente para a passagem da agulha do vibrador).

eh

2,5

2,5

50

35

5 φ 12,51 φ 10

c3) Armadura de pele






39

As,pele = 0,0005 . 35 . 50 = 0,88 cm2

4 φ 5 mm = 0,80 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura.

c4) Dimensionamento ao esforço cortante

Sendo a seção retangular será considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°.

Vk = 59,6 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 59,6 = 83,4 kN

c3.1) Verificação das bielas de compressão

Da Tabela 2 da apostila de Cortante em viga (BASTOS, 2004) para o concreto C25,

determina-se a força cortante última ou máxima:



c4.2) Cálculo da armadura transversal

Da Tabela 2, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante

correspondente à armadura mínima é:


0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :

9,12346.354,1.10

253,07,06,0dbf6,0V

3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

9,1329,1235,6794,835,6799,123V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 3,2159,13238gcot.46.35.040,0 =+ kN

→=<= kN3,215V4,83V mín,SdSd portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima.


wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2

ckctm ,,, === MPa

58,335.50

256,0.20A mín,sw == cm2/m

c4.3) Detalhamento da armadura transversal



40


0,67 VRd2 = 0,67 . 679,5 = 455,3 kN

VSd,máx = 83,4 < 455,3 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 27,6 cm

c5) Ancoragem da armadura negativa

A armadura negativa deve ancorar no pilar P1, com seção transversal 35/60. Com concreto

C25, barra de alta aderência e situação de má aderência, o comprimento de ancoragem básico, já

calculado no item b5) para φ 12,5 mm é 67,3 cm.

O comprimento de ancoragem necessário, considerando a armadura calculada de 7,03 cm2 e

a armadura efetiva composta por 5 φ 12,5 + 1 φ 10 (7,05 cm2), sem gancho, é:

mín,bef,s

calc,sb1nec,b A

Alll ≥α=

Comprimento de ancoragem mínimo para

barra φ 12,5 mm:

r = (D/2) φ = 2,5 φ = 2,5 . 1,25 = 3,125 cm

r + 5,5 φ = 3,125 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm

∴ lb,mín = 10,0 cm

1,6705,703,73,67nec,b ==l > lb,mín =10,0 cm


lbe = b – c = 60 – 2,5 = 57,5 cm

b, nec

60

57,5

67,1

50

c

l

bel

b

A s, ef

2,5

Verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário, sem gancho, é superior ao

comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 67,1 cm > lbe = 57,5 cm), o que não possibilita fazer a

ancoragem reta no pilar. A alternativa é fazer gancho nas extremidades das barras, reduzindo o

comprimento necessário para:

0,4705,703,73,677,0nec,b =⋅=l cm

O comprimento de ancoragem necessário, com gancho, é inferior ao comprimento de

ancoragem efetivo (lb,nec = 47,0 cm < lbe = 57,5 cm), o que possibilita fazer a ancoragem no pilar,

sem a necessidade de acréscimo de armadura. A favor da segurança, a armadura é estendida até

próximo à face do pilar, no comprimento de lbe , como mostrado na Figura 40.


41

c6) Dimensionamento à torção

c6.1) Verificação da biela comprimida

Tk = 4.863 kN.cm TSd = 1,4 . 4863 = 6.808 kN.cm

Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34

deve-se ter:

1TT

VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+

VRd2 = 679,5 kN ⇒ conforme calculado no item c4.1);

VSd = 83,4 kN.

Área da seção transversal: A = bw . h = 35 . 50 = 1.750 cm2

Perímetro da seção transversal: u = 2 (bw + h) = 2 (35 + 50) = 170 cm

As Eq. 19 e 20 fornecem os limites para a espessura he da casca:

3,101701750

uAh e ==≤ cm com he ≥ 2 c1

c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,63 + 2,5 = 3,76 cm

he ≥ 2 . 3,76 = 7,51 cm

Portanto, os limites para he são: 7,51 cm ≤ he ≤ 10,3 cm

Será adotado he = 10,0 cm.

Ae = (bw – he) . (h – he) = (35 – 10) . (50 – 10) = 1.000 cm2

u = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(35 – 10) + (50 – 10)] = 130 cm

O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23 , com ângulo θ (38°) igual ao aplicado

no cálculo da viga ao esforço cortante é:

TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 1000 . 10 . sen 2 . 38 = 7.797 kN

Aplicando a Eq. 34 tem-se:

0,177976808

5,6794,83

=+ ≤ 1,0

Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão. Caso

resultasse valor superior à unidade, haveria a necessidade de se fazer alguma mudança. O aumento

da largura ou da altura da viga são soluções comumente utilizadas na prática.

c6.2) Cálculo das armaduras

A armadura mínima transversal já foi calculada no dimensionamento da viga ao esforço

cortante, sendo 3,58 cm2/m. Esta armadura é a mínima também para a torção, tanto para a armadura

transversal como para a longitudinal, como mostrado na Eq. 32.


42

Armadura transversal (estribos) conforme a Eq. 25:

θ= tgfA2

Ts

A

ywde

Sd90,s

0612,038tg

15,15010002

6808fA2

Ts

A

ywde

Sd90,s =⋅

== cm2/cm =6,12 cm2/m ≥ Asw,mín = 3,58 cm2/m

Armadura longitudinal conforme a Eq. 28:

1002,038tg

15,15010002

6808tgfA2

Tu

A

ywde

Sds =⋅

=θ

=l cm2/cm = 10,02 cm2/m 58,3A mín,s =≥ l

c6.3) Detalhamento

c6.3.1) Armadura longitudinal

A área total de armadura longitudinal é obtida pela soma das armaduras da flexão e da

torção, calculada para cada uma das quatro faces da viga. As áreas de armadura longitudinal nas

faces da viga são:

Face superior:

- da flexão – As = 7,03 cm2

- da torção – As = (bw – he) Asl = (35 – 10) 0,1002 = 2,51 cm2

- As,total = 7,03 + 2,51 = 9,54 cm2 (8 φ 12,5 = 10,00 cm2)

Face inferior:



- As,total = 2,51 cm2 (2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2)

Faces laterais:

- As,total = (h – he) Asl = (50 – 10) 0,1002 = 4,01 cm2 (5 φ 10 mm = 4,00 cm2). Esta

armadura pode atuar também para evitar as fissuras por retração do concreto, não sendo necessário

somar a ela a armadura de pele. É importante ressaltar que esta armadura deve ser disposta nas duas

faces laterais da viga.

c6.3.2) Armadura transversal

A área total de estribos é calculada pela soma das áreas relativas ao esforço cortante e à

torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 3,58 cm2/m. Como


43

a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é suficiente considerar apenas a

armadura para a torção:

0612,0s

A 90,s = cm2/cm = 6,12 cm2/m

O diâmetro do estribo para a torção deve ser igual ou superior a 5 mm. Supondo estribo

fechado de dois ramos com diâmetro de 6,3 mm tem-se:

0612,0s63,0

= → s = 10,3 cm ≤ smáx = 27,6 cm

A Figura 40 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. Como visto, as

armaduras para o momento fletor, para o esforço cortante e para a torção foram calculadas

separadamente e somadas no final, como mostradas na Figura 40. O comprimento do gancho das

barras N2 foi aumentado de 10 cm para 15 cm, para melhorar um pouco a ancoragem no pilar.

N1 - 13 c/ 10

P1

V1 (35 x 50)

15 N2 - 6 φ 12,5 C = 217202

N3 - 2 φ 12,5 C = 202 (2° cam)

N4 - 2 x 5 φ 10 C = 202

N5 - 2 φ 12,5 C = 202

6 N2

2 N3

5 N45 N4

2 N5

30

45

N1 - 13 φ 6,3 C = 160



44

12.2 EXEMPLO 2

Este exemplo refere-se ao projeto estrutural de uma laje em balanço (marquise) engastada na

viga de apoio. A marquise tem a função arquitetônica de proteger a entrada de uma construção. As

Figuras 41 e 42 mostram a planta de fôrma da estrutura e o pórtico do qual a marquise faz parte. A

Figura 43 mostra uma perspectiva da estrutura. Este exemplo tem alguma semelhança aquele

encontrado em GIONGO (1994). Pede-se calcular e dimensionar a viga V1.

NOTA: A planta de fôrma da estrutura é desenhada com o observador posicionado no nível inferior

à estrutura que se quer mostrar e olhando para cima. Por este motivo os traços internos das vigas

são desenhados com linha tracejada.

As seguintes informações são conhecidas:

a) marquise acessível a pessoas apenas para serviços de construção e manutenção;

b) o coeficiente de segurança das ações permanentes e variáveis (γf) será tomado como 1,4 (tabela

11.1 NBR 6118/04). O coeficiente de segurança do concreto (γc) será tomado como 1,4;

c) lajes e vigas em concreto aparente (sem revestimentos);

d) sobre a viga V1 há uma parede de alvenaria de bloco cerâmico furado (γalv = 13 kN/m3), com

espessura final de 23 cm e altura de 2,6 m;

e) γconcr = 25 kN/m3, γimperm = 21 kN/m3;

f) espessura média de 3 cm para a camada de impermeabilização e regularização sobre a laje da

marquise;

g) vigas V2, V3 e V4 sem função estrutural;

h) classe II de agressividade ambiental (tabela 6.1 da NBR 6118/04);

i) concreto C25 (tabela 7.1 da NBR 6118/04);

j) cobrimento nominal de 2,0 cm (item 7.4.7.6 da NBR 6118/04);

k) carga da laje interna na viga V1 (glaje = 5,0 kN/m).


45

20

10 788 10

P120/30

P220/30

P3 20/30

V2 (10 x 40)

V3

(10

x 40

)

V6

(10

x 40

)

V1 (20 x 40) A

A

140

10

155

V4

(20

x 35

)

V5

(20

x 35

)

V7

(20

x 35

)

394 394

h = 10 cm

V3

V2 V1

1030

2014010

Corte A

P240

Figura 41 – Planta de fôrma e corte da marquise.

450 30 359 30 359 30

417,5

40

25

20/30P1

20/30P2

20/30P3

tramo 1 tramo 2

V (20 x 25)

V1 (20 x 40)

V (20 x 40)

300 260

40

Figura 42 – Vista do pórtico com a viga V1.


46

Figura 43 – Perspectiva da estrutura.

RESOLUÇÃO

Como a laje em balanço está num nível inferior ao da laje interna à construção, não é

indicado considerar alguma vinculação entre as duas lajes, de modo que a laje em balanço deve ser

considerada engastada na viga V1, onde se apóia. A flexão na laje passa a ser torção na viga,

devendo ser obrigatoriamente considerada. No cálculo dos pilares também deve ser computada a

flexão originária da torção na viga.

a) Dimensionamento da laje da marquise

Na laje da marquise ocorrem ações uniformemente distribuídas na área da laje e linearmente

distribuídas no contorno externo da marquise, representadas pelas vigas V2, V3 e V6.

a1) Ações uniformemente distribuídas

As cargas atuantes na laje são as seguintes:

- peso próprio – gpp = 25 . 0,10 = 2,50 kN/m2

- impermeabilização – gimp = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2

- ação variável – q = 0,5 kN/m2 (laje sem acesso público)

- CARGA TOTAL - p = 3,63 kN/m2


47

a2) Ações uniformemente distribuídas no contorno

No contorno da laje há a ação do peso próprio das vigas V2, V3 e V6, em concreto aparente:

- gpp,vigas = 25 . 0,10 . 0,30 = 0,75 kN/m

a3) Cálculo das solicitações

Não havendo a possibilidade de engastamento da laje da marquise com outras lajes internas

ao edifício, a laje em balanço deve ser obrigatoriamente engastada na viga V1. Como a laje é

armada em uma direção, os esforços solicitantes são calculados supondo-se a laje como viga de

largura unitária (1 m).

Na Figura 44 encontra-se o esquema considerado.

Vão efetivo da laje:

lef = lo + a1 = 150 + 3 = 153 cm

lo = 150 cm

⎩⎨⎧

=⋅===

≤cm 3 100,3h0,3cm 102/202/t

a 11 ∴ a1 = 3 cm

Os esforços solicitantes máximos são:

36,548,175,02

53,163,3M2

=⋅+⋅

= kN.m/m

V = 3,63 . 1,53 + 0,75 = 6,30 kN/m

5

148

6,30

0,75

0,75 kN3,63 kN/m

-536

M (kN.cm/m)K

V (kN/m)K


esforços solicitantes.

a4) Verificação da laje à força cortante

A laje deve ser verificada quanto à necessidade ou não de armadura transversal. De modo

geral as lajes maciças não requerem esse tipo de armadura.

a5) Determinação da armadura de flexão na laje

A determinação da armadura principal, posicionada perpendicularmente ao eixo longitudinal

da viga V1 e junto à face superior da laje, considerando a altura útil d é:

d = h – (c + φ/2) = 10 – (2,0 + 0,63/2) = 7,7 cm

9,75364,1

7,7100K2

c =⋅⋅

= Da tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,024

34,27,75364,1024,0As =

⋅= cm2/m (φ 6,3 c/13 = 2,42 cm2/m)


48

A armadura negativa das lajes, segundo as tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2004 deve ter o

valor mínimo de:

50,110100100

15,0hb%15,0A wmín,s =⋅== cm2/m < As = 2,34 cm2/m

O espaçamento máximo para laje armada em uma direção deve atender a:

∴ s ≤ 20 cm ⎩⎨⎧ =⋅=

≤cm 20

cm 20102h2s

As lajes armadas em uma direção devem ter, posicionada na direção secundária, uma

armadura de distribuição de área igual a 1/5 da área da armadura principal, com o espaçamento

máximo de 33 cm (As,sec = 2,34/5 = 0,47 cm2/m - φ 4,2 c/28 cm = 0,49 cm2/m).

a6) Detalhamento das armaduras

O detalhamento esquemático das armaduras dimensionadas pode ser visto na Figura 45.

Deve-se observar que a armadura principal da laje em balanço é posicionada junto à face superior,

isto é, onde ocorrem as tensões longitudinais de tração. A armadura principal da laje deve ser

cuidadosamente ancorada na viga onde está engastada. O detalhe das barras N1 no interior da viga

V1 garante a necessária ancoragem.

A armadura inferior (barras N3) não é necessária ao equilíbrio da laje, podendo ser

dispensada. Nas lajes em balanço, no entanto, a sua colocação pode ser útil para aumentar a

segurança da laje numa eventual ruptura, além de aumentar a sua ductilidade e diminuir a flecha.

N1

N3N2 - 6 φ 4,2 c/ 25 CORR

N1 - 61 φ 6,3 c/ 13 C = 235

36

1666

166

N3 - 26 φ 4,2 c/ 30 C = 165

V1

Figura 45 – Detalhamento esquemático das armaduras da laje.


49

b) Dimensionamento da viga V1

Sobre a viga V1 atuam ações provenientes do seu peso próprio, da parede de alvenaria

construída sobre ela, e da laje em balanço, isto é, a reação de apoio da laje na viga e o momento

fletor na seção de engastamento da laje, que leva à torção da viga. Todas essas ações são

uniformemente distribuídas ao longo do comprimento da viga.

b1) Ações a considerar

- peso próprio – gpp = 25 . 0,20 . 0,40 = 2,00 kN/m

- parede – gpar = 13 . 0,23 . 2,60 = 7,77 kN/m

- laje externa (marquise) – glaje = 6,30 kN/m

- laje interna – glaje = 5,0 kN/m

- CARGA TOTAL – p = 21,07 kN/m

b2) Esforços solicitantes

O modelo adotado para o esquema estrutural da viga, para a determinação dos momentos

fletores e torçores e forças cortante, é aquele que considera a viga vinculada aos pilares extremos

por meio de engastes elásticos (molas). Para a avaliação dos momentos torçores há que se

considerar os dois tramos da viga engastados nos pilares.

Os vãos efetivos da viga são: lef = lo + a1 = 359 + 12 +12 = 383 cm

lo = 359 cm

⎩⎨⎧

=⋅===

≤cm 12 040,3h0,3

cm 152/302/ta 1

1 ∴ a1 = 12 cm

O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de

acordo com o esquema mostrado na Figura 42, tem-se:

le = 450 cm (comprimento de flambagem do pilar)

le/4 = 450/4 = 112,5 cm

bint = 30 cm < le/4 = 112,5 cm ⇒ ∴ considerar apoio simples.

A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4.

A Figura 46 mostra o esquema estático da viga, com os carregamentos atuantes, vãos

efetivos, numeração das barras e nós, etc. Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode

ser utilizado qualquer programa computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o

programa para cálculo de pórtico plano, chamado PPLAN4, de CORRÊA et al. (1992).


50

383

191,5

21,07 kN/m

191,5

1

y

21 2

383

191,5191,5

3 3 4 4 5x

Figura 46 - Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras da viga V1.

Considerando que os pilares extremos P1 e P3, nos quais a viga se encontra vinculada, estão

engastados na estrutura de fundação (bloco de duas estacas e vigas baldrames), o coeficiente de

rigidez do lance inferior do pilar será tomado como 4EI/le . Quando o pilar for considerado apoiado

na estrutura de fundação, o coeficiente de rigidez deverá ser tomado como 3EI/le . Pilares sobre

blocos de uma estaca devem ser considerados apoiados.

A rigidez da mola que vincula a viga a esses pilares é avaliada por:

Kmola = Kp,sup + Kp,inf

O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser

avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2004, item 8.2.8):

Eci = 5.600 fck1/2 = 5.600 . 251/2 = 28.000 MPa = 2.800 kN/cm2


Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2800 = 2.380 kN/cm2

O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é:

Ip,sup = Ip,inf = 000.4512

30.2012hb 33

== cm4

Os coeficientes de rigidez dos lances inferior e superior do pilar são:

Kp,inf = 000.952450

4500023804=

⋅⋅ kN.cm

Kp,sup = 000.428.1300

4500023804=

⋅⋅ kN.cm

Rigidez da mola:

Kmola = 952.000 + 1.428.000 = 2.380.000 kN.cm

A viga em questão tem simetria de geometria e carregamento no pilar interno (nó 3). A viga

pode, por simplicidade, ser calculada considerando-se apenas os nós 1, 2 e 3, e as barras 1 e 2. Para

isso deve-se fazer o nó 3 com restrição de rotação, além das restrições de apoio simples. Os

resultados devem ser idênticos aqueles para a viga completa.

O arquivo de dados de entrada no programa, considerando a simetria, tem o aspecto:


51

OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II EXEMPLO 2 V 1 (20 x 40) NOGL 1,3,1,0,0,383,0, RES 1,1,1,2,0,0,2380000, 3,1,1,1, BARG 1,2,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,800,106667,40, MATL 1,2380, FIMG CARR1 CBRG 1,2,1,1,-0.2107,1, FIMC FIME A Figura 47 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores

característicos máximos) obtidos no programa PPLAN4. A listagem dos resultados calculados pelo

programa encontra-se nos Anexos. Na Figura 47 também estão incluídos os esforços de torção,

provocados pelo momento fletor na laje em balanço (5,36 kN.m), que é momento de torção

solicitante na viga.

3,83 m 3,83 m

5,36 kN.m

10,26

10,26T (kN.m)K

35,0 45,7

1218

3254

1690

+-

~ 57~ 172

~ 901690

10,26

10,26

35,0V (kN)K

45,7

1218M (kN.cm)K

P1 P2 P3

Figura 47 – Diagramas de esforços solicitantes.


52

A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,07 cm) não é a flecha máxima no vão, mas

é próxima a ela, de modo que serve como um indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais

próximo da flecha máxima poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado

na Figura 46. A flecha de 0,07 cm é muito pequena e com certeza inferior à flecha máxima

permitida para a viga.

b3) Dimensionamento das armaduras

Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal.

b3.1) Armadura mínima




667.10612

40.2012hbI

33=== cm3

533320


Md,mín = 0,8 . 5333 . 0,333 = 1.421 kN.cm


d

2w

c MdbK = = 3,19

142137.20 2


dMKA d

ss = = 88,037

1421023,0 = cm2



As,mín = 0,0015 . 20 . 40 = 1,20 cm2 > 0,88 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2)

b3.2) Armadura de pele

A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. Para

a viga com largura de 20 cm e a altura de 40 cm não devem surgir fissuras por retração.

b3.3) Momento fletor negativo

b3.3.1) Apoio interno (P2)

Mk = - 3.254 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 3.254) = - 4.556 kN.cm


53

Para a altura da viga de 40 cm será adotada a altura útil de 37 cm. A largura colaborante da

laje em balanço para formar uma seção L com a viga, conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118/2004,

é:

b3 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm

bf = bw + b3 = 20 + 23 = 43 cm

d

2f

c MdbK = = 9,12

455637.43 2

=

Da Tabela de Kc e Ks tem-se:

βx = x/d = 0,06 ≤ 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2.

d

MKA dss = = 95,2

374556024,0 = cm2 > As,mín = 1,20 cm2

4 φ 10 mm = 3,20 cm2 ou 2 φ 12,5 + 1 φ 8 = 3,00 cm2

No caso de se adotar 4 φ 10 na primeira camada, a distância livre horizontal entre as barras

deve ser superior a 25 mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o

diâmetro do estribo igual a 6,3 mm, para 4φ 10 mm a distância livre resulta:

( )[ ] 6,33

0,1.463,00,2220eh =++−

= cm

distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.

b3.3.2) Apoios extremos (P1 e P3)

Mk = - 1.218 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.218) = - 1.705 kN.cm

d

2f

c MdbK = = 5,34

170537.43 2

=

d

MKA dss = = 06,1

371705023,0 = cm2 < As,mín = 1,20 cm2

2 φ 10 mm = 1,60 cm2

b3.3.3) Momento fletor máximo positivo Mk = - 1.690 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.690) = - 2.366 kN.cm

Na seção do máximo momento positivo pode-se considerar a contribuição da laje interna

para formar uma seção L, dado que a laje está comprimida:

b1 = 0,10 (0,6 . 383) = 23 cm


54

bf = bw + b1 = 20 + 23 = 43 cm

d

2f

c MdbK = = 5,24

236637.43 2

=

d

MKA dss = = 47,1

372366023,0 = cm2 > As,mín = 1,20 cm2

2 φ 10 mm = 1,60 cm2

b3.3.4) Armadura longitudinal máxima

A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que

4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, as taxas de armadura

longitudinais são pequenas e não superam a taxa de armadura máxima.

b4) Dimensionamento da armadura transversal ao esforço cortante

A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas

desenvolvidas e apresentadas na apostila de Cortante em vigas (BASTOS, 2004). Considerando que

no apoio interno não ocorre a contribuição da inclinação do banzo comprimido da treliça na direção

do apoio, a seção será dimensionada como retangular, com o Modelo de Cálculo II e ângulo θ de

38°.

b4.1) Pilar interno P2

Vk = 45,7 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 45,7 = 64,0 kN

a) Verificação das bielas de compressão

Da Tabela 2 da apostila de cortante em viga, para o concreto C25, determina-se a força

cortante última ou máxima:


VSd = 64,0 kN < VRd2 = 312,3 kN → não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da armadura transversal

Da Tabela 2, para o concreto C25, a equação para determinar a força cortante

correspondente à armadura mínima é:


0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :


55

9,5637.204,1.10

253,07,06,0dbf6,0V3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

3,559,563,3120,643,3129,56V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 0,040 . 20 . 37 . cotg 38 + 55,3 = 93,2 kN

VSd = 64,0 kN < VSd,mín = 93,2 kN→ portanto, deve-se dispor a armadura transversal mínima


wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 5622530f30f 3 23 2

ckctm ,,, === MPa

0522050

256020A mínsw ,.,., == cm2/m

A força cortante de cálculo nos pilares extremos (VSd = 49,0 kN) é também menor que a

força cortante mínima, o que significa que a armadura mínima deve se estender ao longo dos dois

vãos livres da viga.

b4.2) Detalhamento da armadura transversal

a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 200/10 ≤ 20 mm

b) Espaçamento máximo:

0,67 VRd2 = 0,67 . 312,3 = 209,2 kN

VSd,máx = 64,0 < 209,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

0,6 d = 0,6 . 37 = 22,2 cm ⇒ Portanto, s ≤ 22 cm

b5) Ancoragem da armadura longitudinal

b5.1) Armadura positiva nos pilares extremos P1 e P3

Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo

II, com VSd = 49,0 kN:

= 0,5 . 37 (cotg 38 – cotg 90) )gcotg(cotd5,0a α−θ=l

al = 23,6 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 37 = 18,5 cm

Conforme a Eq. 16 da apostila de Ancoragem, a armadura a ancorar no apoio é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= SdSd

ydcalcs NV

da

f1A l

, = 72,00,4937

6,23

15,1501

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cm2


56

A armadura positiva do vão adjacente é composta por 2 φ 10 mm, que deverão ser

obrigatoriamente estendidos até os apoios. Portanto, As,ef = 2 φ 10 = 1,60 cm2.

A armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada pelas relações:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

≤=≥

2MM e negativo M se A

41

2MM e negativoou 0M se A

31

Avão

apoioapoiovão,s

vãoapoioapoiovão,s

calc,s

Md,apoio = - 1.705 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm

Portanto, As, calc ≥ 1/4 As,vão = 1,47/4 = 0,37 cm2

As, calc = 0,72 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2 ⇒ portanto, ancorar 0,72 cm2

O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín) é:

⎩⎨⎧ φ 5,5 +

≥cm 6

rmín,bl

r = 5/2 φ = 2,5 . 1,0 = 2,5 cm (com r determinado na Tabela 1 da apostila de Ancoragem)

2,5 + 5,5 . 1,0 = 8,0 cm > 6 cm


lbe = b – c = 30 – 2 = 28 cm

Comprimento de ancoragem básico:bd

ydb f

f4φ

=l

Resistência de aderência:

fbd = η1 . η2 . η3 . fctd

com 3 2ck

cctd f3,0.7,0f

γ= = 128025

10413070 3 2 ,

.,,.,

= kN/cm2 b

c

As,ef

lbe

lb,nec

Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:

fbd = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 0,128 = 0,29 kN/cm2

73729015150

401

b ,,,,

==l cm

Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho:

0,1760,172,07,37.0,1

AA

ef,s

calc,sb1nec,b ==α= ll cm

Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem

gancho) é inferior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 17 cm < lbe = 28 cm). Isto

significa que é possível fazer a ancoragem sem gancho, no comprimento de 17 cm. A favor da

segurança pode-se estender as duas barras até próximo à face externa do pilar.


57

b5.2) Armadura positiva no pilar interno P2

Estendendo 2 φ 10 (1,60 cm2) da armadura longitudinal positiva até o pilar interno, esta

armadura deve ser superior à mínima, dada por:

Md,apoio = - 4.556 kN.cm > Md,vão/2 = 2.366/2 = 1.183 kN.cm


As,ef = 1,60 cm2 > 1/4 As,vão = 0,37 cm2

As duas barras de 10 mm devem se estender 10φ além da face do apoio, como mostrado na

Figura 36 da apostila de Ancoragem e Emendas.

b5.3) Armadura negativa nos pilares extremos P1 e P3

A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve

penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho

direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser

de 5φ, como indicado na Figura 48.

35 c

m

2φ10

35 φ

5 φ

30

40

Figura 48 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.

b6) Dimensionamento à torção

b6.1) Verificação da biela comprimida

Tk = 1.026 kN.cm TSd = 1,4 . 1026 = 1.436 kN.cm

Como a torção tem o mesmo valor máximo nos pilares, a verificação das bielas será feita

para o esforço cortante máximo na viga (pilar P2). Para não ocorrer esmagamento das bielas

comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34 deve-se ter:

1TT

VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+


58

VRd2 = 312,3 kN ⇒ força cortante máxima permitida na viga;

VSd,P2 = 64,0 kN.

Área da seção transversal: A = bw . h = 20 . 40 = 800 cm2



7,6120800

uAhe ==≤ cm com he ≥ 2 c1

c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,63 + 2,0 = 3,26 cm

he ≥ 2 . 3,26 = 6,5 cm



Ae = (bw – he) . (h – he) = (20 – 6,5) . (40 – 6,5) = 452,3 cm2

u = 2 [(bw – he) + (h – he)] = 2 [(20 – 6,5) + (40 – 6,5)] = 94 cm

O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado


TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 25/250) . (2,5/1,4) 452,3 . 6,5 . sen 2 . 38 = 2.292 kN

83,022921436

3,3120,64

=+ ≤ 1,0

Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão.

b6.2) Cálculo das armaduras

As armaduras mínimas, transversal e longitudinal para a torção são iguais à armadura

mínima para o esforço cortante (ver Eq. 32) e já foram calculadas, com valor de 2,05 cm2/m.


0285,038tg

15,1503,4522

1436tgfA2

Ts

A

ywde

Sd90,s =⋅

=θ= cm2/cm = 2,85cm2/m ≥ Asw,mín = 2,05 cm2/m


0467,038tg

15,1503,4522

1436tgfA2

Tu

A

ywde

Sds =⋅

=θ

=l cm2/cm = 4,67 cm2/m 05,2A mín,s =≥ l


59

b6.3) Detalhamento

b6.3.1) Armadura longitudinal

A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada

para cada uma das quatro faces externas da viga. As diferentes regiões com as maiores armaduras

ao longo da viga devem ser analisadas.

Pilares P1 e P3:

Face superior:


- da torção – As = (bw – he) = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cmlsA 2

- As,total = 1,06 + 0,63 = 1,69 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2)

Face inferior:


- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2

- As,total = 0,63 cm2 (esta armadura será atendida pela armadura longitudinal positiva que se

estende até o apoio - 2 φ 10 mm = 1,60 cm2)

Faces laterais:

- As,total = (h – he) = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cmlsA 2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2). Esta

armadura contribui também para evitar possíveis fissuras causadas pela retração do concreto.

Pilar P2

Face superior:


- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0468 = 0,63 cm2

- As,total = 2,95 + 0,63 = 3,58 cm2 (3 φ 12,5 = 3,75 cm2)

Face inferior:


- da torção – As = (20 – 6,5) 0,0467 = 0,63 cm2



Faces laterais:

- As,total = (40 – 6,5) 0,0467 = 1,56 cm2 (3 φ 8 mm = 1,50 cm2).


60

b6.3.2) Armadura transversal


torção. A armadura para o esforço cortante resultou igual à armadura mínima, de 2,05 cm2/m, ao

longo de toda a viga. Como a armadura para a torção supera a armadura mínima do cortante, é

suficiente considerar a armadura para torção:

0285,0s

A 90,s = cm2/cm = 2,85 cm2/m

O diâmetro do estribo deve ser superior a 5 mm e inferior a bw/10 = 200/10 = 20 mm.

Supondo estribo de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se:

0285,0s40,0

=

s = 14,0 cm < smáx = 22 cm (este espaçamento máximo vale para o cortante e para a torção).

Para a armadura mínima o espaçamento resulta:

0205,0s40,0

= → s = 19,5 cm < smáx = 22 cm

Por questão de simplicidade e a favor da segurança pode-se dispor estribos φ 5 c/14 em toda

a extensão do vão livre da viga. A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1.

b7) Detalhamento da armadura longitudinal

O deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores de cálculo foi determinado como

23,6 cm. O cobrimento deve ser feito apenas para a armadura negativa no pilar P2, já que as

armaduras positivas dos vãos têm apenas duas barras, que devem se estender até os apoios.

No item b5) do Exemplo 1 foi determinado o comprimento de ancoragem básico (67,3 cm)

para barra φ 12,5 mm, em região de má aderência e concreto C25.

A Figura 49 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para determinar o

comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa. Como a viga é simétrica o

cobrimento foi feito sobre um lado apenas.

No pilar interno P2 foi considerada a armadura calculada para a flexão (2 φ 12,5 + 1 φ 8

mm). Porém, no detalhamento final a barra φ 8 foi trocada por φ 12,5 por imposição da área

necessária à torção. A armadura positiva, composta por apenas 2 φ 10 mm, é estendida até os dois

apoios.


61

AA

1 φ 8

2 φ 12,5

al

centro do pilar2 φ 10

face externa do pilar

B

l = 78

102

10 φ

126

laal

2 φ 10

l = 78

b

b

B

A

l = 63b

10 φ

95

Figura 49 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.

A Figura 50 mostra o detalhamento final das armaduras da viga V1. As barras N6 foram

estendidas até as faces do pilar interno com o propósito de melhorar a ancoragem dessas barras,

dado que elas trabalham também à torção.

N1- 26 c/14 N1- 26 c/14

1 N4

2 x 3 N5

2 N640 40

N4 - 1 φ 12,5 C = 210

N3 - 2 φ 12,5 C = 250

105N2 - 2φ10 C = 35235

10

P1

N6 - 2 φ 10 C = 417

N5 - 2 x 3 φ 8 CORR

105

125

P2

N2 - 2φ10 C = 352

N6 - 2 φ 10 C = 417

A

A

125

35

N1 - 52 φ 5 mm C=114

10

36

2 N3

P3

16

V 1 (20 x 40)



62

12.3 EXEMPLO 3

As Figuras 51, 52 e 53 mostram a estrutura em três dimensões, a planta de fôrma e um corte

esquemático da estrutura de concreto de uma construção com dois pavimentos. Essa estrutura já

teve a viga VS1 calculada e mostrada na apostila de “Vigas de Edifícios” (BASTOS, 2004). Agora,

a viga VS1 teve seu traçado modificado com o objetivo de introduzir esforços de torção, para este

terceiro exemplo numérico de aplicação.

Para as vigas VS1 e VS6 pede-se projetar e detalhar as suas armaduras. São conhecidos:

concreto C20, aço CA-50 A, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3, γcontr = 21

kN/m3, γconc = 25 kN/m3, γalv = 13 kN/m3.

OBSERVAÇÕES:

a) há uma parede de vedação em toda a extensão das vigas, constituída por blocos cerâmicos

de oito furos (dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e altura variável em

função da altura das vigas;

b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2;

c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2;

d) piso cerâmico sobre as lajes, com γpiso = 0,15 kN/m2.

Figura 51 – Perspectiva da estrutura.


63

VS3 (19 x 60)

P7

P4

VS

4 (1

9 x

45)

523

19/30

19/30P8

719

19/30

VS

5 (1

9 x

45)

P5

P9 19/19

VS

6 (1

9 x

60)

P6 19/30

389719

P1

523

VS2 (19 x 70)

19/19

VS1 (19 x 60)

330

19/30

45

16

P219/30P3

284

71919/19

Figura 52 – Planta de fôrma do pavimento superior com as vigas VS1 e VS6.

300 255

VB1 (19 x 30)30

70019

300

305,5

tramo 2

60

VS1 (19 x 60)

tramo 1

19/19P1

240

60

19

19/30P2

VC1 (19 x 60)

19/30P3

tramo 3

VS6

Figura 53 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1.


64

RESOLUÇÃO

Todas as vigas do pavimento superior serão representadas em um modelo de grelha, para

assim se determinarem os esforços e deslocamentos. As vigas serão consideradas vinculadas aos

pilares extremos por meio de engastes elásticos.

Devido à mudança de direção que ocorre nas vigas VS1 e VS6 surgirão esforços de torção

nessas vigas entre os pilares P3 e P6.

a) Vãos efetivos

a1) Lajes

O vão efetivo da laje pré-fabricada é de centro a centro dos apoios dos trilhos ou nervuras,

portanto, igual a 523 cm.

a2) Vigas

Por simplicidade e como o erro cometido será pequeno e a favor da segurança, na

discretização da grelha os apoios verticais (pilares) serão considerados no centro geométrico dos

pilares. Essa simplificação leva a vãos um pouco maiores que aqueles que resultariam caso se

considerassem os vão efetivos.

b) Estimativa da altura das vigas

A largura das vigas foi adotada igual à dimensão do bloco cerâmico de oito furos assentado

na posição deitada, ou seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa

da viga VS1 foi aplicada a equação:

9,5912719

12h ef ===

l cm ∴ h = 60 cm

A viga VS6 terá a mesma seção transversal da VS1, isto é, 19 x 60 cm.

Como as vigas têm lajes apoiadas em toda as suas extensões, a estabilidade lateral delas está

garantida.

c) Cargas na laje e nas vigas

Como se pode observar na Figura 52, há a atuação da carga de uma laje pré-fabricada sobre

a viga VS1, pois as nervuras da laje nela se apóiam. Na viga VS6 a laje aplica apenas uma pequena

parcela de carga, dado que as nervuras da laje não se apóiam nessa viga.


65

c1) Lajes

Para a laje de piso do pavimento superior, considerou-se a laje do tipo pré-fabricada

treliçada, com altura total de 16 cm, peso próprio de 2,33 kN/m2. A carga total por m2 da área da

laje é:

- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m2

- revestimento teto: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2

- contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2

- piso: gpiso = 0,15 kN/m2

- ação variável: q = 2,00 kN/m2

CARGA TOTAL: p = 5,40 kN/m2

c2) Viga VS1

Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua

extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com espessura final de 23 cm

e altura de 2,40 m), de uma laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2, e o peso próprio da

viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), a carga externa total atuante nos vãos entre os pilares

P1 e P3 é:

- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m

- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m

- laje: glaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m

CARGA TOTAL: p = 24,15 kN/m

No vão onde ocorre a mudança de direção, entre o pilar P3 e a viga VS6, a carga da laje na

VS1 foi diminuída proporcionalmente à diminuição do comprimento das nervuras da laje. O vão

entre o P6 e a VS6 foi dividido ao meio para separar dois trechos de carga, com as nervuras da laje

tendo os comprimentos médios de 474 cm e 341 cm. A carga da laje foi calculada segundo esses

comprimentos médios (Figura 54).


66

474

285

P3 19/30P2 19/30

474 389

19/30P6P5 19/30

341

523

Figura 54 – Comprimentos médios considerados para as nervuras da laje no final da viga VS1.

c3) Viga VS6

A carga da laje na viga foi calculada como sendo a correspondente à metade da largura da

lajota (30 cm). A carga atuante na viga VS6 é:

- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m

- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m

- laje: glaje = 5,40 . (0,30/2) = 0,81 kN/m

CARGA TOTAL: p = 10,84 kN/m

d) Modelo de grelha para as vigas do pavimento

Os apoios internos das vigas podem ser considerados como apoios simples, pois de acordo

com o esquema mostrado na Figura 55, tem-se:

le = 300 cm (comprimento de flambagem do pilar)

le/4 = 300/4 = 75 cm

bint = 19 cm < le/4 = 75 cm ⇒ ∴ considerar apoio simples.

A NBR 6118/2004 considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com

os pilares extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, as vigas serão consideradas

vinculadas aos pilares extremos por meio de molas (engastamento elástico). No pilar P3 não se

considerou a mola devido à continuidade das vigas VS1 e VS6 neste pilar.


67

Para determinação dos esforços solicitantes na grelha pode ser utilizado qualquer programa

computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado GLAN4, de

CORRÊA et al. (1992). Na Figura 55 mostra-se o modelo de grelha representativo do pavimento

superior, com a numeração dos nós e das barras. Os números externos ao modelo são as

propriedades das barras. No total são 16 nós e 19 barras. Alguns nós no meio das barras não são

necessários ao modelo; foram introduzidos apenas para fornecerem uma indicação das flechas nas

vigas.

19

18

14

15

1

2 3 4

5

11

106 7 8 9

12

16151413

13

1211109

5

1

6

2

7

3

8

4

17

16 x

y

13

1

3

2

1

44

Figura 55 – Numeração dos nós e barras da grelha.

d1) Rigidez da mola

A rigidez da mola é avaliada por: Kmola = Kp,sup + Kp,inf

Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal

dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem:

Kp,sup = Kp,inf = e

EI4l

A rigidez da mola vale portanto: e

molaEI8K

l=

O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser

avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2003, item 8.2.8):

Eci = 5.600 fck1/2 = 5.600 . 201/2 = 25.044 MPa = 2504,4 kN/cm2



68

Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2

O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P1, P7 e P9 é:

Ip,sup = Ip,inf = 860.101219.19

12hb 33

== cm4

Rigidez da mola:

e

molaEI8K

l= = 476.616

30010860.7,2128.8

= kN.cm

O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P4 e P6 é:

Ip,sup = Ip,inf = 148.1712

19.3012hb 33

== cm4

Rigidez da mola:

e

molaEI8K

l= = 384.973

30017148.7,2128.8

= kN.cm

O momento de inércia dos lances inferior e superior dos pilares P2 e P8 é:

Ip,sup = Ip,inf = 750.4212

30.1912hb 33

== cm4

Rigidez da mola:

e

molaEI8K

l= = 718.426.2

30042750.7,2128.8

= kN.cm

d2) Arquivo de dados

Para o arquivo de dados da grelha seguiram-se as recomendações contidas no manual de

utilização do programa GPLAN4 e na publicação de BASTOS (2004). Para o módulo de

elasticidade do concreto adotou-se o valor de 2128 kN/cm2 e para o módulo de deformação

transversal o valor de 480 kN/cm2. Nas barras com mudança de direção (12, 13 e 14) é necessário

considerar o momento de inércia à torção. Nas demais barras, sem torção, apenas um valor pequeno

deve ser adotado (100).

O arquivo de dados de entrada para o programa GPLAN4 tem o aspecto:

OPTE,0,2,0,0,2, TORCAO EXEMPLO 3 - COM MOLAS GRELHA PAV. NOGP 1,5,1,0,0,1438,0, 6,10,5,0,523,1438,523, NOGL 11,12,1,1438,807,1244,925,


69

13,15,1,0,1046,719,1046, NO 16,1049,1046, RESG 1,5,4,1,2,2,0,616476,616476, 6,10,4,1,0,2,0,0,973384, 3,15,12,1,2,0,0,2426718, RES 13,1,2,2,0,616476,616476, 8,1, 16,1, BARG 1,4,1,1,1,2,1,1,1, 5,8,1,6,1,7,1,2,1, 9,11,1,13,1,14,1,1,1, 12,13,1,16,-4,12,-1,3,1, 16,17,1,1,5,6,7,4,1, 18,19,1,3,5,8,7,4,1, BAR 14,11,10,3,1, 15,10,5,1,1, PROP 1,1,1140,342000,100,60, 2,1,1330,543083,100,70, 3,1,1140,342000,109647,60, 4,1,855,144281,100,45, MATL 1,2128,480, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-.2415,1, 5,8,1,1,-.3844,1, 9,11,1,1,-.2415,1, 14,15,1,1,-.1084,1, 16,17,1,1,-.1057,1, 18,19,1,1,-.1138,1, CBR 12,1,-.2283,1, 13,1,-.1926,1, FIMC FIME

d3) Esforços solicitantes

As Figuras 56 e 57 mostram os diagramas de forças cortantes, de momentos fletores e de

momentos torçores (valores característicos máximos) obtidos no programa GPLAN4 para as vigas

VS1 e VS6, respectivamente. A listagem dos resultados calculados pelo programa encontra-se nos

Anexos.

A flecha calculada pelo programa para os nós 2 (0,43 cm), 7 (0,44 cm), 14 (0,60 cm), 11

(1,04 cm) e 12 (0,69 cm), embora não sendo as flechas máximas da viga, servem como indicativos

da deslocabilidade da viga. A maior flecha, de 1,04 cm no nó 11 ainda é inferior à máxima

permitida pela NBR 6118/2004.


70

74,2

99,5

66,2 58,2

13,5 37,9P1 P2P3

Barras 12 e 13

V (kN)k

M (kN.cm)

Barras 12 e 13

2101

1721P1

9638

P2

10810

P3

k

1790

1918

5636

+

-

+

Barras 12 e 13

P2 P3 1099

T (kN.cm)

k

~325

~130

Figura 56 – Diagrama de esforços característicos na viga VS1.

2,454,3

68,737,9

P9P6 Barra 14

V (kN)k

M (kN.cm)372

P9 P6

13188

k1940+

-

T (kN.cm)

k

Barra 14~ 416

P9 1059

P6

Barra 14

1059

Figura 57 – Diagrama de esforços característicos na viga VS6.


71

Com relação aos momentos fletores positivos é importante analisar os vãos entre os pilares

P2 e P3 da viga VS1 e o vão entre os pilares P9 e P6 da viga VS6.

Na Figura 58 encontra-se o esquema para obtenção do momento fletor máximo positivo na

viga VS1.

24,15 kN/m

1 1 2

330

Figura 58 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barra para obtenção do

momento positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS1.

O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo

e a listagem dos resultados encontra-se nos Anexos. OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II - TORCAO MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,330,0, RES 1,1,1,1, 2,1,1, BAR 1,1,2,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBR 1,1,-0.2415,1, FIMC FIME

O máximo momento positivo para o esquema mostrado na Figura 58, conforme o arquivo de

dados acima, resultou 1.840 kN.cm. Esse momento positivo deve ser considerado no

dimensionamento do vão, que no modelo de grelha apresentou somente momentos negativos.

Para verificação do máximo momento positivo na viga VS6 será calculado o momento

considerando o vão engastado no pilar P6 e com engaste elástico no pilar P9 (Figura 59). Na rigidez

da mola do engaste elástico será considerado apenas o lance inferior do pilar, considerando que o

lance superior do pilar ainda não esteja construído.

O momento de inércia do lance inferior do pilar P9 é:


72

Ip,sup = Ip,inf = 860.101219.19

12hb 33

== cm4

Rigidez da mola:

e

molaEI4K

l= = 238.308

30010860.7,2128.4

= kN.cm

10,84 kN/m

1 1

y

2 x

523

Figura 59 – Esquema estático, carregamento e numeração dos nós e barras para obtenção do momento positivo considerando engaste no apoio interno da viga VS6.

O arquivo de dados de entrada para o programa PPLAN4 tem o aspecto apresentado abaixo

e a listagem dos resultados encontra-se nos Anexos.

OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II - TORÇÃO MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 6 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,523,0, RES 1,1,2,0,308238, 2,1,1,1, BAR 1,1,1,2,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBR 1,1,-0.1084,1, FIMC FIME

O máximo momento positivo para o esquema mostrado na Figura 59, conforme o arquivo de

dados acima, resulta 2.023 kN.cm. Esse momento é superior aos momentos fletores positivos

obtidos para o vão considerado e foi considerado no dimensionamento da armadura do vão.

e) Armadura mínima de flexão

Para a seção transversal 19 x 60 cm a armadura mínima de flexão é:



73


000.34212

60.1912hbI

33=== cm3

400.1130


Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2.617 kN.cm


d

2w

c MdbK = = 0,22

261755.19 2


dMKA d

ss = = 09,155

2617023,0 = cm2



As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2 > 1,09 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2)

f) Armadura de pele





As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2

4 φ 4,2 mm = 0,56 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura.

g) Dimensionamento das armaduras da viga VS1

Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais, para M, V e T.

g1) Armadura longitudinal de flexão

Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores

máximos, positivos e negativos.


74

g1.1) Momento fletor negativo

g1.1.1) Apoio interno P2

Mk = - 10.810 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (-10.810) = - 15.134 kN.cm

Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm:

d

2w

c MdbK = = 9,3

1513456.19 2

=


βx = x/d = 0,30 ≤ 0,50, Ks = 0,026 e domínio 3.

d

MKA dss = = 03,7

5615134026,0 = cm2

6 φ 12,5 mm = 7,50 cm2

he

6 φ 12,5

A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25

mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5

mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:

( )[ ] 033

25145002219eh ,,.,,=

++−= cm


g1.1.2) Apoio interno P3

Neste pilar, devido aos esforços de torção, ocorrem dois diferentes valores para o momento

fletor negativo. O cálculo será feito para o maior valor, de 2.101 kN.cm.

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 2.101) = - 2.941 kN.cm

d

2w

c MdbK = = 0,21

294157.19 2

=


βx = x/d = 0,05, Ks = 0,024 e domínio 2.

d

MKA dss = = 24,1

572101024,0 = cm2 < As,mín

(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm)

2φ10

g1.1.3) Apoio extremo P1

Mk = - 1.721 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.721) = - 2.409 kN.cm


75

Md = 2.409 < Md,mín = 2.617 kN.cm

∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm

2φ10

g1.1.4) Momento fletor positivo entre os pilares P1 e P2

Mk = 9.638 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . 9.638 = 13.493 kN.cm

Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de

espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da

seção T, de modo que a viga é então calculada como seção retangular.

d

2w

c MdbK = = 6,4

1349357.19 2

=


βx = x/d = 0,25 < 0,50, Ks = 0,026 e domínio 2.

d

MKA dss = = 15,6

5713493026,0 = cm2

3 φ 16 = 6,00 cm2 ou

5 φ 12,5 = 6,25 cm2 (escolha indicada para

construções de pequeno porte).

5 φ 12,5

g1.1.5) Momento fletor positivo entre os pilares P2 e P3

Mk = 1.841 kN.cm

(ver listagem de resultados nos Anexos)

Md = 1,4 . 1841 = 2.577 kN.cm < Md,mín = 2.617

∴As = As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm

2 φ 10

g1.1.6) Momento fletor positivo à direita do pilar P3

Mk = 5.636 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . 5.636 = 7.890 kN.cm


76

d

2w

c MdbK = = 8,7

789057.19 2

=


βx = x/d = 0,14 < 0,50, Ks = 0,024 e domínio 2.

d

MKA dss = = 32,3

577890024,0 = cm2

3 φ 12,5 = 3,75 cm2

3 φ 12,5

g2) Armadura transversal ao esforço cortante

O dimensionamento ao esforço cortante será feito com as equações simplificadas

apresentadas na apostila de Cortante em vigas, de BASTOS (2004). Sendo a seção retangular será

considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°. O cálculo está apresentado apenas para o

cortante máximo na viga VS1; para as demais forças cortantes a armadura está apenas indicada.

g2.1) Pilar interno P2

Vk = 99,5 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 99,5 = 139,3 kN

g2.1.1) Verificação das bielas de compressão

Para o concreto C20 determina-se a força cortante última ou máxima:



g2.1.2) Cálculo da armadura transversal

Para o concreto C20 a equação para determinar a força cortante correspondente à armadura

mínima é:


0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :

6,7056.194,1.10

203,07,06,0dbf6,0V3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

2,546,705,3663,1395,3666,70V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 9,1012,5438gcot.56.19.035,0 =+ kN


77

→=>= kN9,101V3,139V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd

Da equação para Asw na Tabela 2 da apostila de cortante em vigas (concreto C20):

Asw = ( )θ

−gcot.dVV55,2 1cSd = ( ) 03,3

38gcot.562,543,13955,2 =

− cm2/m


wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 21,2203,0f3,0f 3 23 2

ckctm === MPa

68,119.50

221,0.20A mín,sw == cm2/m

Como Asw = 3,03 cm2/m > Asw,mín = 1,68 cm2/m ⇒ deve-se dispor a armadura calculada.

g2.1.3) Detalhamento da armadura transversal



0,67 VRd2 = 0,67 . 366,5 = 245,6 kN

VSd = 139,3 < 245,6 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm

- Espaçamento transversal entre os ramos do estribo:

0,20 VRd2 = 0,20 . 366,5 = 73,3 kN

VSd = 139,3 > 73,3 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm

0,6 d = 0,6 . 56 = 33,6 cm ⇒ Portanto, s ≤ 33,6 cm

g2.1.4) Detalhamento da armadura transversal

Pilar P2 (Asw = 3,03 cm2)

Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm =

0,20 cm2), tem-se:

0303,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0303,0s40,0

= ⇒ s = 13,2 cm ≤ smáx = 30 cm

Armadura Mínima (Asw,mín = 1,68 cm2)

Para a armadura mínima de 1,68 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

0168,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0168,0s40,0

= ⇒ s = 23,8 cm ≤ smáx = 30 cm

Para as demais forças cortantes ao longo da viga VS1 as armaduras transversais são

mostradas na Tabela 2. Como as forças cortantes são pequenas, resulta a armadura mínima. Apenas


78

no lado esquerdo do pilar P2 e no trecho com mudança de direção a armadura transversal será maior

que a mínima.

Tabela 2 – Forças cortantes e armaduras ao longo da viga VS1.

Pilar Vk (kN) VSd (kN) Asw (cm2/m) P1 74,2 103,9 1,70 P2 66,2 92,3 1,68 P3 58,2 81,5 1,68 P3 13,5 18,9 1,68

Intersecção VS6 37,9 53,1 1,68

g3) Ancoragem das armaduras longitudinais

g3.1) Armadura positiva no pilar extremo P1

Vk = 74,2 kN VSd = 1,4 . 74,2 = 103,9 kN

Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo

II:

= 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90) )gcotg(cotd5,0a α−θ=l

al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm

Conforme a Eq. 16 da apostila de Ancoragem, a armadura a ancorar no apoio é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= SdSd

ydcalcs NV

da

f1A l

, = 53,19,10357

5,36

15,1501

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cm2

A armadura positiva do vão adjacente é composta por 5 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 mm

posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios.

Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2.

A armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

≤=≥

2MM e negativo M se A

41

2MM e negativoou 0M se A

31

Avão

apoioapoiovão,s

vãoapoioapoiovão,s

calc,s

Md,apoio = - 2.409 kN.cm < Md,vão/2 = 13.493/2 = 6.747 kN.cm


As, calc = 1,53 cm2 < 1/3 As,vão = 2,05 cm2 ⇒ portanto, ancorar 2,05 cm2

O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín) é:

⎩⎨⎧ φ 5,5 +

≥cm 6

rmín,bl


79

r = 5/2 φ = 2,5 . 1,25 = 3,1 cm (com r determinado na Tabela 1 na apostila de Ancoragem)

3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm


lbe = b – c = 19 – 2 = 17 cm

Comprimento de ancoragem básico:

bd

ydb f

f4φ

=l

Resistência de aderência:

fbd = η1 . η2 . η3 . fctd

com 3 2ck

cctd f3,0.7,0f

γ= = 11,020

10.4,13,0.7,0 3 2 = kN/cm2

b

c

As,ef

lbe

lb,nec

Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:

fbd = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 0,11 = 0,25 kN/cm2

6,5425,015,150

425,1

b ==l cm

Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho:

8,4450,205,26,54.0,1

AA

ef,s

calc,sb1nec,b ==α= ll cm

Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem

gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 44,8 cm > lbe = 17 cm). Isto

significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é

fazer o gancho. O comprimento de ancoragem necessário, com gancho é:

cm 3,318,44.7,0g,nec,b ==l

Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o

comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (lb,nec,g = 31,3

cm > lbe = 17 cm).

A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr,

como definido pela Eq. 19 da apostila de Ancoragem e Emendas (BASTOS, 2004), ou colocar

grampos:

calc,sbbe

bcorr,s A

3,0A

ll

l

+= = 35,305,2

6,54.3,0176,54

=+

cm2


80

Entre vários arranjos possíveis para atender a armadura corrigida, pode-se estender uma

terceira barra das cinco da armadura positiva no vão, o que leva a As,ef = 3 φ 12,5 = 3,75 cm2, o que

atende à armadura necessária.

Como exemplo, caso se optasse pela colocação direta de grampos, a área de grampos seria:

gr,bgrbe

gr,b

b

bgrbeef,scalc,sgrampo,s 3,0

3,0AAA

ll

l

l

ll

+φ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +φ−−=

Comprimento de ancoragem básico dos grampos, supondo diâmetro de 6,3 mm:

4,2725,0.415,1

5063,0

ff

4 bd

ydgr,b ==

φ=l cm

Supondo a armadura efetiva composta por 2 φ 12,5 = 2,50 cm2 (com ganchos), a área para os

grampos resulta:

61,04,27.3,063,017

4,276,54

6,54.3,063,01750,205,2A grampo,s =+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−= cm2

Área da armadura total a ancorar: 2,50 + 0,61 = 3,11 cm2. Armadura efetiva (escolhida): 2 φ

12,5 + 2 φ 6,3 (1 grampo) = 3,13 cm2. O detalhe da ancoragem está mostrado na Figura 60.

Grampo

95 φ = 60 cmgr

2 cm

2 φ 12,5

2,0

16,419

10

Figura 60 – Detalhe da ancoragem nos pilares extremos.

g3.2) Armadura positiva nos pilares internos

Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura

mínima e estender 10φ além da face do apoio.


81

g3.3) Armadura negativa no pilar extremo P1

A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve

penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho

direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser

de 5φ, como indicado na Figura 61.

35

φ

5 φ

35 c

m2 φ 10

Figura 61 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.

g4) Dimensionamento à torção

g4.1) Verificação da biela comprimida

Tk = 1.099 kN.cm TSd = 1,4 . 1.099 = 1.539 kN.cm

Para não ocorrer esmagamento das bielas comprimidas de concreto, conforme a Eq. 34

deve-se ter:

1TT

VV

2Rd

Sd

2Rd

Sd ≤+

VRd2 = 366,5 kN ⇒ esforço cortante máximo permitido na viga;

VSd,máx = 81,5 kN.

Área da seção transversal: A = bw . h = 19 . 60 = 1140 cm2



2,7158

1140uAhe ==≤ cm com he ≥ 2 c1

c1 = φl /2 + φt + cnom = 1,25/2 + 0,5 + 2,0 = 3,125 cm

he ≥ 2 . 3,125 = 6,25 cm



82


Ae = (bw – he) . (h – he) = (19 – 7) . (60 – 7) = 636 cm2

O momento torçor máximo, determinado pela Eq. 23, com ângulo θ (38°) igual ao aplicado


TRd,2 = 0,5 αv2 fcd Ae he sen 2 θ = 0,5 (1 – 20/250) . (2,0/1,4) 636 . 7,0 . sen 2 . 38 = 2.838,7 kN

Aplicando os valores na Eq. 34 fica:

76,07,28380,1539

5,3665,81

=+ ≤ 1,0

Como a equação foi satisfeita não ocorrerá o esmagamento das bielas de compressão.

g4.2) Cálculo das armaduras

As armaduras mínimas, transversal e longitudinal, já foram calculadas no dimensionamento

da viga ao cortante, e valem 1,68 cm2/m.


0217,038tg

15,1506362

1539tgfA2

Ts

A

ywde

Sd90,s =⋅

=θ= cm2/cm = 2,17 cm2/m ≥ Asw,mín = 1,68 cm2/m


0356,038tg

15,1506362

1539tgfA2

Tu

A

ywde

Sds =⋅

=θ

=l cm2/cm = 3,56 cm2/m 68,1A mín,s =≥ l

g4.3) Detalhamento

g4.3.1) Armadura longitudinal

A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculada

para cada uma das quatro faces da viga.

Pilar P3:

Face superior:



- As,total = 1,24 + 0,43 = 1,67 cm2 (2 φ 10 = 1,60 cm2)

Face inferior:




83


estende até o apoio - 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2)

Faces laterais:

- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). Esta armadura

deverá se estender do pilar P3 até a intersecção com a viga VS6; a armadura contribui também para

evitar possíveis fissuras por retração do concreto.

Região do máximo momento positivo

Face superior:


- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2

- As,total = 0,43 cm2 (2 φ 8 = 1,00 cm2)

Face inferior:


- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2

- As,total = 3,32 + 0,43 = 3,75 cm2 (3 φ 12,5 mm = 3,75 cm2)

Faces laterais:

- As,total = (h – he) Asl = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2).

g4.3.2) Armadura transversal


torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P3 e a interseção com a viga VS6

resultou na armadura mínima, de 1,68 cm2/m. Como a armadura para a torção supera a armadura

mínima do cortante, é suficiente considerar a armadura para torção:

0217,0s

A 90,s = cm2/cm = 2,17 cm2/m

O diâmetro mínimo para o estribo à torção é de 5 mm. Supondo estribo fechado de dois

ramos com diâmetro de 5 mm tem-se:

0217,0s40,0

= → s = 18,4 cm < smáx = 30 cm

Na Figura 63 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1.


84

g5) Detalhamento da armadura longitudinal

Segundo o modelo de cálculo II o deslocamento (al) do diagrama de momentos fletores

resultou 36 cm. O comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má

aderência e concreto C20 já foi calculado e vale 78 cm.

A Figura 62 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para

determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa.

120

A

B

12,5

bl54

10 φ

12,510 φ

143

234

2 φ 12,5

2 φ 12,5

B

A10 φ12,5

12,510 φ

54bl

61

151

2 φ 10 2 φ 12,5

2 φ12,5

2 φ 12,5

12,5

12,5

78

78

78

12,5

114

152

194

78

12,5

12,5

78

114

196

78

12,5

114

10

62

1 φ 12,5

12,5

79

12,5

370

2 φ 12,5

1 φ 12,5

Figura 62 – Cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo da viga VS1.

A Figura 63 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito

comumente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito

normalmente na escala de 1:25 ou 1:20.


85

2N64N74N7

1N9

2N102N12

15

56

N1 - 72 φ 5 C = 152

2N5

30

P1 P2 P3

VS6

N1 - 25 c/18

N1 - 13 c/23N1 - 8 c/13

N1 - 26 c/23104

40120 50

N2 - 2 φ 10 C = 60635 N3 - 2 φ 12,5 C = 660N4 - 2 φ 8 C = 414

40

195

N5 - 2 φ 12,5 C = 345150 195

N6 - 2 φ 12,5 C = 230 (2° cam)115 115

N7 - 2 x 4 φ 4,2 C = 1056

N9 - 1 φ 12,5 C = 343 (2° cam)

N10 - 2 φ 12,5 C = 528

N12 - 2 φ 12,5 C = 742 N13 - 2 φ 10 C = 340

10

30

N8 - 2 x 4 φ 8 C = 501

30

N11 - 1 φ 12,5 C = 361N14 - 2 φ 12,5 C = 511

40

N15 - 1 φ 6,3 C = 134

14

60

140

150 235

60 80

VS 1 (19 x 60)2N3

Figura 63 – Desenho final com a armadura da viga VS1.

h) Dimensionamento das armaduras da viga VS6

Serão dimensionadas as armaduras longitudinais e transversais para os esforços de M, V e T.

h1) Armadura longitudinal de flexão

Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores

máximos, positivos e negativos.

h1.1) Apoio interno P6

Mk = - 13.188 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 13.188) = - 18.463 kN.cm

Para a altura da viga de 60 cm será adotada a altura útil de 56 cm:

d

2w

c MdbK = = 2,3

184635,55.19 2

=


βx = x/d = 0,38 ≤ 0,50, Ks = 0,027 e domínio 3.

d

MKA dss = = 98,8

5,5518463027,0 = cm2

he

7 φ 12,5


86

7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2

Deve-se ter βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d = 0,38 o limite está satisfeito, o que

deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção.

A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25

mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5

mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:

( )[ ] 033

25145002219eh ,,.,,=

++−= cm


h1.2) Momento positivo na extremidade da viga

Mk = 1.940 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (1.940) = 2.716 kN.cm

d

2w

c MdbK = = 7,22

271657.19 2

=

Da Tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,024 e dom. 2.

d

MKA dss = = 14,1

572716024,0 = cm2 < As,mín

(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm)

2φ10

h1.3) Momento fletor positivo entre os pilares P6 e P9

Mk = 2.023 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . 2.023 = 2.832 kN.cm

d

2w

c MdbK = = 8,21

283257.19 2

=

Da Tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,024.

d

MKA dss = = 19,1

572832024,0 = cm2 < As,mín

(As,mín = 1,71 cm2 → 2 φ 10 mm) 2 φ 10

h2) Armadura transversal ao esforço cortante

Na viga VS6 o esforço cortante máximo é VSd = 96,2 kN, valor menor que a força cortante

mínima, o que leva à armadura transversal mínima (Asw,mín = 1,68 cm2/m – estribo φ 5 c/ 23 cm) na

viga.


87

h3) Ancoragem das armaduras longitudinais

O esforço cortante no pilar P9 é pequeno (2,4 kN) e existe também um pequeno momento

fletor positivo (372 kN.cm). A armadura mínima de flexão do vão adjacente (2 φ 10 mm) é

suficiente para resistir a este momento. A favor da segurança deve-se ancorar as duas barras no pilar

P9 fazendo-se o gancho.

h4) Armadura positiva no pilar interno

Nos pilares internos a ancoragem da armadura longitudinal positiva deve atender a armadura

mínima e estender 10φ além da face do apoio.

h5) Dimensionamento à torção

h5.1) Verificação da biela comprimida

Tk = 1.059 kN.cm TSd = 1,4 . 1.059 = 1.483 kN.cm

Este momento torçor é um pouco menor e muito próximo daquele encontrado para o trecho

final da viga VS1 (Td = 1.539 kN.cm). Desse modo, como a seção transversal é a mesma, será

adotada a mesma armadura de torção calculada para a viga VS1.

Estribos: 0217,0s

A 90,s = cm2/cm = 2,17 cm2/m ≥ Asw,mín = 1,68 cm2/m

Armadura longitudinal: 0356,0u

As =l cm2/cm = 3,56 cm2/m cm68,1A mín,s =≥ l2/m

h5.2) Detalhamento

h5.2.1) Armadura longitudinal

A área total de armadura é obtida pela soma das armaduras de flexão e de torção, calculadas

para cada uma das quatro faces externas da viga.

Face superior:


- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2

- As,total = 8,98 + 0,43 = 9,41 cm2 (7 φ 12,5 + 1 φ10 = 9,55 cm2)

Face inferior:


- da torção – As = (19 – 7) 0,0356 = 0,43 cm2



Faces laterais:


88

- As,total = (60 – 7) 0,0356 = 1,89 cm2 (4 φ 8 mm = 2,00 cm2). Esta armadura deverá se

estender do pilar P6 até a intersecção com a viga VS1.

h5.3.2) Armadura transversal


torção. A armadura para o esforço cortante máximo entre o pilar P6 e a interseção com a viga VS1

resultou na armadura mínima, de 1,68 cm2/m. Como a armadura para a torção supera a armadura

mínima do cortante, é suficiente considerar a armadura para torção:

0217,0s

A 90,s = cm2/cm = 2,17 cm2/m

Supondo estribo fechado de dois ramos com diâmetro de 5 mm tem-se:

0217,0s40,0

= s = 18,4 cm < smáx = 30 cm

Na Figura 65 encontra-se mostrado o detalhamento final das armaduras da viga VS1.

h6) Detalhamento da armadura longitudinal

Como já calculado o deslocamento do diagrama de momentos fletores de cálculo é 36 cm. O

comprimento de ancoragem básico para barras φ 12,5 mm em situação de má aderência e concreto

C20 é 78 cm.

A Figura 64 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo, feito para

determinação do comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e negativa.

A

B

A

B

A

B

12,5

78

78

12,578

12,5

78

12,578

12,5

12,5

167

272

463

137

205

284

2 φ 12,5

2 φ 12,5

3 φ 12,5

Figura 64 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.


89

A Figura 65 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito

normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito

normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento

final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.

4N7

40

205 15

2N9

3N4

4N7

2N3

1N5

2N2

VS 6 (19 x 60)

P9 P6 VS1

56140170

N9 - 2 φ 10 C = 339

N7 - 2 x 4 φ 8 C = 329

N5 - 1 φ 10 C = 299 (2° cam)

N4 - 3 φ 12,5 C = 310 (2° cam)

10

N6 - 2 x 4 φ 4,2 C = 535

N8 - 2 φ 10 C = 545

30

40

N1 - 37 φ 5 mm C = 152

N3 - 2 φ 12,5 C = 475

N1 - 15 c/ 18N1 - 22 c/ 23

40 N2 - 2 φ 12,5 C = 895

270

Figura 65 – Desenho com a armadura final da viga VS6.

14. QUESTIONÁRIO

1ª) Comente sobre os casos mais comuns de torção nas construções.

2ª) O que são torção de equilíbrio e torção de compatibilidade? Cite exemplos.

3ª) Qual o valor do momento de torção solicitante no caso de viga biengastada sob solicitação de

torção externa uniforme no vão?

4ª) O que é torção de St. Venant?

5ª) Para uma seção circular, mostre numa figura como se configuram as tensões principais devidas à

torção.

6ª) E como se configuram as tensões de cisalhamento devidas à torção?

7ª) Qual a equação que define a tensão de cisalhamento devida à torção para uma seção vazada?

8ª) Indique numa figura o que é a área Ae e o perímetro u.


90

9ª) Verifique a eficiência alcançada pela viga em função dos diferentes arranjos para a armadura.

10ª) Por que uma viga de concreto armado retangular pode ser analisada à torção como se fosse oca

e com espessura da casca constante?

11ª) Por que pode-se fazer uma analogia da viga sob torção com uma treliça espacial?

12ª) Como se configura a treliça espacial generalizada?

13ª) Como se configuram as trajetórias das fissuras numa viga sob torção e flexão?

14ª) Explique resumidamente quais são as formas de ruptura de uma viga por torção.

15ª) Estude a dedução das equações desenvolvidas para a treliça espacial generalizada.

16ª) Como a norma define a espessura da casca da seção vazada?

17ª) Qual é a resistência proporcionada pelas diagonais comprimidas de concreto?

18ª) Como são as equações que definem as armaduras para a torção?

19ª) No caso de torção combinada com cortante, como se verifica a biela de concreto comprimido?

20ª) Qual o objetivo de se dispor uma armadura mínima à torção?

21ª) Como é calculada a armadura mínima para a torção?

22ª) Qual o diâmetro mínimo e máximo para os estribos? Qual é o espaçamento máximo?

23ª) Por que os estribos para torção não podem ser abertos?

24ª) Como deve ser feita a distribuição da armadura longitudinal nas faces da viga?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento - NBR 6118, versão corrigida, Rio de Janeiro, ABNT, mar/2004, 170p. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 70p. BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 42p. BASTOS, P.S.S. Vigas de edifícios. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, abr/2004, 43p. BASTOS, P.S.S. Programa GPLAN3 – Diretrizes para o desenvolvimento de modelos de grelhas. Disciplina 1365 – Estruturas de Concreto IV. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, set/1995, 26p.


91

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. Model Code 1990, MC-90, CEB-FIP, Bulletin D’Information n. 204, Lausanne, 1991. CORRÊA, M.R.S. ; RAMALHO, M.A. ; CEOTTO, L.H. Sistema PPLAN4/GPLAN4 – Manual de utilização. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1992, 80p. GIONGO, J.S. Concreto armado: Vigas submetidas a esforços de torção. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1996, 40p. LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 305p. LIMA, J.S. ; GUARDA, M.C. ; PINHEIRO, L.M. Análise de torção em vigas de acordo com a nova NBR 6118. In: 42 CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, IBRACON. Fortaleza, ago/2000, CD-ROM, 16p. MACGREGOR, J.G. Reinforced concrete – Mechanics and design. 3a ed., Upper Saddle River, Ed. Prentice Hall, 1997, 939p. SÁNCHEZ, E. Dimensionamento à torção: novas prescrições normativas brasileiras. In: Nova normalização brasileira para o concreto estrutural. 2001, p.155-185. SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 1, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1985, 376p. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p. LEONHARDT, F. ; MÖNNIG, E. Construções de concreto – Princípios básicos sobre a armação de estruturas de concreto armado, v. 3, Rio de Janeiro, Ed. Interciência, 1982, 273p. NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Englewood Cliffs, Ed. Prentice Hall, 1985, 701p. PINHEIRO, L.M. Concreto armado – Tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, Departamento de Engenharia de Estruturas, 1986. SÁNCHEZ, E. Análise crítica do projeto de revisão da NB-1: Prescrições para o dimensionamento à torção. In: XXIX JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERIA ESTRUCTURAL, 2000, CD-ROM, 7p.


92

ANEXOS - LISTAGEM DE RESULTADOS DOS PROGRAMAS

GPLAN4 E PPLAN4

LISTAGEM DE RESULTADOS DO EXEMPLO 1 - GRELHA ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92 PROJETO: TORCAO CLIENTE: CONCRETO II --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DA GEOMETRIA DA GRELHA: EXEMPLO 1 --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 165.000 .000 NO 2 .000 95.000 NO 3 165.000 95.000 NO --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR Z RESTR X RESTR Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 2 1 1 1 RES -------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 3 1 95.000 .0000 1 BAR 2 2 3 2 165.000 1.0000 1 BAR --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 .10000E+04 .20833E+06 .10000E+03 50.00 PROP 2 1 .17500E+04 .36458E+06 .40517E+06 50.00 PROP


93

--------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .238000E+04 .480000E+03 .00000E+00 .0000E+00 MATL --------------------------------------------------------------------------- PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DA GRELHA: EXEMPLO 1 --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS.......................................................... 3 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 1 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 3 NUMERO DE BARRAS....................................................... 2 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 2 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 6 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 2 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 9 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54 --------------------------------------------- I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I --------------------------------------------- ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92 PROJETO: TORCAO CLIENTE: CONCRETO II ============================ GRELHA: EXEMPLO 1 ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y =========================================================================== 1 165.000 .000 0 0 0 2 .000 95.000 1 1 1 3 165.000 95.000 0 0 0 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 3 0 1 95.000 .0000 2 2 0 3 0 2 165.000 1.0000


94

=========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA =========================================================================== 1 1 .10000E+04 .20833E+06 .10000E+03 50.00 2 1 .17500E+04 .36458E+06 .40517E+06 50.00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .238000E+04 .480000E+03 .00000E+00 .0000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( GRELHA: EXEMPLO 1 ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO CARGA I CARGA F REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.0250 -.0250 1.000 .000 CBR 2 1 -.0437 -.0437 1.000 .000 CBR --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 -50.000 .000 .000 CNO --------------------------------------------------------------------------- ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 1 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 2 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES.................... -59.594 ------------------------------------------------ I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I ------------------------------------------------ =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: EXEMPLO 1 ) ===========================================================================


95

=========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y =========================================================================== 1 -.5163226 .0045879 .0008594 2 .0000000 .0000000 .0000000 3 -.0950533 .0041256 .0008594 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR =========================================================================== 1 1 -50.000 .015 .000 3 -52.375 -4862.804 .000 2 2 59.594 -9237.421 4862.793 3 52.375 -.002 4862.793 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y =========================================================================== 1 .000 -.015 .000 2 59.594 -4862.793 -9237.421 3 .000 -.011 .002 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ........................... 59.594 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ................... -59.594 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000256 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR =========================================================================== 1 0/10 -50.000 .015 .000 1 1/10 -50.238 -476.114 .000 1 2/10 -50.475 -954.499 .000 1 3/10 -50.713 -1435.140 .000 1 4/10 -50.950 -1918.037 .000 1 5/10 -51.188 -2403.191 .000 1 6/10 -51.425 -2890.601 .000 1 7/10 -51.663 -3380.268 .000 1 8/10 -51.900 -3872.190 .000 1 9/10 -52.138 -4366.369 .000 1 10/10 -52.375 -4862.804 .000 2 0/10 59.594 -9237.421 4862.793 2 1/10 58.872 -8260.080 4862.793 2 2/10 58.150 -7294.649 4862.793 2 3/10 57.428 -6341.130 4862.793 2 4/10 56.706 -5399.522 4862.793 2 5/10 55.984 -4469.825 4862.793


96

2 6/10 55.262 -3552.038 4862.793 2 7/10 54.541 -2646.162 4862.793 2 8/10 53.819 -1752.198 4862.793 2 9/10 53.097 -870.144 4862.793 2 10/10 52.375 -.001 4862.793 - Analise completa - fim do processamento

LISTAGEM DE RESULTADOS DO EXEMPLO 2 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: EXEMPLO 2 ============================ PORTICO: V 1 (20 x 40) ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .23800E+07 2 191.500 .000 0 0 0 3 383.000 .000 1 1 1 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 191.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 191.500 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .80000E+03 .10667E+06 40.00 .00


97

=========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .238000E+04 .00000E+00 .00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: V 1 (20 x 40) ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.2107 1.000 .000 CBRG 2 1 -.2107 1.000 .000 CBRG --------------------------------------------------------------------------- ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 3 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 2 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -80.698 ------------------------------------------------ I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I ------------------------------------------------ =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: V 1 (20 x 40) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0005119 2 .0000000 -.0710151 -.0001280 3 .0000000 .0000000 .0000000


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=========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 35.033 -1218.352 2 .000 -5.316 1627.123 2 2 .000 -5.316 1627.123 3 .000 -45.665 -3254.246 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 35.033 -1218.352 2 .000 .000 .000 3 .000 45.665 3254.246 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 80.698 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -80.698 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 35.033 -1218.352 1 1/10 .000 30.998 -586.096 1 2/10 .000 26.964 -31.109 1 3/10 .000 22.929 446.609 1 4/10 .000 18.894 847.059 1 5/10 .000 14.859 1170.241 1 6/10 .000 10.824 1416.154 1 7/10 .000 6.789 1584.799 1 8/10 .000 2.754 1676.176 1 9/10 .000 -1.281 1690.283 1 10/10 .000 -5.316 1627.123 2 0/10 .000 -5.316 1627.123 2 1/10 .000 -9.351 1486.694 2 2/10 .000 -13.385 1268.997 2 3/10 .000 -17.420 974.031 2 4/10 .000 -21.455 601.797 2 5/10 .000 -25.490 152.294 2 6/10 .000 -29.525 -374.477 2 7/10 .000 -33.560 -978.517 2 8/10 .000 -37.595 -1659.825 2 9/10 .000 -41.630 -2418.401 2 10/10 .000 -45.665 -3254.246


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LISTAGEM DE RESULTADOS DO EXEMPLO 3

GRELHA ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS - USP SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA GPLAN4 - ANALISE DE GRELHAS - VERSAO FEV/92 PROJETO: TORCAO CLIENTE: EXEMPLO 3 - COM MOLAS ============================ GRELHA: GRELHA PAV. ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR Z RESTR X RESTR Y =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 2 359.500 .000 0 0 0 3 719.000 .000 .10000E+38 .24267E+07 .00000E+00 4 1078.500 .000 0 0 0 5 1438.000 .000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 6 .000 523.000 .10000E+38 .00000E+00 .97338E+06 7 359.500 523.000 0 0 0 8 719.000 523.000 1 0 0 9 1078.500 523.000 0 0 0 10 1438.000 523.000 .10000E+38 .00000E+00 .97338E+06 11 1438.000 807.000 0 0 0 12 1243.500 926.500 0 0 0 13 .000 1046.000 .10000E+38 .61648E+06 .61648E+06 14 359.500 1046.000 0 0 0 15 719.000 1046.000 .10000E+38 .24267E+07 .00000E+00 16 1049.000 1046.000 1 0 0 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 5 6 0 7 0 2 359.500 1.0000 6 7 0 8 0 2 359.500 1.0000 7 8 0 9 0 2 359.500 1.0000 8 9 0 10 0 2 359.500 1.0000 9 13 0 14 0 1 359.500 1.0000


100

10 14 0 15 0 1 359.500 1.0000 11 15 0 16 0 1 330.000 1.0000 12 16 0 12 0 3 228.277 .8520 13 12 0 11 0 3 228.277 .8520 14 11 0 10 0 3 284.000 .0000 15 10 0 5 0 1 523.000 .0000 16 1 0 6 0 4 523.000 .0000 17 6 0 13 0 4 523.000 .0000 18 3 0 8 0 4 523.000 .0000 19 8 0 15 0 4 523.000 .0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO I TORCAO ALTURA =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 .10000E+03 60.00 2 1 .13300E+04 .54308E+06 .10000E+03 70.00 3 1 .11400E+04 .34200E+06 .10965E+06 60.00 4 1 .85500E+03 .14428E+06 .10000E+03 45.00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG MOD TRANS PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .480000E+03 .00000E+00 .0000E+00 =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (GRELHA: GRELHA PAV. ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC Z ROTACAO X ROTACAO Y =========================================================================== 1 .0000000 -.0008127 .0022300 2 -.4313683 -.0006779 -.0005575 3 .0000000 -.0005432 .0000000 4 -.4313675 .0000298 .0005575 5 .0000000 .0006027 -.0022300 6 .0000000 .0000000 .0022569 7 -.4384310 .0000000 -.0005528 8 .0000000 -.0000001 -.0000457 9 -.4137887 -.0011135 .0005299 10 .0000000 -.0022268 -.0020741 11 -1.0433960 -.0041370 .0036414 12 -.6875809 .0006757 .0023666 13 .0000000 .0008127 .0027923 14 -.5983620 .0006780 -.0003741 15 .0000000 .0005434 -.0012958 16 .0000000 .0052094 .0006376


101

=========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO CORTANTE M FLETOR M TORCOR =========================================================================== 1 1 67.983 -1374.770 .018 2 -18.837 7459.192 .018 2 2 -18.837 7459.191 .018 3 -105.656 -14918.370 .018 3 3 105.656 -14918.380 .077 4 18.837 7459.182 .077 4 4 18.837 7459.182 .077 5 -67.983 -1374.782 .077 5 6 108.533 -2196.740 .000 7 -29.659 11980.990 .000 6 7 -29.659 11980.990 .000 8 -167.850 -23521.220 .000 7 8 166.625 -23521.330 -.149 9 28.433 11540.290 -.149 8 9 28.433 11540.290 -.149 10 -109.759 -3078.051 -.149 9 13 74.178 -1721.450 -.018 14 -12.641 9339.938 -.018 10 14 -12.641 9339.936 -.018 15 -99.460 -10810.200 -.018 11 15 66.239 -10810.080 .679 16 -13.456 -2101.024 .679 12 16 58.202 -1790.493 -1099.280 12 6.087 5547.339 -1099.280 13 12 6.087 5547.332 -1099.280 11 -37.880 1918.534 -1099.280 14 11 -37.880 1940.952 1059.191 10 -68.665 -13188.420 1059.191 15 10 54.274 -13188.270 .014 5 -2.419 371.645 .014 16 1 22.167 -501.009 .002 6 -33.114 -3363.497 .002 17 6 33.114 -3363.497 .049 13 -22.167 -501.009 .049 18 3 26.100 -1318.285 -.004 8 -33.418 -3231.950 -.004 19 8 33.418 -3231.802 -.115 15 -26.099 -1318.011 -.115


102

=========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO FORCA Z MOMENTO X MOMENTO Y =========================================================================== 1 90.150 500.991 -1374.773 2 .000 .000 .000 3 237.412 1318.227 .000 4 .000 .000 .000 5 70.402 -371.569 1374.768 6 174.761 .000 -2196.786 7 .000 .000 -.002 8 401.311 .000 .000 9 .000 .000 .000 10 232.698 -.003 2018.874 11 .000 .001 -.007 12 .000 -.003 -.006 13 96.346 -500.991 -1721.401 14 .000 .000 -.003 15 191.798 -1318.708 .001 16 71.659 .004 .005 SOMATORIO DAS REACOES TRANSVERSAIS ........................... 1566.536 SOMATORIO DAS FORCAS TRANSVERSAIS ATUANTES ................... -1566.536 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000078 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L CORTANTE M FLETOR M TORCOR =========================================================================== 1 0/10 67.983 -1374.770 .018 1 1/10 59.301 913.144 .018 1 2/10 50.619 2888.944 .018 1 3/10 41.937 4552.628 .018 1 4/10 33.255 5904.197 .018 1 5/10 24.573 6943.651 .018 1 6/10 15.891 7670.990 .018 1 7/10 7.209 8086.214 .018 1 8/10 -1.473 8189.322 .018 1 9/10 -10.155 7980.316 .018 1 10/10 -18.837 7459.193 .018 2 0/10 -18.837 7459.191 .018 2 1/10 -27.519 6625.954 .018 2 2/10 -36.201 5480.601 .018 2 3/10 -44.882 4023.132 .018 2 4/10 -53.564 2253.549 .018 2 5/10 -62.246 171.850 .018 2 6/10 -70.928 -2221.964 .018 2 7/10 -79.610 -4927.894 .018 2 8/10 -88.292 -7945.938 .018 2 9/10 -96.974 -11276.100 .018 2 10/10 -105.656 -14918.370 .018 3 0/10 105.656 -14918.380 .077 3 1/10 96.974 -11276.100 .077 3 2/10 88.292 -7945.942 .077


103

3 3/10 79.610 -4927.898 .077 3 4/10 70.928 -2221.970 .077 3 5/10 62.246 171.844 .077 3 6/10 53.564 2253.542 .077 3 7/10 44.882 4023.125 .077 3 8/10 36.201 5480.594 .077 3 9/10 27.519 6625.947 .077 3 10/10 18.837 7459.184 .077 4 0/10 18.837 7459.182 .077 4 1/10 10.155 7980.304 .077 4 2/10 1.473 8189.311 .077 4 3/10 -7.209 8086.202 .077 4 4/10 -15.891 7670.979 .077 4 5/10 -24.573 6943.640 .077 4 6/10 -33.255 5904.186 .077 4 7/10 -41.937 4552.616 .077 4 8/10 -50.619 2888.932 .077 4 9/10 -59.301 913.132 .077 4 10/10 -67.983 -1374.783 .077 5 0/10 108.533 -2196.740 .000 5 1/10 94.714 1456.631 .000 5 2/10 80.895 4613.203 .000 5 3/10 67.076 7272.975 .000 5 4/10 53.257 9435.947 .000 5 5/10 39.437 11102.120 .000 5 6/10 25.618 12271.490 .000 5 7/10 11.799 12944.070 .000 5 8/10 -2.020 13119.840 .000 5 9/10 -15.839 12798.820 .000 5 10/10 -29.659 11981.000 .000 6 0/10 -29.659 11980.990 .000 6 1/10 -43.478 10666.370 .000 6 2/10 -57.297 8854.944 .000 6 3/10 -71.116 6546.722 .000 6 4/10 -84.935 3741.700 .000 6 5/10 -98.754 439.878 .000 6 6/10 -112.574 -3358.744 .000 6 7/10 -126.393 -7654.165 .000 6 8/10 -140.212 -12446.390 .000 6 9/10 -154.031 -17735.410 .000 6 10/10 -167.850 -23521.230 .000 7 0/10 166.625 -23521.330 -.149 7 1/10 152.806 -17779.570 -.149 7 2/10 138.986 -12534.610 -.149 7 3/10 125.167 -7786.453 -.149 7 4/10 111.348 -3535.092 -.149 7 5/10 97.529 219.470 -.149 7 6/10 83.710 3477.233 -.149 7 7/10 69.890 6238.196 -.149 7 8/10 56.071 8502.359 -.149 7 9/10 42.252 10269.730 -.149 7 10/10 28.433 11540.290 -.149 8 0/10 28.433 11540.290 -.149 8 1/10 14.614 12314.050 -.149 8 2/10 .795 12591.010 -.149 8 3/10 -13.025 12371.180 -.149 8 4/10 -26.844 11654.540 -.149 8 5/10 -40.663 10441.110 -.149 8 6/10 -54.482 8730.878 -.149


104

8 7/10 -68.301 6523.844 -.149 8 8/10 -82.121 3820.011 -.149 8 9/10 -95.940 619.380 -.149 8 10/10 -109.759 -3078.052 -.149 9 0/10 74.178 -1721.450 -.018 9 1/10 65.497 789.207 -.018 9 2/10 56.815 2987.749 -.018 9 3/10 48.133 4874.176 -.018 9 4/10 39.451 6448.488 -.018 9 5/10 30.769 7710.685 -.018 9 6/10 22.087 8660.766 -.018 9 7/10 13.405 9298.732 -.018 9 8/10 4.723 9624.583 -.018 9 9/10 -3.959 9638.319 -.018 9 10/10 -12.641 9339.939 -.018 10 0/10 -12.641 9339.936 -.018 10 1/10 -21.323 8729.440 -.018 10 2/10 -30.005 7806.831 -.018 10 3/10 -38.687 6572.105 -.018 10 4/10 -47.369 5025.265 -.018 10 5/10 -56.050 3166.309 -.018 10 6/10 -64.732 995.237 -.018 10 7/10 -73.414 -1487.949 -.018 10 8/10 -82.096 -4283.251 -.018 10 9/10 -90.778 -7390.668 -.018 10 10/10 -99.460 -10810.200 -.018 11 0/10 66.239 -10810.080 .679 11 1/10 58.269 -8755.705 .679 11 2/10 50.300 -6964.322 .679 11 3/10 42.330 -5435.933 .679 11 4/10 34.361 -4170.537 .679 11 5/10 26.391 -3168.135 .679 11 6/10 18.422 -2428.725 .679 11 7/10 10.452 -1952.310 .679 11 8/10 2.483 -1738.887 .679 11 9/10 -5.487 -1788.459 .679 11 10/10 -13.456 -2101.023 .679 12 0/10 58.202 -1790.493 -1099.280 12 1/10 52.991 -521.353 -1099.280 12 2/10 47.779 628.819 -1099.280 12 3/10 42.568 1660.023 -1099.280 12 4/10 37.356 2572.259 -1099.280 12 5/10 32.144 3365.526 -1099.280 12 6/10 26.933 4039.825 -1099.280 12 7/10 21.721 4595.156 -1099.280 12 8/10 16.510 5031.519 -1099.280 12 9/10 11.298 5348.914 -1099.280 12 10/10 6.087 5547.340 -1099.280 13 0/10 6.087 5547.332 -1099.280 13 1/10 1.690 5636.094 -1099.280 13 2/10 -2.707 5624.491 -1099.280 13 3/10 -7.103 5512.523 -1099.280 13 4/10 -11.500 5300.190 -1099.280 13 5/10 -15.896 4987.493 -1099.280 13 6/10 -20.293 4574.431 -1099.280 13 7/10 -24.690 4061.004 -1099.280 13 8/10 -29.086 3447.212 -1099.280 13 9/10 -33.483 2733.055 -1099.280 13 10/10 -37.880 1918.533 -1099.280


105

14 0/10 -37.880 1940.952 1059.191 14 1/10 -40.958 821.455 1059.191 14 2/10 -44.037 -385.473 1059.191 14 3/10 -47.115 -1679.832 1059.191 14 4/10 -50.194 -3061.622 1059.191 14 5/10 -53.272 -4530.843 1059.191 14 6/10 -56.351 -6087.496 1059.191 14 7/10 -59.430 -7731.580 1059.191 14 8/10 -62.508 -9463.095 1059.191 14 9/10 -65.587 -11282.040 1059.191 14 10/10 -68.665 -13188.420 1059.191 15 0/10 54.274 -13188.270 .014 15 1/10 48.604 -10498.000 .014 15 2/10 42.935 -8104.244 .014 15 3/10 37.266 -6006.988 .014 15 4/10 31.597 -4206.239 .014 15 5/10 25.927 -2701.995 .014 15 6/10 20.258 -1494.255 .014 15 7/10 14.589 -583.022 .014 15 8/10 8.919 31.707 .014 15 9/10 3.250 349.929 .014 15 10/10 -2.419 371.647 .014 16 0/10 22.167 -501.009 .002 16 1/10 16.639 513.783 .002 16 2/10 11.111 1239.455 .002 16 3/10 5.583 1676.006 .002 16 4/10 .055 1823.438 .002 16 5/10 -5.473 1681.749 .002 16 6/10 -11.001 1250.940 .002 16 7/10 -16.529 531.011 .002 16 8/10 -22.058 -478.038 .002 16 9/10 -27.586 -1776.208 .002 16 10/10 -33.114 -3363.498 .002 17 0/10 33.114 -3363.497 .049 17 1/10 27.586 -1776.208 .049 17 2/10 22.058 -478.038 .049 17 3/10 16.529 531.011 .049 17 4/10 11.001 1250.940 .049 17 5/10 5.473 1681.749 .049 17 6/10 -.055 1823.438 .049 17 7/10 -5.583 1676.007 .049 17 8/10 -11.111 1239.455 .049 17 9/10 -16.639 513.783 .049 17 10/10 -22.167 -501.008 .049 18 0/10 26.100 -1318.285 -.004 18 1/10 20.148 -108.910 -.004 18 2/10 14.196 789.190 -.004 18 3/10 8.244 1376.013 -.004 18 4/10 2.293 1651.561 -.004 18 5/10 -3.659 1615.832 -.004 18 6/10 -9.611 1268.828 -.004 18 7/10 -15.562 610.547 -.004 18 8/10 -21.514 -359.010 -.004 18 9/10 -27.466 -1639.842 -.004 18 10/10 -33.418 -3231.951 -.004 19 0/10 33.418 -3231.802 -.115 19 1/10 27.466 -1639.681 -.115 19 2/10 21.514 -358.836 -.115


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19 3/10 15.563 610.733 -.115 19 4/10 9.611 1269.027 -.115 19 5/10 3.659 1616.044 -.115 19 6/10 -2.292 1651.785 -.115 19 7/10 -8.244 1376.250 -.115 19 8/10 -14.196 789.439 -.115 19 9/10 -20.148 -108.648 -.115 19 10/10 -26.099 -1318.011 -.115 - Analise completa - fim do processamento

Viga VS1 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 1 (19 x 60) ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 1 1 1 2 330.000 .000 1 1 0 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 330.000 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00


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=========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 1 (19 x 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0000000 2 .0000000 .0000000 -.0002484 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 49.809 -3287.419 2 .000 -29.886 .000 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 49.809 -3287.419 2 .000 29.886 .000 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 79.695 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -79.695 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 49.809 -3287.419 1 1/10 .000 41.840 -1775.206 1 2/10 .000 33.870 -525.987 1 3/10 .000 25.901 460.238 1 4/10 .000 17.931 1183.471 1 5/10 .000 9.962 1643.709 1 6/10 .000 1.992 1840.954 1 7/10 .000 -5.977 1775.206 1 8/10 .000 -13.947 1446.464 1 9/10 .000 -21.916 854.729 1 10/10 .000 -29.886 .000


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Viga VS6 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II - TORCAO CLIENTE: MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO ============================ PORTICO: VS 6 (19 x 60) ============================ =========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .30824E+06 2 523.000 .000 1 1 1 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 523.000 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS 6 (19 x 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0004206 2 .0000000 .0000000 .0000000


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=========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 21.632 -129.650 2 .000 -35.061 -3641.493 =========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 21.632 -129.650 2 .000 35.061 3641.493 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 56.693 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -56.693 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000000 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 21.632 -129.650 1 1/10 .000 15.962 853.440 1 2/10 .000 10.293 1540.025 1 3/10 .000 4.624 1930.104 1 4/10 .000 -1.045 2023.678 1 5/10 .000 -6.715 1820.747 1 6/10 .000 -12.384 1321.310 1 7/10 .000 -18.053 525.367 1 8/10 .000 -23.723 -567.081 1 9/10 .000 -29.392 -1956.035 1 10/10 .000 -35.061 -3641.493

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