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ANO LECTIVO DE 2007/2008

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Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Instituto Superior Técnico

Fevereiro de 2008

Métodos Variacionais

1

Leonhard Euler (1707-1783)

Leonhard Euler foi um dos mais versáteis e prolíficos matemáticos de todos os tempos. Foi o

fundador do cálculo variacional. De acordo com Euler “there is absolutely no doubt that every effect in

the universe can be explained as satisfactorily from final causes, by the aid of the method of maxima and minima,

as it can from the effective causes” (Methodus Inveniendi Lineas Curvas).

Bibliografia

o D. S. Lemons, Perfect Form: Variational Principles, Methods, and Applications in

Elementary Physics (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1997)

o M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations (Mineola, New York: Dover, 2000)

o C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (New York: Dover, 4th ed., 1986)

o R. Weinstock, Calculus of Variations With Applications to Physics and Engineering (New

York: Dover, 1974)


2

Bibliografia complementar (avançada)

o B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations (London: Imperial College

Press, 2004)

o J. Jost and X. Li-Jost, Calculus of Variations (Cambridge: Cambridge University Press,

1998)


3

Pierre de Fermat (1601-1665)

Willebrord van Roijen Snell (1580-1626)

1. Princípio de Fermat: Lei de Snell Considere um raio de luz propagando-se no plano 0z = e unindo dois pontos ( )1 1,A x y e

( )2 2,B x y . Admita que, tal como se indica na Fig. 1, o raio atravessa dois meios distintos

cujos índices de refracção são 1n para 0y < e 2n para 0y > .

Figura 1

x

y

1Meio1 n→ 2Meio 2 n→

A

B

( ),0P x

1x

2x

2y1y 1θ

2θ


4

Usando o princípio de Fermat, vai-se mostrar que a localização x do ponto ( ),0P x

sobre a interface obedece à lei de Snell

1 1 2 2sin sinn nθ = θ . (1.1)

De acordo com o princípio de Fermat, o raio de luz que liga o ponto ( )1 1,A x y ao

ponto ( )2 2,B x y , atravessa a interface no ponto ( ),0P x de modo que o tempo de propagação

seja mínimo. A velocidade de fase no Meio 1 de índice de refracção 1n é

11

cvn

= . (1.2)

Analogamente, a velocidade de fase no Meio 2 de índice de refracção 2n é

22

cvn

= . (1.3)

O tempo de propagação do sinal luminoso será, nestas condições, dado por

( ) ( ) ( )2 22 21 1 2 2

1 2

1 1T x x x y x x yv v

= − + + − + . (1.4)

O ponto x que minimiza o tempo de precurso ( )T x é tal que

0dTd x

= . (1.5)

Assim, infere-se das Eqs. (1.4) e (1.5) que

( ) ( )

1 22 22 2

1 1 1 2 2 2

x x x x

v x x y v x x y

− −=

− + − +. (1.6)


5

Mas, por outro lado, tem-se

( ) ( )

1 21 22 22 2

1 1 2 2

sin , sinx x x x

x x y x x y

− −θ = θ =

− + − +. (1.7)

Logo, atendendo às Eqs. (1.6) e (1.7), tira-se que

1 2

1 2

sin sinv vθ θ

= . (1.8)

Portanto, de acordo com as Eqs. (1.2) e (1.3), resulta da Eq. (1.8) que

1 1 2 2sin sinn nθ = θ

que é a Eq. (1.1) – tal como se pretendia provar (lei de Snell).

Notemos ainda que

( ) ( )

2 221 2

3 2 3 22 2 22 21 1 1 2 2 2

0y yd Td x v x x y v x x y

= + >⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

o que mostra como o gráfico de ( )T x é côncavo para cima. O ponto x determinado pela Eq.

(1.5) é, assim, um ponto de estacionaridade que corresponde efectivamente a um mínimo.

■

Ao resolver este problema admitiu-se que todas as trajectórias possíveis se

localizavam no plano 0z = . Vamos agora generalizar a resolução deste problema libertando-

nos desta hipótese restritiva. Consideremos, então, que as trajectórias dos raios luminosos

ligam o ponto de partida ( )1 1, ,0A x y ao ponto de chegada ( )2 2, ,0B x y , passando pelo ponto

( ),0,P x z sobre a interface – i.e., não se restringe a análise às trajectórias residentes em


6

0z = . A consequência desta generalização é que o tempo de propagação é agora uma função

de duas variáveis: ( ),T T x z= . Com efeito, tem-se então

( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 1 2 2

1 2

1 1,T x z x x y z x x y zv v

= − + + + − + + (1.9)

em vez da Eq. (1.4). O ponto ( ),0,P x z que minimiza o tempo de propagação satisfaz agora a

nova condição de estacionaridade

0T Tx z

∂ ∂= =

∂ ∂ (1.10)

em substituição da condição expressa na Eq. (1.5). Das Eqs. (1.9) e (1.10) vem então

( ) ( )

1 22 22 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x x x x

v x x y z v x x y z

− −=

− + + − + + (1.11)

( ) ( )2 22 2 2 2

1 1 1 2 2 2

z z

v x x y z v x x y z=

− + + − + +. (1.12)

A única forma de satisfazer a Eq. (1.12) é fazendo

0z = (1.13)

reduzindo-se a solução novamente à Eq. (1.1). Caso contrário teria de ser

( ) ( )2 22 2 2 21 1 1 2 2 2v x x y z v x x y z− + + = − + + (1.14)

que, em conjugação com a Eq. (1.11), daria

( )1 2 1 212

x x x x x x x− = − ⇒ = + . (1.15)


7

Logo, das Eqs. (1.14) e (1.15), viria

( )( )

2 2 21 2 1 12

2 2 21 2 2 1 2

4 44 4

n x x y zvv n x x y z

− + += =

− + +. (1.16)

Esta solução, porém, tem de ser desprezada: para 2 1 0y y y= − = obter-se-ia sempre 1 2n n= o

que não é admissível.

The roots of the calculus of variations reach back into the late seventeenth century. The first seed was

a problem posed by Johann Bernoulli (1667-1748) in 1696 as a challenge to “the shrewdest

mathematicians of all the world.” In fact Johann meant to embarrass his older brother, Jacob (1654-

1705), with whom he was publicly feuding at the time and whom he declared incompetent to solve the

problem. The philosopher and mathematician Leibnitz “solved the problem on the day he received

Bernoulli’s letter, and correctly predicted a total of only five solutions” within the allotted six-month

time limit: they would come from the two Bernoullis, Newton, Leibnitz, and l’Hospital. Newton, who

was embroiled in a dispute with Leibnitz over the priority of inventing the calculus, also solved the

problem in one day and published his solution anonymously. On reading it, Johann, who was siding

with Leibnitz in that argument, recognized Newton’s work, “just as from the pawprint, one recognizes

the lion.” See Dictionary of Scientific Biography, Charles Coulston Gillispie, ed. (New York:

Scribner’s, 1971, vol. I, p. 53). Leonhard Euler first discovered the Euler-Lagrange equation. Joseph

Lagrange helped further develop the method. Today we recognize the calculus of variations as a

generalization of the ordinary discrete-variable method of maxima and minima.

Don S. Lemons, Perfect Form (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1997,

p.23)

■

Antes de terminar esta secção vamos analisar um problema análogo ao considerardo

na Fig. 1: o problema da lei da reflexão enunciado na Fig. 2. Trata-se de determinar a relação


8

existente entre o ângulo de incidência θ e o ângulo de reflexão φ ou, de forma equivalente,

trata-se de determinar a coordenada x do ponto ( ),0P x onde se dá a reflexão. São

conhecidos os pontos de partida ( )1 1,A x y e de chegada ( )2 2,B x y do raio óptico. Admite-se

que tudo se passa num meio cujo índice de refracção é n pelo que a velocidade de fase é

v c n= . Assim, de acordo com a Fig. 2, tem-se

Figura 2

( ) ( )2 22 21 1 2 2,AP x x y BP x x y= − + = − +

e o tempo total de propagação será

( ) ( )2 22 21 1 2 2

AP BP cT T x x y x x yv v n

= + ⇒ = − + + − + .

O mínimo de T corresponde então a ter-se

( ) ( )

1 22 22 2

1 1 2 2

0x x x xc dTn d x x x y x x y

− −= − =

− + − +. (1.17)

Notando que se tem

φ

θ

y

x

( )1 1,A x y

( )2 2,B x y

( ),0P x


9

( ) ( )

1 22 22 2

1 1 2 2

sin , sinx x x x

x x y x x y

− −θ = φ =

− + − +

resulta da Eq. (1.17) a lei da reflexão segundo a qual sin sinθ = φ ou seja

θ = φ (1.18)

como é sobejamente conhecido. Mais uma vez, trata-se efectivamente de um mínimo: a

solução corresponde a

2

2 0d Td x

= .


10

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

2. Equação de Euler-Lagrange Um dos primeiros conceitos do cálculo variacional é o conceito de funcional. Enquanto que

uma função é uma correspondência injectiva que faz corresponder um número a outro

número, um funcional faz corresponder um número (real) a cada função (ou curva)

pertencente a uma determinada classe de funções. Suponhamos, e.g., todas as trajectórias

possíveis que unem dois pontos A e B de um plano e que uma partícula se pode deslocar ao

longo de qualquer destas trajectórias. Suponhamos, ainda, que a cada ponto ( ),x y desse

plano se faz corresponder uma determinada velocidade da partícula ( ),v x y . Podemos definir

então um funcional ao associar a cada trajectória do plano o tempo que a partícula leva a

percorrer essa mesma trajectória.

Consideremos o seguinte funcional: seja ( ), ,f x Y Y ′ uma função contínua de três

variáveis ao qual corresponde o integral

( )2

1

, ,x

xI f x Y Y dx′= ∫ (2.1)

e onde se designa por Y ′ a derivada dY d x . Efectivamente, a correspondência f I→ é, de

acordo com a nossa definição, um funcional. Neste caso a função f pertence à classe das

funções contínuas que unem os dois pontos ( )( )1 1 1,x y y x= e ( )( )2 2 2,x y y x= e que admitem


11

segunda derivada contínua no intervalo real 1 2x x x≤ ≤ . O primeiro problema do cálculo

variacional é o seguinte: determinar a função ( ) ( )Y x y x= que faz com que o funcional I

seja estacionário (i.e, um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão). Assim, podemos

considerar uma infinidade de funções de teste ( )Y x e pretende-se eleger, de entre essa

infinidade de funções possíveis, a verdadeira função ( )y x que transforma o funcional I num

valor extremo (e.g., num mínimo). Para esse efeito vai definir-se a relação entre ( )Y x e

( )y x na forma

( ) ( ) ( )Y x y x x= + ε η (2.2)

em que ε é um parâmetro real bem determinado e ( )xη uma função arbitrária mas contínua e

admitindo, também, segunda derivada contínua. Notemos, desde já, que todas as funções

( )Y x são tais que

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

Y x y x y x

Y x y x y x

= = ⇒ η =

= = ⇒ η =. (2.3)

Na Fig. 3 representa-se ( )y x e uma outra possível curva ( )Y x .

Trata-se, portanto, de determinar a função ( )y x tal que

0

0d Id

ε=

=ε

(2.4)

onde

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

1

, ,x

xI f x y x x y x x dx′ ′ε = + εη + εη∫ (2.5)

uma vez que, de acordo com a Eq. (2.2), se tem


12

Figura 3

( ) ( ) ( )Y x y x x′ ′ ′= + ε η .

Agora, da Eq. (2.5) resulta

2

1

x

x

d I f Y f Y dxd Y Y

⎡ ⎤′⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫

ou ainda

( ) ( )2

1

x

x

d I f fx x dxd Y Y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ′= η + η⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ . (2.6)

Através de uma integração por partes, vem

( ) ( ) ( )2

2 2

1 11

xx x

x xx

f f d fx dx x x dxY Y dx Y

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′η = η − η⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ .

Logo, atendendo às Eqs. (2.3), obtém-se mais simplesmente

x 1x 2x

1y

2y

0x

( )0xεη

( )Y x

( )y x

y


13

( ) ( )2 2

1 1

x x

x x

f d fx dx x dxY dx Y

⎛ ⎞∂ ∂′η = − η⎜ ⎟′ ′∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫

que, após substituição na Eq. (2.6) dá

( )2

1

x

x

d I f d f x dxd Y d x Y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ .

Quando nesta última equação se considera o caso particular em que 0ε = deve fazer-se a

substituição Y y→ , pelo que

( )2

10

x

x

d I f d f x dxd y d x y

ε=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ . (2.7)

Como a função ( )xη é arbitrária, a única forma de satisfazer a Eq. (2.4) para todos os pontos

do intervalo [ ]1 2,x x x∈ , corresponde a impor

0f d fy d x y

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

. (2.8)

Com efeito se

0f d fy d x y

⎛ ⎞∂ ∂− >⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

para algum subintervalo contido em 1 2x x x≤ ≤ sendo nula no resto desse intervalo, seria

sempre possível escolher uma função ( )xη que, nesse subintervalo, verificasse a condição

( ) 0xη >


14

de modo que seria necessariamente falsa a Eq. (2.4). Um raciocínio análogo poderia ser feito

no caso em que, num subintervalo do intervalo considerado, se tivesse

0f d fy d x y

⎛ ⎞∂ ∂− <⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

.

Daqui se infere que a Eq. (2.8) é efectivamente verdadeira – resultado conhecido como o lema

fundamental do cálculo das variações.

A Eq. (2.8) é a solução do primeiro problema do cálculo variacional e é conhecida por

equação de Euler-Lagrange (ou simplesmente por equação de Euler). Ou seja: a função

( )y x , com ( )1 1y x y= e ( )2 2y x y= , que transforma o integral

( )2

1

, ,x

xI f x y y dx′= ∫

num valor estacionário no intervalo [ ]1 2,x x x∈ é tal que observa a Eq. (2.8) ou equação de

Euler-Lagrange.

■

É frequente aparecer na literatura a definição de variação do funcional I como sendo

Iδ tal que

( )2

1

x

y yxI f f dx′ ′δ = ε η+ η∫ . (2.9)

Na escrita da Eq. (2.9) usou-se a notação

: , :y yf ff fy y′

∂ ∂= =

′∂ ∂.

De acordo então com esta notação, o extremo (i.e., o valor estacionário) do funcional I

observa-se quando se tiver 0Iδ = , pelo que


15

0 0y ydI f fdx ′δ = ⇒ − = (2.10)

que é uma forma equivalente de escrever a equação de Euler-Lagrange.

Consideremos, agora, dois casos particulares: um primeiro caso em que f só depende

de x e de y′ e um segundo caso em que f só depende de y e de y′ .

■

1º CASO – Comecemos, então, por considerar o primeiro caso particular em que

0yf fy

∂= =

∂.

Neste caso tem-se

( )2 2

1 1

,x x

yx xI f x y dx I f dx′′ ′= → δ = ε η∫ ∫

pelo que

10 0y ydI f f Cdx ′ ′δ = ⇒ = ⇒ =

ou

10f f Cy y

∂ ∂= ⇒ =

′∂ ∂. (2.11)

■


16

2º CASO – Consideremos, agora, um segundo caso particular em que

0xf fx

∂= =

∂.

Neste caso virá

y yd f f d y f d y f fy y f y f yd x y d x y d x y y ′

′⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂′ ′′ ′ ′′= + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

Ora, como

0 y ydI f fdx ′δ = ⇒ =

vem ainda

yy

d fd f y y fd x d x

′′′ ′′= + .

Porém, como

( ) yy y

d fd y f y y fd x d x

′′ ′′ ′ ′′= +

ainda se infere que

( ) ( ) 0y yd f d dy f f y fd x d x dx′ ′′ ′= ⇒ − =

ou finalmente


17

0f ff y Dx y

⎛ ⎞∂ ∂′= ⇒ − =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠. (2.12)

■

Exemplo. Como primeiro exemplo de aplicação da equação de Euler-Lagrange, vamos

determinar a função ( )y x que torna estacionário o integral

( )2

1

2 2x

xI y y y y dx⎡ ⎤′ ′= + +⎣ ⎦∫

e em que ( )0 0y = e ( )0 1y′ = . Neste caso será ( )2 2f y y y y′ ′= + + , de maneira que

2 , 2 , 2f f d fy y y y y yy y d x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′ ′′ ′= + = + = +⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

Logo, através da Eq. (2.8), resulta que

2 2 0y y y y y y′ ′′ ′ ′′+ = + ⇒ − = .

Então, atendendo a que

( ) ( ) ( ) ( )sinh cosh , cosh sinhd dx x x xd x d x

= =

conclui-se que deverá ser ( ) ( )sinhy x C x= . Assim, impondo as condições iniciais ( )0 0y =

e ( )0 1y′ = , obtém-se finalmente

( ) ( )( )

sinhsinh 1

xy x = .


18

3. Lei de Snell generalizada Vejamos agora alguns exemplos de aplicação dos resultados obtidos na secção anterior.

Comecemos por considerar um problema trivial: a distância mais curta entre dois pontos de

um plano é um segmento de recta. O funcional que descreve a distância entre dois pontos

( )1 1 1,P x y→ e ( )2 2 2,P x y→ de um plano é

( )2 2

1 1

21P x

P xI ds y dx′= = +∫ ∫ (3.1)

uma vez que (métrica euclidiana)

( )2

22 2 2 2 1 1d yds dx dy dx ds dx yd x

⎡ ⎤⎛ ⎞′= + = + ⇒ = +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (3.2)

A função integranda na Eq. (3.1) é

( ) ( )21f f y y′ ′= = +

pelo que a equação de Euler-Lagrange se reduz, neste caso, à Eq. (2.11). Assim, como

( )

121

f y Cy y

′∂= =′∂ ′+

infere-se que

( )12

1

:1C y y x x

C′α = ⇒ = α ⇒ = α +β

−.

Logo, como ( )1 1y y x= e ( )2 2y y x= , obtém-se a equação do segmento de recta 1 2P P


19

( )2 11 1

2 1

y yy x x yx x−

= − +−

como é óbvio que se deveria obter.

■

No âmbito da teoria da relatividade restrita, podemos também aplicar a equação de

Euler-Lagrange ao movimento unidimensional. De acordo com a métrica ( )− + + + de

Minkowski, o intervalo elementar entre dois acontecimentos será dado pelo invariante

2 2 2 2 2 2 2 2:ds c d c dt dx dy dz= − τ = − + + + (3.3)

em que se designa por τ o chamado tempo próprio da partícula. Assim, tem-se

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 22 2 21 1dx dy dz vds c dt c dt c d

c dt c⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +

= − − = − − = − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou ainda

( )2

21v t

d dtc

τ = − .

Assim, no caso do movimento unidimensional em que v x= , o intervalo de tempo próprio 0T

será dado por

2

1

2

0 1t

t

xT dtc

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . (3.4)


20

Para determinar em que circunstâncias é que este intervalo é estacionário (pode provar-se que,

neste caso, se vai tratar de um máximo e não de um mínimo), é necessário aplicar a equação

de Euler-Lagrange a

( ) ( )2

1

2

01t

t

xf f x T f x dtc

⎛ ⎞= = − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

vindo então

0f d fx dt x

⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

.

Ora, como neste caso se tem

2

1

1

f xx c x

c

∂= −

∂ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

infere-se que, sendo α uma constante, virá

( )

( )0 0 02 2 21

x cx v x t x v tcx c

α= α ⇒ = = ⇒ = +

α +−.

Isto significa que, no espaço-tempo de Minkowski, as trajectórias rectas das partículas livres

(i.e., não sujeitas a qualquer aceleração) correspondem a uma estacionaridade (a um máximo,

mais concretamente) do tempo próprio. Assim, para estas trajectórias rectilíneas, tem-se

0x v= que, depois de substituir na Eq. (3.4), dá

02021

TTvc

=

−

(3.5)


21

onde se fez 2 1:T t t= − . Esta última equação é a conhecida equação da dilatação do tempo em

relatividade restrita.

■

Nem todos os problemas, porém, têm soluções assim tão óbvias. Consideremos, então,

um outro tipo de aplicação.

Num meio o índice de refracção tem um perfil variável, sendo

( ) 0n n y n y= = −µ (3.6)

com 0µ > . É o caso da atmosfera com um gradiente vertical constante, em que o índice de

refracção diminui com a altura y tendo-se 0n n= para 0y = . Neste meio a velocidade de

fase é função da altura tendo-se

( ) ( )cv v y

n y= = . (3.7)

Um raio electromagnético que se propague entre dois pontos ( )1 1 1,P x y→ e ( )2 2 2,P x y→

tem um atraso de fase T dado por

( ) ( ) ( )2 2

1 1

21P x

P x

dsT cT n y y dxv y

′= ⇒ = +∫ ∫ . (3.8)

O problema variacional corresponde então a encontrar a estacionaridade de T em que, neste

caso, a função integranda tem a forma ( )I cT=

( ) ( ) ( )2, 1f f y y n y y dx′ ′= = + . (3.9)

A equação de Euler-Lagrange corresponde, portanto, ao caso da Eq. (2.12) pelo que


22

( )( )21

f yn yy y

′∂=′∂ ′+

e, consequentemente,

( ) ( ) ( ) ( )( )

22

21

1

yff y D n y y n y Dy y

′⎛ ⎞∂′ ′− = ⇔ + − =⎜ ⎟′∂⎝ ⎠ ′+

ou seja

( )( )21

n yD

y=

′+. (3.10)

Logo, fazendo (Fig. 4)

( )2

1sin1

d xd s y

θ = =′+

Figura 4

obtém-se da Eq. (3.10)

( )sinn y Dθ = (3.11)

que se poderá designar por lei de Snell generalizada para um meio com um perfil variável do

índice de refracção. Note-se que da Eq. (3.10) resulta que

dx

dyds

x

y

θ


23

( ) ( )0

02 2

2 21 1

y

y

dy dydx x xn y n y

D D

= ⇒ − = ±

− −∫ . (3.12)

No caso particular em que o perfil do índice de refracção é dado pela Eq. (3.6) e se

considera que ( ) ( )0 0 0y y′= = , façamos a mudança de variável

( )0 01cosh cosh sinhDn y D y n D dy d−µ = φ ⇒ = − φ ⇒ = − φ φµ µ

.

Nestas condições podemos fazer 0φ = para 0y = desde que 0D n= . Da Eq. (3.12) vem

então, para 0 0 0x y= = ,

( )

0 0 02 20 0 0

0

20

sinhcosh 1

1

y n n ndux d d xnn u

n

φ φθ µ= − = θ = θ = φ ⇒ φ =

µ µ µθ−−

∫ ∫ ∫ .

Deste modo a trajectória do raio será

0

0

1 coshn xyn

⎡ ⎤⎛ ⎞µ= −⎢ ⎥⎜ ⎟µ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (3.13)

A Eq. (3.10) pode ser utilizada para problemas inversos, i.e., em problemas de síntese

onde se pretende saber qual o perfil do índice de refracção que permite uma determinada

trajectória dos raios de luz.

Comecemos por considerar uma trajectória

2y a x= . (3.14)

Para determinar o perfil do índice de refracção que possibilita esta trajectória, utiliza-se a Eq.

(3.10). Como 2y a x′ = , vem então


24

( ) ( )2 20 01 4 1 4n x n a x n y n a y= + ⇒ = + (3.15)

onde se introduziu ( )0 0n n y= = .

Como segundo exemplo de síntese vamos agora considerar a trajectória periódica

( )siny A k x= . (3.16)

Assim, neste caso em que ( )cosy k A k x′ = , tira-se da Eq. (3.10) que

( ) ( ) ( )2 2 2 2

20 02 2 2 21 sin 1

1 1k A k yn x n k x n y n

k A k A= − ⇒ = −

+ + (3.17)

onde, mais uma vez, se introduziu ( )0 0n n y= = .


25

4. O princípio da acção mínima A equação de Euler-Lagrande encontra uma aplicação importante na mecânica através do

chamado princípio da acção mínima (ou, mais geralmente, da acção estacionária). Nesta

secção consideraremos, apenas, o caso de uma única partícula movendo-se numa única

direcção espacial e no âmbito da mecânica newtoniana.

Seja então uma partícula de massa m cujo movimento se processa ao longo do eixo x

com uma velocidade

: d xv xdt

= = . (4.1)

A energia cinética da partícula será ( )T T x= tal que

2 21 1:2 2

T mv m x= = . (4.2)

A equação de Newton do movimento da partícula escreve-se, como é bem conhecido, na

forma

f m a m x= = (4.3)

onde se designou a força por f . Nestas condições, a energia potencial da partícula é dada por

( ),U U t x=

Ufx

∂= −

∂ (4.4)

onde se admitiu que o campo ( ),U U t x= é conservativo.

Define-se a função lagrangiana L da partícula como sendo

:L T U= − . (4.5)


26

No caso em análise será então

212

UL mxx

∂= +

∂.

Pode então demonstrar-se que a equação newtoniana do movimento – a Eq. (4.3) –

corresponde ao chamado princípio da acção mínima. Com efeito, define-se a acção S como o

integral

( )2

1

: , ,t

tS L t x x dt= ∫ . (4.6)

Logo, usando a equação de Euler-Lagrange para determinar o valor estacionário deste

integral, deverá ser

0L d Lx dt x

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

.

Assim, como se tem

,L U L T mxx x x x

∂ ∂ ∂ ∂= − = =

∂ ∂ ∂ ∂

infere-se que a equação de Euler-Lagrange conduz à equação

( ) 0U d mxx dt

∂− − =∂

. (4.7)

Portanto, atendendo à Eq. (4.4), verifica-se que a Eq. (4.7) é equivalente à Eq. (4.3) o que

prova o princípio da acção estacionária.

Exemplo 1. Como primeiro exemplo de aplicação deste formalismo comecemos por

mostrar que, no caso em que a energia potencial não depende do tempo, i.e., quando se tem


27

apenas ( )U U x= , a energia total E T U= + se conserva. De facto, como a lagrangiana

( ),L L x x= não depende explicitamente do tempo, vem

0L d L L d x L d x L Lx xt dt x dt x dt x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

Logo, aplicando a equação de Euler-Lagrange, vem sucessivamente

L d L dL d L L d Lx x xx dt x dt dt x x dt x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

donde se tira ainda que

0d L LL x L x Cdt x x

⎛ ⎞∂ ∂− = ⇒ − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

onde C é uma constante. Mas então podemos escrever que

2L Lm x T U x T U mx T U Cx x

∂ ∂= ⇒ − − = − − = − − =

∂ ∂

ou seja

E T U C= + = −

i.e., a energia total é efectivamente constante.

■

Exemplo 2. Como segundo exemplo de aplicação deste formalismo vamos agora

considerar o caso do movimento harmónico unidimensional em que se tem


28

( ) 212

U U x k x= = .

Aplicando o resultado do exemplo anterior, a energia total é constante pelo que

2 21 1 02 2

d EE T U mx k x mx k xdt

= + = + ⇒ = + = .

Este resultado também se podia obter da aplicação directa da equação de Euler-Lagrange, i.e.,

0mx k x+ = .

Assim vem

20 0: 0k x x

mω = ⇒ +ω = (4.8)

cuja solução, admitindo que ( ) 00x x= e ( ) 00x v= , tem a forma

( ) ( ) ( )00 0 0

0

cos sinvx t x t t= ω + ωω

. (4.9)


29

5. Mais do que uma função desconhecida a determinar Nesta secção vamos determinar as equações de Euler-Lagrange quando existem várias

funções desconhecidas. Consideremos um integral I em que 1q é a variável independente

sobre a qual se faz a integração e designemos por ( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 1, , , n nq q q q q q q q q= = =… as

funções desconhecidas, i.e., existem 1n − variáveis dependentes ( )2 3, , , nq q q… a determinar

no intervalo 1a q b≤ ≤ .

Introduzem-se então as seguintes 1n − funções auxiliares de comparação

( ) ( ) ( )1 1 1i i iQ q q q q= + ε η (5.1)

em que 2, 3, ,i n= … . Assim

( ) ( ) ( )1 1 1i i iQ q q q q′ ′ ′= + ε η . (5.2)

Na Secção 2 limitou-se a análise ao caso 2n = em que se fez 1q x= e ( )2q y x= ,

tendo-se

( ) ( ), ,b

aI f x Y Y dx′ε = ∫ .

No caso geral será então

( ) ( )1 2 2 1, , , , , ,b

n naI f q Q Q Q Q dq′ ′ε = ∫ … … (5.3)

o funcional em que se pretende determinar a estacionaridade

0

0d Id

ε=

=ε

(5.4)

tal como na Eq. (2.4). Assim, vem


30

( ) ( )1 2 1 2 1 12 2

n nb bi ia a

i ii i i i

Q Qd I f f f fdq q q dqd Q Q Q Q= =

⎛ ⎞ ⎡ ⎤′∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ′= + = η + η⎜ ⎟ ⎢ ⎥′ ′ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .

Fazendo uma integração por partes, tem-se

( ) ( ) ( )1 1 1 1 11

bb b

i i ia ai i ia

f f d fq dq q q dqQ Q d q Q

⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′η = η − η⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫

e, como ( ) ( ) 0i ia bη = η = ,

( )1 12 1

nb

iai i i

d I f d f q dqd Q d q Q=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫ .

Quando se faz 0ε = , vem

( )1 12 10

0nb

iai i i

d I f d f q dqd q d q q=ε=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η =⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∑∫ .

Como as funções ( )1i qη são arbitrárias, obtêm-se as seguintes 1n − equações de Euler-

Lagrange

1

0, 2,3, ,i i

f d f i nq d q q

⎛ ⎞∂ ∂− = =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

… . (5.5)

■

Vejamos, agora, o caso particular em que na Eq. (5.3) se tem

( )21

0 , , nf f f q qq∂

= ⇒ =∂

… . (5.6)


31

Neste caso virá então

2 21 2 2

n nn n

d f f f f fq q q qd q q q q q

∂ ∂ ∂ ∂′ ′ ′′ ′′= + + + + +′ ′∂ ∂ ∂ ∂

ou ainda, usando as equações de Euler-Lagrange expressas nas Eqs. (5.5),

2 21 1 2 2 1 2

n nn

d f d f f d f fq q q qd q d q q q d q q q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂′ ′′ ′ ′′= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Assim, neste caso particular, infere-se que se pode escrever

221 1 2 1

0n

n kkn k

d f d f f d fq q f qd q d q q q d q q=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′ ′= + + ⇒ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

pelo que, designando por D uma constante de integração, virá finalmente

2

n

kk k

ff q Dq=

∂′− =′∂∑ . (5.7)


32

6. Exemplos de aplicação Vamos agora, nesta secção, considerar alguns exemplos de aplicação da teoria desenvolvida

na secção anterior.

■

Exemplo 1. Comecemos por analisar a equação newtoniana do movimento de uma

partícula de massa m num plano em termos de coordenadas polares (Fig. 5).

Figura 5

Comecemos por notar que, de ( )cosx r= θ e ( )siny r= θ , vem

( ) ( )( ) ( )

cos sinsin cos

dx dr r ddy dr r d

= θ − θ θ⎧⎪⎨ = θ + θ θ⎪⎩

donde se tira que

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 cos sin sin cosds dx dy dr r d dr r d= + = θ − θ θ + θ + θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ou seja

2 2 2 2ds dr r d= + θ .

θ r

( ),P r θ

x X

Y

y

( )( )

2 2 2 2cossin

x rds dr r d

y rθ

θθ

=⇒ = +

=


33

Assim, a velocidade de uma partícula será v tal que

2 2 2

2 2 2 2 2d s d r dv r r rdt dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ= = + = + θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Nestas condições, a energia cinética tem a forma

( )2 2 2 21 12 2

T mv m r r= = + θ .

Para uma energia potencial ( ),U U r= θ , a função lagrangiana da partícula será dada por

( ) ( )2 2 21 ,2

L T U m r r U r= − = + θ − θ .

A acção S correspondente ao intervalo temporal 1 2t t t≤ ≤ , é então

( )2

1

, , ,t

tS L r r dt= θ θ∫ .

O princípio da acção mínima corresponde a impor a estacionaridade de S que, por sua vez,

corresponde às duas equações de Euler-Lagrange

L d Lr dt r

L d Ldt

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝ ⎠

⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = ⎜ ⎟⎪ ∂θ ∂θ⎝ ⎠⎩

e que permitem portanto escrever as equações do movimento na forma


34

( )

( )

2

12

Um r rr

Um r rr

∂⎧ − θ = −⎪ ∂⎪⎨ ∂⎪ θ+ θ = −⎪ ∂θ⎩

Notemos, para terminar este exemplo, que em coordenadas polares se tem

1 ˆˆU UUr r

∂ ∂∇ = +

∂ ∂θr θ .

Como a energia potencial não depende explicitamente do tempo, temos

ˆˆ1

r

r

Ufr

f f UUf

r

θ

θ

∂⎧ = −⎪ ∂⎪= + = −∇ ⇒ ⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂θ⎩

f r θ

o que mostra que as equações do movimento obtidas anteriormente não são mais do que as

equações newtonianas que correspondem a

m U= = −∇f a .

Assim, em coordenadas polares, a aceleração ˆˆra aθ= +a r θ da partícula tem por

componentes

2

2ra r r

a r rθ

⎧ = − θ⎪⎨

= θ+ θ⎪⎩

No caso particular do movimento sob a acção de uma força central, tem-se apenas

( )U U r= de modo que as equações do movimento se reduzem a


35

( )

( )

2

2 0

Um r rr

m r r

∂⎧ − θ = −⎪ ∂⎨⎪ θ+ θ =⎩

Note-se que a segunda equação obtida ainda se pode escrever na forma equivalente

( ) 212 0 02

dm r r rdt

⎛ ⎞θ + θ = ⇒ θ =⎜ ⎟⎝ ⎠

. (6.1)

A área elementar dA varrida no intervalo temporal dt é preciamente (Fig. 6)

Figura 6

( ) 21 12 2

dA ddA r rd rdt dt

θ= θ ⇒ = . (6.2)

Das Eqs. (6.1) e (6.2) resulta então que

2

2 0d A d A Cdt dt

= ⇒ = (6.3)

dθ

rr dθ


36

em que C é uma constante. A Eq. (6.3) não é mais do que a segunda lei de Kepler do

movimento planetário: o raio vector varre áreas iguais em tempos iguais.

■

Exemplo 2. Vamos agora analisar a propagação de raios ópticos ao longo de uma fibra

óptica. Usaremos, para o efeito, o sistema de coordenadas cilíndricas representado na Fig. 7.

Figura 7

O plano transversal é o plano ( ),r φ e o eixo da fibra é o eixo longitudinal z . De

acordo com o princípio de Fermat, a trajectória do raio óptico é a trajectória a que

corresponde um atraso T de fase estacionário. Para a trajectória entre dois pontos

( )1 1 1 1, ,P r zφ e ( )2 2 2 2, ,P r zφ , esse atraso de fase é tal que (com fv c n= , sendo n o índice de

refracção)

2 2

1 1

2 22 1

P z

P z

d r dcT n ds n r dzd z d z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ .

Admitindo então que o índice de refracção apenas depende da coordenada r , vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1

2 22, , 1 , ,z

zf r r n r r r cT f r r dz′ ′ ′ ′ ′ ′φ = + φ + ⇒ = φ∫ .

φ r

z

X

Y

Z

( ), ,P r zφ2 2 2 2 2

cossin

x ry r ds dr r d dz

z z

φφ φ

== ⇒ = + +=

x

y


37

As equações de Euler-Lagrange para este problema escrevem-se então na forma

f d fr dz r

f d fdz

⎧ ⎛ ⎞∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟′∂ ∂⎪ ⎝ ⎠

⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = ⎜ ⎟⎪ ′∂φ ∂φ⎝ ⎠⎩

ou, atendendo a que f não depende explicitamente nem da coordenada longitudinal z nem

da coordenada azimutal φ ,

1

0

0 0

f f ff r Dz r r

f d f f Cdz

∂ ∂ ∂⎧ ′ ′= ⇒ − −φ =⎪ ′ ′∂ ∂ ∂⎪⎨ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎪ ′ ′∂φ ∂φ ∂φ⎝ ⎠⎩

Mas, por outro lado, tem-se

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 22

2

2 22

1

1

n r rfr r r

n r rf

r r

′⎧ ∂=⎪ ′∂ ′ ′+ φ +⎪⎪

⎨′φ∂⎪ =⎪ ′∂φ ′ ′+ φ +⎪⎩

de modo que

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 22

2

1 12 22

1

1

n rf ff r D Dr r r r

n r rf C Cr r

⎧ ∂ ∂′ ′− − φ = ⇒ =⎪′ ′∂ ∂⎪ ′ ′+ φ +⎪

⎨′φ⎪ ∂

= ⇒ =⎪ ′∂φ ′ ′+ φ +⎪⎩

Definindo


38

12 : CC

D=

infere-se, por divisão ordenada das duas equações, que

( )2 2 22 02 2 2, ,C C zr C x y z

r x y′ ′φ = ⇒ φ = ⇒ φ = φ +

+. (6.4)

A Eq. (6.4) revela que

22 2

Cz x y

∂φ=

∂ +

de modo que, se 0′φ = em 0z = , deverá ser necessariamente 2 0C = e, portanto, 0′φ = para

qualquer distância z . Este tipo de raios, em que 0φ = φ , recebe a designação de raios

meridionais.

Voltando a substituir 22C r′φ = na primeira equação em que o segundo membro é a

constante D , obtém-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 22 221 1Cn r D r r n r D r

r′ ′ ′= + φ + ⇒ = + + .

Logo, introduzindo

2 2 22: , :a D b C D= =

vem finalmente

( )2

21 d r bn r ad z r

⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (6.5)


39

No caso dos raios meridionais, em que 1 2 0C C b= = = , obtém-se da Eq. (6.5) a

seguinte equação diferencial para o perfil do índice de refracção (após derivar em ordem a z )

( ) ( )2 2

220 2 0d r dr d r dna n r a a n r

d z dz dz dr⎡ ⎤⎛ ⎞

− + = ⇒ − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

ou, para 0r′ ≠ ,

( ) ( )2

22

10 02

d r d n da n r a r n rd z d r d r

′′ ⎡ ⎤− = ⇒ − =⎣ ⎦ . (6.6)

A Eq. (6.6) permite, uma vez conhecido o perfil ( )n n r= , determinar a equação da trajectória

do raio meridional.

No caso dos raios helicoidais, em que 0r r= , tira-se da Eq. (6.5) que

( ) 20d r bn r ad z r

= ⇒ = + . (6.7)


40


41

1. O problema variacional

O problema da braquistócrona foi um dos primeiros problemas do cálculo variacional a ser

resolvido. Este problema foi resolvido por Johann Bernoulli em 1696 e colocado por este em

1697 a vários matemáticos que apresentaram soluções válidas – nomeadamente Isaac Newton,

Jakob Bernoulli (irmão de Johann), Gottfried Leibnitz e Guillaume de l’Hôpital. Note-se que,

em 1638, Galileo Galilei tinha dado uma solução incorrecta para este problema ao afirmar que

a braquistócrona era um círculo.

Enunciado: Consideremos dois pontos ( )1 1,A x y e ( )2 2,B x y no plano. O tempo τ que uma

partícula material de massa m leva, sob a acção da gravidade, a ir do ponto A até ao ponto

B depende da trajectória ( ) ( ) ( )Y x y x xεη= + que une esses dois pontos. A curva ( )y x ,

com 0ε = em ( )Y x , que corresponde ao valor mínimo de τ , minτ , designa-se por

braquistócrona.

Na Fig. 1 representa-se esquematicamente o problema em questão.

Figura 1 A curva ( )Y x une os pontos A e B e é percorrida por uma partícula de massa m

sob o efeito gravitacional num tempo τ . No funcional ( )Y x τ pretende-se determinar o

tempo mínimo, i.e., a curva tal que ( ) miny x τ e que se designa por braquistócrona.

Y

X1y

2y

1x 2x

( )Y x

A

B


42

Nota etimológica: A palavra «braquistócrona» resulta dos termos gregos «βραχιοτος» (mais

pequeno) e «χρουος» (tempo). Em inglês escreve-se «brachistochone».

Sendo 1t o instante em que a partícula passa no ponto A e 2t o instante em que esta chega ao

ponto B , será então

( )2 2

1 1

21t B x

t A x

Ydsdt d xv v

τ′+

= = =∫ ∫ ∫

uma vez que se tem

( )

( ) ( )

222 2 2 2 2

2 2

1 1

1 1

d yd s d x d y d x d x yd x

d s d xd s y d x v ydt dt

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤′= + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

′ ′∴ = + ⇒ = = +

para a velocidade da partícula. Como o campo gravitacional é conservativo, a energia total

T U= +E é constante. A energia cinética é

212

T mv=

e a energia potencial U é tal que

( )ˆ ˆdUmg U U y mg yd y

= = −∇ = − ∴ = −f y y

onde se considerou que ( )0 0U = . Assim

2 21 1

1 12 2

mv mg y mv mg y− = −


43

( ) ( )21

0 1 022vy y v y g y yg

= − ∴ = −

onde ( )1 1v v y= . Logo

( )2

1

2

0

112

x

x

Yd x

Y ygτ

′+=

−∫ . (8)

Como se tem

( )2

1

, ,2

x

x

I I f Y Y d xg

τ ′= = ∫

a identidade de Beltrami permite escrever, neste caso,

ff y Dy

∂′− =′∂

( ) ( )2 2

0 0

1

1 1

f y Dy y y y y y y

′∂= ∴ =′∂ ′ ′− + − +

.

Portanto

( ) ( )20 2

11y y yD

⎡ ⎤′− + =⎣ ⎦

e, fazendo 2 1 2D a= , obtém-se

( )2

0

21 ayy y

⎡ ⎤′+ =⎣ ⎦ −. (9)

Logo, resolvendo em ordem a y′ , infere-se que


44

( )( )

0 0

0 0

22

a y y y yd yy d x d yd x y y a y y

− − −′ = = ∴ =− − −

( )

0

02y yx d y

a y y−

=− −∫ .

Introduzindo então a mudança de variável

20 2 sin

2

2 sin cos2 2

y y a

d y a d

θ

θ θ θ

⎧ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩

resulta, onde 0x é uma constante de integração,

( )202 sin sin

2x a d x aθ θ θ θ⎛ ⎞= = + −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫

uma vez que

( )2 1sin 1 cos2 2θ θ⎛ ⎞ = −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

.

Conclui-se, deste modo, que as equações paramétricas da braquistócrona são

( ) ( )( ) ( )

0

0

sin

1 cos

x x a

y y a

θ θ θ

θ θ

⎧ = + −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨

= + −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ (10)

o que significa que se trata de uma curva ciclóide (ver Apêndice).


45

2. O tempo de percurso O tempo de percurso mínimo minτ corresponde, portanto, à trajectória ( )y x cujas equações

paramétricas são as equações (10).

Para simplificar a análise vamos admitir que 1 0v = e ainda que 1 1 0x y= = . Nestas

circunstâncias tem-se, então, 0 0y = . Considerando que o parâmetro [ ]0,θ ∈ Θ e que 2x L=

e 2y H= (ver Fig. 2), infere-se, ainda, que 0 0x = . Ou seja, as equações paramétricas (10)

reduzem-se a

( ) ( )( ) ( )

sin

1 cos

x a

y a

θ θ θ

θ θ

⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨

= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ (11)

tendo-se, no ponto ( ),B L H ,

( )( )

sin

1 cos

L a

H a

⎧ = Θ− Θ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨

= − Θ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩. (12)

Figura 2 Trajectória rectilínea ( )Y x ligando os pontos ( )0,0A e ( ),B L H a que

corresponde o tempo de percurso recta minτ τ> .

Y

X

H

L

( ) H xY xL

=

A

B


46

Comecemos por calcular o tempo minτ correspondente à braquistócrona. De (8) vem

( )2

0

112

L Yd x

Ygτ

′+= ∫ . (13)

Mas, atendendo a (9), podemos escrever

min 0

La d xg y

τ = ∫ .

Por outro lado, tem-se

( )

( )1 cos

1 cos

d x a d d x dyy a

θ θθ

θ

⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ ∴ =⎨= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩

donde se tira que

min min0

a adg g

τ θ τΘ

= ⇒ = Θ∫ . (14)

Porém, no caso da trajectória rectílínea da Fig. 2, tem-se

( )

( )

H xY xLHY xL

⎧ =⎪⎪⎨⎪ ′ =⎪⎩

pelo que, da equação (13), resulta

( )2 2

recta

2 L Hg H

τ+

= . (15)


47

Naturalmente que deverá ser recta minτ τ> . Porém, para cada caso concreto, há que relacionar

( ),L H com ( ),a Θ através de (12). Consideremos, em particular, o caso em que L π= e

2H = . Neste caso facilmente se verifica que deverá ser 1a = e πΘ = . Vem então

min

recta22

min

recta

41 1.1854

g

g

πτττ ππτ

⎧=⎪

⎪∴ = + ≈⎨

+⎪ =⎪⎩

. (16)

Este caso particular encontra-se representado na Fig. 3.

Figura 3 Comparação entre a trajectória rectilínea e a braquistócrona para L π= e 2H = .


48

Apêndice: Ciclóide Neste apêndice analisa-se o ciclóide. Trata-se de uma curva que é gerada através do

movimento de um círculo de raio r que roda no plano X Y sobre o eixo X tal como se

indica na Fig. 4. No início do movimento o ponto ( ),P x y encontra-se na origem ( )0,0O do

referencial. O ciclóide é então a curva descrita pelo ponto ( ),P x y ao longo do movimento da

roda.

Figura 4 O ciclóide é a curva gerada ao longo do movimento da roda de raio r pelo ponto

( ),P x y que, no início do movimento, coincide com a origem ( )0,0O . A posição indicada

para o ponto P sobre o círculo corresponde a 3 4θ π= .

Para escrever as equações paramétricas do ciclóide é necessário considerar que o segmento de

recta OT sobre o eixo X tem um comprimento igual ao do arco de circunferência PT . Com

efeito, sendo ( ), ,P C T θ= e PC TC r= = , tem-se OT PT rθ= = . Mas então, como

( )PCQ π θ= − ,

( )

( )( ) ( )( ) ( )

sin sin

1 coscos

x OT PQ r r x r

y ry TC QC r r

θ θ θ θ θ

θ θθ

⎧ ⎧= − = − = −⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎣ ⎦→⎨ ⎨= −⎡ ⎤= + = − ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩

(17)


49

que são as equações paramétricas do ciclóide. Na Fig. 5 representa-se o ciclóide quando o

parâmetro [ ]0,θ ∈ Θ em que 4πΘ = .

Figura 5 Ciclóide descrito pelas equações paramétricas (17) em que 1r = e 0 θ≤ ≤ Θ com

4πΘ = .


50


51

1. O problema fundamental: primeira abordagem Consideremos um exemplo típico de um problema fundamental do cálculo variacional.

Questão: Determinar a função ( )y x que torna o integral

( )2

1

22 2

4x

xI y y d xπ⎡ ⎤

′= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

estacionário. Considerar o caso em que 1 0x = , 2 1x = , ( )0 0y = e ( )1 1y = .

Comecemos por considerar a família de funções

( ) ( ) ( )Y x y x xε η= +

em que ( )y x é a solução do nosso problema, ε é uma constante real e ( )xη uma função

contínua no intervalo [ ]1 2,x x x∈ tal que ( ) ( )1 2 0x xη η= = . Então

( ) ( ) ( )Y x y x xε η′ ′ ′= + ,

obtendo-se sucessivamente

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

22 2

22 2

2 2 22 22 2 2

,4

4

24 4 4

f Y Y Y Y

y y

y y y y

π

πεη εη

π π πε η η ε η η

′ ′= −

′ ′= + − +

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

pelo que

( ) 2 2I A B Cε ε ε= + +


52

é, efectivamente, um funcional tal que ( ) ( )Y x I ε onde cada parâmetro ε caracteriza cada

uma das funções ( )Y x desde que se escolha a função de erro ( )xη . Fez-se

( )

( )

2

1

2

1

2

1

22 2

2

22 2

4

4

4

x

x

x

x

x

x

A d x

B y y d x

C y y d x

πη η

πη η

π

⎡ ⎤′= −⎢ ⎥

⎣ ⎦⎛ ⎞′ ′= −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤

′= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫

∫

onde , ,A B C∈ . Assim, o nosso problema consiste em fazer com que o integral ( )I ε seja

estacionário, i.e.,

0d Idε

= ,

ou seja,

2 2 0d I A B B Ad

ε εε= + = ⇒ = − .

Porém, deste modo, a constante A depende da função de erro ( )xη que podemos escolher de

forma arbitrária (à parte as condições, já referidas, em 1x e 2x ). A solução pretendida ocorre

para 0ε = , i.e.,

2 2

1 1

2

0

0 04

x x

x x

d I B y d x y d xd ε

πη ηε

=

′ ′= ⇒ = ⇒ =∫ ∫ .

Porém, fazendo uma integração por partes, vem


53

[ ]2 2 22

11 1 1

x x xx

xx x xy d x y y d x y d xη η η η′ ′ ′ ′′ ′′= − = −∫ ∫ ∫

uma vez que ( ) ( )1 2 0x xη η= = . Mas então

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2

1

2

2

04

04

x x

x x

x

x

B y d x y d x

y x y x x d x

πη η

π η

′′= ⇒ − =

⎡ ⎤′′∴ + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫

donde se infere que, dado que ( )xη é arbitrária para 1 2x x x< < ,

( ) ( )2

04

y x y xπ′′ + = .

A solução do nosso problema variacional reside, portanto, na solução desta última equação

diferencial. Daqui resulta que

( ) sin cos2 2

y x x xπ πα β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

onde as constantes α e β dependem das condições impostas para a solução: ( )0 0y = e

( )1 1y = . Ou seja: 1α = e 0β = .

Conclusão: A função ( )y x pretendida é a função

( ) sin2

y x xπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.


54

2. O problema fundamental: segunda abordagem Este exemplo poderia ter sido resolvido usando a equação de Euler-Lagrange:

f d fy d x y

⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

.

Como, neste caso,

( ) ( )2

2 2,4

f y y y yπ′ ′= −

resulta da equação de Euler-Lagrange que

2

2

, 2 , 22

22

f f d fy y yy y d x y

y y

π

π

⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′′= − = =⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠

′′∴ − =

que permite escrever a mesma equação diferencial obtida na primeira abordagem, i.e.,

( ) ( )2

04

y x y xπ′′ + = .

3. O problema fundamental: terceira abordagem Atendendo a que ( ),f f y y′= não depende explicitamente de x , tem-se

0fx

∂=

∂

apesar de


55

d f f f d y f d y f fy yd x x y d x y d x y y

′∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′′= + + = +′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂

não ser nula dado que ( ),f f y y′= depende implicitamente de x . Neste caso podemos usar a

identidade de Beltrami

ff y Dy

∂′− =′∂

onde D é uma constante. Logo

( ) ( ) ( )2 2

2 22 224 4

y y y y D y y Dπ π⎡ ⎤′ ′ ′ ′− − = ⇒ + = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

pelo que, derivando ambos os membros desta última equação em ordem a x , se obtém de

novo a equação diferencial (já obtida quer na primeira quer na segunda abordagens)

2

2 02

y yπ′′ + =

( ) ( )2

04

y x y xπ′′∴ + = .

4. O valor estacionário do integral Qualquer das três abordagens anteriores conduziu a que o valor estacionário do integral

( )21 2 2

0 4I y y d xπ⎡ ⎤

′= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

corresponde a ter-se considerado a função


56

( ) ( )sin , cos2 2 2

y x x y x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

já que deverá ser ( )0 0y = e ( )1 1y = . Conclui-se, assim, que o valor estacionário do integral

é dado por

( )2 21 12 2

0 0cos sin cos

4 2 2 4I x x d x x d xπ π π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( ) 1

0sin 0

4I x Iπ π∴ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Se, em vez da solução encontrada para ( )y x , se considerasse a solução (errada)

( ) ( ), 1y x x y x′= =

que também verifica as condições ( )0 0y = e ( )1 1y = , viria

( )2 21 12 2 2

0 01

4 4I y y d x x d xπ π⎡ ⎤ ⎛ ⎞

′= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫

12 2

3

0

1 0.177512 12

I x xπ π⎡ ⎤∴ = − = − ≈⎢ ⎥

⎣ ⎦

o que indicia que o valor estacionário é, de facto, um valor mínimo. No caso de se considerar

outra solução (também, naturalmente, errada)

( ) ( )1 cos , sin2 2 2

y x x y x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

viria

( ) ( )2 21 12 2

0 02cos cos 1

4 4 2I y y d x x x d xπ π π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞′= − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫


57

( )1

0

4sin sin 1 0.67424 2 4

I x x xπ π ππ π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∴ = − − = − ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦.

Na figura anexa comparam-se estes três casos.

( )

( )

( )

1

2

sin2

1 cos2

y x x

Y x x

Y x x

π

π

⎧ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ =⎨⎪

⎛ ⎞⎪ = − ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

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