ANO LECTIVO DE 2007/2008
PPPrrrooofff... CCCaaarrr lllooosss RRR... PPPaaaiiivvvaaa
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Instituto Superior Técnico
Fevereiro de 2008
Métodos Variacionais
1
Leonhard Euler (1707-1783)
Leonhard Euler foi um dos mais versáteis e prolíficos matemáticos de todos os tempos. Foi o
fundador do cálculo variacional. De acordo com Euler “there is absolutely no doubt that every effect in
the universe can be explained as satisfactorily from final causes, by the aid of the method of maxima and minima,
as it can from the effective causes” (Methodus Inveniendi Lineas Curvas).
Bibliografia
o D. S. Lemons, Perfect Form: Variational Principles, Methods, and Applications in
Elementary Physics (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1997)
o M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations (Mineola, New York: Dover, 2000)
o C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics (New York: Dover, 4th ed., 1986)
o R. Weinstock, Calculus of Variations With Applications to Physics and Engineering (New
York: Dover, 1974)
Métodos Variacionais
2
Bibliografia complementar (avançada)
o B. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations (London: Imperial College
Press, 2004)
o J. Jost and X. Li-Jost, Calculus of Variations (Cambridge: Cambridge University Press,
1998)
Métodos Variacionais
3
Pierre de Fermat (1601-1665)
Willebrord van Roijen Snell (1580-1626)
1. Princípio de Fermat: Lei de Snell Considere um raio de luz propagando-se no plano 0z = e unindo dois pontos ( )1 1,A x y e
( )2 2,B x y . Admita que, tal como se indica na Fig. 1, o raio atravessa dois meios distintos
cujos índices de refracção são 1n para 0y < e 2n para 0y > .
Figura 1
x
y
1Meio1 n→ 2Meio 2 n→
A
B
( ),0P x
1x
2x
2y1y 1θ
2θ
Métodos Variacionais
4
Usando o princípio de Fermat, vai-se mostrar que a localização x do ponto ( ),0P x
sobre a interface obedece à lei de Snell
1 1 2 2sin sinn nθ = θ . (1.1)
De acordo com o princípio de Fermat, o raio de luz que liga o ponto ( )1 1,A x y ao
ponto ( )2 2,B x y , atravessa a interface no ponto ( ),0P x de modo que o tempo de propagação
seja mínimo. A velocidade de fase no Meio 1 de índice de refracção 1n é
11
cvn
= . (1.2)
Analogamente, a velocidade de fase no Meio 2 de índice de refracção 2n é
22
cvn
= . (1.3)
O tempo de propagação do sinal luminoso será, nestas condições, dado por
( ) ( ) ( )2 22 21 1 2 2
1 2
1 1T x x x y x x yv v
= − + + − + . (1.4)
O ponto x que minimiza o tempo de precurso ( )T x é tal que
0dTd x
= . (1.5)
Assim, infere-se das Eqs. (1.4) e (1.5) que
( ) ( )
1 22 22 2
1 1 1 2 2 2
x x x x
v x x y v x x y
− −=
− + − +. (1.6)
Métodos Variacionais
5
Mas, por outro lado, tem-se
( ) ( )
1 21 22 22 2
1 1 2 2
sin , sinx x x x
x x y x x y
− −θ = θ =
− + − +. (1.7)
Logo, atendendo às Eqs. (1.6) e (1.7), tira-se que
1 2
1 2
sin sinv vθ θ
= . (1.8)
Portanto, de acordo com as Eqs. (1.2) e (1.3), resulta da Eq. (1.8) que
1 1 2 2sin sinn nθ = θ
que é a Eq. (1.1) – tal como se pretendia provar (lei de Snell).
Notemos ainda que
( ) ( )
2 221 2
3 2 3 22 2 22 21 1 1 2 2 2
0y yd Td x v x x y v x x y
= + >⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
o que mostra como o gráfico de ( )T x é côncavo para cima. O ponto x determinado pela Eq.
(1.5) é, assim, um ponto de estacionaridade que corresponde efectivamente a um mínimo.
■
Ao resolver este problema admitiu-se que todas as trajectórias possíveis se
localizavam no plano 0z = . Vamos agora generalizar a resolução deste problema libertando-
nos desta hipótese restritiva. Consideremos, então, que as trajectórias dos raios luminosos
ligam o ponto de partida ( )1 1, ,0A x y ao ponto de chegada ( )2 2, ,0B x y , passando pelo ponto
( ),0,P x z sobre a interface – i.e., não se restringe a análise às trajectórias residentes em
Métodos Variacionais
6
0z = . A consequência desta generalização é que o tempo de propagação é agora uma função
de duas variáveis: ( ),T T x z= . Com efeito, tem-se então
( ) ( ) ( )2 22 2 2 21 1 2 2
1 2
1 1,T x z x x y z x x y zv v
= − + + + − + + (1.9)
em vez da Eq. (1.4). O ponto ( ),0,P x z que minimiza o tempo de propagação satisfaz agora a
nova condição de estacionaridade
0T Tx z
∂ ∂= =
∂ ∂ (1.10)
em substituição da condição expressa na Eq. (1.5). Das Eqs. (1.9) e (1.10) vem então
( ) ( )
1 22 22 2 2 2
1 1 1 2 2 2
x x x x
v x x y z v x x y z
− −=
− + + − + + (1.11)
( ) ( )2 22 2 2 2
1 1 1 2 2 2
z z
v x x y z v x x y z=
− + + − + +. (1.12)
A única forma de satisfazer a Eq. (1.12) é fazendo
0z = (1.13)
reduzindo-se a solução novamente à Eq. (1.1). Caso contrário teria de ser
( ) ( )2 22 2 2 21 1 1 2 2 2v x x y z v x x y z− + + = − + + (1.14)
que, em conjugação com a Eq. (1.11), daria
( )1 2 1 212
x x x x x x x− = − ⇒ = + . (1.15)
Métodos Variacionais
7
Logo, das Eqs. (1.14) e (1.15), viria
( )( )
2 2 21 2 1 12
2 2 21 2 2 1 2
4 44 4
n x x y zvv n x x y z
− + += =
− + +. (1.16)
Esta solução, porém, tem de ser desprezada: para 2 1 0y y y= − = obter-se-ia sempre 1 2n n= o
que não é admissível.
The roots of the calculus of variations reach back into the late seventeenth century. The first seed was
a problem posed by Johann Bernoulli (1667-1748) in 1696 as a challenge to “the shrewdest
mathematicians of all the world.” In fact Johann meant to embarrass his older brother, Jacob (1654-
1705), with whom he was publicly feuding at the time and whom he declared incompetent to solve the
problem. The philosopher and mathematician Leibnitz “solved the problem on the day he received
Bernoulli’s letter, and correctly predicted a total of only five solutions” within the allotted six-month
time limit: they would come from the two Bernoullis, Newton, Leibnitz, and l’Hospital. Newton, who
was embroiled in a dispute with Leibnitz over the priority of inventing the calculus, also solved the
problem in one day and published his solution anonymously. On reading it, Johann, who was siding
with Leibnitz in that argument, recognized Newton’s work, “just as from the pawprint, one recognizes
the lion.” See Dictionary of Scientific Biography, Charles Coulston Gillispie, ed. (New York:
Scribner’s, 1971, vol. I, p. 53). Leonhard Euler first discovered the Euler-Lagrange equation. Joseph
Lagrange helped further develop the method. Today we recognize the calculus of variations as a
generalization of the ordinary discrete-variable method of maxima and minima.
Don S. Lemons, Perfect Form (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1997,
p.23)
■
Antes de terminar esta secção vamos analisar um problema análogo ao considerardo
na Fig. 1: o problema da lei da reflexão enunciado na Fig. 2. Trata-se de determinar a relação
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8
existente entre o ângulo de incidência θ e o ângulo de reflexão φ ou, de forma equivalente,
trata-se de determinar a coordenada x do ponto ( ),0P x onde se dá a reflexão. São
conhecidos os pontos de partida ( )1 1,A x y e de chegada ( )2 2,B x y do raio óptico. Admite-se
que tudo se passa num meio cujo índice de refracção é n pelo que a velocidade de fase é
v c n= . Assim, de acordo com a Fig. 2, tem-se
Figura 2
( ) ( )2 22 21 1 2 2,AP x x y BP x x y= − + = − +
e o tempo total de propagação será
( ) ( )2 22 21 1 2 2
AP BP cT T x x y x x yv v n
= + ⇒ = − + + − + .
O mínimo de T corresponde então a ter-se
( ) ( )
1 22 22 2
1 1 2 2
0x x x xc dTn d x x x y x x y
− −= − =
− + − +. (1.17)
Notando que se tem
φ
θ
y
x
( )1 1,A x y
( )2 2,B x y
( ),0P x
Métodos Variacionais
9
( ) ( )
1 22 22 2
1 1 2 2
sin , sinx x x x
x x y x x y
− −θ = φ =
− + − +
resulta da Eq. (1.17) a lei da reflexão segundo a qual sin sinθ = φ ou seja
θ = φ (1.18)
como é sobejamente conhecido. Mais uma vez, trata-se efectivamente de um mínimo: a
solução corresponde a
2
2 0d Td x
= .
Métodos Variacionais
10
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
2. Equação de Euler-Lagrange Um dos primeiros conceitos do cálculo variacional é o conceito de funcional. Enquanto que
uma função é uma correspondência injectiva que faz corresponder um número a outro
número, um funcional faz corresponder um número (real) a cada função (ou curva)
pertencente a uma determinada classe de funções. Suponhamos, e.g., todas as trajectórias
possíveis que unem dois pontos A e B de um plano e que uma partícula se pode deslocar ao
longo de qualquer destas trajectórias. Suponhamos, ainda, que a cada ponto ( ),x y desse
plano se faz corresponder uma determinada velocidade da partícula ( ),v x y . Podemos definir
então um funcional ao associar a cada trajectória do plano o tempo que a partícula leva a
percorrer essa mesma trajectória.
Consideremos o seguinte funcional: seja ( ), ,f x Y Y ′ uma função contínua de três
variáveis ao qual corresponde o integral
( )2
1
, ,x
xI f x Y Y dx′= ∫ (2.1)
e onde se designa por Y ′ a derivada dY d x . Efectivamente, a correspondência f I→ é, de
acordo com a nossa definição, um funcional. Neste caso a função f pertence à classe das
funções contínuas que unem os dois pontos ( )( )1 1 1,x y y x= e ( )( )2 2 2,x y y x= e que admitem
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11
segunda derivada contínua no intervalo real 1 2x x x≤ ≤ . O primeiro problema do cálculo
variacional é o seguinte: determinar a função ( ) ( )Y x y x= que faz com que o funcional I
seja estacionário (i.e, um máximo, um mínimo ou um ponto de inflexão). Assim, podemos
considerar uma infinidade de funções de teste ( )Y x e pretende-se eleger, de entre essa
infinidade de funções possíveis, a verdadeira função ( )y x que transforma o funcional I num
valor extremo (e.g., num mínimo). Para esse efeito vai definir-se a relação entre ( )Y x e
( )y x na forma
( ) ( ) ( )Y x y x x= + ε η (2.2)
em que ε é um parâmetro real bem determinado e ( )xη uma função arbitrária mas contínua e
admitindo, também, segunda derivada contínua. Notemos, desde já, que todas as funções
( )Y x são tais que
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
Y x y x y x
Y x y x y x
= = ⇒ η =
= = ⇒ η =. (2.3)
Na Fig. 3 representa-se ( )y x e uma outra possível curva ( )Y x .
Trata-se, portanto, de determinar a função ( )y x tal que
0
0d Id
ε=
=ε
(2.4)
onde
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2
1
, ,x
xI f x y x x y x x dx′ ′ε = + εη + εη∫ (2.5)
uma vez que, de acordo com a Eq. (2.2), se tem
Métodos Variacionais
12
Figura 3
( ) ( ) ( )Y x y x x′ ′ ′= + ε η .
Agora, da Eq. (2.5) resulta
2
1
x
x
d I f Y f Y dxd Y Y
⎡ ⎤′⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫
ou ainda
( ) ( )2
1
x
x
d I f fx x dxd Y Y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ′= η + η⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ . (2.6)
Através de uma integração por partes, vem
( ) ( ) ( )2
2 2
1 11
xx x
x xx
f f d fx dx x x dxY Y dx Y
⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′η = η − η⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ .
Logo, atendendo às Eqs. (2.3), obtém-se mais simplesmente
x 1x 2x
1y
2y
0x
( )0xεη
( )Y x
( )y x
y
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13
( ) ( )2 2
1 1
x x
x x
f d fx dx x dxY dx Y
⎛ ⎞∂ ∂′η = − η⎜ ⎟′ ′∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫
que, após substituição na Eq. (2.6) dá
( )2
1
x
x
d I f d f x dxd Y d x Y
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ .
Quando nesta última equação se considera o caso particular em que 0ε = deve fazer-se a
substituição Y y→ , pelo que
( )2
10
x
x
d I f d f x dxd y d x y
ε=
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ . (2.7)
Como a função ( )xη é arbitrária, a única forma de satisfazer a Eq. (2.4) para todos os pontos
do intervalo [ ]1 2,x x x∈ , corresponde a impor
0f d fy d x y
⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
. (2.8)
Com efeito se
0f d fy d x y
⎛ ⎞∂ ∂− >⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
para algum subintervalo contido em 1 2x x x≤ ≤ sendo nula no resto desse intervalo, seria
sempre possível escolher uma função ( )xη que, nesse subintervalo, verificasse a condição
( ) 0xη >
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14
de modo que seria necessariamente falsa a Eq. (2.4). Um raciocínio análogo poderia ser feito
no caso em que, num subintervalo do intervalo considerado, se tivesse
0f d fy d x y
⎛ ⎞∂ ∂− <⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
.
Daqui se infere que a Eq. (2.8) é efectivamente verdadeira – resultado conhecido como o lema
fundamental do cálculo das variações.
A Eq. (2.8) é a solução do primeiro problema do cálculo variacional e é conhecida por
equação de Euler-Lagrange (ou simplesmente por equação de Euler). Ou seja: a função
( )y x , com ( )1 1y x y= e ( )2 2y x y= , que transforma o integral
( )2
1
, ,x
xI f x y y dx′= ∫
num valor estacionário no intervalo [ ]1 2,x x x∈ é tal que observa a Eq. (2.8) ou equação de
Euler-Lagrange.
■
É frequente aparecer na literatura a definição de variação do funcional I como sendo
Iδ tal que
( )2
1
x
y yxI f f dx′ ′δ = ε η+ η∫ . (2.9)
Na escrita da Eq. (2.9) usou-se a notação
: , :y yf ff fy y′
∂ ∂= =
′∂ ∂.
De acordo então com esta notação, o extremo (i.e., o valor estacionário) do funcional I
observa-se quando se tiver 0Iδ = , pelo que
Métodos Variacionais
15
0 0y ydI f fdx ′δ = ⇒ − = (2.10)
que é uma forma equivalente de escrever a equação de Euler-Lagrange.
Consideremos, agora, dois casos particulares: um primeiro caso em que f só depende
de x e de y′ e um segundo caso em que f só depende de y e de y′ .
■
1º CASO – Comecemos, então, por considerar o primeiro caso particular em que
0yf fy
∂= =
∂.
Neste caso tem-se
( )2 2
1 1
,x x
yx xI f x y dx I f dx′′ ′= → δ = ε η∫ ∫
pelo que
10 0y ydI f f Cdx ′ ′δ = ⇒ = ⇒ =
ou
10f f Cy y
∂ ∂= ⇒ =
′∂ ∂. (2.11)
■
Métodos Variacionais
16
2º CASO – Consideremos, agora, um segundo caso particular em que
0xf fx
∂= =
∂.
Neste caso virá
y yd f f d y f d y f fy y f y f yd x y d x y d x y y ′
′⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂′ ′′ ′ ′′= + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
Ora, como
0 y ydI f fdx ′δ = ⇒ =
vem ainda
yy
d fd f y y fd x d x
′′′ ′′= + .
Porém, como
( ) yy y
d fd y f y y fd x d x
′′ ′′ ′ ′′= +
ainda se infere que
( ) ( ) 0y yd f d dy f f y fd x d x dx′ ′′ ′= ⇒ − =
ou finalmente
Métodos Variacionais
17
0f ff y Dx y
⎛ ⎞∂ ∂′= ⇒ − =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠. (2.12)
■
Exemplo. Como primeiro exemplo de aplicação da equação de Euler-Lagrange, vamos
determinar a função ( )y x que torna estacionário o integral
( )2
1
2 2x
xI y y y y dx⎡ ⎤′ ′= + +⎣ ⎦∫
e em que ( )0 0y = e ( )0 1y′ = . Neste caso será ( )2 2f y y y y′ ′= + + , de maneira que
2 , 2 , 2f f d fy y y y y yy y d x y
⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′ ′′ ′= + = + = +⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠.
Logo, através da Eq. (2.8), resulta que
2 2 0y y y y y y′ ′′ ′ ′′+ = + ⇒ − = .
Então, atendendo a que
( ) ( ) ( ) ( )sinh cosh , cosh sinhd dx x x xd x d x
= =
conclui-se que deverá ser ( ) ( )sinhy x C x= . Assim, impondo as condições iniciais ( )0 0y =
e ( )0 1y′ = , obtém-se finalmente
( ) ( )( )
sinhsinh 1
xy x = .
Métodos Variacionais
18
3. Lei de Snell generalizada Vejamos agora alguns exemplos de aplicação dos resultados obtidos na secção anterior.
Comecemos por considerar um problema trivial: a distância mais curta entre dois pontos de
um plano é um segmento de recta. O funcional que descreve a distância entre dois pontos
( )1 1 1,P x y→ e ( )2 2 2,P x y→ de um plano é
( )2 2
1 1
21P x
P xI ds y dx′= = +∫ ∫ (3.1)
uma vez que (métrica euclidiana)
( )2
22 2 2 2 1 1d yds dx dy dx ds dx yd x
⎡ ⎤⎛ ⎞′= + = + ⇒ = +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (3.2)
A função integranda na Eq. (3.1) é
( ) ( )21f f y y′ ′= = +
pelo que a equação de Euler-Lagrange se reduz, neste caso, à Eq. (2.11). Assim, como
( )
121
f y Cy y
′∂= =′∂ ′+
infere-se que
( )12
1
:1C y y x x
C′α = ⇒ = α ⇒ = α +β
−.
Logo, como ( )1 1y y x= e ( )2 2y y x= , obtém-se a equação do segmento de recta 1 2P P
Métodos Variacionais
19
( )2 11 1
2 1
y yy x x yx x−
= − +−
como é óbvio que se deveria obter.
■
No âmbito da teoria da relatividade restrita, podemos também aplicar a equação de
Euler-Lagrange ao movimento unidimensional. De acordo com a métrica ( )− + + + de
Minkowski, o intervalo elementar entre dois acontecimentos será dado pelo invariante
2 2 2 2 2 2 2 2:ds c d c dt dx dy dz= − τ = − + + + (3.3)
em que se designa por τ o chamado tempo próprio da partícula. Assim, tem-se
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 22 2 21 1dx dy dz vds c dt c dt c d
c dt c⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +
= − − = − − = − τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ou ainda
( )2
21v t
d dtc
τ = − .
Assim, no caso do movimento unidimensional em que v x= , o intervalo de tempo próprio 0T
será dado por
2
1
2
0 1t
t
xT dtc
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ . (3.4)
Métodos Variacionais
20
Para determinar em que circunstâncias é que este intervalo é estacionário (pode provar-se que,
neste caso, se vai tratar de um máximo e não de um mínimo), é necessário aplicar a equação
de Euler-Lagrange a
( ) ( )2
1
2
01t
t
xf f x T f x dtc
⎛ ⎞= = − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
vindo então
0f d fx dt x
⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
.
Ora, como neste caso se tem
2
1
1
f xx c x
c
∂= −
∂ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
infere-se que, sendo α uma constante, virá
( )
( )0 0 02 2 21
x cx v x t x v tcx c
α= α ⇒ = = ⇒ = +
α +−.
Isto significa que, no espaço-tempo de Minkowski, as trajectórias rectas das partículas livres
(i.e., não sujeitas a qualquer aceleração) correspondem a uma estacionaridade (a um máximo,
mais concretamente) do tempo próprio. Assim, para estas trajectórias rectilíneas, tem-se
0x v= que, depois de substituir na Eq. (3.4), dá
02021
TTvc
=
−
(3.5)
Métodos Variacionais
21
onde se fez 2 1:T t t= − . Esta última equação é a conhecida equação da dilatação do tempo em
relatividade restrita.
■
Nem todos os problemas, porém, têm soluções assim tão óbvias. Consideremos, então,
um outro tipo de aplicação.
Num meio o índice de refracção tem um perfil variável, sendo
( ) 0n n y n y= = −µ (3.6)
com 0µ > . É o caso da atmosfera com um gradiente vertical constante, em que o índice de
refracção diminui com a altura y tendo-se 0n n= para 0y = . Neste meio a velocidade de
fase é função da altura tendo-se
( ) ( )cv v y
n y= = . (3.7)
Um raio electromagnético que se propague entre dois pontos ( )1 1 1,P x y→ e ( )2 2 2,P x y→
tem um atraso de fase T dado por
( ) ( ) ( )2 2
1 1
21P x
P x
dsT cT n y y dxv y
′= ⇒ = +∫ ∫ . (3.8)
O problema variacional corresponde então a encontrar a estacionaridade de T em que, neste
caso, a função integranda tem a forma ( )I cT=
( ) ( ) ( )2, 1f f y y n y y dx′ ′= = + . (3.9)
A equação de Euler-Lagrange corresponde, portanto, ao caso da Eq. (2.12) pelo que
Métodos Variacionais
22
( )( )21
f yn yy y
′∂=′∂ ′+
e, consequentemente,
( ) ( ) ( ) ( )( )
22
21
1
yff y D n y y n y Dy y
′⎛ ⎞∂′ ′− = ⇔ + − =⎜ ⎟′∂⎝ ⎠ ′+
ou seja
( )( )21
n yD
y=
′+. (3.10)
Logo, fazendo (Fig. 4)
( )2
1sin1
d xd s y
θ = =′+
Figura 4
obtém-se da Eq. (3.10)
( )sinn y Dθ = (3.11)
que se poderá designar por lei de Snell generalizada para um meio com um perfil variável do
índice de refracção. Note-se que da Eq. (3.10) resulta que
dx
dyds
x
y
θ
Métodos Variacionais
23
( ) ( )0
02 2
2 21 1
y
y
dy dydx x xn y n y
D D
= ⇒ − = ±
− −∫ . (3.12)
No caso particular em que o perfil do índice de refracção é dado pela Eq. (3.6) e se
considera que ( ) ( )0 0 0y y′= = , façamos a mudança de variável
( )0 01cosh cosh sinhDn y D y n D dy d−µ = φ ⇒ = − φ ⇒ = − φ φµ µ
.
Nestas condições podemos fazer 0φ = para 0y = desde que 0D n= . Da Eq. (3.12) vem
então, para 0 0 0x y= = ,
( )
0 0 02 20 0 0
0
20
sinhcosh 1
1
y n n ndux d d xnn u
n
φ φθ µ= − = θ = θ = φ ⇒ φ =
µ µ µθ−−
∫ ∫ ∫ .
Deste modo a trajectória do raio será
0
0
1 coshn xyn
⎡ ⎤⎛ ⎞µ= −⎢ ⎥⎜ ⎟µ ⎝ ⎠⎣ ⎦
. (3.13)
A Eq. (3.10) pode ser utilizada para problemas inversos, i.e., em problemas de síntese
onde se pretende saber qual o perfil do índice de refracção que permite uma determinada
trajectória dos raios de luz.
Comecemos por considerar uma trajectória
2y a x= . (3.14)
Para determinar o perfil do índice de refracção que possibilita esta trajectória, utiliza-se a Eq.
(3.10). Como 2y a x′ = , vem então
Métodos Variacionais
24
( ) ( )2 20 01 4 1 4n x n a x n y n a y= + ⇒ = + (3.15)
onde se introduziu ( )0 0n n y= = .
Como segundo exemplo de síntese vamos agora considerar a trajectória periódica
( )siny A k x= . (3.16)
Assim, neste caso em que ( )cosy k A k x′ = , tira-se da Eq. (3.10) que
( ) ( ) ( )2 2 2 2
20 02 2 2 21 sin 1
1 1k A k yn x n k x n y n
k A k A= − ⇒ = −
+ + (3.17)
onde, mais uma vez, se introduziu ( )0 0n n y= = .
Métodos Variacionais
25
4. O princípio da acção mínima A equação de Euler-Lagrande encontra uma aplicação importante na mecânica através do
chamado princípio da acção mínima (ou, mais geralmente, da acção estacionária). Nesta
secção consideraremos, apenas, o caso de uma única partícula movendo-se numa única
direcção espacial e no âmbito da mecânica newtoniana.
Seja então uma partícula de massa m cujo movimento se processa ao longo do eixo x
com uma velocidade
: d xv xdt
= = . (4.1)
A energia cinética da partícula será ( )T T x= tal que
2 21 1:2 2
T mv m x= = . (4.2)
A equação de Newton do movimento da partícula escreve-se, como é bem conhecido, na
forma
f m a m x= = (4.3)
onde se designou a força por f . Nestas condições, a energia potencial da partícula é dada por
( ),U U t x=
Ufx
∂= −
∂ (4.4)
onde se admitiu que o campo ( ),U U t x= é conservativo.
Define-se a função lagrangiana L da partícula como sendo
:L T U= − . (4.5)
Métodos Variacionais
26
No caso em análise será então
212
UL mxx
∂= +
∂.
Pode então demonstrar-se que a equação newtoniana do movimento – a Eq. (4.3) –
corresponde ao chamado princípio da acção mínima. Com efeito, define-se a acção S como o
integral
( )2
1
: , ,t
tS L t x x dt= ∫ . (4.6)
Logo, usando a equação de Euler-Lagrange para determinar o valor estacionário deste
integral, deverá ser
0L d Lx dt x
⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
.
Assim, como se tem
,L U L T mxx x x x
∂ ∂ ∂ ∂= − = =
∂ ∂ ∂ ∂
infere-se que a equação de Euler-Lagrange conduz à equação
( ) 0U d mxx dt
∂− − =∂
. (4.7)
Portanto, atendendo à Eq. (4.4), verifica-se que a Eq. (4.7) é equivalente à Eq. (4.3) o que
prova o princípio da acção estacionária.
Exemplo 1. Como primeiro exemplo de aplicação deste formalismo comecemos por
mostrar que, no caso em que a energia potencial não depende do tempo, i.e., quando se tem
Métodos Variacionais
27
apenas ( )U U x= , a energia total E T U= + se conserva. De facto, como a lagrangiana
( ),L L x x= não depende explicitamente do tempo, vem
0L d L L d x L d x L Lx xt dt x dt x dt x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = + = +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂.
Logo, aplicando a equação de Euler-Lagrange, vem sucessivamente
L d L dL d L L d Lx x xx dt x dt dt x x dt x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⇒ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
donde se tira ainda que
0d L LL x L x Cdt x x
⎛ ⎞∂ ∂− = ⇒ − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
onde C é uma constante. Mas então podemos escrever que
2L Lm x T U x T U mx T U Cx x
∂ ∂= ⇒ − − = − − = − − =
∂ ∂
ou seja
E T U C= + = −
i.e., a energia total é efectivamente constante.
■
Exemplo 2. Como segundo exemplo de aplicação deste formalismo vamos agora
considerar o caso do movimento harmónico unidimensional em que se tem
Métodos Variacionais
28
( ) 212
U U x k x= = .
Aplicando o resultado do exemplo anterior, a energia total é constante pelo que
2 21 1 02 2
d EE T U mx k x mx k xdt
= + = + ⇒ = + = .
Este resultado também se podia obter da aplicação directa da equação de Euler-Lagrange, i.e.,
0mx k x+ = .
Assim vem
20 0: 0k x x
mω = ⇒ +ω = (4.8)
cuja solução, admitindo que ( ) 00x x= e ( ) 00x v= , tem a forma
( ) ( ) ( )00 0 0
0
cos sinvx t x t t= ω + ωω
. (4.9)
Métodos Variacionais
29
5. Mais do que uma função desconhecida a determinar Nesta secção vamos determinar as equações de Euler-Lagrange quando existem várias
funções desconhecidas. Consideremos um integral I em que 1q é a variável independente
sobre a qual se faz a integração e designemos por ( ) ( ) ( )2 2 1 3 3 1 1, , , n nq q q q q q q q q= = =… as
funções desconhecidas, i.e., existem 1n − variáveis dependentes ( )2 3, , , nq q q… a determinar
no intervalo 1a q b≤ ≤ .
Introduzem-se então as seguintes 1n − funções auxiliares de comparação
( ) ( ) ( )1 1 1i i iQ q q q q= + ε η (5.1)
em que 2, 3, ,i n= … . Assim
( ) ( ) ( )1 1 1i i iQ q q q q′ ′ ′= + ε η . (5.2)
Na Secção 2 limitou-se a análise ao caso 2n = em que se fez 1q x= e ( )2q y x= ,
tendo-se
( ) ( ), ,b
aI f x Y Y dx′ε = ∫ .
No caso geral será então
( ) ( )1 2 2 1, , , , , ,b
n naI f q Q Q Q Q dq′ ′ε = ∫ … … (5.3)
o funcional em que se pretende determinar a estacionaridade
0
0d Id
ε=
=ε
(5.4)
tal como na Eq. (2.4). Assim, vem
Métodos Variacionais
30
( ) ( )1 2 1 2 1 12 2
n nb bi ia a
i ii i i i
Q Qd I f f f fdq q q dqd Q Q Q Q= =
⎛ ⎞ ⎡ ⎤′∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ′= + = η + η⎜ ⎟ ⎢ ⎥′ ′ε ∂ ∂ε ∂ ∂ε ∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .
Fazendo uma integração por partes, tem-se
( ) ( ) ( )1 1 1 1 11
bb b
i i ia ai i ia
f f d fq dq q q dqQ Q d q Q
⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′η = η − η⎜ ⎟⎢ ⎥′ ′∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫
e, como ( ) ( ) 0i ia bη = η = ,
( )1 12 1
nb
iai i i
d I f d f q dqd Q d q Q=
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫ .
Quando se faz 0ε = , vem
( )1 12 10
0nb
iai i i
d I f d f q dqd q d q q=ε=
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − η =⎢ ⎥⎜ ⎟′ε ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
∑∫ .
Como as funções ( )1i qη são arbitrárias, obtêm-se as seguintes 1n − equações de Euler-
Lagrange
1
0, 2,3, ,i i
f d f i nq d q q
⎛ ⎞∂ ∂− = =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
… . (5.5)
■
Vejamos, agora, o caso particular em que na Eq. (5.3) se tem
( )21
0 , , nf f f q qq∂
= ⇒ =∂
… . (5.6)
Métodos Variacionais
31
Neste caso virá então
2 21 2 2
n nn n
d f f f f fq q q qd q q q q q
∂ ∂ ∂ ∂′ ′ ′′ ′′= + + + + +′ ′∂ ∂ ∂ ∂
ou ainda, usando as equações de Euler-Lagrange expressas nas Eqs. (5.5),
2 21 1 2 2 1 2
n nn
d f d f f d f fq q q qd q d q q q d q q q
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂′ ′′ ′ ′′= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦.
Assim, neste caso particular, infere-se que se pode escrever
221 1 2 1
0n
n kkn k
d f d f f d fq q f qd q d q q q d q q=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′ ′= + + ⇒ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑
pelo que, designando por D uma constante de integração, virá finalmente
2
n
kk k
ff q Dq=
∂′− =′∂∑ . (5.7)
Métodos Variacionais
32
6. Exemplos de aplicação Vamos agora, nesta secção, considerar alguns exemplos de aplicação da teoria desenvolvida
na secção anterior.
■
Exemplo 1. Comecemos por analisar a equação newtoniana do movimento de uma
partícula de massa m num plano em termos de coordenadas polares (Fig. 5).
Figura 5
Comecemos por notar que, de ( )cosx r= θ e ( )siny r= θ , vem
( ) ( )( ) ( )
cos sinsin cos
dx dr r ddy dr r d
= θ − θ θ⎧⎪⎨ = θ + θ θ⎪⎩
donde se tira que
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 cos sin sin cosds dx dy dr r d dr r d= + = θ − θ θ + θ + θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ou seja
2 2 2 2ds dr r d= + θ .
θ r
( ),P r θ
x X
Y
y
( )( )
2 2 2 2cossin
x rds dr r d
y rθ
θθ
=⇒ = +
=
Métodos Variacionais
33
Assim, a velocidade de uma partícula será v tal que
2 2 2
2 2 2 2 2d s d r dv r r rdt dt dt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ= = + = + θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Nestas condições, a energia cinética tem a forma
( )2 2 2 21 12 2
T mv m r r= = + θ .
Para uma energia potencial ( ),U U r= θ , a função lagrangiana da partícula será dada por
( ) ( )2 2 21 ,2
L T U m r r U r= − = + θ − θ .
A acção S correspondente ao intervalo temporal 1 2t t t≤ ≤ , é então
( )2
1
, , ,t
tS L r r dt= θ θ∫ .
O princípio da acção mínima corresponde a impor a estacionaridade de S que, por sua vez,
corresponde às duas equações de Euler-Lagrange
L d Lr dt r
L d Ldt
⎧ ⎛ ⎞∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝ ⎠
⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = ⎜ ⎟⎪ ∂θ ∂θ⎝ ⎠⎩
e que permitem portanto escrever as equações do movimento na forma
Métodos Variacionais
34
( )
( )
2
12
Um r rr
Um r rr
∂⎧ − θ = −⎪ ∂⎪⎨ ∂⎪ θ+ θ = −⎪ ∂θ⎩
Notemos, para terminar este exemplo, que em coordenadas polares se tem
1 ˆˆU UUr r
∂ ∂∇ = +
∂ ∂θr θ .
Como a energia potencial não depende explicitamente do tempo, temos
ˆˆ1
r
r
Ufr
f f UUf
r
θ
θ
∂⎧ = −⎪ ∂⎪= + = −∇ ⇒ ⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂θ⎩
f r θ
o que mostra que as equações do movimento obtidas anteriormente não são mais do que as
equações newtonianas que correspondem a
m U= = −∇f a .
Assim, em coordenadas polares, a aceleração ˆˆra aθ= +a r θ da partícula tem por
componentes
2
2ra r r
a r rθ
⎧ = − θ⎪⎨
= θ+ θ⎪⎩
No caso particular do movimento sob a acção de uma força central, tem-se apenas
( )U U r= de modo que as equações do movimento se reduzem a
Métodos Variacionais
35
( )
( )
2
2 0
Um r rr
m r r
∂⎧ − θ = −⎪ ∂⎨⎪ θ+ θ =⎩
Note-se que a segunda equação obtida ainda se pode escrever na forma equivalente
( ) 212 0 02
dm r r rdt
⎛ ⎞θ + θ = ⇒ θ =⎜ ⎟⎝ ⎠
. (6.1)
A área elementar dA varrida no intervalo temporal dt é preciamente (Fig. 6)
Figura 6
( ) 21 12 2
dA ddA r rd rdt dt
θ= θ ⇒ = . (6.2)
Das Eqs. (6.1) e (6.2) resulta então que
2
2 0d A d A Cdt dt
= ⇒ = (6.3)
dθ
rr dθ
Métodos Variacionais
36
em que C é uma constante. A Eq. (6.3) não é mais do que a segunda lei de Kepler do
movimento planetário: o raio vector varre áreas iguais em tempos iguais.
■
Exemplo 2. Vamos agora analisar a propagação de raios ópticos ao longo de uma fibra
óptica. Usaremos, para o efeito, o sistema de coordenadas cilíndricas representado na Fig. 7.
Figura 7
O plano transversal é o plano ( ),r φ e o eixo da fibra é o eixo longitudinal z . De
acordo com o princípio de Fermat, a trajectória do raio óptico é a trajectória a que
corresponde um atraso T de fase estacionário. Para a trajectória entre dois pontos
( )1 1 1 1, ,P r zφ e ( )2 2 2 2, ,P r zφ , esse atraso de fase é tal que (com fv c n= , sendo n o índice de
refracção)
2 2
1 1
2 22 1
P z
P z
d r dcT n ds n r dzd z d z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞φ= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ .
Admitindo então que o índice de refracção apenas depende da coordenada r , vem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1
2 22, , 1 , ,z
zf r r n r r r cT f r r dz′ ′ ′ ′ ′ ′φ = + φ + ⇒ = φ∫ .
φ r
z
X
Y
Z
( ), ,P r zφ2 2 2 2 2
cossin
x ry r ds dr r d dz
z z
φφ φ
== ⇒ = + +=
x
y
Métodos Variacionais
37
As equações de Euler-Lagrange para este problema escrevem-se então na forma
f d fr dz r
f d fdz
⎧ ⎛ ⎞∂ ∂=⎪ ⎜ ⎟′∂ ∂⎪ ⎝ ⎠
⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ = ⎜ ⎟⎪ ′∂φ ∂φ⎝ ⎠⎩
ou, atendendo a que f não depende explicitamente nem da coordenada longitudinal z nem
da coordenada azimutal φ ,
1
0
0 0
f f ff r Dz r r
f d f f Cdz
∂ ∂ ∂⎧ ′ ′= ⇒ − −φ =⎪ ′ ′∂ ∂ ∂⎪⎨ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎪ ′ ′∂φ ∂φ ∂φ⎝ ⎠⎩
Mas, por outro lado, tem-se
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 22
2
2 22
1
1
n r rfr r r
n r rf
r r
′⎧ ∂=⎪ ′∂ ′ ′+ φ +⎪⎪
⎨′φ∂⎪ =⎪ ′∂φ ′ ′+ φ +⎪⎩
de modo que
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 22
2
1 12 22
1
1
n rf ff r D Dr r r r
n r rf C Cr r
⎧ ∂ ∂′ ′− − φ = ⇒ =⎪′ ′∂ ∂⎪ ′ ′+ φ +⎪
⎨′φ⎪ ∂
= ⇒ =⎪ ′∂φ ′ ′+ φ +⎪⎩
Definindo
Métodos Variacionais
38
12 : CC
D=
infere-se, por divisão ordenada das duas equações, que
( )2 2 22 02 2 2, ,C C zr C x y z
r x y′ ′φ = ⇒ φ = ⇒ φ = φ +
+. (6.4)
A Eq. (6.4) revela que
22 2
Cz x y
∂φ=
∂ +
de modo que, se 0′φ = em 0z = , deverá ser necessariamente 2 0C = e, portanto, 0′φ = para
qualquer distância z . Este tipo de raios, em que 0φ = φ , recebe a designação de raios
meridionais.
Voltando a substituir 22C r′φ = na primeira equação em que o segundo membro é a
constante D , obtém-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 22 221 1Cn r D r r n r D r
r′ ′ ′= + φ + ⇒ = + + .
Logo, introduzindo
2 2 22: , :a D b C D= =
vem finalmente
( )2
21 d r bn r ad z r
⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦. (6.5)
Métodos Variacionais
39
No caso dos raios meridionais, em que 1 2 0C C b= = = , obtém-se da Eq. (6.5) a
seguinte equação diferencial para o perfil do índice de refracção (após derivar em ordem a z )
( ) ( )2 2
220 2 0d r dr d r dna n r a a n r
d z dz dz dr⎡ ⎤⎛ ⎞
− + = ⇒ − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
ou, para 0r′ ≠ ,
( ) ( )2
22
10 02
d r d n da n r a r n rd z d r d r
′′ ⎡ ⎤− = ⇒ − =⎣ ⎦ . (6.6)
A Eq. (6.6) permite, uma vez conhecido o perfil ( )n n r= , determinar a equação da trajectória
do raio meridional.
No caso dos raios helicoidais, em que 0r r= , tira-se da Eq. (6.5) que
( ) 20d r bn r ad z r
= ⇒ = + . (6.7)
Métodos Variacionais
41
1. O problema variacional
O problema da braquistócrona foi um dos primeiros problemas do cálculo variacional a ser
resolvido. Este problema foi resolvido por Johann Bernoulli em 1696 e colocado por este em
1697 a vários matemáticos que apresentaram soluções válidas – nomeadamente Isaac Newton,
Jakob Bernoulli (irmão de Johann), Gottfried Leibnitz e Guillaume de l’Hôpital. Note-se que,
em 1638, Galileo Galilei tinha dado uma solução incorrecta para este problema ao afirmar que
a braquistócrona era um círculo.
Enunciado: Consideremos dois pontos ( )1 1,A x y e ( )2 2,B x y no plano. O tempo τ que uma
partícula material de massa m leva, sob a acção da gravidade, a ir do ponto A até ao ponto
B depende da trajectória ( ) ( ) ( )Y x y x xεη= + que une esses dois pontos. A curva ( )y x ,
com 0ε = em ( )Y x , que corresponde ao valor mínimo de τ , minτ , designa-se por
braquistócrona.
Na Fig. 1 representa-se esquematicamente o problema em questão.
Figura 1 A curva ( )Y x une os pontos A e B e é percorrida por uma partícula de massa m
sob o efeito gravitacional num tempo τ . No funcional ( )Y x τ pretende-se determinar o
tempo mínimo, i.e., a curva tal que ( ) miny x τ e que se designa por braquistócrona.
Y
X1y
2y
1x 2x
( )Y x
A
B
Métodos Variacionais
42
Nota etimológica: A palavra «braquistócrona» resulta dos termos gregos «βραχιοτος» (mais
pequeno) e «χρουος» (tempo). Em inglês escreve-se «brachistochone».
Sendo 1t o instante em que a partícula passa no ponto A e 2t o instante em que esta chega ao
ponto B , será então
( )2 2
1 1
21t B x
t A x
Ydsdt d xv v
τ′+
= = =∫ ∫ ∫
uma vez que se tem
( )
( ) ( )
222 2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
d yd s d x d y d x d x yd x
d s d xd s y d x v ydt dt
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤′= + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′∴ = + ⇒ = = +
para a velocidade da partícula. Como o campo gravitacional é conservativo, a energia total
T U= +E é constante. A energia cinética é
212
T mv=
e a energia potencial U é tal que
( )ˆ ˆdUmg U U y mg yd y
= = −∇ = − ∴ = −f y y
onde se considerou que ( )0 0U = . Assim
2 21 1
1 12 2
mv mg y mv mg y− = −
Métodos Variacionais
43
( ) ( )21
0 1 022vy y v y g y yg
= − ∴ = −
onde ( )1 1v v y= . Logo
( )2
1
2
0
112
x
x
Yd x
Y ygτ
′+=
−∫ . (8)
Como se tem
( )2
1
, ,2
x
x
I I f Y Y d xg
τ ′= = ∫
a identidade de Beltrami permite escrever, neste caso,
ff y Dy
∂′− =′∂
( ) ( )2 2
0 0
1
1 1
f y Dy y y y y y y
′∂= ∴ =′∂ ′ ′− + − +
.
Portanto
( ) ( )20 2
11y y yD
⎡ ⎤′− + =⎣ ⎦
e, fazendo 2 1 2D a= , obtém-se
( )2
0
21 ayy y
⎡ ⎤′+ =⎣ ⎦ −. (9)
Logo, resolvendo em ordem a y′ , infere-se que
Métodos Variacionais
44
( )( )
0 0
0 0
22
a y y y yd yy d x d yd x y y a y y
− − −′ = = ∴ =− − −
( )
0
02y yx d y
a y y−
=− −∫ .
Introduzindo então a mudança de variável
20 2 sin
2
2 sin cos2 2
y y a
d y a d
θ
θ θ θ
⎧ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
resulta, onde 0x é uma constante de integração,
( )202 sin sin
2x a d x aθ θ θ θ⎛ ⎞= = + −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫
uma vez que
( )2 1sin 1 cos2 2θ θ⎛ ⎞ = −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
.
Conclui-se, deste modo, que as equações paramétricas da braquistócrona são
( ) ( )( ) ( )
0
0
sin
1 cos
x x a
y y a
θ θ θ
θ θ
⎧ = + −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨
= + −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ (10)
o que significa que se trata de uma curva ciclóide (ver Apêndice).
Métodos Variacionais
45
2. O tempo de percurso O tempo de percurso mínimo minτ corresponde, portanto, à trajectória ( )y x cujas equações
paramétricas são as equações (10).
Para simplificar a análise vamos admitir que 1 0v = e ainda que 1 1 0x y= = . Nestas
circunstâncias tem-se, então, 0 0y = . Considerando que o parâmetro [ ]0,θ ∈ Θ e que 2x L=
e 2y H= (ver Fig. 2), infere-se, ainda, que 0 0x = . Ou seja, as equações paramétricas (10)
reduzem-se a
( ) ( )( ) ( )
sin
1 cos
x a
y a
θ θ θ
θ θ
⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨
= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩ (11)
tendo-se, no ponto ( ),B L H ,
( )( )
sin
1 cos
L a
H a
⎧ = Θ− Θ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨
= − Θ⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩. (12)
Figura 2 Trajectória rectilínea ( )Y x ligando os pontos ( )0,0A e ( ),B L H a que
corresponde o tempo de percurso recta minτ τ> .
Y
X
H
L
( ) H xY xL
=
A
B
Métodos Variacionais
46
Comecemos por calcular o tempo minτ correspondente à braquistócrona. De (8) vem
( )2
0
112
L Yd x
Ygτ
′+= ∫ . (13)
Mas, atendendo a (9), podemos escrever
min 0
La d xg y
τ = ∫ .
Por outro lado, tem-se
( )
( )1 cos
1 cos
d x a d d x dyy a
θ θθ
θ
⎧ = −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦ ∴ =⎨= −⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎩
donde se tira que
min min0
a adg g
τ θ τΘ
= ⇒ = Θ∫ . (14)
Porém, no caso da trajectória rectílínea da Fig. 2, tem-se
( )
( )
H xY xLHY xL
⎧ =⎪⎪⎨⎪ ′ =⎪⎩
pelo que, da equação (13), resulta
( )2 2
recta
2 L Hg H
τ+
= . (15)
Métodos Variacionais
47
Naturalmente que deverá ser recta minτ τ> . Porém, para cada caso concreto, há que relacionar
( ),L H com ( ),a Θ através de (12). Consideremos, em particular, o caso em que L π= e
2H = . Neste caso facilmente se verifica que deverá ser 1a = e πΘ = . Vem então
min
recta22
min
recta
41 1.1854
g
g
πτττ ππτ
⎧=⎪
⎪∴ = + ≈⎨
+⎪ =⎪⎩
. (16)
Este caso particular encontra-se representado na Fig. 3.
Figura 3 Comparação entre a trajectória rectilínea e a braquistócrona para L π= e 2H = .
Métodos Variacionais
48
Apêndice: Ciclóide Neste apêndice analisa-se o ciclóide. Trata-se de uma curva que é gerada através do
movimento de um círculo de raio r que roda no plano X Y sobre o eixo X tal como se
indica na Fig. 4. No início do movimento o ponto ( ),P x y encontra-se na origem ( )0,0O do
referencial. O ciclóide é então a curva descrita pelo ponto ( ),P x y ao longo do movimento da
roda.
Figura 4 O ciclóide é a curva gerada ao longo do movimento da roda de raio r pelo ponto
( ),P x y que, no início do movimento, coincide com a origem ( )0,0O . A posição indicada
para o ponto P sobre o círculo corresponde a 3 4θ π= .
Para escrever as equações paramétricas do ciclóide é necessário considerar que o segmento de
recta OT sobre o eixo X tem um comprimento igual ao do arco de circunferência PT . Com
efeito, sendo ( ), ,P C T θ= e PC TC r= = , tem-se OT PT rθ= = . Mas então, como
( )PCQ π θ= − ,
( )
( )( ) ( )( ) ( )
sin sin
1 coscos
x OT PQ r r x r
y ry TC QC r r
θ θ θ θ θ
θ θθ
⎧ ⎧= − = − = −⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎣ ⎦→⎨ ⎨= −⎡ ⎤= + = − ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩
(17)
Métodos Variacionais
49
que são as equações paramétricas do ciclóide. Na Fig. 5 representa-se o ciclóide quando o
parâmetro [ ]0,θ ∈ Θ em que 4πΘ = .
Figura 5 Ciclóide descrito pelas equações paramétricas (17) em que 1r = e 0 θ≤ ≤ Θ com
4πΘ = .
Métodos Variacionais
51
1. O problema fundamental: primeira abordagem Consideremos um exemplo típico de um problema fundamental do cálculo variacional.
Questão: Determinar a função ( )y x que torna o integral
( )2
1
22 2
4x
xI y y d xπ⎡ ⎤
′= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
estacionário. Considerar o caso em que 1 0x = , 2 1x = , ( )0 0y = e ( )1 1y = .
Comecemos por considerar a família de funções
( ) ( ) ( )Y x y x xε η= +
em que ( )y x é a solução do nosso problema, ε é uma constante real e ( )xη uma função
contínua no intervalo [ ]1 2,x x x∈ tal que ( ) ( )1 2 0x xη η= = . Então
( ) ( ) ( )Y x y x xε η′ ′ ′= + ,
obtendo-se sucessivamente
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22 2
22 2
2 2 22 22 2 2
,4
4
24 4 4
f Y Y Y Y
y y
y y y y
π
πεη εη
π π πε η η ε η η
′ ′= −
′ ′= + − +
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
pelo que
( ) 2 2I A B Cε ε ε= + +
Métodos Variacionais
52
é, efectivamente, um funcional tal que ( ) ( )Y x I ε onde cada parâmetro ε caracteriza cada
uma das funções ( )Y x desde que se escolha a função de erro ( )xη . Fez-se
( )
( )
2
1
2
1
2
1
22 2
2
22 2
4
4
4
x
x
x
x
x
x
A d x
B y y d x
C y y d x
πη η
πη η
π
⎡ ⎤′= −⎢ ⎥
⎣ ⎦⎛ ⎞′ ′= −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤
′= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
∫
onde , ,A B C∈ . Assim, o nosso problema consiste em fazer com que o integral ( )I ε seja
estacionário, i.e.,
0d Idε
= ,
ou seja,
2 2 0d I A B B Ad
ε εε= + = ⇒ = − .
Porém, deste modo, a constante A depende da função de erro ( )xη que podemos escolher de
forma arbitrária (à parte as condições, já referidas, em 1x e 2x ). A solução pretendida ocorre
para 0ε = , i.e.,
2 2
1 1
2
0
0 04
x x
x x
d I B y d x y d xd ε
πη ηε
=
′ ′= ⇒ = ⇒ =∫ ∫ .
Porém, fazendo uma integração por partes, vem
Métodos Variacionais
53
[ ]2 2 22
11 1 1
x x xx
xx x xy d x y y d x y d xη η η η′ ′ ′ ′′ ′′= − = −∫ ∫ ∫
uma vez que ( ) ( )1 2 0x xη η= = . Mas então
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
2
2
04
04
x x
x x
x
x
B y d x y d x
y x y x x d x
πη η
π η
′′= ⇒ − =
⎡ ⎤′′∴ + =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
∫
donde se infere que, dado que ( )xη é arbitrária para 1 2x x x< < ,
( ) ( )2
04
y x y xπ′′ + = .
A solução do nosso problema variacional reside, portanto, na solução desta última equação
diferencial. Daqui resulta que
( ) sin cos2 2
y x x xπ πα β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
onde as constantes α e β dependem das condições impostas para a solução: ( )0 0y = e
( )1 1y = . Ou seja: 1α = e 0β = .
Conclusão: A função ( )y x pretendida é a função
( ) sin2
y x xπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Métodos Variacionais
54
2. O problema fundamental: segunda abordagem Este exemplo poderia ter sido resolvido usando a equação de Euler-Lagrange:
f d fy d x y
⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
.
Como, neste caso,
( ) ( )2
2 2,4
f y y y yπ′ ′= −
resulta da equação de Euler-Lagrange que
2
2
, 2 , 22
22
f f d fy y yy y d x y
y y
π
π
⎛ ⎞∂ ∂ ∂′ ′′= − = =⎜ ⎟′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠
′′∴ − =
que permite escrever a mesma equação diferencial obtida na primeira abordagem, i.e.,
( ) ( )2
04
y x y xπ′′ + = .
3. O problema fundamental: terceira abordagem Atendendo a que ( ),f f y y′= não depende explicitamente de x , tem-se
0fx
∂=
∂
apesar de
Métodos Variacionais
55
d f f f d y f d y f fy yd x x y d x y d x y y
′∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′′= + + = +′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂
não ser nula dado que ( ),f f y y′= depende implicitamente de x . Neste caso podemos usar a
identidade de Beltrami
ff y Dy
∂′− =′∂
onde D é uma constante. Logo
( ) ( ) ( )2 2
2 22 224 4
y y y y D y y Dπ π⎡ ⎤′ ′ ′ ′− − = ⇒ + = −⎢ ⎥
⎣ ⎦
pelo que, derivando ambos os membros desta última equação em ordem a x , se obtém de
novo a equação diferencial (já obtida quer na primeira quer na segunda abordagens)
2
2 02
y yπ′′ + =
( ) ( )2
04
y x y xπ′′∴ + = .
4. O valor estacionário do integral Qualquer das três abordagens anteriores conduziu a que o valor estacionário do integral
( )21 2 2
0 4I y y d xπ⎡ ⎤
′= −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
corresponde a ter-se considerado a função
Métodos Variacionais
56
( ) ( )sin , cos2 2 2
y x x y x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
já que deverá ser ( )0 0y = e ( )1 1y = . Conclui-se, assim, que o valor estacionário do integral
é dado por
( )2 21 12 2
0 0cos sin cos
4 2 2 4I x x d x x d xπ π π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
( ) 1
0sin 0
4I x Iπ π∴ = ⇒ =⎡ ⎤⎣ ⎦ .
Se, em vez da solução encontrada para ( )y x , se considerasse a solução (errada)
( ) ( ), 1y x x y x′= =
que também verifica as condições ( )0 0y = e ( )1 1y = , viria
( )2 21 12 2 2
0 01
4 4I y y d x x d xπ π⎡ ⎤ ⎛ ⎞
′= − = −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫ ∫
12 2
3
0
1 0.177512 12
I x xπ π⎡ ⎤∴ = − = − ≈⎢ ⎥
⎣ ⎦
o que indicia que o valor estacionário é, de facto, um valor mínimo. No caso de se considerar
outra solução (também, naturalmente, errada)
( ) ( )1 cos , sin2 2 2
y x x y x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞′= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
viria
( ) ( )2 21 12 2
0 02cos cos 1
4 4 2I y y d x x x d xπ π π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞′= − = − −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫
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