AP a Numeros Complexo

8/3/2019 AP a Numeros Complexo

http://slidepdf.com/reader/full/ap-a-numeros-complexo 1/325

Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoça

UnisulVirtual

2007

Trigonometria e

Números ComplexosDisciplina na modalidade a distância



Créditos

Unisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educação Superior a Distância

Campus UnisulVirtualRua João Pereira dos Santos, 303Palhoça - SC - 88130-475Fone/fax: (48) 3279-1541 e3279-1542E-mail: [email protected]: www.virtual.unisul.br

Reitor UnisulGerson Luiz Joner da Silveira

Vice-Reitor e Pró-ReitorAcadêmicoSebastião Salésio Heerdt

Chefe de Gabinete da ReitoriaFabian Martins de Castro

Pró-Reitor AdministrativoMarcus Vinícius Anátoles da SilvaFerreira

Campus SulDiretor: Valter Alves Schmitz NetoDiretora adjunta: AlexandraOrsoni

Campus NorteDiretor: Ailton Nazareno SoaresDiretora adjunta: Cibele Schuelter

Campus UnisulVirtualDiretor: João VianneyDiretora adjunta: JucimaraRoesler

Equipe UnisulVirtual

AdministraçãoRenato André LuzValmir Venício Inácio

BibliotecáriaSoraya Arruda Waltrick

Cerimonial de FormaturaJackson Schuelter Wiggers

Coordenação dos CursosAdriano Sérgio da CunhaAloísio José Rodrigues

Ana Luisa MülbertAna Paula Reusing PachecoCátia Melissa S. Rodrigues(Auxiliar)Charles Cesconetto

Diva Marília FlemmingItamar Pedro BevilaquaJanete Elza FelisbinoJucimara RoeslerLilian Cristina Pettres (Auxiliar)Lauro José BallockLuiz Guilherme BuchmannFigueiredoLuiz Otávio Botelho LentoMarcelo CavalcantiMauri Luiz HeerdtMauro Faccioni FilhoMichelle Denise Durieux Lopes

DestriMoacir HeerdtNélio HerzmannOnei Tadeu DutraPatrícia AlbertonPatrícia PozzaRaulino Jacó BrüningRose Clér E. BecheTade-Ane de Amorim(Disciplinas a Distância)

Design GráficoCristiano Neri Gonçalves Ribeiro(Coordenador)

Adriana Ferreira dos SantosAlex Sandro XavierEvandro Guedes MachadoFernando Roberto DiasZimmermannHigor Ghisi LucianoPedro Paulo Alves TeixeiraRafael PessiVilson Martins Filho

Gerência de Relacionamentocom o MercadoWalter Félix Cardoso Júnior

Logística de EncontrosPresenciaisMarcia Luz de Oliveira(Coordenadora)Aracelli AraldiGraciele Marinês LindenmayrGuilherme M. B. PereiraJosé Carlos TeixeiraLetícia Cristina BarbosaKênia Alexandra Costa HermannPriscila Santos Alves

Logística de MateriaisJeferson Cassiano Almeida daCosta (Coordenador)Eduardo Kraus

Monitoria e SuporteRafael da Cunha Lara(Coordenador)Adriana SilveiraCaroline MendonçaDyego RachadelEdison Rodrigo ValimFrancielle ArrudaGabriela Malinverni BarbieriJosiane Conceição LealMaria Eugênia Ferreira CeleghinRachel Lopes C. PintoSimone Andréa de Castilho

Tatiane SilvaVinícius Maycot Serafim

Produção Industrial eSuporteArthur Emmanuel F. Silveira(Coordenador)Francisco Asp

Projetos CorporativosDiane Dal MagoVanderlei Brasil

Secretaria de Ensino aDistânciaKarine Augusta Zanoni(Secretária de Ensino)Ana Luísa MittelztattAna Paula PereiraDjeime Sammer BortolottiCarla Cristina SbardellaFranciele da Silva BruchadoGrasiela MartinsJames Marcel Silva RibeiroLamuniê SouzaLiana PamplonaMarcelo Pereira

Marcos Alcides Medeiros JuniorMaria Isabel AragonOlavo LajúsPriscilla Geovana PaganiSilvana Henrique SilvaVilmar Isaurino Vidal

Secretária ExecutivaViviane Schalata Martins

TecnologiaOsmar de Oliveira Braz Júnior(Coordenador)Ricardo Alexandre Bianchini

Rodrigo de Barcelos Martins

Equipe Didático-pedagógica

Capacitação e ApoioPedagógico à TutoriaAngelita Marçal Flores(Coordenadora)Caroline BatistaEnzo de Oliveira MoreiraPatrícia MeneghelVanessa Francine Corrêa

Design InstrucionalDaniela Erani Monteiro Will(Coordenadora)Carmen Maria Cipriani PandiniCarolina Hoeller da Silva BoeingDênia Falcão de BittencourtFlávia Lumi MatuzawaKarla Leonora Dahse NunesLeandro Kingeski PachecoLigia Maria Soufen TumoloMárcia LochViviane BastosViviani Poyer

Núcleo de Avaliação da

AprendizagemMárcia Loch (Coordenadora)Cristina Klipp de OliveiraSilvana Denise Guimarães

Pesquisa e DesenvolvimentoDênia Falcão de Bittencourt(Coordenadora)

Núcleo de Acessibilidade

Vanessa de Andrade Manuel



Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria eNúmeros Complexos.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma,abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando umalinguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não significa que você estarásozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplinatambém será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentirnecessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ouEspaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipeterá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nossoprincipal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.



Rosana Camilo da Rosa

Eliane Darela

Paulo Henrique Rufino

Palhoça

UnisulVirtual

2007

Design Instrucional

Karla Leonora Dahse Nunes

2ª edição revista e atualizada

Trigonometria eNúmeros Complexos

Livro didático



Copyright © UnisulVirtual 2007Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.

Edição --- Livro Didático

Professores ConteudistasRosana Camilo da Rosa

Eliane DarelaPaulo Henrique Ru.no

Design Instrucional

Karla Leonora Dahse Nunes

ISBN 978-85-60694-32-7

Projeto Gráfico e Capa

Equipe UnisulVirtual

DiagramaçãoFernando Roberto Dias Zimmermann

Revisão OrtográficaB2B

516.24R69 Rosa, Rosana Camilo da

Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo

da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional KarlaLeonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007.

326 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.

ISBN 978-85-60694-32-7

1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino,

Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul



Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17

UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95

UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e InequaçõesTrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Sumário



Palavras dos professores

Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntosapresentados são de fundamental importância para suaformação profissional e são abordados de forma clarae objetiva, sempre salientando aspectos da História daMatemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógicodo Curso de Matemática Licenciatura.

É indiscutível que o uso das tecnologias deve estarpresente na sala de aula, logo a formação de umprofissional com competência para desenvolver atividadesdidáticas num contexto informatizado torna-senecessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwaresmatemáticos.

Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamosinseridos num contexto de Educação a Distância, e umalinguagem mais técnica poderia prejudicar o andamentodas atividades.

Você terá a oportunidade de desenvolver atividades eleituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobreaspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudadoscom a utilização de recursos tecnológicos.

Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho,e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanarsuas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia econte conosco.

Profª. Eliane Darela, Msc.Prof . Paulo Henrique Rufino.

Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.



Plano de estudo

O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimentoda disciplina. Nele, você encontrará elementos queesclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas deorganizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual

leva em conta instrumentos que se articulam e secomplementam. Assim, a construção de competências se dásobre a articulação de metodologias e por meio das diversasformas de ação/mediação.

São elementos deste processo:

o livro didático;

o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);

as atividades de avaliação (auto-avaliação, adistância e presenciais).

Carga Horária

60 horas – 4 créditos.

Ementa

Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relaçõestrigonométricas. Equações e inequações trigonométricas.Números Complexos. Operações e representações dosnúmeros complexos. Trigonometria e os números complexos.



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Objetivo(s)

Geral

A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentosno contexto da Trigonometria e dos Números Complexos,propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar,observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resoluçãode problemas, formando uma visão ampla e científica darealidade.

Específicos

Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triânguloretângulo.

Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre asrazões trigonométricas.

Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos naresolução de triângulos.

Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para

radianos e vice-versa.Introduzir o conceito das funções circulares.

Reduzir arco ao 1º quadrante.

Construir, ler e interpretar gráficos das funçõestrigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos eferramentas tecnológicas.

Resolver equações e inequações trigonométricas.

Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando asrelações trigonométricas.

Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.

Compreender o conceito de números complexos.

Identificar um número complexo na sua forma algébrica erepresentá-lo no plano de Argand-Gauss.



13

Trigonometria e Números Complexos

Compreender os conceitos de módulo e argumento de umnúmero complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.

Operar com números complexos na forma algébrica etrigonométrica.

Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto deconhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento dehabilidades e competências necessárias a sua formação. Nestesentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didáticodesta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.

Unidades de estudo: 5

Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos

Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos

triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenosem triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite aresolução de problemas que envolvem situações reais.

Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria

Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos àtrigonometria na circunferência. Estes conceitos sãofundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferênciatrigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.

Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas, também conhecidas como funçõescirculares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando aleitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursostecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representaçõesgráficas.



14


Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas

O estudo das relações e transformações trigonométricasserá abordado nesta unidade, salientando-se que as relações

trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco,estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade,abordando equações e inequações trigonométricas.

Unidade 5 - Números Complexos

Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamadoconjunto dos números complexos. Serão abordadas as operaçõesna forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação

gráfica desse número.

Agenda de atividades/ Cronograma

Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessarperiodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nosseus estudos depende da priorização do tempo para aleitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e

da interação com os seus colegas e tutor.Não perca os prazos das atividades. Registre as datas noespaço a seguir, com base no cronograma da disciplinadisponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividadesrelativas ao desenvolvimento da Disciplina.



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Atividades

Avaliação a Distância

Avaliação Presencial

Avaliação Final (caso necessário)

Demais atividades (registro pessoal)



UNIDADE 1

Estudando a Trigonometria nosTriângulos

Objetivos de aprendizagem Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no

triângulo retângulo.

Resolver problemas aplicando as relações fundamentaisentre as razões trigonométricas.

Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senosna resolução de triângulos.

Seções de estudo

Seção 1 Introdução à Trigonometria

Seção 2 Definindo as razões trigonométricas notriângulo retângulo

Seção 3 Relações trigonométricas em um triânguloqualquer: lei dos senos e lei dos cossenos

1



18


Para início de conversa

Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente,

outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala,por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimentode uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetroinstalado em um automóvel que percorra a estrada do inícioao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de mododireto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida demodo indireto.

A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução

de problemas que envolvem grandes distâncias como os deengenharia, navegação e astronomia.

Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triânguloretângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulosquaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de sumaimportância, será abordada no desenvolvimento das atividades.

SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria

O que é trigonometria?

Tri = três

gonos = ângulos

metria = medição

Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.



19


Unidade 1

Você sabia...

Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ânguloreto (90º).

O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidadede evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já queas dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. Oastrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foium dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra,a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos

lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos.Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu como astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.),também conhecido como o Pai da Trigonometria por terestudado e sistematizado algumas relações entre os elementosde um triângulo.

A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com asmedidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição dedistâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas,torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.

Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia,na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até naMúsica.

Para compreender, acesse

o site sugerido na seção

‘saiba mais’ ao final desta

unidade.



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SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas notriângulo retângulo

Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento datrigonometria está associado à descoberta de constantes nasrelações entre os lados de um triângulo retângulo.

Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pistade skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:

Quando o skatista percorre 50 m sobre a rampa, o mesmofica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na

horizontal é de 40 metros;Quando o skatista percorre 75 m sobre a rampa, o mesmofica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento nahorizontal é de 60 metros;

Quando o skatista percorre 100 m sobre a rampa,o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seudeslocamento na horizontal é de 80 metros.

Figura 1.1: Representação da situação problema

Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT eADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que oskatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os trêsmomentos considerados.



21


Unidade 1

Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura

Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU

Logo: BS AS CT AT DU AU = = → = = =30

504575

60100

0 6, (valor

constante).

Você pode observar que, em qualquer um dos triângulosretângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS,CT e DU , opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e

AU , opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente dasmedidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamospor sen α.

Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento nahorizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista,para os três momentos considerados.

Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal

Temos: AB

AS

AC

AT

AD

AU = = → = = =

40

50

60

75

80

1000 8, (valor

constante).



22


Você pode observar que, em qualquer um dos triângulosretângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB,

AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS , AT e

AU , opostos ao ângulo reto é igual a 0,8 , independentemente dasmedidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α esimbolizamos por cos α.

Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: arazão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seudeslocamento na horizontal.

Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal

Temos: BS

AB

CT

AC

DU

AD= = → = = =

30

40

45

60

60

800 75, (valor

constante).

Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer umdos triângulos retângulos, a razão entre a medida doslados BS , CT e DU , opostos ao ângulo α, e a medida doslados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75,independentemente das medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α esimbolizamos por tg α.Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ânguloagudo α, são denominados razões trigonométricas do triânguloretângulo.



23


Unidade 1

Generalizando, tem-se:

Figura 1.5: Triângulo retângulo

Na figura, 1.5 tem-se:O triângulo ABC é retângulo em A;

O lado oposto ao ângulo reto denomina-sehipotenusa (a);

Os lados b e c denominam-se catetos;

O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;

O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.Você lembra do Teorema de Pitágoras?

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos:

a2=b2+c2



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Desta forma, tem-se:

senb

aβ

β

= =

=

cateto oposto

hipotenusa

cateto adjacente

hipotecos

nnusa

cateto oposto

cateto adjacente

=

= =

ca

tg b

cβ

De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.

Que tal você rever agora alguns aspectos quecaracterizaram a vida de Pitágoras e a história da

matemática?

Retrospectiva histórica

Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obrasescritas. O que se sabe de sua biografia e de suasidéias é uma mistura de lenda e história real.

Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos,por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que tambémesteve no Egito e, por desavenças com o tiranoPolícrates, de Samos, mudou-se para Crotona aosul da Península Itálica onde fundou uma sociedade

voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturaise da Matemática, chamada Escola Pitagórica.Rapidamente, os membros desta sociedade passarama ver números por toda a parte concluindo que oUniverso era regido por uma inteligência superioressencialmente matemática.



25


Unidade 1

Figura 1.6 – PitágorasFonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-

ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm.

Capturado em 09/04/2006

Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmaçãode que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da maisantiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dosbabilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam tersuas origens em outras épocas bem mais remotas.

O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dosirracionais, mas seu mérito máximo consiste em haveremprovocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática,que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.

Saiba mais

Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo:Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.

Ângulos notáveis

Os ângulos de 30º , 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria.Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e datangente do ângulo de 45º . Os outros dois ângulos você mesmo

fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação aofinal da unidade.



26


Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveisem uma única tabela:



27


Unidade 1

Considerando as definições das razões trigonométricas eutilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulose segmentos, podemos construir uma tabela de valorestrigonométricos para consultar quando encontrarmos situações

que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se umatabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a89º.

Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricosutilizando as funções de uma calculadora científica ou softwaresmatemáticos.

Você sabia...

Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen éidentificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.



28


Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricaspara descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Seráum bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até

o presente momento.

1) Calcule o valor de x :


Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde aocateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizarserá a tangente.

tg

tg

55

553

1 4283

4

º

º

,

,

=

=

=

=

cateto oposto

cateto adjacente

x

x

x 2284cm

2) Determine o valor de x:




29


Unidade 1

Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é ocateto oposto ao ângulo de 30 º e a hipotenusa vale16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para

encontrar a medida x.

sencateto oposto

hipotenusa

sen

30

3016

1

2 16

2 16

8

º

º

=

=

=

=

=

x

x

x

x cmm

3) Encontre o valor de x:


Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos arazão cosseno para descobrir o valor de x.

coscateto adjacente

hipotenusa

cos

60

6010

1

2

10

20

º

º

=

=

=

=

x

x x cm



30


E então?

Você sentiu dificuldade para compreender osexemplos?

Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas.Caso não compreenda, entre em contato com o(a)professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual deAprendizagem).

Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos,observe os problemas abaixo:

P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendoque quando o ângulo de elevação do sol é de 68º , a sombra domesmo projetada no solo, mede 2,4 m.

Modelo real Modelo matemático

Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1

Solução:

A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentadano problema P1 e perceber que a solução será encontrada por

meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura doposte, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º ea medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, quecorresponde a sombra do poste.



31


Unidade 1

tg cateto oposto

cateto adjacente

tg

68º

68º

=

=

x

2 4

2 475

,

, ==

=

x

x

2 4

5 94

,

, m

Lembre-se:

A tg 68º = 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabelatrigonométrica.

Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.

P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim desemana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo poruma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitudeesta família estará?



Solução:

Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentadano problema P2 e percebe que a solução será encontrada pormeio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a famíliase encontra, está representada por x, sendo denotada por

cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, quecorresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.



32


sencateto oposto

hipotenusa

sen

36º

36º80

=

=

=

=

x

x

x

0 58880

,

447 04, m

Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.

P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresade telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisãoutilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma

distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º .



Solução:

A situação apresentada no problema P3 está representada na

figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontradapor meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre estárepresentada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de

20º . A medida do cateto adjacente, que corresponde a distânciaentre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.

tg 20ºcateto oposto

cateto adjacente

tg50

=

=

=

20

0 364

º

,

x

x x

x50

18 20= , m



33


Unidade 1

Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros,logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 +1,50 = 19,70 metros.

Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.

Você sabia...

Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medirângulos horizontais e verticais.

Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitasvezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindotrês elementos desses triângulos, sendo que pelo menos umdeles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensõesnecessárias para uma aplicação prática.

Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...

Retrospectiva Histórica

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com oastrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Estegrande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever oseclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração decalendários mais precisos e maior segurança na navegação.

Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os

elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabelatrigonométrica.



34


Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, emdata desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.

No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecidoum preconceito meramente especulativo: o de que os astrosdescrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também opreconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corposcelestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos comofenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundoimperfeito e não da eterna impassividade celeste.

Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nasobservações efetuadas ao longo de uma carreira científica de

mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C.No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novocampo da matemática, a trigonometria.

Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenhasido importante, pela influência que exerceu sobre cientistasposteriores.

SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triânguloqualquer: lei dos senos e lei dos cossenos

As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadasem triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostraroutras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, vocêestudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.

Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste

momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos aparte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.

Você sabia...

Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.



35


Unidade 1

Lei dos senos

Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte desua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocardois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagemdo fio.

Para fazer este projeto é necessário saber a distância entreos postes, e a presença do rio impede a sua medição direta.Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiroposicionou-se em um local em que era possível visualizar os doispostes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre alinha de visão dele e os postes foi de 120º . Seu ajudante mediu a

distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste maispróximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º .


Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado

Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos otriângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB éa resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamosestudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.

Teorema

Em todo o triângulo, as medidas dos lados sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos:

a b c

sen A sen B sen C^ ^ ^= =



36


Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:

Figura 1.14: Lei dos senos

Agora observe a resolução do problema!100

45 120

100

2

2

3

2

2

2

100 3

2

100 32

100 3

2

2

2

100

sen

d

send

d

d

d

d

º º

.

=

=

=

=

=

=66

4

100 6

2

50 6122 47

d

d d m

=

== ,

Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente122,47 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.



37


Unidade 1

Existem três casos a considerar:

O triângulo ABC é retângulo;

O triângulo ABC é obtusângulo;O triângulo ABC é acutângulo.

Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Osoutros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura1.15:

Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração

Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e ACrespectivamente.

No triângulo retângulo AH1C, temos que

sen C sen C^

1^

= ⇒ =h

bh b1 . . [1]

No triângulo retângulo AH1B, temos que

sen B sen B^

1^

= ⇒ =h

ch c1 . . [2]

Comparando [1] e [2], temos:

b.senC

^

= c.sen B

^

⇒ = sen B senC

^ ^

b c

[A]



38


No triângulo retângulo BH2C, temos que

sen C sen C^

2^

= ⇒ =h

ah a2 . . [3]

No triângulo retângulo AH2B, temos que

sen A sen A^

2^

= ⇒ =h

ch c2 . . [4]

Comparando [3] e [4], temos:

a.senC

^

= c.sen A

^

⇒ = senA senC^ ^

a c

[B]

De [A] e [B] podemos concluir que:a b c

sen A sen B sen C^ ^ ^

= =

Lei dos cossenos

Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, énecessário a construção de uma ponte que una os pontos A eB conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pelaobra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30 m, BC=50 m e amedida do ângulo entre esses lados 120º . Ele necessita descobrirqual a extensão da ponte.


Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.



39


Unidade 1

Perceba agora que, no modelo matemático temos o triânguloABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir amedida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da

lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz oteorema:

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um ladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outrosdois lados, menos duas vezes o produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ângulo opostoàquele lado, ou seja:

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

. . .cos

. . .cos

. . .cos

^

^

C C ^

Figura 1.17: lei do cossenos

Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo nafigura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamosencontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos:

AB AC BC AC BC d

d

2 2 2

2 2 2

2

2 12030 50 2 30 50 0 5

900

= + −= + − −

=

. . .cos º. . .( , )

++ +

=

=

=

2500 1500

4900

4900

70

2d

d

d m

Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.



40


Existem três casos a considerar:

O triângulo ABC é retângulo;

O triângulo ABC é obtusângulo;O triângulo ABC é acutângulo.

Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo.Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá aatividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde, Â éreto e Â é obtuso respectivamente.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura

1.18:

Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração

Demonstração:

O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB dotriângulo ABC , logo CH é perpendicular a AB.

Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em doistriângulos retângulos de acordo com a figura1.19.



41


Unidade 1

Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.

Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,temos:

b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2

h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]

Substituindo [1] em [2], temos:

a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2

a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]

Note no triângulo A H C^

que temos: cosAm

b

^

=

Logo m = b.cosÂ [4]

Substituindo [4] em [3], temos:

a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ

De forma análoga, você demonstra que:

b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B^

.

c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C^

.



42



Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastantepara o avanço do estudo da trigonometria. A formaatual da expressão do teorema dos cossenos foiestabelecida por ele.

Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.Capturado em 16/04/06.

Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria

O uso de softwares no ensino é importante. No ensino datrigonometria pode ser muito interessante no que diz respeitoà visualização de vários conceitos explorados no triânguloretângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamoso software ales.

Síntese

Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leisdo seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter

observado que os conteúdos abordados são muito úteis paracalcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os

Você poderá encontrar o software

acessando o site:

http://www.unifra.br/cursos/

downloads.asp?curs=25&grad=M

atem%C3%A1tica&endereco=ma

tematica



43


Unidade 1

exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidascom o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próximaunidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.

Atividades de auto-avaliação

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valoresdo seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º .

2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?

3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:

a)



44


b)

4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:

5) Observando a seguinte figura, determine:

a) O valor de a;



45


Unidade 1

b) O valor de b;

c) A medida do segmento AD.

6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:

7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é40 cm, encontre a medida do lado BC.



46


8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C , na outramargem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e amedida do ângulo seja 60º . Determine a largura do rio.

9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?

10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formandoum ângulo de 45º . Um posto de gasolina se encontra na rodovia A,a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto degasolina a rodovia B, indo através de C?

11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISULde Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sobum ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmonível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a quedistância está o estudante do mesmo.

12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se amedida do lado AC é 3 3cm .



47


Unidade 1

13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm;med( )=60º e med( )=75º.

14) Determine o valor de x na figura abaixo:

15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?

16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º . Se o lado oposto aomenor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado opostoao ângulo de 60º do triângulo?



48


17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menorângulo que eles formam mede 60º . Calcule a medida em cm da menordas diagonais deste paralelogramo.

18) Prove a lei dos cossenos quando:

a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

19) Prove a lei dos senos quando:

a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

Desafios na Trigonometria

1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual ovalor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a

cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?



49


Unidade 1

2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. Adistância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixad’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º . Se pretendemos bombear

água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros deencanamento são necessários?

Saiba mais

Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenasa estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia,Mecânica, etc.

Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:

http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você

verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Luae também a aplicação da trigonometria na construção de umtúnel.



UNIDADE 2

Conceitos Básicos daTrigonometria

Objetivos de aprendizagem Expressar e converter a medida de um ângulo de graus

para radianos e vice-versa.

Calcular a primeira determinação positiva de arcosmaiores que 360º.

Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de0º a 360º.

Reduzir arco ao 1º quadrante.

Seções de estudo

Seção 1 Arcos e Ângulos

Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica

Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência

TrigonométricaSeção 4 Simetrias

Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante

2



52



Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A

Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar todauma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidadeé definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente,na circunferência trigonométrica, também conhecida comocircunferência unitária.

Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria como objetivo de resolver problemas utilizando os triângulosretângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a

qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir,serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada,trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual daMatemática.

SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos

Considere a circunferência na figura 2.1.

Figura 2.1: Arco de circunferência

Observe que os pontos A e B dividem a circunferênciaem duas partes. Estas partes são denominadas arcos decircunferência.



53


Unidade 2

Temos:

O arco , em que o ponto A é a origem e B é aextremidade do arco;

o arco , em que o ponto B é a origem e A é aextremidade do arco.

Você sabia...

Arco nulo é o ponto;Arco de uma volta é acircunferência.

Ângulo Central

Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro dacircunferência.

Observe a figura 2.2:

Figura 2.2: Ângulo Central

A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.

A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.



54


Note que a medida de um arco não representa a medida docomprimento desse arco.


Figura 2.3: Arcos de circunferência

Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuemcomprimentos diferentes, m e n respectivamente.

Unidades de medida de arcos e ângulos

Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos eângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.

Grau

Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partesiguais. O grau é uma dessas 360 partes:

11

360º = da circunferência.



55


Unidade 2

Você sabia...

Existe uma terceira unidade de medida de arco que é ogrado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arcocompleto da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.1

1̀60

= do grau.

11̀ `

60= do minuto.

Radiano

Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio dacircunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura2.4:

Figura 2.4: Radiano

Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtidoserá igual à do raio.



56


Relação entre grau e radiano

Lembre-se que o comprimento de uma circunferênciaé calculado pela fórmula 2C r π= , onde r é o raio dacircunferência.

Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad . Então, tem-se aseguinte relação:

360 º → 2π rad ou 180 º → π rad

É possível estabelecer os seguintes resultados entre as trêsunidades:

Desenho

Grau 90 180 270 360

Grado 100 200 300 400

Radiano π/2 π 3π/2 2π

Observação:

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e oradiano:

1) Vamos converter300

º em radianos.

180

300

180

300

18

30

3

53 5

5

3

rad

x

rad

xrad

xrad

x x rad

x rad

π

π

π

π

π

π

→

→

=

=

=

=

=



57


Unidade 2

Note que você deverá usar a simplificação até transformar afração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na formade fração e não em forma decimal.

2) Transforme3

4rad

πem graus.

Como já se viu que π rad → 180 º, tem-se:

3 3.180 540135

4 4 4rad

π= = =

3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:

1º = 60’

15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’

Agora, transforma-se 180 º também em minutos:

180º = 180.60’ = 10800’

Então, tem-se:

10800

930

10800

930

1080

93

360

31

360 31

31

360

'

'

'

rad

x

rad

' xrad

x

rad x

x rad

x rad

π

π

π

π

π

π

→

→

=

=

=

=

=



58


Tudo com você!

Vá até a página de auto-avaliação e resolva asatividades referentes a este assunto.

Comprimento de arco de circunferência

Como você estudou anteriormente, a medida de um arco nãorepresenta o seu comprimento, pois este depende do raio dacircunferência em que esteja contido.

Por exemplo, um arco 1 de 60 º tomado sobre umacircunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que umarco 2 também de 60 º, tomado sobre uma circunferência de7 cm de raio.

Então, tem-se:

Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco decomprimento , pode-se estabelecer:

Comprimento do arco Medida do arco

r _________________________ 1 rad _________________________ α rad

que fornece a relação =α . r

Essa relação permite calcular o comprimento de um arcode circunferência em função do raio e do ângulo centralcorrespondente, medido em radianos.



59


Unidade 2

Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento dearco de circunferência.

1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:

Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência

Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo queα =3 rad .

Resolução:

=α.r

=3.6

=18 cm

2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m deraio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?

34 5

3

1 5

.r

4,5 . ,

, rad

α

α

α

α

=

==

=

3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm,executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6.Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade

do pêndulo. Use π=3,14 .



60


Figura 2.6: Pêndulo

Resolução:

O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.

O ângulo α =2.35º = 70º.

Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como vocêsabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possívelutilizar a medida em graus.

180

70

180

70

18

7

18 7

7

18

º rad

º x

º rad

º xrad

x x rad

x rad

π

π

π

π

π

→

→

=

=

=

=

Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .

=α.r7

2518

175

18

175 3 14

18

30 53

.

. ,

, cm

π

π

=

=

=

=



61


Unidade 2

Verifique se você realmente compreendeu esta seção,resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação.Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde seráabordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeudificuldade em resolver os exercícios, procuresanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seçãonovamente.

SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica

Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesmacircunferência que conhecemos, só que com característicasespecíficas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raiounitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Eleé orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe afigura 2.7:

Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico

O centro da circunferência é O(0,0).

O raio da circunferência é unitário, r = 1.

O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos sãomedidos a partir de A.

O sistema de coordenadas cartesianas divide acircunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.

Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual seencontra sua extremidade.



62


Veja alguns exemplos:

1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidassão:

a) 130 º

Como você pode observar, o arco de 130 º, partiu do ponto A nosentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, elepertence a este quadrante.

b) -120 º

Agora, observe que o arco de -120 º partiu do ponto A, nosentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, elepertence a este quadrante.



63


Unidade 2

c) 5

3rad

π

Neste exemplo, você observa que o arco de 53

rad π partiu

do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4 º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.

Arcos Côngruos

Observe as circunferências representadas na figura 2.8:

Figura 2.8: Arcos Côngruos

Você pode observar que o arco permanece com a mesmaextremidade, independentemente do número de voltas completasna circunferência.

Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:

Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem,apenas, pelo número de voltas completas na

circunferência.



64


Na figura 2.9, marcamos um arco de 60 º.

Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º

É fácil observar que os arcos de 60 º, 420 º e 780 º têm a mesmaextremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outrosarcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, bastadescrevermos voltas completas na circunferência.

Dessa forma, podemos escrever:

60 º = 60 º + 0.360 º

420 º = 60 º + 1.360 º

780 º = 60 º + 2.360 º

Assim:

Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos aele é:

α + k. 360º, k ∈ Z

Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcoscôngruos a ele é:

α +2kπ, k ∈ Z

É importante que você saiba que, se o arco for negativo, bastafazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-áinfinitos arcos côngruos com medidas negativas.



65


Unidade 2

Faça a mesma representação gráfica 2.9 paraeste caso. É uma boa forma de verificar se vocêcompreendeu o assunto. Não esqueça que o sentidonegativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.

Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estarassociados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, deprimeira determinação positiva de um arco, a medida α do arcocôngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360 º ou 0 ≤ α < 2 π rad.

Acompanhe alguns exemplos:

1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a 1240 º.

Solução:

Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltascompletas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240 º por360 º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e asua primeira determinação positiva.

Logo, 160 º é a primeira determinação positiva e 3 representa onúmero de voltas completas.

A expressão geral dos arcos côngruos a 1240 º será:

β = 160º+ k. 360 º, k ∈ Z

2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a -1352º.

Solução:

Daí, -272º + 360º = 88º.



66


Logo, 88 º é a primeira determinação positiva de -1352º.

A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:

β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z

3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão

geral dos arcos côngruos a11

3rad

π.

Solução:

Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco consideradodesmembrando-o de forma conveniente:

Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, énecessário pensar em um número que seja imediatamente menorque o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte emum número par.

Logo,5

3rad

π é a primeira determinação positiva de11

3rad

π.

A expressão geral dos arcos côngruos a11

3rad

πserá:

β = 5

3

π + 2k π, k ∈ Z.



67


Unidade 2

4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadranteonde está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 1720 º

Solução:

Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o númeroapresentado no problema por 360 º. Assim, você encontrará o arcode 280 º, que é côngruo ao arco de 1720 º.

Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessaforma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois

270 º < 280 º < 360 º.

b) 19

4

π

Solução:

Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação

positiva do arco, que é3

4rad

π.

Como você percebe, este arco é côngruo a 19

4

π rad e, portanto,

ambos possuem a mesma extremidade.Logo, o arco de 19

4

π rad está é no 2º quadrante.

Para entender melhor, note que 3

4rad

π é equivalente a 135 º.



68


Você sabia...

Normalmente, as pessoas justificam que o raio dacircunferência é r=1, porque nas definições dadas paratangente e secante, bem como nas definições de seno ecosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador.Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.

Tal explicação deve ser complementada com a observaçãode que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimentodo raio como unidade de medida. Como todas as linhastrigonométricas são quocientes entre duas medidas, ovalor de cada uma delas se mantém inalterado quando elaspassam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante

convencionar r=1.

(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo,Ática, 2004)

SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência

TrigonométricaNa unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidosapenas para ângulos agudos, ou seja, para 0

2

πα< < .

Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou

ângulos maiores que2

π rad , algo impensável quando se trabalhava

com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com

senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!

Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Considere a figura 2.10:



69


Unidade 2

Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência

Então:

Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M ,ou seja: senx=OM” ;

Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M , ou seja: cosx=OM’ .

Veja por que:

Figura 2.11: Seno e Cosseno



70


Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Nestetriângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadasna unidade 1.

Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico paramelhor visualização. Observe a figura 2.12:

Figura 2.12: Triângulo Retângulo

Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:

'

'

1

'

''

cateto oposto sen x

hipotenusa

MM sen x OM MM

sen x

sen x MM

sen x OM

=

=

=

=

=

cos

'cos

'cos

1

cos '

cateto adjacente x

hipotenusa

OM xOM

OM x

x OM

=

=

=

=

Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM” .

Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é aordenada do ponto que representa a extremidadedeste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.

Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maioresque 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulosretângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos deângulos negativos.



71


Unidade 2

Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são consideradosnotáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,

são eles: 30º ou6

π rad , 45º ou4

πrad e 60º ou

3

π rad . Observe a

representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:

1sen

6 2

3

6 2cos

π

π

=

=

2sen

4 2

2cos

4 2

π

π

=

=

3sen

3 2

1cos

3 2

π

π

=

=

Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem serconsiderados notáveis: 0 º ou 0 rad , 90 º ou

2

π rad , 180 º ou π rad ,

270 º ou 3

2

π rad e 360 º ou 2π rad . Geometricamente, cada um

deles, representa o seno e o cosseno. Observe:



72




73


Unidade 2

Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno ecosseno representados geometricamente.

Tabela 2.1: Valores Notáveis

x 0 (30º)6

π(45º)

4

π(60º)

3

π(90º)

2

π(180º)π

3(270º)

2

π2 (360º)π

senx 01

2

2

2

3

21 0 -1 0

cosx 13

2

2

2

1

2 0 -1 0 1

Você sabia...

Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu noséculo XVII como sendo o seno do complemento de umângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento”e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno

tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.

Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos ecossenos de arcos maiores que 360 º.



74


1) Calcule o valor de sen1845º.

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:

Então, sen1845º = sen45º =2

2.

Logo, 21845º

2 sen = .

2) Calcule o valor de cos(-900 º).

Solução:

Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900 º).

Perceba que -180 º é a primeira determinação negativa, e precisa-se da primeira determinação positiva.

Assim: -180º + 360º = 180º.

Logo, a primeira determinação positiva é 180 º.

Tem-se, então, que:

cos(-900 º)=cos180 º=-1Logo, cos(-900 º)=-1

3) Calcule o valor de 19sen

3

π .

Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.19 18

63 3 3 3

π π π ππ= + = +

Assim, temos que3

πé a primeira determinação positiva de

19

3

π.



75


Unidade 2

Dessa forma, 19 3sen sen

3 3 2

π π= = .

Logo, 19 3sen

3 2

π= .

Que tal conhecer mais sobre a história do seno?


Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a“Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entreum arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram umatrigonometria que relacionava a metade da corda e a metade doângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno dametade do arco correspondente, pois a metade do comprimentoda corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o

comprimento da corda subtendida por um ângulo x é x2sen

2

.


Figura 2.13: Meia corda



76


^

2

2

2 2

OB r

AO B x

AB x sen

r x AB

senr

=

=

=

=

Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.

O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500,elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente,

são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar deseno. Não é incrível?

Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpgAcesso em 28/06/06.

Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre oAlmagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao finalquando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotoua Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - ocírculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno.



77


Unidade 2

Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06)

A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida

para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo somque jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavraárabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, quesignifica a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo dascordas de arcos numa circunferência que originou o seno.

O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva,cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fatode o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas,na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, quesignifica dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não temnada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de umatradução defeituosa que dura até hoje.

SEÇÃO 4 - Simetrias

Considere a circunferência trigonométrica representada na figura2.16:

Figura 2.16: Simetria



78


Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retânguloM1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A.

Os pontos M2

, M3

e M4

, são ditos simétricos de M1

, no 2º, 3º e4º quadrantes, respectivamente.

Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medidaα, em grau ou radiano.

Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetriaexistente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e2.18.

Em Grau:

Figura 2.17: Simetria em graus

Em Radiano:

Figura 2.18: Simetria em radianos



79


Unidade 2

Utilizando as unidades indicadas em cadacircunferência trigonométrica, determine as medidasdos arcos trigonométricos simétricos na primeira voltapositiva:

a)

Solução:

Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D

e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e

são congruentes de medida 60º.

Logo, os arcos , e , serão determinadosdo seguinte modo:

=180º - 60º

=120º.

= 180º + 60º

= 240º.

= 360º - 60º

= 300º.



80


b)

Solução:

Veja que o arco é17

12

π rad , e que os pontos B, C

e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e

são congruentes de medida17

12

πrad .

Logo, os arcos , e serão determinados doseguinte modo:



81


Unidade 2

SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante

Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria

estudada, poderá determinar os valores do seno e cossenode arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiroquadrante.

Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha comos sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e2.20:

Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno

Observe a tabela 2.2:

Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno

Quadrante cos α sen α1º + +

2º - +

3º - -

4º + -

Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependemdo quadrante a que pertence a extremidade do arco.

Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante,estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo senoe o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do

arco dado.



82


Observe como se faz esta redução:

Redução do segundo quadrante para o primeiroquadrante:

Figura 2.21: 2º Quadrante

Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º . Logo, podemosafirmar que x e (180 º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.

Redução do terceiro quadrante para o primeiroquadrante:


Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180 º+x) têm senos ecossenos simétricos.



83


Unidade 2

Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:


Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senossimétricos e cossenos iguais.

De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos.

Acompanhe os exemplos a seguir:

1) Calcule sen150 º e cos150 º.

Solução:

O arco de 150 º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeirocaso da redução:

x = 180º - 150º

x = 30º

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.

Como 150 º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:1

150º 30º

2

sen sen= =

3cos150º cos30º

2= − = −



84


Logo, 1150º

2 sen = e 3

cos150º2

= −

2) Obtenha sen 240 º e cos 240 º.

Solução:

O arco de 240 º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundocaso da redução:

x = 240 º - 180 º

x = 60 ºLembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.

Como 240 º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:3

240º 60º2

sen sen= − = −

1cos 240º cos60º

2= − = −

Logo,

3240º

2 sen = − e 1

cos240º2

= − .

3) Determine sen 315 º e cos 315 º.

Solução:

O arco de 315 º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceirocaso da redução:

x = 360º - 315º

x = 45º.

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.



85


Unidade 2

Como 315 º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, tem-se:2

315º 45º2

sen sen= − = −

2cos315º cos 45º

2= =

Logo,2

315º2

sen = − e2

cos315º2

= .

4) Determine 7 7sen e cos

6 6

π π .

Solução:

O arco de 7

6

π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo

caso da redução:7

6

xπ

π= −

7 6

6 x π π−=

6 x

π= .

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nosauxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.

Como 7

6

π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do

seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, temos:7 1

6 6 2 sen sen

π π= − = −

7 3cos cos

6 6 2

π π= − = −

Logo: 7 1 7 3cos6 2 6 2

sen eπ π= − = − .



86


5) Determine 2460º sen e cos2460º.

Solução:

É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º .

O arco de 300 º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:

x = 360º - 300º

x = 60º

Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxiliaa obter o seno e cosseno procurado.

Como 300 º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.

Assim, temos:

32460º 300º 60º2

sen sen sen= = − = −

1cos2460º cos300º cos 60º

2= = =

Logo, 32460º

2 sen = − e 1

cos2460º2

= .



87


Unidade 2

6) Calcule o valor de45 90 135

270 2. 315

sen º sen º sen º M

sen º sen º

+ +=

+.

Solução:

Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.

245º

2

90º 1

2135º 45º

2

270º 1

2315º 45º

2

sen

sen

sen sen

sen

sen sen

=

=

= =

= −

= − = − .

Substituindo os valores encontrados na expressão M , tem-se:

2 2 2 21 1

2 12 2 2

1 2 1 221 2.

2

M + + + +

= = = − − − −

− + −

.

Racionalizando o denominador, tem-se:2 1 1 2 2 2 1 2 1

. 11 2 11 2 1 2

M + − + − + − +

= = = = −− −− − − +

.



88



1) Expresse em graus (º):

a)5

3

π rad

b)4

3

π rad

c)7

6

π rad

d)9

π rad

2) Expresse em radianos (rad ):

a) 20º



89


Unidade 2

b) 315º

c) 120º

d) 67º30´

3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote

π = 3,14.

4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido14,13 km.



90


5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:

6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:

a) 1550º

b) 95

6

πrad

c) –

65

6

πrad

7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcoscôngruos a:

a) -760º



91


Unidade 2

b) 3120º

c)15

2

π rad

d) 25

4

πrad

8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk , calcule a 2ª determinaçãopositiva e a 3ª determinação negativa.

9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a15

2

π rad.

10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:

a)3

π rad e 30

3

π rad

b) – 30º e 330º



92


c) 2º e 1082º

11) Determine:

) 390º

) cos1845º

5)

3

) 600º

) cos 480º

a sen

b

c sen

d sene

π

=

=

=

==

12) Determine o valor da expressão:

a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º

b) B= sen 3 x + cos 8 x - cos 2 x para x = 2

π.

c) C =

7sen cos 3

313

sen6

ππ

π

−



93


Unidade 2

Desafio na Trigonometria

Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o

arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio.Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo aramedetermina na polia?

Síntese

Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maioresque 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria

foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triânguloretângulo.

Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano,que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, vocêestudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhadosterão que estar inseridos no radiano.

Saiba mais

Sugerimos que você utilize o software ales para visualizar,com maior precisão, as projeções do seno e cosseno nacircunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos.

Você poderá encontrar

o software Thales

acessando o site:

http://www.unifra.

br/cursos/downloads.

asp?curs=25&grad=Mat

em%C3%A1tica&endere

co=matematica



UNIDADE 3

Estudando as FunçõesTrigonométricas

Objetivos de aprendizagem Definir as funções trigonométricas seno, cosseno,

tangente, cotangente, secante e cossecante.

Aplicar as funções seno e cosseno em diferentessituações problemas.

Construir o gráfico das funções trigonométricas.

Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas.

Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas paraa construção dos gráficos das funções trigonométricas.

Desenvolver leituras gráficas envolvendo funçõestrigonométricas inversas.

Seções de estudo

Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno

Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente,Secante e Cossecante

Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas

3



96



Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que

as funções circulares são periódicas e que elas podem representarfenômenos naturais periódicos, como as variações da temperaturaterrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressãosangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.

Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficosdenominados senóides e cossenóides, que serão abordados naseção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.

Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demaisfunções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno,bem como das funções trigonométricas inversas.

O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidadena construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade.É importante que você reconheça a tecnologia, tão presenteno nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia nodesenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficose cálculos sistemáticos.

SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno

Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno nacircunferência trigonométrica. Estas funções são periódicasde variáveis reais, por isso, são adequadas para descreveremfenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória.

As aplicações destas funções não se restringem apenas aosestudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramosda Física que analisam os movimentos, são utilizadas nadecomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicarmovimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimentodo corpo num plano inclinado, entre outros.



97


Unidade 3

Você sabia...

Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditosperiódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vezque transcorre um intervalo de tempo determinado.

Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar asondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas.

Função Seno


Figura 3.1: Função Seno

A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco demedida x∈ IR, associa a ordenada y do ponto P.

f(x) = senx

O domínio da função seno é D(f)=IR

A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1].



98


Função Cosseno


Figura 3.2: Função Cosseno

A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arcode medida x∈ IR associa a abscissa x do ponto P.

f(x) = cos x

O domínio da função cosseno é D(f)=IR.

A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1].

Gráfico da Função Seno: Senóide

Seja f(x) = sen x

Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.1: Valores do seno

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0



99


Unidade 3

Observe o gráfico na figura 3.3:

Figura 3.3: f(x) = senx

Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo[-2π ,2π ], tem-se que:

A função é periódica de período 2π , pois a função repeteos seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja,toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x,a função seno assume o mesmo valor.

O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os

valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é ointervalo Im=[-1,1].

O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2 π ,2π ].

Nos intervalos ] [2 ,π π− − e ] [0; π , a função f(x)=sen x assume valores positivos.



100


Nos intervalos ] [, 0π− e ] [; 2π π , a função f(x)=sen x assume valores negativos.

A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos

32 ;

2

ππ

− − , ,

2 2

π π − e 3

;22

ππ

.

A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos

3;

2 2

π π− −

e 3;

2 2

π π

.

A função f(x)=sen x é ímpar pois f (x) = -f(-x).

A função f(x)=sen x possui valor máximo quando

3

2 x

π−= rad e

2 x

π= rad .

A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando2

xπ−

=

rad e 3

2 x

π= rad .

Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se:

O domínio da função é D(f)=IR, pois é possívelestender a senóide ao longo do eixo x.

O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1] .

A função f(x)= sen x possui valor máximo para

| 2 ,2 x IR x k k Z π

π

∈ = + ∈ .

A função f(x)= sen x possui valor mínimo para3

| 2 ,2

x IR x k k Z π

π ∈ = + ∈

.



101


Unidade 3

Você lembra?

Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da MatemáticaElementar I’ cada uma das características das funções

y=sen x e y=cos x , citadas. Assim, você deve lembrar dasdefinições formais de função periódica, função par e ímpar.Então:

Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica seexiste um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo

x ∈D(f).

Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x noseu domínio temos f(x)=f(-x).

Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temosf(x)=-f(-x).

Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide

Seja f(x) = cos x

Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [- 2π, 2π].

Tabela 3.2: Valores do cosseno

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1



102


Agora observe o gráfico na figura 3.4:

Figura 3.4: f(x) = cos x

Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo[- 2π ,2π ], tem-se que:

A função é periódica de período 2π , pois a função repeteos seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja,toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x,a função cosseno assume o mesmo valor.

O estudo da variação nos mostra que f (x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os

valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é ointervalo Im=[-1,1].

O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2π ,2π ].

Nos intervalos 32 ,

2

ππ

− − , ,

2 2

π π − e 3

; 22

ππ

a

função f (x)=cos x assume valores positivos.

Nos intervalos 32 2

,π π − − e 3;

2 2π π

, a função

f (x)=cosx assume valores negativos.



103


Unidade 3

A função f (x)=cos x é crescente nos intervalos [ ];0π− e[ ], 2π π .

A função f (x)=cos x é decrescente nos intervalos

[ ]2 ;π π− − e [ ]0;π .

A função f (x)=cos x é par, pois, f (x) = f (-x).

A função f (x)=cos x possui valor máximo quando0 x = rad .

A função f (x)=cos x possui valor mínimo quando x π= − rad e x π= rad .

Generalizando algumas características da função f(x)= cos x

tem-se:

O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estendera cossenóide ao longo do eixo x.

O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1] .

A função f(x)= cos x possui valor máximo para{ }| 2 , x IR x k k Z π∈ = ∈ .

A função f(x)= cos x possui valor mínimo para{ }| 2 , x IR x k k Z π π∈ = + ∈ .

1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir,determinando o domínio, a imagem e o período.

) ( ) 2

) ( ) 1

a f x sen x

b f x sen x

= +

= −

a) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração dográfico:



104


Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x

x sen x y=2+sen x y

0 sen0=0 y=2+0 2

2

π sen

2

π=1 y=2+1 3

π senπ =0 y=2+0 2

3

2

π sen 3

2

π =-1 y=2+(-1) 1

2π sen 2π =0 y=2+0 2

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado

na figura 3.5.

Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x

D=IR;

Im=[1,3];

P=2π .

b) Solução:

Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico:



105


Unidade 3

Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1

x senx y=senx - 1 y

0 sen0=0 y=0-1 -1

2

π sen

2

π=1 y=1-1 0

π senπ =0 y=0-1 -1

3

2

π sen

3

2

π=-1 y=-1-1 -2

2π sen 2π =0 y=0-1 -1

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representadona figura 3.6.

Figura 3.6: f(x) = sen x -1

D=IR;

Im=[-2,0];

P=2π .



107


Unidade 3

Tabela 3.5: Valores de ( )2

x f x sen=

2

xx y=sen

2 x y

0 0 y=sen0 0

2

ππ

y=sen2

π 1

π 2π y=senπ 0

3

2

π3π y=sen

3

2

π -1

2π 4π y=sen 2π 0

Note como é calculado o valor de x:

02

2.0

0

x

x

x

=

=

=

2 2

2 2.

x

x

x

π

π

π

=

=

=

2

2.

2

x

x

x

π

π

π

=

=

=

3

2 2

2 2.3

3

x

x

x

π

π

π

=

=

=

22

2.2

4

x

x

x

π

π

π

=

=

=

Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7.

Figura 3.7: ( )2

x f x sen=



108


3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir,determinando o domínio, a imagem e o período.

) cos 2

) cos 4

a y x

b y x

=

=a) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração dográfico.

De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função

y= cos 2x.

Nesta função k=2, logo:2 2

2 P

k

π ππ= = =

Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x

2x x y=cos 2x y

0 0 y=cos 0 1

2

π

4

π y=cos

2π 0

π2

π y=cos π -1

3

2

π 3

4

π y=cos

3

2

π0

2π π y=cos 2π 1



109


Unidade 3

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano,representado na figura 3.8.

Figura 3.8: f(x) = cos 2x

D = IR;

Im = [-1,1];

P = π.

b) Solução:

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração dográfico.

Calculando o período da função y= cos4x, tem-se:

Nesta função k=4 , logo:

2 2

4 4 2 P

π π π= = = .



110


Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x

4x x y=cos4x y

0 0 y=cos0 1

2

π

8

π y=cos

2

π 0

π4

π y=cos π -1

3

2

π 3

8

π

y=cos3

2

π 0

2π 2

π y=cos 2π 1

Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representadona figura 3.9.

Figura 3.9: f(x) = cos 4x

D = IR;

Im = [-1,1];P =

2

π.



111


Unidade 3

Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidassobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes.

Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, ocoeficiente de x, menor é o período da função.

4) Determine apenas o sinal de cos 34

5

π .

Solução:

cos 34

5

π = cos 4

5

πpois,

4

5


34

5

π , que é um arco do segundo quadrante.

Logo, o sinal de cos 34

5

π será negativo.

5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que estaigualdade seja verdadeira?

Solução:

Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter

1 1 sen x− ≤ ≤ .

Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequaçãosimultânea:-1 5 +1 1

-1-1 5 1-1

-2 5 0

2 0

- 5 5

2- 0

5

k

k

k

k

k

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

Logo, a solução desse problema será 2| 0

5S k IR k

= ∈ − ≤ ≤

.

Fique de olho nas aplicações

As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideaispara descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam otempo como variável independente.



112


As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritospor senóides.

O movimento harmônico simples é um tipo de movimentoperiódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento deum corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de umponto de equilíbrio.

Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funçõestrigonométricas nestes fenômenos.

1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita

pela função ( ) 0, 9 0, 7 6 6h t sen t

π π

= + + , cuja representaçãográfica é mostrada na figura 3.10:

Figura 3.10: Altitude do mar

Pergunta-se:

a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas?

b) Na maré alta, qual a altitude do mar?

c) Na maré baixa, qual a altitude do mar?

Alguns exemplos foram extraídos

e adaptados do livro ‘Quanta

Matemática em fascículos para o

ensino médio’. Fascículo 4. Autores:

Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi

Filho. Editora Saraiva. Ano 2000.



113


Unidade 3

d) Qual é a amplitude da onda?

e) Qual o período dessa senóide?

Solução:

Analisando o gráfico, pode-se concluir que:

a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marésbaixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas.

b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros.

c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marésbaixas.

d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros.

A amplitude foi calculada da seguinte forma:1,6 0,2 1,4

0,72 2

−= = .

Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é

identificar o coeficiente do seno na função ( ) 0, 9 0, 76 6

h t sen t π π = + +

.

e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maioresaltitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é:

P = 14 - 2

P = 12 horas

2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, umgaroto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação

para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por:( ) 80 20.cos .

2 y t t

ππ

= + −

em que y é o deslocamento vertical da onda

em cm e t é o tempo em segundos.



114


De posse desses dados, responda:

a) Qual o gráfico da função?

b) Qual é o período da função?

c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função?

d) Qual é a amplitude do movimento?

Solução:

a)

Figura 3.11: Movimento da corda



115


Unidade 3

b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assimsendo, o período dessa cossenóide é:

P = 2,5 - 0,5

P = 2 horas

c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo éP(1,5;60).

d) A amplitude é de 20 centímetros.

A amplitude foi calculada da seguinte forma:100 60 40

202 2− = = .

Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóideé identificar o coeficiente do cosseno na função

( ) 80 20.cos .2

y t t π

π = + −

.

3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração

e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo,tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmõesde um adulto, em condições físicas normais e em repouso, podeser descrito por:

y(t) 2,5 0,5.cos t.3

π2 = +

em que y é o volume em litros para um

ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos.

A partir dos dados, determine:

a) A representação gráfica desta situação;

b) O volume médio do pulmão desse adulto;

c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude;

d) O período de um ciclo inspiração/expiração.



116


Solução:

a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12:

Figura 3.12: Respiração pulmonar

b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando ográfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros.Fazendo a média, tem-se 2,5 litros.

c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros

ou 500 ml, pois, 3 2 10 5 500 l

2 2 , litros m

−= = = .

d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontradofazendo a diferença entre as duas cristas.

SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente,secante e cossecante

Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas

decorrentes do seno e cosseno. São elas:



117


Unidade 3

Tangente;

Cotangente;

Secante e cossecante.Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir.

Função Tangente


Figura 3.13: Função tangente

Geometricamente, definimos tangente do arco aordenada do ponto T , ou seja:

tg x =AT.

Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, nadisciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆OM´M .



118


Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os ladoscorrespondentes, o que permite escrever:

1 cos

cos

cos 0cos

AT OM"

OA OM' tgx senx

xtgx. x senx

senxtgx ; ( x )

x

=

=

=

= ≠

Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulosnotáveis.

Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada umdesses valores.

Observe as figuras 3.14 e 3.15:

Figura 3.14: Tangente dos arcos de , .6 4 3

rad rad e rad π π π

Figura 3.15: Tangente de

3

0 , , , 22 2rad rad rad rad e rad π π

π π .



119


Unidade 3

Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela3.8 com os valores notáveis da tangente.

Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π π

3

2

π2π

tgx 03

31 3

Nãoexiste

0Não

existe0

Gráfico da Função Tangente: Tangentóide

Seja f(x) = tg x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π].

Tabela 3.9: Valores da tangente

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

tg x 0Não

existe0

Nãoexiste

0Não

existe0

Nãoexiste

0

Figura 3.16: f(x)=tg x



120


Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo[-2π ,2π ], representada na figura 3.16, tem-se que:

A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [π ,2π ], ou seja, toda vez quesomarmos π a um determinado valor de x, a função tangenteassume o mesmo valor.

Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráficoda tangente tende ao infinito positivo ou negativo.

O estudo da variação nos mostra que, no intervalo[-2π ,2π ], f(x)=tg x é sempre crescente.

O domínio da função f(x)=tg x é:3 3 3 3( ) 2 , , , , , 2

2 2 2 2 2 2 2 2 D f

π π π π π π π ππ π

= − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪

A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.

Nos intervalos3 3

2 , , , , 0, ,2 2 2 2

eπ π π π

π π π − − − −

, a

função f(x)=tg x assume valores positivos.

No intervalo 3 3, , ,0 , , , 2

2 2 2 2e

π π π ππ π π

− − − , a

função f(x)=tg x assume valores negativos.

A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.)


O domínio da função f(x)=tgx é

D( f ) x IR|x k , k Z 2

ππ

= ∈ ≠ + ∈

.

A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.



121


Unidade 3


1) Determine o valor de11

.3

tg π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de11

.3

π

Então,11 5

3.3 3 3

tg tg tg π π π

= = − = −

Lembre-se que 5

3rad

π é um arco do 4º quadrante. Tem-se,

então, que fazer a redução ao primeiro quadrante.

Logo, 113.

3tg

π= −

2) Determine o valor de 13.

4tg

π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 13 .4π

Então,13 5

1.4 4 4

tg tg tg π π π

= = =

Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiroquadrante.

Logo,13

1.4

tg π

=

3) Encontre o valor de 11 .tg π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π.

Então, 11 0.tg tg π π= =

Logo, 11 0.tg π =



122


4) Calcule o valor de 25

3tg

π .

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 25

3

π rad .

25 24

3 3 3

π π π= + .

Assim, a primeira determinação positiva é3

π rad .

Temos, então, que tg 25

3

π =tg 3

π = 3 .

Logo, tg

25

3

π

=3

.

5) Qual é o domínio da função 2 ?3

y tg xπ = −

Como o domínio da função y=tgx é

D( f ) x IR|x k , k Z 2

ππ

= ∈ ≠ + ∈

, tem-se:

2

22 3

52

6

5

12 2

x k 2

2x- k 3

x k

x k

k x

π π

π ππ

π ππ

ππ

π π

≠ +

≠ +

≠ + +

≠ +

≠ +

Logo, o domínio da função 23

y tg xπ = −

é

5 k D( f ) x IR|x , k Z

12 2

π π = ∈ ≠ + ∈

.



123


Unidade 3

Função Cotangente


Figura 3.17: Função Cotangente

Geometricamente, definimos cotangente do arco aabscissa do ponto C, ou seja:

cotg x =BC .

Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M ésemelhante ao ∆ OBC .

Assim, pode-se escrever:' '

' "

cos

1

cos, 0

OM MM

BC OBOM OM

BC OB x sen x

BC x

BC sen x sen x

=

=

=

= ≠

Logo, tem-secos

cot , ( 0) x

g x sen x sen x

= ≠ .

Uma outra relação que representa a cotangente é:

1cot 0 gx , (tgx )

tgx= ≠ .



124


Gráfico da Função Cotangente

Seja f(x) = cotg x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relaçãocos

cot , ( 0) x

g x sen x sen x

= ≠ , com x variando [- 2π, 2π].

Tabela 3.10: Valores da cotangente

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

cotgx Nãoexiste

0 Nãoexiste

0 Nãoexiste

0 Nãoexiste

0 Nãoexiste

Figura 3.18: f(x)=cotg x

Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo[-2π ,2π ], representada na figura 3.18, tem-se que:



125


Unidade 3

A função é periódica de período π .

Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe,o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ounegativo.

O estudo da variação nos mostra que no intervalo[-2π ,2π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente.

O domínio da função f (x)=cotg x é] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2 D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .

A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR.

Nos intervalos 32 , , , ,2 2π ππ π − − − −

0;2π

e 3;2ππ

,

a função f(x)=cotg x assume valores positivos.

No intervalo 3, , 0 ,

2 2

π ππ

− − − ;

2

ππ

e 3;2

2

ππ

a

função f(x)=cotg x assume valores negativos.

A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x).

Generalizando, tem-se:O domínio da função f(x)=cotg x é

{ }( ) | , k Z D f x IR x k π= ∈ ≠ ∈ .

A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR .

Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente.

1) Determine o valor de 37cot

6 g

π .

Solução:Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 37

6

π :37 36

6 6 6

π π π= +

Temos que

6rad

π é a primeira determinação positiva de 37.

6

π

Então:

3cos

37 3 26 2cot cot 316 6 2 1

6 2

g g . sen

π

π ππ= = = = =



126


Logo, 37cot 3

6 g

π= .

2) Calcule o valor de 13cot

4 g π .

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de13

4

π rad .

13 8 5

4 4 4

π π π= + .

Assim, a primeira determinação positiva é 5

4

π rad .

Tem-se, então, que

2cos

13 5 4 2cot cot cot 14 4 4 2

4 2

g g g sen

ππ π π

π= = = = = .

Observe que:

Fizemos a redução ao primeiro quadrante.

O arco 5

4

π rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a

cotangente é positiva.

Logo, 13cot 1

4 g

π= .

3) Determine o valor de 7cot .

4 g

π

Solução:

Lembre-se que 7

4

π é um arco do 4º quadrante e, neste, a

cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se:

72

4 4

π ππ − =

2cos

7 4 2cot cot 14 4 2

4 2

g g sen

ππ π

π= − = − = − = −



127


Unidade 3

Logo, 7cot 1.

4 g

π= −

4) Qual é o domínio da função cot 2

4

y g xπ = +

?

Como o domínio da função cot y gx= é

{ } D( f ) x IR|x k , k Z π= ∈ ≠ ∈ , tem-se:

Nesta função, o arco é 2 ,logo:4

2 .4

2 .4

.4

2

8 2

x k

x

x k

x k

k x

k x

π

π

π π

ππ

ππ

π π

≠

+

+ ≠

≠ − +

− +≠

≠ − +

k D x IR|x - , k Z 8 2

π π = ∈ ≠ + ∈

Conheça a origem da tangente e da cotangente.



128



A função tangente era a antiga função sombra, quetinha idéias associadas a sombras projetadas por umavara colocada na horizontal. A variação na elevação doSol causava uma variação no ângulo que os raios solaresformavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho dasombra.

Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminhodiferente daquele das cordas que geraram o seno. Foramconceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente,associados a ângulos, sendo importantes para calcular o

comprimento da sombra que é produzida por um objeto. Ocomprimento das sombras foi também de importância norelógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras paracalcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança detriângulos.

As primeiras tabelas de sombras conhecidas foramproduzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nometangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583.O termo cotangente foi, primeiramente, usado por EdmundGunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino

“cotangente de A”, que significa “tangente do complementarde A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” paracotangente.



129


Unidade 3

Função Secante e Função Cossecante


Figura 3.19: Secante e Cossecante

Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência,interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo dasordenadas no ponto D.

Geometricamente, define-se:

secante do arco o segmento OS, ou seja, sec x=OS ;

cossecante do arco o segmento OD, ou seja,cosec x=OD.

Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS ésemelhante ao ∆ OM´M .

Dessa forma:

cos 1

1

. cos 11

cos

' OM OM

OM OS x

OS

OS xOS

x

=

=

==



130


Logo:

1sec , (cos 0)

cos x x

x= ≠

Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o∆OM’M é semelhante ao ∆OMD.

1

1

11

OD OM

OM MM' OD

sen x

OD . sen xOD

sen x

=

=

==

Logo:

1cos , ( 0)ec x sen x

sen x= ≠

Gráfico da Função Secante

Seja f(x) = sec x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação

1sec

cos x

x= , com x variando [ ]2 , 2π π− .

Tabela 3.11: Valores da secante

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

secx 1Não

existe-1

Nãoexiste

1Não

existe-1

Nãoexiste

1



131


Unidade 3

Figura 3.20: f(x)=sec x

Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura3.20, no intervalo [ ]2 ,2π π− , tem-se que:

A função é periódica de período 2π .

O domínio da função f(x)=secx é:3 3 3 3

( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2

D f π π π π π π π π

π π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪

A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos3 3

2 , , , , 0, , .2 2 2 2eπ π π π

π π π − − − −

A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos

3 3, , ,0 , , , 2

2 2 2 2e

π π π ππ π π

− − − .

Nos intervalos3

2 , , ,2 2 2

eπ π π

π − − −

3;2

2

ππ

, temossec x ≥ 1.

Nos intervalos3

,2 2

π π − − e

3;

2 2π π , sec x ≤ -1.A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x).



132



O domínio da função f(x)=sec x é

D( f ) x IR | x k , k Z 2π π = ∈ ≠ + ∈

.

A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

Gráfico da Função Cossecante

Seja f(x) = cosec x

Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação

1cosecx

senx= , com x variando [-2π , 2π].

Tabela 3.12: Valores da cossecante

x -2π3

2

π− -π

2

π− 0

2

ππ

3

2

π2π

cosecx Nãoexiste

1 Nãoexiste

-1 Nãoexiste

1 Nãoexiste

-1 Nãoexiste



133


Unidade 3

Figura 3.21: f(x)=cosec x

Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo[- 2π , 2π ], representada na figura 3.21’, temos que:

A função é periódica de período 2π .

O domínio da função f(x)=cosec x é:

] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2 D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .

A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos3 3

2 2 2 2 , , , , , e , .

π π π ππ π π π − − − −

A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos

3 32 , , , 0 , 0, , 2

2 2 2 2e

π π π ππ π

− − − .

Nos intervalos ] [ ] [2 , 0,eπ π π− − , temos cosecx ≥ 1.

Nos intervalos ] [;0π− e ] [, 2π π , cosecx ≤ -1.A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x.



134



O domínio da função f(x)=cosec x é

{ } D(f) x IR | x k , k Z π= ∈ ≠ ∈.

A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .

Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante ecossecante.


sec .2

π

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 92

rad π .9 8

2 2 2

π π π= +

A primeira determinação positiva de 9

2rad

π é2

rad π .

Então:9

sec sec2 2

não existeπ π

= →

Logo, 9sec

2não existe

π→ .


cos .4

ecπ

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 59.

4

π

Tem-se que3

4rad


59

.4 rad

π

Assim, 59 3cos cos cos 2

4 4 4ec ec ec

π π π= = = .

Logo: 59

cos 24

ecπ

= .



135


Unidade 3

3) Qual é o domínio da função sec2

y xπ = −

?

Como o domínio da função sec y x= é

( ) x |x , k Z2

D f IR k π π = ∈ ≠ + ∈ , tem-se:

2

Nesta função, o arco é x ,logo:2

.2 2

.2 2

2

2

x k

x k

x k

x k

x k

ππ

π

π ππ

π π π

ππ

π π

≠ +

−

− ≠ +

≠ + +

≠ +

≠ +

{ }( ) | , D f x IR k k Z π π= ∈ + ∈ .

4) Qual é o domínio da função cos 3

2

y ec xπ = −

?

Nesta função, o arco é 3

2 x

π −

, logo:

32

32

6 3

x k

x k

x k

ππ

ππ

π π

− ≠

≠ +

≠ +

Logo, ( ) | ,6 3

D f x IR x k k Z π π = ∈ ≠ + ∈

.



136



Acredita-se que, por volta do final do século IX, asseis funções trigonométricas comuns já estavam bemestabelecidas e as identidades que as relacionavam estavamem plena aplicação.

O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998),figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicando-se à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas,usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente,bem como as funções secante e cossecante, estas últimas

inventadas por ele próprio.

Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomiean-tique/arabe.htm (acesso em 28/06/06).

SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricasinversas

Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar afunção inversa para as funções trigonométricas, pois, comosão funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não sãoinversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos geraruma nova função que possua uma inversa.

Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funçõestrigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversapara cada caso.



137


Unidade 3

Função Arco Seno

Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio ,2 2

π π −

e,

tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, esomente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1−

corresponde ,2 2

yπ π ∈ −

.

Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura3.23:

Figura 3.23 : Função y = arc sen x

A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintescaracterísticas da função

y = arc sen x:

o domínio da função é D = [-1,1];

a imagem da função é , ;2 2

π π − é crescente em todo seu domínio.



138


Função Arco Cosseno

Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o

domínio [0,π].A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1− corresponde [ ]0, y π∈ .

Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura3.24:

Figura 3.24: Função y = arc cos x

A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintescaracterísticas da função

y = arc cos x:

o domínio da função é D = [-1,1];

a imagem da função é [ ]0,π ;

é decrescente em todo seu domínio.



139


Unidade 3

Função Arco Tangente

A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x,

se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde,

2 2 y

π π ∈ − .

Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura3.25:

Figura 3.25: Função y = arc tg x

A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc tg x:

o domínio da função é D = IR;

a imagem da função é ;2 2

π π − ;

é crescente em todo seu domínio.



140


Função Arco Cotangente

A função inversa da função cotangente é definida como

y = arc cotg x =2

arc tgxπ − , onde, para cada x real, corresponde] [0, y π∈ .

Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura3.26:

Figura 3.26: Função y = arc cotg x

A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc cotg x:

o domínio da função é D = IR;a imagem da função é ] [0, π ;

é decrescente em todo seu domínio.

Função Arco Secante

A função inversa da função secante é definida como1

sec cos y arc x ar x

= =

, onde, para cada x real, tal que 1 x ≥ ,

corresponde [ ]0, y π= com y ≠2

π .



141


Unidade 3

Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura3.27:

Figura 3.27: Função y = arc sec x

A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc sec x:

o domínio da função é { }| | | 1 ; D x IR x= ∈ ≥

a imagem da função é [ ]0, ;2

e yπ

π ≠

é crescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .

Função Arco Cosecante

A função inversa da função cossecante é definida como

1arccos y x arsen

x = =

, onde, para cada x real, tal que, 1 x ≥ ,

corresponde ,2 2

yπ π = −

com y ≠ 0.

Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura

3.28:



142


Figura 3.28: Função y = arc cosec x

A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc cosec x:

o domínio da função é { }| | | 1 ; D x IR x= ∈ ≥

a imagem da função é , 0;2 2

e yπ π − ≠

é decrescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .

Que tal alguns exemplos?

Exemplos:

1) Qual o valor de 1sec2

2 y arcsen =

?

Solução:

1sec2

2 y arcsen =

.

Fazendo 1

2 x arcsen= , deve-se procurar um arco cujo seno é igual



143


Unidade 3

a 1

2.

Então, o arco procurado deve ser6

x rad π

= , pois, de acordo com

a definição, o arco deve pertencer ao intervalo ,2 2π π − .

Dessa forma, substituindo x em1

sec22

y arcsen =

, pode-seescrever:

1 1 1sec 2 sec 2 sec 2.

12 6 3cos

3 2

arcsenπ π

π = = = = =

Logo, o valor de 1sec2

2

y arcsen =

é 2.

2) Qual o valor de 210. arccos

2 E sen

−=

?

Solução:

210. arccos

2 E sen

−=

Fazendo 2cos2

x ar −= , deve-se procurar um arco cujo cosseno é

igual a 2

2

− .

Então, o arco procurado deve ser 3

4 x rad

π= , pois, de acordo com

a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [ ]0,π .

Dessa forma, substituindo x em2

10. arccos2

E sen −

= , pode-

se escrever:

210. arccos

2

310.

4

210.

2

5 2.

E sen

E sen

E

E

π

−=

=

=

=



144


Lembre-se que 3

4rad

π é um arco do 2º quadrante e foi necessário

fazer redução ao primeiro quadrante.

Logo, o valor de2

10. arccos2

E sen −

= é 5 2 .

3) Sabendo que 0,125tg θ = , determine o valor de θ .

Solução:

Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica.Veja:

Tem-se que:

0,125tg θ = .

Pode-se escrever:

0,125arctg θ = .

Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125 .

Você deverá programar sua calculadora no modo rad .

Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora,tecle tan-1.

Você obtém: 0,124θ =

Logo, o ângulo procurado é 0,124θ = rad .



145


Unidade 3

Pesquise

Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria

No ensino da Trigonometria, o uso de softwaresmatemáticos pode ser muito interessante para auxiliarna construção dos gráficos das funções circulares.

Nesta unidade, os gráficos foram construídos nosoftware GRAPH 4.1, que está disponível paradownload em http://www.padowan.dk/graph/.

Você conheceu e aprendeu a utilizar esse softwarena disciplina ‘Informática Aplicada à EducaçãoMatemática’.

Como sugestão, indicamos novamente o softwareThales, que possui um ambiente de trabalho bastanteinteressante, no estudo das funções trigonométricas.Com ele, é possível visualizar simultaneamente ocomportamento das funções no ciclo trigonométricoe no plano cartesiano.


1) Determine:

37)

6a tg

π=

7) cot 2b g

π=

5)sec

4c

π − =

31) cos

6d ec

π=

5)

3e tg π

=



146


2) Qual o sinal da expressão:

3. 0

3 45

.

3 6

tg tg tg y

tg tg

π π

π π

−=

− −

.


a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π .

b)

7sen cos 3

313

tg

6

B

ππ

π

−= .

4) Que número é maior:3 5

?4 6

tg ou tg π π



147


Unidade 3

5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedadesdas funções:

) 2

) 2.cos4

) 3 2

a y sen x

xb y

c y sen x

= − +

=

= −

6) Analisando os gráficos:

2 y sen x=



148


2 cos y x= +

2

x

y tg

=



149


Unidade 3

Responda os itens a seguir:

a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?

b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?

c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa?

d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva?

e) Qual o período da função y= tg(x/2)?

7) Determine o valor de k , sabendo-se que sen x = 3k - 7 .



150


8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x ?

9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação

horária y(t) 4 3.cos t4

ππ

= + +

, em que t é o tempo transcorrido,

em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo àparede, conforme ilustração a seguir:

a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;

b) Qual o ponto de partida do corpo?

c) Qual o seu período de oscilação?

d) Qual a amplitude do movimento?



151


Unidade 3

10) Determine o domínio de cada uma das funções:

( )

) 54

) cot2

) sec 3

) cos 23

a y tg x

b y g x

c y x

d y ec x

π

π

π

π

= −

= +

= −

= +

11) Qual o valor de1

2. arccos2

y tg =

?

12) Encontre o valor de3

2. arcsen2

y tg

=

.



152



3 .3

y arctg arctg = +


1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da

temperatura (emo

C) do solo em uma determinada região, durante trêsdias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a serfeita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horasdepois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função

315 5

12 2 y(t) sen t

π π = + +

, onde t indica o tempo (em horas)

decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) noinstante t . Determine:

a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);

b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperaturaocorreu, no primeiro dia de observação.



153


Unidade 3

2) (Mack-SP) O valor de 3 1 35

3 4 2tg arctg arcsen

−

pode ser dado

por:

a) 0

b) 1

c) 1

2

d) -1

e)1

2−

3) O valor de1 1

2 3 arcsen arccos2 2

arctg + + é:

a)5

6

π

b)2

π

c)6

π

d) 7

6

π

e) π



154


Síntese

Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôdeconhecer suas características, bem como perceber suas váriasaplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nosfenômenos que envolvem periodicidade.

Você constatou que as funções trigonométricas podem terseus domínios restringidos, de modo que gerem uma funçãoinversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções

resultantes tornam-se parte de suas definições.Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguirmodelar situações práticas que as envolvem.

Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidadestrigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequaçõestrigonométricas, que são conhecimentos importantes para umfuturo professor de matemática.

Saiba mais

Para que você aprofunde seu conhecimento na história datrigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de Históriada Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor

é Edward Kennedy.Com relação à periodicidade das funções, característica bastanteimportante das funções circulares, uma boa idéia é acessarum site de busca e analisar textos referentes a esse assunto naInternet.



UNIDADE 4

Estudando as Relações,Equações e InequaçõesTrigonométricas

Objetivos de aprendizagem

Reconhecer as relações trigonométricas.

Resolver e simplificar expressões trigonométricas,aplicando as relações trigonométricas.

Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.

Resolver equações e inequações trigonométricas.

Seções de estudo

Seção 1 Relações Trigonométricas

Seção 2 Adição e Subtração de Arcos

Seção 3 Arco DuploSeção 4 Equações Trigonométricas

Seção 5 Inequações Trigonométricas

4



156



Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar

com as relações entre os valores das funções trigonométricas,denominadas relações trigonométricas.

As transformações trigonométricas serão abordadas e vocêtambém irá resolver, ainda nesta unidade, as equações einequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, torna-se necessário o uso das relações e transformações trigonométricasna resolução dessas equações.

São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentosdentro da Trigonometria.

SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas

Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para

qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricasfundamentais.

Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricasfundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funçõestrigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seçãoanterior.

É importante saber que as relações trigonométricasfundamentais recebem este nome por serem distintase completamente independentes umas das outras.

Elas também permitem que, dado o valor de uma das funçõescirculares de um arco qualquer, encontremos, se existirem,os valores das demais funções circulares do mesmo arco.Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação deexpressões.

As cinco relações trigonométricas fundamentais maisimportantes são:



157


Unidade 4

1ª Relação

Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental

Observando a figura 4.1, tem-se:

1OM =

cosOM' x=

MM' OM" senx= =Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M ,tem-se:

( ) ( ) ( )2 2 2

OM OM' OM" = +

( ) ( ) ( )2 2 21 cos x senx= +

2 2cos 1 sen x x+ =

2ª Relação

cos

senxtgx

x=

Esta relação só será válida para todo x ≠2

k π

π+ e k é um númerointeiro.



158


3ª Relação

coscot

x gx

senx=

Esta relação só será válida para todo x k π≠ e k é um númerointeiro.

4ª Relação

1sec

cos x

x=

Esta relação só será válida para todo x ≠ 2 k

π

π+ e k é um númerointeiro.

5ª Relação

1cossec x

senx=

Esta relação só será válida para todo x k π≠ e k é um número

inteiro.Existem outras relações trigonométricas derivadas das relaçõesfundamentais, importantes para simplificar a resolução de algunsproblemas. Acompanhe:

1ª relação

Como

sen

cos

xtgx

x=

e

coscot

sen

x gx

x=

, pode-se obter a seguinterelação 1

cot gxtgx

= , válida para todo x k π≠ .

2ª relação

Você já viu que sen 2x + cos 2x = 1.

Assim, se dividir a equação por cos 2x, tem-se:2 2

2 2 2

sen cos 1

cos cos cos

x x

x x x+ = , como sen

cos

xtgx

x= e 1

seccos

x x

= .



159


Unidade 4

Logo, 2 2sec 1 x tg x= + , válida para todo x ≠2

k π

π+ .

3ª relação

Sabe-se que sen 2x + cos 2x = 1.

Assim, dividindo a equação por sen 2x, tem-se:2 2

2 2 2

sen cos 1

sen sen sen

x x

x x x+ = .

Como coscot x gx senx

= e 1cossecsen

x x

= .

Logo, 2 21 cot cos g x ec x+ = , válida para todo x k π≠ .

Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir.

1) Sabendo que 1

3 senx = e que

32

2 x

ππ< < , determine o valor do

cosx.

Solução:

Aplicando-se a relação sen 2x+cos 2x=1, tem-se:2 2

2

2

2

2

2

2

cos 1

1cos 1

3

1cos 1

9

1

cos 1 9

9 1cos

9

8cos

9

8cos

9

2 2cos .

3

sen x x

x

x

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

= −−

=

=

= ±

= ±



160


Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante,tem-se que o cosseno é positivo.

Logo, 2 2cos

3 x = .

2) Se secx= 4, com 02

xπ

≤ ≤ , qual o valor da tgx?

Solução:

Sabendo que 1sec

cos x

x= , então:

sec 4

1 4cos

4cos 1

1cos

4

x

x x

x

=

=

=

=

Substituindo 1cos

4 x = na relação 2 2cos 1 sen x x+ = , tem-se:

2 2

2

2

2

2

2

2

cos 1

1 14

11

16

11

16

16 1

16

15

16

15

16

15

4

sen x x

sen x

sen x

sen x

sen x

sen x

senx

senx

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±



161


Unidade 4

Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno épositivo.

Logo, 15

4 sen x = .

Seguindo ao valor da tangente:

cos

15

41

4

15 4.

4 1

15.

senxtgx

x

tgx

tgx

tgx

=

=

=

=

3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente

as equações1

3

k senx

+= e cosx=-k, determine o valor de k.

Solução:

Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen 2x+cos 2x=1 tem-se:

( )

2 2

32

22

2 2

2 2

2

cos 1

11

3

2 11

92 1 9 9

9 9

2 1 9 9

10 2 8 0

sen x x

k k

k k k

k k k

k k k

k k

+ =

+ + − =

+ ++ =

+ + +=

+ + + =

+ − =

Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se:

k’ = -1 e k” = 45



162


Como k é um número real positivo, a solução do problema será:

k = 4

5.

4) Simplifique a expressão2

2

2

cot

1 cot

g x sen x

g x+

+.

Solução:

Fazem-se as seguintes substituições na expressão:

21 cot g x+ por 2cosec x.

2cot g xpor

2

2

cos x

sen x .2

2

2

22

2

2

2 2

2

2 22

2

2 2

cot

1 cot

cot

cos

cos

1

cos

1

cos 1.

g x sen x

g x

g x sen x

ec x

x

sen x sen x

sen x

x sen x. sen x

sen x

x sen x

++

+

+

+

+ =

A forma simplificada da expressão2

22cot

1 cot g x sen x g x ++ é 1.

SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos

Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo quesen 60º+sen 30 º.



163


Unidade 4

Tem-se que:

(60º 30º ) 90º 1 sen sen+ = = e

3 1 3 160º 30º2 2 2

sen sen ++ = + = .

Vê-se então que esses valores são diferentes.

Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e dadiferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir:

( ) .cos .cos

( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .

cos( ) cos .cos .

( )1 .

( )1 .

sen a b sen a b senb a

sen a b sen a b senb a

a b a b senb sen a

a b a b senb sen a

tga tgbtg a b

tgatgb

tga tgbtg a b

tgatgb

• + = +

• − = −

• + = −

• − = +

+• + =

−

−• − =

+

Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja:cos( ) cos .cos .a b a b senb sen a− = + .

Demonstração:

Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre doispontos A(xA, y A) e B(xB, y B), do plano, é dada por:

Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano



164


2 2 2( , ) ( ) ( ) B A B Ad A B x x y y= − + −

2 2( , ) B A B Ad A B (x x ) (y y )= − + − .

Seja a figura 4.3:

Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos

Na circunferência trigonométrica tem-se:

os arcos a e b;

o arco a-b;

M representa a extremidade do arco a;

N representa a extremidade do arco b;

P representa a extremidade do arco a-b;

A representa a extremidade do arco nulo.

Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontosP e A, M e N são iguais.

Escreve-se então: 2 2( , ) ( , )d P A d M N =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

P A P A M N M N X X Y Y X X Y Y − + − = − + − [1]



165


Unidade 4

Note que:

as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b));

as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena);as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb);

as coordenadas do ponto A são: A(1,0 ).

Assim substituindo em [1] tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2cos( ) 1 ( ) 0 cos cosa b sen a b a b sena senb− − + − − = − + −

Desenvolvendo a equação e sabendo que:

2 2( ) cos ( ) 1 sen a b a b− + − = ;

2 2cos 1 sen a a+ = ;

2 2cos 1 sen b b+ = .

Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membrosA e B, então:

( ) ( ) [ ] [ ]2 2 2 2

cos 1 0 cos cos A a b sen a b e B a b sen a senb = − − + − − = − + − .

Desenvolvendo A, tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

cos 1 0

cos 2cos 1

2 2cos

A a b sen a b

A a b a b sen a b

A a b

= − − + − −

= − − − + + −

= − −

Desenvolvendo B, tem-se:

[ ] [ ]

( )

2 2

2 2 2 2

cos cos

cos 2.cos .cos cos 2. .

2 2 cos .cos .

B a b sen a senb B a a b b sen a sen a senb sen b

B a b sen a senb

= − + −= − + + − +

= − +

Como A=B, tem-se:

( )2 2cos( ) 2 2 cos .cos .a b a b sen a senb− − = − +



166


Para simplificar a equação, divide-se por (-2):

1 1cos( ) 1 (cos .cos . )

:

cos( ) cos .cos .

a b a b sen a senb

Logo

a b a b sen a senb

− + − = − + +

− = +

As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida.

cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = −

Demonstração:

Substituindo b por –b tem-se:( )cos ( ) cos .cos( ) . ( )a b a b sen a sen b− − = − + − [2]

Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par.

Logo, tem-se:

( ) sen b senb− = − .

cos( ) cosb b− = .

Substituindo em [2] tem-se:

cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = − .

Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e doseno da soma:

Seno da diferença: ( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb− = − .

Demonstração:

Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar:

Para todo x real, tem-se:

cos2

cos .2

x senx

sen x x

π

π

− =

− =



167


Unidade 4

Dessa forma:

( ) ( )( )

( )

( )

( ) .cos cos .

cos 2

cos2

cos .cos .2 2

.cos cos . .

sen a b sen a b a senb

sen a b a b

sen a b a b

sen a b a b sen a senb

sen a b sena b a senb

π

π

π π

− = −

− = − − − = − +

− = − − −

− = −

Seno da soma: ( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb+ = + .Demonstração:

Substituindo b por –b, tem-se:

( )( ) ( ) .cos ( ) cos . ( ) sen a b sen a b sen a b a sen b+ = − − = − − − [3]

Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par.

Logo:

( ) sen b senb− = − .

cos( ) cosb b− = .

Substituindo em [3], tem-se:

( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb+ = + .

Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e dadiferença de dois arcos.

( )1 .

tga tgbtg a b

tgatgb

−− =

+.

Demonstração:

Você já conhece a relação fundamentalcos

senxtgx

x= .

Na demonstração a seguir, ela será utilizada.



168


Então, tem-se que: ( ) ( ) .cos cos .

cos( ) cos .cos .

sen a b sena b a senbtg a b

a b a b sena senb

− −− = =

− +.

Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo

diferente de zero, encontra-se:( )

( )cos( )

.cos cos .

cos .cos( )cos .cos .

cos .cos

cos cos( ).

1cos .cos

( ) .1 .

sen a btg a b

a b

sena b a senb

a btg a ba b sena senb

a b

sena senb

a btg a b sena senb

a b

tga tgbtg a b

tgatgb

−− =

−

−

− =+

−− =

+

−− =

+

De forma análoga, demonstra-se que:1

tga tgbtg(a b)

tga.tgb

++ =

−

.


Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm(acesso em 28/06/06).



169


Unidade 4

Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno ecosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser consideradoo prenúncio da conhecida relação fundamental 2 2cos 1 sen x x+ = .

Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia aspropriedades que, em linguagem atual, são:

( ) .cos .cos

( ) .cos .cos

cos( ) cos .cos .

cos( ) cos .cos .

sen x y sen x y sen y x

sen x y sen x y sen y x

x y x y sen y sen x

x y x y sen y sen x

• + = +

• − = −

• + = −

• − = +

Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos.

1) Calcule cos75º .

Solução:

Para calcular cos75º pode-se escrever 75º 30º 45º= + .

cos75º cos(30º 45º)

cos75º cos30º .cos45º 30º . 45º

3 2 1 2cos75º . .

2 2 2 2

sen sen

= +

= −

= −

6 2cos75º

4 4= −

6 2cos75º .

4

−=

2) Determine 15º sen .

Solução:

Faz-se 15º = 45º - 30º.

15º (45º 30º )

15º 45º .cos30º 30º .cos45º

2 3 1 215º . .

2 2 2 2

sen sen

sen sen sen

sen

= −

= −

= −

6 215º

4 4 sen = −



170


6 215º .

4 sen

−=

Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Issose deve ao fato de serem arcos complementares.

3) Escreva na forma simplificada a expressão

( ) cos2

A sen x xπ

π = + + −

, para todo x∈ IR.

Solução:

( ) cos2

cos cos cos cos2 2

0 cos 1 0 cos 1

0.

A sen x x

A sen . x senx. . x sen .senx

A . x senx.( ) . x .senx

A senx senx

A

ππ

π ππ π

= + + −

= + + +

= + − + +

= − +

=

4) Qual o valor da tg15º ?

Solução:

Pode-se fazer 15º=60º-45º.



171


Unidade 4

t1

60 45

60 45 1 60 45

3 115

1 3 1

3 1 1 315

1 3 1 3

3 9 1 315

1 9

2 3 4151 3

4 2 315

2

15 2 3.

tga tgb g(a b)

tga.tgb

tg º tg º tg( º º ) tg º .tg º

tg º .

tg º .

tg º

tg º

tg º

tg º

−− =

+

−− = +

−=

+

− −=

+ −

− − +=

−

−= −

− +=

−

= −

SEÇÃO 3 - Arco duplo

Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funçõestrigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas.

Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem serutilizadas as seguintes identidades:

2 2 .cos sen x sen x x=2 2cos2 cos x x sen x= −

2

22

1

tgxtg x

tg x=

−Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando asfórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadasna seção anterior.

2 2 .cos sen x sen x x=



172


Demonstração:

2 ( )

2 .cos .cos2 2. .cos .

sen x sen x x

sen x sen x x sen x x sen x sen x x

= +

= +=

2 2cos2 cos x x sen x= −

Demonstração:

2 2

cos 2 cos( )

cos 2 cos .cos .

cos 2 cos .

x x x

x x x sen x sen x

x x sen x

= +

= −

= −

2

22

1

tgxtg x

tg x=

−

Demonstração:

2

2

22

1

2

21

22 .

1

tgxtg x

tg x

tg x tg(x x)

tgx tgxtg x

tgx.tgx

tgxtg x

tg x

=−

= +

+=

−

=−


Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: 2 2 cos sen x sen x . x= , embora issopudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu

cos cos sen(x y) sen x . y sen y . x+ = + , fazendo x = y.

Acompanhe os exemplos!!!



174


2 2

2 2

cos2 cos

2 2 1cos2

3 3

4 2 1cos2

9 9

7cos 2 .

9

b) x x sen x

x

.x

x

= −

= −

= −

=

2) Dado 3

2 senx = , com

2 x

ππ< < , determine a tg 2x.

Solução:Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x paradescobrir o valor da tg x.

Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen 2x+cos 2x=1,tendo então:

2 2

2

2

2

2

2

2

cos 1

3cos 1

2

3cos 1

4

3cos 1

4

4 3cos

4

1cos

41

cos4

1cos

2

1cos .

2

sen x x

x

x

x

x

x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

= −

−=

=

= ±

= ±

= −



175


Unidade 4

Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, poisse está trabalhando com um arco do 2º quadrante.

Calculando o valor da tg x, tem-se:

cos

3

21

2

3 2.

2 1

3

senxtgx

x

tgx

tgx

tgx

=

=−

= −

= −

Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema propostoutilizando-se a identidade tg2x.

( )( )2

2. 32

1 3

2 32

1 32 3

22

2 3

tg x

tg x

tg x

tg x

−=

− −

−=

−−

=−

=

Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e,para isso, será necessária a utilização de todas as transformaçõestrigonométricas estudadas nesta unidade.

SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas

Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como suaimportância na resolução de vários problemas.



176


As diferentes equações possuem nomes específicos em funçãode suas características específicas. Por exemplo: 2 4 9 x − = édenominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob

o radical.Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas querecebem este nome porque são equações em que figuram asfunções trigonométricas com um arco desconhecido.

Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizarartifícios e transformações que nos permitam chegar a equaçõesbásicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma,podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a.

Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas:

2

) 0

) 1 cos 0

) 2 2.cos

a senx

b x sen x

c sen x x

=

− + =

=

Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o

conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem aequação dada.

Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equaçõestrigonométricas:

1) Resolver a equação1

2 senx = no intervalo [ ]0,2π .

Solução:

Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundoquadrante.

O arco cujo seno corresponde a 1

2é

6

π no primeiro quadrante e,

utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo

quadrante: 5

6 6

π ππ − = .

Observe a representação da solução na figura 4.5.



177


Unidade 4

Figura 4.5:1

2 sen x = ; [ ]0;2π

Logo, a solução desta equação é5

,6 6

S π π =

.

2) Resolver a equação 1

2 sen x = , com x ∈ 0,

2

π

.

Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com

intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa asituação do problema.

Figura 4.6:1

2 senx = ;x ∈ 0,

2

π

Logo, como 1

6 2 sen

π= , então a solução é S =

6

π

.



178


3) Resolver a equação 1

2 senx = .

Solução:

Note que, novamente, é a mesma equação que está sendotrabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe afigura 4.7:

Figura 4.7:1

2 sen x =

Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerartodas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, acongruência de arcos.

Logo, a solução geral será:

5S x IR|x 2k ou x 2k , k Z

6 6

π ππ π

= ∈ = + = + ∈

.

Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou aexpressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seututor.



179


Unidade 4

4) Resolver a equação 2 sen 2x – 5 senx + 2 = 0 , com x ∈ 0,2

π

.

Solução:

Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva.

Os coeficientes da equação são:

a = 2

b = - 5

c = 2

O discriminante da equação é:

2

2

4

( 5) 4.2.2

9

Assim:

2

( 5) 9

2.2

5 3

4

Obtemos, portanto, que:

2

1 .2

b ac

b senxa

senx

senx

senx

senx

∆ = −

∆ = − −

∆ =

− ± ∆=

− − ±=

±=

=

=

Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2.

Logo, busca-se a solução para 1

2 sen x = .

Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2.

Portanto, x =6

π e se escreve a solução S = 6

π

.



180


5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [ ]0; 2π .

Solução:

Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se:2 2cos

2. .cos 2cos

sen x x

sen x x x

=

=

Resolvendo a equação:2. .cos 2.cos 0

2.cos .( 1) 0.

sen x x x

x senx

− =

− =

Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quandoum dos fatores for zero. Dessa forma:

2.cos 0 1 0. x ou sen x= − =

Assim, tem-se duas equações para resolver:2.cos 0

cos 0

x

x

=

=ou

1 0

1

sen x

sen x

− =

=

Encontrando a solução para cos x = 0 , no intervalo dado tem-se:

2 x

π= ou 3

2 x

π= .

Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se:

2 x

π

= .

Logo, a solução da equação 2 2cos sen x x= no intervalo [ ]0, 2π é

S = 3,

2 2

π π

.



181


Unidade 4

SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas

Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações

também possuem nomes específicos em função de suascaracterísticas.

Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas querecebem este nome por serem desigualdades nas quais figuramfunções trigonométricas com arcos desconhecidos.

Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma formaque nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações quepermitam chegar a inequações básicas do tipo

sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR.

É importante observar que as desigualdades > e < podem ser≥ e ≤, não interferindo no método de resolução.

Por exemplo, são inequações trigonométricas:1

1)2

32) cos2

3) 1

sen x

x

tg x

>

≤

>

Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental aconstrução da circunferência trigonométrica representando asituação do problema.

Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequaçõestrigonométricas:

1) Resolver a inequação 1

2 senx ≥ , com 0 < x < 2π.

Solução:

Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto

cuja distância do centro é 1

2.

Faz-se a análise para valores acima de 1

2tendo em vista que

12

senx ≥ .



182


Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 1

2.

Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que

compõem a solução desta inequação estão entre 5e

6 6

π π (partedestacada na circunferência).

Figura 4.8: 1

2 sen x ≥

Logo, a solução será:5|

6 6S x IR x

π π = ∈ ≤ ≤

.

2) Resolver a inequação cos x < - 2

2, com 0 < x < 2π.

Solução:

Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto

cuja distância do centro é - 2

2.

Faz-se a análise para valores menores que - 2

2tendo em vista

que cos x < - 2

2.

Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 2

2.

Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que

compõem a solução desta inequação estão entre 3 5e4 4π π

(parte destacada na circunferência).



183


Unidade 4

Figura 4.9:

2

cos 2 x < −

Logo, a solução será:3 5

|4 4

S x IR xπ π = ∈ < <

.

3) Qual é a solução da inequação 3tg x > no intervalo [ ]0,2π ?

Solução:

Figura 4.10: tgx 3>



184


Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe:

Para os valores reais de x tais que2

xπ

≠ e 3

2 x

π≠ a tg x existe.

Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a

tg 3

π .

Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o

arco 4

3

π para o qual a tangente também é 3 .

Tem-se que: 3tg x > .

Logo, a solução será:4 3

3 2 3 2S x IR | x ou x

π π π π = ∈ < < < <

.

Síntese

Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações eidentidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equaçõestrigonométricas que são conhecimentos importantes para umfuturo professor de matemática.

Você pôde observar que não existe um modo único de resolverequações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equaçõesdo tipo sen x = a , cos x = b ou tg x.

Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, paraencontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-sedas equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos quesatisfazem a desigualdade do problema.

Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos,mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades deauto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor.



185


Unidade 4


1) Sabendo que1

2 sen x = e que

3 x2

ππ < < , determine o valor de

cos x .

2) Sabe-se que3

5 senx = − e

32

2 x

ππ< < . Qual o valor da cotg x ?

3) Sabendo que3

2 sen x = e

2 x

ππ< < , determine o valor da expressão

2 2sec cos . x x+

4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cos sen x x= − e que

2 x

ππ< < ?



186


5) Se5

sec3

x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

( )2 216 cot cos A g x ec x= + .

6) Se 1

3 sen x = , com 0 ≤ x ≤

2

π , calcule o valor da expressão

cot

sec cos

tgx gx y

x x

+=

−.

7) Calcule o valor de2cos cos sec .sec

1

ec x x x y

tgx

−=

−, dado

1

4 senx = .

8) Se5

sec3

x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

2 225.cos 16.cot . A x g x= −



187


Unidade 4

9) Determine:

) 105º

) 75º

)cos15º

a sen

b tg

c

=

=

=

10) Sabendo que3

5 senx = e que

2 x

ππ< < , calcule o valor de

cos3

xπ +

.

11) Calcule o valor numérico da expressãocos( 30º ) cos( 30º )

cos( 30º ) (30º )

x x y

x sen x

+ + −=

+ + −.

12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º ) y x x= + + − .



188


13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x

14) Sabendo que1

cos3

x = , calcular cos2 . x

15) Se1

cos2

sen x x− = , calcule o valor de 2 . sen x

16) Sendo1

cot2

g x = , calcule 2 .tg x

17) Sendo 21 cos2 2.cos E x x= − + , calcular 2 3 E E E + + .



189


Unidade 4

18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?

19) Se cot 4tg x g x+ = , quanto vale 2 sen x?

20) Sendo 45ºa b+ = e2

3tg a = , calcule tg b .

21) Resolver a equação 2 2 0 sen x sen x+ − = para 0 2 x π≤ ≤ .

22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .



190


23) Determine o conjunto solução da equação 2 0 sen x sen x− = sendo

0 x .π≤ ≤

24) Resolva em IR a equação:

2

3 3 2 sen x sen x

π π + + − =

.

25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintesinequações:

1

2

2cos

2

1

3cos

2

a) sen x

b) x

c) tg x

d) x

< −

≥ −

≤

<



191


Unidade 4


1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x , 0 2 x π≤ ≤ , tais que

( )2

cos 1 sen x x+ = é:a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) maior que 5

2) No intervalo 0 2 x π≤ < , a equação2cos

1

x sen x

sen x=

+, apresenta

exatamente:

a) Uma única solução.

b) Duas soluções.

c) Três soluções.

d) Quatro soluções.

e) Cinco soluções.



192


Saiba mais

Se você ficou interessado em conhecer outras equaçõestrigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet.Como sugestão, acesse o site:

http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Titulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es%20Trigonom%C3%A9tricas%5D



UNIDADE 5

Números complexos

Objetivos de aprendizagem

Compreender o conceito de números complexos.

Identificar um número complexo na sua forma algébricae representá-lo no plano de Argand-Gauss.

Compreender os conceitos de módulo e argumento deum número complexo z , bem como a sua representaçãogeométrica.

Apresentar a forma trigonométrica de z .

Operar com números complexos na forma algébrica e

trigonométrica.

Seções de estudo

Seção 1 Introdução

Seção 2 A álgebra dos números complexos

Seção 3 A forma trigonométrica dos números

complexos

5



194



Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números

complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seusconhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudadospor você.

Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicadose também possibilitam a extração da raiz quadrada de umnúmero negativo.

Com esta característica (extração da raiz quadrada de númeronegativo) é possível resolver equações que não possuem soluçãodentro do conjunto dos reais.

Os números complexos são da forma a+bi , sendo a e b reais e i achamada unidade imaginária, para qual i 2 =-1.

O papel desses números é de fundamental importância nosdiversos ramos da matemática além de ser instrumentosnecessários em campos da ciência e da tecnologia.

SEÇÃO 1 - Introdução

Os números complexos se originaram no século XVII, quandoDescartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativoque o matemático italiano Cardano utilizava na resolução deequações de 3º grau.

Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza dessesnovos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu queequações do tipo x 2 + a = 0 , só poderiam ser resolvidas com essasraízes.

Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com umanotação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dosNúmeros Complexos representado por .

A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande

história na área de matemática, tem inúmeras aplicaçõesna engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a



195


Unidade 5

descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, arepresentação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação tambémse estende em áreas próprias da matemática, da computação

gráfica e da topologia.

SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos

Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexose, para isso, deve conhecer de que forma são expressos essesnúmeros.

Conhecendo o “i”

Inicia-se este estudo com a resolução da equação x 2+1=0 tendocomo universo o conjunto dos reais:

2

2

1 0

1

1

x

x

x

+ =

= −

= ± −Logo, o conjunto solução é S =∅.

Você sabia...

Quem utilizou o símbolo i para 1− pela primeira vez foiLeonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso porGauss em 1801.

Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual seadmita a existência da 1− , que será substituída por i, a equaçãopassará a ter solução não vazia.

Veja que a solução da equação será:2

2

1 0

1

1

x

x x

x i

+ =

= −= ± −

= ±



196


Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação.

Dessa forma, o conjunto solução será: { },S i i= − .

Vejamos, agora, outro exemplo: x 2 - 6x +13=0 .

Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação:

x 2 - 6x +13=0

( )

2

2

4. .

6 4.1.13

16

b a c∆ = −

∆ = − −

∆ = −

Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente.

Então vamos considerar como universo um conjunto no qual seadmita a existência 1− , que será substituída por i .

( )

2.

6 162

6 16. 1

2

6 4 1

2

6 4

2

' 3 2

" 3 2

b x

a

x

x

x

i x

x i

x i

− ± ∆=

± −=

± −=

± −=

±=

= −

= +

Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação.

Dessa forma, o conjunto solução será: { }3 2 ;3 2S i i= − + .

Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados númeroscomplexos.



198


Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébricade um número complexo, onde a é a parte real e b é a parteimaginária.

Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i 2=-1 oui= 1− .

Observe o diagrama representado na figura 5.2:

Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos

Como todo número natural é inteiro, todo inteiroé racional, todo racional é real e, finalmente, todonúmero real é um número complexo em que b=0 naforma a+bi.

Note que, como um número complexo é dividido em parte real eparte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi ,podemos considerar as seguintes situações:

z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 eb ≠ 0;

z é real quando z = a, onde b=0 .

Você sabia...

Os termos real e imaginário foram empregados pela

primeira vez por René Descartes em 1637.



199


Unidade 5

Exemplos:

a) z= -5+7i

Note que:

-5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5;

7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7 ;

b)3

4

i z =

Re( z) = 0

Im( z)=3

4

Pode-se concluir que z é um imaginário puro.

c) z = -4,6

Re( z) = -4,6

Im( z)= 0

Pode-se concluir que z é um número real.d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4 )i seja umnúmero real?

Solução:

Note que para que z seja um número real é necessário que suaparte imaginária seja igual a zero, assim tem-se:

Im( z) = 0 k+4 = 0

k = - 4

Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4.

e) Determine o valor de x de modo que z = (x 2 - 25) + (2y - 8)i sejaimaginário puro.



201


Unidade 5

Re( z1) = Re( z

2) e Im( z

1) = Im( z

2)

-3 = 6y x = -8

y = 36−

y = 1

2−

Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e 1

2− .

2) Dados os números complexos z1

= (3x + y) + 5i e z

2= 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z

1seja

igual a z2.Solução:

Como z1= z

2tem-se que:

Re( z1) = Re( z

2) e Im( z

2)= Im( z

1)

3x + y = 8 e x - 2y = 5

Note que há um sistema de duas equações para resolver:

Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistemapelo método da adição.

O sistema equivalente será:6 2 16

2 5

x y

x y

+ =

− =Somando as equações tem-se:7 21

3

x

x

=

=

Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1.

Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1.

Você sabia...

No conjunto dos números complexos não existe relação deordem, isto é, um número complexo não é maior nem menorque outro.



202


Operações entre números complexos

Adição

A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida da seguinte forma:

Sendo z1= a + bi e z

2= c + di, z

1+z

2= (a+c) + (b+d)i

Exemplo:

Sendo z1=3+5i e z

2=-4+10i, determine z

1+z

2.

Solução:Sendo z

1= a + bi e z

2= c + di, z

1+z

2= (a+c) + (b+d)i

z1+z

2=(3+5i)+(-4+10i)

z1+z

2= 3+5i-4+10i

z1+z

2= (3-4)+(5+10)i

z1+z

2= -1+15i

Logo, z1+z

2= -1+15i.

Subtração

A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di

é estabelecida da seguinte forma:


2= c + di, z

1-z

2= (a-b) + (b-d)i

Exemplo:

Considere 1

1z 7i

2= − e

2

2 1z i

3 4= + e calcule z

1- z

2.



203


Unidade 5

Solução:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 17

2 3 4

1 2 17

2 3 4

1 2 17

2 3 4

3 4 28 1

6 4

1 29

6 4

z z i i

z z i i

z z i

z z i

i z z

− = − − +

− = − − −

− = − + − −

− − − − = +

− = − −

Logo,1 2

1 29

6 4

i z z− = − − .

Multiplicação

O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida da seguinte forma:


2= c + di, z

1.z

2= (ac-bd) + (ad+bc)i

Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicaçãode binômios no conjunto dos reais e considerando que i 2 = -1.

z1.z

2= (a+bi).(c+di)

z1.z

2= ac+adi+bci+bdi2

z1.z

2= ac+adi+bci+bd (-1)

z1

.z2

= ac+adi+bci-bd

z1.z

2= ac-bd+adi+bci

z 1 .z

2= (ac-bd)+(ad+bc)i



204


Exemplo:

Sendo z1= 1+5i e z

2= 6-3i, determine z

1.z

2.

Solução: z

1.z

2=(1+5i).(6-3i)

z1.z

2= 6-3i+30i-15i2

z1.z

2= 6+27i-15.(-1)

z1.z

2= 21+27i

Logo, z1.z

2= 21+27i.

Você sabia...

O produto de um número complexo pelo seu conjugado éum número real não negativo.

Conjugado

Sendo z = a+ bi , o número z = a- bi representa o conjugado de z.Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z.

Exemplo:

Dê o conjugado dos seguintes números complexos:



205


Unidade 5

Vale ressaltar que, sendo { z, z1 , z

2} ⊂ , tem-se as seguintes

propriedades:

1) z ∈ IR ∴ z = z

2)1 2 1 2 z z z z+ = +

3) 1 2 1 2 z z z z− = −

4)1 2 1 2 z . z z . z=

5) 1 12

2 2

z, z 0

z

z

z

= ≠

6) ( ) ( )n

n

z z ,n Z = ∈

Divisão

A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z

2= c + di é

estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugadodo divisor desde que o divisor seja diferente de zero.

Pode-se escrever da seguinte forma:

21 12

22 2

. , 0 z z z

z z z z

= ≠

Exemplo:

Sendo z1= 1+i e z

2= 4-3i, calcule:

1

2

)z

a z

Solução:1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

(1 ) (4 3 ).

(4 3 ) (4 3 )

4 3 4 3

16 12 12 9

4 7 3.( 1)

16 9.( 1)

4 7 3

16 9

1 7

25

z i i

z i i

z i i i

z i i i

z i

z

z i

z

z i

z

+ +=

− +

+ + +=

+ − −

+ + −=

− −

+ −=

+

+=



206


2

1

)z

b z

Solução:2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

(4 3 ) (1 ).

(1 ) (1 )

4 4 3 3

1

4 7 3.( 1)

1 ( 1)

4 7 3

1 1

1 7

2

z i i

z i i

z i i i

z i

z i

z

z i

z

z i

z

− −=

+ −

− − +=

−

− + −=

− −

− −

= +−

=

Potências de i

Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-seobter um critério.

Observe a tabela 5.1:

Tabela 5.1: Potências de i

Expoente (n) Potências de i (i n)0 i0= 1

1 i1= i

2 i2= -1

3 i3

= i2

.i=(-1).i=-i4 i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1

5 i5= i4.i=1.i=i

6 i6= i5.i=i.i=i2=-1

7 i7= i6.i=(-1).i=-i

8 i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1

9 i9= i8.i=1.i=i

Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das

potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um númeronatural n ≥ 4 , dividindo n por 4 temos:



207


Unidade 5

Logo, pode-se escrever n = 4.q + r , com r ∈ {0,1,2,3}.

Dessa forma, i n = i 4q+r =(i 4 )q .i r =1q .i r =i r .

Veja que para calcular as potências de i (in) cujoo expoente é maior ou igual a 4, basta dividir oexpoente n por 4 e elevar i ao valor que correspondeao resto da divisão, ou seja, o valor de r .

Exemplo:

Calcular o valor de:

a) i 27

Solução:

Agora se escreve: i 27 = i 3=-i

b) i 529

Solução:

Logo: i 529= i 1=i

Que tal resolver alguns exercícios para reforçara aprendizagem das operações estudadas até omomento?



208


1) Considere os números complexos z1= 2-2i e z

2= 1+3i e efetue

as seguintes operações:

a) (z1

+z2

)2

Solução:

(z1+z

2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2

(z1+z

2)2 = (3+i)2

(z1+z

2)2 = 32+2.3.i+i2

(z1+z

2)2 = 9+6i+(-1)

(z1+z

2)2 = 8+6i

b) ( )2

2 1. z z

Solução:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2

2 1

2 2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

. 1 3 . 2 2

. (1 6i 9 ). 2 2

. (1 6i-9) . 2 2

. 8 6 . 2 2

. 16 16 12 12

. 16 4 12.( 1)

. 28 4

z z i i

z z i i z z i

z z i i

z z i i i

z z i

z z i

= + +

= + + += + +

= − + +

= − − + +

= − − + −

= − −

2) Determine o número complexo z, tal que i.z (z z) 1 2i+ + = + .

Solução:

Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade

i.z (z z) 1 2i+ + = + temos:



209


Unidade 5

i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i

ai+bi2+2a = 1+2i

2a - b +ai = 1+2i

Utilizando-se a igualdade entre dois números complexosobtém-se:

2a b 1

a 2

− =

= Substituindo, tem-se:

Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i.

3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja umimaginário puro.

Solução:

Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i) 2 tem-se:

( 2x+3i)2 = 4x 2 + 12xi +9i 2

( 2x+3i)2 = 4x 2 + 12xi - 9

( 2x+3i)2 = (4x 2 -9) + 12xi Você já sabe que para que um número complexo seja imagináriopuro deve ter Re( z)=0 e Im( z) ≠ 0.



210


Logo:

Re( z)=0 Im( z) ≠ 0

4x 2 -9 = 0 12x ≠ 0

4x 2 = 9 x ≠ 0

x 2 =9

4

x =3

2±

Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja

imaginário puro deve ter 3

2 x = ± .

4) Determine o valor de92 45

311

i i

i

+ .

Solução:92 45 0 1

311 3

i i i i 1 i

i i i

+ + += =

−.

Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão.

Agora será feita a divisão de 1 i

i

+−

, multiplicando a expressão pelo

conjugado do denominador. Observe:2

2

1 i i i i 1 i. 1 i

i i i 1

+ + − += = = − +

− −

Portanto, a expressão92 45

311

i i

i

+ corresponde a 1 i− + .

5) Determine o conjugado do complexo1

1 i.

1 i

−−

+ Solução:

Lembre que, uma potência de expoente negativoequivale ao inverso da base com o expoente positivo,

desde que o denominador seja diferente de zero.



211


Unidade 5

Assim, o número complexo1

1 i

1 i

−−

+ pode ser escrito da seguinte

forma 1 i

1 i

+ −

.

Efetuando a divisão do número complexo temos:2

2

1 i 1 i 1 i 1 i i i 1 2i 1 2i. i

1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2

+ + + + + + + − = = = = = − − + − +

Logo, z i e z i= = − .

SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos númeroscomplexos

O Plano de Argand-Gauss

Você já estudou que qualquer número real está associado a umponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde

um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjuntonumérico que também tem sua representação geométrica.

Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi estáassociado a um par de números reais (a,b).

Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto doplano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).



212



Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi

Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesianoortogonal para representar o conjunto dos números complexos.

O plano em que são representados os elementos de é chamadoplano de Argand-Gauss.

Que tal conhecer um pouco da história do plano de Argand-Gauss?



213


Unidade 5


Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticosCaspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand,descobriram que os números complexos admitiamuma representação geométrica. Gauss imaginava essarepresentação por meio dos pontos de um plano enquantoque Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetorescoplanares.

Como Wessel e Argand tinham pouca representatividadeseus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na

época.Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação decomo os números complexos poderiam ser desenvolvidossegundo uma teoria exata, apoiada na representaçãodesses números no plano cartesiano.

Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegouao final dessas descobertas reconhecendo os númeroscomplexos como um par ordenado de números reais (a,b)e reescreveu as definições geométricas de Gauss na formaalgébrica.

Figura 5.4: Hamiltonwww.at-mix.de/hamilton.htm

Capturado em 23/07/06



214


Módulo e Argumento

Agora que você já sabe que um número complexo pode ser

representado no plano, estudará a seguir o significado destarepresentação.


Figura 5.5: Módulo e argumento

A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada demódulo do número complexo z=a+bi, que se denota por | z|=ρ.

Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula:2 2a bρ = + .

Demonstração:

No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras,pois, trata-se de um triângulo retângulo:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2 2

OP OA AP

a b

a b

ρ

ρ

= +

= +

= +

Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações:

acosθρ= e b sen θ

ρ= .



215


Unidade 5

A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-seargumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z).

O argumento θ pertence ao intervalo de

[ [0 2; π .

Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de algunsexercícios envolvendo módulo e argumento.

1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos erepresente-os geometricamente.

a) z=1+i

Solução:

Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:

Re( z)=a=1 e Im( z)=b=1.

Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=

Agora, calcula-se o argumento θ:

1 2

2 2

2

2

acos

cos .

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

1 2

2 2

2

2

b sen

sen .

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem

2

2é 45

4rad ou

π o .

Logo,θ

= 454 rad ou

π

θ =

o

.



216


Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i

Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é

θ =4

rad π e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica.

b) z=3i

Solução:

Identifica-se o valor de a e b:Re( z)=a=0 e Im( z)=b=3

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2

2 20 3

0 9

93

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= +

= +

==

Calcula-se o argumento θ:

0

3

0

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

3

3

1

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=



217


Unidade 5

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é

902

rad ouπ o .

Logo, 902

rad ouπ

θ θ= = o .

Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i

Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é

θ =2

rad π e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica.

c) z=-3

Solução:

Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:

Re( z)=a=-3 e Im( z)=b=0

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:

( )

2 2

2 23 0

9 0

93

a bρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= − +

= +

==



218



3

3

1

acos

-cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

= −

0

3

0

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é 180rad ouπ o .

Logo, 180rad ouθ π θ= = o .

Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3

Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento éθ = rad π e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica.

d) z= 3 i− +Solução:

Identifica-se o valor de a e b:

Re( z)=a=- 3 e Im( z)=b=1.



219


Unidade 5

Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:

( )

2 2

22

3 1

3 1

4

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= +

= − += +

=

=


32

acos

-cos

θρ

θ

=

=

12

b sen

sen

θρ

θ

=

=

O ângulo cujo cosseno é 3

2− e o seno 1

2pertence ao 2o

quadrante, cujo arco simétrico no 1º quadrante é x=6

rad π

, logo,deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante.

Fazendo a redução tem-se:

6

5

6

x

-

rad

θ ππ

θ π

πθ

= −

=

=

Desta forma 5

6rad

πθ = .

Figura 5.9: Representação geométrica de z= 3 i− +

Você deve lembrar que já

estudou esta redução na

Unidade 2.



220


Portanto, sendo z= 3 i− + , seu módulo ρ = 2, o argumento é5

6rad

πθ = e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica.

2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento 5

3rad

πθ = determine

o número complexo na forma a+bi.

Solução:

Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores doseno e cosseno do argumento:

5 33 2

5 1

3 2

sen sen

cos cos

πθ

πθ

= = −

= =

Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco

5

3rad

πθ = ao primeiro quadrante.

Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma:

1

2 3

2 3

3

2

acos

a

a

a

θρ

=

=

=

=

3

2 3

2 3

3

2

b sen

b

b

b

θρ

=

− =

= −

= −

Logo: 3 3

2 2 z i= − .

Forma trigonométrica ou polar de um número complexo

Agora que você já conhece o módulo e o argumento de umnúmero complexo, poderá representá-lo numa forma denominadatrigonométrica ou polar.

Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo pontoP(a,b).



221


Unidade 5

Você já sabe que acosθ

ρ= e b

sen θρ

= .

Isolando a e b nas respectivas relações tem-se:a cos e b .senρ θ ρ θ= =

Substituindo em z=a+bi:

( ) z cos sen .i

z . cos isen

ρ θ ρ θ

ρ θ θ

= +

= +

Portanto, ( ) z . cos isenρ θ θ= + é a forma trigonométrica ou polardo complexo z.

Exemplos:

1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i.

Solução:

Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular omódulo e o argumento do complexo.

Cálculo do módulo:

2 2

2 22 2

4 4

8

2 2

a bρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=

=

Cálculo do argumento:

2

2 2

1

2

22

acos

cos

cos

cos

θρ

θ

θ

θ

=

=

=

=

2

2 2

1

2

22

b sen

sen

sen

sen

θρ

θ

θ

θ

=

=

=

=



222


Logo, 454

rad ouπ

θ θ= = o .

Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é:

( )2 2

4 4

z . cos isen

z . cos isen

ρ θ θ

π π

= +

= +

2) Escreva na forma algébrica o número complexo

z=5.(cos270º + i sen270º ).

Solução:

Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º.

cos270º = 0 e sen270º = -1

Agora se substitui esses valores no complexo5.(cos 270º . 270º)

5.[0 .( 1)]

5.(0 )

5

z i sen

z i

z i

z i

= +

= + −

= −

= −

Portanto, a forma algébrica de 5.(cos270º 270º) z isen= + é z=-5i .

Operações na forma trigonométrica ou polar

Multiplicação

Sejam os números complexos z

1= ρ

1(cosθ

1+ isenθ

1) e

z2

= ρ2(cosθ

2+ isenθ

2)

Efetuando a multiplicação entre z1

e z2, tem-se:

z1. z

2= ρ

1(cosθ

1+ isenθ

1) . ρ

2(cosθ

2+ isenθ

2)

z1

. z2

=ρ1

. ρ2

(cosθ1

. cosθ2

+ icosθ1

. senθ2

+ isenθ1

. cosθ2

+ i2senθ1

.senθ2

)

z1. z

2=ρ

1. ρ

2[(cosθ

1.cosθ

2-senθ

1.senθ

2) + i(cosθ

1.senθ

2+ senθ

1.cosθ

2)]



223


Unidade 5

Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade4, tem-se:

z1

. z2

=ρ1

. ρ2

[cos(θ1

+θ2

)+isen(θ1

+θ2

)]

Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos esomar os argumentos dos complexos.

Exemplo:

Efetue z1. z

2, sendo 1 3 z . cos i.sen

3 3

π π = +

e

2

2 22.(cos . )

3 3 z i sen

π π= + .

Solução:

Dos complexos retira-se os seguintes dados:

1 1

2 2

33

22

3

e

e

πρ θ

πρ θ

= = = =

Substituindo-se esses dados em z1. z

2 =ρ1. ρ 2[cos( θ1+θ 2 )+isen( θ1+θ 2)]

tem-se:

( )

1 2

1 2

1 2

2 23 2

3 3 3 3

3 36

3 3

6

z .z . . cos isen

z .z . cos isen

z .z . cos isen

π π π π

π π

π π

= + + +

= +

= +

Divisão

Sejam os números complexos

z1

= ρ1(cosθ

1+ isenθ

1) e z

2= ρ

2(cosθ

2+ isenθ

2) com z

2≠ 0



224


Efetuando a divisão entre z 1 e z 2, tem-se:

( )( )

( )( )

( )( )

1 1 1 2 2 21 1 2

2 2 2 2 2 2 2 22

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 21

2 2 22 2 2 2 2

1 1 2 1 2 1 21

2

. cos isen cos isen z z z. .

z z cos isen cos isen z

. . cos .cos cos .isen isen cos i sen sen z

z . . cos i .sen

. cos .cos sen sen i sen cos co z

z

ρ θ θ ρ θ θ

ρ θ θ ρ θ θ

ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ

ρ ρ θ θ

ρ θ θ θ θ θ θ

+ −= =

+ −

− + −=

−

+ + −=

( )

( ) ( )

1 2

2

1 11 2 1 2

2 2

s .sen

z. cos i.sen

z

θ θ

ρ

ρθ θ θ θ

ρ

= − + −

Como você observa, novamente utilizam-se as transformaçõestrigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que:

( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

z. cos i.sen

z

ρθ θ θ θ

ρ = − + −

Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrairos argumentos dos complexos.

Exemplo:

Sendo z1

= 12(cos40º+isen40º) e z2

= 2(cos10º+isen10º), calcule 1

2

z

z.

Solução:

Dos complexos retira-se os seguintes dados:

1 1

2 2

12 40

2 10

e º

e º

ρ θ

ρ θ

= =

= =

Substituindo esses dados em ( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

z. cos i.sen

z

ρθ θ θ θ

ρ

= − + − ,

tem-se:( ) ( )

( )

1

2

1

2

12cos 40 10 40 10

2

6 cos30 30

z. º º i.sen º º

z

zº isen º

z

= − + −

= +



225


Unidade 5

Potenciação

Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ).

Tem-se que: z2 = z.z

z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ)

Lembre-se que na multiplicação de númeroscomplexos, na forma trigonométrica, basta multiplicaros módulos e somar os argumentos.

Então, se escreve:

z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ)

Para z3 pode-se escrever:

z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ)

z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ)

Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado aoexpoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente.

É possível generalizar estes resultados por meio do teoremademonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre:

Teorema:

Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número

complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ).



226



Figura 5.10: Moivrewww.swlearning.com/.../bio8.2.html

Acesso em 25/07/06.

Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667em Vitry-le-François, em Champagne na França. Eraum matemático famoso pela fórmula de Moivre, querelaciona os números complexos com a trigonometria epelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das

probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreuem 27 de novembro de 1754 em Londres.

Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre”Acesso em 25/07/06.

Exemplos:

1) Determine (1+i )8 .

Solução:

Inicialmente devemos escrever o complexo na formatrigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e oargumento.



227


Unidade 5


2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= += +

=


1

2

2

2

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

1

2

2

2

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Logo, θ = 45º ou θ =4

rad π

.

Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica:

( )2 cos 45 45 z . i sen= +

Logo:

( ) ( )

( )( )

88

8 4

8

8

2 cos 8 45 8 45

2 cos 360 360

16 1 0

16

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . i.

z

= +

= +

= +

=

Dessa forma, (1+i )8 = 16.

2) Qual é o valor de ( )10

3 i− ?

Solução:

Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se omódulo e o argumento.



228



( ) ( )

2 2

2 2

3 1

3 1

4

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

ρ

= +

= + −= +

=

=


3

2

acos

cos

θ ρ

θ

=

=

1

2

b sen

- sen

θ ρ

θ

=

=

Logo, θ = 330º ou θ = 11

6rad

πpois, como você observa, fez-se a

redução ao primeiro quadrante.

Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica:( )2 cos 330 330 z . i sen= +

.

Logo:

( )( )( )

10 10

10

10

10

10

2 cos 10 330 10 330

1024 cos 3300 3300

1024 cos 60 60

1 310242 2

512 512 3

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . º i sen º

z i

z i

= +

= +

= +

= +

= +

Dessa forma, ( )10

3 i− =512 512 3 i+ .



229


Unidade 5

Radiciação

Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo,

tal que: ( zk)n

= z.Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z.


1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4.

Solução:

Deve-se mostrar que ( zk

)4 = z.

Tem-se que:

( zk)4 = (1+i )4

Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência.

Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.

Cálculo do módulo:2 2

2 21 1

1 1

2

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +

= +

=


1

2

2

2

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

1

2

2

2

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Logo, θ = 45º ou θ = 4 rad π

.



230


Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica:

( )2 cos 45 45k z . i sen= +

Logo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

44

4 2

4

4

2 cos 4 45 4 45

2 cos180 180

4 1 0

4

k

k

k

k

z . . º i sen . º

z . º i sen º

z . - i.

z -

= +

= +

= +

=

Então, 1+i é a raiz quarta de -4 .

2) Encontre as raízes quadradas de z 4 4 3 i= + .

Solução:

Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica.

Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.


( )

2 2

224 4 3

16 16 3

648

a b

.

ρ

ρ

ρ

ρρ

= +

= +

= +

==


4

8

1

2

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

4 3

8

3

2

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=



231


Unidade 5

Logo, θ = 60º ou θ = 3

rad π

.

Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica:

83 3

z . cos i senπ π = +

Note que o problema é encontrar z

k ∈ tal que ( z

k ) 2 = z.

Escrevendo-se zk =ρ.(cosθ + i senθ).

Logo:

( zk )2 = z

( )2 8

3 3. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +

Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem:

( )2 2 2 83 3

. cos i sen . cos i senπ π

ρ θ θ + = +

Essa igualdade se estabelece quando:

2

8

2 2ρρ

==

e 2 23

6

k. , k Z

k. , k Z

πθ π

πθ π

= + ∈

= + ∈

Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros

para k:

Se k=0,6

πθ = , pois temos 0

6 6.

π πθ π= + = .

Logo:

0

0

0

2 26 6

3 12 2

2 2

6 2

z cos isen

z i.

z i

π π = +

= +

= +

Se k=1,7

6

πθ = , pois

716 6 6.

π π πθ π π= + = + = .



232


Logo:

1

1

1

7 7 z 2 2 cos isen

6 6

3 1 z 2 2 i.

2 2

z 6 2 i

π π = +

−= −

= − −

Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fez-se redução ao primeiro quadrante.

Se k=2, temos que 132

6 6

.π π

θ π= + = .

Perceba que 13

6

π é um arco côngruo a6

π e, dessa forma, o

número complexo que seria encontrado coincidiria com ocomplexo z0 , a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessárioatribuir outros valores para k.

Finalizando, as duas raízes quadradas de 4 4 3 z i= + são0 6 2 z i= + e

1 6 2 z i= − − .

Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula:

.2 .2cos .n

k

k k z i sen

n n

θ π θ πρ

+ + = +

, onde n é o índice da raiz

procurada.

Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre.

Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou

seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão.Note o exemplo a seguir:

3) Determinar as raízes cúbicas de z=8.

Solução:

Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é:.2 .2

cos .nk

k k z i senn n

θ π θ πρ

+ + = +



233


Unidade 5


2 2

2 28 0

64

8

a bρ

ρ

ρ

ρ

= +

= +=

=


8

8

1

acos

cos

cos

θρ

θ

θ

=

=

=

0

8

0

b sen

sen

sen

θρ

θ

θ

=

=

=

Logo 0θ = .

Portanto a forma trigonométrica do complexo é8(cos 0 0) z isen= + .

Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma:

3

.2 .2cos .

0 2 0 28 cos .

3 3

2 22. cos .

3 3

nk

k

k

k k z i senn n

k k z i sen

k k z i sen

θ π θ πρ

π π

π π

+ + = +

+ + = +

= +

O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe:

( ) ( )0

1

2

0 2. cos 0 0 2. 1 .0 2

2 2 1 31 2. cos 2. 1 3

3 3 2 2

4 4 1 32 2. cos 2. 1 3

3 3 2 2

k z isen i

k z isen i i

k z isen i i

π π

π π

= ⇒ = + = + = = ⇒ = + = − + = − +

= ⇒ = + = − − = − −



234


Representação geométrica:

Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8

Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre umacircunferência, pois temos que as imagens das n raízes de umnúmero complexo, para 3,n ≥ são vértices de um polígonoregular de n lados, inscritos numa circunferência de centro naorigem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que

3

8 2r = = .

A Física com os Números Complexos

Os números complexos são muito úteis para realizar operaçõesgeométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha comgrandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, acorrespondência entre as operações com os números complexos e

as transformações geométricas são muito úteis.

Representação Vetorial

Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo donúmero complexo z=a+bi . Este ponto individualiza um vetor comorigem em z = 0.



235


Unidade 5

Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi

O número complexo z pode ser concebido como o segmentoorientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pelatranslação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i.

Figura 5.13: Representação do complexo z = 3+3i



236


As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais.Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7).

Figura 5.14: Adição de números complexos

Multiplicar um número complexo por i , corresponde a girar90 º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem dessecomplexo.

Acompanhe o exemplo:

(5+2i ).i = 5i + 2i 2 = -2 +5i

Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15:

Figura 5.15: Representação do complexo z = -2+5i



237


Unidade 5

Conheça agora como surgiram os númeroscomplexos.


Os números complexos surgiram em meados do século XVIcom o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando afórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações dotipo 3 0 x ax b+ + = .

A equação resolvida foi 3 15 4 0 x x− − = , que aplicando afórmula de

Cardano3 2 3 2

3 3

2 27 4 2 27 4

b a b b a b x = − + + + − − + ele

obteve o seguinte resultado:

3 32 121 2 121 x = + − + − − .

A existência de um radicando negativo era um sinal de

que o problema que gerou essa equação não teria solução.Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação3 15 4 0 x x− − = , que x=4 era uma solução.

Embora considerando impossível a existência de 121− ,Bombelli teve que admitir a utilidade desse número comoferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever

121− de outra forma: ( )121 121. 1 11. 1− = − = − .

Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízesquadradas de números negativos; fazendo

( )2

1− =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardanofuncionava perfeitamente em qualquer caso, o que odeixava seguro de seus resultados.

Assim, passou a desenvolver regras para operar com essesnovos entes matemáticos, chamando-os de “númerosfictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou“números imaginários”.

Foi Euler, mais tarde, que substituiu 1− pela letra i,dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto

numérico: O conjunto dos números complexos.



238


Síntese

Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece umnovo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos.

É importante que você tenha percebido que, no conjuntoestudado, os números apresentam duas representações: algébricae trigonométrica.

Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidassão adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação,

enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adiçãoe subtração, mas trabalha-se com a radiciação.

Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, comcerteza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão parao desenvolvimento de suas atividades como profissional daeducação.

É importante que você verifique, no EVA, se suas atividadesestão todas prontas e revisadas.


1) Resolva as equações no universo dos números complexos:

a) x 2 + 4 = 0

b) x 2 – 4 x + 5 = 0



239


Unidade 5

2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .

3) Determine x e y, para que o número complexo

z = (4 x – 2) + ( y2 – 4) i seja:

a) um número real.

b) Um número imaginário puro.

4) Calcule:

a) (2 + 3i) + (2 – i)

b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)

c) ( )2 1

4 23 2i i i

+ − − + −



240


5) Efetue:

a) (2 – i).(1 + 3i)

b)1 1

.2 2

i i + −

c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)

6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:

( )2

2)

2

4 2)2 2

1)

2

ia

i

ibi

ic

i

− +

+−

+

−

7) Qual o conjugado do número complexo3

1 2 z

i=

+?



241


Unidade 5

8) Determine o valor real de x para que o produto

(12 – 2i).[18 + ( x – 2).i] seja também um número real.

9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e oproduto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.

10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .

11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N *.

12) Simplificando101 50

100 49

(2 ) .(2 )

( 2 ) .( 2)

i i

i i

+ −− − −

, obtém-se:



242


13) Se38 3

2

(10 ).

(1 )

i i i z

i

+ −=

−, determine 2ρ .

14) Se k é um número real e o argumento dek 2i

z3 2i

+=

−é 45º, então

calcule | z|.

15) Seja o número complexo z = ( x – 2i)2, no qual x é um número real. Se

o argumento de z é 270º, então calcule 1

z.

16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5 , sendo z = i – 1.



243


Unidade 5

17) Sendo z1=

4.(cos10º + i.sen10º ) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º )

determine z1.z

2.

18) Sendo z1

= 2(cos30º + i sen30º ) e z2

= 4(cos60º + i sen60º ), qual o

valor de 2

1

z

z?

19) Calcule:

a) (1 – i)6

b)

100

1 3

2 2i

− +



244


20) Calcule:

a) As raízes quadradas de 2 3 z i= + .

b) As raízes quartas de z=-4.

Desafios em números complexos

1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é aunidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:

2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo quei2 = - 1, então o valor da expressão (-i )200 + (2 + i ) .(2 – i ) + i 3 , é:



245


Unidade 5

3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujosvértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono?

Saiba mais

Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre osconteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa naInternet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Paraisso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações deNúmeros Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações.Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meioda ferramenta Exposição.



Para concluir o estudo

Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar umamensagem para você, futuro professor de Matemática,realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados,no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula.

O exercício de sua futura profissão requer o

conhecimento de todos os conteúdos de Matemáticaestudados no seu curso, porém, você deve ir além dosconteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereçaao aluno oportunidades para uma educação de qualidade.

Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégiasmetodológicas, relacionadas com o uso de diferentesmídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessadisciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática

precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modogeral, em especial softwares educacionais. O uso desoftwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma,inova o ensino da Matemática.

Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para suaformação.

Sucesso!!!



Sobre os professores conteudistas

Eliane Darela

Mestre em Engenharia de Produção pela UniversidadeFederal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada emMatemática pela UFSC. É professora horista naUNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas

atividades com alunos das Engenharias, Administraçãoe Matemática. É, também, professora de Matemática doEnsino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989.

Paulo Henrique Rufino

Especialista em Matemática Superior pela FundaçãoEducacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela UniversidadeFederal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista

na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suasatividades com alunos da Matemática, Licenciatura emQuímica, Administração, Tecnologia em Gestão deAgronegócios e Gestão Estratégica das Organizações.É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplinaMatemática Financeira. Atua, também, como professorde Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede PúblicaEstadual, desde 1991.

Rosana Camilo da Rosa

Mestre em Engenharia de Produção pela UniversidadeFederal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada emMatemática pela UFSC. É professora horista naUNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suasatividades com alunos das Engenharias, QuímicaIndustrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência daComputação e Matemática. É professora do Ensino

Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISULe, também, atua como professora de Matemática noEnsino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989.



Respostas e comentários das

atividades de auto-avaliação

Unidade 1

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza osvalores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.

Solução:

Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é

retângulo, tem-se 30o Â = , , AC a= ,2a HC = e AH h= .

No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras paraobtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razõestrigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.

2

2 2

22 2

22

2

43

4

3

2

aa h

aa h

ah

ah

= +

− =

=

=



252


. 12sen30º2

3. 32cos30º

2

. 1 1 3 3230º .. 33 3 3 3

2

acat oposto

hipotenusa a

acat adj

hipotenusa a

acat oposto

tg cat adj a

= = =

= = =

= = = = =

3. 3

2sen 60º 2

. 12cos60º2

3. 260º 3

.

2

acat oposto

hipotenusa a

acat adj

hipotenusa a

acat oposto

tg acat adj

= = =

= = =

= = =

2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?

Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se:

30o B∧

= , . 18cat oposto = , . .cat adj c= e hipotenusa a= .



253


Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidassolicitadas no problema.

18 1 18sen 30º 36

23

cos30º 2 36 3 18 336 2 36

a

a ac c

c c

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:

a)

Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidassolicitadas x e y , tem-se:

9cos60º

1 9

218

x

x x

=

=

=

sen 60º

3

2 18

9 3

y

x

y

y

=

=

=

b)



254


Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidassolicitadas x e y , dessa forma, tem-se:

2 3sen 60º

3 2 3

2

4

y

y

y

=

=

=

2 360º

2 33

2

tg x

x

x

=

=

=

4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:

Reescrevendo o trapézio, tem-se:

Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe:

1345º

2 13

2

26 2.

2 213 2

cos x

x

x

x

=

=

=

=



255


Agora, para encontrar o valor de y tem-se:

45º13

113

13

ytg

y

y

=

=

=

5) Observando a seguinte figura, determine:

a) O valor de a;

b) O valor de b;

c) A medida do segmento AD.

a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja:

25º100

0,466100

46,6

atg

a

a

=

=

=

b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente:

46,670º

46,62,75

46,6

2,75

17

tg b

b

b

b

=

=

=

=



256


c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma:

AD = AB – DB

AD = 100 - b

AD = 100 – 17

AD = 83

6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:

Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão

cosseno no ∆ADB:

4cos 45º

2 4

2

2 8

8 2.

2 2

4 2

DB

DB

DB

DB

DB

=

=

=

=

=

Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC.

2 230º

3 2 2

3

3 6 2

6 2 3.

3 3

2 6

tg y

y

y

y

y

=

=

=

=

=

30º4 2

1

2 4 2

2 4 2

2 2

x sen

x

x

x

=

=

=

=



257


7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é40 cm, encontre a medida do lado BC.

Observando a figura, tem-se que:

A DC 120º , logo C 30º

dessa forma o ADC é isósceles.

∧ ∧

= =

∆

Assim, pode-se escrever que 40cm AD DC = = .

Logo, o BDC ∆ é retângulo.

Portanto,

sen 60º40

3

2 40

20 3

x

x

x

=

=

=

8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outramargem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e amedida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.

De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa

a largura do rio:



258


O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos:

60 360º

60 33

60

tg d

d d m

=

=

=

Logo, a largura do rio é de 60 metros.

9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?

Note que, de acordo com a figura para resolver este problema,usaremos a razão tangente:

64º30

2,0530

30.2,05

61,50

htg

h

h

h m

=

=

=

=

Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros.

10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formandoum ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodoviaA, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilíneaC, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto degasolina a rodovia B, indo através de C?



259


De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representaa distância procurada:

Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para aresolução do problema:

sen 45º4

2

2 4

2 4 2

2 2

x

x

x

x km

=

=

=

=

A distância procurada é de 2 2 km .

11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISULde Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sobum ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmonível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a quedistância está o estudante do mesmo.

A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura doprédio e x a distância do estudante ao prédio:

Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se:

^

120º log

30º

B D C o

B

∧

=

=



260


Dessa forma, 20CD DB m= = .

O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno parao cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x :

60º20

3

2 20

2 20 3

10 3

h sen

h

h

h

=

=

=

=

cos60º

20

1

2 20

10

x

x

x

=

=

=

Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m dedistância do prédio.

12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se amedida do lado AC é 3 3cm .

Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC éum triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e amedida de um de seus lados.

3 3

sen 45º sen 60º

.sen 60º 3 3.sen 45º

3 3 3. 2.

2 2

3 2

x

x

x

x

=

=

=

=

13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que:MP=10 2 cm; med(

^

M )=60º e med(^

P )=75º.



261


Usando o teorema angular de Tales, temos:

^ ^ ^ ^ ^

180º 60º 75º 180º 45º R M P R R+ + = ⇒ + + = ⇒ =

Aplicando a Lei dos Senos, temos:

10 2

sen 45º sen 60º

.sen 45º 10 2.sen 60º

2 3. 10 2.

2 2

10 3

x

x

x

x

=

=

=

=

14) Determine o valor de x na figura abaixo:


^ ^ ^

^

^

^

180º

105º 30º 180º

180º 135º

45º

A B C

B

B

B

+ + =

+ + =

= −

=

Aplicando a Lei dos Senos, temos:

5 2sen 45º sen 30º

.sen 30º 5 2.sen 45º

1 2. 5 2.2 2

10

x

x

x

x

=

=

=

=



262


15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?

No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer,onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo.

2 2 2

2

2

2

1 2 2.1.2.cos60º

1

1 4 4. 2

5 2

3

3

x

x x

x

x

= + −

= + −= −

=

=No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC,para podermos calcular o perímetro.

30º3

3

3 3

3 9

1

3cos30º

3 3

2

2

1 2 1 2

6

atg

a

a

a

b

bb

P AD DC CB BA

P

P

=

=

=

=

=

=

=

= + + +

= + + +

=



263


16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto aomenor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado opostoao ângulo de 60º do triângulo?


180º

60º 75º 180º

45º

A B C

C

C

∧ ∧ ∧

∧

∧

+ + =

+ + =

=

Aplicando a Lei dos senos, temos:

18 2

60º 45º

. 45º 18 2. 60º

2 3. 18 2.

2 2

18 3

x

sen sen

x sen sen

x

x

=

=

=

=

17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menorângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menordas diagonais deste paralelogramo.



264


Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos:

2 2 2

2

2

2

8 8 2.8.8.cos60º

164 64 128.

264 64 64

64

8

x

x

x

x

x cm

= + −

= + −

= + −

=

=

18) Prove a lei dos cossenos quando:

a) o ângulo Â for reto

Demonstração

b) o ângulo Â for obtuso

Demonstração

19) Prove a lei dos senos quando:

a) o ângulo Â for reto

Demonstração

b) o ângulo Â for obtuso

Demonstração


1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual ovalor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede acm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c ?

73 7 3

83 8

3

ca c a

cb c b

= ⇒ =

= ⇒ =



265


Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se:

^2 2 2

2 2

2

2 2 22

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2. . .cos

7 8 82. . .cos3 3 3

49 64 16 .cos

9 9 3

49 64 9 48 .cos

49 73 48 .cos

24 48 .cos

24cos

48

1cos

2

60º

a b c b c A

c c cc c A

c c c Ac

c c c c A

c c c A

c c A

A

A

A

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

= + −

= + −

= + −

= + −

− = −

− = −

=

=

=

2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distânciada caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bombae caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água domesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamentosão necessários?

De acordo com o enunciado do problema, temos:



266


Aplicando a Lei dos cossenos, temos:

2 2 2

2

2

2

50 80 2.50.80.cos60º

1

2500 6400 8000. 2

8900 4000

4900

70

x

x x

x

x m

= + −

= + −= −

=

=

Unidade 2

1) Expresse em graus (º):

a)5

3

π rad

b) 4

3

π rad

c)7

6

π rad

d) 9

πrad

Solução:

Para transformar de radiano para graus, basta substituir rad π por180º .

1.a) 5

3

5.180º5.60º 300º3

rad π

= =1.b) 4 4.180º

4.60º 240º3 3

rad π

= = =

1.c) 7 7.180º7.30º 210º

6 6rad

π= = =

1.d) 180º20º

9 9rad

π= =



267


2) Expresse em radianos(rad):

a) 20º

b) 315º

c) 120º

d) 67º30´

Solução:

Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por180º

rad π

.

2.a) 20º

20º.

180º 9rad rad π π=

2.b) 315º

35 7315º.

180º 20 4rad rad rad

π π π= =

2.c) 120º

2120º.

180º 3rad rad

π π=

2.d) 67º30´

1º 60́

67º x

→

→

´67º.604020

1º x

′′= =

Logo, 67º30́ 4020́ 30́ 4050́= + = .

1º 60́

180º y

→

→

180º.6010800

1º y

′′= =



268


Portanto,

10800´

4050´

rad

z

π→

→

4050 .10800

81

216

9

24

3

8

z rad

z rad

z rad

z rad

π

π

π

π

′= ′

=

=

=

3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adoteπ = 3,14.

10

3,14

2

2.3,14.10

62,8

r cm

C r

C

C cm

π

π

=

=

=

=

=

4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km.

Como o diâmetro vale:

d= 100cm

Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m

A distância a ser percorrida é de 14,13 14130km m= e o comprimentode uma roda de bicicleta é igual a

2. . 2.3,14.0,5 3,14C r C C mπ= ⇒ = ⇒ = .

Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e ocomprimento da roda.

Número de voltas =14130

45003,14

= .



269


5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é:

Dados do problema:

3

60º?

Aplicando a fórmula,temos:

2. . .

360º

. .

180º

3,14.60º.3

180º

3,14

r cm

l

r l

r l

l

l cm

α

π α

π α

=

==

=

=

=

=

6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:

a) 1550º

Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeiradeterminação positiva do mesmo:

Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550ºé 110º , que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que aextremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante.

b) 95

6

π rad


95

6

π 84 11 11

146 6 6

π π π

π= + = +



270


Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de95

6rad

πé

11

6rad

πque é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se

concluir que a extremidade do arco de95

6

rad π

está no 4o quadrante.

c) -65

6

πrad


-65

6

π 60 5 410

6 6 6

π π ππ= − − = − −

Tem-se que2

3rad

π− é a primeira determinação negativa do arco e

devemos achar a primeira determinação positiva:

2 42

3 3rad

π ππ − =

Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de65

6rad

π− é

4

3rad

πque é um arco do 3o quadrante, logo pode-

se concluir que a extremidade do arco de65

6rad

π− está no 3o

quadrante.

7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcoscôngruos a:

a) -760º

Vamos dividir 760ºpor 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva−

Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim aprimeira determinação positiva é 360º-40º=320º.

Logo, a expressão geral será:

EG=320º+k.360º, k ∈ Z

b) 3120º

Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinaçãopositiva



271


Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º.

Logo, a expressão geral será:

EG=240º+k.360º, k ∈ Z

c)15

2

πrad

15 15 3Vamos representar onúmero rad por 6

2 2 2

3é 1ªdeterminação positiva

2

32 , .

2 EG k k Z

π π ππ

π

ππ

= +

= + ∈

d) -25

4

πrad

25 25Vamos representar o número por 6

4 4 4

Como - rad é a primeira determinação negativa, vamos encontara1ª determinação positiva:4

8 72 .4 4 4

7 25rad é 1ªdeterminação positiva de rad

4 4

Assim, a e

Logo

π π ππ

π

π π π ππ

π π

− − = − −

−− = =

−

xpressão geral será:

7EG 2k , k Z.

4

ππ= + ∈

8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação

positiva e a 3ª determinação negativa.

Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva.

Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º

Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa.

Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º.



272


9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15

2

π rad.

Vamos representar o número por

é a primeira determinação positiva

Logo a expressão geral é

32

2

15 15 36

2 2 23

rad .2

:

EG k ,k Z.

π π ππ

π

ππ

= +

= + ∈

10) Identifique quais pares de arcos são côngruos?

a)3

πrad e

30

3

πrad

Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de30

3

πrad

que é 0 rad, pois .

3010 0

3rad

ππ= + .

Logo, esse par de arcos não é côngruo.

b) – 30º e 330º

Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é360º-30º=330º.

Logo, esse par de arcos é côngruo.

c) 2º e 1082º

Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, queé 2º, pois,

Logo, esse par de arcos é côngruo.

11) Determine:

1) sen 390º sen(360º 30º ) sen 30º

2

2) cos1845º cos(1800º 45º ) cos 45º

2

5 5 3) 2

3 3 3 2

3) sen 600º sen(360º 240º) sen 240º sen(240º 180º) sen 60º

2) cos 480º cos(360º 120º) cos120º cos(180

a

b

c sen sen sen

d

e

π π ππ

= + = =

= + = =

= − = − = −

= + = = − = =

= + = =1

º 120º) cos60º2

− = =



273


Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcoscôngruos e a redução ao 1º quadrante.


a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º

( )330º 2.cos0º 60º

360º 330º 2. cos0º 60º

30º 2.cos0º 60º

1 32.1

2 2

5 3 .2

A sen sen

A sen sen

A sen sen

A

A

= − +

= − − +

= − − +

= − − +

− +=

b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2 x para x =2

π.

Substituindo x por2

π, tem-se:

3 cos8 cos 22

3. cos8. cos 2.

2 2 23

cos4 cos2

3cos2 cos

2

1 1 ( 1)

1

B sen x x x para x

B sen

B sen

B sen

B

B

π

π π π

ππ π

ππ π

= + − =

= + −

= + −

= + −

= − + − −

=

c) C =7

sen cos 3

3 13 sen

6

ππ

π

−



274


Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcoscôngruos.

( )6sen cos 2

3 312

sen6 6

sen cos3

sen6

3 3 2( 1)

2 2 3 2.

1 12 2

C

C

C

π ππ π

π π

ππ

π

+ − +

= +

−=

+− −

= = = +


Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e oarame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é oângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina napolia?

Dados do problema:

r1=9cmr

2=2cm

Calcula-se o comprimento da circunferência C2:

2

2

2. . r

2. .2 4

C

C cm

π

π π

=

= =

Observe a figura:



275


1

1

2. .

2. .9 18

Agora encontra-se o valor do arco x:

18 360º

4

360º.4 20º .480º

18 1

C r

C

x

x

π

π π

π

π

π

π

=

= =

→

→

= = =

Logo, o valor do ângulo central é 80º.

Unidade 3

1) Determine:37 36 3

)6 6 6 6 3

a tg tg tg π π π π = + = =

7 4 3 3) cot cot cot 0

2 2 2 2b g g g

π π π π = + = =

5 5 3 3 12 2

4 4 4 4 4 2

2

c )sec sec sec sec secπ π π π π

π π − = − = = − = − = − = −

31 24 7 7 7 12

16 6 6 6 6 6

2

d ) cos ec cos ec cos ec cos ec cos ecπ π π π π π

π = + = = − = − = − = −

5 52 3

3 3 3e ) tg tg tg

π π ππ

= − = − = −



276


2) Qual o sinal da expressão:

3. 0

3 45

.3 6

tg tg tg y

tg tg

π π

π π

−=

− −

.

( )

3. 03 4

5.

3 6

. 03 4

5 7.

3 6

3. 1 0

1.

3 6

3

33.

3

3

tg tg tg ytg tg

tg tg tg y

tg tg

ytg tg

y

y

π π

π π

π π

π π

π π

−= − −

− − =

− −

=−

−=

−

=


a) A = sen3 x + cos8 x - tg2 x para x =2

π .

Substituindo x por2

π , temos:

3 8 2sen cos

2 2 2

3sen cos 4

2

1 1 0 0

A tg

A tg

A

π π π

ππ π

= + −

= + −

= − + − =

b)

7 sen cos 3

3 B13

tg 6

ππ

π

−=



278


6) Analisando os gráficos:

2 y sen x=



279


2 cos y x= +



280


2

x y tg =

Responda os itens a seguir:

a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?

b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?

c) Em que intervalo a função 2 y sen x= é negativa?

d) Em que intervalo a função 2 cos y x= + é positiva?

e) Qual o período da função2

x y tg

=

?



281


[ ]

2

2

22

2 1 1

2 1 3

2

32

2 2

0 2

2

a ) y sen x D R

y cos x D R

x

y tg D { x R / x k }b ) y sen x Im [ , ]

y cos x Im [ , ]

x y tg Im ] , [

c ) ; e ,

d ) ;

e ) P

π π

π ππ π

π

π

= =

= + =

= = ∈ ≠ + = = −

= + =

= = − ∞ ∞

=

7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7.

Sabe-se que 1 sen 1 x− ≤ ≤ , tem-se:

( )

1 1

1 3 7 1

7 1 3 7 7 1 7

6 3 8 3

6 3 8

3 3 3

82

3

senx

k

k

k

k

k

− ≤ ≤

− ≤ − ≤

− ≤ − + ≤ +

≤ ≤ ÷

≤ ≤

≤ ≤

Logo:8

| 23

k R k ∈ ≤ ≤

8) Qual a imagem da função f( x

) = 5 + cos x

?

( ) 5 cos

5

1

5 1 4

5 1 6

Im [4,6]

f x x

a

b

a b

a b

= +

=

=

− = − =

+ = + =

=



282


9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação

horária y(t) 4 3.cos t 4

ππ

= + +

, em que t é o tempo transcorrido,

em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo àparede, conforme ilustração a seguir:

a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;

b) qual o ponto de partida do corpo?

O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0:

(0) 4 3.cos .04

(0) 4 3.cos

(0) 1

y

y

y

ππ

π

= + +

= +

=

A extremidade a estava a 1cm da parede.



283


c) qual o seu período de oscilação?

2 28 segundos

4

P m

π π

π= = =

d) Qual a amplitude do movimento?

Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela funçãodo valor mínimo:

7-1 = 6cm.

10) Determine o domínio de cada uma das funções:

( )

) 54

54 2

20 2 4

4 4

20 3 4

3 4

20 20

3

20 5 3{ / }

20 5

) cot2

2

2

{ / }2

) sec 3

32

6 2 2

2 2

6 3 2

{2 3

a y tg x

x k

x k

x k

k x

x k

D x IR x k

b y g x

x k

x k

D x IR x k

c y x

x k

x k

x k

x k D x I

π

π ππ

π π π

π π

π π

π π

π π

π

ππ

ππ

π π

π

ππ π

π π π

π π

π π

= −

− ≠ +

− +≠

≠ +

≠ +

≠ +

= ∈ ≠ +

= +

+ ≠

≠ − +

= ∈ ≠ − +

= −

− ≠ +

− +≠

≠ +

≠ + = ∈ / }2 3

) cos 23

R x k

d y ec x

π π

π

≠ +

= +



284


11) Qual o valor de1

2. arccos2

y tg =

?

Para encontrarmos o valor de y , vamos considerar1

arccos e usar a definição.2 x=

Logo, o arco cujo cosseno vale 1

2é

3 x rad

π= .

Portanto,2

2 33 3

y tg tg π π = = = −

.

12) Encontre o valor de 32. arcsen2 y tg

=

.

Para encontrarmos o valor de y , vamos considerar

3e usar a definição.

2arcsen x=

Logo, o arco cujo seno vale 3

2é

3 x rad

π= .

Portanto,2 2

2 33 3 3 3

y tg tg tg tg π π π π

π = = = − = − = −

.


3 .3

y arctg arctg = +

Para calcular o valor de y , vamos considerar:

33

3

33 .3

, .3 6

arctg a e arctg b

tg a e tg b

Logo a e bπ π

= =

= =

= =



285


Portanto,3 6 2

yπ π π

= + = .


1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados datemperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante trêsdias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a serfeita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horasdepois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função

315 5

12 2 y(t) sen t

π π = + +

onde t indica o tempo (em horas)

decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) noinstante t . Detemine:

a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);



286


b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperaturaocorreu no primeiro dia de observação.

A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se:

315 512 2

312 15 5 12

12 2

512 15 5

2

12 15 5 1

12 20

y(t) sen t

y( ) sen .

y( ) .sen

y( ) .

y( )

π π

π π

π

= + +

= + +

= +

= +

=

A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-seàs 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15.

2) (Mack-SP) O valor de3 1 3

5 arcsen3 4 2

tg arctg

−

pode ser dadopor:

a) 0

b) 1

c) 12

d) -1

e)1

2−

3 3Vamos considerar arctg a e arcsen b e aplicando a definição das funções circulares

3 2

3 3inversas teremos tga e senb .

3 2

Logo, a e b .6 3

1 5 3 3Portanto, tg 5. . tg tg tg - tg 1.

6 4 3 6 12 4 4 4

π π

π π π π π π ππ

= =

= =

= =

− = − = = = − = −

3) O valor de1 1

2 3 arcsen arccos2 2

arctg + + é:

a) 5

6

π



287


b)2

π

c)6

π

d) 7

6

π

e) π

Vamos considerar e e aplicando a definição das funções

circulares inversas, tem - se : e

Logo,3 6 3

Portanto,6 3

1 1arctg 3 a,arcsen b arccos c

2 21 1

tg a 3 ,senb cosc .2 2

a ,b e c .

7 2. rad

3 6

π π π

π π π π

= = =

= = =

= = =

+ + =

Unidade 4

1) Sabendo que

1

sen 2 x = − e que3

2 xπ

π < < , então determine o valorde cos x .

Para determinarmos o valor do cos x , vamos usar a 1ª relaçãofundamental da trigonometria.

2

2 2 2 2 2 2

2

1 3cos ?

2 2

1 1cos 1 cos 1 cos 1 cos 1

2 4

3 3cos cos4 4

Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos:

3cos .

2

senx com x x

sen x x x sen x x x

x x

x

ππ= − < < =

+ = ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒

= ⇒ = ±

= −



288


2) Sabe-se que3

5 senx = − e

3 x 2

2

ππ< < . Qual o valor da cotg x ?

Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relaçãofundamental da trigonometria:

2 2

2

2

2

3 32

5 2

1

31

5

91

25

16

25

16

25

4

5

4

4 553 5 3

5

x

senx com x cot gx ?

cos x sen x

cos x

cos x

cos x

cos x

cos x

cos xUsaremos, agora, a relação cot gx para encontrar o valor da cotg x :

senx

cos xcot gx . senx

ππ= − < < =

= −

= − −

= −

=

= ±

=

=

= = = −−

43

. = −

3) Sabendo que3

2 sen x = e x

2

ππ< < , determine o valor da expressão

2 2sec cos . x x+



289


2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

3sec cos ?

2 2

Calcularemos, primeiramente, o cos :

cos 1

cos 1

3cos 1

2

3cos 1

4

1cos

41

cos4

Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que:

1cos

2

Na seqüênci

senx com x x x

x

x sen x

x sen x

x

x

x

x

x

ππ= < < + =

+ =

= −

= −

= −

=

= ±

= −

2

2 2 2

1a, utilizando sec , tem se:

cos

1sec

cos

1sec

1

2

sec 2

Substituindo os valores encontrados na expressão:

1 1 16 1 17sec cos ( 2) 4 .

2 4 4 4

x x

x x

x

x

x x

= −

=

=−

= −

+ + = − + − = + = =



290


4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cos sen x x= − e que

2 x

ππ< < ?

( )

2 2

2 2

2 2

2

2

?cos ?

2cos2

Substituindo -2cos na relação trigonométrica fundamental tem-se:

cos 1

2cos cos 1

4cos cos 1

5cos 1

1cos

5

1cos

5

Observando o quadrante do arco tem

senx x

senx x com x

x

sen x x

x x

x x

x

x

x

x

ππ

==

= − < <

+ =

− + =

+ =

=

=

= ±

-se:

5cos

5

52.cos 2.

5

2 5.

5

x

senx x senx

senx

= −

= − ⇒ = − −

=

5) Se5

sec3

x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

( )2 2

16 cot cos A g x ec x= + .

2 25sec 1º 16.(cot cos ) ?

3

1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :

cos

5sec

3

1 5

cos 35cos 3

3cos

5

x x quadrante A g x ec x

x x x

x

x x

x

= ∈ = + =

=

=

=

=

=



291


2 2

2 2

Agora, calcularemos o sen :

sen cos 1

sen 1 cos

x

x x

x x

sen

+ =

= −2

2

2

2

31

5

91

25

16

25

16

25

4

5

Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :

coscot

3

3 5 35cot .4 5 4 4

5

1cos

1 5cos

4 4

5

Substituindo os

x

sen x

sen x

senx

senx

x x x x

x gx

senx

gx

ecx senx

ecx

= −

= −

=

= ±

=

=

= = =

=

= =

valores encontrados na expressão tem-se:

2 2

2 2

16.(cot cos )

3 516.

4 4

9 2516.

16 16

4116.

16

41.

A g x ec x

A

A

A

A

= +

= +

= +

=

=



292


6) Se1

3 sen x = , com 0 ≤ x ≤

2

π, calcule o valor da expressão

cot

sec cos

tgx gx y x x+= − .

Inicialmente, simplifica-se a expressãocot

sec cos

tgx gx y

x x

+=

−utilizando as

relações trigonométricas estudadas:

2 2

2

sen cos

cos sen1

coscos

sen cossen .cos

1 cos

cos

x x

x x y x

x

x x x x y

x

x

+=

−

+=

−

Como 2 2sen cos 1 x x+ = e 2 21 cos sen x x− = , tem-se:

2

2

3

3

1

.cos

cos

1 cos.

.cos

1

Substituindo o valor do sen , tem-se:

1 127.

11

273

senx x y

sen x x x

y senx x sen x

y sen x

x

y

=

=

=

= = =

7) Calcule o valor de2cos cos sec .sec

1

ec x x x y

tgx

−=

−, dado

1

4 sen x = .

Inicialmente, simplifica-se a expressão2cos cos .sec

1

ec x ecx x y

tgx

−=

−

utilizando as relações trigonométricas estudadas:



293


2

2

2

2

22

1

1 1 1

1

1 1 1

11164

cos ec x cos ecx.sec x y

tgx

. sen x senx cos x y

senxcos x

cos x senx sen x.cos x ycos x senx

cos xcos x senx cos x

y . sen x.cos x cos x senx

Substituindo o valor do sen x, tem-se:

y sen x

−=

−

−=

−

−

=−

− = −

= = = =

16.

8) Se5

sec3

x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão

2 225.cos 16.cot . A x g x= −

2 2

2 2

2 2

5

sec 1º 25.cos 16.cot3

1Utilizando a relação secx calcula-se o cosx:

cosx

5sec

3

1 5

cos 3

5cos 3

3cos5

Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen cos 1:

sen cos 1

x x quadrante A x g x

x

x x

x

x x

x x

= ∈ = −

=

=

=

=

=

+ =

+ =2

2

2

3sen 1

5

16

25

1625

x

sen x

senx

+ =

=

= ±



294


9) Determine:

) 105º

3 2 2 1 6 2105º (60º 45º ) 60º .cos 45º 45º .cos60º . . .

2 2 2 2 4

) 75º

3 3 31

45º 30º 3 3 3 3 12 6 33 375º (45º 30º ) . 2 3.1 45º. 30º 63 3 3 3 3 3 3

1 1.3 3

)cos15º

cos15º cos(45º 30º ) co

a sen

sen sen sen sen

b tg

tg tg tg tg

tg tg

c

+= + = + = + =

+++ + + +

= + = = = = = = +− − − +

−

= − =2 3 2 1 6 2

s 45º .cos30º 45º . 30º . . .2 2 2 2 4

sen sen+

+ = + =



295


10) Sabendo que3

5 senx = e que

2 x

ππ< < , calcule o valor de

3cos x

π +

.

2 2

2 2

2

2

2

2

3 cos ?5 2 3

Inicialmente calcula-se o valor do cosx:

sen cos 1

cos 1

3cos 1

5

9

cos 1 25

16cos

25

16cos

25

4cos

5

Utilizando a fórmula da adição cos cos co

senx com x x

x x

x sen x

x

x

x

x

x

(a b) a.

π ππ = < < + =

+ =

= −

= −

= −

=

= ±

= −

+ = s :

cos cos .cos .3 3 3

1 4 3 3cos . .

3 2 5 2 5

4 3 3cos .

3 10

b-sena.senb

x x sen senx

x

x

π π π

π

π

+ = −

+ = − −

− − + =



296


11) Calcule o valor numérico da expressão

cos( 30º ) cos( 30º )

cos( 60º ) sen(30º )

x x y

x x

+ + −=

− + −.

cos( 30º ) cos( 30º )

cos( 60º ) (30º )

cos .cos 30º . 30º cos .cos 30º . 30º

cos .cos 60º . 60º 30º.cos .cos30º

2cos .cos30º

cos . 30º cos . 30º

2cos .cos30º

2cos .

x x y x sen x

x senx sen x senx sen y

x senx sen sen x senx x

y x sen x sen

x y

x sen

+ + −=− + −

− + +=

+ + −

=+

=30º

321

2

3.

y

y

=

=

12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º ) y x x= + + − .

Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se:

cos(120º ) cos(120º )

cos120º.cos 120º cos120º .cos 120º.

2cos120º.cos

Reduzindo 120º ao primeiro qu

y x x

y x sen senx x sen senx

y x

= + + −

= − + +

=

( )adrante tem-se:

2. cos 60º .cos

12. .cos

2

cos

y x

y x

y x

= −

= −

= −

13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x

2

2

5 2 ?

22

1

2.5 10 102

1 5 1 25 24

52 12

tgx tg x

tgxtg x

tg x

tg x

tg x

= =

=−

= = =− − −

= −



297


14) Sabendo que1

cos3

x = , calcular cos2 . x

2

2 2

2

2

2

2

2 2

Calcula - se o valor do utilizando relação trigonométrica :

11

11

3

11

9

8

9

89

8

3

Utilizando a fórmula do arco duplo tem- se :

2

2

2

senx

sen x cos x sen x cos x

sen x

sen x

sen x

senx

senx

cos x cos x sen x

cos

+ == −

= −

= −

=

= ±

=

= −22

1 8

3 3

1 82

9 9

72

9

x

cos x

cos x .

= −

= −

= −



298


15) Se1

cos2

sen x x− = , calcule o valor de 2 . sen x

( )2

2

2 2

2 2

12

2

Pode -se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe :

1

2

12

4

12

4

Pela relação fundamental tem - se :

senx cos x sen x ?

senx cos x

sen x senx.cos x cos x

sen x cos x senx.cos x

s

− = =

− =

− + =

+ − =

2 2 1 e

pela transformação do arco duplo tem - se logo pode-se escrever :

11 2

4

11 2

4

32

4

en x cos x

2senx.cosx sen2x,

sen x

sen x

sen x

+ =

=

− =

− =

=

16) Sendo1

cot2 g x = , calcule 2 .tg x

2

2

1cot 2 ?

2

1cot

2

1 1

2

2

221

2.22

1 2

42

1 4

42

3

gx tg x

gx

tgx

tgx

tgxtg xtg x

tg x

tg x

tg x

= =

=

=

=

=−

=−

=−

= −



299


17) Sendo 21 cos2 2.cos E x x= − + calcular 2 3 E E E + + .

( )

2 2 3

2 2 2

2 2 2

2 2

2 3 2 3

1 cos 2 2cos ?

Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:1 cos 2cos

1 cos 2cos

1 cos

Pela relação fundamental, tem-se:

1 1 2

2 2 2 2 4 8 14.

E x x E E E

E x sen x x

E x sen x x

E sen x x

E

E E E

= − + + + =

= − − +

= − + +

= + +

= + =

+ + = + + = + + =

18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?

Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas:

( )

( ) ( )

( )2 2

10º cot 10º . 20º

10º cos10º10º cot 10º . 20º . 2.10º

cos10º 10º

Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se:10º cos 10º

10º cot 10º . 20º10º.cos10º

tg g sen

sentg g sen sen

sen

sentg g sen

sen

+ =

+ = +

++ =

( )

( )( )

.2 10º.cos10

110º cot 10º . 20º .2. 10º.cos10º

10º.cos10º

10º cot 10º . 20º 1.2

10º cot 10º . 20º 2.

sen

tg g sen sen sen

tg g sen

tg g sen

°

+ =

+ =

+ =



300


19) Se cot 4tg x g x+ = , então quanto vale 2 sen x?

Utilizando as relações trigonométricas tem-se:

2 2

2 2

cot 4 2 ?

cos4

cos

cos 4. .cos

.cos .cos

cos 4. .cos

Pela relação trigonométrica tem-se:

1 4. .cos

1.cos

4Sabendo que 2 2. .cos , pode-se

tgx gx sen x

senx x x senx

sen x x senx x

senx x senx x

sen x x senx x

senx x

senx x

sen x senx x

+ = =

+ =

+=

+ =

=

=

= substituir o resultado obtido acima:

12 2.

4

12 .

2

sen x

sen x

=

=

20) Sendo 45ºa b+ = e2

3tg a = , calcule tg b .

( )

Utilizando a fórmula tg(a b), tem-se:

1 .

2

345º2

1 .3

2

3

1 21 .3

2 21 .

3 3

3 2 2 3

3 3

3 2 2 3

3 2 3 2

5 1

1.

5

tga tgbtg a b

tgatgb

tgbtg

tgb

tgb

tgb

tgb tgb

tgb tgb

tgb tgb

tgb tgb

tgb

tgb

++

+ =−

+=

−

+

= −

− = +

− +=

− = +

− = +

=

=



301


21) Resolver a equação 2 2 0 sen x sen x+ − = para 0 2 x π≤ ≤ .

( )

2

o

2

2 0 0 2

Observe que esta equação representa uma equação do 2 grau cuja a incógnita é portanto pode -se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação :

1 4 1 2

1 8 9

1

sen x senx x

sen x,

. .

senx

π+ − = ≤ ≤

∆ = − −

∆ = + =

− ±=

9

2 1

1 3

2

4 22 12 2

Como 1 1 então 1

Portanto,2

2

.

senx

sen x e sen x

senx senx

x

S

π

π

− ±=

= − = − = =

− ≤ ≤ =

=

=

22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .



302


23) Determine o conjunto solução da equação 2 0 sen x sen x− = sendo0 x .π≤ ≤

( )

2 0 0

2 0

Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:

2 .cos 0

Colocando-se senx em evidência, tem-se:

. 2cos 1 0

Aplicando a lei do anulamento,tem se:

0

2cos 1 0 cos

sen x senx x

sen x senx

senx x senx

senx x

senx

x x

π− = ≤ ≤

− =

− =

− =

−

=

− = ⇒ =1

2

Observando o intervalo de definição, tem-se:

0 0 ou

1cos

2 3

0, , .3

senx x x

x x

S

π

π

ππ

= ⇒ = =

= ⇒ =

=

24) Resolva em IR a equação:

2

3 3 2 sen x sen x

π π + + − =



303


25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintesinequações:

1

2a) sen x < −

7 11{ / }

6 6S x IR x

π π= ∈ < <

2cos2

b) x ≥ −

3 5{ / 0 2 }

4 4S x IR x ou x

π ππ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤



304


1c) tg x ≤

5 3{ / 0 2 }

4 2 4 2S x IR x ou x ou x

π π π ππ= ∈ ≤ ≤ < ≤ < <

3cos

2d) x <

11{ / }

6 6S x IR x

π π= ∈ < <



305



1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x , 0 2 x π≤ ≤ , tais que

( )2

cos 1 sen x x+ = é:a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) Maior que 5

( )

( )

2

2 2

2 2

0 2 cos 1

Desenvolvendo o quadrado da soma, temos:

2 .cos cos 1

cos 2. .cos 1

1 2 .cos 1

2 .cos 0

2 0 cos 0

0

onde tem-se 0, 2

cos 0

3tem-se

2 2

Logo

x senx x

sen x senx x x

sen x x senx x

senx x

senx x

senx ou x

senx

x x e x x

x e x

π

π π

π π

≤ ≤ + =

+ + =

+ + =

+ =

=

= =

=

= = ==

= =

3a solução é 0, , , , 2 .

2 2

Portanto o número de soluções é 5.

S π π

π π =

2) No intervalo 0 2 x π≤ < , a equação2cos

1

x sen x

sen x=

+, apresenta

exatamente:

a) uma única solução.

b) duas soluções.

c) três soluções.

d) quatro soluções.

e) cinco soluções.



306


( ) ( )( ) ( )

2

2

2

cos

1

Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se:

1

1

Como1 sen x é uma diferença de dois quadrados, temos: 1 senx . 1 senx

1 . 1

1

simplificando o fator comum tem

x senx

senx

sen x senx

senx

senx senx senx

senx

=+

− =+

− − +

− +=

+os :

1

1 2

1

2

5Logo, os valores que satisfazem a igualdade são e .

6 6

Portanto, são duas soluções.

senx senx

senx

senx

π π

− =

=

=

Unidade 5

1) Resolva as equações no universo dos números complexos:

a) x 2 + 4 = 0

a = 1, b = 0, c = 4

( )

2

2

4. .

0 4.1.4

0 16 16

2.

0 16

2.1

0 16. 1

2

16. 1

2

b a c

b x

a

x

x

x

∆ = −

∆ = −

∆ = − = −− ± ∆

=

− ± −=

± −=

± −

=



307


1

2

4.

2

2

2

{2 , 2 }

i x

x i

x i

S i i

±=

= +

= −

= −

b) x 2 – 4 x + 5 = 0

( )2

1, 4, 5

4 4.1.5

16 20

4

( 4) 4

2.1

4 4.( 1)

2

4 4. 1

2

4 2.

2

2

{2 , 2 }

a b c

x

x

x

i x

x iS i i

= = − =

∆ = − −

∆ = −

∆ = −

− − ± −=

± −=

± −=

±=

= ±= + −

2) Resolva a equação z 2 – 3iz = 0 com z ∈ .

2z - 3iz 0

( 3 ) 0

Ultizando a Lei do Anulamento, tem se :

0

3 0

3

{0, 3 }

z z i

z

ou

z i

z i

S i

=

− =

−

=

− =

=

=



308


3) Determine x e y , para que o número complexo

z = (4 x – 2) + ( y 2 – 4) i seja:

a) Um número real.

2

2

Im( ) 0

4 0

4

4

2

z

y

y

y

y

=

− =

=

= ±

= ±

b) Um número imaginário puro.

2

2

Re( ) 0 Im( ) 04 2 0

4 2

2

4

1

2

4 0

44

2

z e z x

x

x

x

y

y y

y

= ≠− =

=

=

=

− ≠

≠≠ ±

≠ ±

4) Calcule:

a) (2 + 3i ) + (2 – i )

(2 3i) (2- i) 2 3 2 4 2i i i+ + = + + − = + .

b) (6 – i ) + (5 – 2i ) – (4 + 2i )(6 – i ) + (5 – 2i ) – (4 + 2i ) = 6 5 2 4 2 7 5i i i i− + − − − = − .

c) ( )2 14 2

3 2i i i + − − + −

( )2 14 2

3 2i i i + − − + −

=

2 1 2 1 4 3 24 25

4 2 43 2 3 2 6 6

i i i− +

+ − + + − = − + = = .



309


5) Efetue:

a) (2 – i ).(1 + 3i )

2(2 ).(1 3 ) 2 6 3 2 6 3 5 5i i i i i i i i− + = + − − = + − + = + .

b)1 1

.2 2

i i + −

21 1 1 1 1 1 1 4 5. 1

2 2 4 2 2 4 4 4i i i i i

+ − + = − + − = + = =

.

c) (1 + i ).(2 – i ).(1 + 2i )

( ) [ ] ( )2

2

1 .(2 ) .(1 2 ) 2 2 .(1 2 ) 2 2 1 .(1 2 ) 3 .(1 2 )

3 6 2 3 6 2 1 7 .i i i i i i i i i i i ii i i i i i

+ − + = − + − + = − + + + = + + = + + + = + + − = +

6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

2

2

22

2

2 2 2

2

22 2 4 2 4 2 1 2) . .

2 2 2 4 4 2

4 2 2 2 8 4 2 2 2 24 2 8 6 2 2 6 6 2) . 1 2 .

4 2 62 2 2 2 2 2 4 2

1 1 2 1 2 1 2 (2 ) 4 2 4 2 2 4) . .

2 2 2 (2 ) (2 ) 4 4 1 5 5

ii i i i i ia

i i i i

i i i i ii i ib i

i i i i

i i i i i i i i ic i

i i i i i i

− +− + − − + += = = =

− −

+ + + + ++ + − += = = = = +

+− − + −

+ + + + − + + −= = = = = = − +

− − − − + − +

7) Qual o conjugado do número complexo3

1 2 z

i=

+?

( )( ) 2

Inicialmente coloca-se z na forma a bi:

1 23 3 6 3 6 3 6

.(1 2 ) 1 2 1 4 1 4 5 5

3 6 3 6Como .

5 5 5 5

i i i z ii i i

z i z i

+

− − −= = = = −+ − − +

= − ⇒ = +



310


8) Determine o valor real de x para que o produto

(12 – 2i ).[18 + ( x – 2).i ] seja também um número real.

Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

212 2 . 18 2 216 12 .( 2) 36 2 . 2

12 2 . 18 2 216 12 24 36 2 4

12 2 . 18 2 212 (12 60)

i x i i x i i x

i x i xi i i x

i x i x i

− + − = + − − − −

− + − = + − − + −

− + − = + −

Dessa forma tem-se:

Im( ) 0 12 60 0

12 60

60

125

z x

x

x

x

= ⇒ − =

=

=

=

9) Dado o complexo z = a + bi . A soma de z com seu conjugado é 18 e oproduto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.

Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se:

( )

22

2 2 2

2

2

2

18

. 145

Se , tem se que z .Substituindo no sistema, tem-se:

18

18

2 18

9

. 145

( ).( ) 145

145

9 145

81 145

145 81

64

64

8

Portanto, o módulo d

z z

z z

z a bi a bi z z

a bi a bi

a

a

z z

a bi a bi

a bi

b i

b

b

b

b

b

+ =

=

= + − = −+ =

+ + − =

=

=

=

+ − =

− =

− =

+ =

= −

=

= ±

= ±

e a.b 9.( 8) 72.= ± =



311


10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .

( ) ( )

250 104 37

125 522 2 1

2

125 52

2

Aplicando propriedade de potência, tem-se:

2

Sabe-se que i 1,logo:

( 1) ( 1) 2

1 1 2

2

Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se:

i i i a bi

i i i a bi

i a bi

i a bi

i a bi

a

+ + = +

+ + = +

= −

− + − + = +

− + + = +

= +

0 2e b= =

11) Calcule a potência de i para i 8 n + 3, tal que n ∈ N *.

Aplicando as propriedades de potência, tem-se:

( )

( )

8 3

42 3

4

Sabe-se que 1 e tem-se

1

Observe que sempre será positivo, pois representa um número par

1

8n 3 n

n8n 3

2 3

n8n 3

4n

8n 3

8n 3

i i .i

i i .i

i i i, :i .( i )

(-1) 4n .

i .( i )

i i.

+

+

+

+

+

=

=

= − = −= − −

= −

= −



312


12) Simplificando101 50

100 49

(2 ) .(2 )

( 2 ) .( 2)

i i

i i

+ −− − −

, obtém-se:

Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência demesma base:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

101 50101 50

100 100 49 49100 49

101 50101 50

100 49100 49

101 100 50 49101 50

100 49

101 50

2 . 2(2 ) .(2 )

( 2 ) .( 2) 1 . 2 . 1 . 2

2 2(2 ) .(2 ).

( 2 ) .( 2) 2 1. 2

2 . 2(2 ) .(2 )

( 2 ) .( 2) 1

(2 ) .(2 )

i ii i

i i i i

i ii i

i i i i

i ii i

i i

i i

− −

+ −+ −=

− − − − + − −

+ −+ −=

− − − + − −

+ −+ −=

− − − −

+ − ( ) ( )100 49

101 502

100 49

101 50

100 49

101 50

100 49

2 . 2( 2 ) .( 2)

(2 ) .(2 )(4 2 2 )

( 2 ) .( 2)

(2 ) .(2 )(4 1)

( 2 ) .( 2)

(2 ) .(2 )5.

( 2 ) .( 2)

i ii i

i ii i i

i i

i i

i i

i i

i i

= − + −− − −

+ −= − − + −

− − −

+ −= − +

− − −

+ −= −

− − −

13) Se38 3

2

(10 ).

(1 )

i i i z

i

+ −=

−, determine 2ρ .

Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa formadeve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi :

( )

( )

38 3

2

2 3 4

2

2

2

(10 ).

1

101 2

1 10.( ) 1

1 2 1

( 2 10 ) 2.

2 2

4 20

4

4 204

i i i z

i

i i i zi i

i z

ii i

zi i

i i z

i

i z

+ −=

−

+ −=− +

− + − −=

− −− −

=−

− −=

−

− +=



313


2 2 2

2 2 2

2

2

5

5 1, logo:

z 5 - i

5 ( 1)

25 1 26

Portanto, 26.

z i

a e b

a bρ

ρ

ρ

ρ

= −

= = −

== +

= + −

= + =

=

14) Se k é um número real e o argumento dek 2i

z3 2i

+=

−é 45º, então

calcule | z |.

Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:

( )( )

( )( )

2

2

2 3 2 3 2 6 4 (3 4) (2 6).

3 2 3 2 9 4 9 4

3 4 2 6

13 13

Como o argumento principal é 45 , tem se : Re( ) Im( )

3 4 2 6

13 13

3 4 2 63 2 6 4

10

Substituindo o valor de k em z, tem-se:

z

k i i k ki i i k k i z

i i i

k k z i

z z

k k

k k k k

k

°

+ + + + + − + += = =

− + − +

− += +

− =

− +=

− = +− = +

=

=2 2

2 2

2 2i

z

2 2

8 2 2

Portanto, z 2 2

a b

z

z

+

= +

= +

= =

=



314


15) Seja o número complexo z = ( x – 2i )2, no qual x é um número real. Se o

argumento de z é 270º, então calcule1

z.

Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:

2

2 2

2

2

2

4 4

4 4

Como o argumento principal é tem -se que é um número imaginário puro e negativo

Logo e

4 0

4

4

2

Para tem -se

4 4 2 4 4

2

2

z ( x i )

z x xi i

z ( x ) xi

270 , z .

, Re(z) 0 Im(z) 0

x

x

x

x

, x 2, :

z (2 ) . i ( )

= −

= − +

= − −

= ≠

− =

=

= ±

= ±

=

= − − = − −

o

2

8 8

Para tem -se

4 4 2 4 4 8 8

Portanto 8

Logo1 1 8 8 8

8 8 64 64 8

2

i i

, x -2, :

z ((-2) ) .( )i ( ) i i

, z i.

i i i i. .

z i i i

= −

=

= − − − = − + =

= −

= = = =− −

16) Determine o valor de f(z) = 2 z 2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.

2

2

2

( ) 2 4 5

( 1) 2( 1) 4( 1) 5

( 1) 2( 2 1) 4 4 5

( 1) 2( 1 2 1) 4 1

( 1) 2.( 2 ) 4 1

( 1) 4 4 1

( 1) 1.

f z z z

f i i i

f i i i i

f i i i

f i i i

f i i i

f i

= + +

− = − + − +

− = − + + − +

− = − − + + +

− = − + +

− = − + +

− =



315


17) Sendo z 1=4.(cos10º + i.sen10º ) e z

2= 2.(cos20º + i.sen20º ) determine z

1.z

2.

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

4 10

2 20

. . cos .

. 4.2 cos(10 20 ) . (10 20 )

. 8. cos30 . 30

3 1. 8. .

2 2

8 3 8.

2 2. 4 3 4 .

z e

z e

z z i sen

z z i sen

z z i sen

z z i

z z i

z z i

ρ θ

ρ θρ ρ θ θ θ θ

⇒ = =

⇒ = =

= + + +

= + + +

= +

= +

= +

= +

18) Sendo z 1

= 2(cos30º + i sen30º ) e z 2

= 4(cos60º + i sen60º ), qual o valor

de 2

1

z

z?

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

2 22 1 2 1

1 1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2 30

4 60

460 30 60 30

2

2 30 30

3 12

2 2

2 3 2

2 2

3

z e

z e z. cos i.sen

z

z. cos( ) i.sen( )

z

z. cos i.sen

z

z. i.

z z

i z

zi.

z

ρ θ

ρ θρ

θ θ θ θρ

⇒ = =

⇒ = = = − + −

= − + −

= +

= +

= +

= +

o

o

o o o o

o o



316


19) Calcule:

a) (1 – i )6

( ) ( ) [ ] ( )3 36 2 3 32 3

1 1 1 2 1 2 1 2 8 8.( ) 8i i i i i i i i i − = − = − + = − − = − = − = − − =

b) 100

1 3

2 2i

− +

[ ]

( )

2 2

22

100 100

100

1 3

2 2

1 31002 2

1 3 1 31

2 2 4 4

112

1 2

332

1 2

120

1 100 120 100 120

12000 12000

n n

z i

n , a ,b

a b

acos cos

b sen sen

z . cos( n ) i.sen( n )

z . cos . i.sen( . )

z cos i.sen

ρ

ρ

θ θρ

θ θρ

θ

ρ θ θ

= − +

= = − =

= +

= − + = + =

−= ⇒ = = −

= ⇒ = =

=

= +

= +

= +

o

o o

o o

100

100

100

120 120

60 60

1 3

2 2

o

o

Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 :

z cos i.sen

Faz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120

z cos i.sen

z i.

= +

= − +

= − +

o o

o o



317


20) Calcule:

a) As raízes quadradas de 1 3 z i= + .

( )

2 2

22

1 3

1 3

1 3

1 3 4 2

1

23

2

3

23 3

2 23 322 2

k

z i

a e b

a b

acos cos

b sen sen

Logo, 60 rad

z .(cos i.sen )

As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula:

k k z . cos i.sen com k {0,

ρ

ρ

ρ

θ θ

ρ

θ θρ

πθ

π π

π ππ π

= +

= =

= +

= +

= + = =

= ⇒ =

= ⇒ =

= =

= +

+ + = + ∈

o

0

1

3 1 6 20 2 2

6 6 2 2 2 2

7 7 3 1 6 21 2 2

6 6 2 2 2 2

1}

k z . cos i.sen . i. i.

k z . cos i.sen . i. i.

π π

π π

= ⇒ = + = + = +

= ⇒ = + = − − = − −



318


b) As raízes quartas de z =-4.

( )

2 2

2 2

4k

0

4

4 0

4 0

16 0 4

4cos cos 1

4

00

4

Logo,

4.(cos . )

As raízes quartas de z são dadas pela fórmula:

2 2z 4. cos . com k {0,1, 2, 3}

4 4

k 0 z 2

z

a e b

a b

a

b sen sen

z i sen

k k i sen

ρ

ρ

ρ

θ θρ

θ θρ

θ π

π π

π π π π

= −

= − =

= +

= − +

= + =

−= ⇒ = = −

= ⇒ = =

== +

+ + = + ∈

= ⇒ =

1

2

3

2 2. cos . 2. 1

4 4 2 2

3 3 2 21 2. cos . 2. 14 4 2 2

5 5 2 22 2. cos . 2. 1

4 4 2 2

7 7 2 23 2. cos . 2. 1

4 4 2 2

i sen i i

k z i sen i i

k z i sen i i

k z i sen i i

π π

π π

π π

π π

+ = + = +

= ⇒ = + = − + = − +

= ⇒ = + = − − = − −

= ⇒ = + = − = −



319


Desafios em números complexos

1) (ITA) O número natural n tal que (2i )n + (1 + i )2n = - 16i , onde i é a unidade

imaginária do conjunto dos números complexos, vale:Aplicando as propriedades de potência:

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

3

3

3 3

3

2 (1 ) 16

2 1 16

2 1 2 16

2 1 2 1 16

2 2 16

2. 2 16

2 8

2 2 .( )

Lembrando que -i i , tem-se:

2 2 .

2 (2 ) 3

n n

nn

nn

n n

n n

n

n

n

n

n

i i i

i i i

i i i i

i i i

i i i

i i

i i

i i

i i

i i n

+ = −

+ + = −

+ + + = −

+ + − = −

+ = −

= −

= −

= −

=

=

= ⇒ =

2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo quei2 = - 1, então o valor da expressão (-i ) 200 + ( 2 + i ).( 2 – i ) + i 3 , é:

( )

( )

1002 2

1002

100

4 2 2

4 1

1 5

1 5

200 3

200 3

200 3

200 3

200

(-i) (2 i).(2 - i) i i ( i i i ) ( i )

(-i) (2 i).(2 - i) i i i

(-i) (2 i).(2 - i) i i

(-i) (2 i).(2 - i) i i

(-i) (2 i)

+ + + = − + + − − + −

+ + + = + + −

+ + + = − + −

+ + + = + −

+ + 63.(2 - i) i i.+ = −



320


3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujosvértices são as soluções da equação z 6=1. Qual a área deste polígono?

6

6

0

1

2

1

1

1

Calcula-se o módulo e o argumento de z:

1 0

Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se:

cos .3 3

Então:

k 0 z cos0 . 0 1

1 31 cos .

3 3 2 2

2 2 1 32 cos .

3 3 2 2

3

k

z

z z

k k z i sen

i sen

k z i sen i

k z i sen i

k

ρ θ

π π

π π

π π

=

==

= ⇒ =

= +

= ⇒ = + =

= ⇒ = + = +

= ⇒ = + = − +

=

3

4

5

cos . 1

4 4 1 34 cos .

3 3 2 2

5 5 1 35 cos .

3 3 2 2

Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus:

1 3 1 3(1,0); , ; , ;

2 2 2 2

z i sen

k z i sen i

k z i sen i

π π

π π

π π

⇒ = + = −

= ⇒ = + = − −

= ⇒ = + = −

−

( ) 1 3 1 3

1,0 ; , ,2 2 2 2

e

− − − −

Observe a figura:



321


Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular olado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos noplano.

Vamos escolher dois vértices consecutivos:(1,0) e 1 3

,2 2

( ) ( )2 2

2 1 2 1

22

22

1 31 0

2 2

1 3

2 2

1 3

4 4

1.

d x x y y

d

d

d

d

= − + −

= − + −

= +

= +

=

Cálculo da Área do hexágono:

2

2

3 3

2

Tem-se que d , onde é a medida do lado do hexágono, logo:

3.1 3

2

3 3. .

2

A

A

A u a

=

=

=

=



Referências

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CARMO, Manfredo P. Trigonometria e Números Complexos.Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, RJ.

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Derivação Integração. São Paulo: Makron Books, 1992, 617 p.

FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER,Christian – Tópicos de Matemática Elementar . Palhoça: UnisulVirtual, 2005, 246p.

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HISIANG, W. Funções Trigonométricas e Leis da Trigonometria.Revista do Professor de Matemática. São Paulo, nº 23, p. 23-24,1993.

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NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta

Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 4. SãoPaulo: Saraiva, 2000.



324


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PAIVA, Manoel. Matemática. 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2004, vol 2 e 3.

ZAPIROLLO, Maria Jose Couto de Vasconcelos. SCORDAMAGLIO, MariaTerezinha. CANDIDO, Suzana Laino. Matemática – Projeto escola e cidadania

para todos. São Paulo: Editora do Brasil, 2004.



325


Anexo – Tabela de Razões Trigonométricas

AP a Numeros Complexo

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