153

APÊNDICE A

AMOSTRAGEM DE MATERIAIS PARTICULADOS Aspectos gerais

Amostragem é a operação de remoção de uma parte conveniente de um grande volume, de maneira que as características do material a ser testado (como, por exemplo, composição e densidade) são as mesmas, tanto no todo quanto na parte removida.

Considerando que as características da população original – seja ela uma pilha de material, o minério na jazida ou uma corrente na usina – serão determinadas somente a partir das características das amostras coletadas, é de vital importância que estas sejam verdadeiramente representativas do todo. Para isso, é importante estabelecer um plano de amostragem com grande cautela antes da coleta das amostras. Informações prévias a respeito do material e da variabilidade das características de interesse na população são bastante úteis.

Amostragem primária corresponde à preparação de um lote representativo a partir da população original, quando esta não pode ser toda manipulada. A preparação de sub-amostras para a execução de análises ou ensaios específicos, a partir da amostra primária, é denominada amostragem secundária. Esta é realizada utilizando técnicas de divisão do lote original.

A única maneira viável de realizar a amostragem primária de um material é a retirada de porções (incrementos) diretamente da população-alvo. A retirada destes incrementos pode ser efetuada de maneira aleatória, fazendo com que todas as partes do material tenham a mesma probabilidade de serem selecionadas (amostragem aleatória), ou sistemática, na qual os incrementos são coletados a intervalos regulares (amostragem sistemática). Uma outra alternativa é a amostragem estratificada, que corresponde à divisão do material em grupos distinguíveis segundo características próprias. Neste caso, a amostragem se dá proporcionalmente às suas massas.

No caso de depósitos minerais, a amostragem primária é normalmente realizada por meio de sondagens e de abertura de poços, trincheiras e canais, os quais são situados no terreno de uma maneira sistemática. Essa etapa de amostragem, conduzida pelo geólogo de campo e/ou pelo engenheiro de minas, tem normalmente o objetivo principal avaliar o depósito mineral. A composição de uma amostra primária do depósito mineral (ou de diferentes partes deste) para estudos de caracterização tecnológica deve contar com o auxílio de informações do planejamento da mina, que normalmente é realizado empregando ferramentas da geoestatística.

A amostragem de materiais particulados normalmente é uma tarefa difícil, devido às grandes variações de tamanho, formato, massas e composições das partículas. Técnicas adequadas de amostragem devem ser utilizadas a fim de garantir a representatividade da amostra que será caracterizada, prevenindo a segregação que pode ocorrer devido ao efeito do tamanho de partícula ou densidade, sem que ocorra degradação ou contaminação do material.

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No caso em que o material a ser amostrado encontra-se em correntes na usina, o mais recomendável é amostrá-lo enquanto em movimento. Isso deve ser, preferencialmente, realizado em um ponto de descarga em queda livre, fazendo-se a amostragem num corte perpendicular em relação ao fluxo (Wills, 1997). Um grande número de dispositivos pode ser usado na amostragem de materiais secos ou em polpa (Spedden, 1985; Wills, 1997). Em ambos os casos, a amostragem é normalmente realizada de maneira sistemática, com incrementos sendo coletados a intervalos regulares de tempo.

Quando o material de interesse se encontra estocado em pilhas, a amostragem pode ser realizada de maneira aleatória ou sistemática. Nestes casos representa um desafio especial para materiais particulados, uma vez que há a tendência de segregação granulométrica na pilha. Tais procedimentos de amostragem são descritos em outras publicações (Spedden, 1985; Wills, 1997).

Na amostragem secundária, as técnicas empregadas têm o objetivo de dividir (ou quartear) a amostra primária em alíquotas de volume adequado para ensaios e análises de caracterização, sem que a amostra seja degradada ou contaminada durante a operação. Algumas das técnicas empregadas são: diferentes tipos de quarteadores (Jones, de polpa e automáticos – como o Pulverit®), a mesa divisória, e as pilhas cônica e alongada (Jones, 1987; Góes et alii, 1995; Spedden, 1985).

Na medida do possível, é recomendável que materiais particulados sejam amostrados com a menor granulometria possível. Isto se deve à maior representatividade devido ao maior número de partículas contidas por unidade de volume da amostra. Erro fundamental de amostragem A variabilidade encontrada nos resultados de análises (química, física, mineralógica, etc.) realizadas a partir de amostras de pequeno volume, obtidas a partir de um lote original, está associada a uma série de erros que contribuem para esses resultados. Além dos erros intrínsecos às técnicas analíticas, também se encontram presentes os erros associados à contaminação, perdas e segregação da amostra (Góes et alii, 1995). Enquanto o primeiro está diretamente relacionado à técnica de análise (química, física, etc), os últimos estão diretamente associados às técnicas de amostragem (primária e secundária) adotadas. O objetivo do tecnologista é, evidentemente, minimizar todos esses erros, o que é possível pelo uso adequado de técnicas analíticas e de amostragem. Entretanto, uma parcela importante do erro ou variabilidade nos resultados obtidos é intrínseca ao processo de amostragem. Esse erro, diretamente associado à heterogeneidade da constituição do material, é cometido mesmo quando a amostragem é realizada em condições ideais. O francês Pierre Gy investigou esse erro, denominado erro fundamental da amostragem, e observou que o mesmo é função da massa de amostra, da massa do lote, do tamanho de partícula, teor e densidade, entre outros.

Presumindo que partículas individuais poderiam ser selecionadas com igual probabilidade, Pierre Gy propôs a seguinte equação para a variância associada ao erro fundamental de amostragem para a medida do teor em uma amostra:

Apêndice A: Amostragem Prof. L. Marcelo Tavares (DMM-EP/UFRJ)

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[ ] 32 )1()1(11 dffffMM

M acL

a

ap αβγρρσ +−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (A.1)

sendo: Ma = massa da amostra ML = massa total do lote f = fração mássica do mineral ρa = densidade do mineral ρc = densidade da ganga d = tamanho corresponde à fração de 95 % passante no lote. α, β e γ são os fatores (adimensionais) que levam em consideração às influências do grau de liberação, da forma e da distribuição granulométrica do material, respectivamente. Unidades adequadas das variáveis devem ser usadas na Equação (1), a fim de que o resultado final da Equação (A.1) apresente unidades da medida realizada (quadrado do teor). O fator de liberação do mineral (α) está relacionado ao grau de liberação do mineral de interesse. A cominuição pode aumentar o valor de α até o seu valor máximo (=1), o qual corresponde à liberação completa do mineral de interesse. Valores de α podem ser obtidos pelas expressões:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤=

oo

o

dddd

dd

maxmax

max

se /

; se 1α (A.2)

sendo dmax o tamanho máximo de partícula do material e do é o tamanho máximo das partículas que assegure uma completa liberação do mineral de interesse. O parâmetro do pode ser estimado com o auxílio de técnicas de microscopia.

O fator de forma (β) é definido pela Equação 2.21, sendo geralmente considerado constante em 0,5 e podendo atingir 0,2 no caso de partículas com formato muito lamelar. O fator γ leva em consideração a influência da distribuição granulométrica do material. O fator é igual a 0,5 para materiais contidos em peneiras com aberturas subseqüentes em uma série padronizada de Tyler e igual a 0,25 para materiais que tenham sido cominuídos para passar numa dada abertura de peneira.

Conforme sugere a Equação (A.1) o erro fundamental da amostragem aumenta com o aumento do tamanho de partícula e da massa do lote, e com a diminuição da massa da amostra e do seu teor. A principal aplicação da Equação (A.1) é na estimativa da massa mínima de amostra, necessária para que um erro aceitável nas análises seja cometido. Bibliografia GÓES, M.A.C., POSSA, M.V., LUZ, A.B., 1995. Amostragem, In: Tratamento de Minérios,

CETEM/CNPq,, pp. 19-60. JONES, M.P., 1987. Applied Mineralogy: A quantitative approach, Graham and Trotman, London. SPEDDEN, H.R., 1985. Sampling and testing, In: SME Mineral Processing Handbook (N.L. Weiss,

ed.), Section 30, vol. 2, pp. 30-1 a 30-121. WILLS, B.A., 1997. Mineral Processing Technology, Butterworth-Heinneman, 6a edição.

156

APÊNDICE B

TÉCNICAS DE ANÁLISE GRANULOMÉTRICA Aspectos gerais

A Tabela B.1 apresenta uma lista de alguns dos métodos usados na análise granulométrica de materiais, com os seus respectivos intervalos de partículas de aplicação. A técnica de peneiramento é a de aplicação mais usual para a análise de tamanhos de partículas no intervalo de vários decímetros a 37 μm – usando telas de fios trançados – podendo chegar a 5 μm, quando telas eletroformadas são usadas.

Tabela B.1. Principais métodos de análise granulométrica e intervalos aproximados de aplicação (modificado de Wills, 1997)

Método Intervalo de tamanhos aplicável (μm) Peneiramento 100 000 – 5 Elutriação centrífuga 45 – 5 Microscopia óptica 50 – 0,8 Microscopia eletrônica 5 – 0,005 Sedimentação gravitacional 40 – 1 Sedimentação centrífuga 5 – 0,05 Espalhamento laser 2000 – 0,1

Enquanto a definição do tamanho de partícula no peneiramento está associada à menor abertura em uma peneira de malha quadrada através da qual a partícula é capaz de atravessar (capítulo 2), outras definições são usadas em associação a outras técnicas de medida.

Técnicas de análise baseadas no comportamento hidrodinâmico de partículas (sedimentação e elutriação) estão associadas à definição de tamanho de partícula dada pelo diâmetro de Stokes dSt, o qual representa o diâmetro da esfera com a mesma velocidade terminal que a partícula (capítulo 3)

2/1

)(18

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

= ∞

fsSt g

vd

ρρμ , (B.3)

sendo g a aceleração da gravidade, μ a viscosidade do meio, ρs e ρf as densidades dos sólidos e do fluido, respectivamente.

Outras definições úteis de tamanho de partícula são o tamanho volumétrico (ou diâmetro da esfera equivalente), dv, que representa o diâmetro da esfera com mesmo volume que a partícula, e o tamanho superficial ds, que representa o diâmetro da esfera com a mesma área superficial da partícula, dados, respectivamente por

dV

vp=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

6 1 3

π

/

e dA

sp=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π

1 2/

, (B.4)

Apêndice B: Análise granulométrica Prof. L. Marcelo Tavares (DMM-EP/UFRJ)

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nas quais Vp é o volume da partícula, que pode ser determinado por picnometria, e Ap é a área superficial, a qual pode ser determinada por permeametria ou adsorção gasosa pelo método BET (Brunauer, Emmett e Teller) (Spedden, 1985).

Designações qualitativas úteis para tamanhos de partículas no contexto do processamento de matérias-primas minerais são apresentadas na Tabela B.2. Tabela B.2. Classificação de tamanhos de partículas

Designação Tamanho de partícula Colóides < 1 μm Ultrafinos < 10 μm Superfinos < 25 μm Finos < 100 μm Médio-fino < 1 mm Médio-grosso < 10 mm Grossos < 1000 mm

Peneiramento

O peneiramento é a técnica mais usada na análise granulométrica de materiais, e corresponde ao fracionamento de partículas usando uma série de peneiras com aberturas decrescentes. Além da simplicidade, esta técnica apresenta a vantagem de permitir a separação da amostra em frações de tamanhos de partículas conhecidas, as quais podem ser analisadas quanto à composição química, mineralógica ou densimétrica. No contexto do peneiramento, o tamanho de partícula dp é simplesmente definido como a média (geométrica ou aritmética) das aberturas das malhas, nas quais a partícula encontra-se imediatamente retida e passante. Na prática, esta representa a menor dimensão da partícula quando ela se encontra na sua posição mais estável em uma superfície plana. Procedimentos de peneiramento são normalizados para diferentes aplicações e em diferentes sistemas (ISO, DIN, ABNT, etc.). No Brasil ele segue as normas NBR 8629 (para carvão) e NBRNM-ISO2395. O limite inferior prático para o peneiramento em laboratório é, normalmente, 37 μm. Embora peneiras com aberturas ainda menores (até 5 μm) encontrem-se disponíveis, a obtenção de resultados confiáveis com essas é difícil e o processo extremamente tedioso.

O peneiramento normalmente é realizado com o auxílio de máquinas vibratórias apropriadas, que utilizam oscilações e golpes e até vibrações ultrassônicas. Um exemplo de um peneirador comumente empregado em laboratório é apresentado na Figura B.1.

A fim de garantir uma

Figura B.1. Peneirador Ro-Tap®

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representatividade adequada dos resultados do peneiramento, é necessário que a análise granulométrica seja realizada com uma quantidade adequada de amostra. Métodos usados para estimar a massa mínima necessária para a análise são encontrados em outras publicações (Napier-Munn et alii, 1996). Sedimentação e elutriação

As técnicas de elutriação (também usadas na separação de partículas por densidade) e sedimentação são as mais freqüentemente usadas na análise de tamanhos de partículas abaixo do intervalo normalmente empregado no peneiramento.

Dentre as técnicas mais usadas estão a elutriação centrífuga (usando o aparelho conhecido como cicloclassificador, ou Cyclosizer®) e a sedimentação gravitacional usando a pipeta de Andreasen ou o Sedígrafo (Sedigraph®) (Spedden, 1985; Wills, 1997). Cicloclassificador

O cicloclassificador (Figura B.2) foi desenvolvido como uma ferramenta para a análise granulométrica de materiais abaixo do intervalo normalmente empregado no peneiramento. Ele foi desenvolvido pelo CSIRO na Austrália no início da década de 1960 e foi, subseqüentemente, comercializado pela Warman. Ele consiste de uma seqüência de cinco hidrociclones invertidos de 75 mm de diâmetro com diâmetros de vortex finder decrescentes, sendo que o produto de cada vortex finder é a alimentação do ciclone seguinte. Entre 10 e 50 g de sólidos são empolpados em água e alimentados lentamente através do conjunto de ciclones a partir de um recipiente. Cada ciclone “corta” a um dado tamanho de partícula, sendo que os tamanhos nominais para quartzo (cuja densidade relativa é 2,65) para os ciclones de 1 a 5 são 44, 33, 23, 15 e 11, respectivamente. O material mais grosso que o corte do ciclone é coletado na câmara apropriada do apex, a partir do qual pode ser recuperado e pesado no final do experimento. O overflow do ciclone 5 é perdido, embora possa ser coletado e, em alguns casos, processado em uma pequena centrífuga a fim de gerar uma fração adicional para análises química e mineralógica.

Figura B.2. Diagrama esquemático do Cicloclassificador

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O cicloclassificador é um elutriador que presume a validade da lei de Stokes (Equação B.3) à sedimentação de partículas em ciclones, a partir do qual o diâmetro de Stokes pode ser definido. Nesse equipamento, a velocidade de sedimentação é definida pelas condições operacionais, em particular pela vazão de polpa e pelo diâmetro do apex. O tamanho real de corte em cada ciclone é, então, modificado por uma série de fatores de correção:

4321 ffffdd ia ××××= (B.5)

sendo di o tamanho de corte nominal do ciclone i, e f1, f 2, f 3 e f 4 são os fatores de correção para as condições de temperatura (isto é, viscosidade), densidade de partícula, vazão de fluido e tempo de elutriação. Equações úteis para essas correções são

)1/(65,11 −= sf ρ

xf 102 = sendo )105(2

)20(001053,0)20(3272,1 2

+−−−

=T

TTx (B.6)

f3 = 0,002 (r – 180) + 180/r

tf /9,00,14 −=

sendo T a temperatura (em oC), r a leitura no rotâmetro (em mm) e t o tempo de elutriação, em minutos.

O cicloclassificador pode ser muito eficaz para a análise granulométrica dentro do intervalo em que o peneiramento não é aplicável, desde que precauções adequadas sejam tomadas. Um erro comum é o uso de amostras com massas que excedem a capacidade de determinadas câmaras do apex de reter o produto grosso. O cicloclassificador tem a vantagem de permitir o fracionamento da amostra em intervalos de tamanhos, os quais podem ser analisados quanto à sua composição química e mineralógica. Da mesma maneira que qualquer equipamento baseado em princípios da hidrodinâmica de partículas (capítulo 3), a forma da partícula exerce uma influência significativa, embora para formas regulares e para materiais homogêneos o cicloclassificador irá oferecer resultados similares a sistemas não-hidrodinâmicos, tais como peneiras e equipamentos como o Coulter Counter®.

Uma amostra que contém partículas de mesmo tamanho, mas com um intervalo de densidades, será separada em diferentes tamanhos no cicloclassificador. Galena, por exemplo, será separada a um tamanho de partícula que é, aproximadamente, a metade daquele do quartzo. Ainda que uma vez que a correção seja realizada e que o equipamento seja capaz de levar em consideração o efeito da densidade, cuidado deve ser usado na interpretação de resultados para misturas de minerais.

Pipeta de Andreasen Por meio do uso da pipeta de Andreasen (Figura B.3), conjuntos de partículas sedimentam em um recipiente somente sob a influência da força da gravidade. A concentração de partículas em um nível fixo em função do tempo é usada em

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conjunto à lei de Stokes para calcular a distribuição de tamanhos de partículas da amostra. Um intervalo de tamanhos típico de aplicação dessa técnica é de 100 a 1 μm. Desenvolvida na década de 1930, a pipeta de Andreasen faz uso de uma pipeta para determinar a concentração de sólidos a essa altura fixa ao longo do tempo. No método da pipeta de Andreasen (Figura B.3) a suspensão é homogeneizada no início do teste e alíquotas de 10 cm3 da polpa são retiradas a uma altura (h) de 20 cm a diferentes tempos durante a sedimentação. A concentração de sólidos das alíquotas é normalmente determinada pela evaporação do líquido e pesagem do resíduo. A concentração de sólidos medida (C) a um dado tempo t, dividida pela concentração inicial de sólidos (Co), corresponde à fração do material menor que o tamanho dp, calculado pela equação de Stokes (Equação 1),

op CCdP /)( = (B.7)

sendo que thv /= . Algumas das vantagens do método são a simplicidade e o baixo custo do equipamento. Entretanto, desvantagens do método estão associadas ao fato que a suspensão é perturbada toda vez que uma amostra é retirada. Além disso, o volume da suspensão diminui após a retirada de cada amostra, alterando a altura de sedimentação. Outros métodos que utilizam extinção luz ou raios-X para medir a concentração de sólidos a uma dada altura contornam vários desses problemas, mas são consideravelmente mais dispendiosos. Instrumentos baseados em extinção de luz são chamados de fotosedimentômetros e aqueles baseados na absorção de raios-X são chamados de sedimentômetros de raios-X. Para a análise granulométrica até tamanhos muito finos (inferiores a 1 μm) precauções especiais precisam ser tomadas a fim de evitar flutuações de temperatura e vibrações mecânicas, as quais podem produzir erros significativos na operação desses equipamentos. A fim de limitar a influência de condições de sedimentação retardada é ainda importante manter a concentração de sólidos na polpa abaixo de 1% em volume. Sedígrafo O sedígrafo (SediGraph®) é um tipo de equipamento de medida da distribuição de tamanhos de partículas de materiais também baseado na sedimentação de partículas em fluidos. Ele se diferencia da pipeta de Andreasen porque é baseado na medida da concentração a diferentes alturas em uma coluna de polpa dentro do recipiente de sedimentação, realizadas a um mesmo tempo. Isso permite a realização de medidas em tempos muito mais reduzidos. No sedígrafo, a concentração é medida por atenuação de raios-X, de maneira que a suspensão não é perturbada. No sedígrafo uma câmara se desloca em relação a um feixe de raios-X a uma dada velocidade. Pela medida da atenuação dos raios-

Figura B.3. Pipeta de

Andreasen

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X, a concentração de partículas é determinada a diferentes posições em função do tempo, permitindo usar tanto h quanto t para o cálculo da velocidade de sedimentação. O intervalo de aplicação varia de 0,1 a 100 μm, embora valores abaixo de 0,5 μm sejam suspeitos, devido a efeitos associados ao movimento Browniano. Algumas das vantagens do equipamento são o tempo curto de duração de cada análise (tipicamente em torno de 30 minutos), o fato que ele não requer qualquer processamento dos dados (o próprio equipamento já fornece a distribuição granulométrica final da amostra) e o fato que ele pode ser usado tanto com líquidos orgânicos quanto inorgânicos. As desvantagens estão associadas ao fato que, da mesma maneira que todos os métodos de sedimentação e elutriação, uma boa dispersão deve ser atingida para cada material. Em alguns casos a percentagem de sólidos em volume deve exceder o limite de 1% de maneira a permitir uma apropriada extinção dos raios-X (de acordo com as características de absorção do material), o que pode acarretar em aparecimento de condições de sedimentação retardada.

Difração laser Nas últimas décadas, instrumentos baseados na difração (mais adequadamente chamado de espalhamento) de luz laser por partículas finas têm se tornado disponíveis, incluindo o Malvern MasterSizer®, o Leeds & Northrup Microtrac® e o Cilas®. O seu princípio de funcionamento é ilustrado na Figura B.4. Luz laser passa através de uma suspensão diluída das partículas que circulam através de uma célula ótica. A luz é espalhada pelas partículas, sendo detectada por um detector em estado sólido, o qual mede a intensidade da luz ao longo de um intervalo de ângulos. Uma teoria de espalhamento de luz é usada para calcular a distribuição de tamanhos de partículas a partir do padrão de distribuição de luz, de maneira que partículas mais finas induzem mais espalhamento que as grossas. Os primeiros instrumentos empregavam a teoria de Fraunhofer, a qual é adequada para partículas mais grossas, no intervalo tipicamente de 1 a 2000 μm (o limite superior sendo apenas determinado por limitações mecânicas de manuseio de partículas pelo equipamento). Mais recentemente, a teoria de Mie tem sido utilizada, a fim de

Figura B.4. Diagrama esquemático de equipamentos de espalhamento laser

Apêndice B: Análise granulométrica Prof. L. Marcelo Tavares (DMM-EP/UFRJ)

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ampliar a capacidade de medição até abaixo de 0,1 μm. Alguns instrumentos mais modernos oferecem ambas opções, ou uma combinação, a fim de cobrir um intervalo mais amplo de tamanhos de partículas.

Equipamentos de espalhamento de laser permitem realizar medidas de forma rápida (apenas alguns minutos), sendo fáceis de utilizar e oferecendo resultados muito reprodutíveis. A teoria de espalhamento de luz não oferece uma definição de tamanho que seja compatível com outros métodos, como o peneiramento. Na maior parte das operações de processamento mineral, por exemplo, distribuições de tamanhos de partículas obtidas por espalhamento laser tendem a parecer mais grossas que aquelas obtidas por outros métodos, incluindo o peneiramento. Austin e Shah (1983) sugeriram um procedimento para interconversão dos resultados de espalhamento laser e peneiramento, e uma conversão simples pode ser desenvolvida para materiais com características consistentes. Além disso, os resultados podem depender dos índices de refração relativos das partículas sólidas e do meio líquido (usualmente – mas não necessariamente – água), e mesmo a forma da partícula. Kaye (1989) discutiu alguns dos problemas em termos das propriedades fractais das partículas. A maior parte dos instrumentos tenta compensar esses efeitos, ou oferece a possibilidade do usuário introduzir constantes de calibração. Por esses motivos, resultados de análises de tamanhos de partículas por espalhamento laser devem ser usadas com cuidado. Para análises de rotina com alta freqüência em um dado meio, no qual se desejam detectar apenas mudanças na distribuição de tamanho de partícula, esses equipamentos são, provavelmente, imbatíveis. Para comparações entre diferentes meios ou materiais, ou a resultados de análise obtidos com o auxílio de diferentes métodos, extremo cuidado deve ser usado na interpretação dos resultados. Além disso, esses instrumentos – evidentemente – não permitem o fracionamento da amostra para análises posteriores.

Bibliografia AUSTIN, L.G., SHAH, I., 1983. A method for inter-conversion of microtrac and sieve size distributions,

Powder Technology, 35, 271-278. NAPIER-MUNN, T.J.; MORREL, S.; MORRISON, R.D.; KOJOVIC, T., 1996. Mineral Comminution

Circuits: Their Operation and Optimization, JKMRC Monograph Series in Mining and Mineral Processing, vol. 2.

RHODES, M., 1990. Principles of powder technology, Wiley. SPEDDEN, H.R., 1985. Sampling and testing, In: SME Mineral Processing Handbook (N.L. Weiss,

ed.), Section 30, vol. 2, pp. 30-1 a 30-121. WILLS, B.A., 1997. Mineral Processing Technology, Butterworth-Heinneman, 6a edição.

163

APÊNDICE C

DIMENSIONAMENTO DE MOINHOS

Capítulo 4 do livro “Moagem de minérios em moinhos tubulares”, J.L. Beraldo, Ed. Edgar Blücher, São Paulo, 1987.