APÊNDICE – PRODUTO DA PESQUISA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

CADERNO DE ATIVIDADES

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM

INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

César de Oliveira Almeida

Dimas Felipe de Miranda

Belo Horizonte

2015

César de Oliveira Almeida

CADERNO DE ATIVIDADES

UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM

INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Produto construído durante a realização de pesquisa, apresentado ao

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial

para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda

Área de concentração: Matemática

Belo Horizonte

2015

INTRODUÇÃO

Esta obra é o produto da dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, cujo título é “Um Ambiente de

Aprendizagem para Abordagem Introdutória de Equações Diferenciais”, realizada nos anos

de 2014 e 2015. Este caderno surgiu da inquietação e necessidade de estimular o estudo e o

interesse pela importância das Equações Diferenciais para o mundo.

O objetivo principal aqui proposto é estimular os alunos e professores no

aprendizado e ensino de Equações Diferenciais que fujam da memorização e convirjam para o

entendimento das mesmas como necessária para a resolução de problemas físicos, químicos,

biológicos e áreas afins à matemática ou que de alguma maneira façam uso dela.

Assim, propõe-se através deste caderno desenvolver algumas estratégias que

estimulem a resolução de Equações Diferenciais por meio da resolução de problemas, desde

conceitos básicos, porém necessários, do Cálculo Diferencial e Integral como

interdependência de variáveis, análises de gráficos, limite de uma expressão algébrica,

transição da linguagem literal para a matemática, até conceitos e conteúdos mais elaborados

como escrita e compreensão de uma Equação Diferencial Ordinária e resolução de uma

Equação Diferencial Ordinária separável.

A estrutura deste caderno consiste em três capítulos contendo teorias e atividades que

buscam desenvolver o raciocínio e compreensão que envolvam problemas que façam uso de

Equações Diferenciais. O Caderno pode ser utilizado tanto por professores que queiram fazer

a introdução em uma disciplina de Equações Diferenciais ou relembrar esse assunto, como

também para estudantes que almejam aprimorar seus conhecimentos nessa área. Ao final,

encontram-se as resoluções de todas as atividades.

Em conjunto com o Caderno também é disponibilizado o software EDOCA, que,

também como produto dessa dissertação, serve de apoio às atividades aqui propostas.

Bons estudos!

Os autores

ATIVIDADE 1 – Crescimento Populacional

Objetivos

a) Explorar a função como dependência entre variáveis;

b) Explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica;

c) Resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral;

d) Introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis;

e) Apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar à representação

gráfica (família de curvas);

f) Apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições

iniciais;

g) Desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece a Lei de

Malthus, registrando todos os procedimentos e identificando os procedimentos,

conforme objetivado nos itens anteriores.

Introdução

Uma função , segundo Stewart, é uma expressão matemática que descreve

uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão vê-se dois tipos de variáveis: } e

. Cada valor de depende diretamente ou não de cada valor de . Dessa maneira, a variável

é chamada de dependente, enquanto que é a independente ou livre. Porém, é importante

ter em mente que em outras situações e funções as variáveis podem ser escritas com outras

letras por uma questão de melhor aproximação ou adaptação.

As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a

característica de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em

cada caso ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce

influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda,

com precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores

explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável

independente.

1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal.

a) Quais as variáveis independente e dependente no fenômeno enunciado?

Dependente: ____ Independente: ____

b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática:

_______

c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função , como

você a transcreveria em linguagem verbal?

Linguagem verbal:

2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em

relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações. Pois, é por meio

deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando ,

quando se escreve quer-se dizer que “quando o resultado ou imagem

encontrado será ”. Com esse pensamento, considerando o fenômeno apresentado no

início da questão 1, explique com suas palavras o significado de e

, considerando t em anos.

P(0) = 5600 _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

P(4) = 8000 _____________________________________________________________

_______________________________________________________________________

3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de

uma forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter: ,

, , ...

Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo

ilimitado? Justifique a sua resposta.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Uma população P sendo observada em função de um tempo t.

4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer ao

longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê de

você ter escolhido construir tal gráfico.

5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor

numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra seguido da letra

que representa a variável. Por exemplo, na Física, pode representar a variação de

velocidade de um corpo.

Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada população

de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: e

. Então, diz-se que: para um incremento de tempo = _____ tem-se um

incremento populacional = _________. (complete os espaços em branco)

6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física,

entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da distância

percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elemento da questão 5, qual a

taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é positiva ou negativa? Dê

uma possível explicação para tal característica.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

7. Considere como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na

questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa média

populacional.

8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com

As duas são equivalentes? Explique porque.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

9. a) Considere a variável em um certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico

para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.

b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine

diminuindo, e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz tender para o valor

_____ (complete), e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de

velocidade ou variação instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva

matematicamente a expressão da questão 8 incorporada com esse movimento do .

c) Para uma tradicional função matemática , são símbolos da primeira derivada:

, em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a variável

_____________ e no denominador a variável _______________ (complete).

d) Escreva, para , os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta,

utilizando as três notações do item c.

e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.

10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas

derivadas. Essa equações são chamadas de Equações Diferenciais.

Exemplos:

Um tipo dessas equações bastante simples de serem resolvidas são as EQUAÇÕES DE

VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação

Para resolver esse tipo de equação devemos fazer como a própria classificação diz:

separar as variáveis.

Com os fatores de integração e separados pode-se integrar em ambos os membros

da equação para obter-se a solução.

a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo membro.

(OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.)

Observe que basta adicionar uma única constante “C” no segundo membro. A solução

dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da

_______________________. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma

______________________, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de

Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.

b) Na solução geral do item a substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes.

Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo.

c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. Cada uma dessas curvas é

uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente. Acima

temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são soluções da

equação.

Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano

cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial. Em

cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação Diferencial.

Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO, permitindo visualizar

“silhuetas” ou formato gráfico das curvas da família, conforme o quadro gráfico a seguir.

d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2, 4),

C(-1, 1) e D(-2, 4).

e) Nos pontos do item d use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses

quatro pontos dados.

Quando quer-se determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis,

constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo nesses caso é

determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o valor

da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução particular para

as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em 10-a.

i) Para x = 1 tem-se y = 2

ii) .

11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de uma

população com o passar de um tempo obedece a lei de Malthus (1803).

Onde P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade.

Em linguagem verbal essa equação significa um fenômeno em que: “a taxa de variação

de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional (k vezes) ao

tamanho daquela população”.

Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis. Há casos em que

isso não será possível e recorre-se a outros processos. Mas, no caso:

a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10 para obter a solução geral dessa Equação

Diferencial.

b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após uma

hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa situação,

usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a.

c) Esboce o gráfico que representa a situação acima.

d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c, mais duas curvas para uma mesma

população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempo diferentes.

Utilize o quadro abaixo para eventuais cálculos, caso necessário.

e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem exponencialmente

e de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado matematicamente pela lei de

Malthus). Mas, é possível manter na vida real essa tendência por um tempo ilimitado?

Explique.

OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a lei de Malthus, adaptando-a à realidade.

Isso será abordado a frente.

AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS

(Resolva-as em folha separada)

1) Inicialmente, vá em Stewart (6ª edição), página 363, e copie o Teorema Fundamental do

Cálculo.

2) Usando o conceito de antiderivada e mostre que:

a) (se precisar, consulte Stewart)

b)

c)

3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral

Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área.

Escreva resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral e o

conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart)

4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo.

a) (ver página 378, exemplo 4)

b) (ver página 377, exemplo 1)

(ver página 449, exemplo 3)

ATIVIDADE 2 – Modelo Logístico

Objetivos

a) Retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro

modelo mais realístico mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais;

b) Desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística;

c) Mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo;

d) Representar graficamente esse modelo;

e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo.

Introdução

Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: “uma população

cresce ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante”, que se

traduz pela Equação Diferencial:

Vimos que na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um

tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional, que

foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do

crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova

equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward Penney,

pode ter a forma: .

Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um

fator com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do

crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M é

um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar, em

situação normal.

1) A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a

solução geral na forma .

2) Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre a

solução particular escrevendo em função de k, M e t.

3) Considerando a questão 2, qual o resultado para ? Interprete o resultado

obtido.

4) Vamos construir o gráfico P x t referente a expressão P(t) determinada no item anterior.

5) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão

para .

6) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0.

7) Suponha que em 1885 a população de um certo país era de 50 milhões e estava crescendo

à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha também que em 1940 sua

população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma

que esta população satisfaça a equação logística. Determine tanto a população limite M

quanto a população prevista para o ano 2000.

ATIVIDADE 3 – Lei do resfriamento/aquecimento de Newton

Objetivos

a) Apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua

relação com as Equações Diferenciais;

b) Retomar conceitos e símbolos matemáticos que servem de base para as Equações

Diferenciais;

c) Mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em

que aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do

ambiente;

d) Representar graficamente esse modelo;

e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo;

f) Desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura

menor do que a do ambiente em que aquele é inserido.

Introdução

A terceira atividade procura desenvolver o entendimento da Lei de Newton do

resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que:

a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença

entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada

temperatura ambiente. Se representa a temperatura de um corpo no instante ,

a temperatura do meio que o rodeia e a taxa segundo a qual a temperatura do

corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença

matemática1

1 ZILL, Dennis G., 2011, p.22.

1. Observe o fenômeno a seguir.

Uma substância a uma temperatura T

variando ao passar de um tempo t.

a) Quais as varáveis do fenômeno descrito acima?

b) Destas duas variáveis qual é a dependente e qual é a independente?

Dependente: _____ Independente: _____

2. A lei de Newton diz que: “a velocidade de resfriamento/aquecimento da temperatura T

de um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente, é proporcional à

diferença entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA”.

a) Circule a(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade (variação) de

uma temperatura T em um tempo t?

b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito no início da

questão 2 (lei de Newton).

c) Com base na equação descrita acima, responda:

(i) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo? _____

(ii) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma temperatura

diferente da sua?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

dT - dt

3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada

na questão 2-b, substituindo a temperatura ambiente por 25°C.

4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37°C. Se após 1 minuto a

temperatura passa a ser de 31°C, determine a solução particular. OBS: procure substituir

os valores citados na solução geral determinada na questão 3.

5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa?

Justifique.

Justificativa

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um corpo.

Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação 4) tem-se a

equação

Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial.

Justificativa

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o

comportamento de um corpo que sua temperatura inicial fosse menor do que a

temperatura ambiente.

ATIVIDADE 4 – Estudo informatizado

Em consonância com as atividades apresentadas nesse bloco de atividades, há um

software denominado EDOCA – Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo.

Esse software foi construído com o objetivo de informatizar as atividades do bloco,

agindo como suporte para estudos mais dinâmicos e que produzam respostas instantâneas.

Na tela inicial é possível inserir o email do estudante e do professor para que as

respostas das questões sejam enviadas para ambos. Assim como também há a possibilidade de

que o estudante, ao finalizar o estudo, salve suas respostas na máquina em que estiver

realizando as atividades.

Na guia arquivos, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades.

Basta que uma questão de alguma atividade seja selecionada de acordo com a necessidade.

A maioria das atividades concede um suporte teórico em que o estudante pode

consultar sem perder a essência de uma atividade que testa os conhecimentos. O suporte

teórico sempre aparece no lado direito da tela, enquanto que as questão estarão no lado

esquerdo.

SOLUÇÕES DAS QUESTÕES DAS ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

1. a) dependente: P; independente: t.

b)

c) Uma variável dependente y está em função de uma variável independente x. Ou

uma quantidade y varia de acordo com uma quantidade x.

2. a) No tempo t = 0 (inicial), a população é de 5600 habitantes.

b) No tempo t = 4, a população é de 8000 habitantes. Ou após 4 anos, a população

passou a ser de 8000 habitantes.

3. Não. Uma população não cresce ilimitadamente por vários motivos. Esses motivos

podem ser desde limitações espaciais a limitadores biológicos como doenças.

4. Um possível gráfico é quando uma população por um determinado tempo cresce de

maneira exponencial. Muitas populações antes de se depararem com algum limite

crescem dessa maneira. Porém, isso não significa que seja o único gráfico ou um

gráfico determinante para essa questão, já que uma população pode também ser

representada de forma decrescente dependendo da situação.

5. e

6. Taxa média = . A taxa é negativa, logo isso significa que

nesse intervalo de tempo houve decrescimento do número de indivíduos dessa

população.

7.

8. Sim. Observa-se que . Logo, . Então,

usando a notação descrita na questão7, tem-se,

Logo, é possível verificar que as duas expressões são equivalentes se houve uma

mudança de variável de para .

9. a)

b) 0 (zero).

c) Dependente. Independente.

d)

e)

10. a) . . . Equação Diferencial. Solução.

b)

d)

e)

f) (i) ; (ii) .

11. a) , em que C e K são constantes reais.

b)

c)

d)

e) Não, pois existem fatores externos que influenciam no crescimento de uma

população limitando-a de alguma maneira. Essa limitação pode ser dada pelo próprio

espaço em que a população está localizada como conflitos entre outras populações

(predador-presa).

ATIVIDADE 2

1. , em que a, K e M são constantes.

2. .

3. . A constante M é o limite que uma população consegue atingir de

acordo com a Teoria de Vehulst.

4. Como , então . Logo, o ponto de inflexão fica em

.

5. 153,7 milhões de pessoas.

ATIVIDADE 3

1. a) Temperatura T e tempo t.

b) Dependente: T e independente: t.

2. a)

b) , em que k é uma constante real.

c) (i) sim. (ii) A temperatura do corpo tende a entrar em equilíbrio com a temperatura

ambiente com o passar do tempo.

3. , em que C é uma constante real.

4.

5. O primeiro gráfico retrata melhor a situação, pois a função é do

tipo exponencial descente com limite inferior em T = 25°C.

6. O segundo gráfico retrata melhor a situação, pois a equação

é do tipo linear em que -0,6931 é o coeficiente angular.

7. .

Como a temperatura do corpo é menor do que a temperatura ambiente, a sua tendência é

aquecer até atingir o equilíbrio entre as duas.

Como a velocidade de aquecimento do corpo depende da temperatura de forma diretamente

proporcional, o gráfico é um segmento de reta crescente com ponto inicial na temperatura

inicial do corpo e ponto final na temperatura ambiente.