Unidade 6Aplicaes do estudo das derivadasMximos e mnimos de uma funoDefinio 6.1. Dada a funo f : I , um ponto x0 I chamado de (i ) ponto de mximo global (relativo) da funo quando f ( x0 ) f ( x) para todo x I ; (ii ) ponto de mnimo global (relativo) da funo quando f ( x0 ) f ( x) para todo x I . O valor f ( x0 ) chamado de mximo ou mnimo relativo (ou local) de f e

( x0 , f ( x0 ) )f.

so as coordenadas do ponto de mximo ou mnimo relativo (ou local) de

Os mximos e mnimos de uma funo so tambm chamados de extremos relativos. Definio 6.2. Dada a funo f ( x) , um ponto x0 onde f derivvel em x0 e f '( x0 ) = 0 ou f no derivvel em x0 chamado de ponto crtico da funo f . Exemplo 6.1. Seja a funo f ( x) = x 3 3 x 2 , x . Determinar os pontos crticos de f .

Resoluo: Sabemos que f ( x) = x 3 3 x 2 uma funo polinomial derivvel em todo x . Calculando f '( x) temos f '( x) = 3 x 2 6 x = 3 x ( x 2 ) Agora f '( x) = 0 implica em 3x 2 6 x = 0 , ou seja, x = 0 e x = 2 so os pontos crticos da funo f ( x) = x 3 3x 2 . Exemplo 6.2. Determinar o ponto crtico da funo f ( x) = ( x 1) , x Resoluo: Calculando f '( x) , temosf '( x) =2 1 2 2 2 1 1 , ( x 1) 3 = ( x 1) 3 = 3 3 3 x 1 1 3 ( )

2 3

.

ou,

1

f '( x) =

2 1 . 3 x 1 1 3 ( )

A funo dada no derivvel em x = 1 , isto , no existe f '(1) . Nesse caso, x = 1 o nico ponto crtico de f . Exemplo 6.3. Calcular os pontos crticos da funo f ( x) = x 3 + x 2 x + 1 no intervalo [ 2, 1 ] . 2 Resoluo: Inicialmente temos se f ( x) = x 3 + x 2 x + 1 ento f '( x) = 3 x 2 + 2 x 1 . Fazendo f ( x) = 0 , vem 3x 2 + 2 x 1 = 0 . Resolvendo a equao pela frmula de Bhskara encontramos as razes x = 1 e 1 x= . 3 1 Portanto, x = 1 e x = so os pontos crticos de f ( x) = x 3 + x 2 x + 1 em [ 2, 1 ] . 2 3 Definio 6.3. Seja f uma funo derivvel em x0 . Se f tem um mximo ou mnimo relativo (ou local) em x0 , ento f ( x0 ) = 0 . Por exemplo, a funo f ( x) = x 2 , para x (1, 1) , tem derivada f '( x) = 2 x . Em x = 0 , a funo tem um mnimo relativo e f '(0) = 0 . Definio: Dizemos que a funo f : I , f crescente no intervalo I quando dados x1 , x 2 I , quaisquer, com x1 < x2 , tem-se f ( x1 ) < f ( x2 ) e f decrescente no intervalo I quando dados x1 , x2 I , quaisquer, com x1 < x2 , tem-se f ( x1 ) > f ( x2 ) . O teorema a seguir estabelece um critrio para determinar onde uma funo f crescente ou decrescente. Teorema 6.1. Seja f ( x) uma funo derivvel no intervalo (a, b) , ento (a) Se f '( x) = 0 em (a, b) , ento f ( x) constante em (a, b) ; (b) Se f '( x) > 0 em (a, b) , ento f ( x) crescente em (a, b) ; (c) Se f '( x) < 0 em (a, b) , ento f ( x) decrescente em (a, b) . Exemplo 6.4. Seja f ( x ) = x 2 . Determinar os intervalos onde f crescente e decrescente. Resoluo: Temos f ( x) = x 2 e f '( x) = 2 x .

2

Agora, f '( x) = 2 x 0 se e somente se x 0 ento f ( x ) 0 , logo, f decrescente em ( ,0] e f '( x) = 2 x 0 se e somente se x 0 ento f ( x) 0 , logo, f crescente em ( ,0] . Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim:x x0

f ( x)

+

Concluso f ( x) decrescente em ( ,0] f ( x ) crescente em [0, )

Veja a figura abaixo:

Figura 6.1 Exemplo 6.5. Determinar os intervalos onde f crescente e decrescente onde f ( x ) = x 3 . Resoluo: De f ( x) = x 3 temos f ( x) = 3x 2 . Agora, 3x 2 0 ento f ( x) 0 , para todo x e f crescente em . Exemplo 6.6. Seja f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x + 1 definida para todo x real. Determinar os intervalos onde f crescente e decrescente. Resoluo: Temos f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x + 1 ento f ( x) = 3x 2 12 x + 9 . Agora, fazendo f ( x ) = 0 , vem 3x 2 12 x + 9 = 0 . Resolvendo esta equao pela regra de Bhaskara, temos as razes x = 3 e x = 1 . Logo, f ( x ) = 3( x 1)( x 3) . Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim,

3

x 1 x 3

f ( x ) 0 + 0 +

Concluso ponto crtico de f f crescente f decrescente ponto crtico de f f crescente

Portanto, f ( x ) crescente em ( ,1] e [3, ) e decrescente em [1,3] . Tambm x = 3 e x = 1 so extremos da funo (pontos crticos).

Teste da segunda derivada para extremos relativosEste teste empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de mximo(s) e mnimo(s) relativo de uma dada funo e para isto temos a seguinte definio. Definio 6.4. Seja x0 um ponto crtico de uma funo na qual f ( x0 ) = 0 e f existe para todos os valores de x em algum intervalo aberto que contenha o ponto x0 . Ento f ( x0 ) existe e (i) se f ''( x0 ) < 0 ento f tem um valor mximo relativo em x0 ; (ii) se f ''( x0 ) > 0 ento f tem um valor mnimo relativo em x0 . Exemplo 6.7. Pesquisar mximos e mnimos relativos da funo f ( x ) = x 4 + critrio ou teste da segunda derivada. Resoluo: Temos f ( x ) = x 4 +

4 3 x 4 x 2 pelo 3

4 3 x 4 x 2 ento f ( x) = 4 x 3 + 4 x 2 8 x . 3

Agora, f ( x ) = 0 vem 4 x3 + 4 x 2 8 x = 0 . Fatorando a expresso 4 x3 + 4 x 2 8 x = 0 vem

4 x ( x 2 + x 2) = 4 x( x + 2)( x 1) = 0 .A partir desta fatorao fica claro que f '( x) ser igual a zero se, e somente,x = 0 , x = 2 e x = 1 .

Logo, x = 0 , x = 2 e x = 1 so pontos crticos da funo f . Vamos analisar agora, os pontos crticos obtidos separadamente. Calculando f ''( x) temos f ( x ) = 12 x 2 + 8 x 8 .

4

Analisando para x = 0 , vem f (0) = 12 02 + 8 0 8 = 8 < 0 , assim x = 0 um ponto de mximo relativo da funo f e seu valor no ponto x = 0

4 f (0) = 04 + 03 4 02 = 0 ou f (0) = 0 . 3Analisando para x = 1 , vem f (1) = 12 12 + 8 1 8 = 12 > 0 , assim x = 1 um ponto de mnimo relativo da funo f e seu valor no ponto 4 4 8 8 f (1) = 14 + 13 4 12 = 1 + 4 = ou f (1) = . 3 3 3 3 Finalmente analisando para x = 2 , vem

f ( 2) = 12 ( 2) 2 + 8 ( 2) 8 = 12 4 16 8 = 24 > 0 .Assim x = 2 um ponto de mnimo relativo da funo f e seu valor no ponto 4 4 32 , f (2) = (2)4 + (2)3 4 (2) 2 = 16 + (8) 4 4 = 3 3 3 ou seja, 32 f ( 2) = . 3 Portanto, x = 0 um ponto de mximo relativo da funo f , x = 1 um ponto de mnimo relativo da funo f e x = 2 um ponto de mnimo relativo da funo f . Veja a figura abaixo

Figura 6.2 Exemplo 6.8. Encontrar os extremos relativos da funo f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x + 1 usando o critrio da segunda derivada. Resoluo: Temos, f ( x ) = x 3 6 x 2 + 9 x + 1 ento f ( x) = 3x 2 12 x + 9 e f ( x ) = 6 x 12 .

5

Agora, para calcular os pontos crticos de f s igualar f '( x) a zero, ou seja, f ( x ) = 0 , isto , 3x 2 12 x + 9 = 0 fatorando vem 3( x 3)( x 1) = 0 . A partir desta fatorao fica claro que f '( x) ser zero se, e somente x = 1 e x = 3 . Logo, x = 1 e x = 3 so pontos crticos de f . Vamos determinar agora os extremos relativos de f . Para x = 1 , temos f (1) = 6 1 12 = 6 < 0 , logo x = 1 um ponto de mximo relativo da funo f . Para x = 3 , temos f (3) = 6 3 12 = 6 > 0 , logo x = 3 um ponto de mnimo relativo da funo f . Portanto, x = 0 um ponto de mximo relativo da funo f e x = 3 um ponto de mnimo relativo da funo f . Veja a figura abaixo:

Figura 6.3

Concavidade e pontos de inflexoDefinio 6.5. Seja f : I uma funo contnua no intervalo I e derivvel em x0 I . Diz-se que o grfico da f (x) tem concavidade positiva (negativa) em x0 quando existe uma vizinhana V deste ponto, isto , um intervalo aberto contido no intervalo I e que contm x0 , tal que para todo x V o grfico da funo est acima (abaixo) da reta tangente ao ponto da curva com abcissa x0 . Um critrio para se determinar a concavidade de uma funo dado pelo seguinte teorema:

6

Teorema 6.2. Seja f uma funo derivvel at segunda ordem no intervalo I e suponha que em x0 I , f ( x0 ) 0 . Nesse caso, (i ) se f ( x0 ) > 0 , o grfico da f tem concavidade positiva em x0 ; e (ii ) se f ( x0 ) < 0 , o grfico da f tem concavidade negativa em x0 . Definio 6.6. Um ponto do domnio de uma funo f , no qual f contnua, chamado de ponto de inflexo quando neste ponto a funo muda de concavidade. Exemplo 6.9. Analisar a concavidade das funes a) f ( x) = 3 x 2 2 x + 1 , x ; b) f ( x) = x3 3x + 6 , x . Resoluo. a) Temos que f ( x ) = 6 x 2 e f ( x ) = 6 > 0 , x . A funo tem concavidade para cima em todo o seu domnio. b) f ( x ) = 3x 2 3 e f ( x ) = 6 x > 0 quando x > 0 e f ( x ) < 0 quando x < 0 . Portanto, a funo cncava para cima em (0, ) e cncava para baixo em (, 0) . A funo muda de concavidade em x = 0 , ento este um ponto de inflexo. Teorema 6.3. Seja f uma funo derivvel at segunda ordem num intervalo I e suponha que x0 I a abcissa de um ponto de inflexo do grfico da f. Ento, f ( x0 ) = 0 . Observao: O teorema acima d uma condio necessria porm no suficiente para que x0 seja um ponto de inflexo da f . No basta que f ( x0 ) = 0 em algum x0 para que em x0 ocorra um ponto de inflexo. Exemplo disso o seguinte. Exemplo 6.10. A funo f ( x) = x 4 , x [1, 1] , cujo grfico mostrado abaixo, tem f ( x) = 4 x3 e f ( x) = 12 x 2 . Em x = 0 , f (0) = 0 , f ( x ) 0 , para todo x.y

y= x4

O

x

Figura 6.4 O grfico tem concavidade sempre para cima. Portanto, apesar de termos f (0) = 0 a funo no tem ponto de inflexo.

7

1

Exemplo 6.11. A funo f ( x) = x 3 , x

, tem derivadas primeira e segunda f ( x ) =

1 2 x 3 3

2 5 e f ( x ) = x 3 , ambas definidas para todo x 0 . A funo f est definida em x = 0 e 9 f (0) = 0 mas no f e f . Para sabermos se em x = 0 h um ponto de inflexo, note que f ( x ) > 0 para x < 0 e f ( x ) < 0 em x > 0 ; logo, f cncava para cima em ( , 0 ) e cncava para baixo quando ( 0, ) . Em x = 0 o grfico da f tem um ponto de inflexo.

Exerccios propostos1) Seja f ( x) = x3 + x 2 5 x 5 . a) Determine os pontos crticos de f . b) Determine os intervalos onde f crescente e decrescente.

2

1 1 Seja f ( x) = x3 + x 2 6 x + 8 , determine: 3 2 a) os pontos crticos, b) os intervalos onde f crescente e decrescente, c) os valores mximos e mnimos de f .

Respostas1)

5 a) 1 e . 3b)

5 f crescente no intervalo x < ; 3 5 f decrescente no intervalo < x < 1 ; 3 f crescente no intervalo x > 1 .2 e 3. f crescente no intervalo x < 3 ; f decrescente no intervalo 3 < x < 2 ; f crescente no intervalo x > 2 . em x = 3 , f tem ponto de mximo e em x = 2 , f tem ponto de mnimo.

2)

a) b)

c)

8