Aplicações de derivadas

1

Terceira Parte

ALGUMAS APLICAÇÕES DE DERIVADAS

2

Capítulo 11 – Exame do comportamento de uma função por meio da derivada

Introdução

A função derivada, f , está intimamente relacionada com a função f. Dizemos, por

exemplo, que f é a derivada de f e que f uma função primitiva de f . Assim, podemos

esperar que ter informações a respeito de f nos permite ter também informações sobre

a função f . Muitas das aplicações que poderemos fazer do Cálculo dependerão de nossa

capacidade de analisar a derivada f e, a partir das informações colhidas nessa análise,

tirar conclusões sobre a função primitiva f .

Neste capítulo, investigaremos como usar a derivada primeira e a derivada segunda para

analisar o comportamento de uma função.

11.1 O que f nos diz a respeito de f

A derivada f nos diz se a função primitiva f está crescendo ou decrescendo. Também

nos diz em que ponto a função f para de crescer e começa a decrescer e vice-versa.

Vamos observar os gráficos que estão na Figura 11.1

Figura 11.1

No gráfico da esquerda, A é um ponto crítico da função f ; antes de A , a inclinação do

gráfico é negativa e, por isso, a função f é decrescente; depois de A, a inclinação do

gráfico é positiva e, portanto, a função f é crescente. No ponto A, ocorre uma mudança

brusca na inclinação do gráfico: ela pula de um valor muito grande para um valor

próximo de zero; isso quer dizer que f A não está definida ou não existe.

Podemos registrar essas observações, feitas no gráfico, por meio da Tabela 11.1.

Tabela 11.1

3

De modo semelhante, no gráfico da direita, D é um ponto crítico da função f ; antes de

D, a inclinação do gráfico é negativa, quer dizer que a função f é decrescente; depois

de D, a inclinação do gráfico é positiva, significa que a função f é crescente. No ponto

D, a inclinação do gráfico é zero, ou seja, f D 0 .

Podemos apresentar os resultados, colhidos nas observações feitas no gráfico, como

indicado na Tabela 11.2.

Tabela 11.2

Na Figura 11.2, estão duas outras funções. A análise de cada um desses gráficos nos

leva a tirar conclusões a respeito do sinal das respectivas derivadas; por outro lado,

conhecer o sinal das derivadas nos traz informações sobre o comportamento das funções

primitivas.

Figura 11.2

No gráfico da esquerda, o ponto B de abscissa Bx é um ponto crítico da função f;

dizemos também que Bf (x ) é um valor crítico da função f. A inclinação do gráfico de f,

à medida que x se aproxima de Bx , tende a ser arbitrariamente grande e a tangente à

curva tende a ser uma reta vertical; isso faz com que Bf (x ) não exista. Para Bx x , a

derivada f é positiva e, em consequência, a função f é crescente. Já, para Bx x , a

derivada f é negativa e a primitiva f é decrescente. No ponto crítico B, a derivada passa

de positiva para negativa; essa mudança de sinal da derivada, de + para , indica que B

é um ponto de máximo da função f e que Bf (x ) é um valor máximo de f.

De maneira semelhante, no gráfico da direita, o ponto C de abscissa Cx é um ponto

crítico da função f e Cf (x ) é um valor crítico da função f. A derivada no ponto C vale

zero, indicando que, nesse ponto, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal; significa

também que, em C, a função parou de crescer e começou a decrescer. Para Cx x , a

4

derivada f é positiva e a função f é crescente. Se Cx x , a derivada f é negativa e a

primitiva f é decrescente. No ponto crítico C, a derivada passa de positiva para negativa;

quando o sinal da derivada f muda de + para em um ponto C , a função f tem um

máximo e o valor desse máximo é Cf (x ) . Um resumo dessas informações está na Tabela

11.3.

Tabela 11.3

Exemplo 1

Determinar os pontos críticos de 3 2f x 2x 3x 12x 12 e investigar em que

intervalos essa função é crescente ou decrescente. A seguir, esboçar o gráfico de f .

Para achar os pontos críticos e em que intervalos f é crescente ou decrescente, usaremos

sua derivada: 2f x 6x 6x 12 .

a) Os pontos críticos são pontos em que f x 0 .

2 2 1 3f x 6x 6x 12 0 x x 2 0 x x 1 ou x 2

2

Os valores críticos de f são f 1 19 e f 2 8 .

a) Para saber em que intervalos f cresce ou decresce, determinamos a variação de sinal

da derivada f . Para isso, depois de achar os zero da derivada ou os valores para os

quais a derivada não existe, podemos montar uma tabela, como a mostrada a seguir:

Observação: Um modo simples de achar o sinal da derivada, nos intervalos em que seu domínio é

separado pelos pontos críticos, é atribuir um valor a x em cada um desses intervalos e achar

o valor de f nesse ponto. Por exemplo, já que f 2 12 , sabemos que f é positiva

para x 1 e, portanto, f é crescente para x 1 .

5

Do exame da variação de sinal, concluímos que a função 3 2f x 2x 3x 12x 12 é

crescente nos intervalos 1 , e ,2 ; e que é decrescente em 21, .

b) Para esboçar o gráfico, é recomendável que se plotem alguns pontos da função. Em

geral, escolhem-se os pontos de máximo ou de mínimo e, ainda, o ponto de

interseção da curva com o eixo y. No caso que estamos estudando, temos:

1

2

3

P 1,f ( 1) ( 1, 19) ponto de máximo local.

P 2, f (2) (2, 8) ponto de mínimo local.

P 0, f (0) (0, 12) ponto de interseção com o eixo y.

Na Figura 11.3, está um esboço do gráfico da função 3 2f x 2x 3x 12x 12 ,

feito no Winplot.

Figura 11.3

Observação:

A finalidade de se fazer o esboço do gráfico é visualizar o comportamento da função. Muitas vezes,

para isso, precisaremos usar unidades diferentes sobre os eixos coordenados. Nesse exemplo, para

poder ver os pontos de máximo e de mínimo, fixamos o domínio em 8 x 8 e a imagem em

40 y 40 .

6

11.2 O que nos diz f a respeito da derivada f e da primitiva f

A derivada d

f x f xdx

é uma função e, por isso, podemos calcular a sua

derivada indicada por d

f x f xdx

. Essa nova função f é a derivada segunda

de f e a derivada primeira de f . (A leitura do símbolo f é: “f duas linhas”.)

Se y f x , então y f x f f x .

Usa-se também a notação 2

2

d y d dyy

dx dx dx

. (A leitura do símbolo

2

2

dx

yd é: “d dois y,

d x dois”; ou ainda “derivada segunda de y em relação a x”.)

A derivada de uma função nos diz se a função está crescendo ou decrescendo. Com base

nesse fato, podemos afirmar que f , que é a derivada de f , nos diz se f , a taxa de

variação de f , está aumentando ou diminuindo.

Se f 0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.

Se f 0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.

A Figura 11.4 apresenta o gráfico de uma função f . Analisando a variação de sinal de

f , podemos obter informações a respeito de f .

Figura 11.4

A inclinação do gráfico decresce da esquerda para a direita; antes de Cx é positiva, em

Cx é nula e depois de Cx é negativa. Esse comportamento sugere que f é uma função

decrescente e que, portanto, sua derivada f é negativa. Além disso, podemos observar

que o gráfico de f é côncavo para baixo e também que C é um ponto de máximo.

7

O gráfico da função f, representado na Figura 11.5, tem concavidade voltada para cima.

Notamos que a derivada f é crescente (cresce da esquerda para a direita) e, por isso,

sua derivada f é positiva.

Figura 11.5

Ainda podemos observar que D é um ponto de mínimo. Em um ponto de mínimo, a

derivada f muda de sinal: passa de negativa para positiva, indicando que, nesse

ponto, a função f parou de decrescer e começou a crescer. Por sua vez, em um ponto de

mínimo, a derivada segunda, f , é positiva. Abaixo, resumimos as informações que o

sinal da derivada segunda nos fornece a respeito da forma do gráfico da função f, se é

côncavo para cima ou para baixo.

Se 0 xf em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para cima nesse intervalo.

Se 0 xf em um intervalo, então o gráfico de f é côncavo para baixo nesse intervalo.

Exemplo 2

Analisar o comportamento da função 3 2f x 2x 12x 18x 2 e esboçar seu gráfico.

a) Usaremos a derivada primeira, para achar os pontos críticos e os intervalos de

crescimento ou de decrescimento da função.

2f x 6x 24x 18 6 x 1 x 3

Os pontos críticos são os pontos em que f x 0 . A forma fatorada da derivada

indica que x 1 e x 3 são os pontos críticos de f . Os valores críticos de f são

61 f e f 3 2 . A interseção com o eixo y é f 0 2 .

Tabela 11.5

8

b) Usaremos a derivada segunda para determinar a concavidade e os pontos de

inflexão do gráfico de f.

f x 12x 24 12 x 2

Analisando o sinal da derivada segunda, obtemos informações a respeito da

concavidade do gráfico de f . Nesse exemplo, f tem uma única raiz 2x .

f é negativa para 2x e é positiva para 2x . Assim, o gráfico de f é côncavo

para baixo à esquerda de 2x e é côncavo para cima à direita de 2x . O

ponto 2x é um ponto de inflexão porque nele a curva muda de concavidade.

Tabela 11.6

c) A Figura 11.6 traz um esboço do gráfico de 218122 23 xxxxf .

Figura 11.6

9

11.3 Gráfico de funções

Uma das aplicações da derivada é o estudo dos aspectos qualitativos de uma função, tais

como, por exemplo: os intervalos em que a função cresce ou decresce, em que pontos

assumem um valor máximo ou mínimo, em que intervalos seu gráfico tem concavidade

voltada para cima ou para baixo e quais seus pontos de inflexão.

Neste item, são apresentados cinco estudos nos quais se retomam conceitos discutidos

em capítulos anteriores e usa-se a derivada para analisar alguns aspectos de funções.

Para isso, cumpriremos o roteiro a seguir descrito para o estudo de uma função y f (x) .

A. Domínio da função

Comece por determinar o conjunto de valores de x para os quais f(x) está

definida.

B. Interceptos

O intercepto y é f(0) e nos diz onde a curva corta o eixo y. Para achar o

intercepto y, faça x igual a zero na equação da função.

O intercepto x é obtido fazendo f (x) 0 e resolvendo essa equação para x.

Você pode omitir este cálculo se a equação for difícil de resolver.

C. Assíntotas

(i) Assíntotas horizontais: se xlim f (x) L

ou xlim f (x) L

, então a reta y L

é uma assíntota horizontal da curva y f (x) .

(ii) Assíntotas verticais: A reta x a é uma assíntota vertical da curva y f (x)

se pelo menos uma das quatro afirmativas seguintes for verdadeira:

x alim f (x)

ou

x alim f (x)

ou

x alim f (x)

ou

x alim f (x)

.

D. Intervalos de crescimento e decrescimento

Para determinar esses intervalos, use o teste de crescimento e decrescimento de

uma função. Calcule a derivada primeira e estude a variação de sinal de f : nos

intervalos em que a derivada f é positiva, f é crescente e, nos intervalos nos

quais f é negativa, f é decrescente.

E. Valores máximos e mínimos

Encontre os números críticos de f (os números c nos quais f (c) 0 ou f (c) não

existe). Use então o teste da derivada primeira: se f mudar de positiva para

negativa em um número crítico c, então f (c) é um máximo local; se f mudar de

negativa para positiva em um número crítico c, então f (c) é um mínimo local.

10

F. Concavidade e ponto de inflexão

Calcule a derivada segunda, f , e use o teste da concavidade: a curva é côncava

para cima se f (x) 0 , e é côncava para baixo se f (x) 0 . Os pontos de

inflexão ocorrem quando a concavidade muda de sentido.

G. Esboço do gráfico

Usando as informações obtidas nos itens A – F, esboce o gráfico da função

y f (x) . Coloque as assíntotas como linhas tracejadas. Marque os interceptos,

os pontos de máximo e de mínimo e os pontos de inflexão. Faça a curva passar

por esses pontos, subindo ou descendo de acordo com o item D e com

concavidade de acordo com o item F. Depois, se possível, use um aplicativo

computacional para verificar se o gráfico que você traçou se assemelha ao

traçado pela máquina.

Exemplo 1

Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 3 2f (x) x 9x 15x 50 .

Solução

A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função polinomial, D .

B. O intercepto y é 3 2f (0) 0 9 0 15 0 50 50 ; a curva corta o eixo y no

ponto (0,50) . A equação f (x) 0 é do terceiro grau e de difícil solução; por

isso não determinamos o intercepto x.

C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função polinomial.

D. Crescimento e decrescimento

A derivada é 2f (x) 3x 18x 15 . Resolvendo a equação 23x 18x 15 0 ,

obtemos as raízes x 1 e x 5 . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal

da derivada e encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Dado que f (x) 0 quando x 1 ou x 5 e que f (x) 0 para 1 x 5 , a

função f é crescente nos intervalos ,1 e 5, , sendo decrescente no

intervalo 1,5 .


Os números críticos são x 1 e x 5 . Como f muda de positiva para negativa em

x 1 , 3 2f (1) 1 9 1 15 1 50 57 é um máximo local; por outro lado, já que

11

f muda de negativa para positiva em x 5 , 3 2f (5) 5 9 5 15 5 50 25 é

um mínimo local.

F. Concavidade e pontos de inflexão

A derivada segunda é f (x) 6x 18 . Resolvendo a equação 6x 18 0 ,

obtemos a raiz x 3 e podemos obter a variação de sinal da derivada segunda.

Como f (x) 0 para x 3 , a curva tem concavidade voltada para baixo no

intervalo ,3 e como f (x) 0 para x 3 , a curva tem concavidade voltada

para cima no intervalo 3, . O ponto x 3 é um ponto de inflexão.


Na Figura 11.7 estão os gráficos da função 3 2f (x) x 9x 15x 50 e da sua

derivada 2f (x) 3x 18x 15 , feitos no Graphmática.

Figura 11.7

Exemplo 4

Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 2f (x) x 10x 24 .

Solução


B. O intercepto y é 2f (0) 0 10 0 24 24 ; a curva corta o eixo y no ponto

(0,24) . Resolvendo a equação f (x) 0 , temos

2 10 14x 10x 24 0 x x 2 ou x 12

2

.

Os interceptos x são os pontos ( 2,0) e (12,0) .

12



A derivada é f (x) 2x 10 . Resolvendo a equação f (x) 0 , obtemos

2x 10 0 x 5 . Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da

derivada e encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

E. Dado que f (x) 0 quando x 5 e que f (x) 0 para x 5 , a função f é

crescente nos intervalos ,5 e decrescente no intervalo 5, .

F. Valores máximos e mínimos

O único número crítico é x 5 . Como f muda de positiva para em x 5 , 2f (5) 5 10 5 24 49 é um máximo local.

G. Concavidade e pontos de inflexão

A derivada segunda é f (x) 2 . Como a derivada segunda é negativa para

qualquer valor de x, a curva tem concavidade voltada para baixo. A derivada

segunda não muda de sinal e por isso a função não tem ponto de inflexão.

H. Esboço do gráfico

Na Figura 11.8 estão os gráficos da função 2f (x) x 10x 24 e da sua

derivada f (x) 2x 10 , feitos no Graphmática.

Figura 11.8

13

Exemplo 5

Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 2x

f (x)x 1

.

Solução

A. O domínio é o conjunto dos reais diferentes de 1, }1/{ xxD .

B. O intercepto y é 2 0

f (0) 00 1

; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . O intercepto

x é x 0 .

C. Assíntotas

Como x x x

2x 2xlim lim lim 2 2

x 1 x

, a reta y 2 é assíntota da curva

2xf (x)

x 1

,

à direita.

Também x x x

2x 2xlim lim lim 2 2

x 1 x

, o que indica que a reta y 2 é assíntota

horizontal à esquerda.

Como x 1

2xlim

x 1

, a reta x 1 é assíntota vertical (quando x se aproxima de 1,

pela direita, a função assume valores positivos arbitrariamente grandes); o

x 1

2xlim

x 1

indica que a reta vertical x 1 é uma assíntota da curva

2xf (x)

x 1

e que, á medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, a função assume valores

negativos arbitrariamente grandes em módulo.


A derivada é 2

2f (x)

(x 1)

. Como o denominador é um quadrado e o numerador é

negativo, a derivada é negativa para todo x do domínio da função.

Dado que f (x) 0 para todo x do domínio, a função f é sempre decrescente.


Não existe ponto crítico para esta função e, portanto, como seu domínio é a união

de dois intervalos abertos, ela não tem pontos de Máximo e nem de mínimo.

14


A derivada segunda é 3

4f (x)

(x 1)

. A variação de sinal da derivada segunda

está no quadro abaixo.



para cima no intervalo 1, . A curva não tem ponto de inflexão.


Na Figura 11.9 estão os gráficos da função 2x

f (x)x 1

e da sua derivada

2

2f (x)

(x 1)

, feitos no Graphmática.

Figura 11.9

15

Exemplo 4

Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 4 3f (x) 2x 8x 100 .

Solução


B. O intercepto y é 4 3f (0) 2 0 8 0 100 100 ; a curva corta o eixo y no ponto

(0,100) . A equação f (x) 0 é do quarto grau e de difícil solução; por isso não

determinamos o intercepto x. (No gráfico que está no item G, pode-se observar que

a curva não corta o eixo horizontal, logo, não existe intercepto x.)



A derivada 3 2f (x) 8x 24x . Resolvendo a equação f (x) 0 , temos

3 2 28x 24x 0 8x (x 3) 0 x 0 ou x 3 .

Assim, podemos estabelecer a variação de sinal da derivada e encontrar os

intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Dado que f (x) 0 quando x 3 e que f (x) 0 para x 3 (x 0) , a função f é

crescente nos intervalos 3, e é decrescente no intervalo ,3 .


Os números críticos são x 0 e x 3 . Como f não muda de sinal em x 0 , 4 3f (0) 2 0 8 0 100 100 não é nem máximo e nem mínimo. Por outro lado, já

que f muda de negativa para positiva em x 3 , 4 3f (3) 2 3 8 3 100 46 é um

mínimo local.


A derivada segunda é 2f (x) 24x 48x . Resolvendo a equação 224x 48x 0

para x, obtemos 224x 48x 0 24x(x 2) 0 x 0 ou x 2 . Com essas

raízes, podemos obter a variação de sinal da derivada segunda.

16

Como f (x) 0 para 0 x 2 , a curva tem concavidade voltada para baixo no

intervalo 0,2 e como f (x) 0 para x 0 ou x 2 , a curva tem concavidade

voltada para cima nos intervalos ,0 e 2, . Os pontos x 0 e x 2 são

pontos de inflexão.


Na Figura 11.10 estão os gráficos da função 4 3f (x) 2x 8x 100 e da sua derivada

3 2f (x) 8x 24x , feitos no Graphmática.

Figura 11.10

Exemplo 5

Use os itens do roteiro dado para esboçar o gráfico da curva 1 3f (x) 9000x .

Solução

A. O domínio é o conjunto dos reais porque f é uma função potência com expoente

fracionário de denominador ímpar, D .

B. O intercepto y é 1 3f (0) 9000 0 0 ; a curva corta o eixo y no ponto (0,0) . A raiz

da equação f (x) 0 é x 0 que é o intercepto x.

C. A curva não tem assíntotas por ser o gráfico de uma função potência.


A derivada é 2 3

2 3

300f (x) 300x

x

. A derivada f (0) não existe e, portanto, x 0

é um valor crítico da função. A variação de sinal da derivada e os intervalos de

crescimento e decrescimento da função estão mostrados na tabela a seguir.

17

Dado que f (x) 0 para todo x 0 , a função f é sempre crescente.


O número crítico é x 0 . Como f não muda de sinal nesse valor de x, f (0) 0

não é nem máximo e nem mínimo da função f.


A derivada segunda é 5 3

5 3

200f (x) 200 x

x

. A derivada segunda, como era de

se esperar, não está definida para x 0 . A variação de sinal da derivada segunda e a

concavidade da curva estão apresentadas na tabela a seguir.



para cima no intervalo 0, . O ponto x 0 é um ponto de inflexão.


Na Figura 10.11 estão os gráficos da função 1 3f (x) 9000x e da sua derivada

2 3

300f (x)

x , feitos no Graphmática.

Figura 11.11

18

Questionário 11

Estude em seu livro de Cálculo o assunto crescimento e decrescimento de uma função.

Preste atenção nos exemplos resolvidos. Tente responder às questões que vêm a seguir.

1) O que são pontos críticos de uma função? Dê um exemplo.

2) O que é um ponto de máximo local? Dê um exemplo.

3) O que é um ponto de mínimo local? Dê um exemplo.

4) O que diz a derivada primeira f a respeito da função primitiva f ? Dê um

exemplo.

5) O que diz a derivada segunda f a respeito do gráfico da função f ? Dê um

exemplo.

Exercícios 11

1. Decida, em cada caso, se a derivada f (x) é negativa, positiva ou nula.

2. Escreva o valor de 0f (x ) para cada uma das funções mostradas.

19

3. Faça corresponder, a cada gráfico, uma das frases:

No intervalo I, a derivada f (x) é positiva e a função y f (x) é crescente.

No intervalo I, a derivada f (x) é negativa e a função y f (x) é decrescente.

No intervalo I, a derivada f (x) é nula e a função y f (x) é constante.

4. A partir do exame do gráfico, escreva, para cada intervalo i i 1x , x , escreva se a

derivada é positiva, negativa ou nula e, em correspondência, se a função y f (x) é

crescente, decrescente ou constante.

5. Em cada intervalo i i 1x , x , classifique a função apresentada como crescente,

decrescente ou constante, e indique o sinal de sua respectiva derivada.

20

6. Em cada intervalo i i 1x , x , classifique a função apresentada como crescente,

decrescente ou constante, e indique o sinal de sua respectiva derivada.

7. Para cada um dos números a, b, c, d, e, r, s, e t, estabeleça se a função cujo gráfico

está abaixo tem um máximo ou um mínimo local, um máximo ou um mínimo

absoluto, ou nem um máximo e nem um mínimo.

8. Use o gráfico da função derivada f , dado abaixo, para decidir:

a) Em que intervalos a função f está crescendo ou decrescendo.

b) Em que valores de x a função f tem um máximo ou um mínimo local.

9. Esboce o gráfico de cada uma das funções:

2 2

3 2

2

1a)y x 2x b)y 2 x x c)y x

x

1d)y e)y x 3 x f )y 2x 3x 1

x x

21

10. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráfico de uma função com todas as

propriedades enunciadas:

11. Use um aplicativo computacional para traçar o gráfico de cada função e o

gráfico de sua derivada.

A partir da análise desses gráficos, determine: (i) os intervalos em que a função

é crescente ou decrescente; (ii) os valores de máximo ou um mínimo locais.

a) 3 2f (x) 2x 3x 12x

b) 2f (x) x x 1

c) 2

2

1 xf (x)

1 x

d) 1 3f (x) x 3x

22

Capítulo 12 – Problemas de otimização

Introdução

Em muitos problemas, estamos interessados em encontrar o valor máximo ou mínimo

de alguma grandeza. Por exemplo, fabricantes querem saber que dimensões de uma lata

de refrigerante de 350 ml tornam mínimo o gasto com o material para fazer esse

vasilhame; construtores de carros querem estabelecer velocidades, ao dirigir, que

maximizam a eficiência do combustível; cientistas querem calcular que comprimento de

onda transporta a radiação máxima em uma dada temperatura e urbanistas querem

projetar padrões de tráfego para minimizar atrasos.

Todas as técnicas para encontrar valores que maximizam ou minimizam grandezas

constituem o campo chamado de otimização. Muitas dessas técnicas consistem na

aplicação daquilo que nos diz a derivada a respeito da função primitiva. Para resolver

problemas de otimização, precisaremos de modo particular das ideias discutidas no

capítulo 11: intervalos de crescimento, pontos críticos, concavidade, máximos e

mínimos locais ou globais.

12.1 Funções implícitas

Nos estudos anteriores, usamos a notação xfy para indicar uma função. No

primeiro membro dessa fórmula, a variável y aparece sozinha e, no segundo membro,

estão os termos que apresentam a variável x ou que são constantes. Nesse caso, dizemos

que y é uma função explícita de x. Por exemplo, 4

322

x

xy e 85 23 xxy são

funções explícitas.

Na equação 2522 yx , a variável y não está explicitada. Dizemos que essa equação

fornece y como uma função implícita de x. Resolvendo essa equação para y , obtemos

duas funções:

2

função explícita

2 2

função implícita 2

função explícita

y 25 x

x y 25 ou

y 25 x

23

Na Figura 12.1 está o gráfico da equação 2522 yx . Esta equação contém a função

225 xy , cujo gráfico é o semicírculo superior que aparece na Figura 12.2;

contém, também, a função 225 xy , representada pelo semicírculo inferior da

Figura 12.3.

A equação 2522 yx representa uma curva que admite uma tangente em cada ponto.

A inclinação dessa tangente pode ser encontrada derivando-se a equação do círculo em

relação a x:

2522

dx

dy

dx

dx

dx

d

Considerando y como uma função de x e derivando de acordo com a regra da cadeia,

obtemos: 022 dx

dyyx .

Resolvendo para dx

dy, temos

y

x

dx

dy , que é a inclinação do círculo em cada ponto

x, y . Dito de outra maneira, a derivada da função implícita nos permite encontrar a

função y

xy que a cada ponto do círculo 2522 yx associa a inclinação dessa

curva.

Podemos observar que, ao derivar a função na forma implícita, encontramos uma

derivada que depende de x e de y, e não somente de x como ocorre na função explícita.

No caso da equação 2522 yx , isso acontece porque, para cada valor de x do

intervalo 55, , existem dois valores de y e, em consequência, dois pontos na curva;

as inclinações da curva são diferentes em cada um desses pontos, conforme indicado na

Figura 12.4.

24

Quando x e y são positivos, estamos considerando o semicírculo superior e a inclinação

é negativa, conforme podemos observar na Figura 12.4. Para x positivo e y negativo,

estamos no semicírculo inferior e a derivada é positiva.

Em geral, uma função implícita admite derivada em todos os pontos da curva em que os

valores de x ou de y não anulam o denominador da expressão da derivada. No caso das

funções implícitas da equação 2522 yx , a derivada y

xy não está definida nos

pontos 05, e 05, ; nesses pontos, as tangentes são verticais.

Exemplo 1

Determine as equações das tangentes à curva 3622 xyx nos pontos de abscissa

1x .

Solução

a) Cálculo de dx

dy por derivação implícita:

362222

dx

dx

dx

d.y

dx

d.xy.x

dx

d

0622 22 dx

dy.y.xy.x

yx

xy

dx

dy

yx

xy

dx

dy2

2

2

2 3

2

26

b) Coordenadas dos pontos de tangência:

Fazendo 1x na equação da curva 3622 xyx , obtemos:

2 2y 6 3 y 9 y 3 .

Assim, os pontos de tangência são 311 ,P e 312 ,P .

c) Equações das tangentes:

A tangente no ponto 311 ,P tem inclinação 23

931

m e sua equação é

25

123 xy ou 52 xy .

A tangente no ponto 312 ,P tem inclinação 23

932

m e sua equação é

123 xy ou 52 xy .

Na Figura 12.5, estão os gráficos da curva 3622 xyx e das tangentes 52 xy e

52 xy .

Observação: Em 0;5,0A , a tangente à curva é vertical. A derivada não existe

nesse ponto e a equação da tangente é x 0,5 .

Exemplo 2

Considere a equação 3 3 2x y 3xy 6 .

a) Encontre y por derivação implícita.

b) Encontre os pontos da curva em que a reta tangente é horizontal ou vertical.

Solução

a) Cálculo de dx

dyy por derivação implícita.

3 3 2 2d d d d dx y 3 x .y x. y 5

dx dx dx dx dx

2 2 2dy dy3x 3y . 3y 3x.2y. 0

dx dx

2 2

2

dy 3y 3x

dx 3y 6xy

b) Pontos onde a reta tangente é horizontal.

São os pontos em que 0dx

dyy .

2 22 2

2

dy 3y 3x0 3y 3x 0 y x

dx 3y 6xy

26

Fazendo x y na equação 3 3 2x y 3xy 6 , obtemos 3y 6 . Assim, a curva tem

uma tangente horizontal no ponto 30 , 6 ; a equação dessa tangente é 3y 6 .

Fazendo x y na equação 5233 xyyx , obtemos 3y 2 . Assim, a curva tem

uma tangente horizontal no ponto 30 , 2 ; a equação dessa tangente é 3y 2 .

c) Pontos onde a tangente é vertical.

São pontos da curva em que o denominador de 2 2

2

dy 3y 3x

dx 3y 6xy

é nulo:

23y 6xy 0 3y y 2x 0 y 0 ou y 2x

Fazendo 0y na equação 3 3 2x y 3xy 6 , obtemos 3x 6 . Então, a curva tem

uma tangente vertical no ponto 3 6 ,0 ; sua equação é 3x 6 .

Fazendo y 2x na mesma equação, obtemos 3x 2 . Portanto, a curva tem uma

tangente vertical no ponto 3 32 ,2 2 ; sua equação também é 3x 2 .

A Figura 12.6 traz o gráfico da curva de equação 3 3 2x y 3xy 6 e as quatro retas

tangentes encontradas nos itens (b) e (c) da solução deste exemplo.

27

12.2 Taxas relacionadas

À medida que uma torneira despeja água em um tanque, o nível da água sobe. Para

descrever a velocidade com que a profundidade, h, da água aumenta, usamos a taxa de

variação dessa profundidade em relação à variação do tempo, t:

variação do nível da água dh

variação do tempo dt .

Além disso, o volume V de água no tanque também está mudando e sua taxa de

variação em relação ao tempo é indicada por

variação do volume de água dV

variação do tempo dt .

Dizemos que a taxa de variação do volume e a taxa de variação da profundidade são

taxas relacionadas porque aumento ou redução da profundidade acarreta aumento ou

redução no volume e vice-versa.

Exemplo 3

Um tanque tem a forma de um cone com o vértice para baixo; sua altura é de 12m e o

diâmetro da base mede 12m. Uma torneira despeja água nesse tanque à razão de

min/m2 3 . Determinar a taxa com que o nível da água sobe: (a) quando a profundidade

for de 3m; (b) quando a profundidade for de 10m.

Solução

Começamos fazendo um desenho (Figura 12.7) e colocando os dados nesse diagrama,

de modo a visualizar a situação e estabelecer a notação.

28

O volume variável da água no tanque é o volume de um cone de raio r e de altura h.

Assim, temos: hr3

1V 2 . As variáveis que nos interessam são V e h; para eliminar a

variável r, usamos a semelhança dos triângulos da Figura 13.5: 2

hr

12

6

h

r .

Portanto, a fórmula que relaciona V e h é:

3

2

h12

1Vh.

2

h

3

1V

Derivando os dois membros dessa igualdade em relação a t, obtemos:

dt

dh.h

4

1

dt

dV 2 ou dt

dV.

h

4

dt

dh2

Fazendo min/m2dt

dV 3 e m3h nessa última fórmula, obtemos:

minm28,0minm9

8

dt

dh2.

9.

4

dt

dh

Fazendo min/m2dt

dV 3 e m10h nessa mesma fórmula, obtemos:

minm03,0minm25

2

dt

dh2.

100.

4

dt

dh

Sugestões para resolver problemas com taxas de variação relacionadas

Para resolver um problema que envolva taxas de variação, comece por fazer um

esboço cuidadoso da situação considerada.

Coloque nesse esboço todas as quantidades numéricas que permanecem fixas;

indique com letras as quantidades que variam com o tempo.

A seguir, estabeleça uma relação geométrica ou física entre essas variáveis.

Finalmente, derive os dois membros da equação encontrada em relação ao tempo t

para obter uma relação entre as várias taxas de variação.

Use essa relação obtida para determinar a taxa desconhecida pedida pelo problema.

29

Exemplo 4

Uma escada de 13m está apoiada em uma parede. A base da escada está sendo

empurrada no sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de min/m6 . Qual a

velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo, sempre apoiado na parede,

quando a base da escada está a 5m da parede?

Solução

Na Figura 12.8, está um diagrama da situação com os dados do problema e as grandezas

que estão variando.

A equação que relaciona x e y, de acordo com a Figura 12.8, é: 222 13yx

Derivando essa expressão em relação a t, obtemos:

dt

dy.

x

y

dt

dx0

dt

dyy2

dt

dxx2

Fazendo minm6dt

dy , m5y e m12x nessa última igualdade, temos:

minm5,2dt

dx6.

12

5

dt

dx

12.3 Problemas de otimização

Otimizar alguma grandeza significa maximizar ou minimizar essa grandeza. Para

podermos utilizar a derivada em problemas de otimização, a grandeza a ser otimizada

precisa ser dada como uma função de grandezas que possam variar. Por exemplo, para

determinar as dimensões ótimas de modo a minimizar a quantidade de material gasto

para fazer uma lata de volume dado, precisamos escrever a quantidade de material, Q,

como função da superfície da lata, S, que é uma grandeza variável: SfQ . Por meio

de exemplos, estudaremos como montar problemas de otimização; as técnicas

30

matemáticas exigidas na resolução da maioria desses problemas são relativamente

simples.

Exemplo 5

Uma laranja é lançada para o alto com uma velocidade inicial de sm6,19 . Sua altura

no instante t é dada por 3t6,19t9,4y 2 . Qual altura máxima que ela atinge?

Solução

Usando a derivada, podemos achar os pontos críticos da função:

s28,9

6,19t06,19t8,9y

Variação de sinal de y :

Como y passa de positiva para negativa, 2t é ponto de máximo.

O valor máximo da altura é: m6,2232.6,192.9,42y 2 .

A Figura 12.9 traz o gráfico da função altura.

Observação:

Em alguns problemas, para classificar o ponto crítico encontrado, podemos usar o teste

da derivada segunda. Neste caso, y (2) 9,8 0 t 2 é ponto de máximo .

31

Sugestões para resolver problemas de otimização

1. Leia o problema e identifique que grandezas variam e quais são as constantes.

Identifique desse modo, o que é dado e o que é pedido pelo problema (qual

grandeza deve ser otimizada).

2. Faça um desenho (um esboço) da situação, mostrando como as grandezas que

variam estão relacionadas. Trabalhe com uma figura genérica. Por exemplo,

se um problema trata de um quadrilátero, não desenhe um quadrado; se o

problema se refere a um triângulo, não faça um triângulo equilátero.

3. Coloque cuidadosamente os dados na figura; indique com números as

grandezas que são constantes e atribua variáveis (letras) às grandezas que

variam.

4. Escreva a grandeza a ser maximizada ou minimizada como função de uma

única variável. Estabeleça uma fórmula que relacione as grandezas variáveis.

Se necessário, elimine dessa fórmula todas as variáveis, menos uma.

Identifique o domínio sobre o qual esta variável varia.

5. Use derivada para achar os pontos críticos e calcule o valor da função nesses

pontos e nas extremidades.

Exemplo 6

Uma chaminé deposita fuligem no solo com uma concentração inversamente proporcional ao

quadrado da distância da chaminé (Ver Figura 12.10). Com duas chaminés, situadas a km21

uma da outra, a concentração dos depósitos combinados sobre a reta que as liga a uma distância

x de uma chaminé é dada por

22

2

1

x21

k

x

kS

sendo 21 kek constantes positivas que dependem da quantidade de fumaça emitida por cada

chaminé. Se 21 k8k , encontre o ponto que liga as chaminés onde a concentração do depósito

é mínima.

Solução

32

Cálculo da derivada de S:

32

3

2

2

2

2

2

x21

k2

x

k16S

x21

k

x

k8S

Ponto crítico:

3 33 3

2 2S 0 16k 21 x 2k x 0 8 21 x x

2 21 x x x 14km

Assim, o ponto de concentração mínima de fuligem está a 14km da chaminé de

quantidade de fumaça 1k .

Observação:

Em alguns problemas de otimização, a natureza do fenômeno analisado sugere se o

ponto crítico é de máximo ou de mínimo, não sendo necessária a utilização do teste da

derivada primeira ou da derivada segunda.

Exemplo 7

O custo por hora para mover um pequeno barco é proporcional ao cubo de sua

velocidade. Determine a velocidade com a qual ele se deve mover contra uma corrente

de h/km4 para minimizar o custo de uma viagem contra a corrente percorrendo uma

distância de 18km (Ver Figura 12.11).

Solução

Com os dados do problema, podemos escrever:

33

Exemplo 8

Determine o perímetro do retângulo de maior área que pode ser inscrito no semicírculo

de equação 2x25y (Ver Figura 12.12).

Solução


Área do retângulo base altura

2x5x2xAouy.x2A

Cálculo da derivada:

2

2

2

2

x25

x2252xA

x252

x2.xx252xA

Ponto crítico:

2

5x0x2250xA 2

Assim, o retângulo de área máxima é o de dimensões 2

5ye

2

10x2 .

O perímetro p desse retângulo é: 20 10 30

p 4x 2y2 2 2

.

Exemplo 9

Deseja-se cercar um jardim retangular de 2m72 (Ver Figura 12.13). Se um lado do

jardim já está protegido por um muro, quais são as dimensões da cerca de menor

comprimento.

34

Solução


x

72x2Louyx2L

Cálculo da derivada:

2x

722xL

Ponto crítico:

6x072x20xL 2

Assim, o comprimento da cerca será mínimo para m12yem6x .

Exemplo 10

Uma companhia de cabos de televisão possui sua antena mestre localizada no ponto A,

na margem reta de certo rio com 1km de largura e vai estender um cabo de A ao ponto

P na margem oposta do rio e então seguir reto ao longo da margem à cidade T, situada

3km abaixo de A. Sabendo-se que custará R$5,00 por metro o cabo sob a água e

R$3,00 por metro o cabo ao longo da margem, determinar qual deverá ser a distância de

P a T de modo que o custo desse cabeamento seja mínimo.

Solução

Consideremos a figura abaixo.

Sendo AP y e PT x , e levando em conta os dados do problema, podemos escrever:

C 0,005y 0,003x . Do triângulo ABP , temos 2y 1 (3 x) , o que nos permite

reescrever a função custo: 2C(x) 0,005 1 (3 x) 0,003x .

35

Assim, 2

0,005.2(3 x)C (x) 0,003

2 1 (3 x)

.

Fazendo C (x) 0 , vem:

25(3 x) 3 1 (x 3) 4 x 3 3

3 15 9x 3 x (não serve por ser maior do que3)ou x .

4 4 4

Portanto a distância de P a T que minimiza o custo C é 2,25km ou 2250m.

Questionário 12

Estude em seu livro de Cálculo os assuntos derivadas de funções implícitas, problemas

de taxas relacionadas e problemas de otimização. Estude com especial atenção os

exemplos resolvidos.

1) Explique como funciona a derivação implícita. Dê um exemplo.

2) Escolha um problema de taxas relacionadas e escreva sua solução de modo

detalhado, como se estivesse explicando para outra pessoa.

3) Escolha um problema de otimização e escreva sua solução de modo detalhado,

como se estivesse explicando para outra pessoa.

Exercícios 12

1. Determine dy

dx diferenciando implicitamente.

a) 2xy 2x 3x 4

b) x y 5

c) 2 2x y 1

d) 3 2 2x x y 4y 6

e) 2yx 1

x y

2. Encontre a equação da reta tangente à curva 2 2x y

116 9

, no ponto 9

5,4

.

3. Ache a equação da reta tangente à curva 2 2 2 2 22(x y ) 25(x y ) no ponto (3, 1) .

4. O gráfico da curva 3 2 2x x y 4y 6 passa por dois pontos distintos que têm a

mesma abscissa x 1 . Determine a equação de cada uma das tangentes a esse

gráfico nesses pontos.

5. Uma jovem com 1,60m de altura, que está correndo à velocidade de 3,6m s , passa

embaixo de uma lâmpada afixada em um poste a 6m acima do solo. Encontre a

velocidade com que o topo de sua sombra se move quando ela está a 15m depois do

poste.

36

6. Um bloco cúbico de gelo está derretendo a uma taxa de mincm96 3 . Determine com

que velocidade a área da superfície desse cubo varia quando sua aresta tem cm32 .

7. Um menino empina um papagaio que se mantém a uma altura de 24m e se

movimenta devido ao vento que sopra horizontalmente, de modo que a distância

entre o papagaio e o menino aumenta à razão de 6m s . Determine com que

velocidade o menino solta a linha quando o papagaio está 30mdistante dele.

8. Um carro, que viaja a 96km h numa estrada reta, passa sob um balão de ar que está

subindo a 32km h . Se o balão estiver a 1,6km acima do solo quando o carro estiver

diretamente embaixo dele, com que velocidade a distância entre o carro e o balão

estará crescendo 1 minuto depois?

9. Um cartaz deverá ter 2600cm de área para a mensagem impressa; deverá ter,

também, 7,5cm de margem no topo e na base, bem como uma margem de 5cm em

cada lado. Determine as dimensões totais do cartaz para que a quantidade de papel

usada seja mínima.

10. Uma nova agência bancária deverá ter o piso com uma área de 2315m . Deverá ser

um retângulo com três paredes de tijolos e uma frente de vidro decorativo. O vidro

custa 1,8 vezes o preço da parede de tijolos por metro linear. Quais as dimensões do

piso desse edifício que minimizarão o custo de material das paredes e da frente?

11. Uma longa faixa de metal com 8cm de largura deve ser transformada em uma

calha virando-se para cima os dois lados em ângulos retos com relação à base. Se a

calha deve ter capacidade máxima, quantos centímetros devem ser virados para

cima em cada um dos lados.

Aplicações de derivadas

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